Fizika 10

Fizika 10.

1. ELEKTR ELEKTROSZ OSZT TATIKA TIKA 1.1 Elektromos Elektromos kölcsönhatás kölcsönhatás 1. Elektromosság a görö görögg (ele (elekt ktro ron) n) boro borost styá yánk nkőő szób szóból ól szár szárma mazi zik, k, amel amelyy megdörzsölve magához vonz kisebb testeket. 2. A foncso foncsoroz rozott ott bőrrel bőrrel megdör megdörzsö zsöltlt üvegrú üvegrúd, d, a szőrm szőrméve évell megdör megdörzsö zsöltlt ebonit ebonitrúd rúd a közelébe közelébenn elhelyeze elhelyezetttt papírsze papírszeletké letkék, k, vagy a selyemszá selyemszálra lra felfügges felfüggesztet ztettt bodzabél bodzabél golyót magához vonzza, majd érintkezés után eltaszítja . 3. Fü Függ ggeesszü sszünk nk fel fel sely selyem emsz szál álra ra fonc foncso soro rozo zotttt bőrr bőrrel el megd megdör örzs zsöl öltt üveg üvegru ruda datt és közelítsünk hozzá egy másik, ugyancsak megdörzsölt üvegrúddal. Azt tapasztaljuk, hogy a két üvegrúd taszítja egymást. 4. Ugyan Ugyanez ez figyel figyelhe hető tő meg ebon ebonitr itrúdd úddal al is. 5. A foncso foncsoroz rozott ott bőrrel bőrrel megdö megdörzs rzsölt ölt üvegrúd üvegrúd és a szőrmé szőrmével vel megdö megdörzs rzsölt ölt ebonitrú ebonitrúdd között viszont vonzást tapasztalunk. tapasztalunk. 6. Kétféle elektromos töltés van: A) foncsorozott bőrrel dörzsölt üvegrúd töltése pozitív ( + ) . B) szőrmével megdörzsölt ebonitrúd töltése negatív ( - ) . 7. Azonos elektromos töltésű testek taszítják , a különböző töltésű testek vonzzák egymást. 8. Dörzsölé Dörzsöléskor skor nemcsak nemcsak az üveg üveg vagy az ebonit ebonit nyer nyer töltést, hanem hanem a foncsorozo foncsorozotttt bőr és a szőr szőrme me is. is. A kísé kísérl rlet etek ek azt azt muta mutatjtják ák,, hogy hogy két két külö különb nböz özőő anya anyagú gú test test összedörzsölésekor a két testen ellentétes előjelű töltések halmozódnak fel, abszolút érték értékre re nézve nézve egyen egyenlő lő menny mennyisé iségbe gben. n. Ebből Ebből arra arra köv követk etkez eztet tethet hetünk ünk,, hog hogyy az elektromo elektromoss töltés töltés két két test test dörz dörzsö sölé lése se sorá soránn nem nem kele keletk tkez ezik ik , hanem a kétféle elektromos töltés szétválik. 9. Fémek et et dörzsölés útján csak úgy tudjuk elektromossá tenni, ha pl. ebonit vagy teljes es felül felület etük ük elekt elektrom romos os lesz lesz , plex plexiny inyélh élhez ez rögzít rögzítve ve tartju tartjuk. k. Ekkor Ekkor viszon viszontt telj ellentétben az ebonit vagy az üvegrúd dal, dal, amelyek csak a dörzsölt helyen nyernek elektromos töltést . Ebből arra következtethetünk, hogy egyes anyagokban a töltések könnyen elmozdulnak, míg másokban nem. 10. A) Az olya lyan anyag yagokat okat,, ame amelye lyeken a töltés töltések ek szaba szabadon don elmoz elmozdul dulhat hatnak nak , elektromos vezetők nek nek nevezzük. B) Az olyan anyagokat, amelyek csak a dörzsölés helyén lesznek elektromosak és megérintve csak az érintés helyén adják le töltésüket , elektromos szigetelők nek nek nevezzük. 11. Jó vezetők: fémek, grafit, savak, bázisok. Jó szigetelők: kén, gyanta, üveg, ebonit, száraz levegő. 12. Annak Annak a kimutatás kimutatására, ára, hogy egy test elektromosa elektromosann töltött töltött vagy sem, igen alkalmas eszköz az elektroszkóp. elektroszkóp. Ez azon az elven működik, hogy az azonos töltésű testek taszítják egymást. Fém házba szigetelten bevezetünk egy fémlapot, amelyhez egy véko vékony ny féml fémlem emez ezké kétt vagy vagy fóli fóliát át rögz rögzítítün ünk. k. Az elek elektr tros oszk zkóp ópra ra felv felvitittt tölt töltés és nagyságától függően a fólia illetve a tengely körül elforduló fémlapocska nagyobb 1

Készítette: Nagy Ignác

Fizika 10. vagy kisebb mértékben eltávolodik a rögzített fémelektródától. A töltések előjele is meghatározható az elektroszkóp segítségével, pl. a pozitívan töltött elektroszkópra ismeretlen előjelű töltést viszünk, akkor a fólia jobban vagy kevésbé tér ki attól függően, hogy ez pozitív vagy negatív előjelű.

13. 13. A tölt töltés ések eket et nemc nemcsa sakk dörz dörzsö sölé léss ssel el lehe lehett szét szétvá vála lasz szta tani ni,, hane hanem m ún. ún. influencia (megosztás) megosztás) révén is. Az elektroszkóp mutatója már akkor is kitérést mutat, ha töltött testet közelítünk feléje, és az elektroszkóp lemezkéi összeesnek, ha a töltött testet eltávolítjuk. Ezt a jelenséget az alábbi módon értelmezhetjük:

Normális feltételek mellett a vezetők semlegesek, egyenlő mennyiségű pozitív és negatív töltést tartalmaznak, és mindkét töltés egyenletesen egyenletesen oszlik el. Amikor a vezető közelébe pl. pozitív töltésű testet viszünk, ennek a vezető pozitív és negatív töltéseire gyakorolt taszító és vonzó hatása miatt a vezetőnek a töltött test felöli részén a negatív, a túlsó részén a pozitív töltések lesznek túlsúlyban, mivel a vezetőben a töltések szabadon elmozdulhatnak. A töltött test eltávolítása után a vezetőben levő töltések eloszlása ismét egyenletes lesz. Megosztás révén egyenlő mennyiségű pozitív és negatív töltést választhatunk szét. Két szigetelő állványon lévő fémgömböt érintsünk össze, és vigyünk közelükbe egy tölt töltöt öttt test testet et.. A töltö töltötttt test test jele jelenl nlét étéb ében en vála válass sszu zukk szét szét a két két fémg fémgöm ömbö böt.t. Azt Azt tapasztaljuk, hogy a két fémgömbön egyenlő mennyiségű, ellentétes előjelű töltések vannak, amit elektroszkóppal elektroszkóppal ellenőrizhetünk.

2


Fizika 10.

Egyetlen szigetelő állványon lévő fémgömböt is feltölthetünk megosztás révén. A töltött test közelében a szigetelő állványon lévő fémgömböt f émgömböt egy pillanatra megérintve, a fémgömb a megosztó test töltésével ellentétes előjelű töltést nyer, mivel a megosztó test töltésével azonos előjelű töltéseket elvezettük, az ellentétes influenciatöltést a megosztó test lekötve tartja. Tehát a megosztó test töltésével azonos előjelű töltés elvezethető a fémből.

1.2 Coulomb törvény törvényee 1. Pontszerű Pontszerű töltött töltött testek testek között fellépő fellépő erőhatás erőhatásról ról először először Coulomb Coulomb adott kvantitatí kvantitatívv összefüggést. Méréseit torziós Azt tapa tapasz szta talta lta,, hogy hogy tölt töltöt öttt torziós mérlegge mérleggell végezte végezte. Azt gömbök esetén az erőhatás arányos a gömbök töltésének szorzatával, ha a távolság közöttük állandó. (A töltések felezhetők, ha egy töltött gömbhöz ugyanolyan nagyságú töltetlen gömböt érintünk.) A töltésmennyiséget állandó értéken tartva, az erőhatás a távolság négyzetével fordított arányban csökken. Az erő iránya a töltéseket összekötő egyenes irányába esik, azaz az erő centrális.

Azonos előjelű töltések taszítják, az ellentétes előjelű töltések pedig vonzzák egymást, a taszítás pozitív, a vonzás pedig negatív előjelű erőt fejezi ki. 3


Fizika 10. F ~ Q1 . Q2 1 F~ 2 F~

r Q1 ⋅ Q2

r 2

F = k ⋅

Q1 ⋅ Q2 r 2

A töltés mértékegysége: 1 C

Egységnyi az a töltés, amely a vele egyenlő nagyságú töltésre 1 méter távolságból 9 . 109 N erőt fejt ki. k=

F ⋅ r 2 Q1 ⋅ Q2

=

9 ⋅ 10 9 N ⋅ 1 m 2 1 C ⋅ 1 C

Nm 2

k = 9 . 109

C 2

Feladatok:

1. Mekkora távolságra van egymástól az a két pontszerű test, amelynek töltése 2 . 10-6 C és 3 . 10-8 C, és 60 N nagyságú erővel taszítják egymást? Megoldás : Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = 3 . 10-8 C F = 60 N F = k . r=

Q1 ⋅ Q2 r 2

k ⋅ Q1 ⋅ Q2 F

= 3 ⋅ 10 −3

m

2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel?

4


Fizika 10. Megoldás: r = 10 m

F = 100 N 2

F = k ⋅ Q2 r

Q=

F ⋅ r 2

= 1,054.10-3 C

k

3. Mekkora erővel hat egymásra 2 m távolságból egy 10 -3 C és egy 10 -4 C pontszerű töltés? Megoldás: Q1 = 10-3 C Q2 = 10-4C r=2m F = k ⋅

Q1 ⋅ Q2 r 2

= 225 N

4. 90 cm hosszú vízszintes helyzetű szigetelőrúd két végén 2 . 10-8 C és 8 ..10-8 C nagyságú, azonos előjelű töltéssel rendelkező gömbök vannak. A rúdon súrlódásmentesen csúszhat egy töltött, a rúdra fűzött kis golyó. Hol van egyensúlyban a rúdon ez a golyó? Megoldás: Q1 = 2 . 10-8 C Q2 = 8 . 10-8 C l = 0,9 m A golyó töltése legyen Q. A golyó ott van egyensúlyban, ahol a rá ható erők eredője 0. Q1 ⋅ Q Q ⋅Q k ⋅ = k ⋅ 2 2 2 x (l − x) 2 ⋅ 10 −8 x 2

=

8 ⋅10 −8 (0,9 − x ) 2

6x2 + 3,6x – 1,62 = 0 x1 = 0,3 m x2 = -0,9 m

nem megoldás

5. Mennyivel változik két töltött gömb között a taszítóerő, amikor az egyikről a másikra ΔQ töltést viszünk át, ha kezdetben egyenlő töltésük volt? 5


Fizika 10. Megoldás: ΔF = F 1 – F 2 F 1 = k ⋅ F 2 = k ⋅

Q2 r 2 (Q + ∆Q) ⋅ (Q − ∆Q)

r 2

ΔF = k ⋅

= k ⋅

Q2

− (∆Q) 2 r 2

( ∆Q) 2 r 2

6. 2 . 10-8 C és –3 . 10-8 C nagyságú pontszerű töltések távolsága 10 cm. Mekkora erő hat a 6 . 10-8 C nagyságú töltésre, ha azt az előbbi két töltés közötti távolság felezőpontjában helyezzük el? Megoldás: Q1 = 2 . 10-8 C Q2 = -3 .10-8 C Q = 6 . 10-8 C r’ = 0,1 m r = 0,05 m F 1 = k ⋅ F 2 = k ⋅

Q ⋅ Q1 2

r

Q ⋅ Q2 2

r

= 4,32.10 -3 N = -6,48 .10 -3 N

F = F 2 – F 1 = -2,16 . 10 -3 N

7. Egy négyzet mindegyik csúcsában egyenlő Q = 2 . 10-7 C nagyságú és egynemű töltés helyezkedik el. Mekkora töltést kell elhelyezni a négyzet középpontjában, hogy az így nyert töltésrendszer egyensúlyban legyen? 6


Fizika 10. Megoldás: Q = 2 . 10-7 C

Az A csúcsban levő töltésre a többi három csúcsban levő töltés által kifejtett erők eredője: k ⋅ Q 2

F e = k ⋅

a

Q a

2

2

Q’ =

2

  

Q⋅

2

⋅

2

+

k ⋅ Q 2 2a

1 k ⋅ +   = 2 

2

+

2

= k ⋅

Q2 a

2

  

2+

1 



2 

Q ⋅Q' a2 2

1 2

= 1,91 . 10 -7 C

2

8. Három kicsi fémgömböt Q1 , Q2 , Q3 töltéssel látunk el. Határozzuk meg e három töltés nagyságát, ha a gömböcskéket páronként egymáshoz 20 cm-re közelítve közöttük páronként F 1,2 = 100 N , F 1,3 = 200 N illetve F 2,3 = 300 N nagyságú erő hat! 7


Fizika 10. Megoldás: r = 0,2 m F 1,2 = 100 N F 1,3 = 200 N F 2,3 = 300 N F 1,2 = k ⋅ F 1,3 = k ⋅ F 2,3 = k ⋅

Q1 ⋅ Q2 r 2

Q1 ⋅ Q3 r 2 Q 2 ⋅ Q3 r 2

(1) : (2) Q3 Q2

=

F 1,3 F 1, 2

=2

Q3 = 2 . Q2 (3)-ba helyettesíteni:

.

9

300 = 9 10

2 ⋅ Q22 4 ⋅ 10 −2

Q2 = 2,582 . 10-5 C Q3 = 5,164 . 10-5 C (1)-ből :

Q1 =

F 1, 2 ⋅ r 2 k ⋅ Q2

= 1,72 . 10-5 C

1.3 Az elektromos mező fogalma, térerősség, elektromos fluxus 1. Azt a teret, amelyben elektromos erőhatások észlelhetők, elektromos erőtérnek (mező) nevezzük. Q ⋅Q 2. Elhelyezünk két nyugvó egyneműen töltött testet, F 2,1 = k ⋅ 1r 2 2 . 2 ,1

Ha az 1-es test több nyugvó töltött testtel van egyszerre elektromos kölcsönhatásban, és figyelembe vesszük Newton IV. axiómáját: n n Q1 ⋅ Qi Q Fi,1 = ∑ k ⋅ 2 = Q1 ⋅ ∑ k ⋅ 2i r i ,1

i =1

i =1

r i ,1

1-es töltött testre ható elektrosztatikus erő két tényezőre bontható:

Q1 : a töltött testre jellemző n

Qi

∑k ⋅ r i =1

2 i ,1

: a töltött test tulajdonságaitól független vektormennyiség.

E

=

F Q

8


Fizika 10. A térerősség iránya a pozitív töltésre ható erő irányával egyezik meg. Mértékegysége: 1

N C

=1

VAs Asm

=1

V m

3. Az erőteret homogénnek nevezzük, ha a tér minden pontjában a térerősség nagysága ugyanakkora, és az iránya is megegyezik . 4. Adott Q’ töltés elektromos terében tetszőleges Q töltésre: Q' ⋅Q

F = k⋅ 2 r . F=E Q Q' ⋅Q E.Q=k ⋅ 2 E = k ⋅

r Q' 2

r

5. Az elektromos teret az elektromos erővonalakkal szemléltetjük . Az elektromos erővonalak olyan görbék, amelyek érintői a tér minden pontjában az ottani E elektromos térerősség irányába esnek. Megállapodás szerint az erővonalak a tér minden helyén gondolatban olyan sűrűn húzzuk, hogy a rájuk merőlegesen felvett egységnyi felületen annyi erővonal haladjon át, mint amekkora az elektromos térerősség nagysága a kérdéses helyen. Így az elektromos erővonalak iránya és sűrűsége az E elektromos térerősség irányát és nagyságát jellemzi.

9


Fizika 10.

6. Adott felületen merőlegesen átlépő elektromos térerősségvonalak számát elektromos fluxusnak nevezzük. Jele: Ψ Ψ = E ⋅ A Q 7. Q ponttöltés köré írt gömbfelület egységnyi területű részén E = k ⋅ 2 számú r erővonal megy át. Q Az egész gömbfelületen Ψ = k ⋅ 2 ⋅ 4r 2 π = 4πkQ számú erővonal indul ki vagy r

torkollik be aszerint, hogy a töltés pozitív vagy negatív.

8. Gauss tétel (Maxwell I. törvénye) Elektrosztatikus térben egy tetszőleges zárt felületen átmenő elektromos fluxus egyenlő a zárt felületen belüli töltések algebrai összegének 4 π k – szorosával. 10


Fizika 10. 1

k = 4πε 0 ε0 = ε0

1 4πk

= 8 ,85 ⋅ 10 −12

As Vm

= 8 ,85 ⋅10 −12

C Vm

: vákuum dielektromos állandója

Ψ = 4 πk ∑Q = 4 π 1

( NE = ε 0

1

1 Q= Q ∑ ε ∑ 4π ε 0

0

∑Q )

( A tér V térfogatának forráserőssége egyenlő e térfogatba zárt töltések algebrai 1 összegének - szorosával. )

ε0

9. Megjegyzés:

11


Fizika 10.

12


Fizika 10.

Feladatok

1. Két elektromosan töltött pontszerű test távolsága 1 m, töltésük 2 . 10-6 C és – 5 . 10-6 C. Számítsuk ki, hogy a térnek melyik pontjában lesz a két töltéstől származó térerősség eredője zérus! Megoldás: Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = -5 . 10-6 C r=1m

E 1 + E 2 = 0 k ⋅

Q1 x 2

= k ⋅

Q2 ( x + 1 )2

x = 1,72 m

2. Pontszerű töltés nagysága 3 . 10-7 C. Milyen távol van tőle az a pont, amelyben a térerősség 12 N/C nagyságú? Megoldás: Q = 3 . 10-7 C E = 12 N/C E = k ⋅ r=

Q r 2

k ⋅ Q E

= 15

m

3. Pontszerű test töltése 5 . 10-6 C. Mekkora a térerősség tőle 20 cm távolságban? Megoldás:

Q = 5 . 10-6 C r = 0,2 m E = k⋅

Q 2

r

= 1,125 . 106 N/C

4. Mekkora annak a pontszerű testnek a töltése, amelytől mért 30 cm távolságban a térerősség 300 N/C nagyságú? 13


Fizika 10. Megoldás: r = 0,3 m E = 300 N/C E = k ⋅ Q=

Q r 2

E ⋅ r 2

= 3 ⋅ 10 −9

k

C

5. Vékony, súlytalannak vehető fonálon 20 g tömegű kicsi fémgolyó van felfüggesztve. A golyó töltése 10 -8 C. Mekkora az így nyert 15 cm hosszú fonálinga lengésideje függőlegesen lefelé irányuló, 9 . 105 V/m erősségű homogén elektromos mezőben? Megoldás: M = 0,02 kg Q = 10-8 C l = 0,15 m E = 9 . 105 N/C m D

T = 2π ⋅

Itt a visszatérítő erő (az érintőleges erővetület) x x F t = F . sin α = F ⋅ = ( mg + QE ) ⋅ mg + QE

D =

l

l

l ml mg + QE

T = 2π

= 0,75 s

6. Mekkora a térerősség abban az elektromos mezőben, amelyben egy elektron gyorsulása 2,5 . 1014 m/s2 nagyságú? Megoldás: a = 2,5 . 1014 m/s2 Q = 1,6 . 10-19 C m = 9,1 . 10-31 kg F = ma = 2,275 . 10-16 N E =

F Q

= 1,42 . 103 N/C

7. Egymástól 12 cm-re 2 . 10-7 C és 5 . 10-6 C pontszerű töltést helyezünk el. Hol válik nullává a két töltés által keltett mező térerőssége? Megoldás: d = 0,12 m Q1 = 2 . 10-7 C Q2 = 5 . 10-6 C k ⋅

Q1 r 12

= k ⋅

Q2 r 22

d = r 1 + r 2 r 1 r 2

=

Q1 Q2

= 0 ,2

r 1 = 0,2 . r 2 0,12 = r 2 + 0,2 .r 2 0,12 = 1,2 . r 2

14


Fizika 10. r 2 = 0,1 m

r 1 = 0,02 m

8. Derékszögű háromszög csúcsaiban 10 -9 C nagyságú pontszerű töltések vannak. A háromszög befogói 40 cm és 30 cm. Mekkora az elektromos térerősség az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasságvonal metszéspontjában? Megoldás: Q = 10-9 C

c = 30 + 40 = 50 cm 302 = x . c 900 900 = = 18 cm x = 2

2

c

50

c – x = 50 – 18 = 32 cm m = 900 −324 = 24 cm Q

E 1

= k ⋅

E 2

= k ⋅

E 3

= k ⋅

E =

x

=

2

2 ,78 ⋅ 10 2

Q ( c − x )

Q m

( E 1

2

2

N C

= 0 ,88 ⋅ 10 2

= 1 ,56 ⋅ 102

N C

N C

− E 2 )2 + E 32 = 245

N C

9. Két pontszerű töltés egymástól 0,5 m távolságban van rögzítve. Mekkora és milyen irányú az elektromos térerősség a töltéseket összekötő egyenes szakasz felező merőlegesén, a szakasztól 1 méter távolságban? ( Q 1 = 2 . 10-6 C ; Q2 . -6 = -2 10 C ) Megoldás: Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = -2 . 10-6 C

15


Fizika 10. r = 0,5 m l=1m

y= 1 +0,25 = 1,031 m tg α = 0,25 α = 140 2

= 1520 E 1 = E 2 = k ⋅ 2 1

E

Q1 y

2

=16933,83

N C

+ E − 2 ⋅ E 1 E 2 ⋅ cos β = E 2 2

E = 8191,46

2

N C

10. Két egynemű ponttöltés 25 cm távolságra van egymástól. A töltések értéke: Q1 = 10-8 C és Q2 = 15 . 10-9 C. van-e olyan pont, ahol a térerősség zérus? Megoldás: Q1 = 10-8 C Q2 = 1,5 . 10-8 C r = 0,25 m

16


Fizika 10.

E 1 = k ⋅ E 2 = k ⋅

Q1 x

2

Q2 ( 0 ,25 − x ) 2

E 1 = E 2 k ⋅

Q1 x

2

= k ⋅

Q2 ( 0 ,25 − x )

x2 + x – 0,125 = 0 x1 = 0,1124 m

2

x2 =-1,11235 m nem megoldás

11. Homogén elektrosztatikus tér pontjaiban a térerősség 100000 V/m. Mekkora erő hat a térben levő 2 . 10-8 C töltésű kicsi fémgolyóra? Mennyi a golyó gyorsulása, ha tömege 5 g? Megoldás:

V

E = 105 m m = 5 . 10-3 kg Q = 2 . 10-8 C F = EQ = 0,002 N F m = 0 ,4 2 a= m

s

12. Két pontszerű töltés egymástól 0,5 m távolságban van rögzítve. Mekkora és milyen irányú az elektromos térerősség a töltések összekötő egyenesében, a negatív töltéstől 2 m távolságban jobbra? ( Q 1 = 2 . 10-6 C ; Q2 = -2 . 10-6 C ) Megoldás: Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = -2 . 10-6 C

17


Fizika 10.

