Física II - Problemas y preguntas - 1° parte (2017)

Física II

CARGA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO 1. ¿Cuál es la carga total, en coulombs, de todos los electrones en 3 mol de átomos de hidrógeno?

Solución 1 mol = 6,02 ×1023 átomos (el número de Avogadro, N A)

q = −3 N A e = −288960 C

Respuesta -288960 C

2. Una carga negativa de -0,6 µC ejerce una fuerza de atracción de magnitud 0,5 N sobre una carga desconocida situada a una distancia de 0,25 m. a) ¿Cuál es la carga desconocida (magnitud y signo)? b) ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza que la carga desconocida ejerce sobre la carga de -0,6 µC?

Respuesta a) + 5,79 × 10 −6 C

b) 0,5 N en sentido contrario contrari o

3. Dos pequeñas esferas de plástico reciben cargas eléctricas positivas. Cuando están separadas 30 cm entre sí, la fuerza de repulsión entre ellas es de 0,15 N. Diga cuál es la carga sobre cada esfera a) si las dos cargas son iguales; b) si una esfera tiene tres veces la carga de la otra.

Respuesta a) 1,22 × 10−6 C (ambas positivas o ambas negativas) b) 7,07 × 10 −7 C y 2,12 × 10−6 C (ambas positivas o ambas negativas)

C C

Q1

Q2

B

x

xB x1

A

x2 xA

experimenta esta carga? Datos: Q1 = −10 µC Q2 = +0,5 µC x1 = 0,3 m x2 = 0,6 m x A = 0,8 m xB = 0,3 m

4. Dadas las cargas puntuales de la figura, a) calcular el campo eléctrico total en los puntos A, B y C; b) ¿Existen ¿ Existen puntos sobre el eje x donde el campo eléctrico total sea nulo (además de las respuestas triviales x = ±∞ )? Si existen, indique las abscisas de esos puntos. Si no existen, explique por qué. c) Responda la misma pregunta del apartado anterior pero referida al eje y. d) Si en el punto C se coloca una carga q = −5 µC , ¿qué fuerza

yC = 0,4 m

1

Carga eléctrica y campo eléctrico

Física II

Solución Q1 1 N i =   − 74380  i a) E A, Q1 = − 2 4πε 0 ( x1 + xA ) C   Q2 N E A, Q2 = 1 i =  112500  i 2 4πε 0 ( xA − x2 ) C  

N E A = E A, Q1 + E A, Q12 =   38120  i C  

y

0,3 i + 0,4 j rˆC, Q1 = = 0,6 i + 0,8 j 2 2 0,3 + 0,4

C

rˆC, Q1

rˆC, Q2

Q1

Q2

− 0,6 i + 0,4 j rˆC, Q2 = = −0,832 i + 0,555 j 2 2 0,6 + 0,4

x

Q N E C, Q1 = 1 2 1 2 rˆC, Q1 =   − 360000  (0,6 i + 0,8 j) 4πε 0 x1 + yC C   N N E C, Q =   − 216000  i +   − 288000  j C   C   1

Q N E C, Q2 = 1 2 2 2 rˆC, Q2 =   8654  (− 0,832 i + 0,555 j) 4πε 0 x2 + yC C  

N E C, Q2 =   − 7200  i +   4803 C   

N  j C 

N N E C = E C, Q1 + E C, Q2 =   − 223200  i +   − 283197  j C   C   b) En P, los sentidos de los campos eléctricos debidos a Q1 y Q2 son opuestos. Para que el campo sea nulo debe cumplirse:

y xP Q1

1

Q2

Q1

4πε 0 ( x1 + xP )2

=

P x Reemplazando por los valores numéricos y cancelando las constantes:

0,5 10 2 = (0,3 + xP ) ( xP − 0,6)2

1

Q2

4πε 0 ( xP − x2 )2

10 ( xP2 − 1,2 xP + 0,36) = 0,5 (0,09 + 0,6 xP + xP2 )

 x = 0,859 9,5 xP2 − 12,3 xP + 3,555 = 0 ⇒  P  xP = 0,436

2


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Solución Q1 1 N i =   − 74380  i a) E A, Q1 = − 2 4πε 0 ( x1 + xA ) C   Q2 N E A, Q2 = 1 i =  112500  i 2 4πε 0 ( xA − x2 ) C  

N E A = E A, Q1 + E A, Q12 =   38120  i C  

y

0,3 i + 0,4 j rˆC, Q1 = = 0,6 i + 0,8 j 2 2 0,3 + 0,4

C

rˆC, Q1

rˆC, Q2

Q1

Q2

− 0,6 i + 0,4 j rˆC, Q2 = = −0,832 i + 0,555 j 2 2 0,6 + 0,4

x

Q N E C, Q1 = 1 2 1 2 rˆC, Q1 =   − 360000  (0,6 i + 0,8 j) 4πε 0 x1 + yC C   N N E C, Q =   − 216000  i +   − 288000  j C   C   1

Q N E C, Q2 = 1 2 2 2 rˆC, Q2 =   8654  (− 0,832 i + 0,555 j) 4πε 0 x2 + yC C  

N E C, Q2 =   − 7200  i +   4803 C   

N  j C 

N N E C = E C, Q1 + E C, Q2 =   − 223200  i +   − 283197  j C   C   b) En P, los sentidos de los campos eléctricos debidos a Q1 y Q2 son opuestos. Para que el campo sea nulo debe cumplirse:

y xP Q1

1

Q2

Q1

4πε 0 ( x1 + xP )2

=

P x Reemplazando por los valores numéricos y cancelando las constantes:

0,5 10 2 = (0,3 + xP ) ( xP − 0,6)2

1

Q2

4πε 0 ( xP − x2 )2

10 ( xP2 − 1,2 xP + 0,36) = 0,5 (0,09 + 0,6 xP + xP2 )

 x = 0,859 9,5 xP2 − 12,3 xP + 3,555 = 0 ⇒  P  xP = 0,436

2


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El valor xP = 0,436 debe descartarse porque corresponde a un punto ubicado entre Q1 y Q2, y allí los campos eléctricos producidos por esas cargas tienen el mismo sentido (y por lo tanto su suma no puede ser nula).

Respuesta N a) E A =   38120  i C  

N E B =   − 300000  i C  

N N E C =   − 223200  i +   − 283197  j C   C   b) x = 0,859 m

c) No existen

d) (1,116 N ) i + (1,416 N ) j

5. Cuatro cargas idénticas q están colocadas en las esquinas de un cuadrado de lado L que tiene su vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la carga que se encuentra en el origen. b) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida sobre esa carga por las otras tres cargas.

Respuesta q 2  1 1 2  i +  1 2  j b) F =  −1 −  −1−  2 4πε 0 L  2 2   2 2  

6. Dos cargas puntuales positivas q están colocadas sobre el eje y, una en y = a y la otra en y = - a . Una carga puntual negativa - Q está localizada en algún punto sobre el eje + x. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la carga - Q. b) Encuentre las componentes de la fuerza neta que las dos cargas positivas ejercen sobre - Q. c) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga - Q cuando ésta está en el origen? d) Dibuje la componente x de la fuerza sobre la carga -Q en función de x para valores de x entre -4 a y +4a.

Respuesta b) F = −2

1

qQx

4πε 0

3 a 2 + x 2 2

(

c) 0

i

)

7. Se coloca una carga puntual positiva q sobre el eje + y en y = a y se coloca una carga puntual negativa -q sobre el eje - y en y = -a. Una carga puntual negativa - Q está localizada en algún punto sobre el eje + x. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la carga - Q. b) Encuentre las componentes de la fuerza neta que las dos cargas, q y -q, ejercen sobre -Q. c) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga - Q cuando ésta está en el origen? d) Dibuje la componente y de la fuerza sobre la carga - Q en función de x para valores de x entre -4 a y +4a.

Respuesta

3


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b) F = 2

1 4πε 0

qQa

j 3

c) F = 2

(a 2 + x 2 )2

1 qQ 4πε 0 a 2

j .

8. Movimiento en el campo eléctrico entre dos placas paralelas. Un electrón se lanza con una velocidad inicial horizontal v 0 = 4 × 10 6 m s dentro del campo uniforme entre las placas paralelas de la figura. La dirección del campo es verticalmente hacia v0 E abajo y el campo es cero excepto en el espacio entre las plah = 1 cm cas. El electrón entra al campo en un punto situado a la mitad entre las placas. a) Si el electrón apenas roza la placa superior al salir del campo, encuentre la magnitud del campo eléctri L = 2 cm co. b) Suponga que en la figura el electrón es reemplazado por un protón con la misma velocidad inicial. ¿tocaría el protón una de las placas? Si el protón no toca ninguna de las placas, ¿cuáles son la magnitud y dirección de su desplazamiento vertical al salir de la región entre las placas, si el campo eléctrico tiene el valor calculado en el apartado anterior? c) Compare las trayectorias recorridas por el electrón y el protón y explique las diferencias. Desprecie efectos gravitatorios. Preguntas adicionales (para que goce encontrando la respuesta) i) Con el valor del campo eléctrico calculado en (a), ¿cuál es el vector velocidad del electrón 2,5 × 10 −9 s después de ser lanzado y a qué distancia de la placa inferior se encuentra en ese instante? ¿Cuánto tarda el electrón en reducir a la mitad la distancia que lo separa originalmente de la placa superior? ii) Si se duplica el valor de v0, ¿cuánto debe aumentarse el campo eléctrico para que el electrón pase nuevamente rozando la placa superior al salir del campo eléctrico?

Solución e E L2 = 1 a t 12 = 1 2 2 2 me v02

L a) t 1 = v0

e E a = me

e E b) a = m p

e E L2 1 1 2 y = a t 1 = 2 2 m p v02

h

E =

h me v02 2

e L

Respuesta a) 2275 N/C

b) No tocaría ninguna de las placas, 2,72 ×10 −6 m hacia abajo.

9. Dos partículas con cargas q1 = 1 nC y q2 = 3 nC están a una distancia de d = 1,20 m. ¿En qué punto a lo largo de la línea que las conecta, el campo eléctrico total debido a las dos cargas es igual a cero?

Solución

4


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1

q1

4πε 0 x

2

=

1

q2

(q1 − q2 ) x 2 − 2q1 d x + q1 d 2 = 0

4πε 0 (d − x )

2

Respuesta Entre q1 y q2, a 0,439 m de q1

10. Dos cargas puntuales positivas q están fijas sobre el eje x, una en x = a y la otra en x = −a . a) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en x = 0 . b) Obtenga una expresión para el campo eléctrico en puntos a lo largo del eje x. Use el resultado para trazar una gráfica de la componente x del campo eléctrico en función de x para valores de x entre -4a y +4a.

Solución x > a : los campos eléctricos tiene dirección + x

E=

 1 1 i +  4πε 0  ( x − a )2 ( x + a )2  q

( x > a )

− a < x < a : los campos eléctricos tiene sentidos

opuestos - a

a

E=

 1 1 i − 4πε 0  ( x + a )2 ( x − a )2  q

(− a < x < a )

x < −a : los campos eléctricos tienen dirección - x

E=−

 1 1 i +  2 4πε 0  ( x − a ) ( x + a )2  q

( x < − a )

Respuesta a) 0

b) Ver Solución

11. Una carga puntual positiva q se coloca en x = a y una carga puntual negativa -q se coloca en x = −a . a) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en x = 0 . b) ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la variación de la componente x del campo eléctrico en puntos a lo largo del eje x? Justifique su elección.

5


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- a

- a

a

a

1

- a

2

- a

a

3

a

4

Respuesta a) E = − 2

q

4πε 0 a 2

i

b) Figura 2

12. Un alambre recto muy largo tiene una carga por unidad de longitud de 3 ×10−10 C/m. ¿A qué distancia del alambre la magnitud del campo eléctrico es igual a 0,5 N/C?

Solución E =

λ 2πε 0 r

r =

λ 2πε 0 E

Respuesta 10,8 m z

a O

x

P

x

y

13. Un conductor en forma de anillo con radio a = 0,25 cm tiene una carga total positiva Q = +8,4 µC, distribuida alrededor uniformemente como se muestra en la figura. El centro del anillo está en el origen de coordenadas O. a) ¿Cuál es el campo eléctrico (magnitud y dirección en el punto P situado sobre el eje x en x = 0,5 m? b) Una carga puntual q = -2,5 µC se coloca en el punto P descripto en el apartado (a). ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por la carga q sobre el anillo.

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Respuesta 5 a) (3,02 × 10 N C) i

b) (0,756 N ) i

14. Las cargas puntuales q1 = -3, 5 nC y q2 = +3,5 nC están separadas una distancia d . Las dos cargas forman un dipolo eléctrico con momento dipolar p de magnitud 8,2 × 10 −12 C·m. a) ¿Cuál es la distancia d ? b) Las cargas están en un campo eléctrico uniforme E cuya dirección forma un ángulo de 35º con la línea que une las cargas. ¿Cuál es la magnitud E de este campo cuando el momento de torsión ejercido sobre el dipolo tiene una magnitud de 7 × 10 −9 N·m?

Respuesta a) 2,34 × 10 −3 m

b) 1490 N/C

15. Tres cargas puntuales están situadas a lo largo del eje x. La carga q1 = +6 nC está en x = 0,3 m, y la carga q2 = -4 nC está en x = -0,2 m. Una carga puntual positiva q3 está en el origen. a) ¿Cuál debe ser la magnitud de q3 para que la fuerza neta sobre ella tenga una magnitud de 6 × 10 −4 N ? b) ¿Cuál es la dirección de la fuerza neta sobre q3? c) ¿En qué punto del eje x puede colocarse q3 para que la fuerza neta sobre ella sea cero, aparte de las respuestas triviales x = ±∞ ?

Solución a) b)

q3  q1

q   2 − 2 2  = 6 × 10 − 4 4πε 0  0,3 0,2 

q1q3

( x − 0,3)2

=

q 2 q3

( x + 0,2)2

(una de las raíces no sirve)

Respuesta a) 4 × 10 −7 C

b) hacia q2

L

masa m carga q1

16. Dos esferas idénticas de masa m cuelgan de hilos de seda de longitud L, como se muestra en la figura. Cada esfera tiene la misma carga q, así que q1 = q2 = q. El radio de cada esfera es muy pequeño en comparación con la distancia entre las esferas, por lo que pueden tratarse como cargas puntuales. Demuestre que si el ángulo θ es pequeño, la separación d de equilibrio entre las

L

θ

c) x = −2,42 m

θ

masa m carga q2

esferas es d = 3

q 2 L

2πε 0 mg

. (Sugerencia: si θ es pequeño, entonces

tg θ ≅ sen θ )

Solución

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Sea T la tensión de la cuerda.

T cos θ = mg  2 q  1 T sen θ = 4πε 0 d 2  Dividir la segunda ecuación por la primera y reemplazar tg θ por senθ = d . 2 L

17. Dos esferas idénticas cuelgan de hilos de seda de longitud L = 0,5 m desde un punto común, como muestra la figura del problema anterior. Cada esfera tiene una masa m = 8 g. El radio de cada esfera es muy pequeño en comparación con la distancia entre las esferas, por lo que pueden tratarse como cargas puntuales. Una esfera tiene una carga q1 y la otra tiene una carga diferente q2; esto ocasiona que las esferas se separen en forma tal que cuando están en equilibrio, los hilos forman un ángulo θ 1 = 20º con la vertical. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada esfera en equilibrio e identifique todas las fuerzas que actúan sobre cada esfera. b) Un pequeño alambre se conecta ahora entre las esferas, permitiendo que se transfiera carga de una a otra hasta que las dos esferas tengan la misma carga q; el alambre se retira. Cada hilo forma ahora un ángulo de θ 2 = 30º con la vertical. Determine las cargas originales q1 y q2.

Solución Después de conectar el alambre entre las esferas, se cumple:

T 2 cosθ 2 = mg  q2 T senθ = 1 2  2 4πε 0 (2 L senθ 2 )2 

tgθ 2 (4πε 0 ) mg (4 L2 sen 2θ 2 ) = 1,1213×10−6 C

q=

Además

2q = q1 + q 2 En la situación original (cuando las esferas tienen cargas q1 y q2) se cumple:

T 1 cos θ 1 = mg  q1 q2 T senθ = 1 1 1  4πε 0 (2 L senθ 1 )2 

q1 q2 = tgθ 1

(4πε 0 ) mg (4 L2 sen2θ 1 )

Reemplazando q1 o q2 a partir de 2 q = q1 + q 2 se obtiene el resultado.

Respuesta b) q1 = 2,0628 × 10 −6 C , q2 = 1,798 ×10 −7 C , ambas positivas o ambas negativas

18. Si los átomos no fueran neutros...Como las cargas del electrón y del protón tienen el mismo valor absoluto, los átomos son eléctricamente neutros. Suponga que esto no fuera exactamente cierto y que el valor absoluto de la carga del electrón fuese inferior a la carga del protón en 0,001%. a)

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Estime cuál sería la carga neta de un libro en esas circunstancias. Haga las hipótesis que considere justificables, pero indique claramente cuáles son. b) ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos libros colocados a 5 m de distancia? ¿Esta fuerza sería de atracción o de repulsión? Estime cuál sería la aceleración de cada libro si estuvieran separados 5 m y si sólo hubiese fuerzas eléctricas entre ellos. c) Analice cómo la estabilidad de la materia ordinaria muestra que los valores absolutos de las cargas del electrón y del protón deben ser idénticas con un grado muy alto de precisión.

Respuesta b) 3,6 × 1014 N , de repulsión, 1,8 × 1014 m s 2 .

a) aproximadamente 1000 C

19. Una carga q1 = -3 nC se coloca en el origen de un sistema de coordenadas xy, y una carga q2 = 2 nC se coloca sobre el eje y positivo en y = 5 cm. Si una tercera carga q3 = 6 nC se coloca ahora en el punto x = 3 cm, y = 5 cm, encuentre las componentes de la fuerza total ejercida sobre esta carga por las otras dos.

Respuesta (9,55 ×10−5 N) i − (4,09 ×10−5 N ) j y

q

Q

+

O

x

r

a

1 Qq

aproximadamente

4πε 0 r 2

20. Una carga positiva Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje x positivo entre x = 0 y x = a. Se coloca una carga q puntual positiva sobre el eje x en x0 = a + r , una distancia r a la derecha del extremo de Q (ver figura). a) Calcule las componentes x ,y del campo eléctrico producido por la distribución de carga Q en los puntos sobre el eje x en que x > a. b) Calcule la fuerza (magnitud y dirección) que la distribución de carga Q ejerce sobre q. c) Demuestre que si r >> a, la magnitud de la fuerza es

. Explique por qué se obtiene este resultado.

