FLUJOGRAMAS PARA EL CALCULO DE CONCRETO ARMADO
POR
RODOLFO OSERS Ingeniero Civil
Profesor de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela
FLUJOGRAMAS PARA
EL CALCULO DE CONCRETO ARMADO
POR
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RODOLFO OSERS
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Ingeniero Civil
Profesor de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela ·-1
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CARACAS, 1988
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Cuarta Edición Octubre 1988, Venezuela Reservado todos los derechos del autor. Impreso en REFOLIT C.A. Depósito Legal: Venezuela ISBN 980-300-87-X
-5-
INDICE Página
1.
INTRODUCCION 11
2.
NOTACION EMPLEADA Flexión y Corte
3.
Teoría clásica
13
Teoría de rotura
15
Flexocompresión (teoría de rotura)
17
Símbolos
19
FLEXION PURA (Teoría Clásica) SECCIONES RECTANGULARES Deducción de fórmulas para secciones rectangulares simplemente armadas. Empleo del método de la pareja resistente. 23 Deducción de fórmulas para secciones doblemente armadas 26 Coeficientes adimensionales de una sección rectangular 29 simplemente armada
SECCIONES "Te" Deducción de fórmulas para secciones Te simplemente armadas 35
-I
Abacos para los coeficientes adimensionales de las secciones Te simplemente armadas 37 Diagramas de flujo para el cálculo ~ Revisión de secciones rectangulares y Te simplemente armadas 45 Diseño de secciones rectangulares o Te
46
-6-
Dimensionado con cuantía de acero en compresIón (p? prefijada (%) 53 Dimensionado con relacIón entre el acero en compresión y a tracción conocida 56 Dimensionado con momento absorbido por la pareja de aceros adicionales 46
4.
MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS EN SECCIONES AGRIETADAS Determinación de los coeficientes adimensionales
61
Diagrama de flujo para el cálculo del momento de Inercia 63
5.
FLEXION PURA (Teoría de Rotura) SECCIONES RECTANGULARES Deducción de fórmulas simplemente armadas
para secciones rectangulares
Deducción de fórmulas doblemente armadas
para secciones rectangulares
65
Coeficientes adimensionales (Tablas)
70 75
SECCIONES "Te" Fórmulas empleadas en el estudio de las secciones Te
79
Diagramas de flujo para el cálculo Revisión de secciones rectangulares y Te simplemente 81 armadas Diseño de secciones rectangulares y Te simplemente 84 armadas Revisión de secciones rectangulares doblemente armadas 87 Diseño de secciones rectangulares doblemente armadas ,
90
Casos particulares para el diseño óptimo
93
~
'"\
-7-
SECCIONES DE GEOMETRIA GENERAL Deducción de las fórmulas y uso del bloque rectangular de esfuerzos para secciones de forma general
97
Revisión de Secciones de Forma General.
6.
SECCIONES SOMETIDAS A ESFUERZO CORTANTE Disposiciones para esfuerzo cortante
105
Normas para la separación de estribos
110
Diagramas de flujo para el cálculo Diseño de estribos y separaciones
7.
Teoría Clásica
111
Teoría de Rotura
112
Ejemplo
113
DISEÑO DE LOSAS Tipos usuales de losas
115
LOSAS MACIZAS Descripción de las losas macizas
117
Cálculo de la altura de las losas con la cuantfa de acero conocida (T eorra de rotura)
118
Diseño del área de acero requerido en losas de altura dada
120
LOSAS NERVADAS Descripción de las losas nervadas
121
Diseño del área de acero requerido en losas nervadas de altura dada
124
-8-
parativo para el uso de losas nervadas o Cálculo
125 127
NES
8.
129 Normas pa a alturas mínimas de losas o Vigas y deflexiones . éxlmas 130
9.
SECCIO ES SOMETIDAS A FLEXOC MPRESION. Principios y suposiciones para miembros sometidos a 135 flexocompre ión. Normas para columnas columnas rectangulares
137
Diseño de las armaduras para una columna de dimensione dadas 138 Diseño de olumnas esbeltas por el método A.c.!. 1977
139
~étodo. pa a la determinación de los diagramas de mteraCClOn 143 Abacos con los diagramas de interacción de columnas rectangulare con acero simétrico 145 Abacos ca circulares
10.
los diagramas de interacción de columnas 148
DISPOSICIONES ESPECIALES CAPITULO 18 NORMAS COVENIN 1756 NIVELES DE DISEÑO
153
CRITERIO DE DISEÑO PARA VIGAS
154
Cuantías máximas y mínimas Momentos últimos de diseño
155
-9-
11.
Fuerza cortante de diseño
156
CRITERIO DE DISEÑO PARA COLUMNAS
159
Cuantfas máximas y mínimas
159
Momentos últimos de diseño
160
Fuerza cortante de diseño
161
Zona de confinamiento
163
COMBINACIONES DE CABILLAS COLOCACION DE ACEROS Propiedades de cabillas y sus combinaciones
167
Cabillas uniformemente espaciadas
170
Normas y detalles acerca de la longitud de desarrollo y anclaje
12.
Longitudes de desarrollo según las normas A.C.I Anclaje y prolongaciones de cabillas
172
Disposiciones para el diseño sísmico
176
Ejemplo para la distribución de cabillas en una viga
177
CARCAS Y SOBRECARGAS EFECTOS SISMICOS Cargas Permanentes
185
Sobrecargas
187
Sobre cargas para puentes Normas A.A.S.H.T.O
188
Sobrecargas en Aceras
189
-10-
Sobrecargas debidas a Vehfculos
191
Fuerzas de Frenado
192
Coeficientes de Impacto
193
Pesos de los materiales de construcción
195
Peso de materiales almacenados
196
Fuerzas debidas a la acción de movimientos sísmicos 197 ,
13.
ELABORACION DE UN PROYECTO PASOS A SEGUIR Descripción
203
Ejemplo de un proyecto
205
14.
REFERENCIAS
223
15.
OBRAS DE LA MISMA CASA
225
16.
PROGRAMAS DEL AREA
227
-11-
INTRODUCCION
La notación uti lizada en este libro es la adoptada por el A.C.1.
En cuanto a las teorías empleadas, se analizaron la flexión y corte por la teoría clásica y la de rotura, mientras que la flexo-compresión se estudió únicamente por rotura.
Se prepararon flujogramas para el DISEÑO de los elementos de concreto armado los cuales contemplan la determinación de las alturas útiles de las secciones, la cantidad de acero de acuerdo a los requerimientos correspondientes. Igualmente se prepararon los flujogramas para la REVIS ION de aquellos elementos cuya geometría se conoce y se desea saber si soporta satisfactoriamente las solicitaciones previstas.
El procedimiento seguido en la ordenación de cada capítulo consiste en una breve descripción del capítulo, del método utilizado y de las normas correspondientes. Se sigue con la explicación del uso del flujograma y el flujograma propiamente dicho. Donde se consideró necesario se anexaron ejemplos con páginas de cálculo.
Además de los flujogramas se incluyeron varias tablas y ábacos útiles para el cálculo, en especial los referentes a flexión en teoría clásica, flexo-compresión en teoría de rotura (Diagramas de Interacción) y distribución de cabillas.
Para la mejor y más rápida utilización de este libro en la esquina superior exterior de cada página se colocó un símbolo que representa escuetamente el contenido de dichas páginas. Estos símbolos están resumidos en la leyenda al comienzo del libro.
-12-
-13-
•
1 NOTACION EMPLEADA Teoría Clásica Flexión y Corte A'. As Ami" Av b b' d
d' Es fy f sp fs
f's f'< fe h j K K<
Ks M
Mo M. M< n R
Ro R< r S t
V P P'
Area de acero a compresión Area de acero a tracción Area de acero mínimo Area del acero para absorber corte Ancho de la cara en compresión Ancho de la cara en tracción Altura útil de la sección Recubrimiento del acero en compresión Módulo de elasticidad del acero Esfuerzo cedente en el acero Esfuerzo permisible del acero Esfuerzo en el acero a tracción
Esfuerzo en ei acero a compresión Resistencia máxima del concreto Esfuerzo en el concreto Altura de la sección Brazo mecánico específico Profundidad específica del eje neutro Coeficiente de resistencia del concreto Coeficiente de resistencia del acero Momento actuante en la 'sección Momento óptimo de la sección Momento resistente por el acero Momento resistente por el concreto Coeficiente de equivalencia Módulo de resistencia Módulo de resistencia óptimo Módulo de resistencia del concreto Recubrimiento Separación entre estribos Espesor del ala de la Te Fuerza cortante actuante en la sección Porcentaje de acero a tracción Porcentaje de acero a compresión
• 1
-14-
Esfuerzo cortante nominal Esfuerzo cortante nominal permisible Esfuerzo cortante nominal absorbido por el acero
-15-
• I
NOTACION EMPLEADA Teoría de Rotura Flexión y Corte a A'. A.
A.I A min
Av Ag b b' d d' E.
fy f. f. f.u f'. f. 9 h
Ku K¡ K2
K3 l lmc lm",
Mu
Ancho de la columna en la dirección del claro Area de acero a compresión Area de acero a tracción Area de acero ficticio Area de acero mínimo Area de acero para absorber corte Area gruesa de la sección Ancho de la cara en compresión Ancho de la cara en tracción Altura útil de la sección Recubrimiento del acero en compresión Módulo de elasticidad del acero Esfuerzo cedente en el acero Esfuerzo en el acero a tracción Esfuerzo en el acero a compresión Esfuerzo en el acero a tracción en el agotamiento Resistencia máxima del concreto Esfuerzo en el concreto Carga distribuida a lo largo del tramo Altura de la sección Brazo mecánico específico Profundidad específica del eje neutro en el agotamiento Coeficiente de equivalencia (ver norma 10.2.7. del A.CJ.) Profundidad específica del centro de compresión Coeficiente de relación de resistencia del concreto Longitud entre apoyos Longitud de macizado por corte Longityd de macizado por momento Momento actuante último
Mo
Momento resistente óptimo de la sección
M cv
Momento por carga viva Momento por carga muerta Momento por sismo
Mc", Mc.
• 1 Mcw M. Mc.
N
u
PP q qb
qo r S t
Vu Vc
Va ~ Eu E
su
,
Es
Vu
Ve
V,
o
-16-
Momento por viento Momento actuante en el apoyo Momento actuante en la cara de la columna Fuerza axial actuante en el agotamiento Peso propio Cuantía mecánica Cuantía mecánica que produce la falla balanceada Cuantía mecánica reducida Recubrimiento Separación entre estribos Espesor del ala de las Te Fuerza cortante actuante Fuerza cortante resistente por el concreto Fuerza cortante actuante en el apoyo Diámetro de las cabillas Máxima deformación unitaria del concreto Deformación unitaria del acero a tracción en el agotamiento. Deformación unitaria del acero a compresión Momento específico Peso específico del concreto Esfuerzo cortante nominal en el agotamiento Esfuerzo cortante nominal resistido por el concreto Esfuerzo cortante nominal que absorben los estribos Factor de seguridad
-
,
-17-
• I
NOTACION EMPLEADA Teoría de Rotura Flexo-Compresión As
v
Area de Acero Ancho de la columna Compresión Excentricidad Módulo de elasticidad del acero Resistencia máxima del concreto Esfuerzo cedente del acero Esfuerzo actuante en el acero Factor de seguridad Profundidad específica del eje neutro en el agotamiento Momento Momento actuante último Fuerza axial Carga concentrada última sobre la columna Recubrimiento Dimensión más grande de la columna Tracción Centro de gravedad geométrico de la columna Menor distancia de la capa de acero a la fibra más comprimida (*) Porcentaje de aci·o .)l!U{) Cuantía de acero Momento específico Carga axial específica
o
Factor de seguridad
b
e e Es fe fy f. FS
K M
Mu N Pu r t
T
Ve Y(¡) P w f.1
*
Fibra más comprimida, fibra paralela al eje neutro que está sometida a mayor compresión.
•
1
-18-
• 1
-19-
SIMBOLOS
SIMBOLOS
••••
••••
D
DEseRIPelON
SIMBOLOS
DEseRIPelON
FLEXION PURA "Te" SECCION SIMPLEMENTE ARMADA Teoría '~sica
FLEXION PURA Te Seccion SIMPLEMENTE ARMADA Teoría de rotura
FLEXION PURA Sección rectangular SIMPLEMENTE ARMADA Teoría clásica
FLEXION PURA Sección rectangular SIMPLEMENTE ARMADA Teoría de rotura
FLEXION PURA Sección rectangular DOBLEMENTE ARMADA Teoría clásica
FLEXION PURA Sección rectangular DOBLEMENTE ARMADA Teoría de rotura
Esfuerzo cortante Diseño de estribos
•
1
Información en general
Normas y cálculo de deflexiones
• 1
-20-
SIMBOLOS
DEseRIPelON
Losas macizas
Tablas y normas para cabillas de acero
SIMBOLOS
~
[J R '-
""-
~
-~
DEseRIPelO
Losas nervadas
Bibliografía
-
"-
-tAl
Sobrecargas por carga viva
Ejemplo de un proyecto
FLEXO-COMPRES ION
Sobrecargas vivás debida a vehículos
'. . . '. ¡...:.(¡-(IIl '/1
·li'.
Cargas permanentes Pesos específicos
Sección rectangular ACERO SIMETRICO
~'tJ.>
ry
FLEXION PURA
Sección de geometría particular USO DEL BLOOUE RECTANGULAR
----?--
~.
"
Cargas por sismo
18
Disposiciones especiales CAPITULO 18
• 1
-27-
SIMBOLOS
(
DESCRIPCI
I
Datos
Valores con los cuales se entra en una tabla o ábaco.
)
(
CJ
I
Decisión
SIMBOLOS
D D 1
Ejecución de operaciones
NORMAS
Dirección del flujo
•
-22-
1 fA (J.. fZ.¡:" 3>E:
• -6.c. ••• .. 't,u., "'~ ti') ~
A. b::::.
~c(.i"o
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oLJ, Oo.-~
Co.e--~·CA.·~ d.víLri1A~
.,~:::. ~s-1S·tLvC..J j..A~~ otd
Coy,.
~
1-
-23-
FLEXION PURA Teoría ~ ElA.sti~ Secciones Rectangulares
, lo
b
~
1
fe
Kd Eje h
d
Neutro
jd
I
/ /
t
As
/
••••• ~
'1
b
/
T
fsp/n
+
SUPOSICIONES Y CONSIDERACIONES: a)
Conservación de las caras planas
Navier)
distribución de las defor-
maciones es lineal b)
El concreto no resiste esfuerzos de tracción .;
c)
No existe deslizamiento entre el concreto y el acero./
d)
Se aplica la Ley de Hooke Las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos
v
-24-
••••
Kd~~. /
/
f
e
e
T
Af
Kd b
Porcentaje de acero
2
J-d
T
fs/n
Por condiciones de equilibrio:
Por compatibilidad de deformaciones:
e
T
=
P
s s
f
f
e
(f
s s
e
Kd b)
f
e
Profundidad específica del eje neutro
K
K
= - np
=
2'(1-K)
2
(np) -,r2 np
Cuantía mecánica elástica
np
In
/2 K
K
s
d - Kd
Kd
Af
A s bd
=
f
=
s
In
1 - K
-25-
Conociendo la profundidad del eje neutro el brazo mecánico jd es:
=
j d
- K
j
=>
d - Kd 3
3
El momento resistente se puede obtener de dos formas:
f
Por el concreto
M
e
Por el acero
M
T jd = f
e
j d =
Kd b jd
e
Kj f
2
2
f
s
P bd jd
s
=
npj
bd 2
e
s
n
bd 2
Cuando Me es mayor que M. se dice que la sección es subreforzada, cuando esto es al revés, que M. es mayor que Me se dice que la sección está sobrereforzada. v
Cuando Me = M. = Mo se dice que tenemos un diseño óptimo y a dicho momento se le llama momento óptimo de la sección.
Coeficientes utilizados:
Coeficiente de resistencia del concreto
K
Coeficiente de resistencia del acero
K
e
s
=
Kj /2
npj
Como resumen, el momento óptimo resistente de una sección será:
M
s
= Ks f s
n
bd 2
-26-
SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS: Teoría Clásica: Las secciones rectangulares resultan doblemente armadas cuando el momento actuante es mayor que el óptimo. Para absorber este exceso_ del momento respecto al óptimo se colocará una pareja de aceros adicionales. Comentario acerca de los aceros sometidos a compresión: Se ha comprobado experimentalmente que el concreto en cilindros de concreto armado sometidos a compresión sufren una marcada reduc-ción de su módulo de elasticidad Ec instantáneo, bajo la influencia del tiempo. A consecuencia de éstó, el A.C.1. en el capítulo 8.5.5. dice: "En vigas y losas doblemente reforzadas, debe utilizarse una relación efectiva de múdulos de n = 2Es/Ec para transformar el refuerzo de compresión en el cálculo del esfuerzo. El esfuerzo permisible de compre-_ sión en tal refuerzo no debe ser mayor que el permisible para tracción.
El análisis se hará dividiendo la secclOn en dos etapas: una que absorbe el momento óptimo y otra que absorbe el exceso, formada por la pareja de aceros adicionales.
"O
~f
fe
d'~
_.
Cs ~I'" Ce f~i2-n--
.
-
Ce
'"
.......
"O
"O ~
-g-
CS
d':t
+_.
~
T As
I
~M
"O
I "O
fs In
-
"O
I
T2
T, As,
AS2
-
-27-
•••• La resultante de compresión:
f
ee
=
es
=
La resultante de tracción es:
Kd b
e
T
2
= A51 f s
f'A· s s El exceso del momento es:
El momento óptimo es:
A
51
51
f
s
(d - Kd/3)
El valor del f. lo obtenemos por triángulos semejantes:
,
f s=2 f s
pero menor que f.
K - d'/d _ K
-28-
••••
NOTAS
-
>
-29-
••••
FLEXION PURA Coeficientes Adimensionales Secciones Rectangulares En las siguientes páginas se elaboraron las tablas y ábacos con los coeficientes adimensionales que se presentan en las secciones rectangulares Estos son: K
Profundidad específica del eje neutro. Brazo mecánico espedfico.
Kc Coeficiente de Resistencia del concreto. Ks Coeficiente de Resistencia del acero. K¡ Momento de inercia específico. np Cuantla mecánica elástica.
-30-
•••• COEFICIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION RECTANGULAR SIMPLEMENTE ARMADA
fsp/nfc
K
0.50
0.667
0.51 0.52 0.53
~ 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
---
j
K;
np
0.519
0.1728
0.667
0.258
0.506
0.1709
0.157
0.494
0.1690
0.156
0.481
0.1671
Kc
0.778
0.259
0.662
0.779
0.658 0.654
0.781 0.781
~ 0.784 0.645 0.785 0.641 0.786 0.788 0.637 0.633 0.789 0.619 0.790 --- --0.625 0.791
Ks
0.154
0.471
0.153
0.460
0.152
0.450
f sp/nf e
1(
Kc
0.208
0.205
0.1032
0.246
0.107
0.103
0.1013
0.143
0.106
0.100
0.1014
0.239
---
0.1005
--
0.0996
0.131
0.649
1.01
0.498
0.834
0.633
1.01
0.495
0.835
0.617
1.03
0.493
0.836
1.04
0.837 0.490 - 0.837 0.488
0.601
1.05
0.1616
0.572
1. 06
0.485
---
0.838
0.105
-0.104
0.197
-0.195 0.191
0.0988
0.219 0.116
0.251
0.440
0.1598
0.559
1.07
0.483
0.839
0.103
0.189
0.0979
0.431
0.1580
0.546
1.08
0.481
0.840
0.101
0.187
0.0970
0.149
0.411
0.1563
0.533
1. 09
0.478
0.841
0.201
0.184
-- -0.413 0.148
---
0.136
0.103
0.150
--- ---
np
0.250
0.208
0.586
K;
0.1042
0.833
0.1634
Ks
0.208
0.500
0.1652
---
j
1.00
- - -- 0.476 0.841 0.100 0.181
0.0961
--0.0954
0.113 0.119
--
0.1546
0.511
0.61
0.611
0.793
0.146
0.404
0.1530
0.509
1.11
0.474
0.841
0.100
0.180
0.0946
0.62
0.617
0.794
0.245
0.195
0.1513
0.498
1.11
0.472
0.843
0.199
0.177
0.0938
0.111
0.63
0.613
0.796
0.244
0.387
0.1497
0.487
1.13
0.469
0.844
0.198
0.175
0.0930
0.108
---
0.60
0.64
0.610
0.797
0.243
0.65
0.606
0.798
0.242
--- --- ---
0.380
0.1481
0.476
0.372
0.1466
0.466
--- --- ---
0.66
0.602
0.799
0.241
0.365
0.1450
0.456
0.67 0.68
0.599 0.595
0.800 0.802
0.140 0.239
0.358 0.351
0.1435 0.1420
0.447 0.438
0.803
0.238 0.236
0.344
0.1405
0.429
0.804
0.338
0.420
0.805
0.135
0.1391 0.1377
0.592 -0.69 - - -0.588 -0.70
---
--- --- --0.332
0.412
1.10
~ 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 --1.20 1.21
0.216 0.213
0.467 -
0.844
0.197
0.173
0.0922
0.205
0.465
0.845
0.197
0.171
0.0914
0.202
0.463
0.846
0.196
0.169
0.0906
0.461 0.459
0.846 0.047
0.195 0.194
0.167 0.165
0.0899 0.0891
0.200 0.197 0.194
--
0.163
---
0.161
0.0877
--
0.159
0.0869
0.187 0.185
0.457
0.848
--
--
0.455
0.848
0.452
0.849
0.194
-0.193
0.0884
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---
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--
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~
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--
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--
0.854
--
0.435
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--- --- ---
0.79
-o.so
D.556 o:BiS
- - --- --- ---
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--
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--0.1257
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-0.347 --
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--1.25
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--1.30
--
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--
---
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ü.9O
---
--
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---
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--
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--0.176
0.0725
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--0.141
-31-
•••• COEfiCIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION RECTANGULAR SIMPLEMENTE ARMADA
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K
j
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Kc
Ks
np
Ki
f sp/nfe
K
j
Kc
Ks
Ki
np
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--
---
--- --- ---
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-2.15
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--
--
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--
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- -
--
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---
--
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---
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---
--
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--
--
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---
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---
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--
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---
---
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--
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--
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--
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--
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--
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--
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---
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--
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--
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--
---
---
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---
--
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--
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--
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---
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---
--
---
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---
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----
--
--
--
---
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---
--
---
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--
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--
--
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0.0613
0.0900
2.41
0.293
0.902
0.132
0.0549
0.0388
0.0608
2.40
0.294
- -
1.92
0.342
0.886
0.152
0.0790
0.0519
0.0892
2.42
0.292
0.903
0.132
0.0545
0.0386
0.0604
1. 93
0.341
0.886
0.151
0.0784
0.0516
0.0884
2.43
0.292
0.903
0.132
0.0542
0.0384
0.0600
1.94
---
0.151
--
---
0.0777
0.0513
0.0877
0.131
0.150
0.0771
0.0510
0.0869
0.0538 0.0596 --- --- ---
1. 95
0.339
--
1.96
0.338
0.887
0.150
0.0765
0.0506
1. 97
0.337
0.888
0.149
0.0759
1.98
0.336
0.888
0.149
1.99
0.334
0.889
0.149
0.340
0.887
0.887
-- ---
2.44
0.291
0.903
0.0382
--
--
--
0.0534
0.0379
0.0862
2.46
0.289
0.904
0.131
0.0531
0.0377
0.0587
0.0503
0.0855
2.47
0.288
0.904
0.130
0.0527
0.0375
0.0583
0.0753
0.0500
0.0847
2.48
0.287
0.904
0.130
0.0524
0.0373
0.0579
0.0747
0.0497
0.0840
2.49
0.287
0.904
0.130
0.0520
0.0371
0.0575
2.45
0.290
0.903
-0.131
0.0592
-32-
•••• COEFICIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION RECTANGULAR SIMPLEMENTE ARMADA
f sp/nf e
K
j
2.50
0.286
0.905
0.129
0.0517
2.51
0.285
0.905
0.129
2.52
0.284
0.905
2.53
0.283
2.54
0.282
Kc
np
f sp/nf e
0.0571
0.0514
0.0367
0.0568
0.129
0.0510
0.0365
0.0564
0.906
0.128
0.0363
0.0560
3.15
0.906
0.0507 0.0504
0.0362
---
0.282
0.906
2.56
0.281
0.906
0.127
2.57
0.280
0.907
0.127
2.58 2.59
0.279 0.279
0.907
0.127 0.126
2.60
0.278
2.55
Ki
0.0369
0.128 0.128
--
Ks
0.907
- 0.907 0.126
--0.0500
---
0.0556
j
Ks
Kc
0.250
0.917
3.05
0.247
0.918
0.113
0.0371
3.10
0.244
0.919
0.112
0.241
0.920
0.111
0.0361 0.0352
0.921 0.922
--
3.20
0.238
--
--
--
0.115
0.110
0.0382
0.0342
--
Ki
np
0.0286 0.0280
0.0405
0.0273
0.0393
0.0267 0.0261
0.0382 0.0372
---
---
0.0552
0.0358
0.0549 0.0545
3.30
0.233
0.922
0.107
0.0325
0.0249
0.0352
3.35
0.230
0.923
0.106
0.0317
0.0244
0.0343
3.40
0.227
0.924 0.925
0.105
0.0309
0.0334
0.0301
0.0239 0.0234
0.0356
0.0491
0.0354
0.0541
0.0352
0.0538
--- --0.0485
0.0350
--0.0534
3.25
3.45
0.235
0.225
--
--
3.50
0.222
--0.926
0.108
0.104
0.0334
0.0255
0.0326
--0.0294
0.0229
0.0317 0.0310
2.61
0.277
0.908
0.126
0.0482
0.0348
0.0531
3.55
0.220
0.927
0.102
0.0287
0.0224
2.62
0.276
0.908
0.125
0.0479
0.0346
0.0527
3.60
0.217
0.928
0.101
0.0280
0.0219
0.0302
2.63 2.64
0.275 0.275
0.908 0.908
0.125 0.125
0.0476
0.0345
0.0524
3.65
0.215
0.928
0.100
0.0273
0.0215
0.0295
0.0473
0.0343
0.0520
3.70
2.65
0.274
0.909
0.0470
0.0341
0.0517
3.75
-0.124
---
---
0.213
0.929
--
--
0.210
0.930
0.099
-0.098
0.0267 --
0.0261
0.0210
--0.0206
2.66
0.273
0.909
0.124
0.0467
0.0339
0.0514
3.80
0.208
0.931
0.097
0.0255
0.0202
2.67 2.68
0.272 0.272
0.909 0.909
0.124 0.124
0.0464 0.0461
0.0338 0.0336
0.0510 0.0507
3.85 3.90
0.206 0.204
0.931 0.932
0.096 0.095
0.0249 0.0244
0.0198 0.0194
0.0458
0.0334
0.0504
0.0455
0.0501
--
3.95 4.00
--
0.202 0.200
0.933 0.933
0.094 0.093
0.0239 --
---
0.0332
0.0233
0.0187
2.69
-2.70
0.271
-0.270
0.910
-0.910
0.123
-0.123
--- --- ---
0.0190
0.0288
0.0274 0.0268 0.0262 I 0.0256 --0.0250
0.910
0.123
0.0453
0.0331
0.0497
4.05
0.198
0.934
0.092
0.0228
0.0183
0.0244
2.72
0.269
0.910
0.122
0.0450
0.0329
0.0494
4.10
0.196
0.935
0.092
0.0223
0.0180
0.0239
2.73
0.268
0.911
0.122
0.0447
0.0327
0.0491
4.15
0.194
0.935
0.091
0.0219
0.0176
0.936 0.937
2.75 2.76
0.267
0.911
0.267
0.911
0.266
--
0.122
0.0444
0.0326
0.0488
--
---
---
0.0442
0.0324
0.911
0.121
0.0439
0.0322
0.0482
0.121
--0.0485
4.20
0.192
0.090
--
--
---
4.30
0.189
0.937
0.0206 0.0201
0.0164
0.0197
0.0161
0.190
0.089
2.77
0.265
0.912
0.121
0.0436
0.0321
0.0479
4.35
0.187
0.938
2.78
0.265
0.912
0.121
0.0434
0.0319
0.0476
4.40
0.185
0.938
0.087
0.912
0.120
0.0431
0.0317
0.0473
--
--
0.183
0.939
--
--
0.264
0.0173
--
4.25
0.088 0.088
2.79
0.0214
--
O"T
0.0228
0.0170
0.0224
0.0167
0.0219 0.0215 0.0210 0.0206
r r r r r
--
-0.912
0.120
0.0429
0.0316
0.0470
4.50
0.182
0.939
0.086 0.085
2.81
0.262
0.913
0.120
0.0426
0.0314
0.0467
4.55
0.180
0.940
0.085
0.0186
0.0153
0.0202 I 0.0198
2.82
0.262
0.913
0.119
0.0424
0.0313
0.0464
4.60
0.179
0.940
0.084
0.0183
0.0150
0.0194
2.83
0.261
0.913
0.119
0.0421
0.0311
0.0461
4.65
0.177
0.941
0.083
0.0179
0.0147
0.0190
--
2.84
--
--
0.942
2.85
0.260
0.0308
--
---
0.0145 0.0142
0.0187 --
2.86
0.259
0.914
0.118
0.0414
0.0307
0.0140
0.0180 0.0176
2.80
0.263
0.260
0.913
0.913
0.119 0.119
0.0419
--
0.0416
0.0310
0.0458 --- --
4.70
0.175
0.083
0.0194
---
!