E 1 = k ⋅ E 2 = k ⋅

Q1 r 12

Q2 r 22

 Q2 − 2  r 2

E = E 2 – E 1 = k  E = 1620

Q1  2 1

r

  

N C

13. Egy mozgásban levő elektronra sebességével egyirányban ható 3000 N/C homogén elektromos tér hat. Mekkora utat tesz meg a megállásig, ha az elektron kezdeti sebessége 3000000 m/s? Megoldás: E = 3000 N/C m = 9,1 . 10-31 kg v0 = 3 . 106 m/s Q = 1,6 . 10-19 C s

=

v02 2a

=

mv02 2eE

= 8,53 . 10-3 m

14. Egy 10 cm oldalhosszúságú, egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban 5 . 10-7 C nagyságú, pontszerű pozitív töltéseket helyezünk el. Mekkora az elektromos térerősség a háromszög oldalainak felezőpontjában? Megoldás: a = 0,1 m Q = 5 . 10-7 C

18


Fizika 10.

m = a⋅

3

E 3 = k ⋅

Q

2

= 0 ,0865

m2

m

= 601423 ,37

N C

15. Mekkora sebességre gyorsul fel vákuumban, homogén elektrosztatikus térben, „s” úton az eredetileg nyugvó elektromos részecske? (m = 10 -6 g ; Q = 10-7 C ; s = 10 cm ; E = 10000 V/m ) Megoldás: m = 10-9 kg s = 0,1 m Q = 10-7 C E = 104 V/m F = EQ F = ma s =

a 2 t 2

v = at a= F =

v

2 s

mv

EQ = v=

2

2

2 s mv 2 2 s 2QEs m

= 447 m/s

19


Fizika 10. 16. Homogén mezőben 0,05 C töltésű test mozog. A térerősség nagysága 2 . 106 V/m. Mekkora utat tett meg a test a térerősség irányában, ha az elektromos mező által végzett munka 120 J? Megoldás: Q = 0,05 C W = 120 J E = 2 . 106 V/m W = Fs = QEs s =

W = 1 ,2 ⋅10 −3 m QE

1.4 Feszültség 1. Elektromos mező a benne levő töltésre erőhatást gyakorol.

A) WAB = Fs cos α F = EQ WAB = EQs cos α B) WAC = EQs1 WCB = EQs2 s cos α = 1 s

s1 = s cos α WAC = EQs cos α WCB = 0 , mert az erő és az elmozdulás merőleges. WABC = WAC + WCB WABC = EQs cos α WAB = WACB .

Általánosan: WAB = Q ⋅

B

∑ E ⋅ ∆ s A

20


Fizika 10. 2. Ha a pozitív töltések az erővonalak irányába mozdulnak el, az erőtér végez munkát. Ha az erővonalak irányával szemben történik a pozitív töltések elmozdulása, akkor nekünk kell munkát végeznünk az erőtér ellenében. 3. Adott elektromos erőtér által végzett munka független attól az úttól, amelyen egy adott töltés mozgott, csak a kezdő –és végpontok erőtérbeli helyzetétől függ. 4. W ~ Q W Q

= állandó

U=

W AB Q

Az elektromos erőtérben a tetszőlegesen választott A kezdő –és B végpont között a Q elektromos töltés mozgása közben végzett W AB munka és a mozgatott Q töltés hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget az A és B pontok közötti feszültségnek nevezzük. J Mértékegysége: 1 =1V C A tér két pontja között 1 V a feszültség, ha az egyik pontból 1 C töltés 1 J-nyi munka árán jut a másikba.

1.5 Potenciál 1. Megállapodhatunk azonban abban, hogy az erőtér összes pontjának a feszültségét egy kiválasztott ponthoz viszonyítva mérjük. Ezek a feszültségek az erőtér egyes pontjaira jellemző mennyiségeket határoznak meg, vagyis a tér minden egyes pontját jellemezhetjük a kérdéses pont és a választott pont közötti feszültséggel. 2. Az elektromos erőtér bármely pontjának a tér választott pontjához viszonyított feszültségét potenciálnak nevezzük .

21


Fizika 10.

A választott pont potenciálja – a meghatározás értelmében – zérus. Ezért ezt a pontot zérus potenciálú helynek vagy egyszerűen zéruspontnak is hívjuk. A gyakorlatban többnyire a földet ( pontosabban a föld nedves rétegével vezető összeköttetésben levő testeket) választjuk zérus potenciálú helynek. 3. A tér valamely pontjának potenciálját pozitívnak tekintjük a zérusponthoz képest, ha a pozitív töltésnek az adott pontból a nullapontba való átvitele közben az erőtér végez munkát. Negatív potenciálon van a tér valamely pontja, ha a pozitív töltés elmozdításához az erőtér ellenében nekünk kell munkát végeznünk. Tehát a pozitív töltés az erőtér hatására a pozitív potenciálú helyről halad a zérus vagy a negatív potenciálú hely felé. A negatív töltés mozgási iránya ezzel ellentétes. 4.

Az elektromos erőtér bármely két (A és B) pontja közötti feszültség: 22


Fizika 10. UAB =

W AB

, ahol WAB bármely úton az erőtér által végzett munka. Ha a töltés az

Q

A → O → B úton mozdul el, akkor W AB = WAO + WOB . De WOB = - WBO (mert az erő ugyanakkora, de az út ellentétes irányú lett), tehát UAB =

W AB Q

=

W AO

− W BO Q

=

W AO Q

−

W BO Q

UAB = UA - UB Az elektromos erőtér két pontja közötti feszültség egyenlő a két pont potenciáljának különbségével. 5. Az elektromos erőtérnek azok a pontjai, amelyekben a potenciál ugyanakkora, egyetlen felületen, az ekvipotenciális felületen helyezkednek el. 6. W = Fd = EQd U

=

W Q

W = UQ UQ = EQd U = Ed E =

U d

Mértékegység:

N 1 C

= 1 Nm = 1 Cm

J Cm

=1

V m

1.6 Maxwell II. törvénye 1. Az elektromos mező bármely zárt görbén végigvezetett töltésen végzett munkája tehát 0

a

∑ E ⋅ ∆ s szorzatösszeg is mindig nulla. (A O a pályagörbe zártságára utal.) 0

2. A

∑ E ⋅ ∆ s összeget a mező adott zárt g görbéjére vonatkozó örvényerősség ének

nevezzük.

Elektromos örvényerősség jele: ÖE 0

ÖE =

∑ E ⋅ ∆ s

Az örvényerősség tehát a zárt görbén egyszer végigvezetett töltésen végzett elektromos munka osztva a töltéssel. 3. Maxwell II. törvénye: Nyugvó töltések által keltett elektromos mezőben nincsenek örvények, vagyis az örvényerősség bármely g zárt görbére zérus.

23


Fizika 10. 0

∑ E ⋅ ∆ s = 0

bármely zárt görbén

g

ÖE = 0

minden görbére

Feladatok

1. Szalaggenerátorral feltöltött, egymástól 10 cm távolságban levő párhuzamos lemezek között homogén erőtér van. Mekkora a térerősség, ha a lemezek között a feszültség 5000 V? Megoldás: U = 5000 V d = 0,1 m W = Fd = EQd W = UQ UQ = EQd U = Ed E =

U d

= 50000

V m

2. Mekkora sebességre tesz szert két pont közötti elmozdulása közben a 9,1 . 10-28 g tömegű, 1,6 . 10-19 C töltésű, kezdetben nyugvó elektron, ha a két pont között a feszültség 5000 V? Megoldás: m = 9,1 . 10-31 kg U = 5000 V Q = 1,6 . 10-19 C 1 ⋅ m ⋅ v 2 = UQ 2

v=

2UQ m

= 4,2 ⋅10 7

m s

3. Mekkora sebességgel csapódik egy elektron a televíziókészülék képernyőjébe, ha a képcsőben a gyorsító feszültség 10000 V? Megoldás: U = 10000 V Q = 1,6 . 10-19 C m = 9,1 .10-31 kg 1 mv 2

v=

2

= UQ

2UQ m

= 5,93 ⋅10 7

m s

4. Mekkora a feszültség a mező két pontja között, ha miközben az egyikből a másikba egy 10 C töltésű test kerül, az elektromos mező munkája 600 J? 24


Fizika 10. Megoldás: Q =10 C W = 600 J U

=

W Q

= 60 V

5. Mennyi munkát végez az elektromos mező, ha az 50 V potenciálú pontból 80 V potenciálú pontba kerül egy pontszerű 6 . 10-5 C töltésű test? Megoldás: U AB = 30 V Q = 6 . 10-5 C W = UQ = 1,38 . 10-3 J

6. Mekkora az elektromos mező potenciálja abban a pontban, amelybe helyezett 8,4 . 10-4 C töltésű test elektromos helyzeti energiája 2,52 J? Megoldás: Q = 8,4 . 10-4 C W = 2,52 J U =

W

= 3000

Q

V

7. Mekkora elektromos erő hat egy 5 . 10-7 C töltésű testre abban a homogén mezőben, amelyben a potenciálesés a térerősség irányában cm-enként 2500 V? Megoldás: Q = 5 . 10-7 C E = 2,5 . 105 F = EQ =

U d

V m

⋅ Q = 0,125 N

8. Mekkora a munkavégzés, ha egy 0,01 C nagyságú töltés 1000 V feszültségen halad át? Mekkora erő hat a töltésre, ha a feszültség 10 cm úton egyenletesen növekszik? Mekkora a térerősség?

Megoldás: Q = 0,01 C s = 0,1 m U = 1000 V W = UQ = 10 J W = Fs F = E =

W s F Q

= 100 N

= 10000

N C

25


Fizika 10.

1.7 A töltés elhelyezkedése, a térerősség és a potenciál a vezetőkön 1. Az elektromos töltések – egyensúly esetén – a vezető külső felületén helyezkednek el. Erről sok kísérlettel meggyőződhetünk. Töltsünk fel szigetelő állványon lévő dróthálót, amelyen két oldalt több helyen könnyű fémlemezkék vannak felerősítve. A töltés hatására a könnyű fémlemezkék elállnak a dróthálótól. Ha a dróthálót a szigetelő állványok segítségével hengerré hajlítjuk össze, a belül lévő fémlemezkék a dróthálóhoz tapadnak, míg a kívül lévők jobban elállnak a dróthálótól. Helyezzünk az elektroszkópra egy hengeres edényt (pohárelektroszkóp). Töltsük fel az elektroszkópot és érintsünk a pohárelektroszkóp belsejéhez egy szigetelő nyélen lévő fémgolyót. A fémgolyót egy másik elektroszkóphoz érintve azt tapasztaljuk, hogy a fémgolyónak nincs töltése. Ha ugyanezt a kísérletet úgy végezzük el, hogy a fémgolyót a pohárelektroszkóp külső felületéhez érintjük, akkor azt tapasztaljuk, hogy a fémgolyónak van töltése. A kísérletet úgy is elvégezhetjük, hogy szigetelő nyélen lévő töltött fémgömböt érintünk a töltetlen pohárelektroszkóphoz először kívülről, majd belülről. Ha kívülről érintjük a pohárelektroszkóphoz, azt tapasztaljuk, hogy a töltött fémgömb nem vesztette el teljesen a töltését, ha belülről érintettük a pohárelektroszkóphoz, akkor a fémgolyó teljesen elveszíti a töltését. Vegyünk egy szigetelő állványon lévő dróthálóból készült hengert. Helyezzünk a belsejébe egy elektroszkópot, és kössük össze fémesen a fémhálóval. A fémhálón kívül helyezzünk el egy másik elektroszkópot és ugyancsak kössük össze fémesen a dróthálóval. Adjunk töltést a dróthálónak. Azt tapasztaljuk, hogy a belső elektroszkóp nem, míg a külső jelez töltést. Ha a kísérletet úgy végezzük el, hogy a belső elektroszkópra viszünk fel töltéseket, akkor is csak a külső elektroszkóp mutat töltést. A fenti kísérletek meggyőznek bennünket arról, hogy a töltések a vezető külső felületén helyezkednek el. Ezt beláthatjuk, mivel a vezetőben a töltések könnyen elmozdulhatnak, a vezetőre bárhol töltést felvive, azok igyekeznek egymást a lehető legtávolabb eltaszítani. Ez az egyensúly beállta után csak a vezető felülete lehet, mert a fémet nem tudják elhagyni, tehát a töltések a vezető külső felületén helyezkednek el. 2. Töltésegyensúly esetén az elektromos térerősség a vezető belsejében mindenütt zérus, a vezető külső felületén pedig a felületre merőleges. Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne zérus, illetve a vezető felületén a térerősségnek lenne érintőleges komponense, akkor a töltések a térerősség hatására elmozdulnának, nem lehetnének nyugalomban. 3. Nyugalomban lévő töltések esetén a homogén vezető minden pontjában ugyanakkora a potenciál, a vezető felülete pedig ekvipotenciális felület (a vezetőn belüli bármely felület is.) 4. A vezetőben lévő üregben a térerősség zérus, ha az üregben nincsenek izolált elektromos töltések. A vezető belsejében a térerősség is és a többlet töltés is zérus, a töltésegyensúly nem változik meg, ha a vezető belsejéből egy részt eltávolítunk. A fenti állítást a fémhálós kísérletünkkel pl. úgy tudjuk igazolni, ha a belső elektroszkópot nem kötjük össze a hálóval. Ha egy töltött testet közelítünk a hálóhoz, vagy a hálót feltöltjük, a belső elektroszkóp nem jelez töltést. Ugyanezt a kísérletet háló nélkül elvégezve a töltött test elektromos terének megosztó hatása miatt az elektroszkóp töltést jelez, a fémháló jelenléte esetén nem, igazolván, hogy a fémhálón

26


Fizika 10. belül elektromos tér zérus. Ez az úgynevezett Faraday-kalitka. Zárt fémburkolattal az elektrosztatikus terek kirekeszthetők. Ez az elektrosztatikus árnyékolás. 5. Nyugalomban lévő töltések esetén a vezető felülete mint láttuk, ekvipotenciális felület. Ebből nem következik a vezető felületén a térerősség állandósága, csak merőlegessége. Ez azzal magyarázható, hogy a vezető felületén a töltéseloszlás általában nem egyenletes, kivéve néhány speciális vezető formát. A tapasztalat szerint a vezető felületének különböző helyein a σ felületi töltéssűrűség annál nagyobb, minél nagyobb a görbülete. Legnagyobb a csúcsoknál és az éleknél. A felületi töltéssűrűség és a térerősség kapcsolatát a Gauss-tétel használatával állapíthatjuk meg. Vegyünk fel a vezető felületén egy nagyon lapos téglatestet. A téglatest oldal és véglapjaira merőleges térerősség komponens zérus. A téglatest belső fedőlapján átmenő fluxus zérus, mert a vezető belsejében a térerősség zérus. A téglatest külső fedőlapjára a térerősség merőleges, így EA =4 Q , ahol Q a téglatest fedőlapján lévő töltés. Így a térerősség és a felületi töltéssűrűség kapcsolata: π

E = 4 π

illetve

E=

σ ε 0

Ezzel magyarázható az úgynevezett csúcshatás vagy elektromos szél. Csúccsal rendelkező vezetőt, ha nagyon feltöltünk, akkor a csúcstól elirányuló légmozgás mutatható ki. Pl. erősen feltöltött csúcs közelébe égő gyertyát helyezve az erős légáram a gyertyát elfújhatja. A csúcshatás azzal magyarázható, hogy az erős inhomogén elektromos térben, ami a csúcs körül kialakul, a levegő molekulái dipólusokká válnak, és elmozdulnak a csúcs, azaz a legnagyobb térerősségű hely felé. A csúcson a töltött testével megegyező többlet töltést nyernek, és ezután a csúcs (a levegő molekuláit) eltaszítja őket. Ezen taszítóerő reakcióereje hozza forgásba az úgynevezett elektromos Segner-kereket. A csúcshatással magyarázhatók az alábbi jelenségek is:

Csúccsal rendelkező töltött vezető hamar elveszti a töltését, a közelében lévő semleges vezető pedig a töltött vezetővel azonos töltést nyer, amit akkor is megtart, ha a csúccsal ellátott vezetőt a közeléből eltávolítjuk, jelezvén azt, hogy nem megosztásról van szó. A kísérletet meg is fordíthatjuk. Ha csúccsal ellátott semleges vezetőt helyezünk egy töltött test közelébe, a csúccsal rendelkező semleges vezető a töltött testével megegyező előjelű töltést nyer. Megosztás folytán a csúcs ellentétes töltésű lesz, az inhomogén elektromos térben a levegőmolekulák dipólokká válnak, a csúcs felé vándorolnak, ott a csúcstól töltést nyernek, így a csúcs eltaszítja azokat. A csúcs ottmarad ellentétes előjelű töltés hiánnyal, azaz a közelében lévő töltött test töltésével megegyező töltésű lesz. 6. A villámhárító egy – a környezetéből kiemelkedő csúcsban végződő földelt fémvezető. Az elektromos töltésű felhő megosztó hatást gyakorol a villámhárítóra, és annak csúcsa erősen feltöltődik. A csúcshatás folytán a környező levegő vezetővé válik, és ily módon jó vezető út alakul ki a talaj felé a felhő elektromos kisüléséhez. A villámhárító ezek szerint nem elhárítja, hanem éppen ellenkezőleg, magába gyűjti a villámokat, és ezzel védi meg a környező testeket a villámcsapástól.

1.8 Kapacitás, kondenzátorok 1. A kapacitás a vezető töltést befogadó képességének a mértéke . 27


Fizika 10. 2. A tapasztalat szerint kétszer akkora feszültség létrehozásához ugyanazon fémvezető esetében kétszer akkora töltés szükséges. Valamely vezetőre vitt töltés és a töltés hatására létrejött potenciál között egyenes arányosság áll fenn. Q~U Q U

= állandó

C=

Q U

A vezetőre vitt töltés és a vezető potenciáljának a hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget az adott vezető kapacitásának nevezzük. C Mértékegysége: 1 = 1 F V 1 F a kapacitása annak a vezetőnek, amelyen 1 C töltés 1 V potenciált hoz létre. 1 µ F = 10 − F 1 nF = 10-9 F 1 pF = 10-12 F 3. Kondenzátor: Legyen két nagyméretű sík fémlemez egymással szemben párhuzamosan elhelyezve és a közöttük levő távolság a szélességükhöz képest kicsi. 4. A kondenzátor kapacitása a töltésének és a feszültségének a hányadosával meghatározott fizikai mennyiség. Jele: ┤├ 5. Kondenzátor kapacitása függ : A szemben álló lemezek felületétől, azzal egyenesen arányos. (A két lemez teljes szembenállása esetén legkisebb a feszültség, tehát legnagyobb a kapacitás.) A két lemez távolságától, azzal fordítottan arányos. (A felső lemez közelítésével csökken a feszültség, tehát növekszik a kapacitás.) A kondenzátor lemezei között levő szigetelőanyagtól. (Nő a kapacitás, ha pl. műanyag lapot helyezünk a lemezek közötti légtérbe.) 6







6. Kondenzátorok kapcsolása 

Párhuzamos kapcsolás:

28


Fizika 10.

Párhuzamos kapcsolás esetén az azonos jellegű töltéssel rendelkező lemezeket kapcsoljuk össze. Az egyik lemezt földelve és a másikat U potenciálra töltve, a feszültség mindegyik kondenzátoron ugyanakkora. U = U1 = U2 Az egyes kondenzátorokon a töltések: Q1 = C1U és Q2 = C2U A két kondenzátoron az összes töltés: Q = Q1 + Q2 = C1U + C2U = U( C1 + C2 ) Az eredő kapacitás, vagyis annak az egyetlen kondenzátornak a kapacitása, amelyet a két adott kondenzátor helyére kötve, az össztöltés és a feszültség nem változik: U ( C1 + C 2 ) Q = C= U

U

C = C1 + C2 Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása esetén az eredő kapacitás a részkapacitások összege: C = C1 + C2 + … + Cn 

Soros kapcsolás:

29


Fizika 10.

Soros kapcsolás esetén az ellentétes jellegű töltéssel rendelkező lemezeket kötjük össze. Az egyes kondenzátorok töltése a megosztás folytán egymással egyenlő, és a két kondenzátoron levő feszültségek összege egyenlő a teljes feszültséggel. U = U1 + U2 Q = Q1 = Q2 Az egyes kondenzátorok feszültségei

U 1

=

Q C 1

és U 2

=

Q C 2

.

A teljes feszültség U = U1 + U2 =

Q C 1

+

Q C 2

 1 1  = Q ⋅  +    C 1 C 2 

Az eredő kapacitás: C =

1 C

Q U

=

Q

=

 1 + C  1

Q ⋅  1

C 1

+

  C 2   1

=

1 1 C 1

+

1 C 2

1 C 2

Kondenzátorok soros kapcsolása esetén az eredő kapacitás reciproka egyenlő a részkapacitások reciprokának összegével: 1 C

=

1 C 1

+

1 C 2

+ ... +

1 C n

30


Fizika 10. 7. Kondenzátor kapacitása másképpen: E

=

U d

U = Ed Ψ E = A

Gauss-tétel szerint: Ψ = ⋅

C =

⋅ Q = 4π kQ

A

ε 0

=

ε 0

1 Q

E =

U

1

Q

1

⋅ ⋅ d A

ε 0

Q

Q Qd

=

U

=

ε 0

⋅ A

d

A

ε 0

C =

⋅ A

ε 0

d

8. Kondenzátor energiája: Q töltésű síklapból oldaláról. Így az

1 ε 0

1 ε 0

⋅ Q számú erővonal indul ki merőlegesen a lemez mindkét

⋅ Q két egyenlő részre osztható, amelyek közül az egyik éppen az

A területen áthaladó fluxust adja. Ψ= E =

1 ε 0

Ψ

⋅

Q 2

=

A

Q 2 ⋅ ε 0 ⋅ A

F = EQ F =

W

Q2 2 ⋅ ε 0 ⋅ A

= Fd =

C =

ε 0

1 ε 0

⋅

Q2 2 A

⋅ d

⋅ A

d

31


Fizika 10. =

W

1 Q2 2

⋅

=

C

1 2

QU

=

1 2

CU 2

1.9 Elektrosztatikus tér szigetelőkben 1. A feltöltött síkkondenzátor lapjai között legyen először vákuum (levegő). Ekkor a kondenzátorhoz kapcsolt elektrométer U 0 feszültséget jelez, ha a kondenzátoron Q 0 töltés van. Q U 0 = 0 C 0

Helyezzünk a kondenzátor lapok közé valamilyen szigetelőt pl. üveget, paraffint. Ekkor az elektrométer az U 0 feszültségnél kisebb U feszültségeket mutat a különböző szigetelő anyagok esetén. A szigetelő kivétele után az elektrométer ismét az eredeti U 0 feszültséget mutatja, jelezvén azt, hogy a kondenzátoron felhalmozódott Q0 töltés nem változott meg. Emiatt a kondenzátor kapacitásának kellett megváltoznia a dielektrikum behelyezésével, a vákuumhoz képest, mert Q0 = C0U0 = CU U C = 0 C 0

U

Mivel U0 > U , ezért C > C0 . C

=

C 0

U 0

= ε r

U

: relatív dielektromos állandó Az ε r a mérések szerint csak a dielektrikum anyagi minőségétől függ, független a kondenzátor típusától és méretétől. Az ε r egy dimenzió nélküli szám, amely pl. kapacitás mérésekkel határozható meg. A dielektrikummal kitöltött kondenzátor kapacitása ε r -szer nagyobb, mint az üres (levegővel töltött) kondenzátoré. Azonos anyagi minőség esetén a halmazállapottól is függ az ε r értéke, pl. víz esetén ε r =81, míg jégre ε r = 3. 2. Az alapkísérletünket úgy is elvégezhetjük, hogy a kondenzátor lapjai között pl. egy akkumulátor segítségével állandó feszültséget biztosítunk. A körbe iktatott ballasztikus galvanométer segítségével kimutatható, hogy a dielektrikum behelyezésével a kondenzátor töltése Q 0 –ról Q = ε r ⋅ Q0 -ra nő. ε r

Az

U 0

=

Q0 C 0

=

ε r

⋅ Q0 C

=

Q

- ből következik, hogy C

ε r

=

C C 0

=

Q Q0

.