Solución y

a) En un punto P, ubicado sobre el eje x a una distancia x0 del origen, el campo eléctrico producido por una carga diferencial dq, de longitud dx, ubicada a una distancia x del origen, es:

x0 x

dx Q

dq

P

O a

r

x

d E =

1

dq

4πε 0 ( x0 − x )2

Q dx 1 a i= 4πε 0 ( x0 − x )2

i

El campo eléctrico total es: a  Q  1 1 − 1  i = 1 Q  1 − 1  i  ∫ dx 2  i = 1 Q  E=  4πε 0 a  0 ( x0 − x )  4πε 0 a  x0 − a x0  4πε 0 a  r a + r 

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Física II

b) F =

1 qQ  1 − 1  i 4πε a  r a + r  0





  −1   qQ  1 qQ 1 qQ 1   a   1 1 1 1 1  i= c) F = 4πε a  r − a + r  i == 4πε a  r − 1 −  1 + r   i πε a r 4   a     0 0 0   r  + 1   r     −1

−1 a  Desarrollando la función  1 +  = (1 + x ) por serie de MacLaurin hasta el segundo término: r



a  1 +   r 

−1



= (1 + x ) = 1 − x + K = 1 − a + K −1

r

Reemplazando:   a  −1  a 1 −  1 + r   ≅ 1 − 1 + r  

(r >> a )

−1 qQ 1   a   qQ 1 a qQ 1 F= i= 1 i 1 − 1 +   i ≅ 1  4πε 0 a r   r   4πε 0 a r r 4πε 0 r 2

(r >> a )

Respuesta 1 Q  1 − 1  i  a) E = 4πε 0 a  x0 − a x0  y

2 cm

Q= -5 nC x

2 cm

b) F =

1 qQ  1 − 1  i  

4πε 0 a  r a + r 

21. Una línea cargada como la mostrada en la figura se extiende desde y = 2 cm a y = -2 cm. La carga total distribuida uniformemente a lo largo de la línea es de -5 nC. a) Encuentre el campo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje x en x = 0,40 cm. b) ¿La magnitud del campo eléctrico que usted calculó en el apartado (a) es mayor o menor que el campo eléctrico a 0,40 cm de una línea infinita de carga que tiene la misma carga por unidad de longitud que esta línea finita de carga? Explique por qué sucede así. c) ¿A qué distancia x difiere el resultado para la línea infinita de carga en un 1% del de la línea finita?

Solución a) De acuerdo a lo desarrollado en la teoría, la componente x del campo eléctrico para una línea de longitud 2a es: E =

1 2λ

a

4πε 0 x x 2 + a 2

= 551577 N

C

b) De acuerdo a lo desarrollado en la teoría, la componente x del campo eléctrico para una línea infinita es:

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E =

1 λ = 562500 N 2πε 0 x C

c) Para que el campo de la línea finita difiera en el 1% del campo de la línea infinita, su valor debe ser aproximadamente E = 556875 E =

1 2λ

a

4πε 0 x x 2 + a 2

N C . Entonces:

= 556875

x ≅ 0,00396

Respuesta N a) E =   − 551577  i C  

b) menor

c) aproximadamente x = 0,00396 m.

y

σ x

R

22. Un disco cargado uniformemente como el de la figura tiene un radio de − R = 2 cm y una carga por unidad de área σ = 5 × 10 9 C m 2 . a) Encuentre el campo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje x en x = 0,20 cm. b) ¿La magnitud del campo eléctrico que calculó usted en el apartado (a) es mayor o menor que el campo eléctrico a 0,20 cm de una lámina infinita de carga con la misma carga por unidad de área que el disco? En términos de la aproximación usada para obtener la ecuación E = R

σ (aplicable cuando 2ε 0

es mucho mayor que la distancia x del punto considerado al disco) a par-

σ  tir de la ecuación E = 1 − 2ε 0 



  (que da el resultado exacto) explique por qué sucede ( R 2 x 2 ) + 1 

1

así. c) ¿Cuál es la diferencia porcentual entre el campo eléctrico producido por el disco finito y por una lámina infinita con la misma carga por unidad de área en x = 0,20 cm y en x = 0,40 cm?

Solución  σ x  1 + 1  = 254 N a) E = 2ε  − C 0  R 2 + x 2 x  b) E =

σ = 282 N 2ε 0 C

Respuesta a) 254 (N/C) i

b) menor

c) -10% y -20%.

23. Un electrón se lanza al interior de un campo eléctrico uniforme dirigido hacia arriba de magnitud E = 400 N C . La velocidad inicial del electrón es de v0 = 3×106 m s y su dirección forma un

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ángulo de θ = 30° con la horizontal. a) Trace la trayectoria del electrón. b) ¿Cuál es el vector posición del electrón, respecto al punto de partida, transcurridos t 1 = 3,2 ×10−8 s desde su partida. c) ¿Cuál es el vector velocidad del electrón t 2 = 0,5 ×10−8 s después de alcanzar su altura máxima?

Solución Ee = 7,033 × 1013 m2 b) a =

x = v0

s

me

cos θ t 1

y = v0 sen θ t 1 −

1 at 2 2 1

c) El tiempo que tarda en llegar a la altura máxima es: t 3 =

v0 sen θ = 2,133 × 10 −8 a

s

t 4 = t 2 + t 3 = 2,633 × 10

−8

s

v y = v0 sen θ − a t 4

v x = v0 cos θ

Respuesta 6 m 5 m c) v =   2,598 ×10  i +   − 3,518 ×10  j s   s  

b) r = (0,0831 m ) i + (0,012 m ) j

24. Una pequeña esfera de masa 0,6 g tiene una carga de 3 × 10 −10 C y está unida a un extremo de un hilo de seda. El otro extremo del hilo está unido a una gran lámina aislante vertical que tiene una densidad superficial de carga igual a 25 × 10 −6 C/m2. Cuando la esfera está en equilibrio, ¿cuál es el ángulo que forma el hilo con la lámina vertical?

Respuesta 4,12º

25. Una carga puntual negativa q1 = -4 nC está sobre el eje x en x = 1,20 m. Una segunda carga puntual q2 está sobre el eje x en x = -0,60 m. Diga cuáles deben ser el signo y la magnitud de q2 para que el campo eléctrico neto en el origen sea de a) 50 N/C en la dirección + x; b) de 50 N/C en la dirección - x.

Respuesta a) + 1 × 10 −9 C

b) − 3 × 10 −9 C.

y

Q

a x P

26. Una carga positiva Q está uniformemente distribuida alrededor de un semicírculo de radio a, como se indica en la figura. Encuentre el campo eléctrico (magnitud y dirección) en el centro de curvatura P.

Solución

La carga de un elemento diferencial de arco

ds = a d θ es dq =

12

Q Q a d θ = d θ . π a π


Física II

Medimos el ángulo θ desde la dirección positiva del eje x. Considerando dos diferenciales de arco, simétricamente ubicados respecto al eje y, sus componentes horizontales se anularán mutuamente y se sumarán sus componentes verticales.

  1 dq  1 Q senθ d θ  j  = − sen θ j  2  4π 2ε a 2   4πε 0 a  0  

d E =  −

π   Q 1 1 Q j  θ θ = − E =  − 2 sen j d 2 ∫  2π 2ε 0 a 2  4π ε 0 a 0 

Respuesta E=−

1

Q

2

2π ε 0 a 2

j

y +Q

-Q

+Q x

-Q

27. Una carga eléctrica está distribuida uniformemente a lo largo de cada lado de un cuadrado. Dos lados adyacentes tienen carga positiva con carga total +Q sobre cada uno. a) Si los otros dos lados tienen carga negativa con carga total - Q sobre cada uno, según se indica en la figura, ¿cuáles son las componentes x ,y del campo eléctrico neto en el centro del cuadrado? Cada lado tiene longitud L. b) Repita el cálculo del apartado (a) considerando que los cuatro lados tienen carga positiva +Q.

Solución

a) Campo eléctrico de una línea cargada de longitud 2 a, sobre su línea media, a una distancia x: E =

1 Q

1

4πε 0 x x 2 + a 2

Para este problema, 2 a = L, x = L /2. Q E1 = − 1 4πε 0 L 2

1

Q Q 1 =− 1 =− 1 j j 2 j 2 2 πε 4 L L L 2 πε 0 L L 0 + 2 2 4 4

E2 = −

Q 1 i 2πε 0 L2

(lado derecho)

E3 = −

Q 1 j 2πε 0 L2

(lado inferior)

E4 = −

Q 1 i 2πε 0 L2

(lado izquierdo)

13

(lado superior)


Física II

E total = E1 + E 2 + E3 + E 4 =

Q

2 (− i − j)

πε 0 L2

Respuesta a) E =

P

2

Q

πε 0 L2

R

I

S

II

(− i − j)

T

III

b) 0

28. Tres grandes planos aislantes paralelos tienen densidades de carga superficiales σ I = +0,02 C m 2 , σ II = +0,01 C m 2 y σ III = −0,02 C m 2 . Calcule el campo eléctrico neto (magnitud y dirección) debido a los tres planos en el punto P (a la izquierda del plano I); b) en el punto R (entre los planos I y II); c) en el punto S (entre los planos II y III); d) en el punto T (a la derecha del plano III).

Solución Cada plano (considerado infinito) produce un campo eléctrico de magnitud

σ . Por lo tanto: 2ε 0

E P = 1 (− σ I − σ II + σ III ) i 2ε 0

Respuesta a) − 5,65 × 108 (N/C) i c) 2,82 × 109 (N/C) i

b) 1,69 × 109 (N/C) i d) 5,65 × 108 (N/C) i

29. Tres cargas están situadas como se muestra en la figura. La magnitud de q1 es 2 µC pero su signo y el valor de la carga q2 no se conocen. La carga q3 es de +4 µC y la fuerza neta F sobre q3 es enteramente en la q3 F dirección x negativa. a) Considerando los diferentes signos posibles de q1 y q2, hay cuatro posibles diagramas de 4 cm 3 cm fuerza que representan las fuerzas F1 y F2 que q1 y q2 ejercen sobre q3. Trace esas cuatro posibles configuraciones de fuerza. b) Usando los dibujos del apartado (a) y del q1 5 cm q2 hecho de que la fuerza neta sobre q3 no tiene componente y sino que tiene una componente x negativa, deduzca los signos de las cargas q1 y q2. c) Calcule la magnitud de q2. d) Determine F , la magnitud de la fuerza neta sobre q3.

Solución

14


Física II

c) Fq1q3 =

1

4 3  − i − j   4πε 0 (0,04)2  5 5  q1 q3 

Fq2 q3 =

1

3 4  − i + j   4πε 0 (0,03)2  5 5  q 2 q 3 

Planteando que la componente j de la fuerza resultante debe ser nula, se encuentra q2.

Respuesta c) 8,44 × 10 −7 C

b) q1 es negativa y q2 es positiva

d) 56,26 N

P

30. Dos cargas están situadas como se muestra en la figura. La magnitud de q1 es 3 µC pero su signo y el valor de 5 cm 12 cm la carga q2 no se conocen. El campo eléctrico neto E en el E punto P es enteramente en la dirección y negativa. a) Considerando los posibles signos diferentes de q1 y q2, q1 13 cm q2 hay cuatro posibles diagramas que podrían representar los campos eléctricos E1 y E2 producidos por q1 y q2. Trace las cuatro posibles configuraciones del campo eléctrico. b) Usando los dibujos del apartado (a) y la dirección del campo eléctrico neto en P, deduzca los signos de q1 y q2. c) Determine la magnitud del campo neto E.

Respuesta c) 11,7 ×106 N C

b) ambas negativas

El propósito de estas preguntas es generarle dudas. Y encima, no le damos las respuestas. Disculpe por hacerlo renegar. I) (a) Una barra cargada positivamente atrae a un objeto que se encuentra suspendido. ¿Se puede concluir que ese objeto esté cargado negativamente? (b) Una barra cargada positivamente repele a un objeto que se encuentra suspendido. ¿Se puede concluir que ese objeto esté cargado positivamente? II) ¿Es posible que dos líneas de campo eléctrico se crucen en un punto? Justifique III) Si se deja en libertad, a partir del reposo, a una carga puntual q de masa m, inmersa en un campo eléctrico, ¿se moverá a lo largo de una línea de campo eléctrico?

1 qQ ? ¿Por IV) ¿Es imprescindible la presencia de una constante en la ley de Coulomb F = 2 4πε 0 r

qué no escribimos sencillamente F =

qQ r 2

? En definitiva, esta última expresión expresa con clari-

dad todo lo que es físicamente importante: que la fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación entre ellas.

15


Física II

16


Física II

LEY DE GAUSS z S 2 (cara superior) S 1 (cara izquierda)

1. Un cubo tiene lados de longitud L = 0,20 m y se coloca con una esquina en el origen según la figura. El campo eléctrico es uniforme y está dado por E = (2,5 N C ) i − (4,2 N C ) j . a) Encuentre el flujo eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6. b) Encuentre el flujo eléctrico a través de todo el cubo.

S 6 (cara posterior) S 3 (cara derecha) y

I 2 L L

x

S 4 (cara inferior)

S 5 (cara anterior)

Solución Flujo a través de la cara izquierda. El vector S1, de módulo igual al área de la cara, dirección perpendicular a la cara y sentido hacia afuera del cubo, es:

S1 = − L2 j = (− 0,04 m2 ) j Φ E,S 1

2 ⋅ N m = E ⋅ S1 = [(2,5 N C) i − (4,2 N C) j] ⋅ [(− 0,04 m ) j] = 0,168 C 2

Respuesta a) De S 1 a S 6: 0,168; 0; -0,168; 0; 0,1; -0,1 (N·m 2 /C)

b) 0

2. Flujo eléctrico a través de un cubo. Considere un campo eléctrico uniforme en la dirección + x con magnitud E = 5 × 103 N C . a) Se coloca en este campo un cubo con lado de 0,08 m. ¿Cuál es la magnitud del flujo eléctrico a través de una cara del cubo si la normal a esa cara forma un ángulo de 53,1º con la dirección del campo? b) ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de todos los lados del cubo?

Respuesta a) 19,2 N·m2 /C

b) 0

q1

S 2

S 1 S 3 S 4 q3

S 5

q2

3. Las tres esferas pequeñas que se muestran en la figura tienen cargas q1 = 2,50 nC, q2 = -4 nC y q3 = 6,40 nC. Encuentre el flujo eléctrico neto a través de cada una de las siguientes superficies gaussianas cerradas de la figura: a) S 1; b) S 2; c) S 3; d) S 4; e) S 5. f) ¿Sus respuestas a los apartados (a) al (e) dependen de cómo está distribuida la carga sobre cada esfera pequeña? ¿Por qué?

17

Ley de Gauss

Física II

Solución Φ E, S 3 =

Qenc

ε 0

=

q1 + q2

ε 0

2 N m ⋅ = −169,5 C

Respuesta a) 282,5 N·m2 /C d) 1005,6 N·m2 /C

b) -452 N· m2 /C e) 553,7 N·m2 /C

c) -169,5 N· m2 /C f) No

4. Una esfera sólida metálica de radio 0,60 m tiene una carga neta de 0,15 nC. Encuentre la magnitud del campo eléctrico a) en un punto 0,10 m fuera de la superficie de la esfera; b) en un punto ubicado dentro de la esfera a 0,10 m por debajo de la superficie.

Respuesta a) 2,75 N/C

b) 0

5. Un conductor con una cavidad interior, como el mostrado en la figura, tiene una carga total de +7 nC. La carga dentro de la cavidad, aislada del conductor, es de +5 nC. Diga cuánta carga hay a) sobre la superficie interior del conductor; b) sobre la superficie exterior del conductor.

Respuesta a) -5 nC

b) +12 nC

6. El cubo del ejercicio 1 es atravesado por un campo eléctrico no uniforme, dado por E = (3 N/C m) x i + (4 N/C m) y j. a) Encuentre el flujo eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo, S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, y S 6. b) Encuentre la carga eléctrica total dentro del cubo.

Solución Cara 1 2 3 4 5 6

S -0,04 0,04 k 0,04 j -0,04 k 0,04 i -0,04 i

E 3 x i 3 x i + 4 y j 3 x i + 0,8 3 x i + 4 y j 0,6 i + 4 y 4 y j

Φ

0 0 0,032 0 0,024 0

Respuesta a) 0,032 N·m2 /C a través de S 3 y 0,024 N·m2 /C a través de S 5; cero en las restantes b) 4,956 × 10 −13 C .

18

Ley de Gauss

Física II

7. Una esfera dentro de una esfera. Una esfera conductora sólida tiene una carga + q y radio a, y se encuentra dentro de una esfera conductora hueca concéntrica de radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca no tiene carga neta. a) Obtenga expresiones para la magnitud del campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro para las regiones r < a, a < r < b , b < r < c y r > c. b) Dibuje una gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de r entre r = 0 y r = 2c. c) ¿Cuál es la carga sobre la superficie interior de la esfera hueca? d) ¿Y sobre la superficie exterior?

Respuesta E =

(r < a )

a) E = 0

(b < r < c )

E = 0

1

q

4πε 0 r 2

(a < r < b ) (r > c )

E = 0

c) –q

d) +q

a

+

b

Q

-3Q

8. Una esfera conductora hueca con radio interior a y radio exterior b tiene una carga puntual positiva Q en su centro. La carga total sobre la esfera hueca es -3Q y está aislada de sus alrededores (ver figura). a) Obtenga las expresiones para la magnitud del campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro para las regiones r < a, a < r < b y r > b. b) ¿Cuál es la densidad de carga superficial sobre la superficie interior de la esfera hueca? c) ¿Cuál es la densidad de carga superficial sobre la superficie exterior de la esfera hueca? d) Dibuje las líneas de campo eléctrico y la localización de todas las cargas. e) Dibuje una gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de r .

