ENERGI POTENSIAL GRAVITASI UNTUK GERAK SEPANJANG LINTASAN MELENGKUNG Flain ∆x y1
∆y
∆s
w = m g
y2
w=
mg 0 (a)
(b)
Gambar 4. (a) Perpindahan sepanjang lintasan melengkung, (b) erja yang dilakukan dilakukan !leh gaya gra"itasi gra"itasi w = mg hanya bergantung pada k!mp!nen perpindahan "erti#al ∆y (dalam gambar ini ∆y negati$). Pada benda bekerja gaya gra"itasi % = m g dan mungkin gaya&gaya lain yang resultante resultantenya nya disebut disebut Flain. 'ntuk men#ari besar kerja yang dikerjakan !leh gaya gra"itasi selama perpindahan, lintasan dibagi menjadi bagian&bagian ke#il ∆s, seperti pada gambar 4 (b). erja yang dilakukan !leh gaya gra"itasi pada pada bagi bagian an ini ini meru merupa paka kan n hasi hasill kali kali skal skalar ar anta antara ra gaya gaya dan dan jara jarak k (perpindahan). (perpindahan). alam satuan bentuk "ekt!r, gaya adalah w = mg = & mg j dan perpindahan adalah ∆s = ∆xi ∆y j, sehingga kerja yang dilakukan !leh gaya gra"itasi adalah *
w + ∆s = mg j + (∆xi ∆y j) = mg∆y
erj erja yang yang dila dilak kukan ukan !leh !leh gaya gaya gra" gra"iitasi tasi sama sama se!la e!lah h bend benda a tel telah mengalami perpindahan "ertikal ∆y, tanpa perpindahan h!ri-!ntal. al ini berlaku berlaku sama untuk setiap setiap bagian, bagian, sehingga sehingga kerja kerja t!tal yang dilakukan dilakukan !leh gaya gaya gra" gra"it itasi asi adal adalah ah perka perkali lian an anta antara ra / mg deng dengan an perp perpin indah dahan an t!ta t!tall "ertikal (y / y1).
gra" = mg(y / y1) = mgy1 / mgy = '1 / '
Persa ersama maan an ini ini sama sama deng dengan an pers persam amaa aan n (1) (1) dan dan (2), (2), deng dengan an asum asumsi si pergerakan benda hanya terjadi sepanjang lintasan "ertikal saja, sehingga meski meskipu pun n lint lintas asan an benda benda yang yang diik diikut utii antar antara a dua dua titi titik k adal adalah ah sebua sebuah h kur"a3 kur"a3len lengk gkung ungan, an, kerja kerja t!tal t!tal yang dilak dilakuk ukan an !leh gaya gaya gra"it gra"itasi asi hanya hanya bergantung pada perbedaan ketinggian antara dua titik lintasan. erja ini tidak dipengaruhi !leh gerak h!ri-!ntal yang mun#ul. adi dapat digunakan pernyataan yang sama untuk energi p!tensial gra"itasi, baik untuk lintasan benda yang melengkung atau garis lurus.
Contoh So! "# * 5nergi pada gerak peluru. 6e!rang pemukul b!la memukul dua buah b!la identik dengan laju a%al yang sama tetapi dengan sudut a%al yang berbeda. 7uktikan bah%a pada ketinggian h, kedua b!la memiliki laju yang sama jika hambatan udara diabaikan.
P$ny$!$sin * ika tidak terdapat hambatan udara, maka hanya gaya berat yang bekerja pada kedua b!la setelah b!la dipukul, sehingga energi mekanik t!tal untuk setia setiap p b!la b!la k!ns k!nsta tan. n. Gamba Gambarr 8 menu menunj njukk ukkan an lint lintas asan an kedua edua b!la b!la yang yang dipukul pada ketinggian yang sama dan laju yang sama karena itu energi mekanik t!talnya sama, tetapi memiliki sudut a%al yang berbeda. 6etiap titik dengan dengan ketin ketinggi ggian an yang yang sama sama akan akan menghas menghasilk ilkan an energi energi p!tensi p!tensial al yang yang sama, sama, sehing sehingga ga akibat akibatnya nya energi energi kineti kinetik k pada pada ketin ketinggi ggian an ini pasti pasti sama sama untuk kedua b!la, dan laju kedua b!la akan sama juga. y
h 5
' 9!l
Pada y = h 5
'
0
x Pada y = 0 Gamb Gambar ar 8. 'ntu 'ntuk k laju laju dan dan ketin etinggi ggian an a%al a%al yang yang sama sama,, laju laju peluru peluru saat saat ketinggian h akan selalu sama, hambatan udara diabaikan.
ENERGI POTENSIAL ELASTIS Pada saat karet ketapel ketapel ditarik ditarik akan meregang dan kemudian kemudian dilepas dari tangan karet ketapel bergerak menjauh dengan laju yang sama dan arah berl berla% a%an anan an (ini (ini juga juga terj terjad adii pada pada pega pegas, s, mesi mesin n pema peman# n#an ang) g).. 6ela 6elama ma interak interaksi si dengan dengan karet karet ketap ketapel, el, energi energi kineti kinetik k tangan tangan telah telah diubah diubah dan :disimpan; dalam bentuk de$!rmasi elastik karet. erja erja yang dilakukan dilakukan karet !leh gaya yang meregangkannya dan kerja tersebut akan disimpan dalam karet sampai tangan melepaskan. an ketika karet ketapel dilepaskan, maka karet karet ketap ketapel el akan akan memberi memberikan kan energi energi kineti kinetik k pada batu (peluru (peluru). ).
(a)
x=0 m 0
x x (b)
x1
el
>0 m
Fpegas
0 x x1
(#)
x
el ?
