NOVA O Ã Ç I ED CADERNO DE ATIVIDADES
Matemática
e Novo Programa 2013 e Novo Programa dede 2013
De acordo Metas Curriculares De acordo comcom Metas Curriculares
5º Ano
Carlos Oliveira Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano
CADERNO DE ATIVIDADES
Matemática 5º Ano
Carlos Oliveira Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano
Unidade 1
Atividades
Figuras no plano Resumir Praticar 1, 2, 7, 24 1. Transporte de ângulos/construções com régua e compasso 2. Medida de amplitude de ângulos 3, 4, 5, 6, 9 3. Ângulos complementares e suplementares 8, 9, 10, 22, 32 4. Ângulos correspondentes 8, 12 5. Ângulos de lados paralelos e de lados perpendiculares 25, 29 6. Triângulos 13, 21, 31, 32 7. Ângulos internos de um triângulo 14, 15, 23, 26, 29, 32 8. Ângulos externos de um triângulo 15, 26, 29, 32 9. Construção de triângulos e critérios de igualdade de triângulos 16, 17, 27, 28 10. Lados e ângulos de um triângulo 18, 19, 20, 26, 30, 31 11. Distância de um ponto a uma reta 12. Paralelogramos 11 13. Altura de um triângulo Testar
Página 4 8
18
Unidade 2 Números naturais Resumir Praticar 1, 9 1. Propriedades comutativa e associativa da adição 2. Propriedades comutativa e associativa da multiplicação 2, 9 3. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração 2, 9 4. Critérios de divisibilidade 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 21, 22 5. Máximo divisor comum 8, 12, 15, 20, 23 6. Mínimo múltiplo comum 8, 14, 16, 17, 18, 19 Testar
20 22
28
Unidade 3 Números racionais não negativos Resumir Praticar 3, 15, 25, 36 1. Fração como razão 2. Fração como medida 2, 12, 13, 14, 38 3. Números racionais 1, 4, 5, 6, 8, 9, 19, 34 4. Frações equivalentes 6, 7, 11 5. Comparação e ordenação de números racionais 10, 16, 18, 20, 28, 34, 35, 40 6. Adição e subtração de números racionais 17, 19, 21, 24, 26, 31, 33, 35 7. Percentagens 27, 30, 37 8. Multiplicação de números racionais 17, 22, 23, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 37, 41, 42 9. Divisão de números racionais 17, 29, 41, 43 10. Valores aproximados 39 Testar
30 34
48
Unidade 4 Representação e interpretação de dados Resumir Praticar 1. Referencial cartesiano 2. Tabela de frequências 3. Gráfico de barras 4. Gráfico de linha 5. Diagrama de caule-e-folhas 6. Média e moda Testar
Atividades
Página 52 54
1 2, 3, 7, 10 2, 3, 4, 7, 8, 10 3, 9 5 3, 4, 6, 8, 9, 10 62
Unidade 5 Áreas Resumir Praticar 1. Equivalência de figuras planas 2. Área do retângulo 3. Área do triângulo 4. Área do paralelogramo Testar
64 66 1, 4, 13 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13 4, 5, 6, 7, 9, 13 2, 6, 7, 9, 11, 12, 13 72
Provas globais Prova global 1 Prova global 2 Prova global 3
75 78 80
Soluções
83
UNIDADE 1
RESUMIR
Figuras no plano
Soma de ângulos
n Um ângulo não giro c é a soma de dois ângulos a e b se c for igual à união de dois ângulos adjacentes a’ e b’ respetivamente iguais a a e a b.
b a
c
b a
Ângulo giro n Se a união de dois ângulos é o plano todo, diz-se que a soma dos ângulos é o ângulo giro.
a
a b
b
Bissetriz de um ângulo n A bissetriz de um dado ângulo é a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma com cada um dos lados ângulos iguais.
Bissetriz
Medida de amplitude de ângulos n O grau é a amplitude de cada um dos ângulos que se obtém quando se divide um ângulo reto em noventa ângulos geometricamente iguais. n Para se medir a amplitude de um ângulo utiliza-se um instrumento chamado transferidor.
O transferidor tem duas escalas, de 0º a 180º, em direções opostas (uma escala interior e uma escala exterior)
4
Ponto de referência do transferidor
Ângulos complementares e suplementares n Dois ângulos dizem-se complementares quando a respetiva soma for igual a um ângulo reto. 30º
30º 30º
60º
60º
60º
30º + 60º = 90º
n Dois ângulos dizem-se suplementares quando a respetiva soma for igual a um ângulo raso. 120º
120º
120º 60º
60º
60º 120º + 60º = 180º
Ângulos verticalmente opostos n Duas retas concorrentes definem quatro ângulos. Dois desses ângulos, não sendo adjacentes, dizem-se ângulos verticalmente opostos. n Dois ângulos verticalmente opostos são iguais, ou seja, têm a mesma amplitude.
Semirretas com o mesmo sentido n Duas semirretas têm o mesmo sentido se tiverem a mesma reta suporte e uma estiver contida na outra ou se tiverem retas suporte distintas mas paralelas e estiverem contidas num mesmo semiplano contendo as respetivas origens. n Duas semirretas com o mesmo sentido dizem-se diretamente paralelas. n Se duas semirretas tiverem retas suporte coincidentes ou paralelas mas não forem diretamente paralelas dizem-se inversamente paralelas.
Ângulos correspondentes n Dois ângulos correspondentes de lados, dois a dois, diretamente paralelos são iguais.
D
F
53º C
53º G
E
H
n Se duas retas são paralelas, os ângulos alternos internos determinados por uma reta que as corte são iguais. n Se são iguais os ângulos alternos internos determinados em duas retas por uma reta que as corte, então as retas são paralelas. 5
UNIDADE 1
Figuras no plano
RESUMIR
n Se duas retas são paralelas, os ângulos alternos externos determinados por uma reta que as corte são iguais. n Se são iguais os ângulos alternos externos determinados em duas retas por uma reta que as corte, então as retas são paralelas. n Se duas retas são paralelas, os ângulos correspondentes determinados por uma reta que as corte são iguais. n Se são iguais os ângulos correspondentes determinados em duas retas por uma reta que as corte, então as retas são paralelas. n Se duas retas são paralelas, os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares. n Se são suplementares os ângulos internos do mesmo lado da secante, então as retas são paralelas. n Se duas retas são paralelas, os ângulos externos do mesmo lado da secante são suplementares. n Se são suplementares os ângulos externos do mesmo lado da secante, então as retas são paralelas.
Ângulos de lados paralelos e de lados perpendiculares n Dois ângulos convexos de lados dois a dois diretamente paralelos são iguais. n Dois ângulos convexos de lados dois a dois inversamente paralelos são iguais. n Dois ângulos convexos que tenham dois dos lados diretamente paralelos e os outros dois inversamente paralelos são suplementares. n Dois ângulos de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem da mesma espécie e são suplementares se forem de espécies diferentes.
Triângulos n Num triângulo, cada ângulo interno é adjacente a um ângulo externo e cada ângulo interno é suplementar a um ângulo externo. n Um triângulo pode ser classificado quanto ao comprimento dos seus lados (equilátero, isósceles e escaleno) ou quanto à amplitude dos seus ângulos (retângulo, acutângulo e obtusângulo). n No que se refere ao triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto diz-se a hipotenusa e os lados a ele adjacentes dizem-se os catetos: Hipotenusa
Catetos
Ângulos internos de um triângulo n A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a um ângulo raso. n Num triângulo não pode existir mais do que um ângulo reto ou obtuso. 6
Ângulos externos de um triângulo n Num triângulo, a soma de três ângulos externos com vértices distintos é igual a um ângulo giro. n Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
Critérios de igualdade de triângulos n Critério LLL (Lado-Lado-Lado) de igualdade de triângulos – = MN – , AC – = MP – e BC – = NP – Dois triângulos são iguais se têm os três lados iguais, cada um a cada um: AB A
M
B
C
N
P
n Critério LAL (Lado-Ângulo Lado) de igualdade de triângulos Dois triângulos são iguais se têm dois lados iguais, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado igual: A–B = M–N, B–C = N–P e ABˆC = MNˆP A
M
B
C
P
N
n Critério ALA (Ângulo-Lado-Ângulo) de igualdade de triângulos Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes iguais, cada um a cada um: B–C = N–P, ABˆC = MNˆP e ACˆB = MPˆN A
B
C
M
N
P
Lados e ângulos de um triângulo n Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. n Num triângulo, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. n Em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais. n Ao lado de maior comprimento opõe-se o ângulo de maior amplitude e ao ângulo de maior amplitude opõe-se o lado de maior comprimento. n Ao lado de menor comprimento opõe-se o ângulo de menor amplitude e ao ângulo de menor amplitude opõe-se o lado de menor comprimento. n Num triângulo, a medida do comprimento de qualquer um dos lados é menor do que a soma das medidas dos comprimentos dos outros dois. n Num triângulo, a medida do comprimento de um qualquer lado é maior do que a diferença das medidas dos comprimentos dos outros dois. 7
UNIDADE 1
PRATICAR
Figuras no plano
1.
Constrói, usando régua e compasso, as bissetrizes dos ângulos a seguir representados. 1.1
1.2 β α
2.
Considera os ângulos representados na figura. c a
d
b
2.1 Usando régua e compasso, prova que os ângulos b e d são iguais.
2.2 Constrói, usando régua e compasso, um ângulo k que seja igual à soma de a e c.
2.3 Constrói, usando régua e compasso, a bissetriz do ângulo k.
3.
Utilizando os transferidores apresentados, determina a amplitude de cada um dos ângulos seguintes. 3.1
3.2
3.3
8
4.
Estima a amplitude de cada um dos ângulos seguintes. De seguida, confere as tuas estimativas utilizando um transferidor. 4.1
4.2
Estimativa: Medição:
Estimativa: Medição:
5.
Sem utilizares o transferidor, tenta construir um ângulo com 40° de amplitude. De seguida, utiliza o transferidor para verificar a amplitude do ângulo que construíste.
6.
Com o auxílio do transferidor calcula a amplitude de cada um dos ângulos seguintes. 6.1
7.
6.2
6.3
Utiliza o transferidor e a régua para traçares cada um dos seguintes ângulos. 7.1 –ABC, sabendo que ABˆC = 35°
7.2 –DEF, sabendo que DEˆF = 90°
7.3 –GHI, sabendo que GHˆI = 135°
7.4 –JKL, sabendo que JKˆL = 230°
9
UNIDADE 1
PRATICAR
Figuras no plano
8.
Observa a figura. H • E • F
G
•
•
A
C
•
•
B •
r
D •
I •
s
Sabendo que r // s , indica: 8.1 dois ângulos verticalmente opostos; 8.2 duas semirretas com o mesmo sentido; 8.3 dois ângulos complementares; 8.4 duas semirretas diretamente paralelas; 8.5 dois ângulos suplementares; 8.6 duas semirretas inversamente paralelas; 8.7 dois ângulos adjacentes; 8.8 dois ângulos com um lado em comum, que os separa, mas que não sejam adjacentes. 9.
Observa a figura.
y x
9.1 Utilizando o transferidor, determina a amplitude do ângulo x.
9.2 Tendo por base a resposta à alínea anterior, e sem utilizares o transferidor, determina a amplitude do ângulo y. Explica o teu raciocínio.
10
10.
Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x. 10.1
10.2 x
x 50°
19°
10.3
10.4 136°
10.5
10.6 76°
11.
113°
x
x
x
x 50°
45°
Observa os seguintes polígonos. A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Indica pela letra correspondente: 11.1 os quadriláteros; _________ 11.2 os trapézios; _________ 11.3 os paralelogramos; _________ 11.4 os losangos; __________ 11.5 os retângulos; _________ 11.6 os quadrados. _________ 12.
Observa a figura, na qual as retas r e s são paralelas. 12.1 Sabendo que fˆ = 130º, determina as amplitudes dos ângulos a, b, c e d.
u f r
g h
c s
e
d
a b
12.2 Indica dois ângulos que: a) sejam alternos internos;
b) sejam internos do mesmo lado da secante;
c) sejam alternos externos;
d) sejam correspondentes;
e) sejam externos do mesmo lado da secante. 11
UNIDADE 1
PRATICAR
Figuras no plano
13.
Completa os espaços em branco, utilizando as palavras obtusângulo, retângulo e acutângulo, de modo a tornar as afirmações verdadeiras. A. Um triângulo com três ângulos agudos diz-se um triângulo _______________________________ .
B. Um triângulo com um ângulo obtuso diz-se um triângulo _________________________________ .
C. Um triângulo com um ângulo reto diz-se um triângulo ___________________________________ .
14.
Observa a figura ao lado.
B
14.1 Sabendo que Aˆ = 60° e Bˆ = 60°, determina a amplitude do ângulo C.
C A
B
A
C
14.2 Completa a afirmação: “O esquema anterior sugere que _________________________________ ______________________________________________________________________________________ .
15.
Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo a. Explica o teu raciocínio. 15.1
15.2
41°
a a
113°
50° 70°
a
15.4
15.3 70°
61°
a
15.5
15.6
a
a
36°
36°
15.7
15.8 65° a 150°
12
125°
a
16.
As imagens abaixo representam esboços de triângulos que não foram desenhados à escala. Utilizando material de desenho adequado, constrói rigorosamente esses triângulos tendo em conta as medidas assinaladas.
3 cm
50º
5 cm
40º 5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
17.
Diz, justificando, se é possível construir um triângulo cujos lados tenham de comprimento: 17.1 6 cm, 12 cm e 4 cm;
17.2 12 cm, 10 cm e 3 cm.
18.
Observa o triângulo [TSU].
U 60°
59°
61°
S
T
Qual dos três lados do triângulo é maior? Justifica.
13
UNIDADE 1
PRATICAR
Figuras no plano
19.
B
Observa o triângulo [ABC]. Qual dos três ângulos internos do triângulo tem maior amplitude? Justifica.
9 4
A
C
10
20.
Dois dos lados de um triângulo têm 6 cm e 13 cm de comprimento. Indica, justificando, três possíveis comprimentos para o terceiro lado.
21.
Comenta a afirmação: “Um triângulo retângulo e um triângulo obtusângulo não podem ter três lados de igual comprimento.”
22.
Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x. 22.1 x 53°
53°
22.2 127° x
x
22.3 x x
23.
x
Determina a amplitude dos ângulos a e e . Explica o teu raciocínio.
35°
23°
14
e
a 45°
24.
Na aula de matemática o professor do Pedro desenhou no quadro o ângulo representado ao lado e pediu aos alunos para, utilizando a régua e o compasso, o dividirem em quatro ângulos iguais.
24.1 Explica como deverá proceder o Pedro para fazer a divisão do ângulo. 24.2 Utilizando a régua e o compasso efetua a divisão do ângulo.
25.
Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos a e b. Explica o teu raciocínio. α
25.1 130°
β
25.3 r//s
140°
25.2
f
β
r
35°
25.4 r//s
α
r
α β
s
25.5
s
25.6 60° r//s
26.
46°
β
α r s
r//s
115°
β α
50° r
s
O Óscar, depois de ajudar o seu avô a vindimar, encostou a escada que utilizou a uma parede, tal como mostra a figura ao lado.
c
26.1 Determina a amplitude dos ângulos a, b e c.
26.2 Comenta a afirmação: “Com esta escada podemos atingir alturas superiores a 1,6 m.”
b
a
59°
1,6 m
15
UNIDADE 1
PRATICAR
Figuras no plano
27.
Constrói um triângulo: 27.1 equilátero com 9 cm de perímetro;
27.2 isósceles com 5 cm de perímetro, cujo lado diferente meça 2 cm.
28.
Os dois triângulos representados em cada uma das alíneas seguintes são iguais. Indica, em cada caso, o critério que pode ser utilizado para provar essa igualdade. D
A
28.1 2
2
4
B
C
4
28.3 73°
1
2 F
E
2
45° B
28.4
1
C 2
D
E
A 2
3
B
1
F
D
3
E
Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos a, b, q e f. Explica o teu raciocínio. 29.1
29.2 45° q
f
a
b
r 120°
r // s
t // u
t
b
60° q
s
16
45°
1 F
2
A
73°
D
C
29.
F
4
4
B
2 A
E
C
28.2
u a f
cateto
Num triângulo retângulo os dois lados adjacentes ao ângulo reto chamam-se catetos e o terceiro lado chama-se hipotenusa.
30.1 Num dado triângulo retângulo, os dois catetos têm o mesmo comprimento. Indica, justificando, a amplitude dos ângulos internos desse triângulo.
sa nu te po hi
30.
cateto
30.2 Como se designa a propriedade dos triângulos que permite afirmar que “a soma dos comprimentos dos dois catetos é maior que o comprimento da hipotenusa”?
30.3 Comenta a afirmação: “Num triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o lado de maior comprimento.”
31.
Indica se são verdadeiras, V, ou falsas, F, as seguintes afirmações. Justifica as tuas opções. A. Dois dos ângulos internos de um triângulo obtusângulo podem ter 40º e 53º de amplitude.
B. Um triângulo retângulo pode ser isósceles.
C. Um triângulo obtusângulo não pode ser isósceles.
32.
Na figura ao lado, [DE ]//[AB].
C
32.1 Determina a amplitude dos ângulos a, b e e. Explica o teu raciocínio.
a D
E 63°
e A
142°
b B
32.2 Classifica o triângulo [CDE] quanto à amplitude dos seus ângulos. Explica o teu raciocínio. 17
UNIDADE 1
TESTAR
Figuras no plano
1.
Considera os ângulos a e b, representados na figura.
α β
Constrói, usando régua e compasso: 1.1 as bissetrizes dos ângulos a e b; 1.2 um ângulo g que seja igual à soma de a e b.
2.
Observa a figura.
v
t
C
x
u
70º
r // s t // u
D
v // x
80º s A
r
β α
γ B
2.1 Determina as amplitudes dos ângulos a, b e g.
2.2 Classifica o triângulo [ABC] quanto à amplitude dos seus ângulos.
2.3 Os triângulos [ABC] e [BCD] são iguais. Indica o critério que podes utilizar para provar essa igualdade.
18
3.
A
O Hugo utilizou o quadriculado do seu caderno de matemática para construir o polígono ao lado.
B
F
3.1 Como classificas, quanto ao número de lados, o polígono representado?
C a E
D
3.2 Utilizando um transferidor, determina a amplitude do ângulo a. 3.3 Classifica o triângulo [EDC] quanto à amplitude dos seus ângulos.
4.
Para cada uma das afirmações seguintes, indica se é verdadeira ou falsa e corrige as falsas. A. Todos os ângulos internos de um triângulo retângulo são retos.
B. Dois dos ângulos internos de um triângulo retângulo podem ter 40º e 37º de amplitude.
C. Um triângulo equilátero pode ser retângulo. A
5.
Na figura ao lado está representado o triângulo isósceles [ABC].
a
5.1 Determina a amplitude dos ângulos a e b. Explica o teu raciocínio. B
b
63°
C
– = 4,5 cm, determina o com5.2 Sabendo que o perímetro do triângulo [ABC] é 12 cm e que AB primento dos lados AC e CB do triângulo. Explica o teu raciocínio.
6.
L
Observa o triângulo [SOL], representado na figura. Sem efetuares medições, indica qual dos lados tem maior comprimento. Justifica.
102º 47º S
7.
31º
O
Num triângulo retângulo, a amplitude de um dos ângulos é 45º. Classifica o triângulo quanto ao comprimento dos seus lados e quanto à amplitude dos seus ângulos internos.
19
UNIDADE 2
Números naturais
Operação
RESUMIR
Propriedade comutativa
a soma de dois números naturais não se altera quando se troca a ordem das parcelas. Exemplo: 56 + 24 = 24 + 56 = 80
+
associativa
a soma de três números naturais não se altera quando se associam as parcelas de um modo diferente. Exemplo: (23 + 7) + 10 = 23 + (7 + 10) = 40
comutativa
quando se troca a ordem dos fatores o produto não se altera. Exemplo: 4 ¥ 5 = 5 ¥ 4 = 20
associativa
o produto não se altera quando se associam os fatores de um modo diferente. Exemplo: (3 ¥ 2) ¥ 4 = 3 ¥ (2 ¥ 4) = 24
distributiva em relação à adição
*
o produto de um número por uma soma é igual à soma dos produtos desse número por cada uma das parcelas. Exemplo: 5 ¥ (8 + 9) = 5 ¥ 8 + 5 ¥ 9 = 90
distributiva em relação à subtração
o produto de um número por uma diferença é igual à diferença entre o produto desse número pelo aditivo e o produto desse número pelo subtrativo. Exemplo: 4 ¥ (6 – 4) = 4 ¥ 6 – 4 ¥ 4 = 8
Critérios de divisibilidade n
Um número é divisível por… 3
se e só se… a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Exemplo: 462 é divisível por 3, pois 4 + 6 + 2 = 12 e 12 é divisível por 3.
4
a soma do dobro do algarismo das dezenas com o algarismo das unidades é divisível por 4. Exemplo: 872 é divisível por 4, pois 2 ¥ 7 + 2 = 16 e 6 é divisível por 4.
9
a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Exemplo: 495 é divisível por 9, pois 4 + 9 + 15 = 18 e 18 é divisível por 9.
Propriedades dos divisores n Num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto. n Se um número natural é divisor de outros dois, então também é divisor das respetivas somas e diferenças. 20
n Dada uma divisão inteira (D = d x q + r), se um número divide o dividendo (D) e o divisor (d), então divide o resto (r = D – d x q). n Dada uma divisão inteira (D = d x q + r), se um número divide o divisor (d) e o resto (r), então divide o dividendo (D). n O maior divisor comum entre dois números, a e b, chama-se máximo divisor comum de a e b e representa-se por m.d.c. (a, b). n Para determinar o máximo divisor comum entre dois números, podem utilizar-se dois processos diferentes: através da listagem dos divisores de cada número ou através do algoritmo de Euclides. Exemplo: Determinar o máximo divisor comum de 16 e 30. Æ Através da listagem dos divisores D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Assim, m.d.c. (30, 16) = 2. Æ Usando o algoritmo de Euclides 30
16
14
1
16
14
02
1
14
2
0
7
n Quando dois números a e b têm como único divisor comum a unidade, isto é, m.d.c. (a, b) = 1, os números a e b dizem-se primos entre si. n O menor múltiplo comum, diferente de zero, entre dois números, a e b, chama-se mínimo múltiplo comum de a e b e representa-se por m.m.c. (a, b). Exemplo: Determinar o mínimo múltiplo comum de 10 e 15. M10 = {0, 10, 20, 30, 40, …} M15 = {0, 15, 30, 45, …} Assim, m.m.c. (10, 15) = 30. n O produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum. 21
UNIDADE 2
PRATICAR
Números naturais
1.
Identifica a propriedade da adição que permite escrever cada uma das seguintes igualdades. 1.1 10 + 12 = 12 + 10
1.2 16 + (6 + 10) = (16 + 6) + 10
2.
Identifica a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma das seguintes igualdades. 2.1 7 x 6 = 6 x 7
2.2 3 x (5 x 7) = (3 x 5) x 7
2.3 7 x (2 + 4) = 7 x 2 + 7 x 4
2.4 9 x (6 – 1) = 9 x 6 – 9 x 1
3.
Assinala com um X os números que são: 3.1 divisíveis por 3; 7
9
15
22
35
56
989
3.2 divisíveis por 4; 16
26
37
95
104
36
40
72
296
1252
3.3 divisíveis por 9. 18
4.
25
Escreve: 4.1 todos os divisores de 18; 4.2 todos os divisores de 21; 4.3 todos os divisores de 42.
22
97
258
5.
Dos números 1, 10, 14, 18, 24, 27, 30, 47 e 53, indica os que são: 5.1 múltiplos de 3;
5.2 divisíveis por 5;
5.3 divisores de 30;
5.4 múltiplos de 2 e 5, simultaneamente;
5.5 divisíveis por 2, 3 e 4, simultaneamente.
6.
Escreve: 6.1 os primeiros cinco múltiplos de 7;
6.2 os múltiplos de 12, menores que 76;
6.3 os múltiplos de 9, maiores que 18 e menores que 100.
7.
Escreve um número maior que cinco e menor que dezanove, com exatamente: 7.1 dois divisores;
7.2 três divisores;
7.3 quatro divisores;
7.4 cinco divisores.
23
UNIDADE 2
Números naturais
8.
PRATICAR
Determina: 8.1 o máximo divisor comum entre 15 e 20;
8.2 o mínimo múltiplo comum entre 14 e 10.
9.
Completa as seguintes expressões, referindo as propriedades que utilizaste: 9.1 4 + 5 = ____ + 4
9.2 (4 + 6) x ____ = ____ x 5 + ____ x 5
9.3 (4 + 6) + ____ = ____ +( ____ + 5)
9.4 (15 x 2) x ____ = 15 x 20
9.5 3 x ( ____ – ____ ) = ____ x 2 – ____ x 6
9.6 12 x 10 = ____ x 12
10.
Os divisores de um número são: 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Qual é o número?
11.
Completa os espaços com algarismos, de forma a tornar as afirmações verdadeiras. 11.1 478 ____ é divisível por 3. 11.2 23 ____ 4 ____ é divisível, simultaneamente, por 3 e 4. 11.3 14 ____ ____ ____ é divisível, simultaneamente, por 4 e 9. 11.4 245 ____ é divisível por 4, mas não é divisível por 3.
24
12.
Usando o algoritmo de Euclides, indica: 12.1 o m.d.c. (24, 60)
12.2 o m.d.c. (88, 66)
12.3 o m.d.c. (1386, 462)
13.
Indica: 13.1 o menor número natural que é, simultaneamente, divisível por 3, 4 e 9;
13.2 o maior número natural, menor que 100, simultaneamente divisível por 3 e por 4.
14.
Sabendo que a x b = 143 360 e que o m.d.c. (a, b) = 64, determina o m.m.c. (a, b).
15.
O produto de dois números naturais é 4200. Sabendo que o mínimo múltiplo comum desses números é 420, determina o máximo divisor comum dos mesmos. Explica o teu raciocínio.
16.
Em Portugal as eleições presidenciais ocorrem de 5 em 5 anos e as legislativas de 4 em 4 anos. Sabendo que em 2011 decorreram eleições legislativas e presidenciais, determina em que ano voltarão a coincidir as duas eleições, caso estas não tenham necessidade de ser antecipadas.
25
UNIDADE 2
Números naturais
17.
PRATICAR
Na figura está representada uma rede de metropolitano. Altinho Às 8 horas da manhã, todos os dias, sai um metropolitano da estação do Altinho e outro da estação da Barquinha, em direção ao Cruzeiro.
Barquinha
Cruzeiro – O Álvaro entra na estação do Altinho, de onde sai um metropolitano de 3 em 3 minutos, que leva 9 minutos a chegar ao Cruzeiro. – A Bárbara entra na estação da Barquinha, de onde sai um metropolitano de 5 em 5 minutos, que leva 6 minutos a chegar ao Cruzeiro. – O Álvaro e a Bárbara querem sair na estação do Cruzeiro, exatamente ao mesmo tempo, ainda antes das 8:30 horas da manhã. A que horas é que cada um deles deve apanhar o metropolitano? Apresenta todos os cálculos que efetuares e explica o teu raciocínio.
Retirado de Prova de Aferição de Matemática – B
18.
A Sílvia vai preparar um Hambúrguer Gourmet para uns amigos que vão jantar a sua casa. Este hambúrguer é acompanhado por um ovo escalfado e por umas estaladiças batatas fritas. No supermercado, a Sílvia verificou que os hambúrgueres apenas eram vendidos em caixas de quatro e os ovos em caixas de seis. Sabendo que a Sílvia pretende comprar o mesmo número de ovos e de hambúrgueres, determina o menor número de caixas de hambúrgueres que a Sílvia terá de comprar para que isso aconteça. Explica o teu raciocínio.
19.
O Sr. Ângelo e a D. Maria têm dois filhos, ambos emigrantes: um na Suíça e outro em Inglaterra. O que está na Suíça vem a Portugal visitar os pais de 90 em 90 dias, enquanto o que está em Inglaterra vem de 60 em 60 dias. Sabendo que no dia 25 de dezembro a família esteve toda reunida, determina a primeira data em que isso voltou a acontecer.
26
20.
