1 Bab I
Keterbatasan
Fisika Klasik
Pada akhir abad 19 sampai awal abad 20 terjadi suatu krisis krisis dalam kancah fisika. Serangkaian hasil-hasil eksperimen ternyata tidak dapat ditelaah secara memuaskan dengan fisika klasik (mekanika klasik, termodinamika, teori elektromagnetik) yang sudah dianggap terumus kokoh dan mantap pada waktu itu, sehingga menuntut konsep-konsep yang nyata-nyata baru dan berbeda dengan fisika klasik. Pengembangan konsep-konsep ini yang didukung oleh eksperimen-eksperimen brilian pada waktu itu, akhirnya membawa kepada perumusan teori kuantum sebagai teori baru untuk lingkup mikroskopik. Dalam bab ini kita akan mengulas latar belakang krisis ini ini sampai tercapainya perumusan teori kuantum. Dalam bab ini akan kita urutkan latar belakang teori kuantum secara kronologis.
1.1 Radiasi Benda Hitam
Teori kuantum dimulai dengan fenomena radiasi radiasi benda benda hitam. Apabila suatu suatu benda dipanaskan maka akan tampak mengeluarkan radiasi (misalnya ditandai dengan terpancarnya cahaya cahaya yang berwarna-warni). Dalam keadaan kesetimbangan kesetimbangan maka cahaya yang dipancarkan akan tersebar dalam seluruh spektrum frekuensi v atau panjang gelombang λ, dan kita berusaha mendefinisikan daya terpancar yaitu energi emisi pada panjang gelombang λ
per satuan luas per satuan waktu, E (λ ,T ). ). Ini adalah fungsi
universal. Dalam hal radiasi benda benda hitam maka benda mempunyai karakteristik karakteristik penyerap sempurna terhadap radiasi yang mengenainya. mengenainya. Secara praktis kita dapat membuat membuat benda hitam ini misalnya sebuah kotak dengan lubang kecil sedemikian hingga sembarang radiasi yang masuk benda hitam melalui lubang kecil, akan terpantul-pantul diantara dinding bagian dalam benda hitam dan tidak ada kemungkinan lolos keluar (karakteristik penyerap sempurna) lewat lubang tersebut. Kirchhoff (1859) menunjukkan dari hukum kedua termodinamika, bahwa radiasi di dalam rongga benda hitam bersifat isotropik, yaitu fluks radiasi bebas dari arah/orentasi, kemudian juga bersifat homogen yaitu fluks radiasi sama untuk disetiap titik, dan juga sama dalam semua rongga pada suhu yang sama, untuk setiap panjang gelombang1. Daya emisi emisi (dengan alasan alasan geometrik sederhana) lalu lalu dikaitkan dengan rapat energi u(λ , T ) di dalam dalam rongga. Relasi ini adalah u (λ , T ) =
1
4 E (λ , T ) c
Gasiorowicz S., Quantum Physics, John Wiley & Sons, 1974
(1.1)
2 Berikutnya Wien (1894) dengan gagasan-gagasan yang juga sangat umum menunjukkan bahwa rapat energi haruslah dalam bentuk berikut u (λ , T ) = λ−5 f (λT )
(1.2)
dengan f adalah fungsi yang masih umum. Dalam bentuk fungsi frekuensi maka dapat kita tuliskan menjadi d λ
u (ν , T ) = u (λ , T )
d ν
=
c
ν2
u (λ , T )
(1.3)
Dengan persamaan ini kemudian dinyatakanlah hukum Wien dalam bentuk
ν
u (ν , T ) = ν 3 g ( ) T
(1.4)
Implikasi dari hukum ini adalah 1. Distribusi spectrum radiasi benda hitam untuk sembarang temperatur dapat kita cari dengan rumus di atas. 2. Bila fungsi g(x) mempunyai nilai maksimum untuk x > 0 maka berlaku
λ maks =
b
(1.5)
T
dengan b adalah tetapan universal. Untuk fungsi g (x) maka Wien menggunakan model berikut g (ν / T ) = Ce − βν / T
(1.6)
Dengan model ini maka data eksperimen untuk frekuensi tinggi dapat diverifikasi dengan sangat baik. Pada 1900 Rayleigh juga menurunkan formula u (ν , T ) =
8πν 2 c3
kT
(1.7)
dengan k = 1,38 x 10-16 erg/derajad dan c adalah kecepatan cahaya.
Rumus ini
diturunkan berdasarkan dua hal: 1. Hukum klasik ekipartisi energi menyatakan rata-rata energi per derajad kebebasan untuk system dinamik yang berada dalam keadaan kesetimbangan dalam konteks ini adalah kT .