Ha Q0 töltéssel feltöltött kondenzátor lapjai közé dielektrikumot helyeztünk, miközben a lapok geometriáját változatlanul hagyjuk, akkor a kondenzátor feszültsége lecsökken. Ez csak úgy lehetséges, hogy ha a térerősség is lecsökken: U0 = E0d U = Ed ε r

=

U 0 U

=

E 0 E

32


Fizika 10. E =

E 0 ε 0

A vákuumba helyezett bármilyen töltésrendszertől eredő elektrosztatikus tér térerőssége mindenütt ε r -szer kisebb lesz, ha – a töltéseket változatlanul hagyva – a teret ε r dielektromos állandójú, végtelen kiterjedésű homogén közeggel töltjük ki. Azaz egy ilyen rendszerbe behelyezve egy töltést az erőhatás ( QE < QE 0 ) olyan, mintha kevesebb töltés lenne jelen a térben. Ezért a Gauss-tétel vákuumbeli alakja végtelen homogén dielektrikum esetén csak úgy érvényes, ha a Q v valódi töltések Qv

helyébe a

ε r

úgynevezett szabad töltéseket írjuk, vagy dielektrikumok esetében a

tapasztalat E térerősség helyett az Ψ=

∑Q

4π

vi

ε r

Ψ=∑

⋅

ε 0 ε r

⋅ E (SI)

Qvi

. ⋅ ε r Ebből arra kell következtetnünk, hogy a zárt felületen belül a töltések összege kisebb, mintha a dielektrikum nem volna ott. Ez csak úgy lehetséges, hogy a dielektrikum behelyezésével olyan töltéseknek kell megjelenni, amelyek térerőssége az eredeti töltések térerősségének egy részét kompenzálja és így csökken az eredő térerősség. A Gauss-tétel formáját változatlanul hagyhatjuk, ha bevezetünk egy újabb fizikai mennyiséget az úgynevezett dielektromos eltolódási vagy gerjesztettségi vektort D = ε r ⋅ E (CGS) illetve D = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E (SI) ahol E a dielektrikumban a térerősség. ε r

illetve

⋅ E (CGS) illetve ε

0

A D dielektromos eltolódási vektor ugyanúgy jellemezhető erővonalakkal mint az E vektor. A definícióból következik, hogy végtelen homogén dielektrikumban a D és E vektorok egyirányúak, de a D vonalak sűrűsége bármely helyen ε r -szer (CGS) illetve 0 ⋅ r -szer (SI) nagyobb mint az E vonalak sűrűsége. ε

ε

A D bevezetésével a Gauss-tétel:

∫ D ∫ D

n

df

= 4π ⋅ ∑Qvi

g

;

Ψ' = 4π ⋅ ∑Qvi

= ∑Qvi

(CGS)

Ψ' = ∑Q ; (SI) Egy tetszőleges zárt felületen átmenő eltolódási fluxus egyenlő a zárt felületen belüli valódi töltések algebrai összegének 4π -szeresével (CGS) illetve a töltések algebrai összegével (SI). Ez azt jelenti, hogy a D vektor forrásai a Q vi valódi töltések, míg az E vektor forrásai a n

df

vi

g

Qvi ε r

szabad töltések.

Feladatok

1. Mekkora lesz a kondenzátorok eredő kapacitása, ha 1 μF és 5 μF kapacitású kondenzátorokat először párhuzamosan, majd sorba kapcsoljuk egymással? Megoldás:

33


Fizika 10. C 1 = 10-6 F C 2 = 5 . 10-6 F Párhuzamos: C = C 1 + C 2 = 6 . 10-6 F C =

Soros:

C 1C 2 C 1

+ C 2

= 8,3 ⋅ 10 −7 F

2. Mekkora feszültséget kell egy 16 μF-os kondenzátorra kapcsolni, hogy energiája 20 J legyen? Megoldás: C = 1,6 . 10-5 F W = 20 J 1 W = CU 2 2

U

2W C

=

= 1581 ,14

V

3. Sorosan kapcsolunk egy 4 μF-os és egy 6μF-os kondenzátort. Mekkora töltéstől töltődik fel a rendszer 220 V-ra? Megoldás: C 1 = 4 . 10-6 F C 2 = 6 . 10-6 F U = 220 V C =

C 1C 2 C 1

+

C 2

=

2,4 ⋅ 10 − 6 F

Q = CU = 5,28 . 10-4 C

4. Mekkora annak a kondenzátornak az elektrosztatikus energiája, amelyet 250 V-os feszültségre 8 . 10-2 C töltés tölt fel? Megoldás: U = 250 V Q = 0,08 C 1 W = QU = 10 J 2

5. Kondenzátorlemezek közé, a lemezekkel párhuzamosan 10000 km/s sebességű elektron érkezik. Mekkora az elektron eredeti mozgásirányától számított eltérülése, miközben a lemezek közötti homogén elektromos térben az eredeti irányban 5 cm-t mozdul el? (d = 6 cm ; U = 300 V) Megoldás: v0 = 107 m/s d = 6 cm x = 0,05 m

34


Fizika 10. U = 300 V F = EQ =

U d

Q

Newton II. törvénye szerint: a

=

U d

Q

= ma

UQ dm

Az elektron y irányú elmozdulása t idő alatt: .

x irányú elmozdulása: x = v0 t y

=

a 2v

⋅ x = 2

2 0

UQx 2 2mdv

2 0

= 1,1 ⋅ 10 − 2

m

y

=

a 2

t 2

= 1,1 cm

6. Mekkora lesz az eredetileg 250 μF-os kondenzátor kapacitása, ha lemezei közé a távolság 1/5 részében a lemezekkel párhuzamosan az előzőekkel egyenlő területű és alakú vékony vezető lemezt helyezünk? Megoldás: C = 2,5 . 10-4 F A fémlemez behelyezésével két egymással sorosan kapcsolt kondenzátor együttesét kapjuk. C =

C 1C 2 C 1

+ C 2

=

5 25 5C ⋅ C C 4 4 = 5 25 (5 + )C 4 4

= C

7. Egy 150 V-ra töltött 2 μF-os és egy 100 V-ra töltött 3 μF-os kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk úgy, hogy az egynemű töltéseket tároló fegyverzeteket kötjük össze. Mekkora a feszültség az így kapott kondenzátor fegyverzetei között? Megoldás: U 1 = 150 V U 2 = 100 V C 1 = 2 . 10-6 F C 2 = 3 . 10-6 F Q1 = U 1C 1 Q2 = U 2C 2 Q U = C

Q = Q1 + Q2 = U 1C 1 + U 2C 2 C = C 1 + C 2 U =

+ U 2 C 2 = 120 V C 1 + C 2

U 1C 1

35


Fizika 10. 8. Az egymástól d távolságra levő, egyenként A területű kondenzátorlemezek közötti teret fele-fele arányban , illetve ε dielektromos állandójú szigetelőanyag tölti ki. Mekkora a kondenzátor kapacitása? ε 1

2

Megoldás: Ezt a két dielektrikumos kondenzátort két párhuzamosan kapcsolt kondenzátor együttesének foghatjuk fel: C = C 1

C =

+ C 2 = A( ε 1

ε 0

A

ε 1ε 0

2d

+

A

ε 2 ε 0

2d

+ ε 2 )

2d

A nevezőben azért szerepel a 2-es szorzó, mert A/2 felületű lemezek kapacitását számítottuk.

2. AZ ELEKTROMOS EGYENÁRAM 2.1 Az elektromos áram 1.

36


Fizika 10. A fapálca mentén elhelyezett papírcsíkok a feltöltött fémtesthez közelebbi helyeken nagyobb, a földeléshez közelebb eső helyeken pedig kisebb feszültséget jeleznek. Itt a töltések egy fapálca – mint kismértékben vezető anyag – mentén jönnek áramlásba, a töltést hordozó anyagi közeg (a fapálca) azonban nem vesz részt a mozgásban. Az ilyen módon kialakuló áramlásokat vezetési áramoknak nevezzük. A vezetési áramban csak a töltés mozog, a töltéshordozó anyag nem vesz részt a mozgásban. 2. Az elektromos töltések meghatározott irányú áramlása a vezetőben az elektromos áram. 3. A) Az elektromos áram iránya (megállapodás szerint) a pozitív töltéshordozók haladási iránya.

B) Az elektromos áram iránya megállapodás szerint a pozitív potenciálú hely felől, a negatív, illetve a kisebb mértékben pozitív potenciálú hely felé mutat. Megjegyzés: Ha negatív töltések áramlanak, akkor az egyezményes áramirány épp ellentétes a töltések valóságos mozgási irányával. A fémes vezetőket mindig ez jellemzi, mert a fémekben csak negatív töltések (elektronok) képesek áramlásra. 4. A vezető keresztmetszetén áthaladó töltésmennyiség és a töltés áthaladásához szükséges idő hányadosával meghatározott fizikai mennyiség az áramerősség . Jele: I I

=

Q t

Mértékegysége:

1

C s

= 1 A

5. Azt az áramot, amelynek az iránya nem változik, egyenáramnak nevezzük . 37


Fizika 10. Amennyiben az áram erőssége is minden időben ugyanakkora, az áramlás stacionárius. I (A)

t (s) Feladatok

1. Hány elektron halad át a 4,5 V-os zseblámpa izzószálán 1 perc alatt, 0,2 A áramerősség mellett? Megoldás: U = 4,5 V t = 60 s I = 0,2 A Q = It = 12 C Q = 7 ,5 ⋅ 1019 N = e

db

2. A 2000 V-ra feltöltött 5 μF-os kondenzátor fegyverzeteit rézhuzallal összekötve, a vezetőben 0,001 s-ig folyik áram. Mekkora az átlagos áramerősség? Megoldás: U = 2000 V t = 0,001 s C = 5 . 10-6 F Q = CU = 0,01 C Q I = = 10 A t

3. Egy akkumulátor 5 órán keresztül 10 A erősségű áramot képes szolgáltatni (az akkumulátor 50 amperórás). Hány coulomb töltés halad át az akkumulátor áramkörén? Megoldás: t = 18000 s I = 10 A Q = It = 1,8 . 105 C

38


Fizika 10. 4. 50 Ah töltéssel rendelkező feszültségforrást (akkumulátort) 12 A erősségű árammal terhelünk. Mennyi ideig folyik az áram? Megoldás: I = 12 A Q = 1,8 .105 C Q = 1 ,5 ⋅10 4 s = 4 ,167 h t = I

5. Egy tranzisztoros rádiókészüléket 0,1 amperórás gombakkumulátor táplál. Mennyi ideig tud üzemeltetni az akkumulátor egy 5 mA áramfelvételű készüléket?

Megoldás: I = 0,005 A Q = 360 C Q t = = 72000 s = 20 h I

2.2 Az elektromos ellenállás (Ohm törvénye) 1. Kísérlet



Kapcsoljunk különböző feszültségeket kb. 0,5 m hosszú krómnikkel huzal végpontjaihoz, és mérjük meg minden esetben a huzalban folyó áram erősségét! Készítsük el a feszültség-áramerősség grafikont! Ismételjük meg a mérést, és készítsünk grafikont több különböző anyagú és különböző méretű huzallal!

1. 2. 3. 4. 5.

Anyag: l= U (V)

Anyag: l= U (V)

I (A)

39

I (A)

Anyag: l= U (V)

I (A)


Fizika 10. U (V)

I (A) I

U

2. Ohm törvénye Valamely vezetőre kapcsolt feszültség és az abban haladó áram erőssége között egyenes arányosság van. U~I U I

R

= állandó

=

U I

A feszültség és az áramerősség hányadosával meghatározott fizikai mennyiség jellemző az adott vezetőre, az adott vezető ellenállása. Mértékegysége:

1

V A

=1 Ω

1 Ω az ellenállása annak a vezetőnek, amelyben 1 V feszültség 1 A erősségű áramot tart fenn. 3.

I U I U

= állandó =

G

G : vezetőképesség 1 R

=G

Feladatok

1. Mekkora annak a vezetőnek az ellenállása, amelyben a végeire kapcsolt 6,8 V feszültség hatására 1,4 A erősségű áram folyik? 40


Fizika 10. Megoldás: U = 6,8 V I = 1,4 A U = 4 ,86 Ω R = I

2. Árammérő belső ellenállása 0,05 ohm. A műszer végkitérésben 6 A-t jelez. Mekkora a feszültség a műszertekercs két kivezetése között?

Megoldás: R = 0,05 Ω I = 6 A U = RI = 0,3 V

2.3 A fémes vezető ellenállása 1. Kísérlet

Állandó feszültség mellett változtassuk a huzalhosszat, és a mért áramerősségből határozzuk meg az egyenes huzalhosszakhoz tartozó ellenállásokat! l (m)

I (A)

U (V)

R ( Ω)

1. 2. 3. 4. 5.

R ( Ω)

41


Fizika 10.

l (m) R

l

Azonos hosszúságú, de keresztmetszetű huzalokkal ismételjük meg az előbbi kísérletet! l= m 

A (m2)

I (A)

U (V)

különböző

R ( Ω)

1. 2. 3. 4. 5.

R ( Ω)

A (m2) R

R ~

1

A

l A

R = ρ ⋅

l A

42


Fizika 10. ρ : fajlagos ellenállás Mértékegysége: 1 Ωm 2. Megjegyzés: A) A vezetők ellenállása függ a hőmérséklettől. B) Növekedő hőmérséklettel a fémek ellenállása nő, a széné, a félvezetőké általában csökken. C) ∆R = R ⋅ α ⋅ ∆t R = R ⋅ (1 + α ⋅ ∆ t ) 0

0

1

α ≈ 0,004

0

C

Feladatok

1. A 4 km hosszú, kétvezetékes katonai híradóvonal ellenállása 80 ohm. A vezeték zárlatos. Mekkora távolságra van a zárlat a vezeték végétől, ha ott 5 V Ωmm 2 ρ = 0,0175 feszültség mellett 0,2 A-t mértek? ( ) m

Megoldás: R = 80 Ω I = 0,2 A l = 4000 m U = 5 V ρ

= 0 ,0175

R' = R

U I

= ρ ⋅

A =

R' =

ρ

Ωmm 2 m

= 25 Ω l A

⋅ l

R ρ

⋅

= 0 ,875 mm 2

l ' A

43


Fizika 10. l ' =

R' A

= 1250

m

ρ

2. Egy főzőlap fűtőszála 20 0C-on 76 ohm. Mekkora az ellenállás üzem közben, ha az üzemi hőmérséklet 380 0C? A krómnikkel huzal hőmérsékleti 1 együtthatója 0,00025 0 . C

Megoldás: ∆t = 360 α

0

C

= 2 ,5 ⋅ 10 − 4

1 0

C

R0 = 76 Ω R = R0 ⋅ (1 + α ∆t ) = 82 ,84 Ω

3. Mekkora hőmérsékletre melegedett fel az a motor, amelynek tekercselése – közvetlenül az üzemeltetés után mérve - , 1,36 ohm ellenállású? A tekercs ellenállása 20 0C-on 1,2 ohm. A rézhuzal hőmérsékleti együtthatója 3,92 . 10-3

1 0

C

.

Megoldás: R20 Rt

= 1,2 Ω = 1 ,36 Ω

α = 3,92 ⋅ 10 −3 ∆

1 0

C

R = αR 20 ∆t

∆R = 34 0 C α ⋅ R 20 t = t + ∆t = 54 0 C ∆t =

4. Egy távbeszélőkábel érpárja zárlatos. A kábel 1 mm átmérőjű rézhuzalból készült. Egy csatlakozási ponton 6 V feszültség mellett 2,4 A-es áramot mértek. Mekkora távolságra van a zárlat helye a mérési ponttól? Ωmm 2 ( ρ = 0,0175 ) m

Megoldás: U = 6 V I = 2,4 A d = 1 mm ρ = 0,0175

Ωmm 2 m

44


Fizika 10. R =

U = 2,5 Ω I

2.4 Ellenállások kapcsolása 1. Ellenállások soros kapcsolása:

45


Fizika 10.

A megfigyelések szerint az áramkörbe sorba kapcsolt n számú ellenállás mindegyikében ugyanakkora erősségű áram folyik. Az áram erőssége az áramkör minden pontjában azonos. I1 = I2 = I3 = I A sorba kapcsolt ellenállásokon mért feszültségek összege egyenlő a két szélső pont között mért, vagyis az áramot fenntartó feszültséggel: U = U1 + U2 + …+ Un . Ha e sorosan kötött fogyasztók ellenállása R 1, R 2 , … , R n , akkor – minthogy valamennyi fogyasztón keresztül ugyanaz az I áram folyik: U1 U U = 2 = ... = n = I . R 1

R 2

R n

Eszerint a sorosan kapcsolt fogyasztók végpontjai között mért feszültségek egyenesen arányosak az egyes fogyasztók ellenállásával. Az az R ellenállás, amelyet az összes R 1, R 2, … , Rn ellenállás helyére kötve az áramkörben az áramerősség nem változik, a sorosan kötött ellenállások eredője. Az egyes fogyasztókon mért részfeszültségek: U1 = I . R 1 ; U2 = I . R 2 ; … ; Un = I . R n A sorosan kapcsolt ellenállások két szélső pontja között mért feszültség: U = IR U = U1 + U2 + U3 + … + Un IR = IR 1 + IR 2 + IR 3 + … + IR n = I . ( R 1 + R 2 + … + R n ) R = R 1 + R 2 + R 3 + … + R n Az ellenállások soros kapcsolása esetén az eredő ellenállás egyenlő a részellenállások összegével. 2. Ellenállások párhuzamos kapcsolása:

46


Fizika 10.

A mérések szerint – áramelágazás esetén – az egyes ágakban mért áramerősségek összege egyenlő a főágban mért áramerősséggel. n számú párhuzamosan kapcsolt fogyasztó esetén: I = I1 + I2 + …+ In Valamennyi párhuzamosan kapcsolt fogyasztó végpontjai között a feszültség ugyanakkora (U): U1 = U2 = … = Un = U Ha a párhuzamosan kötött fogyasztók ellenállása R 1 , R 2 , … , R n , akkor Ohm törvénye szerint: I1R 1 = I2R 2 = … = InR n = U Eszerint áramelágazás esetén az egyes ágakban mért áramerősségek fordítottan arányosak az egyes ágak ellenállásával. Az az R ellenállás, amelyet az összes R 1 , R 2 , … , R n ellenállás helyére kötve, a főágban az áramerősség nem változik, a párhuzamosan kötött ellenállások eredője. Az egyes ágakban az áramerősségek: =

I1

U R 1

; I2

=

U R 2

; ... ; I n

=

U Rn

.

A főágban folyó áram erőssége: I

=

U R

Kirchhoff törvénye szerint: U R

=

U R 1

+

U R 2

+ ... +

U R n

47


Fizika 10. 1 R

=

1 R 1

+

1 R 2

+ ... +

1 R n

Az ellenállások párhuzamos kapcsolása esetén az eredő ellenállás reciproka egyenlő az egyes ellenállások reciprokainak összegével. Feladatok

1. Egy 300 ohmos ellenállással párhuzamosan kapcsolunk egy ismeretlen ellenállást, majd ezekkel sorosan egy 150 ohmos ellenállást. Mekkora az ismeretlen ellenállás értéke, ha az egész rendszer eredő ellenállása 300 ohm? Megoldás:

Re = 300 Ω Re = R’ + 150 R’ = 150 Ω R1 ⋅ R R’ = R1 + R R = 300 Ω

2. Három ellenállást párhuzamosan kapcsolunk. Közülük kettő értékét ismerjük. 20 ohm, illetve 5 ohm. Mekkora a harmadik ellenállás, ha az eredő ellenállás 1 ohm? Megoldás:

48


Fizika 10.

Re = 1 Ω 1 = 1 + Re

R1

1 R2

+

1 R3

R1 R 2 R3

Re

=

R3

= 1,33 Ω

R2 R3

+ R1 R3 + R1 R2

3. Egy 600 ohm ellenállású fogyasztóban 20 mA erősségű áram folyik. Mekkora ellenállást kell vele sorba kapcsolni, hogy változatlan feszültség mellett az áramerősség 12 mA legyen? Megoldás: R1 = 600 Ω U = állandó I 1 = 0,02 A I 2 = 0,012 A U = R1 I 1 = 12 V U = 1000 Ω Re = I

Re=R1+R2 R2 = 400 Ω

4. 220 V-os hálózatra sorba kapcsolunk egyenként 60 ohm ellenállású és 0,2 A-es izzókat. Hány db izzót kell a hálózatra sorba kapcsolnunk? Megoldás: R1 = 60 Ω U’ = 220 V I 1 = 0,2 A U = R1 I 1 = 12 V U’ = nU U ' = 18 ,33 n= U

49


Fizika 10. 5. Mekkora az ábrán látható hálózat ellenállása?

Megoldás: Jobbról balra haladva a két R/2 értékű ellenállás sorosan, hozzájuk R párhuzamosan kapcsolódik. Az így kapott részeredő ismét R/2, majd a következő ellenállást is figyelembe véve az eredő R, aztán újból R/2 és így tovább, minden ismétlődik elölről. Az eredő ellenállás értéke tehát R/2-vel egyenlő, amikor az utolsó ellenállás, amelyen mérünk R, és R-rel, amikor az utolsó ellenállás R/2.

6. Mekkora az ábrán látható lánc eredő ellenállása?

50


Fizika 10.

Megoldás: R R R + + + .... Re = R + 2

 Re =  q = 0,5

R ⋅ 1 +

4 1 1

8 1

+ + + ...  2 4 8  a1 = R

q n −11 Re = R ⋅ q −1

Ha n → ∞ , akkor q n → 0 , mert q <1 Re

=

R 1− q

= 2 R

7. Egy gépkocsiizzó adatai 6 V és 5 A. Mekkora ellenállás sorbakapcsolásával használhatnánk 220 V feszültségen? Mekkora az eredő ellenállás? Megoldás: U 1 = 6 V U 2 = 214 V I = 5 A R1

=

R2

=

U 1 I U 2 I

= 1,2 Ω = 42 ,8 Ω

Re = R1 + R2 = 44 Ω

8. Kapcsoljunk 100 ohm és 150 ohm ellenállásokat párhuzamosan. Mekkora a mellékágban folyó áram erőssége, ha a főágban folyó áram erőssége 100 mA? Megoldás:

51


Fizika 10. R1 = 100 Ω R2 = 150 Ω I = 0,1 A R1 R2

R

=

I 1

=

U R1

= 0 ,06 A

I 2

=

U

= 0 ,04 A

+ R2 = 60 Ω U = RI = 6 V R1

R2

2.5 Ohm törvénye teljes áramkörre 9.

Kísérlet :

Mérjük meg a zsebtelep feszültségét fogyasztó nélkül, majd akkor, ha az izzót is rákapcsoljuk! (Az utóbbi esetben mért feszültség kisebb.) 10. A) A terheletlen áramforrás sarkain mért U0 feszültség üresjárási feszültség vagy elektromotoros erő ( ε ). B) A terhelt áramforrás sarkain mért U k feszültség a kapocsfeszültség. C) Zárt áramforrás esetén nemcsak a fogyasztóban, vezetéken, az úgynevezett külső ellenálláson át folyik áram ( R k ), hanem az áramforráson keresztül is, aminek szintén van ellenállása, az úgynevezett belső ellenállása ( R b ).

A külső ellenállásra jutó feszültség: Uk = IR k , ahol R k a külső ellenállás. A feszültségforrás belső R b ellenállására jutó feszültség: 52


Fizika 10. U b = IR b , ahol R b a belső ellenállás. Az üresjárási feszültség megoszlik a külső és belső ellenálláson: U0 = Uk + U b U0 = I . ( R k + R b ) A zárt áramkörben folyó áram erőssége: I =

U 0 Rk

+ Rb

Ez az összefüggés Ohm törvénye a teljes áramkörre. 11. Áramforrások kapcsolása: Soros kapcsolás 

U0e = n. U0 R be = n . R b I=



U 0e R be

+ R k

=

n ⋅ U0 n ⋅ R b

+ R k

Párhuzamos kapcsolás

53


Fizika 10.

