(M − M1 ) − γ1 ⋅ (M2 − M 2 ) λ ω1 = 1 + K1 ⋅ (1 − γ1γ 2 ) L o
o
(M − M 2 ) − γ 2 ⋅ (M1 − M1 ) λ ω2 = 2 + K 2 ⋅ (1 − γ1γ 2 ) L M2
M1
x
v=
v L
P
o
M1
x (L − x ) [(M1 + M2 ) x − (2M1 − M2 )L] 6EIL
o
M2
Pab 2 M1 = 2 L o
a
b
o
M2 = −
L
c
o
M1
Pa2 b L2
o
M2
q
o
M1 = a
b
qc 3 ⎛ 12ab2 ⎞⎟ ⎜ L 3 b − + 12L2 ⎜⎝ c 2 ⎠⎟
qc 3 ⎛ 12a2 b ⎞⎟ ⎜ M2 = − L − 3a + 12L2 ⎜⎝ c 2 ⎠⎟ o
L
o
o
M1
M2
M
o
Mb ⎛ b ⎞ ⎜2 − 3 ⎟ L ⎝ L ⎠
o
Ma ⎛ a ⎞ ⎜2 − 3 ⎟ L ⎝ L ⎠
M1 = a
b L
M2 =
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE MADRID Cálculo de Estructu ras – 4º Curso Formulario – Hoja 2
CÁLCULO MATRICIAL
ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS ⎡ EΩ ⎤ K11 = K 22 = ⎢ ⎥ ⎣ L ⎦
⎡cos α ⎤ T=⎢ ⎥ ⎣senα ⎦
⎡ EΩ ⎤ K12 = ⎢− ⎣ L ⎥⎦
ESTRUCTURAS RETICULADAS PLANAS ⎡ EΩ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢ L ⎢ El El ⎥ K11 = ⎢ 0 12 3 6 2 ⎥ L L ⎥ ⎢ ⎢ 0 6 El 4 El ⎥ ⎢⎣ L ⎥⎦ L2
K12
⎡ − EΩ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢ L ⎢ El El ⎥ =⎢ 0 − 12 3 6 2 ⎥ L L ⎥ ⎢ El El ⎥ ⎢ 0 6 2 − ⎢⎣ L ⎥⎦ L2
K 22
⎡ EΩ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢ L ⎢ El El ⎥ = ⎢ 0 12 3 − 6 2 ⎥ L L ⎥ ⎢ ⎢ 0 − 6 El 4 El ⎥ ⎢⎣ L ⎥⎦ L2
⎡cos α − senα 0⎤ T = ⎢⎢senα cos α 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
EMPARRILLADOS PLANOS ⎡ GJ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢L ⎢ El El ⎥ K11 = ⎢ 0 12 3 6 2 ⎥ L L ⎥ ⎢ El El ⎥ ⎢0 6 4 ⎢⎣ L ⎥⎦ L2 ⎡− GJ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢ L ⎢ El El ⎥ K12 = ⎢ 0 − 12 3 6 2 ⎥ L L ⎥ ⎢ El El ⎥ ⎢ 0 − 6 2 ⎢⎣ L ⎥⎦ L2
K 22
⎡ GJ ⎤ 0 0 ⎥ ⎢L ⎢ El El ⎥ = ⎢ 0 12 3 − 6 2 ⎥ L L ⎥ ⎢ El El ⎢ 0 −6 4 ⎥⎥ 2 ⎢⎣ L ⎦ L
⎡cos α 0 − senα ⎤ T = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣senα 0 cos α ⎥⎦
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PLACAS – COORDENADAS CARTESIANAS X Y
p mx
Z my myx
mxy qx
qy
4 4 ⎛ ∂ 4 ⎜ 4 + 2 ∂2 2 + ∂ 4 ⎞⎟ w = p ⎜ ∂x D ∂x ∂y ∂ y ⎠⎟ ⎝
⎧ ⎡ ∂2w ∂2w ⎤ ⎪ m x = D (χ x + ν ⋅ χ y ) = − D ⎢ 2 + ν 2 ⎥ ∂y ⎦ ⎪ ⎣ ∂x ⎪ ⎪ m = D (χ + ν ⋅ χ ) = − D ⎡ ∂ 2 w + ν ∂ 2 w ⎤ ⎢ 2 ⎥ y x ⎪ y y x2 ⎦ ∂ ∂ ⎣ ⎪ ⎪ ∂2w ⎪m ⎨ xy = D (1 − ν ) χ xy = − D (1 − ν ) ∂ x∂ y ⎪ ⎪ 2 2 ⎞ w w⎟ ∂ ∂ ⎪ q = D ∂ (χ + χ ) = − D ∂ ⎛ ⎜ + x x y 2 ⎪ ∂x ∂ x ⎜⎝ ∂ x ∂ y 2 ⎠⎟ ⎪ ⎪ 2 2 ⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ w ⎪ qy = D (χ x + χ y ) = − D ⎜ 2 + w2 ⎟ ∂y ∂ y ⎜⎝ ∂ x ⎪⎩ ∂ y ⎠⎟
