I. PENDAHULUAN I.1. LATAR BELAKANG
Geometri Geometri adalah struktur struktur matematika matematika yang membicarakan membicarakan unsur unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak abstrak yang yang menjad menjadii unsur unsur dasar dasar geomet geometri. ri. Berdasa Berdasarka rkan n unsurunsur-un unsur sur inilah inilah,, didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya. Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak tidak berdas berdasark arkan an sifat-s sifat-sifat ifat yang yang mendah mendahulu uluiny inyaa yaitu yaitu aksiom aksiomaa dan posula posulat. t. Aksiom Aksiomaa adalah adalah suatu suatu pernya pernyataa taan n yang yang kebena kebenaran rannya nya diterim diterimaa tanpa tanpa melalu melaluii pembuktian pembuktian.berda .berdasarkan sarkan sifat pokok pokok tersebut tersebut dapat diturunkan diturunkan sifat-sifat sifat-sifat yang dise disebu butt deng dengan an dali dalil. l. Dalil Dalil ters terseb ebut ut dapa dapatt juga juga dibe dibent ntuk uk berd berdas asar arka kan n dali dalill sebelu sebelumny mnya. a. Dalil Dalil merupa merupakan kan sebuah sebuah perny pernyataa ataan n yang yang kebena kebenaran rannya nya dapat dapat diterima melalui serangkaian pembuktian. Simb Simbol ol atau atau lamb lamban ang g meru merupa paka kan n alat alat bant bantu u yang yang meng mengan andu dung ng suat suatu u pengertian. pengertian. Suatu lambang lambang tertentu tertentu digunakan digunakan untuk untuk menyatakan menyatakan hal tertentu tertentu sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam lambang. lambang. Seperti titik dilambangk dilambangkan an dengan dengan hurup kapital kapital misalnya misalnya A, B, C dan seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau dapat juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti AB (dibaca: garis AB), dan lambang-lambang yang lain seperti AB yang menunjukkan segmen AB. Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan ahli ahli logika logika ternama ternama,, bergan bergantun tung g sepenu sepenuhny hnyaa pada pada pembuk pembuktia tian n menggu menggunak nakan an gambar. Bagaimana perubahan dalam perilaku ini bisa diatasi? Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontoversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut :
Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o , garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut. Seja Sejarah rah pent pentin ingn gnya ya post postul ulat at seja sejajar jar ters terseb ebut ut dida didasa sark rkan an pada pada pera peran n pen penti ting ngny nyaa dala dalam m teori teori Eucl Euclid id.. Oleh Oleh karen karenaa itu, itu, perta pertama ma dimu dimula laii deng dengan an mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai dengan dengan hasil kerjanya kerjanya yang sekarang, sekarang, sehingga sehingga banyak dipakai di berbagai berbagai buku pelajaran.
I.2. RUMUSAN MASALAH
Mengingat akan sifat makalah ini, dirumuskan masalah sebagai berikut : 1). Bagaimana Bagaimana struktur struktur geometri bidang bidang Euclid dan kaitannya kaitannya dengan postulat postulat sejajarnya? 2). 2). Apa Apa yang yang dapa dapatt menj menjad adii post postul ulat at peng pengga gant ntii post postul ulat at seja sejaja jarr Eucl Euclid id dan dan bagaimana postulat tersebut bisa dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid? 3) Bagaim Bagaimana ana perana peranan n pentin pentingny gnyaa postul postulat at sejajar sejajar Euclid Euclid dalam dalam pembuk pembuktia tian n geometri? 4). Bagaimana pembuktian ahli logika lainnya tentang postulat sejajar Euclid?
I.3. TUJUAN
Berdasarkan Berdasarkan dari latar belakang dan rumusan rumusan masalah maka penulis penulis dalam makalah makalah ini bermaksud bermaksud untuk untuk menunjukka menunjukkan n kebenaran kebenaran postulat postulat sejajar sejajar Euclid Euclid dalam dalam pembuk pembuktia tian n geomet geometri ri berdas berdasark arkan an garis garis tranve tranversa rsalny lnyaa dan bukti-b bukti-bukt uktii penting lainnya dalam mempertahankan postulat Euclid tersebut.
II. MATERI GEOMETRI II.1 II.1 EUCLI EUCLID D
Euclid adalah seorang matematikawan yang berasal dari Yunani. Beliau sang sangat at terk terken enal al lewa lewatt
pene penemu muan an-p -pen enem emua uann nnya ya di bida bidang ng geom geomet etri ri dan dan
dikumpulkan dalam karyanya yang berjudul “the element”. Euclid ini adalah salah satu murid dari akademi Plato di Athena. Euclid lahir sekitar tahun 330 SM dan meninggal sekitar 260 SM. Tahun tersebut hanya perkiraan karena tidak adanya sumber sumber yang yang layak layak diperc dipercaya aya.. Ada sumber sumber yang yang menyeb menyebutk utkan an bahwa bahwa Euclid Euclid hidup antara tahun 330 – 275 SM. Tidak ada catatan tentang tempat dan tanggal kelahi kelahiran ran Euclid Euclid secara secara pasti, pasti, serta serta sediki sedikitt yang yang diketa diketahui hui tentan tentang g kehidu kehidupan pan prib pribad adin inya ya.. Namu Namun n pada pada masa masa peme pemeri rint ntah ahan an Ptol Ptolem emy y I, Eucl Euclid id meng mengaj ajar ar matematika di Alexandria, Mesir. Pada era Euclid matematika lebih dikenal sebagai sains dan bukan mistik. Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid Euclid,, ahli ahli ilmu ilmu ukur ukur Yunani Yunani yang yang besar. besar. Euclid Euclid dapat dapat disebu disebutt juga juga sebaga sebagaii mate matema mati tika kawa wan n utam utama. a. Dia Dia dike dikena nall karen karenaa peni pening ngga galan lanny nyaa beru berupa pa kary karyaa matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru guru mate matema matik tikaa sepa sepanj njan ang g masa masa dan dan matem matemati atika kawa waan an terb terbes esar ar Yuna Yunani ni.. Arti penting buku The Elements tidaklah tidaklah terletak terletak pada pernyataan pernyataan rumus-rumu rumus-rumuss pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu suda sudah h pern pernah ah ditu dituli liss oran orang g sebe sebelu lumn mnya ya,, dan dan juga juga suda sudah h dapa dapatt dibu dibukt ktik ikan an kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permas permasala alahan han serta serta formul formulasi asinya nya secara secara menyel menyeluru uruh h dalam dalam perenc perencana anaan an penyusunan buku. Di sini yang paling utama adalah pemilihan dalil-dalil serta perh perhit itun unga gan-p n-per erhi hitu tung ngan anny nya. a. Sesu Sesuda dah h itu itu deng dengan an cerm cermat at dan dan hati hati-h -hati ati dia dia mengatur dalil sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Dia pun menyed menyediak iakan an petunj petunjuk uk cara pemeca pemecahan han hal-hal hal-hal yang yang belum belum terpecah terpecahkan kan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perl Perlu u
dicat icatat at
bah bahwa
buku uku
The
Elem Elemen ents ts
selai elain n
teru teruta tama ma
meru merup pakan akan
pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan merupakan textbook yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua textbook yang pernah dibuat orang sebelumnya. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak. Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh daripada risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. Buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak. Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku kesohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza. Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan dengan rumus Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan
masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar “Lubang hitam” dan bintang neutron misalnya di mana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah. Ptolemy mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes. Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid. Selanjutnya jawaban tersebut memberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian. Euclid banyak menulis buku, diantaranya yang terkenal dan masih tersimpan, antara lain: a.
The Elements , pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri.
b.
The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah geometris; dan terkait dengan jilid ke-4 buku The Elements.
c.
On Divisions of Figures , menyangkut pembagian bidang geometris menjadi dua atau lebih bagian yang sama atau dengan rasio tertentu.
d.
Catoptrics , menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar pada cermin cekung.
e. Phaenomena, f.
sebuah risalah astronomi bola.
Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu Euclid mengikuti tradisi Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Hal-hal yang dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di bawah sudut yang
lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah sudut yang sama adalah sama. Kelemahan-kelemahan dalam rumus Euclid kemudian dibenahi oleh beberapa ahli dan timbul beberapa versi revisi sistem Aksioma Euclide oleh Playfair dan Hilbert. Hilbert menemukan bahwa sejumlah asumsi Euclid telah gagal membuat pemecahan yang eksplisit. Sebuah formulasi penuh dari aksioma yang diperlukan untuk pengembangan geometri Euclidean yang sekarang tersedia. Hal ini jauh lebih rumit, dan jauh lebih sedikit dimengerti, dibandingkan presentasi Euclid, dan kita harus bertanya pada diri sendiri apa sebenarnya apa yang dimaksud aksioma titik. Euclid berasumsi bahwa ia perlu untuk membuktikan teorema geometris. Sedangkan Hilbert membuat semua asumsi yang benar-benar eksplisit dan menghasilkan bukti yang sah secara berurutan. Presentasi Euclid dapat dipahami dan memiliki daya tarik intelekual yang besar sedangakan Hilbert sukar untuk dipahami kecuali untuk mereka yag sudah tahu tentang geometri. Hilbert menganggap telah melakukan pekerjaan yang tepat dan Euclid tidak dapat melakukan dengan sempurna. Hilbert bekerja dari sudut pandang formalis. Di luar logika formal, pendekatan aksiomatik Euclid lebih baik daripada Hilbert. Geometri Euclidean dibutuhkan untuk membedakan ciri khas geometri dengan yang lain.