--
---
4.45
0.0210
-
0.0281
0.270
2.74
¡-
---
2.71
--
-
0.0362
-0.103
-
0.0417
0.0359
0.0497 0.0494 0.0488
3.00
K
--
0.0190
0.0176
--
--
--
0.0456
4.75
0.174
0.942
0.082
0.0172
0.0453
4.80
0.172
0.943
0.081
0.0169
--
0.0158 0.0155
---
0.0183
2.87
0.258
0.914
0.118
0.0411
0.0305
0.0450
4.85
0.171
0.943
0.081
0.0166
0.0138
2.88
0.258
0.914
O.l1S
0.0409
0.0304
0.0447
4.90
0.169
0.944
0.080
0.0163
0.0136
0.0173
--
2.89 2.90
0.257 0.256
--
0.914 0.915
--
0.118 0.117
--
0.0302
--
--
0.944
--
0.0160
0.0133
0.0170
0.0301
0.0445 0.0442
0.944
0.079
0.0157
2.91
0.256
0.915
0.117
0.0402
0.0299
0.0439
5.50
0.154
0.949
0.073
0.0133
0.0112
0.0140
2.92
0.255
0.915
0.117
0.0400
0.0298
0.0437
6.00
0.143
0.952
0.068
0.0113
0.0097
0.0119
0.254
0.915
0.116
0.0397
0.0296
0.0434
0.0098
0.0085
0.0295
0.0432
2.93 2.94
-2.95
0.0407 0.0404
0.254
0.116 0.915 0.0395 - - -- 0.253 0.916 0.116 0.0393
2.96
0.253
2.97 2.98 2.99
--- ---
--- ---
4.95
5.00
0.168 0.167
6.50
0.133
7.00
--
--
0.125
--
0.079
0.956
0.064
0.958
--
--
0.060
-
---
0.0131
0.0086 - -0.0075 --
--0.0167
0.0103 0.0089 --
0.0293
0.D429
7.50
0.118
0.961
0.057
0.0075
0.0066
0.0078
0.0391
0.0292
0.0427
8.00
0.111
0.963
0.053
0.0067
0.0059
0.0069
0.115
0.0388
0.0291
0.0424
8.50
0.105
0.965
0.051
0.0060
0.0053
0.0062
0.115
0.0386
0.0289
0.0422
9.00
0.100
0.967
0.048
0.0054
0.0048
0.0056
0.115
0.0384
0.0288
0.0419
10.00
0.091
0.970
0.044
0.0044
0.0040
0.0045
0.916
0.116
0.252
0.916
0.251
0.916
0.251
0.916
-33-
•••• NOTAS
-34-
•••• NOTAS
-35-
FLEXION PURA
Teoría Clasica Secciones Te 11
11
b
1.
~
fe
Kdr
Neutro
h
. / fee
-t
I
/
d
( I
jd
I
As
•••
I
/
/ T
I
fsp In
~--~
Tomando en cuenta las mismas consideraciones como en las secciones rectangulares obtendremos de la compatibilidad de deformaciones la posición del eje neutro, la cual no depende de la forma de la sección.
-36-
Haciendo el análisis correspondiente obtenemos por simple trigonometría que
fe Kd
fee
=
f
=>
Kd - t
ee
=
fe
Kd - t Kd
(2Kd
- t)
La resultante de tracción es:
T
= As f s
La resultante de compresión:
f
e
=
e
+ f
ee
2
f =
bt
Por compatibilidad de deformaciones
f
e
K
bt
2Kd
Por condición de equilibrio
T
f In =
e
s
=
T=l<
e f
As f s
pbd f
s
=
e
bt
2Kd
t 2d
(K - - )
(2Kd-t)
-37-
FLEXION PURA Coeficientes Adimensionales Secciones liTe 11
Profundidad específica del eje neutro
K = ---(1 + fsp/nfc)
-
2
K = _2--,np_+_{t/_d_)_ _ 2 (t/d)
Profundidad del centro de compresión
c
+ 2np
2-t/d =[ 3 3-K(2·K - t/d)
j
-t
= , _ e
Brazo mecánico específico
d
Cuantía mecánica -elástica
K - -tt/d
K
Coeficiente de resistencia del concreto
Coeficiente de resistencia del acero
K.
=
np· j
.j. t/d
-38-
t/d=
fsp
-nfc
K
,30 .769 .40 .714 .5(1 .667 .60 .625 ~70
.588
. ::: 0 ,'30 1..(10 1. 1 (1 1. 213 1.3(1 1. 4(1 1. 50 1 . 6(1 1. 7(1 1 . :3¡~1 1. 90 2.\:10 2.10
.556 .. 526 .5(1(1 .476 .455 .435 .417 .4130 .385 .370 .357 · :345 .. .;.,.;...... .;,
2 ..
.313 .3133 .294 .286 .278 .270 .263 .256 .250 .244
2~3
2.313 2.40 2.50 2.60 2.7121 2.813 2. '30 .3.0'0 :3. 10 :3.20
~~
· :323
.238 .233 3,4¡) .227 3.:30
3.50 3.613 3.70 3.80 3.9(1 4.00 4. 10 4.20 4. :30 4.40 4.50 4.613 4.70 4.80 4.'30 5.00
.222 .217 .21:3 .208 .204 .200 .196 .192 .189 .185 .182 · 179 .175 .172 .169 .167
~
.10
Ks
Kc
.296 .221 .176 .146 .124 .108 .0% .(186 .077 .071 .1365 .136(1 . ('156 .1352 .048 .046 .043 .134(1 .038 .036 .035 .033 .031 .030 .029 .028 .026 .025 .024 .024 .023 .022 .021 .1320 .020 .019 .1318 .018 • ¡) 17 .017 .016 .016 .015 .1315 .015 .014 .12114 .013
.08'3 .1388 .088 .1388 . (187 .1387 .1386 .1386 .(185 .085 .1384 .1384 .083 .(183 .082 .a82 .081 .081 .081 .13813 .0813 .1379 .079 .078 .078 .077 .077 .076 .076 .075 .075 .1374 .074 .1374 .073 .1373 .072
.072 .071 .071 .1370 .070 .069 .069 .068 .068 .12167 .067
j
• '351 .951 .951 .951 .952 · '352 .952 .952 .952 .952 .952 .952 .952 .952 .953 .953 .953 · '353 .953 .953 .953 .953 .954 .954 .954 .954 .954 .954 .954 .954 .955 .955 .955 .955 .955 · 955 .955 .956 .956 .956 .956 .956 .956 .956 .957 .957 .957 .957
/d
np
Ks
Kc
.312 .233 .185 .153 · 131 · 114 · 101 .1390 · (181 .074 .068 .063 .(158 .1354 .051 .048 .045 .042 .040 .1338 .036 .035 .033 .032 .030 .029 .028 .027 .026 .025 .024 .1323 .022 .021 .021 .020 .1319 .019 .1318 .018 .017 .017 .1316 .016 .015 .015 .014 .12114
.347 .259 .2136 .170 .145 126 · 111 · 1 (10 .13'3(1 · ¡):32 .075 .1369 .064 .(16(1 .056 .052 .1349 .046 .(144 .042 .040 .038 .1336 .034
.104 .104 .1133 .1132 .102 1131
.033
.031 .030 .029 .028 .027 .026 .025 .024 .. 02:3
0·-' .., ·.1321 "' ...
.021 .020 .1319 .019 .018 .018 .017 .016 .016 .015 .12115 .015
· lee HJ0 .099
.098 · O';¡8 .097 .(196 .1396 · ¡)'35 .094 .1394 .093 .(192 .1392 .1391 .1390 .090 .089 .088 .088 .087 .086 .086 · ¡)S 5 .084 .1384 .083 .1382 .082 . 1381 .080 .0813 .079 .078 .1378 .1377 .12176 .076 .075 .074 .12174 .073
. 1 ... ~,
;=
j
.942 .942 .942 .942 .942 .942 .943 .94:3 .'343 . '3143 .943 .943 .944 .944 .944 .944 .944 .944 .945 .945 .945 .945 .945 .946 .946 .946 .946 .946 .947 .947 .947 .947 .947 .948 .948 .948 .9481 .949 .949 .949 .949 .950 .9513 .950 .950 .951 .951 .951
np
.369 .275 .218 · 181 .154 .134 · 118 · 1 (16 .1395 .087 .080 .073
.1368 .063 .059 .055 .(152 .049 .(147 .1344 .1342 .1<140 .038 .0:36 .035 .033 .032 .030 .029 .028 .027 .026 .1325 .024 .1023 .1322 .022 .021 .1212121 .1320 .1319 .018 .018 .1317 .017 .016 .12116 .12115
-39-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES t/d=
f$.p
-nf.:
.40 .513 .613 .70 a80
.90 1. 00 1. 10 1. 20 1. 30 1. 40 1.50 1 . 613 1. 70 1. 80 1. 90 2.1313 2.10 2.213 2.30 2.413 2.50 2.60 2.70 2.80 2. '30
3. (10 3.10 3.20 :3.30
3.40 3. 5~3 3.613 3. 7~) 3.80 3.90 4.(1(1 4. 1 (1 4.2(1 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00
K .714 .667 .625 .588 .556 .526 .500 .476 .455 .435 .417 .400 .385 .370 .357 .345 .333 .323 .313 .303 .294 .286 .278 .270 .263 .256 .250 .244 .238 .233 .227 .222 .217 .213 .208 .204 .200 .196 .192 .189 .185 .182 .179 .175 .172 .169 .167
t /d =
.14
Ks
Kc
.294 .234 .193 .164 .143 .126 . 112 . 101 .092 .084 .078 .072 .067 .062 .059 .055 .052 .049 .046 .044 .042 .040 .03.8 .03':> .034 .033 .032 .030 .029 .028 .027 .026 .025 .024 .023 .022 .(121 .(121 .020 .019 .019 .018 .017 .017 .016 .016 .1315
· 118 · 117 · 116 • 115 · 114 • 113 · 112 · 112 · 111 • 110 .109 .108 .107 .106 .105 .104 .104 .103 .102 • 101 .100 .099 .098 .09'7 .096 .096 .095 .094 .093 .092 .091 .090 .089 .088 .088 .087 .086 .085 .084 .083 .082 .081 .080 .080 .079 .078 .1377
TE
j
.933 .933 .933 .933 .933 .9:34 .9:34 .934 .9:34 .934 .935 .935 .935 .935 .936 .936 .936 .936 .937 .937 .937 .938 .938 .938 .938 .939 .939 .939 .940 .940 .940 .941 .941 .941 .942 .942 .943 .943 .943 .944 .944 .945 .945 .945 .946 .946 .947
np
Ks
Kc
.316 .251 .207 .176 .153 .135 .120 .109 .099 .090 .083 .077 .072 .067 .063 .059 .055 .052 .049 .047 .044 .042 .040 .038 .037 .035 .034 .032 .031 .030 .028
.328 .260 .215 .183 .158 .139 .124 • 112 .102 .0'33 .086 .079 .1373 .068 .064 .060 .056 .053 .050 .048 .045 .043 .041 .039 .037 .0:35 .034 .032 .031 .030 .028 .027 .026 .025 .024 .023 .023 .022 .021 .020 .019 .019 .018 .017 .017 .016 .016
· 131 .130 .129 .128 .127 .125 .124 .123, .122 .121 .120 · 119 • 117 · 116 · 115 · 114 · 113 · 112 · 111 .109 .108 .107 .106 .105 .104 .103 · 101 .100 .099 .098 .097 .096 .095 .093 .092 .091 .090 .089 .088 .087 .085 .1384 · (183 .082 .081 .080 .079
.027-
.026 .025 .024 .024 .023 .022 .(121 .020 .020 .019 .019 .018 .017 .017 .016
• 16 j
.923 .924 .924 .924 .924 .925 .925 .925 .926 .926 .926 .927 .927 .927 .928 .928 .928 .929 .929 .930 .930 .930 .931 .931 .932 .932 .933 .933 .933 .934 .934 .935 .936 .936 .937 .937 .938 .938 .939 .940 .940 .941 .942 .942 .943 .944 .945
t1tl
.355 .282 .233 · 197 · 171 • 151 .1:34 · 121 · 110 .100 .092 .0135 .1379 .074 .06', .065 .061 .057 .054 .051 .049 .046 .044 .042 .040 .038 .036 .035 .03:3 .032 .030 .029 .028 .027 .026 .025 .024 .023 .022 .021 .021 .020 .019 .019 .018 .017 .017
-40-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES f$p
. 18
t .{d=
nfc
.40 . 5~3 .60 .70 .80 .9(1 1. 00 1. 10 1.2(1 1.3('1 1.40 1~5ü
1.6(1 1. 70 1 . :3(1 1. 90 2.ÜÜ 2. lü
K
Ks
Kc
.714 .667 .625 .58B .556
· :;:60 .285 .235 .1'39
.526
.152 · 135 .122 .-110 · 1 ül
.144 · 142 • 141 .140 .138 .137 .135 .134 .132 · 131 · 130 .128 .127 .125 .124 .122 · 121 .120 · 118 · 117 • 115 • 114 · 112 · 111 · 110 .108 .107 .105 .104 .102 · 101 .100 .698 .097 .095 .094 .693 .691 .696 .088 .087 .685
.500 .476 .455 .435
.417 .400 .385
· :370 · :;:57
.345 .333 · :323
2.20 .31:3
2.30 .303 2.4ü .294 2.50 .286 2.60 .278 2. 7~3 .270 2. :=:0 .263
2.90 3.00 3.10 3.20 3.3(1 3.40
.256 .250 .244 .238
.233
.227 3.50 .222 :3. 6~J .217 ::::. 7~J .213 :;:.8121 .208
:3.90 4.00 4. 10 4.26 4.30 4.413 4.5(1
.204 .200 .196 .192 .189 .185 .182
· 173
• ~3'5'3
.085 .079 .(174 .069 .064 .ü61 .057
.05,4 .051 .0.48 .046 .043 .041 .03', .037 .036 .034 .032 .031 .630 .028 · ~327 .026 · (125 .024 · ~323 .622 .021 .621 · ~320 .019
t/d nI'
Ks
Kc
.393 · 311 ."257 .218 · 18', .166 .148 · 1 :3:3 .120 • 110 .101 .093 .086 .08(1 .ü75 .07ü .066 .ü62 .058 .055 .052 .049 .047 .044 .042 .040 .038 .037 .035
.389 .308 ~ 254 .215 .186 .163 .145 · 131 · 118 .108 .ü99 .0',1 .ü84 .078 .073 .068 .ü64 · ü6,ü .057 .ü53 .05ü .048 .045 .043 .041 .039 .037 .035 .034 0"~' ",.. .031 .629 .028
.156 .154 · 152 · 151 · 14', .147 .145 · 144 .142 · 14ü · 138 .137 · 1 :35
j
.914 .915 .915 .915 .916 .916 .917 .917 .917 .918 .918 .919 .919 .92ü .920. .921 .921 .922 .922 .923
.923 .924 .924 .925 .~26
.926 .927 .928 .928 .929 .930 .936 .931 .932 .93:3 .934 .935 .935 .936 .9:37 .938 .9:39
.033
.032 .031 .029 .028 .027 .026 .625 .024 .023 0'-)-") •
<;.<.
.021 .020
.133
· 131 .130 .128 .126 .125
.123 · 121 · 119 · 118 .116 · 114 .112 · 111 .109 .107 · 165 .104 .102 .100 .027 .099 .12125 .097 .624 .695
·
TE
.,
.20 j
.905 .906 .906 .907 .907 .908 .908 . ',09 .909 .910 .911 .911 .912 .912 .913 .914 .914 .915 .916 .916 .917 .918 .919 .920 .920 .921 .922 .923 .924 .925 . 926
r.p
.430 .340 .280 .237 .205
.180 .160 . 144 .130 . 118 .109 .100 .ü93 .ü86 .ü80 .075 .ü70 .0.66 .062 .058 .ü55 .052 .049 .047 .044 .042 .040 .038 .036 .035 .033 .031 .03(1 .029
.927 .928 .9:30 .9:31 .027 .932 .026
-41-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECClONES f'~"p
.22
t,/d=
-
t"lfc
.5121 • 6~) · 7~3 · :::121 .9121 1.00 1. 10 1. 20 1.30 1. 40 1.50 1.6(1 1 . 7~) 1 . ::: (1 1. '30
K
.667 .625 .588 .556 .526
.5121121 .476 .455 .435
.417 .400 .3:::5
.370 • ~:57
· :345
2. ~30 · :333 2. 10 .32:3
2.20 · :;: 13 2.30 .3(13 2.40 .234 2.50 .286 2, 6~3 .278' 2.70 .270 2. :::~) .263 2. 9~) .256 3.00 • 25~) ":. . 1 (1 .244 '-' 3.20 .238 3.3(1 .233 3.4(1 .227 :3. ~5(1 .222
Ks
Kc
.:33121 .271 .23121 .198 .174 .154 139 .125 114 11214 .0% .089 .12182
.165 163 . 161 .159 15.7 154 152 .1513 148 146 .144 142 14121 .138 136 134 .132 .130 .128 .126 .124 121 119 117 115 113 111 .109 .107 1(15
• ~377 .072
.067 .063 .059 .056 .052
.049 .047 .044 .(142 .040 .038 .036 .034 .12132 .031 .12129
t /d
.j
.897 .898 .8'38 .899 .9121121 .913121 .91211 .91212 .902 · 9~33 .91214 .905 .905 · '306 .907 .91218 .909 .91(1 .911 .312 .913 .914 .915 .916 .918 .919 .920 .921 • '323 .924 un .926
np
.367 · :302
.256 .221 .193 .172 .154 139 126 116 • 11216 .12198 .091 .085 .079 .074 .12169 .065 • ~%1 .057
.054 .051 .048 .046 .043 .041 .03'3 .037 · ~335 .12133 .12132
f(s
f(c
TE
=
.24 .j
.35121 .175 .889 .287 172 .89121 .24-3 .17121 .89121 .21121 .168 .891 184 165 .892 163 163 .893 146 160 .893 .132 .158 .894 120 156 .895 11219 .153 .896 .100 151 .8',7 .093 148 .898 .086 146 .8'39 .080 • 14:3 • 9~)0 .074 141 .901 .069 • 13'3 .903 .12165 .136 .91214 .061 .134 · '~(15 .057 131 .906 .054 .123 · 3~J8 .12151 .127 .9(19 · ~348 • 124 .91(1 122 .912 · ~H5 · ~H3 · 119 .914 .040 · 117 .915 .038 • 114 .917 .036 • 112 .919
np .394 . :32:3
.273 .235 .21216 .182
.163 147 134 122 112 .103 .095 .1218'3 • ~)82 .077 .(172 .(167
.06~ )
.05'3
.056 .052 .049 .(147 .044 .042 .03'3
-42-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES fsp
t,
-nfe
K
.60 .625 .70 .588 .:'Hl .556 . '36 .526 1.00 .500 1. 10 .476 1. 26 .455 1.30 .435 1 . 4~) .417 1. 56 .400 1. 60 .385 1. 70 .370 ;)._1 ( 1.80 • .'OC".., 1.9,0 .345 2.00 .:333 '':1 2.10 .-,.-.. .;)':'--' 2.20 .313 2. :3~3 .303 2.40 .2'514 2.50 .286 2.60 .278 2.70 .270 2.80 .,263
.