U0e = U0 R be = I=

R b

R b n

I

=

n U0

=

+ R k

U0 R b + nR k n

nU 0 R b

+ nR k

Feladatok

54


Fizika 10. 1. Mek Mekkora kora fesz feszül ülts tséégre gre tölt töltőődte dtek fel fel a konde ondennzáto zátoro rokk az ábra szeri zerint ntii kapcsolásban, ha tudjuk, hogy a 8 V elektromotoros erejű telepen rövidzár esetén négyszer akkora áram folyik, mint amikor az R ellenállást kapcsoljuk rá? A két kondenzátor kapacitásának kapacitásának aránya 1:2.

Megoldás: ε = U = 8 V 0

I max

I =

=

U Rb

U R + Rb

(1) (2)

I max max = 4I (1) + (2) :

Rb

=

R 3

U

U k k = IR = R + R ⋅ R = 6 V b

Kondenzátorok: Q U 1 = C 1

U 1 U 2

=

U 2

=

Q C 2

C 2 C 1

A feszültségek fordítottan arányosak a kapacitásokkal, tehát a 6 V a két kondenzátoron 2:1 arányban oszlik meg: U 1 = 4 V ; U 2 = 2 V

A) B) C)

2. Egy Egy 15 V elek elektr trom omot otor oros os erej erejűű tele telepp sark sarkai aira ra kapc kapcso soltlt 10 ohm ohm elle ellená nállá llású sú fogyasztón 1 A erősségű áram folyik. Mek Mekkora kora a tele telepp bels első elle llenállás llása? a? Mekk Mekkor oraa a fesz feszül ülts tség ég a bels belsőő elle ellená nállllás áson on?? Mekkora a ka kapocsfeszültség? Megoldás:

55


Fizika 10. ε0 = 15 V

I = 1 A Rk = 10 Ω A) I = Rb

=

ε0 Rk + Rb ε 0 − I ⋅ Rk I

=5Ω

B) U b = Rb I = 5 V C) U k k = Rk I = 10 V

3. Mekkor Mekkoraa a belső belső ellenál ellenállás lásaa a lapos lapos zseblám zseblámpat patele elepne pnek, k, ha sarkain sarkain terhe terhelés lés nélkül 4,5 V, 18 ohmos zsebizzón keresztül zárva 3 V feszültség mérhető? Megoldás:

I =

U k Rk

I

=

1 6

=

=

1 6

A

U b Rb 1 ,5 ,5 Rb

Rb = 9 Ω

4. 20 db 10 V-os akkumu akkumulátor látortt használnak használnak.. Az akkumuláto akkumulátorok rok belső belső ellenállása ellenállása 0,1 ohm. A külső ellenállás 60 ohm. Mekkora erősségű áramot kaptunk, ha az akkumulátorokat akkumulátorokat sorba kapcsolták? Mekkorát, ha párhuzamosan? párhuzamosan? Megoldás: n = 20 U 0 = 10 V Rb = 0,1 Ω Rk = 60 Ω

56


Fizika 10. Soros



I

=

U 0e Rbe + Rk

=

n ⋅ U 0 n ⋅ Rb

+ Rk

= 3 ,226 A

Párhuzamos



I =

U 0 Rb n

+ Rk

=

n ⋅ U 0 Rb

+ n ⋅ Rk

= 0 ,1666 A

5. Mekkora Mekkora az áramforrás áramforrás elektro elektromotoro motoross ereje és belső belső ellenállá ellenállása, sa, ha sarkaira sarkaira 6 ohm ellenállást kötve 1 A, 16 ohm ellenállást kötve 0,5 A az áramerősség az áramkörben? Megoldás: I 1 = 1 A I 2 = 0,5 A Rk1 = 6 Ω Rk2 = 16 Ω I 1

=

I 2 =

U 0 Rk 1

+ Rb

U 0 R k 2

+ Rb

Rb = 4 Ω U 0 = 10 V

6.

57


Fizika 10.

Mekkora a feszültség a kondenzátoron? Az ellenállás 20 ohmos, a telep elektromotoros ereje 6V, belső ellenállása 4 ohm. Megoldás: ε = 6 V R = 20 Ω Rb = 4 Ω ε = I ⋅ ( R + Rb ) = IR + IRb = U k + U b ε I = R + Rb U k

=

R R + Rb

⋅ ε = 5 V

7. 58


Fizika 10.

Az ábrán látható kapcsolásban a K kapcsoló 1 állásában az ampermérő 1,2 A áramot jelez. Amikor a kapcsolót a 2 állásra fordítjuk, a mért áramerősség 1 A. Mekkora az R ellenállás és a telep elektromotoros ereje? A telep belső ellenállása elhanyagolható, míg az ellenállások értéke: R 1 = 1 Ω, R 2 = 6 Ω , R 3 = 12 Ω . Megoldás: R1 = 1 Ω R2 = 6 Ω R3 = 12 Ω I 1 = 1,2 A I 2 = 1 A 1 állás: Re1

= R1 +

R2 ⋅ R3 R2 + R3

=5Ω

ε = I 1 ⋅ Re1 = 6 V 2 állás: Re 2

= R1 +

R2 ⋅ ( R3 + R ) R2 + R3 + R

Re2 = 6 Ω R = 18 Ω

59


Fizika 10. 8. A telepre kapcsolt R 1 = 28 ohm értékű ellenálláson I 1 = 0,2 A, a második esetben pedig az R 2 = 13 ohm értékű ellenálláson I 2 = 0,4 A erősségű áram folyik. Mekkora a telep elektromotoros ereje és belső ellenállása? R1 = 28 Ω R2 = 13 Ω I 1 = 0,2 A I 2 = 0,4 A

=

I 1

I 2 =

U 0 R1

+ Rb

U 0

+ Rb Rb = 2 Ω 9. 19 db 12 V-os akkumulátort használnak. Az akkumulátorok belső ellenállása 0,1 ohm. A külső ellenállás 50 ohm. Mekkora erősségű áramot kaptunk, ha az akkumulátorokat sorba kapcsolták? Mekkorát, ha párhuzamosan? Megoldás: N = 19 U 0 = 12 V Rb = 0,1 Ω Rk = 50Ω Sorosan: R 2

I = 

U 0 e Rbe

+ Rk

=

nU 0 nRb

+ Rk

= 4 ,4 A

Párhuzamosan: I =

U 0 Rb n

1.10

+ Rk

=

nU 0 Rb

+ n ⋅ Rk

= 0 ,24 A

Az áram hőhatása, munkája és teljesítménye

12. Ha a fogyasztón U feszültség és Q töltés halad át rajta, akkor W = UQ. A töltésmennyiség kifejezhető az áramerősséggel és az idővel: Q = Az elektromos munka: W

I ⋅ ∆t

.

= U ⋅ I ⋅ ∆t

Mértékegysége:

1 Vas = 1 J

60


Fizika 10. 13. Elektromos teljesítmény: P

=

P

=

W t

U ⋅ I ⋅ ∆t

∆t

= U ⋅I

P = UI Mértékegysége: 1 VA = 1 W

1 Wh = 3600 J 1 kWh = 3,6 . 106 J

14. Az elektromos áram hőhatását molekulárisan értelmezve: 



Ha az együttesen Q töltéssel rendelkező elektronok az U feszültség következtében akadály nélkül haladnának a vezetőben, akkor gyorsuló mozgással mind nagyobb sebességre tennének szert. Ebben az esetben az elektromos tér munkája teljes egészében az elektronok mozgási energiáját növelné. A vezető felmelegedését úgy magyarázzuk, hogy az elektromos térben a töltések a feszültség hatására nem gyorsulnak, hanem a sűrűn ismétlődő ütközések révén az elektromos tér munkájával egyező mozgási energiájuk nagy részét átadják a vezető rendezetlen hőmozgást végző részecskéinek. A vezető részecskéinek átlagsebessége és így mozgási energiája is növekszik. Ezzel a vezető belső energiája és hőmérséklete is növekszik.

15. Joule-Lenz törvény: Az R ellenállású vezetékszakaszon leadott energia egyenesen arányos a szakasz ellenállásával, az áramerősség négyzetével és az idővel. W=Q Q = UIt W

= I 2 ⋅ R ⋅ t =

U2 R

⋅t

61


Fizika 10. Feladatok

1. Mekkora árammal terhelhető az 5000 ohmos, 2 W jelzésű huzalellenállás? Megoldás: R = 5000 Ω P = 2 W P = R . I 2 I

P R

=

= 0,02

A

2. Mekkora hőmennyiség melegíti fel 1 óra alatt azt a főzőlapot, amelynek izzószálában 220 V feszültség mellett 2,5 A áram halad? Megoldás: t = 3600 s U = 220 V I = 2,5 A W = UIt = 1,98 . 106 J

3. Két 200 W-os 220 V-ra készült fütőtestet A) sorba, majd B) párhuzamosan kapcsolva 220 V-os hálózatra kötünk. Mekkora teljesítményt szolgáltat a rendszer az első, illetve a második esetben? Megoldás: A) Soros P 1

=

U 2 R1

R1 : eredő ellenállás Egy fűtőtest ellenállása: U 2 R = P

R1 = 2R P 1

=

U 2 2⋅

U 2

=

P 2

= 100 W

P

B) Párhuzamos R R 2 = P 2

=

2 U 2 R 2

=

U 2 U 2

= 2 P = 400 W

2 P

62


Fizika 10.

B) C)

4. A) Mekkora ellenállást kell sorbakötni az R = 3 ohmos külső ellenállással, hogy az R b = 6 ohm belső ellenállású telep által a külső eredő ellenálláson leadott teljesítmény ne változzék? Mekkora ez a teljesítmény, amikor az elektromotoros ereje 90 V? Mekkora a telep hatásfoka? Megoldás: R = 3 Ω ε = 90 V Rb = 6 Ω P 1 = I 12 ⋅ R P 2

= I 22 ⋅ R'

R’ = R + R x

ε Rb + R ε I 2 = Rb + R' P 1 = P 2 I 1

=

ε 2 R ε 2 R' = ( Rb + R ) 2 ( Rb + R' ) 2 R' =

Rb2 R

= 12 Ω

R x = 9 Ω

ε 2 ⋅ R = 300 W B) P = ( Rb + R ) 2 P

R

1

C) η1 = P = R + R = 3 ö b

η2 =

R' Rb

+ R'

=

2 3

5. Sorba kapcsolunk egy 10 ohm ellenállású, 9 W teljesítményre tervezett és 20000 ohm ellenállású, 8 W teljesítményre tervezett fogyasztót. Mekkora feszültség kapcsolható a rendszerre, hogy egyik fogyasztó se legyen túlterhelve? Megoldás: R1 = 10 Ω R2 = 20000 Ω P 1 = 9 W P 2 = 8 W P = I 2 ⋅ R I

=

P R

I 1 = 0,9487 A I 2 = 0,02 A U = I 2 . (R1 + R2 ) = 400,2 V

6. 220 V feszültségre sorosan kapcsolunk egy 110 V, 40 W-os és egy 110 V, 60 W-os izzót. Mi történik? 63


Fizika 10. Megoldás: U = 220 V U 1 = 110 V U 2 = 110 V P 1 = 40 W P 2 = 60 W R1

R2

U 12

=

= 302,5 Ω

P 1

U 22

=

P 2

= 201,6 Ω

Re = R1 + R2 = 504,16 Ω U I = = 0 ,436 A Re

I 1

=

I 2

=

U 1 R1 U 2 R2

= 0 ,36 A = 0 ,54 A

A kisebb teljesítményű izzó kiég, mert a megengedettnél nagyobb erősségű áram halad át rajta.

7. Párhuzamosan kapcsolunk egy 225 ohm ellenállású, 100 W névleges teljesítményű és egy 160 ohm ellenállású, 90 W névleges teljesítményű fogyasztót. Mekkora feszültséget kapcsolhatunk a rendszerre? Megoldás: R1 = 225 Ω R2 = 160 Ω P 1 = 100 W P 2 = 90 W U 12

P 1

=

U 1

=

P 1 ⋅ R1

= 150

V

U 2

=

P 2 ⋅ R2

=120

V

R1

Tehát 120 V.

1.11

Kirchhoff törvényei

64


Fizika 10. 16. Kirchhoff I. törvénye: Stacionárius árammal átjárt hálózat bármely P csomópontjába befolyó áramok erősségének összege egyenlő a P -ből kilépő áramok erősségének összegével.

I2 + I1 = I3 + I4 + I5 A csomópontba befolyó és onnan elfolyó áramok erősségének algebrai összege zérus.

∑ I

k

=0

17. Kirchhoff II. törvénye:

65


Fizika 10. Stacionárius árammal átjárt hálózat bármely zárt áramkörében az egyes szakaszokhoz tartozó I ⋅ R feszültségesések összege egyenlő az áramkörben ható ε elektromotoros erők összegével, ha az I k –kat és az ε -kat a választott körüljárási iránynak megfelelő előjellel látjuk el. I k –t és ε -t akkor vesszük pozitív előjellel, ha I k iránya és ε iránya (amely az áramforrás negatív sarkától a pozitív felé mutat, vagyis annak az áramnak az iránya, amelyet ε létrehozna), megegyezik a körüljárási iránnyal. k

k

k

k

k

k

k

I1 R 1

− I 2 R 2 + I 3 R 3 − I 4 R 4 − I 5 R 5 = ε 2 − ε 3 − ε 4

Ha viszont a megfelelő előjeleket magukba az I k – ba és a huroktörvény általános alakja:

∑I

k

εk -ba beleértjük, akkor

⋅ R k = ∑εk

Feladatok

1. Határozzuk meg az ábrán látható hálózat eredő ellenállását az A és B pontok között!

66


Fizika 10.

Megoldás:

67


Fizika 10.

ε = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + + − − + − = = − − − − = = ε =Ω + ⋅⋅ ( I 1

I 2

( I 2

I 1 )

( I 3

I 1 )

I 1

I 2

1

1

( I 1

I 2

2

( I 3

2

2 I 2

I 1

2 I 1

3 I 3

2 I 1

3 I 2

)

:

6 I 2

6 I 3 1 2

2 I 1

I 3

I 1

I 3

I 2

5 I 1

5

9

4

9

5

9

0

3 I 3

3 I 3

6

3 I 3

I 1 2

4 I 1

9 I 3

3 I 2

I 1

I 2

3 I

0

2 I 3

1

2

I 1

3 I 3

0

I 1

I 1

I 1

4

9

2

I 1

I 1 R

R

)

3 I 2

3 I 3

6 I 3

(

(

I 2

R

I 1

6 I 2

)

1 3

9

2. Mekkora áram folyik az ábra szerinti A és B pontokat összekötő rövidzáron? ε= 6 V ; R = 3 Ω

68


1 3

9

Fizika 10. Megoldás:

− I 1 ) ⋅ 2 R + I 2 ⋅ R = 0 ( I 3 − I 1 ) ⋅ R + I 3 ⋅ 2 R = 0 ( I 1 − I 2 ) ⋅ 2 R + ( I 1 − I 3 ) ⋅ R = ε I 1 = 1,5 A I 2 = 1 A I 3 = 0,5 A I AB = I 2 – I 3 = 0,5 A ( I 2

3. Mekkora áram folyik az R 3 ellenálláson az ábra szerinti kapcsolásban?

69


Fizika 10.

ε1 = 12 V; ε 2 = 4 V ;

R b1

=3Ω;

R b 2

= 1 Ω;

R 1

= 8 Ω;

R 2

= 10 Ω; R 3 = 5 Ω

Megoldás:

ε1 = I 1 Rb1 + I 1 R1 + ( I 1 − I 2 ) ⋅ R3 − ε2 = I 2 Rb 2 + I 2 R2 + ( I 2 − I 1 ) ⋅ R3 I 2 = − 0 ,0173 A I 1 = 0 ,7446 A

R3 : I 1 – I 2 = 0,7612 A

4. Mekkora az áramerősség az ábra szerint összekapcsolt áramkörben?

70


Fizika 10.

= 20 Ω; R 2 = 40 Ω; R 3 = 10 Ω; R b1 = 0,2 Ω; R b 2 = R b 3 = 0,1 Ω R b 4 = 0,01 Ω; ε 1 = ε 2 = 10 V; ε 3 = 6 V; ε 4 = 20 V . R 1

Megoldás:

I ⋅ R1

+ ε1 + I ⋅ Rb1 + ε 2 + I ⋅ Rb 2 − ε 3 + I ⋅ Rb3 + I ⋅ R2 + I ⋅ R3 − ε 4 + I ⋅ Rb 4 = 0

I = 0,0852 A

5. Az ábra szerinti kapcsolásban ε = ε = 2 V , R b1 = 1 Ω , R b2 = 2 Ω . Mekkora a fogyasztó R 3 ellenállása, ha az első elemen átfolyó áram erőssége I1 = 1 A? Mekkora a másik elemen átfolyó I 2 és a fogyasztón átfolyó I 3 áramerősség? 1

71

2


Fizika 10.

Megoldás:

72


Fizika 10. ε 2 + + ( I 2 − I 1 ) ⋅ R3 + I 2 ⋅ Rb2 = 0 ( I 1 − I 2 ) ⋅ R3 − ε 1 + I 1 ⋅ Rb1 = 0 2 I 2 + 1 = 0 I 2 = −0 ,5 A R3 + 0 ,5 R3 − 1 = 0 R3

2

= Ω

R3 :

3

I 3

= I 1 − I 2 = 1 + 0 ,5 = 1 ,5 A

6. Az ábrán látható hálózatban az ellenállások értéke R 1 = 50 ohm, R 2 = 80 ohm, R 3 = 100 ohm. A telepek elektromotoros ereje ε1 = 1,5 V; ε 2 = 1 V és a belső ellenállásuk elhanyagolható. Határozzuk meg az AB ágban folyó áram erősségét!

Megoldás:

73


Fizika 10.

− ε1 + I 1 ⋅ R1 + ( I 1 − I 2 ) ⋅ R3 = 0

ε 2 + I 2 ⋅ R2 + ( I 2 − I 1 ) ⋅ R3 = 0

I2 = 0 A I1 = 0,01 A IBA = I1 – I2 = 0,01 A 7. Mekkora az ábrán látható rendszer eredő (az A és B pontok közötti) ellenállása?

Megoldás:

74


Fizika 10.

I = I 1 + I 2 I 2 = I 3 + I 5 I 4 = I 1 + I 5 ε = I 2 ⋅ R + I 3 ⋅ 2 R ε = I 2 ⋅ R + I 5 ⋅ R + I 4 ⋅ R 2 R ⋅ I 1 − I 2 ⋅ R − I 5 ⋅ R = 0 I 4 ⋅ R + I 5 ⋅ R − 2 I 3 R = 0 ε Re = Re

=

I 7 5

R

1.12

Mérőműszerek méréshatárának kiterjesztése

18. A mérőműszerek fontos jellemzője, hogy milyen méréshatárig használhatók. 75


Fizika 10. Egy áramerősségmérő vagy egy feszültségmérő méréshatárán azt az áramerősséget, illetve feszültséget értjük, amelynél a műszer mutatója végkitérésbe kerül. 19.

20.

Áramerősség mérésnél sorosan kapcsoljuk a műszert a fogyasztóhoz , hogy a mérni kívánt áram átfolyjon rajta. A műszer akkor mér helyesen, ha kicsi a műszer ellenállása a fogyasztóéhoz képest.

A feszültségmérő műszer belső ellenállása nagy, azért hogy a fogyasztón áthaladó áramerősséget ne csökkentse. 21. Árammérő műszer méréshatárának kiterjesztése:

76


Fizika 10.

R s : sönt ellenállás I = Ia + Is = I s R s

I a R b

R s

=

I a ⋅ R b Is

22. Feszültségmérő műszer méréshatárának kiterjesztése:

U = Ue + Uv R e : előtét ellenállás Ue R e

=

Uv R b

77


Fizika 10. R e

=

U e ⋅ R b Uv

Feladatok

1. Egy árammérő méréshatára 5 mA, belső ellenállása 20 ohm. Mekkora az árammérővel párhuzamosan kapcsolt ellenállás, ha 500 mA-es áramerősség mellett az árammérő végkitérést mutat? Megoldás: I 1 = 5 mA Rb = 20 Ω I = 500 mA I = I 1 + I 2 I 2 = 495 mA U = Rb I 1 = 0,1 V U = 0 ,202 Ω R s = I 2

2. Egy feszültségmérő végkitérésben 5 V-ot mér. Hány ohmos előtét ellenállás szükséges, hogy a műszerrel 50 V feszültségig lehessen mérni? A műszer belső ellenállása 1500 ohm. Megoldás: U 1 = 5 V U = 50 V Rb = 1500 Ω U e = 45 V Re

=

U e Rb U 1

=13500 Ω

78


Fizika 10. 3. Egy mérőműszeren 10 mA és 35 mV adatok láthatók. Mekkora ellenállású söntöt kell készíteni, hogy 2 A-ig mérjen a műszer? Mekkora előtétet kell készíteni, hogy 5 V-ig mérjen a műszer? Megoldás: I= 2 A I 1 = 0,01 A I 2 = I – I 1 = 1,99 A U = 5 V U 1 = 0,035 V U 2 = 4,965 V Rb

=

R s = Re

=

U 1 I 1

= 3 ,5 Ω

I 1 ⋅ Rb I 2 U 2 ⋅ Rb U 1

= 0,0176 Ω = 496,5 Ω

4. Iskolai árammérő belső ellenállása 20 ohm. Mutatóját 5 mA-es áram téríti ki teljesen. Mekkora söntökkel mérhető 1 A és 10 A? Megoldás: I = I 1 + I 2 Rb = 20 Ω I 1 = 0,005 A I 2 = 0,995 A I 2' = 9,995 A R s

=

R s'

=

I 1 ⋅ Rb I 2 I 1 ⋅ Rb I 2'

= 0 ,1 Ω = 0 ,01 Ω

5. Az 50 mV végkitérésű, 20000 ohm belső ellenállású feszültségmérővel 100 V-ig akarunk feszültséget mérni. Milyen védőellenállást alkalmazzunk? Mekkora a mért feszültség, amikor a műszer mutatója 30 mV-nak megfelelő skálaosztásnál állapodik meg? Megoldás: Rb = 20000 Ω U 1 = 0,05 V U 2 = 99,95 V U = 100 V U ⋅ R 7 Re = 2 b = 4 ⋅ 10 Ω U 1

B) 50 egység 100 V 30 egység x x = 60 V

79


Fizika 10. 6. A 10 mA végkitérésű, 0,01 ohm belső ellenállású áramerősségmérővel 2 A-ig akarunk áramerősséget mérni. Milyen védőellenállást alkalmazzunk? Mekkora a mért áramerősség, amikor a műszer mutatója a 3 mA-nek megfelelő skálaosztásnál állapodik meg? Megoldás: I = 2 A I 1 = 0,01 A Rb = 0,01 Ω I 2 = 1,99 A I ⋅ R R s = 1 b = 5,025 . 10-5 Ω I 2

B) 10 egység 2A 3 egység y y = 0,6 A

80


Fizika 10.

3. MÁGNESES MEZŐ 1.13

Mágnese alapjelenségek

23. Az iránytű a Föld felszínén megközelítőleg az Észak-déli irányba áll be.

24. Közelítsünk a mágnestű felé mutató végéhez egy rúdmágnessel! Azt tapasztaljuk, hogy a rúdmágnes egyik vége maga felé vonzza, a másik vége pedig taszítja a tű végét, és a mágnestű ennek megfelelően előbb az egyik, majd az ezzel ellentétes irányba fordul.