Respuesta Q a) E = 1 2 4πε 0 r E =

b) −

1 2Q

4πε 0 r 2

(r < a )

E =

(r > b ) , radial hacia adentro

Q

4π a

(a < r < b )

0

c) −

2

2Q 4π b 2

9. Esferas huecas concéntricas. Una pequeña esfera conductora hueca con radio interior a y radio exterior b es concéntrica con otra esfera conductora hueca mayor de radio interior c y radio exterior d (ver figura). la c esfera interior tiene una carga total de +2 q y la esfera exterior, de +4 q. a) d Calcule el campo eléctrico en términos de q y de la distancia r desde el a centro común de las dos esferas para i) r < a; ii) a < r < b ; iii) b < r < c; b iv) c < r < d ; v) r > d . Muestre sus resultados en una gráfica de E en función de r . b) Diga cuál es la carga total sobre i) la superficie interior de la esfera pequeña; ii) la superficie exterior de la esfera pequeña; iii) la superficie interior de la esfera grande; iv) la superficie exterior de la esfera grande.

Respuesta 19

Ley de Gauss

Física II

a) i) 0

ii) 0

iii) E =

b) i) 0

ii) +2q

iii) -2q

1 2q

iv) 0

2

4πε 0 r

v) E =

1 6q 4πε 0 r 2

iv) +6q

10. Una esfera conductora sólida de radio R tiene una carga positiva total Q. La esfera está rodeada por una esfera hueca aislante con radio interior R, radio exterior 2 R y densidad de carga uniforme ρ. a) Encuentre el valor de ρ de manera que la carga neta del sistema entero sea cero. b) Si ρ tiene el valor obtenido en (a), encuentre el campo eléctrico (magnitud y dirección) en cada una de las regiones 0 < r < R, R < r < 2 R y r > 2 R.

Solución a) La carga de la esfera hueca aislante debe ser – Q. 2 R

2 R

3   8 r 3  R 3 R 3  28π ρ R − Q = ∫ ρ dV = ∫ ρ (4π r ) dr = 4π ρ   = 4π ρ  − = 3 3 3 3   R   R 2

ρ = −

3Q 28π R 3

b) Aplicamos la ley de Gauss a una superficie gaussiana esférica concéntrica con las esferas del enunciado, de radio r tal que R < r < 2 R. La carga encerrada por esta esfera es: r

r

3Q 3Q  r 3  2 Q + ∫ ρ dV = Q − ∫ (4π r ) dr = Q − 3  3  = Q − Q 3 (r 3 − R 3 ) 3 28π R 7 R   R 7 R R Por simetría esférica, el campo eléctrico tiene magnitud constante sobre la esfera gaussiana y es paralelo al vector diferencial de área en cada punto. Entonces, por ley de Gauss: Q−

E (4π r 2 ) =

Q

7 R

3

(r 3 − R 3 ) E =

ε 0

1

Q−

4πε 0

Q (r 3 − R 3 ) 3 7 R r 2

Respuesta a) −

3Q 28π R 3

b) E = 0 σ

E

(0 < r < R y σ

E

r > 2 R )

E =

1 4πε 0

Q−

Q

7 R

3

(r 3 − R 3 )

r 2

( R < r < 2 R )

11. Una placa conductora grande aislada, como la mostrada en la figura, tiene una carga σ por unidad de área sobre su superficie. Como la placa es un conductor, el campo eléctrico en su superficie es perpendicular a la superficie y tiene una magnitud E = σ / ε0. a) El campo creado por una lámina grande uniformemente cargada con carga σ por unidad de área tiene una magnitud

20

Ley de Gauss

Física II

E = σ /2ε0,

exactamente la mitad de la de una placa conductora cargada. ¿Por qué hay diferencia? b) Considerando la distribución de carga sobre la placa conductora como dos láminas de carga (una en cada superficie), cada una con carga σ por unidad de área, use el resultado indicado previamente y el principio de superposición para demostrar que E = 0 dentro de la placa y E = σ / ε0, fuera de la placa.

12. Un cilindro sólido muy largo de radio R tiene una carga positiva distribuida uniformemente a través de él, con carga ρ por unidad de volumen. a) Obtenga la expresión para el campo eléctrico dentro del volumen a una distancia r del eje del cilindro en términos de la densidad de carga ρ. b) ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto fuera del volumen en términos de la carga por unidad de longitud λ en el cilindro? c) Compare las respuestas (a) y (b) para r = R. d) Dibuje una gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de r entre r = 0 y r = 3 R.

Solución Aplicando la ley de Gauss a una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud l, coaxial con el cilindro cargado, siendo r < R para el apartado (a) y r > R para el apartado (b): a) E ε 0 (2π r l ) = π r 2 lρ

E =

b) E ε 0 (2π r l ) = λ l

E =

c) ρ =

Q 2

π r l

=

λ π r 2

r ρ

2ε 0 λ 2πε 0 r

Los resultados de (a) y (b) coinciden para r = R.

Respuesta a) E =

r

2ε 0

b) E =

λ 2πε 0 r

13. El cable coaxial. Un cable coaxial largo consiste en un conductor cilíndrico interior con radio a y un cilindro exterior coaxial con radio interior b y radio exterior c. El cilindro exterior está montado sobre soportes aislantes y no tiene carga neta. El cilindro interior tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ. Calcule el campo eléctrico a) en cualquier punto entre los cilindros a una distancia r del eje; b) en cualquier punto fuera del cilindro exterior. c) Dibuje una gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de la distancia r al eje del cable, entre r = 0 y r = 2c. d) Encuentre la carga por unidad de longitud sobre las superficies interior y exterior del cilindro externo.

Respuesta a) E =

λ 2πε 0 r

b) E =

λ 2πε 0 r

21

d) – λ y + λ.

Ley de Gauss

Física II

14. Un tubo conductor muy largo (cilindro hueco) tiene radio interior a y radio exterior b, y una carga +α por unidad de longitud, donde α es una constante positiva con unidades de C/m. A lo largo del eje del tubo se encuentra una línea de carga que tiene una carga + α por unidad de longitud. a) Calcule el campo eléctrico en términos de α y de la distancia r al eje del tubo para i) r < a; ii) a < r < b; iii) r > b. Muestre sus resultados en una gráfica de E en función de r . b) Diga cuál es la carga por unidad de longitud sobre i) la superficie interna del tubo; ii) la superficie externa del tubo.

Respuesta a) i) E =

α 2πε 0 r

iii) E =

ii) 0

α πε 0 r

b) i) –α

ii) +2α.

15. Placa cargada uniformemente. Una placa de material aislante que tiene un espesor de 2 d está orientada de manera que sus caras son paralelas al plano yz y están dadas por los planos x = d y x = -d . Las dimensiones y y z de la placa son muy grandes en comparación con d y pueden tratarse como si fueran infinitas. La placa tiene una densidad ρ de carga positiva uniforme. a) Explique por qué el campo eléctrico debido a la placa en el centro de ésta ( x = 0) es cero. b) Usando la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico debido a la placa (magnitud y dirección) en todos los puntos del espacio (dentro de la placa y fuera de ella).

Solución b) Consideramos una superficie gaussiana dada por un cilindro de radio r con una de sus bases en el centro de la placa y la otra a una distancia x < d . El campo eléctrico es nulo en la base que está en el centro de la placa (por el apartado (a)) y también es nulo, por simetría, en la superficie lateral del cilindro. Únicamente tiene un valor E en la base que se encuentra a una distancia x del centro de la placa. Por lo tanto: E ε 0π r 2 = π r 2 x ρ

E =

x ρ

ε 0

Al campo fuera de la placa se llega de idéntica forma y se obtiene E =

d ρ

ε 0

.

Respuesta b) E =

x ρ

ε 0

(dentro) y E =

d ρ

ε 0

(fuera), ambos hacia fuera de la placa.

16. Placa cargada no uniformemente. Repita el problema anterior, considerando ahora que la densidad de carga de la placa está dada por ρ ( x ) = ρ 0

x 2 2 , donde ρ 0 es una constante positiva. d

Solución Ver problema anterior. Dentro de la placa:

22

Ley de Gauss

Física II

2 3

x

3

ρ π r x x 2 E ε 0π r = ρ 0 2 (π r 2 ) dx = 0 2 d 3 d 0

∫

2

E = =

x ρ 0

3d 2ε 0

Fuera de la placa se obtiene de idéntica forma.

Respuesta E =

x 3 ρ 0

3d 2ε 0

= (dentro) y E =

y R

R

x

O Q

Q

d ρ 0

3ε 0 (fuera), ambos hacia fuera de la placa.

17. Una carga positiva Q está distribuida uniformemente sobre dos volúmenes esféricos de radio R, según se muestra en la figura. Una esfera de carga está centrada en el origen y la otra está centrada en x = 2 R. Encuentre la magnitud y la dirección del campo eléctrico neto debido a esas dos distribuciones de carga en los siguientes puntos: a) x = 0; b) x = R /2; c) x = R; d) x = 3 R.

Solución Sumar, en cada caso, los campos eléctricos producidos por las dos esferas. a) La esfera centrada en el origen produce un campo nulo en ese punto. La otra produce un campo igual a: Q E=− 1 i 4πε 0 4 R 2

    QR Q Q 1 1  i= 1 i − b) E =  4πε 3 2 2 πε πε 4 4  2 18 R R 0 0  3  0 2   R    2   

Respuesta a) E = −

1

Q

4πε 0 4 R 2

i

b) E =

1

Q

4πε 0 18 R 2

i

c) 0

d) E =

1 10Q i. 4πε 0 9 R 2

Preguntas perturbadoras I) La superficie gaussiana, ¿está hecha de material aislante o conductor? ¿Cómo lo sabe?

23

Ley de Gauss

Física II

II) Suponga que el campo eléctrico de una carga puntual fuera proporcional a proporcional a

1 r 2

1 r 3

en vez de ser

. ¿Se mantendría la validez de la ley de Gauss? Explique.

III) Se coloca una cantidad conocida de carga Q en un conductor de forma irregular (para concretar, de forma de papa). Si conoce el tamaño y la forma del conductor, ¿se puede utilizar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en un punto cualquiera P ubicado fuera del conductor? Si se puede, explique cómo. Si no se puede, explique por qué es imposible y de qué otra manera podría calcularse el campo eléctrico en P, detallando qué datos adicionales necesitaría conocer. IV) a) Suponga que una superficie gaussiana no encierra carga. ¿La ley de Gauss implica que E es igual a cero en todos los puntos de la superficie? b) ¿La implicación recíproca será cierta? esto es, si E es igual a cero en todos los puntos de una superficie, ¿la ley de Gauss implica que no existe carga total en el interior? V) En cierta región del espacio, E es uniforme. a) Use la ley de Gauss para demostrar que esta región debe ser eléctricamente neutra; esto es, la densidad de carga volumétrica debe ser cero. b) ¿Es cierto el enunciado inverso? Esto es: en una región del espacio donde no hay carga, ¿ E debe ser uniforme?

24

Ley de Gauss

Física II

POTENCIAL ELÉCTRICO 1. Dos cargas puntuales estacionarias, q1 = +3,87 nC y q2 = −1,13 nC , están separadas una distancia de d = 15 cm . Un electrón, que está restringido a moverse a lo largo de la recta que une a las dos cargas, se ubica sobre dicha recta, entre las cargas, a xi = 10 cm de q2, y se lanza hacia q2 con una velocidad inicial vi = 1×107 m . a) ¿Cuál es su rapidez cuando se ha desplazado 1 cm hacia q2? b) s ¿Qué trabajo realizó el campo eléctrico y cuál fue el cambio de la energía potencial durante ese desplazamiento? c) ¿Cuánto se acerca el electrón a q2?

Solución a) U i = U f =

− q1e q2 e  1  −17 +   = −9,518 × 10 J

4πε 0  d − xi

xi 

E ci =

1 m v 2 = 4,55 × 10 −17 J 2 e i

E cf =

1 m v 2 = 2,512 × 10 −17 J 2 e f

1  − q1e + q2e  = −7,480 × 10 −17 J   4πε 0  d − 0,09 0,09 

U i + E ci = U f + E cf v f = 7,43 × 10 6

m s

Observe que en el cálculo de U i y U f no se ha utilizado la energía potencial de la pareja de cargas q1q2, ya que ese sumando se cancelaría al hacer la diferencia entre U i y U f . − U f = −4,968 × 10 17

c) U i + E ci = U f + E cf {

J

0

U f =

− q1e q2 e  1    +

4πε 0  d − x f

Respuesta 6 a) 7,43 × 10 m s

x f = 0,0727 m

x f 

−17 −17 b) − 2,038 × 10 J y 2,038 × 10 J

c) 0,0727 m

2. Una carga puntual q1 = - 5,8 µC se mantiene estacionaria en el origen. Una segunda carga puntual q2 = +4,3 µC se desplaza desde el punto x = 0,26 m, y = 0 hasta el punto x = 0,38 m, y = 0. ¿Cuánto trabajo realizó la fuerza eléctrica sobre q2?

Respuesta -0,272 J

25

Potencial eléctrico

Física II

3. Tres cargas puntuales, que inicialmente están separadas una distancia infinita, se colocan en los vértices de un triángulo equilátero de lado d . Dos de las cargas puntuales son idénticas y tienen una carga q. Si se requiere un trabajo neto cero para colocar las tres cargas en los vértices del triángulo, ¿cuál debe ser el valor de la tercera carga?

Solución La energía potencial de la configuración de cargas debe ser nula. 2 qQ q qQ  1    = 0 + +

4πε 0  d

d

d 

Q=−

q

2

Respuesta -q /2

4. Una carga puntual q1 = 2 nC está en el origen y otra carga puntual q2 = -3 nC está sobre el eje x en x = +20 cm. Se va a colocar una tercera carga q3 = 5 nC sobre el eje x entre q1 y q2. Tome como cero la energía potencial de las tres cargas cuando están separadas una distancia infinita. a) ¿Cuál es la energía potencial del sistema de las tres cargas si q3 se coloca en x = +10 cm? b) ¿Dónde se debería colocar q3 para hacer que la energía potencial del sistema sea igual a cero?

Respuesta a) − 7,2 × 10 −7 J

b) 0,069 m.

5. Un campo eléctrico uniforme con magnitud E está dirigido hacia la dirección positiva del eje x. Considere los puntos a, en x = 0,80 m, y b, en x = 1,20 m. La diferencia de potencial entre estos dos puntos es de 730 V. a) ¿Cuál de los dos puntos, a o b, está a mayor potencial? b) Calcule la magnitud E del campo eléctrico. c) Una carga puntual negativa q = -0,2 µC se desplaza de b a a. Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga.

Respuesta a) a

c) 1,46 × 10 −4 J .

b) 1825 V/m

6. Una carga de 37 nC está colocada en un campo eléctrico uniforme dirigido verticalmente hacia arriba y cuya magnitud es de 5 × 10 4 N/C. Diga qué trabajo realiza la fuerza eléctrica cuando la carga se desplaza a) 0,45 m hacia la derecha; b) 0,67 m hacia abajo; c) 2,60 m formando un ángulo de 35º por encima de la horizontal.

Respuesta a) 0

b) − 1,24 × 10−3 J

c) 2,76 ×10 −3 J

26


Física II

B

7. Dos cargas puntuales q1 = +6,30 nC y q2 = -5,10 nC están separadas una distancia de 0,10 m. El punto A 0,08 m 0,06 m está a la mitad del segmento que las une; el punto B está a 0,08 m de q1 y a 0,06 m de q2 (ver figura). Tome A q1 + - q2 el potencial cero en el infinito. Encuentre a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el punto B; c) el traba0,05 m 0,05 m jo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de Q = 2,50 nC que se desplaza de B a A; d) el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de Q = − 1,50 nC que se desplaza de B a A.

Solución a) V A =

1  q1 + q2  = 216 V   4πε 0  0,05 0,05 

b) V B =

1  q1 + q2  = −56,25 V   4πε 0  0,08 0,06 

− c) W = −∆U = −(U A − U B ) = U B − U A = QV B − QV A = −6,806 × 10 7 J

Respuesta a) 216 V

b) -56,25 V

c) − 7,65 ×10−7 J

d) 4,084 ×10−7 J

8. Potencial de dos cargas positivas. Dos cargas puntuales positivas, cada una de magnitud q, se encuentran fijas sobre el eje y en los puntos y = +a, y = -a. Tome el potencial cero a una distancia infinita de las cargas. a) Muestre que el potencial en cualquier punto sobre el eje x es: V =

1

2q

4πε 0 a 2 + x 2

b) Trace una gráfica del potencial sobre el eje x en función de x sobre el intervalo comprendido entre x = - 4a y x = +4a. c) ¿Cuál es el potencial cuando x >> a? Explique por qué se obtiene este resultado.

Respuesta b)

c)

2q 1 4πε 0 x

9. Potencial de dos cargas de signo opuesto. Dos cargas, una positiva + q y otra negativa - q, están fijas en los puntos x = 0, y = -a, y x = 0, y = +a, respectivamente. Tome V = 0 a una distancia infinita de las cargas. a) ¿Cuál es el potencial en un punto sobre el eje x a una distancia x del origen? b) Obtenga una expresión para el potencial en puntos del eje y en función de la coordenada y. c)

27


Física II

Trace una gráfica del potencial en puntos del eje y en función de y en el intervalo entre y = - 4a y y =

+4a. d) Muestre que el potencial en un punto sobre el eje + y está dado por V = −

2aq 4πε 0 y 2

,

cuando y >> a.

Solución b) V = V =

1  q − q   

1  q − q  4πε  y + a a − y  0

V =

( y > a )

4πε 0  y + a y − a  

(− a < y < a )



1  q

q  −  4πε 0  − y − a − y + a 

c)

- a

( y < − a )

    q  q q  q 1 1 1  = − − d) V =  = 4πε 0  y + a y − a  4πε 0   a   a   4πε 0 y y 1 +  y 1 −    y   y   −1

a

 a  −1  a  −1  1 + y  − 1 − y       

−1

 a   a  Desarrollamos 1 +  y 1 −  por serie de MacLaurin, hasta el segundo término:  y   y   a  −1  a  −1  q V =  1 +  − 1 −   =  4πε 0 y  y   y   4πε 0 y q

 a 2aq   a   1 1 − + K − + + K ≅ −       4πε 0 y 2   y    y

Respuesta a) 0

b) y c) Ver Solución

10. Una carga positiva q se encuentra fija en el punto x = 0, y = 0, y una carga negativa -2q está fi ja en el punto x = a, y = 0. a) Deduzca una expresión para el potencial en puntos del eje x en función de x. Tome V = 0 a una distancia infinita de las cargas. b) Trace una gráfica del potencial en puntos sobre el eje x en el intervalo de x = - 2a a x = +2a. c) ¿En qué puntos del eje x el potencial es igual a cero? d) ¿Cuál sería la respuesta de (a) si x >> a y x > 0? Explique por qué se obtiene este resultado.

