Formulario 1Mecanica de Fluidos

UNASAM FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Formulario Mecánica de Fluidos --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

UNIDAD DIDÁCTICA I:

Unidades derivadas

LOS FLUIDOS Y SUS PROPIEDADES

1.1 INTRODUCCIÓN FLUIDO: Sustancia que se deforma continuamente al ser sometido a un esfuerzo cortante no importa cuán pequeño sea este. m ) : Propiedad que se mide por su inercia o resistencia a un MASA ( m cambio de movimiento. Es también una medida de la cantidad de fluido.

(1 kg = 2.205 lbm = 0.068 slugs)

PESO (w) : Fuerza con la que el cuerpo es atraído hacia la tierra por la acción de la gravedad. (1 N = 1 kg.m.s-2 = 0.225 lbf) g = 9.81 m/s 2 = 32.2 pies/s 2 w = m g 1.2 SISTEMA DE UNIDADES Unidades Base o f undamentales y suplementarias Magnitud física Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Intensidad Luminosa Cantidad de sustancia ngulo plano ngulo sólido

Unidad base

Símbolo

metro kilogramo segundo ampere

m kg s A

kelvin candela

K cd

mol

mol

radián estereorradián

rad sr

Clasificación

Magnitud

Nombre

Símbolo

Frecuencia Fuerza Presión y tensión Trabajo, energía Potencia Carga eléctrica Potencial eléctrico Resistencia eléctrica Conductancia Capacitancia Flujo magnético Inducción magnética Inductancia Flujo luminoso Iluminación

hertz newton pascal joule watt coulomb volt ohm siemens farad weber tesla henry lumen lux

Hz N Pa J W C V Ω

S F Wb T H lm lx

Expresión en otras unidades

N.m-2 N.m J.s-1 W.A- V.A- C.VV·s Wb.m-2 Wb.A-1

Expresión en unidades SI base s-1 m.kg.s-2 m-1.kg.s-2 m2.kg.s-2 m2.kg.s-3 s.A m .kg. .kg.ss- .Am .kg. .kg.ss- .Am- .kg- .s .A m- .kg- .s .A m .kg.s- .Akg.s-2.A-1 m2.kg.s-2.A-2 cd.sr cd.m-2.sr

Múltiplos y submúltiplos decimales UNIDADES BASE O FUNDAMENTALES

UNIDADES SUPLEMENTARIAS

Factor 10 1021 1018 10 1012 109 106 10 102 101

Prefijo yott yottaa zeta exa peta peta tera giga mega kilo kilo hecto deca

Símbolo Símbolo Y Z E P T G M k h da

Factor 1010-2 10-3 10- 10-9 10-12 10-15 1010-21 10-24

Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Símbolo d c m μ

n p f a z y

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Magnitud Longitud

Equivalencias

k : Modulo volumétrico de compresibilidad compresibilidad

1 m = 3.281 pies 0.3048 m = 1 pie

LIQUIDO

Masa

1 kg = 2.205 lbm = 0.068 slugs 0.454 kg = 1 lbm = 0.031 slugs 14.606 kg = 32.2 lbm = 1 slug = 1 lbf.s 2/pie

Fuerza

1 N = 1 kg.m.s-2 = 0.225 lbf 4.45 N=4.45 kg.m.s -2 = 1 lbf =32.2 lbm.pie.s -2 = 1 slug.pie.s -2

Presión

1 lbf.pulg-2 =6895 Pa = 6895 N.m -2 = 6895 kg.m -1.s-2 1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa 1 atm=101,325 Pa=101.325 kPa=1.013 bars =10.33 m de H 2O =14.7 lbf/pulg 2 1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm 2 = 9.807 x 10 4 N/m2 = 9.807 x 104 Pa = 0.9807 bar= 0.9679 atm

Energía

1 lbf.pie = 1.356 J

Potencia

1 lbf.pie.s-1 = 1.356 W= 1.356 J.s -1

1.3 PROPIEDADES a) DENSIDAD ( ρ ρ):

Alcohol etílico Benceno Aceite industrial Agua Glicerina Mercurio

SI Sistema Ingles Sistema cgs

(kg/m )

Agua en condiciones normales (4ºC y 1 atm.) ρ = 1,000 kg/m³

b) PESO ESPECÍFICO (γ ): ):

                   ⁄

c) DENSIDAD RELATIVA (S ): ):

d) VOLUMEN ESPECÍFICO ( ): 1.4 COMPRESIBILIDAD

E : Modulo volumétrico de elasticidad

(m3/kg)

(N/m3)

(MPa) 896 1,062 1,303 2,179 4,509 24,750

         

Ley de Newton de la Viscosidad: Clasificación: Viscosidad Dinámica ( μ):

3

E

1.5 VISCOSIDAD DE LOS FLUIDOS

Sistema de unidades

  

(lbf/pulg (lbf/pulg ) 130,000 154,000 189,000 316,000 654,000 3,590,000

  

Unidades de viscosidad dinámica

⁄ ⁄ ⁄⁄      ⁄    ⁄  ⁄      

      ⁄

Viscosidad cinemática ( v ) : Equivalencia:

Sistema de unidades SI Sistema Ingles Sistema cgs

Unidades de viscosidad cinemática

⁄ ⁄     ⁄    ⁄ ⁄ ⁄   

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1.6 DIAGRAMA REOLÓGICO

1.8 CAVITACIÓN Ocurre en situaciones que implican el movimiento de líquidos, cuando se producen presiones muy bajas en algunos lugares del sistema. Bajo tales circunstancias la presión puede llegar a ser igual o menor que la presión del vapor. Cuando ocurre esto, el líquido se transforma en vapor.

