Capítulo 8. Capacitores
251
RESUMEN
Un capacitor es un dispositivo que almacena carga eléctrica y energía potencial. La capacitancia C de C de un capacitor es la razón de la carga almacenada almacenada sobre las placas del capacitor a la diferencia de potencial entre ellas: C =
Q ∆V
La unidad de capacidad es C/V = faradio. El faradio es una unidad muy grande y se emplea el µF (10 –6), el nF (10 –9) y el pF(10 –12 ).
Sistema Esfera aislante cargada de radio R radio R
Capacitancia C = 4πε0 R
Capacitor de placas planas paralelas de área A área A y separación d Capaci Capacitor tor cilínd cilíndrico rico de longit longitud ud L, L, radio radio inte intern rno o a y radio radio externo b Capacitor esférico con radio interno a y radio externo b
C = ε0
C =
A d
2πε0 L
ln(b / a ) ab C = 4πε0 (b − a)
La capacitancia equivalente de capacitores conectados en paralelo y en serie son C eq = C 1 + C 2 + C 3 +
1 C eq
=
1 C 1
+
1 C 2
+
1 C 3
(paralelo)
+
(serie)
El trabajo hecho en cargar un capacitor a una carga Q es U =
Q2 2C
=
1 2
Q ∆V =
1 2
C ∆V
2
Esto es igual a la cantidad de energía almacenada en el capacitor. La energía eléctrica puede también ser almacenada a través del campo eléctrico E. La densidad de energía (energía por unidad de volumen) es u E =
1 2
2
ε0 E
La densidad de energía uE es igual a la presión electrostática sobre una superficie.
252
Capacitores
Cuando un material dieléctrico con constante dieléctrica la capacitancia se incrementa por un factor κ e:
κ e
es insertado en un capacitor,
C = κ eC 0
El vector de polarización P es el momento dipolar magnético por unidad de volumen:
1 P= V
N
∑p
i
i =1
El campo eléctrico inducido debido a la polarización es E p = −P / ε0
En la presencia de un dieléctrico con constante dieléctrica κ e, el campo eléctrico será E = E0
+ E P = E0 / κ e
donde E0 es el campo eléctrico sin dieléctrico.
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Capacitores
Cuando un material dieléctrico con constante dieléctrica la capacitancia se incrementa por un factor κ e:
κ e
es insertado en un capacitor,
C = κ eC 0
El vector de polarización P es el momento dipolar magnético por unidad de volumen:
1 P= V
N
∑p
i
i =1
El campo eléctrico inducido debido a la polarización es E p = −P / ε0
En la presencia de un dieléctrico con constante dieléctrica κ e, el campo eléctrico será E = E0
+ E P = E0 / κ e
donde E0 es el campo eléctrico sin dieléctrico.
Capítulo 8. Capacitores
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PREGUNTAS 8.1. Si se le pidiera diseñar un capacitor para una situación en la cual se requiriese de tamaño pequeño y gran capacitancia. ¿Qué factores serían importantes en su diseño?
Utilizaríamos un capacitor lleno de dieléctrico de constante dieléctrica muy grande. Además, Además, el dieléctrico dieléctrico debe ser tan fino como sea posible, posible, teniendo presente presente que la ruptura dieléctrica debe también ser considerada. 8.2. Se dan dos capacitores, C 1 y C 2, en donde C 1 > C 2. ¿Cómo podrían disponerse las cosas de modo que C 2 pudiera contener mas carga que C 1?
______________________ __________________________________ ________________________ _______________________ ______________________ ___________ ______________________ __________________________________ ________________________ _______________________ ______________________ ___________ ______________________ __________________________________ ________________________ _______________________ ______________________ ___________ 8.3. Las placas de un capacitor están conectadas a una batería. ¿Qué ocurre con la carga en las placas si los alambres se quitan de la batería? ¿Qué pasa con la carga si los alambres se quitan de la batería y se conectan entre sí?
Las placas de un capacitor están conectadas a una batería. Si los alambres que conectan se quitan de la batería, nada sucede a la carga en las placas. El capacitor sigue cargado. cargado. Sin embargo, embargo, si los alambres alambres se quitan de la batería batería y se conectan el uno al otro, el capacitor se descarga. Esto es porque las placas cargadas inicialmente lo son con cargas que son iguales en magnitud y de signo contrario. 8.4. Analice las semejanzas y diferencias cuando se inserta (a) una lámina de dieléctrico y (b) una lámina conductora entre las placas de un capacitor de placas paralelas. Suponga que los espesores de las láminas son de la mitad de la separación entre las placas.
_______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ _____________________ _________ _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ _____________________ _________ _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ _____________________ _________ 8.5. Un par de capacitores se conectan en paralelo mientras un par idéntico se conecta en serie. ¿Qué par sería más peligroso de manejar después de haberse conectado a la misma fuente de voltaje? Explique.
Después de ser conectados a la misma fuente del voltaje, el par conectado en paralelo sería más peligroso de manejar puesto que tendría una capacitancia equivalente más grande, y por lo tanto almacenaría más carga y energía. 8.6. Un capacitor de placas paralelas se carga mediante una batería, la cual después se desconecta. desconecta. Entonces Entonces se desliza una lámina de material material dieléctrico dieléctrico entre las placas. Descr Describ ibaa cual cualit itati ativa vame ment ntee lo que que le suce sucede de a la carga carga,, a la capac capacit itanc ancia ia,, a la diferencia de potencial, al campo eléctrico y a la energía almacenada.
254
Capacitores
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8.7. ¿Qué ventaja habría al usar dos capacitores idénticos en paralelo conectados en serie con otro par en paralelo idéntico, en lugar de usar un solo capacitor?
La ventaja al usar dos capacitores idénticos en paralelo conectados en serie con otro par en paralelo idéntico, en lugar de usar un solo capacitor, es que este arreglo disminuiría la diferencia potencial entre las placas de cualquier capacitor individual por un factor de 2, así disminuye la posibilidad de la interrupción dieléctrica (conducción a través del material dieléctrico). 8.8. Tenemos a un capacitor de placas paralelas cuadradas de área A y separación d , en el vacío. ¿Cuál es el efecto cualitativo de cada uno de los casos siguientes sobre su capacitancia? (a) Si d se reduce. (b) Si se coloca una lámina de cobre entre las placas, pero sin que toque a ninguna de ellas. (c) Si se duplica el área de una placa solamente. (d) Si se desliza a las placas paralelamente entre sí de modo que el área de traslape sea del 50%. (e) Si se duplica la diferencia de potencial entre las placas. (f) Si se inclina a una placa de modo que la separación permanezca, siendo d en un extremo pero ½ d en el otro. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8.9. ¿Siempre es posible reducir una combinación de capacitores a un capacitor equivalente con las reglas que se han desarrollado? Explique.