II.2 LIMA AKSIOMA
Program Plato itu belum sempurna. Euclid sebagai salah satu murid dari akademi
Plato
di
Athena
memperbarui bersama
dengan
Eudoxus
dan
menghasilkan lima aksioma atau postulat khusus yang dalam bahasa Yunani (aitemata) yang artinya (koinai ennoiai), misalnya jika a sama dengan b, dan b sama dengan c, maka a sama dengan c. Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorema ("penyataan benar") adalah diambil daripada satu bilangan aksioma-aksioma yang terhingga. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik , di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya
Elemen , Euklid memberikan 5 postulat: a.
Untuk menggambar sebuah garis lurus dari setiap titik ke titik yang lain
b.
Untuk mengahsilkan sebuah garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dalam garis lurus.
c. Untuk menggambarkan sebuah lingkaran dengan pusat lingkaaran dan diameter. d.
Semua sudut siku-siku itu kongruen.
e.
Jika garis lurus memotong pada dua garis lurus membentuk sudut dalam pada sisiyang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua baris lurus, jika dibuat tanpa batas waktu dan bertemu maka sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku tersebut. Ada beberapa pendapat yang menyatakan tentang aksioma yang dituliskan
oleh Euclid baik dalam zaman kuno maupun pada zaman modern dengan harapan bahwa aksioma tersebut menjadi lebih jelas dan benar. Pendapat tersebut antara lain: a. Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan (Playfair) b.
Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan jumlah dua sudut siku-siku.
c.
Pendapat lain yang mungkin sama untuk memberikan pendapat dan apapun ukurannya terserah (Wallis).
d.
Ada dua segitiga yang tidak sama dan memiliki sudut yang sama(Saccheri dan Plato)
e.
Dalam segitiga siku-siku, sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya. (Phytagoras). Pendapat Playfair mendekati Euclid dan dianggap sebagai versi modern
yang secara eksplisit menyebutkan garis paralel dan disebut sebagai
"dalil
paralel". Jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut yang siku-siku. Jauh lebih signifikan adalah aksioma tentang segitiga yang diajukan dalam bentuk yang lebih kuat oleh John Wallis, seorang don Oxford dari abad ketujuh belas dan Geralamo Saccheri, seorang imam Yesuit pada abad kedelapan belas. Menurut Wallis aksioma (3) dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.
Argumen lain, dalam gambar 2.2.2 menunjukkan bahwa 'Teorema Pythagoras” mudah dibuktikan dengan cara segitiga serupa. Kita mungkin bertanya dengan bukti Euclid 's "windmill" dari proposisi-nya mengapa Euclid disukai banyak bukti nya lebih rumit. Jawabannya terletak pada asumsi terakhir dalam bukti yang diberikan di gambar 2.2.2, dan akibat adanya kesulitan besaran tidak dapat dibandingkan, sendiri didirikan sebagai konsekuensi dari teorema Pythagoras. Pendapat Meno menunjukkan bahwa diagonal dari persegi memiliki 2
panjang
2
dari sisi. Tapi
, seperti Pythagoras atau salah seorang
pengikutnya tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua seluruh angka, dan pendekatan segitiga yang serupa, yang mengatakan bahwa: “rasio dari sisi dalam
segitiga yang sama adalah sama”.
Gambar 2.2.1 Bukti Segitiga
dari Wallis: Misalkan ABC segitiga. Misalkan
segitiga AFE = segitiga ABC dan setengah ukurannya. Maka: AF AB
AE =
AC
FE =
BC
1 =
2
Jadi, AF = FC dan AE = EB. Misalkan BD = DC, maka EF = BD = DC Kemudian segitiga ΔFED
≈
ΔABC, dimana ED =
1 2
AC = AF. Jadi dalam
ΔEFD dan ΔBDE, EF = BD, DF = BE, dan ED berimpitan. Jadi ΔEFD = ΔBDE, dan =
∠ DEF
∠ DFE].
=
∠ EDB.
Jadi
Tapi
∠ ABC
+
∠ BCA
∠ BCA
+
=
∠ EFA
∠ CAB
dan
∠ CAB
=
∠ CFD,
[Dan
∠ ABC
= 180 °.
Kemudian Euclid dalam teorinya tentang proporsi yang diantisipasi Dedekind tentang definisi dari bilangan real, namun dalam eksposisi geometrisnya disukai secara teknis walaupun lebih rumit tetapi secara konseptual kurang. Pendekatan yang tidak bersangkutan dengan segitiga sama sama sekali.
Sebuah pendapat di Gorgias menunjukkan bahwa Plato berpikir tentang segitiga yang sama pada waktu ia sedang berusaha untuk membangun dasar geometri. Dalam Gorgias 508a5-7 ia membedakan "Geometris" dari "aritmatika" yang pertama hanya proporsional, sedangkan yang kedua adalah kesetaraan yang ketat. Aristoteles mengambil perbedaan dalam Nicomachean Ethics-nya, dalam bukunya Politik dan membuat dasar tafsir kesamaan distributif.
Gambar 2.2.2 Bukti Pythagoras dengan Segitiga yang sama: Misalkan: ΔABC dengan sudut siku-siku di B. Gambarkan garis tegak lurus dari B keAC di D. Lalu ΔADB ≈ ΔABC dan ΔBDC ≈ AD
=
ΔABC. Jadi AB
AB AC .
AD.AC = AB2 DC
Dan BC
=
BC AC
DC.AC = BC 2 .
Jadi (AD + DC).AC = AB 2 + BC2. Jadi AC2 = AB2 + BC2. [Kami mengasumsikan bahwa sudut Δ berjumlah 180°, dan AD/AB dan Δ yang lainnya juga sama]. Plato tentang
dan
konsep
Aristoteles
kesamaan,
dan
melihat kesamaan
bahwa yang
ada
universalitas
mengharuskan
kami
memperlakukan sama. Plato berpendapat, diperlukan perlakuan yang sama seperti pada kasus yang sama, tetapi diberi perlakuan berbeda pada kasus berbeda. "Geometris kesetaraan " dicetuskan oleh Plato dan Aristoteles untuk mendasari prinsip bahwa harus ada kesamaan perlakuan untuk semua dengan perbedaan
perlakuan aktual pada keadaan yang berbeda. Setiap orang harus diberi bagian yang sama, kata Aristoteles, tetapi mereka adalah bagian yang sama sebanding dengan (Axia) jasa mereka, dan tergantung pada keadaan. Ini berbeda dengan pendapat egalitarian fifthcentury Athena, dan memiliki konsekuensi penting bagi politik berpikir di dunia kuno. Bukti Teorema Pythagoras 'adalah puncak dari Euclid's buku pertama, dan telah menunjukkan bagaimana hal itu dapat dibuktikan tidak hanya dari kelima postulat Euclid sendiri melainkan dari proposisi Wallis ' tentang segitiga serupa. Itu wajar untuk bertanya apakah pada gilirannya dapat dibuktikan dari teorema Pythagoras 'diambil sebagai kebenaran. Hal ini paling mudah untuk menunjukkan aksioma Saccheri’s (d), bahwa diberikan Proposisi Pythagoras, harus ada dua segitiga yang sama bentuk tetapi ukuran yang berbeda.
Gambar 2.2.3 Bukti Saccheri dari Pythagoras: Misalkan
∠ ABC
adalah sudut siku-suku di B, misalkan BA = CB.
Perpanjang CB hingga D, sehingga BD = CB. Kemudian ΔABC = ΔABD; sehingga AD = AC dan ΔABC = ΔDBA,
∠ BAC
=
∠ BDA
∠ BAD.
Dengan menggunakan rumus Pythagoras: AC2
AD 2
=
BA 2
=
2CB2
=
BA 2
=
+ CB
+ BD
2BD 2 2
2
AC2
+ AD
Jadi
∠ CAD
=
2
2CB2
= CD
2
adalah sudut siku-siku, dan
∠ ABC ≈ ∠ CAD.
=
∠ BCA,
dan
Ini hanya sedikit
lebih rumit dan diserahkan kepada pembaca-
untuk memberikan prosedur untuk membangun sebuah segitiga ukuran sewenangwenang mirip dengan segitiga yang diketahui. Kenyataan bahwa proposisi Pythagoras, bukannya diambil sebagai Teorema harus dibuktikan dari aksioma Euclid's, dengan menggunakan aksioma karakteristik geometri yang menunjukkan bahwa kita dapat mengubah nama geometri Euclidean "Pythagoras geometri". Meskipun Euclid, bersama dengan Plato dan Eudoxus, bertanggung jawab secara sistematis sebagai teori aksiomatik, kita perlu memandang proposisi Pythagoras dari beberapa sudut pandang yang paling khas dan mendasar. Formulasi alternatif yang mendalilkan kelima ppostulat Euclid kurang praktis dan mungkin lebih diterima versi Euclid sendiri.
