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FICHA 10 - CINEMÁTICA III (COMPOSICIÓN DE MOVS.)

1º BACHILLERATO

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS EN UNA DIRECCIÓN: M.R.U. – M.R.U.

1) En una etapa contrarreloj, un ciclista circula a 30 km/h. A 1 km por delante de él marcha

otro ciclista a 20 km/h. Calcular el tiempo que tardan en encontrarse y su posición en ese instante. • Resolver el problema suponiendo que los dos ciclistas circulan en sentidos opuestos. • (SOL: 6 min 1 s; 3007 m; 1 min 12 s; 600 m)

2) Un político ha robado el bolso de una honrada contribuyente. Cuándo el político esta a 20

m de la contribuyente, un honrado servidor del estado de derecho que se encontraba despistado justo al lado de la pobre mujer sale en persecución del sinvergüenza. Si el policía corre a 12 km/h y el político a 10 km/h, ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarle? (SOL: 36 s)

3) Dos vehículos salen a la misma hora de dos puntos que distan entre si 40 km en línea

recta. El vehículo 1 se mueve con v 1 = 90 km/h y el vehículo 2 con v 2 = 60 km/h. Calcula el instante y la posición (respecto al punto de partida del vehículo 1) en que se produce el encuentro: Si los vehículos van en el mismo sentido. • Si los vehículos van en sentidos contrarios. • (SOL: a) 1,33 h y a 119,7 km; b) 0,267 h y a 24 km)

4) Deducir las velocidades, supuestas constantes, de dos cuerpos A y B, separados por una

distancia de 30 km, sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido se encuentran a 10 km de B, pero si se mueven en sentidos opuestos, tardan 40 minutos en encontrarse. (SOL: vA = 36 Km/h; vB = 9 Km/h)

5) Imagina que estás situado sobre un puente de una autovía recta. Divisas dos coches que

circulan en sentido contrario y con velocidades de 90 km/h y 110 km/h. A los 35 s se cruzan debajo del puente en el que estás. ¿A que distancia estaban al principio? (SOL: 1944,6 m)

6) Imagina que estás situado sobre un puente de una autovía recta. En un instante dado,

pasa por debajo de él un camión a 80 km/h. A los 15 s pasa un coche en el mismo sentido y a 120 km/h. ¿En qué instante adelanta el coche al camión? • ¿En qué posición se produce el adelantamiento? adelantamiento? • (SOL: a) 45 s; b) 1000 m)

7) Dos coches salen a la vez de un cruce de calles rectas y perpendiculares entre sí, con

velocidades velocidades constantes de 82 km/h km/ h y 70 km/h, respectivamente. respectivamente. ¿Qué marcará el cronómetro cuando la distancia entre los dos coches sea de 40 m? (SOL: 1,34 s)

8) Un guepardo ve a una solitaria gacela a 150 m de distancia, y emprende una rápida

carrera para cazarla. En ese mismo instante la gacela se da cuenta y huye hacia la manada, situada a 280 m de la gacela, que puede servirle de refugio. Suponiendo ambos movimientos como uniformes (velocidad del guepardo: 108 km/h, velocidad de la gacela: 72 km/h) ¿Quién sale ganando en esta lucha por la supervivencia? (SOL: La gacela)

9) Un barco navega por un río desde un punto A hasta un punto B con una velocidad v 1 = 12

km/h y en sentido contrario v 2 = 15 km/h. Halla la velocidad media del barco y la velocidad de la corriente del río. 1/27


1º BACHILLERATO

(SOL: vbarco = 13,5 km/h; vrío = 1,5 km/h)

10) Una persona sube por una escalera automática, que se encuentra parada, en 9 s. La

escalera tarda en subir 6 s. Calculad cuánto tardaría en subir la persona caminando con la escalera en marcha. (SOL: 3,6 s)

11) Un cazador y su perro emprenden el camino hacia un refugio situado a 9 km de distancia.

El cazador camina a 4 km/h y el perro a 8 km/h. El perro, que obviamente llega antes al refugio, da la vuelta y regresa hacia su amo. ¿Dónde se encuentran por primera vez? A continuación, repite constantemente el viaje de ir al refugio y volver a buscar al amo, hasta que por fin llegan ambos definitivamente al final del trayecto. Calculad la distancia total que el perro ha recorrido. (SOL: 3 Km; 18 Km)

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1º BACHILLERATO

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS EN UNA DIRECCIÓN: M.R.U. (A.) ( A.) – M.R.U.A.

12) Vuestro delegado ve el autobús que debe tomar en la parada y sale corriendo para subir a

él a 6 m/s. Cuando se encuentra a 10 m del autobús, este arranca con una aceleración uniforme de 0,5 m/s². Calcula el tiempo que el delegado tardará en alcanzarlo. (SOL: 1,8 s)

13) Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se enciende la luz verde arranca con

aceleración constante de 2 m/s². En el momento de arrancar, un camión con velocidad constante de 54 km/h lo adelanta. Calcula: ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que el coche adelanta al camión? • ¿A que distancia del semáforo lo alcanza? • ¿Qué velocidad tiene el coche en ese momento? • (SOL: a) 15 s; b) 225 m; c) 108 km/h)

14) En el instante en que un semáforo cambia a luz verde, un automóvil arranca con una aceleración constante de 2,2 m/s². En ese momento un camión, que viaja a una velocidad constante de 9,5 m/s, pasa al automóvil. Calcula: ¿A que distancia del semáforo el automóvil alcanza al camión? • ¿Qué velocidad leva el automóvil en ese instante? • (SOL: a) 82 m; b) 19 m/s) M.R.U. (A.) – M.R.U.A. CON DESFASE constante de 15) Un hombre que se encuentra a 40 metros de un taxi corre con una velocidad constante

3,5 m/s intentando cogerlo. Cuando pasan 2,5 segundos, otro hombre que se encuentra a 25 metros del taxi se pone en marcha con una aceleración de 0,5 m/s². ¿Quién llegará primero al taxi? (SOL: t1 = 8,93 s m; t 2 = 10 s)

16) Por un punto A de una carretera pasa un camión con velocidad constante de 45 km/h.

Diez segundos más tarde pasa por el mismo punto un automóvil con una velocidad de 90 km/h. Calcula: ¿Dónde se encuentra el camión cuando el coche pasa por A? • ¿Qué aceleración constante debe tener el coche si quiere alcanzar al camión 15 s • después de pasar por A? ¿Qué velocidad tiene el coche en el momento de alcanzar al camión? • (SOL: a) 125 m (desde A); b) 0,55 m/s²; c) 16,75 m/s)

17) Por un punto pasa un cuerpo con una velocidad constante de 20 m/s. Dos segundos más tarde, parte del mismo punto en la misma dirección y sentido otro cuerpo con aceleración constante de 2 m/s². Calcular: Tiempo que tarda el segundo cuerpo en alcanzar al primero. • ¿A que distancia lo alcanza? • Velocidad de cada uno en ese instante. • (SOL: a) 21,83 s; b) 476,6m; c) El primero 20 m/s y el segundo 43,66 m/s)

18) Por un punto pasa un cuerpo con una velocidad constante de 20 m/s. Dos segundos más tarde parte de ese punto otro cuerpo, en la misma dirección y sentido que el anterior, con una aceleración constante de 2 m/s². Calcula: Tiempo que tarda el segundo cuerpo en alcanzar al primero. • ¿A qué distancia lo alcanza? • Velocidad que tiene cada uno en el instante en que se alcanzan. • (SOL: 23,83 s; 476,6 m; 20 m/s; 43,66 m/s) 3/27