No es siempre posible reducir una combinación de capacitores a un capacitor equivalente por las reglas de combinaciones en series y en paralelo. Puede haber combinaciones, como la que está mostrada en la figura, que no se puede reducir por estas reglas.
8.10. Un material dieléctrico se desliza entre las placas de un capacitor de placas paralelas mientras permanece conectado a una batería. Describa cualitativamente lo que le sucede a la carga, a la capacitancia, a la diferencia de potencial, al campo eléctrico y a la energía almacenada. ¿Se requiere trabajo para insertar material?
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8.11. En vista de que las cargas sobre las placas de un capacitor de placas paralelas son de signos opuestos, se atraen entre sí. En consecuencia, se requeriría trabajo positivo para aumentar la separación de placas. ¿Qué sucede con el trabajo externo efectuado en este proceso?
Capítulo 8. Capacitores
255
Ya que las cargas en las placas de un capacitor de placas plano paralelas son de signo opuesto, se atraen. Por lo tanto, debemos hacer trabajo positivo para aumentar la separación de las placas. El trabajo externo hecho en este proceso se transforma en energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor. 8.12. Dos capacitores idénticos están conectados como se muestra en la figura. Entre las placas se desliza una lámina de material dieléctrico, permaneciendo conectada la batería. Describa cualitativamente lo que le sucede a la carga, a la capacitancia, a la diferencia de potencial, al campo eléctrico y a la energía almacenada por cada capacitor.
κ
e
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8.13. Si la diferencia de potencial a través de un capacitor se duplica, ¿en qué factor cambia la energía almacenada?
Ya que U = ½ CV 2, duplicando la diferencia potencial a través de un capacitor se cuadruplicará la energía almacenada. 8.14. Un capacitor está conectado a una batería. (a) ¿Por qué cada placa recibe una carga de la misma magnitud exactamente? (b) Es esto cierto aun cuando las placas son de tamaños diferentes.
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8.15. ¿Por qué es peligroso tocar las terminales de un capacitor de alto voltaje incluso después de que el voltaje aplicado se ha eliminado? ¿Qué puede hacerse para lograr que un capacitor se maneje con seguridad después de que se ha quitado la fuente de voltaje?
Es peligroso tocar los terminales de un capacitor de alto voltaje incluso después de que el voltaje aplicado se haya eliminado. Esto es porque a menudo un capacitor sigue cargado largo tiempo después de que el voltaje aplicado es removido. Esta carga residual puede ser mortal. El capacitor puede ser manejado con seguridad después de descargar las placas con un cortocircuito con ayuda de un conductor, tal como un destornillador, con una manija aislante; en realidad es mejor usar una resistencia para no dañar el condensador.
256
Capacitores
8.16. Entre las placas de un capacitor como el de la figura se coloca una lámina delgada de aluminio de espesor despreciable. ¿Qué efecto tiene sobre la capacitancia si (a) la hoja está aislada eléctricamente y (b) si la hoja está conectada a la placa de arriba.
Hoja
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8.17. Describa como puede aumentar el voltaje de operación máxima de un capacitor de placas paralelas para una separación de placa fija.
Uno puede aumentar el voltaje de funcionamiento máximo de un capacitor de placas plano paralelas para una separación fija de la placa, insertando un material dieléctrico entre las placas, que tenga un mayor voltaje de ruptura que el material que está actualmente entre las placas. 8.18. Una lámina dieléctrica se inserta en un extremo de un capacitor de placas paralelas cargado (siendo las placas horizontales y habiendo sido desconectada a la batería de carga) y luego se retira. Describa qué sucede. Desprecie la fricción.
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8.19. Explique por qué un dieléctrico aumenta el voltaje de operación máximo de un capacitor aunque el tamaño físico de éste no cambie.
El voltaje de funcionamiento máximo que un capacitor puede soportar sin entrar en corto (conducción a través del material que se supone aislante) es incrementado con un dieléctrico, ya que la rigidez dieléctrica (el campo eléctrico máximo que un material puede soportar sin el corto) es mayor que la del aire. 8.20. Tenemos un capacitor aislado de placas plano paralelas de área A, separadas una distancia d en aire (puede considerarse vacío). El capacitor está cargado con carga Q. Aplicando una fuerza F separamos las armaduras hasta que su distancia se hace doble (2d ). Razone el balance energético entre el nuevo estado eléctrico del capacitor y el trabajo realizado por la fuerza.
________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________
Capítulo 8. Capacitores
257
8.21. Si un capacitor lleno de dieléctrico se calienta, ¿Cómo cambiará su capacitancia? (ignore la expansión térmica y suponga que las orientaciones de dipolo dependen de la temperatura).
La capacitancia de un capacitor lleno de dieléctrico disminuirá con el aumento de temperatura. Esto es debido al hecho que a altas temperaturas, la alineación del dipolo se reduce, lo cual reduce el campo interno debido a los dipolos, y por lo tanto disminuye la constante dieléctrica. 8.22. Los capacitores se almacenan a menudo con un alambre conectado entre sus terminales. ¿Por qué se hace esto? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
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Capacitores
PROBLEMAS 8.1. Dos conductores con cargas netas de +10.0 µC y −10.0 µC. tienen una diferencia de potencial de 10.0 V. Determine (a) la capacitancia del sistema y (b) la diferencia de potencial entre los dos conductores si las cargas en cada uno se incrementan hasta +100 µC y −100 µC Solución:
(a) Dos conductores forman lo que se conoce como capacitor, un dispositivo para almacenar carga y energía. La capacitancia C de un capacitor es el cociente de la magnitud de la carga Q en cualquier conductor a la magnitud de la diferencia potencial V entre ellas, esto es C ≡ Q/V . Observe que esta definición indica que la capacitancia es siempre una cantidad positiva. Así pues, la capacitancia del sistema de dos conductores es
⇒
C = 1.00 µF
(b) Si ahora la carga en el capacitor * ha aumentado a 100 µC, la diferencia potencial entre los dos conductores es
⇒
V' = 100 V
* Observe que aunque la carga total en el capacitor es realmente cero (porque hay tanto exceso de carga positiva en un conductor como hay exceso de carga negativa en el otro), la magnitud de la carga en cualquier conductor está referida como la carga en el capacitor .
