MECANICA DE FLUIDOS 1. PROPIEDADES Y COMPORTAMIENTO DE LOS FLUIDOS Densidad absoluta para líquidos Donde: ρ = Densidad
m kg . lb ρ= 3, v m ft 3
ρH
2
O
= 100
Atm.
ρH
O 2
KG
V =Volumen del fluido UTM gr = 101.937 3 = 1
3
m
= 62.4
m = Masa del fluido
m
lb
ft
= 1.94
3
3
cm
Para el H2O a 4.4ºC y 1
s/ug
ft
Para el H 2 O a 39ºF
3
y 14.7
lb
pg
2
EQUIVALENCIAS 1slug =14 .59 kg =32 .165 lb
1
kg 3
m
= 0.101937
1UTM = 1
UTM 3
m
kg − seg
2
m
1UTM =1
Densidad absoluta para gases Pv = MRT Temperatura de referencia 20ºC m p = RT ; P = ρRT v P ρ= Donde: R = Constante del gas RT
ρ
aire
= 1.2059
kg 3
m
= 0.0753
lb
ft
3
Para el aire a 20ºC y 1.033
kg
cm
2
ρ
lb
= 0.081
aire
ft
= 1.2977
3
kg Para el aire a 32ºF y 14,7
3
m
lb
pg
2
Volumen Específico
m , ft 3
v 1 V = = m ρ
kg
lb
3
3
;
m
UTM
V =Volumen específico
Donde:
V = Volumen total
V
H 2O
=
3
3
3
= 0.001m = 1X 10 m = 9.809X 10 m Kg Kg Kg UTM 1000 1
−3
−3
m
3 1
= 0.01459 m
= 0.01602
slug
V
=
a ir e
3
1 kg 1.2 0 5 73
= 0.8 2 9m4 = 8.1 3 6 m3 kg
3
= 1 2.1 0 m 1
U TM
3
ω v
=
mg = ρ.g V
sl o g
ω = m.g
N lb N kg kg , , , , 3 3 3 3 2 m m ft ft m seg
ω = Peso m = Masa
Donde:
g = Gravedad
Equivalencias
1 kg = Kgx 9.81 f
m = 9.81Kg seg
m
seg
2
= 9.81N
lb
3
f t = 1 3.2 8 8
m
℘=
ft
2
lb
3
3
1lb f = 1lbx 32 .2
ft seg
2
= 32 .2lb
ft
seg
2
VISCOSIDAD ABSOLUTA = VISCOSIDAD DINÁMICA µ =τ
τ=
Donde: A = Aire de la placa en movimiento V = Velocidad de placa Y= espesor de la placa de fluidos µ = Factor de proporcionalidad o coeficiente de viscosidad
v y
F A
F v =µ A y
v =Rapidez de deformación angular o gradiente de velocidad y
τ = Esfuerzo cortante del fluido µ Se mide en:
kg .seg . N .seg lb.Poises seg ; , , m m ft Viscosidad cinemática f
2
µ V= ρ
2 ft cm , seg seg
Relación entre viscosidad
V=
seg
µ
−6
= 1.002 x10 Po.seg
m 10 Cseg −6
VH2O= 1.01 x
ρ Cm
2
;m
2
;
seg
seg
ft
2
2 3 ft Cm , y seg seg
1bar. H 2O
3
2
µ A 20 ºC = ρ
µ
2
2
;
ft seg
2
aire
= 18.19 x10−6 Po.seg 2
Vaire
= 15 .1x10 m seg −6
Equivalencias.
µ =1
N .seg
m
2
= 1 po .seg
1 poise =1
=0.1
gr cm .seg
kg . m.seg
kg
= 1 m.seg
1 po = 1
=0.1Po .seg
N
m
2
= 0.1
N .seg
m
2
= 1Po.seg = 1
N .seg
m
1 Centipoise = 1cP = 0.01P = 0.001 po.seg
2
Presión Kg N ; ; KPa ; bar ; 2 2 m cm
F P= A
Presión atmosférica.