Solución a) V = V =

1  q − 2q   

4πε 0  x x − a 

1  q − 2q   

4πε 0  x

a − x 

( x > a )

- a

(0 < x < a )

a

b)

28


Física II

V =

1  q − 2q   

4πε 0  − x

( x < 0 )

− x + a 

c) Para ( x > a ) , debe ser:

2q q − =0 x x − a

1= 2

x

x = − a

x − a

Pero ese resultado debe descartarse porque debe cumplirse que ( x > a ) . Para (0 < x < a ) , debe ser: q 2q − =0 x a − x

1= 2

x

x =

a − x

a

3

Para ( x < 0 ) , debe ser: q 2q − =0 − x − x + a

1 =

− x

2

x = − a

− x + a

d) Para x >> a: V =

1  q − 2q  ≅ 1  q − 2q  = − q     4πε 0  x x − a  4πε 0  x x  4πε 0 x

Respuesta a) y b) Ver Solución

c) –a y a /3

d)

−q 4πε 0 x

11. Se distribuye de manera uniforme una carga total de 2,60 nC sobre la superficie de una esfera metálica de 0,20 m de radio. Si el potencial es cero en un punto en el infinito, diga cuál es el valor del potencial a) en un punto sobre la superficie de la esfera; b) en un punto dentro de la esfera a 0,05 m de su centro.

Respuesta a) 117 V

b) 117 V

12. Un anillo delgado cargado uniformemente tiene un radio de R = 10 cm y una carga total de Q = +12 nC . Se coloca un electrón en el eje del anillo a una distancia de xi = 25 cm de su centro y se le restringe a permanecer sobre el eje del anillo. Entonces el electrón se libera del reposo. a) Describa el movimiento que adquiere el electrón. b) Encuentre la rapidez del electrón cuando alcanza el centro del anillo. c) El electrón se coloca en la misma posición pero ahora se lanza hacia el anillo con velocidad inicial vi = 1×107 m s ; ¿en qué posición invierte el sentido de su movimiento? d) El electrón se coloca en la misma posición; ¿es posible lanzarlo hacia el anillo con una velocidad lo

29


Física II

suficientemente grande como para que no retorne? Si es así, calcúlela; de lo contrario explique por qué no es posible. e) Si respondió afirmativamente al apartado anterior, determine en qué posición del eje del anillo debe estar el electrón para que la velocidad con que debe lanzarse para que no retorne es máxima, y cuál es esa velocidad.

Preguntas incómodas I) ¿En qué cambia lo calculado en (c) y (d) si el electrón se lanza en sentido opuesto al anillo? II) ¿En qué cambia lo calculado en (c) y (d) si la carga del anillo es negativa?

Solución 1 b) U i = − 4πε

Qe R 2 + xi2

0

= −6,418 × 10 −17 J

U f = −

U i + E ci = U f + E cf {

4πε 0 R

E cf =

1 m v 2 = 1,086 × 10 −16 J 2 e f

E ci =

1 m v 2 = 4,55 × 10 −17 J 2 e i

0

m s

v f = 1,545 × 10 7

−17 c) U i = −6,418 × 10 J

U i + E ci = U f + E cf = − {

0

1

Qe

x = ±0,92 m

4πε 0 R 2 + x 2

d) U i + E ci = U f + E cf {

0

vi = 1,188 × 10 7

1 Q e = −1,728 × 10 −16 J

E ci = −U i =

{

0

1 m v2 2 e i

m s e) Cuando el electrón se ubique en un punto donde − U tome su valor máximo, es decir en el centro del anillo. En ese caso la velocidad inicial para que no retorne debe ser:

U x

2 J = 1 me vimáx 2 = 1,95 × 10 7 m s

E ci = 1,728 × 10 −16 vimáx

Respuesta a) oscilatorio no armónico simple

b) 1,54 × 10 7 m/s

c) a 0,92 m del centro del anillo, del lado opuesto al lanzamiento

d) 1,188 × 107 m s

30


Física II

e) en el centro del anillo; 1,95 × 10 7 m s

13. Una línea de carga infinitamente larga tiene una densidad de carga lineal de 4 × 10 −12 C/m. Un protón (masa de 1,67 × 10 −27 kg , carga de + 1,6 × 10 −19 C ) está a 18 cm de la línea y se desplaza directamente hacia ella a 2,50 × 103 m/s. ¿Cuánto se acerca el protón a la línea de carga?

Solución El potencial a una distancia r de una línea infinita de carga es: V =

r λ ln 0 2πε 0 r

donde r 0 es el radio para el que se adopta V = 0.

U i + E ci = U f + 0

V i e + E ci = V f e

Respuesta Hasta una distancia de 11,44 cm.

14. Esfera dentro de un cascarón. Una esfera de metal de radio r a está colocada sobre una base aislante en el centro de un cascarón esférico metálico hueco de radio r b. Hay una carga + q sobre la esfera interior y una carga - q en el cascarón esférico. a) Calcule el potencial V (r ) para i) r < r a; ii) r a < r < r b; iii) r > r b. (Sugerencia: El potencial neto es la suma de los potenciales debidos a las esferas individuales.) Tome V (r ) igual a cero cuando r es infinita. b) Muestre que el potencial de la esfera interior con respecto al del cascarón es V ab =

 1 1   −  4πε 0  r a r b  q

c) Si E es radial con respecto a un punto o a un eje y r es la distancia desde el punto o eje, se cumple que E r = −(∂V ∂r ) . Use esta ecuación y el resultado de (a) para mostrar que el campo eléctrico en cualquier punto entre las esferas tiene una magnitud de E =

V ab

1

 1 1  r 2  −   r a r b 

d) Use la ecuación E r = −(∂V ∂r ) y el resultado de (a) para hallar el campo eléctrico en un punto fuera del cascarón a una distancia r del centro, donde r > r b. e) Suponga que la carga de la esfera exterior no es -q sino una carga negativa de diferente magnitud, digamos -Q. Muestre que las respuestas de (b) y (c) son las mismas que antes pero que la respuesta de (d) es diferente.

Solución a) El potencial producido por la esfera de radio r a es:

31


Física II

V =

1

q 4πε 0 r

(r ≥ r a )

V =

1

q 4πε 0 r a

(r ≤ r a )

El potencial producido por la esfera de radio r b es: V = −

1

q 4πε 0 r

(r ≥ r b )

V = −

1

q 4πε 0 r b

(r ≤ r b )

Por lo tanto: q q  1   − 

V total =

4πε 0  r a

(r ≤ r a )

r b 

c) E = −

∂V = − ∂  q ∂r ∂r  4πε 0

e) V total =

q Q  1   − 

V total =

V total =

4πε 0  r a

r b 

V ab q 1  1 1  1 =  −  = 2 2  r r b  4πε 0 r  1 − 1  r   r r a b  

(r ≤ r a )

q Q  1   − 

(r a ≤ r ≤ r b )

1  q − Q   

(r ≥ r b )

4πε 0  r r b 

4πε 0  r r 

En este caso, el campo eléctrico fuera del cascarón es E =

q −Q

1

4πε 0 r 2

Respuesta a) i)

 1 1   −  4πε 0  r a r b  q

ii)

 1 1   −  4πε 0  r r b  q

iii) 0

d) 0

15. El potencial eléctrico V en una región del espacio está dado por V = ax2 + ay2 - 2az2, donde a es una constante. a) Obtenga una expresión para el campo eléctrico E en cualquier punto de esta región. b) El trabajo realizado por el campo cuando una carga de prueba de 2 µC se desplaza desde el punto (x, y, z) = (0, 0, 0,10 m) hasta el origen es de − 5 × 10 −5 J . Determine la constante a. c) Determine E en el punto (0, 0, 0,10 m). d) Muestre que en cada plano paralelo al plano xy los contornos equipotenciales son círculos. e) ¿Cuál es el radio del contorno equipotencial correspondiente a V = 6250 V y z = 2 m?

Solución a) E = −∇V = −2ax i − 2ay j + 4az k

32


Física II

0

b) d r = dz k

W = q

∫ E·d r = q0∫,14az dz = −0,02aq

También se puede calcular a través de: W AB = q(V A − V B ) = q (− 0,02a − 0 ) = −0,02 aq

d) En un plano paralelo al xy, z = K y por lo tanto V = ax 2 + ay 2 − 2aK 2 . V a

+ 2 K 2 = x 2 + y 2

ecuación de una circunferencia de radio r =

Respuesta a) − 2ax i − 2ay j + 4az k

V a

+ 2 K 2

c) 500 k

b) 1250

e) 3

16. En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V = axy + by2 + cy, donde a = 3 V/m2, 2 b = - 2 V/m y c = 5 V/m. a) Calcule las componentes x, y , z del campo eléctrico. b) ¿En qué puntos el campo eléctrico es igual a cero?

Respuesta a) E x = −ay ; E y = − ax − 2by − c ; E z = 0

b) x = -1,67; y = 0; z = 0

17. El potencial debido a una carga puntual Q situada en el origen se puede escribir como V =

Q

Q

=

4πε 0 r 4πε 0 x 2 + y 2 + z 2

a) Calcule E x, E y y E z utilizando las ecuaciones E x = −(∂V ∂ x ) , E y = − (∂V ∂ y ) , E z = −(∂V ∂ z ) . b) Muestre que el resultado de (a) concuerda con lo calculado mediante la definición de campo eléctrico.

Respuesta a) E x =

Q 4 πε 0

x

( x 2 + y 2 + z 2 )

3 2

E y =

Q 4 πε 0

y

( x 2 + y 2 + z 2 )

3 2

E z =

Q 4 πε 0

z 3

( x 2 + y 2 + z 2 ) 2

18. Desviación en un tubo de rayos catódicos. En la figura se ve un protón proyectado a m E c v lo largo del eje en el punto medio entre las 0 2 + = placas de desviación de un tubo de rayos d catódicos con una rapidez inicial de 5 v 0 = 8 × 10 m/s. El campo eléctrico uniforme L = 6 cm s = 12 cm entre las placas tiene una magnitud de 3 E = 1,40 ×10 N/C y apunta hacia abajo. a) ¿Cuánto se desplaza el protón por debajo del eje cuando S

33


Física II

alcanza el extremo de las placas? b) ¿Con qué ángulo con respecto al eje se mueve cuando sale de las placas? c) ¿A qué distancia por debajo del eje golpeará la pantalla S? Desprecie efectos gravitatorios.

Solución eE a) a =

t 1 =

m p

L v0

y =

1 at 2 2 1

5 m 4 m  j b) v = v0 i − at 1 j =   8 × 10  i +   − 1,006 × 10 s   s  

1 , 006 × 10 4 arctg = 0,72° 8 × 10 5 1 2 c) y + ∆ y = at 1 + s tg 0,72° = 0,00189 m 2

Respuesta a) 0,38 mm

b) 0,72º

β = 10º θ = 30º q

5 cm

c) 1,89 mm

19. Una pequeña esfera de masa m = 3, 20 g cuelga de un hilo entre dos placas paralelas separadas d = 5 cm . Las placas están inclinadas 10° respecto a la vertical. La carga en la esfera es q = 5,8 × 10 −6 C . ¿Qué diferencia de potencial entre las placas hará que el hilo forme un ángulo de 30º con la vertical?

Solución V q  = T θ sen cos β  d  T cos θ = mg + V q sen β d 

V =

mg tg θ q (cos β − sen β tg θ ) d

Respuesta 176,5 V -q

+q

+q

-q d

+q -q

-q d

d

20. Un cristal iónico. En la figura se muestran ocho cargas puntuales colocadas en los vértices de un cubo cuyos lados tienen longitud d . Como se muestra, los valores de las cargas son +q y -q. Éste es un modelo de una celda de un cristal iónico cúbico. En el cloruro de sodio, por ejemplo, los iones positivos son Na + y los negativos son Cl-. Calcule la energía potencial U de esta distribu-

+q 34


Física II

ción (tome como cero la energía potencial de las ocho cargas cuando están separadas entre sí una distancia infinita).

Solución U =

1 4πε 0

∑

qi q j

i < j

r ij

= (U 12 + U 13 + ... + U 18 + U 23 + U 24 + ... + U 28 + ... + U 78 )

2 q  1 U = −1+ 1 −1−1+ 1 − 1 + 1 −1+ 1 + 1 −1+ 1 − 1 −1−K 4πε 0 d  2 2 3 2 2 2 2 3

 K − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 3 2 2 2 3 2 2 2  2 2  q  q 1 12 4 1 U = −  − 12 +  = −5,824 4πε 0 d  4πε 0 d 2 3 

Respuesta 2 q 1 − 5,824 4πε 0 d

21. Se establece una diferencia de potencial de V = 1400 V entre dos placas paralelas separadas d = 4 cm. Se suelta un electrón de la placa negativa al mismo tiempo que se suelta un protón de la placa positiva. a) ¿A qué distancia de la placa positiva se cruzarán? b) ¿Cuál es el cociente de la magnitud de sus velocidades antes de que se estrellen con las placas opuestas? c) ¿Cuál es el cociente de sus energías cinéticas justo antes de que se estrellen con las placas opuestas?

Solución a) E =

V d

ae =

En el instante t en que se cruzan:

Ee = Ve me dme

a p =

Ve dm p

d 1 a t 2 + 1 a t 2 = d ⇒ t = e p 2 2 1a + 1a 2 e 2 p

La distancia recorrida por el protón es:

x =

1 2 a p t 2

Respuesta a) 2,18 × 10 −5 m

b) 42,81

c) 1

35


Física II

22. Una partícula de carga q = +4,30 nC está en un campo eléctrico uniforme E que apunta hacia la izquierda. Otra fuerza además de la eléctrica actúa sobre la partícula de modo que cuando se libera del reposo, se desplaza hacia la derecha. Después de recorrer una distancia d = 5 cm , la partícula tiene una energía cinética E c = 6,20 × 10 −5 J , y la fuerza adicional ha hecho un trabajo W fuerza adicional = 8, 45 × 10 −5 J . a) ¿Qué trabajo realizó la fuerza eléctrica? b) ¿Cuál es el potencial del punto de inicio con respecto al punto final? c) ¿Cuál es la magnitud de E?

Solución a) W fuerza adicional + W fuerza eléctrica = ∆ E c b) W fuerza eléctrica = q (V a − V b ) c) E =

V b − V a d

Respuesta a) − 2,25 × 10 −5 J

c) 1,05 × 105 V/m.

b) -5233 V

23. Cilindros coaxiales. Un cilindro metálico largo de radio a está colocado sobre un soporte aislante en el eje de un tubo cilíndrico metálico largo de radio b. La carga positiva por unidad de longitud en el cilindro interno es λ, y hay una carga negativa por unidad de longitud de la misma magnitud en el cilindro exterior. a) Calcule el potencial V (r ) para i) r < a; ii) a < r < b; iii) r > b. Utilice el hecho de que el potencial neto es la suma de los potenciales debidos a los conductores individuales. Tome V = 0 en r = b. b) Muestre que el potencial del cilindro interno con respecto al externo es V ab =

λ b ln . 2πε 0 a

c) Use la ecuación E r = −(∂V ∂r ) y el resultado de (a) para mostrar que el campo eléctrico en cualV quier punto comprendido entre los cilindros tiene una magnitud E = ab 1 . ln(b a ) r

Solución a) Potencial de un cilindro con carga por unidad de longitud λ: V =

λ ln r 0 2πε 0 r

donde r 0 es el radio donde se adopta V = 0.

El potencial producido por el cilindro de radio a es: V =

λ ln b 2πε 0 r

(r ≥ a )

V =

λ ln b 2πε 0 a

(r ≤ a )

El potencial producido por el cilindro de radio b es: V = −

λ ln b 2πε 0 r

(r ≥ b )

V = −

36

λ ln b = 0 2πε 0 b

(r ≤ b )


Física II

λ ln b i) V total = 2πε 0 a

ii) V total =

(r ≤ a )

λ ln b 2πε 0 r

(a ≤ r ≤ b )

(r ≥ b )

iii) V total = 0 c) E r = −(∂V ∂r ) = −

∂  λ ln b  = − λ  r   − b  = λ = V ab 1     2  2πε 0  b   r  2πε 0 r ln(b a ) r ∂r  2πε 0 r 

Respuesta a) i)

b λ ln 2πε 0 a

ii)

b λ ln 2πε 0 r

iii) 0

24. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial σ . a) Considerando el disco como una serie de anillos delgados concéntricos, calcule el potencial eléctrico V en un punto del eje del disco a una distancia x de su centro. Suponga que V = 0 en el infinito. b) Calcule E x.

Solución a) El potencial producido por un anillo delgado, de radio r y espesor dr , en un punto del eje del anillo a una distancia x de su centro, es: dV =

σ (2π r dr ) x 2 + r 2

Entonces: R 2π r σ dr σ 1 V = R 2 + x 2 − x ) ( = ∫ 4πε 0 0 x 2 + r 2 2ε 0

b) E x = −

 x σ  ∂V 1 −  =   2 2 ∂ x 2ε 0  R + x 

Respuesta a)

σ 2ε 0

( R

2

+ x 2 − x

)

b)

σ 2ε 0

  x 1 −   2 2  R + x  

25. Cuatro segmentos de línea están ordenados de modo que forman un cuadrado con lados de longitud a. El potencial es cero en el infinito. Calcule el potencial en el centro del cuadrado si a) dos lados opuestos están cargados positivamente con carga + Q cada uno y los otros lados tienen una carga negativa - Q cada uno; y si b) cada lado tiene una carga positiva +Q.

Solución

37


Física II

El potencial en el centro producido por un lado es:   Q  1 ln V = 4πε 0 a   



  4 4 2  = 1 Q ln a 2 a 2 a  4πε 0 a   + −  4 4 2 

a2

2

+a +a

1 + 1  2 2  = 1,7627 1 Q 4πε 0 a 1 −1  2 2 

Respuesta a) 0

b) 7,05

1 Q 4πε 0 a

26. Un cilindro sólido muy largo de radio R tiene una carga positiva distribuida uniformemente a través de él, con carga ρ por unidad de volumen y λ por unidad de longitud. El campo eléctrico adentro del cilindro es E r =

ρ r λ y fuera del cilindro E r = . A partir de las expresiones de E r, 2ε 0 2πε 0 r

encuentre las expresiones para el potencial eléctrico V en función de r , tanto dentro como fuera del cilindro. Tome V = 0 en la superficie del cilindro. En cada caso, exprese el resultado en términos de la carga por unidad de longitud λ de la distribución de carga.