fs,p
.60 .70 .80 . 90 1 . ~) O 1. 10 1,20 1.3(1 1.40 1. 50 1.60 1. 70 1 . 8~3 1. '30 2.00 2. 16
.26
Ks
Kc
.302 .255 .220 .192 .170
· 181 · 17'3 .176 .173 .170 .168 .165 .152 .159 .156 · 154 · 151 .148 .145 .142 .140 .137 .134 • 131 .128 .126 .123 .120
• 152
.137 .125 · 114 .104 .096 .089 .082 .076 .071 .066 .062 .058 .055 .12151 .048 .045 .04:3
t/d=
-nfe
/d=
r--
K
.625 .588 .556 .526 .500 .476 .455 .435 .4 i 7 .400 .385 .370 .357 .345 .333 .32:3 2.2f1 .313 2. :30 .303
t /d
j
.881 .882 .883 .884 .885 .886 .887 .888 .890 .891 .892 .893 .895 .896 .898 .899 .901 .903 .904 .906 .908 .910 .912
np
Ks
Ke
.343 .289 .249 .218 .192 .172 .155 .140 .128 · 117 · 108 .099 .092 .085 .079 .074 .069 .065 .060 .057 .053 .050 .047
· :316 .267 .229 .200 .177 .158 .142 .129 · 117 .107 .099 .091 .084 .078 .073 .068 .063 .059 .055 .052
.190 .187 .183 .180 .177 .174 • 171 .167 .164 • 161 .158 .155 .152 .148 .145 .142 .139 · 1:36 .132 .129
.30
Ks
Kc
.329 .277 .238 .207 .183 .163 .147 · 132 .120 • 110 · 101 .093 .086 .079 .073 .068 .064 .·059
.197 .194 .190 .187 .183 .179 .176 .172 .169 .165 • 161 .158 .154 • 151 .147 .143 .140 .136
t /d
j
.866 .867 .868 .870 .871 .873 .875 .876 .878 .880 .882 .884 .886 .888 .891 .893 .896 .899
np
Ks
Kc
.380 .319 .274 .238 .210 .187 .168 • 151 .137 .125 • 114 .105 .097 .0.89 .082 .076 .071 .066
.341 .286 .245 .214 .188 .167 .150 · 136 .123 • 112 .103 .094 .087 .080 .074 .069
.204 .200 .196 .192 .188 .184 .180 · 176 .172 .168 .164 .160 .156 .152 .148 .144
TE
=
.28
np
j
.873 .875 .876 .877 .878 .879 .881 .882 .8.84 .885 .887 .B88 .890 .892 .894 .896 .898 .900 .902 .905
=
.362 .305 .262 .228 .202 .180 · 161 .146 .133 · 121 · 111 .102 .095 .088 .081 .075 .070 .065 .061 .057
.32 j
.858 .860 .862 .863 .865 .867 .869 .871 .873 .876 .878 .881 .883 .886 .889 .892
np .3'37 .333 .285 .247 .218 .193 • 17:3 • 156 · 141 .128 · 117 .107 .098 .1390 .083 .077
-43-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES t/d=
fsp
-nfl:
K
.70 .588 .:::0 .556 .9>3 .526 1.0(1 .500 1. 10 .476 1. 20 .455 1.3(1 .435 1. 40 .417 1. 50 .400 1. 60 .385 1. 70 .370 1.80 .357 1. 90 .345
K
.70
.588
. 8(1 .90 1. (10 1. 10 1. 20 1.:3(1 1.413 1. 50 1. 60
.556 .526 .500 .476 .455
.435 .417 .400 .385
.70 . :30 .90 1. »0 1. 10 1.20 1. :30
Kc
.295 .252 .219 .193 · 171 .153 .138 · 125 · 114 · 104 .095 .087 .080
.286 .282 .197 .193 .188 .184 .179 .175 .170 .166 .162 .157 .153
Ks · :309 .263 .228 .200 .177 · 158 · 141 .127 · 115 .185
K .58:3 .556 .526
.508 .476 .455 .435
Ks
t
j
np
.853 · :345 .855 .295 .857 .256 .859 .224 .861 · 199 .864 .177 .866 .159 .869 · 144 .872 .130 .875 · 119 .878 · 108 .881 .899 .885 .091
Ko:
/d
.36
::
K'c
Ks
t/d = j
np
np
j
.302 .2[11 .846 .258 .237 .849 .224 .202 .851 .197 .197 .854 · 174 .1n .856 · 156 .187 .859 .140 .182 .862 .126 .177 .866 · 115 .172 .869 .104 .167 .873 .095 .162 .877
.38
Ks
Ko:
np
.315
.220
.834
.268 .232 .203 .179 .159 .142 · 128
.214 .209 .203 .197 • 191 .185 .179
.838 .841 .844 .848 .852 .857 .862
.313 .270 .236 .208 .184 .165 · 148 · 133 .120
.42
Ko:
.320 .224 . 272 . 217 .235 .211 .205 .205 .180 198 16(1 192 143 .186
t
j
.829 .83:3 .836 .841 .845 .850 .855
/d
np
Ks
Kc
.:386 .327 .280 .244 .213 .188 · 167
.324 .275 .237 .206 · 181 161
.220 .213 .206 .20(1 · 1 '33
· . 2'~"" "-
.2310
.204 • 181 .162 .146 .132 · 120 .109
j
.211 .205 .200 .195 .189 .184 .178 .173 .168
.843 .846 .849 .852 .855 .859 .863 .867 .872
.357
.304 .263
.40
.216 .840 · :368
t,/d=
fsp nf'c
Ks
t,/d=
fsp
-nf'c
.34
TE
M
:377
.320 .276
.240 · 211 · 187 · 166 .149
.44 j
.824 .828 .833 .838 .843 .849
np · 3'33 .332 .285 .246 .215 189
-44-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES .46
t, /d=
f~,p
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K .556
.526 .500 .476
K
· :::0 .556 • '30
Kc
.526
j
np
.278 .222 .824 .3:37 .239 .215 .:330 .288 :207 .207 .835 .24:3 .182 .200 .842 .216
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K:s
Kc
Kt
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j
.52
t /d
j
nI='
.2:31 .225 .818 • :344 .241 .217 .825 .292
np
.280 .224 .821 .341 .240 .216 .827 .290 .208 .208 .834 .250
.50
t/d=
f~,p
nfc
K:s
t/d
TE
K:s
Kc
j
nI'
.2:32 .226 .:316 .346 .241 .217 .:325 .292
-45-
•••• REVISION DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS Descripción del diagrama del flujo: DATOS: Como se trata de la revlslon de una sección, se conocen las características geométricas de la misma; o sea:
A. b d t
f'o f. p n
Cantidad de acero sometido a tracción. Ancho de la cara sometida a compresión. Altura útil de la sección. Para las secciones Te el espesor del ala. Las características de los materiales, tales como: Resistencia máxima del concreto a los 28 días. El esfuerzo permisible del acero. El coeficiente de equivalencia.
Por último se conocen las cargas de servicio a las cuales va a trabajar, a partir de las cuales se obtiene el momento actuante M. PROCEDIMIENTO: Se calcula la cuantía mecanlca elástica np, con este valor SEl _entra en las tablas para secciones rectangulares simplemente armada~, P~i- _~ .:J.O obteniendo los valores de la profundidad específica del eje neutro, brazo mecánico y los coeficientes de resistencia. Si se trata de una sección Te es necesario verificar si trabaja como Te o como rectangular, comparando la profundidad del eje neutro con el espesor del ala, si dicha profundidad es menor la sección trabaja como rectangular; si es mayor trabajará cO~~'B Te y se procede a entrar en los ábacos para secciones Te, Pág. 50, con j los valores de np y de tjd, para conseguir su correspondiente brazo mecánico y los coeficientes de resistencia. Con los coeficientes respectivos y con las fórmulas adecuadas para cada caso se obtienen los esfuerzos a los cuales estári trabajando los materiales, comparando si éstos son menores que los permisibles se determina si la sección resiste o no. En caso de que la sección resista, se calculan los momentos resistentes del acero y del concreto, según cuál de lós dos sea mayor la sección es subreforzada o sobrereforzada.
-46-
REVISION SECCIONES SIMPLEMI;NTE ARMADAS
Teoría Clásica Seccion
Te
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Esfuerzo en el acero M f5 = -:-A-5.~j--:¡d'-
Esfuerzo en el concreto K . fs
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NORM
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sobrereforzada
-47RODOLFO
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-48-
DISEÑO DE SECCIONES Te Y RECTANGULARES Descripción del diagrama de flujo:
-
DATOS: Como se trata de un diseño, se conoce el momento actuante en la sección que va a ser diseñada: Las características de los materiales, tales como: L Resistencia máxima del concreto a los 28 días. fe El esfuerzo permisible del concreto. 0.45 f'e fsp El esfuerzo permisible del acero. El coeficiente de equivalencia. n
b d d' t
b'
Características geométricas de la sección: Ancho de la sección. Altura útil de la sección. Puede no conocerse Recubrimiento de las barras en compresión. Para las secciones Te: El espesor del ala El ancho del nervio.
L..
-
PROCEDIMIENTO: Se determina el valor de fsp/nfe y se entra en las tablas para secciones rectangulares simplemente armadas, Pág. 47, para obtener los valores de la profundidad específica del eje neutro K, el coeficiente de resistencia del concreto Ke y el brazo mecánico específico j. Si la altura útil es desconocida se calcula ésta como si la sección fuera simplemente armada y el momento actuante sea el momento óptimo de la sección, luego esta altura debe ser redondeada. A continuación si se trata de una sección Te es necesario verificar si trabaja como Te o como rectangular, comparando la profundidad del eje neutro con el espesor del ala, si dicha profundidad es menor, la sección trabaja como rectangular; de lo contrario trabajará como Te y se procede a entrar en los ábacos para secciones Te, Pág. 50, con los valores de fsp/nfe y de t/d, para conseguir su respectivo brazo mecánico y los coeficientes de resistencia. Con los coeficientes respectivos se calcula el momento resistente óptimo de la sección M o , y en función de éste se determinará si debe ser doblemente armada.
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-49-
•••• Si el momento actuante en la sección es menor que el óptimo, la sección será simplemente armada, entonces se calculará el acero a tracción con las fórmulas correspondientes, siempre verificando que sea mayor que el mínimo permisible por normas. Si se desea ser más preciso como se está calculando el acero para absorber el momento óptimo, se puede obtener el valor del coeficiente de resistencia del acero K. para el momento actuante y con este término entrar en las tablas para secciones Te o rectangulares, según el caso, y leer el valor del brazo mecánico j respectivo, con este término se obtiene la cantidad de acero. Si el momento actuante es mayor que el óptimo, la sección será doblemente armada. Para ello se calcula la cantidad de acero necesaria para absorber el momento óptimo, el exceso de momento será absorbido por una pareja de aceros adicionales, cumpliendo siempre el requisito por norma, que el acero a compresión esté trabajando a un esfuerzo permisible menor o igual al de acero a tracción Luego se distribuye el acero.
-50-
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DISEÑO TEORIA CLASICA ,
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I
1/1.
-53-
•••• DIMENSIONADO PARA EL DISEÑO OPTIMO Conocida la cuantía de acero en compresión fsp f~ , n p', (b), (d)
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DIMENSIONADO PARA EL DISEAO OPTIMO Conocida la relación entre el acero a compresión y a tracción
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DIMENSIONADO PARA EL DISEÑO OPTIMO Conocido el momento absorbido por la pareja de aceros adicionales
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-59RODOLFO
OSERS
fe: f5 = ~---....
1
300"-
~k-
Jz
~
94.5 t;{d5' -¡-'too t'}»i 15
"
'1
~
j.ftltl
?Zxf
=
t ¡¿ c..
099
15 x 'M.5
=
0. 50 3
~
0.209
j -
11"10 = 11!.b~ d . Q.3!
fi
c,.;-.
(30 _ X3J'I) 10 5
14J1t1, {6-t.S- S)
i
D.
1M.
JJ A.
CALCULO:
I
REVISION:
I
REFERENCIA:
I
PAG:
t 1/i
-60-
•••• NOTAS
-61-
MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS Teoría Clásica Flexión Pura La determinación de los momentos de inercia efectivos se hace en base a los momentos de inercia de la sección agrietada y el momento actuante. El momento de inercia de la sección agrietada se hará por el método de la sección transformada, es decir por la teoría clásica, como se ve a continuación.
(n-1)p' np d
t
2d'
b'
b
-t
!---nAs
, d
se
(b/b' -1) - - - - t/d np
-62-
Las fórmulas quedarán de la siguiente manera:
K
np~ +,8c)
+ j{nP(1 +,8c)}2 + np(2
+ ~c tjd) ,
El valor de F será de 4 para secciones rectangulares y de 3 para las Te.
-
"
-63:-
MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS F, 4
o
(
F' 3
(
b,d,f~,fy, Es,Ma,h,As,t:d
b,b',d,t,f~,fy ,E.,M o , h, As
.J,
y
( n-1 )p' "[Es - - 1 ] - A's Ec b·d
(
Yt -
No
A's: O
..
=Es_ .AsEc
+
2
b·t (h - 1/2)
b'·h + (b-b')·t
...
.J, Si np
2 h . ti
b·d
b'y~ + b·{h-Yt)'- (b-b')·(h-Yt - t)'
19
\..
:
3
.l.
K
0
+
-np
:=
np)2
+ 2'np
~ K ~ lId
....
\No
np =
Es
¡
~Si Ier
[. ~ 3+
:=
As
Ec' b'd
np(l-K)2] b·d 3
~ t
~e
:=
(b/b' -1) np
:= 2·d'
~ ,,(n-1) P
1
"d
e
np
¡
Yt
19
= h/2
K=
•
¡
b:h' =-12 ......
J l
1 er
= {n p (1 -
K)2
+
L
3
3
2 t ]} bd 3 + ~np. [ K{K-t/d)+-2 e F·d
momento de fisuracion ec 9.13
r Normas
-np·(1t
.~ ~c)+ V[np(1+~c)r+np(2+~c'i)
A.C.I
9.5.2.2.
=~ yt
fr=2·F
=[ ~~rh +
n~
M
ec
3
le
{1- [
~:r
ler
Normas
A.C.I.
8.5.,.
Ec=15000
F
19
covenin 9.6.2.1 ec 9.12 covenin
-64-
•••• NOTAS
-65-
FLEXION PURA
Teoría de Rotura Secciones Rectangulares
-t-----
b-
·_--t
(lO.2.7.l
C::. Ku d Eje
h
d
'k--r-- ..- - .
Neutro
T
SUPOSICIONES Y CONSIDERACIONES: a)
b) c) d) el
Conservación de las caras planas (NavierL distribución de las deformaciones es lineal. Arti'cu/o (10.2.2.) El concreto no resiste 10s esfuerzos de tr.icción.llo.2.5.) No existe deslizamiento entre el concreto y acero. No se aplica la Ley de Hooke, las deformaciones no son proporcionales a'los esfuerzos. (10.2.6) , La falla de la sección ocurre cuando el concreto alcanza su deformación máx;ma útil fu. Normas (10,2,..,3.) . EU
=
0.003
-66-
Coeficientes empleados necesarios para definir la teoría de rotura:
1.
Coeficiente de forma: Este coeficiente se emplea para convertir el área del diagrama de esfuerzos en un rectángulo equivalente. Viene dado por la norma 10.2.7. ~,
=
(o 0.85 - 0.05
0065
2.
~ ~,
e - 280 70
:;:;0.85
Coeficiente para la ubicación del centro de compresión: ~ 2 Este, nos indica la profundidad de la resultante en compresión respecto al eje neutro y su valor aproximado es de ~ 2 == . ~,
/2
3.
Coeficiente de relación: ~ 3 Arti'cu Io
10.2.7.
Con este coeficiente obtenemos la relación entre la resistencia del
concreto en la viga con el cilindro de control su valor es 0.85.
Diagrama de esfuerzo-deformación del acero: (3 -1)
fs
= ;
[11 ~: I~ 1'· ~: 1] +
10.2.4.
00
A diferencia de la teoría clásica que los factores de seguridad están implícitamente considerados en los esfuerzos permisibles, en la teoría de rotura se emplea un factor minorante de resistencia, rJ>, que la norma en el capítulo 9.3.2. para flexión usa como mínimo 0.9., y un. factor mayorante de cargas los cuales salen prescritos en el capítulo 9.2. tulo 9.2.
De todo esto si se llama M al momento actuante y f el factor mayorante se puede escribir la siguiente expresión: F·M~
( 9.1.)
-67-
Análisis de una sección de concreto armado sometida a flexión pura:
1P2Ku~
.j..
E: u
"(..- K u
--
'--
d
id
••• Mediante el correspondiente análisis se puede obtener:
La resultante de tracción:
T
PI P3 f ~
La resultante de compresión:
jd
d -
Tj d
El brazo mecánico:
El momento de agotamiento:
I ~,
.,
U
l'
L OL ../ i-r2-A CfA o..-l
17 ~o~
(3 - 2)
Asfsu
ck l.ú\AP ~g~l-¡Q_"", u-~.,{~ ~");v'>t1..,¿.J..;........
(K db)
u
P2 K
U
(3- 3) (3-4)
d
(3-5)
UNcIr L)
é~(..;G) De igualar la resultante en compres IOn con la tracción para lograr el equilibrio y usando la expresión del porcentaje de acero p = A,jbd obtenemos la profundidad del eje neutro.
f K u
=
p
su
ú)
P1~3 f~,
A f su s bcj f'
K u
e
(3 -7)
(3-6)
Se llama a
=
ú)
ú)
pJP3 (3-8)
cuantía mecánica.
Por otra parte, por la hipótesis de distribución de deformaciones E:
K
u
E:
U
U
+
linea,l.
(3 - 9) S
su
-68-
Esfuerzo del acero en el rango elástico.
Igualando las ecuaciones (3 - 6) Y (3 - 9) queda:
p
(3-11 )
(3-10)
Sustituyendo por (3 - 10) De esta ecuación se despeja Esu y se calcula el esfuerzo del trabajo f su del acero, sustituyendo en la ecuación (3 - 1 ) (3-1)
1/
(3-13)
E su
=
- Eu
+
VE~
+
fsu= 2fy
4·Eu·~'· ~3 ·f~
[1 1+E; ESUI - I1- Ey ESUI]
PEs
2
Despejando Esu
de la ecuación (3 - 11) queda:
Esu (3-14)
>
Cuando E su E y , f su = f y , se puede despejar de la ecuación (3 - 11) el valor P siendo este el porcentaje de acero que produce una falla balanceada. ( 10.3.2.)
f~
fy
W b(3-15)
~ . ~3 1
Eu E
u
+
E
y
(3-16)
Tomando momentos respecto a la resultante de compresión queda: (3-17)
-69-
Para el diseño de las secciones simplemente armadas es más sencillo expresar el momento de agotamiento de la sección Mu en función de la cuantía mecánica W
M u
(1 - ~2K )~
= As fsu d
U
sustituyendo Ku en función de W
E c. (3 - 8)
Dividiendo ambos miembros entre f'cbd
t1 f
2
u
I
e
bcÍ 2
Para el diseño es necesario conocer el valor de con lo cual, despejando, queda:
w
~ ~,[,
~=h
-) , -
[, -
:~.]
W
en fúnción de fl
-70-
SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Teoría de Rotura Las secciones deberán ser doblemente armadas cuando el momento de agotamiento actuante sea mayor que el óptimo que resiste la sección. El problema se concretará, a determinar el momento óptimo que resiste la sección simplemente armada. el cual vendrá en función del porcentaje de acero permisible en la sección para control de la ductilidad. El análisis de las secciones doblemente armadas por la teoría de rotura es el siguiente:
-t------ .~---+
~
~
<:,.u
L
'r,...._--..", ~
~3~
t H1'-'
c, Ce
Eje h
d
Neutro
'k--i'-- . - - ,
. ..... ~-----' As
T
-{-.
¡,
-''r~---
b'
La resultante de compresión es:
La resultante de tracción es:
T
es = A'f' s s
= As f
su
-71-
Por equilibrio, igualando las resultantes de compresión con las de tracción se obtiene la profundidad del eje neutro.
ee
T
~1
As f su
+
es
3 fle (K u db) + Alfl s s
A f
S su
- Alfl
S s
~lhf~.bd
Como siempre se diseña para que la falla ocurra después que el acero a tracción ceda (para obtener una falla dúctil), cuando la deformación del acero a compresión sea mayor que la de cedencia, la profun-
didad del eje neutro es directa: E
su
>
E
y
=>
f
-:>
f~
su
= f
y
= f'y Ku =
Esto
ocurre
por lo general f y
A - A. I f' s s . __ y_ en tl3bd f I r-' r e
cuando E
E
j
te
< El
y=
s
u
K
U
(K
·u
-
dl/d)
u
Kd > u
E:
U
-
. d' te
Y
f'y
-72-
Cuando eL Acero en compresión no está en cedencia:
E' s
=
Eu
(
d Ku -
Ku
d'
As fy - A's f's Ku =
As fy - A's E's Es
~ ~
~ ~bd f'c 1 3
.
1 3
w'
w
~ ~
bd f'c
1 3
EsE' fy
fy Sustituyendo La Expresión deE's
y haciendo E y =
queda: Es
Eu
~ ~ Ku
- W + W'
EY
1. 3
d ( Ku -
(
))
Ku
=O
d'
Multiplicando toda la expresión por Ku:
~ 1 ~3
Eu
2
(Ku)
Haciendo
-
(w
A=~ ~
1 3
-Wl
Eud (Ku)
Ey
- W'
--
=O
E Y d'
Eu B = W-W' Ey
y
Eu d C =W' - E Y d'
Queda:
2
A (Ku) -
B (Ku)
-
C= O
De esta expresion se puede despejar directamente Ku.
Finalmente para conocer el momento de agotamiento se toma mo· mentos respecto al punto de apl icación de la resultante en compresión del concreto.