Tentu Teorema
Pythagoras 'masih jauh dari benar, sehingga harus dibuktikan. Bahkan, tidak ada dari formulasi alternatif yang benar-benar jelas, dan tampaknya membutuhkan beberapa pembenaran lebih lanjut. Wallis dan Saccheri sedang mencari penyelesaian yang lebih baik, Saccheri mengabiskan bertahun-tahun untuk mencoba membuktikan kelima postulat dengan mereduksi dan penyerapan, asumsi itu menjadi salah dan mencoba mendapatkan kontradiksi. Usaha ini gagal, tetapi dalam perjalanannya menemukan non-Euclidean geometri. Teorema geometri non-Euclidean membawa mereka ke Saccheri yang lebih masuk akal, meskipun ia tidak bisa memperoleh sebuah inkonsistensi yang formal, tetapi meskipun aneh, mereka benar-benar cukup konsisten, dan kemudian diakui menjadi teorema non-Euclidean geometri,yang akan disebut sebagai geometri "hiperbola”.
II. 3. GEOMETRI NON-EUCLIDEAN
Sekitar tahun 1830 (Abad ke Sembilan Belas), matematikawan Hongaria, János Bolyai dan matematikawan Rusia, Nikolai Lobachevsky secara terpisah menerbitkan
risalah
tentang
geometri
hiperbolik.
Akibatnya,
geometri
hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Sementara
Lobachevsky
menciptakan
geometri
non-Euclidean
dengan
meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua
Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja. Jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik. Selanjutnya Playfair membuat postulat "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus
yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan." Postulat sejajar Riemann : “Tidak ada garis yang sejajar” . Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Dalam teori pertama, sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Dalam teori kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. Teori ini disebut geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap dua. (Istilah “tunggal” dan “rangkap” mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri; dan Istilah “eliptik” digunakan dalam artian suatu klasifikasi yang didasarkan atas geometri projektif di mana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut parabolic dan hiperbolik). John Wallis (1616-1703) menggantikan postulat sejajar Euclid dengan menggunakan postulat berikut ini : “Ada segitiga dengan satu sisi yang telah
ditetapkan sebelumnya secara sebarang yang akan sama dengan segitiga yang diketahui.” Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung. Argumen dasar Saccheri sebagai berikut: “Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip
keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid”.
Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi. Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut: “ Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°”.
Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi: a. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen dari titik perpotongan. b. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut. c. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan divergen pada arah lainnya. Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid. Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuaiani kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa ilmu alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian). Non-Euclidean geometri yang cukup asing, sampai ketika Saccheri memperkenalkan kepada kita. Hal ini paling mudah untuk memvisualisasikan non-Euclidean geometri eliptik dengan mempertimbangkan beberapa permukaan bola, seperti bumi atau dari buah jeruk. Sangat mudah kemudian untuk melihat bahwa jika lingkaran besar diambil untuk menjadi "garis", tidak ada garis paralel
dalam eliptik geometri. Setiap dua lingkaran besar bertemu dua kali, sebagai meridian bujur yang bertemu di kedua Kutub Utara dan di Kutub Selatan. (Yang disebut "paralel dari lintang "adalah tidak semuanya paralel, karena mereka tidak di dalam interpretasi garis lurus, melainkan lingkaran) Jika kita pertimbangkan. suatu oktan jeruk, atau segitiga bola di bumi permukaan ditandai dengan meridian Greenwich, Khatulistiwa, dan bujur 90° Barat, kita melihat bahwa ia memiliki sudut kanan pada masing masing titik, sehingga jumlah sudut yang menambahkan sampai tiga sudut kanan, 270°, bukan hanya dua sudut siku-siku berjumlah total 180°. Sebuah segitiga kecil akan memiliki jumlah sudut yang lebih dekat ke 180°, yang akan cenderung sebagai segitiga semakin kecil dan lebih kecil. Memang, jika kita tahu seberapa besar sudut, kita dapat mengatakan keharusan dua belah pihak, yang beberapa berbentuk segitiga dengan masing-masing sudut 90 ° mereka adalah adalah salah satu seperempat dari keliling lingkaran besar. Ini menggambarkan tesis Wallis-Saccheri bahwa tidak ada yang sama segitiga ukuran yang berbeda dalam geometri non-Euclidean. Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10). Saccheri membuktikan bahwa m
Hipotesis tentang sudut siku-siku (
2.
Hipotesis tentang sudut tumpul ( 90°)
3.
Hipotesis tentang sudut lancip (
jauh dari benar, karena dalam kasus bahwa
h
=
a
=
b
. Dengan cara yang sama
keliling lingkaran digambar pada permukaan bola adalah kurang dari
2π r .
Jika
kita mengambil sebagai pusat Kutub Utara dan memiliki radius satu seperempat lingkaran besar, kita harus menarik Khatulistiwa yang panjangnya tidak
2π × ( 1 / 4) ×
(lingkaran besar)) artinya rasio lingkar ke jari-jari lingkaran ini
tidak
2π
tapi 4. Permukaan bola merupakan kelengkungan positif: jika kita
mempertimbangkan dua pesawat saling ortogonal berpotongan sepanjang garis yang tegak lurus itu sendiri ke permukaan, setiap pesawat memotong permukaan dalam kurva yang cekung sisi. Para Konseptual Matematika mendefinisikan lengkungan permukaan adalah positif pada sisi cekung.
Tabel 2.3.1 Adalah jauh lebih sulit untuk membayangkan permukaan dengan negatif kelengkungan. Permukaan pelana, atau melewati gunung, adalah sebuah contoh. Pada seperti permukaan keliling lingkaran adalah lebih dari 2 π kali jari-jari, dan sejalan akar itu di sisi miring lebih besar dari jumlah kuadrat pada dua sisi lainnya. Hal ini kurang mudah untuk melihat bahwa jumlah sudut segitiga adalah kurang dari 180°, tetapi jika kita mempertimbangkan bagaimana sebuah perbedaan yang sangat kecil saat seseorang melewati gunung dapat menyebabkan tujuan luas yang terpisah, kita dapat menerima bahwa segitiga bisa memiliki sudut yang menambahkan sampai kurang dari 180°. Jika kita mengambil fitur ini , hal itu adalah area minimum segitiga. Ini sekali lagi menunjukkan bagaimana postulat Wallis-Saccheri gagal untuk menunjukkan non-Euclidean geometri. Hal ini juga menarik perhatian fitur lain yang berkaitan dengan non-Euclidean geometri. Kedua geometri hiperbolik dan eliptik memiliki "alami unit "; dalam geometri hiperbolik ada daerah minimum segitiga, dan dalam geometri eliptik ada panjang maksimum garis. (Inilah sebabnya mengapa untuk geometri eliptik kita perlu mengubah tidak hanya mendalilkan kelima Euclid tetapi juga yang kedua, yang mengambil untuk menunujukkan bahwa sebuah garis lurus dapat diperpanjang tanpa batas jauh.)
Gambar 2.3.1 Sebuah pelana menunjukkan sebuah segitiga dengan sudut semua hampir nol, tapi masih mencakup area yang besar. Non-Euclidean geometri tetap asing. Kita bisa membawa diri kita sendiri untuk memiliki beberapa pemahaman dari mereka dan untuk memvisualisasikan mereka untuk batas tertentu, tetapi mereka memiliki fitur yang tidak terbiasa dan mungkin
tetap
tidak
disukai
bahkan
setelah
lama
dikenal,
tapi
bukan untuk mengatakan bahwa mereka tidak konsisten. Dan sebenarnya nonEuclidean geometri sangat konsisten. Sangat mudah untuk mengatakan bahwa geometri adalah konsisten, sulit untuk menunjukkan hal itu. Saccheri telah menyimpulkan bahwa sistem ia menyelidiki begitu masuk akal untuk tidak konsisten, dan ada pembuktian bahwa dia salah? Pada akhirnya Felix Klein tidak membuktikan bahwa dia salah, dengan cara sebuah "bukti konsistensi relatif" yang sangat penting dalam dasar matematika. Klein menghasilkan model geometri hiperbolik dalam geometri Euclidean. Dia dianggap sebagai bagian dari pengikut Euclidean interior Dia kemudian berpendapat bahwa jika ada inkonsistensi yang sesuai pada bidang Euclidean, dan geometri Euclidean akan menjadi tidak konsisten juga. Jadi, geometri hiperbolik itu relatif konsisten untuk Euclidean geometri.
Tabel 2.3.2
Klein’s mengatakan membuktikan sendiri adalah rumit. Kita dapat menghargai argumennya jika kita menganggap bukan bukti konsistensi relatif dengan cara model baru saja diberikan. Aksioma dua dimensi geometri eliptik pada permukaan bola, dengan poin dalam geometri eliptik yang diwakili oleh titik-titik pada permukaan bola, dan garis dalam geometri eliptik diwakili oleh
lingkaran
besar
pada
permukaan
bola.