1º BACHILLERATO

19) Un coche de policía detecta con el radar un coche que se mueve a 90 km/h situado a 100

m por delante. El coche de policía arranca en su persecución 15 s después de detectarlo, y acelera hasta alcanzar una velocidad velocidad de 108 km/h en 20 s, la cual mantiene constante a partir de ese momento. Calcula el tiempo que tardará el coche de policía en alcanzar al otro y a qué distancia del punto de salida lo alcanzará. (SOL: 2 min 50 s; 4350 m)

20) En un cruce existe una limitación de velocidad a 40 km/h. Un coche pasa por él a una

velocidad de 72 km/h, que mantiene constante. En ese momento arranca una moto de la policía en la misma dirección y sentido, alcanzando una velocidad de 108 km/h en 10 s y manteniendo constante esta velocidad. ¿Cuánto tarda la moto en alcanzar al coche? ¿A que distancia lo alcanza respecto al punto de donde salió? A los 100 m de alcanzarse se detienen ambos vehículos, ¿cuál ha sido la aceleración de cada uno? (SOL: 15 s y 500 m; automóvil frena con –2 m/s² y motocicleta con –4,5 m/s²)

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1º BACHILLERATO

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS EN UNA DIRECCIÓN: CAÍDA LIBRE DOS CUERPOS

21) Un arquero que está al pie de una torre de 40 m, dispara una flecha verticalmente hacia

arriba con una velocidad inicial de 25 m/s. En el instante del disparo dejan caer desde la torre una piedra en caída libre: Escribir las ecuaciones de ambos movimientos. • Calcular la altura a la que se cruzan la piedra y la flecha. • Calcular la velocidad que lleva cada una en el momento del cruce. • Calcular el tiempo que tarda la flecha en volver de nuevo al suelo. • (SOL: r1 = ( 25t − 5t 2 ) ⋅ j m; r2 = ( 40 − 5t 2 ) ⋅ j m; 27,2 m; v1 = 9 ⋅ j m/s; v2 = −16 ⋅ j m/s; 5 s) 

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22)

Una piedra de 1 Kg se deja caer desde un acantilado de 10 m de altura. En el mismo instante se lanza hacia arriba desde la base del acantilado una pelota con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué tiempo transcurre hasta que se encuentran? • Al encontrarse, ¿está todavía ascendiendo la pelota? • (SOL: 0,67 s; sí)

23) Un cuerpo se deja caer libremente desde una altura de 800 m. Simultáneamente se

dispara un segundo cuerpo, verticalmente desde el suelo, con una velocidad inicial de 200 m/s. Calcular: El tiempo que tardan en cruzarse. • La distancia a la que se cruzan. • (SOL: 4 s; 721,5 m)

24) Desde una altura de 100 m se deja caer un cuerpo en el mismo instante en que se lanza otro desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 50 m/s. Tomando g = 10 m/s², calcula: El tiempo que tardan en cruzarse • A qué altura se cruzan • Qué velocidad tiene cada uno en ese momento • Dónde se encuentra el segundo cuando el primero llega al suelo • (SOL: 2 s; 80 m; -20 m/s y 30 m/s; 123,61 m)

25) Desde un punto situado a 100 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo

con una velocidad de 50 m/s. En ese mismo instante se lanza otro en la misma vertical desde el suelo con una velocidad de 150 m/s. Tomando g = 10 m/s², calcula: ¿Cuánto tarda el segundo en alcanzar al primero? • ¿A qué altura lo alcanza? • ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante? • ¿Dónde se encuentra el segundo cuando el primero alcanza la altura máxima? • ¿Dónde se encuentra el segundo cuando el primero llega al suelo? • (SOL: 1 s; 145 m; 40 m/s y 140 m/s; 625 m; 1070,8 m)

26) Una piedra de 2 Kg se deja caer desde un acantilado de 40 m de altura. En el mismo

instante se lanza hacia arriba desde la base del acantilado una pelota con una velocidad de 15 m/s. Tomando g = 10 m/s², calcula: ¿Qué tiempo habrá transcurrido cuando se encuentren? • ¿Qué velocidad tiene cada cuerpo en ese instante? • Al encontrarse, ¿está todavía ascendiendo la pelota? ¿Por qué? • (SOL: 3 s; -30 m/s y -15 m/s; no, su velocidad es negativa)

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1º BACHILLERATO

27) Desde una altura de 80 m se deja caer una piedra en el mismo instante en que se lanza

una pelota desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Tomando g = 10 m/s²; calcula: Ecuaciones de la posición y de la velocidad de ambos cuerpos • El tiempo que tardan en cruzarse • A qué altura se cruzan • Qué velocidad tiene cada uno en ese momento • Dónde se encuentra la pelota cuando la piedra llega al suelo • Ecuaciones de la posición y de la velocidad de la piedra si se lanza desde la misma altura • pero hacia abajo con una velocidad de 5 m/s. (SOL: r1 = (80 − 5t 2 ) ⋅ j m; r2 = ( 40t − 5t 2 ) ⋅ j m; 2 s; 60 m; v1 = −20 ⋅ j m/s; v2 = 20 ⋅ j m/s; 80 m; r1 = (80 − 5t − 5t 2 ) ⋅ j m; v1 = (−5 − 10t ) ⋅ j m/s) 

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28)

Desde una altura de 80 m se deja caer un cuerpo en el mismo instante en que se lanza otro desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 50 m/s. Calcula: El tiempo que tardan en cruzarse. • A qué altura se cruzan. • Sus velocidades en el momento de cruzarse. • Dónde está el segundo cuando el primero llega al suelo. • Altura máxima alcanzada por el segundo. • (SOL: 1,6 s; 67,46 m; -15,68 m/s; 34,32 m/s; 122,02 m; 127,55 m)

29) Una piedra de 1 kg se deja caer desde un acantilado de 10 m de altura. En el mismo

instante se lanza hacia arriba desde la base del acantilado una pelota con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular: ¿Qué tiempo habrá transcurrido cuando se encuentren? • Al encontrarse, ¿está todavía ascendiendo la pelota? • Si la piedra tuviera un peso de 2 kg, ¿cuál sería la respuesta del apartado (a) y por qué? • (SOL: a) 0,66 s; b) sí; c) la misma porque en ausencia de rozamiento la masa no influye)

30) Desde la azotea de un edificio de 30 m se cae un cuerpo. En el mismo instante y desde el

suelo se lanza, en vertical y hacia arriba, otro cuerpo con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuándo y donde se cruzan los dos cuerpos? (SOL: Tras 1,5 s y 18,95 m)

31) Se lanza desde el suelo hacia arriba una piedra al mismo tiempo que se deja caer otra

desde una altura de 60 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar la primera para que las dos lleguen al mismo tiempo al suelo? (SOL: 17,1 m/s) CAÍDA LIBRE DE DOS CUERPOS CON DESFASE

32) Un objeto se lanza verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Un

segundo más tarda se lanza otro con velocidad doble que el primero. Calcula en qué posición se encuentran los dos objetos y la velocidad de cada uno. (SOL: y1 = y2 = 19 m; v1 = 5,3 m/s; v2 = 35,1 m/s)