lb
pg
2
= 1 Atmósfera = 760 t orr = 760 mm Hg = 1.013 bar = 1.033 kg/cm2 =10.33 m. c. a (metros columna de agua) = 101.325 K Pa = 14.7 lb/Pg2 = 29.92 Pg Hg = 33091 p. c. a. (pies columna de agua)
Equivalencias
1Pa = 1
N
m
1bar = 1.02
1
Kg
cm
2
−5
2
= 1.02 x10 Kg
2
cm
5
2
cm
=14 .22
Kg
= 10 Pa = 100KPa lb
Pg
2
=10 m.c.a
Tensión superficial F N kG . T= ; L m m
Donde: T = tensión superficial F = Fuerza o Energía superficial L = longitud
Para una molécula esférica Donde: Pr P = Perímetro = 2 r = Radio T
TH2O = 0.074
N −3 Kg = 7.543 x10 m m
a 20º C
Temperatura
Temperatura absoluta
5 º C = ( º F − 32 ) 9
º K =º C + 273
ºF =
º R =º F + 460
9 º C + 32 5
2. ESTÁTICA DE FLUIDOS F ω ;℘= A ν F = P. A; ω =℘v
ρ=
Donde: v= Volumen = A.h
P : A =℘ν ∴ P =
ρ g h1 + Patm
P1=
S
i
℘ν ⇒ P =℘.hPresión A P = ρg .h hidrostática
ρ=
Presión en cualquier punto
m ∴ m = ρ ν= ρAdy ν
Para el equilibrio en la dirección “Y”
P A − ( ρ + dP) A y− ρ gA yd y = 0 y
−
Resolviendo:
−
Integrando:
P −P 1
ρ
2
=g
Agrupando:
dP = gdy 1 y = g ∫ 2 dy y1 ρ∫P2 dP P1
(y − y ) 2
P ρ
1
+g
1
y = Pρ 1
2
+g
Ecuación para fluidos líquidos incomprensibles
y
2
Donde: P = Presión ρ = Densidad g = Gravedad y = Altura
Par a un solo estado P
ρ P
ρ
+ gy = C
P
+y =
ρg
Ecuación fundamental de la Estática de fluidos, 1º forma
+ gy = C
Dividiendo entre g
C g
Si
P + y = h; ρg
C =h g
P + y = h 2º forma de la ecuación ℘
Donde h= Altura Piezométrica P + y = h; ρg
Multiplicando por ρg 3º forma de la ecuación Energía de presión
P + ρgy = ρgh P +℘y =℘h
Principio de Pascal f F Donde: P1 = a = P2 = A f = Fuerza aplicada en el émbolo menor F = Fuerza obtenida en el embolo mayor
f = P1 a = f = P2 A = P2
P
1
f a
=
f
πd 4
2
4f
πd
2
F A
=
=
F
πD 4
Donde: P1 = Presión ejercida en el embolo menor P2 = Presión obtenida en el embolo mayor a = Área del embolo menor A = Área del embolo mayor d = Diámetro del embolo menor D = Diámetro del embolo mayor
2
4F 2 πD
Presión hidrostática sobre una superficie plana sumergida
Sen ∝ =
h ∴ h = y sen ∝ y
De la presión
Diferenciando la fuerza
dF =
F P A F = P. A
F=
n =γh.dA =ρgh .da
P .A n
Sustituyendo
dF =
P da
Integrando
Pn .d A = γ .h dA
∫ dF =γ Sen ∝ ∫YdA
d = γ ( S F∝ ) d e A n
FR =γsen α∫ ydA
FR =γsen α(Yce A
Para el centroide “Ce” hce ∴ h ce = Yce sen α Yce Sustituyendo; FR = γsen α ( Yce A) = γ ( Yce sen α ) A FR = γhce A donde F R = Fuerza res ul tan te sen α =
De la ecuación de Momento
“T”= Fuerza x brazo de palanca
T = F x b dT = dF x Y
dT =[γ (Ysen α)dA ]Y =γY 2 sen αdA α dT =γsen αY 2 dA Integrando
∫dT
=γsen α∫Y 2 dA
T =γsen γI
donde I
Si
∫Y
2
dA = I
= Momento de
inercia
El Momento en el centro de presión “Cp” Tcp = FR x Ycp
;
Igualando Momentos
Tcp = I
La integral
∫YdA
=YceA
si FR = γsen α(Yce A) =
∴FRYcp = γIsen α Ycp =
I Yce A
∴ Ycp −Yce =
I Yce A
I ce Por el teorema de transferen cia Yce A
Presión Hidrostática sobre una superficie curva En el centro de gravedad, la fuerza horizontal FH es: FH = Fce = PceA 5 H ce ce 2
∴ F = γ Y A P e r oY = ( Y +
)
FH = γ ( Y + 52 ) A = γ ( Y + 52 ) s w d o n d52e= d i st a nc i a a l tcr eo n d e s luape r f i c i er vcau
De la ecuación: Ycp −Yce = I ce =
I ce , el área de la sección curva , Yce A
ws 3 s2 ∴Ycp −Yce = 12 12 Yce
Calculo e la fuerza vertical Fv, si Fv = w y γ =
w ; w = γv ∴Fv = γAw v
FR = FH2 + Fv2
y
tan Θ =
Fv FH
Para una rotación de fluidos, la presión es;