MÉTODO DE NAVIER ∞
∞
mπx nπy w (x, y ) = ∑ ∑ w mn sen sen a b m =1 n =1
pmn =
4 a b mπx nπy p ( x , y ) sen sen dx ⋅ dy ab ∫0 ∫0 a b
p(x, y ) =
∞
∞
∑ ∑ pmn sen m =1 n =1 w mn =
mπx nπy sen a b
pmn
⎛ m2 n2 ⎞ Dπ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ b ⎠ ⎝ a 4
2
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PLACAS – COORDENADAS CILÍNDRICAS r ϕ dϕ p mϕ
mr mϕr
Z
qϕ
mr ϕ
qr
2 2 ⎞ ⎛ ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞ ⎛ 1 1 ∂ ∂ ∂ ⎜⎜ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 ⎟⎟ ⎜ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 ⎟⎟ w = p D ⎝ ∂r r ∂r r ∂ ϕ ⎠ ⎜⎝ ∂r r ∂r r ∂ ϕ ⎠ ⎧ ⎡ 2 ⎛ 1 ∂ w 1 ∂ 2 w ⎞⎤ ⎜ ⋅ ⎪ mr = D (χ r + ν ⋅ χ ϕ ) = − D ⎢ ∂ w + ν + 2 ⋅ 2 ⎟⎟⎥ 2 ⎜ ⎪ ∂ r r r r ∂ ϕ ⎠⎥⎦ ∂ ⎢⎣ ⎝ ⎪ ⎛ 1 ∂ w 1 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞⎟ ⎧ ⎪ ∂ 2ω ⎜ ⎪ χ r = − 2 ⎪ mϕ = D (χ ϕ + ν ⋅ χr ) = − D ⎜ r ⋅ ∂r + r 2 ⋅ ∂ ϕ2 + ν ∂r 2 ⎟ r ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 2 2 1 1 ∂ ω ∂ ω ⎪ ⎪ ⎛ 1 ∂ w 1 ∂ w ⎞ − 2⋅ 2 ⎟⎟ ⎨ mr ϕ = D(1 − ν ) χ r ϕ = − D(1 − ν ) ⎜⎜ ⋅ ⎨ χϕ = − ⋅ − 2⋅ r r ∂ r ∂ ϕ r r ∂ ∂ ϕ ∂ ϕ r ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 2 2 1 ∂ 2 ω 1 ∂ω ⎛ ⎞ ⎪ χ r ϕ = − r ⋅ ∂r ∂ϕ + 2 ⋅ ∂ϕ ⎪ qr = D ∂ (χ r + χ ϕ ) = − D ∂ ⎜ 1 ⋅ ∂ω + 12 ⋅ ∂ ω2 + 1 ⋅ ∂ ω − 12 ⋅ ∂ω ⎟ r ⎩ r ∂r ∂ϕ r ∂ϕ ⎠⎟ ∂r ∂r ⎜⎝ r ∂r r ∂ϕ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ q = D ∂ (χ + χ ) = − D ∂ ⎡⎢ ∂ w + 1 ⋅ ∂ w + 1 ⋅ ∂ w ⎤ 2 2 2 ⎥ ⎪ ϕ r ∂ϕ r ϕ r r r ∂ ϕ ∂ r r ∂ ∂ ϕ ⎢ ⎦ ⎣ ⎩
SOLUCIÓN CON SIMETRÍA DE REVOLUCIÓN 1 d ⎧ d ⎡1 d ⎛ dw ⎞⎤ ⎫ p ⎜ r ⎟ ⎬ = ⎨r r dr ⎩ dr ⎢⎣ r dr ⎝ dr ⎠⎥⎦ ⎭ D 1 dr dr r 2 r 2 w = ∫ ∫ rdr ∫ ∫ prdr + C0 [Lr − 1] + C1 + C2Lr + C3 D r r 4 4 ⎧ ⎡ d2 w ν dw ⎤ ⎪ mr = D (χ r + ν ⋅ χ ϕ ) = −D ⎢ 2 + ⋅ ⎥ ⎧ d2 ω r dr ⎦ dr ⎪ ⎣ χ = − ⎪ r ⎪ dr 2 ⎡1 dw ⎪ d2 w ⎤ ⎪⎪ mϕ = D (χ ϕ + ν ⋅ χ r ) = −D ⎢ ⋅ +ν⋅ 2 ⎥ ⎪ χ = − 1 ⋅ dω r dr dr ⎦ ⎨ ϕ ⎨ ⎣ r dr ⎪ ⎪ CD d d ⎡1 d ⎛ dw ⎞⎤ 1 ⎪χ =0 ⎪ qr = D (χr + χ ϕ ) = −D ⎢ ⎜ r ⎟⎥ = − prdr − 0 dr dr ⎣ r dr ⎝ dr ⎠⎦ r r ⎪ r ϕ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪⎩ qϕ = mr ϕ = 0
∫
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ELEMENTOS FINITOS
Campos interpolados
⎧ d = φ ⋅ del ⎪⎪ ⎨ ε = B ⋅ del ⎪ σ = D ⋅ ε = D ⋅ B ⋅ del ⎪⎩