0 m 0
Fpegas
x (d)
xx
el ? 0 m
Fpegas
0
x Gambar @. (a) 6ebuah bal!k dikaitkan pada sebuah pegas dalam keadaan setimbang (x = 0) pada permukaan h!ri-!ntal, tidak tertekan atau teregang. (b) etika bal!k bergerak dari x1 p!siti$ ke x p!siti$, x ? x1, pegas melakukan kerja negati$ saat ditarik. (#) etika bal!k bergerak dari x 1 p!siti$ ke x p!siti$, x > x1, pegas akan mengendur dan melakukan kerja p!siti$. (d) etika bal!k bergerak dari x 1 negati$ ke x yang kurang negati$, pegas yang tertekan menjadi mengendur dan kembali melakukan kerja p!siti$. erja yang harus dilakukan pada pegas untuk memindahkan satu ujung yang dari perpanjangan x1 ke perpanjangan lain x adalah *
= A kx / A kx1 (kerja yang dilakukan pada pegas)
k merupakan k!nstanta pegas. ika sebuah pegas diregangkan lebih jauh berarti telah melakukan kerja p!siti$ pada pegas, sedangkan jika pegas dilepaskan setelah pegas diregangkan dengan mempertahankan salah satu ujungnya agar tetap pada p!sisinya, maka yang telah dilakukan adalah kerja negati$. apat dilihat persamaan untuk kerja di atas masih berlaku jika pegas dalam keadaan ditekan, sehingga x1 atau x atau kedua&duanya negati$. ari hukum ketiga 9e%t!n kedua besaran kerja akan negati$ satu sama lain. engan mengubah tanda pada persamaan di atas, maka ditemukan bah%a dalam perpindahan dari x1 ke x, pegas melakukan sejumlah kerja el yang besarnya *
el = A kx1 / A kx (kerja yang dilakukan !leh pegas)
6ubskrip :el; menandakan arti elastis. Pada gambar @ (b), ketika x 1 dan x bernilai p!siti$ dan x ? x1, pegas melakukan kerja negati"e pada bal!k, sehingga bal!k akan bergerak dalam arah x p!siti$, sedangkan pegas akan menariknya ke arah x negati$. etika pegas diregang lebih jauh gerak bal!k akan semakin lambat. Pada gambar @ (#), bila x 1 dan x keduanya bernilai p!siti$ dan x > x1, pegas melakukan kerja p!siti$ pada saat kembali ke arah n!rmal dan gerak bal!k akan semakin #epat. ika bal!k dapat ditekan sebaik saat diregang, x1 dan x atau keduanya mungkin bernilai negati$, meskipun demikian persamaan untuk el tetap berlaku. Pada gambar @ (d), kedua nilai x1 dan x negati$, tetapi x lebih besar dari x 1, akibatnya pegas yang ditekan melakukan kerja p!siti$ saat mengendur dan gerak bal!k akan semakin #epat. 6eperti halnya pada kerja gra"itasi, maka kerja yang dilakukan !leh pegas dalam bentuk besaran yang diberikan dalam sebagai $ungsi perpindahan a%al dan akhir. 7esaran ini adalah A kx , dan dideBnisikan sebagai $n$%gi
&ot$nsi! $!stis '$!sti( &ot$nti! $n$%gy) *
' = A kx (energi CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC (D)
p!tensial
elastis
)
'
x x>0 (ditekan)
0
x?0 (diregang)
Gambar E. GraBk energi p!tensial elastis untuk pegas ideal, berbentuk parab!la. ' = A kx , dengan x jarak penekanan3peregangan pegas. 'ntuk penekanan3peregangan x akan p!siti$. 'ntuk penekanan (ketika memungkinkan), x negati$.
Gambar E merupakan graBk dari persamaan (D), satuan ' adalah !ule (), satuan ini digunakan untuk semua besaran energy dan kerja, perlu diingat dalam persamaan (D) bah%a satuan k adalah 93m dan 1 9.m = 1 . Persamaan (D) dapat digunakan untuk menyatakan kerja el yang dilakukan pada bal!k !leh gaya elastis dalam bentuk perubahan energi p!tensial *
el = A kx1 / A kx CCCCCCCCCCCCCCCCCC (10)
=
'1
/
'
=
∆'
ika pegas yang telah diregang, diregang lebih jauh, seperti gambar @ (b), maka el bernilai negati$ dan ' akan bertambah, sejumlah energi p!tensial elastis disimpan dalam pegas. Pada saat pegas yang teregang kembali menuju n!rmal, seperti gambar @ (#), nilai x berkurang, el bernilai p!siti$ dan ' berkurang, pegas kehilangan energi p!tensial elastis.
0 dan ' bertambah besar, ketika pegas kembali dilepas seperti gambar @ (d), el ? 0 dan ' berkurang. 5nergi p!tensial elastis sebuah pegas akan semakin meningkat ketika pegas semakin tertekan atau teregang.
At$nsi * Perbedaan penting antara energy p!tensial gra"itasi ' = mgy dan energi p!tensial elasti# ' = A kx adalah tidak bebas untuk memilih x = 0 yang diinginkan.
t!t = el = '1 / '
Fe!rema kerja&energi t!t = / 1 akan memberikan *
1 '1 = ' CCCCCCCCC. (11)
(jika hanya gaya elastis yang bekerja)
isini ' diper!leh dari persamaan (D), maka *
A m"1 A kx1 = A m" A kx (jika hanya gaya elastis saja yang bekerja) CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC (1)
Pada kasus ini energi mekanik t!tal 5 = ' (penjumlahan energy kineti# dan energi p!tensial elastis) akan kekal. 6ebagai #!nt!hnya gerak bal!k pada gambar @, diberikan permukaan h!ri-!ntal yang li#in, jadi tidak ada gaya yang bekerja pada bal!k tersebut selain gaya yang diberikan !leh pegas.
ika gaya&gaya lain selain gaya elastis juga bekerja pada suatu benda, kerja tersebut dapat dinamakan dengan lain seperti sebelumnya, sehingga t!t = el lain dan dari te!rema kerja&energi menghasilkan *
el lain = / 1
erja yang dilakukan !leh pegas tetap el = '1 / ', sehingga sekali lagi *
1 '1 lain = ' (jika gaya&gaya lain selain gaya elastis juga bekerja) CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC CCCCCC (12)
dan
A m"1 A kx 1 lain = A m" A kx
(jika gaya&gaya lain selain
gaya elastis juga CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC (14)
bekerja)
Persamaan ini menunjukkan bah%a kerja yang dilakukan !leh semua gaya selain gaya elastis sama dengan perubahan energi mekanik t!tal 5 = ' dari suatu sistem, dengan ' adalah energi dari gaya elastis pegas. 6istem yang dimaksud terdiri dari massa benda m, dan k!nstanta pegas k. etika lain p!siti$, 5 meningkat, sedangkan ketika lain negati$, 5 menurun. H!ba bandingkan persamaan (14) dengan persamaan (I) yang menggambarkan keadaan dimana terdapat energi p!tensial gra"itasi tetapi tanpa energi p!tensial elastis.
SISTEM +ARI ,EN+A -ANG MELI,ATKAN POTENSIAL GRAVITASI +AN ELASTIS
ENERGI
Persamaan (11), (1), (12, dan (14) berlaku hanya pada saat energi p!tensial suatu sistem hanya terdiri dari energi p!tensial elastis. ika kedua gaya gra"itasi dan elastis bekerja, misal pada bal!k yang diikatkan pada ujung ba%ah pegas dengan p!sisi "ertikal. Persamaan (12) masih dapat digunakan, tetapi sekarang '1 dan ' merupakan nilai a%al dan akhir dari energi p!tensial t!tal, yaitu ' = ' gra" 'el. Pernyataan umum gabungan antara energi kinetik, energi p!tensial dan kerja yang dilakukan !leh gaya&gaya lain adalah *
1 'gra", 1 'el, 1 lain = 'gra", 'el, (berlaku se#ara umum) CCCC.. CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC CCCCCC (18)
adi, .$%j yng /i!.0.n o!$h s$10 gy s$!in /%i gy g%itsi
t0 $!stis s1 /$ngn &$%03hn $n$%gi 1$.ni. tot! E = K 4 U /%i s0t0 sist$15 /$ngn U 1$%0&.n &$nj01!hn $n$%gi &ot$nsi! g%itsi /n $n$%gi &ot$nsi! $!stis . ika hanya gaya gra"itasi dan gaya elastis yang melakukan kerja pada benda, maka lain = 0 dan energi mekanik t!tal (termasuk energi p!tensial gra"itasi dan elastis) akan kekal. J!mpat galah merupakan salah satu #!nt!h dari trans$!rmasi antara energi kinetik, energi p!tensial elastis dan energi p!tensial gra"itasi. 5nergi kinetik a%al se!rang atlet sebagian akan disimpan sebagai energi p!tensial elastis pada galahnya. 6ebagian besar dari energi p!tensial elastis ini kemudian digunakan untuk membantu menambah energi p!tensial gra"itasi yang diperlukan untuk mel!mpati palang.
