Inzenjerska fizika 2- predavanja

A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja za 1. sedmicu nastave

1.MEHANIKA FLUIDA 1.1 Uvod Fluidima nazivamo tečnosti i gasove (plinove): to su supstance koje lako mijenaju oblik, odnosno koje mogu teći. Mehanika fluida ili hidromehanika je dio mehanike u kojoj se proučavaju zakoni ravnoteže i kretanja tečnosti i gasova. U mehanici fluida zanemaruju se strukturna svojstva tečnosti i gasova i smatraju se kao neprekidne sredine, neprekidno raspoređene u prostoru. Mehanika tečnosti se naziva hidromehanika; ona se dijeli na hidrostatiku koja opisuje tečnosti u miru i hidrodinamiku koja proučava tečnosti u kretanju. Slično, gasove proučava aerostatika i aerodinamika.

1.2

Statika fluida

Pošto su fluidi neprekidne sredine onda se misaono mogu podijeliti na elementarne zapremine čije su dimenzije dovoljno velike da ne zalaze u strukturu fluida i dovoljno male da se sile koje dejstvuju na njih mogu smatrati konstantnim. Dio fluida misaono se može zamjeniti čvrstim tijelom ili njegovim dijelom iste zapremine, oblika i gustine kao i razmatrani dio fluida. Ovakav način razmatranja fluida naziva se principom očvršćavanja pomoću kojeg se na fluide mogi primjeniti zakoni čvrstog tijela.

Neka je na slici 1.1 izdvojen jedan dio fluida. Na njega mogu djelovati spoljašne i unutrašnje sile. Unutrašnje sile se međusobno uravnotežavaju pa ih nećemo dalje razmatrati.

Na osnovu principa očvršćavanja posmatrani element fluida biće u ravnoteži ako je zbir svih spoljašnjih sila koje djeluju na njega jednak nuli. U posmatranom slučaju gorni uslov je ispunjen za inercijalni koordinatni sistem, ako je : mg +Fp = 0 ( 1.1) gdje je mg sila teže elementa a Fp površinske sile. Pod dejstvom gornjih sila fluid će biti u stanju mirovanja kad brzina svakog njegovog elementa bude jednaka nuli. 1.2.1

Slobodna površina tečnosti

Ukoliko na tečnost dejstvuje samo sila teže, onda će površina tečnosti u svakoj tački biti normalna na pravac sile teže. U slučaju da na tačnost pored sile teže djeluje i neka druga spoljašnja sila, slobodna površina tečnosti će se postaviti normalno na pravac rezultante svih spoljašnjih sila. Na slici 1.2 prikazan je primjer slobodne površine tečnosti u sudu koji se obrće ugaonom brzinom ω. U ovom slučaju na uočeni element tečnosti pored sile teže mg djeluje i centrifugalna sila Fcf = man = m ω2 x i .

Iz uslova ravnoteže posmatranog elementa dobijamo: mg + m ω2 x i + R = 0

( 1.2 )

odakle za projekcije na ose dobijamo: m ω2 x = R sinα i

mg = R cosα

ili djeljenjem jednačina dobijamo: tgα = dy/dx = (ω2 x )/g

( 1.3)

Integriranjem gornje jednačine i određivanjem konstante integriranja iz početnih uslova ( x=0 i y = 0 ) dobijemo: Y = (ω2 x2 )/2g

( 1.4 )

Slobodna površina tečnosti pod navedenim uslovima u sudu obrazuje rotacioni paraboloid.

1.2.2

Pritisak ( tlak )

Tečnost ili plin djeluju određenom silom na svki dijelić zida posude u kojoj se nalaze, odnosno na svaku površinu tijela koje se nalazi u fluidu. Sila koja djeluje okomito na jedinicu površine zove se pritisak ili tlak. p=

F S

( 1.5 )

Ako sila nije konstantna po čitavoj površini, pritisak je: p=

dF dS

(1.6 )

Pritisak je skalarna veličina . Jedinica za pritisak je:

[ p] = 1 N2 m

= 1 paskal = 1Pa

Paskalov zakon : pritisak u cijelom mirnom fluidu je konstantan ( Pascal 1650. god. ) Po Paskalu pritisak u proizvoljnom dijelu mirne tečnosti jednak je u svim pravcima i prenosi se podjednako po cijeloj zapremini mirnog fluida tj. p1= p2 = p3 = const.

1.2.3

Hidrostatički pritisak

Pritisak uzrokovan samom težinom fluida nazivamo hidrostatičkim pritiskom. Da bismo dobili zakon za hidrostatički pritisak, zamislimo tekućinu u posudi ( Sl. 1.3) i izračunajmo koliki tlak djeluje na djelić površine ∆ S na dubini h.

Sila na površinu ∆ S prouzrokovana je težinom stupca tekućine nad tom površinom, tj. : ∆ G = ∆mg = ρ∆V g = ρ g h ∆S ( 1.7 ) Pa je pritisak ( sila na jedinicu površine ) p = ∆ G / ∆S, odnosno: p= ρgh

( 1.8 )

1.2.4. Atmosferski pritisak Zemlja svojom privlačnom silom drži oko sebe vazdušni omotač, tzv. Zemljinu atmosferu. Atmosferski tlak nastaje zbog vlastite težine zraka. Pritisak zraka možemo izmjeriti pomoću Torricellijeve cijevi. Sandardni atmosferski pritisak je pritisak stuba žive visine 760 mm pri temperaturi od 0 oC, odnosno 760 Torr ili jedna fizikalna atmosfera. Primjenom formule ( 1.8 ) dobivamo vrijednost za normalni atmosferski pritisak u jedinicama SI Pa = ρ g h = 101325 Pa Atmosferski pritisak se vrlo često izražava u barima, gdje je 1 bar = 105 Pa U atmosferi gustina zraka se mijenja ( opada ) sa visinom pa se i atmosferski pritisak mijenja sa visinom po tzv. barometarskoj formuli :

p = p0 e

−

ρ0 gh p0

( 1.9 )

gdje je po i ρo pritisak i gustoća na visini h = 0 .

1.2.5. Arhimedov zakon Kada je tijelo uronjeno u fluid, javlja se rezultantna sila prema gore kao posljedica hidrostatičkog pritiska. Tu silu nazivamo potiskom ( uzgnom ). Da bismo izveli formulu za potisak zamislimo tijelo volumena V uronjeno u fluid gustine ρf ( Sl 1.4 ) . Radi jednostavnost pretpostavimo da je tijelo u oliku kocke ili valjka.

Sila koje djekuju na bočne strane kocke poništavaju se. Sila na donju bazu površine S je F1 = p1 S, dok je sila na gornju bazu F2 = p2 S. Sila F1 ima smjer prema gore, a sila F2 usmjerena je prema dole. Budući da je hidrostaički pritisak na nivou h1 = h 2+ h veći nego na nivou h2, sila F1 biće veća od sile F2 i kao rezultat pojavit će se sila prema gore tj. potisak ili uzgon U = F1 – F2 = ρf g h1S - ρf g h2S = ρf g h S ili U = ρf V g = m f g

( 1.10 )

Gdje je mf masa istisnutog fluida. To je poznati Arhimedov zakon koji glasi: Tijelo uronjeno u fluid izgubi od svoje težine onoliko kliko je teška njime istisnuta tečnost. Tijelo lebdi u fluidu ako je težina tijela uravnotežena potiskom ili ρf = ρtijela..

1.3

Dinamika fluida

1.3.1 Strujanje idealnog fluida Kretanje fluida nazivamo strujanjem. Strujanje nastaje zbog vlastite težine fluida ili zbog razlike u pritiscima. Pri strujanju razni slojevi fluida imaju razne brzine i među tim slojevima javljaju se sile unutrašnjeg trenja ( viskoznost ). Zbog jednostavnosti u početku ćemo zanemariti sva trenja koja se javlju u fluidu i smatrat ćemo da se radi o nestišljivim fluidima ( ρ = const.): Takve fluide nazivamo idealnim fluidima. Uglavnom ćemo razmatrati stacionarno strujanje: Pri takvom strujanju brzina čestica i pritisak u fluidu su samo funkcije položaja, a ne i vremena.

Strujnica je zamišljena linija čija tangenta u svakoj tački pokazuje smjer brzine. Putanja je niz uzastopnih položaja koje čestica fluida zauzima pri kretanju. Kada je strujanje stacionarno, strujnica i putanja čestice se poklapaju. Dio fluida omeđen strujnicama nazivamo strujnom cijevi. Pri stacionarnom strujanju strujnice ne ulaze ni ne izlaze iz strujne cijevi ( Sl. 1.5 ).

1.3.2 Jednačina kontinuiteta Posmatrajmo strujanje fluida kroz cijev različitog presjeka ( Sl. 1.5 ) Za vrijeme ∆t kroz presjek S prođe volumen fluida Sv∆t. Volumen fluida koji u jedinici vremena prođe kroz određeni presjek naziva se protok i iznosi: Φv = Sv ( 1.11 ) Ako je gustoća fluida svuda konstantna i ako unutar strujne cijevi nema izvora i ponora, masa fluida, koja u vremenu ∆t protekne kroz bilo koji presjek, konstantna je

ρ S 1 v 1∆t = ρ S 2 v 2∆t = ρ S 3 v 3∆t = const.

Te je konstantan i protok:

Φv = Sv = const.

( 1.12 )

To je jednačina kontinuiteta. Tamo gdje je cijev uža, brzina je veća i obratno. Fluid se ubrzava tamo gdje se cijev sužava: dakle na čestice fluida dlejule sila usmjerena od šireg dijela cijevi prema užem. Ta sila dolazi zbog razlike pritisaka: pritisak u širem dijeu cijevi je veći nego u užem.

1.3.3 Bernoullijeva jednačina Danuel Bernoulli, švicarski fizičar je 1738. našao zakon o raspodjeli pritisaka unutar strujne cijevi. Eksperiment je pokazao da je pritisak na mjestu gdje je brzina veća manj nego tamo gdje je brzina manja . Pritisak u cijevi se može mjeriti pomoću vertikalne staklene cjevčice ili vertikalnog otvorenog manometra ( Sl.1.6 )

Da bismo izveli Bernoullijevu jednačinu, posmatrajmo stacionarno strujanjr idealnog fluida kroz strujnu cijev promjenljivog presjeka ( Sl. 1.7 )

Neka za vrijeme ∆t kroz presjek S1 peotekne masa fluida ∆m = ρ S 1 v 1∆t. Pri tom je sila pritiska F1 = p1S1 na površini S1 izvršila rad:

∆ W1 = F1 ∆s1 = p1S1 v 1∆t.= p1 ∆m / ρ

(1.13 )

Dok je rad sile F2 = p2 S2 na površini S2:

∆ W2 = -p2 S2 v2 ∆ t = -p2 ∆ m / ρ

(1.14)

Gdje smo predznakom minus uzeli u obzir da su smjerovi sile i pomaka suprotni. Rad ∆ W1 izvršen nad sistemom na presjeku S1 prenosi se preko sistema na presjek S2 gdje sistem izvši rad ∆ W2 protiv sila vanjskog pritiska p2. Ukupni rad izvršen nad sistemom je

∆ W = ∆ W1 + ∆ W2 = (p1 – p2) ∆ m/ ρ

(1.15)

Taj rad je jednak promjeni energije čitavog razmatranog volumena fluida. Ta se promjena može izračunati kao razlika kinetičke i potencijalne energije iscrtkanih malih volumena ∆ V1 = S1 ∆ s1 i ∆ V2 = S2 ∆ s2:

∆ E = Ek2 - Ek1 + Ep2 – Ep1 = = ½ ∆mv22 - ½ ∆mv12 + ∆mgh2 – ∆mgh1 Kada izjednačimo izraze (1.15) i (1.16) i sredimo, dobivamo:

(1.16)

p1 + ρgh1 + ½ ρv12 = p2 + ρgh2 + ½ ρv22

(1.17)

p + ρgh + ½ ρv2 = konst.

(1.18)

ili

( p-statičku tlak; ρgh-tlak zbog težine, razlike visina; ½ ρv2-dinamičku tlak)

To je Bernoullijeva jednačina za strujanje idealnoh fluida. Ona kaže da je zbir statičkog, dinamičkog (brzinskog) tlaka i tlaka koji dolazi zbog visinske razlike pojedinih dijelova fluida uvijek konstantan za određenu strujnicu. Ako je v1 = v2 = 0, tj ako fluid miruje (hidrostatika), jednačina (1.17) prelazi u p1 – p2 = ρg (h2 – h1) To je već poznati izraz za razliku hidrostatičkih pritisaka u mirnom fluidu.

(1.19)

MEHANIKA FLUIDA –Realni fluidi 1.VISKOZNOST Kada posmatramo realne fluide onda ne možemo zanemariti trenje koje se javlja u njima pri njihovom kretanju, što je posebno izraženo kod nekih tečnosti. Newton je dao zakon po kome se trenje u tečnostima tretira analogno trenju čvrstih tijela u mehanici. Ako dvije čvrste ploče pomjeramo jednu preko druge javlja se sila trenja. Na sličan način možemo posmatrati trenje među slojevima tečnosti. Posmatrajmo tečnost između dvije paralelne ploče od kojih je donja ploča fiksirana a gornja se kreće brzinom v0 . Kretanjem gornje ploče nastaće i kretanje slojeva tečnosti , pri čemu će gornji sloj imati najveću brzinu, a donji će biti nepokretan. Na taj način se između slojeva javlja relativno kretanje jednog sloja u odnosu na drugi što rezultira pojavom sile trenja na njihovoj dodirnoj površini.

Smatramo da nema prelaska čestica tečnosti iz jednog sloja u drugi i takvo kretanje se naziva laminarno kretanje i ono se dešava pri malim brzinama Eksperimentalno je utvrđeno da je sila trenja proporcionalna dodirnoj površini Slojeva i gradijentu brzine,pa Newtonov zakon trenja u tečnosti glasi:

F = ηSdv/dy Faktor proporcionalnosti η zove se koeficijent viskoznosti i zavisi od vrste tečnosti. Ukoliko je tečnost lakše pokretljiva, njena viskoznost je manja. Voda, na primjer ima znatno manji koeficijent viskoznosti od glicerina ili meda. Viskoznost zavisi od temperature i kod tečnosti opada sa temperaturom a kod gasova raste. Nekad se koeficijent viskoznosti η naziva dinamička viskoznost i izražava se u Ns/m2 = Pa· s.Ranije se koristila deset puta manja jedinica poaz 1P= 0,1 Pa· s Odnos viskoznosti η i gustine fluida ρ naziva se kinematička viskoznost (η/ρ).

2. TURBULENTNO KRETANJE Pri većim brzinama strujanja fluida dolazi do prelaska čestica fluida iz jednog sloja u drugi tj. do međusobnog mješanja slojeva i pojave vrtloga.Takvo kretanje se naziva turbulentno kretanje.

Kada će laminarno kretanje preći u turbulentno zavisi od mnogo okolnosti, koje se jednostavnom teorijom ne mogu predvidjeti. Uglavnom se turbulantno kretanje javlja pri većim brzinama, ali zavisi i od oblika suda, prečnika mlaza, obrade površine suda i drugih faktora. Eksperimentalno je utvrđeno da se pri turbulentnom kretanju javlja drugačiji raspored brzina.

R

v

D

v

Dok je pri laminarnom kretanju raspodjela brzina parabolička i unutrašnje trenje proporcionalno brzini fluida, pri turbulentnom brzina je po cijelom presjeku cijevi ista i naglo pada tek u blizini zidova cijevi a unutrašnje trenje je uglavnom proporcionalno kvadratu brzine. Općenito unutrašnje trenje se znatno povećava pri turbulentnom kretanju. Brzina pri kojoj dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno kretanje naziva se kritičnom brzinom . Eksperimentalna istraživanja su pokazala da kritična brzina zavisi od koeficijenta viskoznost, gustine fluida kao i od dimenzija mlaza, ali i od drugih faktora koji se ne mogu tačno odrediti. Zbog toga se kao kriterijum za određivanje prirode kretanja fluida koristi Reynoldsov broj Re (Osborne Reynolds,1842-1912)

Re = ρvl/η= ρvD/η Za:

Re < 2000

kretanje fluida je laminarno

2000< Re < 3000 Re > 3000

kretanje je promjenjljivo

kretanje fluida je turbulentno

3.OTPOR SREDINE Otporom sredine naziva se sila trenja kojom se neki fluid opire kretanju nekog tijela kroz njega. Ovaj otpor igra značajnu ulogu u tehnici. Na primjer pri kretanju aviona kroz vazduh ili broda po vodi javlja se otporna sila , pa se nastoji da se ova sila svede na minimum. Otpor sredine samo je poseban slučaj opšte pojave trenja u fluidima. Ova sila se ne javlja samo kao rezultat trenja površine tijela sa okolnim fluidom. Pri kretnju tijelo povlači sa sobom i slojeve fluida, pa sila trenja predstavlja rezultat kretanja tijela i slojeva fluida oko njega. Za lagano kretanje lopte kroz neki fluid , pri čemu nema turbulencije, važi Stoksov (George Stokes ) zakon za silu trenja:

F = 6πηrv

Gdje je r poluprečnik sfere, v njena brzina , a η viskoznost fluida. Pri većim brzinama kretanja tijela kroz fluid postoji mogućnost pojave turbulencije što znatno povećava silu trenja. Zavisno od oblika tijela , a ne samo od njegovih dimenzija javljaju se vrtlozi a time i veća sila otpora kretanju tijela.

Otpor sredine može se tumačiti pomoću pritiska. Rad sile trenja vrši se na račun energije pritiska. Zato je pritisak iza tijela uvijek manji od pritiska ispred tijela.Jasno je da će pri kretanju tijela postojati sila uslijed razlike pritisaka, koja je usmjerana ka manjem pritisku odnosno suprotno brzini kretanja tijela u odnosu na fluid. Pojava vrtloga izaziva veću razliku pritisaka, a time i veći otpor sredine. Zbog toga se biraju tijela takvog oblika koja ne izazivaju turbulenciju tj. smanuju otpor i to je tzv. aerodinamični oblik.

MEHANIKA FLUIDA  ‐‐PRIMJERI‐‐ 

1.PASCALOV ZAKON F1

PRITISAK SE PRENOSI KROZ TEČNOST  PODJEDNAKO U SVIM PRAVCIMA ILI PRITISAK U  MIRNOM FLUIDU JE KONSTANTAN: 

S1

           F1/S1 = F2/S2 = F/S = p 

S

OVAKAV PRITISAK KOD FLUIDA KOJI MIRUJU  ZOVE SE  STATIČKI PRITISAK  F

S2 F2 PRIMJENA: IZ RELACIJE F1/S1 =F2/S2 SLIJEDI DA JE

F1:F2 = S1:S2 ŠTO SE KORISTI KOD HIDRAULIČNIH PRENOSA F1

S1

F2 > F1

S2 F2

2.HIDROSTATIČKI

PRITISAK:

PRITISAK UZOKOVAN DJELOVANJEM  GRAVITACIONE SILE NA ČESTICE FLUIDA   ILI  PRITISAK UZROKOVAN TEŽINOM  FLUIDA NAZIVAMO HIDROSTATIČKI  PRITISAK: 

p = ρgh 

PRIMJER: Koliki pritisak vlada u moru na 500 m ispod površine ako je gustina morske vode 1,05 g/cm3 ? RJEŠENJE:

p = p0 +ρgh

p0 =101337,3 N/m2 – atmosferski pritisak p =101337,3 N/m2 + 1,05 x 103 kg/m3 x x 9,81 m/s2x 500 m

p = 101337,3 N/m2 +5150250 N/m2 p = 52,515 x 105 N/m2=52,515 x 105Pa p = 52,515 bar

HIDROSTATIČKI PARADOKS:

U SPOJENIM SUDOVIMA KOJI SU OTVORENI TEČNOST JE NA ISTOM NIVOU BEZ OBZIRA NA OBLIK SUDA JER U MIRNOJ TEČNOSTI SILE PRITISKA MORAJU BITI U RAVNOTEŽI.

3.ARHIMEDOV ZAKON:

            F1= p1S= ρgh1S

F2= p2S= ρgh2S

Fp = F2 - F1 = ρg(h2 - h1 )S= ρgV=ΔGf NA TIJELO URONJENO U FLUID DJELUJE   VERTIKALNA SILA NAVIŠE KOJA NASTOJI DA      p    ISTISNE  TIJELO I ONA SE NAZIVA 

 

 SILA  POTISKA Fp ILI UZGON 

 

ARHIMEDOV ZAKON: TIJELO URONJENO U  FLUID LAKŠE JE ZA SILU POTISKA ODNOSNO ZA  TEŽINU ISTISNUTOG FLUIDA 

PRIMJER 1:Neko tijelo mjereno u vazduhu ima težinu 3,56x10-4 N, a u glicerinu 3,06x10-4 N. Od kojeg je materijala napravljeno tijelo ako je gustina glicerina 1, 26 g/cm3? RJEŠENJE: Gv=3,56x10-4 N

ρt = m/V

Gg=3,06x10-4 N

Gv= m g

ρg = 1, 26 g/cm3

Fp= Gv - Gg =0,50x10-4N

ρt = ?

Fp= ρg gV => V= Fp/g ρg

=> m= Gv /g

ρt = m/V= ρg Gv /( Gv - Gg ) = 8,9x103 kg/m3

PRIMJER 2:Homogena tanka daska gustine 0,8 g/cm3, naslonjena je na oštru ivicu bazena , tako da je jedna četvrtina njene dužine nad ivicom bazena, a drugi kraj u bazenu. Koji dio njene dužine je pod vodom? L/4

O

α

x

G

Fp

RJEŠENJE: Ovo je čvrsto tijelo koje može da rotira oko tačke O, tako da je u ravnoteži kada je suma momenata svih sila koje na njega djeluju jednaka nuli.

G (L/2 –L/4)cos α = Fp (L – L/4 –x/2 ) cos α G = ρgSL

Fp = ρ0gSx

GL/4 = Fp (L – L/4 –x/2 ) ρgSL2 /4 = ρ0gSx(3L/4 –x/2 ) ρL2 = ρ0x( 3L – 2x) => 2 ρ0x2 -3L ρ0 x + ρL2 =0 X = 0,34L

4.IDEALNI FLUIDI IDEALNI FLUIDI SU NESTIŠLJIVI FLUIDI KOD KOJIH NEMA UNUTRAŠNJEG TRENJA I KOJI KADA SE KREĆU STRUJE STACIONARNO. JEDNAČINA KONTINUITETA:   

 

 

S1V1= S2V2 = SV = const. 

BERNOULLIEVA JEDNAČINA:   

 

p+ρv2/2 +ρgh = const.

TORICELLIEVA TEOREMA:   

 

 

v = √2gh

PRIMJER: U bazen se uliva potok čiji je protok Q = 250 l/s.Na dnu bazena se nalazi kružni otvor kroz koji ističe voda. Koliki treba da je prečnik otvora da bi dubina vode u bazenu bila stalna i iznosila h= 3,5m, ako je koeficijent kontrakcije mlaza k= 0,66? RJEŠENJE: Q= k S v= k π (D/2)2 v

Q = 250 l/s h= 3,5m

v = √2gh Q = k π (D/2)2 √2gh

k = 0,66 D=?

D = 2√Q/(kπ√2gh ) = 0,24 m

PRIMJER: Kroz horizontalnu cijev kao na slici (Pitotova cijev) struji tečnost, tako da je razlika između nivoa tečnosti u cjevčicama a i b jednaka h= 10cm. Odrediti brzinu strujanja tečnosti u širokoj cijevi AB. RJEŠENJE :

a

b

h

h= 10cm v=?

A

B

Na osnovu Bernulijeve jednačine:

p1 +ρv2/2 = p2 =>p2 - p1 =ρ v2/2 2

p2 - p1 =ρgh= ρ v /2 v=√ 2gh = 1,4 m/s 5.REALNI FLUIDI PRIMJER: Metalna kuglica poluprečnika r = 2cm i gustine ρ1 = 2,7 g/cm3 pada kroz ulje konstantnom brzinom v= 14,5 cm/s. Odrediti dinamičku viskoznost ulja , ako je njegova gustina ρ2 = 0,9 g/cm3 . RJEŠENJE: r = 2cm

Fp Fot

Fp +Fot = G

ρ1 = 2,7 g/cm3

Fp = ρ2 gV

v= 14,5 cm/s

Fot = 6 πηrv= Fs

ρ2 = 0,9 g/cm3

G = mg= ρ1 Vg

η=?

G

Fot = G - Fp

6 πηrv = ρ1 Vg - ρ2 gV= gV (ρ1 - ρ2 )=(4/3)r3πg (ρ1 - ρ2 )

η = 2gr2(ρ1 - ρ2 )/9v = 10,82 Pa s

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U SARAJEVU

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja

2. TOPLINA 2.1. Uvod Molekularna fizika predstavlja dio fizike koji izučava strukturu i svojstva materije polazeći od tzv. molekularno - kinetičkih predodžbi. Suglasno tim predodžbama, svako tijelo (čvrsto, tekuće ili plinovito) sastoji se iz velikog mnoštva veoma malih čestica - molekula. Molekule se mogu sastojati od jednog, dva ili više atoma. Makroskopske osobine materije (tvari) mogu se bolje razumjeti pomoću molekularne teorije tvari, tj. promatrajući što se događa u mikroskopskom svijetu atoma i molekula. Atomi unutar molekule vezani su silama čije je porijeklo električne prirode, crt.2.1.

Crt.2.1.

Molekularnu i atomsku strukturu moguće je shvatiti samo pomoću kvantne fizike, te ćemo se zadržati samo na kvalitativnom opisu međudjelovanja atoma i molekula. Na crtežu 2.1. prikazano je kako sila ovisi o udaljenosti dvaju atoma u dvoatomnoj molekuli i odgovarajuća potencijalna energija Ep(r). Kad su atomi na međusobnoj udaljenosti, r=ro, molekula je u ravnotežnom stanju, a potencijalna energija je minimalna. Kada je udaljenost, rro atomi se privlače. Odgovarajuće potencijalne energije zadovoljavaju uvjet. F=-grad Ep. Jedna od važnijih karakteristika ovakvih sila je zasićenost: čim se dva atoma privuku i formiraju molekulu, oni više ne djeluju na ostale atome. Molekule svake materije nalaze se u nesređenom, kaotičnom kretanju, pri čemu nijedan smjer gibanja nema prednost pred ostalim. Intenzitet tog gibanja zavisi od temperature materije. Kod čvrstih tijela molekule (atomi) osciliraju (titraju) oko skoro fiksnih centara koji su pravilno raspoređeni tvoreći kristalnu rešetku. U tekućinama su međumolekularne udaljenosti nešto veće, privlačne sile slabije, te su molekule pokretljivije. U plinovima molekule su daleko jedna od druge, međumolekularne sile vrlo su slabe te se molekule gibaju skoro slobodno i skoro ne utječu jedna na drugu. Veličina molekule je reda veličine nanometra, a masa reda 10-27 kg, radi toga u svijetu atoma i molekula koristi se tzv. atomska jedinica mase: 1u = 1,66 ⋅ 10-27 kg koja je jednaka

(2.1.)

1 mase atoma izotopa ugljika 6C12. 12

Već smo spomenuli razliku između mase i količine tvari (materije). Za razliku mase koju mjerimo u kilogramima, jedinica za količinu tvari je mol (osnovna jedinica SI sistema): Mol je količina tvari koja sadrži onoliki broj međusobno identičnih čestica (atoma, elektrona, protona, iona, itd.) koliko ima atoma u 0,012 kg čistog ugljika 6C12. Broj molekula u 1 molu jedna je od osnovnih prirodnih konstanti, zove se Avogadrov 1 broj i iznosi: No = 6,023 ⋅ 1023 mol-1

(2.2.)

Molna masa ( molarna masa ) je masa količine tvari od 1 mola. Ako je m masa tvari, n broj molova, tada je molna masa:

M=

m n

(2.3.)

2.2. Temperatura U svim se tijelima čestice neprestano gibaju; to gibanje nazivamo toplinsko gibanje. Zbog toga gibanja čestice posjeduju toplinsku energiju. 1

Amadeo Avogadro (1776-1856), talijanski fizičar.