1.9 TENSIÓN SUPERFICIAL La tensión superf ici al de un líquido representa el trabajo de estiramiento que se necesita para hacer que aumente el área superficial del líquido en una cantidad unitaria. Sus unidades son N.m/m2 o J/m2.

1.7 PRESIÓN DE VAPOR Los líquidos se evaporan porque las moléculas se escapan de su superficie. Cuando el espacio por encima del líquido está limitado, las moléculas de vapor ejercen una presión parcial en dicho espacio llamada presión de vapor p . v Para el agua: Temperatura

La tensión superficial es numéricamente igual a la fuerza tangencial de contracción que actuara sobre una línea hipotética de longitud unidad situada en la superficie (N /m) para mantenerla en equilibrio.

      

Tensión superficial a 1 atm y 20°C (a menos que se indique otra cosa):

p v (kPa)

-10ºC 0.260 -5ºC 0.403 0ºC 0.611 5ºC 0.872 10ºC 1.23 15ºC 1.71 20ºC 2.34 25ºC 3.17 30ºC 4.25 40ºC 7.38 50ºC 12.35 100ºC 101.3 (1 atm) 150ºC 475.8 200ºC 1554 Para el mercurio a 20ºC: 0.000176

Fl uido

Tensión superficial σ(N/m)

Agua 0°C 20ºC 100°C 300°C Glicerina Aceite SAE 30 Mercurio Alcohol etílico Sangre, 37°C Gasolina Amoniaco Solución de jabón Queroseno

0.076 0.073 0.059 0.014 0.063 0.035 0.440 0.023 0.058 0.022 0.021 0.025 0.028


Fenómenos debidos a la tensión superficial:

UNIDAD DIDÁCTICA II: FLUIDOS EN REPOSO

a). Formación del menisco: Fuerza de adherencia: fuerzas solido-liquido. Fuerza de cohesión: fuerzas liquido-liquido. Cuando θ < 90º Fza adherencia > Fza cohesión (líquido moja) Cuando θ > 90º Fza adherencia < Fza cohesión (líquido no moja)

2.1 GRADIENTE DE PRESIONES Presión



Fuerza de presión necesaria para la formación de la gota.

       

Fuerza de presión necesaria para la formación de la burbuja.

c). Elevación capilar o capilaridad:

1.10GAS PERFECTO Ley de los Gases:

p = ρRT 2

SI: Pascal (Pa) o N/m2 ; Lbf/pie2 o lbf/pulg2

⃗     ⃗ ⃗ ⃗               ⃗       ⃗   ⃗    ⃗ ⃗⃗  ⃗   ⃗       ⃗    ⃗ ⃗            

Gradiente de presiones:

b). Formación de gotas y burbujas de líquido: 

 

Entonces: ⟹

la fuerza que produce el fl ujo sobre dicho punto es:

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIDROSTÁTICA: Fuerzas másicas o de cuerpo: Fuerzas superficiales:

Ecuación General del movimiento para un fluido que actúa como un cuerpo rígido

Caso particular:

Ecuación General de la Estática de Fluidos para un campo gravitacional

2.2 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO ESTÁTICO

3

p (N/m ) = ρ (kg/m ) R (N m/kg ºK) T (ºK) p (kPa) = ρ (kg/m3 ) R (kPa m3 /kg ºK) T (ºK) R: Constante de los gases perfectos T : temperatura absoluta, ºK = ºC + 273.15

  

a). Fluido incompresible ρ= ρ0=cte, g = cte.

  

p = po + ρo g h

b). Fluido compresible Para cualquier fluido estático Expresar ρ como función de las otras variables de la ecuación.


2.3 PRESIONES ABSOLUTA Y MANOMÉTRICA

Su CP se calcula usando el área proyectada del mismo modo que en una superficie plana.

Se cumple:

Componente vertical Es igual al peso del líquido situado verticalmente por encima de la superficie curva y extendido hasta la superficie libre.

pabs = pman + patm

               ̅   ∫        ̅ ̅  ̅  ⃗ ⃗  ⃗ ⃗  ⃗ 

Su centro de presión coincide con el centro de gravedad del volumen del fluido real o imaginario, que se encuentra sobre la superficie curva. Unidades:

Fuerza Resultante:

patm = 1.033 kg/cm 2 = 101.3 kPa (a nivel del mar). 1 bar = 10 5 Pa 2

1 atm = 101,325 Pa = 101.325 kPa = 1.033 kg/cm = 10.33 m de H 2O = 14.7 lb/pulg2

2.5

E = ρg

2.4 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 1) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS

              ̅       ⁄         ⁄ ̅       ̅      ̅   ̅    ⃗ ⃗                              F R =

donde gravedad.

es el centroide del Volumen.