Uma empresa de recolha de lixos pretende contratar novos motoristas para os seus camiões de recolha. A empresa precisa, no mínimo, de cinco novos colaboradores e sabe que, por uma questão orçamental, não pode contratar mais do que dez. Sabendo que a empresa pretende repartir igualmente entre os novos funcionários quarenta e nove pontos de recolha de lixo, determina quantos funcionários deve contratar a empresa.
21.
Considera as afirmações. A. B.
Todos os divisores de um número par são números pares. Todos os divisores de um número ímpar são números ímpares.
21.1 Uma das duas afirmações é falsa. Identifica-a.
21.2 Encontra um contraexemplo que prove que a afirmação que escolheste na alínea anterior é falsa.
22.
Considera os números 26 124 e 13 416. 22.1 Mostra que os números são divisíveis por 3 e por 4, mas não são divisíveis por 9.
22.1 Sem efetuares a divisão, mostra que 3 é divisor do resto da divisão inteira de 26 124 por 13 416.
23.
O Sr. Camilo é criador de cavalos e possui um terreno com 414 m de comprimento e 216 m de largura, que pretende vedar para poder soltar os animais. Calcula a quantidade mínima de estacas necessárias, sabendo que a distância entre duas estacas consecutivas é a mesma.
27
UNIDADE 2
Números naturais
1.
TESTAR
Completa as seguintes expressões referindo as propriedades que utilizaste. 1.1 24 + ____ = 13 + 24
1.2 ____ + (____ + 10) = (7 + 132) + 10
1.3 4 x ____ = ____ x 4 = 36
1.4 4 x (____ x ____) = (4 x 3) x 2 = ____ x ____ = 24
1.5 (2 + ____ ) x 5 = 2 x ____ + 3 x ____ = 10 + ____ = 25
1.6 ____ x (7 – ____ ) = 3 x 7 – ____ x 4 = ____ – 12 = 9
2.
Prova que, independentemente do algarismo que se coloque no espaço vazio, o número 437 ____ nunca poderá ser, simultaneamente, divisível por 2, 3 e 5.
3.
Completa o número 486 ____ de forma que seja divisível simultaneamente por: 3.1 4 e 5
3.2 4 e 9
4.
28
Usando o algoritmo de Euclides, indica o m.d.c. (36, 48).
5.
Determina o m.m.c. (36, 48).
6.
Determina o valor de a, sabendo que: • m.d.c. (a, b) = 36 • m.m.c. (a, b) = 2268 • b = 252
7.
O produto de dois números naturais é 1904. Sabendo que o máximo divisor comum desses números é 4, determina o mínimo múltiplo comum dos mesmos. Explica o teu raciocínio.
8.
O número 2012 não é divisível por 3. Assinala com um X a opção que apresenta o primeiro número par, superior a 2012, que é divisível por 3. [A] 2010 [B] 2013 [C] 2014 [D] 2016 29
UNIDADE 3
Números racionais não negativos
RESUMIR
Frações I Uma fração é um número que pode representar uma parte de um todo, que é considerado a unidade de medida. Uma fração permite também estabelecer uma relação entre duas grandezas ou entre duas medidas da mesma grandeza. Exemplo: “Dilua 1 porção de concentrado em 7 porções de água.” Æ
1 7
1 Uma relação deste tipo chama-se razão e escreve-se , ou 1 : 7, e lê-se “1 para 7”. 7 Numa razão, o numerador diz-se o antecedente e o denominador diz-se o consequente. Antecedente
1 7
Consequente
I Uma fração é o quociente entre um qualquer número inteiro e um número inteiro diferente de zero. O dividendo é o numerador da fração e o divisor é o denominador da fração. Então, uma fração pode ser expressa na forma de dízima, havendo dízimas finitas e dízimas infinitas: 3 = 1,5 2
1 = 0,3333… 3
twuwv
twwuwwv
1,5 é uma dízima finita
0,3333… é uma dízima infinita
Nas dízimas infinitas periódicas, como é o caso do 0,3333…, pode escrever-se, entre parênteses, o período da dízima, ou seja, o algarismo ou algarismos que se repetem. Assim, 0,3333… = 0,(3).
I Uma fração pode ser um número inteiro ou um número não inteiro. Um número não inteiro que possa ser representado por uma fração diz-se um número fracionário. Exemplos: 1. 18 = 3 Æ Número inteiro 6
30
2.
3 = 0,75, ou seja, 75% Æ número não inteiro Æ Número fracionário 4
3.
4 = 1,3333… Æ número não inteiro Æ Número fracionário 3
Números racionais I Qualquer número, inteiro ou não inteiro, que possa ser representado por uma fração diz-se um número racional. As frações cujo denominador é 10, 100, 1000, … designam-se por frações decimais. Os números que podem ser representados por frações decimais dizem-se números decimais. Exemplos: 1.
7 53 227 561 , , , , … são frações decimais. 10 100 1000 100
2.
7 53 227 561 = 0,7 , = 0,53 , = 0,227 , = 5,61 , … são números decimais. 10 100 1000 100
Frações equivalentes I Duas frações dizem-se equivalentes se representam o mesmo número racional. :2
2 6
=
1 3
ª
2 e 6
1 3
são frações equivalentes
:2
I Simplificar uma fração é determinar uma fração que lhe seja equivalente, mas com menor numerador e denominador. Quando não é possível simplificar uma fração diz-se que ela é irredutível. :2
20 52 10 ainda se pode simplificar 26
:7
= 10 = 26 :2
5 13
5 já não se pode simplificar 13 É uma fração irredutível
:7
, 10 e 5 ª 20 52 26 13 são frações equivalentes
Comparação e ordenação de números racionais I Uma fração em que o numerador é menor do que o denominador representa um número racional menor do que a unidade. Trata-se de uma fração própria. 3 3 Exemplo: 4 < 1 porque 3 < 4. Repara que 4 = 0,75. 1 4 1 333 Outros exemplos: , , , ,… 2 7 17 3333 31
UNIDADE 3
Números racionais não negativos
RESUMIR
I Uma fração em que o numerador é maior do que o denominador representa um número racional maior do que a unidade. Trata-se de uma fração imprópria. Exemplo:
15 15 > 1 porque 15 > 2. Repara que = 7,5. 2 2
4 7 18 777 Outros exemplos: , , , ,… 3 6 17 3 I Uma fração em que o numerador é igual ao denominador representa a unidade. Exemplo:
7 = 1 porque 7 = 7. 7
4 7 18 777 Outros exemplos: , , , ,… 4 7 18 777
Adição e subtração de números racionais I Para adicionar dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, adicionam-se os numeradores e mantém-se o denominador. Exemplo:
2 4 6 + = 8 8 8
I Para subtrair dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, subtraem-se os numeradores e mantém-se o denominador. Exemplo:
4 2 2 – = 8 8 8
I Para adicionar ou subtrair números racionais representados por frações com denominadores diferentes, deve-se, em primeiro lugar, escrever frações equivalentes às dadas, mas que tenham o mesmo denominador. Depois, basta proceder como anteriormente. I Para adicionar ou subtrair dois números representados como um numeral misto, começa-se por adicionar ou subtrair respetivamente as partes inteiras e as frações próprias associadas podendo haver necessidade de se transportar uma unidade. Exemplos: 5 9
1 2 1 2 3 2 5 5 +3 =5+3+ + =8+ + =8+ =8 2 6 2 6 6 6 6 6 1 1 7 1 7 1 7 3 4 4 –5 =8 –5 =8–5+ – =3+ – =3+ =3 6 2 6 2 6 2 6 6 6 6
Percentagem I Uma percentagem é uma razão em que o denominador é 100. I Uma percentagem pode escrever-se sob a forma de fração ou de numeral decimal. 32
Multiplicação e divisão de números racionais I Para multiplicar números racionais representados por frações, multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores das frações. Se um dos números racionais a multiplicar for representado por um numeral misto, basta aplicar a regra utilizada para multiplicar números racionais representados por frações, após ter convertido o numeral misto numa fração. 3 2 2 ¥ 5 + 3 2 13 2 26 Exemplo: 2 5 ¥ 3 = ¥3= 5 ¥3= 5 15 I Para multiplicar um número inteiro por um número racional representado por uma fração, multiplicamos o inteiro pelo numerador e damos ao produto o denominador da fração. 2 4¥2 8 Exemplo: 4 ¥ 3 = = 3 3 I Dois números racionais cujo produto é igual a 1 dizem-se inversos um do outro. 3 2 Exemplo: ¥ = 1 2 3 • O número zero não tem inverso. • Na prática, pode-se encontrar o inverso de qualquer número, exceto o zero, trocando-lhe o numerador pelo denominador. I Para dividir frações com o mesmo denominador, basta dividir os numeradores. 10 2 Exemplo: : =5 3 3 I Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor. 2 3 2 7 14 Exemplo: 5 : = ¥ = 7 5 3 15
Valores aproximados Métodos utilizados para aproximar números: • Truncatura: “deixa cair” todos os decimais que não são precisos. Resulta sempre numa aproximação por defeito. • Aproximação por excesso • Arredondamento: fornece a melhor aproximação possível, escolhendo, consoante o caso, um valor aproximado por defeito ou um valor aproximado por excesso. Exemplo:
Número
Aproximação por defeito
Aproximação por excesso
Arredondamento (2 c.d.)
3,1234
3,12
3,13
3,12
4,1375
4,13
4,14
4,14
33
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 1.
2.
3.
34
PRATICAR
Assinala com um X a fração que pode representar a parte pintada de verde em cada um dos seguintes círculos. 1.1
1 4
2 4
3 4
4 4
1.2
1 4
2 4
3 4
4 4
1.3
2 10
5 10
7 10
9 10
1.4
3 10
1 2
6 9
5 5
A figura seguinte representa parte de uma unidade.
2.1 Se a figura representar
1 da unidade, desenha a unidade. 2
2.2 Se a figura representar
2 da unidade, desenha a unidade. 5
Em alguns jogos de bilhar, utilizam-se bolas iguais às da figura.
Observa a figura e indica a razão entre: 3.1 o número de bolas verdes e o número total de bolas; 3.2 o número de bolas totalmente brancas e o número de bolas coloridas; 3.3 o número de bolas com números pares e o número total de bolas; 3.4 o número de bolas com números ímpares e o número de bolas com números primos. 4.
Escreve uma fração com numerador 3: 4.1 que represente um número inteiro; 4.2 que represente um número fracionário.
5.
Completa a tabela. Fração
Leitura
Fração decimal
Fração própria ou imprópria?
4 3
Quatro terços
Não
Imprópria
Número fracionário ou inteiro? Fracionário
2 5 Três nonos 8 4
6.
Considera as frações: 1 7
4 7
8 4
7 7
3 5
4 2
2 6
5 4
12 11
Indica: 6.1 as frações que representam um número inteiro; 6.2 as frações que representam um número fracionário; 6.3 as frações que representam um número maior do que 1; 6.4 duas frações equivalentes; 6.5 duas frações irredutíveis; 6.6 as frações impróprias; 6.7 as frações próprias. 35
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 7.
Em cada uma das seguintes situações, escreve um número no ções sejam equivalentes. 7.1 7.3 7.5
8.
1 = 6 9 3 7 = 1 3 6 4 = 1 8 2
, de modo a que as duas fra-
7.2 2 = 1 4 4 10 7.4 = 1 4 35 12 7.6 = 1 6 2
De entre as seguintes frações, apenas uma é uma fração decimal. Assinala-a com um X. 3 10
9.
PRATICAR
1 7
1 3
4 3
7 6
1 33
A Amélia fez um colar com pedras pretas e pedras brancas. Dois terços das pedras que utilizou eram pretas. Pinta, com o teu lápis, as pedras pretas do colar da Amélia representado abaixo.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2006
4 , 0,5 e 32% por ordem crescente. 5
10.
Coloca os números
11.
Une as frações equivalentes: 2 3 7 3 4 5 15 35
12.
• • •
21 9 16 • 20 4 • 6 3 • 7 •
Que parte de uma hora representam: 12.1 30 minutos?
12.2 15 minutos?
12.3 45 minutos?
12.4 20 minutos?
12.5 60 minutos? 36
•
13.
14.
Que parte de um ano representam: 13.1 6 meses?
13.2 3 meses?
13.3 9 meses?
13.4 7 meses?
Assinala 4 na reta numérica seguinte. Explica o teu raciocínio. 8 0
15.
1
O automóvel do Sr. Artur avariou. O mecânico, depois de analisar o automóvel, disse-lhe: Isto é grave! 3 em cada 9 automóveis com um problema destes não têm arranjo…
Como poderia ter o mecânico transmitido a mesma informação? (Escolhe a opção correta.) [A] Isto é grave! 30% dos automóveis com um problema destes não têm arranjo... [B] Isto é grave! 2 dos automóveis com um problema destes não têm arranjo... 3 [C] Isto é grave! 1 dos automóveis com um problema destes não têm arranjo... 3 [D] Isto é grave! 33% dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
16.
Na imagem ao lado vê-se o Constantino a cortar uma parte de uma maçã. Será que a fração 45 pode representar a parte da maçã cortada pelo Constantino? 88 Justifica.
37
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 17.
18.
38
PRATICAR
Calcula o valor das expressões numéricas, indicando todos os cálculos que efetuares. 17.1 3 1 + 2 1 4 5
17.2 0,5 + 1 4
17.3 3 + 4 + 0,5 7 7
17.4 5 ¥ 2 3
17.5 5 3 – 2 5 5 7
17.6 3 ¥ 7 5 2
17.7 0,5 ¥ 4 7
17.8 11 ¥ 0,2 10
17.9 4 – 1 + 1 5 10 2
17.10 1 – 1 4 6
17.11 3 + 5 + 1 21 7 3
17.12 3 + 1 ¥ 5 4 3 2
17.13 2 + 3 ¥ 4 5 2 3
17.14
( 79 – 39 ) + 5 43
17.15 0,5 + 1 3 – 0,25 + 3 4
17.16 4 + 3 – 0,2 + 2 1 5 3 3
17.17
( 25 + 32 ) ¥ 43
17.18
17.19 1 + 3 : 3 2 4
17.20
( 12 + 34 ) : 3
17.21 2 1 – 3 : 6 4 5
(
3 ¥ 2
)
( 14 + 53 )
Completa com os símbolos >, < ou =. 18.1 3 _____ 9 4 8
18.2 2 _____ 5 4 10
18.3 1 _____ 4 3 7
18.4 3 _____ 7 7 3
18.5 4 _____ 0,6 5
18.6 37 _____ 17 42 21
18.7 7 _____ 4 200 200
18.8 4 _____ 36 5 45
19.