3 2. Perhitungan
jumlah
modus
(yaitu
derajad
kebebasan)
untuk
radiasi
elektromagnetik dengan frekuensi dalam interval ( ν,ν+dν), yang dikungkung oleh rongga. Dapat kipertegas disini bahwa hukum Wien berlaku untuk frekuensi tinggi, sedangkan rumus Rayleigh cocok untuk frekuensi rendah.
Gambar 1a. Kurva Pergeseran Wien
Gambar 1b. Kurva Rayleigh
Pada tahun 1900 Max Planck menemukan rumus dengan cara interpolasi (fitting) yang jenius antara rumus Wien dengan rumus Rayleigh-Jeans. Rumus ini adalah u (ν , T ) =
8πh
ν3
(1.8)
c 3 e hν / kT − 1
dengan h adalah tetapan Planck (parameter ) yang besarnya 6,63 x 10 -27erg det. Verifikasi untuk frekuensi rendah ν
0 maka akan diperoleh hukum Rayleigh-Jeans.
Meskipun rumus Planck diatas cocok dengan data eksperimen, namun diperoleh dari interpolasi rumus klasik Wien dan Reyleigh. Pencapaian penting oleh Planck yang
4 sekaligus menjembatani antara klasik dan kuantum adalah adalah gagasan Planck untuk kuantisasi energi. Dua bulan setelah diperolehnya rumus Planck di atas dan berkaitan dengan fenomena panas jenis bahan, maka Planck mengajukan gagasan yang spektakuler bahwa untuk alas an yang tidak dia ketahui, atom-atom di dalam dinding rongga benda hitam memancarkan energi dalam bentuk kuantum yaitu ξ = n hν (n = 1,2,3,…). Energi yang dibawa per kuantum sangatlah kecil. Sebagai contoh untuk cahaya oranye dengan λ = 6000Å maka energinya adalah hv = 3.3 x 10-12 erg. Sehingga untuk pancaran radiasi sebesar 100 watt pada frekeunsi ini memerlukan sebanyak N = 100 x 107 / 3.3 x 10-12 = 3 x 1020 kuantum/det. Dengan sedemikian besarnya jumlah kuantum, maka kita tidak dapat mengalami secara langsung efek tumbukan partikel tersebut. Dapat kita ringkas disini untuk teori Planck: 1. Energi medan elektromagnetik terkuantisasi menurut ξ = n hν 2. Cahaya dipancarkan dan diserap dalam bentuk paket-paket diskrit yang disebut foton dengan energi E = hv 3. Berlakunya rumus Planck untuk distribusi spectrum u (ν , T ) =
1.2
8πh
ν3
c 3 e hν / kT − 1
Efek Foto Listrik Salah satu bukti eksperimen penting tentang keberadaan kuantum cahaya/foton
adalah percobaan efek fotolistrik. Sebelumnya telah diketahui pada 1887 oleh Hertz bahwa apabila suatu cahaya dikenakan pada permukaan logam tertentu maka dapat terjadi lucutan elektron dari permukaan logam tersebut. Gejala ini dikenal dengan efek fotolistrik. Sumbangan pemikiran Einstein untuk fenomena ini berdasarkan rumusan Planck, telah menguatkan gagasan kuantisasi energi Planck untuk bisa diterima secara luas. Percobaan efek foto listrik dapat kita gambarkan sebagai berikut. Sebuah cahaya dengan frekuensi ν mengenai plat logam dan akan terjadi pelepasan elektron-elektron. Dengan selisih potensial yang sesuai V antara plat logam dan kolektor (lihat gambar) maka elektron-elektron ini (photoelelctrons) akan muncul sebagai arus fotolistrik yang dapat diukur dengan Ammeter.
Potensial penghenti (stopping potential) V 0 adalah
potensial selisih yang diperlukan untuk menghentikan fotoelektron yang paling cepat, jadiuntuk meng-nolkan arus fotolistrik. Selanjutnya dapat diamati bahwa:
5
1. V 0, yang terkait dengan energi kinetik fotoelektron yang paling besar ( E k = eV 0), tidak bergantung pada intensitas cahaya yang digunakan. 2. Ada frekuensi ambang ν0 dimana cahaa dibawah frekuensi ini tidak dapat menampilkan efek fotolsitrik. Kontribusi Einstein untuk efek fotolistrik berangkat dari teorinya bahwa terjadi “tumbukan” antara foton datang dengan elektron didalam logam. 1.2.1 Problem Intensitas
Di dalam teori gelombang, bila kita menambah intensitas berkas cahaya maka kita r
juga akan menambah besarnya vektor medan listrik osilasi E . Gaya yang dikenakan r
pada elektron adalah e E . Jadi kita berharap bahwa lebih banyak intensitas cahaya maka akan lebih cepat (energetic) fotoelektron tersebut. Akan tetapi hasil eksperimen yang diamati sampai jangkauan intensitas ~ 10 7 menunjukkan bahwa V 0 (jadi E k) tidak bergantung pada intensitas cahaya.