Jika
aksioma
geometri elips tidak konsisten, maka kita bisa menghasilkan sebuah bukti urutan, seperti ditunjukkan
pada Tabel
2.3.3, di mana setiap baris
(diwakili
di sisi kiri tabel) adalah rumus yang terbentuk dari geometri berbentuk bulat panjang, dan aksioma dari satu atau lebih baris sebelumnya oleh beberapa aturan inferensi, dan baris terakhir adalah dari bentuk A ∧ ¬ A . Tapi sekarang mempertimbangkan bukti urutan bukan sebagai urutan formal, formula tentang titik dan garis dalam geometri eliptik, tetapi formula baik terbentuk sekitar poin dan besar lingkaran dalam sub ruang dua dimensi atau tiga dimensi Euclidean
geometri.
Apa
aksioma
bawah
interpretasi
elips
sekarang
proposisi benar dan dapat dibuktikan dari aksioma tiga dimensi. Oleh karena itu kita bisa mengisi kami bukti-urutan untuk membuktikan ini dari aksioma tiga dimensi geometri Euclidean.
Tabel 2.3.3
Non-Euclidean
geometri
demikian
dibenarkan
pada
skor
konsistensi. Dan tidak adanya inkonsistensi yang pasti dari matematikawan telah sulit sekali untuk membenarkan alasan mereka pada setiap alasan lainnya. Munculnya aliran non-Euclidian menyebabkan perubahan besar dalam konsep geometri. Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsep geometri,
konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeda, seperti analisis kompleks dan mekanik klasikal. Jenis tradisional geometri telah dikenal seperti dari ruang homogeneous, yaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari poin ke poin mereka kelihatan sama. Selain munculnya aliran nonEuclidian yang menarik perhatian seluruh matematikawan di berbagai belahan dunia. Pada era ini muncul pula karya-karya baru yang menjadi dasar dari matematika modern, salah satunya adalah teori himpunan.
II.4 GEOMETRI FORMAL DAN PHYSICAL
Geometri Euclidian diturunkan dari kuasanya. Geometri tersebut dianggap tidak lagi benar. Ahli filsafat diharuskan mengkaji ulang status geometri. Seperti teori relativitas Einstein pada awal abad ke-20. Teori relativitas Albert Einstein adalah sebutan untuk kumpulan dua teori fisika: relativitas umum dan relativitas khusus. Kedua teori ini diciptakan untuk menjelaskan bahwa gelombang elektromagnetik tidak sesuai dengan teori gerakan Newton. Gelombang elektromagnetik dibuktikan bergerak pada kecepatan yang konstan, tanpa dipengaruhi gerakan sang pengamat. Inti pemikiran dari kedua teori ini adalah bahwa dua pengamat yang bergerak relatif terhadap masingmasing akan mendapatkan waktu dan interval ruang yang berbeda untuk kejadian yang sama, namun isi hukum fisika akan terlihat sama oleh keduanya. Jika kita mengambil geometri menjadi hanya sistem formal di mana kesimpulan mengikuti dari tempat atau aksioma, kita tidak peduli dengan semantik atau interpretasi geometris tetapi hanya sintaksis sifat yang diberikan oleh pembentukan aturan, aturan inferensi dan aksioma. Jadi dapat kita katakan adalah bahwa diberikan aksioma Euclid. Selanjutnya mereka menyimpulkan bahwa geometri dapat dipengaruhi dalam dua cara. Pertama, secara formal: di mana dalam kasus ini hanya ada satu sstem formil yang konsisten darimana kesimpulan tersebut memberikan aksioma, menjadi dakwaan substansial sekitar dunia eksternal dari ruang dan hal, di mana kasusnya adalah pemalsuan di dalam cara yang sama seperti teori ilmiah. Henri Poincare menyatakan “Eksperimen adalah satu-satunya sumber
kebenaran” . (1854-1912).
Sub specie aeterni Poincare, yaitu gagasan tentang mengukur batang dan lonceng yang terkoordinatkan dengannya dalam teori relativitas tidak menemukan korespondensi eksak dalam dunia nyata. Adalah jelas pula bahwa benda pejal dan lonceng tidaklah dalam bangunan konseptual fisika memainkan peranan elemenelemen yang tidak dapat direduksi kembali, tetapi bahwa struktur-struktur komposit, yang mungkin tidak memainkan peran independen dalan fisika teori. Tetapi adalah keyakinan saya bahwa pada tahap perkembangan sekarang dari fisika teori gagasan-gagasan ini harus diperlakukan sebagai gagasan-gagasan independen; karena kita masih jauh dari memiliki pengetahuan tertentu dari prinsip-prinsip teori yang memungkinkan kita untuk memberikan konstruksi teoretis eksak dari benda-benda pejal dan lonceng-lonceng. Lebih lanjut, karena keberatan bahwa tidak ada benda yang benar-benar kaku dalam alam, dan bahwa karena itu sifat-sifat yang diramalkan oleh benda benda kaku tidak dapat diterapkan pada realitas fisis, keberatan ini sama sekali tidak begitu radikal sebagaimana mungkin tampak oleh suatu pengujian yang tergesa-gesa. Karena bukanlah suatu tugas yang sulit untuk menentukan keadaan fisis dari suatu batang-pengukur begitu tepatnya bahwa perilakunya relatif terhadap benda-pengukur yang lain akan menjadi cukup bebas dari keraguan untuk mengijinkannya digantikan untuk benda "kaku". Adalah untuk benda-benda pengukur jenis ini bahwa pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan benda benda kaku harus diacu. Bukannya mempertimbangkan interpretasi fisik,
mendalilkan
aksioma
geometri
dari
orang-orang
gabungan dan
bertanya
Euclidean,
apakah mereka
aksioma
kita
harus
dengan
dalam kenyataannya
benar. Riemann mengajukan pertanyaan ini dan dianggap bukan proposisi Pythagoras, yang kita dapat menyingkat Pyth tetapi
∆.
Apakah sudut segitiga
ditambah hingga 180°, dan menemukan bahwa dalam batas akurasi observasi mereka lakukan. Dalam geometri cara dapat dianggap sebagai ilmu empiris, dan diverifikasi di cara yang sama dengan teori fisik, dan sejauh ini ditemukan benar. Poincaré mengembangkan argumen ini untuk mencapai kesimpulan yang berlawanan. Sejak tesis yang dikenakan untuk memeriksa empiris tidak hanya set aksioma Euclid tetapi bersama aksioma Euclid dengan interpretasi fisik
tertentu, kita selalu dapat berpegang pada Aksioma Euclid, asalkan kita melakukan penyesuaian sesuai dengan interpretasi. Sinar cahaya yang diberikan tidak diperbolehkan untuk mendefinisikan garis lurus, kemudian bahkan jika diukur dari sudut segitiga tidak menambah sampai dengan 180 ° kebenaran geometri Euclidean tidak ditolak. Meskipun
Poincaré
membuat
poin
penting,
yang
membutuhkan
pertimbangan serius, ia menggunakan kata 'konvensi' yang sangat disayangkan. Real konvensi yang mana sama sekali tidak ada memilih antara dua program tindakan. Apakah pengendalian pada sisi kanan atau sisi kiri jalan, atau apakah menganggap perkalian sebagai lebih atau kurang mengikat, sejauh kurung dihilangkan pergi, dari samping dan kita perlu memiliki aturan agar dapat untuk
memahami
geometri
tidak
empiris,
mungkin
satu
seperti
sama
lain
ini. Mungkin
tidak,
untuk
dan
tindakan
ada
alasan
memilih
antara
kita.
yang baik, satu
Pemilihan mungkin
geometri
dan
lain. Hempel berpendapat bahwa kita harus mempertimbangkan tidak hanya kesederhanaan geometri tetapi juga bahwa dari geometri bersama dengan interpretasi fisik. Jika ada dua interpretasi fisik, PhysInt 1 dan PhysInt 2, maka terkadang Euclid + PhysInt 1 mungkin lebih rumit daripada Riemann + PhysInt 2, sehingga kita memiliki alasan rasional untuk memilih yang terakhir, bahkan mungkin konsisten dengan fakta yang teramati. Hempel menunjukkan bahwa kita harus memilih yang terbaik, yaitu, yang paling sederhana, kombinasi dari aksioma geometri dan interpretasi fisik diambil bersama-sama. Jika kita berpikir tentang interpretasi fisik yang berbeda PhysInt 1, PhysInt 2, PhysInt3, kita akan memiliki semantik yang berbeda interpretasi dari aksioma dan teorema geometri, yang kita dapat diwakili. Pyth Jadi kita mungkin memiliki PhysInt 1, mana Pyth adalah proposisi Pythagoras, tapi PhysInt2 ¬ Pyth dan PhysInt3 ¬ Pyth,
Sehingga meskipun ada interpretasi, katakanlah PhysInt1, di bawah Pyth yang benar, namun kita lebih peduli dengan interpretasi lain, katakanlah
PhysInt2, di mana Pyth adalah palsu. Jika, misalnya PhysInt 2 adalah satu di mana
garis lurus yang diambil menjadi sinar cahaya, maka meskipun percobaan Riemann's dikonfirmasi tesis
∆ =,
bahwa sudut segitiga menambahkan hingga
180° dalam batas-batas akurasi yang tersedia, kita sekarang memiliki teori yang cukup dikonfirmasi oleh observasi, menurut segitiga yang didefinisikan oleh sinar cahaya memiliki sudut menambahkan hingga lebih dari 180 °. Jadi PhysInt 2 ¬ ∆ =, dan, Sejalan, PhysInt 2 ¬ Pyth.