8.2. Un capacitor de placas paralelas tiene placas de área A separadas por una distancia d . Una batería carga a las placas hasta una diferencia de potencial V 0. A continuación se desconecta la batería y se introduce un material dieléctrico de ancho d . ¿Cómo se compara la densidad de energía entre las placas del capacitor antes y después de introducir el material dieléctrico?
Capítulo 8. Capacitores
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8.3. Un capacitor lleno de aire está compuesto de dos placas paralelas, cada una con un área de 7.60 cm 2, separadas por una distancia de 1.80 mm. Si se aplica una diferencia de potencial de 20.0 V a estas placas, calcule (a) el campo eléctrico entre las mismas, (b) la densidad de carga superficial, (c) la capacitancia, y (d) la carga sobre cada placa. Solución:
(a) La diferencia potencial entre dos puntos a y b separados por una distancia d , donde d es medido paralelo a las líneas de campo entre las placas paralelas (véase la figura de la siguiente página), encontramos
Debido a que el campo E entre las placas es uniforme, podemos sacarlo de muestra integral, esto da
V b − V a es negativo porque a está en un potencial más alto que b. Por lo tanto, la diferencia potencial entre las placas se puede expresar en términos de E como V = V a − V b = − (V b − V a) = Ed , de donde
⇒
E = 11.1 kV/m
La dirección del campo eléctrico es hacia la placa negativa. (b) Utilizaremos la ley del Gauss para derivar una expresión para la densidad de carga superficial σ en función de E , la magnitud del campo eléctrico. La figura muestra una vista lateral de las placas conductoras. Seleccionamos una superficie gaussiana en la forma de un cilindro con las tapas de los extremos (para formar una superficie cerrada), según lo mostrado por las líneas punteadas. Cada tapa tiene un área arbitraria A' y una reside en el interior y otra en el exterior de la placa de la izquierda. De la ley de Gauss, superficie gaussiana
tapa izquierda
superficie curva
tapa derecha
El campo eléctrico es cero en todo el interior de un conductor, por tanto para la tapa interior. El campo fuera de la placa es perpendicular a ella, por tanto
para la superficie curva del cilindro. En la región del
260
Capacitores
espacio donde el campo es uniforme (entre las placas conductoras), el campo pasa perpendicular a través de la tapa del extremo exterior y también tiene una magnitud constante en cada punto en esa superficie de la tapa. Por lo tanto,
tapa derecha
(1)
donde A' es el área de la tapa derecha. La carga qin, la carga total dentro del cilindro gaussiano, consiste en la carga que está situada en la superficie derecha de la placa izquierda (la carga reside solamente en la superficie de un conductor). Puesto que la densidad de carga (carga por unidad de área) en la superficie de la placa es σ, entonces, qin = σ A' . El sustituir el valor de qin en la ecuación (1) y resolver para E da
⇒ lo cual da
σ = ε0 E = (8.85 × 10−12 C2/N.m2) (1.11 × 104 N/C) = 9.83 × 10−8 C/m2 σ = 98.3 nC/m 2 (c) La capacitancia C de un capacitor es el cociente de la magnitud de la carga Q en cualquier conductor a la magnitud de la diferencia potencial V entre ellos, es decir, C ≡ Q/V . En este problema V = Ed y E = σ /ε0 = Q/ Aε0. Por lo tanto,
(2)
y la capacitancia del capacitor de placas paralelas es
⇒ Note que 1 cm2 = 10−4 m2 y que 1 picofaradio = 1pF = 10 −12 F. (d) La magnitud de la carga sobre cada placa del capacitor es
C = 3.74 pF
Capítulo 8. Capacitores Q = CV = (3.74 × 10−12 F) (20.0 V) = 7.48 × 10−11 C
261
⇒
Q = 74.8 pC
8.4. Se dispone de un recipiente de dimensiones a, b, c, lleno de un líquido de constante dieléctrica εr . Las dos caras de dimensiones a y b son metálicas, y están conectadas a una batería de potencial V 0. Si se desconecta la batería, calcular cuál debe ser el volumen de líquido que debemos desalojar del recipiente para que la diferencia de potencial entre las dos caras metálicas aumente en un 25 % de su valor inicial. (La distancia entre placas se mantiene constante durante el proceso).
Resp. V =
a b c ε r 5 ε r − 5
8.5. Un cable coaxial de 50.0 m de largo tiene un conductor interior con un diámetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 µC. El conductor circundante tiene un diámetro interior de 7.27 mm y una carga de −8.10 µC. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los dos conductores? Suponga que la región entre los conductores es aire. Solución:
(a) La diferencia de potencial entre dos cilindros fue previamente derivada en la solución al problema 7.25 (vea la ecuación (2) en esta solución). Encontramos
Sustituyendo este resultado en la ecuación definida para la capacitancia, y usando el hecho que λ = Q/ L, obtenemos
262
Capacitores C = 2.68 × 10−9 F o
C = 2.68 nF
Note que a/b = 2a/2b. (b) Usando la definición de capacitancia, encontramos que la diferencia de potencial entre los dos conductores es
o
V = 3.02 kV
8.6. Tres capacitores C 1, C 2 y C 3, de 3µF cada uno, están inicialmente descargados. Se conectan como indica la figura, siendo la diferencia de potencial 1000 V. Posteriormente se conecta otro capacitor C 4 de la misma capacidad que los anteriores y que se ha cargado al mismo potencial V , siendo su armadura positiva unida al punto B.
a) Calcular la carga de cada capacitor después de conectar C 4. b) Hallar la variación de energía del sistema.
8.7. Cuatro capacitores se conectan como se muestra en la figura. (a) Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b. (b) Calcule la carga en cada capacitor si ∆V ab = 15.0 V Solución:
Capítulo 8. Capacitores
263
(a) Para encontrar la capacitancia equivalente entre a y b para la combinación de capacitores mostrados en la figura (a), reducimos la combinación paso a paso como se indica en las figuras de la (a) a la (d).