Solución b

ρ =

Q 2

π R L

=

λ π R

2

V a − V b =

∫ E ⋅ d r a

Fuera del cilindro R

λ dr V r − V R = 2πε 0 r r

∫

{

V r =

λ ln R (r > R ) 2πε 0 r

V r =

λ ( R 2 − r 2 ) (r < R) ( R 2 − r 2 ) = 4ε 0 4πε 0 R 2

0

Dentro del cilindro R

ρ V r − V R = r dr 2ε 0 r

∫

Respuesta Fuera V =

λ ln R 2πε 0 r

dentro V =

λ ( R 2 − r 2 ) 4πε 0 R 2

27. Una varilla delgada aislante se dobla para formar un arco semicircular de radio a, y se distribuye uniformemente a lo largo de ésta una carga eléctrica total Q. Calcule el potencial en el centro de curvatura del arco si se supone que el potencial es cero en el infinito.

Solución

38


Física II

dq =

Q dl π a

V =

1

4πε 0

∫

dq = 1 4πε 0 a

Q dl

∫ π a 2

=

1

(π a ) = 1 2 4πε 0 π a 4πε 0 Q

Q a

Respuesta 1 Q 4πε 0 a y Q x

a

28. Hay una carga eléctrica total Q distribuida de manera uniforme alrededor de un anillo de radio a. a) Encuentre el potencial en un punto ubicado sobre el eje del anillo a una distancia x de su centro. b) El campo eléctrico en un Qx 1 punto sobre el eje del anillo es E x = . Integre la expresión 4πε 0 ( x 2 + a 2 )3 2 de E x para encontrar el potencial en un punto sobre el eje del anillo. Compare su resultado con el obtenido en (a).

Solución ∞

b) V x − V ∞ = V = ∫ E x dx = ∫

1

Qx

4πε 0 ( x 2 + a 2 )3 2 x

V =

dx = −

Q 

4πε 0 

( x

2

+

1 ∞ 2 −2 a

)

x

 

1

Q

4πε 0 x 2 + a 2

Respuesta a)

1

Q

4πε 0 x 2 + a 2

29. Una carga eléctrica positiva Q está distribuida de manera uniforme a través del volumen de una 1 Qr esfera aislante de radio R. El campo eléctrico dentro de la esfera vale E = mientras que el 4πε 0 R 3 1 Q campo eléctrico fuera de la esfera está dado por E = , donde r representa la distancia al 4 πε 0 r 2 centro de la esfera. A partir de las expresiones de E , encuentre el potencial eléctrico V en función de r tanto dentro como fuera de la esfera uniformemente cargada.

Solución Dentro

39


Física II

R ∞  Q  r Q  r 2 1   V r − V ∞ = E ⋅ d r =  R 3 dr + r 2 dr  = 4πε 0  2 R 3 πε 4 0  r R  r  0

∞

{

∫

∫

R

∫

r

∞  1   + −    r  R 

Q 

r 2  3 V r = − 4πε 0  2 R 2 R 3 

Fuera

 1    Q  ∫ 12 dr  = Q  − = V r − V ∞ = ∫ E ⋅ d r =    4πε 0  r r  4πε 0  r  r  4πε 0 r r 0 ∞ Q 

∞

∞

{

Respuesta Q 

2 3 r    − Dentro V = 3  4πε 0  2 R 2 R 

Fuera V =

Q

4πε 0 r

.

30. a) Si una gota de lluvia esférica de 0,45 mm de radio lleva una carga de -1,7 pC uniformemente distribuida sobre su volumen, ¿cuál es el potencial en su superficie? (Tome el potencial igual a cero a una distancia infinita de la gota) b) Dos gotas de lluvia idénticas, cada una con radio y carga iguales a los especificados en (a), chocan y se funden en una gota más grande. ¿Cuál es el radio de la gota resultante y cuál es el potencial en su superficie si la carga queda distribuida de manera uniforme en su volumen?

Solución a) El potencial en la superficie es

V =

Q

1

4πε 0 R

b) El volumen de una de las gotas es Vol = 4 π R 3 3 Cuando dos gotas se unen, el volumen total es el doble y el radio de la gota más grande es r ´:

2 4 π R 3 = 4 π (r ´)3 ⇒ r ´= 3 2 R 3 3 El potencial es

V =

2Q 1 4πε 0 r ´

Respuesta a) -34 V

b) -54 V

31. Dos esferas de metal de diferente tamaño están cargadas de modo que el potencial eléctrico es el mismo en la superficie de cada una. La esfera A tiene un radio tres veces mayor que el de la esfera B. Sean Q A y Q B las cargas de cada esfera y sean E A y E B las magnitudes del campo eléctrico en la superficie de cada esfera. Diga cuál es a) el cociente Q B / Q A; b) el cociente E B / E A.

40


Física II

Solución a)

1

Q A

4πε 0 3 R B

=

1 Q B

3

1 A A = 3 = 3 E A b) E B = πε 2 4 0 ( R A 3) 4πε 0 R A Q

4πε 0 R B

Q

Respuesta a) 1/3

b) 3

32. Una esfera de metal de radio R1 = 0,24 m tiene una carga Q = 3,5 × 10 −8 C . Tome V = 0 a una distancia infinita de la esfera. a) ¿Cuáles son el campo eléctrico y el potencial eléctrico en la superficie de la esfera? Esta esfera se conecta ahora, mediante un alambre conductor largo y delgado, a otra esfera, de radio R2 = 0,062 m, que se encuentra a varios metros de la primera. Antes de que se haga la conexión, la segunda esfera está descargada. Después de que se alcanza el equilibrio electrostático, diga, para cada una de las esferas, cuál es b) la carga total; c) el potencial eléctrico en la superficie; y d) el campo eléctrico en la superficie? Suponga que la cantidad de carga en el cable es mucho menor que la carga sobre cada esfera.

Solución 1 Q2  1 Q1 =  b)  4πε 0 R1 4πε 0 R2 Q + Q = Q 2  1

Respuesta a) 5469 V/m y 1312,5 V

b) 2,78 × 10 −8 C y 7,2 × 10 −9 C

c) 1042,5 V

d) 4344 V/m y 16815 V/m

Preguntas tremebundas I) a) Si el valor de E es cero en un punto dado, ¿el valor de V en ese punto debe ser también cero? b) Si el valor de V es cero en un punto dado, ¿el valor de E en ese punto debe ser también cero? Indicar algunos ejemplos que ilustren las respuestas. II) Suponga que el campo electrostático de una carga puntual fuera proporcional a proporcional a

1 r 2

. ¿Se mantendría la validez de la fórmula

1 r 3

en vez de ser

∫ E ⋅ dl = 0 que establece que la in-

tegral de línea del campo electrostático, sobre cualquier contorno cerrado, es nula? Explique.

41


Física II

III) Si se conoce el potencial eléctrico en un solo punto, ¿se puede hallar E en ese punto? Si cree que sí, indique cómo. Si cree que no, explique por qué.

42


Física II

CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS 1. Un capacitor de placas paralelas con aire tiene una capacitancia de 500 pF y una carga de 0,346 µC de magnitud en cada placa. Éstas están separadas una distancia de 0,453 mm. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? b) ¿Cuál es el área de cada placa? c) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? d) ¿Cuál es la densidad de carga superficial de cada placa?

Respuesta b) 0,0256 m2

a) 692 V

c) 1,53 × 106 V/m

d) 1,35 × 10 −5 C/ m2

2. Un capacitor esférico está formado por dos cascarones conductores esféricos concéntricos separados por el vacío. La esfera interior tiene un radio de 20 cm y la capacitancia es de 150 pF. a) ¿Cuál es la distancia entre las superficies de las dos esferas? b) Si la diferencia de potencial entre las dos esferas es de 220 V, ¿cuál es la magnitud de la carga en cada esfera?

Solución a) C =

4πε 0 (1 r a ) − (1 r b )

Respuesta b) 3,3 × 10 −8 C

a) 34,8 mm

C 1 C 2

3. En la figura, cada capacitor tiene C = 2 µF y V ab = +40,4 V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de potencial a través de cada capacitor; c) la diferencia de potencial entre los puntos a y d .

a

C 3 d C 4

b

Respuesta a) Q1 = Q2 = 1,616 × 10 −5 C

Q3 = 3,232 ×10

b) V 1 = V 2 = 8,08 V

V 3 = 16,16 V

−5

C

Q4 = 4,848 × 10

−5

C

V 4 = 24,24 V

c) 16,16 V 12 µF

6 µF 11 µF

a

b

4. Para la situación descrita en la figura, suponga que V ab = +25 V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de potencial a través de cada capacitor. c) La

9 µF 3 µF

43

Capacitancia y dieléctricos

Física II

carga en la red completa es igual a Q = C eq V ab , donde C eq = 6 µF . Explique por qué Q es igual a la carga en el capacitor de 9 µF. Explique por qué Q también es igual a la suma de las cargas en los capacitores de 3 µF, 11 µF y cualquiera de los capacitores de 12 µF o de 6 µF.

Respuesta a) Q12 µF = Q6 µF = 3,332 × 10 −5 C Q11 µF = 9,163 × 10

−5

−5

C

−4

C

Q3 µF = 2,5 × 10

C

Q9 µF = 1,5 × 10

b) V 12 µF = 2,78 V

V 6 µF = 5,55 V

V 3 µF = V 11 µF = 8,33 V

V 9 µF = 16,67 V

5. Un capacitor de aire está hecho con dos placas paralelas separadas una distancia de 1,20 mm. La magnitud de la carga en cada placa es de 0,024 µC cuando la diferencia de potencial es de 200 V a) ¿Cuál es la capacitancia? b) ¿Cuál es el área de cada placa? c) ¿Cuál es el máximo voltaje que se puede aplicar sin que haya ruptura dieléctrica? La ruptura dieléctrica del aire se presenta cuando E = 3 × 10 6 V m . d) Cuando la carga es de 0,024 µC, ¿cuál es energía total almacenada?

Respuesta b) 0,0163 m2

a) 120 pF

c) 3600 V

d) 2,4 × 10 −6 J

6. Un capacitor de aire que consiste en dos placas paralelas muy juntas tiene una capacitancia de 1000 pF. La carga en cada placa es de 4,36 µC. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? b) Si la carga se mantiene constante, ¿cuál será la diferencia de potencial entre las placas si la separación se duplica? c) ¿Cuánto trabajo se requiere para duplicar la separación?

Respuesta a) 4360 V

c) 9,5 × 10 −3 J

b) 8720 V

7. Un capacitor de placas paralelas tiene una energía almacenada de 6,45 J. La separación entre las placas es de 1,40 mm. Si la separación se disminuye a 0,70 mm, diga cuál es la energía almacenada si a) el capacitor se desconecta de la fuente de potencial, de modo que las cargas sobre las placas permanecen constantes; b) el capacitor permanece conectado a la fuente de potencial, de modo que la diferencia de potencial entre las placas permanece constante.

Solución A a) C 1 = ε 0

C 2 = ε 0

1 2 1 Q12 U 1 = V 1 C 1 = 2 2 C 1

1 Q12 1 = U 1 U 2 = 2 (2C 1 ) 2

d 1

A = 2C 1 d 1 2

44


Física II

1 2

2 b) U 2 = V 1 (2C 1 ) = 2U 1

Respuesta a) la mitad

b) el doble

8. Fuerza sobre una placa de capacitor. Un capacitor de placas paralelas con área de placa A y separación x tiene cargas +q y -q sobre sus placas. El capacitor se desconecta de la fuente de carga, de modo que la carga sobre las placas permanece constante. a) ¿Cuál es la energía total almacenada en el capacitor? b) Las placas se separan una distancia adicional dx. ¿Cuál es ahora la energía total? c) Si F es la fuerza con la que las placas se atraen entre sí, entonces la diferencia de las energías de los apartados (a) y (b) debe ser igual al trabajo dW = F dx realizado al separar las placas. Muestre que F =

q2 . d) Explique por qué F no es igual a qE , siendo E el campo eléctrico entre las placas. 2ε 0 A

Respuesta a)

q 2 x

b)

2ε 0 A

q 2 ( x + dx )

2ε 0 A

9. El dieléctrico que se va a utilizar en un capacitor de placas paralelas es una variedad de goma que tiene una constante dieléctrica de 3,40 y un campo de ruptura de 2 × 10 7 V m . El capacitor debe tener una capacitancia de 1,37 nF y debe soportar una diferencia de potencial máxima de 6000 V. ¿Cuál es el área mínima que deben tener las placas?

Respuesta 0,0137 m2

10. Teclado de computadora. En cierto tipo de teclado de computadora, cada tecla está conectada a una pequeña placa de metal que sirve como una de las placas de un capacitor de aire de placas paralelas. Cuando se presiona una tecla, la separación entre las placas disminuye y aumenta la capacitancia. Se utiliza un circuito electrónico para detectar el cambio de capacitancia y determinar qué tecla se presionó. En un teclado determinado el área de cada placa metálica es A = 49 mm2 y la separación entre las placas es d 1 = 0,6 mm antes de que se presione la tecla. Si el circuito puede detectar un cambio de capacitancia ∆C = 0,3 pF, ¿cuánto debe presionarse la tecla antes de que el circuito detecte la presión?

Solución C 1 = ε 0

A d 1

C 2 = ε 0

  ∆C = C 2 − C 1 = ε 0 A 1 − 1   d 2

A d 2

x = d 2 − d 1

d 1 

45


Física II

Respuesta 0,176 mm

11. Un conductor cilíndrico largo tiene radio r a y una densidad lineal de carga + λ. Está rodeado por un cascarón coaxial cilíndrico conductor de radio interno r b y densidad de carga lineal - λ. Suponga que existe vacío en el espacio entre los cilindros. a) Demuestre que la capacitancia por unidad de longitud es: C L

+ λ

=

2 πε 0 ln (r b r a )

b) Sea d = r b - r a el espacio entre los conductores interior y exterior. Sean los radios de los conductores ligeramente diferentes, de modo que d << r a. Muestre que el resultado obtenido

- λ r a r b

en el apartado (a) se reduce así a la ecuación C = ε 0

L

A d

, la

ecuación de la capacitancia de un capacitor de placas paralelas, donde A es el área de cada cilindro. Use el hecho de que ln (1 + x ) ≅ x para |x| << 1.

Solución a) La diferencia de potencial entre los cilindros es V = C =

b) ln

C 2πε 0 = L r ln b r a

Q λ L = V V

r b r a

= ln

r λ ln b 2πε 0 r a

r b − d + d r a



= ln1 +



d 

d

≅ r a  r a

C =

2πε 0 L 2πε 0 L r a ≅ = ε 0 A ln r b r a d d

12. Un capacitor de aire de placas paralelas está hecho con dos placas de 0,18 m 2 separadas una distancia de 0,58 cm. Está conectado a una batería de 50 V a) ¿Cuál es la capacitancia? b) ¿Cuál es la carga sobre cada placa? c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? d) ¿Cuál es la energía almacenada en el capacitor? e) Si la batería se desconecta y luego se separan las placas hasta una distancia de 1,16 cm, ¿cuáles son las respuestas de los apartados (a) a (d)?

Solución e) La carga sobre las placas se mantiene constante: A medida que se separan las placas: la diferencia de potencial aumenta, el campo eléctrico se mantiene constante y la energía almacenada aumenta (se debe realizar trabajo externo para separar las placas).

46


Física II

Respuesta a) 275 pF

b) 1,37 × 10 −8 C

c) 8620 V/m

d) 3,42 × 10 −7 J

e) 137 pF

1,37 × 10 −8 C

8620 V/m

6,85 × 10 −7 J

13. Suponga que la batería del problema anterior permanece conectada mientras las placas se separan. ¿Cuáles serían las respuestas de los apartados (a) a (d) después de separar las placas?

Respuesta b) 6,85 × 10 −9 C

a) 137 pF

d) 1,71 × 10 −7 J

c) 4310 V/m

14. Dos capacitores, uno C 1 = 2 µF y otro C 2 = 3 µF, están conectados en serie a través de una línea de suministro de V 0 = 600 V. a) Encuentre la carga en cada capacitor y la diferencia de potencial a través de cada uno. b) Los capacitores cargados se desconectan de la línea y entre sí, y luego se vuelven a conectar con los terminales de signo igual juntos. Encuentre la carga final en cada capacitor y la diferencia de potencial a través de cada uno.

Solución a) Q1i = Q2i = V 0 C e b) Luego de la redistribución de cargas, la polaridad de cada placa se mantiene. V f =

Q disponible = Q2 i + Q1i = Q1 f + Q2 f

Q1 f C 1

=

Q2 f C 2

Respuesta a) 7,2 ×10−4 C y 360 V

7,2 ×10−4 C y 240 V

b) 5,76 ×10−4 C y 288 V

8,64 ×10−4 C y 288 V

C 1

C 1

C 1

C 2 C 1

a

b

c

C 1

C 2 C 1 d

C 1

15. En la figura, cada capacitancia C 1 es de 9,3 µF y cada capacitancia C 2 es de 6,2 µF. a) Calcule la capacitancia equivalente de la red entre los puntos a y b. b) Calcule la carga en cada uno de los tres capacitores más cercanos a a y b cuando V ab = 840 V. c) Con 840 V a través de a y b, calcule V cd .

Respuesta a) 3,1 µF

b) Q9,3 µF = 2,604 mC y Q6, 2 µF = 1,736 mC

c) 93,3 V

16. Dos capacitores, uno C 1 = 1 µF y otro C 2 = 2 µF, están conectados en paralelo a través de una línea de suministro de V 0 = 1200 V. a) Encuentre la carga en cada capacitor y el voltaje a través de cada uno. b) Los capacitores cargados se desconectan de la línea y entre sí, y después se vuelven a

47


Física II

conectar con las placas de signo distinto juntas. Encuentre la carga final en cada capacitor y el voltaje a través de cada uno.

Solución C 1

+ + - -

- + +

Q1i = V 0C 1

C 2

C 1

- -

- -

+ +

+ +

C 2

Q2i = V 0C 2

b) La figura de la izquierda representa a los capacitores en el instante en que se conectan entre sí y la figura de la derecha representa a los mismos capacitores luego de la redistribución de cargas. V f =

Qdisponible = Q2i − Q1i = Q1 f + Q2 f

Q1 f C 1

=

Q2 f C 2

Respuesta a) Q1 = 1,2 ×10−3 C y V 1 = 1200 V

Q2 = 2,4 ×10

−3

b) Q1 = 4 ×10−4 C y V 1 = 400 V

− Q2 = 8 ×10 4 C y V 2 =

C y V 2 = 1200 V 400 V

17. Tres capacitores de capacitancia 7,2 µF, 7,2 µF y 3,6 µF están conectados en serie a través de una diferencia de potencial de 24 V. a) ¿Cuál es la carga en el capacitor de 3,6 µF? b) ¿Cuál es la energía almacenada en los tres capacitores? c) Los capacitores se desconectan de la fuente de voltaje sin permitir que se descarguen. Luego se les vuelve a conectar en paralelo, con las placas cargadas positivamente conectadas juntas. ¿Cuál es el voltaje a través de cada capacitor en la combinación en paralelo? d) ¿Cuál es le energía total almacenada ahora en los capacitores?