33) Se deja caer una pelota desde 80 metros de altura. Un segundo más tarde una segunda

pelota se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s. Determina el punto en el que se encuentran ambas y el espacio recorrido por cada una. (SOL: y1 = y2 = 49,1 m; e1 = 30,9 m; e2 = 49,1 m)

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1º BACHILLERATO

34) Desde un punto situado a 100 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo

con una velocidad de 50 m/s; 2 s más tarde se lanza otro desde el suelo con una velocidad de 150 m/s. Tomando g = 10 m/s², calcula: ¿Cuánto tiempo tarda el segundo en alcanzar al primero? • ¿A qué altura lo alcanza? • ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante? • ¿Dónde se encuentra el segundo cuando el primero alcanza la altura máxima? • ¿Dónde se encuentra el segundo cuando el primero llega al suelo? • (SOL: a) 1,5 s; b) 215 m; c) 15 m/s y 135 m/s; d) 405 m; e) 1005 m)

35) Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 200 m/s, al cabo de 4 s, se lanza otro igual con la misma velocidad. Calcula: La altura a la que se encuentran. • El tiempo que tardan en encontrarse. • La velocidad de cada cuerpo en el momento en que se encuentran. • (SOL: a) 2019 m; b) 18,4 s; c) v1 = – 19,7 m/s y v1 = 19,5 m/s)

36) Se lanzan dos cuerpos verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 400 m/s y

con un intervalo de 20 s. Calcula: Tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura. • La altura máxima alcanzada. • El tiempo que los dos cuerpos tardan en cruzarse y la distancia desde ese punto de cruce • al de lanzamiento. La velocidad de cada cuerpo en el punto de cruce. • (SOL: a) 40,8 s; b) 8155 m; c) 50,7 s desde el lanzamiento del primero; d) El primero con – 97,4 m/s y el segundo con 98,8 98,8 m/s)

37) Desde una altura de 80 m se deja caer una piedra. Dos segundos después se lanza otra desde el suelo en la misma vertical con una velocidad de 50 m/s. Calcular: El tiempo que tardan en encontrarse. • La altura a la que se produce el encuentro. • (SOL: a) 2,86 s; b) 39,38 m)

38) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad v 0 = 100 m/s. Medio

segundo después, con la misma arma, se dispara un segundo proyectil en la misma dirección y con idéntica velocidad. Si se desprecian los rozamientos, determina: La altura a la que se encuentran ambos proyectiles. • La velocidad de cada uno al encontrarse. • El tiempo transcurrido desde el primer disparo hasta el choque. • (SOL: a) 510 m; b) –2,41 m/s, 2,49 m/s, c) 10,25 s)

39) Desde un punto situado a una altura h, se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con

una velocidad de 29,4 m/s. Desde el mismo punto se deja caer otro objeto, 4 s después de haber lanzado el primero. ¿En qué instante y lugar alcanza el primer objeto al segundo? • ¿Qué velocidad tiene cada uno de ellos en ese instante? • (SOL: t1 = 1,44 s; 32,2 m; -14,1 m/s y 15,3 m/s; t 2 = 5,56 s; 32,2 m; -54,5 m/s y 25,1 m/s)

40) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s. Cinco

segundos más tarde se dispara otro proyectil en la misma vertical y con la misma velocidad inicial. Calculad: Cuánto tiempo tarda el segundo proyectil en alcanzar al primero. • A qué altura lo alcanza. • 7/27


1º BACHILLERATO

Qué velocidad tiene cada proyectil en el momento del encuentro. (SOL: 12,7 s; 479,7 m; -24,46 m/s, +24,46 m/s)

•

41) Dos proyectiles se lanzan verticalmente de abajo a arriba con dos segundos de intervalo,

el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con velocidad inicial de 80 m/s. Calculad el tiempo transcurrido (contado desde que se lanzó el primero) hasta que estén los dos a la misma altura. Determinad el valor de esta altura, y la velocidad de cada cuerpo en ese momento. (SOL: 3,62 s; 116,75 m; 14,52 m/s; 64,12 m/s)

42) Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de diferencia, el

primero con una velocidad de 50 m/s, y el segundo con 80 m/s. Calcula el tiempo que transcurre hasta que los dos se encuentran a la misma altura, y la velocidad de ambos en ese instante. (SOL: 3,6 s del primer lanzamiento; 14,7 m/s y 64,3 m/s)

43) A intervalos iguales de 0,25 s se desprenden 4 gotas de un grifo. Cuando se desprende la

última, ¿qué distancia separa las gotas? (SOL: 1,54 m; 0,92 m; 0,31 m)

44) Dos personas se dejan caer desde un avión, en caída libre (hasta que abren el

paracaídas). La segunda lo hace con un retraso de t 0 segundos respecto a la primera. Durante la caída libre, ¿permanece constante la distancia entre ambos? Razona la respuesta. (SOL: No, la diferencia de altura entre ambos depende del tiempo)

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1º BACHILLERATO

MOVIMIENTOS EN EL PLANO PL ANO HORIZONTAL

45) El vector de posición de un barco que cruza un canal de 400 m de anchura es: km El tiempo t está medido en horas y las distancias, en km. Calcula: • El tiempo que tarda el barco en cruzar el canal. • Las coordenadas de los puntos de salida y llegada. • (SOL: a) 0,2 h; b) (0,4, 0,6) km) 

r



=

2t ⋅ i



+

3t ⋅ j

46) El vector de posición de un barco que cruza un puerto de 1,6 km de anchura es: km El tiempo t está medio en horas. El viaje comienza cuando el reloj del puerto marca las 12 h y 15 min y termina cuando x = 1,6 km. ¿A qué hora llegó el barco? (SOL: 13 h y 3 min) 

r



=

2t ⋅ i



+

(0, 5t − 0, 5) ⋅ j

47) Un bote cruza un río de 38 metros de ancho que posee una corriente de 2,5 m/s. El bote se desplaza a 5 m/s en dirección perpendicular a la orilla del río. Calcula: El tiempo que tardará en cruzar el río. • La distancia que es arrastrado río abajo. • El espacio recorrido • (SOL : a) 7,6 s ; b) 19 m ; c) 42,5 m)

48) Un piragüista se dispone a cruzar un canal de 50 m de ancho, cuyas aguas se mueven a

1 m/s. La piragua lleva una velocidad horizontal de 2,25 m/s y una dirección perpendicular a la de las aguas del canal. Calcula la velocidad total del piragüista. • ¿Qué tiempo tarda en cruzar el canal? • (SOL: a) 2,46 m/s; b) 22,2 s)

49) Un remero a bordo de su piragua se dispone a cruzar un río de 240 m de ancho, cuyas aguas se mueven a 6 m/s. El remero consigue que la piragua lleve una velocidad constante de 8 m/s remando en dirección perpendicular a la de la corriente. Halla: El tiempo que tarda en cruzar el río. • La velocidad resultante con que cruza el río. • El punto de la otra orilla en el que llega el remero, referido a la perpendicular del punto de • salida. (SOL: a) 30 s; b) 10 m/s; c) (180, 240) m)

50) Un piragüista quiere cruzar un canal de 36 m de ancho en el que la corriente tiene una

velocidad de 2 m /s. Si el piragüista desarrolla una velocidad constante de 6 m/s en dirección perpendicular a la orilla, calcula: El tiempo que necesita para atravesar el canal. • La distancia que ha sido arrastrado aguas abajo. • El módulo del vector velocidad de la piragua. • (SOL: a) 6 s; b) 12 m; c) 6,3 m/s)