Meskipun kita dapat menempel pada geometri Euclidean coûte que coûte, itu akan masuk akal untuk melakukannya. Kombinasi dari elips geometri dengan Teori Umum Einstein adalah menjadi lebih baik daripada Euclidean geometri dengan beberapa sangat rumit fisika, yang menafsirkan garis-garis sedemikian rupa. Semua geometri praktis didasarkan pada suatu prinsip yang dapat diakses pada pengalaman dan yang mana kita sekarang akan coba untuk membuktikan. Kita akan menyebut yang mana ditutup antara dua batas, ditandai atas suatu benda kaku-praktis, suatu lintasan/trek (tract ). Kita membayangkan dua benda kaku praktis, masing-masing dengan sebuah lintasan dicatat padanya. Dua lintasan ini dikatakan menjadi "sama satu terhadap yang lain" jika batas-batas dari suatu lintasan dapat dibawa berimpit secara permanen dengan batas-batas dari lainnya. Kita sekarang menganggap bahwa :
“Jika dua lintasan dijumpai menjadi sama sekali dan di manapun, mereka adalah sama selalu dan di setiap tempat” . Tidak hanya geometri praktis Euclid, tetapi juga generalisasi terdekatnya, geometri praktis Riemann, dan kemudian teori relativitas umum, bertumpu pada asumsi ini. Untuk alasan-alasan eksperimental yang menyokong asumsi ini saya hanya akan menyebut satu. Gejala rambatan cahaya dalam ruang hampa menyatakan suatu lintasan, yaitu jalur cahaya yang sesuai, untuk setiap selang waktu lokal, dan sebaliknya. Kemudian bahwa asumsi tersebut di atas untuk lintasan (trek) harus terbukti baik untuk selang waktu-lonceng dalam teori relativitas. Konsekuensinya itu dapat dirumuskan sebagai berikut : -Jika dua jam ideal berdetak dengan kecepatan sama pada suatu waktu dan di suatu tempat (berdekatan satu terhadap yang lain), mereka akan selalu berdetak dengan
kecepatan yang sama pula, tidak peduli kapan dan di mana mereka dibandingkan lagi satu dengan yang lain pada suatu tempat. Jika hukum ini tidak sahih untuk
lonceng-lonceng nyata, frekuensi yang sesuai untuk atom-atom yang berbeda dari elemen kimia yang sama tidak akan berada dalam kesesuaian eksak sebagaimana pengalaman menunjukkan. Kehadiran garis-garis spektral tajam adalah suatu bukti eksperimen yang meyakinkan dari prinsip geometri praktis di atas. Adalah landasan ultimit pada kenyataan yang memungkinkan kita untuk berbicara dengan pengertian pengukuran, dalam artian Riemann tentang dunia, suatu kontinuum empat dimensi ruang waktu. Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk 'sementara waktu', atau 'sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru'. Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun 'untuk selama-lamanya'. Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasimatematis yang terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi
dari
teorema-teorema
yang
telah
terlebih
dahulu
dibuktikan
kebenarannya. Agar langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat. Dalam geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya ada teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi logis postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar dan pengalaman dengan benda tegar. Ketidakcukupan ini oleh Hilbert ditambah dengan postulat 'terletak' dan 'antara'. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar untuk 'mengganti' postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri noneuclid. Kepastian matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang mendasarinya tempat diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena
teorema-teorema sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam perangkat postulat itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data empiris, maka sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu kepada data empiris. Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah apriori, sebuah kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya. Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni (aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti. Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik, garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan saja. Geometri
dalam
sejarah
perkembangannya
memang
merupakan
generalisasi dari pengalaman empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena itu, juga sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik. Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni menjadi teorema yang bermakna pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar salah. Jadi interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah geometri murni menjadi geometri fisik. Term 'segitiga' adalah term dalam geometri murni, sedangkan term 'daerah segitiga' adalah term dalam geometri fisik. Term-term 'persegi kertas', 'persegi kerangka' adalah term-term dalam geometri fisik. Demikian pula luas daerah lingkaran adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema dalam geometri fisik.
II.5 KONSEP PEMBATAS
Penjelasan Hempel jelas, argumennya meyakinkan, dan kesimpulan yang ia buat telah diterima secara luas yang merupakan ortodoksi saat ini. Meskipun demikian, ia menerima kritikan. Ia sepenuhnya yakin pendapatnya benar terhadap Poincaré, bahwa perlu mempertimbangkan bukan hanya geometri sendiri tetapi
kombinasi geometri dengan interpretasi, ia berkonsentrasi sangat baik pada interpretasi fisik, dan tidak mempertimbangkan kendala lain yang terjadi. Pertama, menempatkan perbedaan antara geometri dan fisika memunculkan beberapa tekanan konseptual yang harus diakui: dan kedua, ada hubungan antara beberapa konsep dasar geometri dan konsep-konsep lain di luar geometri yang sangat membatasi antara kemungkinan interpretasi. Argumen dari Teori Umum Relativitas. Kami tidak memiliki hanya satu teori fisik yang mengandaikan suatu geometri tertentu dan dapat diuji empiris secara keseluruhan, namun sejumlah teori yang berbeda dan banyak pandangan yang tidak berteori. Geometri bukan bagian teori dari dunia fisik, melainkan backcloth terhadap banyak teori, serta pandangan yang tidak berteori. Fisika berkaitan dengan sebab dan akibat, serta memberikan penjelasan fenomena dalam hal hukum alam. Geometri fungsi tidak membahas ini, tetapi untuk memberikan skema acuan dan deskripsi yang memungkinkan proposisi tentang dunia yang akan dirumuskan dan dibahas, dan untuk menemukan hubungan antara perbedaan proposisi semacam ini. Memang seperti fungsi, dalam geometri terdapat berbagai persyaratan. Pemisahan antara geometri dan fisika yang memungkinkan, namun ditolak. Program geometrodynamics
untuk menyatukan fisika dan geometri,
untuk mengurangi penjelasan fisik pada geometris. Dalam kelompok Umum Teori Einstein diganti oleh kelengkungan ruang yang rumit. Jika program ini berhasil, maka tidak akan ada perbedaan antara geometri dan fisika, dan tidak banyak yang gagal. Begitu banyak dapat diberikan. Tapi
program bukan fakta. Dan jika
geometrodynamics berhasil, kita tidak harus geometri, namun geometrodynamics. Para kemungkinan account monistik dari seluruh alam dimasukkan diajukan oleh Spinoza, dan telah penuh semangat dikejar oleh kontemporer
fisikawan. Jika
direalisasikan pada kenyataannya, itu akan menimbulkan cukup perubahan dalam struktur konseptual kita, dan perbedaan lama antara geometri dan fisika akan ditumbangkan. Tapi selama kita berbicara tentang geometrodynamics geometri, tidak ada
kontras antara geometri dan fisika, dan kontras ini
kendala konseptual pada jenis geometri itu dan bisa diadopsi.
