1 ESTADÍSTICA TEMA 1. PROBABILIDAD. RESUMEN Y FORMULARIO
UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA
CÓDIGO:
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
H.C.:
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARÁCTER:
OBLIGATORIA
PROFESOR: JUAN DIEGO HERNÁNDEZ LALINDE
UBICACIÓN:
3.er SEMESTRE
CÁTEDRA: ESTADÍSTICA
PRELACIÓN:
MATEMÁTICA
ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
PERÍODO:
CARRERAS ASOCIADAS: DISCIPLINAS DE INGENIERÍA
SECCIÓN(ES):
261T01 4 H. T.
2014-B A
TEMA 1. PROBABILIDAD. RESUMEN Y FORMULARIO
Unidad 1.2. Leyes del álgebra de conjuntos
Ley conmutativa:
;
.
Ley asociativa:
(
)
(
)
Ley distributiva:
(
)
(
)
Ley de idempotencia:
;
; (
(
)
);
(
(
) )
.
(
)
(
).
. .
Ley identidad: Ley de complementos: Leyes de De Morgan:
. (
)
(
)
.
Unidad 1.3. Interpretaciones y definición axiomática de probabilidad 2.3.1. Interpretación clásica: Sea A un evento cualquiera y S su espacio muestral. Si A resulta de nA formas igualmente probables o verosímiles, entonces la probabilidad de A es: ( )
⁄
.
2.3.2. Interpretación frecuentista: Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones, y un evento A resulta de nA formas, entonces la probabilidad de A es la forma límite: ( )
⁄ .
2.3.3. Definición axiomática: Sea A un evento cualquiera de S. Entonces la probabilidad de A es cualquier número real que cumple los siguientes axiomas: ( )
Axioma 1: Axioma 2: Axioma 3:
( )
.
.
Sean A y B dos eventos disjuntos de S, entonces: (
)
( )
( ).
PREPARADO POR: JUAN DIEGO HERNÁNDEZ LALINDE
2 ESTADÍSTICA TEMA 1. PROBABILIDAD. RESUMEN Y FORMULARIO
Consecuencias directas:
Teorema 1:
( )
Teorema 2:
( )
. ( ). , entonces ( )
( )
Teorema 3:
Si
Teorema 4:
Sean A y B dos eventos de S, entonces: (
Teorema 5:
Sean A, B y C tres eventos de S, entonces: ( (
)
Sea
Teorema 6:
(
)
(
)
( )
( ) )
(
( )
( )
( )
(
)
)
) una sucesión finita de eventos disjuntos: (⋃
(
).
)
∑
( )
1.4. Técnicas de conteo
Regla de multiplicación: Permutación de n elementos distintos todos a la vez:
(
)(
Permutación de n elementos distintos de x en x:
⁄(
)
) ⁄
Permutación de n elementos no todos distintos:
⁄
Combinación (casos 4 y 5): i.
Propiedades de la combinación:
( )( )
(
)
( ) Coeficiente Binomial.
ii. ( )
(
iii. ( )
( )
iv. ( )
(
)
)
1.5. Probabilidad marginal, conjunta y condicional
Definición: Sean A y B dos eventos de S. Se definen las siguientes probabilidades: ( ), como probabilidad marginal de A, puesto que excluye uno o más eventos de S; (
), como una probabilidad conjunta de A y B,
puesto que incluye, simultáneamente, dos o más eventos de S, y ( | ), como la probabilidad condicional del evento A dado que sucedió el evento B. Entonces:
( | )
(
) ( )
( )
( | )
(
) ( )
( )
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3 ESTADÍSTICA TEMA 2. PROBABILIDAD. RESUMEN Y FORMULARIO
Consecuencia directa:
1.5.1. Teorema de multiplicación:
(
)
( | ) ( )
( | ) ( )
1.6. Independencia estadística Definición: Sean A y B dos eventos de S, A y B son independientes estadísticamente, si, y sólo si, ( | ) ( ).
Consecuencias directas:
i.
( | )
ii.
(
)
iii.
Sea
(
(⋂
( ) ( ) ( ) ) una sucesión finita de eventos estadísticamente independientes, entonces: )
∏
( )
1.6.1. Teorema de probabilidad total
Sea
(
) una estratificación de S, tal que ⋂
interés perteneciente a S, donde
(
⋃
( )
). Dado que ⋂
∑(
)
. Sea además un evento A de
y⋃ (
)
, entonces:
∑ ( | ) ( )
1.6.2. Teorema de Bayes
Por teorema de probabilidad total, teorema de multiplicación y probabilidad condicional aplicada a cualquiera de los -ésimos estratos de S:
( )
( | )
(
) ( )
∑ ( | ) ( )
( | ) ( ) ( )
∑
( | ) ( ) ( | ) ( )
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