6trategi yang digunakan pada subbab energi p!tensial gra"itasi akan berguna untuk menyelesaikan s!al&s!al yang melibatkan gaya gra"itasi seperti halnya energi p!tensial elastis. Kang merupakan gagasan baru adalah energi p!tensial ', sekarang melibatkan energi p!tensial elasti# ' el = A kx , dengan x menyatakan perpindahan pegas dari panjang tanpa tarikan (p!sisi setimbang). erja yang dilakukan !leh gaya gra"itasi dan gaya elastis dihitung untuk energi p!tensial dan kerja yang dilakukan gaya&gaya lain lain dilibatkan se#ara terpisah.
Contoh So! 6# * Gerak dengan energi p!tensial elastis. alam gambar I (a) sebuah glider dengan massa m = 0,00 kg yang berada di atas lintasan rel udara h!ri-!ntal tanpa gesekan, dan dihubungkan dengan pegas yang memiliki k!nstanta pegas k = 8,00 93m. Glider tersebut ditarik sehingga pegas akan memanjang sejauh 0,100 m, dan kemudian dilepaskan tanpa ke#epatan a%al, pada gambar I (b). Glider akan mulai bergerak maju mundur di sekitar p!sisi kesetimbangannya (x = 0). 7erapakah ke#epatan " nya saat x = 0,0I0 m L
P$ny$!$sin * (a)
pegas 9!l 5
(b)
9!l
9!l
'
x=0 m = 0,00 kg
0,100 m
9!l ditarik tangan
5
pegas
'
titik 1
0,0I0 m
m
"=0
(#)
pegas
titik m
5
'
Gambar I. (a) Glider pada rel udara dikaitkan pada pegas. (b) 5nergi p!tensial elastis ditambahkan ke dalam sistem dengan menarik pegas. (#) 5nergi p!tensial elastis diubah menjadi energi kinetik saat glider bergerak maju mundur di sekitar titik kesetimbangan.
Gaya pegas berubah sesuai p!sisinya, jadi s!al ini tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan gerak dengan per#epatan tetap, sebaliknya dengan met!de energi, dengan #ara yang sederhana . Pada saat glider mulai bergerak, energi p!tensial elastis diubah menjadi energi kinetik, sehingga energi p!tensial gra"itasi bukan salah satu $akt!r. Gaya pegas merupakan satu&satunya gaya yang melakukan kerja pada glider, sehingga lain = 0, dan dapat digunakan persamaan (11). Fitik 1 diambil pada saat glider dilepaskan (gambar I b) dan titik diambil pada x = 0,0I0 m (gambar I #). 7esaran energinya adalah *
1 = A m"1 = A (0,00 kg)(0 m3s) = 0
'1 = A kx1 = A (8,00 93m)(0,100 m) = 0,080
= A m"
' = A kx = A (8,00 93m)(0,0I0 m) = 0,01@0
engan persamaan (11), 1 '1 = ', maka *
= 1 '1 ' = 0 0,080 / 0,01@0 = 0,00D0
(0,00D0 )
" = M 7 &&&&&&&&&&&&& = 7 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& = M 0,20 m3s m
0,00 kg
ipilih akar negati$ karena glider bergerak dalam arah x negati$, ja%aban yang diinginkan adalah " = 0,20 m3s.
Contoh So! 8# * Gerak dengan energi p!tensial elastis dan kerja yang dilakukan gaya&gaya lain. 'ntuk sistem pada #!nt!h s!al 4, misalkan keadaan a%al glider diam pada x = 0, dan pegas tidak dalam keadaan teregang. emudian gaya F diberikan ke arah x p!siti$ dengan besar 0,@10 9 pada glider. 7erapakah laju glider pada saat telah bergerak x = 0,100 m L
P$ny$!$sin * Gaya pegas berubah sesuai dengan p!sisinya. 5nergi mekanik t!tal tidak kekal karena kerja yang dilakukan !leh gaya , tetapi masih dapat digunakan hubungan energi yang dinyatakan dalam persamaan (12). Fitik 1 diambil pada x = 0 dan titik pada x = 0,100 m (titik ini berbeda dengan keterangan titik&titik pada gambar I). 7esaran energi dapat dinyatakan sebagai berikut *
1 = 0 ,
'1 = 0
= A m",
' =13 kx = A (8,00 93m)(0,100 m) = 0,080
lain = Fx = (0,@10 9)(0,100 m) = 0,0@10
'ntuk menghitung lain yaitu mengalikan besar gaya dengan perpindahan, karena keduanya berada pada arah x p!siti$. Pada saat a%al energi mekanik t!tal sama dengan n!l, kerja yang dilakukan !leh gaya F menambah energi mekanik t!tal sampai 0,0@10 , dengan 0,080 merupakan energi p!tensial elastis. ari persamaan (12) diper!leh *
1 '1 lain = '
= 1 '1 lain / ' = 0 N 0,0@10 / 0,080 = 0,02@0
(0,02@0 )
" = 7 &&&&&&&&&&&&&&& = 7 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& = 0,@0 m3s m
0,00 kg
GA-A KONSERVATIF +AN GA-A NONKONSERVATIF ika sebuah glider bergerak h!ri-!ntal pada jalur tanpa gesekan, menuju peredam pegas di ujung jalur, pegas akan tertekan dan akhirnya gilder akan berhenti. akan tetapi glider terpantul balik, dan jika tidak terdapat gesekan maka glider tersebut memiliki laju dan energi kinetik yang sama dengan yang dimiliki sebelumnya bertabrakan dengan pegas. adi terjadi perubahan dua arah dari energi kinetik menjadi energi p!tensial atau sebaliknya. ari #!nt!h tersebut dapat dideBnisikan $ungsi sebuah energi p!tensial sehingga energi mekanik t!tal, yaitu energi kinetik ditambah energi p!tensial akan k!nstan atau kekal selama pergerakan.
6ebuah gaya yang mampu menghasilkan perubahan dua arah antara energi kinetik dan energi p!tensial dinamakan gy .ons$%ti9 '(ons$%ti$ 9o%($), #!nt!hnya gaya gra"itasi dan gaya pegas. Hiri penting dari gaya k!nser"ati$ adalah kerja yang dihasilkannya selalu re"ersible (dapat diubah kembali ke asalnya).
ika benda bergerak dalam lintasan tertutup, titik a%al dan titik akhir berada pada titik yang sama, maka kerja t!tal yang dilakukan !leh gaya gra"itasi akan selalu bernilai n!l.
erja yang dilakukan !leh gaya k!nser"ati$ selalu memiliki si$at&si$at sebagi berikut * 1. apat selalu dinyatakan sebagai perbedaan antara nilai a%al dengan nilai akhir dari $ungsi energy p!tensial. . 7ersi$at re"ersible (bisa b!lak balik). 2. Fidak tergatung pada lintasan benda dan hanya tergantung pada titik a%al dan titik akhir lintasan. 4. etika titik a%al dan akhir sama, kerja t!tal yang dihasilkan sama dengan n!l.
ika satu&satunya gaya yang melakukan kerja merupakan gaya k!nser"ati$, maka energy mekanik t!tal 5 = ' akan k!nstan. Fidak semua gaya merupakan gaya k!nser"ati$. Gaya gesekan yang terjadi saat peti kayu melun#ur pada ramp, ketika benda bergerak naik dan kembali turun menuju titik a%al, kerja t!tal yang yang dilakukan padanya !leh gaya gesek tidak sama dengan n!l. ika arah gerakan dibalik, begitu juga gaya gesekan, dan hambatan melakukan kerja negati$ pada kedua arah. emikian juga saat sebuah m!bil dengan rem terkun#i tergelin#ir mem!t!ng tr!t!ar dengan laju yang menurun (dan penurunan energi kinetik), energi kinetik yang hilang tidak dapat dikembalikan dengan membalik arah gerakan atau dengan #ara lain, dan energi mekanik tidak kekal. adi ti/. t$%/&t 90ngsi $n$%gi &ot$nsi! 0nt0. gy g$s$. . engan #ara yang sama, gaya hambatan pada Ouida juga tidak k!nser"ati$, b!la yang dilempar ke atas di udara, hambatan udara untuk melakukan kerja negati"e pada b!la tersebut baik pada saat naik maupun turun, b!la akan kembali ke tangan dengan laju dan energi kinetik yang lebih ke#il, dan tidak ada #ara untuk mengembalikan energi mekanik yang hilang.