51) Un piragüista a bordo de una piragua, quiere cruzar un río de 50 m de ancho que posee

una corriente de 3 m/s. La piragua se desplaza con un MRU de 5 m/s perpendicular a la corriente. Calcula: El tiempo que tardará en cruzar el río. • La distancia que es arrastrado río abajo. • El tipo de trayectoria que describe. • (SOL: a) 10 s; b) 30 m; c) la trayectoria es rectilínea.) 9/27


1º BACHILLERATO

52) En un río cuya anchura es de 10 m y cuyas aguas llevan una velocidad constante de 18

km/h, intenta cruzar una motora de 150 kg de masa cuyo motor le impulsa con una fuerza constante de 30 N. Suponiendo que la posición de la motora sea siempre perpendicular a las orillas, calcula: Tiempo que tardará en cruzar a la otra orilla del río • Desviación de la normal a la orilla que sufrirá la motora al cruzar el río • Ecuación de la trayectoria. • (SOL: 10 s; 50 m; y = 0,004·x²)

53) Una barca, que lleva una velocidad de 3 m/s, cruza un río perpendicularmente a la

dirección del agua. El río fluye a 5 m/s y su cauce tiene 60 metros de ancho. Hallar el ángulo y la distancia desviada. Determina la velocidad resultante y el tiempo empleado en cruzar el río. (SOL: 31º; 36 m; v = 5i + 3 j m/s; 5,83 m/s) 

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54) Se quiere cruzar un río de 70 m de ancho en una barca. La velocidad de la corriente es de 2 m/s y la de la barca es de 5 m/s. ¿Qué ángulo debe formar la dirección de la velocidad de la barca respecto a la velocidad • de la corriente del rio para llegar al punto de enfrente al punto de partida? ¿Qué tiempo tarda en llegar? • (SOL: a) 113,6º; b) 15,3 s)

55) Un chico y una chica se encuentran frente a frente en cada una de las orillas de un canal

de 3 m de ancho. La chica pone en marcha, sobre el agua, una barca teledirigida que consigue mantener una velocidad constante de 0,5 m/s. Si la velocidad de la corriente del agua es de 0,25 m/s, calcula: ¿En qué dirección, respecto a la perpendicular a las orillas del canal, debe ser colocada la • barca para que le llegue directamente a la mano al chico? ¿Qué tiempo tarda la barca en cruzar el canal? • (SOL: a) 30º; b) 6,9 s)

56) Un barco navega en dirección Sur-Norte a 25 nudos. Sopla brisa a 5 nudos en dirección

Suroeste-Noreste. Halla la velocidad resultante del barco, el ángulo que se desvía de su trayectoria original y la distancia recorrida en un día (1 nudo = 1,83 Km/h) (SOL: v = 3,53·i + 28,53·j nudos; 7,1º; 1.262,9 Km)

57) Con una lancha que desarrolla 36 Km/h queremos atravesar un río de 400 m de anchura.

Si la velocidad de la corriente es de 1 m/s, determina: La dirección de su marcha • Su velocidad (módulo y dirección) • Punto de la orilla opuesta en el que desembarca. • (SOL: v = i + 10 ⋅ j m/s; 10,05 m/s; 5,71º; a 40 m del punto opuesto) 

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

58) En el punto medio de un rio de 400 m de anchura se encuentra a la deriva un barco. La

corriente de río lleva una velocidad de 4 m/s, y existe un fuerte viento que sopla en dirección perpendicular a la corriente con una intensidad de 36 Km/h. Calcula cuánto tiempo y dónde llega el barco a la orilla contraria. (SOL: 20 s; a 80 m del punto opuesto)

59) Un nadador que alcanza una velocidad de 3 Km/h se lanza a atravesar un río, en una

dirección que forma 45º con la margen y en sentido aguas arriba. Si la corriente tiene una velocidad de 0,1 m/s, y el río una anchura de 200 m, determina el tiempo que tardará en alcanzar la orilla contraria y su dirección de marcha. 10/27


1º BACHILLERATO

(SOL: 5,6 min; 40,5º)

60) Una barca cruza un río de 1000 m de ancho navegando siempre perpendicular a la orilla.

La velocidad media que imprime el motor a la barca es de 25 km/h y el río fluye a 1,5 m/s. ¿Qué distancia a lo largo del río habrá recorrido la barca cuando llegue al otro lado? ¿Con qué orientación debería navegar para llegar a la otra orilla justo enfrente de donde salió? (SOL: 216,14 m; v = −1, 50 ⋅ i + 6, 94 ⋅ j m/s) 





61) Un nadador va a una velocidad constante de 6 m/s. Cruza horizontalmente un río cuyas

aguas circulan a 2 m/s. Calcular: la velocidad real del nadador respecto a la orilla. • ¿qué ángulo se desvía el nadador? • Si el río tiene una anchura de 150 m, ¿cuanto tiempo le cuesta cruzarlo y qué distancia se • separara de la otra orilla? ¿qué velocidad habría de tener el río para que se desviara 25 m respecto de la otra orilla? • (SOL: v = 2 ⋅ i + 6 ⋅ j m/s; 71,6º; 25 s y 50 m; 1 m/s) 





62) Un avión se encuentra en el instante t = 0 s en la posición de coordenadas (0,1) y se

mueve con una velocidad de 1200 km /h en la dirección y sentido del eje X positivo. Al mismo tiempo sopla un viento de velocidad 120 km /h en la dirección y sentido del eje Y positivo. Calcula: La velocidad resultante del avión. • Su posición después de 2 s. • Las coordenadas están expresadas en kilómetros. • (SOL: a) 1206 Km/h; b) r = 666 ·i + 1066,6·j)

63) Un avión quiere volar en dirección Norte-Sur. El viento sopla en dirección Este-Oeste a 80

Km/h. Calcula el ángulo con el que debe desviarse el avión para que lleve la dirección correcta. Si los motores comunican al avión una velocidad de 700 Km/h, calcular cuál será la velocidad real del avión. (SOL: 6,56º; 695,4 Km/h)

64) Un avión que vuela con rumbo SN a una velocidad constante de 400 km/h se ve sometido a un viento constante de dirección OE que sopla a 20 km/h. ¿Qué rumbo tomará el avión? (SOL: 87,14º respecto a la recta OE)

65) Un avión vuela en dirección Norte-Sur a una velocidad de 500 km/h. Debido al viento, que

sopla en dirección Este-Oeste, el avión se desvía 300 km de su ruta inicial después de 10 horas de vuelo. Calcular: la velocidad del viento • la distancia real que recorre el avión • la velocidad resultante • el ángulo que se desvía. • (SOL: 30 Km/h; 5009 Km; v = −30 ⋅ i − 500 ⋅ j , 500,9 Km/h; 3,43º) 





66) Un paracaidista cae a una velocidad constante de 5 m/s gracias a que su paracaídas le frena. Sopla horizontalmente un viento a 3 m/s. Calcular: la velocidad real del paracaidista respecto a un observador fijo en el suelo • ¿qué ángulo se desvía respecto de la vertical? • si se lanza desde 800 m de altura determina el tiempo empleado en caer y qué distancia • se separaría respecto de la vertical de lanzamiento. (SOL: 5,83 m/s; 31º; 12,3 s y 36,8 m) 11/27