-73-
El brazo mecánico del acero a tracción es:
jd
~2Kud~d"
El brazo mecánico del acero a compresión es:
1)-,
Entonces el momento de agotamiento ya minorado será:
Para reajustar la fórmula se puede hacer lo siguiente: sumar y restar el siguiente término: A'.fsd quedando así la siguiente expresión:
M
u
r( A f L s su
- AI f
I )
s s
(
1- ~ 2. K ) d + A I f
u
I
s s
(d - di)]
-74-
NOTAS
I - "1 --t--; , I
-75-
FLEXION PURA (Teoría de Rotura) Coeficientes Adimensionales Secciones Rectangulares
CUANTIA MECANICA
,] BRAZO MECANICO
jU
-
~2
1 - ---------------
-
~l
~3
w
,-l
I-l = <))w(
1 -
~W) ~1f33
-76-
COEFICIENTES ADIMENSIONALES SECCIONES RECTANGULARES (TEORIA DE ROTURA)
W
Hiu
Ju
W
Hiu
Ju
W
Hiu
Ju
W
Miu
Ju
0.012 0.013 0.014 0.015
.0107 .0116 .0125 .0134
.9929 .9924 .9918 .9912
0.056 0.057 0.058 0.059 0.060
.0487 .0496 .0504 .0513 .0521
.9671 .9665 .9659 .9653 .9647
0.101 0.102 0.103 0.104 0.105
.0855 .0863 .0871 .0879 .0887
.9406 .9400 .9394 .9388 .9382
0.146 0.147 0.148 0.149 0.150
.1201 .1209 .1216 .1223 .1231
.9141 .9135 .9129 .9124 .9118
0.016 0.017 0.018 0.019 0.020
.0143 .0151 .0160 .0169 .0178
.9906 .9900 .9894 .9888 .9882
0.061 0.062 0.063 0.064 0.065
.0529 .0538 .0546 .0554 .0563
.9641 .9635 .9629 .9624 .9618
0.106 0.107 0.108 0.109 0.110
.0895 .0902 .0910 .0918 .0926
.9376 .9371 .9365 .9359 .9353
0.151 0.152 0.153 0.154 0.155
.1238 .1246 .1253 .1260 .1268
.9112 .9106 .9100 .9094 .9088
0.021 0.022 0.023 0.024 0.025
.0187 .0195 .0204 .0213 .0222
.9876 .9871 .9865 .9859 .9853
0.066 0.067 0.068 0.069 0.070
.0571 .0579 .0588 .0596 .0604
.9612 .9606 .9600 .9594 .9588
0.111 0.112 0.113 0.114 0.115
.0934 .0942 .0949 .0957 .0965
.9347 .9341 .9335 .9329 .9324
0.156 0.157 0.158 0.159 0.160
.1275 .1283 .1290 .1297 .1304
.9082 .9076 .9071 .9065 .9059
0.026 0.027 0.028 0.029 0.030
.0230 .0239 .0248 .0257 .0265
.9847 .9841 .9835 .9829 .9824
0.071 0.072 0.073 0.074 0.075
.0612 .0621 .0629 .0637 .0645
.9582 .9576 .9571 .9565 .9559
0.116 0.117 0.118 0.119 0.120
.0973 .0981 .0988 .0996 .1004
.9318 .9312 .9306 .9300 .9294
0.161 0.162 0.163 0.164 0.165
.1312 .1319 .1326 .1334 .1341
.9053 .9047 .9041 .9035 .9029
0.031 0.032 0.033 0.034 0.035
.0274 .0283 .0291 .0300 .0309
.9818 .9812 .9806 .9800 .9794
0.076 0.077 0.078 0.079 0.080
.0653 .0662 .0670 .0678 .0686
.9553 .9547 .9541 .9535 .9529
0.121 0.122 0.123 0.124 0.125
.1011 .1019 .1027 .1035 .1042
.9288 .9282 .9276 .9271 .9265
0.166 0.167 0.168 0.169 0.170
.1348 .1355 .1363 .1370 .1377
.9024 .9018 .9012 .9006 .9000
0.036 0.037 0.038 0.039 0.040
.0317 .0326 .0334 .0343 .0352
.9788 .9782 .9776 .9771 .9765
0.081 0.082 0.083 0.084 0.085
.0694 .0702 .0711 .0719 .0727
.9524 .9518 .9512 .9506 .9500
0.126 0.127 0.128 0.129 0.130
.1050 .1058 .1065 .1073 .1081
.9259 .9253 .9247 .9241 .9235
0.171 0.172 0.173 0.174 0.175
.1384 .1391 .1399 .1406 .1413
.8994 .8988 .8982 .8976 .8971
0.041 0.042 0.043 0.044 0.045
.0360 .0369 .0377 .0386 .0394
.9759 .9753 .9747 .9741 .9735
0.086 0.087 0.088 0.089 0.090
.0735 .0743 .0751 .0759 .0767
.9494 .9488 .9482 .9476 .9471
0.131 0.132 0.133 0.134 0.135
.1088 .1096 .1103 .1111 .1119
.9229 .9224 .9218 .9212 .9206
0.176 0.177 0.178 0.179 0.180
.1420 .1427 .1434 .1441 .1448
.8965 .8959 .8953 .8947 .8941
0.046 0.047 0.048 0.049 0.050
.0403 .0411 .0420 .0428 .0437
.9729 .9724 .9718 .9712 .9706
0.091 0.092 0.093 0.094 0.095
.0775 .0783 .0791 .0799 .0807
.9465 .9459 .9453 .9447 .9441
0.136 0.137 0.138 0.139 0.140
.1126 .1134 .1141 .1149 .1156
.9200 .9194 .9188 .9182 .9176
0;181 0.182 0.183 0.184 0.185
.1456 .1463 .1470 .1477 .1484
.8935 .8929 .8924 .8918 .8912
0.051 0.052 0.053 0.054 0.055
.0445 .0454 .0462 .0471 .0479
.9700 .9694 .9688 .9682 .9676
0.096 0.097 0.098 0.099 0.100
.0815 .0823 .0831 .0839 .0847
.9435 .9429 .9424 .9418 .9412
0.141 0.142 0.143 0.144 0.145
.1l64 .1l7l .1179 .1186 .1l94
.9171 .9165 .9159 .9153 .9147
0.186 0.187 0.188 0.189 0.190
.1491 .1498 .1505 .1512 .1519
.8906 .8900 .8894 .8888 .8882
O.OIl .0098 .9935
-77-
COEFICIENTES ADIMENSIONALES SECCIONES RECTANGULARES (TEORIA DE ROTURA)
W
Hiu
Ju
W
Hiu
Ju
.8876 0.236 .1829 .8612 .8871 0.237 .1836 .8606 .8865 0.238 .1842 .8600 .8859 0.239 .1849 .8594 .8853 0.240 • 1855 .8588
0.281 0.282 0.283 0.284 0.285
.2111 .2117 .2123 .2129 .2135
.8347 .8341 .8335 .8329 .8324
0.326 0.327 0.328 0.329 0.330
.2371 .2377 .2382 .2388 .2393
.8082 .8076 .8071 .8065 .8059 .
.1561 .1568 .1574 .1581 .1588
.8847 .8841 .8835 .8829 .8824
0.241 0.242 0.243 0.244 0.245
.1862 .1868 .1874 .1881 .1887
.8582 .8576 .8571 .8565 .8559
0.286 0.287 0.288 0.289 0.290
.2141 .2147 .2153 .2159 .2165
.8318 .8312 .8306 .8300 .8294
0.331 0.332 0.333 0.334 0.335
.2399 .2404 .2410 .2415 .2421
.8053 .8047 .8041 .8035 .8029
0.201 0.202 0.203 0.204 0.205
.1595 .1602 .1609 .1616 .1623
.8818 .8812 .8806 .8800 .8794
0.246 0.247 0.248 0.249 0.250
.1894 .1900 .1906 .1913 .1919
.8553 0.291 .2171 .8547 0.292 .2177 .8541 0.293 .2183 .8535 0.294 .2188 .8529 0.295 .2194
0.206 0.207 0.208 0.209 0.210
.1629 .1636 .1643 .1650 .1657
.8788 .8782 .8776 .8771 .8765
0.251 0.252 0.253 0.254 0.255
.1925 .1932 .1938 .1944 .1951
.8524 .8518 .8512 .8506 .8500
0.296 0.297 0.298 0.299 0.300
.2200 .2206 .2212 .2218 .2224
.8259 .8253 .8247 .8241 .8235
0.211 0.212 0.213 0.214 0.215
.1663 .1670 .1677 .1684 .1690
.8759 .8753 .8747 .8741 .8735
0.256 0.257 0.258 0.259 0.260
.1957 .1963 .1970 .1976 .1982
.8494 .8488 .8482 .8476 .8471
0.301 0.302 0.303 0.304 0.305
.2229 .2235 .2241 .2247 .2253
.8229 0.346 .2480 .7965 .8224 0.347 .2486 .7959 .8218 0.348 .2491 .7953 .8212 0.349 .2496 .7947 .8206 0.350 .2501 .7941
0.216 0.217 0.218 0.219 0.220
.1697 .1704 .1710 .1717 .1724
.8729 .8724 .8718 .8712 .8706
0.261 0.262 0.263 0.264 0.265
.1988 .1995 .2001 .2007 .2013
.8465 .8459 .8453 .8447 .8441
0.306 0.307 0.308 0.309 0.310
.7 258
.2264 .2270 .2276 .2281
.8200 .8194 .8188 .8182 .8176
0.221 0.222 0.223 0.224 0.225
.1730 .1737 .1744 .1750 .1757
.8700 .8694 .8688 .8682 .8676
0.266 0.267 0.268 0.269 0.270
.2019 .2026 .2032 .2038 .2044
.8435 .8429 .8424 .8418 .8412
0.311 0.312 0.313 0.314 0.315
.2287 .2293 .2298 .2304 .2310
.8171 0.356 .2533 .7906 .8165 0.357 .2538 .7900 .8159 0.358 .2543 .7894 .8153 0.359 .2549 .7888 .8147 0.360 .2554 .7882
0.226 0.227 0.228 0.229 0.230
.1764 .1770 .1777 .1783 .1790
.8671 .8665 .8659 .8653 .8647
0.271 0.272 0.273 0.274 0.275
.2050 .2056 .2062 .2069 .2075
.8406 .8400 .8394 .8388 .8382
0.316 0.317 0.318 0.319 0.320
.2315 .2321 .2327 .2332 .2338
.8141 .8135 .8129 .8124 .8118
0.231 0.232 0.233 0.234
.1797 .1803 .1810 .1816
.8641 .8635 .8629 .8624
0.276 0.277 0.278 0.279
.2081 .2087 .2093 .2099
.8376 .8371. .8365 .8359
0.321 0.322 0.323 0.324
.2343 .2349 .2355 .2360
.8112 0.356 .2585 .7847 .8106 0.367 .2590 .i841 .8100 0.368 .2595 .7835 .8094 0.369 .2600 .7829
W
Hiu
0.191 0.192 0.193 0.194 0.195
.1526 .1533 .1540 .1547 .1554
0.196 0.197 0.198 0.199 0.200
Ju
W
Miu
Ju
.8288 0.336 .2426 .8024 .8282 0.337 .2432 .8018 .8276 0.338 .2437 .8012 .8:m 0.339 .2443 .8006 .8265 0.340 .2448 .8000 0.341 0.342 0.343 0.344 0.345
0.351 0.352 0.353 0.354 0.355
0.361 0.362 0.363 0.364 0.365
.2453 .2459 .2464 .2470 .2475
.2507 .2512 .2517 .2523 .2528
.2559 .2564 .2569 .2575 .2580
.7994 .7988 .7982 .7976 .7971
.7935 .7929 .7924 .7918 .7912
.7876 .7871 .7865 .7859 .7853
-18-
NOTAS
-79-
T
FLEXION PURA
Teoría de Rotura Secciones Te 11
11
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b
-2-
b
b-b'
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2
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•
Alf
Las secciones Te, por el principio de superposlclon se pueden transformar en la suma de dos secciones como se muestra en el esquema.
Una sección rectangular de ancho b', y una secclOn compuesta por los salientes del ala sometida a compresión y a un área de acero a tracción. La resultante a compresión será la suma de la resultante a compresión de la sección rectangular el y la resultante a compresión existente en las alas. la cual puede estimarse suponiendo una distribución uniforme de esfuerzos en las alas y tomando como intensidad máxima permisible el valor de O.85f'q y situada en la mitad del ala. Esta suposición se acerca más a la realidad a medida que el eje neutro baja más en el nervio. Haciendo uso de este artificio las secciones te se pueden tr·atar como secciones rectangulares doblemente armadas donde las alas de la Te son sustituidas por una cierta area de acero ficticia, que se obtiene estáticamente igualando la resultante a tracción ficticia con la resultante a compresión de las alas.
-80-
T
2
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La profundidad del eje neutro se determina igual que en las secciones doblemente armadas:
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Igual para determirar el momento de agotamiento.
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-81-
REVISION DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS Descripción del diagrama de flujo: DATOS: Como se trata de la revlslon de una sección, se conocen las características geométricas de la misma, o sea: As Cantidad de acero sometido a tracción. b Ancho de la cara sometida a compresión. Altura útil de la sección. d t Para las secciones Te: El espesor del ala. El espesor del alma.
f'e fy fu
Las características de los materiales, tales como: Resistencia máxima del concreto a los 28 días. El esfuerzo cedente del acero. La deformación última del concreto.
Por las normas, los coeficientes ~" ~2' ~3 Y el factor de minoración de resistencia r[J.
PROCEDIMIENTO: Se calcula el porcentaje de acero p, si se trata de una sección Te es necesario verificar si trabaja como tal, determinando la profundidad del eje neutro; si éste es mayor que el espesor del ala la sección trabaja como Te; en este caso se adopta el artificio utilizado por el A.eJ. que consiste en transformar el área de concreto de las alas en un área de acero ficticio equivalente. Luego, tanto para las secciones Te como para las rectangulares se determina mediante las fórmulas respectivas, el momento último resistente de la sección.
-82-
REVISION SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS As, b, b', d , t, f y , f~ Te
As
P=-b·d
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Ku
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Normas
A.C.
r.
9.3.2.
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A.C.I.
10.2.7.
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Normas
A.C. L
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REVISION
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1
REFERENCIA
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-84-
DISEI\IO DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS Descripción del diagrama de flujo: DATOS: Como se trata de un diseño se conoce el momento de agotamiento al cual va a estar sometida la sección.
~
las características de los materiales, tales como: f'e Resistencia máxima del concreto a los 28 días. fy fu
Es
El esfuerzo cedente del acero. La deformación última del concreto. El módulo de elasticidad del acero.
Características geométricas de la sección: Forma; Te o rectangular. Ancho de la cara sometida a compresión La altura útil de la sección. Para las secciones Te: El espesor del alma. El espesor del ala. Por las normas, los coeficientes ~h ~2,~3 Y .el factor minorante de _ resistencia cf>,
b d b'
PROCEDIMIENTO: Si la altura útil de la secclOn no es conocida, es necesario suponer cuantía de acero, mayor que la mínima y menor que la mitad de la reqUerida para producir una falla balanceada, con' este valor se determinará la altura de la seq:ión; en el caso de que la altura útil sea conocida, se calcula la cuantía mecánica necesaria, que debe estar comprendida entre los valores normativOs. Si se trata de una Te es necesario verificar si trabajará como tal, determinando la profundidad del eje neutro, que .en caso. de ser mayor que el espesor del ala trabaja como Te, y calculamos el acero ficticio equivalente al concreto de las alas, junto con el mo- ~ mento que resiste. Una vez determinados estos valores es preciso calcular ·el momento remanente y con este; el nuevo valor de la cuantía mecánica y el brazo mecánico. A continuación tanto para las Te como para las secciones rectangulares se obtiene la cantidad de acero a tracción, ~ con las fórmulas. respectivas. ~lIia
-85-
DISEÑO SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS
.A.e.I.
Normas 9.3.2.
4> = 0.9
Normas
A.e.I.
10.2.7.
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Normas
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CALCULO:
T
~II
REVISION.
REFERENCIA:
-87-
REVISION DE SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS Descripción del diagrama de flujo:
DATOS: Como se trata de la revisión de una sección, se conocen las caract e. rísticas geométricas de la misma o sea:
As A'. b
d d'
Cantidad de acero sometido a tracción. Cantidad de acero sometido a compresión. Ancho de la cara. Altura útil de la sección. Recubrimiento de las barras a compresión. Las características de los materiales, tales como:
f'e Eu
fy
Resistencia máxima del concreto a los 28 días. La deformación última del concreto. El esfuerzo cedente del acero
Por las normas los coeficientes ~h K2 , K3 Y el factor de minoración de resistencia P.
PROCEDIMIENTO: Si el área <;le acero a tracción es igual a la de compreSlOn, como el eje neutro sube mucho, se supone la profundidad específica del mismo igual a d'jd y se procederá a realizar el lazo iterativo, para ubicar su posición y así determinar el momento último resistente. En caso de ser diferentes se calcula el porcentaje de acero, luego la cuantía mecánica y la probable profundidad del eje neutro, verificando si el acero a compresión está en cedencia o no. De encontrarse en cedencia el momento último resistente Mu se calculará directamente con la fórmula respectiva, de lo contrario se requiere un proceso iterativo para ubicar la profundidad verdadera del eje neutro, una vez conocida la posición del eje neutro se puede determinar a que esfuerzo está trabajando el acero a compresión y el momento último resistente respectivo.
-88-
REVISION SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS M~,
Es
b, d, d', As ,A's, t~ ,ty,t~ A.C. I.
Normas 9.3.2
= 0.9
Normas
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REVISION:
1
REFERENCIA:
I
PAG
i /i
-90-
DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS DescripciÓn del diagrama de flujo:
DATOS: Como se trata de un diseño, se conoce el momento de agotamiento al cual va a estar sometida la sección: Las características de los materiales, tales como:
f'e· Resistencia. máxima del concreto a los 28 días. f y El esfuerzo cedente del acero. fu La deformación última del concreto. Es El módulo de elasticidad del acero.
Características geométricas de la sección:
b d d'
Ancho de la sección. Altura útil de la sección. Recubrimiento de las barras en compresión
Por las normas los coeficientes ~ 10 K2 , K3 el factor minorante de resistencia cf> y los factores de mayoración de carga.
PROCEDIMIENTO: Se calcula la cuantía mecánica de acero que produce la falla balanceada, ...... la cual depende de los materiales empleados, con lo cual la cuantía máxima que podrá ser utilizada será (por normas A.eJ.) la mitad de la anterior. Con este valor se puede determinar el momento máximo que puede resistir dicha sección, si este momento, es mayor que el actuanteentonces la sección quedará simplemente armada, y se calculará el área de acero como tal, si es menor habrá que absorber el exceso de momento con una pareja de aceros adicionales, quedando doblemente armada, peropara ello será necesario primero verificar si el acero en compresión se encuentra en cedencia o no, con las fúrmulas respectivas.
-91-
DISEÑO SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS
Teoría de Rotura Normas
A.C.I.
9.3.2.
0.9
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Normas
~,
A.C.I.
10.2.7
Normas
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A. C. I.
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Normas
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REVISION:
REFERENCIA:
PAG:
•
l./i
-93-
CASOS PARTICULARES PARA EL DISEÑO OPTIMO Al igual que en teoría clásica se pueden deducir las fórmulas para determinar la altura útil de las secciones para que el diseño sea óptimo, las fórmulas que a continuación se dan son utilizables cuando el acero en compresión se encuentra en cedencia: f'.=fy ,
1)
DETERMINACION DE LA ALTURA UTIL CUANDO SE CONOCE P'
Por definición
p'=A's/bd
~
w=
b·d
f' e
Sustituyendo en la ecuación del momento de agotamiento quedan las siguientes expresiones:
K2 M u =cp{wbd 2fc ( 1 - - w) ~IK3
+
p' bd 2fy (1-d'/d) }
Despejando de esta fórmula la altura útil d se obtiene la expresión buscada:
d
-94-
2)
DETERMINACION DE LA ALTURA UTIL CUANDO SE CONOCE P' /P:
Como
p' / p es
A's= (p'/p) As
conocido entonces
Debido a que la sección será doblemente armada el acero total será la suma del acero que corresponde a la cuantía óptima Ao más el correspondiente al acero en compresión A's
As=Ao+A', Sustituyendo:
Por definición:
Ao =
f' As = (uobd ~ fv
f' wobd _c_ fy
+
(Pi /p)A
s
úJobd(f'/f )
Despejando As
As
=
C
y
1 - PI/p Haciendo las sustituciones sobre la ecuación de momento, queda: Mu=
+
+
(1-d'/d) (P'/p)} Asd f y
(1-d'/d) (p'/p)}q bd 2fc (1-p'/p)
Despejando de esta fórmula la altura úti I d y sustituyendo Ku por su valor W./K1K3
d
_ /
___ Mu_/b_ __
V { W
p' [(1-d'/d ]} p' (1-p'/p)
K2
fe (1- ~IK3
w)
+
-95-
NOTAS
-,
-96-
NOTAS
-97-
FLEXION PURA Teoría de Rotura Secciones de Geometría General Uso del bloque rectangular de esfuerzos equivalentes para el cálculo de secciones de geometría general: El A.eJ. usa como intensidad de esfuerzos para el bloque rectangular el valor de 0.85 f'c, y la profundidad del mismo la llama ~. A continuación se verá la distribución de esfuerzos general para una sección rectangular y su equivalencia con el uso del bloque rectangular: 01. ;: ~ I \í.,. el
C;:.~ol 085·f~
h :
I
.¡.
.~.
r
.....
d
b'
T
.,
T
..
-.f--------____+_ Cuando el anch o es constante el centro de compresión se encuentra a una profundidad de a/2 .. Por equilibrio las resultantes en compresión iguales: A.C.I.10.2.1.(0)
La profundidad del bloque se puede determinar también igualando la tracción y la compresión; quedando:
A,fy = O.85L ab
As f y /o.85f e1 b
-98-
Si las secciones fuesen doblemente armadas se procede igual que en el caso general; siendo
A
a
=
S
- Al
's
En el caso de las Te As
o.85f el b
Cuando
a::>
As!
t
Para determinar el momento de agotamiento al realizar un análisis. se hace igual que antes tomando momentos respecto al punto de aplicación de la resultante en compresión:
Mu = cP {Asfsu(d-a/2)
+ A'sf',(a/2-d') }
Para las secciones Te
La extensión del bloque rectangular consiste en suponer que dicha hipótesis es aplicable a cualquier tipo de sección.
-99-
REVIStON DE SECCIONES DE FORMA CUALQUIERA Descripción del diagrama de flujo: DATOS: Como se trata de una revisión, se conocen las características de la sección estudiada, o sea: Forma de la sección estudiada
As el Cantidad de acero en cada capa. ye)
Distancia de la capa de acero a la fibra más comprimida.
Las características de los materiales, tales como: Resistencia máxima del concreto a los 28 días. fu La deformación última del concreto. fy Esfuerzo cedente del acero. Por las normas, los coeficientes ~1 y el factor de minoración de resistencia qJ.
fe
PROCEDIMIENTO: Se fija una posición tentativa del eje neutro, en base a ésta, se determina el área de concreto que se encuentra sometida a compresión y la resultante de compresión. A continuación se calcula la deformación y el esfuerzo a que está trabajando cada capa de acero. Se puede hacer una corrección por concreto desplazado en caso de que la capa de acero se encuentre en la zona de compresión, esta corrección consiste en reducir el esfuerzo de trabajo del acero en un 85% del esfuerzo de rotura del concreto. Después de obtener los esfuerzos a los cuales están trabajando los aceros se puede comprobar si la sumatoria de resultantes en compresión son iguales a las de tracción, de no ser así la posición del eje neutro fue incorrecta y es preciso hacer otro tanteo con otro valor de Kud hasta obtener la condición de equilibrio. Para determinar el momento de agotamiento de la seCClon, se puede tomar momentos respecto al eje neutro, y minorarlo con el factor de seguridad.
I
1
1'!
-100-
,,
1 , REVISION DE UNA SECCION DE CUALQUIER FORMA Forma de 10 sección Distribución 'i cantidad acero, materiales.
Se
Se
de
fija
determina
Corrección por concreto desplazado
Si
Me =
Mu =
(j).[ t
1=1
1(¡t Kud - l(il) + Me]
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11
CALCULO
I
REVISION,
I
REFERENCIA:
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CALCULO:
I
REVISION:
1
REFERENCIA:
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-103-
NOTAS [qy¡
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-104-
NOTAS
-105-
D
CORTE Teoría Clásica Teoría de Rotura El comportamiento de los elementos 'de concreto armado sometidos a esfuerzo cortante no se ha podido determinar con precisión. El poder idealizar de una manera sencilla el funcionamiento del concreto armado sometido a este tipo de solicitación se dificulta debido a las siguientes razones: a) No se trata de un material homogéneo. b) La formación de grietas se lleva a cabo en sitios no predecibles con exactitud. c) La distribución de esfuerzos varía con el nivel de carga por tratarse de un material no elástico. .~
Una de las maneras para reforzar las vigas de concreto consistiría en colocar un refuerzo transversal perpendicular a la grieta, es decir siguiendo
la trayectoria de los esfuerzos principales de tracción, como se muestra en la .figura siguiente:
p Refuerzo transversal
Refuerzo longitudinal
Trayectoria de los esfuerzos principales de compresión Trayectoria de los esfuerzos principales de tracGión El problema se presenta en evaluar la cantidad· de refuerzo transver- . sal que será necesario proporcionar a la viga para absorber los esfuerzos de tracción que originan las grietas.
-106-
D
Uno de los métodos utilizados para determinar cualitativamente las funciones del refuerzo transversal, es el propuesto por Ritter en el añade 1899, conocido con el nombre de Analogía de la Armadura, en el cual se idealiza la viga como una armadura, asemejándose las funciones del refuerzo longitudinal al cordón de tracción, el refuerzo transversal a las_ diagonales de tracción y el concreto comprimido, entre grieta y grieta a la diagonal de compresión.
C +lIC
T + liT
T
liT = A f cos a + A f V S
V S
sen a
tan
8
V Por equilibrio:
CM ~
It
S
!.
'f
S
,6.M
=
Vs
,6. M
=
,6. T jd
,6. T
= VS/jd
~
It
V
-107-
s
=
'd A
J . v fs
V
D
[cosa +
sen
tan
a]e
Suponiendo que las grietas se forman a un ángulo \J
=
e
45° Y siendo
V
bdj
queda la siguiente expresión:
s
Donde
s
Av f. b
Separación entre refuerzos transversales. Sección transversal del refuerzo. Esfuerzo al cual trabaja el refuerzo. Ancho del nervio.
Cuando el refuerzo transversal se coloca perpendicular al eje del miembro o sea formando un ángulo (J., = 90° se le conoce con el nombre de estribos. La fórmula anteriormente deducida se ha venido usando durante casi medio siglo pero con el advenimiento de la teoría de rotura y con la aparición de las barras corrugadas y los materiales de alta resistencia se le han hecho ciertas modificaciones y consideraciones. A continuación se tratará la fuerza cortante según las Normas A.C.I. y se hará mención únicamente al capítulo en el cual aparece. El esfuerzo cortante nominal se evalúa de la siguiente manera:
Capítulo 11.1.1.
Capítulo
9.3.2.