Los capacitores de 15.0 µF y de 3.00 µF están en serie, entonces su capacitancia equivalente C 5, es
⇒
C 5 =2.50 µF
Los capacitores de 2.50 µF y 6.00 µF están en paralelo, así que su capacitancia equivalente C 6, es C 6 = C 5 + C 3 = 2.50 µF + 6.00 µF = 8.50 µF Los capacitores de 8.50 µF y 20.0 µF están en serie, su capacitancia equivalente, que es también la capacitancia equivalente de la combinación de capacitores, será
⇒
C eq = 5.96 µF
(b) Para encontrar la carga y la diferencia potencial a través de cada capacitor, trabajamos al revés en las figuras (d) a (a). La carga en el capacitor de 5.96 µF es Q = C eqV ab = (5.96 µF)(15.0 V) = 89.5 µC Esta es la carga que fluye a a b para cargar los capacitores de 8.50 µF y 20.0 µF. Por lo tanto, la carga a través de estos capacitores es 89.5 µC. Q6 = 89.5 µC
y
Q4 = 89.5 µC
264
Capacitores
donde Q4 es la carga sobre el capacitor de 20.0 µF. Los capacitores de 2.50 µF y de 6.00 µF comparten una carga total de 89.5 µC. Para encontrar la carga total sobre cada uno de estos capacitores, primero encontramos la diferencia de potencial a través de cada uno de estos capacitores, que es igual que la diferencia potencial a través de su capacitor equivalente. Esto es porque los dos capacitores están en paralelo. Por lo tanto,
Por lo tanto, para el capacitor de 6.00 µF, Q3 = C 3V ac = (6.00 µF)(10.53 V)
⇒
Q3 = 63.2 µC
y para el capacitor de 2.50 µF, Q5 = C 5V ac = (2.50 µF)(10.53 V)
⇒ Q5 = 26.3 µC
Esta es la carga que fluye de a a c a través de los capacitores de 15.0 µF y 3.00 µF, que están en serie. Si Q1 es la carga en el capacitor de 15.0 µF, y Q2 es la carga en el capacitor de 3.00 µF, entonces Q1 = Q2 = 26.3 µC Debemos comprobar nuestros resultados para cerciorarnos que no hayamos cometido un error en nuestros cálculos. Las cargas en los capacitores de 2.50 µF y 6.00 µF deben sumar hasta 89.5 µC, lo cual es el caso puesto que 26.3 µC + 63.2 µC = 89.5 µC.
8.8. Dos capacitores iguales de capacidad 10 µF, conectados en paralelo, están cargados a una diferencia de potencial de 100 V. A continuación, introducimos un dieléctrico de εr = 3 entre las armaduras de uno de ellos. Explicar:
(a) ¿Cómo cambiará la carga en cada uno de los capacitores respecto a la situación de partida? (b) ¿Cómo cambiará la diferencia de potencial? (c) ¿Cómo cambiará la energía almacenada? (d) ¿Cómo se explica el cambio de energía teniendo en cuenta que debe cumplirse el principio de conservación de la energía?
Capítulo 8. Capacitores
265
8.9. (a) Un capacitor de 3.00 µF está conectado a una batería de 12.0 V. ¿Cuánta energía se almacena en el capacitor? (b) Si el capacitor hubiese estado conectado a una batería de 6.00 V, ¿cuánta energía se habría almacenado? Solución:
(a) La energía almacenada en un capacitor cuando una diferencia potencial V se aplica entre sus placas es dada por U = ½ CV 2. Así pues, cuando el capacitor está conectado con una batería 12 V, la energía almacenada en el capacitor es U = ½ CV 2 = ½ (3.00 × 10−6 F)(12.0 V) 2 = 2.16 × 10−4 J
o
U = 216 µJ
(b) Si el capacitor habría sido conectado con una batería de 6.00 V, la energía almacenada en el capacitor sería U ' = ½ CV ' 2 = ½ (3.00 × 10−6 F)(6.00V)2 = 5.40 × 10−5 J la cual es ¼ de su valor original.
8.10. Determinar la capacidad equivalente de la disposición de condensadores mostrada en la figura. Si el voltaje aplicado entre los puntos a y b es de 120 V, calcular la carga y la diferencia de potencial de cada condensador, así como la energía del sistema.
o
U ' = 54.0 µJ
266
Capacitores
8.11. Demuestre que la energía asociada a una esfera conductora de radio R y carga Q rodeada por el vacío es U = k e Q2 /2 R. Solución:
Encontraremos la energía asociada a la esfera conductora usando el concepto de la densidad de energía. Recuerde que si un campo eléctrico existe en cualquier punto en el espacio (vacío), podemos pensar en ese punto como el sitio de la energía almacenada por unidad de volumen, de ½ ε0 E 2. Dentro de la esfera conductora (r < R), el campo eléctrico es cero. En los puntos fuera de la esfera, una distancia r de su centro (r > R), el campo eléctrico E es equivalente al de una carga puntual situada en el centro de la esfera, y entonces
. La densidad de energía a cualquier radio r se encuentra de
Debido a que el campo eléctrico es esféricamente simétrico, imaginamos el espacio alrededor de la esfera que se compondrá de un número infinito de cáscaras esféricas concéntricas elementales, cada uno que tiene un radio r , un grueso dr , y un volumen dV = Adr (¡no voltaje!), donde A=4 π r 2 es el área superficial del casquete (vea la figura). La energía dU que permanece en este elemento de volumen es
Ya que
entonces
. Por lo tanto,
Capítulo 8. Capacitores
267
Debido a que el campo eléctrico es cero para r < R, obtenemos la energía total U en el campo eléctrico integrando de r = R a r = ∞:
⇒
Observe que éste es igual que el trabajo necesario para cargar una cáscara a una carga total Q trayendo cargas desde una gran distancia. Vea el problema 7.23.
8.12. Un capacitor está formado por dos placas de superficies 120 cm2, cada una, y sometidas a una diferencia de potencial de 200 V. Determinar qué fuerza hay que hacer en cada placa para mantenerlas separadas 2 cm.