6ebuah gaya yang tidak k!nser"ati$ dinamakan gy non.ons$%ti9 'non(ons$%ti$ 9o%($). erja yang dilakukan gaya n!nk!nser"ati$ tidak dapat dinyatakan dalam $ungsi energi p!tensial. 7erma#am gaya n!nk!nser"ati$, seperti gesekan kinetik, atau hambatan udara, menyebabkan energi mekanik menjadi hilang atau berkurang gaya jenis ini dinamakan gy /isi&si '/issi&ti$ 9o%($). uga terdapat gaya n!nk!nser"ati$ yang menaikkan energi mekanik, sebagai #!nt!h pe#ahan hasil ledakan sebuah b!m yang terbang dengan energi mekanik yang sangat
besar, karena reaksi kimia antara serbuk kimia dengan !ksigen. Gaya yang dihasilkan !leh reaksi kimia ini n!nk!nser"ati$ karena pr!sesnya tidak re"ersible. 7ayangkan bila hasil ledakan b!m se#ara sp!ntan menyusun diri menjadi sebuah b!m kembali Q
Contoh So! :# * erja gesekan bergantung pada lintasan. 6audara tengah menyusun ulang perab!tan, akan dipindahkan 40,0 kg kursi sejauh ,80 m dalam sebuah ruangan.
P$ny$!$sin *
kursi
titil 1
meja k!pi m
,00 ,80 m
titik 1,80 m Gambar D. Fampilan tampak atas perab!tan yang akan dipindahkan.
Fitik a%al dan akhir ditunjukkan pada gambar D. ursi dalam keadaan diam di titik 1 dan , maka 1 = = 0, energi p!tensial gra"itasi tidak berubah karena kursi dipindahkan dalam arah h!ri-!ntal, se#ara khusus dinyatakan '1 = ' = 0. ari persamaan (E) diper!leh lain = 0. erja lain yang dilakukan pada kursi merupakan penjumlahan kerja p!siti$ yang dilakukan saudara sdr
dan kerja negati$ gesek yang dilakukan !leh gaya gesek kinetik. Nleh karena penjumlahan kedua kerja tersebut sama dengan n!l, maka * sdr = gesek
Jantai h!ri-!ntal, gaya n!rmal dari kursi sama dengan berat kursi tersebut, % = mg, dan besar besar gaya gesek $ k = R kS = Rk% = Rkmg, sehingga kerja yang harus saudara lakukan sepanjang lintasan adalah *
sdr = gesek = ($ ks) = Rkmgs = (0,00)(40,0 kg)(D,I0 m3s) (,80 m)
= 1D@ (lintasan garis lurus)
sdr = gesek = (0,00)(40,0 kg)(D,I0 m3s)(,00 m 1,80 m)
= E4 (lintasan siku&siku)
adi kerja tambahan yang harus saudara lakukan adalah = E4 / 1D@ = EI . erja yang dilakukan !leh gesekan adalah gesek = sdr = 1D@ untuk lintasan garis lurus, dan gesek = sdr = E4 untuk lintasan siku&siku. adi gaya gesek merupakan gaya n!nk!nser"ati$, sehingga kerja yang dilakukan !leh gesekan tergantung pada lintasan yang diambil.
;UKUM KEKEKALAN ENERGI Gaya n!nk!nser"ati$ tidak dapat dinyatakan dalam persamaan energi p!tensial, tetapi dapat digambarkan e$ek dari gaya tersebut dalam bentuk energi selain energi kinetik dan p!tensial. (Pada saat m!bil yang bergerak direm mendadak agar berhenti, ban dan permukaan jalan akan menjadi panas). 5nergi yang berkaitan dengan perubahan material ini dinamakan energi dalam (internal energy). enaikan temperatur sebuah benda dapat menaikkan energi dalam, penurunan suhu benda dapat menyebabkan penurunan energi dalam.
Pengaruh energi dalam dapat dilihat dengan memperhatikan sebuah bal!k yang melun#ur di atas permukaan yang kasar. Gesekan melakukan kerja negati$ pada bal!k saat melun#ur, perubahan energi dalam dari bal!k dan permukaan (keduanya menjadi panas) adalah p!siti$. Per#!baan yang sangat hati&hati menunjukkan bah%a kenaikan energi dalam tetap sama dengan nilai abs!lut dari kerja yang dilakukan !leh gesekan.
∆'dalam = lain
∆'dalam merupakan perubahan energi dalam. persamaan (E), (12) atau (18), maka diper!leh *
ika
disubstitusikan
ke
1 '1 ∆'dalam = '
engan menuliskan ∆ = / 1 dan ∆' = ' / '1, persamaan di atas dapat dinyatakan kembali menjadi *
∆ ∆' ∆'dalam CCCCCCCCCCCCCC (1@)
=
0
(hukum
kekalan
energi)
Persamaan tersebut merupakan bentuk umum dari h0.01 .$.$.!n $n$%gi '!w o9 (ons$%tion o9 $n$%gy). alam suatu pr!ses, energi kinetik, energi p!tensial dan energi dalam suatu sistem dapat berubah semuanya, tetapi jumlah dari semua perubahan tersebut selalu n!l. ika terdapat penurunan suatu bentuk energi, maka terjadi peningkatan bentuk energi yang lain. Pengembangan deBnisi energi yang melibatkan energi dalam, persamaan (1@) menyatakan 3hw $n$%gi ti/. /&t /i(i&t.n t0 /i10snh.n t$t&i hny /&t 3$%03h 3$nt0. .