1º BACHILLERATO

67) Jugando al billar, golpeamos la bola, que se encuentra inicialmente en el punto que indica la figura, imprimiéndole una velocidad de 1 m/s en la dirección dibujada:

Calcule razonadamente (despreciamos el rozamiento) la ecuación de movimiento de la bola y en qué punto de la banda rebota la bola. (SOL: r = (0, 5 + 0, 87t) ⋅ i + (0, 5 + 0, 5t) ⋅ j m; Rebota a 2,24 m de la banda izquierda) 





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1º BACHILLERATO

TIRO HORIZONTAL 

r



=

v0 ⋅ t ⋅ i

+

( h0

−



2



v

4, 9t ) ⋅ j



 x = v0 ⋅ t   2 4, 9 ⋅ t    y = h0 − 4,9

=

v x  v y

v0 ⋅ i



9,8 ⋅ t ⋅ j

+−

  = −9,8 ⋅ t  

=

v0



a

9,8 ⋅ j



= −

 a x   a y

  9, 8  = −9,8 

=

0

68) La ecuación de movimiento de un tiro horizontal es: m Halla la posición y la velocidad en t = 1 s. Calcula el tiempo de vuelo y el alcance máximo. (SOL: r = 6 ⋅ i + 3,1 ⋅ j ; 1,28 s; 7,66 m) 

r





=

6t ⋅ i

+

2



(8 − 4, 9t ) ⋅ j





horizontalmente un objeto 69) Desde una ventana situada a 38 metros sobre el suelo se lanza horizontalmente

con una velocidad de 18 m/s. m/ s. Determina: Las ecuaciones que describen el movimiento del objeto. Tomamos como referencia el • suelo El punto en que toca el suelo. • La velocidad con que llega al suelo. • (SOL : r = 18t ⋅ i + (38 − 4, 9t 2 ) ⋅ j m, v = 18 ⋅ i − 9, 8t ⋅ j m/s; 50,4 m ; v = 18 ⋅ i − 27, 4 ⋅ j m/s) 

















70) Desde un acantilado de 60 m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con una

velocidad de 20 m/s. ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 s después? ¿Cuál es la velocidad en ese instante? (SOL: r = 40 ·i + 20·j m; v = 20 ·i + 20·j m/s; 28,28 m/s)

71) Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una velocidad de 5 m/s. Calcula: ¿Qué anchura deberá tener la calle para que esa piedra no choque contra el edificio • situado enfrente? ¿Cuánto tiempo tardará en caer la piedra? • (SOL: mayor de 15,81 m; 3,16 s)

72) Desde una altura de 10 m sobre el suelo, se lanza horizontalmente un objeto con

velocidad de 20 m/s. Determinar: La distancia a la que toca el suelo, medida desde el punto de lanzamiento. • El ángulo que forma la trayectoria con el suelo en el momento del impacto. • El vector unitario tangente a la trayectoria en el punto en que toca el suelo. • (SOL: a) 28,3 m; b) 35,2º; c) c) (0,82, –0,58) )

73) Se dispara un proyectil con velocidad horizontal de 20 m/s desde lo alto de un acantilado

de 100 m de altura. Calcular su alcance máximo. (SOL: 89,44 m)

74) Se lanza una flecha desde el punto más alto de un edificio de 50 m de altura con una velocidad inicial de 30 m /s. Calcula el tiempo que tarda la flecha en llegar al suelo y la velocidad que tiene en ese momento si se lanza: Verticalmente hacia arriba. • Verticalmente hacia abajo. • Horizontalmente. • (SOL: a) 7,5 s y 43,5 m/s; b) 1,4 s y 43,7 m/s; c) 3,2 s y 43,4 m/s)

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1º BACHILLERATO

horizontalment e un objeto con una velocidad de 30 75) Desde una altura de 25 m lanzamos horizontalmente

m/s. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la distancia a la que caerá. (SOL: 2,26 s; 67,74 m)

horizontalmente con una velocidad de 30 Km/h una masa de 2 Kg desde una una 76) Lanzamos horizontalmente

terraza situada a 250 m de altura. Calcular: Tiempo que tarda en caer. • Distancia desde el punto de partida a la que tocar el suelo. • Velocidad al cabo de 3 s. • (SOL: 7,14 s; 59,5 m; v = 8, 3 ⋅ i − 29, 4 ⋅ j m/s) 





77) Sobre una mesa de 1 m de altura rueda con una velocidad constante de 2 m/s una

bola, hasta que cae por uno de sus extremos: ¿A qué distancia de la base de la mesa golpear el suelo? • Calcula la velocidad (módulo y vector) cuando golpea el suelo. • (SOL: 90 cm; v = 2 ⋅ i − 4, 43 ⋅ j m/s, 4,86 m/s) 





78) Sobre una mesa de 0,65 m de altura, se mueve con velocidad constante de 4 m/s, una

bola, hasta que cae por uno de sus extremos. Halla: La ecuación de la trayectoria. • La posición y la velocidad a los 0,1 s. • ¿Qué velocidad tendría a los 0,5 s? • (SOL: y = 0,65 - 0,31·x²; r = 0, 4 ⋅ i + 0, 6 ⋅ j m; v = 4 ⋅ i − 0, 98 ⋅ j m/s; ya ha impactado con el suelo) 











79) Una pelota rueda sobre una mesa horizontal a 1,5 m de altura, del suelo, cayendo por el

borde de la misma. Si choca con el suelo a una distancia de 1,8 m, medidos horizontalmente desde el borde de la mesa, ¿cuál es la velocidad (módulo) con que cayó de la mesa? (SOL: 3,25 m/s)

80) Un depósito elevado de agua tiene un orificio a 36 m de altura. Suponiendo que el agua

sale a una velocidad constante de 10 m/s, halla: El tiempo que tarda en llegar al suelo. • La distancia horizontal que alcanza. • El ángulo y la velocidad de impacto con el suelo. • (SOL: 2,71 s; 27,1 m; v = 10 ⋅ i − 26, 6 ⋅ j m/s; -69,4º ) 





81) Desde lo alto de un edificio de 30 m de altura realizamos un tiro horizontal con una

velocidad de 5 m/s. Calcula: el tiempo de vuelo • la distancia a la que cae respecto de la vertical del edificio • la velocidad 1 segundo antes de llegar al suelo. • (SOL: 2,47 s; 12,37 m; v = 5i − 14, 45 j m/s) 





horizontalmente una bala con velocidad velocidad 82) En un duelo del lejano Oeste, un pistolero dispara horizontalmente

de 200 m/s desde una altura de 1,25 m. Calcular la distancia mínima entre los adversarios situados en plano horizontal, para que la presunta víctima no sea alcanzada. (SOL: 101 m)

83) Se lanza horizontalmente una flecha con un arco desde 1,2 m sobre el suelo. La flecha

toca el suelo a 10 m. ¿Con qué velocidad ha salido si se supone nulo el rozamiento con el aire? 14/27


1º BACHILLERATO

(SOL: 20,2 m/s)

84) Un voluntarioso alumno del IES La Morería lanza horizontalmente desde la terraza del

instituto (a 18 metros del suelo), el almuerzo a su compañera, que se halla a 15 metros de distancia de la vertical de la ventana. Halla: La velocidad a la que ha de lanzarle el bocadillo para que lo recoja su compañera con las • manos, a 1,95 m del suelo. La velocidad que tendrá el bocadillo en ese instante. • ¿Aceptará tu compañera una cita con esos modales? • 29i −17, 74 j m/s; ni lo sueñes...) (SOL: 8,29 m/s; v = 8, 29 





