UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER
ASIGNATURA: FÍSICA II
SEMESTRE
: 2012- I
DOCENTE
:
SECCIÓN: SECCIÓN: “C”
ALUMNOS
UNI-FIM
ÍNDICE OBJETIVOS
1
FUNDAMENTO TEORICO
2
PROCEDIMIENTO
6
CALCULOS Y RESULTADOS
7
CONCLUSIONES
16
BIBLIOGRAFIA
18
UNI-FIM
Objetivos
Comparar y comprobar experimentalmente las leyes del péndulo físico, midiendo el período de oscilación del mismo, a diferentes distancias distancias respecto a su centro de masa.
Mediante el experimento poder calcular el momento de inercia.
Poder calcular, con los datos obtenidos, los momentos de inercia para los los puntos dados.
Con los datos obtenidos, hallar el periodo y el teorema de Steiner.
Analizar e interpretar las gráficas obtenidas según los cuadros obtenidos de la experiencia en el laboratorio.
UNI-FIM
Fundamento Teórico Péndulo Físico
Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple, en el que toda masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequeñas, el análisis del movimiento de un péndulo real es tan sencillo como el de uno simple. La figura de abajo muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por el punto O. En la figura el cuerpo esta desplazado un ángulo θ.
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Llamaremos ”h” a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de
su posición posición de equilibrio equilibrio (estable) (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas (m.g y N) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido
negativo del mismo. Si es
el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:
que podemos escribir en la forma que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner y la ecuación adopta la forma
que corresponde a un movimiento armónico simple. El periodo de las oscilaciones es
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Teorema de Steiner
El momento de inercia de un solido rígido no es una propiedad intrínseca del cuerpo sino que depende del eje de giro respecto al que se calcule. Por esta razón en muchas ocasiones es útil conocer las ecuaciones que relacionan el momento de inercia respecto a un eje con el momento respecto a otro diferente. Uno de los teoremas más utilizados en estas situaciones es el denominado teorema de los ejes paralelos o de Steiner, que relaciona el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento relativo a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masa del objeto.
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Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z , que pasa a través del centro de masas, es: El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a a lo largo del eje x del del centro de masas, es: Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene: 2 El primer término es I cm cm , el segundo término queda como mr , y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:
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PROCEDIMIENTO
1. Sobre la masa y apoyado sobre su base mayor; sujete al soporte de de madera con con las mordazas mordazas simples. 2. Ubique el centro de masa de la barra, suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio será el centro de gravedad de la barra. 3. Suspenda la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y hágala oscilar separándola ligeramente ligeramente de su posición de equilibrio ( cuanto más 15º ) , tome nota el tiempo que emplee en 20 oscilaciones y mida también la distancia L. (Distancia del centro de gravedad al eje, del cual se hace oscilar el péndulo). 4. Repita esta operación 2 veces más. Nota: Para los 2 agujeros cercanos al centro de gravedad solo considere 10 oscilaciones en lugar de 20. 5. Mida las dimensiones de la barra y su masa.
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Cálculos y Resultados
1. Tabla de Datos del Experimento # de
L
t1
t2
Hueco
(cm)
(s)
(s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50.1 45.1 40.1 35.1 30.1 25.1 20.1 15.1 10.1 5.1
33.3 32.88 32.44 31.94 31.83 32.2 32.98 17.58 20.2 26.7
33.49 32.73 32.29 31.97 31.59 32.22 33.04 17.68 20.2 27.05
Periodo # de T (s) oscilacione Promedi (s) s o 33.61 20 1.67 32.8 20 1.64 32.3 20 1.61 31.78 20 1.59 31.7 20 1.58 32.39 20 1.61 33.25 20 1.65 17.6 10 1.76 20.21 10 2.02 26.7 10 2.68 t3
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2. Grafica T (s) vs L (cm) Grafica T (s) vs L (cm)
3
2.68 2.5 y = 0.0011x2 - 0.0787x + 2.8434
2.02 2
1.76
1.65
1.5
1.61
1.59 1.58
1.61
1.67
1.64
Periodo T (s) Promedio 1
0.5
0 0
10
20
30
40
50
60
b) Encontrar el valor de “L” para que el periodo sea mínimo
Ahora obtendremos el valor de L para que el periodo tenga su valor mínimo. Este valor se obtendrá de la siguiente manera: De la ecuación:
√
… (1) Donde
de la barra, M: Masa de la barra, L: distancia del C.G al punto O
Momento Momento de Inercia g: Gravedad,
Se derivara con respecto a L y se igualara esta esta derivada a 0, es es decir, = 0. El valor de L que obtengamos al efectuar esta operación, será el que haga que T sea mínimo.
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(2) en (1): √ , ahora derivaremos esta expresión con
Para obtener , se tiene la siguiente ecuación:
… (2)
respecto a “L”
= √ . = 0 y M =0.40585 kg Se obtiene: L = √ donde →
Entonces se obtiene:
L = 31.812 cm
C) Hallar dos puntos con el mismo periodo
Para hallar dos valores diferentes de L, asumiendo que existen, en los cuales los periodos son iguales, se tiene la ecuación de la curva T vs L:T = 0.0011L 2 - 0.0787L + 2.8434 … (3), en la cual “x” es análogo a “L”.