0=0.85
D
-108-
En el capítulo 11.1.3.1. se recomienda considerar la secclOn crítica a una distancia d de la cara del apoyo. Esto, es debido principalmente a los esfuerzos verticales de compresión que existen en los apoyos, que cierran las grietas, además se ha comprobado experimentalmente que las grietas se empiezan a formar a partir de una distancia no menor de d de la cara del apoyo. A continuación se presenta como se vería el diagrama de cortantes [
clh
¡
¡
J
JtL
L
Diagrama de Corte V u
Vu
=
Fuerza cortante actuante mayorada con el factor de carga
Ve -= Fuerza cortante que resiste el concreto por si' solo. Vs = Fuerza cortante que resisten los estribos.
-109-
D
Una vez conocidas las solicitaciones de corte a la cual va a estar sometido un elemento de concreto se procede a calcular la cantidad de estribos que serán necesarios. En el capítulo 11.3.1.2. se especifica la cantidad de fuerza cortante que es capaz de absorber el concreto por sí solo y por consio sea: guiente el remanente tendrá. que ser absorbido por los estribos
Ve
Como es de notar el valor de Vs tiene que tener un máximo el cual está especificado en las normas en el capítulo 11.5.6.8. Por último hay ciertos valores para las separaciones maxlmas de los estribos a lo largo de la viga, las cuales se resumen al final de este tema.
-110-
D
NORMAS DE SEPARACION DE ESTRIBOS NORMAS A.C.I, COVENIN 18.2.3.3.2
~
El espaciamiento máximo debe ser d 12 en todo el mi~mbro.
bb I~ II-e(
S S
~
..,........------;---1 \ls. .L d j2 S~o. s-d ~ 60 '-'J -
~
60 cm
Dentro de una distancia igual a 2h (COVENIN 18.2.3.4) partir de la separación máxima debe ser: ,1
I~
S
~.
S
15
¡
ir 1 ! -{¡'Dkf/>vT c-
a
. 30 cm / '
Av dj(0.15 A's) La menor
~
\9/y'~/. W·~ ~.~. .~ S ~
S
,!J. . ' .
'J -~
S
~_ -
~ ,:-
_Al,[ Qj{Q.1~ f:.s) / / 8 veces el diámetro de la barra longitudinal '1./ dj4 (COVENIN 18.2.3.3.2) v 24 veces el diámetro del estribo
v
Cuando se requiere acero en compresión (A' s)
CoJ v-- "}-:. S. 'L
/ 11~
'\-c.'r) /¡b ILIJ
S
~
S.
~
16 veces el diámetro de la barra longitudinal
GiLC:nv l.s: c- ~ , /.fe é(> ~ (,;).. t¡ G.;2(,t, l2
Cuando Vu >0.5 cpVc S ~ Av tY j(3.5b') Cuando
S
==
Vs~1.1 dj4.
\Po
b'd
_
-111-
D
DISEÑO DE LOS ESTRIBOS PARA ABSORBER CORTE TEORIA CLASICA
e' , V, b,d, 0
#
t
fe
I
f. p
ACtO
RAllAS
+
A.C. l.
Normas 8.7.1.
V b'· d
'U=--
X Normas
A. C.!. ~
8.7.4.2.
'Ue ..;;
0.29'
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......
1
No
'U > 'Ue
J l
No hacen falta estr i bos
~Si 'U. = 'U
-
'U e
1 Av = ACf) .# RAMAS
Normas
e
'U.>1.2y-t;'
::
Av' f. 'U.' b'
S
e
Si
.. ~
A.C.I.
1977
B.7.5.6.8.
Cambiar la sección
~NO
1 S >7em
\No
..
Si
Ver normas de separaciónj-"
Aumentar el # de ramas Aumentar {3 < 5/8" Cambiar sección
J .
-112-
D
DISEÑO DE lOS ESTRIBOS PARA ABSORBER CORTE TEORIA DE
ROTURA
Ú;)u~" ,{.. l'?~ l,~ A.C. I.
Normas 9,3.2.
Normas
Ca ').Q..-.
A.C.I.
11.3.1.2.
Ve ~ Ve
((,
Normas Nu)\G: • yfe ·b·d Ag
';j.J
l/ ,2-
A. C. I.
11.5.2.
0.53'(1+0.0071 -
<0.93
PARA
V
(1+0.029. N A~)f~'
Nu
fy ~ 4200 kg/cm 2
·tl,d
NEGAT1VO
Normas
1'.3.2.3 .
./ Nu )1 r;;-' • Ve """ 0.53(1 + 0.029 Vfc b·d
Ag
A,C.I,
A.S.IO.
fIlmin
= 3/8"
(# 3)
I\,~ '{C~O.S}.@G~vOa
_ _-Z-_ _
F~-----'-¡
No hacen fal ta estribos
Normas A·C.I. ~_ _ _ _ _ ~
11.5.S.8.
Cambiar la sección
Aumentar el # de ramas 1'1 < 5/8" Cambiar la sección
F = - - - - - - - - - - - a I Aumen·tar
sepa rac i ón
14-----------------.J
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D.
CALCULO:
REVISION:
REFERENCIA:
PAG:
-/./i
o
-114-
NOTAS
'-
-
-115-
LOSAS Armadas en una Dirección Macizas y Nervadas Las losas son los elementos estructurales cuya característica geométrica es que dos de sus dimensiones son relativamente grandes en comparación con la tercera y las características de carga a las que están sometidas tienen por lo general la dirección de la dimensión más pequeña. Su principal función es la de servir de piso o techo cubriendo la separación entre las vigas o muros que la sostienen. Existen distintos tipos de losas las cuales se usan dependiendo de su empleo, las luces que deben cubrir y las cargas que deben soportar.
Las losas macizas tienen espesor constante (Salvo la presencia de cartelas) . Las losas aligeradas están formadas por una losa en la cual se ha eliminado en sitios convenientes y sin perjudicar su estabilidad parte de concreto, y su espesor nominal corresponde al espesor original sin tomar en cuenta los vacíos resultantes. Además existen otros tipos de losas que no corresponden a lo que usualmente se denomina concreto armado como son las losas de tabelones las tridilosas y otras.
-116-
TIPOS DE LOSAS MAS USADAS
;s:; LOSAS
VIGAS O MUROS En 1 dirección
MACIZAS
Losa maciza armada en una dirección
ALIGERADAS
Losa nervada
En 2 direcciones ortogonales
COLUMNAS
Losa maciza armada Losa maciza Fungiforme en dos direcciones
Losa Reticular
Losa Reticular Fungiforme
-117-
LOSAS MACIZAS ARMADAS EN UNA DIRECCION Las losas macizas son elementos estructurales de sección transversal rectangular llena de espesor pequeño. Las losas se arman en dirección perpendicular a las vigas o muros que le sirven de apoyo, por lo tanto trabajan como vigas rectangulares que deben ser simplemente armadas pero con un refuerzo secundario para repartición, en el otro sentido. Cuando la planta es ortogonal se debe armar en la dirección de la luz más corta ya que es el elemento estructural que más se_ repite y así se logra disminuir el área de acero. Este tipo de losas tiene como principal ventaja la sencillez de su construcción y ofrece gran resistencia a los esfuerzos de corte. Entre sus desventajas se tiene e1 inconveniente de su peso propio que es muy elevado lo cual limita su uso cuando se tienen luces grandes.
Además por su masa sólida no son buenas aislantes del ruido y el calor y conducen fácilmente las vibraciones.
+ _1.~ OO_-t-_~'¡"_ Para su cálculo las losas macizas se asemejan a una serie ilimitada de vigas rectangulares paralelas de ancho unitario (1 metro).
-118-
DISEÑO DE LOSAS MACIZAS CON CUANTIA DE ACERO FIJADA Descripción del diagrama de flujo: DATOS: Como se trata de un diseño, se conocen las cargas vivas y se calculará el momento actuante por carga viva. M ev Las características de los materiales, tales como: fe Resistencia máxima del concreto a los 28 días. El esfuerzo cedente del acero. fy Eu La deformación última del concreto. Es El módulo de elasticidad d'el acero. Car~cterísticas
Ye b CA)
geométricas de la sección: Peso específico del concreto. Ancho de la sección = 1.00 mt. Cuantía de acero.
PROCEDIMIENTO: Se sup.one una altura h de la losa y c(m ésta se calcula el peso propio de la misma, luego se determina el momento actuante por carga muerta. Ahora en función del momento actúante y la cuantía de acero, se debe calcular la altura útil de sección requerida para absorber los mo· mentos, usando la teoría clásica o la de rotura. Suponiendo un recubrimiento de 2.5 cm. se chequeá si la altura calculada es igual a la supuesta, si la altura de cálculo es menor o mucho mayor es procede a realizar un nueVQ tanteo. Si la altura de cálculo dio más o menos similar a la supuesta, se puede hacer un pequeño reajuste de la cuantía de acero y hacer 1 ciclo. Por último si la altura de cálculo dio un valor menor que la supuesta se puede calcular el acero con dicho valor estando del lado de la seguridad. Acero de Repartición: Según las Normas A.CJ. capítulo 7.12. [a relación de área de refuerzo a área de la sección total de concreto no debe ser menor del 2 0/00 y en ningún caso debe colocarse con una separación mayor que 5 veces el espesor de la losa, ni mayor de 45 cm.
-
-119-
DI SEÑO DE LOSAS MACIZAS
f~~
fy, Es> Yc ,M cv q, b-l.OOm
(
..
Se
K3
una altura
= 0.42 = 0.85
se calcula el peso
0.9
~,
~
.
= 0.85
f~
- 0.05'
_ 280
70
~1 ~ 0.85
calcula el momento pp, MCM
por
Normas
~ A.C.I.
9.2.
1<1-
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Mu
-
b -
•
Normas
=1
j
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•
4 ·K2·¡..L ] ~,.K3·
VJ·
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•
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Mu f~· b.d'
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I
j
h -(d+ 2 . 5 )
b
I _\ >1C,/
menor o muchQ. mayar que d + 2.5..
Si h
~i h mayor
que
eQún criterio
A.
=
= d + a.5J
CJ?::~ 14- W: ~1'2'K!K3. [1-V1-:
0.75
-
h
c= O.~ot:,
A.C.!.
O)
J l
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Eu Eu + fy/E.
P, ·K3
E:u " 0.003
t?t,~.h
\J..v..:.~
YfMcv
~ O)
A.C.1.
10.:L3
Normas
d
A.C.!.
10.2.7.
pp = b·h· Yc
Se
=
Normas
como
propio
A.C.!.
9.3.2.
K2
supone y
h
Normas
Mu / fV j. d
.
d+ 2.5
Si h
""'"
d+2.5~NO
SEGUN CRITERIO
-120-
DI SEÑa DE LOSAS MACIZAS h , fy, f~ , g b =1.00m d =h - r
A.C. l.
Normas 9.3.2.
=
0.85
Hallar diagramas de corte y momento mayorados por norma. A.C.I
Entrar en el de diseño de gitudinal el
y
CAP.
9.
diagrama acero lon-
determinar
As necesario
Normas
A. C. I.
7.12.
A min :
0.002· b'· d
Normas
A.C.!.
Si
Normas
A.C.I.
6.7.4.1.
\
í:('
11.3.1.2.
'\.le :0.29Vfé
Distribuir
Fijar
Ve
aceros
.
. I
repartlclon
=
Aumentar
la
,r.
V f~ bd
•
I
secclon
-121-
LOSAS NERVADAS ARMADAS EN UNA DIRECCION Las losas nervadas tienen un comportamiento similar al de las losas macizas con la diferencia principal de que está formada por una losa delgada, reforzada por una serie indefinida de nervios paralelos entre sí y a poca separación.
Detalle del nodo con una losa nervada:
L
50
í
h
50
1
L 50
,
Viga de Carga
Igual que las losas macizas las losas nervadas se suelen armar en la dirección de la luz más corta y las nervaduras se colocan perpendicular a las vigas o muros que la soportan, las nervaduras se diseñan simplemente armadas y se le coloca un refuerzo secundario para repartición en el sentido perpendicular a los nervios que se coloca en la loseta.
-122-
El espacio entre los nervios puede quedar vacío aunque a veces para facilidad de su construcción se coloca para su formación bloques huecos de alfarería, de concreto liviano prefabricado o mediante cajones de algún material especial. La ventaja principal de las losas nervadas es la de su menor peso propio conservando la misma resistencia a la flexión ya· que la parte eliminada de concreto se encuentra por debajo del eje neutro, la presencia de los bloques o el espacio que queda libre cuando éstos no se usan deja una capa de aire que sirve como aislante del frío, calor y el ruido. Como desventajas se tienen su dificultad constructiva, por su sección reducida debajo del eje neutro se originan elevados esfuerzos cortantes, son menos adecuadas para soportar cargas concentradas. Generalmente debido a los grandes esfuerzos que se originan en los apoyos de la losa, en esa zona se llenan los espacios vacíos con concreto para absorber dichos esfuerzos conociéndose esto con el nombre de macizado. Para el cálculo de las losas nervadas, se asemejan a una serie ilimitada de vigas Te paralelas de ancho igual al ancho de la loseta que generalmente son 50 cms. Generalmente el espacio libre entre nervio y nervio es de 40 cms y el ancho del nervio se hace de 10 cms con to cual de eje a eje de los nervios hay 50 cms y por metro tienen dos nervios.
-123-
~ I
Como ya se había dicho antes cuando el esfuerzo cortante actuante en el apoyo es superior al que resiste la sección es preciso llenar los espacios vacíos con concreto, la longitud de este macizado, como se le llama es la siguiente: Suponiendo que sobre la losa hay una carga distribuida w se tiene el siguiente diagrama de esfuerzos cortante;
Vu=Corte en el apoyo Vc = Corte que resiste la sección por Normas
Lmc = Longitud de macizado por corte
vu L
V
e
Vu - Ve
Vil L
me
w
me
Cuando el momento actuante en el apoyo es mayor que el resistente también es preciso macizar y la longitud de macizado viene dado por la siguiente fórmula: V
L
nun
u
2(M
w
- M )
a
u
w
M. = Momento actuante en el apoyo Mu= Momento resistente de la sección
Lmm lo i( Ma Mu
lt
a=Ancho de la viga
"1
~
A
,. / ----
-124-
DISEÑO DE LOSAS NERVADAS
(
b',h,f y , f~,t,9 b = 0.5m d = h-2.5cm
Normas
A.C.!.
9.3.2.
•
<1>
=
0.85
Hallar diagramas de corte y momento mayorados por norma.
.-
A.C.I CAP .
Entrar
9.2.
en el diagrama de diseño de acero longitudinal y determinar
Teoría Clásica
el
y rep.
As necesaria
,,.
=
•
b'· .d·
Normas
'1.3.1.2.
B.7.4.~. ~ 'Vc - 0.29 fc
Vc
A. C. 1.
Normas
A. C. I.
Normas
V~ = 0.5~
~c~
A.C.!.
7.12..
bd'
q:,
Amin = 0.002' b'· d
+
Normas
A.C.1.
8.11.8.
momento de del Cálculo agotamiento en la coro del
V c = 1.10. V c
apoyo
wb Longilud de por carIe.
I
L mc =
:;:;
~ l'K3~ e,
,
macizado
Va -
Ve g
..
~
Si
Va>
Ve
' ,2 Mu=fc bd .
•[1
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tú
-
]
No
, .J ,..
M o > Mu .Si
Lmm
=
~a
_
V(~O)- 2(M 0g- Mul
Longilud de macizado
por momenlo
---4
~ Se
toma
lo
mayor
I
-125-
Al realizar un acuerdo con la luz trabajar, para ello las losas macizas
proyecto hay que escoger el tipo de losa que vaya de que se desea cubrir y con las cargas a las cuales va a se ha elaborado la siguiente tabla comparativa entre y las nervadas.
DESCRIPCION DEL ABACO Eje de absisas: En el eje de absisas superior se encuentra el tipo de losa, su altura y su peso propio. En el eje inferior se encuentran para cada tipo de losas una variación de la carga viva que va de 250 a 1.000 Kg/m2. Eje de ordenadas: En el eje de ordenadas se encuentra la luz que se desea cubrir con esa losa. Los números que aparecen dentro del ábaco representan las cantidades de acero que se requiere para cubrir una cierta luz bajo una cierta carga viva y utilizando una de las losas indicadas.
POR EJEMPLO: Se desea cubrir una luz de 5 metros y la carga viva no va a ser mayor de 500 kg/m 2 • Entonces se tendrán las siguientes posibilidades: Losas Macizas de: 12 cm de altura con 15 cm 2 de acero/mt de ancho 15 "
10
20 "
8
Losas Nervadas de: 20 " 25
"
30 "
2 cP %" /Nervio 2 cP 1f2" /Nervio 2 cP 1f2" /Nervio
Se escogerá aquela losa que salga más económica, o que se preste más para los requerimientos de la obra.
-126-
ALTURA DE LOSAS PARA LAS DISTINTAS LUCES CON SU ~~,..
LOSAS
So ~ PESO
RESPECTIVO ACERO LOSAS NERVADAS
MACIZAS
8
10
12
15
20
192
240
288
360
480
20
25
272
316
30 360 6
LUZ
m
1-
9
1--1--
~
61 6
j
15
8
5
6
6 15 7 10
15
6
5
15
5 6
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10 15
15
6
-
-
15
8
15 5 15
10
10
8 15
-8
10
6-
4 8 1 5 - 1-- 6 10 151-- 6
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3r¡¡-
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2~ -
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4 2
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10 8 2 6
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-
15 4
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6
2
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~
8
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5f-
6
6 5 6
10 8 10
4
4-
.-
5
5 5
3 4
3
4
4
5
3 6 .8 1-- c-- 4
3-
4
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3
4
6
6 3 4 3 1-4¡---¡--2~
3
4 3
3
3
4 4
2 2
2
2
6
6 4
2
8
4
8
8
15
2 4
15
8 10
8 lO
6
6
-6
- 1-- -
10 10
4
5
3
2
2 2
2
2-
2
2
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o o o o o o o ..., o o o o o o o o o o ..., o o o oo o..., o ..., o o o o o o o o ~ o o rN rrN N N '" '" '" '" '"o r-'" or N'" ...,o r-'" oor ~ ~ ~ N '" r- ~ ~ '" '"
1
CARGA o o VIVA ..., o
Kg¡ri1'
N
'"
r-
'"
Cada número representa la cantidad de acero en cm' requerida por metro de ancho de la losa,
3 =o 4 =o 5 =o 6 =
0 o o 0 ",o
'" '"o
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2
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RODOLFO
f y = 4200 Ve =
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Kg/cm 2 Kg/cm
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OSERS ::DE
J)ISEÜO
250 f~ =
el crilclllo Ile IJoólcpe,o
¡J8~8
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OBSERVACIONES:
cm.
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Los,o¡
h = 25 cm.
2 I/U.VlO
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cm.
0=30
cm
LOSA.
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6,00
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REVISION:
8.10
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lREFERENCIA:
1I
1.15
I I PAG:
-128-
NOTAS
-129-
DEFLEXIONES
Flexión Pura Teoría· Clásica CALCULO DE LAS FLECHAS Se calculan las deflexiones instantáneas debido a las cargas permanentes " a las accidentales (p) (g) "
o yo
CASO
DEFLEXION MAXIMA
g
.
I 1 I11 L
lt
4 5·1 . g 384"El
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P·1 3·El
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p"13 192:EI
e
I
.
-130-
~{ ::;;;;;;;:: +f
la deflexión total será la inicial por carga accidental más la permanente más un término que se obtiene multiplicando la deflexión instantánea provocada por la carga permanente por un factor que viene dado por la norma en el A,C.I. en el capítulo 9.5.2.5.
F={2-1.2(A's/A}
1:1
~
tot
0.6
= 1:1~l
+
1:1~ (1 + F) l
Esta deflexión deb ser comparada con los valores de la tabla 9-5b y verificar que se cumpla la norma.
ALTURA MINIMA DE VIGAS O LOSAS ARMADAS EN UNA D/RECCION CUANDO NO SE CALCULAN LAS DEFLEX/ONES
NORMAS A.C.!. Tabla 9.5. (a).
CAPITULO 9.5.
Tabla realizada para un concreto normal de 2.3 ton/m3 y una acero cuyo f y = 4200 Kg.jcm 2 • covenin 9.6.1
DY..rtv~u ~A9.lt>. q",.1 MIEMBROS
.~
~ ~
~ ~
,fii;.
t
LOSAS MACIZAS
L/20
L(24
L/28
L/10
VIGAS LOSAS NERVADAS
L/16
L/18.5
L/21
L/8
Esta tabla es válida para miembros que no soportan, o están ligados, a divisiones u otro tipo de construcción susceptibles a dañarse por grandes deflexiones~ a)
Para concretos ligeros cuyo peso volumétrico varía entre 1.4 y 1.9 t/m 3 se deben multiplicar estos valores por (1.65 - O.3y), pero nunca menor que 1.09.
-131-
b)
Para aceros con un f y ~ 4200 Kgjcm 2 • Se deben multiplicar los valores de la tabla por (0.4 + fJ7000) f y en Kgjcm 2
[P-Jw~v
NORMAS A.C.!. CAPITULO 9.5.3.1. Tabla 9.5. (b).
+-f'(jt~ ~.b.1- (~~ S-g)
Deflexiones máximas permisibles calculadas.
CONDICION
Ligado Daños
deflexion
TECHOS
PISOS
TECHOS
PISOS
No
No
Si
Si
Si
Si
No
No
L/180
L/360
L/240
L/4S0
DEFLEXION
MAXIMA
tj.l\
Ac,T
Instantánea debida a la carga viva, L.
s \p.":'-r kSO
(q-II)
A largo plazo debida a todas las cargas sostenidas y a la instantánea debida a una carga viva adicional.
I;f~) (1.~~
~
I¡Nkl
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__________~________~-~11=¿_-__________________, -__~_
RODOLFO
OSERS
~_f_'_~_V_f_F8_m~8S___P_8_F_8__B_I__c_9_lc_e_lu___~~_.__a_v~_C_F_B_fV___A_F_m_8_~_v-;~1 FI..EClt.q HII-':'/Hfl -I?EVISFO~
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0.095522 0.3535
1875.04 covenin 9.14 covenin 9.13 D
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1 A.
11 CALCULO:
1
REVISION:
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PAG:
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-133RODOLFO
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360
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REFERENCIA:
PAG:
%
I
-134-
NOTAS
-135-
FLEXO-COMPRESION Teoría de Rotura Secciones Rectangulares
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r:¡ t' 1"'3 e ,l~ ~
r.- -
++-.
-'~
-
ES3
SUPOSICIONES Y CONSIDERACIONES
a) b) c) d) e)
f)
Conservación de las caras planas (Navier), distribución lineal de las deformaciones. El concreto no resiste los esfuerzos de tracción. La deformación unitaria máxima del concreto a compresión en su resistencia máxima es de 0.003 (A.CJ. 10.2.. 3). El esfuerzo del acero es proporcional a la deformación. Comportamiento inelástico del concreto, la relación esfuerzo deformación no sigue una línea recta sino cierto tipo de curva. No se aplica la ley de Hooke en el concreto. Se empleará para el cálculo la distribución rectangular de e·sfuerzo equivalente en el concreto.
-136-
Se preveerá excentricidades mínimas para tomar en cuenta las excentricidades accidentales. Para miembros con estribos se tomará un 10% de la dimensión más grande pero no menor de 3 cm. Se usará un refuerzo mínimo del 1 % de acero y un máximo del 8%. 10,9.1.
Se requiere un mínimo de 6 barras en columnas circulares y 4 en las rectangulares. El diámetro mínimo de las barras en columnas será de 5/8 (# 51. La separación mínima centro a centro de la barra será: 2.5. veces el diámetro de la barra. 3 veces el lado de la barra (en barras cuadradas). La separación libre entre barras no debe ser menor que 4 cm. La separación máxima entre barra superior a 35 cm.
(según
e.e.e.A.)
no debe ser
Las columnas principales de los edificios tendrán un diámetro mínimo de 25cms y en el caso de ser rectangulares en ancho mínimo de 20 cm, el área total no debe ser menor de 600 cm 2 •
-137-
REVISION DE SECCIONES RECTANGULARES CON ACERO SIMETRICO
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Ú) l,¡iu\ii\.;>
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Con
FS = Factor de seguridad
g, f..l ,"V entra-
mas en los y obtenemos
ábacos W
Entramas en los óbacos con g,"V, wcY obtenemos· el valor
de
f..l
-138-
DISEÑO DE LAS ARMADURAS PARA UNA SECCION RECTANGULAR
Por
normas: e
~
3 cms.
e
~
0.1 t
Mu
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-v = f~ b· t
Con
g, jJ.
materiales abocas y
Normas
,-V, se se
A.C.!.