alam persamaan (1@) k!nsep kerja telah dihilangkan, meskipun demikian persamaan ini menggambarkan perubahan energi dari suatu bentuk ke bentuk lain. (I!0st%si * 6aat b!la baseball dilempar ke atas, energi dalam m!lekul&m!lekul tubuh sebagian diubah menjadi energi kinetik yang dimiliki b!la, lalu diubah menjadi energi p!tensial gra"itasi sehingga b!la dapat naik
ke atas dan pada saat jatuh energi p!tensial gra"itasi diubah menjadi energi kinetik. ika terdapat hambatan udara, sebagian energi b!la digunakan untuk memanaskan udara dan b!la serta menaikkan energi dalam, energi ini diubah kembali menjadi energi kinetik pada saat b!la jatuh. ika b!la ditangkap dengan tangan, energi yang dikandungnya tidak hilang tetapi kembali menjadi energi dalam, b!la dan tangan akan terasa lebih hangat dibandingkan saat a%al b!la dilempar). 7agaimana perubahan energi yang terjadi di PJF< L
GA-A +AN ENERGI POTENSIAL enis gaya k!nser"ati$ (gra"itasi dan elastik) telah dipelajari di depan. Perilaku dari gaya dan penurunan bentuk persamaan untuk energi p!tensial dari sebuah benda bermassa m yang berada dalam medan gra"itasi h!m!gen, maka gaya gra"itasi dapat dinyatakan dalam bentuk y = % = mg. 7entuk energi p!tensial yang sesuai adalah ' (y) = mgy (gambar 10 a). 'ntuk menarik gaya pegas ideal sejauh x, gaya yang diberikan sama dengan kx. 7erdasarkan hukum ketiga 9e%t!n, gaya yang diberikan !leh pegas ideal pada berla%anan arah (aksi = reaksi), atau sebesar x = kx. ungsi energi p!tensial yang berkaitan dengan hal ini adalah sebesar ' (x) = A kx (gambar 10 b). Pr!sedur tersebut sekarang dibalik, jika diberi persamaan energi p!tensial maka dapat menentukan gaya yang sesuai dengan #ara menganggap gerak sepanjang garis lurus dengan k!!rdinat x. !mp!nen x dari gaya tersebut ditandai sebagai $ungsi x, dengan x(x) dan energi p!tensial sebagai ' (x). (Tngat n!tasi x dan ' merupakan $ungsi dari x). erja yang dilakukan gaya k!nser"ati$ selama perpindahan sama dengan perubahan negati$ ∆' dalam energi p!tensial *
= ∆'
'ntuk perpindahan yang ke#il ∆x, kerja yang dilakukan !leh gaya x(x) selama perpindahan ini mendekati x(x) ∆x, dikatakan :mendekati; karena terdapat kemungkinan x(x) berubah sedikit pada inter"al ∆x, tetapi pendekatan ini dianggap benar, sehingga *
x(x) ∆x = ∆' dan x(x) = ∆'3∆x
x(x) = d'(x)3dx CCCCCCCC.. (1E)
(gaya
dari
energi
p!tensial
satu
dimensi)
asil ini masuk akal, untuk daerah '(x) berubah se#ara #epat dengan x (yaitu nilai d'3dx yang besar), sejumlah besar kerja dilakukan selama perpindahan yang dilakukan dan hal ini berhubungan dengan besaran gaya yang besar. etika x(x) terjadi pada arah x p!siti$, '(x) akan menurun saat x naik. adi x(x) dan ∆'(x)3dx memiliki tanda yang saling berla%anan.
' = mgy
y
' = A kx
x 0 0
y y
x = kx 0 0
x
y
y = mg
(a)
(b)
'ntuk membuktikannya, perhatikan $ungsi untuk energi p!tensial elastis, '(x) = A kx. engan mensubstitusikan pada persamaan (11) memberikan * d x(x) = &&&&&&13 kx = kx dx
al ini sesuai dengan persamaan untuk gaya yang dihasilkan !leh pegas ideal.
Contoh So! <# * Gaya listrik dan energi p!tensialnya. 6ebuah partikel bermuatan listrik ditahan dalam keadaan diam pada x = 0, dan sebuah partikel kedua dengan muatan yang sama bebas bergerak sepanjang sumbu x p!siti$. 5nergi p!tensial sistem ini adalah '(x) = H3x, dengan H merupakan k!nstanta p!siti$ yang bergantung pada besar muatan. Furunkan persamaan k!mp!nen x gaya pada muatan bergerak sebagai $ungsi p!sisinya.
P$ny$!$sin * ungsi energi p!tensial '(x), sehingga dapat digunakan persamaan (1E). Furunan dari $ungsi 13x terhadap x adalah 13x, sehingga gaya pada muatan yang bergerak untuk x ? 0 adalah *
d'(x)
x(x) = &&&&&&&&&&&&& = H 13x = H3x dx
!mp!nen x gaya bernilai p!siti$, sesuai dengan interaksi antara muatan listrik yang sejenis. 5nergi p!tensial akan bernilai besar untuk x yang ke#il dan mendekati n!l untuk x yang besar, gaya ini mend!r!ng muatan yang
bergerak ke arah x p!siti$ yang lebih besar dengan nilai energi p!tensial yang lebih ke#il. Nleh karena perubahan gaya, karena perubahan gaya yang terjadi sebanding dengan 13x, maka gaya bernilai ke#il untuk partikel yang terpisah jauh (nilai x yang besar), tetapi bernilai besar untuk partikel yang didekatkan (nilai x yang ke#il). al ini adalah #!nt!h dari ukum H!ul!mb untuk interaksi antar muatan listrik (isika asar TT).
GA-A +AN ENERGI POTENSIAL +ALAM TIGA +IMENSI 7ila sebuah partikel bergerak pada arah x, y dan -, atau seluruhnya sekaligus, di ba%ah pengaruh gaya k!nser"ati$ yang memiliki k!mp!nen x, y dan -, maka setiap k!mp!nen gaya dapat merupakan $ungsi dari k!!rdinat x, y dan -. ungsi energi p!tensial ' juga merupakan $ungsi dari tiga k!!rdinat ruang. Persamaan (1E) digunakan untuk men#ari setiap k!mp!nen gaya. Perubahan energi p!tensial ∆' terjadi ketika partikel bergerak pada jarak yang ke#il ∆x dalam arah x dapat di#ari dengan / x ∆x, energi ini tidak bergantung pada y, dan - yang menyatakan k!mp!nen gaya yang tegak lurus perpindahan dan tidak melakukan kerja, sehingga diper!leh hubungan pendekatan *
∆' x = &&&&&&&&&& ∆x
!mp!nen y dan - dari gaya ditentukan dengan #ara tepat sama *
∆'
∆'
y = &&&&&&&&&&, ∆y
- = &&&&&&&&&& ∆-
'ntuk membuat persamaan&persamaan di atas eksak, diambil limit ∆x 0, ∆y 0 dan ∆- 0, sehingga perbandingan di atas menjadi turunan. Nleh karena ' merupakan $ungsi dari ketiga k!!rdinat, harus diingat bah%a ketika menghitung setiap turunannya hanya satu k!!rdinat yang berubah terhadap %aktu. Furunan ' dihitung terhadap x dengan berasumsi y dan - k!nstan, dan hanya x yang berubah, dan seterusnya, turunan tersebut dinamakan
turunan parsial. 9!tasi yang biasa digunakan adalah U'3Ux dan seterusnya, simbul U merupakan m!diBkasi dari d untuk mengingat tentang si$at dari !perasi ini, sehingga dapat dituliskan *
U'
U'
U'
x = &&&&&&, y = &&&&&&, - = &&&&&& p!tensial) (1I) Ux
Uy
(gaya yang berasal dari energi
U-
Vekt!r satuan juga dapat digunakan untuk menuliskan bentuk persamaan "ekt!r tunggal untuk gaya dari F *
U'
F =
U'
U'
&&&&&&&& i &&&&&&&& j &&&&&&& .