Solución c) Qdisponible = Q1i + Q2i + Q3i = Q1 f + Q2 f + Q3 f

Q1 f C 1

=

Q2 f

Q1 f

C 2

C 1

=

Q3 f C 3

Respuesta a) 4,32 ×10−5 C

b) 5,184×10−4 J

c) 7,2 V

d) 4,67 ×10−4 J

18. Las placas paralelas de un capacitor tienen un área de 2000 cm 2 y están separadas una distancia de 1 cm. Suponga que el capacitor permanece conectado a una fuente de alimentación de 3000 V mientras se introduce entre las placas una hoja de plástico aislante con K = 3, ocupando todo el espacio entre ellas. Calcule a) la magnitud de la carga Q sobre cada placa después de introducir el dieléctrico; b) la magnitud de la carga inducida Qi sobre cada superficie del dieléctrico; c) el campo eléctrico E después de haber introducido el dieléctrico; d) la energía total almacenada en el campo eléctrico cuando está presente el dieléctrico; e) la densidad de energía con el dieléctrico presente. f) En el apartado (d) debió obtener que la energía almacenada aumentó cuando se introdujo el dieléctrico, mientras que si el capacitor hubiera estado desconectado de la fuente de alimentación, la energía almacenada hubiera disminuido al introducir un dieléctrico. ¿Por qué hay esta diferencia? En el presente caso, ¿de dónde viene la energía extra?

48


Física II

Solución a) C 0 =

ε 0 A

C = KC 0

d

Q0 = C 0V

Q = CV = KC 0V

b) Como la diferencia de potencial se mantiene constante, el campo eléctrico entre las placas también permanece constante. Llamando σ 0 y σ a las densidades de carga en las placas antes y después, respectivamente, de colocar el dieléctrico y σ i a la densidad de carga inducida en el dieléctrico:

σ = K σ 0

E =

σ 0 σ − σ i K σ 0 − σ i = = ε 0 ε 0 ε 0

1 σ i = σ 0 (K − 1) = σ  1 −  

K 

 1  Multiplicando por el área: Qi = Q0 (K − 1) = Q 1 −   K  d) U = e) u =

1 QV 2 U

Ad

=

1 K ε 0 E 2 2

Respuesta a) 1,593×10−6 C

b) 1,062×10−6 C

d) 2,39 ×10−3 J

e) 1,195 J/m3

c) 3 × 10 5 V/m

Preguntas para un sábado a la noche… I) En electrostática estudiamos que al colocar una carga en un conductor aislado, la misma se distribuye de acuerdo a una densidad superficial de carga que es inversamente proporcional al radio de curvatura ( R) de la superficie del conductor; es decir, la carga se concentra en los vértices y evita las superficies planas, para las cuales R = ∞ . ¿Cómo se puede reconciliar este hecho con la distribución de carga de un capacitor, en la cual la carga se encuentra, definitivamente, sobre la superficie plana de cualquiera de sus placas? II) Una lámina conductora de espesor despreciable se coloca entre las placas de un capacitor, a una distancia x de una de las placas. ¿Cuál es su efecto en la capacitancia si a) la lámina está eléctricamente aislada y b) la lámina se conecta a una de las placas? Suponga que la lámina tiene el mismo tamaño que las placas del capacitor. A III) ¿Se cumple la ecuación C = ε 0 a medida que d aumenta considerablemente? Si se cumple, d

explique por qué. De no cumplirse, ¿por qué no lo hace?

49


Física II

IV) La resistencia dieléctrica y la constante dieléctrica, ¿son lo mismo? Si lo son, explique qué representan y por qué se le asigna dos nombres diferentes a la misma magnitud. Si no lo son, explique las diferencias entre ambas.

50


Física II

CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ 1. La corriente en un cable varía con el tiempo de acuerdo con la relación I = 3 A + (0,73 A/s2) t 2. a) ¿Cuántos coulombs de carga pasan por una sección transversal del cable en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = 10 s? b) ¿Qué corriente constante transportaría la misma carga en el mismo intervalo de tiempo?

Solución a) Q = ∫ i dt =

10

∫0 (3 + 0,73t ) dt 2

Respuesta a) 273,3 C

b) 27,3 A

2. En un experimento llevado a cabo a temperatura ambiente, una corriente i = 0,47 A fluye por un cable que tiene 2,59 mm de diámetro. Encuentre la magnitud del campo eléctrico en el cable, la diferencia de potencial entre dos puntos del cable separados una distancia L = 12 m y la resistencia de L = 12 m del cable, si el mismo está hecho de: a) plata ( ρ = 1,6 × 10 −8 Ω·m) b) nicromo( ρ = 100 × 10 −8 Ω·m).

Solución E = J ρ =

i ρ A

R = ρ

V = EL

L A

Respuesta a) 1,43 × 10 −3 V m ; 0,017 V; 0,036 Ω b) 0,089 V m ; 1,07 V; 2,28 Ω

3. ¿Qué diámetro debe tener un cable de aluminio ( ρ Al = 2,8 ×10 −8 Ω·m) para que su resistencia sea la misma que la de una longitud igual de cable de cobre ( ρ Cu = 1,7 × 10 −8 Ω·m) de 2,2 mm de diámetro?

Solución ρ Cu L = ρ Al L ACu

A Al

A Al =

ρ Al A = 1,647 ACu ρ Cu Cu

d Al =

1,647 d Cu

Respuesta 51

Corriente, resistencia y fem

Física II

2,82 mm

4. Un cable de longitud L y área transversal A tiene resistencia R. ¿Cuál será la resistencia del cable si se le estira al doble de su longitud original? Suponga que la densidad y la resistividad del material no cambian cuando se estira el cable.

Solución El volumen de material permanece constante: AL = (2 L ) A1

A1 = A

2

R1 = ρ

L1 A1

= ρ

(2 L ) = 4 R ( A 2 )

Respuesta 4 veces la original.

5. a) ¿Cuál es la resistencia de un cable de nicromo ( α = 0,0004 ºC-1) a 0ºC si su resistencia es de 100 Ω a 17,3ºC? b) ¿Cuál es la resistencia de una varilla de carbono ( α = -0,0005 ºC-1) a 32,4ºC si su resistencia es de 0,019 Ω a 0ºC?

Solución a) R0 =

R 1 + α (T − T 0 )

b) R = R0 [1 + α (T − T 0 )]

Respuesta a) 99,3 Ω

b) 0,0187 Ω

6. El circuito de la figura tiene dos baterías, cada una con una fem y una resistencia interna, y dos resistores. Encuentre: b a a) la corriente en el circuito (magnitud y dirección); b) el voltaje en terminales V ab de la batería de 16 V; c) el potencial V ac del punto a con respecto al punto c. d) Analizando la potencia 5Ω 9Ω disipada en las resistencia y la energía intercambiada por uni1,4 Ω 8 V dad de tiempo por la baterías, verifique que se cumple el + c principio de conservación de la energía. e) ¿Cómo es el volta je en terminales de la batería de 8 V respecto a la fem de esta batería? f) Si la batería de 16 V es retirada y vuelta a colocar con polaridad opuesta, de modo que su terminal negativo ahora está junto al punto a, halle las respuestas a los cuatro apartados anteriores. 1,6 Ω 16 V +

Solución a) I =

16 − 8 0,47 A (sentido antihorario) 1,6 + 5 + 1,4 + 9

b) V a + 1,6 I − 16 = V b

V ab = V a − V b = 16 − 1,6 I = 15,25 V

c) V a + 1,6 I − 16 + 9 I = V c

V ac = V a − V c = 16 − 1,6 I − 9 I = 11,02 V

52


Física II

d) P5 Ω = 5 I 2 = 1,104 W

P1, 4 Ω = 1,4 I 2 = 0,309 W

P9 Ω = 9 I 2 = 1,988 W

2 P1, 6 Ω = 1,6 I = 0,353 W

P16 V = 16 I = 7,520 W

P8 V = 8 I = 3,760 W

La batería de 16 V entrega energía mientras que la de 8 V recibe energía. Se cumple: P16 V − P8 V − P5 Ω − P1, 4 Ω − P9 Ω − P1, 6 Ω = 16 I

0

Respuesta a) 0,47 A b) 15,25 V f) 1,41 A; 13,74 V; -1,04 V

c) 11,01 V

e) mayor

7. Las siguientes mediciones de corriente y de diferencias de potencial se hicieron en un resistor fabricado con cable de nicromo: I (A) V ab (V)

0,50 1,94

1 3,88

2 7,76

4 15,52

a) Trace una gráfica de V ab en función de I . b) ¿El nicromo obedece la ley de Ohm? ¿Cómo lo sabe? c) ¿Cuál es la resistencia en ohm del resistor?

Respuesta c) 3,88 Ω

8. Un calentador eléctrico de 540 W se conecta a una línea de 120 V. a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Qué corriente toma? c) Si el voltaje de la línea cae a 110 V, ¿qué potencia consume el calentador? (Suponga que la resistencia es constante. Realmente, la misma cambiará debido al cambio de temperatura.) d) La bobina del calentador es metálica, de modo que su resistencia disminuye al disminuir la temperatura. Si se tiene en cuenta este efecto, ¿la potencia eléctrica consumida por el calentador será mayor o menor que la calculada en el apartado (c)? Explique.


b) 4,5 A

2Ω a

b

4Ω

12 V +

d

c

c) 454 W

d) mayor

9. En el circuito de la figura, calcule: a) la cantidad de energía química convertida en energía eléctrica por segundo dentro de la batería, b) la potencia disipada en la resistencia interna de la batería y c) la potencia disipada en el resistor. d) Ahora el resistor de 4 Ω es sustituido por uno de 8 Ω. Calcule nuevamente los apartados (a), (b) y (c) con el nuevo resistor. e) Utilice los resultados de los apartados (a) y (b) para calcular, en ambos casos, la potencia neta de salida de la batería. Compare los resultados de los apartados (a), (b) y (c) obtenidos con los resistores de

4 Ω y 8Ω en el circuito.

Respuesta a) 24 W

b) 8 W

53

c) 16 W


Física II

d) 14,4 W; 2,88 W y 11,52 W

e) 16 W y 11,52 W

10. Un cable de 3 m de longitud se formó soldando un extremo de un cable de plata de 1,2 m de largo al extremo de un cable de cobre de 1,8 m. El diámetro de cada pieza de cable es de 0,80 mm. El cable está a temperatura ambiente. Se establece una diferencia de potencial de 5 V entre los extremos del cable compuesto de 3 m de largo, con el extremo de plata a mayor potencial. a) ¿Cuál es la corriente en la sección de cobre? b) ¿Cuál es la corriente en la sección de plata? c) ¿Cuál es el campo eléctrico en el cobre? d) ¿Cuál es el campo eléctrico en la plata? e) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de la sección de plata? ( ρ Cu = 1,7 × 10 −8 Ω·m; ρ Ag = 1,6 × 10 −8 Ω·m)

Solución a) R = ρ Cu

LCu ACu

+ ρ Ag

L Ag A Ag

I =

= 0,099 Ω

V

c) E = J ρ

R

Respuesta a) 50,5 A

b) 50,5 A

c) 1,709 V/m

d) 1,608 V/m

e) 1,93 V

11. Fugas en un dieléctrico. Dos placas paralelas de un capacitor tienen cargas Q de igual magnitud y signo opuesto. El dieléctrico tiene una constante dieléctrica K y una resistividad ρ. Muestre que la corriente de "fuga" I que circula por el dieléctrico está dada por I =

Q . K ε 0 ρ

Solución El capacitor tiene área A y espesor d . C = K ε 0

A d

V =

Q Qd = C KA ε 0

R = ρ

d

I =

A

V R

=

Q K ε 0 ρ

12. Un tostador eléctrico de pan que utiliza un dispositivo de calentamiento de nicromo funciona a 120 V. Cuando se enciende a 20ºC, por el dispositivo de calentamiento circula una corriente inicial de 1,44 A. Pocos segundos después, la corriente alcanza el valor estacionario de 1,33 A. ¿Cuál es la temperatura final del dispositivo? El valor promedio del coeficiente de temperatura de resistividad del nicromo en el intervalo de temperatura es 4,5 × 10 −4 (ºC)-1.

Solución R0 =

V I 0

R =

V I

R = R0

[1 + α (T − T 0 )]

T =

( R R0 ) − 1 + α T 0 α

Respuesta 204 ºC

54


Física II

0,5 Ω b

4V +

c

9Ω

6Ω

d

0,5 Ω a

13. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V ad en el circuito de la figura? b) ¿Cuál es el voltaje en terminales de la batería de 4 V? c) Una batería con ε = 10,30 V y r = 0,50 Ω se inserta en el circuito en el punto d , con su terminal negativo conectado al terminal negativo de la batería de 8 V. ¿Cuál es ahora la diferencia de potencial V bc entre los terminales de la batería de 4 V?

8V +

8Ω

Respuesta a) 6,58 V

b) 4,08 V

c) 3,87 V

14. La diferencia de potencial entre los terminales de una batería es de 8,6 V cuando circula una corriente de 3 A en ella, internamente, desde el terminal negativo hasta el positivo. Cuando la corriente es de 2 A en la dirección contraria, la diferencia de potencial es de 10,1 V. a) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería? b) ¿Cuál es la fem de la batería?

Solución Llamando V a al terminal positivo y V b al terminal negativo (ojo, los sentidos de circulación de corriente que se indican en el enunciado corresponden a la circulación en el interior de la batería y no en el circuito externo):

V a − 3r − V = V b  V a + 2r − V = V b

8,6 = V + 3r  10,1 = V − 2r


b) 9,5 V

15. Amperímetro no ideal. A diferencia del amperímetro ideal, cualquier amperímetro real tiene una resistencia diferente de cero. a) Un amperímetro con resistencia R A, está conectado en serie con un resistor R y una batería de fem ε y resistencia interna r . La corriente medida por el amperímetro es I A. Encuentre la relación entre la corriente I que circula por el circuito si se retira el amperímetro y la corriente I A. Cuanto más "ideal" sea el amperímetro, menor será la diferencia entre I e I A. b) Si R = 6,50Ω, ε = 4,50 V y r = 0,75 Ω, encuentre el valor máximo de la resistencia del amperímetro R A de modo que el valor de I A tenga un máximo de 1% de error respecto al valor de la corriente en el circuito cuando el amperímetro no está presente. c) Explique por qué la respuesta al apartado (b) representa un valor máximo.

Solución  ε = I  R + r a)  ε = I A   R + r + R A

I A ( R + r + R A ) = I ( R + r )

55

R I = 1 + A I A R + r


Física II

b) La intensidad cuando el amperímetro no está en el circuito es I = ε ( R + r ) = 0,621 A. Si la medición del amperímetro debe tener como máximo un error del 1%, el valor medido no debe ser inferior a I A = 0,99 I = 0,615 A.

 I  − 1 ( R + r ) R A =   I A 

Respuesta a) 1 +

R A R + r

b) 0,0707 Ω

16. Voltímetro no ideal. A diferencia del voltímetro ideal, cualquier voltímetro real tiene una resistencia que no es infinitamente grande. a) Un voltímetro con resistencia RV se conecta a través de los terminales de una batería de fem ε y resistencia interna r . Encuentre la diferencia de potencial medida por el voltímetro. b) Si ε = 4,50 V y r = 0,75 Ω, encuentre el valor mínimo de la resistencia del voltímetro RV de modo que su lectura esté dentro del 1% del valor de la fem de la batería. c) Explique por qué la respuesta al apartado (b) representa un valor mínimo.

Solución a) I =

ε

V = ε −

r + RV

ε r + RV

 

r = ε 1 −

r   (1) r + RV 

b) La diferencia de potencial medida por el voltímetro, si tuviera resistencia infinita, es ε = 4,50 V. Si la medición del voltímetro debe tener como máximo un error del 1%, el valor medido no debe ser inferior a V = 0,99ε = 4,455 V. Despejando RV de (1) se obtiene el valor deseado.

Respuesta a)

ε  1 − r +r R  

V



b) 74,25 V

17. La capacidad nominal de una batería es la cantidad de carga eléctrica, expresada en Amper·hora (A·h), que es capaz de entregar la batería, pero siempre referida a una duración determinada de la descarga. Por ejemplo, una batería para un automóvil pequeño, de marca reconocida, tiene una capacidad nominal de 55 A·h en 20 h. Esto significa que la batería entrega 2,75 A durante 20 h, o sea 2,75 A × 20 h = 55 A ⋅ h . Pero esta batería puede entregar mayor intensidad de corriente que 2,75 A durante menor tiempo o bien menor intensidad de corriente durante mayor tiempo, de manera que el producto de intensidad y tiempo arroje como resultado 55 A·h. Esto siempre de cierto tiempo no demasiado breve; se pretendemos que la batería entregue 55 A durante 1 hora, lo más probable es que la batería se descargue rápidamente y en pocos minutos deje de entregar energía. Una batería de automóvil de 12 V tiene una capacidad de 60 A·h. Su resistencia interna es r = 0,31 Ω. La batería se carga al pasar una corriente I = 15 A por ella durante 4 h. a) ¿Cuál es el voltaje en terminales durante la carga? b) ¿Cuánta energía eléctrica total se suministra a la batería

56


Física II

durante la carga? c) ¿Cuánta energía eléctrica se disipa en la resistencia interna cuando se carga la batería? d) La batería ahora se descarga completamente a través de un resistor, de nuevo con una corriente constante I = 15 A. ¿Cuál es la resistencia del circuito externo? e) ¿Cuánta energía eléctrica total se suministra al resistor exterior? f) ¿Cuánta energía eléctrica total se disipa en la resistencia interna? g) ¿Por qué las respuestas a los apartados (b) y (e) no son iguales?