Caso particular: Cuerpos flotantes o sumergidos en dos líquidos.

CENTRO DE PRESIONES

2) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS Fuerza resultante:

Componentes Horizontales

: volumen del cuerpo sumergido o volumen desalojado por el cuerpo

= γ

Punto de aplicación

Presión en el centro de

Teorema de los ejes paralelos.

EMPUJE Y FLOTACIÓN DE CUERPOS SUMERGIDOS

2.6

FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO

a) FLUIDO CON ACELERACIÓN LINEAL UNIFORME o

FUERZA DE PRESI N POR UNIDAD DE VOLUMEN EN UN PUNTO

+

FUERZA VOLUMÉTRICA O DE CUERPO POR UNIDAD DE VOLUMEN EN UN PUNTO

=

MASA POR UNIDAD DE VOLUMEN

x

ACELERACI N DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO

 ⃗  ⃗   ⃗ ⃗  ⃗ ⃗  


En las tres direcciones ortogonales:

         ⃗                        ⃗                                     En x:

; En y:

; En z:

CASO PARTICULAR : es decir y ρ =γ /g con La dirección de la gravedad coincide con el eje negativo z . F lu idos en aceleraci ón :

,

y

F lu idos en r eposo :

,

y

Caída li bre de un cuerpo de fl uido :

,

y

→

p = constante

Aceleración hacia arri ba de un cuerpo de fl uido :

,

Ecuación para l as Isobaras:

y

La diferencia de presión se duplica.

Aceleración en trayectoria recta . ,

y

            

Var iaci ón de la pr esión

Ascenso vertical de la superf ici e

:

     

b) FLUIDO CON ROTACIÓN UNIFORME ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL

                                 La aceleración

.

Las ecuaciones del movimiento para fluidos en rotación se reducen a: ,

y

Di stribu ción de la presión :

Superfi cies de presión con stante (isobaras) :

Con origen la base del cilindro, para la superficie libre con r = 0 y z = 0 se obtiene C 1 = hc

Di ferenci a máxi ma en las altu ras:


3.1 SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL Sistema de control: cantidad de masa fija e identificable perfectamente determinada por una superficie cerrada (frontera). Volumen de control es una región fija en el espacio o volumen arbitrario en el espacio a través del cual se mueve un fluido. 3.2 MÉTODOS DE DESCRIPCIÓN 



Método Lagrangiano (SISTEMA). Método Euleriano (VOLUMEN).

… (3.2)

= Aceleración convectiva o de transporte.

= Aceleración local, e indica si la velocidad varia o no con el tiempo

= Operador gradiente u operador nabla

Componentes del vector de aceleraci ón en coor denadas cartesianas … (3.3a) … (3.3b) … (3.3c)

3.3 CAMPOS VECTORIALES 1) CAMPO DE VELOCIDADES

⃗ ⃗ ⃗   ⃗⃗                |⃗| ⃗      ⃗    ⃗ ⃗⃗   ⃗ ⃗ ⃗    ⃗ Vector velocidad:

;

Velocidad en fun ción del dif erencial de arco

elemento diferencial de arco.

… (3.1)

Donde

⃗ ⃗ ⃗  ⃗ ⃗          ⃗                                 ⃗ ⃗     ⃗  ⃗    ⃗   ⃗ ⃗    ⃗ ⃗    ⃗ ⃗ ⃗    ⃗                   ⃗  ⃗ ⃗⃗  

es el vector diferencial de arco:

2) CAMPO DE ACELERACIONES

Aceleración de una partícul a de fl ui do

Aceler aci ón en t é rmi nos de

Aceleración tangencial y norm al

Componente tangencial de la aceleración. Componente normal de la aceleración.

3) CAMPO ROTACIONAL Vector de vorti cidad

Vector torbelli no

… (3.4)

y

, donde


⃗   ⃗ ⃗      ⃗   ⃗    ⃗ ⃗ ⃗        ⃗      ⃗   ⃗     ⃗                                                                        Vector vor tici dad en coor denadas cartesianas

Vector vorti cidad en coordenadas cilíndr icas

3.4 CLASIFICACIÓN DEL FLUJO DE FLUIDOS Considerando la viscosidad del fluido Flujos no viscosos: Flujos viscosos: Considerando la turbulencia del flujo: Laminar Re < 2,300 Transición 2,300 ≤ Re ≤ 4,000 Turbulento Re > 4,000 Considerando la variación en la densidad del fluido Flujo incompresible Flujo compresible

Considerando variaciones en el tiempo Flujo permanente (estacionario): Flujo no permanente (no estacionario):

Considerando variaciones en el espacio Flujo uniforme:

Flujo no uniforme:

Considerando la rotación de partículas Flujo rotacional: Flujo irrotacional:

Considerando temperatura y calor Flujo isotérmico. Flujo adiabático. 3.5 ASPECTOS SOBRE LA VISUALIZACIÓN DEL FLUJO a) FUNCIÓN DE CORRIENTE

                       ⃗⃗⃗    ⃗⃗          

Para un flujo incompresible bidimensional en el plano xy, la ecuación de contin uidad

… (3.5)

se reduce a: Se define

Función corriente, como:

… (3.6)

Para una línea de corriente es constante a lo largo de ella: y .