(gaya yang berasal dari
energi Ux
Uy
U-
p!tensial) CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. (1D)
6uku di dalam kurung menyatakan !perasi khusus pada $ungsi ', diambil turunan parsial ' terhadap setiap k!!rdinat, dikalikan dengan "ekt!r satuan yang sesuai, dan dilakukan penjumlahan "ekt!r. Nperasi ini dinamakan g%/i$nt ' dan sering disingkat V'. adi gaya adalah negati$ dari gradient $ungsi energi p!tensial *
F
= V' CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC (0)
'ntuk memeriksanya, subtitusikan ke dalam persamaan (0) $ungsi ' = mgy untuk energi p!tensial gra"itasi *
U(mgy)
F = V' (mgy) =
U(mgy)
U(mgy)
&&&&&&&&&&& i &&&&&&&&&&& j &&&&&&&&&&& k = ( mg) j Ux
Uy
U-
Persamaan di atas dikenal untuk gaya gra"itasi.
MOMENTUM5 IMPULS +AN TUM,UKAN P$n/h0!0n Pers!alan&pers!alan tumbukan di antara dua buah benda akan memberikan gaya yang sangat besar satu sama lain pada %aktu yang sangat singkat. (isal pada kejadian sebuah truk peti kemas bertabrakan dengan m!bil sedan, apakah yang menentukan ke arah mana r!ngs!kan kedua kendaraan bergerak setelah tabrakan L, mengapa penumpang m!bil sedan mungkin terluka lebih parah dibandingkan dengan penumpang truk peti kemas L.) Pers!alan&pers!alan tersebut tidak dapat dija%ab dengan langsung menerapkan hukum kedua 9e%t!n W F = m, karena adanya gaya&gaya misterius yang bekerja, misal gaya&gaya yang bekerja antara m!bil sedan dan truk peti kemas. Pendekatannya adalah dengan penggunaan k!nsep baru, yaitu m!mentum dan impuls, dan hukum kekekalan yang baru yakni kekekalan m!mentum. ekekalan ini sama pentingnya dengan kekekalan energi. ukum kekekalan m!mentum dapat digunakan bahkan pada keadaan saat hukum 9e%t!n tidak berlaku, seperti pada benda yang bergerak dengan laju yang sangat tinggi (mendekati ke#epatan #ahaya) atau !byek&!byek dalam ukuran yang sangat ke#il (seperti unsur&unsur pembentuk at!m). alam daerah
berlakunya hukum mekanika 9e%t!n, kekekalan m!mentum dapat digunakan untuk menganalisis berbagai keadaan yang sangat sulit dianalisis dengan menggunakan hukum 9e%t!n se#ara langsung.
Mo1$nt01 /n I1&0!s ukum kedua 9e%t!n untuk sebuah partikel W F = m dalam te!rema kerja& energi dapat menyelesaikan pers!alan&pers!alan Bsika dan telah memba%a kepada hukum kekekalan energi. 'ntuk menyelesaikan permasalahan dalam situasi saat massa berubah, karena = d3dt, maka hukum kedua 9e%t!n dapat ditulis *
W = m d3dt = F CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC (1)
d3dt
(m)
assa m dapat dikeluarkan di dalam turunan karena massa k!nstan. ukum kedua 9e%t!n mengatakan bah%a gaya t!tal W F yang bekerja pada sebuah partikel sama dengan laju %aktu dari perubahan k!mbinasi m , hasil kali massa dan ke#epatan partikel. !mbinasi disebut saja 1o1$nt01 atau 1o1$nt01 !ini$% dari partikel. engan menggunakan simb!l & untuk m!mentum, diper!leh *
&
= m (deBnisi CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ()
dari
m!mentum)
!mentum (jamaknya adalah m!menta) adalah besaran "ekt!r yang mempunyai besar (m") dan arah (sama dengan "ekt!r ke#epatan ). (6ebagai #!nt!h truk peti kemas yang berjalan @0 km3jam mempunyai m!mentum yang lebih besar dibandingkan dengan m!bil sedan dengan laju yang sama, karena truk perti kemas mempunyai massa yang lebih besar). 6atuan dari besar m!mentum adalah satuam massa dikali satuan laju, satuan 6T untuk mem!ntum adalah kg.m3s. engan memasukkan Persamaan () ke persamaan (1) diper!leh *
W F = d&3dt CCCCCCC (2)
(hukum kedua 9e%t!n dalam bentuk m!mentum)
Gaya total (jumlah vektor dari semua gaya) yang bekerja pada sebuah partikel sama dengan laju waktu dari perubahan momentum partikel. Gaya t!tal ini, bukan W F = m, adalah bentuk pernyataan 9e%t!n yang asli tentang hukum keduanya (dikatakan bah%a m!mentum adalah :besarnya gerakan;). al ini hanya berlaku di dalam #akupan kerangka a#uan inersia. Pada persamaan (2) perubahan #epat dalam m!mentummemerlukan gaya t!tal yang besar, sedangkan perubahan m!mentum perlahan&lahan membutuhkan gaya t!tal yang lebih ke#il. (Prinsip ini digunakan dalam meran#ang keamanan kendaraan seperti kantung udara, pengemudi pada kendaraan #epat mempunyai m!mentum yang lebih besar, jika m!bil berhenti tiba&tiba akibat tumbukan3tabrakan maka m!mentum pengemudi menjadi n!l, kantung udara menyebabkan pengemudi kehilangan m!mentumnya se#ara bertahap sehingga dapat menghindarkannya dari tumbukan dengan setir, menghilangkan gaya yang bekerja pada pengemudi, dan kemungkinan dari #edera parah).
ika partikel&partikel mempunyai k!mp!nen ke#epatan "x, "y dan "-, maka k!mp!nen m!mentumnya px, py dan p-, diper!leh dari *
px = m"x, py = m"y, CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. (4)
p-
=
m"-
etiga k!mp!nen persamaan tersebut ekui"alen dengan persamaan (). !mentum sebuah partikel & = m dan energi kinetiknya = A m", keduanya tergantung pada massa ke#epatan partikel. Perbedaan mendasar antara kedua besaran ini, se#ara matematika murni m!mentum merupakan sebuah "ekt!r yang besarnya sebanding dengan laju, sedangkan energi kinetik adalah skalar yang sebanding dengan laju kuadrat. 'ntuk melihat perbadaan Bsik antara m!mentum dan energi kinetik, pertama&tama harus mendeBnisikan sebuah besaran yang hubungannya sangat dekat dengan m!mentum yang disebut i1&0!s 'i1&0!s$). 7ila sebuah partikel yang padanya bekerja gaya t!tal yang k!nstan W selama selang %aktu ∆t dari t 1 ke t, maka impuls dari gaya t!tal, dilambangkan sebagai J, dideBnisikan sebagai hasil kali dari gaya t!tal dengan selang %aktu *
J = W F (t / t1) = W F ∆t CCCCCCCCCC (8)
(asumsikan gaya t!tal k!nstan)
Tmpuls adalah besaran "ekt!r, arahnya sama dengan gaya t!tal W F. 7esarnya adalah hasil kali besar gaya t!tal dengan lama %aktu yang bekerja. 6atuan 6T untuk impuls adalah 9e%t!n sek!n (9.s), karena 1 9 = kg.m3s , maka satuan lain untuk impuls adalah kg.m3s, sama dengan satuan m!mentum. ukum kedua 9e%t!n yang dinyatakan dalam bentuk m!mentum pada persamaan (2), jika gaya t!tal W F adalah k!nstan, maka d&3dt juga k!nstan. Pada kasus ini, d&3dt sama dengan perubahan t!tal m!mentum p /p1, selama selang%aktu t / t1, dibagi selang %aktu *
p /p1 W F = &&&&&&&&&&&&&& t / t1
Persamaan di atas dikalikan dengan (t / t1) akan diper!leh hasil yang disebut t$o%$1 i1&0!s1o1$nt01 'i1&0!s$1o1$nt01 th$o%$1) *
J
= / &2 &> CCCCCCCCCCCCCCCCC. (@)
(te!rema
impuls&m!mentum)
P$%03hn 1o1$nt01 s$30h &%ti.$! s$!1 s0t0 s$!ng w.t0 s1 /$ngn i1&0!s /%i gy tot! yng 3$.$%j &/ &%ti.$! t$%s$30t s$!1 s$!ng w.t0 t$%s$30t. Fe!rema impuls&m!mentum juga berlaku pada saat gaya tidak k!nstan. edua ruas dari hukum kedua 9e%t!n W F = d&3dt selaXma selang %aktu antara limit t 1 dan t * t
t
p
? @ F = ? d&3dt . dt = ? d& = &2 / &> t1
t1
p1
Tntegral pada ruas kiri dideBnisikan sebagai impuls dari gaya t!tal W selama selang ini, yaitu *
t
J
= dt (deBnisi ? @ F CCCCCCCCCCCCCCCCCC.. (E)
umum
dari
impuls)
t1 engan deBnisi ini, te!rema impuls&m!mentum J = &2 / &> dari persamaan (@) berlaku %alaupun pada saat gaya t!tal W F berubah terhadap %aktu. Gaya t!tal rata&rata F%t dideBnisikan sedemikian rupa, sehingga kalau W F tidak k!nstan, maka impuls J diper!leh dari *
J
= (t / F%t CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC.. (I)
t1)
ika W F k!nstan, W F = F%t dan persamaan (I) berubah ke persamaan (8).