−6 Resp. F = 5.3 ×10 N
8.13. Un capacitor comercial se construye como se muestra en la figura. Este capacitor particular se enrolla a partir de dos tiras de aluminio separadas por dos tiras de papel cubierto de parafina. Cada tira de lámina y de papel mide 7.00 cm de ancho. La lámina tiene un espesor de 0.00400 mm; el papel tiene un espesor 0.025 mm y una constante dieléctrica de 3.70. ¿Qué longitud deben tener las tiras si se desea una capacitancia de 9.50 × 10 −8 F? (Emplee la fórmula de placas paralelas.) Lámina metálica
Papel
268
Capacitores
Solución:
La capacitancia de un capacitor de placas plano paralelas sin un material dieléctrico entre sus placas fue encontrada por (véase la ecuación (2) en la solución (Conductor) al problema 8.3. (Dieléctrico)
donde A es el área de la placa y d es la separación de las placas. En la situación actual las placas son las láminas metálicas, cada una tiene un área A = wL. Cuando un dieléctrico llena totalmente la región entre las placas del capacitor, la capacitancia del capacitor aumenta en el factor κ . Es decir, la nueva capacitancia es
con la cual podemos calcular la longitud de las tiras lámina y de papel para tener la capacitancia deseada:
⇒
L = 1.04 m
Observe que la longitud de las tiras es independiente del grueso t de la hoja de metal y por lo tanto no entra en el cálculo de L.
8.14. Determinar la relación que existe entre las capacidades de dos capacitores si conectados en serie tiene una capacidad cuatro veces menor que conectados en paralelo.
Capítulo 8. Capacitores
269
8.15. Un capacitor de placas paralelas en aire tiene una separación de placas de 1.50 cm y un área de placas de 25.0 cm 2. Las placas están cargadas a una diferencia de potencial de 250 V y se encuentran desconectadas de la fuente. Después se sumerge el capacitor en agua destilada. Determine (a) la carga en las placas antes y después de la inmersión, (b) la capacitancia y el voltaje después de la inmersión, y (c) el cambio de la energía del capacitor. Ignore la conductancia del líquido. Se conoce que: κ = 80 = constante dieléctrica del agua Solución:
(a) La capacitancia de un capacitor de placas paralelas de área A, de separación entre placas d , y sin un material dieléctrico entre sus placas es
Por definición, C 0 = Q0/V 0, donde Q0 y V 0 representan la carga en las placas y la diferencia de potencial entre las placas antes de que el capacitor se sumerja en agua. Por lo tanto, Q0 = C 0V 0 = (1.475 × 10−12 F)(250 V) = 3.69 × 10−10 C Ya que las placas del capacitor se han desconectado de la fuente de potencial (batería), la carga sobre las placas del capacitor permanece igual después que el capacitor se sumerja en el agua, esto es Q = Q0 = 369 pC (b) Después de la inmersión, la capacitancia del capacitor se incrementa por el factor κ . Entonces, C = κ C 0 = (80)(1.475 × 10−12 F) = 1.18 × 10−10 F
⇒
C = 118 pF
y la diferencia potencial entre las placas del capacitor es
⇒
V = 3.13 V
(c) La energía almacenada en el capacitor antes de la inmersión es U 0 = ½ C 0V 02 = ½ (1.475 × 10−12 F)(250 V) 2 = 4.61 × 10−8 J y la energía almacenada en el capacitor después de la inmersión es U = ½ CV 2 = ½ (1.18 × 10−10 F)(3.13 V) 2 = 5.78 × 10−10 J = 0.0578 × 10−8 J
270
Capacitores
de modo que el cambio en la energía del capacitor es
∆U = U − U 0 = (0.0578 − 4.61) × 10−8 J = − 4.55 × 10−8 J
⇒
∆U = − 45.5 nJ
8.16. Encontrar la capacidad equivalente de los siguientes sistemas:
(a) C 1 = 2 µF, C 2 = 3 µF, C 3 = 9 µF
(b)
Resp.
Capítulo 8. Capacitores
271
8.17. Considere dos largos alambres paralelos y con cargas opuestas, de radio d y con sus centros separados por una distancia D. Suponiendo que la carga se distribuye de manera uniforme sobre la superficie de cada alambre, demuestre que la capacitancia por unidad de longitud de este par de alambres es
Datos: Dos largos alambres paralelos y con cargas opuestas. Asuma que la carga está distribuida uniformemente en la superficie de cada alambre. d = radio de cada alambre D = distancia entre los centros de los dos alambres Encontrar: C / = la capacitancia por unidad de longitud del par de alambres Solución:
El campo eléctrico una distancia r de un alambre de carga positiva de longitud infinita y de carga constante por la longitud de unidad λ fue encontrado por
perpendicular a la dirección del alambre. Esta ecuación fue derivada usando la ley de Gauss. Vea la ecuación 2 en la solución del problema 6.13. A lo largo de la línea que une los dos alambres el campo eléctrico debido al alambre positivamente cargado a está en la misma dirección que el del alambre negativamente cargado b. Por lo tanto, el campo eléctrico total en P es
Una vez que sepamos el campo eléctrico entre los dos alambres varía con distancia del primer alambre, podemos calcular la diferencia potencial entre los dos alambres, que se da por
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Capacitores
donde E x es el campo eléctrico entre los alambres, en la región de x = d a x = D − d (no hay campo eléctrico dentro de los alambres). Sustituyendo el valor de E x en esta expresión tenemos:
Este resultado indica que el alambre b está en un potencial más bajo que a. Para encontrar la capacitancia por unidad de longitud del par de alambres, aplicamos la definición de capacitancia C = Q/V , donde
es la magnitud de la diferencia potencial, una cantidad positiva. Usando el hecho de que λ = Q/ y k e = 1/(4π ε0), encontramos
⇒
8.18. Calcular la energía total almacenada en el siguiente sistema de capacitores:
Capítulo 8. Capacitores
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8.19. Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con espaciamiento s y área superficial A, como se muestra en la figura. La placa no necesariamente está a la mitad entre las placas del capacitor. ¿Cuál es la capacitancia del sistema? Solución:
Imaginémonos que el capacitor está cargado con una carga Q. Cualquier carga que aparezca en una placa del capacitor induce una carga de igual magnitud y diferente signo en el lado más cercano de la lámina, según lo mostrado en la figura. Debido a esto, la carga neta en la lámina es cero. El campo eléctrico dentro de la lámina, que es un conductor, es también cero. Por lo tanto, el capacitor con la lámina es eléctricamente equivalente a dos capacitores en serie. Los capacitores de arriba y de abajo tienen capacitancias
y donde A1 y A2 son las áreas de los capacitores de arriba y de abajo, respectivamente, y s1 y s2 son las separaciones entre las placas de los capacitores de arriba y de abajo, respectivamente. Como A1 = A2 = A, la capacitancia equivalente del sistema es
⇒
Pero, según lo visto de la figura, s1 + s2 = s − d . Por lo tanto, El resultado demuestra que la capacitancia del sistema es independiente de la posición de la lámina.