Ismételjük meg a kísérletet a mágnestű dél felé mutató végénél! Itt is ugyanezt fogjuk tapasztalni, de a rúdmágnesnek az a vége, amelyik a mágnestű északi végét vonzotta, a déli végét eltaszítja magától, és fordítva: a rúdmágnes másik vége, amelyik a mágnestű északi végét taszítja, most a déli végét vonzza. A kísérletek eredményei arra engednek következtetni, hogy a mágneseknek kétféle pólusuk van, északi és déli. A mágneses pólusokra érvényes, hogy az azonosak egymást kölcsönösen taszítják, a különbözőek pedig egymásra kölcsönös vonzó hatást fejtenek ki. 25. Feszítsünk ki szigetelő állványok között egy vezetőt észak-déli irányba. Helyezzünk közelébe iránytűt! 81


Fizika 10.

26. Az ábrán egy állványra függesztett tekercset látunk, amely a felfüggesztő fonal mint tengely körül elforoghat.

Ha a tekercsbe megfelelően hajlékony vezetékek segítségével áramot vezetünk, a tekercs iránytűként viselkedik. Ha megfordítjuk a tekercs áramának irányát, a tekercs is 1800-ot fordul, jelezve, hogy a rúdmágnesként viselkedő tekercs mágneses pólusai és az áramirány között egyértelmű kapcsolat van. Mivel az áramjárta tekercs a rúdmágnessel egyenértékűen viselkedik, a tekercs mágneses pólusait is az iránytűnél kialakult módon nevezzük el. 27. A tekercs meneteiben folyó áram iránya és a tekercs mágneses északi pólusának iránya közötti kapcsolatot úgynevezett „jobbkéz szabály”-al is megfogalmazhatjuk. 82


Fizika 10.

Az ábrán látható, hogy jobb kezünk behajlított ujjai a tekercs meneteiben folyó áram irányát mutatják, kinyújtott hüvelykujjunk iránya pedig a tekercs északi pólusának irányát adja meg. 28. Áramok kölcsönhatása: Ha a vezető huzalban áram folyik az egyenes vezető környezetében, akkor az odavitt kis iránytűk mágnességet jeleznek. Az eddig elvégzett kísérletekből arra következtethetünk, hogy a mágnességet a töltések mozgásával, áramlásával kell kapcsolatba hozni. A párhuzamos és egyirányú áramok között vonzó, párhuzamos és egymással ellentétes irányú áramok között taszító erők hatnak, az egymásra merőleges áramok között pedig nincs kölcsönhatás. 



83


Fizika 10.



Az erő mérése:

Az ábra szerinti mérést úgy állítottuk össze, hogy egy végtelen hosszúnak vehető és I 0 erősségű árammal átjárt vezető közelében, attól r távolságra és párhuzamosan elhelyeztünk egy l hosszúságú huzalt, amelyben I m erősségű mérőáram folyt. A két áram ( I 0 és I m) egymással párhuzamos. Az l hosszúságú huzaldarab végei higanyba merülnek, így biztosítjuk az áramkör záródását és azt, hogy a huzalon fellépő erőhatást a dinamométerrel mérni lehessen. A mérések szerint az árammal átjárt vezetők közötti erő nagysága mindkét áramerősséggel és a mérőhuzal hosszával egyenesen, a huzalok közötti távolsággal pedig fordítottan arányos: 2 ⋅ I0 ⋅ Im ⋅ l F = k ' ⋅ r

µ 0 = 4π ⋅ 10 − 7

Vs Am

84


Fizika 10. k’ =

µ0 = 10 −7 4π

Vs Am

Feladatok

1. Két áramátjárta 1 méter hosszú egyenes vezető egymástól 1 méter távolságra van. A bennük folyó áram erőssége 1 A. Mekkora erővel hat egymásra a két vezető? Megoldás: l=1m I = 1 A r=1m F = k ' ⋅

2 I 0 I m l r

−

k ' = 10

7

Vs Am

F 2 . 10-7 N

2. Egy gépteremben két vezetéksín egymástól való távolsága 50 cm. A sínek alátámasztási szigetelői egymástól 120 cm távolságra vannak. A zárlati áramerősség pillanatnyi értéke 50000 A. Mekkora erő hat ekkor egy támszigetelőre? Megoldás: r = 0,5 m I = 50000 A l = 1,2 m F = k ' ⋅

2 I 0 I m l r .

k ' = 10

−

7

Vs Am

3

F = 1,2 10 N

3. Egy alumíniumkohóban két vezetéksín egymástól való távolsága 50 cm. A síneket tartó támszigetelők 1 méter távolságra vannak egymástól. Üzem közben az áramerősség 60000 A. Mekkora erő hat ekkor egy támszigetelőre? Megoldás: r = 0,5 m I = 60000 A l=1m F = k ' ⋅

2 I 0 I m l r

−

k ' = 10

7

Vs Am

F = 1440 N

85


Fizika 10.

1.14

Mágneses tér

29. Permanens mágnes vagy áramátjárta tekercs környezetében a mágnestű mindenütt meghatározott irányba áll be.

Az ábra szaggatott vonala a meghatározott irányba beálló egyes mágnestűk hossztengelyét jelöli. Ha mágnestű helyett tengellyel ellátott kicsiny áramátjárta körvezetővel járjuk be a mágnes körüli teret, a kicsiny körvezető is mindenütt ugyancsak meghatározott irányba áll be. Észrevehetjük, hogy a tér ugyanazon a helyén a mágnestű hosszanti tengelye és a kis körvezető síkja egymásra merőleges. 30. Azt a teret, amelyben a mágneses erők hatnak, mágneses erőtérnek nevezzük. 31. Szórjunk permanens mágnes fölé helyezett üveglapra vasreszeléket. Ha az üveglapot gyengén megkopogtatjuk, a vasreszelék a rúdmágnes és patkómágnes környezetében jól kivehető vonalak mentén helyezkedik el.

86


Fizika 10.

87


Fizika 10.

1.15

A mágnese indukcióvektor

32. A mágneses térben elhelyezett dipólusra (mágnestű két pólusára vagy egy kis áramátjárta körvezető egyes darabjaira) erők hatnak, melyek kizárólag forgatónyomatékot eredményeznek. A mágneses teret a benne elhelyezett dipólusra ható mágneses erők forgatónyomatékával jellemezhetjük. Eszköz: magnetométer

88


Fizika 10.

33. Vizsgáljuk meg, hogy adott mágneses térnek adott pontjában mitől függ a magnetométer mérőkeretére ható M forgatónyomaték! Változtassuk a mérőkeretben folyó áram erősségét ( I m) és a keret geometriai méreteit ( l hosszát, d szélességét, vagyis az l . d = Am területét! A mérési eredmények szerint, ha A) Am állandó és I m változik, akkor M ~ Im B) I m állandó és Am változik, akkor M ~ Am Adott tér adott pontjában a mérőkeretre ható erők forgatónyomatéka egyenesen arányos a mérőkeretben folyó áram erősségével és a mérőkeret területével: M ~ Im . Am M Im ⋅ Am M Im ⋅ Am

= állandó =B

A mágneses tér megadott pontjában elhelyezett kicsiny áramátjárta mérőkeretre ható mágneses erők forgatónyomatéka és az I m Am szorzat hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget mágneses indukciónak nevezzük. N = 1 T (Tesla) Mértékegysége: 1 A⋅m

1N=1

J m

= 1 Ws = 1 VAs m

m

89


Fizika 10. 1

N Am

=1

Vs m

2

34. A mágneses indukció vektormennyiség. Irányát – megállapodás alapján – „ a jobbkézszabály” adja meg: markoljuk át jobb kezünkkel a mérőkeretet úgy, hogy négy ujjunk a keretben folyó áram irányába mutasson, akkor kinyújtott hüvelykujjunk a mérőkeretre merőlegesen megadja a mágneses indukció irányát. 35. Az olyan mágneses erőteret, amelyben a mágneses indukció iránya és nagysága minden pontban azonos, homogén mágneses térnek nevezzük. 36. Azokat a vonalakat, amelyeknek érintői megadják az érintési pontban a mágneses indukció irányát, mágneses indukcióvonalak nak nevezzük. 37. Megállapodás szerint az indukcióvonalakra merőlegesen elhelyezett egységnyi felületen annyi mágneses indukcióvonalakat képzelünk el, amennyi az illető helyen a mágneses indukció mérőszáma. Adott felületen áthaladó indukcióvonalak számát kifejező fizikai mennyiség a mágneses fluxus. Φ = B⋅A 1

Mértékegysége: 1

38. Φ = B ⋅ A ⋅ cos α

Vs 2

m N

⋅ m 2 = 1 Vs = 1

mA

⋅1 m2 = 1

Wb

(Weber )

Nm A

39. Megjegyzés: A)

90


Fizika 10. I.

sin

α=

A'

A A ⋅ sin

= α Φ = B ⋅ A ⋅ sin α A'

II.

91


Fizika 10.

sin (90 0

− α) =

A' A

= A ⋅ sin( 90 − α) A ' = A ⋅ cos α Φ = B ⋅ A ⋅ cos α A'

0

B) I.

92


Fizika 10.

cos ( 90 0 − α) =

B' B

= B ⋅ cos( 90 0 − α) B' = B ⋅ sin α B'

II.

cos B'

B' B B ⋅ cos

α=

=

α

C) Forgatónyomaték számításnál: 1. A vezetőkeretre ható nyomaték maximális, ha a keret normálisa merőleges az indukcióvektorra. 93


Fizika 10. n ┴ B 2. A forgatónyomaték zérus, ha n ║ B . Forgatónyomatékot csak az n –re merőleges B hoz létre. 3.

sin (90 0

− α) =

B⊥ B

= B ⋅ sin (90 − α) B ⊥ = B ⋅ cos α M = I ⋅ A ⋅ B ⋅ cos α B⊥

0

94


Fizika 10. 4.

B⊥

sin

α=

B⊥

= α = I ⋅ A ⋅ B ⋅ sin α

M

B B ⋅ sin

Feladatok

1. A 0,36 Vs/m2 mágneses indukciójú térben 0,5 A erősségű áram folyik a 10 cm x 20 cm méretű tengelyezett huzalkeretben. Mekkora maximális forgatónyomaték hat a keretre? Megoldás: M B = IA M = BIA

= 3 ,6 ⋅ 10 −3

Nm

2. Egy 30 cm 2 keresztmetszetű tekercs belsejében 0,12 Vs/m 2 mágneses indukciót létesítettünk. Mekkora a mágneses fluxus? Megoldás:

Φ = BA = 3 ,6 ⋅10 −4

Vs

95


Fizika 10. 3. Nagyméretű patkómágnes sarkai között a szárak hossza mentén 8 cm x 8 cm alapú és elegendő hosszúságú téglatest alakú térrészben a mágneses tér homogén: a fluxus 3,2 . 10-4 Vs. Mekkora forgatónyomatékkal hat a tér a belehelyezett vezető keretre, ha abban 0,4 A erősségű áram folyik? A keret síkja párhuzamos az indukcióvonalakkal, forgástengelye merőleges azokra és felülete 30 cm2. Megoldás: A1 = 6,4 . 10-3 m2 A2 = 3 . 10-3 m2 I = 0,4 A Φ = 3 ,2 ⋅10 −4 B

Vs

= Φ = 5 ⋅ 10 −2

M

Vs m2

A1

Φ

= B ⋅ I ⋅ A2 =

A1

⋅ I ⋅ A2 = 6 ⋅ 10 −5 Nm

4. Egy forgótekercses ampermérőben a mágnes sarkai között a tér mágneses indukciója 0,2 N/Am. A forgó tekercs mérete 3 cm x 2 cm. Mekkora a forgatónyomaték, ha a 100 menetes tekercsben 10 mA erősségű áram folyik? Megoldás: B = 0,2 Vs/m 2 N = 100 I = 0,01 A A = 6 . 10-4 m2 I ö = 1 A M = B . I ö . A = 1,2 . 10-4 Nm

5. Vezetőkeret síkja párhuzamos a homogén mágneses tér indukcióvonalaival, forgástengelye merőleges azokra. Mekkora forgatónyomatékkal hat a tér a keretre, ha abban 0,4 A erősségű áram folyik, és az indukcióvonalak fluxusa 3,2 . 10-4 Vs? Megoldás: I = 0,4 A Φ= M

3 ,2 ⋅ 10

−4

Vs

= B ⋅ I ⋅ A =

Φ A

⋅ I ⋅ A = Φ ⋅ I = 1 ,28 ⋅ 10 −4 Nm

6. Mekkora forgatónyomaték hat a 100 cm 2 felületű vezetőkeretre, ha benne 1 A erősségű áram folyik, és a 0,2 Vs/m 2 indukciójú homogén mágneses térben úgy helyezkedik el, hogy síkjának normálisa az indukcióvonalakkal 60 fokos szöget zár be? Megoldás: A = 10-2 m2 B = 0,2 Vs/m 2 I = 1 A

α = 60 0 M = B ⋅ I ⋅ A ⋅ sin α = 1 ,73 ⋅10 −3

Nm

96


Fizika 10. 7. Egy 30 cm hosszú fémhuzalból négyzetet illetve egyenlő oldalú háromszöget alakítunk ki. Az így elkészített keretet síkjával párhuzamos, 0,02 Vs/m 2 indukciójú homogén mágneses mezőbe helyezzük és 2 A erősségű áramot bocsátunk át rajta. Mekkora forgatónyomaték hat a keretre az egyes esetekben? Megoldás: B = 0,02 T l = 0,3 m I m = 2 A M =BIA

A = a2 = 5,625 . 10-3 m2 M = 2,25 . 10-3 Nm

m

=

a⋅ 3

t = A M

2

=

= 0 ,0865

a⋅m 2

m

= 4 ,325 ⋅ 10 −3

= BIA = 1 ,73 ⋅10 −4

m2

Nm

97


Fizika 10.

1.16

Mágneses térerősség

40. Határozzuk meg árammal átjárt tekercs belsejében a mágneses indukció nagyságát és irányát magnetométerrel.

A magnetométer mérőkeretének felülete és a benne folyó áram erőssége legyen állandó (az I m Am szorzat állandó). Változtassuk a tekercsben folyó áram erősségét ( I ), a tekercs menetszámát ( N ), a tekercs hosszát ( l ) és keresztmetszetét ( A ). Mérésünk szerint, ha A) N , l és A állandó, és I változik, akkor B ~ I B) I, l és A állandó, és N változik, akkor B ~ N 1 C) I, N és A állandó, és l változik, akkor B ~ l D) I, N és l állandó, és A változik, akkor B független A-tól. A tekercs belsejében a mágneses indukció egyenesen arányos a tekercsben folyó áram erősségével és a tekercs menetszámával, fordítottan arányos a tekercs hosszával, és független a tekercs keresztmetszetétől. B~

IN l

B = µ0 ⋅

I ⋅ N l

98


Fizika 10.

µ 0 = 4π ⋅10 −7

Vs Am

IN

41. Az kifejezés a tekercs belsejében kialakuló, a tekercsben folyó áram által l gerjesztett mágneses térre jellemző mennyiséget határoz meg, amelyet mágneses térerősségnek nevezünk. Jele: H =

H

I ⋅ N l

A mágneses indukció és a mágneses térerősség közötti kapcsolat (légüres térben, illetve levegőben): = µ0 ⋅ H

B

42. A mágneses térerősség vektormennyiség. Iránya a mágneses tér egy kiválasztott pontjában megegyezik a mágneses indukció irányával, amelyet a jobbkézszabály ad meg. Mértékegysége:

1

A m

43. az áramjárta tekercs belsejében a tér homogén. 44. A toroid középpontjától R távolságban a térerősség: H

=

I ⋅ N l

=

I ⋅ N

2πR

R : a toroid sugara

45. Hosszú, egyenes vezetőtől r távolságban a térerősség: I H = 2πr 46. R sugarú, I erősségű áram által járt körvezető középpontjában a mágneses tér erőssége: I 2 R

H

=

B

= µ r ⋅ µ 0 ⋅ H

47.

relatív mágneses permeabilitás µ megmutatja, hogy hányszorosára növekszik a tekercs mágneses indukciója, ha a belsejét légüres tér helyett az illető anyag tölti ki. µ r

:

r

9.





Ferromágneses anyagok: µ r >>>1 ( Co; Ni; Fe) Paramágneses anyagok: µ r > 1 (fa; Al; platina) Diamágneses anyagok: µ r < 1 (Bi; S; Au)

99


Fizika 10.

Feladatok

1. Szétszedhető iskolai transzformátor 6 cm hosszú 300 menetes tekercsében 1 A erősségű áram folyik. Mekkora a térerősség és a mágneses indukció a tekercs belsejében? Megoldás: l = 0,06 m I = 1 A N = 300 B

= µ0 ⋅

I ⋅ N

= 6 ,28 ⋅ 10 −3

l

Vs m

2

2. Egy l hosszúságú, N menetes tekercs meneteiben 0,04 A erősségű áram folyik. Mekkora áramerősséggel érhető el egy másik tekercsben az előbbivel egyenlő mágneses térerősség, ha annak hossza kétszer és menetszáma háromszor akkora, mint az elsőé? Megoldás: IN H = l

I 1 ⋅ N l I 1

=

I 2

=

=

3 2 2 3

I 2 ⋅ 3 N 2l

⋅ I 2 ⋅ I 1 = 8 ⋅ 10 −2 A 3

3. Mekkora a mágneses tér erőssége egy áramjárta, hosszú egyenes vezetőtől 0,5 m távolságban, ha a vezetőben 100 A erősségű áram folyik? Megoldás: I = H = 2r π

31 ,8

A m

4. Mekkora a térerősség a 0,5 A erősségű árammal átjárt 1,5 cm sugarú körvezető középpontjában? Megoldás: I = 16 ,7 H = 2 R

A m

5. Lemezelt vasmagos tekercs mágneses terének indukciója 1,35 Vs/m 2; a mágneses térerősség 1800 A/m. Mekkora a lemez relatív mágneses permeabilitása? Megoldás: B = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H µ r =

B

µ 0 ⋅ H

=

597

100


Fizika 10.

6. Egy Egy 80 cm hoss hosszú zú légm légmag agos os teke tekerc rcss 60 mene menetb tből ől áll, áll, elle ellená nállllás ásaa 8 ohm. ohm. Mekk Mekkor oraa lesz lesz a teke tekerc rcss bels belsej ejéb ében en kial kialak akul ulóó homo homogé génn mágn mágnes eses es mező mező indukciója, ha 12 V-os áramforrást a tekercs két vége közé kapcsoljuk? Megoldás: l = 0,8 m R = 8 Ω N = 60 U = 12 V

= µ0 ⋅

B

N ⋅ I l

= µ0 ⋅

NU lR

=

1 ,41⋅ 10

−4

Vs m

2

7. Mekkor Mekkoraa forga forgatón tónyom yomaté atékk hat a 100 100 cm cm 2 felületű vezetőkeretre, ha benne 2 A erősségű áram folyik, és a 0,2 Vs/m 2 indukciójú homogén mágneses térben úgy helyezkedik el, hogy síkjának normálisa az indukcióvonalakkal 30 0-os szöget zár be? Megoldás:

= I ⋅ A ⋅ B ⋅ sin α =

M

0 ,002 Nm

8. A 0,1 m oldalho oldalhosszú sszúságú ságú,, négyzet négyzet alakú alakú vezetőh vezetőhurok urok normáli normálisa sa 30 0-os szöget zár be az 1,5 Vs/m 2 indukciójú mágneses tér indukcióvektorával. A hurokra ható forgatónyomaték 0,05 Nm. Mekkora a hurokban folyó áramerősség? Megoldás: M I

= I ⋅ A ⋅ B ⋅ sin α

=

M A ⋅ B ⋅ sin

α

=

6 ,67 A

9. A teke tekerc rcss hoss hossza za 15 cm, cm, mene menete tein inek ek szám számaa 850. 850. A teke tekerc rcss huza huzalá lána nakk vastagsága 0,3 mm, fajlagos ellenállása 0,0175 Ωmm . Egy menet hossza m 6 cm. Mekkora a mágneses térerősség a tekercs belsejében, ha sarkaira 20 V feszültséget kapcsolunk? 2

Megoldás: l R = ρ ⋅ = A

R

=

I

=

H

3 ,16

Ω

U I U R

=

= 6 ,33 A

IN l

=

35870

A m

101


Fizika 10.

1 .1 7

A mágneses mező forrásmentessége

48. A hosszú egyenes egyenes vezető mezejét jellemző jellemző indukcióvonalak a vezetővel vezetővel koncentrikus körök, melyek síkja merőleges az egyenes vezetőre.

Ha jobb kezünk kinyújtott hüvelykujját az áram irányába állítjuk, akkor begörbített ujjaink éppen az áramot körülvevő indukcióvonalak irányába mutatnak. A mágneses mező indukcióvonalai zárt, önmagukba visszatérő görbék. Ez pedig azt jelenti, hogy a mágneses mező forrásmentes, vagyis nincsenek mágneses töltések, amelyekből az indukcióvonalak indukcióvonalak kiindulnának. kiindulnának. 2. Maxw Maxwel elll III. III. tör törvé vény nye: e: Ha bárhogyan is veszünk fel egy zárt felületet a mágneses mezőben, az abból kilépő és oda belépő mágneses indukcióvonalak indukcióvonalak számának algebrai összege mindig nulla, más szóval a mágneses mező forráserőssége forráserőssége nulla. NB = 0 minden térfogatra. 0

∑B

n

⋅ ∆A = 0

A

102


Fizika 10.

3.6 A mágneses mező örvényerőssége 1. Az áramok áramok keltette keltette mágne mágnese sess mezőb mezőben en áramok áramokat at körül körül nem hurkoló hurkoló indukc indukcióv ióvona onall nincs nincsen, en, vagyi vagyiss minde mindenn indukc indukcióv ióvona onall – hurkon hurkon belül belül folyik folyik áram. áram. Más szóva szóvall nemcsak zártak az indukcióvonalak, hanem az áramokat meg is kerülik. A mágneses mező örvényes, és B örvényeit az áramok keltik. 2. A mágneses mágneses mező örvénye örvényerőssé rősségét gét nem értelmez értelmezhetjü hetjükk zárt görbén mozgatot mozgatottt töltésen végzett munka segítségével, mint ahogyan azt az elektromos mezőben tettük, mivel mágne mágneses ses töltés töltések ek nincs nincsene enek. k. Mégis Mégis szere szeretné tnénk nk a mezőn mezőnek ek ezt ezt az „örvén „örvénylő ylő”” tulajdonságát mennyiségileg is jellemezni. A mágneses mező örvényerősségét az 0

elektromos mezőben értelmezett 3.

∑

E ⋅ ∆s

0

mintájára az Ö B =

∑B ⋅ ∆s

zárt görbére

számított összeggel mérjük. F = k ' ⋅ F=

µ0

2 ⋅ I0 ⋅ Im ⋅ l

⋅

r I0 ⋅ Im ⋅ l

k ' =

µ0

4π

2π r F = B ⋅ Im ⋅ l B=

µ0

⋅

I0

2π r

Egyenes vezetőben folyó áram mágneses mezejében B egy indukcióvonal mentén állan állandó dó nagys nagyságú ágú.. Az örvény örvényerő erőssé sségre gre gon gondol dolva va az az ötletü ötletünk nk támadh támadhat, at, hog hogyy szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a megfelelő indukcióvonal indukcióvonal hosszával, azaz π 2r - vel. 2r π ⋅ B = µ ⋅ I Az egyenlet jobb oldala már csak a körülhurkolt áram erősségétől függ. Az egyenlet bal oldala nem más, mint a mező örvényerősségének az a speciális esete, hogy egy indukcióvonal indukcióvonal görbére számoltunk. Mivel méréseink azt mutatták, hogy B a kör sugarának reciprokával arányos, ezért – állandó erősségű áram mezejében – az indukcióvonal hosszának és B-nek szorzata, vagyis az örvényerősség a kör sugarától függetlenül állandó, csak az áram erősségétől függ. 4. Maxwell Maxwell IV. törvénye törvénye ( Ampere Ampere-féle -féle gerjeszté gerjesztési si törvény) törvény):: Ha az áramot körülvesszük egy tetszőleges alakú görbével, akkor az erre a görbére számított örvényerősség a körülvett áram erősségével egyenesen arányos, függetlenül a görbe alakjától és az általa körülhatárolt területtől: ÖB = µ ⋅ I 0

0

0

0

∑ B ⋅ ∆s = µ

0

⋅I

103


Fizika 10.