Solución a) Llamando V a al terminal positivo y V b al terminal negativo (la circulación en el interior de la batería, durante la carga, es del borne positivo al negativo): V a − rI − ε = V b

V ab = V a − V b = rI + ε

b) W total = V ab I t

2 c) W dis = I r t

2 e) W = I R t

2 f) W dis = I r t

d) R =

ε − Ir I

g) La suma de la energía disipada en el resistor externo, la energía disipada en la resistencia interna durante la carga y la energía disipada en la resistencia interna durante la descarga es igual a la energía total recibida por la batería durante la carga.

Respuesta a) 16,65 V

b) 3,5964 × 10 6 J

c) 1,0044 × 10 6 J

d) 0,49 Ω

e) 1,5876 × 10 6 J

f) 1,0044 × 10 6 J

18. Una bobina se va a utilizar como calentador de inmersión para hervir agua. La bobina debe operar a 120 V y calentará 250 cm 3 de agua desde 20ºC hasta 100ºC en 8 minutos. La capacidad térmica específica del agua es de 4190 J/kg ºC. a) ¿Cuál debe ser la resistencia de la bobina? b) La bobina se va a construir con 25 cm 3 de nicromo ( ρ = 100 × 10 −8 Ω·m) al que se dará forma de cable. ¿Cuál deberá ser la longitud total del cable para hacer la bobina y cuál deberá ser su radio? Suponga que el cable tiene sección transversal circular y que el volumen del nicromo no se ve afectado por el proceso de formación del cable.

Solución 4190 a) Potencia necesaria =

 R = ρ L  A b)   LA = 25 ×10 −6

⇒

J × (100 − 20) º C × 0,25 Kg Kg º C = 175 W 8 min × 60 s min L =

R =

V 2 P

(25 ×10 −6 ) R ρ

Respuesta

57


Física II

a) 82,3 Ω

b) 45,4 m y 0,419 mm

19. Una fuente de fem ε y resistencia interna r se conecta a un circuito externo. a) Muestre que la potencia de salida de la fuente es máxima cuando la corriente en el circuito es la mitad del valor de la corriente de la fuente en cortocircuito. b) Si el circuito externo está formado con una resistencia 2 R, muestre que la potencia de salida es máxima cuando R = r y que la potencia máxima es ε /4r .

Solución 2 2 a) P = I R = I

ε − Ir I

dP = ε − 2 Ir = 0 dI 2 b) P = I R =

= I ε − I 2 r

⇒

I =

ε = I cc siendo

2r

2

I cc =

ε r

ε 2 R (r + R )2 2

2 2 dP ε (r + R ) − 2 (r + R ) ε R = =0 dR (r + R )4

2

ε 2 (r + R) − 2 (r + R) ε 2 R = 0

2

ε 2 (r + R ) = 2 ( r + R ) ε 2 R

(r + R ) = 2 R

⇒ R = r

A ver, pensemos un poco… I) Si la velocidad de deriva de los electrones en un conductor bajo condiciones ordinarias es muy pequeña (del orden de 10-4 m/s), ¿por qué la luz en una habitación se enciende tan rápidamente después de haber accionado el interruptor? II) ¿Se aplica la relación V = iR a resistores que no cumplen la ley de Ohm? III) Indique las características que deben tener a) un alambre calefactor, como el usado en una plancha o en una estufa eléctrica; b) un alambre de fusible. Un fusible es un elemento que se coloca en un circuito eléctrico con el propósito de que interrumpa la circulación de corriente, y lo hace fundiéndose, cuando la corriente excede cierto valor. IV) La ecuación P = i 2 R parece sugerir que la potencia disipada en una resistencia se reduce si la misma se hace menor; la ecuación P = V 2 R parece indicar justamente lo opuesto. ¿Cómo se puede conciliar esta aparente paradoja?

58


Física II

V) a) Los electrodomésticos funcionan habitualmente a 220 V. ¿Por qué esta es la diferencia de potencial más adecuada y no otra considerablemente mayor (digamos 2200 V) o menor (por ejemplo, 22 V)? ¿En todos los países se utiliza una diferencia de potencial de 220 V? b) Los automóviles tienen sistemas eléctricos de 12 V. ¿Por qué esta es la diferencia de potencial más adecuada? VI) Ocho pilas como las utilizadas en una linterna, conectadas en serie, tienen una fem aproximada de 12 V, similar a la de una batería de automóvil. ¿Se podrán utilizar para dar arranque a un automóvil cuya batería está descargada? Cualquiera sea la respuesta, explique por qué. VII) La fem y la diferencia de potencial se miden en voltios. ¿Son lo mismo? Si es así, justifíquelo. Si no es así, explique cuál es la diferencia entre ellas. VIII) Si usted mide con un voltímetro la diferencia de potencial en bornes de una pila nueva, obtiene un valor aproximado de 1,5 V. Si ahora repite el procedimiento usando una pila gastada obtiene casi el mismo valor. Sin embargo, una de ellas enciende la lámpara de una linterna y la otra no. ¿A qué se debe esto? IX) Frotando un peine con un trozo de lana se puede generar una diferencia de potencial de varios miles de voltios. ¿Por qué eso no resulta peligroso si una diferencia de potencial mucho menor como la del tomacorriente de nuestra casa es extremadamente peligrosa? X) El efecto Joule (recordemos que se llama así a la disipación de calor en una resistencia atravesada por una corriente eléctrica), ¿es un fenómeno deseable o indeseable? Cualquiera sea su respuesta, dé ejemplos.

59


Física II

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA ε =

60 V, r = 0 +

3Ω

1. Calcule la resistencia equivalente de la red de la figura y encuentre la corriente en cada resistor. La batería tiene una resistencia interna despreciable.

12 Ω

Respuesta 6Ω

E

4Ω

Re = 5 Ω

= 48 V, r = 0 +

1Ω

3Ω

I 3Ω = 8 A

I 6Ω = 4 A

I 12Ω = 3 A

I 4Ω = 9 A

2. Calcule la resistencia equivalente de la red de la figura y encuentre la corriente en cada resistor. La batería tiene una resistencia interna despreciable.

Respuesta 7Ω

5Ω

Re = 3 Ω

I 1Ω = I 3Ω = 12 A

I 7Ω = I 5Ω = 4 A

3. La potencia nominal de un resistor es la máxima potencia que puede disipar el resistor sin que aumente demasiado su temperatura. a) La potencia nominal de un resistor de 10 kΩ es de 5 W. ¿Cuál es la máxima diferencia de potencial permisible a través de los terminales del resistor? b) Necesitamos un resistor de 15 k Ω para conectarlo a través de una diferencia de potencial de 220 V. ¿Qué potencia nominal se requiere? c) Cada uno de los tres resistores de la figura tiene una resistencia R = 1,8 Ω y una potencia nominal P = 23 W. ¿Cuál es la potencia máxima que puede disipar el circuito?

Solución V 2 V = P R a) P = R c) La mayor corriente circulará por el resistor que está en serie con los otros dos en paralelo. Por lo tanto, éste resistor es el que debe disipar 23 W (si cada uno de los que está en paralelo disipara 23 W, el que está en serie disiparía 46 W). La intensidad por el resistor en serie es I s = P R . La potencia disipada por cada uno de los resistores que está en paralelo es: 2

P  I  P p =  s  R = 4  2 

PTotal = P + 2 P p = 1,5 P

Respuesta a) 223,6 V

ε

+

b) 3,23 W

R1 R2

R3

R4

c) 34,5 W

4. En el circuito de la figura, cada resistor representa una lámpara incandescente. Sean R1 = R2 = R3 = R4 = 6 Ω y ε = 3 V. a) Encuentre la corriente en cada lámpara. b) Encuentre la potencia disi-

60

Inductancia

Física II

pada en cada lámpara. c) Se retira la lámpara R4 del circuito, dejando un corte en el cable en su posición. ¿Cuál es ahora la corriente en cada una de las lámparas restantes, R1, R2 y R3? d) Sin la lámpara R4, ¿cuál es la potencia disipada en cada una de las restantes? e) ¿Qué lámpara o lámparas brillan más como resultado de haber retirado la R4? ¿Qué lámpara o lámparas brillan menos? Analice por qué hay distintos efectos en lámparas iguales.

Respuesta a) I R1 = 0,375 A b) P R1 = 0,844 W c) I R1 = 0,333 A d) P R1 = 0,667 W

I R2 = I R3 = I R4 = 0,125 A P R2 = P R3 = P R4 = 0,094 W I R2 = I R3 = 0,166 A P R2 = P R3 = 0,167 W c

5. a) En el circuito de la figura, encuentre la corriente en cada resistor y la resistencia equivalente de I 2 I 1 la red de cinco resistores (Suponga que tiene el cir1Ω 1Ω I 1 + I 2 cuito formado por los cinco resistores de la figura pe1Ω ro no conoce la fem aplicada; ¿cómo calcularía la a b + resistencia equivalente?). Suponga que ahora el resis I 3 13 V tor de 2 Ω es sustituido por uno de 1 Ω, y el resistor 1Ω 2Ω I I + 2 3 central de 1 Ω (a través del cual la corriente es I 3) se I 1 - I 3 sustituye por un resistor de resistencia desconocida d R. El resto del circuito queda como en la figura. b) Calcule la corriente en cada resistor. c) Calcule la resistencia equivalente de la red. d) Calcule la diferencia de potencial V ab. e) Sus respuestas a los apartados (b), (c) y (d) no dependen del valor de R. Explique por qué.

Solución Malla dcad 13 − I 1 − ( I 1 − I 3 ) = 0  a) Malla dabd ( I 1 − I 3 ) − I 3 − 2( I 2 + I 3 ) = 0 Malla cabc − I − I + I = 0 1 3 2 

⇒

 I 1 = 6   I 2 = 5  I = −1  3

⇒

Re =

⇒

 I 1 = 6,5   I 2 = 6,5  I = 0  3

⇒

Re =

Malla dcad 13 − I 1 − ( I 1 − I 3 ) = 0  b) Malla dabd ( I 1 − I 3 ) − RI 3 − ( I 2 + I 3 ) = 0 Malla cabc − I − RI + I = 0 1 3 2 

Resolviendo por regla de Cramer I 3 =

13 I 1 + I 2

13 I 1 + I 2

∆ I 3 ; observar que ∆ I 3 (el determinante de los coeficientes ∆

con la 3º columna cambiada por los términos independientes) es nulo.

Respuesta a) I 1 = 6 A b) I 1 = 6,5 A c) Re = 1 Ω

I 2 = 5 A

I 3 = -1 A

I 2 = 6,5 A

I 3 = 0 A

Re = 1,18 Ω

d) 0

61

Inductancia

Física II

20 V +

1Ω

1A

1Ω

4Ω

6. Encuentre las fems ε1 y ε2 del circuito de la figura y la diferencia de potencial del punto b con respecto al punto a.

ε1

+

a

2A

6Ω

1Ω

ε2

+

b

Solución Por la rama central debe circular una corriente de 1 A del punto b al punto a. Para la malla superior tenemos (desde el punto b y en sentido horario):

2Ω

ε 1 − (1 A ×1 Ω ) − (1 A × 4 Ω ) + (1 A × 1 Ω ) − 20 V + (1 A × 6 Ω ) = 0

ε 1 = 18 V

Para la malla inferior tenemos (desde el punto b y en sentido antihorario):

ε 1 − (1 A ×1 Ω ) − (1 A × 4 Ω ) − (2 A × 1 Ω ) − ε 1 − (2 A × 2 Ω ) = 0

ε 2 = 7 V

Para hallar V ab, vamos de b hacia a por la rama central: V b + ε 1 − (1 A × 1 Ω) − (1 A × 4 Ω) = V a

V ba = V b − V a = −13 V

Respuesta ε 1 = 18 V 28 V + ε +

V ba = −13 V

ε 2 = 7 V

7. En el circuito de la figura, halle a) la corriente en R; b) la resistencia R; c) la fem desconocida ε. d) Si el circuito se rompe en x, ¿cuál es la corriente en la batería de 28 V?

R

6Ω

4A

Solución

x

6A

3Ω

a) El análisis de los nudos indica que en la rama superior la corriente es de 2 A. c) Para hallar ε, partimos del punto x y recorremos la malla inferior en sentido antihorario:

ε − (6 A × 3 Ω ) − (4 A × 6 Ω ) = 0

ε = 42 V

b) Para hallar R, partimos del punto x y recorremos la malla superior en sentido horario:

ε − 28 V + 2 R − (4 A × 6 Ω) = 0

R = 5 Ω

Respuesta a) 2 A

b) 5 Ω

c) 42 V

62

d) 3,5 A

Inductancia

Física II

10 V a +

2Ω

3Ω I 1

5V b +

1Ω

4Ω I 2

10 Ω

I 3

8. En el circuito de la figura, halle a) la corriente en cada rama; b) la diferencia de potencial V ab.

Solución a) Recorriendo las mallas en sentido antihorario: I 1 + I 2 − I 3 = 0  Nudos  M. superior − 3 I 1 + 10 − 2 I 1 + I 2 − 5 + 4 I 2 = 0 M. inferior -4 I + 5 − I − 10 I = 0 2 2 3 

⇒

 I 1 = 0,8   I 2 = −0,2  I = 0,6  3

b) Teniendo en cuenta el sentido correcto para I 2: V a + 3 I 1 + 4 I 2 = V b

Respuesta a) I 1 = 0,8 A

I 2 = -0,2 A

2A

R

ε1

ε2

+

I 1

4Ω

3Ω

I 3

= 0,6 A

b) -3,2 V.

9. En el circuito de la figura, halle a) la corriente en el resistor de 3 Ω; b) las fems desconocidas ε1 y ε2; c) la resistencia R. Observe que se da el valor de tres corrientes.

+

I 2

Solución

6Ω

El análisis de los nudos conduce a: I 1 = 1 A I 2 = 7 A I 3 = 8 A Recorriendo las mallas en sentido antihorario: 3A

I 3

5A

− 2 R − ε1 + ε 2 = 0 M. superior  M. inferior izq. ε1 − 4 × 3 − 8 × 3 = 0 M. inferior der. - ε + 3 × 8 + 6 × 5 = 0 2 

ε1 = 36  ε 2 = 54  R = 9 

⇒

Respuesta a) 8 A

b) 36 V y 54 V

c) 9 Ω

10. Amperímetro de múltiples escalas. La resistencia de la bobina móvil del galvanómetro G de la figura es RG = 36 Ω y el galvanómetro se desvía a fondo de G escala con una corriente I G = 0,01 A. Cuando el medidor está conectado al circuito que se va a medir, se hace una conexión R1 R2 R3 a la línea marcada con + y la otra a la línea del intervalo de corriente deseado. Halle la magnitud de las resistencias R1, R2 y R3 necesarias para convertir el galvanómetro en un amperí+ 10 A 1A 0,1 A metro de múltiples escalas cuya desviación a fondo de escala sea I f 1 = 10 A, I f 2 = 1 A y I f 3 = 0,1 A.

Solución

63

Inductancia

Física II

La corriente máxima que pasa por RG, para cada una de las escalas, debe ser igual a I G. Fondo de escala 0,1 A I f 3 −

I G RG = I G R1 + R2 + R3

Fondo de escala 1 A I f 2 −

I G ( RG + R3 ) = I G R1 + R2

Fondo de escala 10 A I f 1 −

I G ( RG + R3 + R2 ) = I G R1

Reordenando las ecuaciones se obtiene:

Fondo de escala 0,1 A  Fondo de escala 1 A Fondo de escala 10 A 

0,09 R1 + 0,09 R2 + 0,09 R3 = 0,36 0,99 R1 + 0,99 R2 − 0,01 R3 = 0,36 9,99 R1 − 0,01 R2 − 0,01 R3 = 0,36

⇒

 R1 = 0,04   R2 = 0,36  R = 3,6  3

Respuesta R1 = 0,04 Ω

R2 = 0,36 Ω

R3 = 3,6 Ω

11. Voltímetro de múltiples escalas. En la figura se muestra el cableado interno de un voltímetro de "tres escalas" cuyas líneas de conexión están señaladas con +, 3 V, 15 V y 150 V. Cuando se conecta el me R1 R2 R3 RG didor al circuito que se va a medir, se hace una conexión a la línea + y la otra al punto marcado con el intervalo de voltaje deseado. La resistencia de la bobina móvil, 3V + 15 V 150 V RG, es de 35 Ω, y la corriente en la bobina que ocasiona una desviación a fondo de escala es I G = 1,5 mA. Encuentre las resistencias R1, R2 y R3 y la resistencia total del medidor en cada uno de sus intervalos.

Solución La corriente máxima que pasa por RG, para cada una de las escalas, debe ser igual a I G. Fondo de escala 3 V I G =

3 RG + R1

Fondo de escala 15 V I G =

15 RG + R1 + R2

Fondo de escala 150 V I G =

150 RG + R1 + R2 + R3

Respuesta R1 = 1965 Ω

R2 = 8000 Ω

R3 = 90000 Ω

12. a) Una resistencia R2 se conecta en paralelo con una resistencia R1. Deduzca una expresión para la resistencia R3 que se debe conectar en serie con la combinación de R1 y R2 para que la resistencia equivalente sea igual a la resistencia R1. b) Una resistencia R2 está conectada en serie con una resistencia R1. Deduzca una expresión para la resistencia R3 que debe conectarse en paralelo con la combinación de R1 y R2 para que la resistencia equivalente sea igual a R1.

64

Inductancia

Física II

Solución R1 R2 = R1 a) R3 + R1 + R2

2

R1 R3 = R1 + R2

⇒

Respuesta a)

R12

b)

R1 + R2

R1 ( R1 + R2 ) R2

8Ω 20 Ω 16 Ω x

16 Ω y

9Ω 18 Ω

13. a) Calcule la resistencia equivalente del circuito de la figura entre y, x. b) ¿Cuál es el potencial del punto a con respecto al punto x si la corriente en el resistor de 8 Ω es de 1,6 A en la dirección que va de izquierda a derecha en la figura?

Respuesta

6Ω

a) 8 Ω

a

b) -38,4 V

14. a) Encuentre el potencial del punto a con respecto al punto b en la figura. b) Si los puntos a y b están conectados por un cable con resistencia despreciable, encuentre la corriente en la batería de 12 V.