8.20. Disponemos de dos capacitores de 3 µF y 5 µF cargados a 500 V y 700 V respectivamente. Permaneciendo cargados se unen las placas del mismo signo. Determinar la diferencia de potencial que se establecerá y la carga de cada capacitor.
274
Capacitores
8.21. Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadradas de lados y separación d . Un material de constante dieléctrica κ se inserta a una distancia x dentro del capacitor, como se ilustra en la figura. (a) Encuentre la capacitancia equivalente del dispositivo. (b) Calcule la energía almacenada en el capacitor si la diferencia de potencial es ∆V . (c) Encuentre la dirección y magnitud de la fuerza ejercida sobre el dieléctrico, suponiendo una diferencia de potencial constante ∆V . Ignore la fricción. (d) Obtenga un valor numérico para la fuerza suponiendo que = 5.00 cm, ∆V = 2 000 V, d = 2.00 mm, y que el dieléctrico es vidrio ( κ = 4.50). (Sugerencia: el sistema puede considerarse como dos capacitores conectados en paralelo).
Solución:
(a) Cuando la lámina dieléctrica se inserta una distancia x en el capacitor original, la parte del capacitor llena de dieléctrico y la parte llena de aire, forman dos capacitores nuevos de placas paralelas. Ya que la diferencia potencial V ab a través del capacitor de placas paralelas de ancho x, de la constante dieléctrica κ y de área A1 es igual a la del capacitor lleno de aire de placas paralelas y ancho − x y área A2, el dispositivo es equivalente a los dos capacitores, C 1 y C 2, conectados en paralelo, donde
y de modo que
⇒
Capítulo 8. Capacitores
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(b) La energía almacenada en el capacitor en el instante que el dieléctrico se inserta una distancia x entre las placas del capacitor es (1
⇒
)
(c) Hay un aumento en la energía almacenada en el capacitor como resultado de la inserción de la lámina dieléctrica (véase la solución al problema 8.25). Según el principio de conservación de la energía, el cambio en la energía electrostática dU producida por la inserción de la lámina una distancia dx en el capacitor debe venir del trabajo producido por todas las fuerzas externas: el trabajo Vdq realizado por la fuente (por ejemplo, una batería) que mantiene las placas del capacitor a un potencial fijo V mas el trabajo Fdx requerido por un agente externo para insertar la lámina en el capacitor. (Las cargas sobre las placas ejercen fuerzas de atracción en las cargas inducidas del dieléctrico.) Es decir, dU = Vdq + Fdx
(2)
De la Ecuación (1):
(3) En el instante que el dieléctrico se inserta una distancia x en el capacitor, la carga en el capacitor es
Esta carga aumenta (véase la solución al problema 8.25) en una cantidad dq mientras que la lámina se inserta una distancia infinitesimal dx. El aumento en carga es
(4)
Sustituyendo las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (2) da
⇒ El signo negativo que aparece en esta ecuación indica que la dirección de la fuerza ejercida por el agente que inserta la lámina dieléctrica en el capacitor debe ser opuesto al del desplazamiento de la lámina. El campo eléctrico no uniforme cerca de los bordes del capacitor de placas paralelas hace que la lámina sea jalada en el capacitor. El agente externo que inserta la lámina debe por lo tanto ejercer una fuerza que la frene para insertarla sin aceleración. La magnitud de esta fuerza que frena es
276
Capacitores
(d) Sustituyendo los valores dados en la ecuación precedente encontramos
⇒
F = 1.55 × 10−3 N
8.22. Una superficie metálica cilíndrica muy larga de radio R1 y carga +q está rodeada por otra concéntrica también cilíndrica de radio R2 y carga – q. Entre ellas existe un dieléctrico de permitividad 3ε0. Si la longitud de las superficies cilíndricas es L, determinar: a) La capacidad del capacitor descrito. b) La densidad superficial de carga junto al conductor interior.
8.23. En el arreglo mostrado en la figura se aplica una diferencia de potencial ∆V , y C 1 se ajusta de modo que el voltímetro entre los puntos b y d lea cero. Este "balance" ocurre cuando C 1 = 4.00 µF. Si C 3 = 9.00 µF y C 4 = 12.0 µF, calcule el valor de C 2. Solución:
Cuando el voltímetro entre los puntos b y d lee cero, ninguna carga lo atraviesa, y el potencial del punto b es igual que del punto d , es decir, V b − V d = V bd = 0. En este caso,
Capítulo 8. Capacitores
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V bc = V dc
o
⇒
V ab = V ad
o
⇒
(1)
(2)
Ya que los capacitores C 1 y C 2 están en la serie , Q1 = Q2 , y los capacitores C 3 y C 4 están en serie , Q3 = Q4. Por lo tanto, de ecuaciones (1) y (2),
⇒
⇒
C 2 = 3.00 µF
8.24. Se rellena un capacitor de placas paralelas, de área A y separación entre sus placas d , con dos dieléctricos de igual tamaño de área A/2 y espesor d . Demostrar (a) que este sistema puede considerarse como dos capacitores de área A/2 conectados en paralelo, y (b) que la capacitancia se ve aumentada en el factor (κ 1 + κ 2)/2.