Das afirmações seguintes, indica as verdadeiras e corrige as falsas. A. Frações cujo numerador é maior que o denominador representam um número menor que 1. B. Frações cujo denominador é 1 representam um número fracionário. C. Frações cujo denominador é igual ao numerador representam a unidade.
20.
O esquema seguinte mostra a família do Tomás.
Avô – 70 anos
Pai – 41 anos
Mãe – 40 anos
Tomás – 12 anos
Irmã – 8 anos
A tabela seguinte apresenta as recomendações de alguns especialistas sobre o consumo diário de leite. Idades
Quantidade diária de leite (em litros)
Dos 3 aos 9 anos
1 2
Dos 10 aos 20 anos
3 4
Dos 21 aos 55 anos
1 2
A partir dos 56 anos
3 4
20.1 Que quantidade de leite consome a família do Tomás, num dia, se todos seguirem as indicações da tabela? Explica como encontraste a resposta. Para o fazeres, podes usar palavras, desenhos ou cálculos.
20.2 Segundo as indicações da tabela, quem deve beber mais leite, o Tomás ou a sua irmã? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2003
39
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 21.
PRATICAR
Perguntou-se aos 30 alunos de uma turma qual era a sua disciplina preferida. 30% dos alunos afirmaram que era Matemática, 1 afirmaram ser Língua Portuguesa e os restantes afirmaram 5 que era Educação Física. 21.1 Que parte dos alunos prefere Educação Física?
21.2 Quantos alunos preferem Matemática?
22.
Determina a área da região colorida de cada uma das seguintes figuras. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 22.1
22.2
5 cm
5 cm
8 cm
23.
O Rodrigo adora correr e todos os dias se dirige ao parque da cidade, onde faz um percurso de 1600 m. Normalmente, ao fim de 3 desse percurso, 5 o Rodrigo faz uma pequena pausa para beber água numa fonte. Nesse instante, quantos metros faltam ao Rodrigo para terminar o seu percurso diário? Explica o teu raciocínio.
40
8 cm
24.
A Joana construiu um colar de contas. Um oitavo das contas do colar são brancas, dois sétimos são azuis, três doze avos são vermelhas e as restantes são amarelas ou verdes. 24.1 O colar da Joana tem mais contas brancas ou azuis? Explica o teu raciocínio.
24.2 O que representa a expressão 1 + 2 + 3 ? Calcula o seu valor. 8 7 12
24.3 Sabendo que o colar tem tantas contas amarelas como verdes, que parte das contas são amarelas? Explica o teu raciocínio.
25.
Numa universidade, a razão entre o número de alunos que foram colocados em Arquitetura e o número de alunos que se candidataram ao referido curso é 1 . 3 25.1 Comenta a afirmação: “A razão 1 significa que, dos três alunos que se candidataram ao 3 curso de Arquitetura, apenas um foi colocado.”
25.2 Se foram colocados 90 alunos, quantos alunos se candidataram ao curso? Explica o teu raciocínio.
25.3 Se foram 300 os candidatos, quantos foram colocados no curso? Explica o teu raciocínio.
25.4 Nessa mesma universidade, a razão entre o número de alunos que foram colocados em Engenharia Civil e o número de alunos que se candidataram ao curso é 1 . Em qual dos cursos, 4 Arquitetura ou Engenharia Civil, se candidataram mais alunos? Explica o teu raciocínio.
41
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 26.
PRATICAR
O Carlos e o João praticam futebol no clube da sua freguesia, formando a dupla de avançados titulares. Até agora, em conjunto, marcaram 6 dos golos da equipa no campeonato, sendo o 10 Carlos o melhor marcador. 26.1 Escreve dois números que possam representar a quantidade de golos que cada um deles marcou.
26.2 Calcula o valor da expressão 1 – 6 e interpreta o resultado no contexto descrito. 10
26.3 Comenta a afirmação: “Em conjunto, o Carlos e o João já marcaram mais golos do que todos os outros jogadores.”
27.
O Simão foi ao cinema com os seus colegas de turma. Dos 9 ¤ que levou para o cinema, o Simão gastou 40% no bilhete, 1 nas pipocas e o restante na bebida. 3 27.1 Quanto custou ao Simão o bilhete para o cinema?
27.2 Quanto gastou o Simão nas pipocas?
27.3 O que foi mais caro: a bebida ou as pipocas? Explica o teu raciocínio.
28.
Na semana passada, o Carlos e o João, que são irmãos, ajudaram o seu vizinho a cortar a relva do jardim. Como recompensa, receberam do vizinho duas caixas de bombons iguais, uma para cada um. O João já comeu 1 dos seus bombons e o Carlos 1 dos dele. 4 6 28.1 Qual dos dois irmãos já comeu mais bombons?
28.2 Se cada caixa tinha 36 bombons, quantos bombons ainda têm os dois irmãos em conjunto?
42
29.
30.
31.
O Sr. Joaquim tem um terreno com a forma de um quadrado, onde pretende plantar couves, cebolas, alhos, beringelas, pepinos, tomates e alfaces. A plantação de couves ocupará um quarto do terreno. O resto do terreno será dividido igualmente pelas outras plantações. Utiliza o esquema do terreno para explicar ao Sr. Joaquim como poderá ele dividir o seu terreno.
A arca frigorífica do Firmino avariou e a reparação era mais cara do que a compra de uma nova. Assim, depois de decidir qual o modelo que pretendia comprar, o Firmino viu preços em várias lojas. O resumo das informações recolhidas pelo Firmino apresenta-se ao lado. Em qual das três lojas a arca é mais barata? Explica o teu raciocínio.
couves
Loja A: Custa 350 €, mas fazem 10% de desconto. A entrega custa 20 €. Loja B: Custa 280 € + IVA (20%). A entrega é gratuita. Loja C: Custa 380 €, mas fazem 20% de desconto. A entrega custa 15 €.
No seu aniversário, o Joaquim recebeu, dos seus avós, 50 ¤ que usou para comprar um jogo de tabuleiro. Gastou 7 do total nessa compra. 10 31.1 Quanto custou o jogo que o Joaquim comprou?
31.2 O que representa a expressão 50 – 7 ¥ 50? 10
31.3 Resolve a expressão da alínea anterior.
32.
O campo de jogos da escola do Vicente tem 56 m de comprimento e 4 do comprimento de largura. 7 Quantos metros de rede serão necessários para vedar o campo de jogos? Explica o teu raciocínio.
43
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 33.
PRATICAR
A Maria gasta, por mês, 3 do seu vencimento em produtos alimentares. Sabendo que 2 dessa 8 5 quantia são para comprar peixe, que fração do vencimento gasta a Maria na peixaria? Explica o teu raciocínio.
34.
De seguida apresentam-se quatro números fracionários: 1 2
1 5
1 10
1 3
Observa a reta numérica seguinte e escreve cada uma das frações anteriores na caixa certa. Explica o teu raciocínio.
•
•
•
•
0 35.
1
Para se preparar para um teste de Matemática, o Júlio resolveu muitos exercícios. Um quarto dos exercícios que resolveu eram do Manual, um sexto eram do Caderno de Atividades e os restantes eram de uma ficha de trabalho que a professora forneceu. 35.1 Calcula o valor da expressão numérica e interpreta o resultado no contexto descrito: 1–
( 14 + 16 )
35.2 O Júlio resolveu 200 exercícios. Quantos desses exercícios eram do Manual? Explica o teu raciocínio.
35.3 De onde resolveu o Júlio mais exercícios: do Manual, do Caderno de Atividades ou da ficha de trabalho? Justifica.
36.
Na figura está representado um quadrado [ABCD].
A
B
D
C
Que parte do quadrado está colorida de vermelho?
44
37.
O Sr. Fernandes tem um terreno retangular com 30 m de comprimento, que se encontra representado na figura ao lado.
30 m
37.1 Determina a área do terreno sabendo que a sua largura é 2 do 3 seu comprimento.
37.2 Com a passagem de uma estrada, 30% do terreno foi-lhe expropriado pelo Estado, que lhe pagou 50,50 ¤ por cada metro quadrado de área. Quanto recebeu o Sr. Fernandes? Explica o teu raciocínio.
38.
A Cristiana desenhou no seu caderno de Matemática umas barras coloridas, como as representadas na imagem. 38.1 Considera como unidade a barra azul. Que fração da barra azul é representada pela: a) barra verde?
b) barra roxa?
38.2 Considera como unidade a barra vermelha. Que fração da barra vermelha é representada pela: a) barra preta?
b) barra roxa?
38.3 Se a barra azul representar 1 , qual é a barra que representa 1? 2
38.4 Se a barra verde representar 1 , qual é a barra que representa 1 ? 5 10
39.
A partir dos dados da figura, inventa um problema que possa ser resolvido pela expressão 25 450 ¥ 1 e resolve-a. 3
VENDO 25 450 €
45
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 40.
PRATICAR
O Joaquim é designer gráfico e está a criar um logótipo para uma empresa. O Joaquim decidiu que o logótipo terá a forma de um hexágono regular verde, com uma parte pintada de azul. Num modelo, que se encontra representado de seguida, pintou metade do hexágono de azul. O gerente da empresa gostou, mas achou que devia ter menos azul. Assim, pediu ao Joaquim que idealizasse dois novos modelos para ele avaliar: um modelo devia ter 1 pintado de azul e o 3 outro devia ter 1 . O Joaquim não sabe como o fazer… 6 Ajuda o Joaquim criando dois logótipos que cumpram as condições do gerente. 1.° modelo
41.
2.° modelo
O Gil comprou amêndoas da Páscoa, umas eram azuis e outras eram brancas. As amêndoas compradas pelo Gil estão representadas na figura.
41.1 Dois terços das amêndoas que comprou eram azuis. Quantas amêndoas azuis comprou o Gil? Explica o teu raciocínio.
41.2 O Gil decidiu dividir todas as amêndoas azuis pelos seus três irmãos. Com que fração de amêndoas azuis ficou cada irmão? Explica o teu raciocínio.
41.3 Quantas amêndoas azuis eram de chocolate? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2007
46
42.
O Aníbal quer comprar um CD de música da sua banda preferida. Para tal, abriu o seu mealheiro, para usar o dinheiro que tinha vindo a juntar. A figura seguinte mostra o dinheiro que o Aníbal tinha no mealheiro.
42.1 O Aníbal pegou em 2 desse dinheiro e deslocou-se à loja de música. 5 Com que notas e/ou moedas o Aníbal poderá ter saído de casa? Explica o teu raciocínio.
42.2 Quando chegou à loja, o Aníbal reparou que o CD custava 3 do dinheiro que levava consigo. 4 Escreve uma fração que represente a parte do dinheiro que o Aníbal gastou com o CD. Explica o teu raciocínio.
43.
A garrafa da figura tem capacidade para 1 1 litros de água. 2 Quantos copos de 1 litro é possível encher utilizando a água de uma 3 garrafa cheia? Explica o teu raciocínio.
47
UNIDADE 3
Números racionais não negativos 1.
TESTAR
Observa a fotografia de um grupo de alunos de uma turma do 12.º ano.
Indica a razão entre: 1.1 o número de rapazes e o número total de alunos deste grupo;
1.2 o número de rapazes e o número de raparigas do grupo;
1.3 o número de raparigas que vestem saia e o número total de raparigas do grupo.
2.
Na figura está representado um retângulo. Sabendo que o retângulo corresponde a 2 da unidade, 9 desenha a unidade.
3.
Determina, se possível, a fração decimal que representa cada um dos seguintes números racionais. 3.1 0,9
3.2 3 25
48
4.
Completa de modo a que as duas frações sejam equivalentes.
14
=
6 7
5.
Escreve a fração 28 na forma irredutível. 36
6.
Completa os espaços em branco, utilizando os símbolos >, < e =. 6.1 2 3 _____ 3 4
7.
6.2 4 _____ 5 7 7
6.3 7 _____ 7 3 5
O Ricardo comprou três embalagens com 20 CD cada uma. Já utilizou 1 dos CD de uma emba2 lagem, 1 dos CD de outra e 1 dos CD da terceira embalagem. 4 5 7.1 Juntando os CD que sobraram nas três embalagens, quantos CD tem, ao todo, o Ricardo? Explica o teu raciocínio.
7.2 As embalagens de CD estavam em promoção, com um desconto de 20%. Pelas três, o Ricardo pagou 12 ¤. Quanto custava cada embalagem sem o desconto? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2008
8.
De seguida apresenta-se uma reta numérica, na qual está assinalado um ponto que representa um número racional. • 0
1
2
3
4
Escreve uma fração que represente esse número.
49
UNIDADE 3
Números racionais não negativos
TESTAR
9.
O Fernando paga uma cota anual de 100 ¤ para ser sócio de um determinado clube de futebol. Como contrapartida, o cartão de sócio funciona como cartão de desconto em algumas lojas parceiras do clube. Sabendo que, nessas lojas, apresentando o seu cartão de sócio, o Fernando tem um desconto imediato de 10% em todas as compras que efetuar, determina quanto terá de gastar anualmente o Fernando nessas lojas para que lhe compense financeiramente ser sócio do clube. Explica o teu raciocínio.
10.
A Rita foi para o Algarve passar as férias de verão com os seus pais. Depois de ter percorrido 6 dos 561 km que separam a sua casa do 11 seu destino de férias, decidiu fazer uma paragem para descansar. 10.1 Quantos metros ainda faltam percorrer para a Rita chegar ao seu destino?
10.2 A Rita vai fazer
2 da viagem em autoestradas. Sabendo que cada quilómetro que percorre 3
na autoestrada tem um custo de 10 cêntimos, indica o valor, aproximado às unidades, que a Rita vai gastar para chegar ao seu destino.
11.
Calcula o valor da expressão numérica seguinte. 5 1 2 – ¥ 3 4 3
50
O Sr. Alberto vende, na sua papelaria, canetas de diferentes cores. Esta semana já vendeu 2 de 3 1 2 uma embalagem de canetas azuis, de uma embalagem de canetas vermelhas e de uma 6 5
s de ni da 30
U
ni da U 30
U
ni da
de
de
s
s
embalagem de canetas pretas.