3.7 Lorentz-féle erő 1. Az ábrán látható elrendezésben, egy erős patkómágnes szárai közé egy olyan l hosszúságú vezetőt függesztünk, amelyben I erősségű elektromos áram folyik, azt tapasztaljuk, hogy a vezető huzal az ábrán nyíllal jelölt irányba kissé elmozdul. A huzal kimozdulásából erőhatásra következtethetünk.

Ha a vezetőben folyó áram irányát, vagy ha a mágnes pólusait felcseréljük, a vezető kimozdulása, azaz a vezetőre kifejtett erőhatás iránya is az ellenkezőjére változik. A mágneses mező erőhatást gyakorol az indukcióvonalakkal nem párhuzamos, árammal átjárt egyenes vezetőre. 2. Legyen az áramátjárta tekercs homogén terében a magnetométer mérőkeretének l hosszúságú része az indukcióvonalakra merőleges d hosszúságú része azokkal párhuzamos I a mérőkeretben folyó áram erőssége Erő csak az l hosszúságú vezetődarabra hat. A mérőkeretre a mágneses tér forgatónyomatéka: M = BIA = BIld M = Fd Fd = BIld F=B.I.l A mágneses térben levő áramátjárta vezetőre ható erő egyenesen arányos a tér mágneses indukciójával, a vezetőben folyó áram erősségével és a vezetőnek a mágneses térben levő, az indukcióvonalakra merőleges hosszával.

104


Fizika 10. 3. Az erő iránya: Ha jobb kezünk három ujját egymásra merőlegesen tartjuk: hüvelykujjunk : B mutatóujjunk : F középső ujjunk: I

4. A B mágneses indukciójú erőtérben az l hosszúságú, I erősségű, áram által átjárt vezetőre ható erő, ha l ⊥ B , F = B . I . l . I erősségű az áram, ha a vezető keresztmetszetén t másodperc alatt Q = It elektromos töltés halad át. Tegyük fel, hogy ez a töltés éppen t másodperc alatt fut végig az l hosszúságú vezetőn. l A töltés mozgási sebessége v = . t

F

l

= B⋅ I⋅l = B⋅ I⋅ t ⋅ = B⋅Q⋅ v t

A B mágneses indukciójú erőtérben v sebességgel mozgó Q töltésre ható erő: F

= B⋅Q ⋅ v

105


Fizika 10. Feladatok

1. Patkó alakú elektromágnes 15 cm x 15 cm méretű homogén terében a mágneses fluxus 0,036 Vs. Mekkora erő hat arra a vezetőre, amely merőleges a tér mágneses indukció vektorára, és amelyben 10 A erősségű áram folyik? Megoldás: A = 2,25 . 10-2 m2 I = 10 A l = 0,15 m Φ = 0,036 Vs Φ F = BIl = ⋅ I ⋅ l = 2 ,4 N A

2. Homogén mágneses mezőben egy 2 cm oldalhosszú, 10 A erősségű árammal átjárt négyzet alakú vezetőkeretre ható maximális forgatónyomaték 0,006 Nm. Mekkora erő hat ebben a mezőben egy, az indukcióvonalakra merőlegesen elhelyezett 15 cm hosszú, 3 A erősségű árammal átjárt vezetőszakaszra? Megoldás: M = 0,006 Nm l = 0,15 m a = 0,02 m I m = 10 A I = 3 A A = a 2 = 4 ⋅ 10 −4 B

=

F

=

M I m ⋅ A BIl

=

m2

= 1 ,5 T 0 ,675 N

3. Mekkora erővel hat a 0,5 Vs/m 2 indukciójú homogén mágneses tér az egyenes vezető 1 méter hosszú szakaszára, ha abban 20 A erősségű áram folyik, és A) a vezető merőleges az indukcióvonalakra; B) a vezető párhuzamos az indukcióvektorral; C) a vezető 30 fokos szöget zár be az indukcióvektorral? Megoldás: A) F = BIl = 10 N B) F = BIl . sin α = 0 N C) F = BIl . sin α = 5 N

4. Elektront 1000 V potenciálkülönbséggel felgyorsítunk, és sebességére merőleges homogén mágneses erőtérbe irányítjuk. A mágneses 106


Fizika 10. indukció erőssége 0,012 Vs/m 2. Határozzuk meg a pálya görbületi sugarát és az elektron keringési idejét! ( m = 9,1 . 10-31 kg ; Q = 1,6 . 10-19 C ) Megoldás: U = 1000 V B = 0,012 Vs/m 2 F = BQv BQv = mrω 2 = mvω

ω= T

=

QU

QB m 2 πm QB

=

1 2

= 3 ⋅10 −9

s

⋅ m ⋅ v2

BQv = mrω 2 r = 8,9 . 10-3 m

5. Mekkora mágneses indukciójú tér hat 10 -12 N erővel az indukcióvonalakra merőlegesen, 200000 km/s sebességgel mozgó elektronra? Megoldás: F = 10-12 N v = 2 . 108 m/s F = BQv B

=

F Qv

= 3 ,125 ⋅10 −2

T

107


Fizika 10.

4. A MÁGNESES INDUKCIÓ 4.2 A mozgási indukció 1. Kísérlet:

Ha egyenes vezetőt állandó homogén mágneses térben az indukcióvonalakra merőlegesen állandó sebességgel mozgatunk, akkor a vezető két végére kapcsolt galvanométer mutatója kitér, jelezve, hogy a körben áram folyik. Ha a vezetőt ellentétesen mozgatjuk, vagy a mágnes sarkait felcseréljük, a galvanométer kitérése is az előzőhöz képest ellentétes lesz. Ha a vezetőz a mágneses térben az indukcióvonalakkal párhuzamosan mozgatjuk, a galvanométer mutatója nem mozdul el, a körben áram nincs. 2. Állandó mágneses térben az indukcióvonalakkal nem párhuzamosan mozgó vezető végei között feszültség keletkezik. A jelenséget mozgási indukciónak, az így kapott feszültséget indukált feszültségnek nevezzük. 3. Értelmezése: A vezető mozgatásával a benne levő szabad elektronok is mozognak a mágneses térben. A mágneses tér a benne mozgó töltésekre a vezető mozgási sebességére és a tér mágneses indukciójára merőleges erővel hat. Ezért a szabad elektronok a vezető egyik végében felhalmozódnak, a másik végén elektronhiány lép fel, tehát feszültség keletkezik. Ha a mozgatott vezető két végét vezetővel összekötjük, a vezetőben áram folyik mindaddig, amíg a feszültség, illetve a mozgás tart.

108


Fizika 10. 4. Ha l hosszúságú vezetőt B indukciójú térben mozgatunk v sebességgel akkor a keletkezett U feszültség a vezetőben I erősségű áramot hoz létre.

∆t

ideig,

B, l, v mindegyike merőleges a másik kettőre. Welektromos Wmechanikus

= U ⋅ I ⋅ ∆t = F ⋅ ∆s

A mozgatáshoz szükséges erő éppen egyenlő a mágneses tér által az áramátjárta vezetőre ható F = BIl erővel. = B ⋅ I ⋅ l ⋅ ∆s Welektromos = Wmechanikus U ⋅ I ⋅ ∆t = B ⋅ I ⋅ l ⋅ ∆s B ⋅ I ⋅ l ⋅ ∆s U= I ⋅ ∆t Wmechanikus

U

= B⋅l⋅ v

Ha állandó mágneses térben egyenes vezetőt mozgatunk, az indukált feszültség egyenesen arányos a mágneses tér indukciójával, a mozgatott vezető hosszával és a mozgatás sebességével.

Feladatok

109


Fizika 10. 49. Mekkora feszültséget indukál a Föld mágneses tere a 108 km/h sebességgel haladó gépkocsi 1,2 m hosszú tengelyében, ha a földi mágneses erőtér indukciójának függőleges összetevője 5 . 10-5 T? Megoldás: U = Blv = 1,8 . 10 -3 V

50. Mekkora feszültség indukálódik az 5 Vs/m 2 mágneses indukciójú térben 10 m/s sebességgel haladó 1,5 m hosszú vezetőben? A mágneses indukció vektora merőleges a vezető által súrolt síkra. Megoldás: U = Blv = 75 V

51. Számítsuk ki az 1 m hosszú rúd végein indukált feszültség értékét, ha a rúddal a Föld homogénnek feltételezett mágneses terét az indukcióvonalakra merőlegesen 1 m/s sebességgel szeljük át. A Föld mágneses terében levegőben az indukció abszolút értéke 2 . 10-5 Vs/m2. Megoldás: U = Blv = 2 . 10 –5 V

52. Vízszintes síkban fekvő, egymástól l távolságban levő, párhuzamos vezető sínek egyik végét C kapacitású kondenzátorral kötöttük össze. Mekkora gyorsulással mozog a síneket merőlegesen összekötő m tömegű rúd, miközben a rúdra merőlegesen állandó, vízszintes F erőt fejtünk ki? A rúd B indukciójú függőleges homogén mágneses térben mozog és a súrlódástól eltekintünk.

Megoldás: U = Blv ∆Q = C ∆U I = ∆t ∆t CBl ∆v I = = C ⋅ B ⋅ l ⋅ a ∆t Mivel a vezetőre a húzóerőn kívül F’ = BIl ellentétes erő is hat. F – F’ = ma F – BIl = ma F − CB 2 l 2 a

= ma

F

= ( m + CB 2 l 2 ) ⋅ a

a

=

F m + CB 2 l 2

53. Vízszintes síkban fekvő, egymástól l távolságban levő, párhuzamos vezető sínek egyik végét R ellenállással kötöttük össze. A sínekre merőlegesen összekötő fémrudat húzunk vízszintes, a rúdra merőleges, állandó 110


Fizika 10. F erővel. A rúd függőleges B indukciójú homogén mágneses térben mozog.

Mekkora sebességre gyorsul fel? A súrlódástól eltekintünk. Megoldás: U = Blv U I = R

F’ = BIl , a húzóerővel ellentétes irányú erőt fejt ki. F – F’ = 0 U Blv I = = R

R

F ' = BIl = F = F ' = v

=

B 2 ⋅ l 2 ⋅ v R

B 2 ⋅ l 2 ⋅ v R

FR B 2 ⋅ l 2

4.2 Nyugalmi indukció 1. Kísérlet:

111


Fizika 10.

Kapcsoljuk a bal oldali tekercset egy tolóellenálláson és egy ampermérőn keresztül egy zseblámpaelem áramkörébe, a jobb oldali tekercs végeit pedig kössük össze egy galvanométerrel. A bal oldali ampermérő áramot jelez, a jobb oldali galvanométer nem jelez áramot. A ( K) kapcsoló ki-, illetve bekapcsolásakor azonban a ( G ) galvanométer először az egyik, majd a másik irányba kilendül. Hasonló jelenséget észlelünk akkor is, ha a bal oldali tekercs áramkörébe iktatott ( R ) ellenállást változtatjuk. Amíg az I áramot növeljük, a galvanométer abba az irányba tér ki, mint amit a bekapcsoláskor észleltünk, az I áram csökkentésekor viszont az ellenkező irányú áramot jelez a műszer. Kísérletünkben változtattuk az 1 (primer) tekercsben folyó áramot és ezzel a 2 (szekunder) tekercs által körülvett mágneses mezőt. A fluxus-változás hatására a szekunder tekercs kivezetései között feszültség jelentkezett, ami a galvanométer áramkörében áramot hozott létre. Ezt a jelenséget nyugalmi indukciónak nevezzük. 2. A mérések szerint a változó mágneses térben nyugvó tekercsben indukált feszültség egyenesen arányos a mágneses indukció megváltozásával, és fordítottan arányos a mágneses indukció megváltozásának idejével. Az indukált feszültség a tekercs menetszámától ( N ) és keresztmetszetétől ( A ) is függ; mindkettővel egyenesen arányos: U ~ ∆B 1 U~ ∆t U~ N U~ A ∆B ⋅ A U ~ N ⋅ ∆ t

U~

N ⋅

∆Φ ∆t

A változó mágneses térben nyugvó tekercsben indukált feszültség egyenesen arányos a tekercs menetszámával, az általa körülfogott felület mágneses fluxusának a megváltozásával, és fordítottan arányos a mágneses fluxus megváltozásának idejével. U

= − N ⋅

∆Φ ∆t

112


Fizika 10. 3. A nyugalmi indukció jelenségét a következő megfontolások alapján érthetjük meg: A szekunder tekercs áramkörében csak akkor folyik áram, ha a környezetében a mágneses fluxus változik. Állandó fluxusú mezőben 8azaz ha a primer tekercsben állandó az áramerősség) a jelenség nem lép fel. Ez azt az ismert tényt tükrözi, hogy a nyugvó elektromos töltéseket a mágneses mező nem képes mozgásba hozni. Ebből viszont arra kell következtetni, hogy az időben változó mágneses mező elsődlegesen valamilyen elektromos mezőt hozott létre maga körül, és az általunk észlelt indukált áramot ez az elektromos mező indította meg a zárt vezető körben. 4. Faraday indukciós törvénye: Az időben változó fluxusú mágneses mező örvényes elektromos mezőt létesít maga körül. (Forrása nincs, térerősségvonalai önmagukba záródnak.) Ha a mágneses mező fluxusa időben változik, akkor elektromos mező keletkezik. A mezőben felvett tetszőleges A felület elektromos örvényerőssége arányos a g határgörbéje által körülfogott Φ mágneses fluxus változási gyorsaságával: 



∆Φ ÖE = − ∆t

A negatív előjel azt fejezi ki, hogy az indukált elektromos mező erővonalai ellentétes körüljárásúak, mint ami a „jobbkézszabálynak” megfelelne, vagyis E irányát a „balkézszabály” adja meg: ha bal kezünk hüvelykujja a mágneses fluxusváltozás irányában áll, begörbített ujjaink az elektromos erővonalak irányába mutatnak.

5. A felfüggesztett alumínium gyűrű szabadon lenghet egy tekercsből kinyúló vasmag előtt. Az áram bekapcsolásakor a tekercs mágneses tere taszítja az alumínium gyűrűt, kikapcsoláskor pedig vonzza. Az alumínium gyűrű elmozdulása arra utal, hogy a gyűrűben is áram folyik, és a két mágneses tér hat egymásra. A) az áram bekapcsolásakor fellépő taszításból arra következtetünk, hogy a gyűrűben és a tekercsben az áram ellentétes irányú. 113


Fizika 10. B) kikapcsoláskor a vonzás jelensége egyirányú áramok jelenlétére utal. 6. Lenz szabály: Az indukált feszültség által létrehozott áram iránya mindig olyan, hogy mágneses hatásával akadályozza az indukáló folyamatot. 7. Kísérlet:

Hozzuk az ingát lengésbe – lassan csillapodni fog. Ha a tekercsbe áramot vezetünk, hirtelen lefékeződik a lengés. Az ingához erősített alumínium lemezben mozgási indukció révén örvényáramok keletkeznek, amelyek a Lenz törvénynek megfelelően a létrehozó változást (a lengést) akadályozzák. Feladatok

1. Négyszögletes 50 cm x 20 cm méretű huzalhurkot síkjával a 2 T mágneses indukciójú térre merőlegesen helyezünk el és 0,01 s alatt átfordítjuk a tér irányával párhuzamos helyzetbe. Mekkora az indukált feszültség? Megoldás: ∆ Φ U = N ⋅ Φ = B ⋅ A ∆t U =

NBA

∆t

20 V

2. Egy 20 cm hosszú, 1,5 cm átmérőjű, 300 menetes tekercsben 5 A áram folyik. Az áramkört hirtelen megszakítva, az áram 0,01 s alatt nullára csökken. Mekkora feszültség indukálódik a tekercsben, ha az áram csökkenését egyenletesnek tekintjük? Megoldás:

114


Fizika 10. U

= N ⋅

∆Φ ∆t

B

= µ0 ⋅

IN l

= 9 ,42 ⋅10 −3

T

= r 2 π = 1 ,76625 ⋅10 −4 m 2 ∆ Φ= A ⋅ ∆ B = 1 ,664 ⋅10 −6 Vs 300 ⋅1 ,664 ⋅ 10 −6 = 0 ,0499 U = A

0 ,01

V

3. Egy 50 cm átmérőjű 500 menetes tekercs 900 1/min fordulatszámmal forog mágneses térben. Az indukált feszültség 11,5 V. Mekkora a tér mágneses indukciója? Megoldás: ∆Φ U = N ⋅ ∆t U ⋅ ∆t ∆ Φ= N

B

=

Φ

A U ⋅ ∆t B = = 0 ,002 T N ⋅ A

4. Egy zárt vezetőkeret felületén az indukcióvonalak fluxusa 0,05 s alatt 1,5 Vs-mal változik. Mekkora elektromotoros erő indukálódik a vezetőben? Megoldás: ∆ Φ= U = N ⋅ ∆t

30 V

5. Mekkora áramot mutat az 1 m 2-es felületű vezetőkeret áramkörébe iktatott galvanométer, ha a keret felületét, amely a 150 Vs/m 2 indukciójú mágneses tér vonalaira merőleges, 0,1 s alatt a felére csökkentjük? A galvanométer belső ellenállása 1000 ohm, a keret ellenállása 100 ohm. Megoldás:

∆Φ ∆t ∆ Φ = B ⋅ ∆ A = 75 Vs U = 750 V Re = 1100 Ω U

I

=

=

U Re

=

0 ,68 A

115


Fizika 10.

4.3Kölcsönös indukció 1. A primer tekercsben változtattuk az áram erősségét és ennek hatására a szekunder tekercsben feszültség indukálódott. Ez a kölcsönös indukció jelensége. 2.

∆ Φ = − N 2 ⋅ U 2 = − N 2 ⋅ ∆t µ ⋅ N ⋅ N ⋅ A L1, 2 = 0 1 2

µ 0 ⋅ ∆ I ⋅ N1 l

∆t

⋅A

=−

µ 0 ⋅ N1 ⋅ N 2 ⋅ A ∆ I ⋅ ∆t l

l

L1,2 : kölcsönös indukciós együttható Vs =1H Mértékegysége: 1 A 1 H annak a tekercsnek az indukciós együtthatója, amelyben az 1 s alatt bekövetkező 1 A-es egyenletes áramerősség-változás 1 V indukciós feszültséget hoz létre.

4.4 Önindukció 1. Kísérlet:

116


Fizika 10.

Kössük a transzformátor tekercsét párhuzamosan egy ködfénylámpával, és kapcsoljuk rá egy zseblámpa telepre. A telep bekapcsolt állapotában a ködfénylámpa nem izzik, mivel gyújtási feszültsége 100 V felett van, a telep pedig csak 4,5 V feszültségű. Ennek ellenére kikapcsoláskor a lámpa felvillan, ugyanis az áram megszűnése és ezzel a mágneses fluxus csökkenése a tekercsben magában is feszültséget indukál. 2. Kísérlet:

Kapcsoljunk egymással párhuzamosan egy L induktivitású tekercset, és egy, tekercshuzal ellenállásával megegyező értékű R ellenállást. Mindkét ág áramkörébe iktassunk be egy-egy sorosan kapcsolt zsebizzót, és a közös végeket egy kapcsolón keresztül kössük egy megfelelő feszültségforráshoz. Ha a K kapcsolóval zárjuk az áramkört, azt tapasztaljuk, hogy az L induktivitású tekerccsel sorba kapcsolt izzólámpa mintegy 0,5 – 1 s idővel később gyullad ki, mint az R ellenállás áramkörében elhelyezett másik izzó. A kísérlet tapasztalata szerint az áramkör zárásakor az L induktivitású tekercs áramkörében csak némi időkéséssel alakul ki az Ohm törvénynek megfelelő erősségű áram. Az észlelt jelenséget a Faraday-féle indukciós törvény alapján érthetjük meg.

117


Fizika 10. Bekapcsoláskor a tekercs időben állandó mágneses fluxusának teljes felépülésig (a Lenz törvénynek megfelelően) olyan önindukciós ellenfeszültség jelenik meg a tekercs végei között, amely csökkenti a tekercsen átfolyó áramot. Kikapcsoláskor viszont, a tekercs mágneses fluxusának teljes összeomlásig, a fluxusváltozás folytán helyben indukált feszültség az áramot egy kis ideig még fenntartja. Úgy is magyarázhatjuk, hogy a telep bekapcsoláskor az áramforrás munkájának egy része a tekercs mágneses mezejének kiépítésére fordítódik, majd az áramforrás kikapcsolását követően, (a mágneses mező leépülése során), a mágneses mezőnek ezzel a munkával egyenlő energiáját kapjuk vissza az indukált áram által végzett munka (az izzólámpa felvillantása) formájában. 3. A jelenséget az indukció jelensége alapján magyarázhatjuk : Az áramátjárta tekercsben és környezetében mágneses tér van. Ha az áramerősség állandó, akkor a tekercshez csatlakozó mágneses fluxus is állandó. Ha a tekercsben folyó áram erőssége változik – növeljük vagy csökkentjük, az áramkört megszakítjuk vagy zárjuk -, a tekercsben és környezetében a mágneses tér is változik; a tekercs által körülölelt indukcióvonalak száma megváltozik. Ez a fluxusváltozás a tekercsben önmagában feszültséget indukál. Az elektromágneses indukciónak azt a formáját, amelyben az indukált feszültség oka magában a vezetőben folyó áram erősségének a megváltozása miatt létrejött fluxusváltozás, önindukciónak nevezzük. Önindukciós feszültség létrejön bármely áramkör zárásakor és megszakításakor. A zárási önindukciós feszültség a megszakítási önindukciós feszültséggel ellentétes irányú. Lenz törvénye szerint bekapcsolás esetén a bekapcsolt feszültséggel ellentétes feszültség indukálódik, így az eredő feszültség kisebb a bekapcsolt feszültségnél. Megszakítás esetén pedig a keletkezett feszültség az eredetivel megegyező irányú, és annál nagyobb is lehet. 





∆ Φ U = − N ⋅ = − N ⋅ ∆t 4. µ 0 ⋅ A ⋅ N 2 L =

µ 0 ⋅ N ⋅ ∆ I l

∆t

⋅A

µ 0 ⋅ N 2 ⋅ A ∆I =− ⋅ l ∆t

l

L : önindukciós együttható Az önindukciós feszültség egyenesen arányos az áramerősség–változással, és fordítottan arányos az áramerősség-változás idejével. U

= − L⋅

∆I ∆t

118


Fizika 10.

4.5 A mágneses mező energiája 1. Az áramforrás ∆t idő alatt végzett munkája a ∑W = ∑U ⋅ I ⋅ ∆t összefüggés alapján számítható, figyelembe kell vennünk azonban, hogy az áram változik az időben és a tekercsben valóban megjelenő feszültséget az U k kapocsfeszültség és az U i önindukciós feszültség együtt határozza meg. A tekercs feszültsége: L⋅

∆I = ∆t

U k

U

=

U k

− L⋅

∆I , ∆t

ahonnan

−U.

Mivel U = I . R és Uk . I . ∆t az áramforrás munkája, írhatjuk, hogy ∑ L ⋅ ∆∆It ⋅ I ⋅ ∆t = ∑ U k ⋅ I ⋅ ∆t − ∑ I 2 ⋅ R ⋅ ∆t A jobb oldalon az áramforrás által végzett összes munka ( ∑U ⋅ I ⋅ ∆t ) és a tekercsen átfolyó áram Joule-hő formájában végzett munkájának ( ∑I ⋅ R ⋅ ∆t ) különbsége szerepel. Ezt a különbséget tekintjük egyenlőnek a létrejött mágneses mező energiájával, amelynek mértékét a ∑L ⋅ I ⋅ ∆I kifejezés határozza meg. k

2

( A ∑ jelekre azért van szükség, mert a változó áramerősség miatt valamennyi felsorolt munka csak elemi részmunkák összegeként számítható.) A keresett energia: WM = ∑L ⋅ I ⋅ ∆I ahol ∆I és L . I az ábrának megfelelő egyenes arányosság áll fenn.