8.25. Un capacitor de placas paralelas con separación de placas d se carga hasta una diferencia de potencial ∆V 0. Una lámina dieléctrica de espesor d y constante dieléctrica κ se introduce entre las placas mientras la batería permanece conectada a éstas. (a) Muestre que la proporción entre la energía almacenada después de que el dieléctrico se introduce y la energía almacenada en el capacitor vacío es U /U 0 = κ . Proporcione una explicación física para este aumento en la energía almacenada. (b) ¿Qué sucede con la carga del capacitor? (Advierta que esta situación no es la misma a la cual la batería se quita del circuito antes de introducir el dieléctrico.) Solución:
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Capacitores
(a) Antes de introducir la lámina dieléctrica, la capacitancia del capacitor es C 0 y la energía U 0 almacenada en el capacitor vacío es U 0 = ½ C 0V 02 Después de que la lámina dieléctrica se introduzca entre las placas, la capacitancia C es aumentada en un factor κ . Es decir, C = κ C 0 y la energía almacenada en el capacitor con el dieléctrico es U = CV 2 del ½ = ½ (κ C 0) V 02 = κ (½ C 0V 02) = κ U 0 donde V = V 0 porque la batería permanece conectada a las placas (es decir, la diferencia de potencial entre las placas permanece constante). Por lo tanto, el cociente de la energía almacenada después de que la lámina dieléctrica se introduzca entre las placas a la energía almacenada en el capacitor vacío es U /U 0 = κ . El aumento en la energía almacenada viene del trabajo eléctrico hecho por la batería, pues la nueva carga fluye sobre el capacitor para mantener V 0 constante. (b) La carga Q del capacitor después de que se haya insertado la lámina dieléctrica es Q = CV = (κ C 0) V 0 = κ (C 0V 0)
⇒
Q = κ Q0
donde Q0=C 0V 0 es la carga del capacitor antes de que la lámina dieléctrica fuera insertada entre las placas. Este resultado demuestra que la carga aumenta en un factor κ como resultado de la inserción de la lámina dieléctrica.
8.26. Tres capacitores tienen capacitancias 2.0, 4.0 y 8.0 μF. Hallar la capacitancia equivalente (a) si los capacitores están en paralelo y (b) si están en serie.
8.27. En la figura se muestra un capacitor variable de aire del tipo empleado para sintonizar aparatos de radio. Están conectados entre si placas alternadas, un grupo fijo en posición y d
Capítulo 8. Capacitores
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el otro con posibilidad de rotación. Considere un grupo de N placas de polaridad alterna, cada una de ellas con un área A y separadas de las placas contiguas por una distancia d . Demuestre que este capacitor tiene una capacitancia, máxima de: C =
( N − 1) ε 0 A d
Solución:
De acuerdo al gráfico podemos ver que se forman N − 1 capacitores con un área de solapamiento variable. Cada uno de estos capacitores tiene una capacitancia C 1
=
ε0 π − θ A d π
donde θ es el ángulo formado en el área sin solapamiento. Ya que se forma un sistema de N − 1 capacitores en paralelo, la capacitancia equivalente es la suma de las capacitancias individuales, así C equivalent e
=
( N −1)ε0 d
π − θ A π
De acuerdo a esta ecuación, la capacitancia será máxima cuando θ sea igual a cero, entonces C =
( N − 1) ε 0 A d
PROBLEMAS ADICIONALES 8.28. (a) Si un capacitor de placas planas paralelas tiene una separación de 0.15 mm, ¿cuál deberá ser su área para que tenga una capacitancia de 1.0 F? (b) Si las placas son cuadradas, ¿cuál es la longitud de su lado?
280
Capacitores
Resp. (a) 1.69 × 107 m2, (b) 4.12 × 103 m.
8.29. Un capacitor de placas planas paralelas tiene una capacitancia de 2.0 μF y la separación entre sus placas es de 1.6 mm. (a) ¿Qué diferencia de potencial puede establecerse entre las placas antes de que se produzca la ruptura dieléctrica del aire? ( E MAX = 3.0 MV/m) (b) ¿Cuál es el valor de la carga máxima que puede almacenar el capacitor antes de que se produzca la ruptura dieléctrica?
8.30. La membrana del axón de una célula nerviosa es una delgada capa cilíndrica de radio R = 10−5 m, longitud L =0.1 m, y espesor d = 10−8 m. La membrana tiene una carga positiva sobre uno de sus lados y una carga negativa sobre el otro y actúa como un capacitor de placas paralelas de área A = 2 π RL y separación d . Su constante dieléctrica es aproximadamente κ = 3.0. (a) Determinar la capacitancia de la membrana. Si la diferencia de potencial a través de la membrana es 70.0 mV, determinar (b) la carga sobre cada lado de la membrana y (c) el campo eléctrico a través de la membrana.
Resp. (a) 1.67 × 10−8 F, (b) 1.17 × 10−9 C, (c) 7.00 × 106 V/m.
8.31. Un capacitor posee placas rectangulares de longitud a y ancho b. La placa superior está inclinada un pequeño ángulo. La separación de las placas varía de d 0 hasta 2 d 0, siendo d 0 menor que a o b. Calcular la capacitancia utilizando bandas de ancho d x y de longitud b que actúan como capacitores diferenciales aproximados de área b d x y separación d = d 0 + (d0/a) x conectados en paralelo.
Capítulo 8. Capacitores
281
8.32. Dos placas paralelas poseen cargas +Q y – Q. Si el espacio entre las placas está desprovisto de materia, el campo eléctrico es de 2.5 × 105 V/m. Cuando el espacio se llena con un dieléctrico determinado, el campo se reduce a 1.2 × 105 V/m. (a) ¿Cuál es la constante dieléctrica del dieléctrico? (b) Si Q = 10.0 nC, ¿cuál es el área de las placas? (c) ¿Cuál es la carga total inducida en cada una de las caras del dieléctrico?
Resp. (a) 2.08, (b) 45.2 cm2, (c) 5.2 nC.
8.33. Cierto dieléctrico de constante κ = 24.0 puede resistir un campo eléctrico de 4.0 × 107 V/m. Con este dieléctrico se quiere construir un capacitor de 0.1 μF que pueda resistir una diferencia de potencial de 2.0 kV. (a) ¿Cuál es la distancia de separación entre las placas?, (b) ¿Cuál debe ser el área de las placas?
Resp. (a) 5.0 × 10−5 m, (b) 235 cm2.
8.34. Un capacitor de placas planas paralelas rectangulares de longitud a y ancho b posee un dieléctrico de igual ancho insertado parcialmente una distancia x entre las placas. (a) Determinar la capacitancia en función de x. Despreciar los efectos de los bordes. (b) Comprobar que la respuesta ofrece los resultados esperados para x = 0, y x = a.
282
Capacitores
Resp. (a) Ce = ε0 b[(κ − 1) x + a]/d , (b) Para x = 0, Ce = ε0 ba/d ; para x = a, Ce = ε0baκ/d .