Gasto (q) entr e líneas de corr i ente

Gasto por u ni dad de ancho

… (3.7)

Convención del l ado izquierdo

El valor de aumenta hacia la izquierda de la dirección del flujo en el plano xy.

F unci ón de corr iente en coor denadas cil índr icas

   

       

… (3.8)


b) POTENCIAL DE VELOCIDADES

b) Fl ujo unif orme inclinado



Sí es cualquier función escalar (de las coordenadas espaciales y del tiempo) teniendo primera y segunda derivadas continuas.

   ⃗         ⃗          ⃗  ⃗  ⃗                                                         … (3.9)

⟹ para flujo irrotacional:

Si

… (3.10)

, y por lo tanto a se le llama fu nción potencial de

velocidad , igual a:

… (3.11)

c) F uente o sumidero

… (3.12)

En coor denadas cil índr icas:

… (3.13)

Ecuaci ón de Lapl ace

El operador laplaciano

es un operador escalar definido como

En coordenadas cilíndricas:

F unci ón de corr iente y potenci al de velocidades

… (3.14)

3.6 FLUJOS IRROTACIONALES ELEMENTALES a) Flujo uni f orme

d) Vórti ce ir rotacional


3.7 FLUJOS SUPERPUESTOS Principio de superposición: ϕ3 = ϕ1 + ϕ 2

ψ3 = ψ1 + ψ 2

4.1 DEFINICIONES

a) El doblete: FUENTE + SUMIDERO = DOBLETE

      

PROPIEDAD EXTENSIVA ( N ): es aquella cuyo valor para un estado varía al variar la magnitud de la masa considerada. PROPIEDAD ESPECIFICA: (n= N/masa)

 

Se puede definir K

4.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS como

la intensidad del doblete. b) Fl ujo sin circul ación alrededor de un cil indr o

FLUJO UNIFORME + DOBLETE = FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO

       

a). Análisis Integral Se trata de ecuaciones que describen el comportamiento integral (global) del flujo. b). Análisis Diferencial Se formulan ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del fluido al detalle infinitesimal. 4.3 ANÁLISIS INTEGRAL Teorema del Transporte de Reynolds (RTT)

c) Superposición de un sumidero y u n vórtice

SUMIDERO + VÓRTICE

             ⃗    ⃗

Teorema de Transportes de Reynolds ( transformación de sistema a volumen de control para un volumen fijo de control), o ecuación


fundamental para un VC.

        ⃗

…(4.1)

Rapidez con que cambia el contenido de cualquier propiedad extensiva N dentro del volumen de control





Para un VC en movimiento o deformación, la velocidad absoluta del fluido del último término debe reemplazarse por la velocidad relativa, donde es la velocidad local de la SC.

    ∫  ⃗  ∑  ∑      ∫   ∫  ⃗  Aproxi mación para el f luj o neto :

m = constante ⟹

Considerar en la ecuación (4.1) N = m → n=1, además que Ecuaci ón de conservación general de la masa



Flujo incompresible ⟹

 

Gasto másico neto a través de la superficie de control

∫ ⃗ 

es la razón neta de transferencia de calor hacia el sistema (negativa, si es desde el sistema) es la entrada neta de potencia hacia el sistema en todas las formas (negativa, si es salida de potencia)

De manera más general:

Energía mecánica de un fluido fluyente:

…(4.5)

… 4. 2

Casos especial es: 

…(4.4)

Transferencia de energía por trabajo, W

1) ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA MASA

Rapidez con que cambia el contenido de masa dentro del VC

.

2) ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA



La velocidad se mide con respecto al VC.

     ∫  ⃗   ̇ ̇          ̇  ̇  ̇  ̇  ̇  ̇  ∫    ∫        ̇  ̇ ̇  ̇  ̇  ̇  ̇̇   ∫∫  ⃗⃗   ̇  ̇  ̇    ⃗  ̇  ̇          ⃗

Flujo permanente (estacionario) No necesariamente incompresible ⟹

Flujo neto o razón neta de flujo de la propiedad extensiva N que pasa a través de la superficie de control

Rapidez total con que cambia cualquier propiedad extensiva N del sistema





…(4.3)

a) Trabajo de eje, b) c) d) Otras formas de trabajo,

…(4.6)

Razón neta de transferencia de energía hacia un VC por transferencia de calor o de trabajo

Gasto neto de energía hacia fuera de la SC por flujo de masa

Razón de cambio respecto al tiempo del contenido de energía del VC


 ̇  ̇    ⃗  ̇  ̇       ⃗        ⃗   ⃗                                                    ⃗ ⃗         ∑ ∫    ∫  Entonces:

Caso particul ar: Fl ujo permanente o estacionario

Ecuación de Bernoull i:

Ecuaci ón de energía para el fl uj o estacionar io e i ncompresible

Donde:







es la carga útil entregada al fluido por la bomba. es la carga que la turbina extrae del fluido.

es la pérdida irreversible de carga entre 1 y 2

3) ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

es la cantidad de movimiento del cuerpo o momento lineal.