Naš osjećaj toplijeg i hladnijeg ovisi o kinetičkoj energiji čestica tvari s kojom dolazi u dodir. Dovedemo li dva tijela, hladnije i toplije u međusobni kontakt, čestice s većom kinetičkom energijom u sudarima predaje energiju onima s manjom energijom. Na taj način energija u obliku topline prelazi s jednog tijela na drugo. Za tijelo koje pri tom gubi energiju kažemo da je toplije, a za ono na koje energija prelazi da je hladnije. Prijelaz topline taje sve dok se ne uspostavi ravnoteža. Molekule koje se brže gibaju u toplijem tijelu predaju svoju energiju molekulama hladnijeg tijela, usporavaju se i toplije tijelo se hladi; molekule hladnijeg tijela ubrzavaju se i tijelo se grije. U termičkoj ravnoteži srednja kinetička energija istovrsnog gibanja molekula oba tijela je jednaka. Da bi smo odredili stupanj zagrijanosti nekog tijela, definiramo temperaturu. Temperatura je u vezi sa srednjom kinetičkom energijom molekulskog gibanja. Kad dva tijela imaju jednaku srednju kinetičku energiju gibanja čestica (atoma ili molekula), ako ih dovedemo u kontakt, toplinska energija neće prelaziti s jednog na drugo; kažemo da su tijela na istoj temperaturi. Temperatura je proporcionalna srednjoj kinetičkoj energiji čestica tijela. Obično se temperatura ne mjeri u energetskim jedinicama već u kelvinima (K) i definira se izrazom:

1 kT = Ek(1) 2

(2.4.)

gdje je k Boltzmanova konstanta (k=1,38 ⋅ 10-23 J/K), a E k(1) srednja kinetička energija pojedinog stupnja slobode 2 gibanja molekula, koja ne npr. za translaciju u smjeru ose x jednaka

1 mv 2 . Umjesto translacije, mogući su, naravno i drugi oblici gibanja, npr. rotacija i 2 x

osciliranje molekula. U slučaju da se molekule mogu gibati samo translacijski (npr. molekule jednoatomnog plina), srednja ukupna kinetička energija je:

Ek =

3 2 1 mv x = mv 2 2 2

budući da je pri translaciji v 2 = 3v x2 , zbog ravnopravnosti svih triju smjerova u prostoru te je:

kT =

2 1 E k = mv 2 3 3

(2.5.)

Izraz (2.5.) je definicijska formula za termodinamičku ili apsolutnu temperaturu. Budući da je kinetička energija uvijek pozitivna, to je i apsolutna temperatura uvijek pozitivna veličina. Na nultoj temperaturi, tzv. apsolutnoj nuli formula (2.4.) kaže da prestaje svako toplinsko gibanje, ova tvrdnja vrijedi samo u okviru klasične fizike (točnije rečeno nije istinita). To je ustvari najniža moguća temperatura, koja se ne može eksperimentalno dostići iako joj se može vrlo blizu približiti. Skalu apsolutne temperature zovemo još i Kelvinovom skalom (William Thomson - Lord Kelvin).

2

Međusobno nezavisne veličine gibanja zovemo stupnjevima slobode. Tako imamo tri stupnja slobode za prostornu translaciju, tri za rotaciju i sl.

Kelvin (K) je jedinica za temperaturu u Međunarodnom sustavu (SI); definiran je pomoću temperature trojne točke vode 3 . Kelvin je

1 dio termodinamičke temperature trojne točke vode. 27316 ,

U običnom životu temperatura se izražava u stupnjevima Celzijusa (oC). Nula stupnjeva Celzijusa je temperatura ledišta vode, dok apsolutna nula (OK) odgovara -273,15 oC. Veza između Kelvinove (apsolutne) temperature T i Celzijusove temperature t je:

T ( K ) = 27315 , + t ( oC )

(2.6.)

tj. apsolutna temperatura T izražena u kelvinima (K) brojčano je jednaka zbroju mjernog broja temperature t u oC i broja 273,15 . Možemo uočiti da je temperaturni interval u kelvinima jednak temperaturnom intervalu u stupnjevima Celzijusa. Klasična molekularno-kinetička teorija ne može objasniti sve pojave u toplini i za potpunije opisivanje toplinskih pojava potrebno je upotrijebiti kvantnu fiziku.

2.3. Idealan plin. Plinska jednadžba Da bi smo ilustrirali metodu istraživanja molekularno-kinetičkih plinova, izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina. Model idealnog plina je baziran na slijedećim pretpostavkama: • • • •

Plin se sastoji od velikog broja molekula koja se kreću kaotično unutar granica sistema koji se istražuje. Sudari među molekulama ili sa granicama sistema (zidovima) su savršeno elastični. Zapremina samih molekula se može zanemariti u odnosu na raspoloživu zapreminu sistema. Srednja kinetička energija molekula je proporcionalna temperaturi plina.

Zbog toplinskog gibanja molekula, molekule plina djeluju na zidove posude u kojoj se nalaze. Molekule plina udarajući u zidove posude predaju joj određenu količinu gibanja; promjena ukupne količine gibanja u vremenu određuje silu kojom molekule plina djeluju na površinu zida posuda. Tlak plina jednak je sili koja djeluje na jediničnu površinu. Izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina, tj. vezu između tlaka, volumena i temperature plina. Zamislimo da se plin nalazi u kutiji oblika kocke brida a

3

Trojna točka vode je stanje u kojoj su sve tri faze vode u ravnoteži (voda, led i vodena para). Ovo stanje odgovara temperaturi 0,01 oC i tlaka 61,05 Pa.

Crt.2.2. Uzmimo u razmatranje jednu od N molekula koliko ih ima u kocki (i-ta molekula). Njena masa je m, a brzina:

r r r r vi = vix + viy + viz

(2.7.)

Prilikom savršeno elastičnog sudara sa zidom posude (onim koji je okomit na osu x) promijeni se x komponenta količine gibanja molekule za iznos:

r r r r Δpix = mvix − (− mvix ) = 2mvix

(2.8.)

Promjena količine gibanja molekule jednaka je impulsu sile koji je primio zid. Budući da je molekuli potrebno vrijeme a/vix sekundi da ode od jednog kraja posude do drugog kraja, odnosno 2a/vix za oba smjera, vrijeme između dva sudara promatrane molekule u isti zid posude iznosit će:

Δt =

2a v ix

(2.9.)

Srednja sila kojom molekula djeluje na zid posude jednaka je ukupnom impulsu sile koji zid primi u jedinici vremena:

Fi =

Δ pix v mv ix2 = 2mv ix ix = Δt 2a a

(2.10.)

To je bilo za jednu molekulu, dok za N molekula imamo:

F=

Δ px 1 N S = ∑ mv ix2 = m Δt a i=1 V

gdje smo umjesto a pisali a =

N

∑ i =1

v ix2

(2.11.)

F a3 V . Iz definicije za tlak p = , slijedi da je tlak p: 2 = S S a

m N 2 p = ∑ v ix v i =1

(2.12.)

Za makroskopske veličine, kao što su tlak i temperatura, koje nisu osobina pojedine molekule nego većeg broja čestica, važne su prosječne (srednje) vrijednosti brzine i kvadrata brzine. Gibanje je kaotično i ima isti broj molekula koje se gibaju u jednom i suprotnom smjeru. Srednji kvadrat x-komponente brzine molekula je: N

v = 2 x

∑ i =1

v ix2

(2.13.)

N Uvrštavanjem ovog rezultata u izraz za tlak (2.12.) dobivamo:

p=

Nmv x2 V

(2.14.)

Svi su smjerovi u posudi ekvivalentni, te vrijedi: (2.15.)

v 2 = v x2 + v 2y + v z2 = 3v x2

Uzevši ovo u obzir, dobivamo relaciju između tlaka i volumena za idealan plin:

1 2 mv 2 2 2 pV = Nmv = N = N Ek 3 3 2 3

(2.16.)

Ovo je veza između tlaka plina i srednje kinetičke energije translacije molekule, osnovna jednadžba kinetičke teorije plinova. Definirajući temperaturu, istakli smo da svakom stupnju slobode gibanja pripada srednja kinetička energija molekule

1 kT . Translacija molekula sastavljena je do tri stupnja 2

slobode, te je kinetička energija (srednja vrijednost) translacije:

Ek = Ek( x ) + Ek( y ) + Ek( z ) =

3 kT 2

(2.17.)

Efektivna brzina molekule v ef =

v ef =

v 2 jednaka je onda:

3kT m

(2.18.)

Uvrstimo li (2.17.) u (2.16.), dobivamo jednadžbu stanja idealnog plina:

pV = NkT

(2.19.)

Iz (2.19.) slijedi da jednaki volumeni različitih plinova, pri jednakom tlaku i temperaturi, imaju jednaki broj čestica. To je Avogadrov zakon. Pišemo li N=nNo, gdje je No Avogadrov broj (broj čestica u 1 molu plina) a n broj molova plina, jednadžba (2.19.) poprima oblik:

pV = nN o kT = nRT

(2.20.)

Produkt Avogadrovog broja No i Boltzmanove konstante daje novu konstantu R koju zovemo univerzalna plinska konstanta:

R = kN o = 1,3805 ⋅ 10 −23

1 J J ⋅ 6,0235 ⋅ 10 23 = 8,314 molK K mol

Volumen l mola bilo kojeg plina pri normiranim uvjetima (273 K, 101325 Pa) jednak je: 23 1 23 J N o kT 6,0225 ⋅ 10 mol ⋅ 1,3805 ⋅ 10 K ⋅ 273K Vo = = p 101325Pa

Vo = 2,24 ⋅ 10 −2

m3 mol

(2.21.)

To je normirani molni volumen idealnog plina. Ako broj molova n u (2.20.) pišemo kao kvocijent mase m i molne mase M, plinska jednadžba glasi:

pV =

m RT M

(2.22.)

Plinska jednadžba (2.19.) vrijedi za idealne plinove a, aproksimativno za realne. Aproksimacija je to bolja što je temperatura plina veća, a tlak manji; odstupanja postaju znatna kad se plin približava točki kondenzacije, tj. prelazi u tekuće stanje.

2.4. Avogadrov zakon, Daltonov zakon i zakon ekviparticije Avogadrov zakon tvrdi da pri istom tlaku i temperaturama, isti volumeni dva proizvoljna plina sadrže isti broj molekula. Ako za ta dva različita plina napišemo jednadžbu stanja:

pV = N1kT ;

pV = N 2 kT

pošto su parametri p, V i T za oba ta plina jednaki, slijedi da je:

N1 = N 2 tj. u svakoj količini ima jednak broj molekula, što je suština Avogadrovog zakona. Promatrajmo sada smjesu plinova u nekoj posudi zapremine V, koji se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži i međusobno ne međudjeluju. Jednadžba stanja za tu mješavinu glasi:

pV = ( N 1 + N 2 +...) kT = NkT

(2.23.)

gdje su N1, N2, ..., brojevi molekula odgovarajućih sastojaka smjese, a N je ukupan broj molekula u posudi. Iz izraza (2.23.), dijeljenjem sa V, dobivamo:

p=

(2.24.)

N1 N kT + 2 kT +... V V

To znači da svaka grupa ima svoj vlastiti tlak nezavisan od tlakova ostalih komponenti smjese. To je pretpostavka kod idealnog plina koja kaže da nema međudjelovanja između molekula idealnog plina. Izrazi

N2 N kT = p1 , 2 kT = p2 ,... predstavljaju tlakove V V

koje bi svaki plin vršio kad bi se samo on nalazio u zapremini V i oni se nazivaju parcijalni tlakovi. Relacija (2.24.) može se napisati u obliku:

p = p1 + p 2 + ...

(2.25.)

koja izražava Daltonov zakon. Daltonov zakon kaže da je u smjesi više plinova koji međusobno kemijski ne reagiraju ukupan tlak jednak zbiru parcijalnih tlakova pojedinih sastojaka smjese. Stupanje slobode definiramo kao različite vidove gibanja tijela. Njihov broj za neko tijelo ili sistem tijela jednak je broju nezavisnih koordinata kojima možemo opisati kretanje danog tijela ili sistema tijela. Na primjer, najjednostavniji slučaj imamo kod opisivanja gibanja točkaste mase, npr. jedne molekule koju čini samo jedan atom. Ona ima tri translatorna stupanja slobode, tj. njeno gibanje se može opisati pomoću nezavisno promjenljive veličine (u pravokutnom Descartovom sustavu to su koordinate x, y i z). Ako pak imamo dvije međusobno nezavisne, tj. nepovezane točkaste mase, onda nam treba šest međusobno nezavisnih koordinata da bi smo opisali gibanje ovog sistema od dvije točkaste mase, to su njihove koordinate x1, y1, z1 i x2, y2, z2. Tada kažemo da takav sistem ima

šest stupnjeva slobode. Sistem N međusobno nezavisnih materijalnih točaka, npr. N molekula idealnog plina, ima, prema tome, 3N stupnjeva slobode. Ukoliko, međutim, između dvije točkaste mase postoji kruta veza, onda je za njihovo opisivanje dovoljno pet nezavisno - promjenljivih, jer se šesta uvijek može izvesti iz poznate konstantne udaljenosti točkastih masa d, prema relaciji:

(x

− x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) = d 2 2

2

2

2

Od ovih pet stupnjeva slobode, tri mogu biti koordinate centra mase sistema, a preostale dvije mogu biti dva kuta ϕ i θ koji određuju pravac u prostoru ose sistema, što znači da su tri stupnja slobode translatorni, a dva rotacioni stupnjevi slobode, crt. 2.3.

Crt.2.3. Ako su pak dvije tačkaste mase povezane elastičnom vezom, onda će broj stupnjeva slobode tog sistema biti šest, jer će, uz već spomenutih pet stupnjeva slobode biti dodan šesti oscilatorni stupanj, tj. šesta koordinata koja je udaljenost r između točkastih masa. U ravnotežnom stanju ova udaljenost je jednaka ro, a svaka promjena ravnoteže uvjetuje silu koja nastoji da ponovo uspostavi ravnotežu. Ako se ovo razmatranje primijeni na plinove, onda je jasno da jednoatomne molekule plina imaju tri translatorna stupnja slobode. Broj stupnjeva slobode koji se pripisuju dvoatomnoj molekuli zavisi od tipa veze između atoma. Taj broj sadrži ili tri translatorna i dva rotaciona stupnja slobode (sa krutom vezom) ili, pored svih pet još jedan oscilatorni stupanj slobode (ako je veza elastična). Na osnovu relacije (2.17.), zaključujemo da slobodna molekula sa tri stupnja slobode, ima kinetičku

energiju translatornog kretanja 3 ⋅ 1/2 kT, tj. na svaki stupanj slobode otpada 1/2 kT kinetičke energije pošto su svi translatorni stupnjevi slobode jednako vrijedni. Ako ovu tvrdnju uopćimo, onda sistem sa s stupnjeva slobode ima kinetičku energiju:

Ek = s

kT 2

(2.26.)

Ovaj izraz je poznat kao zakon o ekviparticiji ili zakon jednake raspodjele kinetičke energije po stupnjevima slobode. Kod utvrđivanja iznosa srednje energije molekule treba voditi računa da dok na svaki translatorni stupanj slobode i svaki rotacioni stupanj slobode dolazi po 1/2 kT energije, dotle na oscilatorni stupanj slobode dolazi dvostruko veća vrijednost tj. 2 ⋅ 1/2 kT=kT srednje energije molekule. Ovo se objašnjava time što su translacija i rotacija molekula vezane uz prisustvo samo kinetičke energije dok su oscilacije u vezi sa postojanjem i kinetičke i potencijalne energije. Prema tome, broj stupnjeva slobode s jedne molekule se može napisati kao zbroj tanslacionih, rotacionih i oscilatornih stupnjeva slobode:

s = strans. + srot . + sosc.

(2.27.)

a ukupna srednja energija je:

E= j gdje je:

j = strans. + srot . + 2sosc.

kT 2

(2.29.)

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U SARAJEVU

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja

2.5. Termodinamika 2.5.1. Uvod Termodinamika istražuje fizikalne procese koji se dešavaju u makroskopskim sistemima, tj. tijelima koja su sastavljena od velikog broja čestica (atoma, molekula, iona, itd.). Osobine i stanja tih sistema termodinamika prati izučavanjem relacija koje postoje između topline, rada i energije, tj. razmatra prijenos energije ovisno od fizikalnih osobina materijala koji učestvuju u tom prijenosu. Termodinamika se zasniva na dva opća zakona prirode, na prvom i drugom zakonu termodinamike. Na osnovu ova dva zakona moguće je logičkim rasuđivanjem povezati mjerljiva svojstva materije, kao što su koeficijenti širenja, kompresibilnost, specifični i toplotni kapacitet, toplinske transformacije i dr. Inženjeri(strojarski, elektro) koriste principe i metode termodinamike prilikom izrade proračuna za parne strojeve i turbine, motore sa unutrašnjim sagorijevanjem, mlazne motore i hladnjake, dok ih kemijski inženjer koristi u praktično svakom procesu u kojem dolazi do prijenosa topline, ili se javlja problem kemijske ravnoteže. Termodinamika ne postavlja nikakve hipoteze o strukturi materije. To je eksperimentalna ili empirijska znanost. 2.5.2 Rad i toplina Rad W izvršen u nekom termodinamičkom procesu koji je sistem preveo iz početnog stanja 1 u konačno stanje 2 definira se kao: 2

W = ∫ δW

(2.30)

1

gdje je δW infinitezimalni rad izvršen u infinitezimalnom dijelu tog procesa. Za proces integriranja u relaciji (2.30.) potrebno je znati putanju po kojoj se vrši integriranje, tj. proces kroz koji sistem prolazi, što znači da je rad funkcija procesa, pa stoga njegov diferencijal nije totalni i zato ga označavamo sa δW. Iz istih razloga se, onda, rad izvršen u toku procesa 1-2 piše kao: 2

W = ∫ δ W = W1−2

(2.31)

1

Promatrajmo idealni plin u cilindru s pomičnim klipom (crt.2.8.). Dovodimo li toplinu, plin će se zagrijati, klip podizati i obavljati rad.

Pomakne li se klip za infinitezimalnu duljinu dx, rad je:

δ W = Fds = Fdx = pSdx = pdV

(2.32)

gdje je dV povećanje volumena plina.

Crt.2.8. Da bismo iz (2.32.) izračunali rad za konačnu promjenu volumena plina, potrebno je poznavati ovisnost tlaka o volumenu, p(V). Tada je: V2

W=

∫ p(V )dV

(2.33)

V1

Ako znamo dijagram određenog procesa s idealnim plinom, rad je jednak površini ispod krivulje p(V), crt.2.8. Tada npr. rad pri izobarnom procesu (p=const.) je; V2

W = p ∫ dV = p(V2 − V1 )

(2.34)

V1

Ako se plin širi izotermno (T=const.), iz (2.30.), p=nRT/V i iz (2.33.) dobivamo: V2

W=

∫

V1

V2

pdV =

∫

V1

nRT

V dV = nRT1n 2 V1 V

(2.35)

Obično se u termodinamici upotrebljava slijedeći dogovor o predznaku rada: Pri ekspanziji (dV>0), sistem (idealni plin) vrši rad i rad je pozitivan (δW>0); naprotiv, pri kompresiji (dV<0) okolina vrši rad nad sistemom te je rad negativan (δW<0). Iz iskustva je poznato da postoji beskonačan broj različitih procesa u kojima neki sistem može preći iz jednog stanja u drugo. Razmotrimo nekoliko mogućih procesa danih na dijagramu (crt.2.9.). Koliki je rad pri prijelazu sistema iz stanja 1 u stanje 2. Najveći rad koji sistem vrši jeste duž puta 1-4-2 (maksimalna površina), a najmanji duž puta 1-3-2 (minimalna površina). Duž ostalih mogućih putova 1-4’-2, 1-3’-2 i 1-2, rad poprima neke međuvrijednosti, što se može vidjeti iz veličine površine ispod krivulja procesa. Ako bi smjer strelica promijenili, rad na sistemu bi također pokazao različite vrijednosti.

P 4

P1 P2

4’

2 3’

1 3

V1

V2

V Crt.2.9.

Možemo zaključiti da nema smisla govoriti o radu sistema (ili radu u sistemu) kao o temperaturi, tlaku, jer rad zavisi od procesa i nema jednoznačnu vrijednost pri prijelazu iz jednog stanja sistema u drugo, tj. rad nije osobina (parametar) sistema. Matematički rečeno veličina δW nije totalni diferencijal. Toplina je oblik prenošenja energije. Toplina, kao i rad, nije vrsta energije već forma njenog prenošenja. Toplina, također, nije osobina koju posjeduje sistem, pa njen diferencijal nije pravi, pa ćemo ga označavati sa δQ. Ukupna toplina koja je prenesena u procesu u kojem sistem iz stanja 1 pređe u stanje 2 glasi: 2

Q=

∫

δ Q = Q1−2

(2.36)

1

Različite količine topline treba dovesti tijelu da pređe iz jednog stanja u drugo ako se taj prijelaz vrši na različite načine. Na primjer, zagrijavanje izvjesne mase plina za ΔT u izohornom procesu zahtijeva manju količinu topline nego isto zagrijavanje u izobarnom procesu. Količina topline, za razliku od energije, nije funkcija stanja sistema, jer zavisi od procesa promjene ovog stanja. Toplina i rad imaju zajedničku osobinu da postoje samo u procesu prijenosa energije, i njihove brojne vrijednosti zavise od vrste ovih procesa.

8.9.3 Prvi zakon termodinamike Prvi zakon termodinamike je, u stvari, princip očuvanja energije. Ovaj zakon je nastao postuliranjem određenih stajališta do kojih se došlo na osnovu eksperimentalnih činjenica, koje već stoljeće i pol ništa nije dovelo u sumnju. U najopćenitijem značenju prvi zakon termodinamike tvrdi da je čisti protok energije kroz graničnu površinu sistem jednak promjeni energije samog sistema. Sa stajališta termodinamike dovoljno je razmotriti dvije vrste protoka energije. Jedna vrsta protoka je izvršeni rad na sistemu ili rad koji vrši sistem, a druga vrsta je protok topline ili zračenjem ili kondukcijom.

Ako sistemu ne dovodimo izvana energiju kažemo da je sistem toplinski izoliran, te se plin može širiti i vršiti rad jedino na račun svoje unutrašnje energije. Unutrašnja energija je ukupni zbroj kinetičke energije toplinskog gibanja molekula i potencijalne energije međumolekularnog djelovanja. U idealnom plinu nema sila međudjelovanja među molekulama, te je unutrašnja energija jednaka zbroju kinetičke energije svih molekula:

U = ∑ Eku = N Ek

(2.37.)

i

Unutrašnja energija tijela može se mijenjati a da se pri tom ne obavlja rad. Dovedemo li dva tijela u kontakt, molekule tijela više temperature predavat će energiju molekulama niže temperature sve dok se njihove temperature ne izjednače. Unutrašnja energija toplijeg tijela će se smanjivati, a hladnijeg povećavati. Kažemo da energija u obliku topline prelazi s tijela više temperature na tijelo niže temperature. Unutrašnju energiju tijela možemo promijeniti na dva načina: vršenjem rada nad tijelom i prijenosom topline. Tu činjenicu možemo izraziti i ovako: Unutrašnja energija sistema povećava se obavljanjem rada na sistemu i dovođenjem topline sistemu, a smanjuje se kad sistem obavlja rad, odnosno kada se toplina odvodi iz sistema:

dU = δ Q − δ W

(2.38)

Ovako napisan zakon o očuvanju energije naziva se prvi zakon termodinamike. δQ i δW nisu pravi diferencijali, ali dU jeste. Integriranjem relacije (2.38.) dobivamo:

ΔU = Q − W

(2.39)

Treba naglasiti da se unutrašnja energija sistema ne može identificirati ni sa radom ni sa toplinom, jer se ove fizikalne veličine koriste samo u svezi s razmjenom energije između sistema i okoline. Razmotrimo to na jednostavnom primjeru trljajmo ciglu o podlogu pa će se ta cigla zagrijati, tj. radom, trenjem smo cigli predali neku količinu energije. Do tog istog stanja možemo doći i tako što ciglu postavimo na podlogu i izložimo je djelovanju sunca. Konačno stanje cigle je u oba procesa isto, ali nam to ne daje za pravo da tvrdimo da cigla na kraju prvog procesa “sadrži” više rada, a na kraju drugo više topline. Cigla sadrži samo više energije, pa je porast unutrašnje energije jednak u oba procesa, ako su u tim procesima početno i krajnje stanje isti. Relacija (2.38.) predstavlja matematičku formulaciju prvog zakona termodinamike, koji kaže da se količina topline δQ koju sistem primi, može utrošiti na promjenu unutrašnje energije dU i za rad δW koji vrši sistem protiv vanjskih sila, tj.:

δ Q = dU + pdV

(2.40)

Na primjer, ako se plinu u posudi sa klipom dovede određena količina topline, ona može da se utroši za povećanje temperature sistema, tj. za povećanje njegove unutrašnje energije i za rad nasuprot vanjskom tlaku. Kad se ovo primijeni na izotermni proces (T=konst.), pa je dU=0. Sva dovedena toplina troši se na rad protiv vanjskih sila.

δ Q =δW

(2.41)

Druge posljedica prvog zakona termodinamike: - U izoliranom sistemu, energija sistema ostaje konstantna. U izoliranom sistemu vrijedi Q=W, što znači da je ΔU=0. - Perpetuum mobile prve vrste je nemoguć. Promatrajmo jedan sistem koji prođe kroz kružni proces. Tada je U1=U2 i Q=W. Ukupna količina topline koja se dovodi sistemu jednaka je radu koji je sistem izvršio. To znači da nije moguće konstruirati stroj koji bi radeći u ciklusima izvršio rad veći od vrijednosti energije u obliku topline.

2.5.4. Specifična toplina Pri konstantnom volumenu plina rad tlaka jednak je nuli i u prvom zakonu termodinamike u diferencijalnom obliku (2.40.), dV=0; slijedi:

dU = δ Q Kako unutrašnja energija ovisi samo o stanju sistema, količina dovedene topline u ovom slučaju ovisi samo o konačnom i početnom stanju. Dovedena toplina proporcionalna je masi tvari i promjeni temperature dT. Koeficijent proporcionalnosti cv je specifična toplina pri stalnom volumenu:

δ Q = mcv dT

(2.42)

Specifična toplina jednaka je dakle:

cv =

1 dU m dT

(2.43)

gdje smo koristili dU=δQ. Općenito specifična toplina ovisi o temperaturi, tako da je toplina koju trebamo dovesti da ugrijemo tijelo od početne temperature T1 do konačne temperature T2 jednaka integralu: T2

Q = m∫ cv (T )dT

(2.44)

T1

Zagrijavanjem pri konstantnom tlaku tijelo se rasteže i obavlja rad protiv tlaka. Stoga je potrebno dovesti više topline da bismo tijelo ugrijali za određenu temperaturu. Unutrašnja energija promjeni se za:

dU = δ Q − pdV = δ Q − d ( pV ) + Vdp Kako je tlak konstantan, zadnji član jednak je nuli, te imamo:

δ Q = dU + d ( pV ) = d (U + pV )

(2.45.)

Veličina U + pV ovisi jedino o stanju sistema i zove se entalpija H. Dakle, dovođenjem topline pri konstantnom tlaku za isto toliko poveća se entalpija. Slično (2.42.) i (2.43.) definiramo specifičnu toplinu pri konstantnom tlaku cp:

δ Q = mc p dT

(2.46.)

gdje je:

cp =

1 dH m dT

(2.47.)

Obje specifične topline praktično su jednake za tekućine i čvrsta tijela, dok se za plinove znatno razlikuju. U idealnom plinu nema međumolekularnih sila, te promjena tlaka i volumena uz stalnu temperaturu i time promjena razmaka među molekulama ne utječe na unutrašnju energiju: dakle unutrašnja energija je funkcija samo temperature plina. Za jednoatomske plinove, čije se čestice mogu gibati samo translatorno, unutrašnja energija je na osnovu (2.22.) i (2.37.) jednaka:

3 3 m U = N Ek = N ⋅ kT = RT 2 2 M

(2.48.)

Specifična toplina pri stalnom volumenu onda je jednaka:

cv =

1 dU 3 R = m dT 2 M

(2.49.)

Entalpija jednoatomnog plina jednaka je:

H = U + pV =

3 m m 5 m RT + RT = RT 2 M 2 M M

iz čega slijedi specifična toplina pri stalnom tlaku:

cp =

1 dH 5 = RT m dT 2

(2.50.)

Vrijednost omjera, koji se naziva adijabatski eksponent,

χ=

cp cv

= 1,67

(2.51.)

u dobrom je slaganju s izmjerenim vrijednostima za jednoatomne plinove. Pri proučavanju unutrašnje energije dvo i više atomnih plinova treba, osim translatornog, uzeti u obzir rotacijsko i oscilatorno (vibracijsko) gibanje; ona povećavaju unutrašnju energiju, a time i specifičnu toplinu.