8.35. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas de 2.0 m2 de área y una separación de 1.0 mm. Se carga hasta 100 V. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico existente entre las placas? (b) ¿Cuál es la energía por unidad de volumen en el espacio situado entre las placas? (c) Hallar la energía total multiplicando la respuesta dada a la parte (b) por el volumen entre las placas. (d) Hallar la capacitancia C . (e) Calcular la energía total a partir de U = C V 2/2 comparando el resultado con el de la parte (c).
Resp. (a) 105 V/m, (b) 0.0443 J/m3, (c) 8.85 × 10−5 J, (d) 1.77 × 10−8 F, (e) 8.85 × 10−5 J.
8.36. Un capacitor de placas paralelas tiene unas placas de 600 cm 2 de área y una separación de 4.0 mm. Se carga hasta 100 V y luego se desconecta de la batería. (a) Hallar el campo eléctrico E 0, la densidad de carga σ y la energía potencial electrostática U . Se inserta en su interior un dieléctrico de constante κ = 4.0 que rellena por completo el espacio situado entre las placas. (b) Hallar el nuevo campo eléctrico E y (c) la diferencia de potencial V . (d) Hallar la densidad de carga ligada.
8.37. Un capacitor de 20.0 pF se carga hasta 3.0 kV y luego se conecta en paralelo a un capacitor descargado de 50.0 pF. (a) ¿Qué carga adquiere cada uno de los capacitores? (b) Calcular la energía inicial almacenada en el capacitor de 20.0 pF y la energía final almacenada en los dos capacitores. ¿Se pierde o se gana energía al conectar los dos capacitores?
Capítulo 8. Capacitores
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Resp. (a) En el capacitor de 20.0 pF la carga es de 1.71 × 10 −8 C; en el capacitor de 50.0 pF es de 4.29 × 10−8 C, (b) La energía inicial es de 9.00 × 10−5 J; la energía final es de 2.57 × 10−5 J; se pierde energía al conectar los capacitores.
8.38. Dos capacitores de capacitancias C 1 = 4.0 μF y C 2 = 12.0 μF se encuentran conectados en serie y alimentados por una batería de 12.0 V. Se desconectan cuidadosamente sin que se descarguen y se conectan en paralelo uniendo sus lados positivos y sus lados negativos. (a) Calcular la diferencia de potencial a través de cada uno de los capacitores después de ser conectados. (b) Hallar la energía inicial y final almacenada en los capacitores.
8.39. A un capacitor de placas paralelas de área A y separación x se le suministra una carga Q y luego se separa de la fuente de carga. (a) Hallar la energía electrostática almacenada en función de x. (b) Hallar el aumento de energía dU debido al aumento de la separación de las placas d x a partir de dU = (dU /d x) d x. (c) Si F es la fuerza ejercida por una placa sobre la otra, el trabajo realizado para mover una placa la distancia d x es F d x = dU . Demostrar que F = Q2/2ε0 A. (d) Demostrar que la fuerza hallada en la parte (c) es igual a EQ/2, siendo E el campo eléctrico entre las placas. Estudiar la razón que justifique la presencia del factor ½ en este resultado.
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Capacitores
8.40. Un capacitor de 2.0 μF se carga a una diferencia de potencial de 12.0 V y a continuación se desconecta de la batería. (a) ¿Cuánta carga tienen sus placas? (b) Cuando se conecta un segundo capacitor (inicialmente sin cargar) en paralelo a este capacitor, la diferencia de potencial disminuye hasta 4.0 V. ¿Cuál es la capacitancia del segundo capacitor?
Resp. (a) 24.0 μC, (b) 4.0 μF.
8.41. Se conectan tres capacitores idénticos de modo que su capacitancia máxima equivalente es de 15.0 μF. (a) Describir esta combinación. (b) Hallar las otras tres combinaciones posibles utilizando siempre los tres capacitores y sus capacitancias equivalentes.
Capítulo 8. Capacitores
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Resp. (a) En paralelo los capacitores de 5.0 μF, (b) 10/3 μF, 7.5 μF, y 5/3 μF.
8.42. Cuatro capacitores iguales de 30 µF se conectan según la figura. Determinar la capacidad equivalente del conjunto, la diferencia de potencial a que está sometido, y la carga que almacena cada capacitor si conectamos los puntos A y B a una diferencia de potencial de 500 V.
8.43. Demostrar que las placas de un capacitor se atraen con una fuerza de magnitud F = Q 2/(2ε0A) (Sugerencia: calcular el trabajo para aumentar la separación entre las placas, de x hasta x + dx.) Entonces el trabajo realizado en separar las placas cargadas es W = F dx.
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Capacitores
8.44. Un capacitor de 1.0 μF se conecta en paralelo con un capacitor de 2.0 μF y la combinación se conecta a la vez en serie con otro capacitor de 6.0 μF. ¿Cuál es la capacitancia equivalente de esta combinación?
Resp. 2.0 μF
8.45. Un capacitor de 0.30 μF se conecta en serie al paralelo de los capacitores de 1.0 μF y 0.25 μF. La combinación está conectada a una batería de 10.0 V. Calcular (a) la capacitancia equivalente, (b) la carga en cada uno de los capacitores, y (c) la energía total almacenada.
8.46. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas con área A y separación entre ellas d . Se inserta entre las placas una lámina metálica de espesor t y área A. (a) Demostrar que la capacitancia viene dada por C = ε0 A/(d − t ), independiente del sitio en donde se coloque la lámina de metal. (b) Demostrar que este dispositivo puede considerarse como un capacitor de separación a en serie con otro de separación b, siendo a + b + t = d.
Capítulo 8. Capacitores
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8.47. Un capacitor de placas paralelas de área A y separación d se carga hasta una diferencia de potencial V y luego se separa de la fuente de carga. Se inserta entonces una lámina dieléctrica de constante κ = 2.0, espesor d y área A/2. Suponiendo que σ 1 es la densidad de carga libre en la superficie del conductor-dieléctrico y σ2 la densidad de carga en la superficie conductor-aire. (a) ¿Por qué debe tener el campo eléctrico el mismo valor en el interior del dieléctrico que en el espacio libre entre las placas? (b) Demostrar que σ1 = 2 σ 2. (c) Demostrar que la nueva capacitancia es 3ε0 A/2d y que la nueva diferencia de potencial es 2V /3.