Menggunakan gambaran/model foton, maka
“problem intensitas” lalu tidak menjadikan masalah
Cahaya datang
Tegangan Penghenti V
Gambar 2. Peralatan dan hasil pengamatan efek fotolistrik Menggandakan intensitas cahaya kita menganggap menggandakan jumlah foton tapi tidak mengubah energi masing-masing foton. Jadi E k energi kinetik maksimum bahwa
6 elektron dapat dilepaskan dari
plat dengan menyerap energi sebuah foton selama
tumbukan, tetap tidak berubah.
Gambar 3. Potensial penghenti sebagai fungsi dari frekuensi untuk Sodium 1.2.2. Problem Frekuensi
Menurut teori gelombang, medan fotolistrik seharusnya terjadi pada sembarang frekuensi cahaya yang datang. Namun dari eksperimen diketahui bahwa ada frekuensi ambang dimana tidak terjadi efek fotolistrik, tidak masalah berapapun intensitas cahaya tersebut. Jika kita berfikir dalam kerangka foton, maka sekali lagi “problem frekuensi” tidak lagi menjadi masalah. Elektron konduksi diikat didalam logam target dengan potential barrier pada permukaan logam. Jadi untuk melepaskan foto elektron kita harus mengeluarkan/memberikan sejumlah energi minimum φ, yang kita sebut fungsi kerja bahan. Jika energi foton melampaui fungsi kerja ( yaitu hv > φ), maka efek fotolistrik akan terjadi. Teori Einstein tidak hanya menerangkan efek fotolistrik, namun juga memberikan dua hal penting: (1) Konfirmasi adanya dualitas sifat gelombang-partikel. Foton
E = hv
r
p
=
hv c
= hω
nˆ =
h
λ
(1.9) r
nˆ = hk
(1.10)
7 Kita lihat untuk ruas kiri merupakan besaran-besaran fisis karakteristik partikel, sedangkan ruas kanan merupakan besaran-bearan fisis yang menggambarkan gelombang (2) Pengukuran nilai tetapan Planck Dari penjabaran di atas kita dapat susun lagi persamaan untuk efek fotolistrik, yaitu hv
= φ + E k min = φ + eV 0
V 0
=
h e
v+
(1.11)
φ
(1.12)
e
Maka h dapat kita peroleh dari grafik V o vs. v untuk persamaan garis lurus tersebut. 1.3 Efek Compton
Berikutnya adalah eksperimen yang memberikan bukti paling nyata tentang keberadaan sifat partikel dari radiasi. Kalau efek fotolistrik menguatkan adanya sifat partikel dari cahaya yaitu gambaran foton untuk cahaya, maka efek Compton akan memberikan gambaran sifat gelombang untuk materi. Authur Holly Compton (1923) meyakinkan realitas foton karena memperkenalkan momentum foton, juga energi foton kedalam situasi eksperimental. 1.3.1 Eksperimen Compton
Seberkas sinar-x dengan panjang gelombang λ dijatuhkan pada target Grafit. Compton lalu mengukur intensitas sinar-x terhambur dari target sebagai fungsi panjang gelombang untuk beberapa arah terpilih.
Kemudian diketemukan bahwa meskipun
berkas datang hanya mengandung satu panjang gelombang, sinar-x terhambur akan mempunyai puncak-puncak inensitas pada dua panjang gelombang.
Satu puncak
berkaitan dengan panjang gelombang datang λ sedang yang lain λ’ yang lebih besar dari
λ. Selisih pajang gelombang ini disebut pergeseran Compton (Compton Shift).