30
12.
Atendendo aos dados da figura, responde às seguintes questões. 12.1 Qual foi o tipo de caneta mais vendido, durante esta semana, pelo Sr. Alberto? Explica o teu raciocínio.
12.2 Quantas canetas pretas vendeu o Sr. Alberto esta semana?
12.3 Juntando as canetas que sobraram nas três embalagens, quantas canetas tem ainda para vender o Sr. Alberto? Explica o teu raciocínio.
12.4 Sempre que pode, o Sr. Alberto ajuda os alunos carenciados da escola. Desta vez, dividiu as canetas pretas que ainda restavam na embalagem por três alunos. Escreve uma fração que represente a parte da embalagem de canetas com que cada aluno ficou. Explica o teu raciocínio.
51
UNIDADE 4
Representação e interpretação de dados
RESUMIR
Referencial cartesiano n No plano, para localizar pontos pode-se utilizar um referencial cartesiano. n Um referencial cartesiano pode ser composto por dois eixos perpendiculares entre si, cada um deles com uma orientação, indicada por uma seta, e uma graduação. O ponto O, onde os dois eixos se intersetam, diz-se a origem do referencial. O eixo horizontal, Ox, designa-se por eixo das abcissas, ou eixo dos xx. O eixo vertical, Oy, designa-se por eixo das ordenadas, ou eixo dos yy.
y Eixo das ordenadas 5 4 3 2 Origem do referencial
1 0
1
2
3
4
5
x
Eixo das abcissas
n No plano, a posição de qualquer ponto pode ser definida através de um par ordenado de números, (x, y). O primeiro número desse par, x, é a abcissa do ponto e o segundo número, y, é a ordenada. x e y dizem-se as coordenadas do ponto.
(
)
Ponto B 1 , 14 4 3
5 4 Ordenada
3 Ponto A(3, 1)
2 1 0
1
2
3
4
Abcissa
52
5
x
Estatística n A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar e interpretar dados. n Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta é o número de vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa é o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pelo número total de observações. n Depois de organizados, os dados recolhidos podem ser representados por um gráfico:
Pictograma
Gráfico de barras Profissões desejadas pelos alunos
Garrafas recolhidas para reciclagem Número 8 de alunos 7
Janeiro
6
= 20 garrafas
Fevereiro
5 4 3 2
Março
1 0
Abril
Médico
Astronauta Professor Comerciante Futebolista Profissões
Gráfico de linha
Diagrama de caule-e-folhas
Crescimento demográfico nas últimas décadas População 7 (mil milhões)
6 5 4 3
5 6 7 8 9 caule
1 6 6 2 0
8 4 3 6 3
3 8 9 1
9 7 3 6
6 6 7
1 4
3
folhas
2 1 0 1950
1960
1970
1980
1990
2000 2010 Anos
n A média de um conjunto de dados é o valor que se obtém dividindo a soma dos valores observados pelo número total de observações. n A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com mais frequência nos dados. 53
UNIDADE 4
Representação e interpretação de dados 1.
PRATICAR
No referencial ao lado estão assinalados alguns pontos. 1.1 Indica as coordenadas de cada um desses pontos.
1.2 Qual dos pontos pertence ao eixo das abcissas?
1.3 Qual dos pontos possui maior ordenada?
2.
Uma empresa discográfica realizou um inquérito para averiguar os tipos de música mais apreciados por uma comunidade estudantil. Cada um dos inquiridos referiu apenas um tipo de música. Os resultados obtidos encontram-se registados a seguir: Tipo de música Clássica
Contagem |||
Pop
|||| ||
Rock
||||
Rap
||||
Eletrónica
|||| |
2.1 Quantas pessoas responderam ao inquérito?
2.2 Qual o tipo de música que registou mais simpatizantes?
2.3 Organiza os dados obtidos numa tabela de frequências (absolutas e relativas).
2.4 Qual é a percentagem de pessoas que prefere a música clássica?
2.5 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
54
A Raquel fez um estudo sobre as nacionalidades dos amigos que possui numa das redes sociais da Internet. Registou a seguinte contagem: Nacionalidade Portuguesa
Contagem |||| |||| |||| |||| |||
Brasileira
|||| |||| |||| ||
Inglesa
|||| ||||
Espanhola
|||| |||| ||||
3.1 Quantos amigos tem a Raquel na rede social? 3.2 Qual é a nacionalidade mais frequente nesse conjunto de amigos? 3.3 Organiza os dados numa tabela de frequências (absolutas e relativas).
3.4 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
3.5 O gráfico de linha ao lado mostra a evolução do número de amigos da Raquel, na rede social, ao longo dos últimos meses. a) Quantos amigos tinha a Raquel na rede social no mês de novembro?
Evolução do número de amigos da Raquel ao longo de 4 meses Número de amigos
3.
70 60 50 40 30 20 10
b) Atendendo aos dados do gráfico, faz uma previsão acerca do número de amigos que a Raquel terá, na rede social, no fim do mês de janeiro.
0 Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro Meses
55
UNIDADE 4
Representação e interpretação de dados 4.
PRATICAR
Na turma do Ricardo, os alunos construíram um pictograma com os dados relativos ao instrumento musical que gostariam de aprender a tocar. Cada aluno escolheu apenas um instrumento musical. Legenda:
Aprendizagem de um instrumento musical Instrumentos musicais
= 2 alunos
Número de alunos
Flauta Harpa Piano Violino Guitarra
4.1 Da turma do Ricardo, só duas raparigas gostariam de aprender a tocar piano. Quantos rapazes, da turma do Ricardo, gostariam de aprender a tocar piano?
4.2 Utiliza a informação do pictograma anterior para completares o gráfico de barras seguinte. (Escreve o nome dos instrumentos e desenha as duas barras que faltam no gráfico.)
Número de alunos
Aprendizagem de instrumento musical 14 12 10 8 6 4 2 0 __________
__________
Violino
Harpa
Instrumentos musicais
4.3 O Ricardo escreveu um relatório sobre os instrumentos que ele e os seus colegas gostariam de aprender a tocar. Completa, com números, os espaços do relatório assinalados com um traço, utilizando a informação do pictograma. Na nossa turma, disseram que gostariam de aprender a tocar guitarra ______ alunos. Preferiam aprender a tocar violino ______ alunos. Há ______ alunos que gostavam de aprender a tocar flauta e ______ que preferiam aprender a tocar piano. Só a Leonor é que disse que gostaria de aprender a tocar harpa. Concluímos que o instrumento musical que mais alunos gostariam de aprender a tocar é a guitarra. Ricardo
Prova de Aferição de Matemática, 2.° Ciclo, 2008
56
5.
Uma percentagem significativa de estudantes transporta diariamente na sua mochila mais peso do que aquele que é recomendado. Os dados que se seguem representam o peso das mochilas, com o respetivo material escolar, de 15 alunos do colégio que o Álvaro frequenta. 4,9
5,1
4,1
5,2
5,4
5,0
4,7
4,8
5,4
4,3
3,9
4,6
5,3
4,2
4,3
5.1 Constrói um diagrama de caule-e-folhas representativo da situação.
5.2 Qual foi o peso máximo encontrado?
5.3 Qual é o peso mais frequente? Como se designa esse valor?
5.4 Quanto peso transporta, em média, cada aluno?
5.5 Foi pesada a mochila de um outro aluno desse colégio. Quanto esperas que a sua mochila pese? Explica o teu raciocínio.
5.6 Segundo vários especialistas, para evitar lesões na coluna vertebral, o peso de uma mochila, com o respetivo material escolar, não deve ultrapassar 10% do peso do estudante que a transporta. Considerando este facto e a resposta que deste na alínea anterior, quanto deverá pesar, no mínimo, o dono da mochila? Explica o teu raciocínio.
6.
Durante o presente ano letivo, o Sebastião teve, nos testes de Matemática, as seguintes classificações: 86%, 95%, 84%, 93% e 86% Qual é a classificação que o Sebastião tem de alcançar no próximo teste, para conseguir ficar com uma média de, pelo menos, 90%? Explica o teu raciocínio.
57
UNIDADE 4
Representação e interpretação de dados
O Restaurante São José propõe, diariamente, aos seus clientes, quatro ementas diferentes: um prato de peixe, um prato de carne, um prato vegetariano e uma sanduíche especial. Para ir ao encontro das necessidades dos seus clientes, a direção do restaurante fez um inquérito onde era perguntado o prato escolhido para a refeição e o grau de satisfação para com o mesmo (Satisfaz e não satisfaz). Os dados recolhidos encontram-se representados no gráfico de barras. 7.1 Quantos clientes preencheram o inquérito?
Grau de satisfação com a ementa escolhida Frequência absoluta
7.
PRATICAR
8 Satisfaz
7
Não Satisfaz 6 5 4 3
7.2 Quantos clientes escolheram a ementa com a sanduíche especial?
2 1 0 Carne
Peixe
Vegetariano
Sanduíche Ementas
7.3 Qual foi a ementa pedida com mais frequência?
7.4 Constrói uma tabela de frequências absolutas que represente a situação.
7.5 Calcula a percentagem de clientes que escolheu a ementa com o prato de carne.
7.6 Calcula a percentagem de clientes que não ficou satisfeito com o prato vegetariano.
7.7 Comenta a afirmação: “Cerca de 60% dos clientes mostram-se satisfeitos com a comida do Restaurante São José”.
58
8.
Num campeonato de futebol cada equipa conquista: • 3 pontos por cada vitória; • 1 ponto por cada empate; • 0 pontos por cada derrota. Na tabela abaixo está representada a distribuição dos pontos obtidos pela equipa Os Lutadores durante o campeonato. Pontos
Número de jogos
3
15
1
9
0
6
8.1 Quantos jogos realizou a equipa Os Lutadores durante o campeonato?
8.2 Qual foi o resultado mais frequente desta equipa durante o campeonato?
8.3 Qual foi o total de pontos obtidos pela equipa Os Lutadores nos jogos em que ganharam?
8.4 Qual foi a média de pontos, por jogo, da equipa Os Lutadores, neste campeonato? Apresenta os cálculos que efetuares.
8.5 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 8.° ano, abril 2009
59
UNIDADE 4
Representação e interpretação de dados 9.
PRATICAR
O Rúben quer comprar uma bicicleta nova. Para conseguir reunir os 280 ¤ necessários à sua compra, decidiu juntar, mensalmente, algum dinheiro. O gráfico ao lado representa as economias feitas pelo Rúben ao longo dos últimos meses. 9.1 Quanto dinheiro juntou o Rúben durante o mês de março?
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
Junho Maio Abril Março Fevereiro
9.2 Até ao momento, em que mês o Rúben conseguiu juntar mais dinheiro?
9.3 Faz uma estimativa do dinheiro que o Rúben conseguiu reunir desde o início do mês de março até ao final do mês de maio.
9.4 Relativamente ao mês de abril, quanto dinheiro conseguiu o Rúben juntar a mais no mês de maio?
9.5 Quanto dinheiro teria o Rúben de poupar, em média, por mês, para conseguir comprar a bicicleta no final do mês de agosto? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
9.6 Quanto dinheiro juntou o Rúben, em média, por mês, até ao momento? Será esta média suficiente para ele comprar a bicicleta no final do mês de agosto? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
9.7 Quanto terá o Rúben de juntar, em média, por mês, no tempo que lhe resta, para ter a bicicleta no final do mês de agosto?
9.8 Constrói um gráfico de linha que represente as economias mensais do Rúben, ao longo dos últimos meses.
60
Na turma do Arsélio fez-se um inquérito acerca da idade de cada um dos seus 21 alunos. Os dados recolhidos encontram-se organizados na tabela seguinte. Idade
Rapazes
Raparigas
9 anos
3
7
10 anos
2
11 anos
1
12 anos
0
3
10.1 Completa a tabela, sabendo que 2 dos alunos da turma do Arsélio são raparigas. Apresenta 3 todos os cálculos que efetuares. 10.2 O gráfico de barras não está completo. Completa-o com a informação da tabela preenchida. Idades dos alunos da turma do Arsélio Número de alunos
10.
12 Rapazes Raparigas
10 8 6 4 2 0 9 anos
__________
__________
10.3 Quantos alunos da turma do Arsélio têm 11 anos?
10.4 Quantos alunos da turma do Arsélio têm mais do que 10 anos?
10.5 Qual é a percentagem de alunos com, pelo menos, 11 anos?
10.6 Atendendo aos dados da tabela por ti preenchida, calcula a média de idades das raparigas da turma do Arsélio.
61
UNIDADE 4
Representação e interpretação de dados 1.
TESTAR
O gráfico estabelece uma comparação entre o preço das chamadas telefónicas da rede fixa de Portugal e o preço médio do mesmo tipo de chamadas nos restantes países da comunidade europeia, durante o ano de 2005.
Preços das chamadas telefónicas da rede fixa em 2005 (em euros, por minuto) Portugal UE 25
3,11
1.1 Que tipo de chamadas fica mais barato realizar a partir de Portugal? Justifica.
2,13
0,65
1.2 Em que tipo de chamadas se verifica a maior diferença de preço? Explica o teu raciocínio.
0,76
0,37 0,35 Locais
Nacionais
Internacionais (para os EUA)
1.3 Supõe que se realiza uma chamada telefónica, de Portugal para os EUA, com 20 minutos de duração. Qual é o preço a pagar por essa chamada? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
1.4 Pode-se afirmar que Portugal é o país da comunidade europeia onde são mais caras as chamadas locais? Explica o teu raciocínio.
2.
A Lídia tem aulas de natação todos os sábados. Um dos exercícios que o seu professor lhe propõe, uma vez por aula, é o de suster, o mais possível, a sua respiração. Os valores seguintes são relativos aos tempos conseguidos pela Lídia, desde o momento em que entrou para as aulas de natação.
33
45
44
34
56
36
51
63
49
50
57
61
35
41
53
58
50
2.1 Há quantas semanas a Lídia frequenta as aulas de natação? Explica o teu raciocínio.
62
2.2 Qual foi o período máximo de tempo durante o qual a Lídia conseguiu suster a sua respiração?
2.3 Durante quanto tempo consegue a Lídia, em média, suster a sua respiração? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
2.4 Qual foi o tempo que a Lídia conseguiu alcançar mais vezes? Como se designa, estatisticamente, esse valor?
2.5 Constrói um diagrama de caule-e-folhas representativo da situação.
3.