85) Un surtidor de agua de una fuente se halla situado a 3 m del suelo. Si el agua sale

horizontalmente, hallar qué velocidad debe tener para que alcance una distancia de 2 m. Con la velocidad calculada antes, determinar ahora a qué altura ha de ponerse el surtidor para que el alcance sea de 4 m. (SOL: 2,56 m/s; 12 m)

86) Se ha de realizar un tiro horizontal desde 2 m de altura de tal forma que tenga un alcance

de 8 m. Calcula qué velocidad inicial ha de tener el tiro y el tiempo de vuelo. Halla la velocidad, vector y módulo, en t = 0,5 s. (SOL: 0,64 s y 12,53 m/s; v = 12, 53 ⋅ i − 4, 9 ⋅ j m/s, 13,45 m/s) 





87) Calcula desde qué altura y a qué velocidad inicial hay que realizar un tiro horizontal para

que su caída dure 2 s y tenga un alcance de 12 m. Hallar en qué instante se halla a mitad de altura y cuál es velocidad (módulo y dirección) en ese momento. (SOL: 19,61 m; 6 m/s; 1,41 s; v = 6 ⋅ i − 13, 87 ⋅ j m/s, 15,11 m/s, -66,6º) 





88) Un bombardero vuela a 1200 m de altura con una velocidad de 180 Km/h. ¿Cuánto tiempo antes de estar en la misma vertical del blanco debe soltar la bomba? ¿A qué distancia del blanco deberá estar? ¿Con qué velocidad llega la bomba al suelo? (SOL: 15,65 s; 782,5 m; 161,3 m/s)

89) Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 360 km/h a una altura de 500 m.

Al pasar por la vertical de un punto A suelta una bomba. Calcula: ¿Cuánto tiempo tardará en llegar la bomba al suelo? • ¿A qué distancia del punto A se producirá la explosión? • ¿Con qué velocidad llegará la bomba al suelo? • (SOL: 10 s; 1000 m; v = 100 ⋅ i − 100 ⋅ j m/s) 





90) Un bombardero está haciendo una pasada sobre un destructor a una altura de 300 m.

La velocidad del avión es 480 km/h. ¿De cuánto tiempo dispone el destructor para cambiar su rumbo una vez que han sido soltadas las bombas? (SOL: 7,75 s)

91) Un avión de salvamento que vuela a una altura de 100 m y a una velocidad de 100 m/s

tiene que lanzar un paquete de provisiones a unos náufragos que se encuentran en una balsa. Calcular desde qué distancia horizontal hasta la balsa tienen que soltar el paquete para que éste caiga al mar 10 m antes de la balsa y la velocidad con que el paquete llega al mar. (SOL: Desde 457,2 m; v = 100 ⋅ i − 44, 7 ⋅ j m/s) 





92) Desde un avión, en vuelo horizontal a 150 m de altura, se suelta un paquete cuando lleva una velocidad de 125 m/s.

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1º BACHILLERATO

¿Qué tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? ¿Dónde cae, visto desde un observador en tierra? • ¿Dónde cae respecto al piloto del avión? • Calcula el vector velocidad del paquete a los 3 s de soltarlo. • (SOL: a) 5,53 s; b) 690,9 m; c) Respecto al piloto cae en vertical; d) (125, –29,4) m/s) •

93) Una avioneta vuela horizontalmente a 100 m de altura sobre el suelo. Si, cuando su

velocidad es de 180 km/h, deja caer un paquete, calcula, prescindiendo del rozamiento con el aire: La ecuación de la trayectoria del paquete. • El punto donde toca con el suelo (suponiendo que es horizontal). • El tiempo que tarda en caer. • La velocidad del paquete a los 2 s de la caída. • (SOL: a) y = 100 - 1,96·10 1,96· 10-3·x² ; b) (226, 0) m; c) 4,51 s; d) (50, –19,6) m/s; 53,7 m/s)

94) Un avión, que vuela con una velocidad horizontal de 250 m /s a una altura de 2000 m sobre el suelo, se dispone a dejar caer un paquete sobre un objetivo. Calcula: El tiempo que tarda el paquete en llegar al suelo. • La distancia al objetivo. • (SOL: a) 20,2 s; b) 5050 m)

95) Un avión de aprovisionamiento vuela a 5000 m de altura sobre una isla con una velocidad horizontal de 200 m/s. Se desea dejar caer un paquete sobre la isla. Calcula: El tiempo que tardará el paquete en llegar al suelo. • La distancia a la que debe soltar el paquete. • (SOL: a) 32 s; b) 6400 m)

96) Un avión vuela a 500 m de altura con una velocidad horizontal de 720 km/h. En el instante

en que sobrevuela un punto P deja caer un objeto. Halla: La posición y velocidad del objeto a los 5 s. • El punto de choque y la velocidad del objeto cuando llega al suelo. • (SOL: r = 1000 ⋅ i + 377, 42 ⋅ j m; v = 200 ⋅ i − 49, 03 ⋅ j m/s; 2019,6 m, v = 200 ⋅ i − 99, 03 ⋅ j m/s) 

















97) Un avión que vuela horizontalmente a 1200 m de altura, con una velocidad de 540 km/h, deja caer un paquete. Determina: El tiempo que le cuesta llegar al suelo el paquete • Qué distancia antes de llegar al suelo tiene que soltar la carga el avión para que llegue al • punto correcto Calcular la velocidad del paquete en el momento de llegar al suelo. • (SOL: 15,64 m/s; 2346,6 m; v = 150 ⋅ i − 153, 41 ⋅ j m/s) 





98) Un avión que vuela a 800 m deja caer una bomba 1000 m antes de sobrevolar el objetivo

y hacer blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión? (SOL: 79,4 m/s)

99) Indica a que altura debe volar un avión con velocidad 70 m/s si quiere dejar caer un

paquete que alcance una distancia máxima de 150 m. (SOL: 22,5 m)

100) Un bombardero que vuela a 150 m de altura y a una velocidad de 300 km/h tiene que destruir un tanque que avanza a 36 km/h. Para ello tiene que soltar una bomba desde cierta 16/27


1º BACHILLERATO

distancia antes de encontrarse a su altura. Calcular la distancia horizontal hasta el tanque desde la que tiene que soltar la bomba el avión. (SOL: Desde 402 m aprox.)

101) Desde una motocicleta que lleva una velocidad constante de 6 m/s, se cae un móvil

desde 1,3 m de altura. ¿Con qué velocidad llega al suelo? (SOL: 7,9 m/s)

102) Una pelota rueda por el rellano de una escalera con velocidad 1,5 m/s. Los escalones por los que cae tienen 0,2 m de altura y 0,2 m de profundidad. ¿En qué escalón golpeará la pelota por primera vez, y con qué velocidad lo hará? (SOL: 3er. escalón; 3,74 m/s)

103) Un avión en vuelo horizontal a la altura de 300 m y velocidad 72 m/s desea batir un barco que se desplaza a 24 m/s en la misma dirección y sentido que el avión. Determinar a que distancia, desde la vertical del avión, debe soltar la bomba para lograr el impacto. ¿Cuál sería esa distancia si el barco se moviera en sentido contrario hacia el avión? (SOL: 376 m en el mismo sentido y 751 m en el contrario)

104) Desde lo alto de una pared vertical a 2 m del suelo, el surtidor de una fuente lanza

agua. Si a 3 m de la vertical hay una pared de 1 m de altura, ¿cuál ha de ser la velocidad del agua para que rebase la pared? ¿Cuál sería el alcance máximo? ¿Cuánto tiempo le costaría al agua llegar al suelo?