Gambar 4. Skematik Efek Compton
8
1.3.2 Gambaran Klasik Efek Compton
Gelombang datang dengan frekuensi v setelah bertumbukan dengan bahan akan menyebabkan elektron di dalam target/bahan berosilasi pada frekuensi yang sama dengan fekuensi gelombang datang. Elektron-elektron osilasi ini dari teori dipol listrik akan menghasilkan radiasi pada frekuensi yang sama. Jadi berkas terhambur seharusnya hanya mempunyai frekuensi yang sama dengan berkas datang. Puncak terhambur dengan panjgn gelombang λ’ sama sekali tidak dapat dimengerti jika kita memikirkan berkas sinar-x datang sebagai gelombang. 1.3.3 Pandangan Compton
Compton melihat berkas datang sebagai arus foton dengan energi E (=hv) dan momentum p(=h/ λ) dan berasumsi bahwa beberapa foton ini membuat tumbukan bak bola billiard dengan elektron-elektron individu di dalam target. Jika elektron mengambil sejumlah energi kinetik dalam suatu tabrakan, maka foton terhambur harus mempunyai energi yang lebih rendah E’ daripada foton datang.
Oleh karena itu meampunyai
frekuensi yang lebih rendah v’ (panjang gelombang yang lebih panjang λ’).
Gambar 6. Hasil Eksperimen Compton
9
1.3.4 Analisis Kuantitatif
Untuk merumuskan dan menelaah efek Compton maka kita rumuskan sebagai berikut:
= hk
p p p e r
Setelah tumbukan Foton : E p' = hv '
=0
p p' mc 2
1− β
(1.13b) r
= hk ' r'
2
(1.13a)
r
r
Elektron: E e = mc 2
Elektron: E e =
r
r
Sebelum tumbukan Foton : E p = hv
p p
(1.14a) r
=
mv
1− β
2
(1.14b)
dengan β = v / c .
1.3.5 Analisis Hukum Kekekalan
Berdasarkan hukum kekekalan energi dan momentum kita ingin lihat juga bentuk persamaan untuk efek Compton Kekekalan energi hv + mc
2
= hv'+
mc 2
(1.15)
1− β 2
Kekekalan momentum hk = hk ' cos φ
+
0 = hk ' sin φ −
mυ cosθ
1− β 2 mυ sin θ
1− β
2
(1.16)
Dalam hal ini kita ingin mengetahui infomasi tentang foton setelah hamburan, yaitu λ’ dan φ. Jika kita tidak berminat dalam bentuk pernyataan electron ( υ dan θ), kita dapat mengelimnasinya dari tiga persamaan ini. Untuk mengelimanasi θ, kita dapat merubah persamaan diatas menjadi: mυ cos θ
1− β
2
= hk − hk ' cos φ
(1.17)
10 mυ sin θ
1− β
2
= hk ' sin φ
(1.18)
Kuadratkan kedua ruas pada kedua persamaan di atas dan tambahkan kedua persamaan tersebut, kita peroleh (gunakan p = hk = h / λ )
2
m 2υ 2
2
h h h2 = + − 2 cos φ λλ ' 1 − β 2 λ λ ' '
(1.19)
Berikutnya kuadratkan kedua ruas pada persamaan (1.15) dan (1.16) dan eliminasilah υ menggunakan persamaan ini dan dua persamaan terakhir. Setelah dilakukan aljabar yang agak panjang maka kita peroleh
∆λ = λ − λ ' =
h mc
(1 − cos φ )
(1.20)
1.4 Difraksi Elektron Pada 1923 De Broglie, dengan mengacu pada asas Fermat dalam optika dan prinsip aksi terkecil dalam mekanika, dituntun untuk mengajukan gagasan bahwa sifat dual partikel-gelombang radiasi seharusnya mempunyai pasangannya dalam sifat dual gelombang partikel materi. Jadi oleh karena itu partikel seharusnya mempunyai sifat gelombang di bawah kondisi tertentu, dan De Broeglie menyarankan suatu pernyataan untuk panjang gelombang dari partikel. Rumusan untuk ini adalah
λ=
h
(1.21)
p
Energi dan momentum partikel dapat dirumuskan dengan: E = hv
r
= hω ↔ p =
h
λ
nˆ
r
= hk
(1.22)
Dalam hal ini E dan p adalah besaran yang menggambarkan partikel sedangkan v dan λ adalah karakteristik gelombang.
Sekarang timbul pertanyaan yang mengusik.
Bagaimana mengetest hipotesa De Broglie? Bagaimana mengukur λ ? Gagasan De
11 Broeglie ini telah menyita banyak perhatian dan disarankan bahwa untuk verifikasi dapat diperoleh dengan mengamati difraksi elektron. Pengamatan eksperimental efek ini terjadi pada eksperimen Davisson-Germer, pada peristiwa hamburan elektron oleh permukaan kristal, dimana ada hamburan yang lebih disukai untuk arah tertentu.