2Ω a

Solución a) Si a y b están desconectados, I 2 = 0 y I 1 = I 3.

b

1 Ω 12 V +

I 1

1 Ω 10 V +

3Ω

1Ω

I 2

2Ω

1Ω

8V +

2Ω

I 3

12 − 8 = 0,444 A 1 + 2 + 2 +1 + 2 +1 con el sentido indicado en la figura. Partiendo de a y llegando a b a través de la rama superior, tenemos:

I 1 =

V a + 2 I 1 + I 1 − 12 + I 1 + 10 = V b

b) Si a y b están conectados: I 1 + I 2 − I 3 = 0 Nudos  M. superior − 2 I 1 + I 2 − 10 + 3 I 2 − I 1 + 12 − I 1 = 0 M. inferior -2 I − I − 8 − 2 I − 3 I + 10 − I = 0 3 3 3 2 2 

⇒

 I 1 = 0,464   I 2 = −0,036  I = 0,429  3

Respuesta a) 0,22 V

b) 0,464 A

65

Inductancia

Física II

15. Tres resistores idénticos están conectados en serie. Cuando se aplica cierta diferencia de potencial V a través de la combinación, la potencia total disipada es P = 76 W. ¿Qué potencia se disiparía si los tres resistores se conectaran en paralelo a través de la misma diferencia de potencial?

Solución I S =

En serie

I P =

En paralelo

V

V 2

2

PS = 3 I R =

3 R V

2

PP = 3 I R =

R

3 R

3V 2 R

= 9 PS

Respuesta 684 W 5Ω 12 V +

16. Calcule las tres corrientes I 1, I 2 e I 3 indicadas en el diagrama del circuito de la figura.

8Ω I 1

I 2

9V +

El análisis de los nudos permite establecer que por la resistencia de 8 Ω circula una corriente I 1 + I 3 y por la resistencia de 5 Ω circula una corriente I 3 - I 2, ambas de derecha a izquierda. Recorriendo las mallas en sentido antihorario:

1Ω

1Ω

Solución

I 3

10 Ω

M. sup. izq. -12 + I 2 − 5( I 3 − I 2 ) = 0  M. sup. der. − I 1 + 9 − 8( I 1 + I 3 ) = 0 M. inferior -10 I − 9 + I − I + 12 = 0 3 1 2 

 I 1 = 0,848   I 2 = 2,142  I = 0,171  3

⇒

Respuesta I 1 = 0,848 A

+ 24 V 3Ω I 1+ I 2

I 2 = 2,142 A

7Ω

17. ¿Cuál debe ser la fem ε en la figura para que la corriente a través del resistor de 7 Ω sea de 2,50 A? Las fuentes de fem tienen resistencia interna despreciable.

I 1

Solución

+

ε

2Ω I 2

I 3 = 0,171 A

Recorriendo las mallas en sentido horario: M. izq. -3( I 2 + 2,5 ) + 24 − ε − 2 I 2 = 0  M. der. 2 I 2 + ε − 7 × 2,5 = 0

⇒

66

ε = 18,167   I 2 = −0,333

Inductancia

Física II

Respuesta 18,167 V R2=2 Ω R5=1 Ω

18. a) Halle la corriente a través de la batería y de cada resistor del circuito de la figura. b) ¿Cuál es la resistencia equivalente de la red de resistores?

R3=1 Ω R1=1 Ω

R4=2 Ω

Solución a) Seleccionamos las corrientes como se indica en la figura. Recorriendo las mallas en sentido antihorario:

+ 14 V

R2=2 Ω R5=1 Ω I 3- I 2 I 1- I 2

R3=1 Ω

R1=1 Ω

R4=2 Ω

I 2

I 3

I 1

+ 14 V

I 1- I 3

M. sup. izq. -I 2 + ( I 3 − I 2 ) + 2( I 1 − I 2 ) = 0  M. sup. der. − 2 I 3 + ( I 1 − I 3 ) − ( I 3 − I 2 ) = 0 M. inferior -14 + 2 I + I = 0 3 2 

⇒

 I 1 = 10   I 2 = 6  I = 4  3

b) Re = 14 I 1

Respuesta a) I R1 = 6 A

I R2 = 4 A

I R3 = 2 A

I R4 = 4 A

I R5 = 6 A

I 14 V = 10 A

b) 1,4 Ω

19. En la figura se emplea una convención muy usada en los diagramas de circuito. La batería (o la fuente de alimentación) no se 3Ω b 6 Ω muestra de manera explícita. Se entiende que el punto de la parte izquierda, rotulado con 36 V, está conectado al terminal positivo I 1 S I 2 de una batería de 36 V de resistencia interna despreciable y que el I 5 3Ω V = 36 V símbolo de "tierra" de la parte derecha está conectado al terminal I 3 I 4 negativo de la batería. El circuito se completa a través de la batería, aunque no se muestre en el diagrama. a) ¿Cuál es la diferencia a 6Ω 3Ω de potencial V ab, el potencial en el punto a con respecto al punto b, cuando el interruptor S está abierto? b) ¿Cuál es la corriente a través del interruptor S cuando está cerrado? c) ¿Cuál es la resistencia equivalente cuando el interruptor está cerrado?

Solución a) I 1 = I 2

I 3 = I 4

I 5 = 0

I 1 = I 3 = V 9 = 4 A

V a − 3 I 4 + 6 I 2 = V b

b) Seleccionamos como incógnitas a I 2, I 3 y I 5. I 1 = I 2 + I 5 I 4 = I 3 + I 5 I 1 + I 3 = I 2 + I 4 = I 2 + I 3 + I 5 Llamamos “Malla batería” a la que incluye a la batería y a las resistencias recorridas por I 3 y I 4. Recorriendo las mallas en sentido antihorario:

67

Inductancia

Física II

M. izquierda -6 I 3 + 3 I 5 + 3( I 2 + I 5 ) = 0  M. derecha − 3( I 3 + I 5 ) + 6 I 2 − 3 I 5 = 0 M. batería -36 + 3( I 3 + I 5 ) + 6 I 3 = 0 

 I 2 = 3,429   I 3 = 3,429   I 5 = 1,714

⇒

c) Re = 36 ( I 2 + I 3 + I 5 )

Respuesta a) -12 V

b) 1,714 A

c) 4,2 Ω

20. Dos resistores, R1 = 582 Ω y R2 = 429 Ω, están conectados en serie a través de una línea de 90 V. Un voltímetro conectado a través del resistor de 582 Ω marca 44,6 V. a) Encuentre la resistencia RV del voltímetro. b) ¿Qué lectura indicará el mismo voltímetro cuando se conecte a través del resistor de 429 Ω?

Solución a) Llamando I 1, I 2 e I V a las corrientes que circulan por R1, R2 y RV , respectivamente: I 1 =

44,6 R1

= 0,0766 A

I 2 =

I V = I 2 − I 1 = 0,0292 A =

b) Re = R1 +

44,6

90 − 44,6 R2

= 0,1058 A

RV = 1527 Ω

RV

R2 RV = 916,9 Ω R2 + RV

I =

90 = 0,09816 A

Re

 R2 RV  V =   I = 32,9 V  R2 + RV 

Respuesta a) 1527 Ω

b) 32,9 V

R1 = 2 Ω

21. En el circuito de la figura, hallar: a) el valor de ε cuando circula 1 A por la resistencia R8; b) la diferencia de potencial V ab.

ε R = 1 Ω 3

R2 = 1 Ω a

Solución

R4 = 2 Ω R5 = 2 Ω

R7 = 4 Ω

I R8 = 1 A R6 = 4 Ω

I R7 =

R8 = 2 Ω

V R7 R7

V R8 = V R7 = I R8 R8 =

2V

= 0,5 A

1 A R9 = 2 Ω b

68

Inductancia

Física II

R1 = 2 Ω

I R6 = I R7 + I R8 = 1,5 A

ε R = 1 Ω 3

R2 = 1 Ω

Req1 = R6 +

a

V Req1 = I Req 1 Req1 = 8 V = V R5

1,5 A

I R5 =

1 A R9 = 2 Ω b R1 = 2 Ω

V R5 R5

=4A

Req 2 = R4 +

ε R = 1 Ω 3

R2 = 1 Ω

R8

I Req 1 = I R6 = 1,5 A

R6 = 4 Ω

0,5 A R8 = 2 Ω

= 5,333 Ω

1 + 1

R7

R4 = 2 Ω R5 = 2 Ω

R7 = 4 Ω

1

1

1 + 1

R5

= 3,455 Ω

Req1

a

I Req 2 = I R4 = I R5 + I Req1 = 5,5 A

R4 = 2 Ω

4A

R5 = 2 Ω

V Req 2 = I Req 2 Req 2 = 19 V = V R9 = V R1

Req1 = 5,333 Ω

1,5 A

R9 = 2 Ω b

R1 = 2 Ω

9,5 A

I R9 =

ε R = 1 Ω 3

R2 = 1 Ω

a

a

I R1 =

24,5 A Req3 =0,776 Ω

5,5 A Req2 = 3,455 Ω 9,5 A

ε R = 1 Ω 3

R2 = 1 Ω

V R9 R9 V R1 R1

b

R9 = 2 Ω

Req 3 =

b

= 9,5 A = 9,5 A

1 = 0,776 Ω 1 + 1 + 1

R1

Req 2

R9

I Req 3 = I R1 + I Req 2 + I R9 = 24,5 A

ε = I R 3 ( Req 3 + R2 + R3 ) = 68,01 V eq

V a + ε − I Req 3 R3 = V b

V ab = V a − V b = −ε + I Req 3 R3 = −43,51 V

Respuesta

69

Inductancia

Física II

ε = 68,01 V

V ab = −43,51 V

22. El punto a de la figura se mantiene a un potencial constante de V = 250 V mayor que el de tierra. a) ¿Qué marca un voltímetro del intervalo apropiado, cuya resistencia interna es RV = 3 × 10 4 Ω , cuando b está conectado entre b y tierra? b) ¿Qué marca un voltímetro con 6 = 3 × 10 Ω de resistencia? c) ¿Qué marca un voltímetro con resistencia infinita?

R1=100 kΩ R2=200 kΩ a

RV

Solución a) I =

R1 +

V R2 RV

R R V V = I 2 V = R2 + RV

R2 + RV

1+

V R1 R1 R2

+

RV

Respuesta a) 51,7 V

a

R

b) 163 V

b

c

A

a

R

c) 166,7 V

b

I

23. Sean V e I las lecturas del voltímetro y el amperímetro, respectivamente, de la figura, y RV y R A sus resistencias. Por las resistencias de los instrumentos de medición, R no es simplemente igual a V / I . a) Si el circuito se conecta como en la figura (a), muestre que

c

A I

I V

V

V (a)

(b)

como las de la figura (b), muestre que

V

− R A . Explique por qué R siempre es I menor que V / I . b) Cuando las conexiones son

R =

R =

V I − (V / RV )

. Explique por qué la resistencia real R

siempre es mayor que V / I . c) Muestre que la potencia suministrada al resistor en el apartado (a) es IV − I 2 R A y en el apartado (b) es IV − (V 2 RV ) .

Solución a) V = IR + IR A

R =

V − R A I

V V + b) I = I V + I R =

R =

V I − (V / RV )

RV

R

2 2  V 2  c) a) W = I R = I  − R A  = IV − I R A

 I



70

Inductancia

Física II

2

(b) W =

V = R

2

V = IV − (V 2 RV ) V I − (V / RV )

24. Un capacitor se carga a un potencial de V = 15 V y luego se conecta a un voltímetro cuya resistencia interna es R = 2,25 MΩ. Después de t = 5 s, el voltímetro señala V 1 = 5 V. ¿Cuál es la capacitancia?

Solución i=

V − (t RC ) V 1 = e R R

t C = − R ln (V 1 V )

Respuesta 2,02 µF

Posición 2

Posición 1 S C

+

ε

R

25. En el circuito de la figura, C = 7,50 µF, ε = 36 V y la fem tiene resistencia interna despreciable. Inicialmente, el capacitor está descargado; el interruptor S se encuentra en la posición 1 y luego se coloca en la posición 2, de modo que el capacitor empieza a cargarse. a) ¿Cuál será la carga en el capacitor después de mucho tiempo de que el interruptor se cambió a la posición 2? b) Después de que el interruptor ha estado en la posición 2 durante 3 ms, la carga en el capacitor resulta ser de 225 µC. ¿Cuál es el valor de la resistencia R? c) ¿Cuánto tiempo después de que el interruptor se puso en la posición 2, la carga del capacitor será igual al 99% del valor final encontrado en el apartado (a)?

Solución a) Q = ε C b) q = ε C (1 − e − (t RC ) )

R = −

t C ln[1 − (q

ε C )]

 0,99Q  c) t = − RC ln1 − ε C  

Respuesta a) 270 µC

b) 223 Ω

c) 7,7 ms

26. Un resistor de 4,84 k Ω está conectado a las placas de un capacitor cargado cuya capacitancia es − C = 9,46 × 10 10 F . La corriente inicial a través del resistor, justo después de hacer la conexión, es de 0,38 A. a) ¿Qué magnitud de carga había inicialmente en cada placa del capacitor? b) ¿Qué po-

71

Inductancia

Física II

tencia eléctrica disipa el resistor en el instante en que la energía almacenada en el capacitor bajó a la mitad del valor inicial? c) Utilizando la ecuación i =

q dq = − 0 e −t RC = I 0 e −t RC para la corriente dt RC

de un capacitor que se está descargando, deduzca una expresión para la potencia instantánea 2 P = i R disipada en el resistor. Luego integre la expresión de P a fin de encontrar la energía total W disipada en el resistor y muestre que es igual a la energía total almacenada en un principio en el capacitor

Solución q 0 − (t RC ) = − i e a) RC

i (t = 0) = −

q02 1 = 1,60 × 10 −3 J b) U 0 = 2 C

U 0

q2 1 = 2 2 C

(t RC )

q = q0 e −

t = − RC ln

i (t = 1,59 × 10

q0 − ( ) = − RC e

q02

2

c) P = i R =

−6

2

RC

q0 RC

t RC )

q = 1,23 × 10

−6

C

q = 1,59 × 10−6 s q0

= 0,268 A

P = i 2 R

e −2t RC

La potencia disipada por el resistor también se puede calcular considerando que es igual a la potencia instantánea entregada por el capacitor: q02 − ( 2t RC ) dU q dq qi = = = e dt C dt C RC 2

2

1q U = 2 C

∫

W = P dt =

∞

q02

∫0 RC 2 e

− 2 t RC

q02  RC   −2t RC ) dt =  (e 2 − RC  2  

2  = q0 0   2C

∞

Respuesta a) 1,74 µC

c) P =

b) 347 W

q02 2

RC

e −2t RC

27. Un capacitor de 9,65 µF inicialmente descargado se conecta en serie con un resistor de 4,80 Ω y una fuente de fem con ε = 150 V y resistencia interna despreciable. a) Para un instante t cualquiera, determine diga cuál es (i) la razón P R a la que se disipa energía eléctrica en el resistor; (ii) la razón PC a la que aumenta la energía eléctrica almacenada en el capacitor, y (iii) la potencia eléctrica Pε suministrada por la fuente. Compare las respuestas de los apartados (i), (ii) y (iii). b) Calcule los valores de (i), (ii) y (iii) del apartado (a) en el instante en que la carga del capacitor es la mitad

72

Inductancia

Física II

de su valor final. c) Integre P R para hallar la energía total disipada por el resistor; integre Pε para hallar la energía total suministrada por la batería; encuentre la energía final almacenada en el capacitor y muestre que es igual a la energía total suministrada por la batería menos la disipada en el resistor. d) ¿Qué fracción de la energía suministrada por la batería se almacena en el capacitor? ¿Cómo depende esta fracción de R?

Solución a) q = ε C (1 − e

− (t RC )

1 q2 U = 2 C

ε ( ) i = e − t RC R

)

ε 2 − ( 2t RC ) e i) P R = i R = R 2

dU q dq qi ε 2 = = = ii) PC = dt C dt C R

(1 − e − (

t RC )

) e− (

t RC )

2

ε − (t RC ) e iii) Pε = ε i = R

Se cumple: ε 2 − (2t RC ) ε 2 + P R + PC = e R R

b) q f = ε C

(1 − e q=

∞

∫

c) W R = P R dt =

− (t RC )

RC  − 2t RC  ] −  [e  2 

∞

ε 2 −t RC ε 2 = (− RC ) [e −t RC ] W ε = Pε dt = e R R 0

∫

U =

ε 2 − (t RC ) = e = Pε R

1 ε C = ε C (1 − e − (t RC ) ) 2

ε 2 −2t RC ε 2 e = R R 0

∫

)e

− (t RC )

∫

∞

0

t = − RC ln

∞

0

1 = 32,1 µs 2

2 = C ε

2

= C ε 2

C ε 2

2

Respuesta a) Ver solución b) i) 1172 W

ii) 1172 W

iii) 2344 W

d) La mitad y no depende de R

73

Inductancia

Física II

a

28. Dos capacitores en serie, C 1 = 3 µF y C 2 = 6 µF, se cargan con una batería de 12 V con una resistencia interna de 1 Ω. Hay una resistencia R = 5 Ω en serie entre los capacitores. a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito que se está cargando? b) Después de que se cierra el circuito, para el tiempo calculado en (a), ¿cuál es el voltaje en el capacitor de 3 µF?

S +

ε =

3 µF

12 V

5Ω r=

1Ω 6 µF

Solución b

1

Re = r + R

C e

=

1 C 1

+

− t   R C  q = ε C e 1 − e  

1

e

C 2

e

Respuesta a) 12 µs

a

b) 5,06 V

R1

c R2

b

R1

R1

R1

R2

R2

d

y así sucesivamente

29. Red infinita. Como se muestra en la figura, una red de resistencias R1 y R2 se extiende hasta el infinito hacia la derecha. Pruebe que la resistencia total RT de la red infinita es igual a RT = R1 + R12 + 2 R1 R2

R1

R1

(Sugerencia: Como la red es infinita, la resistencia de la red a la derecha de los puntos c y d también es igual a RT .)

∆ x

Solución El conjunto de resistencias ubicadas a la derecha de c y d (igual a RT ) R2, y ese conjunto está en serie con las dos R1. Por lo tanto: R2 RT + 2 R1 = RT R2 + RT

se encuentra en paralelo con

RT 2 − 2 R1 RT − 2 R1 R2 = 0

Preguntas para incomodar I) Los electrodomésticos de su casa, ¿están conectado en serie, en paralelo, o de ninguna de esas formas? ¿Cómo lo sabe? II) Se “cortó la luz” en nuestra casa. Llamamos al electricista y nos dice que hubo un cortocircuito. ¿Qué es eso y por qué provoca que se corte la luz? ¿Qué o quién cortó la luz?

74

Inductancia

Física II - Problemas y preguntas - 1° parte (2017)

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