memaksakan
Menurut
laporan
ortodoks, titik dan garis lurus hanya implisit
didefinisikan oleh aksioma-aksioma geometri, dan sepenuhnya bebas memilih maksud yang sesuai dengan aksioma. Secara khusus, di 'titik' pesawat geometri proyektif dan 'line' adalah dual, dan kita dapat interchange mereka tanpa perubahan makna atau kebenaran: sehingga dalam Lunch Club siang itu membuat perbedaan apakah kita mengambil 'anggota' menjadi titik, dan 'Lunch’untuk menjadi garis, atau sebaliknya. Tapi ini tidak benar. Poin dan garis tidak hanya secara implisit didefinisikan oleh aksioma: definisi lain telah diberikan atau dicoba yang menunjukkan konseptual mereka yang lain link. Mari kita survei secara sistematis. Kami memiliki beberapa perbedaan mereological pertama dan kategoris: 1. (i) titik A tidak memiliki bagian (Pythagoras) (ii) titik A memiliki posisi tapi tidak besar, sedangkan (i') Sebuah garis lurus memiliki bagian (ii') (a) garis lurus memiliki posisi dan arah (ii') (b) garis lurus memiliki panjang namun tidak memiliki luas Kita memiliki perbedaan kedua topologi antara titik dan garis (tidak selalu lurus): 2. (i) (a) titik A tidak dapat memiliki batas, namun (b) dapat batas (ii) (a) jalur A dapat memiliki titik sebagai batas, dan (b) dapat menjadi batas permukaan (iii) (a) permukaan dapat memiliki garis sebagai batas, dan (b) dapat menjadi batas volume Lebih umum, kita memiliki sejumlah definisi yang mungkin dari garis lurus. Sebuah garis lurus: 3. (i) adalah jarak terpendek antara dua titik (ii) panjang breadthless (iii) adalah bagian dari sinar cahaya (iv) terlihat lurus (v) tidak memiliki Kinks (vi) terletak merata pada dirinya sendiri
(vii) adalah sumbu rotasi 3-dimensi (viii) adalah persimpangan dari dua pesawat (ix) adalah bahwa yang tengah meliputi penutup Karakterisasi Pythagoras titik sebagai sesuatu yang tidak memiliki bagian yang menghubungkan konsep titik dengan "mereology" (dari Kata Yunani (meros), bagian), studi dari bagian relasi. Bagian dari relasi adalah hubungan pemetaan, dan di bawah yang memesan titik adalah elemen minimal. Ini juga mengapa mereka dikatakan tidak memiliki magnitudo : yang dapat dipahami bahwa ukurannya adalah nol atau
mengatakan bahwa pertanyaan "Berapa
banyak?" tidak dapat diajukan poin sama sekali. Poin yang didefinisikan dalam cara kontra-Anselmian cara. Anselmus didefinisikan Allah sebagai id maius quo nequeat cogitari Jesse, bahwa dari yang tidak dapat dibayangkan lebih besar: jika kita mendefinisikan titik sebagai sesuatu yang tidak memiliki bagian, atau sebagai magnitudo yang nol, kita katakan bahwa itu adalah id quo dikurangi nequeat cogitari Jesse, bahwa tidak ada yang dapat membayangkan lebih kecil. Poin demikian tidak hanya entitas yang memenuhi aksioma beberapa teori geometris formal, tetapi terkait dengan mereology dan Aristoteles kategori Kuantitas, "Berapa?". Bahkan jika kita menafsirkan "tidak memiliki besarnya 'dalam definisi titik sebagai arti bahwa kategori Kuantitas tidak dapat diterapkan, kategori Tempat, "Dimana?" berlaku. Titik memiliki posisi. Kita selalu dapat mengambil sebuah titik itu. Ada setidaknya hubungan kategoris, dan itu adalah salah satu yang membedakan titik dari garis, karena garis kita dapat mengetahui tidak hanya di mana mereka berada, (Pou), tetapi dalam arah mereka pergi, (pothen / POI), mana / ke mana. Sebagai mereology regards, garis yang jelas berbeda dengan titik, karena kita dapat memperoleh dari garis satu jenis pertanyaan "Berapa banyak?", yaitu "Berapa lama?", meskipun kita tidak bisa melihat "Seberapa lebar?", atau jika kita lakukan, kita hanya mendapatkan jawaban nol. Oleh karena itu definisi baris sebagai breadthless panjang. Hal ini minimal satu jenis cara, tetapi tidak dalam segala hal, sebagai suatu titik. Perbedaan yang tersirat di mana garis dapat dan tidak bisa memiliki bagian-bagian ini dibuat lebih eksplisit dalam topologi. Topologi memberikan
definisi induktif dimensi dalam hal batas. Set nol memiliki dimensi -1; titik, yang tidak memiliki batas, memiliki dimensi 0; baris, yang batas-batas poin, memiliki dimensi 1; permukaan, batas-batas garis, memiliki dimensi 2, dan sebagainya. Plato di jalur ini. Dalam Meno ia mendefinisikan gambar pesawat sebagai batas yang solid: (Stereouperas yang skema einai) . Ada banyak proto-topologi di Plato dan Aristoteles. Meskipu menganggap Kant sebagai pendiri topologi yang benar, kita harus mengenali lebih dari yang kita ketahui untuk itu upaya pertama ke arah itu dibuat oleh orang Yunani. Sebuah garis lurus adalah jarak terpendek antara dua titik. Ini adalah "geodesik" karakterisasi kelurusan, dan salah satu yang banyak disukai dalam Teori Relativitas Umum. Ini melibatkan konsep-konsep lebih lanjut, seperti dari 'jarak' dan 'antara titik ', tetapi dapat setidaknya sebagian didefinisikan tanpa mengandaikan dari garis lurus. Sebuah pendekatan yang berbeda lagi adalah dengan memeriksa dua tepi lurus terhadap satu sama lain dengan menjalankan mereka bersama satu sama lain. Jika mereka benar-benar lurus, mereka akan cocok pas bersama-sama sepanjang waktu: jika keduanya tertekuk bersama-sama, mereka akan cocok di satu posisi tetapi tidak pada orang lain. Dalam kasus ekstrim kita dapat melihat atau merasakan Kinks dan menolak garis lurus tidak keluar dari tangan. Kelurusan termasuk Kinks, yang titik-titik singularitas. Dalam hal ini kita mengikuti definisi Euclid garis lurus sebagai salah satu yang terletak "Merata pada dirinya sendiri". Dalam bahasa modern suatu garis lurus telah sempurna translasi simetri sepanjang itu sendiri. Ia juga memiliki rotasi yang sempurna simetri sekitar itu sendiri. Sebuah sumbu rotasi adalah garis lurus. Perlu juga diperhatikan di mana sebuah "Pesawat optik" dibuat. Pesawat optik harus sangat datar, dan penggiling lensa pertama akan menggiling dua pesawat bersama-sama, kemudian masing-masing terhadap ketiga, dan kemudian terhadap satu sama lain, dan sebagainya . Jelas, ketika dua pesawat ada ditanah terhadap satu sama lain kita tidak dapat memastikan bahwa mereka yang datar: satu mungkin sedikit cembung dan yang lainnya cekung. Jika kedua ini kemudian tanah terhadap ketiga, setiap titik yang tinggi dari kedua akan skor titik rendah yang sesuai pada yang ketiga. Tapi ketika ini adalah tanah terhadap titik, rendah pertama akan menjadi titik rendah yang berlawanan, dan sebaliknya tinggi, dan
tertinggi sehingga akan menggiling sama lain bawah. Lebih matematis, jika setiap titik yang pertama adalah x diatas pesawat, titik yang sesuai pada kedua akan x bawah, yaitu-x di atas, dan pada ketiga akan x di atas, yang akan cenderung untuk menggiling tinggi turun asli untuk-x. Setiap grinding operasi cenderung untuk mengkonversi x ke-x, yaitu kalikan dengan -1. Jadi dengan tiga pesawat menjadi tanah terhadap satu sama lain, total efek adalah memperbanyak x dengan (-1) 3. Situasi hanya stabil adalah bahwa di mana x = (-1) 3x, yaitu x =-x, yang hanya mungkin jika x = 0. Mengingat cara memproduksi pesawat optik, kita kemudian dapat menghasilkan garis lurus persimpangan dua optik pesawat. Kami memiliki berbagai cara atau memeriksa, garis-garis lurus.
II.6 BAGAIMANA DENGAN GEOMETRI?
Jika bukan Empirisme formal, maka Apa?... Jika murni formalis dan empiris geometri ditolak, kita dihadapkan sekali lagi dengan pertanyaan "Bagaimana kita harus memilih geometri? ". Kita tidak bisa mengatakan, sebagai formalis , bahwa mereka semua sejajar, asalkan mereka semua konsisten, dan tidak ada untuk itu tapi untuk membuat pilihan-meskipun murni kita harus mengakui ke formalis bahwa kita bebas untuk membuat pilihan jika setuju dan bahwa banyak dapat dipelajari dari studi geometri dianggap hanya sebagai sistem formal: dan kita tidak dapat sebagai empiris, biarkan seluruhnya pengalaman indrawi memutuskan antara sistem resmi yang berbeda-meskipun putusan pengalaman indrawi memberikan geometri plus interpretasi berbobot, dan kita tidak bisa terus mempertahankan, tanpa modifikasi beberapa atau gloss, geometri bersama dengan interpretasi yang terbang di awal dari bukti empiris. Oleh karena itu kita harus bertanya pada diri sendiri bagaimana kita harus memilih geometri, diberikan bahwa ada banyak yang konsisten untuk memilih. Mari kita tabulasi mereka dengan fitur-fitur khusus mereka dalam rangka untuk membuat pilihan informasi di antara mereka seperti dalam majalah konsumen ': Tak satu pun dari geometri ini dikesampingkan meyakinkan: tidak satupun dari mereka tidak konsisten. Kita tidak dapat mengatakan salah satu dari mereka Tidak Direkomendasikan,dan harus memungkinkan bahwa salah satu dari mereka mungkin yang paling cocok untuk beberapa tujuan tertentu. Namun demikian, kita