Completa a seguinte lista com um número de 1 a 5, de tal forma que exista uma única moda superior a 2. 5, 4, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 1, 5, 5, 3, 2, 4, 2
4.
No gráfico abaixo está representada a precipitação total anual, verificada em Portugal continental, entre os anos de 1990 e 2004. Precipitação total anual no continente 1200
mm
1000 800 600 400 200 0 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
Fonte: Instituto Português do Mar e da Atmosfera
4.1 Qual foi o ano mais chuvoso da década de 90?
4.2 Quando se verifica uma precipitação total anual inferior a 700 mm por ano, o país enfrenta problemas de falta de água (“seca”). Atendendo a este facto, indica os anos em que Portugal enfrentou este tipo de problemas.
4.3 Faz uma estimativa acerca da precipitação total verificada entre os anos de 2000 e 2004.
63
UNIDADE 5
RESUMIR
Áreas
Duas figuras planas fechadas são equivalentes quando têm a mesma área.
Duas figuras dizem-se geometricamente iguais (congruentes) se, quando sobrepostas, coincidem ponto por ponto, ou seja, quando têm a mesma forma e dimensões.
Exemplo:
As duas figuras apesar de se encontrarem em diferentes posições, são geometricamente iguais, pois, quando sobrepostas, coincidem ponto por ponto.
Área do quadrado
Área do retângulo ᐉ
ᐉ
Área do quadrado = lado ¥ lado 64
ᐉ
c
Área do retângulo = comprimento ¥ largura
Área do triângulo A A
D
D D B B
B
C C
Área do triângulo =
base ¥ altura 2
Qualquer polígono de quatro lados diz-se um quadrilátero. Os quadriláteros têm particularidades que os caracterizam e relacionam uns com os outros. Os quadriláteros com dois pares de lados paralelos, designam-se por paralelogramos. Exemplos: Paralelogramo obliquângulo
Retângulo
Losango
Quadrado
Paralelogramo sem ângulos retos.
Paralelogramo com quatro ângulos retos.
Paralelogramo com quatro lados geometricamente iguais.
Paralelogramo com quatro lados geometricamente iguais e quatro ângulos retos.
Área do paralelogramo
Área do paralelogramo = base ¥ altura 65
UNIDADE 5
PRATICAR
Áreas
1.
Observa as figuras.
Figura A
Figura B
Figura C
1.1 Tomando como unidade de medida a área de uma quadrícula, determina a medida da área de cada uma das figuras.
1.2 Indica, caso existam, duas figuras equivalentes.
1.3 Indica, caso existam, duas figuras geometricamente iguais.
1.4 Desenha uma figura que seja equivalente à figura B, mas que tenha maior perímetro.
2.
Calcula a área e o perímetro do paralelogramo.
10 cm
16 cm
66
6 cm
3.
A linha a tracejado divide a figura inicial em duas figuras geometricamente iguais. Calcula, em centímetros, o perímetro da figura, tendo em conta os comprimentos indicados. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
7 cm 17 cm 11 cm
15 cm
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2003
4.
Considera os triângulos:
Figura A
Figura B
Figura C
1 cm
4.1 Calcula a medida da área de cada um dos triângulos. Explica o teu raciocínio.
4.2 Constrói três quadriláteros que sejam equivalentes aos triângulos representados nas figuras A, B e C. 1 cm
67
UNIDADE 5
PRATICAR
Áreas
5.
Observa a figura seguinte, onde se encontra representado o retângulo [ABCD]. Repara que o lado [AB] do retângulo está dividido em 10 partes iguais e o lado [AD] em 3 partes iguais. D
C 12 cm 5
A
B
4 cm
Uma parte do retângulo está sombreada. Determina a área dessa parte.
6.
Observa a figura seguinte, na qual está representada o paralelogramo [ABCD]. Sabe-se que:
D
C
• o paralelogramo [ABCD] tem 40 cm2 de área; • o lado [AB] está dividido em quatro partes iguais;
A
E
F
G
B
• A–B = 10 cm. Determina a área do triângulo [BDG].
7.
Considerando que cada quadrícula tem 1 cm de lado, determina quantas vezes é a área do paralelogramo [ABCD] maior que a área do triângulo [BED]. Explica o teu raciocínio. D
A
68
E
C
B
8.
Também conhecida por Terreiro do Paço, a Praça do Comércio, em Lisboa, é considerada um marco da reconstrução pombalina, efetuada depois do grande terramoto de 1755. A praça é retangular, tem 192 m de comprimento e 177 m de largura. 8.1 Determina a medida do perímetro do Terreiro do Paço.
8.2 Se duplicássemos as medidas dos diferentes lados do Terreiro do Paço, o que iria acontecer à medida do respetivo perímetro? Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou esquemas.
8.3 Na situação referida na alínea anterior, o que aconteceria à medida da área do Terreiro do Paço? Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou diagramas.
9.
Na figura seguinte, encontra-se representado o pentágono [ABEDC]. Calcula a sua área, considerando que cada quadrícula tem 1 cm de lado. D E
C
A
B
69
UNIDADE 5
PRATICAR
Áreas
10.
O Sr. Júlio precisa de fertilizar dois dos seus terrenos. Um desses terrenos é retangular e tem 22 m de comprimento e 8 m de largura. O outro terreno tem a forma de um quadrado e tem 15 m de lado. 10.1 O Sr. Júlio decidiu vedar ambos os terrenos com uma corda, durante o processo de fertilização. Determina quantos metros de corda irá precisar o Sr. Júlio para vedar ambos os terrenos.
10.2 Sabendo que cada embalagem de fertilizante dá para fertilizar 180 m2 de terreno, determina o número de embalagens que o Sr. Júlio tem de comprar para fertilizar os dois terrenos.
10.3 Qual dos dois terrenos precisou de uma maior quantidade de corda para ser vedado? E qual precisou de uma maior quantidade de fertilizante? O que te permitem concluir estes dados?
11.
Na figura seguinte estão representados um triângulo equilátero [EFG], um quadrado [ABCD], um pentágono [HIJKL] e um paralelogramo [MNPQ]. A
E
H
D
P
Q
L
I G
K B
F
C 3 cm
J M
N
O
2 cm
11.1 O quadrado, o triângulo e o pentágono têm a mesma medida de perímetro. Determina: a) F–G
b) J–K 11.2 O quadrado e o paralelogramo têm a mesma medida de área. Determina O–Q.
70
12.
Na figura estão representados um paralelogramo [ABCD] e um retângulo [EFCD]. Prova que têm a mesma área, e bases e alturas respetivamente iguais. D
C a
A
E
B
F
b
13.
Na figura está representado um paralelogramo [ABCD]. Prolongando um pouco o lado [AB], de modo a que as perpendiculares traçadas de D e C para a base o intersetem, obtém-se dois pontos E e F, sendo H a interseção de [DE] com [BC]. D
C
H A
B
E
F
Prova que a área do paralelogramo [ABCD] é igual à área do retângulo [EFCD] e que EF– = A–B, percorrendo os seguintes passos: 13.1 Prova que os triângulos [AED] e [BFC] são iguais.
13.2 Conclui da alínea anterior que os quadriláteros [ABHD] e [EFCH] são equivalentes.
13.3 Conclui que a área do paralelogramo [ABCD] é igual à área do retângulo [EFCD] e justifica a igualdade E–F = A–B.
13.4 Conclui que a área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base pela altura.
71
UNIDADE 5
TESTAR
Áreas
1.
Determina a medida da base de um triângulo com 12 cm de altura e 144 cm2 de área.
2.
Tomando para a unidade de área a área de uma quadrícula, constrói um retângulo equivalente ao triângulo da figura. B
A
3.
C
Observa a figura.
B
3 cm
A
Sabe-se que a medida do perímetro do retângulo [ABCD] é igual a 18 cm. Atendendo aos dados apresentados, determina a medida de área da região colorida. D C
4.
Observa a figura, na qual está representada o paralelogramo [DCBA]. 4 cm B
E
C 4 cm
A
D 6 cm
Determina a medida da área da figura colorida de azul.
72
8 cm
E
5.
C
Observa a figura.
E
Sabe-se que os triângulos [ABC] e [BDE] são equiláteros. 5.1 Sem efetuar qualquer cálculo, justifica que os triângulos [ABE] e [BDE] são equivalentes.
4 cm A
B
D
6 cm
5.2 Calcula a medida da área do triângulo [ABE].
6.
Observa a figura seguinte. Determina a medida da sua área. 7 cm 3
4 cm
7 cm 2 12 cm
7.
Na figura ao lado encontra-se representado um retângulo [ABCD] com 40 cm de medida de perímetro.
A
D
B
C
Sabe-se que: • o segmento AD representa
3 da medida do perímetro; 10
• o segmento DC encontra-se dividido, tal como a figura sugere, em quatro segmentos de reta geometricamente iguais. Determina a medida da área do triângulo que se encontra sombreado a verde.
73
PROVAS GLOBAIS De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objetivo de te conseguires preparar para a prova de aferição que irás realizar no final do 6.° ano de escolaridade. As provas são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado em cada atividade, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.
Grelhas de conteúdos Prova global 1 Unidade Figuras no plano
1.1 X
1.2 1.2 2.2 2.2 2.2 4.2 4.2 4.2 2.1 3.1 3.2 3.3 4.1 a) b) a) b) c) a) b) c) X
X
Números naturais
X
X
Números racionais não negativos
X
Representação e interpretação de dados
X
X
X
X
X
X
X
Áreas
X
Prova global 2 Unidade
1.1
1.2
2.
3.
Figuras no plano Números naturais
4.1
4.2 a)
4.2 b)
X
X
5.1
5.2
5.3
5.4
X
X
X
X
X X
X
Números racionais não negativos
X
Representação e interpretação de dados Áreas
X
Prova global 3 Unidade
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2
Figuras no plano
X
4.
5.1 5.1 5.2 5.2 6.1 6.2 a) b) a) b)
X X
Números naturais Números racionais não negativos
X
Representação e interpretação de dados Áreas 74
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
PROVA GLOBAL 1 1.
O Sr. Costa abriu um minimercado na sua aldeia. O minimercado “TemTudo”… No dia da inauguração, o Sr. Costa entregou a cada cliente, como presente de boas-vindas, uma caixa de papel com três bombons no seu interior. 1.1 A caixa tem a forma de uma pirâmide triangular com as faces todas iguais. Desenha uma das faces sabendo que cada uma tem 18 cm de perímetro.
1.2 Numa das faces laterais da caixa de bombons, o Sr. Costa mandou gravar o logótipo do seu minimercado, que se encontra representado ao lado.
Minimercado Costa
β 53°
a) Determina a amplitude do ângulo b. Explica o teu raciocínio.
b) O logótipo é constituído por um pentágono e por um triângulo. Classifica o triângulo quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos seus lados, justificando.
2.
No seu minimercado, o Sr. Costa criou um espaço onde colocou à venda produtos tradicionais portugueses certificados. 2.1 De 10 em 10 dias, recebe produtos provenientes da zona sul. De 8 em 8 dias, recebe produtos provenientes da zona norte. Sabendo que, no dia 12 de março, o Sr. Costa recebeu produtos tradicionais portugueses certificados provenientes quer do norte quer do sul, determina em que dia do mês de abril isso voltou a acontecer.
75
PROVA GLOBAL 1 2.2 Pretendendo analisar a procura das alheiras de Mirandela, o Sr. Costa registou, na tabela ao lado, o número de alheiras vendidas em cada um dos dias de uma determinada semana. a) Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
Dia da semana
N.° de alheiras vendidas
segunda-feira
22
terça-feira
18
quarta-feira
10
quinta-feira
12
sexta-feira
20
sábado
42
b) Calcula a percentagem de alheiras vendidas nos últimos dois dias dessa semana. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
c) Indica em que dias as vendas foram superiores à média. Explica o teu raciocínio.
3.
Quando decidiu abrir o minimercado, o Sr. Costa observou duas lojas para alugar: a loja A, que custava 300 ¤ por mês, e a loja B, que custava 250 ¤ por mês. As plantas de cada uma das lojas, apresentam-se a seguir.
Loja A
Loja B 1m
3.1 Qual das duas lojas tem maior área? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
76
3.2 O Sr. Costa optou pela loja que apresentava melhor relação área/preço. Qual das duas lojas terá alugado o Sr. Costa? Explica o teu raciocínio.
3.3 A mensalidade de 300 ¤ que pediram ao Sr. Costa pelo aluguer da loja A já incluía um desconto de 75%, pelo facto da loja se encontrar por alugar há vários meses. Qual era o preço da loja antes do desconto?
4.
No primeiro aniversário do seu minimercado, o Sr. Costa decidiu efetuar o sorteio de um presunto entre os seus clientes habituais. Assim, a cada cliente entregou uma das 150 rifas que mandou fazer. 4.1 A rifa premiada tinha inscrito um número maior que 100 e menor que 120, divisível por 4 e 9, simultaneamente. Qual é o número inscrito na rifa premiada?
1 4.2 Depois de entregar todas as rifas, o Sr. Costa reparou que apenas dos seus clientes 3 habituais receberam rifa.
a) Escreve uma fração que represente os clientes habituais que não receberam rifas.
b) De entre os clientes habituais, foram mais os que receberam rifas ou os que não receberam?
c) Quantas rifas mais devia ter feito o Sr. Costa para que nenhum dos seus clientes habituais tivesse ficado sem rifa?
77
PROVA GLOBAL 2 1.
No dia em que fez 11 anos, a Lurdes e o seu irmão mais novo foram visitar o jardim zoológico com os seus pais. Quando chegaram à bilheteira do jardim zoológico encontraram um cartaz com a informação apresentada ao lado.
Preçário: Crianças (até aos 12 anos): 12,50 ¤ Jovens (dos 13 aos 18 anos): 13,50 ¤ Adultos (mais de 18 anos): 16,50 ¤
1.1. Quanto terá de pagar a família da Lurdes para visitar o jardim zoológico? Explica o teu raciocínio.
1.2. Quando a mãe da Lurdes se preparava para fazer o pagamento foi informada pela funcionária da bilheteira que os grupos de quatro elementos beneficiavam de um desconto. Sabendo que a mãe da Lurdes pagou, no total, 46,40 ¤, indica a percentagem de desconto a que a família teve direito. Explica o teu raciocínio.