(SOL: 6,64 m/s; 4,24 m; 0,64 s)

105) Un avión, en vuelo horizontal, a una velocidad de 360 Km/h y a una altura de 1000 m

lanza una bomba. ¿A que distancia del objetivo inmóvil, se debe proceder al lanzamiento? Si el objetivo es un camión que avanza horizontalmente a 72 Km/h en la misma dirección del avión. ¿A que distancia del objetivo se debe disparar si este se aleja? ¿Y si se acerca? (SOL: 1428,1 m; 1142,5 m; 1713,7 m)

106) Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 720 km/h a una altura de 7840 m.

Desde el avión se deja caer una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: Velocidad de la bomba al llegar al suelo • Distancia horizontal recorrida por la bomba • Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe el ruido de la • explosión en el avión (SOL: v = 200 ⋅ i − 392,13 ⋅ j m/s; 8 Km aproximadamente; aproximadamente; 68,5 s) 





107) Desde el interior de un tren que viaja a 108 km/h un niño lanza por una ventana situada

a 2,45 m sobre el suelo un objeto con una velocidad de 18 km/h horizontalmente y 17/27


1º BACHILLERATO

perpendicular a la marcha del tren cuando pasa por un poste de la catenaria situado a 2 m de las vías. ¿A qué distancia del poste caerá el objeto? (SOL: a 21,2 m y 3,53 m del origen del lanzamiento)

108) En un terreno se lanza una pelota verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial

de 10 m/s. El viento produce una fuerza horizontal constante sobre la pelota igual a la quinta parte de su peso. Se desea saber: La distancia entre el impacto y el punto de lanzamiento • Velocidad de la pelota en el punto más alto de su trayectoria • Altura máxima que alcanza la pelota • Velocidad de la pelota en el momento del impacto • Ángulo que forma la velocidad con la horizontal en el momento del impacto. • (SOL: 5,1 m; v = 5,1⋅ i m/s; 5,1 m; v = 10, 2 ⋅ i − 10 ⋅ j m/s; -45º aproximadamente) aproximadamente) 









109) Desde el punto más alto del palo mayor de un velero que navega por un lago a

velocidad constante de 5 m/s se deja caer una piedra. Sabiendo que dicho mástil tiene 20 m de altura, determinar: Tiempo que tarda la piedra en llegar a la cubierta del velero • Punto de la cubierta del velero sobre el que cae la piedra. • Ecuación de la trayectoria que sigue la piedra en su movimiento de caída vista por un • observador en reposo a la orilla del lago. (SOL: 2,02 s; cae a 10,1 m del mástil; y = 20 - 0,2·x²) 0,2· x²)

110) En los tiros horizontales mostrados en la figura, v 1 = 4 m/s y las alturas de lanzamiento

son las que se indican, 10 y 5 m. Halla cuanto tiempo les cuesta caer y cuál debe ser la velocidad v 2 para que el alcance de ambos tiros se sea el mismo.

(SOL: 1,01 s y 1,42 s; 5,66 m/s)

111) Calcular cual debe ser la relación entre las velocidades v 1 y v2 para que los dos tiros horizontales representados en la figura del problema anterior tengan el mismo alcance. (SOL: v2 = 2 ⋅ v1 )

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1º BACHILLERATO

TIRO PARAB P ARABÓLICO ÓLICO 

r



=

v0 ⋅ cos α ⋅ t ⋅ i



+

( h0

+



v0 ⋅ sin α ⋅ t − 4, 9 t 2 ) ⋅ j

v



 x = v0 ⋅ cos α ⋅ t   2  y = h0 + v0 ⋅ sin α ⋅ t − 4, 9 ⋅ t 

=

v x  v y

v0 ⋅ cos α ⋅ i



+

( v0 ⋅ sin α − 9, 8 ⋅ t ) ⋅ j

  = v0 ⋅ sin α − 9, 8 ⋅ t  

=

v0 ⋅ cos α

112) Un jugador de golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60° con respecto

al horizonte y con una velocidad de 60 m/s. Calcula la velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria, la altura máxima alcanzada y el alcance máximo. (SOL: 30 m/s; 138 m; 318 m)

113) Un proyectil se lanza con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 30º con la

horizontal. Calcule a los 8 s de su lanzamiento: El vector velocidad y el ángulo que forma ésta con el eje vertical. El vector de posición. (SOL: a) v = 173 ⋅ i + 20 ⋅ j m/s; 83,4º; b) r = 1384 ⋅ i + 480 ⋅ j m) 











114) Un cañón dispara un proyectil cuya velocidad de salida es de 400 m/s y forma con la horizontal un ángulo de 30 º. Calcula: El alcance máximo medido horizontalmente. • La altura máxima alcanzada. • La velocidad a los 4 segundos del lanzamiento. • (SOL: a) 14139,2 m; b) 2041,2 m; c) 381,9 m/s)

115) Un cañón se ajusta con un ángulo de tiro de 45º. Dispara una bala con una velocidad de

300 m/s. ¿A que altura llegará la bala? • ¿Cuánto tiempo estará en el aire? • ¿Cuál es el alcance horizontal? • (SOL: a) 2250 m; b) 42,4 s; c) 9000 m)

116) Una jugadora de golf lanza la pelota con una velocidad de 30 m/s, formando un ángulo

de 40º con la horizontal. Calcula: El tiempo que tarda en llegar al suelo la pelota. • La altura máxima alcanzada. • El valor de la velocidad con la que la pelota toca el suelo. • (SOL: a) 3,93 s; b) 19 m; c) 30 m/s.

117) Desde la azotea de un edificio de 55 metros de altura se lanza una pelota con una

velocidad de 8 m/s formando un ángulo de 60 º con la horizontal. Determina: Las ecuaciones que describen el movimiento de la pelota. Tomamos como origen el • suelo. El tiempo que tardará en alcanzar el suelo. • La velocidad cuando se encuentra a 20 metros del suelo. • (SOL : a) r = 4t ⋅ i + (55 + 6, 9t − 4, 9t 2 ) ⋅ j m; v = 4 ⋅ i + (6, 9 − 9, 8t) ⋅ j m/s; b) 4,1 s ; c) v = 4 ⋅ i − 27,1 ⋅ j m/s) 

















118) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y con una elevación de 30º sobre la horizontal desde un acantilado situado a 60 m de altura sobre el mar. Calcula: El tiempo que tarda el proyectil en caer al mar. • La distancia horizontal al punto de impacto. • 19/27


1º BACHILLERATO

La altura máxima adquirida por el proyectil sobre el nivel del mar. (SOL: a) 16,07 s; b) 2089,1 m; c) 347 m) •

119) Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 200 m/s y con una elevación de 45º

sobre la horizontal. El punto de lanzamiento se encuentra sobre un acantilado de 150 m de altura sobre el mar. ¿Cuánto tarda el proyectil en caer al mar? • ¿Cuál es la distancia horizontal al punto de impacto? • ¿Qué altitud máxima sobre el mar adquiere el proyectil? • (SOL: a) 29,9 s; b) 4228,5 m; c) 1170,4 m)