W F
(F%t)x
t1
t
t t / t1
Gambar 1. !mp!nen x impuls dari W F antara t1 dan t Gambar di atas memperlihatkan garBk dari nk!mp!nen x gaya t!tal W F, sebagai $ungsi %aktu selama tumbukan. GraBk ini bisa menggambarkan gaya pada b!la sepak yang sedang bersentuhan dengan kaki pemain dari %aktu t1 ke t. !mp!nen x dari impuls selama selang %aktu ini digambarkan !leh daerah arsir di ba%ah kur"a antara t 1 dan t. aerah ini sama dengan segi empat yang dibatasi !leh t 1, t dan (F%t)x, sehingga (F%t)x (t / t1) adalah sama dengan impuls dari gaya yang berubah terhadap %aktu selama selang yang sama.
Tmpuls dan m!mentum adalah besaran&besaran "ekt!r, dan persamaan (8) sampai (I) adalah persamaan "ekt!r. Persamaan&persamaan tersebut penggunaannya akan lebih mudah bila dalam bentuk k!mp!nennya *
t
J = Y W F dt = (F%t)x (t / t1) = px / p1x = m"x / m"1x t1
t
Jy = Y W Fy dt = (F%t)y (t / t1) = py / p1y = m"y / m"1y CCCCCCCC. (D) t1
t
JB = Y W FB dt = (F%t)- (t / t1) = p- / p1- = m"- / m"1t1
PER,AN+INGAN MOMENTUM +AN ENERGI KINETIK Fe!rema impuls&m!mentum J = & / &1 mengatakan bah%a perubahan m!mentum sebuah partikel disebabkan !leh impuls, yang tergantung pada %aktu gaya t!tal bekerja. 6ebaliknya, te!rema kerja&energi t!t = / 1 mengatakan bah%a energi kinetik berubah ketika kerja dilakukan pada sebuah partikel, kerja t!tal tergantung pada jarak di tempat gaya t!tal bekerja. 6ebuah partikel yang mulai bergerak dari keadaan diam pada t 1 sehingga 1 = 0. !mentum a%alnya &1 = m1 = 0 dan energi kinetik a%alnya 1 = A m1 = 0. isalkan gaya t!tal k!nstan sebesar F pada partikel itu mulai t 1 sampai t, selama selang %aktu itu partikel bergerak sejauh x searah dengan gaya. ari persamaan (@) m!mentum partikel pada %aktu t adalah *
& = &1 J = 0 J = J
engan J = F (t / t1) adalah impuls yang bekerja pada partikel, adi m!mentum sebuah partikel sama dengan impuls yang memper#epat partikel dari keadaan diam sampai suatu laju tertentu impuls adalah hasil kali dari gaya t!tal yang memper#epat partikel dan %aktu yang diperlukan untuk per#epatan tersebut. 'ntuk perbandingan, energi kinetik benda pada t adalah = t!t = s, yaitu kerja t!tal yang dilakukan pada partikel untuk memper#epatnya dari keadaan diam. erja t!tal adalah hasil kali gaya t!tal dan jarak yang dibutuhkan untuk memper#epat partikel.
Fe!rema impuls&m!mentum dan te!rema kerja&energi mempunyai hubungan antara gaya dan gerak, dan keduanya berdasarkan hukum kedua 9e%t!n. eduanya memakai prinsip integral yang menghubungkan gerak pada dua %aktu yang berbeda yang dipisahkan !leh selang %aktu hingga yang ke#il. 6ebaliknya hukum kedua 9e%t!n, baik dalam bentuk W F = m atau W F = d&3dt, menggunakan prinsip de$erensial yang menghubungkan gaya dengan laju perubahan dari ke#epatan atau m!mentum pada setiap saat.
Contoh So! ># * 7!la menumbuk temb!k. 7ila saudara melempar sebuah b!la dengan massa 0,40 kg menumbuk temb!k. 7!la menumbuk temb!k saat bergerak h!ri-!ntal ke kiri pada 20 m3s dan memantul h!ri-!ntal ke
kanan pada 0 m3s. a) Harilah impuls dari gaya t!tal pada b!la selama tumbukan dengan temb!k, b) ika b!la bersentuhan dengan temb!k selama 0,010 s, #arilah gaya h!ri-!ntal rata&rata yang diberikan !leh temb!k pada b!la selama tumbukan.
P$ny$!$sin *
"1 = 20 m3s
" = 0 m3s
a) ianggap sumbu x dalam arah h!ri-!ntal dan arah p!siti$ ke kanan, maka k!mp!nen x dari m!mentum b!la adalah *
p1 = m"1 = (0,40 kg)( 20 m3s) = 1 kg.m3s
!mp!nen x akhir dari m!mentum adalah *
p = m" = (0,40 kg)( 0 m3s) = I,0 kg.m3s
Perubahan k!mp!nen x dari m!mentum adalah *
p / p1 = m" / m"1 = I,0 kg.m3s / (1 kg.m3s) = 0 kg.m3s
7erdasarkan persamaan (D), ini sebesar k!mp!nen x impuls dari gaya t!tal b!la, sehingga x = 0 kg.m3s = 0 9.s. Perubahan %aktu dari gaya t!tal h!ri-!ntal b!leh jadi sama dengan salah satu kur"a dalam gambar . Gaya t!tal h!ri-!ntal adalah n!l sebelum tumbukan, naik ke maksimum, dan berkurang menuju n!l ketika b!la kehilangan k!ntak dengan dinding. ika b!la relati"e keras seperti b!la baseball atau b!la g!l$, tumbukan terjadi pada %aktu yang singkat dan gaya maksimumnya besar, seperti pada kur"a (a) dalam gambar . ika b!la lunak , seperti b!la tenis, %aktu tumbukannya lebih panjang dan gaya maksimumnya lebih ke#il, seperti pada kur"a (b) dalam gambar . alam setiap kasus daerah di ba%ah kur"a menunjukkan impuls.