A.6. l.
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y
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-139-
JI DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS POR EL METODO A.C. l.
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10.11.5.
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-1.11.
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PAG:
-142-
NOTAS
-143-
DIAGRAMA DE INTERACCION TIPICO DE COLUMNAS
e
COMPRESION
PURA
-v e
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o. E o
u
O
><
Q)
LL
FALLA BALANCEADA
t-L e
'o u <>
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TRACCION
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LL
COEFICIENTES ADlMENSIONAlES
9
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-V
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t-L
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P
=
t
fy 0.85· f~
P
Pu
f: .b· t Mu f~· b!t
As b· t
2
'.
-144-
DIAGRAMAS DE INTERACCION
f~
J
fy
J
g
J
Es
J
b
J
Numera de capas = n
t
J
Y(i) ,E: u
L"
Ms :
Correccio'n
por
j=l
concreto
desplazado
fs : fs -
0.85' f~ ~----'-"'-I 'Y s = _N_s_ Ag
fd
fls = _M_,_
.1
Punto de compreslon pura 'fle fls " fl ' o ~
e
q, ·(0.85)·(Ag -As)
'Y "
Ag
Punto
de tracción 'Y
e
'Y
As' fy f~· Ag
c
= 'Y + 'Y
'Y
s
'Y
fl=
fle
'Y
S
s fl
pura
-~
= 'Y e + 'Y'
Punto
de 'falla balanceada
Ku = fl
+. +
O
'Y' = 'Y s :
e
'Y "
=
flc: fls= O
E: u E: u
+ fy/E s
-145-
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fy
:
42~0
Kg/cm2 ~
..,
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-151-
NOTAS
-152-
NOTAS
-153-
18
DISPOSICIONES ESPECIALES Diseño Sísmico Capítulo 18 Normas COVENIN 1756 Requisitos para el diseño de elementos de concreto armado sometidos a solicitaciones de diseño debidas a las acciones sísmicas. De acuerdo a la norma "Edificaciones Antisísmicas', COVENIN-MINDUR 1756, las estructuras se deberán diseñar con tres niveles de diseño diferentes en función de su ubicación y características.
NIVEL DE DISEÑO 3 Las estructuras que deban ser diseñadas de acuerdo a este nivel de diseño, deberán cumplir con las prescripciones contenidas en el capítulo 18 excepto, los descritos en los artículos 18.7 Y 18.8.
NIVEL DE DISEÑO 2 Las estructuras que deban ser diseñadas de acuerdo a este nivel de diseño, deberán cumplir con el artículo 18.8 del capítulo 18.
NIVEL DE DISEÑO 1 A las estructuras que deban ser diseñadas de acuerdo a este nivel de diseño, no se les aplica las prescripciones del capítulo 18. Con respecto al diseño de elementos sometidos a flexión y fuerza cortante, existen dos criterios de diseño, debiéndose ubicar la estructura en uno de los dos para aplicar la norma respectiva.
-154-
18
CRITERIO DE DISEÑO #1 PARA VIGAS (COVENIN 18.2.1) Para diseñar un elemento bajo este criterio, se debe cumplir con los siguientes requisitos:
a.-
Cuando bv/hv .
>
0.3
1. t?} .)JO? i!0~ 7, {..... J ~
,
Gi0 (V¡¡vI. v"
b.- ;;: Cuando bv > 25 cm. Cuando bv a1 a2
c.-
Cuando e
< < <
<
bc + a1 + a2 0.75 hv 0.75 hv
0.25 hc
PLANTA
Cuando Ln Ln d
l~t,>
()-. e.-
>
4 d luz libre del elemento. altura útil.
Cuando la fuerza axial mayorada es menor que 0.1 Ag f' c'
A continuación se enumeran los artículos más resaltantes.
-155-
18
CUANTIAS MAXIMAS y MINIMAS: COVENIN 18.2.2.1.
18.8.2.1. Para los niveles de diseño 2
~ f y
y 3, se debe cumplir:
~ P ~ ./
~
0.025 .
La barra mínima a usarse no será menor que la #4. Debe colocarse al menos una barra en cada esquina.
MOMENTOS ULTIMOS DE DISEÑO: NIVEL DE DISEÑO 3:
En los apoyos, se debe cumplir: (18.2.2.2.1)
En los tramos, se debe cumplir: Mu{+) > 0.25 Mu{-)del apoyo
( 18.2.2.2.2)
Mu{-) > 0.25 Mu{-)del apoyo
NIVEL DE DISEÑO 2:
En los apoyos, se debe cumplir: Mu{ +) > 0.33 Mu{-)
(18.8.2.2.1)
En los tramos, se debe cumplir: Mu{ +) > 0.20 Mu{-)del apoyo Mu{-) > 0.20 Mu{-)del apoyo /
(18.8.2.2.2)
-156-
18
FUERZA CORTANTE DE DISEÑO EN VIGAS: NIVEL DE DISEÑO 3 COVENIN 18.2.3.2.
V1 dis
0.75 (1.4 Vcm + 1.7 Vcv) + Vsis
Vdis
Valor máximo de V1 dis' V2 dis ' V3 dis
Sí V1 dis < Vdis
El factor de minoración ~ para corte, será igual a 0.6 (COVENIN 18.1.2.2.)
Fuerza cortante por cargas_ verticales debidamente mayoradas, suponiendo el tramo como simplemente apoyado_ en los extremos. Momentos Resistentes la viga en los apoyos, Ji1 = 1.0 con fy = 1.25 fy
-157-
18
FUERZA CORTANTE DE DISEÑO EN VIGAS: NIVEL DE DISEÑO 2 COVENIN 18.8.5. 0.75 (1.4 Vcm + 1.7 Vcv) + 1.5 Vsis
V1dis
Vo
Fuerza cortante
por cargas verticales debidamente
mayoradas,
suponiendo el tramo corno simplemente apoyado en los extremos. M1 A M18 M2A M28
Momentos Resistentes de la viga en los apoyos, con ~ = 1.0 fy
= 1.00 fy
-158-
18
CONTRIBUCION DEL CONCRETO A LA RESISTENCIA AL CORTE: NIVEL DE DISEÑO 3 (COVENIN 18.2.3.3.1)
vc =
O Cuando la fuerza axial actuante mayo rada, sea mayor que 0.05 Agf' c Y (M1 A + M1 B)/L n > Va
o (M2 A + M2 S)/Ln > Va Va
Fuerza cortante por cargas verticales debidamente mayoradas, suponiendo el tramo como simplemente apoyado en los extremos.
M1 A M1 B Momentos Resistentes de la viga en los apoyos, M2A M2 S con y1 = 1.0 . fy o:: 1.25 fy
-159-
18
CRITERIO DE DISEÑO #1 PARA COLUMNAS (COVENIN 18.3.1) Para diseñar un elemento bajo este criterio de diseño, se deben satisfacer las condiciones siguientes:
a.-
La fuerza axial mayorada superior a 0.1 Agt'c
b.-
bc/hc > 0.4
C.-
e > 30 cm.
CUANTIAS MAXIMAS y MINIMAS: COVENIN 18.3.3.2.
Para los niveles de diseño 2 y 3, se debe cumplir: 0.01
>
Rg
>
0.06
-160-
18
MOMENTOS ULTIMOS DE DISEÑO: NIVEL DE DISEÑO 3:
Momentos resistentes últimos en columnas para la fuerza axial que conduzca a la menor resistencia a flexión de la columna. Momentos resistentes últimos en vigas, para: $d 0.9 fy = 1.0 fy
> 1.2
NIVEL DE DISEÑO 2:
No se verifica
-161-
18
FUERZA CORTANTE DE DISEÑO EN COLUMNAS NIVEL DE DISEÑO 3 COVENIN 18.3.4.5.
= 0.75 (1.4 ycmu + 1.7 yCVu) + 2.0 Ysismo
y1 u
NIVEL DE DISEÑO 2 COVENIN 18.8.5.
NIVELES DE DISEÑO 2 Y 3 COVENIN 18.8.5 18.3.4.5
N
Momento nominal en la- parte superior de la columna, actuando bajo la fuerza axial del caso de combinación de carga que produce el momento último máximo actuante. . M
MBn Caso
P
u
M u
I
PI
MI
.
. .
i
P.
M.
n
P
M
l
n
l
n
Máximo
Momento nominal enla parte inferior de la columna, actuando bajo la fuerza axial del caso de combinación de carga que produce el momento último máximo actuante .
-162-
18
COLUMNAS DEL PRIMER NIVEL (Sólo nivel de diseño 3): El cálculo de la fuerza cortante de diseño se debe realizar de la siguiente manera;
MAu
Momento último actuante en la parte superior de la columna.
MBU
Momento último actuante en la parte inferior de la columna.
MBn
Momento nominal en la parte inferior de la columna, actuando bajo la fuerza axial del caso de combinación de carga que produce el momento último máximo actuante
Ln
Luz libre de la columna.
B Mn A 2Mu
A Mu
/
/
/
/ / /
/ /
MB n
. :;:.
-163-
18
ZONA CONFINADA NIVEL DE DISEÑO 2 COVENIN 18.8.3.2.2 NIVEL DE DISEÑO 3 COVENIN 18.3.4.2.1
La longitud de confinamiento en ambos extremos de la columna, deberá ser el mayor de los siguientes valores; Lz '::::,.
Lz
45 cm.
~
Dimensión transversal máxima de la sección.
SEPARACION MAXIMA DENTRO DE LA ZONA CONFINADA: NIVEL DE DISEÑO 2 COVENIN 18.8.3.2.2 -> ...--
Smáx
!:S
8 veces el diámetro de la barra longitudinal.
Smáx
~
24 veces el diámetro de la ligadura.
Lz
Smáx ::: 0.5 la dimensión más pequeña de la columna. 1--
Lz --'
.---
Smáx
,;5.
Menor que 30 cm.
NIVEL DE DISEÑO 3 COVENIN 18.3.4.3.1 Smáx ~ 0.25 veces la dimensión más pequeña de la columna. Smáx
¿
10 cm.
-164-
18
ARMADURA HELlCOIDAL MINIMA NIVEL DE SIEÑO 3
AREA DE LIGADURA MINIMA: NIVEL DE DISEÑO 3 COVENIN 18.3.4.3.2
Ash
f'c 0.3 (S· hc . - )
Ag ( - -1)
fy
Ach
La condición anterior no es necesario satisfacerla si se cumple con el artículo _ 18.3.2.1 (COVENIN 18.3.4.3.4)
Ash
f'c 0.12 (S· he . _ )
fy S hc
Separación entre ligaduras Dimensión transversal del núcleo de la columna
Ach
Area de la sección transversal de un miembro medida exteriormente al refuerzo transversal Sección transversal total de la ligadura
Ash
Area total de la sección
-
.
-165-
NOTAS
18
18
-166-
NOTAS
-167-
COMBINACIONES DE CABILLAS Colocación de Aceros Tablas Con frecuencia el calculista de una estructura al diseñar las vigas, losas, columnas, etc., determina el área mínima necesaria de acero de cada sección o también el perímetro mínimo; fijando posteriormente el calibre de las barras correspondientes a estos requerimientos míniruos. En la siguiente página se han tabulado las propiedades de diferentes barras que existen actualmente en el comercio. En el encabezamiento están el diámetro, área de la sección transversal, perímetro y peso de las barras; a continuación se encuentra el área total de la sección de acero, el ancho mínimo de la viga en la cual caben y el perímetro de estas mismas cabillas en cantidad de una (1) a cinco (5) y de las combinaciones de estas mismas cabillas con otras cinco del mismo diámetro o con una a cinco barras de otros diámetros más pequeños. Igualmente se han incluido estos valores para las combinaciones de 1 al 10 de las barras con diámetros superiores al de 1 pulgada. Ultimamente se acostumbra a denominar a las barras con número de su calibre. Este corresponde al diámetro de la cabilla expresado en octavos de pulgada. LEYENDA
j Zema.
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3/8"
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2cms
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fLA
AREAS: en cm
2
ANCHOS MINlMOS: pa ra una capa, en cm.
PERIMETROS: en cm.
1
NOTA:
ANCHO MINIMO
Esta tabla está tomada, COn el permiSO expreso de su ?ut~~, del libro "Dibujo de proyectos de construcción - Casa-QuInta, del Profesor Ha.rry Osers.
-168-
PROPIEDADES DE CABILLAS Y SUS COMBINACIONES 25,40 mm 5,067 cm2 PERIMETRO 7.980 cm PESO 3.978 Kg/m
,
DIAMETRO
AREA
CPNTIlY\ll AREA
cm2
ANCHO cm
PERIM cm
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u.
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1
2
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5
3,88 7,76 11 ,64 15,52 19,39 22 8 13 18 27 6 98 13 9.6 20 95 27 93 34 ~1
1"
# 7
19,05 mm 2,850 cm2 5,985 cm 2,237 Kg/m
1
2
3/4"
#6 4
3
5
2,85 5,70 8,55 11,40 14,25 2'5 12 21 17 .8 5 98 11 97 17 95 23 94 29 92
# 6
7/8"
3/4"
ADIC
5
AREA • 30,40. 35,47 40,54 45,60 50,67 23,27 27,15 31,03 34,,91 38,79 17,1~~ n,80 25,65 28,50 '32 30 34 39 43 47 51 46 44 49 54 36 41 ANCHO. 34 39 , 47,8853,86 59,85 PERIM. ~7,gg 55,86 63,84 7J 82 79,80 41,8948,8755,8662,8469',82 35,91
# 8
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2
5,07 10,13 15,20 20,27 25,34 8 13 19 24 29 7,98 15 96 23 94 31,92 39 90
22,22 mm 3,879 cm2 6.982 cm 3,045 Kg/in
+ (/)
--'
1
1"
#8
# 7 7/8"
AREA. 8,95 14,01 18 13 PERIM 14 96 22 94 AREA 12,82 17,89 23 2 ANCHO 18 PERIM 21 94 29 92 APEA 16,70 21,77 28 3 ANCHO 23 PERHI 28 93 36 9C AREA 20,58 25,65 L¡ ANCHO 27 32 PERIM 35 91 43 89 ARE A 24,46 29,53 37 5 ANCHO -32 PERIM 42,89 50,87
1
ANCHO
19,08 23 ' 30 92 22,96 28 37 90 26,84 33 44 89 30,72 37 51 87 34,60 42 58,85
24,15 28 38 90 28,03 33 45 gg 31 ,91 38 52,87 35,78 42 59 85 39,66 47 66,83
# 6 29,21 33 46 88 33,09 38 53 86 36,97 43 60,85 40,85 47 67 83 44,73 52 74,81
3/4 11
10,61 14,49 18,37 22 17 27 19 95 26 93 ~3 91 13,46 17,34 21,22 26 31 22 25 93 32 92 39 90 16,31 20,19 24,07 26 :'1 36 31,92 38,90 45,88 19,16 23,04 26,92 4,0 ,5 26 30 30 92 37 90 44 .9 51 i7 18,13 22,01 25,89 29,77 30 35 40 44 36,91 43,89 50,87 57,85
6,73 13 12 97 9,58 17 18 95' 12,43 21 24 94 15,28
5/8 11
# 5 22,24 31 40 89 25,09 36 46 88 27,94 40 52,86 30,79 45 58 85 33,64 49 64,83
4,83 12 10.97 6,81 16 15 95 8,79 20 20,94 10,77 24 25 93 12,74 28 30,92
21,37 31 39 90 23,35 )5 44 88 25,33 39 49 87 27,31 43 54 &6 29,29 47 59,84
4,12 12 9 97 '5,38 15 13 96 6,65 19 17 95 .7,92 23 2: 94 9,18 27 25,93
7,68 , 16 16 95 9,65 20 21 94 11 ,63 24 26 93 13,61 29
31 91 15,59 33 36,90
10,52 21 22 94 12,50 25 2792 14,48 29 32 91 16,46 33 37 90 18,44 37 42,89
13,38 25 28 92 15,35 29 33 91 17,33 33 38 90 19,31 37 43 88 21,29 41 48,87
16,22 30 34 91 8,20 34 39 89 20,1~
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44 88 22,16 42 49 87 24,14 46 54,86
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5
7,92 13 13 96 10,77 17 19 95 13,62 22 25 93 16,47. 26 31 92 19,32 30 37,90
12,98 18 21 94 15,83 22 27 93 18,68 27 33 91 21,53 31 39 90 24,38 36 45, H
ANCHO
18,05 23 29 92 20,90 27 35 91 23,75 32 41 8926,60 36 47 88 29,45 41 53,86
23,12 28 37 90 25,97 32 43 89 28,81 37 49 87 31 ,67 .41 55 86 34,52 46 61,84
28,18 33 45 88 31,03 37 51 87 33,88 42 57 85 36,73 46 63 84 39,58 51 69,82
5,86 12 11 97 7,84 16 16 96 9,82 20 21 94 11 ,79 24 26 93
9,74 17 18 9: 11,72 21 23 94 13,69 25 28 92 15,67 29 33 ~ 1 13,77 17,65 29 33 31,92 38,90
# 4
17,18 23 28 93 19,16 27 33 91 21,14 31 38 90 23,]2
22,25 28 36 91 24,23 32 41 89 26,20 36 46 gg 28,18 ~5 40 43 89 51 t.7 25,10 30,16 39 44 48 87 56,85
27,31 33 44 89 29,29 37 4·9 87 31,27 41 54 86 33,25 45 ,9 85 35,23 49 64,83
5,15 12 10 97 6,41 16 14 96 7,68 19 18 95 8,95 23 22 94 10,21 27 26,93
9,02 17 17 95 10,29 20 21 94 11,56 24 25 93 12,83 28 29 92 14,09 32 33 ,91
# 4
5/8 11
# 5
# 5 5/8"
,7,05 12,11 18 13 PERIM 12·97 20 95 AREA 9,03 14,09 A~ChO 22 17 PERUI 17 95 25 93 AREA 11. 00 16,07 21 26 ANCHO PERIM 22 94 30 92 AREA 12,98 i8,05 A,,~CHO 25 30 PERIM 27 93 35 91 AREA 14,96 20,03 ANtHO 29 34 PERIM 32 91 40 89 AREA
1
# 6 3/4"
13,62 22 25 93 15,59 26 30 92 17,57 30 35 91 19,55 34 40 89 21,53 38 45, gg
17,49 26 32 91 19,41 30 37 90 21 ,45 35 42 89 23,43 39 47 88 25,41 43 52,86
1/2 11 12,90 21 24 94 14,17 25 28 93 15,44 29 32 92 16,70 33 36 91 17,97 36 40,90
16,78 26 31 92 18,05 30 35 91 119 ,32 34 39 90 20,58 37 43 89 2.1,85 41 47,88
20
19 95 9,50 24 23 94 10,76 27 27 93 12,03 31 31,92
# 3 20,66 31 38 90 21,93 35 42 89 23,20 38 46 88 24,46 42 50 87 25,73 46 54,86
3,56 12 8 97 4,28 15 11 96 4,99 19 14 96 5,70 23 17 95 6,41 27 20,94
1/2"
6,96 9,81 12,66 15,51 29 16 20 25 15 96 21 94 27 93 33 91 8,23 11 ,08 13,93 16,78 2!¡
79
25 93 12,35 28 29 92 13,61
31,92 15,20 32 35 91 16,46 36 32 33 91 39 20 14,88 117 ,73 35 40 37,90 43,89
"O
37,90 18,05 37 Ú 89 19,31 41 45 88 20,58 44 49,87
3/8"
6,41 9,26 12,11 14,96 20 16 25 29 14 96 20 94 26 93 32 ~ 1 7,12 9,~1 ' Il,1:Sl 1!J,bl 20 24 29 33 17 95 23 93 29 92 35 90 7,83 ¡¡O,65 ' 13,03 116,:l5 28 32 24 37 20 94 26 93 32 91 38 90 8,05 1" ,40 14,<0 11/ ,1 U 27 36 41 32 23 93 29 92 35 90 41 89 9,26 112 ,11 14,96 117 ,81 31 . 35 40 44 26,93 32,91 38,90 44,88
\
-169-
PROPIEDADES DE CABILLAS V SUS COMBINACIONES 15,88 mm 1,979 cm2 4,987 cm 1,554 Kg/m
1 1,98 7 4 99
2,70 mm
#5
2
3
5/e 4
ll
5
1
3,96 5,94 7,92 9,89 1,2/ 7 12 16 20 24 9,97 74 96 19,95 24,93 3,99
5/8 11
# 5
DIAM
1,267 cm2 3,990 cm 0,994 Kg/m
AREA PERU¡
1/2"
#4
PESO
3
2
5
4
2,53
3,80 5,07 6,33 11 15 18 22 7 98 77,97 75,96 79,95
1/2 11
3,24 11
8 97 4,51 15 72 96 5,78 19 76 95 I,U4
23 20,94 8,31 26 24,93
5,22 15 73 96 6,49 19 7J,95 7,75 23 27 94 9,U" 27 25,93 '10,29 30 29,92
7,20 19 78 95 8,47 23 22 94 7 9'2 /
1/2 11
9,18 11 ,16 24 2R 23,93 28 92 11 U,45 112 ,42 27 ,3J 27 92 32 97 b 111. '1 31 , 1' .J'3
i
26 93 3~ 97 .% 9G 1' ,no 1 " ,~~ : ¡q ,~tJ 31 ' 35 39 30,92 35,9G 40,89 12,27 ¡q ,c:' lb ,¿3 43 35 39 34,97 39,89 44,88
# 3
3/8
11
6,98 2,69 15 9,97 3,40 18 2 96 4,11 22 5 95 4,83 26 8,95
DIAM
AREA PERIM PESO
cmr AREA ANCHO
PERIM
CPNT
3
PESO
(¡lj..¡j"
2
#11 13/e 3
2
5 1,58
7,99
3,99
5,98
7,98
9',97
9 10
(¡ljfT
6
7
8
AREA
1,90
2,22
2,54
PESO
9,52 lIIIIl 0,713 cm2 2.992 cm 0.559 Kg/m
CIINT
1
2
AREA
1,43
PERIM
0,71 7 2,99
[Ilj'fT
6
7
ANCHO
2,85
3,17
11
5,98
#3 3/e" 3
4
5
2,14' 2,85 3,56 15 18 22 8,98 77,97 74,96
9 10
8
4,28 4,99 5,70 6,42 7,13 30 34 41 26 37 ANCHO 20,94 23,94 26,9) 29,92 77,95 PERIM
AREA
Ve"
# 9
3
4 1,27
4
5
32,26 1IlIIl 8,170 cm2 70,73G cm 6.403 Kg/m
1
y4
#10 3
2
4
11
5
6,44 12,18 19,3 2 25,77 32,21 8,17 16,34 24,51 32,68 40,85 25 . 30 15 21 26 14 19 9 32 9 8,99 77,99 26,9 8 35,98 44.,98 7G, 73 20,26 3G,39 40,52 50,65
7
6
8
9
10
6
7
8
9
10
38,65 45,10 51,5 457,9864,4349,0247,1965,3673,5381,70 57 38 43 49 55 61 52 ANCHO 41 46 36 PERIM 53,97 62,9777,96 ·80,96 89,96 60,78 7G,97 87,G4 97,77 707,30
ll
7,907 Kg/m
1
1
3 0,95
DrAH AREA PERU¡
7,04 26 22 94 7,76 30 25 93 8,47 34 28 92 9,18 37 37 97 9,90 41 34,97
28,65 mm 6,443 cm2 8,996 cm 5,059 Kg/m
2 0,63
AREA
35,81 mm
AREA 10,064 cm2 PERlIA 77.252 cm
4,51 5,78 18 22 74,96 78,95 5,22 6,49 22 26 77 95 27 94 5,94 7,20 26 20 2e 94 24 92 6,65 7,92 30 34 23 93 27 92 7,36 8,63 37 34 26,93 3G,92
1 0,32
ANCHO
11
2,69 4,67 6.65 8,62 10,60 11 15 19 24 28 7,97 12,96 77,95 22,94 27,92 3,40 5,38 7,36 ~ ,34 11,3" 10 ,\ 21 27 31 70,91 15,95. 20,94 25,93 3G,97 4,11 6,09 8,07 10,U5 12,03 19 23 27 31 35 73 96 78 95 23 93 28 92 23 97 4,83 6,81 8,78 10,76 12,74 31 35 23 27 39 76 95 27 94 26,92 37,97 36,9G 7,52 9 '5U 11 ,q~ 1.J,qb \~4 30 43 39 79,94 24,~ 29 i 9 2 34,9G 39,8°
DIAM
3,24 15 70,97 3,96 18 73,96 4,67 22 76 95 5,38 26 79 94 6,09 30 22,94
CJ\IIT
PERIM 77,97 73,96 75,96 77,96 79,95
3/8 11
# 3 1,98
1/4"
AREA PERIM
11,8713,8515',8317,81 19,79 17 ,60 8,8710,1411,4012,67 32, 26 30 34 37 41 36 , 40 4(; 28 29,'9234,97 39,9G 44,88 49;87' 3,94 27,93 37,92 35,97 39,90
# 4
#2
ANCHa
J
# 4
6,35 mm 0,317 cm2 7.995 cm 0.249 Kg/D.