dapat memberikan bimbingan yang rasional untuk pengguna umum pada kekuatan dari beberapa fitur yang terdaftar dalam tabel, dan menyimpulkan bahwa Geometri Euclidean Terbaik. Dalam geometri Euclidean tempat pertama adalah baik lebih spesifik dan lebih fleksibel daripada salah satu dari yang lainnya. Hal ini lebih spesifik dari enam pertama dari fitur yang terdaftar dalam tabel setelah Nama pembuat ', misalnya ketika menentukan suatu persamaan bukan dari hanya lebih besar dari atau kurang dari. Pada masing-masing jumlah, itu diberikan bintang. Hal ini juga diberikan poin lebih untuk fleksibilitas yang lebih besar, diwujudkan di baris bawah. Dengan geometri elips kita harus bertanya apa unitnya panjang adalah panjang yang besar lingkaran, sehingga untuk berbicara. Seperti geometri tidak akan tersedia untuk lebih besar daripada panjang maksimum. Meskipun jika panjangnya sangat besar, kita tidak mungkin untuk dihadapkan terhadap bukti empiris terhadap hal itu, kita selalu mungkin ingin mempertimbangkan, jika hanya hipotetis,beberapa panjang yang lebih besar, dan itu adalah pembatasan kebebasan kita berpikir untuk aturan itu keluar di muka. Demikian pula, meskipun kurang memalukan, itu adalah sayang untuk bisa digunakan dengan baik area maksimum seluruh ruang-daerah permukaan bumi-dalam geometri eliptik, a tau luas minimum segitiga pun dapat memiliki dalam geometri hiperbolik. Lebih baik untuk dapat triangulasi ruang sedekat kita silahkan tanpa pembatasan geometris. Fleksibilitas dari geometri Euclidean ditampilkan lebih jelas dalam perumusan Saccheri-Wallis, yang berlaku untuk memberikan Geometri Euclidean saja kemungkinan memiliki dua tokoh, bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda. Dalam geometri berbentuk bulat panjang, seperti yang kita melihat dengan oktan sebuah bola, bentuk menentukan ukuran,dan hal yang sama berlaku geometri hiperbolik. Tidak ada kemungkinan pada geometri model skala, dan bukannya mencirikan objek dan tokoh-tokoh lain oleh referensi untuk bentuk dan ukuran mereka secara mandiri, kita harus memiliki hanya satu, terkait satu karakteristik mereka. Euclidean geometri memiliki derajat lebih kebebasan, dan karena itu lebih cocok untuk fungsinya menjadi back cloth-deskriptif terhadap fenomena fisik dapat dijelaskan dan dirumuskan teori fisika dan diuji. Sedangkan untuk sebuah teori ilmiah, seperti fisika, fleksibilitas mungkin suatu kesalahan, dan
mencegah teori yang diajukan kepada tes dan dilakukan bertanggung jawab untuk pemalsuan, untuk geometri, dengan perusahaan tujuan yang berbeda, fleksibilitas bukan kelemahan tetapi kekuatan. Ini meningkatkan potensi deskriptif geometri, apa yang kita inginkan, dan fakta bahwa itu pada biaya falsifiability terdapat kritik, karena bukan fungsi dari geometri untuk suatu penjelasan. Ini mungkin paradoks yang kita klaim atas nama Euclideangeometri baik yang lebih spesifik dan yang lebih fleksibel dan umumnya tersedia. Tapi ada paradoks. Dengan mengatakan bahwa geometri Euclidean, kita katakan semua yang perlu kita katakan dalam rangka untuk mengkarakterisasi sepenuhnya: dengan mengatakan bahwa itu adalah hiperbola atau elips, kita tidak mencirikan sepenuhnya: kita perlu untuk mengatakan lebih jauh apa kelengkungan itu ada beberapa yang negatif atau nomor positif, bukan hanya negatif atau positif, kita perlu juga untuk mengatakan apa daerah minimum segitiga atau panjang maksimum dari garis lurus, oleh berapa banyak sudut jatuh segitiga pendek atau melebihi dua sudut yang tepat, oleh berapa banyak keliling lingkaran melebihi atau jatuh pendek dari p kali diameternya. Ada geometri Euclidean hanya satu, sedangkan ada keluarga yang seluruh hiperbolik berbentuk bulat panjang dan geometri, masing-masing berbeda dari yang lain, dan masing-masing memiliki kekhasan tersendiri, kelengkungan, dari jumlah sudut segitiga, dan rasio lingkar lingkaran dengan diameternya, yang menghalangi aplikasi yang mudah untuk beberapa kasus yang dibayangkan. Geometri Euclidean, sebaliknya, adalah tepat: dalam setiap segitiga geometri Euclidean menambahkan hingga hal yang sama, rasio lingkar dengan diameter selalu sama, kelengkungan selalu sama-yaitu. 0, tetapi satu-satunya geometri Euclidean,sekali ditentukan, tersedia dalam berbagai kasus, dan dengan demikian lebih multi-tujuan. Pertimbangan yang sama berlaku dengan jumlah paralel. Geometri Euclidean, memiliki tepat satu, lebih spesifik daripada hiperbolis geometri, yang memiliki tak terhingga banyaknya, meskipun dalam kasus ini tidak lebih spesifik daripada berbentuk bulat panjang, yang telah ada. Tapi yang kedua adalah cacat ketika untuk membangun sistem
acuan. Pada permukaan garis dunia, bujur
berpotongan di kutub: 10 ° E dan 90 ° N adalah sama dengan 10 ° W dan 90 ° N. Ini adalah cacat dalam suatu sistem referensi. Kami ingin ada untuk menjadi
korespondensi satu-satu antara titik-titik di ruang dan set koordinat. Jika ini harus begitu, kita perlu "Topologi paralelisme", itu adalah bahwa garis-garis (tidak selalu lurus) didefinisikan oleh semua koordinat (s) kecuali satu yang konstan harus selalu ada dan tidak pernah berpotongan. Ini lakukan tidak harus, sejauh argumen ini berjalan, lurus garis- kita dapat memiliki koordinat-dan lengkung tidak menuntut geometris paralelisme. Tetapi penggunaan garis lurus dalam geometri eliptik dikesampingkan, dan penggunaan garis lurus paralel Euclidean sangat disarankan.
II. 7 TEORI GROUP
Plato membantah semua bentuk dari operasional dan kontruktivisme di matematik, dia menganggap bahwa matematik seharusnya ke arah hal hal yang abstrak bukan ke perhitungan – perhitungan yang nyata. Aristotels melihat kekurangan, bukan merupakan suatu petunjuk untuk memahami dari kenyataan yang terjadi: -
They talk ridiculously (mereka membicarakan keganjilan/ keanehan)
-
For want of better term (untuk ke masa yang lebih baik) atau
-
Yet this is how they have Mereka menggunakan language of action padahal pokok dari belajar
adalah knowledge bukan action. Sialnya, Plato dan Aristotels memberikan pengaruh yang besar walaupun bahasa dari operasi operasi merupakan sisa sisa bagian dari kosakata geometer –tiga postulat euclid pertama menginstruksikan dituliskan di invinitive agak lebih baik proposisi primitif dituliskan di indikatifHal tersebut tidak mengakibatkan sesuatu yang serius hingga Felix Klein mengemukakan Erlangen Program yang mengusulkan bahwa geometri adalah pendekatan, bukan aksioma melalui grup dari operasi operasi yang salah geometri istimewa invarian. Tipology belajar dari apa yang salah dalam grup dari semua transformasi yang kontinu. Geometri hiperbolik lebih sedikit sulit dibandingkan dengan elips dapat juga diberikan suatu karaktrisasi group-theoritical. Geometri euclid tidak dipengaruhi oleh grup dari translasi, rotasi, dan refleksi oleh karena itu disebut
Euclidean group. Grup Euclidean menjadi pokok dari geometri Euclid di banyak kesamaan di suatu presentasi grup Lorenz kepada special teori dari relativity. Keraguan tentang sebelum keistimewaan geometri Euclid memenuhi sifat dari pendekatan grup teoritis tetapi pertanyaan yang penting dari grup Euclid adalah: “What is so good about the Euclidean geometry? Salah satu jawaban yang murni abstrak bahwa grup dihasilkan oleh operasi refleksi grup non-trivial sederhana, saat grup dari rotasi – rotasi menjadi pola/ model grup cyclic kontinu. Grup Euclid menjadikan suatu grup dari grup sederhana dan kepentingan yang sama. Jawaban lain diberikan olah Helmholtz. Grup Euclidean menjaga gerakan – gerakan kau dan gerakan kaku tersebut disyaratkan oleh filsafat ukuran dan kepentingan yang jelas jika untuk memanipulasi objek di dunia dan sekitar. Di saat membicarakan hal yang berbeda, boleh saja kita mempunyai perbedaan pendapat. Akan tetapi ketika kita membicarakan hal yang sama, kita seharusnya mengambil
pokok pokok dari permasalahan itu
untuk dijadikan
suatu
solusi/kesimpulan. Ini menunjukkan bahwa penekanan dari komunikasi antara pengamat perlu saat komunikasi dan melakukan aproksimasi di waktu yang sama dan oleh karena itu saat menempati posisi yang berbeda, akan memimpin mereka untuk memilih keistimewaan invariant dalam translasi dan rotasi yang merupakan bentuk sebenarnya dari grup Euclidean ( jadi, berbeda dari keseluruhan grup Euclid yang tidak memuat refleksi) dan geometri didefinisikan oleh suatu grup natural mengamggap sesuatu yang penting di mata dari hubungan terbatas yang siapapun tidak dapat menjadi di tempat yang sama pada waktu yang sama. Argumen ini kemudian dibantah oleh T.G. McGonigle, menunjukkan sisi lain dari gerakan kaku (kurva patahan) yang mungkin dari kurva konstan. Pengamatan pertama terlihat menjadi tidak konsisten antara klain bahwa geometri Euclid digolongkan oleh grup Euclid dank lain gerakan kaku menjadi sesuatu yang mungkin di ruang di geometri istimewa yang tidak invariant di bawah grup Euclidean. Jika kita anggap permukiaan jeruk seperti
II. 8 PYTHAGOREAN GEOMETRY HAS A BETTER METRIC
Dari proposisi pyitagoras kita melihat, dapat mengambil dari aksioma sementara dari teorema untuk dibuktikan dan ada banyak jalan untuk menggolongkan keistimewaan dari hasil postulat kesejajaran geometri Euclid. Kita dapat mendebatkan dari geometry pitagoras pada nilai dari proposisi karakteristik, P= lebih baik dari proposisi karakteristik P< dan P>, dari hiperbolik dan elipstik geometri respektif. Untuk P = adalah cara sederhana untuk menentukan secara menyeluruh tindakan untuk memisahkan lebih dari satu dimensi merentang. Kita perlu, yang pertama
untuk menjelaskan
mengapa
geometri
seharusnya menjadi pokok perhatian dengan menentukan ukuran ukuran dan yang kedua, untuk membenarkan pernyataan bahwa kaidah pitagoras merupakan bentuk sederhana yang dapat dipakai. Kita perhatikan pertanyaan pertama, maka kita boleh mengambil isinya untuk membuat etimologi bahwa geometri seharusnya menjadi pokok perhatian dengan menentukan ukuran ukuran. Bangsa Mesir menggunakan geometri pertama kali untuk mengukur petak – petak tanah sepanjang Nil dan lebih diperhatikan lagi dengan bentuk bentuk yang sesuai dengan ukuran sebenarnya. Bebarapa contoh project geometri: -
mengambil ukuran tak bernilai, tapi harus dilakukan
-
sesuatu yang jauh dari geometri sekalipun, misal pembuatan lapangan tenis (perlu garis, kurva, dll) Matematikawan sering mendefinisikan suatu ukuran pada fungsi d dari
hasil kali dalam cartesian kedalam bilangan real non-negatif.