W x (a)
(b)
t Gambar . ur"a tumbukan keras (a) dan lunak (b)
b) ika %aktu tumbukan adalah ∆t = 0,010 s, maka dari persamaan (D) *
x x = (rt)x ∆t,
0 9.s
(rt)x = &&&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&& = .000 9 ∆t
0,010 s
Gaya rata&rata ini digambarkan !leh garis h!ri-!ntal ( rt)x dalam gambar 1. Gaya h!ri-!ntal diberikan pada b!la !leh dinding itu sendiri. Gaya h!ri-!ntal
mempunyai nilai yang sangat besar sehingga menyebabkan perubahan m!mentum b!la dalam %aktu yang singkat. Gaya&gaya lain yang bekerja pada b!la selama tumbukan sangat ke#il untuk dibandingkan, misalnya gaya gra"itasi hanya 2,D 9. adi selama %aktu yang singkat ketika tumbukan terjadi, dengan mengabaikan seluruh gaya lain pada b!la untuk menghasilkan pendekatan yang sangat baik.
KEKEKALAN MOMENTUM !nsep m!mentum sangat penting dalam situasi dua atau lebih benda yang berinteraksi. T$%1ino!ogi &$%t1 * alam sebuah sistem yang terdiri dari dua benda yang saling berinteraksi satu sama lain tetapi tidak berinteraksi dengan benda&benda lainnya, sebagai #!nt!h dua astr!n!t (dianggap sebagai partikel) yang bersentuhan satu dengan yang lain ketika melayang bebas dalam lingkungan bergra"itasi n!l (di luar angkasa), setiap partikel memberikan gaya pada yang lain, berdasarkan hukum ketiga 9e%t!n kedua gaya selalu sama besarnya dan berla%anan arah. Nleh karena itu impuls yang terjadi pada kedua partikel akan sama besar dan berla%anan arah, dan perubahan m!mentum pada kedua partikel akan sama besar dan berla%ana arah. T$%1ino!ogi .$/0 * 'ntuk semua sistem, gaya&gaya yang dikerahkan sistem partikel satu sama lain disebut dengan gaya dalam (internal $!r#e). Gaya&gaya bagian&bagian dari sistem !leh !byek di luarnya disebut dengan gaya luar (external $!r#e). 'ntuk sistem yang telah dibahas di atas, gaya dalamnya adalah F7 pada < diberikan !leh partikel 7 ke partikel < dan F< pada 7 diberikan !leh partikel < ke partikel 7, jadi tidak ada gaya luar, merupakan sist$1 yng t$%iso!si (is!lated system).
Gaya t!tal pada partikel < adalah F7 pada < dan gaya t!tal pada partikel 7 adalah F< pada 7 sehingga dari persamaan (2) laju perubahan m!mentum dari kedua partikel adalah *
d&<
F7
d&7
= &&&&&&&&, CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. (10) pada
<
dt
F<
pada
7
=
&&&&&&&&
dt
!mentum dari setiap partikel berubah, tetapi perubahan ini tidak bebas, berdasarkan hukum ketiga 9e%t!n gaya F7 pada < dan F< pada 7 selalu sama besar dan berla%anan arah, artinya F7 pada < = Z F< pada 7 sehingga F7 pada < F<
= 0. engan menjumlahkan dua persamaan dalam persamaan (10) diper!leh * pada 7
d&<
d&7
(d&< d&7 )
F7 pada < F< pada 7 = &&&&&&&&& &&&&&&&& = &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& CCCC. (11) dt
dt
dt
Jaju dari perubahan kedua m!mentum adalah sama besar dan berla%anan arah, sehingga laju dari perubahan jumlah "ekt!r &< &7 adalah n!l. eBnisi m!mentum t!tal P dari sistem dua partikel sebagai jumlah "ekt!r dari m!mentum masing&masing partikel yaitu *
P
= &< CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. (1)
&7
an persamaan (11) menjadi *
dP
F7
= F< pada 7 CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. (12) pada
<
&&&&&&&
=
0
dt
Jaju %aktu dari perubahan m!mentum t!tal P adalah n!l, m!mentum t!tal dai sistem adalah k!nstan, %alaupun m!mentum masing&masing partikel yang membentuk sistem dapat berubah.
ika terdapat gaya luar, gaya&gaya tersebut harus ter#akup pada ruas kiri dari persamaan (12) bersama gaya dalam. !mentum t!tal se#ara umum tidak k!nstan, tetapi jika penjumlahan "ekt!r dari gaya luar adalah n!l, gaya&gaya tersebut tidak berk!ntribusi pada penjumlahan, dan dP3dt kembali n!l. asil umum adalah * Ji. &$nj01!hn $.to% /%i gy
gy !0% &/ s$30h sist$1 /!h no!5 1o1$nt01 tot! /%i sist$1 t$%s$30t /!h .onstnD . adi hal itu adalah bentuk paling sederhana
dari prinsip
kekekalan m!mentum.
Prinsip ini
merupakan
k!nsekuensi langsung dari hukum ketiga 9e%t!n. Prinsip ini sangat berguna karena prinsip ini tidak tergantung pada detail alamaih dari gaya&gaya dalam yang bekerja antara bagian&bagian dari sistem. ukum kedua 9e%t!n telah digunakan untuk menurunkan prinsip ini, sehingga harus berhati&hati dalam menggunakannya, hanya dalam #akupan kerangka a#uan inersia. Prinsip ini dapat digeneralisasi untuk sebuah system yang terdiri dari sejumlah partikel <, 7, H, C yang berinteraksi hanya antara satu dengan yang lainnya. !mentum t!tal dari sitem sema#am itu adalah *
P
= &< CCCCCCCCC. (14)
&7
C
=
m < <
m7 7
C
(m!mentum t!tal dari sebuah sistem partikel)
adi argumen yang sama dengan sebelumnya, bah%a laju t!tal perubahan m!mentum sistem yang diakibatkan setiap pasang aksi&reaksi dari pasangan gaya dalam adalah n!l. Jaju t!tal dari perubahan m!mentum seluruh sistem adalah n!l ketika jumlah "ekt!r dari gaya luar yang bekerja padanya adalah n!l. Gaya dalam dapat mengubah m!mentum masing&masing partikel dalam sistem, tetapi tidak mengubah m!mentum t!tal dari sistem.
At$nsi * ika menerapkan kekekalan m!mentum pada sebuah sistem, yang perlu diingat bah%a m!mentum adalah sebuah besaran "ekt!r. adi harus menggunakan pertambahan "e#t!r untuk menghitung m!mentum t!tal dari sebuah system. engan menggunakan k!mp!nen&k!mp!nen biasanya merupakan met!de yang paling sederhana. ika Pax, Pay dan P a- adalah k!mp!nen&k!mp!nen dari m!mentum partikel < dan #ara yang sama untuk partikel yang lain, maka persamaan (14) ekui"alen dengan persamaan& persamaan k!mp!nen berikut *
Px = p
C
,
P- = p<- p7- C ,
ika besarnya jumlah "ekt!r gaya luar pada sistem adalah n!l, maka P x, Py dan P- k!nstan.