De manera más general:

∑⃗   ∫   ∑⃗ ∑⃗ ∑⃗ ∑⃗ ∑⃗⃗ ∑⃗⃗ ∑⃗ ∑⃗ ∑ ∑ ∑⃗ ∑⃗ ∑⃗   ∫   ∫   ⃗

o también

y

…(4.7)

Suma de todas las fuerzas Flujo neto de cantidad de externas que actúan sobre un movimiento que sale a VC Razón de cambio respecto al través de la SC tiempo de la cantidad de movimiento dentro del VC

∑ ∑ ∑   ∫   ∫   ⃗ ∑ ∑ ∑   ∫   ∫   ⃗ ∑ ∑ ∑   ∫   ∫   ⃗     ∑⃗ ∑⃗ ∑⃗   ∫   ∫   ⃗  ⃗⃗ ⃗   ⃗     ∑

…(4.8a) …(4.8b) …(4.8c)

Cantidad de movimiento con VC que se mueve con velocidad constante

Para un VC (fijo con respecto a un marco de referencia xyz ) que se mueve con velocidad constante donde es la velocidad local de la superficie de control, con respecto a un sistema de referencia (inercial) XYZ , también es inercial, puesto que no tiene aceleración relativa a este último. …(4.9)

4) ECUACIÓN DEL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO …(4.10)

: momento de torsión total sobre el sistema.


   ⃗   ̇ ̇  ∫  ⃗  ∫ ⃗  ∑ ⃗⃗ ∫  ⃗⃗⃗  ⃗  ⁄       ⃗  ⃗     ⃗ ∑ ⃗⃗ ∫⃗ ⃗⃗ ⃗   ⃗           se llama cantidad de movimiento angular del sistema.

Además:

,

(rad/s),

es la velocidad angular.

es el número de revoluciones por minuto.

De manera más general: También:

…(4.11)

En la ecuación (4.1), con

y

:

…(4.12)

…(4.13)

Suma de todos los momentos externos que actúan sobre un VC

Razón de cambio respecto al tiempo del momento angular dentro del VC

Para flu jo estacionario :

4.4 ANÁLISIS DIFERENCIAL

Flujo neto del momento angular hacia fuera de la SC por el flujo de masa

 ∫      

Rapi dez de cambio de masa dentr o del VC

 ⃗ [    ]      [    ]                    ⃗ ⃗     ⃗⃗              Ecuaci ón de contin ui dad en coordenadas cartesianas:

…(4.17)

Simplificando y empleando el operador de divergencia:

Operador de divergencia y

Casos particulares:

a) ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA MASA Con la aplicación del teorema de Transporte de Reynolds se tiene:

Rapidez con que cambia el contenido de masa dentro del volumen de control

+

Gasto másico neto a través de la superficie de control

;

En coordenadas cartesianas:



     ⃗ 

Fl ujo incompresible :

.

…(4.14)

…(4.18)

→



 ∫⃗   ⃗

…(4.16)

Gasto másico neto

  

Fl ujo permanente (estacionario)

 

                       

Flujo en donde ninguna variable del fluido varía con el tiempo , no necesariamente incompresible . En coordenadas cartesianas:

0

=

Ecuaci ón de conti nui dad en coordenadas cilíndr icas:


⃗    ⃗ ⃗⃗  ⃗    ⃗ ⃗   ⃗          ⃗                 ⃗ ⃗      ⃗                    ⃗ ⃗                                                             

b) ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ENERGÍA O DE EULER Fuerzas másicas o de cuerpo: Fuerzas superficiales:

Por equilibrio, se debe cumplir:

Simplificando: Ecuación de Euler o de conservación de la energía. …(4.19)

Si

y

entonces:

c) ECUACIÓN DIFERENCIAL MOVIMIENTO

DE

CANTIDAD

DE

…(4.20)

se llama cantidad de movimiento del cuerpo.

= Fuerzas superficiales + Fuerzas volumétricas

F uerzas extern as que actúan sobre el elemento de f lui do dif erencial , en dirección x:

Reemplazando en

Para los tres ejes coordenados:

…(4.21a) …(4.21b) …(4.21c)

                                   

Entonces: Donde

…(4.22)

es el tensor de esfuerzos:

Para fluidos en reposo

Para fluidos en movimiento

, en donde

es

llamado tensor de esfuerzo viscoso.

Para un f lui do newtoniano incompresible:

                                         (      )             En este caso se puede demostrar que de razón de deformación.

, donde

es el tensor

Ecuación de Navier-Stokes:

…(4.23)

Fuerzas de presión termodinámica local

Fuerzas volumétricas

Fuerzas debido a esfuerzos

Para un flujo sin rozamiento μ = 0

Aceleración convectiva

Aceleración local


Uti li dad de las ecuacion es dif erenciales

Quedan cuatro variables o incógnitas: - Presión - Tres componentes de velocidad Y se tienen cuatro ecuaciones diferenciales: - Continuidad. - Tres componentes de Navier-Stokes.