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II ---Predavanja 3 – drugi dio ---

Toplota i rad imaju zajedničku osobinu da postoje samo u procesu prijenosa energije, i njihove brojne vrijednosti zavise od vrste ovih procesa.Zbog toga ćemo u ovom dijelu govoriti o različitim promjenama stanja gasa (procesima) i izvesti izraze za rad pri različitim procesima. 1.Adijabatski

proces

Adijabatska promjena stanja idealnog gasa je takva promjena stanja kod koje nema razmjene toplote sa okolinom tj, δQ = 0. To su procesi koji se dešavaju u izolovanim sistemima ili oni koji se dešavaju jako brzo, pa sistem nema vremena da razmjeni toplotu sa okolinom. Spoljašni rad pri adijabatskoj ekspanziji vrši se na račun promjene unutrašnje energije gasa. Na osnovu I zakona termodinamike:  

(*)

0

Za

Djeljenjem ovih jednačina dobijemo :

 

Integracijom  

 

 

adijabatski eksponent

gdje je

 

Antilogaritmiranjem

Koristeći jednačinu stanja idealnog gasa

-ovo je jednačina adijabatskog procesa. pV = nRT ,

p = nRT/V

   

 

 

  (Δ)

Ili

p

                                                           ‐izoterma                                              adijabata    V

Bojl-Mariotov zakon 0

0

Nagib tangente na adijabati je veći za κ puta nego kod izoterme. Adijabatski procesi teku  „brzo“.  Rad pri adijabatskoj ekspanziji možemo izračunati polazeći od izraza  *  uz uslov δQ 0 tj.  δA   ‐dU      ili          δA   pdV   ‐n Cv dT  Ako integriramo između početnog stanja 1  i konačnog stanja  2  dobićemo   

 

A12   n Cv  T1 –T2     n Cv T1   1‐ T2 /T1   

Iz jednačine stanja izrazimo T1 kao   

 

 

 

 

 

 

   

 

  

 

A iz jednačine   Δ   dobijemo   

/

 

     pa to uvrstimo u izraz  za A12 . Uzimajući u obzir 

Mayerovu relaciju  Cp –Cv   R i κ =Cp/Cv dobijemo izraz za rad pri adijabatskom procesu :   

 

 

 

1

1

/

 

  2.Politropski proces    Proces  koji se dešava pri konstantnoj vrijednosti toplotnog kapaciteta gasa              C   const.   naziva se politropski proces tj. za koji je   

 

 

 

 

δQ   nCdT 

Iz I zakona termodinamike       

 

a iz jednačine stanja              p   nRT/V   uvrštavanjem dobijemo     

 

 

nCdT   

 

 

 

Ako u ovoj relaciji R zamjenimo sa  Cp –Cv   dobit ćemo  izraz     

 

 

 

 

 

Uobičajeno je da se  količnik   

 

  

obilježava slovom n i zove se politropski eksponent, iako nema nikakve veze sa n iz jednačine  stanja idealnog gasa koje određuje broj molova.Tako da naša jednačina ima oblik:       

 

 

što nakon integracije daje 

1

   0 

 

 

 

 

lnT    n‐1  lnV   ln const. 

ili 

 

 

T V n‐1   const. 

Ovo je jednačina politropskog procesa, a može se pisati  i u drugom obliku preko parametara   p i V kao   

 

 

p Vn  const. 

Razmotrimo do sada poznate procese i uporedimo ih sa jednačinom politrope.  Za izobarni proces p  const., C Cp  tj, n  0, pa se dobije   

 

 

.    Gej‐Lisakov zakon 

 

Za izotermni proces T  const., C

∞ , n   1, pa je 

                                                   p V   const.  Bojl‐Mariotov zakon  Za izohorni proces je V const., C  Cv , n  

 

∞ 

.       Šarlov zakon 

 

 Za adijabatski proces δQ   0, C 0, n κ, pa je   

 

 

 

      p                    T const. 

pVκ = const.       V const. 

  p=const. 

V

V

Rad koji se izvrši pri politropskom procesu može se izračunati polazeći od relacije za rad

 

                                              

gdje je

međustanje

početak

kraj

     

=

  ili

1

1

--rad pri politropskom procesu za bilo koji n=1

1

Za adijabatski proces n=κ

1

1

Za izobarni proces

1

1

0

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II --Predavanja—

2.5.5. Drugi zakon termodinamike Prvi zakon termodinamike je posljedica zakona o očuvanju energije i on govori o tome da uvijek mora biti ispunjen uvjet točnog omjera između količine topline i rada u bilo kojem procesu, ali ne govori ništa o smjeru odvijanja procesa. Osnovni problem koji se nameće u svim procesima konverzije topline u rad i rada u toplinu je u činjenici da u nekom cikličnom procesu uvijek možemo sav rad prevesti u toplinu, ali svu toplinu ne možemo prevesti u rad. Drugi zakon termodinamike može se formulirati: Nemoguće je napraviti toplotni stroj koji bi u periodičnom ciklusu svu dovedenu toplinu pretvorio u mehanički rad. To bi bio perpetuum mobile druge vrste.

  Crt.2.10. 

 

Kad ne bi važio ovaj princip, brod bi se mogao kretati uzimajući toplinu iz mora (koja je ogromna). To bi bilo moguće po prvom zakonu termodinamike, ali se protivi drugom iskustvu.

 

Carnot 1 (Karno) je prvi spoznao da je za pretvaranje topline u mehanički rad potreban pad temperature, i da se toplina može pretvoriti u rad samo ako postoji prijelaz topline, a za to su potrebna dva spremnika topline različitih temperatura. Ma koliki bio ogroman sadržaj topline mora ili zraka, ta se toplina ne može pretvoriti u rad u toplinskim strojevima, ukoliko nemamo spremnik topline niže temperature. Takvih spremnika nema, jer sva okolina ima jednaku temperaturu. Spremnik niže temperature mogao bi se napraviti umjetnim putem, hlađenjem ispod temperature okoline (hladnjacima). Ali taj bi postupak zahtijevao ulaganje mehaničkog rada. Utrošak rada bio bi u najboljem slučaju jednak dobitku na mehaničkom radu iz toplinskog stroja (u praksi nemoguće). Iz svega ovoga se vidi da nije moguće sagraditi parobrod čiji bi stroj iskorištavao toplinu mora. Stroj koji bi to vršio bio bi neka vrsta perpetuum mobile.

Na kraju možemo zaključiti: Toplina sama od sebe prelazi samo s tijela više temperature na tijelo niže temperature. Toplina prelazi s tijela niže temperature na tijelo više temperature samo uz naročito djelovanje izvana, tj. samo uz utrošak vanjskog rada. Perpetuum mobile druge vrste nije moguć, tj. nije moguće kružnim procesom trajno uzimati toplinu iz jednog spremnika i pretvarati u mehanički rad.

Na crt.2.10a. dana je shema toplinskog stroja. Da bi se napravio toplinski stroj, potrebno je imati dva rezervoara (spremnika) različite temperature: iz onog više temperature stroj uzima količinu topline Q1, jedan njen dio pretvara u rad (W), a ostatak Q2 predaje rezervoaru niže temperature. Pri tome koeficijent iskorištenja:

η=

W Q1 − Q2 = Q1 Q1

(2.52)

Slično rade i toplinske pumpe (hladnjaci): oni prenose toplinu s hladnijeg na toplije tijelo uz utrošak rada. Na crt. 2.10b. dana je shema rada toplinske pumpe (hladnjak). Kod hladnjaka u domaćinstvu, hrana (kockice leda) predstavljaju hladni rezervoar, rad vrši elektromotor, a topli rezervoar je zrak u okolini hladnjaka (u kuhinji).                                                              1

S.Carnot, francuski inženjer.

2.5.6 Entropija Prvi zakon termodinamike, koji je u stvari zakon očuvanja energije, ne daje mogućnost određivanja smjera termodinamičkog procesa. Iz njega ne možemo odrediti smjer izmjene topline između dva tijela različitih temperatura. S gledišta I zakona termodinamike prijelaz topline sa hladnijeg na toplije tijelo i obrnuto jednako je vjerojatno. Prema ovome, parobrod bi mogao uzimati toplinu iz mora pokretati svoje propelere i vraćati je nazad u obliku hladne vode ili čak leda. kao što nam govori iskustvo ovo je nemoguće. Sadržaj topline morske vode ili potencijalne energije je beskoristan jer nema rezervoara sa hladnijom vodom ili nema nižeg potencijalnog nivoa vode.

Promatrajući ove primjere možemo zaključiti da postoji “prirodan” tok topline od toplijeg ka hladnijem, odnosno prirodan smjer pretvaranja energije: je od mehaničke energije ka toplini.

U termodinamici je bilo potrebno pronaći veličinu koja karakterizira smjer termodinamičkog procesa. Ako su dana stanja jednog izoliranog sistema a ako je unutrašnja energija u oba sistema ista, da li je moguće naći kriterij koji određuje koje se od ta dva stanja može uzeti kao početno stanje, a koje kao konačno stanje jednog procesa koji bi se u sistemu mogao zbiti? Da bi riješili ovaj problem treba pronaći funkciju, koja je funkcija stanja sistema i koja bi imala različite vrijednosti na početku i na kraju procesa. Nju je prvi pronašao Clausius (Klausijus) i naziva se entropija.

Kao i unutrašnja energija sistema, ona je funkcija samo stanja sistema, i, kao što se može vidjeti, ona ili raste ili ostaje konstantna u svakom mogućem procesu do kojeg dolazi u izoliranom sistemu. Pomoću entropije drugi zakon termodinamike može se formulirati na slijedeći način:

Nisu mogući procesi u kojima bi dolazilo do smanjenja entropije izoliranog sistema, ili, u svakom procesu do kojeg dolazi u izoliranom sistemu entropije sistema raste ili ostaje konstantna.

Drugi zakon termodinamike može se matematički iskazati kao:

dS =

δQ T

(2.53.)

Integriranjem dobivamo:

2

S 2 − S1 = ∫ 1

δQ T

(2.54.)

Veličina S naziva se entropija sistema, za koju vrijedi:

• • •

Entropija sistema je definirana samo za ravnotežna stanja Iz relacije (2.54.) može se izračunati samo promjena entropije. U mnogim praktičnim problemima, kao što je projektiranje parnih strojeva, u obzir dolaze samo promjene entropije. Za entropiju nekog sistema može se, kao pogodnije, uzeti da je entropija nula za neko referentno stanje tako da se svako drugo stanje te supstance može definirati jednom numeričkom vrijednosti. • Entropija sistema u ravnotežnom stanju je funkcija samo stanja sistema, i nezavisna je od njegove prethodne povijesti. Entropija se, prema tome, može izraziti kao funkcija termodinamičkih promjenljivih, kao što su tlak i temperatura, ili tlak i volumen. • Promjena entropije može se izračunati na osnovu relacije (2.54.) samo za reverzibilne (povratne) procese.

Svi stvarni procesi su ireverzibilni (nepovratni). Oni se zbivaju konačnom brzinom, sa konačnim razlikama temperatura i tlaka između dijelova jednog sistema ili između jednog sistema i njegove okoline. Pokazuje se da jedan od posljedica drugog zakona termodinamike je taj da entropija jednog izoliranog sistema raste u svakom prirodnom (ireverzibilnom) procesu. Jedan od razloga što se u mehaniku uvodi pojam energije, količine gibanja jeste što se te veličine pokoravaju zakonima očuvanja. Entropija, naprotiv, ne ostaje očuvana osim u reverzibilnim procesima.

Kad se čaša tople vode pomiješa sa čašom hladne vode, toplota koju je topla voda izgubila jednaka je toplini koju je hladna voda dobila. Toplina u ovom procesu ostaje očuvana, ili, općenito, energija ostaje očuvana. S druge strane, dok se u procesu miješanja

entropija tople vode smanjuje a entropija hladne vode raste, smanjenje entropije jednako njenom povećanju i ukupna entropija sistema je na kraju veća nego što je bila na početku. Odakle je došla ova dodatna entropija? Odgovor je da je dodatna entropija nastala u procesu miješanja tople i hladne vode. Također, kad je entropija jednom nastala, ona se ne može nikad više uništiti. Svemir mora trajno nositi ovaj dodatni teret entropije. “Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti” kaže prvi zakon termodinamike. “Entropija se ne može uništiti” kaže drugi zakon “ali se može stvoriti”. Možemo zaključiti: “Entropija izoliranog sistema raste u svakom prirodnom (tj. ireverzibilnom) procesu”.

2.5.7. Entropija i vjerojatnost

Prema Boltzmannu, entropija ima sasvim jednostavno statističko tumačenje. U ranijem izlaganju vidjeli smo da entropija izoliranog (sistema prepušten sam sebi) sistema se ne može smanjivati, ΔS ≥ 0. S druge strane, očigledno je da će sistem koji je prepušten sam sebi prelaziti iz stanja manje vjerojatnih u stanja više vjerojatnosti. Dospjevši u najvjerojatnije stanje, sistem će ostati u njemu neograničeno dugo. Prema tome, entropija i vjerojatnost stanja izoliranog sistema ponašaju se na sličan način: one mogu ili da rastu ili da ostanu neizmijenjene. Iz ovih razloga izlazi da između entropije i vjerojatnosti stanja sistema mora postojati određena veza.

Boltzmann je pokazao da ta veza ima sljedeći oblik:

S = k ln w

(2.55.)

gdje je k Boltzmannova konstanta, w tzv. termodinamička vjerojatnost stanja, pod kojom se podrazumijeva broj različitih načina pomoću kojih se može ostvariti dano stanje.

Termodinamička vjerojatnost, razlikuje se od matematičke, koja se obično naziva jednostavno vjerojatnost. Matematička vjerojatnost nekog događaja jednaka je odnosu broja slučajeva koji su povoljni za promatrani događaj prema općem broju jednako mogućih slučajeva. Prema tome, ona se izražava razlomkom i ne prelazi jedinicu. Termodinamička vjerojatnost, naprotiv, izražava se cijelim brojem, po pravilu veoma velikim brojem.

Da bismo razumjeli smisao veličine w, promatrajmo slijedeći primjer. Neka se u posudi nalaze četiri molekule. Zamislimo da je posuda podijeljena na dva jednaka dijela, lijevi i desni, crt. 2.11. Zbog gibanja molekula njihova raspodjela između dijelova posude će se mijenjati. Razmotrimo stanja koja se razlikuju brojem molekula na lijevoj i desnoj strani posude. Molekule označimo slovima (a, b, c i d) i izračunajmo broj načina na koje može da bude realizirano svako stanje. Rezultati izračunavanja dati su u tabeli 2.1. Od 16 mogućih raspodjela molekula između polovina posude, šest odgovara istom broju molekula s desne i lijeve strane, osam stanjima pri kojima se u jednoj od polovina posude nalazi jedna molekula, a u drugoj tri, a samo na dva načina mogu se dobiti stanja pri kojima se sve molekule skupljaju u jednoj od polovine posude.

            a                

 

     c 

 

 

Crt.2.11

Svaka od molekula s jednakom vjerojatnosti može se nalaziti kako u lijevoj tako u desnoj polovini posude. Zbog toga se svaka od 16 raspodjela molekula ostvaruje jednako često. Prema tome, broj načina realizacije danog stanja određuje vjerojatnost toga stanja.

Kako možemo vidjeti, u slučaju četiri molekule postoji velika vjerojatnost (1/8) da će se sve molekule sabrati u jednoj od polovine posude. S povećanjem broja molekula, međutim, stanje se bitno mijenja. U tabeli 2.2. dati su brojevi načina realizacije različitih stanja za deset molekula.

Tabela 2.1.

Stanje

Način realizacije Broj stanja načina

L

D

0

4

1

3

2

3

4

2

1

0

L

D

realizacije

a,b,c,d

1

a

b,c,d

4

b

a,c,d

c

a,b,d

d

a,b,c

a,b

c,d

a,c

b,d

a,d

b,c

b,c

a,d

b,d

a,c

c,d

a,b

a,b,c

d

a,b,d

c

a,c,d

b

b,c,d

a

a,b,c,d

6

4

1

Ukupno načina

24 = 16

U tom slučaju vjerojatnost da će se sve molekule sabrati u jednoj polovini posude ravna je svega 1/512. U većini slučajeva (u 672 od 1024) u oba dijela posude dobije se isti (55) ili skoro isti (6-4 ili 4-6) broj molekula.

Može se pokazati da je ukupni broj načina raspodjele N molekula između dvije polovine posude jednak 2N. Zbog toga, ako je N broj molekula, na primjer 1020, onda će vjerojatnost da će se sve molekule sabrati u jednoj od polovina posude biti vrlo mala (2⋅10-20).

Pretpostavimo da se u početku plin nalazio u lijevoj polovini posude koja je pregradom odijeljena od desne prazne polovine. Ako uklonimo pregradu, plin će se proizvoljno raširiti po čitavoj posudi. Taj proces će biti nepovratan budući da je vjerojatnost da će se, kao rezultat toplinskog gibanja, sve molekule skupiti u jednoj od polovina posude, kako smo vidjeli, praktično jednaka nuli. Prema tome, sam po sebi, bez djelovanja izvana, plin neće uspjeti da se ponovo nađe u lijevoj polovini posude. Prema tome, proces širenja plina na čitavu posudu je nepovratan zbog toga što je njemu obratni proces malo vjerojatan. Taj zaključak se može proširiti i na druge procese. Svaki nepovratni proces je takav proces kojemu je obratni proces krajnje nevjerojatan.

Tabela 2.2.

Broj molekula Lijeva

Desna

strana

strana

0

10

1

1

9

10

2

8

45

3

7

120

4

6

210

5

5

252

6

4

210

7

3

120

8

2

45

9

1

10

w

10

Ukupno            

0

210=1024

1

TOPLOTNI STROJ

Sistem koji ciklički pretvara toplotu u mehaničku energiju

QA – TOPLOTA KOJU GORIVO PREDA VODI AT – RAD KOJI VRŠI TURBINA QK – TOPLOTA KOJU TREBA ODVESTI DA BI PARA PREŠLA U VODU AP – ENERGIJA POTREBA ZA RAD TURBINE

QA − QK = AT − AP DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE Problem konverzije TOPLOTE U RAD . Sav rad možemo prevesti u toplotu ali svu toplotu nemožemo prevesti u rad. Toplotni stroj je sistem koji c iklički radi i pretvara toplotu u mahaničku energiju (rad) .

Termodinamički proces je reverzibilan (povratan) ako dozvoljava povratak sistemna u početno stanje bez promjena na okolinu ( neprigušene ocsilacije). Ireverzibilni (nepovratni) procesi su svi realni procesi ( trenje, difuzija, izmjena toplote itd.)

TOPLOTNA PUMPA (FRIŽIDER)

Q1 = Q2 + W Q2 − negativna veličina Koeficijent korisnog djelovanja

K =−

Q2 Q2 =− W Q1 + Q2

Carnotoov ciklus

Termički koeficijent korisnog djelovanja

Q2 T1 − T2 η = 1+ = Q1 T1 Najveći stepen korisnog djelovanja toplotnih strojeva ima Carnotoov stroj. Nijedan stroj koji radi između dvije temperature nemože biti efikasniji od Carnootovog stroja. Svi Carnootovi strojevi koji rade između dvije iste temperature imaju istu efikasnost bez obzira na prirodu radnog medija. II ZAKON TERMODINAMIKE NEMOGUĆE JE NAPRAVITI TOPLOTNI STROJ KOJI BI U PRIODIČNOM CIKLUSU SVU DOVEDENU TOPLOTU PRETVORIO U RAD. To bi bio perpetuum mobile II vrste.

Kada ovo ne bi važilo!! Brod bi se mogao kretati po moru uzimajući toplotu iz mora ili iz okolnog zraka. NEMOGUĆ JE PROCES ČIJI BI JEDINI REZULTAT PRENOS TOPLOTE OD HLADINJEG TIJELA NA TOPLIJE.

ENTROPIJA ENTROPIJA ODREĐUJE SMJER ODVIJANJA TERMODINAMIČKOG PROCESA. TOPLOTA SE PRIRODNO KREĆE OD TOPLIJEG KA HLADNIJEM. Prirodni smjer pretvaranja energije MEHANIČKA ENERGIJA

→ TOPLOTNA ENERGIJA

Svaki ireverzibilan proces praćen je porastom entropije. ENTROPJA RASTE AKO PROCES TEČE U PRIRODNOM SMJERU

∫

δQ p T

dS =

δQ p

≤0

δQ p T povratni ciklus

ENTROPIJA KLAUZIJUSOVA TEOREMA

δQ = dS Za povratne sisteme T Za nepovratne sisteme

dS ≥

δQ T

Kod nepovratnih procesa uvjek imamo povećanje entropije. I zakon termodinamike

δQ = dU + δW II zakon termodinamike

δQ = TdS Kombinacijom dobivamo

TdS = dU + δW Bez vanjskih sila

δW = pdV

TdS =

dU + pdV T

Integracijom dobivamo

x

x

dU p S x − S0 = ∫ + ∫ dV T T 0 0 Toplota koja se prenosi u povratnom procesu može se izraziti S2

Q12 = ∫ TdS S1

Unutrašnja energija

dU = ncv dT Entropija

dS =

dU p dV + dV = ncV dT + nR T T V

Integracijom od T0 do T T

V

c dV S − S0 = n ∫ V dT + nR ∫ T V T0 V0

S = ncV ln

T V + nR ln + S0 V0 T0

Nernstova teorema (III zakon teromdinamike) Pri apsolutnoj nuli i entropija bilo kojeg tijela teži nuli.

lim S =0 T → 0

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U SARAJEVU

INŽENJERSKA FIZIKA II - predavanja -

3.MOLEKULARNO- KINETIČKA TEORIJA GASOVA

Molekularno–kinetička teorija bazira se na zakonima klasične fizike, koristeći statstičku fiziku za razmatranje velikog broja identičnih čestica. Već smo ranije objasnili model idelnog plina ( gasa) kao: -veliki broj molekula koje se haotično kreću; -nema međudjelovanja, izuzev sudara koji su elastični -zapremina molekula se može zanemariti.

3. 1 Barometarska formula Jedan od dokaza realnosti gibanja molekula je fenomen Braunovog gibanja koje je otkrio Robert Brown (1827.) promatrajući pod mikroskopom gibanje polenovog praha u vodi. Uvećan mikroskopom gibanja zrnaca polena su izgledala kaotična, podsjećajući na fantastični divlji ples, pun sudara i obrta. Eksperimenti su pokazali da takvo gibanje nije povezano s biološkim porijeklom čestica ili sa gibanjem tekućine, već ono postoji ako se sitne čestice nalaze u plinovitoj ili tekućoj fazi ili jednostavno u nekom rastvoru. Eksperimenti su također pokazali da priroda Braunovog gibanja zavisi od osobine tekućine a ne zavisi od osobine čestica koje su rastvorene u njoj. Pri tome je utvrđeno da brzina gibanja raste sa porastom temperature ili sa smanjenjem dimenzija čestica. Haotično gibanje molekula je razlog zašto se molekule plina uniformno raspoređuju po raspoloživoj zapremini tako da svaka jedinična zapremina u prosjeku sadrži isti broj molekula. U ravnotežnom stanju tlak i temperatura plina su također isti po cijeloj zapremini. To vrijedi u svim onim slučajevima kad vanjska sila nije prisutna. Kao primjer ponašanja plinova u polju sile, promatrat ćemo utjecaj gravitacijske sile na atmosferu Zemlje. kad ne bi bilo termičkog gibanja molekula zraka, sve one bi pod djelovanjem sile teže “pale” na Zemlju i oko Zemlje bi se formirao tanak “zračni” sloj. S druge strane, kad ne bi bilo sile Zemljane teže, molekule zračnog omotača bi se uslijed kaotičnog gibanja raspršile svuda po svemiru.

1

Postojanje zračnog omotača oko Zemlje je uvjetovano istovremenim postojanjem termičkog gibanja molekula i gravitacijske sile Zemlje, što kao posljedicu daje točno definiranu raspodjelu koncentracije molekula po visini u atmosferi, tj. promjenu pritiska sa udaljenošću od Zemlje. Izvedimo matematičku formulaciju ove zakonitosti. Promatrajmo vertikalni zračni stup koji ima tlak po na površini Zemlje, xo=0. Tlak na nekoj visini x je p. Kada se visina visina promijeni za iznos dx, tlak se promijeni za dp, crt.3.1 Pri tome se pod tlakom misli na težinu zračnog stuba iznad neke jedinične površine na izobarnoj visini. To znači da je dp u stvari određen razlikom težine stupova na visinama x i x + dx: p+dp dx p x

p0 Crt.3.1 p − ( p + dp) = ρ gdx

(3.1)

gdje je: ρ-gustoća zraka, g-gravitacijsko ubrzanje. Gustoća zraka je jednaka produktu mase jednog molekula m i broja molekula u jediničnoj zapremini, n=N/V.

ρ = m⋅ n

(3.2.)

Iz jednadžbe stanja pV=NkT, može se dobiti koncentracija n kao: n=

N p = V kT

(3.3.)

što uvrštavanjem u izraz (3.2.) daje:

ρ=

mp kT

(3.4.)

2

Kad se izraz (3.4.) uvrsti u (3.1.) dobivamo: dp = −

mg p dx kT

(3.5.)

ili nakon razdvajanja promjenljivih, dp mg =− dx p kT

(3.6.)

Pretpostavimo da se temperatura T ne mijenja s visinom (ovo se može prihvatiti za relativno male promjene visine), možemo izvršiti integriranje jednadžbe (3.6.): ln p = −

mg x + ln C kT

(3.7.)

gdje je C integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uvjeta, tj. za xo=0, p=po, dobiva se C=po pa jednadžba (3.7.) postaje:

p = po e

−

mg x kT

(3.8.)

Jednadžba (3.8.) daje vezu između tlaka i visine i naziva se barometarska formula. Ova formula može se koristiti za određivanje visine ako se zna tlak na toj visini i tlak na morskoj površini po. U avionima je, na primjer, ugrađen instrument koji direktno pokazuje visinu aviona u metrima. Ovaj instrument ima također korekciju za temperaturu koja znatno opada sa visinom. Pošto postoji linearna veza između tlaka p i koncentracije molekula, prema jednadžbi, pV=NkT; p=N/V kT=n’kT .pa se barometarska formula može transformirati u oblik: n = no e

−

mg x kT

(3.9.)

koji daje zavisnost koncentracije molekula n od visine x, gdje je no broj molekula u jedinici zapremine na visini xo=0.

3.2 Boltzmannov zakon

3

Barometarska formula (3.9.) izvedena je za plin koji se nalazi pod djelovanjem gravitacijske sile. Općenito govoreći, izraz mgx je potencijalna energija molekule, u gravitacionom polju na visini x, Ep=mgx. Jednadžba (3.9.) daje informacije o broju čestica energije Ep u jedinici zapremine u gravitacijskom polju Zemlje: n = no e

−

Ep kT

(3.10)

Pri tome se gornja relacija može poopćiti tako da se za polje sile može uzeti bilo koje drugo polje u kojem čestice imaju potencijalnu energiju Ep. Ova relacija se zove Boltzmannov zakon. On nam omogućava da odredimo onaj dio čestica koji u stanju termodinamičke ravnoteže ima energiju U, tj.: U − n = e kT no

(3.11.)

n T1 T2< T1 T2

U Crt.3.2. n , koji ima energiju U, zavisi samo no od temperature, što znači da temperaturu sada možemo smatrati kao veličinu od koje zavisi raspodjela čestica po energijama. Za izabranu temperaturu, dio molekula koji ima energiju U vrlo brzo teži nuli kad U raste. To znači da je dio molekula koje imaju vrlo visoku energiju veoma mali. S druge strane, dio molekula date energije U utoliko je veći ukoliko je temperatura viša. Iz relacije (3.11.) se vidi da dio čestica

4

3.3 Maxwellova raspodjela molekula idealnog plina po brzinama Boltzmannov zakon nam daje raspodjelu molekula prema vrijednostima njihove potencijalne energije u nekom potencijalnom polju sila podrazumijevajući da se radi o skupu identičnih čestica u stanju kaotičnog termičkog gibanja. Sad nas interesira kako se molekule idealnog plina raspoređuju prema vrijednostima njihove kinetičke energije, tj. prema intenzitetima njihovih brzina. Molekule plina imaju različite brzine i po veličini i po smjeru, koje se uz to neprestano mijenjaju uslijed stalnih sudara. Dok je raspodjela molekula po smjerovima ravnomjerna, pošto su svi smjerovi gibanja ravnopravni i, prema tome, jednako vjerojatni, dotle intenziteti brzina molekula, koji mogu imati veličinu od 0 do ∞, uopće nisu jednako vjerojatni. To se dešava zato što je promjena brzina molekula pri sudarima nastaje slučajno. Pri tome su neke brzine molekula vrlo malo vjerojatne (npr. beskonačno velike brzine ili veoma male brzine) dok su neke druge mnogo vjerojatnije, tj. češće zastupljene među molekulama. Tada je moguće očekivati neku najvjerojatniju brzinu.

