Resumen Los sistemas de control ayudan en todos los aspectos de la sociedad moderna. En nuestros hogares se encuentran en tostadores y sistemas de calefacción y hasta en reproductores de videocasetes. Los sistemas de control también tienen amplias aplicaciones en la ciencia y en la industria, para dirigir barcos y aviones y guiar proyectiles y transbordadores espaciales. Y también existen de manera natural: nuestros cuerpos contienen numerosos sistemas de control. Se han propuesto representaciones incluso de sistemas económicos y fisiológicos con base en teoría de sistemas de control. Estos sistemas se emplean en donde se requiere de ganancia de energía eléctrica, control remoto o conversión de la forma de la entrada. Un sistema de control tiene una entrada, un proceso y una salida. Los sistemas de control pueden ser un lazo cerrado o un lazo abierto. Los sistemas en lazo abierto no vigilan ni corrigen perturbaciones en la salida, pero son más sencillos y menos costosos que los sistemas en lazo cerrado. Los sistemas en lazo cerrado vigilan la salida y la comparar con la entrada. Si detectan un error, el sistema corrige la salida y, por lo tanto, corrige los efectos de perturbaciones. El análisis y diseño de sistemas de control se concentra en tres objetivos principales: 1.
Producir la respuesta transitoria deseada.
2.
Reducir los errores en estado estable.
3.
Alcanzar la estabilidad.
Un sistema debe ser estable para producir la correcta respuesta transitoria y en estado estable. Una respuesta transitoria es importante porque afecta la velocidad del sistema e influye sobre la paciencia y comodidad de las personas, sin mencionar los esfuerzos mecánicos. Una respuesta en estado estable determina la precisión del sistema de control; determina cuánto se iguala la salida con la respuesta deseada. El diseño de un sistema de control sigue estos pasos:
Paso 1
Determinación de un sistema físico y especificaciones a partir de los requerimientos.
Paso 2
Trazo de un diagrama de bloques funcional.
Paso 3
Representación del sistema físico mediante un diagrama esquemático. esquemático.
Paso 4
Uso del diagrama esquemático esquemático para obtener un modelo matemático como lo es un diagrama de bloques.
Paso 5
Reducción del diagrama de bloques.
Paso 6
Análisis y diseño del sistema para satisfacer los requerimientos y las especificaciones especiales, que incluyen estabilidad, respuesta transitoria y desempeño en estado estable.
Preguntas
1. Mencione tres aplicaciones de los sistemas de control ret roalimentados. 2. Mencione tres razones para usar los sistemas de control retroalimentado y por lo menos una razón para no usarlos. 3. Dé tres ejemplos de sistemas en lazo abierto. 4. Funcionalmente, ¿cómo difieren los sistemas en lazo cerrado respecto de aquellos en lazo abierto? 5. Exprese una condición bajo la cual la señal de error de un sistema de control retroalimentado no sería diferencia entre la entrada y la salida. 6. Si la señal de error no es la diferencia entre entrada y salida. ¿con qué nombre genérico podemos describir la señal de error? 7. Mencione dos ventajas de tener una computadora en el lazo. 8. Mencione tres criterios de diseño principales para los sistemas de control. 9. Mencione las dos partes de la respuesta de un sistema. 10. Físicamente, ¿qué ocurre a un sistema que es inestable? 11. ¿A qué parte de la respuesta total es atribuible la inestabilidad? 12. Los ajustes de la ganancia de trayectoria directa pueden causar cambios en la respuesta transitoria. ¿Cierto o falso? 13. Mencione tres planteamientos del modelo matemático de sistemas de control. 14. Brevemente describa cada una de sus respuestas a la pregunta 13.
PARTE I. MODELADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS 1. Determine de manera directa la ecuación diferencial y la función de transferencia del siguiente circuito, considerando la señal ei (t ) como la entrada y la señal eo(t ) como salida:
2. Si vi(t) es un voltaje escalón en la red que se muestra en la figura. Encuentre el valor del resistor tal -6 que se vea un 20% de sobretiro en voltaje entre las dos terminales del capacitor, si C = 10 F y L = 1 H.
3. Para el circuito de la figura anterior, donde , encuentre los valores de R y L para obtener 15% de sobretiro con un tiempo de asentamiento de 2 ms para el voltaje del capacitor. La entrada v i(t) es un escalón unitario. 4. Para el circuito de la figura, encuentre los valores de R 2 y C para obtener 15% de sobretiro con un tiempo de asentamiento de 1 ms para el voltaje entre las terminales del capacitor con v i(t) como entrada de escalón.
5. Encuentre la función de transferencia G(s) = V0(s) / Vi(s), para cada red que se muestra en la figura
6.