4
5
43,00 mm
14,523 crn2 73,5G2 cm 11,401 .:g/m
1
2
f%1I
#14 3
4
5
57,33 mm 25,811 cm2 11,002 cm 20,262 Kg/m
1
2
le 2 ~"
# 3
4
5
AREA' 10,06 20,12 30,19 40,25 50,32 14,51 29,03 43,54 58,06 72 ,57 ~5,81
1,62 77 ,4·3 103,2 129,0 45 28 36 ANCHO 17 12 20 24 34 10 31 37 9 16 22 28 PHIM 77,25 22,50 33,75 45,00 56,26 73,5G 27,GO 40,50 54,GO 67,51' 78,GG 36,GG 54,GG 72,GO 9G,G7
CIW
6
AREA
~0,38
ANCHO
PERIM
7
o ü
9
10
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
70,4 4 80,51 90,57 100,6 87,09 101,6 116,1 130,6 14,51 154,8 180,6 206,4 32,2 258,1 86 51 61 69 78 44 53 58 65 71 64 58 40 52 46 7,57 78,76 90,07 7e 7,2 772,5 87,01 94,57 108,0 727,5 735,0 708,G 716,0 744,0 7'62,0 78G,O
-170-
CABILLAS UNIFORMENTE ESPACIADAS
Tomando las mismas consideraciones que en la tabla anterior, en ésta se tabuló el área de la sección de acero en cm 2 /mt, y el perímetro en cm./mt de diferentes calibres de cabillas en función del espacio uniforme entre las barras, medido centro a centro de ellas, considerando un (1) metro de ancho. Esta tabla es útil para determinar la distancia máxima entre las barras para satisfacer el área del cálculo en las losas,. murps, fundaciones, etc.
1/
NOTA:
I
i
Esta tabla está tomada, con el permiso expreso de su autor, del libro "Dibujo de proyectos de construcción. Casa· Quinta", del Profesor Harry Osers.
-171-
CABILLAS
U N I F.O R M E M E N T E ESPACIADAS
~
~ MI. U/M 20.00 16.67 14.29 12.50 11.11 10.00
~
" u
~
5
6.34 39.99
14.26 59.84
25.34
5.29 33.25
11.88 49.87
21.12 66.51
4.59
10.19 42.75
18.11
3.96 24.93
AREA· PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. ARE A PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. ARE A PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. ARE A PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM.
3.52 22.16
6 7 8 9 10
8.33
8.00
12.5
7.69
13
7.14
14
6.67
15
5.56 5.26 5.00 4.44 4.00 3.33 3.00 2.86 2.00
4 1/2 12.70 1.267
AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM. AREA PERIM.
12
5.38
3 3/8 9.52 0.713 2.992
ARE A PERIM.
11
6.00
o o
2 1/4 6.35 0.317 1.195
CM
9.09
6.25
CALIBRE CALlB. PULG. MM.
16 16.6 17 18 19 20 22.5 25 30 33 35 50
3.990 79.80
•5 5/8 15.88 1. 979 4.987
6 3/4 19.05 2.850 5.985
39.58 57.00 39.64 119.70 32.98 ' 47.51 83.13 99.76
DE
~
C AB I L L AS
7 7/8 22.22 3.879 6.982
8 1 25.40 5.067 7.980
77.58 139.64
101. 34
64.66 116.38
84.47
9 1 1/8 28.65 6.443 8..996
10 1 1/4 32.26 8.170 10.130
14 1 3/4 43.00 14.523
11
1 3/8 35.81 10.064 11.252
13.502
18 2 1/4 57.33 2. 311 J 8 J02
CM
107.40 149.• 96
136.19 168.86 116.74 144.75
143.81
102.12 126.62
125.80
6
57.01
28.30 71.26
40.73 85.72
55.43 99.77
114.03
92.07 128.55
37.40
15.84 49.87
24.63 62.34
35.62 74.81
48.49 87.27
63.34 99.75
80.54 112.45
7.92 33.24
14.08 44.32
21. 99 55.41
31.66 66.49
43.10 77.57
56.29 88.65
71. 58 99.94
3.17 19.95
7.13 29.92
12.67
28.50 59.85
38.79 69.82
50.67
39.90
19.79 49.87
79.80
64.43 82.96
2.88 18.13
6.48 27.19
11.52 36.26
17.99 44.88
25.91 54.40
35.26 63.46
46.06 72.53
58.57 81.77
2.64 16.61
5.94 24.92
10.55 33.23
16.49 41. 54
23.74 49.85
32.31 58.16
2.53 15.96
5.70 23.93
10.14 31.92
15.83
22.80 47. BE
53.67 74.93 51. 54 71.96
65.36
32.90
3i.03 55.85
42.21 66 ..47 40.54 63.84
81.04
90.01
10~01
144.01
2.43 15.34
5.48
9.74
21.92 46.02
38.97 61.36
49.55 69.17
62.82 77.89
77 .39 86.52
198.48
30.68
29.83 53.69
111. 62
23.00
15.22 38.35
103.83
138.J3
2.26 14.24
5.09 21. 36
9.05 28.48
14.13 35.61
20.35 42.73
27.70 49.85
36.18 56.97
46.00 64.23
58.33 72.32
71.85
103.63
80.33
96.40
184.29 128.53
14
2.11
4.76 19.95
8.45 26.61
13.20 33.23
19.01 39.91
25.87 46.56 24.24 43.63
33.80 53.22
42.97
54.49 67.56
67.12
96.81
172.15
75.05
90.05
120.07
15
51.06 63.11
62.90
90.71 84.38
161.31 112.51
16
60.38 67.51
87.09
154.C6
81. 01
108.01
16.6
59.17 66,16
85.34
55.95 62.56 52.93 59.18
80.70
151.76 1"5.85 143.50
36.31
50.32 56.26 44.73
72.57 67.51 64.55
28.50
13.30
8.91.
4.46
1.98 12.46
18.70
1.90 11.97
4.28 11.95
1.86 11.73
4.19 11.59 3.96 16.63
1. 76 11.09
1. 66 10.49
3.75 15.73
7.92 24.93
12.37 31.17
7.CO 23.94 7.45 23.46 7.04 22.18
11.87 29.92
6.66 20.98
6.34 19.95
37.40
17.10 35.91
23.27 41.89
31. 67 49.87 30.40 41.88
60.00
40.27 56.22 38.66 53.97
7
160.79
8
140.65
90.76 111.81 112.54, 125.00
161. 26 145.15
101.30
100.64 112.52
135.02
180.02
74.26
91.48
92.08
102.28
131. 94 122.73
234.62 163.63
68.05 84.38
83.83 93.72
120.90 112. 47
215.00 149.95
12
80.51
116.12
206.48
12.5
81. 70
49.02 60.18
70.32
j
9
50. 00
258.11
10 11
13
11.64 29.32
16.76 35.19
22.81
15.85 33.27
21.57 38.81
29.79 46.92 28.17 44.36
37.88 52.89
11.00 27.73
50.01
48.03 59.56 45.42 56.32
10.41 26.23
14.99 31.48
20.40 36.72
26.65 41. 97
33.89 47.31
42.97 53.28
9.90 24.94 8.80 22.16
14.25 29.92 12.67
19.40 34.91 17.24
25.34
40.85
26.60
31.03
22.52 35.47
32.22 44.98 28.64 39.98
45.02
50.01
60.01
80.01
11.40 23.,94 '1:49 19.93
15.52 27.92
20.27 31.92
25.77 35.98
32.68
40.25
58.06
40.52
45.00
54.00
103.24 72. 00
25
12.92 23.25
16.87 ' 26.57
21.46 29.95
20 ••94
15.20 23.94
19.33 26.98
85.95 59.94 77;43
30
11.64 11.09 19.96
14.49 22.82
18.43 25.92
23.36 28.97
33.51 37.46 30.19 33.75 28.78 32.18
48.33 44.96
8.55 17.95 8.15 17.11
27.20 33.73 24.51
5.70 11. 97
7.75 13.96
10.13 15.96
12.88 17.99
16.34 20.26
1. 58 9.97 1.41 8.81
3.57 14.96 3.17 13.30
5.63 17.63
1.26 7.98
2.85 11.29
5.07 15.96
7.92 19.95
1.05 6.64 0.95 5.98
2.37 9.96 2.14 8.97
4.22 13.28
0.91 5.70
2.04 8.55
3.62 11. 41
6.59 16.61 5.94 14.96 5.66 14.26
0.63 3.99
1.42 5.9&
2.53 7.98
3.95 9.97
3.80 11.97
17.81
72.41
~
m 5
159.60 133.02
..
41. 05
39.90
35.82
50.65
30.39
79.3 Q
17 18
75.07
100.09
76.34
135.76 94.69
19
129.05
20
71.02
43.54
90.01
114.72
22.5
33
40.50
54.00
41. 51 38.61
73.81 51.48
35
20.12
29.03
51.62
22.50
27.00
36.00
50
1:.·
-172-
'"
PARA LONGITUDES DE DESARROLLO
NORMAS A. C.I.
CAPITULO 12.2.
BARRAS SUJETAS A TRACCION
Longitud de desarrollo de varillas y alambres corrugados sujetos a tracción. La longitud básica de desarrollo deberá ser: 12.2.2. Id = 0.06 Asfyj v'f'c> 0.006 . 0· f y Id = 0.8fyj v'f'c Id = 1.1fyj v'f'c Id 0.11 ·0' fyj v'f'c
Para varillas del # .11 o menor Para varillas del # 14 Para vari lIas del # 18 Para alambre corrugado Nunca menor de 30 cm. Espesor por d b cm Debaj o (cm) ~
#
> 30 < 30
2
0.63
3
0.95
< 30
4
1. 27
5
1.58
< 30 > 30 < 30
6
1. 91
7
2.22
8
2.54 .
9
2.87
10
3.22
11
3.58
14
4.45
18
5.72
>30
> 30
> 30 < 30 > 30 < 30 > 30 < 30 > 30 < 30 > 30 < 30 > 30 < 30 > 30
< 30
> 30 < 30
f
y
=
= 2800 Kg/cm 2 f'c
en
f
Kg/cm 300 350
y
= 4200 Kg/cm 2 f'c
200
en 250
200
250
30 30 30 30 30 30 36 30 48 34 65
30 30 30 30 30 30 30 30 39 31 53 38 69 50 88 63
30 30 30 30 30 30 30 30 36 31 49 36 64 45
127 91
81 58
161 115
144
77
30 30 30 30 30 30 30 30 43 31 58 42 76 54 96 68
134 96 168 120 ·222 159 278 199
120 86 148 106 199 142 249 178
111 79
102 73 126
202 144
181 129 224 160 299 214 374 267
'lI6
85 60 107
139 97 181 129 226 161
90
166 119 208 149
30 30 30 30 43 31 54 38 71
51 97 69
251 179 333 238 416 297
30 30 30 30 43 31 45 38 64 46 87 62 114 81 103
Kg/cm 300 350
30 30 30 30 43 31 41 38 58 46 79 57 . 104 74 131 94
30 30 30 30 43 31 38 38 54 46 73 54 96 69 121 87
167 119
153
204 146 272 194 340 243
190 136 249 178 311 222
1.09
12 0 (cm) 8 12 16 20 23 27 31 35 38 42 54 69
-173-
I
La longitud de desarrollo se deberá multiplicar por los siguientes factores. Si el espesor de concreto por debajo de la varilla es de 30 cms o más
Si el acero tiene un punto cedente fy mayor a 4200 Kg/cm 2
Si el espaciamiento entre varillas es mayor de 15 cms centro a centro y por lo menos a 8 cms de la cara lateral del elemento 12.2.4.
Capítulo 12.3.
Normas A.CJ.
Longitud de desarrollo en barras sujetas a compresión:
fy.0jvr:
Id = 0.08' Id mayor que 20 cms.
~
0.004· fy·0
12.3.2.
Cuando el área de las varillas sea mayor que la requerida se podrá reducir la longitud de desarrollo así: I d = A (requerida) / A (proporcionada} * Id BARRAS SUJETAS A COMPRESION:
fy =
1I
0
cm
, 2
0.63
3
0.95
4
1. 27
5
1.58
6
1. 91
7
2.22
8
2.54
9
2.87
10
3.22
11
3.58
14
4.45
18
5.72
200 20 20 20 24 28 33, 38 42 47 52 66 85
fe
2800 Kg/cm Kg/cm z
fy =
en
250 20 20 20 21 25 30 34 38 42 46 .59 76
300 20 20 20 20 23 27 31 35 38 42 54 69
350 . 200 20 20 20 21 20 28 20 35 23 42 27 50 31 57 34 64 38 71 78 42. 54 69
99 127
fe
4200 en
Kg/cm Kg/cm 2
250 20 20 25 32 38 44 51 57 63 70
300 20 20 23 29 35 40 46 52 58 64
350 20 20 23 29 34 40 46 52 57 63
89 114
81 104
80 103
12 0 cm
8 ' 12 16 20 23 27 31 35 38 42 54 69
-114-
NORMAS A.C.I. PARA ANCLAJES y PROLONGACIONES DE CABILLAS
12.11.3 En el punto donde no se requiere acero para resistir flexión, se debe prolongar las cabillas en una longitud igual a la altura útil del elemento o 12 veces se diámetro, excepto en los apoyos de un sólo tramo yen el extremo libre de los voladizos. 12.12.1 Por lo menos 1/3 del refuerzo por momento positivo en miembros libremente apoyados y 1/4 del refuerzo por momento positivo en miembros contínuos, debe prolongarse a lo largo de la misma cara del miembro del apoyo. En las vigas, dicho refuerzo, debe prolongarse por lo menos15 cm. del apoyo. 12.12.2. Cuando un miembro sujeto a flexión, sea parte fundamental del sistema que resiste las cargas laterales, el refuerzo positivo que se requiere que se prolongue en el apoyo de acuerdo con la sección 12.12.1. debe anclarse para que desarrolle una resistencia especificada fy a la tensión en la cara del apoyo.
12.13.3. Por lo menos un tercio del refuerzo total dispuesto para el momento negativo en el apoyo, tendrá una longitud de anclaje más allá del punto de inflexión no menor que:
d,
12
I
L /16 en longitud de cara a cara.
-175-
NORMAS ACERCA DE LAS LONGITUDES SOLAPES SEGUN EL A. C. 1. NORMAS A.CJ.
Capítulo
12.16.
Solapes en zona de tracción:
TIPOS DE SOLAPES Tipo de solape requerido de acuerdo al flS Proporcionado
porcentaje máximo de acero solapado
As Requerido
Igualo mayor que 2 Menor que 2
50
75
100
A
A
B
B
e
e
Solape tipo A .................. 1.0 Ld Solape tipo B................... 1.3 Ld Solape tipo C............. " .... 1.7 Ld Ld es la longitud de desarrollo por tracción para la resistencia a la fluencia fy de acuerdo con el artículo 12.2.
Capítulo 12.17. Solapes en zona de compreslon: La longitud de solape L será la longitud de desarrollo Id pero no menor que: 0.007 f y 0 para aceros cuyo f y sea menor que 4200 kg/cm 2 (0.013 f y -24) 0 para aceros cuyo f y sea mayor que 4200 kg/cm2 pero nunca debrá ser menor que 30 cm, y para concretos cuya resistencia sea menor que 210 kg/cm2 la longitud de solape se aumentará en una tercera parte.
-176-
DISPOSICIONES DEL A.CJ. PARA EL DISEÑO SISMICO
A.5.3.
El momento resistente positivo de los miembros sujetos a flexión en las conexiones con columnas, no debe ser menor que el 50 % del momento resistente negativo.
A.5.4.
Por lo menos 1/3 del refuerzo de tensión proporcionado para momento negativo en un apoyo, debe anclarse prolongándolo más allá de la posición extrema en el punto de inflexión, pero no menos de 0.25 In desde el paño de apoyo.
A.5.7.2.
La longitud de desarrollo, debe calcularse a partir de la cara más cercana de la columna.
A.5.7.3.
Cada varilla debe terminarse con un gancho standard a 90°0 con una combinación de la longitud de anclaje equivalente aun gancho a 90° más la longitud de anclaje adicional del refuerzo de acuerdo con lo requerido para desarrollar la resistencia a la fluencia especificada fy.
A.5.S.
La longitud de anclaje del refuerzo en zonas confinadas no debe ser menor de 2/3 Id ni de 40 cm. donde Id se debe calcular de acuerdo con la Sección 12.2.2. incluyendo para el concreto ligero, el factor de la Sección 12.2.3. En otras zonas, la longitud de desarrollo se debe calcular de acuerdo con el cap ítulo 12, pero debe ser> 40 cm.
A.5.14.1 . . La longitud m ínima de traslape, debe ser de 24 d b pero no menor de 30 cm.
, 1
-177-
'"
"
EJEMPLO PARA LA DISTRIBUCION DE CABILLAS EN UNA VIGA DE ACUERDO A LAS NORMAS DE LONGITUD DE ANCLAJE Y DESARROLLO DE LAS NORMAS A.C.1. Q: 7500 Kg/m
1:~r---5.0-0----,~rr------6-.50---'~L
400
l~
I
25144 Kg
17524 Kg
16635 Kg
3.35----+1
23605Kg 1 V=17524-7500X
v = 25144 - 7500 X
v= 16635 - 7500X
22082
DIAGRAMA DE CORTE
0.721
+
8954
+ PUNTOS DE INFLEXION
9498
1M:
15066
2 -9498+16635X _75~OX
M=-20069 +25144X - 750~ X
20069
2
I DIAGRAMA DE MOMENTO
I
4.9
4.0
12.0
4.0
8.4
4.0
6.3
4.0
16.7
4.0
4.0 4.0
¡
-178-
1.- Se colocan 34>5/8" para cubrir el acero minimo en la capa o lecho superior de la viga; Estas cabillas se colocan de extremo a extremo.
2.- Debido a las longitudes de las barras comerciales (6,9 y 12 m) no se pueden colocar corridas a todo lo largo y por ello será necesario realizar un empalme en zonas de tensiones favorables esto es, en zonas de compresión. De acuerdo al ACI-318-77 la longitud de desarrollo será
ART 12-17;12-3
%' 5/8 =t>
/R =36.82
0.08f y db 0.007f y db
= 46.7
30cm.
d b= 1.588 cm. f y = 4200 Kg/cm2
f~
= 210
Kg/cm
Se toma la mayor de las tres L = 47 cm. por comodidad
se
toma
L = 50 cm.
3.- Estas barras
fy/{1; =
Id = 0.006 db fy Id = 30
=
34.43
se toma
40.02
la mayor Id = 40.02
Por ser una cabilladel lecho superior, se multiplica por 1,4 Art 12.2.3. Id= 1.4 x 40.02
= 56.03
se toma Id
= 55 cms.
De acuerdo con el artículo A.5.7.3. debe terminarse coñ un por ello se colocará un gancho en la siguiente gancho a 90 manera.
El ~-I
-179-
I
L
I
1:J: .25
~I
5.00
~f
4.00
3¡zl 5/S"
a
3¡zl5/S"
.r
.50
¡,
~
4.- Se colocan barras para completar el acero necesario en los apoyos (ver figura) y se cumplen las normas 12.13.3 En vista que no se desea dejar cabillas en tracción, se llevan todas las barras más allá del punto de inflexión, no menor que la altura util de la sección, o 12 veces el diámetro de la barra o 1/6 del claro la que sea mayor. Además de esta norma,hay que cumplir la norma 12.1 por ello se dispondrá la longitud de desarrollo a partir de la cara del apoyo; además,por disposiciones de diseño sísmico,la tercera parte del acero del apoyo por momento negativo, debe pasar el punto de inflexión y anclarse con la longitud de desarrollo o 0.25 veces la luz del claro.
..L
.20
.92
~
j12.13.3·1
t
IJIQ
'
l~_
llr
6.50
,
It
1
~
I PUNTO . I NFLEXION
-180-
f1'2.2.l
Se procede a calcular la longitud de desarrollo básica, de acuerdo a las normas ACI 12. 2.2 Y ACI 12.2.3 ~ Id = 0.06A s f yj.[1;=67,47 Se toma . Id =. 0.006 db f y= 55.99
la mayor
Id=30
Id =67,47
Por ser lecho superior, Id = 67,47 x 1.4 = 95 cms. Se calcula la longitud total de la barra; medida desde el eje Norma 12.13.3 0.92 + 12db = 0.92+0.27 = 1.19
+
0.92 1/16L n=0.92+ 1/16*6.5 0.92 + d = 0.92 +.40 = 1.32 Norma 12.1
L :::. 0.2 + 0.95
Norma A.5.4
L
=
0.2
t
=
=
1.33
1.15
0.25 (6.10)
= 1.73 ~ 1.75
Se toma la Lmás grande de todas en este caso L = 1.75 Igual se realiza con los restantes apoyos.
j
!
I
k
~~------:L~'í~----------~ 5.00
6.50
4.00
1
2 ~ 7/8" 1.65
I
1.75
21!1l 5/8" b
1.75
1,·55
e
l~
-181-
5.- Para el momento positivo, se coloca el refuerzo necesario y se ~ 12.12.1 ancla cumpliendo la norma 12.12.1, es decir, 1/4 del refuerzo total, debe prolongarse en el apoyo y debe entrar en este como mínimo 15 cms. en el caso de apoyos contínuos, en el
~ A.5.7.3
caso de apoyos simples, se deberá prolongar tan solo 1/3 del refuerzo total, sin embargo, en zonas sísmicas, se deberá terminar la barra con un gancho a 90
de acuerdo a la norma
A.5.7.3 en aquellos miembros sujetos a flexión sin miembros en el lado opuesto. La norma 12.12.2 especifica, que si el m iembro es de un sistema para resistir cargas laterales, se deberá anclar las barras, proporcionando lalongitud de desarrollo a partir de la cara del apoyo.
~~_____________________~_._15___'2_.'_2~.2:-_~_____________ Lo
I
1/3 As
TOTAL
1/4
As
TOTAL
El momento resistido positivo, no debe ser menor que el 500;0 que el momento negativo en el apoyo, por lo que se le debe dar a las barras en el apoyo la longitud de desarrollo, claro está a las que van a resistir ese 50% de momento. Se procede a calcular la longitud del anclaje. Se va a tomar para ejemplo, el apoyo 2 y las barras que llegan a este.
/'
r:::l
~
-182-
Se cumple la norma 12.12.1; 1/4 del refuerzo, debe pasar el apoyo y entrar en este como mínimo 15 cms. y de acuerdo a la norma 12.12.2 se ancla con la longitud de desarrollo básica para desarrollar Fy en la cara del apoyo. -
Por estas razones, las barras de 7/8" que representan
7.76 cm2 se prolongan 15 cms en el apoyo. -
Las barras de 1" que representan 10.14 cm2 se pasan
completas anclando con la longitud de desarrollo básica a partir de la cara del apoyo. Se calcula la longitud del desarrollo básica (Art 12.2.2) Id
= 0.06 As fyjK
Se
Id = O.006clb fy Id
toma
la
mayor,
en este caso
= 30 cms.
Id
=90 cms.
Por lo que la longitud L medida desde la cara de la columa será L~ ld - 90 cms. Nótese que al haber realizado este cálculo, ya se cumplió la norma 12.12.1 y 12.12.2
l'
<
5.00
6.50
l,
1
.90
I
4.00
¿
>
>
;<
.,(
;;
201"
I .90
:
k
1 k 1 d
.15:
1
II
207/8"
: .15
:e
III
/
"
,' 1
-183-
:
'i:'
i
,1
'"
i1T
J'>'
- Las barras de 3/4" que representan 8.52 cm2 se anclan con su longitud de desarrollo a partir del eje del apoyo, con lo que se cumplen las normas 12.12.1, 12.12.2, A.5.3 La longitud de desarrollo básica será de acuerdo a la norma 12.2.2 0.06A s fyj¡;:; se toma la mayor; en este caso 0.006 db· fy 30 50 cms. Nótese que el acero de 3/4" (8.52cm2) representa más del 50 /. del acero negativo y por ello en el apoyo se resiste más del 50/. del momento negativo como momento positivo, cumpl iendo por ello la norma A.5.3; además como se dijo antes, se cumplieron por ende las normas 12.12.1 y. 12.12.2 - Faltaría por cumplir con la norma A.5.7.3 para las barras de 3/4" en los apoyos simples; las cuales de acuerdo a la mencionada norma, han de determinarse con un gancho de 90 , cuya longitud sea la de desarrollo básica, de acuerdo a la norma 12.2. 6.50
5.00
I
Irl
.301
I
~r.