Para obtener estos valores se L, se igualara el valor de “T” para dos
valores distintos de L, sean estos y . Entonces se tiene: - 0.0787 + 2.8434
- 0.0787 + 2.8434 = 0.0011
0.0011
2
2
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Resolviendo la expresión dada se obtiene: ( ).[0.0011( – 0.0787] = 0 , de la cual se infieren dos posibilidades:
. = = 71.54545 (Con lo cual deducimos que existen mas
. (Lo cual c ual no es admisible, ya que estamos buscando dos valores diferentes)
de dos pares de valores para “L” que hacen que sus periodos sean
iguales) Entonces, basta con tomar los puntos 30.1 cm y 41.445 cm para responder a la pregunta. 3.Con los valores de “T” determinados exper imentalmente,
se determinan los valores de los momentos de inercia respectivos para cada hueco. Este valor de se obtendrá de la ecuación (1):
√
. M.g.L =
→
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Hueco
L (cm)
(Periodo)2 T 2 (s2)
1
50.1
2.7889
1,409.111921
2510.01
2
45.1
2.6896 2. 6896
1,223.317135
2034.01
3
40.1
2.5921
1,048.264662
1608.01
4
35.1
2.5281
894.9034576
1232.01
5
30.1
2.4964
757.8015521
906.01
6
25.1
2.5921
656.1457113
630.01
7
20.1
2.7225
551.8725168
404.01
8
15.1
3.0976
471.7121948
228.01
9
10.1
4.0804
415.6223883
102.01
10
5.1
7.1824
369.4150504
26.01
Momento de Inercia (kg.cm2)
L2 (cm2)
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4. Gráfica del momento de inercia vs longitud al cuadrado Momento de Inercia I (kg.cm2) 1,600.000000
y = 0.4153x + 377.8 1,400.000000
1,200.000000
1,000.000000
Momento de Inercia I (kg.cm2) 800.000000 Linear (Momento de Inercia I (kg.cm2))
600.000000
400.000000
200.000000
0.000000 0
500
1000
1500
2000
2500
30 00
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5. Del grafico anterior, y por comparación de la ecuación (2), determine IG y M.
y = 0.415x + 377.8 377.8
kg/cm2 á
í
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6. Compare el valor de I G obtenido en el paso 5 con el valor de la forma analítica para una barra de longitud L y ancho b, I G = M*(L2+b2)/12. ¿Qué error experimental obtuvo?, y, ¿qué puede decir acerca de la masa?
Se obtuvo un error experimental de 10.14% en el momento de inercia respecto del CM y un error de 2.25% en la masa y es porque en el momento de inercia en la gráfica no se consideran los huecos q posee lo cual hace que el M de la gráfica sea menor.
í
í
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7. Hallar la longitud longitud del péndulo péndulo simple equivalente equivalente al hueco numero 5 - En el hueco numero 5 tenemos: L = 30.1 cm - Este hueco tiene como periodo a T = 1.58 segundos Entonces, aplicando la formula conocida del péndulo simple, tenemos:
√
.g = L
→
.981cm/s = 62.0331 cm
→
2
Entonces, la longitud del péndulo simple equivalente al agujero numero 5 es 62.0331 cm.
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Conclusiones
Se puede concluir que, a diferencia del péndulo simple, el periodo del péndulo físico no aumenta conjuntamente con la longitud L, ya que los periodos más largos se dan cuando L es más pequeño.
El periodo mínimo no se da con una longitud “L” en los
extremos, sino en otro punto del cuerpo solido.
Se concluye que hay mas de una longitud L para un mismo periodo.
Se verifica el TEOREMA DE STEINER ya que el momento momento de inercia aumenta en valor al alejarse el punto de oscilación del C.G.
Se concluye que la amplitud del ángulo debe ser menor a 15 grados sexagesimales para que se aproxime a un M.A.S., ya que si es mayor este valor se asemejara mas mas a un movimiento movimiento amortiguado.
Las amplitudes de las oscilaciones para un mismo agujero disminuyen y una de las causas es la fricción de la la barra con el aire.
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Se concluye que los resultados experimentales NO son exactamente iguales a los teóricos, esto sucede debido al error del ser humano en la observación del fenómeno y a los errores de medición con los instrumentos utilizados.
Un péndulo físico puede aproximarse a un péndulo simple con una cierta longitud y un cierto error experimental.
Si el punto de suspensión es el centro de masa, el cuerpo no oscilará, esto debido a que en este caso el cuerpo se encuentra en equilibrio y no hay fuerzas que generen momentos ni desplazamientos. desplazamientos.
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Bibliografía
Sears Zemansky. Física universitaria. Volumen I. 12ava edición. cap. XIII. XIII. Pag.419; Pag.419; 438. 438. Editorial Addison-Wesley. México 2009.
SerwayJewet. Física para ciencia e ingeniería. VolumenI . 7ma Edition. Cap. XV. Pág 434. Editorial Cengage Learning. Mexico D.F. 2008.
Ing. Martin Casado Márquez. Física I para estudiantes de ciencias e ingeniería. 1ra edición. Anexo C, pág. 315. Editorial universitaria. Perú 2008.
http://es.wikipedia.org/wiki/Pendulo_Fisico
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