                                                           

UNIDAD DIDÁCTICA V: FLUJO EN TUBERÍAS

5.1 MOVIMIENTO UNIFORME EN TUBERÍAS En el flujo uniforme en tuberías

  

Ecuación de continuidad flujo incompresible:

Componente x, y y z de la Ec. de Navier-Stokes de flujo incompresible:

                                 ∑      

5.2 DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE

                  

En las paredes:

y Válida tanto para flujo laminar como para flujo turbulento.

5.3 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES – FLUJO LAMINAR Ec. distribución de velocidades para una tubería con flujo laminar.


     

5.4 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES – FLUJO TURBULENTO

⟹

          

    

Velocidad de corte

…(5.2)

Ley Universal de distribución de velocidades de Prandtl-Von Karman, flujo turbulento

                                                                     Dentro de la sub-capa laminar. ⟹ ⟹ Para h

para 0 ≤ h ≤ δ

→

…(5.3)

Para h = δ las ecuaciones (5.2) y (5.3) deben ser válidas.

Di stri buci ón de veloci dades en una tu bería hi drául icam ente li sa :

Velocidad media

5.4.2 CONDUCTOS H I DRÁULI CAM ENTE RUGOSOS

Di stri buci ón de veloci dades en una tu bería hi dr ául i camente ru gosa : …(5.4)

Velocidad media

b. Conductos hidráulicamente rugosos: c. Conductos hidráulicos de transición:

5.4.1 CONDUCTOS HI DRÁULI CAMENTE LI SOS

Si llamamos

         

Rangos conductos hidráulicamente lisos-rugosos a. Conductos hidráulicamente lisos:

Ecuación de Hagen- Poiseville

Valores típicos para k (m) Material Tubos muy lisos Fierro forjado Fierro fundido, nuevo Fierro galvanizado Cemento enlucido Asbesto cemento, nuevo Concreto liso Concreto rugoso

Rugosidad k (m) 1.5 x 10 -6 4.5 x 102.5 x 10 1.5 x 10-4 4.0 x 10 2.5 x 10 2.5 x 10-5 1.0 x 10 -2

Transformación de la ecuación de Karman-Prandtl

   

Exceso de velocidad en un punto con

respecto a l a velocidad m edia.

Se cumple para tuberías lisas, rugosas y de transición.

Ecuación de Chezy

  √       √ 

5.5 PERDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN

∑         

a) ECUACIÓN DE DARCY Considerando un cilindro:

…(5.5)

A: sección transversal P: perímetro : Corte medio sobre el contorno


Para flujo turbulento:

   √                   

Coefici ente de fr icción de Dar cy : Ecuación de Dar cy:

…(5.6)

f FLUJO LAMINAR:

…(5.7)

f FLUJO TURBULENTO 

                        para

aproximadamente

Nikuradse:

para

Nikuradse: Konakov: 

para

          para



…(5.10) …(5.11)

Sirve para

Valido para las tres zonas de flujo turbulento. Errores comparados con la ecuación (5.15) Colebrook-White: Para error ±1% Para error ±0.5%

5.6 CONCEPTO DE POTENCIA

kg m/s (Teórica);

…(5.12)

Donde:

f para tuberías hidráulicamente rugosas

Nikuradse:

…(5.14)

Transición entre contornos lisos y rugosos Combinando ambas ecuaciones:

    ⁄   

…(5.15)

Fórmula de Colebrook y Whi te (sirve para liso, rugoso, transición).

Algunas investigaciones para el cálculo de f

          ⁄    

1. Fórmula de Wood:

 

, error ±5%.

3. Fórmula de Akalank K. Jain:



…(5.8)

, error:-4% a 20%

2. Fórmula de Moody:



f para tuberías hidráulicamente lisas

Blasius:

 ⁄                  ⁄              ⁄⁄            



No sirve para tuberías hidráulicamente lisas. Para el error es del orden de -4% a 5% comparada con la ecuación (5.15).

  

γ : peso específico del fluido (kg/m 3) Q: caudal (m3/s) H : energía total con respecto al plano de referencia (m) n: eficiencia de la bomba, 50% - 85% K = 1

kg m/s K = 75 CV (caballos de vapor) K = 76 HP (Horse power) K = 102 kW

5.7 FORMULA DE HAZEN-WILLIAMS

           Con Q = (lt/s) Q = (lt/s) D = (pulgadas) D = (pulgadas) S = (m/km) L = (m) C H : Coeficiente de Hazen-Williams (depende de cada tubería)


H azen-Willi ams con u nidades SI

         Con

    

Q = (m3/s) D = (m) L = (m)

Val or es típi cos de





Material

Tuberías lisas y rectas PVC Asbesto cemento Fierro fundido Concreto Tuberías concreto liso, f°f° nuevo Madera lisa Acero remachado nuevo F°F° poco usado F°F° viejo Tuberías viejas en malas condiciones Tuberías fuertemente corroídas