Funkciju raspodjele f(v) molekula idealnog plina po vrijednostima njihove brzine prvi je teoretski odredio J.C.Maxwell (1859.), koristeći se razmatranjima baziranim na teoriji vjerojatnosti. Izvođenje funkcije f(v) prelazi razinu prethodnog znanja iz fizike, pa ćemo to izvođenje ovdje izostaviti. Navest ćemo konačan oblik f(v): f ( v ) = Ae

−

mv 2 2 kT

v2

(3.12.)

Funkcija f(v) se zove funkcija raspodjele i poznavajući nju i ukupan broj molekula N, možemo odrediti broj molekula ∆Nv koje imaju brzine u intervalu brzina ∆v. Kvocijent: ∆N v = f ( v )∆v N

(3.13.)

daje onaj dio molekula čije brzine leže unutar danog intervala brzina ∆v. Može se reći da izraz (3.13.) daje vjerojatnost da će brzina molekula ležati u intervalu od v do v+∆v. Očigledno je da zbroj svih skupova molekula ∆Nv iz različitih intervala brzina jednaka ukupnom broju molekula N:

∑ ( ∆N ) = ∑ i

v i

i

Nf ( vi ) ∆vi = N

dijeljenjem s N dobivamo: 5

∑ f ( v )∆v i

i

=1

(3.14 )

i

Relacija (3.14.) predstavlja vjerojatnost da će brzina molekule imati neku vrijednost između 0 i ∞. Pošto brzina molekule uvijek ima neku vrijednost, prikazana vjerojatnost je vjerojatnost sigurnog događaja i, prema tome, jednaka jedinici. Ukoliko interval ∆v smanjimo prelaskom na diferencijalnu formu dv relacije (3.13.) i (3.14.) možemo pisati u obliku: (3.15.)

dN v = f ( v ) dv N ∞

∫

f ( v ) dv = 1

0

U slučaju (3.15.) kažemo da je funkcija f(v) normirana na jedinicu. Koristeći ovu relaciju možemo izračunati faktor A, koji ne zavisi od brzine molekule v. Uvrštavanjem (3.12.) u (3.15.) dobivamo: ∞

∫

Ae

−

mv 2 kT

v 2 dv = 1

(3.16.)

0

odakle je faktor A jednak: A=

1 ∞

∫

e

mv 2 − 2 kT

= 2

v dv

1 I

(3.17.)

0

Integral u nazivniku relacije (3.17.) može se riješiti uvođenjem smjene: mv 2 2kT 2kT = x2; v = x; dv = dx 2kT m m Uvrštavanjem u integral1 dobivamo:  2kT  I =   m 

3/ 2 ∞

∫ 0

2

e − x x 2 dx =

2kT π m 4

Konačno funkcija raspodjele brzina molekula, poznata kao Maxwellova funkcija raspodjele ima oblik:

1

Vrijednost integrala uzet ćemo iz tablica,

∫e

− x2

x 2 dx =

π 4 6

4  m  f (v ) =   π  2kT 

3/ 2

e

−

mv 2 2 kT

v2

(3.18.)

Funkcija raspodjele je, u stvari, produkt dvije funkcije brzine, jedne 2 m eksponencijalne e −α v , gdje je α = i druge kvadratne, v2. Kad ih predstavimo 2 kT grafički kako je prikazano na crt.3.3 i izmnožimo dobit ćemo funkciju f(v).

Crt.3.3 Izračunajmo sada srednju vrijednost brzine molekula u nekom plinu od N molekula. Ona se definira kao odnos zbira svih brzina svih molekula i ukupnog broja molekula. Broj molekula čije su brzine u intervalu od v do v+dv je N f(v) dv. Zbir brzina svih tih molekula je v N f(v) dv. Da bismo našli zbir brzine svih molekula koje imaju sve moguće brzine, moramo integrirati ovu funkciju preko svih mogućih brzina od nule do beskonačnosti. Konačno zbir svih brzina svih molekula je: ∞

∫

vNf (v )dv

0

pa je srednja brzina v po definiciji: 1 v= N

∞

∫ 0

∞

vNf (v )dv = ∫ vf (v )dv

(3.19.)

0

uvrštavanjem vrijednosti za f(v) prema (3.18.) dobivamo:

7

4  m  v=   π  2kT 

3/ 2 ∞

mv 2 3 − 2 kT

∫

ve

0

3

4  m 2 dv =   I1 π  2kT 

(3.20.)

Integrali tipa, I1, za neparan n=2k+1, vode na tipski integral: ∞

I1 = ∫ e

− ax 2

0

k! 1! 1  2kT  x dx = k +1 = 2 =   2a 2a 2 m 

2

n

m Uvrštavanjem vrijednosti integrala I1 u (3.20.) dobivamo, 2kT srednju brzinu molekule plina: gdje je n=3; k=1; a =

v=

8kT mπ

(3.21.)

Na sličan način možemo dobiti srednju kvadratnu brzinu v 2 , koja je po definiciji: ∞

v 2 = ∫ v 2 f ( v )dv 0

ili: 4  m  v =   π  2kT  2

3/ 2 ∞

∫

mv 2 4 − 2 kT

v e

dv

(3.22.)

0

Ovaj integral se rješava na način: ∞

I 2 = ∫ x n e −ax dx = 2

0

1 ⋅ 3⋅... (2k − 1) 2 k +1 a

 1  k+   2

za n=2k, slijedi n=4, k=2; a = ∞

∫ 0

mv 2 4 − 2 kT

v e

dv =

3  2kT  π   m  8

=

3 π 2 3 a 5/ 2

m 2kT

5/ 2

Konačno srednji kvadrat brzine molekule v2 =

3kT m

(3.23.)

8

Ovu istu relaciju za srednju kvadratnu brzinu dobili smo ranije iz srednje kinetičke energije translatornog gibanja. Izračunat ćemo sada najvjerojatniju brzinu molekula, tj. onu brzinu koja je najviše zastupljena među molekulama idealnog plina. Matematički to je jednostavno, treba naći maksimum funkcije f(v) čiji nam je analitički izraz poznat. Prema tome, da bismo našli vnv moramo prvi izvod funkcije f(v) izjednačiti sa nulom: d d  4 f (v ) =  dv dv  π

 m     2kT 

3/ 2 2

v e

−

mv 2 2 kT

 =0 

tj. 3

mv d 4  m  2  − 2 kT  mv 2 1 − f (v ) =    2v dv π  2kT    2kT

  = 0  Ovaj izvod je jednak nuli, kad je izraz u uglastoj zagradi jednak nuli, tj. mv 2 −  mv 2   = 0 2ve 2 kT 1 −  2kT  2

mv 2 Gornja jednadžba je zadovoljena ili za v=0, ili za v=∞, ili za 1 − = 0. 2 kT Jasno je da prve dvije vrijednosti ne odgovaraju maksimumu funkcije raspodjele. 2 mv nv Prema tome, vrijednost najvjerojatnije brzine se određuje iz uvjeta:1 − =0 2kT odakle je: v nv =

2kT m

(3.25.)

Uspoređivanjem relacija (3.25.), (3.21.) i (2.18.) dobivamo odnos između brzina: v nv : v: v ef = 2:

8 :3 = 11131 : , : ,22 π

Vidi se da razlika između ove tri vrijednosti nije velika, i srednja i efektivna brzina su dosta bliske najvjerojatnijoj brzini molekule. Ako vrijednost najvjerojatnije brzine uvrstimo u izraz f(v), (3.18.) dobit ćemo maksimalnu vrijednost funkcije f(v), crt.3.4 f ( v nv ) = f max =

m 4 ≈ e 2π kT

m T

(3.26.)

9

Crt.3.4 Iz relacija (3.25.) i (3.26.) slijedi da se pri povećanju temperature maksimum krivulje pomjera u desno i postaje manji. To se dešava i kod plinova čija je masa molekula manja, tj. pri smanjenju mase molekula. Na crt.3.4. uspoređene su tri krivulje raspodjele koje se odnose na različite temperature T1, T2, T3 istog plina (ista masa m). Može se smatrati da se radi o raspodjelama tri razna plina, dakle sa različitim masama molekula m1, m2 i m3, ali pri istoj temperaturi. Pri tom za temperature vrijedi odnos: T1 < T2 < T3 a za mase molekula plinova vrijedi odnos: m1 > m2 > m3 Pri svemu ovome, površina koju bilo koja od krivulja raspodjele zaklapa s vosom, zbog uvjeta normiranja je ista i jednaka jedinici.

3.4. Raspodjela molekula idealnog plina po energijama Kinetička energija translacije molekule mase m i brzine v jednak je: E=

1 2 mv 2

(3.27)

10

Često je korisno da se raspolaže jednim izrazom za broj molekula koje imaju kinetičku energiju translacije u određenom, unaprijed danom opsegu, između E i E + dE. Iz relacije (3.27.) je: dE = mv dv tj. dv =

dE = mv

dE 1/ 2 = ( 2mE ) dE 2E m m

(3.28.)

Polazeći od raspodjele molekula po brzinama:  m  dN ( v ) = f ( v ) = 4π   N  2π kT 

3/ 2

e

−

mv 2 2 kT

v 2 dv

Analogno za funkciju raspodjele energija:  m  dN ( E ) = ϕ ( E ) = 4π   N  2π kT 

3/ 2

e

−

E kT

2E m

dE 2 mE

(3.29.)

Sređivanjem relacije (3.29.) dobivamo:

ϕ (E) =

2

π ( kT )

3/ 2

e

−

E kT

E 1/ 2

(3.30.)

Ako sada pomoću funkcije raspodjele ϕ(E) izračunamo srednju energiju po formuli: ∞

E = ∫ Eϕ ( E )dE

(3.31.)

0

Dobit će se rezultat, već poznata vrijednost. E=

3 kT 2

(3.32.)

Maxwellova funkcija raspodjele je, u stvari, samo specijalan slučaj općeg  energija  principa raspodjele koji je izveo Boltzmann, gdje odnos   nije  kT  ograničen na kinetičku energiju translacije. Upravo zbog tog uopćavanja ova funkcija raspodjele se često naziva Maxwell-Boltzmannova raspodjela, koja vrijedi za sisteme jednakih čestica, u kojima se može zanemariti međudjelovanje čestica, koje se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži u nekom potencijalnom polju sile.

11

ELEKROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja za 11. sedmicu nastave

3.5 Srednja dužina slobodnog puta d- efektivni dijametar molekule σ-efektivni presjek

σ = π d2

d

Vjerovatnoća da molekula pređe bez sudara put l je

W(l) = e –l/λ

Gdje je λ srednji slobodni put koji je λ = vsr / ν = 1/ 2 πnd2 ν – je frekvencija sudara , a n broj molekula u jedinici volumena Pošto je pritisak p= n k T to je λ~ 1/p što znači veći pritisak , kraći put između dva sudara.

3.6 Transport mase i transport energije Difuzija je proces spontanog izjednačavnja koncentracija uslijed termičkog kretanja molekula u smjesi dvije ili više različitih vrsta gasova.

1

To je transportna pojava koja opisuje prenos čestica supstance sa jednog mjesta na drugo, kao posljedica postojanja gradijenta koncentracije. Fluks čestica N i kroz neku površinu S dat je Fikovim zakonom: Ni =-D a fluks mase je Mi =-D

dni dx

S

dρ i S dx

D je koeficijent difuzije koji je v sr λ 3 Kad postoji gradijent temperature doći će do transporta energije D=

∆Q=-χ(

∆T )∆S∆t ∆x

Koeficijent toplotne provodljivosti χ je χ=

1 j n o v sr λ k 3 2

gdje je n o -- koncentracija v sr – srednja brzina λ -- srednji slobodni put k –Bolcmanova konstanta j – broj stepeni slobode Toplota se prenosi u pravcu opadanja temperature.

4. PRENOŠENJE TOPLOTE Postoje tri načina prenošenja toplote: „ Provođenje ( kondukcija ) „ Strujanja ( konvekcija ) „ Zračenje ( radijacija ) Kondukcija ili provođenje toplote vrši se u tijelima bez njihovog kretanja i to se objašnjava molekularno –kinetičkom teorijom. Kinetička energija molekula se putem sudara prenosi sa molekule na molekulu, te se na taj način javlja protok toplote kroz tijelo, od mjesta više temperature do hladnijih dijelova. Jednačina provođenja toplote (Fourierov zakon ) : 2

dQ = - χ dS grad T dt

Toplotni fluks q je q=

dq = - χ dS grad T dt

Jasno je da je brzina proticanja toplote kondukcijom proporcionala gradijentu temperature. Posmatrajmo tijelo oblika paralelepipeda na primjer neku ploču ili štap, dužine L i površine poprečnog presjeka S na čijim krajevima postoji razlika temperature ∆ T . Tada će toplotni fluks biti : L q = χ S ( T2 – T1 ) / L T1

T2

a) Provođenje toplote kroz tijelo sa više slojeva (zidova ) Tx

Neka je zid sastavljen od dva različita materijala debljine d1 i d2 , a temperatura na dodirnoj površini je Tx : Onda je toplotni fluks kroz površinu S jednak : q

T2

T1 χ1 d1

q=

χ 1 S (T2 − Tx ) d1

q=

χ 2 S (Tx − T1 ) d2

χ2 d2

3

χ1 T + d1 2 Tx = χ1 + d1 q=

q=

χ2 T d2 1 χ2 d2

S (T2 − T1 ) d1 d 2 + χ1 χ 2 S (T2 − T1 ) n d ∑ χi i =1 i

za n-slojeva

b) Protok toplote kroz cilindričnu cijev

q r T2

T1

a

q

T2>T1

q = − χS

dT dr

b

STACIONARAN TOK S=2πrL

q = − χ 2πrL

dT dr

dr = −2πχLdT r b T1 dr q ∫ = −2πχL ∫ dT a r T2 q

q=

2πχL(T2 − T1 ) b ln a 4

Konvekcija ili strujanje je način prenošenja toplote putem kretanja materijala najčešće nekog fluida. Strujanjem se prenose molekule sa jednog mjesta na drugo a sa njima i toplota. To je vrlo čest način prenošenja toplote na primjer kod centralnog grijanja, razne struje u okeanima, razni vjetrovi u atmosferi su vrsta konvekcije . q=hS∆T gdje je h koeficijent kovekcije . Detaljnija analiza konvekcije vodi preko složenih zakona dinamike fluida što nije predmet ovog kursa. Zato ćemo navesti samo nekoliko primjera konvekcije. Zračenje je treći oblik prenošenja toplote, gdje se toplota ne prenosi direktno već posredstvom elektromagnetnih talasa ( valova).Toplota prvo prelazi u energiju zračenja koja se brzinom svjetlosti prenosi do tijela u kojem se ona apsorbuje i ponovo prelazi u toplotnu energiju. Za prenošenje toplote zračenjem nije potrebna nikakva supstanca jer elektromagnetni valovi prolaze i kroz vakuum. O ovom obliku prenošenje toplote govorit ćemo detaljnije u slijedećem poglavlju.

5.TOPLOTNO ZRAČENJE Toplotno ( toplinsko ) zračenje nastaje kada atomi ili molekule tijela, pobuđeni termičkim kretanjem, emitiraju elektromagnetske valove. Zračenja koja nastaju na račun drugih oblika energije, poznata su pod nazivom luminiscencije. Fosfor koji oksidira u zraku zrači (svijetli) na račun energije koja se oslobađa u kemijskoj reakciji, taj oblik zračenja naziva se kemiluminiscencija. Zračenje koje nastaje pri pražnjenju u plinovima naziva se katodna luminiscencija. Toplinsko zračenje emitiraju sva tijela i to na svim temperaturama od apsolutne nule. Međutim, spektralni sastav i intenzitet zračenja zavisi i od temperature i prirode izvora. Toplinsko zračenje je elektromagnetski proces. Smatra se da toplotni valovi imaju valne dužine u intervalu od 380 nm do 40.000 nm. Okružimo tijelo koje zrači neprobojnim omotačem sa idealno reflektirajućom površinom, i evakuirajmo unutrašnjost. Zračenje odbijeno od omotača apsorbira se kad padne na tijelo (djelomično ili u potpunosti). Slijedi neprekidna izmjena energije između tijela i zračenja koje ispunjava omotač. Ako raspodjela energije između tijela i zračenja ostaje nepromijenjena za svaku valnu dužinu, stanje sistema tijelo-zračenje biće ravnotežno. Eksperiment pokazuje da je jedini oblik zračenja koji može da se nalazi u ravnoteži sa tijelom koje zrači, toplotno zračenje, svi ostali oblici zračenja (luminiscencije) su neravnotežni. Pretpostavimo da je ravnoteža između tijela i zračenja narušena i tijelo zrači više energije nego što apsorbira. Tada će unutrašnja energija tijela da se smanjuje, što dovodi do sniženja temperature, to uvjetuje smanjenje energije koju zrači tijelo. Temperatura tijela će se smanjivati sve dok se količina izračene energije ne izjednači sa apsorbiranom energijom. Ako se ravnoteža naruši na suprotnu stranu, tj. količina izračene energije bude manja od apsorbirane, temperatura raste, sve dok se ne uspostavi ravnoteža. 5.1. Kirchhoffov (Kirhof) zakon Da bi okarakterizirali toplinsko zračenje koristit ćemo veličinu fluksa (toka) energije, koji se mjeri u vatima. Fluks energije, koji emitira jedinica površine tijela koje zrači,

5

naziva se energetska jakost ili intenzitet zračenja tijela (I), ili to je energija koju ispušta jedinična površina u jedinici vremena:

I=

dΦ  W    dS  m2 

(5.1.)

Zračenje se sastoji od različitih frekvencija ω. Označimo fluks energije, koji emitira jedinica površine tijela u intervalu dω s dIω. Za malu veličinu intervala dω, fluks dIω bit će proporcionalan s dω:

dIω = eω ⋅ dω

(5.2.)

gdje je eω emisiona moć tijela. Eksperiment pokazuje da emisiona moć zavisi od temperature, znači eω je funkcija temperature i frekvencije: ∞

Iω ,T = ∫ dIω ,T = ∫ eω ,T dω

(5.3.)

0

Zračenje se često karakterizira sa valnom dužinom λ umjesto frekvencijom ω. Odresku dω odgovara interval dλ. Veza između valne dužine i kružne frekvencije je

λ=

2π c . Diferenciranjem, dobiva se: ω

2π c λ2 dλ = − 2 dω = − dω ω 2π c

(5.4.)

Predznak minus, nema bitnog fizikalnog značenja, on samo ukazuje da porastom jedne veličine dolazi do smanjivanja druge. Ovaj minus nećemo dalje pisati. Intenzitet zračenja koji otpada na interval dλ može se po analogiji predstaviti u obliku:

dI λ = eλ dλ

(5.5.)

Ako su intervali dω i dλ vezani relacijom (5.4.) to se dIω i dIλ podudaraju:

eω dω = eλ dλ zamjenom dλ iz relacije (5.4.) dobit ćemo:

eω dω = eλ

2π c λ2 d ω = e dω λ ω2 2π c

2π c λ2 eω = eλ 2 = eλ ω 2π c

(5.6.)

6

Neka na elementarnu površinu tijela, pada fluks energije elektromagnetskog zračenja frekvencije iz intervala dω. Dio tog fluksa dΦ’ω apsorbirat će tijelo. Bezdimenzionalna veličina:

aω ,T =

dΦ'ω dΦ ω

(5.7.)

naziva se apsorpciona moć tijela. Apsorpciona moć tijela je također funkcija temperature i frekvencije. Po definiciji aω,T ne može da bude veće od 1. Tijelo za koje važi aωT=1 naziva se apsolutno crno tijelo. Tijelo za koje važi, aωT<1, naziva se sivo tijelo. Između emisione i apsorpcione moći bilo kojeg tijela postoji određena veza. Uzmimo za primjer ovaj eksperiment. Neka se unutar zatvorenog omotača, koji se održava na stalnoj temperaturi T, nalazi nekoliko tijela. Šupljina unutar omotača je evakuirana tako da je moguća izmjena energije između tijela međusobno i između tijela i omotača, samo putem emisije i apsorpcije elektromagnetnih valova, crtež 5.1

T = const.

Crtež 5.1 Eksperiment pokazuje da će takav sistem, kroz neko vrijeme dospjeti u stanje toplotne ravnoteže, sva tijela će imati istu temperaturu. U takvom stanju tijelo koje ima veću emisionu moć eωT, gubi sa jedinične površine u jedinici vremena više energije nego tijelo koje ima manju eωT. Kako se pri tome temperatura tijela ne mijenja, to tijelo koje emitira više energije mora više i apsorbirati. Znači, što je veća emisiona moć eωT to je veća i apsorpciona moć aωT. Odavde slijedi relacija:

 eωT   eωT  e    =  =  ωT  =...  aωT  1  aωT  2  aωT  3

(5.8.)

Na osnovu ovih razmatranja Kirchhoff je formulirao slijedeći zakon: Omjer emisione i apsorpcione moći ne zavisi od prirode tijela, nego je za sva tijela jedna te ista univerzalna funkcija frekvencije i temperature.

eωT = f (ω , T ) aωT

(5.9.)

Pošto je po definiciji aωT =1 za crno tijelo, znači:

7

(eω ) T

A.C.T .

= f (ω , T )

(5.10.)

Znači univerzalna Kirchhoffova funkcija f(ω,T) nije ništa drugo nego emisiona moć apsolutno crnog tijela. U teorijskim radovima obično se koristi f(ω,T), a u eksperimentalnim radovima ϕ(λ,T). Veza između ovih funkcija može se dobiti analogijom prema (5.7.):

2π c λ2 f (ω , t ) = 2 ϕ (λ , T ) = ϕ (λ , T ) ω 2π c

(5.11.)

ili

ϕ (λ , T ) =

2π c  2π c  f ,T  λ2  λ

f (ω , T ) =

2π c  2π c  ϕ ,T  ω2  ω

Apsolutno crnog tijela nema. Čađ ili platinsko crnilo imaju aωT blisko jedinici samo u ograničenom intervalu frekvencija, za daleku infracrvenu oblast to ne važi. Možemo napraviti uređaj sa osobinama apsolutno crnog tijela. Takav uređaj predstavlja zatvorenu šuplju loptu sa malim otvorom. Zračenje koje uđe unutra, prije nego što izađe iz otvora, trpi mnogostruka odbijanja, tako da se jedan dio energije svaki put apsorbira, dok se praktično ne apsorbira sva energija. Ovakva šupljina ako se održava na konstantnoj temperaturi po svom sepktralnom sastavu zračenja ponaša se kao apsolutno crno tijelo. Razlažući ovo zračenje pomoću spektralnog aparata može se eksperimentalno odrediti oblik funkcije f(ω,T) ili ϕ(ω,T), Rezultati ovakvih eksperimenata dati su na crtežu 5.2 različite krivulje odgovaraju različitim temperaturama apsolutno crnog tijela. Površina koju obuhvata krivulja ϕ(λ,T) predstavlja intenzitet zračenja apsolutno crnog tijela za odgovarajuću temperaturu.

8

ϕ(λ,T)

λ(µm) Crtež 5.2

9

ELKTROTEHNIČKI FAKULTET   SARAJEVO                 

INŽENJERSKA FIZIKA II -predavanja-

TRANSPORTNE POJAVE izvođenja

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II - predavanja za 13.sedmicu nastave-

5.2. Stefan-Boltzmannov i Wienov zakon Teoretsko objašnjenje zračenja apsolutno crnog tijela imalo je ogroman značaj za razvoj moderne fizike, ono je dovelo do pojma kvanta energije. Jožef Štefan1 je na osnovu eksperimentalnih rezultata za siva tijela došao do zaključka da je intenzitet zračenja proporcionalan četvrtom stupnju apsolutne temperature. Boltzmann2 (Bolcman) je na osnovu termodinamičkih postavki, teoretski dobio za intenzitet zračenja apsolutno crnog tijela vrijednosti: 

I   f  , T d   T 4

(5.12.)

0

gdje je  konstanta, a T apsolutna temperatura. Ovim je pokazao, da Stefanov rezultat vrijedi samo za apsolutno crno tijelo. Relacija (5.12.) poznata je pod imenom Stefan-Boltzmannov zakon, a konstanta  naziva se Stefan-Boltzmannova konstanta i ima vrijednosti

  5,7  10 8

W . m2 K 4

Wien3 (Vin) je 1893. godine koristeći pored termodinamike i elektromagnetsku teoriju, pokazao da funkcija spektralne raspodjele treba da ima oblik:

 f  , T    3 F   T

(5.13.)

gdje je F nepoznata funkcija omjera frekvencije i temperature. Izračunajmo intenzitet zračenja apsolutno crnog tijela koristeći Wienovu funkciju: 

 I    3 F   d T 0

(5.14.)

1

Jožef Štefan (1835-1893), slovenski fizičar, poznat po radovima iz eksperimentalne fizike. Ludvig Boltzmann (1844-1893), njemački fizičar, poznat po radovima iz statističke fizike I kinetičke teorije plinova. 3 W.Wien (1864-1928), njemački fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1911) 2

1

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Uvedimo smjenu:



 y;   T  y; d  Tdy , dobivamo:

T





I   T y F  y Tdy  T 3

3

0

4



y 3 F  y dy  T 4

(5.15.)

0

Vidimo da određeni integral u relaciji (5.15.) treba da bude jednak Stefan-

 . T

Boltzmannovoj konstanti , ali da bi ga izračunali moramo znati funkciju F 

Koristeći relaciju (5.11.) možemo dobiti Wienovu funkciju izraženu preko valne dužine: 3

2 c  2 c   2 c    ,T   2    F       T 

(5.16.)

ili

  , T  

1

5

F *   T 

gdje je F* nepoznata funkcija produkta   T . Iz posljednje relacije mogli bi naći vezu između valne dužine m kojoj pripada maksimum funkcije    , T  i temperature. Treba naći za koju m maksimum funkcije je jednak nuli:

 d  0    d   m

(5.17.)

Na osnovu eksperimentalnih podataka može se dobiti veza između valne dužine m i temperature. Na crtežu 5.3 vidimo da maksimumi krivulja spektralne raspodjele leže na krivoj:

 mT  b;

 m

b T

(5.18.)

Relacija (5.18.) poznata je pod imenom Wienov zakon pomjeranja, a b je Wienova konstanta pomjeranja, čija je vrijednost eksperimentalno određena i iznosi:

b  2,9  103 mK

(5.19.)

2

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

φ(λ, T )

T1 > T2 > T3 λ m1 < λ m2 < λ m3

T1

T2 T3

λ m1 λ m2 λ m3

λ

Crtež 5.3

5. 3. Rayleigh-Jeansova formula Rayleigh-Jeans (Reli i Džins) su pokušali da odrede funkciju f(,T), polazeći od teorema klasične statistike o ravnomjernoj raspodjeli energije po stepenima slobode. Oni su pretpostavili da na svako elektromagnetsko osciliranje otpada u srednjem energija jednaka

1 2  kT , tj. jedna polovina na električnu a druga polovina na magnetsku komponentu4. 2 Reyleigh-Jeansova funkcija spektralne raspodjele ima oblik:

2 f  , T   k T 4 2 c 2

4

Prema klasičnoj fizici na svaki oscilatorni stupanj otpada u srednjem energija

(5.20.)

1 kT, 2

gdje je k=1,38.10-23 J/K, Boltzmannova konstanta.

3

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

ili

  , T  

2 c



4

k T

Može se lako vidjeti da zadovoljava Wienov uvjet:

f  , T  

k

T

 3   4 c

(5.21.)

2 2

Izračunajmo intenzitet zračenja koristeći jednadžbu (5.20.), i integrirajmo po  u granicama od 0 do : 

I   f  , T d  0

kT 4 2 c 2





 3 d 

0

kT  3 4 2 c 2 3

 0



(5.22.)

Rezultat koji se dobije, poznat je pod imenom ultravioletna katastrofa i stoji u suprotnosti sa eksperimentom. Sa slike 5.4 vidimo da je Rayleigh-Jeansova formula u slaganju sa eksperimentalnim rezultatima samo za velike valne dužine (infracrveno područje) dok se za male valne dužine (ultravioletno područje), oštro razlikuje od eksperimenta. φ(λ, T )

R.J.