2.
Na figura está representada, de forma esquemática, parte da planta do jardim zoológico. Elefantes
Leões
Macacos
6m
Atendendo aos dados da figura, calcula, em metros quadrados, a área da jaula dos leões.
3.
78
Durante a visita, a Lurdes ficou a conhecer melhor alguns animais. O que mais a surpreendeu foi saber que os leões apenas se alimentam de três em três dias e que algumas cobras apenas precisam de alimento de quatro em quatro dias. Sabendo que o tratador dos animais alimentou as espécies acima referidas durante a visita da Lurdes, indica passado quanto tempo estes animais voltam a ser alimentados no mesmo dia. Explica o teu raciocínio.
4.
A certa altura da visita, a Lurdes e o seu irmão encontravam-se, respetivamente, ao lado da jaula dos tigres e ao lado da jaula dos koalas, nas posições A e B assinaladas no seguinte esquema. B 75° A
63°
Depois de observarem esses animais, dirigiram-se simultaneamente para a loja das lembranças. 4.1. Atendendo aos dados da figura e supondo que os dois irmãos se deslocam à mesma velocidade, qual será o primeiro a chegar à loja das lembranças? Explica o teu raciocínio.
4.2. Na loja, 3 são lembranças de mamíferos e 5 são lembranças de répteis. 6 18 a) Existem mais lembranças de mamíferos ou de répteis?
b) Sabendo que no total existem 750 lembranças, calcula quantas são de mamíferos.
5.
O gráfico ao lado representa o número de pessoas que visitaram o jardim zoológico ao longo de uma determinada semana. 5.1. Qual foi o dia em que o jardim zoológico teve mais visitantes?
Número de visitantes do jardim zoológico 350 Número de visitantes 320 300 270 250 210 200 180 160 150 120 100 50 0 0 Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Dia da semana
5.2. Quantas pessoas visitaram o jardim zoológico nessa semana?
5.3. Quantas pessoas visitaram, em média, o jardim zoológico por dia?
5.4. Escreve mais uma pergunta que possa ser respondida com a informação do gráfico.
79
PROVA GLOBAL 3 1.
Um grupo de alunos da escola do Nuno está a tentar sensibilizar a comunidade escolar para a preservação da Natureza. Assim, iniciaram a campanha Pensar Verde! Para promoverem esta iniciativa, decidiram construir um folheto informativo acerca do processo de reciclagem. Surgiram duas propostas para a forma do folheto: uma com a forma de um retângulo e outra com a forma de um quadrado, tal como sugere a figura.
9 cm
18 cm
1.1. Atendendo aos dados da figura e sabendo que, apesar das formas diferentes, os folhetos têm a mesma medida de perímetro, calcula, em centímetros quadrados, a medida da área do folheto com a forma de quadrado.
1.2. Os polígonos sugeridos pelos folhetos são figuras equivalentes? Justifica.
1.3. Comenta a afirmação: “Figuras com a mesma medida de perímetro têm a mesma medida de área”.
2.
O mesmo grupo de alunos decidiu criar um logótipo para representar esta iniciativa. A certo momento da fase de construção, o logótipo tinha a aparência da figura ao lado.
C
A
B
2.1. Estima um valor para a amplitude do ângulo ABC.
2.2. Determina, para o valor estimado, a amplitude dos restantes ângulos internos do triângulo [ABC]. Explica o teu raciocínio.
80
3.
Na tabela encontram-se o número de folhetos distribuídos na escola por alguns alunos. Nome
Sara
Filipa
Luís
Mariana
Paulo
Pedro
Ana
Número de folhetos
21
17
24
12
29
28
9
Nuno
3.1. Sabendo que a média dos folhetos distribuídos pelos oito alunos é 21, quantos folhetos distribuiu o Nuno? Explica o teu raciocínio.
3.2. Representa através de um diagrama de caule-e-folhas os dados recolhidos na tabela. (Caso não tenhas respondido à alínea anterior, considera que o Nuno distribuiu 28 folhetos.)
4.
Os professores juntaram-se a este projeto e promoveram a separação de lixo, em todos os locais da escola, através de ecopontos. Dadas as necessidades da escola, o lixo do tipo Papel e Cartão será recolhido por uma empresa de reciclagem a cada quatro dias úteis e os restantes tipos de lixo serão recolhidos a cada seis dias úteis. Sabendo que a empresa de reciclagem fez a primeira recolha, de todos os tipos de lixo, no dia 26 de fevereiro, em que dia voltou a empresa a fazer a recolha simultânea de lixos? Explica o teu raciocínio. (Utiliza o calendário abaixo para dar resposta a esta questão.)
81
PROVA GLOBAL 3 5.
Para recolher o lixo colocaram-se ecopontos na escola. O professor de ciências pediu aos alunos da turma do Nuno para apresentarem uma proposta. Sobre a planta do recinto escolar, os alunos construíram um referencial cartesiano, como o da figura, onde se encontram marcados quatro pontos. 5.1. Nos pontos A e B os alunos colocaram respetivamente um ecoponto para papel e um para plástico/metal. a) Indica as coordenadas do ecoponto para plástico/metal.
y 10 9 8
C A
7 6 5
B
4 3 2
D
1 0 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 x
b) Indica as coordenadas do ecoponto para vidro sabendo que este se encontra cinco unidades para a direita e duas unidades para cima do ponto B.
5.2. O ponto C e o ponto D correspondem a entradas para o recinto escolar. Os alunos pretendem que o pilhão fique à mesma distância das entradas. a) Indica as coordenadas do ponto onde deverá ser colocado o pilhão.
b) Esse ponto será único? Justifica.
6.
Um mês após o início da campanha Pensar Verde! foi feito um inquérito para averiguar o impacto que a iniciativa teve sobre os alunos. Responderam ao inquérito todos os 200 alunos da escola. 6.1. Sabendo que, desde o início da campanha, 80% dos inquiridos fazem separação de lixos em casa, calcula o número de alunos que ainda não fazem essa separação.
6.2. Da análise ao inquérito, conclui-se ainda que 2 dos alunos que iniciaram a separação de 5 lixos em casa fizeram-no durante a primeira semana da campanha, 3 durante a segunda 8 semana e, os restantes, durante as duas últimas semanas. Em que período achas que a campanha teve mais impacto? Explica o teu raciocínio.
82
SOLUÇÕES
20. 8 cm, 9 cm e 10 cm. 21. A afirmação é verdadeira.
Unidade 1 – Figuras no plano 1.
1.1.
22. 22.1. xˆ = 74°
1.2.
2.2.
22.3. xˆ = 60°
24. 24.1. O Pedro deverá traçar a bissetriz do ângulo, obtendo assim dois ângulos iguais. De seguida, em cada um dos ângulos obtidos, deverá traçar a bissetriz, obtendo assim quatro ângulos iguais.
α
β
2.
22.2. xˆ = 26,5°
ˆ = 77°; eˆ = 58° 23. a
2.3.
24.2.
k
3.
3.1. 50°
4.
4.1. Medição: 84°
4.2. Medição: 130°
6.
6.1. Amplitude: 199°
6.2. Amplitude: 213°
3.2. 135°
3.3. 65°
ˆ = 140° ˆ = 40°; b 25.3. a ˆ = 60° ˆ = 30°; b 25.5. a
6.3. Amplitude: 305° 7.
C•
7.1.
ˆ = 46° 25.2. b
ˆ = 50° 25. 25.1. a
7.2. F •
ˆ = 35° ˆ = 35°; b 25.4. a ˆ = 65° ˆ = 130°; b 25.6. a
ˆ = 31°; cˆ = 149° 26. 26.1. aˆ = 121°; b 27. 27.1.
• A
B 7.3. • I
8.
E 7.4. K • G
8.3. – BAE e – IDA 8.5. – IDA e – ADC
˙ e CG ˙ 8.6. Por exemplo, AB
9.1. ˆx = 45°
8.8. – DAB e – ADC 9.2. ˆy = 135°
10. 10.1. 40° 10.2. 71° 10.3. 44° 10.4. 67° 10.5. 59° 10.6. 40° 11. 11.1. A, B, C, D, E, F, H e I 11.2. C e H 11.3. A, B, D e F 11.4. B e D
11.5. A e B 11.6. B ˆ ˆ = 50º ˆ ˆ 12. 12.1. a = 50º; b = 130º; c = 130º e d 12.2. a) – a e – g
b) – g e – c
d) – h e – b
e) – b e – c
13. A. acutângulo 14. 14.1. Cˆ = 60°
3 cm
• J
1,5 cm
3 cm
2 cm
•
8.7. – DAB e – BAH 9.
1,5 cm
L ˙ e CD ˙ 8.2. Por exemplo, FB ˙ e GD ˙ 8.4. Por exemplo, AB
H 8.1. – HAE e – CAD
27.2.
• D
B. obtusângulo
3 cm 28. 28.1. Critério LLL
30. 30.1. Como os comprimentos dos catetos são iguais, então os ângulos que se lhes opõem têm igual amplitude. Logo, as amplitudes dos ângulos internos do triângulo são 90°, 45°, 45°.
c) – e e – d
30.2. Desigualdade triangular. 30.3. A afirmação é verdadeira. Num triângulo retângulo, o ângulo de maior amplitude é o ângulo reto (90°) pelo que o lado que se lhe opõe será o lado de maior comprimento.
C. retângulo
14.2. O esquema anterior sugere que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. ˆ = 60° 15.2. a ˆ = 26° 15.3. a ˆ = 55° 15.4. a ˆ = 58° 15. 15.1. a ˆ = 72° 15.6. a ˆ = 45° 15.7. a ˆ = 145° 15.8. a ˆ = 35° 15.5. a
31. A. Afirmação falsa.
17.2. Sim, porque 12 < 10 + 3.
19. –ABC é o ângulo que tem maior amplitude porque num triângulo ao lado de maior comprimento opõe-se o ângulo de maior amplitude.
B. Afirmação verdadeira.
C. Afirmação falsa. ˆ = 38°; a ˆ = 79°; eˆ = 117° 32. 32.1. b 32.2. O triângulo [CDE] é acutângulo.
17. 17.1. Não, porque 12 > 6 + 4. 18. [SU] é o lado maior porque em qualquer triângulo ao ângulo de maior amplitude opõe-se o lado de maior comprimento.
28.2. Critério ALA
28.3. Critério LAL 28.4. Critério LLL ˆ = 60°; a ˆ = 75°; qˆ = 135°; fˆ = 45° 29. 29.1. b ˆ ˆ = 30°; fˆ = 60°; qˆ = 120° 29.2. b = 30°; a
Testar 1.
1.1.
1.2. α
β
83
2.
2.1. a ˆ = 70º; ˆb = 80º e ˆg = 30º 2.2. Triângulo acutângulo
3.
3.1. Hexágono
11. 11.1. 4782 2.3. Critério ALA
11.2. 23244
11.3. 14364
12. 12.1. m.d.c. (24, 60) = 12
3.2. 136°
11.4. 2456
12.2. m.d.c. (88, 66) = 22
12.3. m.d.c. (1386, 462) = 462
3.4. O triângulo [EDC] é obtusângulo.
13. 13.1. 36
A. Afirmação falsa. Um dos ângulos internos de um triângulo retângulo é reto.
14. 2240
B. Afirmação falsa. Dois dos ângulos internos de um triângulo retângulo podem ser 40° e 50°.
16. 2031 18. 3 caixas de hambúrgueres; 2 caixas de ovos.
5.
C. Afirmação falsa. Um triângulo isósceles pode ser retângulo. ˆ = 63° a ˆ = 54° 5.1. b 5.2. A–C = 4,5; B–C = 3 cm
6.
O lado [OS] tem maior comprimento.
20. 7 funcionários
7.
Triângulo retângulo e isósceles
21. 21.1. A afirmação A é falsa.
4.
15. 10 17. Álvaro – 8:12 h
21.2. Por exemplo, o número 18 é par e tem divisores que são ímpares: o 3 e o 9 23. 70 estacas
1.1. Propriedade comutativa da adição. 1.2. Propriedade associativa da adição.
2.
2.1. Propriedade comutativa da multiplicação. 2.2. Propriedade associativa da multiplicação.
Testar 1.
2.3. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
3.
3.1. 9, 15
4.1. D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
3.2. 16, 104, 296, 1252
1.3. 4 ¥ 9 = 9 ¥ 4 = 36 Propriedade comutativa da multiplicação
3.3. 18, 36, 72
1.4. 4 ¥ (3 ¥ 2) = (4 ¥ 3) ¥ 2 = 12 ¥ 2 = 24 Propriedade associativa da multiplicação
4.2. D21 = {1, 3, 7, 21}
4.3. D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 5.
5.1. 18, 24, 27, 30 5.4. 10, 30
6.
5.2. 10, 30
1.5. (2 + 3) ¥ 5 = 2 ¥ 5 + 3 ¥ 5 = 10 + 15 = 25 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
5.3. 1, 10, 30
5.5. 24
6.1. 0, 7, 14, 21, 28
6.2. 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72
1.6. 3 ¥ (7 – 4) = 3 ¥ 7 – 3 ¥ 4 = 21 – 12 = 9 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração
6.3. 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 7.
7.1. 11
8.
8.1. m.d.c. (15, 20) = 5
9.
7.2. 9
7.3. 8
7.4. 16 3.
3.1. Por exemplo, 0.
9.1. 4 + 5 = 5 + 4 Propriedade comutativa da adição
4.
m.d.c. (36, 48) = 12
5.
m.m.c. (36, 48) = 144
9.2. (4 + 6) ¥ 5 = 4 ¥ 5 + 6 ¥ 5 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
6.
324
7.
476
8.