Gambar 8. Difraksi Oleh Kisi Kristal
Pada difraksi ini maka amplitudo gelombang terhambur adalah
ψ N = Ae
r r
i ( k . r − ω t ) + ( 2 π /
λ )( N − 1 ) d sin φ )
(1.23)
dengan total amplitudonya adalah i ( 2 π / λ ) Nd sin φ − 1 e ψ = ψ 1 + ψ 2 + ... = Ae i ( k .r −ωt ) 1 − e i ( 2π / λ ) d sin φ r r
(1.24)
Jadi jelas bahwa fungsi gelombang ψ akan paling besar bila dipenuhi kondisi d sin φ
= mλ
(m bil bulat) .
(1.25)
Pada eksperimen Davisson-Germer digunakan bahan Nikel dengan jarak antar bidang hamburan d = 1.15 Å. Kita gunakan rumus di atas maka kita peroleh:
12
λ=
d sin φ m
=
2.15 sin 50 = 1.65 Å 1
(1.26)
Sudut φ = 50o digunakan karena dari eksperimen maka hamburan paling besar terjadi untuk sudut ini. Kemudian bila kita gunakan rumus panjang gelombang De Broeglie maka:
λ=
h
2meV
= 1.67 Å
(1.27)
Jadi dari eksperimen dan perhitungan berdasarkan hipotesa De Broglie terdapat kesesuaian yang cukup presisi. Verifikasi ini selanjutnya merupakan langkah utama ke pengembangan mekanika gelombang Schrodinger.
1.5 Atom Bohr Fisika klasik juga gagal dalam menerngkan spektrum Atom. Dari spektrum atom Hidrogen maka dapat dirumuskan secara pengepasan ( fitting) bahwa 1 1 = R 2 − 2 λ m n 1
(1.28)
Menurut fisika klasik maka model atom hidrogen dapat digambarkan sebagai berikut: 1. Elektron yang berputar mengelilingi inti akan dipercepat 2. Elektron yang dipercepat akan meradiasikan gelombang EM pada frekuensi orbit 3. Oleh sebab itu secara gradual energi electron akan berkurang 4. Spektrum yang diamati seharusnya kontinu dan elektron akhirnya
akan
mengalami lintasan spiral ke arah inti 1.5.1 Teori Bohr (1913)
Untuk mengatasi problem di atas kemudian Bohr mengajukan dua postulat : 1. Elektron mempunyai orbit stasioner ( E i) 2. Radiasi akan dipancarkan atau diserap hanya bila atom mengubahkeadaanya dari satu keadaan stasioner ke keadaan stasioner yang lain.
13 Syarat frekuensi Bohr dalam hal ini adalah
= E i − E f
hvif
(1.29)
Bila elektron bergerak dalam lintasan lingkaran mengelilingi inti maka berlaku F = ma
K =
⇒
1 e2 4πε 0 r 2
=m
υ2 r
1 1 e2 mυ 2 = 2 8πε 0 r
U = −
1 e2
(1.31)
(1.32)
4πε 0 r
E = K + U =
(1.30)
− 8πε
e2
1
0
r
(1.33)
Bohr juga mengasumsikan bahwa momentum sudut terkuantisasi menurut L
m
= mυr = nh e2
n = 1,2,3,...
r = nh
4πε 0 mr
(1.34)
(1.35)
Selanjutnya bila kita selesaikan untuk r akan kita dapatkan relasi berikut
ε 0h2 2 2 r = n = r B n 2 πme
(1.36)
dengan r B adalah radius Bohr = 0.529 Å. Energi keadaan-keadaan stasioner dalam hal ini adalah
E n
=−
me 4
8ε 02n 2
R y
=−
n2
(1.37)
dengan R y adalah energi Rydberg = 13.6 eV. Spektrum atom hidrogen dengan rumus ini kemudian dapat dihitung
14
hv
1
λ
= =
1 1 = E n − E m = R y 2 − 2 λ m n
hc
1 1 1 1 R − = − m 2 n 2 8ε 02 h3c m 2 n 2 me4
(1.38) (1.39)
dengan R adalah tetapan Rydberg = 0.01097 nm = 0.1097 Å
Gambar 9. Deret Spektrum Atom Hidrogen Dengan rumus ini maka beberapa deret spektrum atom hidrogen yang sebelumnya sudah dikethui secara eksperimen sejak akhir abad 19, dapat dirumuskan bila kita beri nilai untuk masing-masing deret deret Lyman m = 1, n = 2,3,4… deret Balmer m = 2, n = 3,4,5,.. deret Paschen m = 3, n = 4,5,6..
15 Selain yang telah dikemukakan di atas, masih banyak bukti-bukti eksperimental yang mendukung perlunya konsep baru dalam telaah fisika, yaitu dengan teori kuantum, khususnya fisika mikroskopik.