140 150 140 110 100 130 120 110 100 95 60-80 40-50

5.8 DISEÑO Y ANÁLISIS DE TUBERÍAS SIMPLES

     

Caso 1: Calculo de Con Darcy:

Con H-W:

(PROBLEMA DE COMPROBACIÓN) y Akalank

      

Caso 2: Calculo del Q (PROBLEMA DE COMPROBACIÓN) Con Darcy:

           y

Akalank

        

Caso 3: Calculo de D (PROBLEMA DE DISEÑO) Con Darcy: y Akalank

 

Método 1: Suponiendo un f

 


Método 2: Suponiendo un D (Debe ser un diámetro comercial)

2) Expansión y contracción brusca de tubería

Expansión brusca

Contracción brusca

5.9 PERDIDAS DE CARGA LOCALES

                      

Formula general:

Longitud equivalente Pérdida de carga total

 [ ]    

⁄

coeficiente de contracción.

Para determinar la pérdida local se considera que V es la velocidad en la tubería de menor diámetro. 0.1 0.624

0.2 .632

0.3 .643

0.4 0.659

0.5 0.6 0.681 0.712

1) Entrada de tubería

3) Expansión y contracción gradual Gráfico de Gibson: para calcular el coeficiente

Tomado de ASHRAE Handbook of Fundamentals.

0.8 0.813

0.9 0.892

1.0 1.0

También puede calcularse el coeficiente de pérdida con la gráfica que se muestra.

Principales pérdidas de carga locales

Efecto del redondeo de una entrada de tubería sobre el coeficiente de pérdida.

0.7 0.755

    

K.


Sistemas equivalentes Un sistema hidráulico será equivalente a otro, si para una misma perdida de carga transporta el mismo caudal, o viceversa: Q ↔ H

En una contracción gradual la pérdida de carga es mínima. Se puede considerar que su valor es cero. Podría calcularse el coeficiente de pérdida de una contracción gradual (coeficiente de resistencia) con el grafico que se muestra. Se considera que V es la velocidad en la tubería de menor diámetro. 4) Válvulas Válvula De globo, totalmente abierta Check, totalmente abierta De bola, totalmente abierta Compuerta, totalmente abierta Compuerta, ¼ cerrada Compuerta, ½ cerrada Compuerta, ¾ cerrada

5.10TUBERÍAS EN SERIE

∑        ∑                                                            

Características principales: 1) 2)



10.0 2.5 0.05 0.2 0.3 2.1 17.0

5) Cambios de dirección

Se cumple: 



La ecuación de la energía: Ecuación continuidad:

Entonces de la ecuación de la energía:

Para un sistema de tuberías en serie, con la última tubería con descarga a la atmosfera con una velocidad se demuestra que:

   ∑   ∑ 

Nota: Considerar pérdidas de carga locales solamente cuando L/D ˂ 1,500.

Casos: 1. Determinación de la pérdida de carga, H . Solución es DIRECTA. 2. Determinación del caudal, Q . La solución es POR TANTEOS.


     

Solución para determinación del caudal Q, dado H :

3)

Método 1: Suponiendo valores de f Método 2: Suponiendo valores de Q

Pérdida de carga en cada tramo Se cumple: La ecuación de la energía: Ecuación de continuidad, que debe verificarse en los puntos A y B.

Considerar Akalank

       

   ∑                        ∑     ∑     ∑                            

Entonces de la ecuación de la energía en cualquier tramo:

También:

Estas ecuaciones pueden simplificarse poniendo todos los caudales en función de la pérdida de carga H . De Darcy

En el segundo método se puede graficar los resultados como ayuda para obtener el valor correcto del Q:

5.11TUBERÍAS EN PARALELO

    

Características principales: 1) 2)

Casos que se presentan: 1. Calculo del caudal en cada ramal Q i , conocida la carga o energía disponible H , las características de las tuberías y las propiedades del fluido . La solución es DIRECTA. 2. Calculo de la pérdida de carga, H y del caudal en cada ramal Q i , conocido el caudal total Q , las características de las tuberías y las propiedades del fluido . La solución es laboriosa.

Solución para determinación de la pérdida de carga H y el caudal Q i en cada ramal, dado Q : Método 1: Con ec. simultaneas tubería

Método 2: Suponiendo Qi en una


∑ ∑

Condición en el punto P: Secuencia de solución

A fin de no aumentar el número de tanteos, es conveniente auxiliarse con un gráfico:

Bombeo de un reservorio a otros dos Nota: El segundo método es mejor resolverlo suponiendo una pérdida de carga (en lugar de un caudal) y ajustar los caudales obtenidos.

5.12 CASO DE RESERVORIOS Incógnitas: 1) : caudal en cada tramo 2) : cota piezométrica del punto P.



    



La cota piezométrica en los estanques corresponde a la elevación de la superficie libre. Para el nudo P, representa la suma de la elevación topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión.



Incógnitas: 1) : caudal que circula en cada tramo o ramal 2) : cota piezométrica del punto P. Procedimiento de solución propuesto:


                                             

1. Suponer un caudal impulsado por la bomba ⟹ 2. Calcular

:

3. Determinar cota piezométrica a la entrada a la bomba: 4. Det. cota piezom. salida bomba: 5. Calcular

con

.