Eksperiment

1

2

3

4

5

6

7 λ ( μm )

Crtež 5.4

5.4. Planckova formula Izvođenje Rayleigh-Jeansove formule sa stanovišta klasične fizike je bez zamjerke, Međutim razilaženje ove formule sa eksperimentom, ukazuje na postojanje nekih zakonitosti koje nisu u suglasnosti sa pretpostavkama klasične statističke fizike i elektrodinamike. 1900. godine Max Planck5 (Plank) je uspio da pronađe oblik funkcije f(,T) koji točno odgovara eksperimentalno dobivenim rezultatima. Međutim, za ovo je trebalo napraviti pretpostavke koje 5

Max Planck (1858-1947), njemački fizičar, jedan od osnivača moderne fizike, dobitnik Nobelove nagrade (1918)

4

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

su u suprotnosti sa klasičnim predstavama i zahtijevati da se elektromagnetsko zračenje emitira u obliku energetskih porcija (kvanata) čija je veličina proporcionalna frekvenciji zračenja:

E  h  

(5.23.)

gdje je h (odnosno  ) Planckova konstanta, čija je vrijednost određena eksperimentalno i iznosi:

h  6.62  10 34 Js

(5.24.)

ili



h  1054 .  10 34 Js 2

Planckova konstanta ima dimenziju: (energija)  (vrijeme) = (količina kretanja)  (dužina) = (moment količine kretanja)6. Ako se energija emitira (apsorbira) u porcijama  , to znači da ukupna emitirana (apsorbirana) energija može da bude samo cjelobrojni umnožak kvanata energije, tj.:

En  n ; n  0,1,2,...

(5.25.)

Ovaj rezultat znači da, za razliku od klasičnog oscilatora koji oscilira pod djelovanjem elastične sile F=-kx, frekvencijom  

K i koji može da ima sve vrijednosti energije od 0 m

kx 2 , kvantni oscilator, može se nalaziti samo u stanjima sa energijom En  n . 2 Prema Plancku osnovno (najniže) stanje kvantnog oscilatora je 0, prvo više stanje je E1   , drugo E2  2 , itd.

do E 

Uvođenjem pojma kvatnog oscilatora i kvanta energije (5.23.) i (5.25.), Planck dolazi do rezultata da je srednja vrijednost energije zračenja frekvencije  jednaka:



E e

 kT

(5.26.)

1

gdje je k-Boltzmannova konstanta, T-apsolutna temperatura. Kada  teži nuli, tj. kada je   kT , e  / kT , možemo razviti u red: 

e kT  1 

2

 1       ... kT 2  kT 

(5.27.)

uvrštavanjem izraza (5.27.) u (5.26.) i zadržimo se na prva dva člana, dobivamo klasični oblik za energiju:

6

U mehanici se ova veličina naziva “djelovanje” pa se i Planckova konstanta naziva kvant djelovanja.

5

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

E  1

  kT  1 1 kT

(5.28.)

zračenja kT. Ako sada u Rayleigh-Jeansovoj formuli (5.20.) zamijenimo kT sa Planckovim izrazom za srednju energiju kvantnog oscilatora (5.26.) dobit ćemo Planckovu funkciju spektralne raspodjele energije, apsolutno crnog tijela f(,T):

f  , T  

 3 4 2 c 2

1 e

(5.29.)

 kT

1

ili

  , T  

2 hc 2



1

5

e

hc kT

1

Ova formula se podudara sa eksperimentom u intervalu od 0 do . Zadovoljava

    1 prelazi u Rayleigh-Jeansovu formulu.  , a za T kT

Wienov kriterij  3 F 

Izračunajmo intenzitet zračenja, koristeći Planckovu formulu (5.29.): 



I   f  , T d   0

0

 3 4 2 c 2

d e

 kT

(5.30.)

1

uvedimo smjenu:

x

 kT kT ;  x; d  dx kT  

(5.31.)

Dobit ćemo izraz:

k 4T 4 I 4 2 c 2  3





x3

0

dx e 1 x

(5.32.)

Integral u posljednjem izrazu može se izračunati7 i iznosi: 

 0

x3 4 dx  ex  1 15

(5.33.)

Uvrštavanjem vrijednosti (5.33.) dolazimo do Stefan-Boltzmannovog zakona.

I

 2k4 60c 2  3

T4   T4

(5.34.)

Odavde zamjenom brojčanih vrijednosti za konstantu, k=1,38x10-23 J/K, c=3x108 m/s i  =1,054x10-34 Js, dobit ćemo vrijednost za Stefan-Boltzmannovu konstantu: 7

Koristiti: Matematički priručnik, N.Bronštejn-K.A.Semendjajev

6

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

 teor  5,6696  10 8

W m2 K 4

(5.35.)





8 2 4 koja se dobro slaže s eksperimentom  exp  5,7  10 w / m K .

Da bi odredili Wienovu konstantu koristeći Planckovu formulu (5.29.), diferencirajmo funkciju  (,T) po i izjednačimo sa nulom:

 hc hc  kThc   kT   e 5  e  1     d  , T  2 c 2 h  kT   0 2 d 6  kThc   e  1  

(5.36.)

Vrijednosti =0 i =, koje zadovoljavaju jednadžbu (5.36.) odgovaraju minimumu funkcije  (,T). Vrijednost m, pri kojoj funkcija dostiže maksimum, anulira izraz u uglastoj zagradi brojnika. Ako se uvede oznaka:

hc x kTm

(5.37.)

dobiva se jednadžba:

xe x  5 e x  1  0

(5.38.)

ili

5  x  5(e x  1) Ova jednadžba je transcendentna i može se riješiti grafički y=5-x i y =5e-x Rješenje je: x=4.965 odnosno,

hc  4.965 kTm

(5.39.)

Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti za konstante h, c i k, dobivamo vrijednost Wienove konstante:

hc 4.965k b  2,897  10 3 mK

Tm 

(5.40.)

7

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnom vrijednošću b=2,886x10-3 mK. Izračunavanjem konstante  i b Plankova teorija je dobila punu potvrdu i predstavlja jedno od najznačajnijih dostignuća teorijske fizike.

5.5. Optička pirometrija U relacijama (529.), (5.34.) i (5.40.) pojavljuje se kao parametar temperatura tijela, koje zrači. Stoga se bilo koja od ovih relacija može koristiti za određivanje temperature užarenih tijela. Uređaji koji se baziraju na ovom principu nazivaju se optički pirometri. Oni se dijele na tri grupe: radijacioni pirometar, pirometar sjaja i kolor pirometar.

5.5.1. Radijacioni pirometar Shema radijacionog pirometra dana je na crtežu 5.5

Ob

Pr

Ok

Crtež 5.5 Uređaj se dovodi do tijela koje zrači, tako da oštra crtež površine koja zrači, dobivena objektivom Ob, potpuno prekriva prijemnik zračenja Pr. Kontrola se vrši pomoću okulara Ok. Kao prijemnik obično se koristi termočlanak (termopar). Po otklonu kazaljke na galvanometru može se odrediti temperatura tijela koje zrači. Uređaj se baždari prema apsolutno crnom tijelu, tako da za siva tijela radijacioni pirometar ne daje stvarnu temperaturu T, nego neku temperaturu Trad, pri čemu je intenzitet zračenja apsolutno crnog tijela I* jednak intenzitetu zračenja I ispitivanog tijela na njegovoj stvarnoj temperaturi T:

I * Trad   I T 

(5.41.)

Temperatura Trad naziva se radijaciona. Nađimo vezu između radijacione temperature sivog tijela i njegove stvarne temperature T. Označimo sa aT količnik intenziteta zračenja danog tijela I i apsolutno crnog tijela I* uzetih na istoj temperaturi. Tada se može pisati:

I  T   aT I *  T 

(5.42.)

8

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Uvrštavanjem te vrijednosti u (5.41.) dobiva se:

I *  Trad   aT I *  T 

(5.43.)

Prema relaciji (5.43.) dobivamo: 4 Trad  aT T 4

(5.44.)

Dakle, stvarna temperatura T jednaka je:

T

4

1 Trad aT

(5.45.)

Kako je aT za siva tijela manje od jedinice, to je stvarna temperatura veća od radijacione.

5.5.2. Pirometar sjaja Pirometar sjaja baziran je na poređenju zračenja svjetlećeg tijela sa zračenjem apsolutno crnog tijela na jednom te istom dijelu spektra . Obično se koristi interval u okolini =0,66 m, crveni dio spektra. . Ovaj uređaj sastoji se od polukružne žarne niti koja leži u ravni okomitoj na os uređaja. Objektiv Ob daje u toj ravni sliku površine ispitivanog emitera. Svjetlosni filter F propušta na okular Ok samo crvene zrake sa valnom dužinom blizu 0,66 m. Gledajući kroz okular, podešava se pomoću reostata R takvo žarenje niti da se njen sjaj podudara sa sjajem slike emitera, u tom slučaju nit “iščezava” u vidnom polju. Ovakav pirometar se još zove pirometar sa isčezavajućom niti. Uređaj se prethodno baždari prema apsolutno crnom tijelu. Za siva tijela uređaj daje tzv. temperaturu sjaja (Tsjaj). Da bi dobili stvarnu temperaturu potrebno je izvršiti određene korekcije. Na primjer za volfram na temperaturi T=3000 K i =0,66 m temperatura sjaja je Tsjaj=2700 K, a radijaciona Trad=2250 K.

5.5.3. Kolor pirometar Za siva tijela emisiona moć može se napisati u obliku:

e  , T   aT    , T 

(5.46.)

gdje je aT=const. Prema tome, maksimum emisione moći sivog tijela na temperaturi T odgovara istoj valnoj dužini m, kao i kod apsolutno crnog tijela na toj temperaturi. Stoga, ako je određeno m, može se temperatura sivog tijela izračunati. Ovako nađena temperatura naziva se kolor temperatura. Maksimum u spektru Sunčevog zračenja, prije prolaska kroz Zemljinu atmosferu odgovara valnoj dužini m=0,47 m. Uvrštavanjem u (5.40.) dobivamo za kolor temperaturu Sunca vrijednosti:

TKOLOR 

b

m

 6000 K

(5.47.)

9

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Radijaciona temperatura Sunca dobiva se približno jednaka 5800 K. Mala razlika između kolor i radijacioane temperature ukazuje na to da je površina Sunca po svojim osobinama bliska apsolutno crnom tijelu. Treba napomenuti da za tijela čiji karakter zračenja se razlikuje od zračenja svih tijela (“hladno zračenje”), pojam kolor temperature gubi fizikalni smisao.

10

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA II --Predavanja--

12. KVANTI ELEKTROMAGNETSKOG ZRAČENJA (FOTONI) 12.1. Zakočno rendgensko zračenje U prošlom poglavlju vidjeli smo da je za objašnjenje toplinskog zračenja bilo potrebno uvesti hipotezu (Planck) o emisiji elektromagnetskog zračenja u obrocima hω . Kvantna priroda zračenja potvrđuje se također postojanjem kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Rendgenske zrake nastaju pri bombardiranju čvrstih meta brzim elektronima. Na slici 12.1. dana je shematski prikazana elektronska rendgenska cijev 1 .

Rendgenske 2 zrake stvaraju se u jonskim ili elektronskim cijevima. Mi ćemo opisati elektronsku rendgensku cijev jer je suvremenija i nalazi se u širokoj primjeni. Kod ovog tipa rendgenske cijevi emisija elektrona je termoelektronska, na principu zagrijavanja katode. Katoda (K) je u obliku spirale (volfram) koja se zagrijava do usijanja, posebnim strujnim kolom. Na suprotnoj strani katode u cijevi u kojoj je visoki vakuum (oko 10-5 Pa) nalazi se anoda (A). Između anode i katode priključen je visoki napon. Slobodni elektroni nastali pod djelovanjem električnog polja kreću se ubrzano prema anodi sa kojom se sudaraju. Na mjestu sudara nastaju rendgenski ili X-zraci.

1

Ovo je shema prve rendgenske cijevi, sada su u upotrebi cijevi od metala s otvorima za Xzrake. 2 W.C. Rontgen (1845-1923), njemački fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1901).

1

Veći dio energije elektrona izdvaja se na anodi (antikatodi) u obliku toplote; u zračenje se pretvara samo 1-3% energije. Cijevi velike snage treba intenzivno hladiti. Obično kroz tijelo anode cirkulira tečnost za hlađenje. Eksperiment pokazuje da se intenzivno zračenje može dobiti samo pri naglom kočenju brzih elektrona. Za ovo na rendgensku cijev treba dovesti napon više od 50 kV. Kod takvog napona elektron postiže brzinu reda veličine 0,4 c, kod 50 MV brzina elektrona iznosi 0,99995 c. Takvi elektroni daju izuzetno male valne dužine X-zračenja. Za dovoljno veliku brzinu elektrona, osim zakočnog zračenja (tj. zračenja uvjetovanog kočenjem elektrona) pobuđuje se i karakteristično zračenje. Karakteristično zračenje izazvano je pobuđivanjem unutrašnjih elektrona omotača atoma, tijela mete (antikatode). Prema klasičnoj elektrodinamici, pri kočenju elektrona, treba da se jave valovi svih valnih dužina od nule do beskonačnosti. Valna dužina kojoj odgovara maksimum zračenja treba da se smanjuje sa povećanjem brzine elektrona, tj. napona u cijevi, U. Na slici 12.2. prikazane su eksperimentalne krivulje raspodjele intenziteta zakočnog zračenja

dI po valnim dužinama λ dλ

za razne vrijednosti napona U.

dI dλ

λ(nm) Slika 12.2. Kao što se vidi na slici 12.2. postoje odstupanja od zahtjeva klasične elektrodinamike. Neslaganje se sastoji u tome da funkcija raspodjele ne ide prema koordinatnom početku nego se prekida kod neke konačne vrijednosti λm. Eksperimentalno je utvrđeno da je kratkovalna granica zakočnog zračenja povezana s naponom relacijom:

λmin =

1239 U (V )

[ nm]

(12.1.)

gdje je λmin izraženo u nm a napon U u voltima. Postojanje kratkovalne granice može se objasniti kvantnom prirodom zračenja. Ako prihvatimo da zračenje nastaje na račun energije 2

koju elektron gubi pri kočenju, to veličina kvanta hω ne može da bude veća od kinetičke energije elektrona. Prelazeći potencijalnu razliku u električnom polju rendgenske cijevi, elektron vrši rad koji je jednak kinetičkoj energiji:

mv 2 = eU 2

(12.2.)

gdje je e=1,6 x 10-19 C, a U napon. Iz ovoga slijedi:

hω ≤ eU

(12.3.)

Pošto maksimalnoj frekvenciji odgovara minimalna valna dužina dobivamo:

ω max = λmin =

eU h 2π c

ω max

(12.4.)

hc = eU

Zamjenom vrijednosti konstanti h, c i e dobivamo relaciju (12.1.) koju je trebalo objasniti:

λmin =

1239 U (V )

[ nm]

Spektar zakočnog zračenja je kontinuiran i ne zavisi od (materijala) supstance od kojeg je napravljena anoda pa se obično zove bijelo zračenje (po analogiji sa spektrom Sunčevog zračenja). Ukoliko je energija elektrona jednaka kritičnoj veličini ili veća od nje nastaje zračenje koje se naziva karakteristično zračenje, koje nastaje kao posljedica izbijanja elektrona iz unutrašnjih orbita atoma materijala od kojeg je napravljena anoda. Elektroni vrlo velikih brzina udaraju u anodu, i pobuđuju atom, upražnjeno mjesto se popunjava elektronima iz vanjskih orbita) praćeno je emisijom X-zraka karakterističnog spektra. Na slici 12.3. dat je karakteristični spektar. Objašnjenje karakterističnog spektra objašnjava kvantna teorija o čemu će biti riječi u slijedećim poglavljima.

3

12.2. Fotoelektrični efekt Fotoelektrični efekt ili fotoefekt naziva se emisija elektrona iz materije pod djelovanjem svjetlosti. Ovu pojavu otkrio je 1887. godine Hertz 3 , primijetivši da se preskakanje iskri između cinkovih kuglica znatno olakša ako se jedna kuglica osvijetli ultraljubičastom svjetlošću. na slici 12.4. dana je shema uređaja za ispitivanje fotoefekta. Svjetlost prolazi kroz kvarcni prozor KP u evakuirani balon i osvjetljava katodu K, koja je napravljena od materijala koji se ispituje. Elektroni emitirani, uslijed fotoefekta, prelaze pod djelovanjem električnog polja na anodu A. Kao rezultat u električnom kolu teče struja koja se mjeri galvanometrom G. Napon između anode i katode može se mijenjati pomoću potenciometra P.

3

Heinrich Hertz (1857-1894), njemački fizičar, prvi eksperimentalno dobio elektromagnetske valove i time potvrdio Maxwellovu teoriju.

4

Na slici 12.5. prikazana je krivulja koja pokazuje ovisnost fotostruje i o naponu između elektroda U, pri konstantnom svjetlosnom fluksu Φ. Iz te krivulje se vidi da pri nekom velikom naponu, fotostruja postaje zasićena. Struja zasićenja se postiže kada svi elektroni koje emitira katoda dospijevaju na anodu. Jačina struje zasićenja izas određuje se prema broju elektrona koje emitira katoda u jedinici vremena pod djelovanjem svjetlosti. Za U=0, fotostruja ne iščezava. To služi kao dokaz da elektroni napuštaju katodu sa brzinom različitom od nule. Da bi fotostruja bila jednaka nuli, potrebno je dovesti napon kočenja Uk. Pri takvom naponu ni jedan od elektrona čak ni oni najbrži vm ne dospijevaju na anodu. Pri ovome možemo pisati da je:

1 mv m2 = eU k 2

(12.5.)

gdje je m-masa elektrona, a e-naboj elektrona. Na ovaj način, ako se izmjeri napon kočenja Uk, može se odrediti maksimalna vrijednost brzine fotoelektrona. Ako je spektralni sastav svjetlosti koja pada na katodu konstantan, jačina struje zasićenja izas je proporcionalna svjetlosnom fluksu Φ:

izas = k λ Φ

(12.6.)

gdje je kλ koeficijent proporcionalnosti. Eksperiment pokazuje da napon kočenja Uk ne ovisi o veličini svjetlosnog fluksa nego o frekvenciji. Sa slike 12.6. se vidi da u slučaju da se katoda obasja monokromatskom svjetlošću, napon kočenja se mijenja sa frekvencijom svjetlosti ω po linearnom zakonu:

U k = aω − ϕ

(12.7.)

gdje su a i ϕ konstante. Pomnožimo (12.7.) sa e i uvrstimo u relaciju (12.5.) dobit ćemo:

eU k =

1 mv m2 = e(aω − ϕ ) 2

(12.8.)

5

Iz posljednje relacije slijedi: elektroni mogu napustiti katodu pod djelovanjem svjetlosti kada je ispunjen uvjet:

aω ≥ ϕ ,

(12.9.)

ω ≥ ωo =

ϕ a

Za valnu dužinu dobiva se odgovarajući uvjet.

λ ≥ λo =

2π ca

(12.10.)

ϕ

Frekvencija ωo ili valna dužina λo, naziva se crvena granica fotoefekta. To je granična frekvencija pri kojoj je napon kočenja jednak nuli, slika 12.7.

Zakoni fotoefekta su u suprotnosti sa klasičnom valnom teorijom svjetlosti. Prema klasičnoj elektromagnetskoj teoriji, elektroni materije oscilirali bi proporcionalno s amplitudom svjetlosnih valova. Međutim, eksperiment pokazuje da brzina elektrona ne zavisi od amplitude svjetlosnih valova nego samo od frekvencije upadne svjetlosti. Albert Einstein je 1905. godine pokazao da se zakonitosti fotoelektričnog efekta mogu lako objasniti, ako se pretpostavi da se svjetlost apsorbira u istim obrocima (kvantima) hω , u kojima se prema Plankovom zakonu emitira.

6

Kada se svjetlosni kvant (foton) sudari sa elektronom koji se nalazi na površini metala ili neposredno ispod nje, on može da prenese svoju energiju na elektron. Elektron primi ili cjelokupnu energiju fotona ili ne primi nikakvu. U slučaju predaje energije, foton prestaje da postoji. Energija koju je elektron primio može da mu omogući da prođe kroz potencijalnu barijeru, ukoliko se kreće u dobrom pravcu. Prolazeći kroz potencijalnu barijeru elektron gubi određenu količinu energije W, koja je karakteristična za danu površinu i naziva se izlazni rad. Elektron koji polazi sa nekog udaljenijeg mjesta ispod površine može da izgubi veći iznos energije, ali maksimalna energija kojom elektron može da napusti površinu metala ravna je energiji fotona umanjenoj za veličinu izlaznog rada. Dakle maksimalna kinetička energija fotoelektrona izbačenih kvantima svjetlosti jednaka je:

1 2 mv m = hω − W 2

(12.11.)

Relacija (12.11.) je poznati Einsteinov zakon fotoelektričnog efekta. Lako je vidjeti da je ovaj zakon u suglasnosti sa Millikanovim 4 (Milikan) eksperimentalnim rezultatima, relacija (12.8.). Uporedjivanjem jednadžbi (12.8.) i (12.11.) dobivamo da je:

h = ea = etgα

(12.12.)

W = eϕ

Prema tome, iz tangensa nagibnog ugla na slici 12.7. može se odrediti Planckova konstanta h . Vrijednost za h dobivena na ovaj način podudara se sa rezultatima dobivenim iz spektralne raspodjele ravnotežnog toplotnog zračenja i kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Odsječak ϕ, koji pravi siječe na osi Uk daje izlazni potencijal za supstancu od koje je napravljena katoda. Einsteinova teorija također objašnjava i proporcionalnost struje zasićenja izas i upadnog fluksa Φ, relacija (12.6.). Naime, veličina svjetlosnog fluksa određena je brojem kvanata svjetlosti koji padaju na površinu u jedinici vremena. Istovremeno, broj oslobođenih elektrona treba da bude proporcionalan broju upadnih kvanata. Povećanje fluksa svjetlosti znači samo da, više fotona pada na katodu u jedinici vremena, što odgovara većem broju izbačenih fotoelektrona, ali maksimalna energija ostaje ista jer je i energija fotona ista. Granična frekvencija (crvena granica fotoefekta) danog materijala je ona frekvencija pri kojoj je energija fotona jednaka izlaznom radu materijala, tj. elektron mora da primi najmanje toliku energiju da bi se oslobodio površine. Osim vanjskog fotoefekta, kojeg smo izučavali, postoji također i unutrašnji fotoefekt, koji se primjećuje u dielektricima i poluvodičima. 12.3. Fotoni Da bi se objasnila raspodjela energije u spektru ravnotežnog toplinskog zračenja dovoljno je, kao što je pokazao Planck, pretpostaviti da se svjetlost emitira samo u kvantima hω . Da bi se objasnio fotoefekt dovoljno je pretpostaviti da se svjetlost apsorbira u istim takvim kvantima. Međutim, Einstein je išao dalje. On je pretpostavio da se svjetlost rasprostire u obliku diskretnih čestica, prvobitno nazvanih svjetlosni kvanti, a kasnije su te 4

Robert Andrews Millikan (1868-1953), američki fizičar. Dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1923)

7

čestice dobile naziv fotoni. Einsteinova hipoteza potvrđena je nizom eksperimenata. Foton treba shvatiti kao česticu u kojoj je koncentrirana energija elektromagnetskog polja, tj. česticu čija je energija jednaka:

E = hω =

2π hc

(12.13.)

λ

Energija fotona, zavisi samo od valne dužine, odnosno frekvencije elektromagnetskog zračenja. Foton valne dužine λ=550 nm ima energiju E=2,23 eV, dok energija fotona X-zraka leži u intervalu od 15 eV (λ=80 nm) do približno 100 MeV (λ=10-14 m). Suglasno teoriji relativnosti, čestici s energijom E odgovara masa, m=E/c2. Odavde se dobije da je masa fotona jednaka:

m=

hω c2

(12.14.)

S druge strane, ako u izraz za relativističku masu (10.43.) uvrstimo, za brzinu fotona brzinu svjetlosti, tj. v=c, nazivnik će biti jednak nuli. Istovremeno je, kao što se vidi iz (12.14.) masa fotona konačna. Ovo je moguće jedino u slučaju da je masa mirovanja mo, jednaka nuli, tj.:

m0

m=

1−

v2 c2

=

0 0

Znači, foton je čestica koja se bitno razlikuje od čestica kao što su elektron, proton i neutron, koji imaju masu mirovanja različitu od nule i koji se mogu nalaziti u stanju mirovanja. Foton nema mase mirovanja i može da postoji samo kad se kreće brzinom svjetlosti. impuls:

p=

Uvrštavanjem mo=0 u formulu (10.56.) dobiva se E=cp. Odavde slijedi da foton ima

E hω 2π h = = c c λ Uzimajući u obzir da je

(12.15.)

2π

λ

r

jednako valnom broju k, tj. modulu valnog vektora k ,

impuls fotona može se pisati u obliku vektora:

r r p = hk

(12.16.)

Iz postojanja impulsa fotona slijedi da svjetlost, koja pada na bilo koje tijelo, mora da vrši pritisak na to tijelo, koji je jednak impulsu koji fotoni predaju jedinici površine u jedinici vremena. Razmotrili smo niz pojava, u kojima se svjetlost ponaša kao struja čestica (fotona). Međutim, ne treba zaboraviti da se pojave kao što su interferencija i difrakcija svjetlosti, mogu objasniti samo na osnovu valnih pretpostavki.

8

Svjetlost iskazuje korpuskularno-valni dualizam: u nekim pojavama pokazuje se njena valna priroda i ona se ponaša kao elektromagnetski val, a u drugim pojavama, pokazuje se korpuskularna priroda svjetlosti i ona se ponaša kao tok fotona. Dualizam je karakterističan ne samo za svjetlosne čestice, već i za ostale čestice materije (elektrone, protone, neutrone, itd.) o čemu će biti govora kasnije. Da bi objasnili vezu između valne i korpuskularne slike, promatrat ćemo osvijetljenost neke površine. Prema valnoj teoriji osvijetljenost u nekoj točki površine proporcionalna je kvadratu amplitude svjetlosnog vala. Prema korpuskularnoj teoriji, osvijetljenost je proporcionalna gustoći fluksa fotona. Znači, između kvadrata amplitude svjetlosnog vala i gustoće fluksa fotona postoji direktna proporcionalnost. Nosilac energije i impulsa je foton. Kvadrat amplitude vala određuje vjerojatnost da foton padne u danu točku površine. Vjerojatnost dP da foton bude nađen unutar zapremine dV, koja u sebi sadrži promatranu točku, određena je izrazom: (12.17.)

dP = XA2 dV gdje je X koeficijent proporcionalnosti, A amplituda svjetlosnog vala. Veličina:

(12.18.)

dP = χA 2 dV naziva se gustoća vjerojatnosti. 12.4. Comptonov efekt

I pored uspješnog Einsteinovog objašnjenja fotofekta, veliki broj fizičara je smatrao da fotoni nisu fizička realnost. Točnije, i dalje se sumnjalo u korpuskularnost fotona, u njihovu individualnost u prostoru. Eksperiment kojeg je izveo A.Compton (Kompton) 1923. godine jasno je istakao korpuskularne osobine svjetlosti, nazvan je Comptonov efekt. Compton je istražujući raspršenje rendgenskih zraka na raznim supstancama (litij, berilij, grafit) primijetio da se raspršeni zraci, sastoje od dvije komponente: jedna sa nepromijenjenom valnom dužinom λ, i druga čija je valna dužina λ’ veća od valne dužine upadnog zračenja. Shema Comptonovog eksperimenta dana je na slici 12.8. Uzak snop monokromatskog rendgenskog zračenja pada na supstancu koja ga raspršuje. Spektralni sastav raspršenog zračenja ispituje se pomoću rendgenskog spektrografa sastavljenog od kristala i jonizacione komore. Eksperimentalno je pokazana slijedeća ovisnost:

Δλ = λ0 (1 − cos θ )

(12.19.)

gdje je Δλ=λ’-λ, θ ugao koji obrazuje smjer raspršenog zračenja i smjer prvobitnog snopa, λo je Comptonova valna dužina koja za elektrone ima vrijednost:

λ0 = 2,42 ⋅ 10 −12 m

(12.20.)

9

Comptonov efekt može se objasniti, ako se raspršenje promatra kao proces elastičnog sudara rendgenskih fotona s praktično slobodnim elektronima. Slobodnim, se mogu smatrati elektroni koji su najslabiji vezani za atom, čija je energija vezanja znatno manja od energije koju foton može da preda elektronu prilikom sudara. Suština eksperimenta sastoji se u slijedećem: neka na elektron, koji se nalazi u stanju r mirovanja, pada foton energije hω , i impulsa hk . Energija elektrona do sudara iznosi moc2(mo masa mirovanja), impuls je jednak nuli. Poslije sudara elektron će imati energiju mc2 r r i impuls mv , a energija i impuls fotona će se također promijeniti i iznosit će hω ’ i hk ’. Iz zakona o očuvanju impulsa (količine kretanja) i očuvanja energije slijede dvije relacije.

r r r hk = mv + hk '

(12.21.)

hω + m0 c 2 = hω '+ mc 2

Dijeljenjem druge jednadžbe sa c i kvadriranjem, ona se može dovesti u oblik:

( mc) 2 = ( m0 c) + ( hk ) 2 + ( hk ') − 2( hk )( hk ') + 2m0 ch( k − k ') 2

2

(12.22.)

