FORMULARIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES METODO SIMPLEX Condición de Optimalidad.- La variable de entrada en un problema de maximización o de minimización es la variable no básica que tenga el coeficiente más negativo (en el caso de maximización) o más positivo (en caso de minimización) en el renglón z. Se llega al óptimo en la iteración en la que todos los coeficientes de las variables básicas en el renglón de z son no negativos o no positivos respectivamente.
Condición de factibilidad.- En los problemas de maximización y de minimización, la variable de salida es la variable básica asociada con la mínima razón no negativa (con denominador estrictamente positivo). Los empates se rompen en forma arbitraria.
Casos especiales de la aplicación del Método Simplex Solución degenerada.- Cuando se presenta un empate en la condición de factibilidad, al menos una variable básica será cero en l a siguiente iteración, y se dice que la nueva solución es degenerada, (cuando pasan más líneas por el punto óptimo que el numero de variables, es una solución sobredeterminada, por lo que es una restricción redundante).
Óptimos alternativos.- Cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria, la función objetivo asumirá el mismo valor optimo en más de un punto de solución. Se tiene solución alternativa cuando una de las variables básicas aun sigue en la base y los coeficientes de las variables no básicas son cero.
Solución no acotada.- En algunos modelos de programación lineal, los valores de las variables pueden aumentar de forma indefinida sin violar alguna de las restricciones, y eso significa que el espacio de soluciones es “no acotado” al menos en una dirección. La regla para conocer la no acotación es que si en cualquier iteración todos los coeficientes de restricción de toda variable no básica son cero o negativos, entonces el espacio de soluciones no está acotado en esa dirección. Si además el coeficiente de esa variable es negativo en caso de maximización o positivo en caso de minimización, en la tabla simplex, entonces el valor objetivo no está acotado.
Espacio de soluciones no factible.- Para estos casos se usan variables artificiales que se penalizan para que puedan se cero en el optimo, si esto no ocurre, se tiene un espacio de soluciones no factible. Si alguna variable no básica no logra entrar a la base y la variable artificial no logra ser cero, se tendrá t endrá un espacio de soluciones no factibles.
RELACIONES PRIMAL-DUAL Método Simplex
Método Dual-Simplex
Empieza: Solución factible-básica pero no optima
Empieza: Solución infactible y básica, y además optima Busca: Factibilidad Solución final: Básica-factible y optima
Busca: Optimalidad Solución final: Básica factible y optima
PROBLEMA DUAL EN FORMA DE MATRIZ Sean x j, las variables de decisión, b j los coeficientes de recursos disponibles, c j los coeficientes de contirbucion y aij los coeficientes tecnológicos, entonces:
Ing. Gabriel Grosskelwing Nuñez |Maestría en Ingeniería Industrial
1
FORMULARIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Problema Primal
Problema Dual
s.a
s.a
m= Variables Duales n= Restricciones Duales
m= Restricciones Primales n= Variables Duales
Primal ( Max)
Dual( Min)
Primal (Min)
Dual (Max)
METODO DUAL-SIMPLEX Requiere de la aplicación de dos criterios para su solución: el criterio de Optimalidad que asegura que la solución permanecerá optima todo el tiempo y el criterio de factibilidad que forza las soluciones básicas hacia el espacio factible.
Condición Dual de Factibilidad. La variable de salida es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen de manera arbitraria). Si todas las variables básicas son no negativas, termina el algoritmo.
Condición Dual de Optimalidad.- La variable de entrada se determina entre las variables no básicas, como la que corresponde a:
donde es el coeficiente objetivo del renglón z en la tabla, y es el coeficiente negativo de restricción de la tabla, asociado al renglón de la variable de salida , y con la columna de la variable no básica. Los empates se rompen arbitrariamente. Para que una programación lineal sea optima y no factible a la vez, debe satisfacer los siguientes requisitos: 1. La función objetivo debe de satisfacer la condición de optimalidad del metido simplex regular. 2. Todas las restricciones deben ser de signo
.
Ing. Gabriel Grosskelwing Nuñez |Maestría en Ingeniería Industrial
2
FORMULARIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Por la segunda condición se requiere convertir toda desigualdad a solo multiplicando ambos lados de la desigualdad por (-1). Si en la programación lineal hay desigualdades de se puede reemplazar la ecuación por dos desigualdades de y . Si todos los son positivos, la solución se mantendrá optima y no habrá necesidad de aplicar el método Dual-Simplex, pero si algún es estrictamente negativo, se procederá a aplicar el método Dual-Simplex.
ANALISIS DE SENSIBILIDAD a) Cambios en el vector b (disponibilidad) Problema Original Max s.a.
Cambios Max s.a.
Se toma como punto de partida la solución óptima, dado por:
(
es la solución de las variables básicas optimas)
Si es un nuevo vector de disponibilidad de recursos, entonces debe calcularse un nuevo vector , dado por:
, donde si
, el problema es optimo.
La nueva utilidad está dada por: , donde
está en el orden en que entraron a la base.
Si , entonces no es factible y habrá que ejecutar el método dual-Simplex para restaurar la factibilidad y la factibilidad del nuevo problema.
b) Cambios en el vector de contribución (precios). Problema Original Max s.a.
Cambios Max s.a.
Se toma como punto de partida la solución optima, y se ejecuta la siguiente operación vectorial, para cada uno de los nuevos coeficientes del vector de contribución:
Ing. Gabriel Grosskelwing Nuñez |Maestría en Ingeniería Industrial
3
FORMULARIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Donde es la columna j correspondiente al coeficiente que se está analizando y c B son los valores de las variables de holgura resultantes en el problema optimo original (precios sombra). Si en A y que debe de ser cero en cualquier j en B, si esto su cumple, cualquier X B asociado al problema permanece óptimo y el nuevo valor de la función objetivo será:
c) Cambio de un coeficiente tecnológico a ij cuando j no es básico. Un cambio en las componentes del vector de coeficientes tecnológicos en el vector , dado que:
Si el vector
se cambia por uno nuevo
ocasiona un cambio
, el nuevo termino seria:
Mientras el nuevo termino en z sea no negativo, la solución optima de partida sigue siendo optima, en caso de que el nuevo termino en z sea negativo, habrá que aplicar el método simplex para obtener la nueva solución optima, teniendo cuidado de que el vector en el tableau optimo (vector abajo de la variable que resulta afectada por los cambios en el vector . de coeficientes tecnológicos) sea sustituido por un nuevo vector d) La adición de nuevas variables , crea nuevo términos y nuevas columnas en la tabla. Si asociado a la nueva actividad se conoce su precio unitario y su vector de coeficientes tecnológicos , los nuevos elementos se calculan:
Si el nuevo termino , la variable es cero, en caso contrario, es decir método simplex hasta obtener optimalidad.
no debe entrar a la base y su valor de utilización , se introduce el vector en la tabla y se aplica el
e) Adición de nuevas restricciones Si al añadir k restricciones al problema original la solución optima asociada a él las satisface, entonces también es solución optima del nuevo problema. Sin embargo, si viola alguna de las k restricciones, habrá que restablecer la factibilidad de el nuevo problema mediante el método Dual-Simplex. (agregando la nueva restricción a la tabla optima, considerando también a sus variables de holgura).
Ing. Gabriel Grosskelwing Nuñez |Maestría en Ingeniería Industrial
4