, perdida de carga en la tubería 2.

6. Determinar la cota piezométrica del nudo P: 7. Calcular

en los tramos 3 y 4:

8. Calcular Q3 y Q4: (Darcy)

9. Verificar continuidad en el nudo: Q2 = Q3 + Q4 caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el caudal. Para reducir el número de tanteos es recomendable auxiliarse de un gráfico.



3. Calcular Q1, Q2 y Q3 : (Darcy)

4. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo: Q1 = Q2 + Q3 caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para .

Conducto con servicio en camino Caudal de entrada: Caudal de salida: Q Caudal unitario: q (m3/s/m)

Con

Si

y

Efecto del envejecimiento de tuberías Formula de Colebrook-White: : Rugosidad despues de t años : Rugosidad inicial, al ponerse en servicio : Constante de proporcionalidad de aumento de rugosidad (mm/año) t : tiempo transcurrido en años

Tuberías con descarga independiente

Incógnitas:

                                            

Caudal que circula en cada tramo o ramal

En las descargas se tiene la energía de velocidad debida a las salidas en chorro. Procedimiento de solución propuesto: 1. Suponer una cota piezométrica del punto P: 2. Calcular la energía disponible en cada tramo:



Intensidad de aumento de rugosidad Pequeña Moderada Apreciable Severa

(mm/año)

α

0.012 0.038 0.120 0.380

Perdidas de fricción en tuberías no circulares

                         


5.13 DISEÑO DE REDES: MÉTODO DE HARDY CROSS

UNIDAD DIDÁCTICA VI: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA

6.1 ANÁLISIS DIMENSIONAL Dimensiones fundamentales

Características: 1) En cada circuito: ⟳+:

∑   

2) Los caudales que en cada circuito tengan sentido horario se considerarán positivos y producirán perdidas de carga positivas.

∑ ∑   

Unidad base

Símbolo

Longitud m (metro) L Masa kg (kilogramo) m Tiempo s (segundo) T Corriente eléctrica A (ampere) I θ Temperatura K (kelvin) Cantidad de luz cd (candela) C Cantidad de materia mol (mole) N A veces se emplea fuerza en vez de masa como dimensión fundamental.

3) En cada nudo se cumple continuidad:

a) MÉTODO DIRECTO Establecer de una manera directa las ecuaciones dimensionales.

4) Las pérdidas de carga pueden calcularse con Darcy o con HazenWilliams y tendrán la forma:

b) TEOREMA π DE BUCKINGHAM

En donde los valores de K y x dependen de la ecuación empleada.

      

                              

5) La solución se realiza por aproximaciones.

Donde es el parámetro dependiente y parámetros independientes.

Procedimiento de cálculo

Se puede expresar también como:





Con ecuación de Darcy:

        

   ∑∑          ∑∑  Con ec. de Hazen-Williams:

son n-1

El teorema de Buckingham establece que dada una relación de la forma , entre n parámetros, éstos se pueden agrupar en n-m parámetros adimensionales independientes ( π ):

Procedimiento para determinar los parámetros: 1) Listar todos los parámetros significativos inclusive la variable dependiente (sea n el número total de parámetros). 2) Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones, por ejemplo mLT.


3) Listar las dimensiones de todos los parámetros, en función de las dimensiones primarias (sea r el número de dimensiones primarias). 4) De la lista de parámetros elaborada (paso1), seleccionar aquellos que se repetirán en los parámetros adimensionales que se han de formar; dichos parámetros repetitivos deberán ser igual en número a las dimensiones primarias r . 5) Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros repetitivos con cada uno de los parámetros restantes (se obtendrán n-m ecuaciones). Resolver estas ecuaciones dimensionales para obtener n-m parámetros adimensionales. Usualmente m = r . 6) Verificar que cada parámetro obtenido resulte adimensional. Escribir la relación funcional entre los parámetros.

6.2 PARÁMETROS ADIMENSIONALES MÁS COMUNES 

                                        

Número de Reynolds



Número de Euler



Número de Froude



Número de Mach.



Donde: c: velocidad local del sonido Número de Weber.

6.3 SEMEJANZA HIDRÁULICA Semejanza Geométrica

     

Modelo

Prototipo

     

r R

h H

b Semejanza Cinemática

      

B

Semejanza Dinámica Cuando los flujos en el modelo y en el prototipo tienen distribuciones de fuerzas tales que en puntos correspondientes de ambos flujos, los tipos idénticos de fuerzas son paralelos y se relacionan en magnitud por un factor de escala constante.



Para la semejanza dinámica estricta los números de E, M, , F y W deben ser iguales en el modelo y en el prototipo. Ejemplos: (a) Pueden igualarse los parámetros del mismo modelo en medios diferentes: Igualando

                 

(b) Pueden igualarse los parámetros del modelo y del prototipo en el mismo medio o en medios diferentes. ⟹

, en el aire

Formulario 1Mecanica de Fluidos

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