[D]
8.2. m.m.c. (14, 10) = 70
9.3. (4 + 6) + 5 = 4 + (6 + 5) Propriedade associativa da adição 9.4. (15 ¥ 2) ¥ 10 = 15 ¥ 20 Propriedade associativa da multiplicação 9.5. 3 ¥ (2 – 6) = 3 ¥ 2 – 3 ¥ 6 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração 9.6. 12 ¥ 10 = 10 ¥ 12 Propriedade comutativa da multiplicação 10. 32
84
1.1. 24 + 13 = 13 + 24 Propriedade comutativa da adição 1.2. 7 + (132 + 10) = (7 + 132) + 10 Propriedade associativa da adição
2.4. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração. 4.
Bárbara – 8:15 h
19. A família volta a estar toda reunida passados 180 dias, ou seja, em 23 de junho.
Unidade 2 – Números naturais 1.
13.2. 96
3.2. Por exemplo, 0.
Unidade 3 – Números racionais não negativos 3 4
1.
1.1.
2.
2.1. Por exemplo,
1.2.
2.2. Por exemplo,
4 4
1.3.
2 10
1.4.
6 9
3.
3.1.
2 1 = 16 8
4.
4.1.
3 3
5.
7.
8.
1 15
3.3. 4.2.
Fração
6.
3.2.
Fração decimal
Leitura
7 16
3.4.
8 4 = 6 3
3 5 Fração própria Número fracioou imprópria? nário ou inteiro?
4 3
Quatro terços
Não
Imprópria
Fracionário
2 5
Dois quintos
Não
Própria
Fracionário
3 9
Três nonos
Não
Própria
Fracionário
8 4
Oito quartos
Não
Imprópria
Inteiro
8 4 8 6.3. 4 1 6.5. 7 1 6.7. 7 6.1.
7 ; 7 4 ; ; 2 4 e 7 4 ; ; 7 ;
4 2 5 12 e 4 11
1 4 3 2 5 12 ; ; ; ; e 7 7 5 6 4 11 8 4 6.4. e 4 2 8 4 5 12 6.6. ; ; e 4 2 4 11 6.2.
3 2 e 5 6
3 2 2 17.7. 7 25 17.11. 21 17.3.
17.15. 5 17.19.
3 4
2 5 = 4 10 4 > 0,6 5 4 36 = 5 45
17.4.
10 3
17.8. 0,22 19 12 59 17.16. 15 5 17.20. 12
17.12.
1 4 < 3 7 37 17 18.6. > 42 21
18.3.
19. A. A afirmação é falsa. B. A afirmação é falsa. C. A afirmação é verdadeira. 20. 20.1. A família do Tomás consome 3 litros de leite por dia. 20.2. Segundo as indicações da tabela, o Tomás deverá 3 1 1 2 3 beber mais leite porque > . = < . 4 2 2 4 4
7.1.
18 6 = 9 3
7.2.
2 1 = 4 2
7.3.
7 14 = 3 6
21. 21.1. 16 alunos preferem Educação Física.
7.4.
10 1 = 350 35
7.5.
4 1 = 8 2
7.6.
12 4 = 6 2
22. 22.1. 20 cm2
21.2. 9 alunos preferem Matemática. 22.2. 16 cm2
23. Faltam 640 m para terminar o percurso. 24. 24.1. Tem mais contas azuis.
3 10
24.2. Representa a fração de contas brancas, azuis e 37 vermelhas. 56 19 24.3. 112 25. 25.1. A afirmação é falsa. 25.2. 270 alunos
9. 10. 32% < 0,5 < 11.
9 3 17.2. 20 4 31 21 17.5. 2 17.6. 35 10 6 1 17.9. 17.10. 5 12 12 61 17.13. 17.14. 5 9 38 23 17.17. 17.18. 15 8 43 17.21. 20 3 9 18. 18.1. < 18.2. 4 8 3 7 18.4. < 18.5. 7 3 7 4 18.7. > 18.8. 200 200
17. 17.1. 5
2 3 7 3 4 5 15 35
4 5
•
25.3. Foram colocados no curso 100 alunos.
• 21 9 • 16 20 • 4 6 • 3 7
• • •
12. 12.1.
1 2
13. 13.1.
1 2
12.2.
1 4
13.2.
12.3. 1 4
3 4
12.4. 13.3.
3 4
1 3
12.5. 1 13.4.
14. 0
4 8
1
7 12
25.4. Tendo por base apenas as razões entre o número de candidatos e o número de colocados em cada um dos cursos não é possível determinar o curso com mais procura, ou seja, o curso a que se candidataram mais alunos. Com base nas razões podemos, contudo, determinar o que tem uma melhor taxa de sucesso na candidatura. 2 4 26. 26.1. e 10 10 2 26.2. . A expressão representa a parte dos golos da 5 equipa marcados pelos restantes elementos da equipa do Carlos e do João. 26.3. A afirmação é verdadeira. 27. 27.1. O bilhete para o cinema custou 3,6 ¤.
15. [C]
27.2. O Simão gastou 3 ¤ nas pipocas.
16. Não
27.3. As pipocas foram mais caras.
85
Testar
28. 28.1. O João comeu mais bombons. 28.2. Os dois irmãos ainda têm, em conjunto, 57 bombons. 29. cebolas
beringelas
alhos
2.
tomates
Loja B: 356 ¤
Loja C: 319 ¤
A arca é mais barata na loja C. 31. 31.1. Gastou 35 ¤. 31.2. O dinheiro que sobrou depois de comprar o jogo. 31.3. 15 32. São necessários 176 m de rede. 3 33. Gasta do seu vencimento. 20 1 10
1 5
1 3
1 2
•
•
•
•
1
7 é a parte dos exercícios resolvidos pelo Júlio 12 que eram da ficha de trabalho fornecida pelo professor.
35.2. O Júlio resolveu 50 exercícios do Manual. 35.3. O Júlio resolveu mais exercícios da ficha de trabalho fornecida pelo professor. 1 36. do quadrado está colorido de vermelho. 2
12. 12.1. Foram as canetas azuis. 12.2. Vendeu 12 canetas pretas. 2 12.3. 53 canetas 12.4. 15
Unidade 4 – Representação e interpretação de dados 1.1. A(2, 1); B(1, 3); C(4, 0); D(0, 2); E
2.
1.2. Ponto C 2.1. 25 pessoas
37. 37.1. O terreno tem 600 m de área. 37.2. O Sr. Fernandes recebeu 9090 ¤. 2 1 9 1 38. 38.1. a) b) 38.2. a) b) 5 5 10 10 38.3. A barra vermelha. 38.4. A barra roxa. 1 3
42. 42.1. Por exemplo, uma nota de 10 ¤, uma nota de 5 ¤, uma moeda de 2 ¤ e duas moedas de 1 ¤. 3 42.2. 10 43. É possível encher 4 copos.
86
1.3. Ponto F 2.2. Pop
2.3. Tipos de música Freq. absoluta Clássica
3
Pop
7
Rock
5
Rap
4
Eletrónica
6
Total
25
1 6
41. 41.1. Comprar 18 amêndoas azuis. 1 41.2. Cada irmão ficou das amêndoas azuis. 3 41.3. Os dados do problema não permitem responder a esta questão.
( 92 , 1); F( 52 , 72 )
1.
2
40.
2 7
3.1.
2.4. 12% 2.5. Frequência absoluta
30. Loja A: 335 ¤
35. 35.1.
1.3.
9 12 3.2. 10 100 12 6 4. = 14 7 7 5. 9 3 4 5 7 7 6. 6.1. 2 < 3 6.2. < 6.3. > 4 7 7 3 5 7. 7.1. O Ricardo tem 41 CD por utilizar. 7.2. Cada embalagem custava 5 ¤, sem desconto. 1 8. 3 9. O Fernando terá de efetuar compras no valor superior ou igual a 1000 ¤. 10. 10.1. Faltam percorrer 255 km. 10.2. A Rita vai pagar, aproximadamente, 37 ¤. 3 11. 2 3.
couves
0
2 2 1.2. 9 7 Por exemplo, 1.1.
pepinos alfaces
34.
1.
8
Freq. relativa 3 = 0,12 25 7 = 0,28 25 5 = 0,2 25 4 = 0,16 25 6 = 0,24 25 0,1
Tipo de música preferido
7 6 5 4 3 2 1 0 Clássica
Pop
Rock
Rap Eletrónica Tipo de música
3.1. 64 amigos
Freq. relativa
Portuguesa
23
0,36
Brasileira
17
0,26
Inglesa
10
0,16
Espanhola
14
0,22
Total
64
1
3.4. Frequência absoluta
8.
3.2. Portuguesa
3.3. Nacionalidade Freq. absoluta
8.1. 30 jogos
8.2. Vitória
8.3. 45 pontos
8.4. 1,8 pontos
8.5.
Nacionalidade dos amigos da rede social que a Raquel utiliza
25
0
15
9.
9.1. 40 ¤ 9.8. Valor economizado (€)
Portuguesa
Brasileira
3.5. a) 30 amigos
Inglesa
Espanhola Nacionalidade
b) Cerca de 110 amigos
4.1. 4 rapazes Número de alunos
3 Pontos
9.2. Maio (80 ¤)
9.3. 140 ¤
9.4. 60 ¤
Aprendizagem de um instrumento musical
14
Economias mensais do Rúben
80 70 60 50 40 30 20 10 0
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho Meses
12 10
10. 10.1.
Idade
Rapazes
Raparigas
6
9 anos
3
7
4
10 anos
3
2
2
11 anos
1
3
12 anos
0
2
8
0 Piano
Flauta
Guitarra
Violino Harpa Instrumentos musicais
10.2.
5.1. 3 9
5.2. 5,4 kg
4 1 2 3 3 6 7 8 9 5 0 1 2 3 3 4 5.3. 4,3 e 5,4. Moda – distribuição bimodal. 5.4. 4,75 kg
7.
7.1. 30 clientes
Rapazes Raparigas
10 8 6
2
5.6. Aproximadamente 47,5 kg Pelo menos 96%
12
4
5.5. Aproximadamente 4,75 kg 6.
Idade dos colegas da turma do Arsélio Número de alunos
4.3. … onze… quatro… sete… seis… 5.
1
9.5. 40 ¤ 9.6. 36 ¤. Não é suficiente 9.7. 50 ¤ por mês
10
0
4.2.
16 14 12 10 8 6 4 2 0
20
5
4.
Distribuição dos pontos obtidos pela equipa Os Lutadores Número de jogos
3.
0 9 anos
7.2. 7 clientes
10.3. 4 alunos
10 anos
11 anos
7.3. A ementa com o prato de peixe.
10.5. Aproximadamente 29% (0 c.d.)
7.4.
10.6. 10 anos
Ementa
Grau de satisfação Satisfaz
Não satisfaz
Carne
7
2
Peixe
6
4
Vegetariano
1
3
Sanduíche
6
1
7.5. 30%
7.6. 75%
7.7. Afirmação verdadeira.
12 anos
10.4. 6 alunos
Testar 1.
1.1. As chamadas nacionais. 1.2. Nas chamadas internacionais.
2.
1.3. 62,2¤
1.4. Não
2.1. 17 semanas
2.2. 63 segundos
2.3. 48 segundos
2.4. 50 segundos; Moda
87
3 1 0 1
4.
4.1. 1996
4 4 0 3
5 5 1
6 9 3
Prova global 1 6
7
1.
8
6 cm
6 cm
1.2. a) ˆb = 74° 2.
Unidade 5 – Áreas AB = 3,75 u.a.
1.2. As figuras A e C
AC = 4,5 u.a.
1.3. Não existem.
1.4. Por exemplo, A = 96 cm2; P = 52 cm
3.
P = 94 cm
4.
4.1. Figura A: A = 2 cm2 Figura C: A = 3 cm2 4.2.
Figura B: A = 2 cm2
Figura A
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Se gu nd afe ira Te rç afe ira Qu ar ta -f eir a Qu in ta -f eir a Se xt afe ira
2.
b) O triângulo é acutângulo e isósceles.
2.1. Voltará a receber os dois produtos ao mesmo tempo passados 40 dias, ou seja, no dia 21 de abril. Alheiras de Mirandela vendidas 2.2. a) Número de alheiras vendidas
1.1. AA = 5 u.a.
6 cm
4.2. 1991; 1998; 1999 e em 2004
4.3. Cerca de 3600 mm.
1.
1.1.
Figura B
Sá ba do
3.
2.5. 3 4 5 6 4
Dias da semana
b) 50% 3. Figura C
c) As vendas foram superiores à média na segunda-feira e no sábado.
3.1. A loja A tem 34,5m2 de área e a loja B tem 30 m2, pelo que a loja A tem maior área. 3.2. O Sr. Costa alugou a loja B porque é a que tem melhor relação área/preço.
6.
40 50 A = 3,9 cm2
7.
4 vezes
8.
8.1. P = 738 m
5.
3.3. Antes do desconto, pediam 1200 ¤ pelo aluguer da loja. 4.
8.2. P = 1476 m
4.1. 108 2 4.2. a) 3 b) Foram mais os clientes que não receberam rifas. c) O Sr. Costa devia ter feito mais 300 rifas.
8.3. A medida da área quadriplicava. 9.
Prova global 2
11 cm2
10. 10.1. P = 120 m
1.
1.1. 58 ¤
10.2. O Sr. Júlio tem de comprar 3 embalagens.
2.
A = 288 m2
10.3. O terreno que precisou de maior quantidade de corda foi o terreno retangular.
3.
Passados 12 dias
4.
4.1. O irmão da Lurdes. 4.2. a) Existem mais lembranças de mamíferos. b) 375
5.
5.1. Sábado 5.2. 1260 pessoas 5.3. 180 pessoas 5.4. “Existirá algum dia em que o jardim zoológico se encontre fechado? Explica o teu raciocínio.”
11. 11.1. a) 4 cm
b) 2,4 cm
11.2. 4,5 cm
Testar 1.
24 cm
Prova global 3
2.
3.
A = 15 cm2
4.
20 cm2
5.
5.2. 12 cm2 259 cm2 6 A = 12 cm2
6. 7.
88
1.2. 20%
1.
1.1. 182,25 cm2
2.
2.1. Estimativa 110°.
3.
3.1. 28 folhetos
4.
13 de março
5.
5.1. a) (2, 4)
6.
6.1. 40 alunos
1.2. Não
1.3. Afirmação falsa.
2.2. 35° cada um. 3.2. 0 9 1 2 7 2 1 4 8 8 9
b) (7, 6)
5.2. a) (1, 5)
b) Não
6.2. Durante a primeira semana.