4.00
I
305/8" .
1.65
1.30
.40 .50
1.75
1.75
b
3!215/S"
r
o
I
. 1.55
2
1
5/8,"
e
------~--e
~I......I _--::--__.°1¡.;-.30
207/8"
7
303/4"
f
2
!1l 1"
.30
II~
• "
-184-
1,:
",'
"'.'"
NOTAS
-185-
CARGAS Y SOBRECARAGAS PESOS DE MATERIALES SOLICITACIONES SISMICAS PESO DE LOSAS EN KG/Mf2:
PESO kg/m 2
TIPO DE LOSAS ALTURA h 50
~
~¡ lO
~
~
Jf..,.
25 cm
30 cm
Sin bloques
192
216
240
Con bloques de concreto liviano
246
286
313
Con bloques de arcilla
272
316
360
Con bloques de concreto
290
336
380
480
600
720
~
'(
~
20 cm
4010 1, ~ Ji¡
~
NERVADAS
MACIZAS ~
I
CARGAS DE RECUBRIMIENTO POR M 2 PARA TECHOS
Kg
Relleno para pendiente
60
Base para pavimento
Impermeabilización de asfalto y fieltro
60
Pisos de mosaico y cerámica
100
Friso
30
Piso de granito
100
Baldosa asfáltica sin base de pavimento
4
PARA ENTREPISOS e~4cm.
Kg 80
-186-
PESO DE PAREDES EXPRESADAS EN KG/Mf2 DE PISO; suposición de paredes cada 3.60 mts en cada sentido y entrepisos de 2.50 mts de alto, o sea 1.40 me de pared por cada mf de piso.
Espesor (cm) 6 10 12 15 20 25
Bloques de Arcilla Bloques de Concreto Sin friso Con friso Sin friso Con friso
-
-
-
100 120 150 200 250
180 200 230 280 330
170 190 210 280
"
-
250 270 290 360
Ladrillos Sin friso 130
Con friso 210
-
-
250
330
-
-
-
-
500
580
Se calcula en general a base de la densidad media 1400 Kg/m 3 o promedio de 200 Kgjmt2 de aquel piso que tenga paredes.
-187-
SOBRECARGAS POR CARGA VIVA
Viviendas Balcones de más de 1.20 mt de luz Oficinas Oficinas en U.S.A. Lugares de reunión, aulas, pasillos Escaleras Cines, teatros, auditorios Hospitales Lugares públicos Garages
Kg/m2 175 300 250 400 300 400 400 300 500 500 - 900
Estacionamiento para carros de pasajeros
400
Azoteas sin acceso, incluyendo viento pendiente menor de 10°
100
-188-
NORMAS A. A. S. H. T. O. PARA PROVECTO DE CARRATERAS: Tanto las cargas equivalentes como las cargas rodantes actuarán sobre las trochas o canales. En cada trocha la carga viva actuará donde se produzca los esfuerzos más desfavorables. TROCHA: Es la superficie sobre la cual se mueve una fila de vehículos. El ancho de la trocha viene dado por el tipo de carretera, que tiene estipulado por la Norma un ancho de calzada específico. El ancho de la calzada vendrá a ser el número de trochas por el ancho de cada una. La norma establece un factor de. reducicón de cargas vivas cuando el número de trochas es mayor de dos.
NOMENCLATURA UTILIZADA: W Wc N FR
Ancho de cada trocha (mt) Ancho de la calzada (mt) Número de trochas Factor de reducción de carga viva.
Wc W N
Tabla para anchos libres de calzada en función del número de trochas y su respectivo factor de reducción. Número Trochas
2 3 4 5 6
7 8 9 10
Ancho de calzada (mt)
6.10 9.15 12 . 80 16 . 50 20 . 00 23 . 90 27. 60 31 . 40 34 . 70
-
9.15 12.80 16. 50 20. 00 23. 90 27.60 31.40 34. 70 38.40
Factor reducción
1.00 0.90 0.75 0.75 0.75 0.75· 0.75 0.75 0.75
-189-
SOBRECARGAS EN ACERAS PARA PUENTES Para el proyecto y cálculo de las aceras, vigas, y sus apoyos se su420 Kg/m2 de acera pondrá una sobrecarga de Para el proyecto de vigas principales, celosías y otros elementos del puente se usará como sobrecarga la indicada en la tabla siguiente:
L
W
LUZ DEL PUENTE (mt)
SOBRECARGA (Kg/m2)
L 0.00 - 7.62 7.62 - 30.48 Mayor que 30.48
P 420 300 (30+914.4/L). (16.8-WJ/3.1
longitud cargada en mt ancho de la acera en mt
Cuando las aceras son menores que 80 cm. se denominan burladeros, y solo se- estipula una sobrecarga igual a las de la acera si son mayores de 60 cm. Para burladeros menores de 60 cm. no se colocará sobrecarga.
SOBRECARGAS EN LOS BROCALES
F -4,.-----4..I'!"'~ Hb
;~:':
F
Hb
750 Kg/m ::S 25 cm
-190-
SOBRECARGAS VIVAS PARA PUENTES
Las cargas vivas que abajo se exponen se refiere a cargas por trocha e incluye las dos ruedas del camión. ~
u6t 2700
H-
4.25
~ 8 t
Kg
10900 Kg
H-15-S16
t
4.25
2700 Kg
4.25 -
10900
6150
Kg.
8850
Kg.
710
t
9.00
K~
10900 Kg
PARA
MOMENTO
PARA
CORTE
Kg/mt
CARGA EQUIVALENTE H-15
-191-
SOBRECARGAS VIVAS PARA PUENTES
~
q5 -6] H
t
4.25
3600 Kg
t
14500 Kg
H-20-S16
4.25
t
~8 4.25 -
14500 Kg
3600 Kg
9.00
t
14500
8200
Kg.
PARA
MOMEN TO
11800
Kg
PARA
CORTE
950
Kg/mt
CARGA EQUIVALENTE
H-20
CARGAS EQUIVALENTES: La carga equivalente representa un tren de camiones y está formada por una carga uniformemente repartida y una carga concentrada, que tendrá un valor u otro según se esté calculando el momento o el corte actuante en un punto determinado.
-192-
fUERZAS DE fREN"ADO Las fuerzas de frenado se consideran aplicadas en el centro de masa del vehículo, que se encuentra a 1.80 mt del nivel de la calzada. La fuerza total de frenado será: la fuerza por trocha, multiplicada por el número de trochas dividido por dos y redondeado al número inmediato superior.
NORMA PARA EVALUAR LAS FUERZAS DE FRENADO Se preveerá una fuerza longitudinal igual al 5% de la carga viva sobre todas las trochas de tráfico en un mismo sentido, usando la sobrecarga equivalente con la carga concentrada para momento sin impacto. Se aplicará la reducción de carga por número múltiple de trochas.
J #:
LA FUERZA F = CV . o.05[Número d; trochas
.
FR
Este término se redondeará al inmediato superior "Número de trochas en una dirección"
Sobre el tablero se producirá un momento igual a: M = F(1.8
a
+
a)
La distancia desde el borde superior de la calzada hasta donde se calcula el momento en el tablero.
-193-
COEFICIENTES DE IMPACTO: para incrementar las cargas vivas.
15 S 0.30 L
L
+
38
La longitud en metros de la luz cargada que produce el máximo esfuerzo en el miembro en consideración.
Para los apoyos: La longitud L será el promedio de las luces en los tramos adyacentes.
(Momento -) Para los tramos: La longitud L será la longitud de ese tramo (momento +) Para Voladizos: La longitud L será la longitud del apoyo a la aplicación de la carga más alejada. Para el caso de fuerza de corte: Se tomará como longitud L la distancia de la luz cargada entre el punto de estudio y el apoyo más alejado. Excepto en los voladizos donde se tomará como impacto el valor de 0.30. PARA LOSAS DE CALZADA: Se tomará como L ia luz de cálculo. COEFICIENTES DE IMPACTO EN ALCANTARILLAS Altura del relleno cms. O - 30 33 61 63.5 - 89 -;:::: 91
-
Carga viva CV
Coeficiente de impacto 0.30 0.20 0.10 O
CV * # de trochas * FR * (1
+ 1) *
1.20.
-194-
PESOS DE LOS MATERIALES DE CONSTRUCCION Peso espeCífico
MATERIALES DE FABRICA EN OBRA Bloques huecos de concreto Ladrillo corriente ladrillo poroso ladrillo hueco multicelular ladrillo hueco poroso
Kg/m3
1400 1800 1100 1250 1000
MORTEROS EN OBRAS De De De De
cemento cal cal y cemento yeso
2150 1700 1900 1200
CONCRETOS EN OBRA
Concreto armado De granzon, piedra picada, sin armar.
2400 2200
MADERAS Araguaney Canalete Caoba Carreto Cedro Jabillo Pardillo Saquisaqui Pitch-pine
1030 850 590 790 440 460 670 480 680
CALES Cal en pasta Cal en sacos Cal hidratada en polvo Caolín
1300 1000 640 2260
-195-
F,······)·,·····;,] 11 ¡ 1 1
PESOS DE LOS MATERIALES DE CONSTRUCCION
Peso específico Kg/m 3
CEMENTOS Cemento suelto Cemento en sacos
1200 1600
MATERIALES DIVERSOS Porcelana Vidrio en láminas Vidrio de ventanas Yeso fraguado seco Acero de construcción Aluminio puro
2400 2600 2500 1400 7850 2600
PAVIMENTOS Asfalto fundido
1400
REVESTIMIENTOS Mortero Mortero Mortero Mortero Yeso
de de de de
cal y de yeso cemento y de yeso cemento con alumbre yeso con alumbre
1700 1900 2400 2500 1200
-196-
PESOS DE LOS MATERIALES ALMACENADOS
MATERIAL Basura Cacao o café en sacos Caucho manufacturado Corcho Goma Harina Huesos Lana en telas Libros y similares Parafina Paja compactada Papel Trigo Vidrio en lámina Carbón Coque de hulln Alcohol Gasolina Petróleo crudo
peso específico Kg/m3
660 700 1550
240 1800 500 1900
1300 850 1150 170
1100 750 2600 1000 500 800 740 880
-197-
CARGAS POR SISMO
Como aproximación suficiente, el afecto de los movimientos sísmicos se calculará tomando en cuenta fuerzas estáticas horizontales de direcciones cualesquiera aplicadas a nivel de cada entrepiso y en el plano de apoyo de los techos. El valor de dicha fuerza horizontal se calculará por la fórmula siguiente: p¡ hi
F¡
(Pi hi) Fuerza horizontal en cada nivel Peso muerto del piso considerado más - de la carga viva total. En azoteas sin acceso la carga viva se considera nula, y en los edificios destinados a depósitos o estacionamientos se toma la carga viva total (Covenin 7.1.2 y 7.1.3.) Es la altura desde el piso considerado hasta el nivel de base (Primer piso del edificio que no se encuentre totalmente confinado). Sumatoria de todos los Pi Fuerza cortante basal Fuerza concentrada en el último nivel (9,2.3)
Fi Pi
h p Vo = Ft =
T
Ct
0.06
Ct
Ft
T*
0.04 ~ Ct ~0.10
- 0.02
Va
Va
:::,.Aoa Vo- - 7.1.1
flActP
6
3 (N + 1) fl~
2 (2 N + 1)
N =
Acl
Ta
=
fl~
0.8 +
Número de niveles Ordenada del espectro de Diseño Período fundamental de la estructura
o.os[ ::
-lJ
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-" ;
-198-
!
'
: ;
GRUPOS DE EDIFICIOS SEGUN SU USO
COVENIN 5.1.1. GRUPO
a
A
1.25
Sancos y viviendas en general
S
Depósitos, establos y galpones
e
' 1.00 0.00
GRUPOS DE EDIFICIOS SEGUN SU USO Edificios importantes en caso de catástrofes Edificios de contenidos valiosos Edificios Gubernamentales importantes
NIVELES DE DISEÑO ZONA
1 2 3 4
(COVENIN 7.2.)
Nivel de Diseño GRUPO GRUPO A B
2-3 2-3 3 3
1-2-3 2-3 2-3 3
(7.2.) Aceleración horizontal Ao
0.08 0.15 0.22 0.30
TIPOS DE ESTRUCTURAS (Covenin 5.3.1) I 11 111 IV
Estructuras donde predominan los pórticos (marcos dúctiles) Muros y pórticos 005 pórticos deben resistri el 25 % de la fuerza srsmica. Paredes o pantallas de concreto (poca deformación plástica). Estructuras con una sóla línea resistente, edificios en los cuales la placa no actúa como diafragma rfgido.
-
-
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-199-
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FACTOR DE DUCTILIDAD (COVENIN 5.4.1.) TIPO DE ESTRUCTURA Nivel de Diseño
N03 N02 N01
I
1I
6
5 3.75 2
4.5 2.5
FACTOR DE REDUCCION DE RESPUESTA: (Covenin 5.4.2)
T
R = 1 + --(D-1)
Para T < 0.15 seg
R = D
Para T > 0.15 seg
0.15
PERIODO FUNDAMENTAL ESTIMADO: (9.2.2)
Estructuras TIPO I
Estructuras TIPO 11 Y 111
Ta
0.09 h n
= -V"""=L=--
111 4 3 1.5
IV 1.5 1.25
1.0
-200-
ESPECTRO DE DISEÑO Ad Covenin 7.2.
aAo[ AcJ AcJ
AcJ
T
1
+
-(~ - 1)
0.15
]
T < 0.15
R a~Ao
0.15 ~ T ~ T*
R
a~Ao R
[-;-j
T > T*
T*
Perfil de Suelo
~
S1 S2 S3
2.2 2.2 2.0
p (seg)
0.4 0.6 1.0
0.8 0.7 0.6
-201-
NOTAS
-
I
_202-
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\j
- J
l j j j j j
-203-
ELABORACION DE UN PROYECTO Pasos a Seguir
En la elaboración de un proyecto es preciso establecer previamente las características que conformarán los criterios de diseño, tales como: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Los materiales a utilizar Tipo de estructura (losas macizas, nervadas, etc.) El uso de la obra Ubicación de la obra Normas (M.O.P.; A.C.I.) Coeficientes de mayoración, factores de seguridad, etc.
Una vez conocida esta información se procede a proyectar. Se comienza ·con el diseño de las losas; son los elementos que más se repiten. Una vez diseñadas las losas, éstas determ inan las carga:s verticales que. se transmiten a las vigas. Estas junto con las columnas constituyen los pórticos que se deben analizar. Al tratarse de losas armadas en una dirección, los pórticos que las soportan se llaman usualmente pórticos de carga y aquellos que son paralelos a la dirección de la armadura principal (a los nervios). o sea son por lo general ortogonales a los pórticos de carga y sirven para absorber el sismo en esta dirección se les llama pórticos antisísmicos. Una vez analizados los pórticos, (se determinan los esfuerzos de los elementos que los constituyen). se procede al diseño de cada uno de ellos. Cuando se está empleando la teoría de rotura se debería conocer la carga viva (CV) y la carga muerta (CM) por separado para poder aplicarles sus respectivos factores de mayoración y así obtener la carga de diseño es decir la carga última Cu . sin embargo generalmente lo que se conoce es la carga vertical que corresponde a la suma de la carga viva y de la carga muerta (CV CM). En este caso, basándose en la relación carga mue¡rtajcarga viva (CM/CV) se procede a determinar un factor de mayoración global (FM) para la carga vertical global. .
-204-
Cu
=
l.4CM + 1.7CV = FM (CM +
CV)
Si se divide la expresión anterior por la carga viva (CV) se obtiene: 1.4(CM/CV) + 1.7 = FM(CM/CV + 1)
Despejando el factor de mayoraci6n: 1.4 + 1.7 (CV /CM)
l.4(CM/CV) + 1.7 FM = - - - - - - 1 + CM/CV
CV/CM + 1
En aquellos casos donde se desea conocer el valor de carga muerta (CM) o de la carga viva (CV) por separado se procede de la siguiente manera: CM + CV)
=
CM + CV
Dividiendo esta expresión entre la carga viva (CV) se obtiene: (CM
+ CV)
-
CM/CV + 1
CV Despejando la carga vertical (CV) (CM + CV)
CV
(CM + CV)
CM/CV + 1
CM
(1 + CV /CM)
CV
Una vez determinadas las solicitaciones a las cuales van a estar sometidos los diferentes elementos estructurales se procede al diseño de los mismos. Se diseñan primero las vigas sometidas a flexión y corte y se dibujan los detalles con los despieces, secciones transversales, etc., indicando sus dimensiones, para poder elaborar luego el respectivo cómputo métrico. A continuación se procede al diseño de las columnas (por teor ía de rotura) haciendo los análisis y combinaciones de carga que estipulan las normas, finalmente se hacen los dibujos de las secciones transversales de las mismas dejando irdicada las separaciones de cabillas y de ligaduras, también se acostumbra hél¡,cer el detalle de los nodos.
-205-
PASOS A SEGUIR EN LA ELABORACION DE UN PROYECTO
í
f~ , fy ,
r , Normas,
Geometría,
Cargas
~,
Escoger a
el tipo de losa según los requeri-
usar
mientos.
~,
Diseño
•
de
las
Determinar
las
o las
vigas
Realizar los
reacciones
transmiten
que
el
pórticos
• de
losas
carga .
de
de
carga
boja
y
cargas
horizontal.
y
Diseñar
las
análisis
antisísmicos vertical
losas
vigas
las
y
columnas.
,¡, Hacer despiece losas,
el
detalle de
vigas
y
cabillas
y
el de los
columnas
-206RODOLFO
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- Marín, J.; Güell, A. "Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado", Imprenta Universitaria UCV, Caracas 1987 - Arnal E.; Epelboim S. "Manual para el Proyecto de Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones", Fundación "Juan José Aguerrevere" CIV, Caracas 1985
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OBRAS DE LA MISMA CASA
ESTUDIO DE GEOMETRIA DESCRIPTIVA T amo l. Proyección Cilíndrica. Tomo 11. Proyección Cónica. Por: Ing. Harry Osers PROBLEMARIO DE GEOMETRIA DESCRIPTIVA Por: Ing. Harry Osers DIBUJO Tomo Tomo Tomo
DE l. 11. 111.
PROYECTOS DE CONSTRUCCION Casa-Quinta, Estanque para una Urbanización (Agotado) Urbanización.
Por: Ing. Harry Osers RECOPILACION DE DETALLES TIPICOS DE OBRAS CIVILES Por: Ing. Harry Osers
FLUJOGRAMAS PARA EL CALCULO DE CONCRETO ARMADO Por: Ing. Rodolfo Osers. PROBLEMARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES Por: Ing. Tomás Osers. TABLAS PARA ELCALCULO DE ALCANTARILLADO Por: Dr. Ing. Harry Osers I ng. Rodolfo Osers Ing. Tomás Osers
TABLAS Y ABACOS PARA EL CALCULO DE CONCRETO ARMADO (En preparación). Por: Dr. Ing. Harry Osers Ing. Rodolfo Osers I ng. Tomás Osers
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I
SOFTWARE DEL AREA H&R&T OSERS, Ingenieros El cálculo de elementos de concreto armado se presta para la elaboración de programas para el computador, el uso de estos programas permite la optimización de los elementos y por ende la economía de la obra debido a que por la facilidad y rapidez de diseño que ofrece el computador se puede determinar hasta que punto conviene reducir o ampliar cada sección. El autor de este libro, en conjunto con los ingenieros de H&R&T OSERS, Ingenieros se ha dedicado desde 1979 a preparar programas de este tipo en los computadores personales y han desarrollado los siguientes programas: T HRT-CBDS ", HRT-VIGAS T", HRT-LOSAS T", HRT··ENVICAD T", además de otros programas aún en proceso de desarrollo. En todos estos programas están incluídas estas facilidades Especiales: I Uso de PLANITRON TM (Planilla electrónica), desarrollado por los autores de
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H,R!, para la entrada de todos los datos, simplificándose rnl':l:VIY'nn
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I
HRT-LOSAS™ Objetivos Generales. I
Realizar el análisis de Losas Continuas de Concreto Armado, Macizas o Nervadas, armadas en una o dos direcciones, considerando las deformaciones debidas a flexión.
•
Diseño en concreto armado de las losas. Las losas armadas en una dirección pueden ser diseñadas por teoría clásica o por teoría de rotura. Las losas armadas en dos direcciones son diseñadas únicamente por teoría de rotura.
I
Preparar los cálculos en reportes que puedan ser entregados en las respectivas oficinas gubernamentales.
Objetivos Especificas I
Determinación de los desplazamientos de las juntas.
I
Determinación de las fuerzas en los extremos de los miembros.
•
Diseño en concreto armado por Teoría Clásica o por Teoría de Rotura de la Losa por nervio o por metro de ancho, según el caso.
I
Determinación de las cargas sobre las vigas de apoyo.
I
Determinación de los macizados.
.
.
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D
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H RT-C 8 OS ™ (Concrete
Building Design Software)
Objetivos Generales Realizar el cálculo de estructuras constituídas por Pórticos planos ortogonales o no entre sí y cada uno de ellos formado por vigas y columnas ortogonales entre sí, considerando las deformaciones debidas a fuerza axial, corte y momento en columnas y las deformaciones debidas a fuerza cortante y momento en vigas. Las cargas deben estar contenidas en el mismo plano vertical de cada pórtico. Preparar los cálculos en reportes que puedan ser entregados en las respectivas oficinas gubernamentales.
Objetivos Especificos I Determinación de los desplazamientos de las juntas.
• Determinación de las fuerzas en los extremos de los miembros. I
Diseño de las vigas y columnas.
I Resumen de las cargas sobre las fundaciones. I
Determinación de la Matriz Lateral de cada Pórtico (Para realizar un Análisis Sísmico tanto estático como dinámico del edificio).
I Repartición Sísmica Estática. I Repartición Sísmica Dinámica.
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HRT-ENVICAD
•
Tn
Objetivos Generales • Dibujar utilizando un delineador digital (PLOITER), los planos de envigados. • Dibujar los planos de despieces de vigas, losas, escaleras
y
detalles.
Objetivos Especificos • Mediante el uso del delineador digital y usando una entrada electrónica interactiva de datos, dibujar en planos con tinta china la planta de envigados de una quinta o un edificio, asi como el despiece de las losas, esto último se realiza en forma automática. • Usando la información generada por el sistema HRT-CBDS Tn dibujar los despieces de cabillas y separación de estribos de las vigas que comprenden un pórtico, tomando en cuenta la posibilidad de agrupar vigas de diferentes niveles.
• Dibujo de los detalles típicos que requieren un plano estructural.
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o• HRT-VIGAS
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Tn
Objetivos Generales I Realizar él análisis y diseño de VIGAS Continuas de Concreto Armado,
simplemente o doblemente armadas, considerando las deformaciones debidas a flexión. • Diseño por Teoría de Rotura. • Preparar los cálculos en reportes que puedan ser entregados en las respectivas oficinas gubernamentales.
Objetivos Especificos
I
l·
I Apoyos: I Rodillos
• Empotramientos • Libres (Volados) I Determinación de los desplazamientos de las juntas. I Determinación de las fuerzas en los extremos de los miembros.
• Diseño por Teoría de Rotura. • Determinación de las cargas y momentos sobre los apoyos .
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HRT-ENVICAD
•
Tn
Objetivos Generales • Dibujar utilizando un delineador digital (PLOITER), los planos de envigados. • Dibujar los planos de despieces de vigas, losas, escaleras
y
detalles.
Objetivos Especificos • Mediante el uso del delineador digital y usando una entrada electrónica interactiva de datos, dibujar en planos con tinta china la planta de envigados de una quinta o un edificio, asi como el despiece de las losas, esto último se realiza en forma automática. • Usando la información generada por el sistema HRT-CBDS Tn dibujar los despieces de cabillas y separación de estribos de las vigas que comprenden un pórtico, tomando en cuenta la posibilidad de agrupar vigas de diferentes niveles.
• Dibujo de los detalles típicos que requieren un plano estructural.
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