119


Fizika 10. Egy tekercs mágneses mezőjének teljes energiája egyenesen arányos a tekercs önindukciós együtthatójával és a benne folyó áram erősségének négyzetével: Wm

= 1 ⋅ L ⋅ I2 2

2. A teljes mágneses energiát akkor tartalmazza a tekercs, ha a teljes mágneses mezőt is tartalmazza. Ez az eset valósul meg körtekercsben. Így a tekercs térfogatát kitöltő teljes mágneses energia: 2 1 1 µ 0 ⋅ N ⋅ A 2 2 Wm = ⋅ L ⋅ I = ⋅ ⋅I 2

2

l

ahol l a toroid középkörének a hossza. Fejezzük ki a mező energiáját a mező adataival! Mivel a tekercs indukciója B

= µ0 ⋅

I ⋅ N l

áramerőssége helyére az írható, hogy

I

=

B⋅l

µ0 ⋅ N

.

Ezzel a mágneses mező energiája: Wm

1

1

2

µ0

= ⋅

⋅ B2 ⋅ A ⋅ l =

1

⋅ B2 ⋅ V , ahol V = A . l mező által kitöltött teljes térfogat. 2⋅µ0

Homogén térrész mágneses energiája egyenesen arányos a mágneses indukcióvektor négyzetével és a térrész térfogatával: Wm

=

1 2 ⋅ µ0

⋅ B2 ⋅ V .

Energiasűrűség a térfogattal való osztás után adódik: ρm = ρm =

Wm V 1

⋅ B2 . 2 ⋅ µ0

Feladatok

1. Mekkora az önindukciós együtthatója annak a tekercsnek, amelyben 0,5 s alatt egyenletesen bekövetkező 0,5 A áramerősség-változás 0,12 V önindukciós feszültséget hoz létre? Megoldás:

120


Fizika 10. ∆ I ∆t U ⋅ ∆t L = = 0 ,12 H ∆ I U

= L ⋅

2. Mekkora önindukciós feszültség keletkezik egy 25 cm hosszú, 7 2 cm keresztmetszetű, 1500 menetes légmagos tekercsben, ha 1,2 A áramerősség-változás 0,012 s alatt következik be?

Megoldás: l = 0,25 m A = 7 . 10 –4 m2 N = 1500 ∆ I =1 ,2 A ∆t = 0 ,012 s

U = L ⋅

A ⋅ N 2 ∆ I ∆ I = µ0 ⋅ ⋅ = 0 ,78 V l ∆t ∆t

3. Egy 0,1 H önindukciójú tekercsben 8 A-es áram folyik. Kikapcsolva az áramforrást, az áram 0,04 s alatt megszűnik. Mekkora feszültség indukálódik a tekercsben, ha az áram megszűnését egyenletesnek tételezzük fel?

Megoldás: L = 0,1 H t = 0,04 s ∆ I = 8 A ∆ I U = L ⋅ = 20 ∆t

V

4. Határozzuk meg egy L hosszúságú, A keresztmetszetű, N menetből álló tekercs önindukciós együtthatóját, ha a tekercs belsejét µr relatív permeabilitású anyag tölti ki! Megoldás:

121


Fizika 10. H =

IN l

Φ = B ⋅ A = µ 0 ⋅ µ r ⋅ ∆ Φ= µ 0 ⋅ µ r ⋅

I ⋅ N

∆ I ⋅ N l

l

⋅ A

⋅ A

N ⋅ A ∆ I ∆Φ = − N ⋅ µ 0 ⋅ µ r ⋅ ⋅ l ∆t ∆t ∆ I U = L ⋅ ∆t N 2 ⋅ A L = µ 0 ⋅ µ r ⋅ U = N ⋅

l

5. Egy 600 menetes, 20 cm hosszú tekercs belsejében elhelyezünk egy, az előzővel párhuzamos tengelyű, 5 cm átmérőjű, 500 menetes, hengeres tekercset. A külső tekercset feszültségforrásra kapcsoljuk, és egy tolóellenállás alkalmazásával 0,3 s alatt 2 A-ról 5 A-re változtatjuk a rajta átfolyó áram erősségét. Mekkora feszültség indukálódik az áramerősség változása idején a belső tekercsben? Megoldás: N 1 = 600 N 2 500 l = 0,2 m t = 0,3 s r = 2,5 cm ∆ I = 3 A

µ0 ⋅

∆ I ⋅ N 1

⋅ A µ N N ∆ I ⋅ A ∆Φ l U 2 = N 2 ⋅ = N 2 ⋅ = 0 1 2 = 0 ,037 V l ⋅ ∆t ∆t ∆t 6. Egy 0,6 m hosszú és 0,1 ohm ellenállású szigetelt vezetékből először egy zárt kört, másodszor pedig olyan 8-as alakú síkbeli zárt hurkot hajlítunk, amely hurok két, 1:3 sugárarányú kört alkot. A) A körvezető a síkjára merőleges irányú homogén mágneses mezőben van. Mennyi töltés áramlik át a vezeték valamely keresztmetszetén azalatt, amíg a mágneses indukciót a kezdeti 0,314 T értékről egyenletesen a kétszeresére növeljük? B) Ha a fenti kísérletet a 8-as alakú vezetővel végezzük el, akkor mennyi lesz a keresztmetszeten átáramló töltésmennyiség?

Megoldás:

∆Q = I ⋅ ∆t

I = U

=

U R

∆Φ ∆t

122


Fizika 10. ∆ B = 2 B0 − B0 = B0 ∆ Φ= A ⋅ B0 ( 2r π )2 l 2 2 A = r ⋅ π = = 4π 4π ∆Φ U ∆ Φ A ⋅ B0 l 2 ⋅ B0 t ∆ ∆Q = I ⋅ ∆t = ⋅ ∆t = ⋅ ∆t = = = = 9 ⋅ 10 −2 R R R R 4π R B) l 1 = l 2

1 4 3

C

⋅ l

= ⋅ l

4 A két hurok ker ülete : l 1 , l 2 A1

=

4π 2 2

l

=

4π

=

1

⋅

l 2

16 4π 9

⋅

2

l

= =

A 16 9

⋅ A 16 4π 16 1 1 ∆ Φ1 = B0 ⋅ A1 = ⋅ B0 ⋅ A = ⋅ ∆ Φ 16 16 9 9 ∆ Φ2 = B0 ⋅ A2 = ⋅ B0 ⋅ A = ⋅ ∆ 16 16 ∆ Φ1 1 ∆ Φ 1 U 1 = = ⋅ = ⋅ U ∆t 16 ∆t 16 ∆ Φ2 9 ∆ Φ 9 U 2 = = ⋅ = ⋅ U ∆t 16 ∆t 16 1 U 2 − U 1 = ⋅ U 2

A2

=

l 12

Tehát feleakkora feszültség hajtja át az áramot a vezetőn, mint az előbb. Ezért feleakkora áram folyik, és a töltéselmozdulás is feleakkora, mint a kör alakú vezetőhurok esetén. Q = 4,5 . 10 - 2 C.

7. Vízszintes síkban fekvő, egymástól l távolságra levő párhuzamos vezető sínek egyik végét L önindukciós együtthatójú tekerccsel kötjük össze. A síneket merőlegesen összekötő m tömegű fémrudat a sínek mentén v sebességgel meglökjük és magára hagyjuk. Milyen mozgást végez a rúd a B indukciójú függőleges homogén mágneses térben? A súrlódástól eltekintünk. Megoldás: U = Blv

123


Fizika 10. ∆ I ∆t A kör eredő elektromotoros ereje (Kirchhoff II. törvénye) egyenlő a kör ellenállásán eső feszültséggel. Mivel R = 0, akkor ∆ I = 0 U − L ⋅ ∆t ∆ I Blv = L ⋅ ∆t Blv ⋅ ∆t = L ⋅ ∆ I Bl ⋅ ∆ x = L ⋅ ∆ I Az áramerősség megváltozása egyenesen arányos a változás ideje alatt létrejött elmozdulással, az áramerősség pillanatnyi értéke pedig a megfelelően választott kitéréssel. Mivel a rúdra ható erő az áramerősséggel arányos, az erő és a kitérés egyenesen arányosak egymással, továbbá az erő az elmozdulással ellentétes irányú, akkor harmonikus rezgőmozgás.

A tekercsben :

I =

U i

= L ⋅

Blx L

F = BIl =

B 2 ⋅ l 2 L

⋅ x

B 2 ⋅ l 2

D

=

T

= 2π ⋅

L m D

= 2π ⋅

mL B 2 ⋅ l 2

= 2π ⋅

mL B ⋅ l

8. Vízszintesen fekvő, párhuzamos fémsíneken, azokra merőlegesen egy 0,2 m hosszú fémrúd fekszik, majd nyugalomból elindulva, egyenletesen gyorsuló mozgást végez úgy, hogy 0,05 s alatt 1 méteres utat tesz meg. Függőlegesen, a sínek síkjára merőlegesen 0,3 T indukciójú homogén mágneses mező van. A) Írjuk fel a fémrúd végei között indukálódó feszültség időfüggését a 0 – 0,05 s időtartamra! B) Írjuk fel az áram időfüggését, ha a sínpárt egy 2 μF kapacitású kondenzátorral zárjuk! 124


Fizika 10. Megoldás: l = 0,2 m B = 0,3 T t = 0,05 s s = 1 m a s = ⋅ t 2 a

=

2 2 s

t 2 Blv

= U 1 = U 2 = U 3 = U 4 = U 5 = U

=

800

s 2 Blat

=

0 ,48 V 0 ,96 V 1 ,44 V 1 ,92 V 2 ,4 V

U = Blv ∆Q = I = ∆t I

=

m

CBlv

∆t

C ⋅ ∆U

∆t =

CBla

= 9 ,6 ⋅ 10 −5

A

9. Egy 700 menetes, 25 cm hosszú tekercs belsejében elhelyezünk egy, az előzővel párhuzamos tengelyű, 4 cm átmérőjű, 600 menetes, hengeres tekercset. A külső tekercset feszültségforrásra kapcsoljuk, és egy tolóellenállás alkalmazásával 0,5 s alatt 2 A-ról 7 A-ra változtatjuk a rajta átfolyó áram erősségét. Mekkora feszültség indukálódik az áramerősség változása idején a belső tekercsben? Megoldás: N 1 = 700 N 2 = 600 l = 0,25 m t = 0,5 s

125


Fizika 10. r = 0,02 m ∆ I = 5 A

µ0 ⋅

∆ I ⋅ N 1

⋅ A N ⋅ N ⋅ µ ⋅ ∆ I ⋅ A ∆ Φ l U = N 2 ⋅ = N 2 ⋅ = 1 2 0 = 0 ,0265V ∆ t ∆ t l ⋅ ∆ t 10. Az ábra szerinti elrendezésben a 0,0628 T indukciójú homogén mágneses mezőben egy 16 cm sugarú kör alakú vezetőhurok van.

A hurok végeit úgy húzzuk ellentétes irányban, hogy a hurok területe 0,1 s alatt egyenletesen felére csökken. A húzás közben a hurok síkja merőleges a B irányára. Határozzuk meg a vezető két vége közötti feszültséget, és ábrázoljuk az idő függvényében a 0 és 0,1 s időközben!

Megoldás: ∆ Φ = B ⋅ ∆ A ∆ Φ = B ⋅ ∆ A U = ∆t ∆t 2 A0 = r π = 0 ,08 m 2

∆ A = ∆t

A0 2 t 0

U = B ⋅

= 0 ,04

m2 s

∆ A = 2 ,52 ⋅ 10 −3 ∆t

V

126


Fizika 10.

5. A VÁLTAKOZÓ ÁRAM 5.1 A váltakozó feszültség és áram 1. Kísérlet:

127


Fizika 10.

A fluxusnövelés és- csökkentés váltakozva is történhet. Ha rúdmágnest forgatunk tekercsek előtt, a tekercsekhez kapcsolt műszer váltakozva ellentétes irányú kitéréseket jelez. A mágnes egy körülfordulása alatt a műszer kétszer mutat zérus és kétszer ellentétesen maximális értéket. A kapott feszültség váltakozó feszültség. A váltakozó feszültséget egyszerűbben vizsgálhatjuk, ha mágneses térben vezetőkeretet forgatunk. Forgatás közben a vezetőkeret két szembenfekvő oldala, a vezetőkeret „hatásos” részei folyamatosan metszik az indukcióvonalakat. Ha a keret síkja az indukcióvonalakra merőleges, kicsiny elfordulás esetén indukcióvonal – metszés nincs. Ebben a helyzetben ugyanis a keret „hatásos” oldalai rövid szakaszon az indukcióvonalakkal párhuzamosan mozdulnak el. Így a feszültség zérus. Továbbfordulás közben az egymást követő kicsiny egyenlő időközökben metszett indukcióvonalak száma és ezzel a feszültség növekszik. Az első negyedfordulat után az indukcióvonal metszés sebessége maximális (a keret síkja az indukcióvonalakkal párhuzamos), így a keletkezett feszültség is maximális. A következő negyedfordulat után a feszültség ismét zérus. Alaphelyzethez viszonyítva 270 0-os elfordulás esetén a feszültség újból maximális, de az előző maximumhoz képest ellentétes előjelű. A 360 0-os elfordulás után a feszültség megint zérus.

128


Fizika 10.

Az U = Blv összefüggésben v az indukcióvonalakra merőleges sebességet jelenti. A forgatott vezetőkeretre vonatkoztatva ebből az következik, hogy az indukcióvonalakat metsző oldalak kerületi sebességnek csak az indukcióvonalakra merőleges összetevője ( v’) jön számításba. v'

= v ⋅ sin α

Tehát a folytonosan változó indukált feszültséget az U

= B ⋅ l ⋅ v ' = B ⋅ l ⋅ v ⋅ sin α

összefüggés fejezi ki. párhuzamos.

α = 90 0

Ekkor a feszültség maximális: α = ω ⋅ t helyettesítéssel, ahol

U max

esetében a keret síkja az indukcióvonalakkal

= B ⋅ l ⋅ v . Tehát U = U max ⋅ sin α vagy

α a fázisszög, és ω a körfrekvencia 129


Fizika 10. U

= U max ⋅ sin ωt

A körben folyó áram, ha az áramkör ellenállása R : I=

U max R

⋅ sin ωt =

I max ⋅ sin

ωt

A mágneses térben forgatott tekercsben (vezetőkeretben) indukált váltakozó feszültség nagysága és iránya – szinuszfüggvénnyel leírható módon – periodikusan változik.

2. A hálózati feszültség: f = 50 T

=1 = f

1 50

1 s

= 0,02 s

3. A váltakozó áram hőhatását ugyanúgy tapasztaljuk, mint az egyenáramét. A vezető felmelegedése független az áram irányától. 4. Vegyi hatás szempontjából az áram irányának igen gyakori változása miatt a váltakozó áram az elektrolitekből az egyes alkotórészek tiszta kiválasztására nem alkalmazható. Az egyenáram időben állandó mágneses teret kelt. A váltakozó áram mágneses tere viszont az áram egy periodusa alatt felépül, majd megszűnik, azután ellentétes irányban újra létesül, majd ismét megszűnik. A váltakozó áram tehát időben változó mágneses teret kelt.

5.2 A váltakozó áram effektív jellemzői

130


Fizika 10. 1. A váltakozó áram által a fogyasztón leadott teljesítmény nyilvánvalóan nem zérus, amit a fogyasztó melegedése egyértelműen elárul. A váltakozó áram pillanatnyi teljesítményét az egyenáramra érvényes : P = U ⋅ I = I ⋅ R képlet alapulvételével a P = R ⋅ I 2max ⋅ sin 2 ωt összefüggésből határozhatjuk meg. 2

2.

Az időben változó teljesítmény helyettesíthető egy olyan átlagos és időben állandó teljesítménnyel, amelynek az egy periódus idő alatt végzett munkája ugyanannyi, mint amennyi a váltakozó áram által egy periódus alatt végzett összes munka. Peff

=

Peff

=

R ⋅ I 2max 2 Pmax 2

Az effektív teljesítmény annak az egyenáramnak a teljesítményével egyenlő, amely adott idő alatt ugyanannyi munkát végezne a fogyasztón, mint amennyit a kérdéses váltakozó áram végez.

3.

131


Fizika 10. R ⋅ I max 2

=

Peff Peff

2

=

I

R ⋅ I max

2 eff

⋅ R

2

2

4.

I max

=

I eff

= I 2eff ⋅ R 2

Valamely vezetőben folyó váltakozó áram effektív áramerőssége annak az egyenáramnak az erősségével egyenlő, amelynek hatására a vezető ugyanannyi idő alatt ugyanannyi hőt ad át a környezetének . Peff

=

Peff

=

U

2 max

2 R U 2eff

=

2R U eff

U 2max

=

R 2 U eff R

U max 2

5. Megjegyzés : Peff

=

=

Ttéglalap

∫ sin

2

Pmax 2 Pmax 2

ax dx

⋅T =

Pmax ⋅ T

1

2 1

2

4a

= ⋅x −

⋅ sin 2ax

T

W

= ∫ R ⋅ I

T

T

2 max

⋅ sin ωt dt = R ⋅ I 2

0

2 max

⋅ ∫ sin ωt dt = R ⋅ I 2

2 max

0

1 1 ⋅  t − ⋅ sin 2ωt  =  2 4ω 0

P ⋅T 1 1 2π 1 = Pmax ⋅  T − ⋅ sin 2 ⋅ ⋅ T  = Pmax ⋅ T = max 4ω T 2 2 2 



0

5.3 Induktív ellenállás

132


Fizika 10. 1. Kísérlet:

Önindukciós tekerccsel sorba kapcsolt izzót egyszer egyenáramú, majd váltakozó áramú körbe kapcsolunk, mindkét esetben ugyanakkora feszültségre. Az izzó a váltakozó áramú körben gyengébben világít. Az önindukciós tekercset tartalmazó vezetőkör ellenállása váltakozó áram esetén nagyobb, mint egyenáram esetén. A jelenség oka az önindukció. A tekercsben az áramerősség folytonos változása következtében olyan önindukciós feszültség indukálódik, amely Lenz törvénye értelmében akadályozza az indukáló folyamatot. Ezért nagyobb a tekercs ellenállása váltakozó áram esetén. 2. Az önindukció miatt fellépő ellenállást induktív ellenállásnak nevezzük. Jele: XL 3. Ha az áramforrás frekvenciáját változtatjuk – pl. ugyanakkora váltakozó feszültséget adó telefoninduktort alkalmazunk -, az induktív ellenállás is változik; nagyobb frekvencia esetén nagyobb. Az induktív ellenállás egyenesen arányos a tekercs önindukciós együtthatóval és a váltakozó feszültség frekvenciájával. XL ~ L XL ~ f XL ~ f . L XL XL

= 2 π ⋅ f ⋅ L = L ⋅ω

133


Fizika 10.

4. Kísérlet:

Kapcsoljunk váltakozó feszültségű áramforrás sarkaira párhuzamosan önindukciós tekercset és tolóellenállást, mindegyikkel sorba egy-egy zsebizzót. A tolóellenállással beszabályozzuk, beszabályozzuk, hogy a két izzó azonos fénnyel világítson. Az izzók a frekvencia ütemében felvillannak, de a tekerccsel sorba kötött izzó mindig később. A tolóellenállással sorba kötött izzó felvillanásai a feszültségmaximumokkal egyező fázisban láthatók (ohmos ellenálláson a feszültség és az áram fázisban van). A tekerccsel sorba kötött izzó felvillanásai a fellépő önindukció miatt késnek a feszültségmaximumokhoz feszültségmaximumokhoz képest. A tolóellenállással sorba kötött izzó a feszültséget, a másik az áramerősséget jelzi. A tekercsben az áramerősség és a feszültség nem azonos fázisban váltakozik, hanem fáziseltolódás van közöttük. Az áram késik a feszültséghez képest. képest . A fáziskésés szöge: φ Ha az áramkör ohmikus ellenállása elhanyagolhatóan kicsiny, akkor az áram éppen 900-kal késik a feszültséghez képest. képest. A váltakozó áramú áramkörben a sorba kötött önindukciós tekercsnek kettős szerepe van: növeli az áramkör ellenállását; késlelteti az áramerősséget az áramforrás feszültségéhez képest. 



134


Fizika 10.

5.4 Kapacitív Kapacitív ellenállás ellenállás 1. Kísérlet:

Egyenfeszültség esetén a ködfénylámpa a forgókondenzátor egyik állása mellett sem világít. Váltakozó feszültség esetén egy periódus alatt kétirányú folyamat megy végbe. Az első félperiódu félperiódusban sban a kondenzá kondenzátor tor feltöltődik feltöltődik,, majd a kondenzá kondenzátor tor fegyverz fegyverzeteit eteit összekötő vezetéken keresztül a töltések kiegyenlítődnek. kiegyenlítődnek. A következő félperiódusban elle ellent ntét étes esen en töltő töltődi dikk fel, fel, és ismé ismétt kieg kiegye yenl nlítítőd ődik ik.. A kond konden enzá záto torr tehá tehátt nem nem akadályozza meg, hogy az izzólámpán keresztül az elektromos töltések a váltakozó feszültség periódusának megfelelően ide-oda történő áramlást végezzenek. 135


Fizika 10. Ha változ változtat tatjuk juk az izzólá izzólámpá mpával val sorba sorba kötött kötött kon konde denzá nzátor tor kapac kapacitá itását sát,, az izzó izzó fényének erőssége is változik. Növekvő kapacitás esetén az izzó jobban világít, jelezve, hogy az áramkör ellenállása kisebb lett. Ha válto változta ztatju tjukk az áramfo áramforrá rráss frekve frekvenci nciájá áját,t, az izzó izzó fényéb fényében en szinté szinténn válto változá záss következik be. Növekvő frekvencia esetén az izzó szintén jobban világít. Az áramkör ellenállása ismét kisebb. 2. A váltakozó váltakozó áramú áramú áramkörben áramkörben a konden kondenzáto zátorr ellenállásk ellenállásként ént szerepel szerepel.. Ezt az ellenállást kapacitív ellenállásnak ellenállásnak nevezzük. Jele: XC 3. A kapacitív kapacitív ellenállás ellenállás fordított fordítottan an arányos arányos a kondenzátor kondenzátor kapacitás kapacitásával ával és a váltakozó váltakozó feszültség frekvenciájá fr ekvenciájával. val. 1 XC ~ f

XC ~ XC ~ XC

=

XC

=

1 C 1 f ⋅ C

1 2π ⋅ f ⋅ C 1

ω⋅ C

4. Kísérlet:

136


Fizika 10.

Kapcsoljunk tolóellenállással párhuzamosan kondenzátort kis frekvenciájú váltakozó feszültségre. Kössünk sorba mind a tolóellenállással, mind a kondenzátorral egy-egy zsebizzót. A zsebizzók a feszültséget, illetve az áramerősséget jelzik. A tolóellenállás változtatásával elérjük, hogy az izzók fénye azonos legyen. Az áramkör zárásakor az áramjelző izzó ( 1 ) mindig előbb villan, mint a feszültségjelző izzó ( 2 ), jelezve, hogy az áram siet a feszültséghez képest.

5.