Iz slike 12.8. slijedi da je:

( mv ) 2 = ( hk ) 2 + ( hk ') − 2( hk )( hk ') cos θ

(12.23.)

2

Oduzimanjem jednadžbe (12.23.) do (12.22.) dobiva se:

m2 (c 2 − v 2 ) = m02 c 2 − 2h 2 kk ' (1 − cos θ ) + 2 m0 ch( k − k ')

(12.24.)

Uzimajući u obzir relaciju (10.43.) lako možemo pokazati da je m2(c2-v2)=m2oc2. Zamijenimo ovo u gornju jednadžbu dobivamo:

m0 c( k − k ') = hkk ' (1 − cos θ )

(12.25.)

Pomnožimo relaciju (12.25.) s 2π i podijelimo s kk’ moc, dobivamo:

10

2π 2π 2π h (1 − cos θ ) − = k' k m0 c Pošto je

2π =λ k

i

(12.26.)

2π = λ ' , dobivamo formulu: k'

Δλ = λ '− λ =

2π h (1 − cos θ ) m0 c

(12.27.)

koja se podudara sa empirijskom formulom (12.19.). Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti h , mo i c dobiva se vrijednost za konstantu λo:

λ0 = 2,42 ⋅ 10 −12 m što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnim rezultatima (12.20.).

11

10. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI 10.1. Michelsonov eksperiment

Albert Einstein U želji da se sve pojave svedu na mehaniku, fizičari 19. vijeka zamišljali su da između vidljivih tijela postoji nevidljiva mehanička tvar (supstanca), eter. Napetosti, deformacije i oscilacije tog sredstva smatrani su uzorkom za sve fizičke fenomene kao što su gravitacija, svjetlost, električne i magnetske sile. Općenito se smatralo da eter miruje pa tako sva kretanja tijela možemo stavljati u odnos prema tom sustavu. Svjetlost u eteru ima brzinu 3 108 m/s. Promatrači koji se kreću različitim brzinama prema eteru morali bi mjeriti različite brzine svjetlosti. Ovo se lijepo primjećuje kad zvuka. Neka se voz kreće brzinom 30 m/s. Kada putnik u sredini otvorenog vagona da zvučni signal, zvuk se jednoliko širi kroz zrak brzinom 330 m/s. Putnik na početku voza udaljava se od zvuka, a putnik na kraju voza juri u susret zvuku. Za prednjeg putnika brzina zvuka je 300 m/s, a za zadnjeg 360 m/s. Isto bi to trebalo da važi za svjetlost ako ona predstavlja valno kretanje etera. Kretanje Zemlje kroz eter bila bi vjerna kopija kretanja voza kroz zrak. 1881. godine Michelson 1 (Majklson) je izveo precizne eksperimente, da utvrdi kretanje Zemlje kroz eter. Rezultati koji su dobiveni bili su začuđujući, svjetlost je u svim smjerovima imala istu brzinu. Michelsonovi eksperimenti su potresli temelje klasične mehanike. Konstantnost brzine svjetlosti ruši sve predstave o sabiranju brzina, prostora i vremena. Eksperiment koji je Michelson izveo poznat je pod imenom Michelsonov interferometar. Shema Michelsonovog interferometra dana je na crtežu 10.1. Iz izvora I izlazi svjetlost i pada na polupropusnu ploču P gdje se jedan dio reflektira okomito a drugi dio prolazi u prvobitnom smjeru. Obje zrake se reflektiraju na ogledalima 01 i 02 i vraćaju se do polupropusne ploče. Dužine okomitih krakova između ploče i ogledala su jednaka. Sjedinjene zrake ulaze u durbin gdje se promatra interferencija. Zamislimo da je Michelsonov interferometar postavljen tako da os aparata i pravac od izvora do ploče, leži u smjeru kretanja Zemlje, kroz eter. Jedna zraka ide od polupropusne ploče do ogledala i natrag. Izračunajmo vrijeme t potrebno da se pređe taj put. Svjetlost se u eteru širi brzinom c, a brzina Zemlje je v.

1

A.A. Michelson, američki fizičar, 1887. godine u suradnji s E.W. Morleyem pokušao dokazati postojanje etera

209

Kad svjetlost pođe od ploče P ogledalo se odmiče brzinom v. Svjetlost ne pređe put d nego još i vt za koliko se odmaklo ogledalo:

ct = d + vt

(10.1.)

znači vrijeme potrebno da svjetlost dođe do ogledala 01 iznosi:

t=

d c−v

(10.2.)

Kada se svjetlost vraća tada joj ploča dolazi u susret:

ct1 = d − vt1

(10.3.)

Crtež 10.1. znači vrijeme potrebno da se zrak svjetlost vrati iznosi:

t1 =

d c+v

(10.4.)

Ukupno vrijeme potrebno da svjetlosni zrak pređe u smjeru kretanja Zemlje iznosi:

210

t2 =

d d + c−v c+v

(10.5.)

odnosno,

t2 =

2d c

1 v2 1− 2 c

(10.6.)

Ako gornji izraz razvijemo u red 2 , za v<
t2 ≈

⎡ ⎛ v⎞ 2⎤ ⎢1 + ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ c ⎦ ⎣

2d c

(10.7.)

Promatrajmo sad svjetlosni zrak koji se kreće uzduž kraka koji stoji normalno na smjer kretanja Zemlje:

( ct )

2

3

= d 2 + ( vt3 )

2

(10.8.)

Vrijeme potrebno da zrak svjetlosti pređe od ploče P do ogledala 02 iznosi:

t3 =

d

(10.9.)

c − v2 2

Ukupno vrijeme potrebno da zrak svjetlosti ode do ogledala 02 i vrati se nazad iznosi:

d

t4 = 2

c −v 2

2

=

2d c

1

(10.10.)

v2 1− 2 c

Ako izraz (10.10.) razvijemo u red za, v<
2d t4 ≈ c

⎡ 1 ⎛ v⎞ 2⎤ ⎢1 + ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎣ 2 c ⎦

(10.11.)

Vremenska razlika između zraka svjetlosti koje od ploče P idu normalno jedna na drugu iznosi:

2

(1 ± x )

−m

⎛ m( m + 1) 2 v2 ⎞ = 1 m mx + x m...; ⎜1 − 2 ⎟ 2! c ⎠ ⎝

−1

≈1+

v2 ; m > 0; x < 1 c2

211

Δt = t 2 − t 4 =

d ⎛ v⎞ ⎜ ⎟ c ⎝ c⎠

2

(10.12.)

Ova razlika u vremenu nužno dovodi do interferencije zraka. Ako obrnemo interferometar za 900 tada će vremenska razlika iznositi:

d ⎛ v⎞ Δt = t 2 − t 4 = − ⎜ ⎟ c ⎝ c⎠

2

(10.13.)

Razlika optičkih dužina putova iznosi:

ΔL = 2c( t 2 − t 4 )

⎛ v⎞ = 2d ⎜ ⎟ ⎝ c⎠

2

(10.14.)

Ako bi se razlika vremena izmijenila za jedan period svjetlosnih oscilacija, interferenciona crtež bi se promijenila za jednu prugu. Da bi dobili kolika treba da bude promjena interferencionih pruga treba podijeliti ukupnu razliku optičkih putova sa valnom dužinom upotrijebljene svjetlosti:

ΔL

2d = ΔN = c λ

2

⎛ v⎞ ⎜ ⎟ ≈ 0.4 ⎝ c⎠

(10.15.)

Brzina Zemlje iznosi v = 3× 10 4 m/s, znači v/c ≈ 10-4. U Michelsonovom eksperimentu dužina kraka iznosila je d = 11 m, a valna dužina upotrebljavane svjetlosti λ = 590 nm. Uvrštavanjem ovih vrijednosti dobijemo da se crtež interferencije treba promijeniti za 0,4 pruge. Mada je preciznost uređaja omogućavala da se registrira pomak pruga reda veličine 10-2, nikakav pomak nije uočen. Eksperiment je ponovljen više puta ali rezultati su uvijek biti negativni. Eksperiment nije dokazao postojanje etera. Objašnjenje ovih eksperimentalnih činjenica dao je tek 1905. godine Albert Einstein (Ajnštajn), rušeći klasične predodžbe o prostoru i vremenu. 10.2. Galilejev princip relativnosti Galilejev princip relativnosti glasi: Sve mehaničke pojave dešavaju se u raznim inercijalnim sustavima referencije na isti način ili jednadžbe mehanike su invarijantne (nepromijenjene) u odnosu na transformacije koordinata i vremena s jednog inercijalnog sustava u drugi. Otkriće etera omogućilo bi izdvajanje specijalnog apsolutnog sustava referencije. Tako da se kretanje ostalih sustava moglo razmatrati u odnosu na taj apsolutni sustav. Prema Galileju nikakav eksperiment nije moguće napraviti da bi se utvrdilo da li dati sustav miruje ili se ravnomjerno pravolinijski kreće. 10.3. Specijalna teorija relativnosti

212

Einstein je došao do zaključka da svjetski eter, tj. specijalna materijalna sredina koja bi služila kao apsolutni sustav referencije ne postoji. U suglasnosti sa ovom tvrdnjom Einstein je proširio Galilejev mehanički princip relativnosti na sve fizičke pojave bez izuzetka. Prema Einsteinovom principu relativnosti: Svi prirodni zakoni su invarijantni (nepromijenjeni) u odnosu na prijelaz iz jednog inercijalnog sustava referencije u drugi. Specijalna teorija relativnosti razmatra samo inercijalne sustave 3 . Einstein je također postulirao, u suglasnosti sa eksperimentalnim činjenicama (Michelson), da je: brzina svjetlosti u vakuumu u svim inercijalnim sustavima referencije jednaka i ne zavisi od kretanja izvora i prijemnika svjetlosti. Princip relativnosti i konstantnost brzine svjetlosti daje osnovu specijalnoj teoriji relativnosti, koja predstavlja, u suštini fizičku teoriju prostora i vremena. U klasičnoj mehanici prostor i vrijeme promatrali smo nezavisno jedno od drugog. Newton (Njutn) je smatrao da postoji apsolutni prostor i apsolutno vrijeme. Apsolutni prostor je po njemu bio obrađen bez ikakvog odnosa prema bilo čemu izvana, ostajući uvijek isti i nepokretan. O vremenu je Newton pisao: “Apsolutno, realno ili matematičko vrijeme samo po sebi i zbog svoje unutrašnje prirode teče ravnomjerno, bez obzira prema bilo čemu izvana”. U suglasnosti sa ovim smatralo se savršeno očiglednim da dva događaja koja su istovremena u nekom sustavu referencije budu istovremena i u svim ostalim sustavima referencije. Međutim, lako se može uvjeriti da se posljednja tvrdnja nalazi u suprotnosti s principom konstantnosti brzine svjetlosti. 10.4. Galilejeve transformacije Promatrajmo dva sustava koja se kreću jedan prema drugom konstantnom brzinom, crtež 10.2. Smjer kretanja neka se poklapa sa osom x. U početnom vremenskom trenutku t=0, neka se ishodišta podudaraju.

Crtež 10.2.

3

Sustav referencije u kojem važi prvi Newtonov aksiom zove se inercijalni sustav. Svaki sustav referencije koji se kreće u odnosu na neki inercijalni sustav pravocrtno i ravnomjerno je također inercijalni sustav.

213

Koordinati x’ pokretnog sustava K’ pripada koordinata u nepokretnom sustavu x:

x = x '+ vt ' = x '+ vt y = y' z = z'

(10.16.)

t = t' Jednadžbe (10.16) nazivaju se Galilejeve 4 transformacije. Ove jednadžbe daju prijelaz iz jednog inercijalnog sustava referencije u drugi. Promatrajmo neku točku koja se kreće duž ose x. Njena brzina nepokretnom sustavu dana je sa ux=dx/dt, a u pokretnom sustavu sa u’x=dx’/dt. Deriviranjem jednadžba (10.6.) dobijemo zakon slaganja brzina:

dx dx ' = + v; ux = u' x + v dt dt ili dx ' dx = − v; u' x = ux − v dt dt

(10.17.)

Kada deriviramo dva puta Galilejeve transformacije po vremenu dobivamo ubrzanje:

d 2 x d 2 x' = 2 dt 2 dt

(10.18.)

Znači, ubrzanje u jednom i drugom sustavu je isto. Slijedi da je Newtonov zakon kretanja invarijantan prema Galilejevim transformacijama:

d 2x d 2 x' m 2 = F; m 2 = F dt dt

(10.19.)

Michelsonov eksperiment je pokazao da zbrajanje brzina s brzinom sustava promatranja ne vrijedi za svjetlost. Prema tome Galilejeve transformacije ne vrijede za svjetlost. Znači moramo izabrati takve transformacije između inercijalnih sustava pa da brzina svjetlosti ostane konstantna. Osnovne pretpostavke Galilejevih transformacija koja je sadržana u apsolutnoj istodobnosti mora se odbaciti. Uzmimo slijedeći primjer: pored nas prolazi voz sa tri vagona. putnik koji se nalazi u srednjem vagonu, emitira svjetlosni signal. Gledano sa Zemlje putnici koji se nalaze u prvom vagonu odmiču svjetlosnom signalu, prema tome svjetlost će prije stići do putnika koji se nalaze u zadnjem vagonu, nego do putnika koji su u prednjem. Tako stvar izgleda gledano sa Zemlje. Prema principu relativnosti putnici u vozu miruju. Za njih će svjetlost doći istodobno. Vidimo da za putnike u vozu ovi događaji su istodobni, a za nas na Zemlji nisu. Svaki sustav ima svoje vlastito vrijeme. Einestein je uveo relativiziranje vremena i time prekinuo sa tradicionalnim shvaćanjima. Znači, ne postoji apsolutna istodobnost. 10.5. Lorentzove transformacije Transformacije koje zadovoljavaju Einsteinov zahtjev su Lorentzove (Lorencove) transformacije. Lorentzove transformacije moraju ispunjavati sljedeće uvjete:

4

Galileo Galilei (1564-1642), talijanski fizičar i astronom, jedan od osnivača eksperimentalne metode.

214

•

transformacije između inercijalnih sustava moraju biti takve da brzina svjetlosti ostane konstantna, • svi prirodni zakoni su invarijantni s obzirom na takve transformacije i • zahtjev da prostor bude homogen nužno vodi na linearnost transformacija (prava linija se transformira u pravu liniju). Označimo prostorne i vremenske koordinate sustava u mirovanju sa x i t a sustava u kretanju sa x’ i t’. Između koordinata oba sustava moraju prije svega postojati linearne transformacije:

x ' = kx + lt t ' = mx + nt y' = y

(10.20.)

z' = z gdje su k, l, m, n konstante koje treba odrediti. Neka se pokretni sustav kreće brzinom v u odnosu na nepokretni sustav. Ishodište pokretnog sustava x’=0, odmiče brzinom v od nepokretnog sustava. Za x’=0, slijedi x=vt. Uvrstimo ove vrijednosti u jednadžbu(10.20.), dobijemo vrijednost za konstantu l:

0 = kx + lt l = − kv

(10.21.)

Jednadžba (10.20.) ima oblik:

x ' = k ( x − vt )

(10.22.)

Sad promatrajmo da pokretni sustav miruje, a da se nepokretni sustav kreće u suprotnom smjeru brzinom - v. Inverzne transformacije također su linearne:

x = kx '+ lt ' t = mx '+ nt '

(10.23.)

Sad ishodište nepokretnog sustava, x=0, odmiče brzinom - v od pokretnog sustava, za x=0, slijedi x’=-vt’. Uvrstimo ovo u jednadžbu (10.23.) dobijemo:

x = k ( x '+ vt ')

(10.24.)

Da bi odredili konstantu k polazimo od pretpostavke da je brzina svjetlosti konstantna. U početnom trenutku t=t’=0, pustimo jedan svjetlosni signal iz ishodišta u oba sustava. U pokretnom sustavu biće x’=ct’, a u nepokretnom sustavu x=ct. Uvrstimo ove vrijednosti u jednadžbu (10.22.) i (10.24.), dobijemo:

ct = k ( ct '+ vt ') ct ' = k ( ct − vt )

(10.25.)

Iz gornjih jednadžba slijedi:

215

1

k=

(10.26.)

v2 1− 2 c

Uvrstimo konstantu k u (10.24.) i (10.22.) dobijemo transformaciju za vrijeme:

x = k[ k ( x − vt ) + vt '] v 2 x c t' = v2 1− 2 c t '+

(10.27.)

analogno može se dobiti izraz za t:

v x' c2 t= v2 1− 2 c t '+

(10.28.)

Jednadžbe (10.22.) i (10.27.) predstavljaju Lorentzove transformacije:

v x c2 x' = t ; ' = v2 v2 1− 2 1− 2 c c y' = y x − vt

t−

(10.29.)

z' = z Lako je pokazati da Lorentzove transformacije prelaze u Galileieve, ako stavimo v<c, izrazi (10.22.) i (10.27.) postaju imaginarni, čak nije dozvoljeno ni v=c. 10.6. Posljedice Lorentzovih transformacija Iz Lorentzovih transformacija proizlazi niz posljedica koje su neobične sa stanovišta klasične mehanike. 10.6.1. Istovremenost događaja u različitim sustavim referencije Neka se u sustavu K u točkama sa koordinatama x1 i x2 dešavaju istovremeno dva događaja u momentu t1=t2=b. Prema formulama (10.29.) u sustavu K’ tim događajima odgovaraju koordinate:

216

x '1 =

x1 − vb 1−

v2 c2

;

x'2 =

x 2 − vb 1−

v2 c2

a odgovarajući momenti vremena su:

t '1 =

v v b − 2 x2 2 x1 c c ; t '2 = 2 v v2 1− 2 1− 2 c c

b−

Iz gornjih izraza vidimo da, ako se događaji dešavaju na istom mjestu u K prostoru, tj. x1 = x2, tada je i u K’ prostoru:

x '1 = x ' 2

i t '1 = t ' 2

Ako su događaji u sustavu K prostorno odvojeni x1 ≠ x2, tada će oni biti prostorno i vremenski odvojeni i u K’:

x '1 ≠ x ' 2

i t '1 ≠ t ' 2

Predznak razlike t 2 − t1 određen je predznakom v( x1 − x 2 ) . To znači da u jednom sustavu događaj 2 može prethoditi događaju 1, a u drugom sustavu događaj 1 prethoditi događaju 2. Ovi događaji nisu u uzročnoj vezi. Uzročno povezani događaji ni u jednom sustavu referencije neće biti istovremeni i u svim sustavima će događaj koji se pojavljuju kao uzrok, prethoditi posljedici. 10.6.2. Dužina tijela u različitim sustavima referencije Promatrajmo štap koji je smješten duž ose x i miruje u odnosu na sustav K’. Njegova dužina u tom sustavu iznosi l 0 = x 2, − x1, , gdje su x’1 i x’2 koordinate krajeva štapa i ne mijenjaju se sa vremenom t’. Štap se kreće brzinom v u odnosu na sustav K.

Crtež 10.3.

217

U jednom trenutku vremena t1=t2=b koordinata štapa u nepokretnom sustavu K iznosi x1 i x2. Razlika koordinata x2-x1 daje dužinu štapa l=x2-x1. Prema Lorentzovim transformacijama (10.29.) dobivamo:

x'1 =

x1 − vb 1−

odakle je:

x' 2 − x '1 =

v2 c2

x'2 =

;

x2 − vb 1−

v2 c2

x 2 − x1 1−

v2 c2

ili

v2 l = l0 = 1 − 2 c

(10.30.)

Dakle, kod tijela koja se kreću, dimenzije u smjeru kretanja se smanjuju što je veća brzina kretanja. Ova pojava naziva se kontrakcija dužine. 10.6.3. Trajanje događaja u različitim sustavima Neka se u točki, koja je nepokretna u odnosu na sustav K’, odvija događaj koji traje Δt0 = t’2-t’1. Neka je početak i kraj događaja na istom mjestu, tj. x’1=x’2=1. Prema formulama (10.29.) početku i kraju događaja u sustavu K odgovaraju vremenu:

t1 =

v v t'2 + 2 a 2 a c ; t = c 2 2 v v2 1− 2 1− 2 c c

t '1 +

odakle je:

t 2 − t1 =

t ' 2 − t '1 1−

v2 c2

ili uvođenjem oznake t2-t1 = Δt, dobivamo:

Δt =

Δt 0 v2 1− 2 c

(10.31.)

Vremenski interval Δt0 je određen prema satu koji se kreće zajedno sa tijelom, a interval vremena Δt je određen prema satu u nepokretnom sustavu. Kao što se vidi iz (10.31.) interval vremena Δt0 koji je izmjeren prema satovima koji su nepokretni u odnosu na tijelo, izgleda manji od intervala vremena Δt koji je izmjeren prema satu koji se kreću u odnosu na tijelo. Prema (10.31.) uvijek je Δt0 < Δt, pa možemo reći da satovi koji se kreću rade

218

sporije od satova koji miruju. Ovaj efekt se naziva dilatacija vremena. Vrijeme Δt0, očitano na satu koji se kreće zajedno sa tijelom naziva se vlastito vrijeme tog tijela.

(

)

U kozmičkim zracima postoje čestice koje se zovu mi mezoni μ − , μ + . Ove čestice su nestabilne i raspadaju se na pozitron ili elektron i dva neutrona. Srednje vrijeme nepokretnih mi mezona iznosi oko 2x10-6 s. Prema ovome, mezoni koji bi se kretali čak brzinom svjetlosti prešli bi put od svega 600 m. Međutim, eksperiment pokazuje da μ mezoni koji se stvaraju na visini 20-30 km stižu u znatnom broju na površini Zemlje. Ovo se može objasniti time što je 2x10-6 vlastito vrijeme života mi mezona, tj. vrijeme izmjereno na satovima koji se kreću skupa sa njim. Vrijeme, koje je očitano na satovima eksperimentatora, koji je vezan za Zemlju mnogo je veće. Eksperimentator vidi mezone čiji je predjeni put znatno veći od 600 m, dok sa pozicija promatrača koji se kreće zajedno sa mezonom, rastojanje koje je mezon prešao do Zemlje skraćeno je na 600 m. 10.7. Relativistička dinamika Jednadžbe klasične mehanike su invarijantne u odnosu na Galilejeve transformacije, dok u odnosu na Lorentzove transformacije nisu invarijantne. Iz teorije relativnosti slijedi da jednadžba dinamike, invarijantna u odnosu na Lorentzove transformacije ima oblik:

⎛ ⎜ r d ⎜ m0 v dt ⎜ v2 ⎜ 1− 2 ⎝ c

⎞ ⎟ ⎟ = Fr ⎟ ⎟ ⎠

(10.40)

gdje je mo - masa mirovanja čestice koja je invarijantna u svim sustavima referencije, v brzina

r

čestice, F sila koja djeluje na česticu i c brzina svjetlosti. Usporedivši ovu jednadžbu sa formulom u klasičnoj fizici:

d r r p=F dt

(10.41.)

r

gdje je p impuls (količina kretanja), dolazimo do zaključka da je relativistički impuls čestice jednak:

r p=

r mo v

v2 1− 2 c

(10.42.)

Pošto je masa čestice m koeficijent proporcionalnosti između impulsa i brzine dobivamo da je masa čestice u relativističkoj mehanici dana izrazom:

m=

mo v2 1− 2 c

(10.43.)

219

Ovisnost mase tijela od brzine kretanja dana je na crtežu 10.5. Relativistička masa tijela teži beskonačnoj vrijednosti kad brzina tijela teži brzini svjetlosti.

Crtež 10.5.

r

r

Za slučaj malih brzina v<
r r rr dW = Fdx = Fv dt

(10.44.)

ili

r r dW = v dp r v gdje je p =m v Diferencijal relativističkog impulsa jednak je:

r r r dp = mdv + vdm

(10.45.)

Kao što smo rekli, priraštaj kinetičke energije jednak je izvršenom radu:

r r dW = dE k = mv dv + v 2 dm

(10.46.)

Diferencijal mase dobijemo diferenciranjem izraza (10.43.) po brzini:

220

dm = −

1

1 2

m0 1 ⎛ v ⎞ ⎛ 2v r⎞ ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜ − 2 dv ⎟ ⎠ v2 2 ⎝ c ⎠ ⎝ c 1− 2 c 2

odnosno

r r mvdv dm = 2 c − v2

(10.47.)

Odavde slijedi da je:

r r mvdv = (c 2 − v 2 )dm

(10.48.)

Uvrstimo izraz (10.48.) u (10.46.) dobijemo da je element kinetičke energije jednak: (10.49.) dE k = c 2 dm Integracijom, dobijemo izraz za relativističku kinetičku energiju:

EKR = mc 2 − m0 c 2 ili

E KR

⎛ ⎜ 2⎜ = m0c ⎜ ⎜ ⎝

1 1−

v2 c2

⎞ ⎟ − 1⎟ ⎟ (10.50.) ⎟ ⎠

Ako čestica miruje, v=0, čestica ima energiju mirovanja: (10.51.)

E0 = m0 c 2

Pošto je kinetička energija po definiciji jednaka ukupnoj energiji (E) minus energija mirovanja (Eo), imamo da je ukupna energija jednaka: (10.52.)

E = mc 2 U slučaju malih brzina v<
E=

mo c 2 v2 1− 2 c

⎛ 1 v2 ⎞ ≈ m0 c ⎜1 + 2 +...⎟ ⎝ 2c ⎠ 2

(10.53)

Odavde dobivamo izraz za klasičnu kinetičku energiju,

E = m0 c 2 +

5

m0 v 2 2

m0 v 2 2 ⎛

2 Za nešto veće brzine, v
⎝

⎞ 1 v2 3 v4 + + ... ⎟⎟ 2 4 2c 8c ⎠ 221

ili

E K = E − E0

(10.54.)

Napišimo izraz za relativističku energiju preko impulsa. Kvadrirajmo izraz (10.52.) i (10.42.):

m02 v 2 ; p = v2 1− 2 c 2

m02 c 2 E2 = v2 c2 1− 2 c

(10.55.)

dobijemo izraz za ukupnu relativističku energiju:

E = c p 2 + m02 c 2

(10.56)

Na crtežu 10.6. dat je grafički prikaz ukupne relativističke energije (E), relativističke kinetičke energije Ekr i klasične kinetičke energije Ek. Izrazi (10.52.) i )10.56.) nisu primjenljivi samo za elementarne čestice već i za složeno tijelo, koje se sastoji od velikog broja čestica. U energiju mirovanja, kao i u ukupnu energiju tijela ne ulazi potencijalna energija tijela u vanjskom polju. Iz relacije (10.52.) slijedi da su energija i masa tijela uvijek proporcionalne. Svaku promjenu energije (isključujući promjenu potencijalne energije u vanjskom polju) tijela E prati promjena mase:

Δm =

ΔE c2

(10.57.)

Crtež 10.6.

222

i suprotno, svaku promjenu mase Δm prati promjena energije:

ΔE = c 2 Δm

(10.58.)

Ova relacija naziva se zakon proporcionalnosti mase i energije. Ovdje vidimo da je masa tijela mjera njegove inertnosti i treba je razlikovati od količine supstance u tijelu. Pri povećanju brzine tijela, njegova količina supstance ostaje stalna dok mu se masa povećava.

223

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja II dio

13. BOHROVA TEORIJA ATOMA

13.1. Zakonitosti atomskih spektara Užarena čvrsta tijela emitiraju svjetlost s kontinuirano raspodijeljenim valnim dužinama. Od temperature užarenog tijela zavisi koji je dio spektra najintenzivniji, ali intenzitet svjetlosti opada prema manjim i većim valnim dužinama. Nasuprot ovome kontinuiranom spektru čvrstih tijela, opaža se kod plinova i para diskretne linije koje su karakteristične za pojedini kemijski element. Čitav spektar se sastoji od niza oštro određenih linija. Lako je vidjeti da linijski spektar potiče od atoma. Električno pražnjenje u cijevi niskog pritiska izaziva uvijek veliki broj atoma na emisiju svjetlosti. Linijski spektar možemo proučavati na emisionom ili apsorpcionom spektru. Pusti li se “bijela svjetlost” (svjetlost složenog spektra, npr. sunčev spektar) kroz neke pare ili gas, opaža se u dobivenom spektru da su neke linije ugašene. “Tamne linije” stoje točno gdje bi ležale emisione linije. Gas dakle apsorbira svjetlost onih valnih dužina koje bi inače emitirao. Emisioni spektar slaže se potpuno sa apsorpcionim spektrom. Ova određenost u spektrima kemijskih elemenata, jedan je od osnovnih zakona atomske fizike. Spektar atoma vodika kao najjednostavnijeg atoma, pruža najbolje mogućnosti za analizu strukture atoma na osnovu njihovog spektra. kad se kroz Geisslerovu (Gajsler) cijev s vodikom propusti električna struja, ona emitira svjetlost koja se dovodi u spektralni aparat i dobiva se linijski spektar sa velikim brojem linija, preko kojih je superponirana jedna serija linija poredanih karakterističnim redom. Ova pojava se objašnjava činjenicom da je vodik normalno u molekulskom stanju i da je pri prolasku električne struje jedan broj molekula razdvojen na atome odnosno ione. Povećanjem intenziteta struje kroz cijev, serija linija u spektru sve više dolazi do izražaja dok se mnoštvo linija gubi. To znači da se pri povećanju struje sve veći broj molekula razlaže, pa se dobiva pretežno spektar vodika u atomskom stanju. Prvi je švajcarski fizičar Balmer 1885. godine otkrio da se vodik spektar može prikazati jednostavnom matematskom formulom. Njemu su tada bile poznate četiri vidljive vodikove linije sa valnim dužinama.