Encuentre las funciones de transferencia, G(s) = V L(s) / V(s), para cada red que se muestra en la figura
7. Encuentre la función de transferencia G(s) = V0(s) / Vi(s), para cada red que se muestra en la figura
8. Repita el problema anterior, usando ecuaciones de nodos
PARTE II. ÁLGEBRA DE BLOQUES Y/O DE FLUJO
Resumen En esta unidad estudiamos la forma de hallar un modelo matemático, llamado función de transferencia, para sistemas lineales, eléctricos, mecánicos y electromecánicos invariantes en el tiempo. La función de transferencia está definida como G(s) = C(s)/R(s), o la razón entre la transformada de Laplace de salida y la transformada de Laplace de la entrada. Esta razón o cociente es algebraica y también se adapta al modelado de subsistemas interconectados. Vemos que el mundo físico está formado por más sistemas de los que se ilustran en este capítulo. Por ejemplo, podríamos aplicar modelos de función de transferencia a sistemas hidráulicos, neumáticos, térmicos y hasta económicos. Desde luego, debemos suponer que estos sistemas son lineales, o que hacen aproximaciones lineales, para usar está técnica de mo delado. Ahora que tenemos nuestra función de transferencia, podemos evaluar su respuesta a una entrada especificada. La respuesta del sistema se estudia posteriormente. Para quienes buscan en el espacio de estados, donde usamos el dominio del tiempo en lugar del dominio de la fre cuencia.
Preguntas 1. ¿Qué modelo matemático permite una fácil interconexión de los sistemas físicos? 2. ¿A qué clasificación de sistemas se puede aplicar mejor la función de transferencia? 3. ¿Qué transformación convierte la solución de ecuaciones diferenciales en manipulaciones algebraicas? 4. Defina la función de transferencia. 5. ¿Qué suposición se hace respecto a condiciones iniciales cuando se trabaja con funciones de transferencia? 6. ¿Qué nombre se da a las ecuaciones mecánicas escritas para evaluar la función de transferencia? 7. Si entendemos la forma que toman las ecuaciones mecánicas, ¿qué paso evitamos al evaluar la función de transferencia? 8. ¿Por qué razón las funciones de transferencia para redes mecánicas parecen idénticas a las funciones de transferencia para las redes e léctricas? 9. ¿Qué función realizan los engranes? 10. ¿Cuáles son las partes componentes de las constantes mecánicas de la función de transferencia de un motor? 11. La función de transferencia de un motor relaciona el desplazamiento de armadura con el voltaje de armadura. ¿Cómo puede determinarse la función de transferencia que relaciona el desplazamiento de carga y el voltaje de armadura? 12. Resuma los pasos para hacer lineal un sistema no lineal.
Resumen Un objetivo de este tema es aprender a representar subsistemas múltiples por medio de diagramas de bloques o gráficas de flujo de señales. Otro objetivo es tener la capacidad de reducir ya sea la representación de un diagrama de bloques, o la representación de una gráfica de flujo de señales, a una sola función de transferencia. Vimos que el diagrama de bloques de un sistema lineal invariante con el tiempo, estaba formado por cuatro elementos: señales, sistemas, puntos suma y puntos de derivación . Se unieron estos elementos en tres formas básicas: en cascada, en paralelo y retroalimentada. Se dedujeron algunas operaciones básicas: mover sistemas en puntos suma y en puntos de der ivación. Una vez reconocidas las formas y operaciones básicas, podríamos reducir un complicado diagrama de bloques a una sola función de transferencia que relacione la entrada y la salida. La representación del flujo de señales de sistemas lineales e invariantes con el tiempo consta de dos elementos: nodos (que representan señales) y líneas con flechas (que representan subsistemas). Los puntos suma y puntos de derivación están implícitos en las gráficas de flujo de señales. Estas gráficas son útiles para visualizar el significado de las variables de estado. Igualmente, se pueden trazar primero como auxiliares para obtener las ecuaciones de e stado para un sistema. Se usó la regla de Mason para deducir la función de transferencia del sistema a partir de la gráfica de flujo de señales. Esta fórmula sustituyó las técnicas de reducción de diagramas de bloques. La regla de Mason parece complicada, pero se simplifica su uso si no hay mallas que no se tocan. En muchos de estos casos, se puede escribir la función de transferencia por inspección, con menos trabajo que en la técnica de reducción de diagramas de bloques
Preguntas 1. Mencione los cuatro componentes de un diagrama de bloques para un sistema lineal invariante con el tiempo. 2. Mencione tres formas básicas para interconectar subsistemas. 3. Para cada una de las formas de la pregunta 2, exprese (respectivamente) cómo se encuentra la función de transferencia equivalente. 4. Además de conocer las fórmulas básicas como se vio en las preguntas 2 y 3, ¿qué otros equivalentes debe conocer el estudiante para reducir un diagrama de bloques? 5. Mencione los dos componentes de una gráfica de flujo de señales. 6. ¿Cómo se representa, los puntos suma en una gráfica de flujo de señales? 7. Si una trayectoria directa toca a todas las mallas, ¿cuál sería el valor de
Problemas 1. Reduzca los siguientes diagramas de bloques y obtenga la función de transferencia Y (s) hacia U(s).
2. Reduzca los siguientes diagramas de bloques y obtenga la función de transferencia C (s) / R(s).
3. Utilice la regla de Mason, encuentre la función de transferencia, T(s) = C(s) / R(s)
4. Utilice la regla de Mason, encuentre la función de transferencia, T(s) = C(s) / R(s) para el sistema representado en la figura
5. Utilice la regla de Mason para hallar la función de transferencia de la figura
6. Convierta el diagrama de flujo de la figura a diagrama de bloques y obtenga la función de transferencia. Aplicando la regla de Mason obtener la función de transferencia y compárela con la obtenida por bloques.