P = P0 − ρgz + 12 ρr 2 w 2 donde : w = aceleracion angular r = radio en el eje de rotacion z=
P0 − P r 2 w 2 + ρg 2g Distribución de presiones respecto a z en forma lineal, y
parabólica respecto a “r”
Ecuaciones de balance en forma integral y diferencial Conservación de la masa: d dm =0 = dT dt sist
∫
vc
ρdv +∫ sc ρvdA
donde: v = velocidad del fluido sc = superficie de control vc = volumen d control
∴∫ vc
∂ρ dv + ∑( ρAv ) sal − ∑( ρAv ) ent = 0 Ecuación para un vc con entradas y ∂t
salidas unidimensionales
∑( ρAv ) = ∑( ρAv ) para flujo estaciona ∑m = ∑m conservac ion de la masa ent
0
sal
rio
0
ent
sal
0
m = ∫ ( ρv ) dA Flujo de masa si ent y s al no son uni dim ensionales
∑( vA )
sal
= ∑( vA ) ent
Para flujo incompres ible
Q = vA = ∑Qsal = ∑Qent Flujo volu métrico donde Q = vA Ecuacion d e continui dad
Q 1 = vdA donde vm = velocidadmedia A A∫ ρ m = 1A ∫ ρdA Si la denidad var ia con la sec ción
vm =
Ecuaciones de la Cantidad de movimiento por la Segunda Ley de Newton d ( mv ) = ∑F = d dt dt
∫ vρdv + ∫ vρ( v n ) dA r
vc
donde (vrn) vector unitario
sc
Fuerza en las direcciones (x,y,z)
Fx = − ∂∂Px d xd ydz+ ρ g x dxd yd z Fy = − ∂∂Py d xd yd +z ρ g y d xd ydz Fz = − ∂∂Pz d xd yd +z ρ g z d xd yd z F = Fxi + Fyj + Fzk
M=
dH dt
Donde (i,j,k) vectores unitarios Conservación del Momento Lineal
donde; dH = Momento cinético = r .v r = radio v = velocidadlineal
M=I
d dt
w
I = Momento nercial i w = velocidadangular
Ecuación de Bernoulli Para densidad constante
P ρ
+ 12 v 2 + g z = C
Si los puntos de entrada y salida están en la misma línea de corriente
P1 + 12 v12 ρ + ρ g z1 = P2 + 12 v22 ρ + ρ g z2 e c u a c io en Bd e r n oiu ll Ecuación de la energía en forma diferencial Para las coordenadas (x,y,z)
Qx d y d =z [ Qx + ∂∂x Qx d x] d y d z
[
]
Qy d x d =z Qy + ∂∂y Qy d yd x d z Qz d x d =y [ Qz + ∂∂z Qz d z] d x d y FLUJO EN CONDUCTOS Para flujo Laminar y Turbulento Le d Le d
= 0.0 6R e L am ina r 1 6
= 4 .4 R e
T u r b ln u to
Perdidas de carga
h f = ( Z1 − Z 2 ) + hf =
(
P1 ρg
−
donde: Le = Longitud de entrada Re = Numero de Reynolds d = Diámetro de conducto
) = ∇Z+
P2 ρg
∇P ρg
d o n d e :f =h P é r d id a cdaerga
4τ L ρ g d Proporcional al esfuerzo de cortadura en la pared del conducto
Factor de fricción hf = f
L d
f =
8τ w ρv 2
f =
64 Re
1 f
0 .5
v2 2g
donde f = factor de friccion τ w = perimetro del condu cto, valor medio
para, F lujo La min ar
(
= 2 log Re f
0 .5
) − 0.8
para, F lujo Turbu ln to
Por Diagrama de Moody
1
(
)
ε
= − 2 log 3.d7 + Re2.51 donde:ε = altura derugosidad f 0.5
f 0.5 1 = − 1.8 log 6Re.9 + 0.5 f
( ) ε
d
3.7
1.11
Por correlación de Re ynolds
Diámetro Hidráulico
Dh =
4A P
= 4 Rh donde: D h = diametroHidráulico P = perimetromojado R h = radio hidráulico
ANALISIS DIMENSIONAL Y TEORIA DE SEMEJANZA De las 4 dimensiones básica: M = masa, L = longitud, T = tiempo, θ = temperatura
Se establece un sistema MLT θ ; algunos valores en la siguiente tabla
Flujo viscoso Ecuaciones de Navier-Stokes
τ x = 2µ
∂u ∂x
;τ y = 2 µ
(
τ x y = τ y x = µ ∂∂ uy + ∂∂ yv
)
∂v ∂y
;τ z = 2 µ
∂w ∂z
τ x z = τ z x = µ ( ∂∂wx + ∂∂ uz )
(
τ y z = τ z y = µ ∂∂ vz +
∂w ∂y
)
Capa limite para flujo laminar δ x
=
d o nd e:δ = espeso redca p alimite
5 R 0.5
Cf =
0 .6 64 R e0 .5
d o nd e:C f = co eficient e de fricc ió n x = distancia en elje x
Capa limite para flujo Turbulento δ x
=
0.16 R e0.142
Cf =
0.02 7 R e0.142
Coeficiente de sustentación
CL =
L 0.5 ρ v 2 A
Cd =
D 0 .5 ρ v 2 A