1

Crtež 13.1. Osim navedenih linija, koje su u vidljivom dijelu spektra, u ultraljubičastom dijelu pojavljuje se mnogo linija koje su sve bliže jedna drugoj i završavaju se sa H∞=365 nm. Balmerova formula daje zakon po kojem se može izračunati valna dužina svake linije ove serije:

1 ⎞ ⎛ 1 = R⎜ 2 − 2 ⎟ , m = 3,4,5,... ⎝2 m ⎠ λ 1

(13.1.)

gdje je R Rydbergova (Ridberg) konstanta i iznosi: (13.2.)

R = 1,097 ⋅ 10 7 m−1

Usavršavanjem spektrografskih aparata pronađene su i druge serije u infracrvenom i ultraljubičastom dijelu spektra vodika. Njihove valne dužine računaju se prema jednostavnom zakonu:

1 ⎞ ⎛1 = R⎜ 2 − 2 ⎟ ⎝2 m ⎠ λ 1

(13.3.)

Gdje je n=1,2,3,4,5 a m=n+1,n+2,..., odnosno: • • • • •

n=1, Lymanova (Lajmanova) serija, ultraljubičasto područje, m=2,3,... n=2, Balmerova (Balmer) serija, vidljivo područje, m=3,4,5,... n=3, Paschenova (Pašen) serija, infracrveno područje, m=4,5,6,... n=4, Brackettova (Breket) serija, infracrveno područje, m=5,6,... n=5, Pfundova (Pfund) serija, infracrveno područje, m=6,7,8,...

Teoretski m → ∞ , te svaka serija ima beskonačno linija, ali za veće m, linije su tako blizu da se više ne mogu različiti.

2

13.2. Rutherfordov model atoma Dimenzije atoma su izračunate još u 19. vijeku pomoću kinetičke teorije materije. Određeno je da polumjer atoma iznosi oko 10-10 m. Prvi model koji je razradio J.J.Thomson 1 (1904.) bio je tzv. statički model atoma. Međutim, ovaj model nije mogao objasniti spektre zračenja i vrlo brzo je odbačen. Da bi se ispitala struktura atoma i raspodjela negativnog i pozitivnog naboja u atomu, Ernest Rutherford (Raderford) 2 i njegovi suradnici bombardirali su (1911.) metalne folije alfa česticama i promatrali promjenu njihovog smjera pri prolazu kroz foliju.

Alfa čestice su, pozitivno naelektrizirane (+2e) i izlaze iz nekih radioaktivnih elemenata. To su ustvari jezgra helija 2He4 i imaju relativno veliku masu i kinetičku energiju i zbog toga, mogu poslužiti kao projektili za ispitivanje strukture atoma. Pri prolazu kroz supstancu alfa čestice se otklanjaju od prvobitnog smjera kretanja za različite uglove υ. Raspršene čestice udaraju u zaklon pokriven cinkovim sulfidom gdje izazivaju scintilacije (svijetljenja) koja se promatraju mikroskopom. Sve je smješteno u evakuirani balon, da bi se smanjilo sudaranje alfa čestice sa molekulama zraka. Mjerenja su pokazala da veliki broj alfa čestica prolazi kroz tanki metalni listić (foliju) kao da je prazan prostor, na te alfa čestice metalni listić ne djeluje, kao da ga i nema. Jedan dio se alfa čestica rasprši, neke za velike uglove. Analizirajući rezultate eksperimenta Rutherford je došao do zaključka, da tako veliko skretanje alfa čestica moguće je damo u tom slučaju ako se unutar atoma nalazi jako električno polje, formirano nabojem vezanim za veliku masu i koncentrirao u maloj zapremini. Na osnovu ovoga Rutherford je predložio model atoma sa jezgrom, tzv. nuklearni model. Prema ovom modelu, atom predstavlja sistem naboja u čijem se centru nalazi teško pozitivno jezgro sa nabojem Ze veličine 10-14 m a oko jezgra kruži Z elektrona na udaljenosti 10-10 m. Nuklearni model je mogao objasniti raspršenje alfa čestica, jer je jezgro 104 puta manje od atoma a u njemu je koncentrirana sva masa atoma (masu elektrona možemo zanemariti u usporedbi s masom jezgre), tako da je veliki dio atoma upravo prazan prostor.

1

J.J. Thomson (1856-1940), engleski fizičar. Proučavao vođenje elektriciteta kroz plinove, otkrio electron 1897. Dobitnik Nobelove nagrade 1906. 2 Ernest Rutherford (1871-1937), dobitnik Nobelove nagrade iz kemije 1908.

3

Međutim, nuklearni model ne objašnjava atomske spektre i nalazi se u suprotnosti sa zakonima klasične mehanike i elektrodinamike. Ovakav model ne daje stabilnost atoma. Elektroni koji se kreću oko jezgra po zatvorenim putanjama, kreću se ubrzano. Po zakonima klasične elektrodinamike, naboj koji se kreće ubrzano emitira elektromagnetske valove. Stoga bi elektroni u atomu morali neprestano emitirati elektromagnetske valove, time gubiti energiju, tako da elektron na kraju mora da padne na jezgro. Smanjivanjem polumjera putanje rasla bi frekvencija emitiranja zračenja, frekvencija bi se dakle kontinuirano mijenjala, te bi atom, po klasičnoj teoriji emitirao kontinuirane spektre, a ne linijske, kako pokazuju eksperimenti. Prema tome klasična fizika ne može objasniti stabilnost atoma ni atomske spektre. 13.3. Bohrovi postulati Neils Bohr 3 (Nils Bor) je 1913. dopunio Rutherfordov model atoma sa dva postulata, i na taj način uspio objasniti strukturu elektronskog omotača i procesa emisije i apsorpcije svjetlosti. Prvi Bohrov postulat. Od beskonačno mnogo elektronskih orbita (putanja), mogućih sa gledišta klasične mehanike, javljaju se u stvarnosti samo neke diskretne orbite, koje zadovoljavaju određene kvantne usluge. Elektron, koji se nalazi na jednoj od tih orbita, bez obzira na to što se kreće s ubrzanjem, ne emitira elektromagnetske valove.

Drugi Bohrov postulat. Zračenje se emitira ili apsorbira u obliku svjetlosnog kvanta energije hω pri prijelazu elektrona iz jednog stacionarnog (stabilnog) stanja u drugo. Veličina svjetlosnog kvanta jednaka je razlici energije onih stacionarnih stanja, između kojih se dešava kvantni skok elektrona:

hω = E m − E n

(13.4.)

Frekvencija emitiranja svjetlosti iznosi:

ω=

Em En − h h

(13.5.)

Stacionarno stanje je takvo stanje pri kojem atom ne zrači nikakvu energiju, mada se elektron kreće ubrzano. Neobičnost Bohrovih postulata sastoji se u zabrani zračenja u stacionarnom stanju iako se elektroni kreću ubrzano. Takvo shvaćanje se protivi klasičnoj nauci o elektromagnetizmu, odnosno zračenju elektromagnetskih valova. 13.4. Franck-Hertzov eksperiment Franck 4 i Hertz (Frank i Herc) su 1914. uspjeli eksperimentalno potvrditi postojanje određenih energetskih nivoa u atomu i opravdanost Bohrove teorije. Njihov uređaj sastoji se 3

Niels Bohr (1885-1962), danski fizičar, dobitnik Nobelo nagrade (1922) za model atoma vodika. 4 James Franck (1882-1964) I Gustav Hertz(1887-1975), njemački fizičari koji su podjelili Nobelovu nagradu za fiziku (1925) za eksperimentalne radove koji se odnose na sudare

4

od triode napunjene razrijeđenim živinim parama, crtež 13.3. Iz užarene katode izlijeću elektroni i ubrzavaju se prema anodi. Potencijal rešetke je nešto malo pozitivniji (oko 0,5 V) od potencijala anode, te će se elektroni, koji imaju energiju manju od oko 0,5 eV, zaustaviti na rešetki, dok će se ostali elektroni veće energije skupiti na anodi. Mijenjanjem anodnog napona i mjerenjem anodne struje može se snimiti karakteristika ove triode (U-I), crtež 13.4. Kada napon raste od nule do 4,9 V, anodna struja raste jer elektroni stižu na anodu. Kad je napon oko 4,9 V, anodna struja pada (a struja rešetke raste). Povećanjem napona ponovo raste struja, dok ne dostigne 9,8 V gdje se ponovo javlja maksimum anodne struje.

Ovaj eksperiment možemo objasniti ako pretpostavimo da su energetski nivoi elektrona u atomu žive kvantizirani. Kada je napon manji od 4,9 V, elektroni u cijevi nemaju dovoljno energije da pobude atome žive, već se samo elastično sudaraju s atomima žive i zbog male mase, praktično im ne predaju energiju. Struja u cijevi raste jer elektroni dospijevaju na anodu. Čim je energija elektrona dostigla vrijednost 4,9 eV, elektron ima dovoljno energije da pobudi atom žive. U takvom neelastičnom sudaru elektron izgubi energiju i umjesto na anodu dospijeva na rešetku. Zbog toga anodna struja pada, a struja rešetke raste. Rešetka zbog svog pozitivnog prednapona privlači elektrone, koji su u sudaru u blizini rešetke izgubili svu kinetičku energiju. Kada povećamo napon, elektroni ranije postižu energiju za neelastičan sudar, koji se dešava prije rešetke, u prostoru između katode i rešetke, bliže katodi, te elektron nakon sudara dok dođe do rešetke, ponovo dobije dovoljno energije da prođe kroz nju. To je razlog da struja raste kada je napon veći od 4,9 V. Kada napon dostigne vrijednost 2x4,9 V, elektron je sposoban da izvrši dva neelastična sudara, jedan ispred, a drugi blizu rešetke. Ovaj efekt se ponavlja svakih 4,9 V, crtež 13.4. Iz ovog eksperimenta može se zaključiti da tom žive iz osnovnog stanja može preći u pobuđeno stanje primivši samo određeni kvant energije. Atomi koji su primili kvant energije prelaze u pobuđeno stanje, iz kojeg se poslije veoma kratkog vremena vraćaju (≈ 10-8 s) u osnovno stanje, emitirajući kvant svjetlosti energije hω . Za živu, energija od 4,9 eV je karakteristična i odgovara valnoj dužini zračenja od:

elektrona i atoma.

5

λ=

2π hc ≈ 250 nm 4.9eV

(13.6.)

Poznato je da živine pare emitiraju svjetlost pri tom procesu, izmjereno spektralnim aparatom od λ=253,7 nm, što je u dobrom slaganju sa vrijednošću izračunatom relacijom (13.6.).

13.5. Elementarna (Bohrova) teorija vodikovog atoma Prema prvom Bohrovom postulatu dozvoljene su samo one orbite (kvantni uvjet) za koje važi da je moment količine kretanja elektrona jednak cjelobrojnom višekratniku Planckove konstante h . Broj n je prirodan broj i naziva se glavni kvantni broj:

me vr = nh; n = 1,2,3,...

(13.7.)

me - masa elektrona, v brzina i r polumjer orbite. Tako je Bohr izrazom (13.7.) kvantizirao kretanje elektrona u elektronskom omotaču atoma. Uzevši u obzir da Coulombova (Kulonova) sila između protona i elektrona, uzrokuje centripetalnu silu potrebnu za kretanje po kružnici, mogu se odrediti polumjeri stacionarnih orbita, brzine i energije elektrona na tim kružnicama. Da bi elektron kružio po n-toj orbiti mora biti zadovoljen uvjet stabilnosti, tj. centripetalna sila Fc je jednaka Coulombovoj sili:

F (r ) =

1 4π ε0

⋅

Ze 2 , gdje je Z-redni broj, e-naboj elektrona i ε=8,854 × 10-12 C2/Nm2, r2

dielektrična konstanta vakuuma. Prema tome, uvjet stabilnosti glasi:

me v 2 Ze 2 1 = ⋅ r 4π ε0 r 2

(13.8.)

Eliminacijom v iz jednadžbe (13.7.) i (13.8.) dobivamo da polumjer elektronskih orbita može da ima samo diskretne vrijednosti:

4π ε0 h 2 2 rn = ⋅n me Ze 2

( n = 1,2,3,...)

(13.9.)

Za prvu orbitu vodikovog atoma (Z=1, n=1) dobiva se:

4π ε0 h 2 r1 = = 0,053 nm me e 2

(13.10.)

Iz (13.8.) i (13.9.) može se izračunati brzina elektrona u n-toj orbiti:

6

vn =

e2 Z

1 4π ε0 h n ⋅

(13.11.)

za osnovno stanje vodikovog atome v1 ≈ c/137. Ukupna energija elektrona sastoji se od kinetičke i potencijalne:

E = Ek + E p

(13.12.)

Kinetička energija može se dobiti ako jednadžbu (13.8.) pomnožimo s r/2:

me v 2 1 Ze 2 = ⋅ 2 4π ε0 2r

(13.13.)

Da bi dobili potencijalnu energiju elektrona u električnom polju jezgra, trebamo riješiti integral:

E = ∫ F (r )dr = ∫

1 Ze 2 Ze 2 dr = − +C 4π ε 0 r 2 4π ε 0 r 1

(13.14.)

Obično se uzima da osnovni nivo bude Ep=0, kada r → ∞ . Odavde slijedi da je konstanta C=0. Konačno, potencijalna energija elektrona u atomu je negativna. Znak minus znači da je elektron u polju jezgra, elektron s pozitivnom potencijalnom energijom, je slobodan elektron. Znači potencijalna energija je jednaka:

Ep = −

Ze 2 4π ε 0 r 1

(13.15.)

Ukupna energija elektrona jednaka je:

Ze 2 1 Ze 2 1 Ze 2 − =− E= 4π ε0 2r 4π ε0 r 4π ε0 2r 1

(13.16.)

Uzevši u obzir relaciju (13.9.) dobivamo da je ukupna energija elektrona u n-toj orbiti jednaka:

En = −

1

(4π ε 0 )2

⋅

Z 2 e 4 me ;n = 1,2,... 2h 2 n 2

(13.17.)

Vidimo da je ukupna energija negativna i mijenja se sa 1/n2. Energija 5 osnovnog stanja za vodikov atom iznosi:

5

Energija elektrona u energetskim stanjima obično se izražava u eV. Rad potreban da se electron ili neka druga čestica s jediničnim nabojem, pomjeri između točaka čija je potencijalna razlika 1V, zove se elektronvolt(eV): 1eV= 1,6 ⋅ 10

7

−19

C × 1V = 1,6 ⋅ 10 −19 J

E1 = −

e4 32π ε h 2

2 0

2

= −2,17 ⋅ 10 −18 J = −13,6eV

(13.18.)

Energija E1, je energija koju je potrebno uložiti da bi se elektron oslobodio iz atoma, tj. da bi se atom vodika ionizirao i često se naziva energija ionizacije. Energiju prvog pobuđenog stanja dobivamo za n=2, drugog za n=3, itd.:

E2 = −3,4eV ;

E3 = −1,5eV ;

E4 = −0,85eV ;

E5 = −0,54eV

(13.19.)

Pošto svakoj stacionarnoj orbiti odgovara određena energija elektrona, često se umjesto orbita, govori o dozvoljenim elektronskim nivoima elektrona u atomu. Shema energetskih nivoa određenih relacijom (13.17.) prikazana je na crtežu 13.5. Pri prijelazu vodikovog atoma iz stanja m u stanje n emitira se kvant, prema (13.5.):

hω = Em − En = −

me e 4

( 4π ε ) 0

2

1⎞ ⎛ 1 − ⎟ ⎜ 2 n2 ⎠ 2h 2 ⎝ m

(13.20.)

Valna dužina emitirane svjetlosti iznosi:

1

λ

=

me e 4

(4π ε ) 0

2

1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ 2 − 2⎟ m ⎠ 4π ch ⎝ n 3

(13.21.)

Na ovaj način došli smo do formule za zakonitost atomskih spektara (13.3.) iz koje možemo izračunati Rydbergovu konstantu.

8

Crtež 13.5. Uvrstivši u izraz (13.21.) vrijednosti konstanti koje u njega ulaze dobiva se veličina koja se izuzetno dobro slaže sa eksperimentalnom vrijednošću:

R=

me e 4

(4π h) cε 3

2 0

= 1,097 ⋅ 10 7 m−1

(13.22.)

Na osnovu Bohrove teorije moguće je objasniti optičke spektre vodika. Očito da Lymanovu seriju predstavlja grupa linija koju elektroni emitiraju vraćajući se u osnovno stanje (n=1), Balmerova, grupu linija koju emitiraju elektroni vraćajući se sa nekog višeg stanja, ali tako da se zaustave na drugoj orbiti (n=2), itd. Shema kvantnih prijelaza za atom vodika dana je na crtežu 13.6. Možemo zaključiti da su diskretne linije atomskog spektra vodika posljedica kvantnih prijelaza elektrona između diskretnih nivoa energije u atomu. cijeli brojevi n i m u empirijskoj relaciji (13.3.) i teorijskoj formuli (13.21.), od kojih zavisi valna dužina zračenja, predstavljaju glavne kvantne brojeve, koji određuju nivoe energije elektrona u atomu. Slaganje eksperimentalnih rezultata sa Bohrovom teorijom za vodik je više nego zadovoljavajuće. Međutim, teorija nailazi na nepremostive prepreke kada je trebalo da se primijeni na složene sisteme (atomi sa dva ili više elektrona). Bohrova teorija također nije omogućavala da se odredi intenzitet spektralnih linija, da se objasni cijepanje ovih linija u vanjskom električnom, odnosno magnetskom polju (Zeemanov efekt). 9

Borov model atoma vodika je odigrao ogromnu ulogu u razvoju suvremene fizike. Zahvaljujući njemu po prvi put je shvaćeno da postoji principijelna razlika između atoma (i drugih kvantnih sistema) i makroskopskih tijela, pa se prema tome ni zakoni klasične fizike ne mogu primijeniti, pri objašnjavanju unutar atomskih procesa. danas je jasno da nedostaci Bohrove teorije vodikovog atoma, leže upravo u njenom poluklasičnom, odnosno polukvantnom karakteru. Bohr je pored kvantnih koncepcija uveo i neke klasične predodžbe kao npr. pojam elektronske orbite, za koju se kasnije pokazalo da je neprimjenjiva za atom. Možemo na kraju zaključiti da je Bohrova teorija koja se oslanja na klasičnu fiziku samo prelazna etapa na putu izgradnje dosljedne teorije atomskih pojava. 13.6. Karakteristični spektar rendgenskog zračenja Kao što je rečeno pored kontinuiranog spektra rendgenskog zračenja, javlja se i linijski spektar koji ovisi o vrsti materijala od kojeg je napravljena anoda (antikatoda). Karakteristični linijski spektar nastaje kada upadni elektron izbaci jedan od elektrona iz atoma i tako napravi prazninu u jednoj od unutrašnjih ljuski atoma. Ako upadni elektron izbije jedan elektron iz K-ljuske volframovog atoma, nastat će praznina u toj ljusci. Pri tom energija upadnog elektrona mora biti dovoljno velika jer je taj elektron vezan za jezgru energijom od oko 70 KeV-a. U vrlo kratkom vremenu (oko 10-8 s) jedan elektron iz gornjih ljuski (npr. L ljuske) popunit će tu prazninu i pri tome emitirati foton energije:

hω = E L − E K

(13.23.)

gdje su EL i EK energetski nivoi L i K ljuske.

Praznina u L ljuski koja je nastala odlaskom tog elektrona, popunit će se elektronom iz slijedeće ljuske itd. Tako ćemo dobiti liniju K u karakterističnom rendgenskom spektru, to je linija s najmanjom frekvencijom koja odgovara prijelazu elektrona na unutrašnju orbitu K. Na crtežu 13.7. prikazan je spektar zračenja rendgenske cijevi s anodom od volframa. Na kontinuirani zakočni spektar superponirane su dvije linije Kα i Kβ. Prva nastaje pri prijelazu elektrona iz druge na prvu orbitu, dok Kβ nastaje pri prijelazu iz treće u prvu orbitu.

10

U principu nema razlike između optičkog linijskog spektra vodika i spektra težih atoma. Linije odgovaraju uvijek prijelazima elektrona s udaljenih na bliže ljuske. Pri prijelazu na K ljusku dobivamo za vodik Lymannovu seriju u ultraljubičastom području, dok za teže atome, zbog većeg naboja jezgre, energije fotona su veće, valne dužine manje, te se tako dobiva K serija rendgenskih zraka. Unutrašnji elektroni svojim negativnim nabojem zaklanjaju naboj jezgra, te se rezultati Bohrovog modela atoma vodika ne mogu primijeniti na ostale atome. Jedino za K seriju dosta dobro vrijedi formula slična onoj za vodik:

1⎞ 2 ⎛ = ( Z − 1) R⎜1 − 2 ⎟ ⎝ n ⎠ λ 1

(13.24.)

Ovo je tzv. Moseleyev (Mozli) zakon, gdje je Z redni broj elementa, a n=2,3,...

11

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA II

16. FIZIKA JEZGRE (NUKLEARNA FIZIKA) 16.1. Sastav i karakteristike atomske jezgre Rutherfordovi i drugi eksperimenti pokazali su da se atom sastoji od jezgra, po dimenziji mnogo manje od atoma ali s gotovo cjelokupnom masom atoma. Jezgro je sastavljeno od protona i neutrona, koje jednim imenom zovemo nukleoni. Najvažnije osobine jezgre su njena masa i naboj. Naboj jezgre Ze određen je brojem protona Z, dok ukupni broj protona i neutrona određuje maseni broj jezgre A. Jezgra određenog elementa karakterizira broj protona Z i zove se redni broj elementa dok broj neutrona, N=A-Z, može varirati a da se pri tome ne mijenjaju kemijska svojstva elementa. Masa nuklida praktično je jednaka masi atoma, jer je masa elektronskog omotača zanemariva. Atomske mase se izražavaju u atomskim jedinicama mase (1 ajm). Atomska jedinica mase jednaka je 1/12 mase atoma ugljika 6C12 , tj.:

1 ajm ≡ 1 u =

1 ⋅ masa atoma 6 C12 = 1,66063 ⋅ 10 −27 kg 12

U nuklearnoj fizici je uobičajeno da se mase izražavaju u jedinicama energije, prema relaciji E=mc2. Tako dobivamo za atomsku jedinicu mase ekvivalent izražen u elektronvoltima:

1 mu c 2 = 931,478 MeV

(16.1.)

Proton (p) nije ništa drugo nego jezgra vodikovog atoma. Ona ima naelektrisanje (+e) i masu izraženu u jedinicama energije 1 :

mp =$ 938,2 MeV

(16.2.)

Masa elektrona izražena u istim jedinicama iznosi:

me =$ 0,511 MeV

(16.3.)

Neutron (n) naziva se čestica bez električnog naboja i s masom:

mn =$ 939,5 MeV 1

(16.4.)

Uobičajeno je u nuklearnoj fizici, mase čestica izražavati ne u masenim već u energetskim jedinicama.

1

vrlo bliskom masi protona. Razlika u masi neutrona i protona mn-mp iznosi 1,3 MeV. Neutron kao i proton imaju spinski kvantni broj s=1/2. U slobodnom stanju neutron je nestabilan (radioaktivan) i on se spontano raspada, pretvarajući se u proton i emitirajući elektron (e-) i još jednu česticu koja se naziva antineutrino ( υ~ ). Raspad protona može se prikazati na slijedeći način:

n → p + e + v~

(16.5.)

Masa mirovanja antineutrina jednaka je nuli. Masa neutrona, kao što smo vidjeli, veća je od mase protona za 1,3 MeV ili za 2,5 me. Prema tome, masa neutrona je veća od ukupne mase čestica koje figuriraju na desnoj strani jednadžbe (16.5.) za 1,5 me odnosno za 0,77 MeV. Ta energija se oslobađa pri raspadu neutrona u obliku kinetičke energije čestica koje se obrazuju. Za označavanje jezgri obično se koristi simbol: Z

XA

gdje se pod X podrazumijeva kemijski simbol danog elementa. Desno gore stavlja se maseni broj A, lijevo dole atomski (redni) broj Z. Većina kemijskih elemenata ima nekoliko različitih varijeteta, koji se razlikuju u masenom broju i zovemo ih izotopi. Tako npr. vodik ima tri izotopa: 1 1H 2 1H 3 1H

- obični vodik, ili protij - teški vodik (D) ili deuterij - tricij (T)

(Z=1, N=0) (Z=1, N=1) (Z=1, N=2)

Kisik imat tri stabilna izotopa: 8O16, 8O17, 8O18, olovo deset itd. Izotopi su jezgre sa istim brojem protona Z. Jezgre sa jednakim masenim brojem A nazivaju se izobare. Kao primjer mogu se navesti jezgre 18Ar40 i 20Ca40. Jezgre sa istim brojem neutrona N=A=Z nazivaju se izotoni (npr. 6C13, 7N14). Postoje također radioaktivna jezgre sa jednakim Z i A, koja se razlikuju periodom poluraspada. Takve jezgre nazivaju se izomeri. Jezgra je oko 104 - 105 puta manje od atoma. Eksperimentima raspršenja nukleona na jezgrama određen je radijus jezgre:

R = r0 A1/ 3

(16.5.)

gdje je A maseni broj, a ro konstanta za sve jezgre i iznosi oko 1,2 10-15 m. Srednja gustoća nuklearne materije iznosi 2 1017 kg/m3, što iznosi za 1014 puta veću gustoću od gustoće materijala i ne ovisi o vrsti nuklida.

2

16.2. Masa i energija veze jezgre Masa mirovanja jezgre MN uvijek je manja od sume mase mirovanja čestica koje sačinjavaju jezgra. To je uvjetovano time što se pri sjedinjavanju nukleona u jezgra oslobađa energija veze Eveze jednaka radu koji bi bilo potrebno izvršiti, da bi se jezgra rastavila na nukleone, koji ga obrazuju i da bi se ti nukleoni međusobno udaljili na rastojanja na kojima praktično ne međudjeluju jedan s drugim. Znači, energija jezgre je manja od energije sistema nukleona koji međusobno ne djeluju za veličinu jednaku Eveze. Prema relativističkoj relaciji (10.57.), promjeni mase sistema za veličinu Δm, odgovara promjena energije za veličinu ΔE=Δmc2. prema tome, smanjenje mase sistema za ΔM:

ΔM = Zm p + Nmn − M N

(16.7.)

odgovara smanjenju njegove energije za ΔMc2. Ova se energija naziva energija veze i iznosi:

(

Eveze = c 2 Zm p + Nmn − M N

)

(16.8.)

Ova razlika u masi ΔM, naziva se defekt mase jezgre, i predstavlja karakteristiku svake jezgre. Nađimo energiju veze nukleona u jezgru helija 2H4, koja se sastoji od dva protona (Z=2) i dva neutrona (N=2). Masa atoma helija iznosi 4,00388 mu, odnosno 3728 MeV. Iz praktičnih razloga umjesto mase protona uzmimo masu vodikovog atoma (938,7 MeV) a umjesto mase jezgre uzmimo masu helijevog atoma (3728 MeV). Uvrštavanjem ovih podataka u jednadžbu (16.8.) dobit ćemo energiju veze nukleona u helijevoj jezgri:

Eveze = 2 ⋅ 938,2 + 2 ⋅ 939,5 − 3728 = 28,4 MeV

(16.9.)

Energija veze jednog nukleona u jezgri helijevog atoma iznosi 7,1 MeV. Radi usporedbe navedimo da energija veze valentnih elektrona u atomima iznosi red veličine 10 eV. Energija veze koja otpada na jedan nukleon (Eveze/A) naziva se specifična energija veze i ne razlikuje se mnogo od veličine za helij. Na slici 16.1. prikazan je grafikon koji pokazuje ovisnost Eveze/A o masenom broju A.