A fázissietés magyarázata :

137


Fizika 10. A kondenzátor feltöltődése a feszültségforrásból nagy kezdeti áramerősséggel indul. Ekkor még a kondenzátor sarkain a feszültség zérus. A feltöltődés során a kondenzátor sarkain mérhető feszültség fokozatosan nő. A töltések áramlása akkor szűnik meg, amikor a kondenzátor feszültsége elérte a rákapcsolt feszültséget. Ekkor az áramerősség zérus. A kisülés során a töltések a kondenzátorról eláramlanak; az áramirány az előzővel ellentétes. Amikor az áram eléri a maximális értéket, a kondenzátor feszültsége zérusra esik, és a folyamat kezdődik elölről, de ellentétes irányban. Ez a fáziseltolódás az áram és a feszültség között a töltés és a kisülés folyamán mindvégig megmarad. Ha az áramkör ohmos ellenállása elhanyagolhatóan kicsiny, akkor az áram éppen 900-kal siet a feszültséghez képest. A váltakozó áramú áramkörben a sorba kötött kondenzátornak kettős szerepe van: növeli az áramkör ellenállását; sietteti az áramerősséget az áramforrás feszültségéhez képest. 



5.5 Sorosan kapcsolt váltakozó áramú ellenállások 1. Az eredő ellenállást impedanciának nevezzük . Jele: Z Z

2.

=

U eff I eff

Soros RL-kör :

Mérések szerint: U < UR + UL és

Z < R + XL

138


Fizika 10.

= U 2R + U 2L Az áramerősség mindkét ellenálláson I . U2

= I ⋅ R UL = I ⋅ XL U = I⋅Z I 2 ⋅ Z 2 I 2 ⋅ R 2 + I 2 ⋅ X 2L U R

Z=

R 2

+ X 2L

Z=

R 2

+ (L ⋅ ω) 2

cos

ϕ=

U R U

=

R Z

3. Soros RC-kör:

139


Fizika 10.

Mérések szerint: U < UR + UC

Z < R + XC

140


Fizika 10. = U C2 + U 2R U = I⋅Z UC = I ⋅ XC U R = I ⋅ R I 2 ⋅ Z 2 = I 2 ⋅ X 2C + I 2 ⋅ R 2 Z 2 = X C2 + R 2 U2

Z=

R 2

Z=

R

cos ϕ =

2

+ X C2 +

U R U

1 C

2

=

⋅ ω2 R Z

4. Soros LC-kör:

= UL − UC I ⋅Z = I ⋅XL − I ⋅XC U

141


Fizika 10. Z

= XL − XC

Z

= L ⋅ ω−

1 C ⋅ω

5. Soros RLC-kör:

142


Fizika 10. = U 2R + ( U L − U C ) 2 2 2 2 2 2 2 I ⋅ Z = I ⋅ R + I ⋅ (X L − X C ) U2

Z=

R 2

+ (X L − X C ) 2

Z=

R 2

+ (L ⋅ ω −

cos ϕ =

R Z

=

1 C⋅ω

)2

U R U

5.6 A váltakozó áram munkája és teljesítménye 1. = U max ⋅ sin ωt = 2 ⋅ U eff ⋅ sin ωt I = I max ⋅ sin ( ωt − ϕ) = 2 ⋅ I eff ⋅ sin ( ωt − ϕ) U

P=U.I =(

)

2

⋅ U eff ⋅ I eff ⋅ sin ωt ⋅ sin ( ωt − ϕ) = U eff ⋅ I eff ⋅ 2 ⋅ sin ωt ⋅ sin ( ωt − ϕ) 2 sin α ⋅ sin β = cos ( α − β) − cos ( α + β) 2 ⋅ sin ωt ⋅ sin ( ωt − ϕ) = cos ( ωt − ωt + ϕ) − cos ( ωt + ωt − ϕ) = cos ϕ − cos ( 2ωt − ϕ) P = U eff ⋅ I eff ⋅ [ cos ϕ − cos( 2ωt − ϕ) ] Pt = U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ − U eff ⋅ I eff ⋅ cos( 2ωt − ϕ) P

2

143


Fizika 10.

A Pt egy állandó és egy periódikusan változó részből tevődik össze. T

W

= ∫ Pt

dt

0

T

W

= ∫ [ U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ −

U eff ⋅ I eff ⋅ cos( 2ωt − ϕ) ] dt

0

T

W1

= ∫ U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ dt = [ U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ ⋅ t ] T0 = U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ ⋅ T 0

W2 W2

T

sin ( 2ωt − ϕ)  = ∫ U eff ⋅ I eff ⋅ cos( 2ωt − ϕ) dt = U eff ⋅ I eff ∫ cos( 2ωt − ϕ) dt = U eff ⋅ I eff ⋅   2ω  0 0 0 sin ( 2ωT − ϕ) sin ( 2ω ⋅ 0 − ϕ)  sin ( 2ωT − ϕ) sin ϕ  = U eff ⋅ I eff ⋅  − = U eff ⋅ I eff ⋅  +  2ω 2ω 2ω 2ω     T

T

144


Fizika 10. T

=

2π

ω ( π − ϕ) sin ϕ  = U eff ⋅ I eff ⋅  sin 4 + =0 2ω   2ω

W2

   

−

sin ϕ 2ω

      

W = W1 + W2 W W

0

= U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ ⋅ T = UIt = Pt W t 1 ( U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ ⋅ T ) T

P

=

P

=

P

= U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ

cos

ϕ : teljesítménytényező

2.

145


Fizika 10.



Ha

ϕ = 0 − val ,

cos ϕ = 1 és S

=

vagyis csak ohmos ellenállás van az áramkörben, akkor

U eff ⋅ I eff

S: látszólagos teljesítmény 146


Fizika 10. 

< 90 0 , vagyis fáziseltolódás van az áramkörben, akkor

Ha 0 < P

= U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ

P : hatásos vagy vagy wattos teljesítmény (ohmos és induktív ellenállás van, vagy ohmos és kapacitív ellenállás van) Ha ϕ = 90 , vagyis ohmos ellenállás nincs az áramkörben, akkor cos 900 = 0 és Q = 0. Q : meddő teljesítmény ( Q = U eff ⋅ I eff ⋅ sin ϕ ) 0



S=

P

2

+Q 2

5.7 5.7 Tran Transz szfo form rmát átor or 1.

Ha a primer tekercsben váltakozó áram folyik, a szekunder tekercsben azonos frekvenciájú váltakozó feszültség indukálódik. A jelenség oka : a nyugalmi indukció. 2. (A primer tekercsben a váltakozó áram által létrehozott fluxusváltozás – a közös zárt vasmag miatt – a szekunder tekercsben is ugyanakkora. ugyanakkora.

147


Fizika 10. U

= N ⋅ ∆ Φ ∆t

3. U p

=

U sz P p

=

N sz Psz

U p ⋅ I p U p U sz

N p

=

U sz ⋅ I sz

=

I sz

=

I p

N p N sz

Feladatok

1. Rádiók Rádiókész észülé ülékk áramkö áramkörei reinek nek táplál táplálásá ására ra szolg szolgáló áló transz transzfor formá mátor tor prime primer r tekercsének menetszáma 1200. Hány menetes a csövek fűtését tápláló szekunder tekercs, ha a hálózati feszültség 220 V, és a csövek 6,3 V feszültséget igényelnek?

Megoldás: N p = 1200 U p = 220 V U sz = 6,3 V N sz =? N p N sz N sz

= =

U p U sz

N p ⋅ U sz U p

= 34,36

2. 220 V feszültsé feszültséget get 12,5 V-ra V-ra kívánunk kívánunk átalakítan átalakítanii transzformát transzformátorral orral.. A primer tekercs menetszáma menetszáma 880. Hány menetes a szekunder tekercs? tekercs? Megoldás: N p = 880 U p = 220 V U sz = 12,5 V U p U sz N sz

= =

N p N sz U sz ⋅ N p U p

=

50

6. ELEKTR ELEKTROMÁ OMÁGNE GNESES SES REZGÉS REZGÉSEK EK 6.1Csillapított elektromágneses rezgések előállítása 1. Töltsük Töltsük fel a kondenzát kondenzátort ort egyenfesz egyenfeszültsé ültségű gű telepről, telepről, majd kapcsolj kapcsoljuk uk le a telepet, telepet, és zárjuk a kondenzátort a tekercsen keresztül! 148


Fizika 10.

Ha érzékeny és kicsiny belső ellenállású ampermérőt kapcsolunk a körbe, akkor azt tapasztaljuk, hogy a kondenzátor rövidre zárását nem pillanatszerű áramlökés kíséri, hanem olyan váltakozó áram indul meg a körben, amelynek amplitúdója fokozatosan csökken. Az áram tehát nem szűnik meg a kondenzátor töltéseinek elvesztése után, hanem tovább folyik, miközben az előzővel ellenkező töltéssel látja el a kondenzátor lemezeit. A jelenség okát az indukciós tekercsben, illetve a mágneses mező tehetelenségében kell keresni.

2. Kondenzátorból és önindukciós tekercsből álló körben a kondenzátor egyszeri feltöltésével váltakozó áram keletkezik. 3. A kondenzátorból és tekercsből álló vezetőkört elektromos rezgőkörnek nevezzük. 4. A tekercs és a kondenzátor együttes hatása révén létrejött rezgések kialakulását a következőképpen magyarázhatjuk:

149


Fizika 10.

A t = 0 időpillanatban a feltöltött kondenzátor lemezei között a feszültség maximális, az áramerősség a körben zérus. A kondenzátor lemezei között elektromos erőtér van.

T

időközben a kondenzátor lemezei között levő feszültség a körben áramot hoz létre. Az áramerősség az önindukció miatt csak fokozatosan növekszik. Mialatt a kondenzátor lemezei között a feszültség és az elektromos térerősség csökken, a tekercsben az áramerősség és a mágneses indukció növekszik . 0

4

150


Fizika 10.

=

T

időpillanatban a kondenzátor lemezei között a feszültség és az elektromos térerősség zérusra csökken, az áramerősség maximumot ér el. Maximális a mágneses indukció is. Csak mágneses tér van. t

T 4

4

T 2

időközben az önindukció következtében az áram tovább fennmarad, és a kondenzátort ellentétesen feltölti. (A csökkenő mágneses tér miatt az önindukciós feszültség az eredeti feszültséggel azonos irányú.) Így, miközben az áramerősség és a mágneses indukció csökken, a kondenzátor feszültsége és az elektromos térerősség nő.

151


Fizika 10.

=

T 2

>

T 2

időpillanatban létrejön olyan állapot, amikor csak elektromos tér van a kondenzátor lemezei között. A térerősség azonban ellentétes irányú, mint kiinduláskor. t

időközben újból kezdődik a feszültségkiegyenlítődés. Ez az előzővel ellentétes irányú áram kialakulásához vezet. A folyamat T időközönként ismétlődik. t

152


Fizika 10.

5. A kondenzátor elektromos térerősségének és a tekercs mágneses indukciójának nagysága és iránya periodikusan változik. Így változó elektromos és mágneses tér alakul ki. Ennek következtében az elektronok a vezetőben rezgőmozgást végeznek. A folyamat során az elektromos és mágneses energia periodikusan egymásba alakul át. Az egész rezgési jelenséget elektromágneses rezgésnek nevezzük. 6. Ha a rezgőkörben ohmos ellenállás nem lenne, akkor az elektromos és mágneses energia összege az átalakulás során állandó lenne, és csillapítatlan rezgések keletkeznek. Ohmos ellenállás jelenléte a Joule-törvény alapján jelentkező energiaveszteség miatt a rezgések csillapodásához vezet: csillapított rezgéseket kapunk.

6.2 Rezgőkör saját frekvenciája; Csillapított elektromágneses rezgések

153


Fizika 10. 1. Ha az elektromos rezgőkörben megváltoztatjuk a tekercs önindukciós együtthatóját vagy a kondenzátor kapacitását, más frekvenciájú rezgést nyerünk. 2. A rezgőkörben a kondenzátor egyszeri feltöltés következtében létrejövő rezgést szabad vagy saját elektromágneses rezgésnek nevezzük. Minden elektromos rezgőkör bizonyos saját frekvenciával (f 0) és saját rezgésidővel (T0) rendelkezik. 3. Ahhoz, hogy a létrejött rezgések amplitúdója állandó legyen, vagyis csillapodásmentes rezgések jöjjenek létre, az energiát a veszteségek miatt megfelelő ütemben pótolni kell. Iktassunk trióda anódkörébe L önindukcióval és C kapacitással jellemzett rezgőkört.

Az anódkör zárásakor a kondenzátor feltöltődik, és a rezgőkörben csillapított rezgés jön létre. Ezt a csillapított rezgést – kis frekvencia esetén – jelzi a rezgőkörben elhelyezett érzékeny áramjelző. A rezgőkörben folyó áram egyszer az anódárammal egyirányú, a következő félperiódusban azzal ellentétes irányú. Ha az anódáram azokban az időpillanatokban, amikor a rezgőköri árammal megegyező irányú, hírtelen megnövekszik, akkor a rezgés olyan ütemben kap lökéseket az anódáramtól, hogy az felerősödik. Ezzel a csillapodást ellensúlyozzuk, és eredményképpen csillapítatlan rezgéseket állítunk elő. A csillapítatlan rezgéseket előállító kapcsolás az ún. Meissner-féle visszacsatolás. 154


Fizika 10. Ha zárjuk az anódkört, akkor a rezgőkörben létrejött rezgések a rácskör L’ tekercsében ugyanakkora frekvenciájú feszültséget indukálnak. Ennek következtében a rács feszültsége növekszik vagy csökken. Ezek a változások visszahatnak az anódáramra, melynek erőssége a rácsfeszültségnek megfelelően ingadozik. Ha az anódáram –ingadozások a rezgőkör áramingadozásaival fázisban vannak, akkor a rezgések a rezgőkörben csillapítatlanokká válnak. Az anódkörben levő árammérőről látható, hogy az anódáram lüktető és szaggatott egyenáram. A rezgőkörben levő árammérő mutatója viszont váltakozó áramot jelez. Az olyan rezgőrendszereket, melyekben magának a rezgőkörnek a rezgései szabályozzák állandó forrásból (pl. egyenáramú áramforrásból) az energia pótlását, önvezérelt elektromos rezgőrendszerek nek nevezzük.

6.3 Rezonancia 1. A rezgőkörben a rezgéseket külső, periodikusan változó feszültség is fenntarthatja: ekkor a rezgőkörben külső vezérlésű, más néven kényszerrezgések jönnek létre. A gerjesztő rezgés lehet a hálózati váltakozó feszültség is.

2. Ha a külső gerjesztés frekvenciája és a rezgőkör saját frekvenciája megegyezik (f = f 0), akkor rezonanciajelenség lép fel. Rezonancia esetén a tekercs és a kondenzátor ellenállása megegyezik, így 155


Fizika 10. L⋅ ω

=

1 ω⋅

vagy

C

2π ⋅ f ⋅ L

=

1 2π ⋅ f ⋅ C

Itt olyan ideális rezgőkört tételeztünk fel, amelyben nincs ohmos ellenállás. Az f frekvencia annak a rezgésnek a frekvenciája, amelynél a rezonancia bekövetkezik. A fenti egyenlőségből a rezgőkör saját frekvenciája: 1

f

=

2π ⋅

L ⋅C

T

= 2π ⋅

L ⋅C

Thomson-formula

3.

csillapítatlan rezgés

Indukció folytán a II. rezgőkörben a ködfénylámpa világít. A C2 változtatásával elérhetjük, hogy a II. körben a ködfénylámpa fénye maximális legyen. Ebben az esetben a II. kör saját rezgésideje megegyezik az I. gerjesztőkör rezgésidejével. A két rezgőkör rezonanciában van: T1 = T2

vagyis

L 1 ⋅ C1 = L 2 ⋅ C 2

A két, egymással induktív csatolásban levő rezgőkör akkor van rezonanciában, ha önindukciós együtthatójuk és kapacitásuk szorzata egyenlő . 156


Fizika 10. 4. Megjegyzés : Határozzuk meg a rezgőkörben létrejövő áram frekvenciáját! Induljunk ki a kondenzátorral közölt és át –meg átalakuló energia kifejezéséből! E C ,max 1 2

C ⋅ U 2max

U max

2 L

C⋅

=

ω=

=

1 2

L ⋅ I 2max

= I eff ⋅ X C =

U eff

1

= E L,max

=

I eff

ω⋅ C

I max

ω⋅ C

I 2max

ω2 ⋅ C 2

1

= ⋅ L ⋅ I 2max 2

1 C ⋅ ω2 1 L⋅C

Sajátfrekvencia:

f =

1 2π⋅

LC

T = 2π⋅

LC

6.4 Az elektromágneses hullámok terjedési tulajdonságai 1. Visszaverődés: Az ábra egy parabolatükörrel irányított adó és vevő sematikus képét mutatja.

157


Fizika 10.

Ha az adó és a vevő adási, illetve vételi iránya nem egyezik, nincs vagy igen gyenge a vétel. Ha ezen irányok szögfelezőjére merőleges síkú fémlapot helyezünk el, a vétel erőssége megnő. A fémfelületről az elektromágneses hullámok visszaverődnek, a hullámtanban megismert visszaverődési törvény szerint. 2. Az ábra egy adót és egy vevőt ábrázol, amelyek vételi, illetve adási irányai nem esnek egy egyenesbe: igen gyenge a vétel.

Ha azonban pl. paraffinból készített hasábot (prizmát) megfelelően közéjük helyezünk, megnő a vétel erőssége, jelezve, hogy az elektromágneses hullám az új közegben belépéskor is, kilépéskor is megtört. A szigetelőanyag nemcsak átengedi az elektromágneses hullámot, hanem annál nagyobb szögben, minél nagyobb a permittivitása, meg is töri. A törés törvénye megegyezik a mechanikai hullámoknál megismerttel. A törés jelensége arra mutat, hogy az elektromágneses hullám terjedési sebessége a különböző anyagi közegekben más és más.

3. Interferencia:

158


Fizika 10. Ha az adóantennáról érkező elektromágneses hullám síklapra érkezik, arról visszaverődik.

Az ábra elrendezésében az adóból merőlegesen érkeznek a hullámok a sík felületre, amelyről önmagukba verődnek vissza. Ha az adó és a sík távolságát megfelelően választjuk (a fél hullámhossz egész számú többszöröseire), akkor a vevőantennával végigszondázva az adó és a síklap közötti térrészt erősödő és gyengülő vételt tapasztalunk váltakozva. Az egymással találkozó hullámok interferálnak. Ennek az interferenciának érdekes eredménye: szabad elektromágneses állóhullámok létrejötte. A vevő duzzadóhelyeket és csomópontokat mutatott ki. 4. Elhajlás:

Az ábra ismét két, nem egy egyenesbe eső tengelyű parabolatükörrel ellátott adót, illetve vevőt mutat. Az adó a fókuszált hullámot a vevő mellett sugározza el, mégis érzékelhetjük a sugárzást, ha egy réssel ellátott fémlapot helyezünk a hullám útjába. A Huygens-elvnek megfelelő elhajlás az elektromágneses hullámok esetén is létrejön, ha a rés szélessége összemérhető a hullámhosszal. Így ott is észlelünk hullámokat, ahová azok egyenes vonalú terjedés esetén nem jutnának el. 159


Fizika 10. 5. Polarizáció:

Az ábra olyan kísérleti elrendezést mutat, amellyel a kisugárzott hullám térerősségének iránya vizsgálható. A vevő dipólantennájára eső elektromágneses hullám E térerőssége az antenna elektronjait e . E erővel rezgésbe hozza. Az a) ábra elrendezésében van vétel, mert a két dipólantenna egymással párhuzamos, így kialakulhat a vezeték mentén a nagyfrekvenciás áram, amit az erősítő helyi energiaforrásból táplálva felerősít, és a mérőműszer jelez. Ha a b) ábra szerint egymásra merőlegesen helyezzük el az adó –és a vevőantennát, nincs vétel, mert az E térerősségnek nincs vezetékirányú összetevője. A kísérletből következik, hogy mind az E vektor, mind a B vektor egy-egy (egymásra merőleges) síkban rezeg. A dipólsugárzás tehát síkban poláros hullám. Ez azt jelenti, hogy az elektromágneses hullám transzverzális hullám.

Felhasznált irodalom 1. Budó Ágoston: Kísérleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1979 160


Fizika 10. 2. Holics László: Fizika Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986 3. Holics László: Fizika III. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984 4. Juhász Sándor: Elektrosztatika KLTE Kísérleti Fizikai Tanszéke, Debrecen, 1983 5. Jurisits József – Paál Tamás – Venczel Ottó: Fizika V. Tankönyvkiadó, Budapest, 1990 6. Nagy János – Nagy Jánosné – Bayer István: Fizika IV. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980 7. Raics Péter: A mágneses tér KLTE Kísérleti Fizikai Tanszéke, Debrecen, 1981 8. Sas Elemér – Skrapits Lajos: Elektromosság – Mágnesség Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973

Tartalomjegyzék 1.ELEKTROSZTATIKA............................................................................................................1 1.1 Elektromos kölcsönhatás.................................................................................................. 1 1.2 Coulomb törvénye............................................................................................................ 3 Megoldás:............................................................................................................................5 161


Fizika 10. r = 10 m...............................................................................................................................5 1.3 Az elektromos mező fogalma, térerősség, elektromos fluxus.......................................... 8 1.4 Feszültség ......................................................................................................................20 1.5 Potenciál......................................................................................................................... 21 1.6 Maxwell II. törvénye......................................................................................................23 1.7 A töltés elhelyezkedése, a térerősség és a potenciál a vezetőkön .................................. 26 1.8 Kapacitás, kondenzátorok.............................................................................................. 27 1.9 Elektrosztatikus tér szigetelőkben.................................................................................. 32 W = 20 J............................................................................................................................34 Q = 0,08 C.........................................................................................................................34 U = 300 V..........................................................................................................................35 2.AZ ELEKTROMOS EGYENÁRAM....................................................................................36 2.1 Az elektromos áram .............................................................................................................................................. 36 2.2 Az elektromos ellenállás (Ohm törvénye)..................................................................... 39 2.3 A fémes vezető ellenállása............................................................................................. 41 2.4 Ellenállások kapcsolása.................................................................................................. 45 2.5 Ohm törvénye teljes áramkörre...................................................................................... 52 1.10 Az áram hőhatása, munkája és teljesítménye............................................................... 60 t = 3600 s...........................................................................................................................62 1.11 Kirchhoff törvényei ......................................................................................................64 .............................................................................................................................................. 66 Feladatok.............................................................................................................................. 66 1.12 Mérőműszerek méréshatárának kiterjesztése............................................................... 75 3.MÁGNESES MEZŐ..............................................................................................................81 1.13 Mágnese alapjelenségek...............................................................................................81 Feladatok...........................................................................................................................85 1.14 Mágneses tér................................................................................................................ 86 1.15 A mágnese indukcióvektor........................................................................................... 88 Feladatok...........................................................................................................................95 1.16 Mágneses térerősség.................................................................................................... 98 1.17 A mágneses mező forrásmentessége......................................................................... 102 3.6 A mágneses mező örvényerőssége............................................................................... 103 3.7 Lorentz-féle erő........................................................................................................... 104 Feladatok.........................................................................................................................106 4.A MÁGNESES INDUKCIÓ...............................................................................................108 4.2 A mozgási indukció.....................................................................................................108 Feladatok.........................................................................................................................109 4.2 Nyugalmi indukció....................................................................................................... 111 4.3 Kölcsönös indukció....................................................................................................... 116 4.4 Önindukció................................................................................................................... 116 4.5 A mágneses mező energiája......................................................................................... 119 5.A VÁLTAKOZÓ ÁRAM....................................................................................................127 5.1 A váltakozó feszültség és áram.................................................................................... 127 5.2 A váltakozó áram effektív jellemzői........................................................................... 130 5.3 Induktív ellenállás........................................................................................................ 132 5.4 Kapacitív ellenállás...................................................................................................... 135 5.5 Sorosan kapcsolt váltakozó áramú ellenállások........................................................... 138 5.6 A váltakozó áram munkája és teljesítménye................................................................ 143 5.7 Transzformátor.............................................................................................................. 147 162


Fizika 10

Recommend Documents