Terbagi menjadi 4 kondisi: a. b. c. d. Pertanyaan yang muncul, mengapa kondisi ini seharusnya dapat ditentukan pada sembarang fungsi metrik.
a.
Mengekspresikan ide bahwa titik tidak mempunyai panjang/ jarak dan mendefinisikan dua titik yang dihubungkan oleh garis mempunyai panjang.
b. Mengekspresikan ide bahwa titik adalah batas minimal dari garis c.
Mengekspresikan ide bahwa panjang adalah isotropic
d.
Disebut segitiga inequality, jarak antara dua titik sembarang tidak lebih dari jumlah dari jarak antara tiga titik, tetapi mungkin kurang. Jika kita menerima kondisi ini merupakan bagian dari konstitusi untuk
menentukan ukuran dari jarak, kita dapat melihat fungsi ukuran. (i) Diberikan
d(x,y) seharusnya menjadi fungsi x – y (ii) dan (iii) Seharusnya dapat menjadi fungsi dari
atau
atau
dsb. Jika kita mengambil kasus
dimensi-n kemudian bilangan asli selalu non-negatif, maka fungsi symmetricnya adalah:
II. 9 DESARGUES
Teorema Desargues meyatakan
bahwa jika dua segi tiga mempunyai
proyeksi terpusat, mereka berada di sekitar pusat royeksi itu, jika AA’, BB’, CC’ adalah berpotongan di O, kemudian jika D pada BC dan B’C’, E terletak pada CA dan C’A’, dan F pada BA dan B’A’,maka D, E dan F adalah collinear. Teorema Desargues bukanlah suatu dalil pada dua dimensi, pada dua dimensi adalah geometri non-Desargus, Pada geometri dua dimensi sifat proycksi itu diperlukan untuk menentukan teorema Desargues sebagai suatu aksioma. Tetapi di dalam tiga, atau lebih dimensi merupakan suatu teorema, dan dapat dibuktikan. Untuk membuktikan DEF adalah suatu garis lurus pada geometri tiga dimensi, jika garis itu adalah persekutuan dua bidang. Dan itu mudah dibuktikan dengan
memperhatikan berbagai bidang yang berbeda yang memuat garis
tersebut. Teorema Desargues memberikan pemikiran lebih lanjut tentang kebenaran dalam matematka. Jika kita menambah aksioma dalam geometri proycksi bidang datar, yaitu P1, P2, P3, P4, dan teorema Desargues adalah D5, maka P1, P2, P3, P4¬
D5.
Tetapi P1, P2, P3, P4, P6, P7,P8
D5
Dimana P1, P2, P3, P4, P6, P7,P8 adalah hasil generalisasi alami dari P1, P2, P3, P4.
Gambar 2.9.1 Teorema Desargus: Jika AA’, BB’, CC’ adalah bersekutu di O, dan Jika D pada BC dan B’C’ dan E pada CA dan C’A’ dan F pada BA dan B’’ maka D, E, F kolinier
II.10 SIMPULAN
Yang mana kita? survei pada geometri menghasilkan suatu gambaran lebih rumit dibandingkan baik aliran formalitas maupun penganut aliran empirisme yang telah dibicarakan. Kita
pilihan geometri dan tentang penafsiran dari
terminologi geometris tidaklah sembarangan, tetapi berpedoman kepada enam pertimbangan berbeda, yaitu: 1.
Ada mata rantai konseptual antara geometris dan konsep lain membatasi aplikasi terminologi seperti titik garis atau bidang dan mengantar kita ke mengadopsi beberapa dalil ketika benar dan untuk menolak yang lain ketika salah
2. Seperti halnya antara geometri dan yang lain, itu sesuatu yang rsional untuk memilih satu lebih spesifik. Geometri Euclid lebih spesifik dibanding geometri yang lain seperti hiperbolik dan ellips sebab
Gambar 2.9.2 Teorema Desargues dalam tiga putaran dimensi yang seluruhnya pada persekutuan
berbagai bidang: Karena BB’ dan CC’
berpotongan di O, garis BB’O dan CC’O adalah sebidang, dengan demikian titik-ttik B, B’, O, C, C’ adalah sebidang, maka BB’ dan CC’ haruslah berpotongan di D. Kemudian D adalah sebidang dengan B, B’, C, C’, dandengan demikian setiap bidang memuat BC, dan dengan demikian pada ABC, dan setiap bidang yang melalui B’C’, Dan maka memuat A’B’C’. Dengan pemikiran analog, Karena CC’ dan AA’berptongan di O, garis CC’O dan AA’O adalah sebidang, dan demikian titik-titik C, C’, O, A, A’ adalah sebidang, dan demikian CC’ dan AA’ harus berpotongan di E. Kemudian E adalahsebidang dengan C, C’, A, A’ dan demikian semua bidang yang memuat CA, dan demikian memuat ABC, dan setiap bidang memuat C’A’, dan demikian memuat A’B’C’. Alalog, karena AA’ dan BB’berpotongan di O, garis AA’O dan BB’O adalah sebidang, dan demikian titil-titil A, A’, O, B, B’ adalah sebidang, dan demikian AA’ dan BB’ harus tumpang tindih, pada F. Kemudian F adalah sebidang dengan A, A’, B, B’ dan demikian setiap bidang yang memuat BA, dan demikian di memuat ABC, dan adalah semua bidang yang memuat A’B’, dan demikian memuat A’B’C’. Maka D, E dan F adalah semua titik-titik yang terdapat pada ABC dan A’B’C’ Dan dengan demikian memuat garis persekutuan dua bidang
a.
Sebuah kurva nol, sedangkan milik mereka adalah yang manapun manapunbilangan
negatif tetap (hiperbolic) ataubilangan positif
manapun tetap berbentuk lonjong, b.
Sudut suatu segi tiga ada geoemtri Euclid jumlahnya sama dengan 180°, sedangkan pada geoemtri hiperbolik kurang dari, dan pada geometri lebih dari 180°;
c.
Kuadrat hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lain suatu segi tiga siku-siku, sedangkan pada segitiga lain hanya suatu ketidaksamaan.
d.
Pada geometri Euclid keliling lingkaran sama dengan 2π, tetapi > 2π pada geometri hiperbolik, dan < 2π geometri elliptik
3.
Dan sebaliknya, Geometri Euclidean jadilah lebih fleksibel dibanding geometri hiperbolic dan geometri elliptic, dalam arti bahwa ukuran panjang tidaklah ditentukan dengan bentuk mereka, dan di sana adalah tidak ada satuan panjang atau luas seperti di dalam Geometri Euclid.
4.
Kita dapat memperhatikan geometri bukanlah suatu system aksioma, tetapi kumpulan teori .di dalam kasus Euclidean dipilih sebagai hal-hal yang mendasari non trivial diskret dan siklis kekontinuan dan deret kontinu. Ada alasan epistemological dan praktis menghubungkan titik yang berbeda dala ruang yangbisa dibenarkan dalam transformasi geometri Euclid.23
5. Sebuah ukuran memerlukan beberapa kondisi yang mendukung untuk bisa dikatakan terpadu Jika ada dimensi lebih dari satu, beberapa fungsi simetri diperlukan untuk menentukan jarak antara dua titik. Aturan Pythagoras adalah aturan yang sederhana yang mendasari kondisi-kondisi itu. 6.
Suatu
geometri,
atau
bagian
manapun
teori
dalam
matematika,
memungkinkan digunakan dalam teori lain dapat dijadikan suatu generalisasi alami darinya, dan aksioma dari teori yang lebih kecil kemudian boleh dipakai untuk teori tentang yang lebih besar. Khususnya, suatu geometri dalam n dimensi memungkinkan dipakai dalam geometri dimensi ( n+ 1) atau suatu n-dimensional dipakai tak batas dimensi ( ruang Hilbert, sebagai contoh). Teori yang umum, dapat dipakai untuk