3

Najjače su vezani nukleoni u jezgrama sa masenim brojem 50-60 (tj. za elemente od Cr do Zn). energija veze za te jezgre dostiže 8,7 MeV/nukleonu. S porastom A specifična energija veze postepeno opada, za najteži prirodni element (uran) ona iznosi 7,5 MeV/nukleona. Ovakva zavisnost specifične energije veze o masenom broju, energetski omogućava dva procesa: cijepanje teških jezgri na nekoliko lakših i spajanje (sintezu) lakih jezgri u jedno Jezgra. Oba procesa dešavaju se uz oslobađanje velike količine energije. 16.3. Priroda nuklearnih sila Ogromna energija veze nukleona u jezgri govori o tome da između nukleona postoji vrlo intenzivno međudjelovanje (interakcija). Ova interakcija ima karakter privlačenja. Ona održava nukleone na međusobnom rastojanju, reda veličine 1015 m, usprkos jakog elektrostatskog odbijanja između protona. Nuklearna interakcija između nukleona dobila je naziv jaka interakcija. Jaka interakcija može se opisati pomoću polja nuklearnih sila, čije su osobine slijedeće: Nuklearne sile su kratkog dosega i ovisno o rastojanju među nukleonima ponašaju se na slijedeći način: • r > 2 10-15 m, međudjelovanje se ne opaža, • 10-15 m < r < 2 10-15 m, privlačno međudjelovanje, • r < 10-15 m, jako odbojno međudjelovanje. Jako međudjelovanje ne ovisi o naboju nukleona. Nuklearne sile koje djeluju između dva protona, između protona i neutrona i između dva neutrona, jednake su po veličini. Ova osobina naziva se neovisnost nuklearnih sila o naboju. Nuklearne sile zavise o uzajamnoj orijentaciji spinova međudjelujućih nukleona. Tako, na primjer, neutron i proton se udružuju, obrazujući deuteron, samo u slučaju da su im spinovi međusobno paralelni.

4

Nuklearne sile imaju osobinu zasićenja, to znači da svaki nukleon u jezgri međudjeluje s ograničenim brojem nukleona. Ta osobina slijedi iz činjenice da je energija veze koja otpada na jedan nukleon, približno jednaka za sve atome počevši od helija. Suvremena teorija nuklearnih sila predstavlja da se uzajamno djelovanje nukleona ostvaruje posredstvom nuklearnog polja, i to putem razmjene kvanata tog polja, tzv. mezona. Još daleke 1935. godine japanski fizičar Yukawa (Jukava) je pretpostavio da u prirodi postoje tada još neotkrivene čestice, čija je masa 200-300 puta veća od mase elektrona, a koja imaju ulogu prenosnika nuklearnih interakcija. Po analogiji sa fotonima, čija je uloga u elektromagnetnim interakcijama ista, ove hipotetičke čestice je nazvao teško fotoni. Kako se po svojoj masi nalaze između elektrona i protona, ove čestice su dobile kasnije naziv mezoni. Dvanaest godina kasnije (1947.) u kozmičkim zracima pronađeni su tzv. pioni ili πmezoni, za koje se pokazalo da su nosioci nuklearnih sila. π+ i π- mezon imaju masu 273 me (140 MeV), a naelektrisani su suprotnim elementarnim količinama elektriciteta e. Masa neutralnog π0 mezona je 264 me (135 MeV). Sve tri čestice su nestabilne. Prema mezonskoj teoriji nuklearnih sila jaka interakcija se objašnjava virtualnom razmjenom mezona između protona i neutrona u jezgru, što se shematski može predstaviti na ovaj način:

p ↔ n+π+

p ↔ p +π0

n ↔ p +π−

n ↔ n +π0

(16.10.)

U kvantnoj mehanici virtualnim se nazivaju čestice koje ne mogu biti opažene za vrijeme njihovog postojanja. Ove relacije slijede iz zakona očuvanja naelektrisanja i zakona održanja mase i energije. Prema ovoj teoriji nukleon je okružen oblakom virtualnih π mezona, koji obrazuju polje nuklearnih sila. Vrijeme života π+ i π- mezona iznosi 2,55 10-8 s, a π0 mezona 2,1 10-16 s. najveći dio nabijenih mezona raspada se po shemi:

π + → μ+ + υ

(16.11.)

π − → μ − + υ~ gdje je μ+ i μ- pozitivni i negativni mion υ neturino, a υ~ antineutrino. 16.4. Radioaktivnost Radioaktivnost je spontani prijelaz nestabilnih izotopa nekog kemijskog elementa u izotop drugog elementa, koji se dešava uz emisiju elementarnih čestica ili jezgri. Osnovni tipovi radioaktivnog raspada su: • • • •

alfa raspad, beta raspad, spontana fisija i gama raspad.

Kod prva tri raspada dolazi do transmutacije elemenata i oni su praćeni emisijom odgovarajućih čestica, dok je gama raspad praćen emisijom fotona i kod njega jezgra trpi samo energetsku promjenu. 5

Radioaktivnost izotopa koji se sreću u prirodnim uvjetima, naziva se prirodnom, dok se radioaktivnost dobivena posredstvom nuklearnih reakcija naziva vještačkom. Između vještačke i prirodne radioaktivnosti nema suštinske razlike. Proces radioaktivnog pretvaranja u oba slučaja pokorava se jednakim zakonima. Alfa raspad. Alfa čestice su jezgre helija 2He4 i nastaju pri radioaktivnom alfa raspadu. Kada nestabilna jezgre emitira α-česticu, maseni broj joj se smanji za četiri, a redni za dva. Općenito α-raspad može se predstaviti po shemi: Z

X A → Z −2 Y A−4 + 2 He 4

(16.12.)

Kao primjer može poslužiti raspad izotopa urana U238 koji promiče uz obrazovanje teorije Th234: 92

U 238 → 90 Th 234 + 2 He 4

Brzina kojom alfa čestice izlijeću iz jezgre koja se raspada je vrlo velika (≈107/m/s), a kinetička energija leži u opsegu od 4 do 10 MeV. Alfa zračenje danog raspada ima strogo određenu energiju, tj. linijski spektar. Prolazeći kroz materiju, alfa čestice postepeno gube svoju energiju trošeći je na ionizaciji molekula materije i na kraju se zaustavljaju. Na obrazovanje jednog para iona u zraku troši se u srednjem 35 eV. Na taj način alfa čestica obrazuje na svom putu oko 105 parova iona. Prirodno, što je veća gustoća materije, to je manji domet alfa čestice u njoj. Tako u zraku pod normalnim pritiskom domet iznosi nekoliko centimetara, a u čvrstoj materiji domet dostiže nekoliko desetina mikrometara. Alfa čestice se mogu potpuno zaustaviti običnim listom papira. Beta raspad. Postoje tri različita tipa beta raspada. U jednom slučaju Jezgra koje se raspada emitira elektron, u drugom pozitron, a u trećem slučaju, koji nazivamo K-zahvat (ili elektronski zahvat) jezgra apsorbira jedan od elektrona K-sloja atoma. Prvi oblik raspada nazivamo beta minus raspad (β-). β--raspad se može shematski pisati na ovaj način: Z

X A → Z +1 Y A + −1 e 0 + υ~

(16.13.)

Kada radioaktivna jezgre emitira -česticu (elektron), redni broj joj se poveća za jedan, dok se maseni broj ne mijenja. Pored elektrona emitira se također i antineutrino ν~ . Cijeli proces promiče kao kad bi se jedan od neutrona jezgre X pretvorio u proton, pretrpivši raspad po shemi: 0

n1 →1 p1 + −1 e 0 + υ~

(16.14.)

Kao primjer β--raspada može se navesti raspad torija Th234 u protaktinij Pa234 sa emisijom elektrona i antineutrina: 90

Th 234 → 91 Pa 234 + −1 e 0 + υ~

Beta raspad može se odigrati uz emisiju gama zraka. Razlog njihove pojave je isti kao i u slučaju alfa raspada, Jezgra potomak može nastati kako u normalnom tako i u pobuđenom 6

stanju. Prelazeći u stanje sa manjom energijom Jezgra zrači gama foton. Za razliku od alfa čestica, beta-elektroni imaju najrazličitije energije od 0 do Emax. Drugi oblik beta raspada je beta plus raspad (β+). Neke nestabilne jezgre koje imaju manjak neutrona emitiraju pozitivne čestice mase jednake masi elektrona, ali naboja +e i tako postaju stabilnije. To je beta plus raspad (β+), pri kome se jedan proton pretvara u neutron, a iz jezgre izlazi pozitron (e+) i neutrino (υ). Shemu β+ raspada pišemo: Z

X A → Z −1 Y A + +1 e 0 + υ

(16.15.)

ili 1

p1 → 0 n1 + β + + υ

(16.16.)

Kao primjer može se navesti raspad dušika N13 u ugljik C13: 7

N 13 → 6 C13 + +1 e 0 + υ

Kao što se vidi iz sheme, atomski broj jezgre potomka je za jedinicu manji od atomskog broja materinske jezgre. Proces se dešava uz emisiju pozitrona i neutrina, a moguće je i nastajanje grama zraka. Pozitron je antičestica elektrona, a neutrino antičestica antineutrina. Treći oblik beta raspada (K-zahvat) sastoji se u tome da Jezgra apsorbira jedan od Kelektrona svog atoma, a kao rezultat toga, jedan proton prelazi u neutron emitirajući pri tome nutrino: 1

p1 + −1 e 0 → 0 n1 + υ

(16.17.)

Jezgra koje je nastalo može da bude u pobuđenom stanju. Prelazeći zatim u energetski niže stanje ono emitira gama foton. Shema procesa može se prikazati na ovaj način: Z

X A + −1 e 0 → Z −1 Y A + υ

(16.18.)

Kao primjer K-zahvata može se navesti raspad kalija K40 u argon Ar40: 19

K 40 + −1 e 0 →18 Ar 40 + υ

Gama raspad. Poslije alfa ili beta raspada, jezgra potomak može da ostane u nekom od pobuđenih stanja. Jezgra potomak se vraća u svoje osnovno stanje emitirajući pri tome gama zračenje (γ-fotone) odgovarajuće energije. Na primjer raspada izotopa Na24, vidimo da je moguće da jedno Jezgra emitiraju istovremeno tri čestice po jednom raspadu, slika 16.2. Spektri beta i gama zračenja iz raspada Na24 dati su na slici 16.3.

7

16.5. Zakon radioaktivnog raspada Trenutak spontanog raspada jezgre nekog radioaktivnog izotopa je nemoguće predvidjeti, ali se može odrediti vjerojatnost tog raspada u toku određenog vremenskog intervala. Prema tome, radioaktivni raspad je statistički proces, koji se pokorava zakonima vjerojatnost. Brzina kojom se raspada radioaktivni materijal naziva se aktivnost i jednaka je broju raspada u jedinici vremena dt:

A=−

dN dt

(16.19.)

Znak minus označava da se broj raspada u toku vremena smanjuje. Aktivnost se mijenja sa vremenom i proporcionalna je broju nestabilnih jezgri N(t):

A = λ N (t)

(16.20.)

8

gdje je λ konstanta raspada i karakteristika je pojedinog radioaktivnog elementa. Iz relacija (16.19.) i (16.20.) slijedi diferencijalna jednadžba:

dN = − λ N ( t ) dt

(16.21.)

koja daje broj raspada za vrijeme dt u trenutku t. Integracijom izraza (16.21.) dobiva se:

ln N = − λ t + C

(16.22.)

gdje je C-integraciona konstanta. Za t=0, dobivamo da je C=ln No pa je,

N = N 0 e − λt

(16.23.)

gdje je No broj jezgara u momentu t=0, a N broj ne raspadnutih jezgri do trenutka vremena t. Relacija (16.23.) predstavlja zakon radioaktivnog raspada. Ako je Ao početna aktivnost uzorka:

⎛ dN ⎞ A0 = ⎜ − ⎟ = λ N0 ⎝ dt ⎠ 0

(16.24.)

Vrijeme poluraspada (poluživota) T1/2 predstavlja onaj vremenski interval u kojem se raspadne polovina atoma radioaktivnog elementa. Uvrstivši t=T1/2 i N=No/2 u relaciju (16.23.) dobivamo da je vrijeme poluraspada jednaka:

T1/ 2 =

ln 2

λ

=

0.693

λ

(16.25.)

Grafički prikaz zakona radioaktivnog raspada dat je na slici 16.4.

9

Jedinica za aktivnost radioaktivnih izvora u međunarodnom sistemu jedinica mjera (SI) je bekerel (Bq). Aktivnost od 1 Bq ima onaj izvor u kome se u jednoj sekundi dešava jedan raspad. Međutim, u praksi se još uvijek može sresti i vansistemska jedinica za aktivnost, kiri (Ci). Aktivnost od jednog kirija (1 Ci) ima onaj izvor u kome se u jednoj sekundi dešava 3,7 1010 raspada:

1 Ci = 3,7 ⋅ 1010 Bq 16.6. Cijepanje jezgre (fisija) Fisija je proces cijepanja teške jezgre na dva približno jednaka fragmenta uz oslobađanje energije.1938. godine njemački naučnici O.Hahn (Han) i F.Strassmann (Štrasman) primijetili su da pri ozračivanju urana neutronima, nastaju elementi iz sredine periodnog sistema, barij i lantan. Dalja istraživanja su pokazala da se cijepanje može odigrati na više načina. Fisija je nuklearna reakcija koja karakterizira cijepanje teške jezgre na dva fragmenta, dva lakša jezgre, pri čemu je zbir rednih brojeva jednak rednom broju mete. Kako proces fisije ima statistički karakter, to postoji oko četrdeset načina cijepanja teške jezgre, pri čemu su najvjerojatnija cijepanja na fragmente čije se mase odnose kao 2:3. Fizibilne jezgre su izotopi 92U235 (sadržan 0,7% u prirodnom uranu) 92U233 i 94Pu239 kojih nema u prirodi nego ih dobivamo neutronskim ozračivanjem. Cijepanjem jezgre 92U235 postoji vjerojatnost nastajanja oko 300 različitih radioaktivnih produkata fisije. na slici 16.5. dat je relativni odnos fragmenata različite mase, koji nastaju pri cijepanju U235 sporim (termalnim) neutronima (energije 0,025 eV). Sa slike vidimo da je vjerojatnost obrazovanja fragmenata iste mase mala (10-2 %) dok se obrazovanje fragmenata sa masenim brojevima 95 i 140 (2:3) javlja u 7% slučajeva.

10

U uranu i sličnim jezgrama fisija se najčešće izaziva neutronima. Kad neutron uđe u jezgru i veže se za ostale nukleone, oslobođena energija vezanja pobuđuje jezgru iznad minimalne energije, potrebne za fisiju i jezgre se raspada. Jedan od mogućih procesa fisije U235 nakon zahvata sporog (termalnog) neutrona može se prikazati shematski: 92

U 235 + nt → 92 U 236 → X + Y + 2 − 3 0 n1 + oko 200 MeV

(16.26.)

gdje su X i Y fragmenti fisije. Energija vezivanja po nukleonu najveća je za srednje teške jezgre (oko 8,5 MeV), dok za vrlo teške kakav je uran (oko 7,6 MeV). Uzmimo da su fragmenti X i Y, masenih brojeva 96 i 140 vezani u prosjeku sa 8,5 MeV a uran U235 sa 7,6 MeV, oslobođena energija u fisiji biće jednaka razlici energija vezivanja: E=8,5 MeV (96+140) - 7,6 MeV 236 = 212 MeV Od ove energije oko 85% oslobodi se u obliku kinetičke energije fragmenata, ostatak kao kinetička energija neutrona, alfa i beta čestica i gama zraka. Jedan od načina na koji se ostvaruje cijepanje jezgre U235 može se prikazati na slijedeći način: 92

U 235 + nt → 92 U 236 → 55 Cs140 + 37 Rb94 + 2 n Fragmenti cijepanja, cezij i rubidij također trpe daljnje transmutacije:

55

Cs140 ↓β − → 56 Ba 140 ↓β − → 57 La 140 ↓β − → 58 Ce140

37

Rb94 ↓β − → 38 Sr 94 ↓β − → 39 Y 94 ↓β − → 40 Zr 94 Krajnji produkti cerij Ce140 i cirkonij Zr94, su stabilni.

Cijepanjem jezgri U235, Pu239 i U233 nastaje nekoliko neutrona, što omogućava ostvarivanje lančane nuklearne reakcije. Ako imamo z neutrona dobivenih cijepanjem jednog jezgre, moguće je sa njima izazvati cijepanje z jezgri od kojih dobivamo z2 novih neutrona, koji će izazvati cijepanje z2 jezgri, itd. Na taj način, broj neutrona koji se dobije, raste geometrijskom progresijom. Međutim, proces umnožavanja neutrona protjecao bi na opisani način samo u slučaju kad bi svaki neutron bio zahvaćen jezgrama koje se cijepaju, što u realnim uvjetima nije slučaj. Mnogi neutroni prije nego što budu zahvaćeni jezgrama napuštaju zonu reakcije ili budu zahvaćeni jezgrama koje nisu sposobne za dezintegraciju, tako da veći broj neutrona ne učestvuje u stvaranju novih neutrona. Prirodni uran sadrži 99,27% izotopa U238, 0,72% U235 i oko 0,01% U234. Na taj način, na svaka jezgra U235 koje se cijepa pod djelovanjem sporih neutrona, otpada 140 jezgri U238 koje zahvaćaju neutrone bez dezintegracije. Zato u prirodnom uranu ne nastaje lančana reakcija dezintegracije. Lančana nuklearna reakcija u uranu može se ostvariti tako da se iz prirodnog urana izdvoji izotop U235, koji je sposoban za dezintegraciju. U komadu čistog U235 svaki neutron zahvaćen jezgrama izaziva cijepanje sa emisijom u prosjeku 2,5 neutrona. Međutim, ako je masa komada izotopa U235 manja od neke kritične mase to će većina neutrona izletjeti van zone reakcije i neće se ostvariti lančana nuklearna reakcija. U slučaju kad je masa komada veća od kritične, neutroni se brzo umnožavaju i reakcija dobiva karakter eksplozije. Prema računima njemačkog fizičara Heisenberga (Hajzenberg) kritična masa za U235 iznosi 9 kg.

11

Na ovom principu zasniva se djelovanje atomske (nuklearne) bombe. Nuklearno gorivo U235 ili Pu239 podijeljeno je u dva dijela čije su mase manje od kritične mase. Masa svakog komada je manja od kritične mase i zbog toga ne dolazi do lančane reakcije. Pošto u Zemljinoj atmosferi postoji određen broj neutrona uslijed kozmičkog zračenja, da bi izazvali eksploziju dovoljno je spojiti dijelove nuklearnog goriva u jedan komad s masom većom od kritične. lančane reakcije u atomskoj bombi odvija se pomoću brzih neutrona. Na slici 6. dana je shema (nuklearne) atomske bombe. Fisioni materijal (U235 ili Pu239) nalazi se odvojeno (1) i ukupna masa je veća od kritične mase. Do eksplozije dolazi naglim spajanjem tih masa pomoću klasičnog eksploziva (2). Cijeli uređaj je smješten u masivni omotač (3) koji služi kao reflektor neutrona i čuva nuklearno gorivo od raspršenja prije nego što dovoljan broj jezgri ne oslobodi svoju energiju. U nuklearnoj bombi koja je bačena na Hirošimu fisioni materijal bio je 92U235, a u onoj na Nagasaki 94U239.

16.7. Nuklearni reaktor Kao materijal koji dezintegrira u reaktorima koristi se prirodni uran obogaćen uranom U . Da bi se spriječio zahvat neutrona jezgrama U238 nuklearno gorivo se razmješta u blokove između kojih se stavlja moderator, tj. materijal koji usporava neutrone do termalnih brzina. Mada se neutroni češće sudaraju sa jezgrama U238, vjerojatnost da dođe do cijepanja jezgre U235 je veća od vjerojatnosti zahvata neutrona u jezgru U238. Jezgre moderatora trebaju da imaju malu vjerojatnost zahvata neutrona i veliku vjerojatnost elastičnog raspršenja. Ovakve uvjete ispunjava deuterij, grafit i berilij (Be). Da bi se smanjila energija neutrona dobivenih fisijom (2 MeV) do termičkih brzina (0,025 eV) potrebno je oko 25 sudara u teškoj vodi (D2O). 235

Prvi nuklearni reaktor pušten je u rad 1942. godine u Čikagu (SAD), pod rukovodstvom talijanskog fizičara Enrika Fermia. Kao gorivo korišten je uran a moderator je bio od grafita pa se ovakav reaktor naziva uran-grafitni reaktor. Na slici 16.7. prikazana je shema reaktora.

12

Nuklearno gorivo U235 je smješteno u odvojene blokove (1) između kojih se nalazi moderator - grafit (2). Da bi se mogla zaustaviti lančana reakcija u reaktoru, odnosno vršiti kontrola procesa, koriste se šipke od kadmija ili bora (3). Kadmij i bor imaju tu osobinu da intenzivno apsorbiraju neutrone. Uvlačenjem šipki u reaktor smanjuje se koeficijent umnožavanja neutrona, a time se zaustavlja proces fisije. Proces nuklearne fisije u reaktorima sa prirodnim uranom može se prikazati na slici 16.8.

13

Prvi industrijski reaktori, izgrađeni u SAD, pravljeni su za proizvodnju dezintegracionog materijala za atomske bombe (Pu239), dok je prva atomska centrala za proizvodnju električne energije napravljena u SSSR 1954. godine, snage 5 MW. Napomenimo da je nuklearna elektrana koja radi u Krškom snage 600 MW. 16.8. Termonuklearna reakcija (fuzija) Spajanje lakih jezgre u jedno jezgro naziva se fuzija i dešava se uz oslobađanje ogromnih količina energije. Pošto je za sintezu jezgri potrebna visoka temperatura, ovaj proces se naziva termonuklearna reakcija. Da bi savladali potencijalnu barijeru, uvjetovanu Coulombovim (Kulonovim) odbijanjem, jezgre sa rednim brojevima Z1 i Z2 treba da imaju energiju:

Z1 ⋅ Z2 ⋅ e 2 E= 4π ε0 rN 1

(16.27.)

gdje je rN radijus djelovanja nuklearnih sila koji iznosi oko 2 10-15 m. Čak i za najlakša jezgre sa Z1=Z2=1, ta energija iznosi:

E = 115 , ⋅ 10 −6 J ≈ 0,7 MeV

(16.28.)

Na svako jezgro koje se sudara otpada polovina navedene veličine (0,35 MeV). Srednjoj energiji toplotnog kretanja od 0,35 MeV odgovara temperatura reda veličine 2 109 K (prema relaciji E=kT, gdje je k=1,38 10-23 JK-1). Međutim, fuzija lakih jezgri može se ostvariti na znatno nižim temperaturama (107 K). Ovo se može objasniti na slijedeći način, statistička raspodjela čestica po brzinama, podrazumijeva da postoji uvijek jedan broj jezgri čija energija znatno prelazi srednju vrijednost. Na principu fuzije zasniva se hidrogenska bomba. Da bi se postigla potrebna temperatura od 107 K koristi se kao upaljač atomska bomba (fisija). Za hidrogensku bombu obično se koristi sinteza deuterija i tricija: 1

H 2 +1 H 3 → 2 He 4 + n + 17,6 MeV

(16.29.)

Pri ovoj reakciji oslobađa se energija od 17,6 MeV što iznosi oko 3,5 MeV po nukleonu. Radi usporedbe navedimo da cijepanje jezgre urana oslobađa oko 0.85 MeV po nukleonu. Sinteza jezgri vodika u jezgra helija je izvor energije Sunca i zvijezda, u čijoj unutrašnjosti temperatura dostiže 107 - 108 K. Sinteza u zvijezdama ostvaruje se na dva načina. Pri nižim temperaturama javlja se sinteza dva protona koji obrazuju jezgra helija 2He2, koje se raspada radioaktivnim beta β+ raspadom: 1

H 1 +1 H 1 → 2 He 2 →1 H 2 + β + + υ + 1,35 MeV

(16.30.)

Tako dobiveno Jezgra teškog vodika (deuterij) 1H2 sudara se s protonom i sa njim tvori tricij: (16.31.) H 1 + H 2 → H 3 + β + + υ + 4,6 MeV 1

1

1

Proces se završava reakcijom:

14

2

He3 + 2 He3 → 2 He 4 + 2 p

(16.32.)

tj. formiranjem jezgre helija i dva protona. Na višim temperaturama veću vjerojatnost ima jedna druga termonuklearna reakcija, tzv. Ugljično-dušični ciklus. Konačni rezultat svih etapa ovog ciklusa je obrazovanje jezgri helija. Ovakvim termonuklearnim fuzionim reakcijama na Suncu (i zvijezdama) dolazi do smanjenja količine vodika i povećanje količine helija. Međutim, obzirom na postojeće količine vodika može se očekivati da će se tokom slijedećih nekoliko milijardi godina ove nuklearne reakcije odvijati skoro nesmanjenim intenzitetom. 16.9. Kontrolirana fuzija Na Zemlji je fuziona energija dobivena samo u veoma kratkotrajnim eksplozijama hidrogenskih bombi. Međutim, ovo su nekontrolirane fuzione reakcije. Kontrolirane termonuklearne reakcije, biće moguće ostvariti tek onda, kada se u laboratorijskim uvjetima ostvare uvjeti slični onima koji vladaju u zvijezdama. Kontrolirana fuzija, pružit će čovječanstvu neiscrpan izvor čiste i jeftine energije. Na primjer, pri fuziji deuterija, koji je sadržan u 1 litri obične vode, oslobodilo bi se isto toliko energije koliko se dobije sagorijevanjem oko 350 litara benzina. Kao sirovinu za kontroliranu fuziju treba koristiti deuterij i tricij, čije su zalihe u oceanima neiscrpne. Posebno su interesantne ove reakcije koje se mogu ostvariti u ionizovanoj vreloj plazmi vodika:

1

1

2

He 3 + n + 3,25 MeV

1

H 3 + p + 4,0 MeV

H 2 +1 H 2 (16.33.)

H 3 +1 H 3 → 2 He 4 + n + 17,6 MeV

U hidrogenskoj bombi termonuklearna reakcija ima nekontroliran karakter. Za ostvarivanje kontrolirane termonuklearne reakcije potrebno je dostići i održavati u nekoj zapremini temperaturu reda veličine 108 K. Na tako visokoj temperaturi supstanca predstavlja potpuno ionizovanu plazmu. Za ostvarivanje kontrolirane termonuklearne reakcije postoje ogromne teškoće. Pored toga što je potrebno ostvariti vosku temperaturu, problem je održavanje plazme u zadanoj zapremini. Dodirivanje plazme sa zidovima suda dovodi do njenog hlađenja. Osim toga, zidovi od bilo kakvog materijala na takvoj temperaturi bi brzo isparili. Problem izolacije plazme pokušava se riješiti tzv. magnetnom termoizolacijom. kada se kroz smjesu lakih gasova propusti veoma jaka električna struja, dolazi do slijedećih pojava: a) uslijed intenzivne ionizacije dolazi do stvaranja plazme, b) plazma se zagrijava na račun izdvojene toplotne energije i c) dolazi do formiranja plazmenog stuba oko uzdužne ose. Magnetno polje električne struje djeluje na svaku naelektriziranu česticu, koja se kreće duž plazmene niti, Lorentzovom silom F.., uslijed čega plazmeni stup biva odvojen od zidova suda i koncentrira se oko uzdužne ose suda, (slika 16.9a).

15

Pojava sažimanja plazmenog sloja u magnetskom polju poznata je kao "pinčefekt". Na žalost, plameni sloj pokazao se veoma nestabilan, slika 16.9b. Suvremeni plameni reaktori ostvarili su plameni stup u veoma kratkom vremenu (djelići sekunde). Pored toga postignute temperature plazme su niske (106 K), a plameni stuba je nedovoljno stabilan tako da se brzo izgubi termoizolacija i stuba se raspada. U posljednje vrijeme, uspjelo se dobiti supervisoke temperature (108 K) unutar male zapremine, fokusiranjem snažnog laserskog snopa i time ostvariti termonuklearnu reakciju ali u vrlo kratkom vremenu. Možemo na kraju, s žaljenjem zaključiti da je termonuklearna reakcija još uvijek daleko od tehničkih rješenja koja bi omogućila njenu eksploataciju kao jeftinog, čistog i neiscrpnog izvora energije. Iz ovih razloga veliki broj naučnika razvijenog svijeta radi na rješavanju ovog problema, jer fuzionog goriva deuterijuma i tricijuma ima u neograničenim količinama na našoj planeti.

16