120) Desde lo alto de un acantilado de 50 m sobre el mar se lanza con una velocidad de 15

m/s, formando un ángulo de 60º con la horizontal. ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar al agua? • ¿A qué distancia llega la piedra? • (SOL: a) 4,8 s; b) 36 m)

121) Se lanza un objeto desde el punto más alto de un edificio de 30 m de altura, con una velocidad inicial de 30 m/s y con ángulo de 30º con la horizontal. Halla: Las ecuaciones de movimiento. • El tiempo que tarda el objeto en alcanzar su altura máxima. • El valor de la altura máxima respecto al suelo. • El tiempo que tarda en llegar al suelo. • La distancia entre la base del edificio y el punto de impacto en el suelo. • La velocidad con la que llega al suelo. • (SOL: a) x = 26t ; y = 30 + 15t – 4,9t² ; b) 1,53 s; c) 41,5 m; d) 4,44 s; e) 115 m; f) 38,6 m/s)

122) Se lanza un objeto con una velocidad inicial tal que sus componentes son: Calcula La altura máxima alcanzada. • El alcance máximo. • (SOL: a) 325,9 m; b) 984 m)

v0x = 60 m/s; v0y = 80 m/s

123) Se golpea una pelota de golf de manera que su velocidad inicial forma un ángulo de 45º

con la horizontal. La pelota alcanza el suelo a una distancia de 180 m del punto desde el que se lanzó. Calcula la velocidad inicial y el tiempo que ha estado en el aire. (SOL: 44,3 m/s; 6,39 s)

124) Con velocidad de 200 m/s y ángulo de lanzamiento de 37º se lanza un proyectil. Se pide: El alcance máximo que alcanza en la horizontal. • Si en la mitad de su camino existe una colina de 800 m de altura, ¿choca con ella? • (SOL: a) 3840 m; b) 724,4 m)

125) El famoso cañón Berta (de la 1ª Guerra Mundial) tenía un alcance máximo (ángulo de 45º) de 100 km. Despreciando la resistencia del aire, calcular: La velocidad del proyectil al salir por la boca del cañón. • La altura máxima del proyectil en tiro vertical. • (SOL: a) 990 m/s; b) 50 km)

126) Se lanza una pelota con velocidad v de componentes: v x = 20 m/s y v y = 16 m/s.

Calcular:

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1º BACHILLERATO

El tiempo que está subiendo y la altura que alcanza. La distancia a que se debe encontrar otro jugador de la misma talla para devolver la • pelota. (SOL: a) 1,6 s; b) 13 m; c) 65 m) •

127) Un saltador de longitud salta 8 m cuando lo hace con un ángulo de 30º con la horizontal.

¿Cuánto saltaría, en las mismas condiciones, si lo hiciera con un ángulo de 45º? (SOL: 9,05 m, salta con una rapidez de 9,6 m/s)

128) Un astronauta impulsa en la Luna una pelota de golf con una velocidad de 30 m/s. Si la

velocidad forma con la horizontal un ángulo de 45º. Calcula el tiempo que tarda en caer y el alcance máximo. Dato: Gravedad lunar 1,63 m/s². (SOL: 549 m)

129) Se realiza un lanzamiento oblicuo en la superficie de la Luna con una velocidad de 50

m/s que forma un ángulo de 20º con la horizontal. Sabiendo que la gravedad lunar es 1,62 m/s², calcula la altura máxima y la distancia alcanzada. (SOL: 987 m)

130) Un mortero dispara proyectiles con un ángulo de 60° con la horizontal. ¿Con qué

velocidad debe lanzar el proyectil para hacer impacto en una trinchera situada a 200 m? Si a los 190 m del punto de disparo existe una casa de 20 m de altura, ¿conseguirá proteger ese obstáculo la trinchera? (SOL: v0= 48 m/s; Sí, choca a 15,6 m de altura)

131) Iker Casillas saca de portería de modo que la velocidad inicial del balón forma 30° con

la horizontal y su módulo es de 20 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire y los insultos de Mourinho, calcule: ¿A qué distancia del punto de lanzamiento tocará el balón el césped? • Altura máxima que alcanza el balón y tiempo que tarda en alcanzar esa altura máxima. • Repetir los dos apartados anteriores suponiendo que el balón sale con un ángulo de 45° con el suelo. (SOL: 34,64 m; 5 m y 1 s; 40 m, 10 m y 1,4 s)

132) Xavi Hernández envía un pase en profundidad hacia Lionel Messi (que se encuentra 30

m por delante) un balón en profundidad formando un ángulo de 37º con la horizontal y a una velocidad inicial de 24 m/s. "La Pulga" arranca a correr con movimiento uniforme en el mismo instante del lanzamiento y esquivando las patadas de Pepe y Arbeloa. ¿Qué velocidad debe llevar para alcanzar al balón en el momento en que éste toque el suelo? (SOL: 8,8 m/s)

133) "La bomba" Navarro desea conseguir una canasta de 3 puntos. La canasta está situada

a 3,05 m de altura y la línea de tres puntos (FIBA) a 6,75 m de la canasta. Si el jugador lanza desde una altura de 2,20 m sobre el suelo y con un ángulo de 60º, calcula la velocidad inicial del balón para conseguir canasta. (SOL: v0=8,95 m/s)

134) Un pastor lanza una piedra con una honda y alcanza un objetivo que está a 250 m en la horizontal del lugar del lanzamiento. Si el ángulo de salida fue de 45º, calcula la velocidad de lanzamiento. Halla también la altura máxima alcanzada y el tiempo de vuelo. (SOL: v0 = 49,5 m/s; t = 7,2 s y h max = 62,4 m)

135) Hallar con qué velocidad hay que realizar un tiro parabólico para que llegue a una altura

máxima de 100 m si el ángulo de tiro es de 30º. (SOL: v = 88,54 m/s)

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136) Un arquero quiere efectuar un tiro parabólico entre dos acantilados tal y como indica la

figura. El acantilado de la izquierda se halla 4 m por arriba con respecto al de la derecha. Si el arquero sólo puede disparar con un ángulo de 30º y quiere lanzar las flechas a 5 m del acantilado de la derecha, calcula con qué velocidad mínima ha de lanzarlas y el tiempo de vuelo.

(SOL: v = 16,61 m/s; t = 2,085 s)

137) Un chico intenta lanzar una piedra por encima de un muro. El chico está a 6 m de la

valla y la altura de esta es de 3 m. Si se lanza con un ángulo de 60º, calcula la velocidad con que debe impulsarla para pasar por encima del muro. (SOL: 9,78 m/s)

138) Una jugadora de baloncesto situada a 8 m de la canasta se levanta y lanza el balón

desde una altura de 2,25 m con un ángulo de 45º sobre la horizontal. ¿Con qué velocidad debe realizar el lanzamiento para encestar, si el aro está situado a una altura de 3,05 m? ¿Qué tiempo tarda el balón en llegar a la canasta? (SOL: a) 9,4 m/s; b) 1,2 s)

139) El alcance de una piedra, lanzada desde cierto punto, es de 82,6 m; y la altura máxima

a que se ha elevado es de 11,9 m. Halla la velocidad (módulo y dirección) con que se ha lanzado. (SOL: 30,6 m/s; 30º)

140) Un proyectil de masa 8 Kg es disparado por un cañón con una velocidad inicial de 240

m/s y un ángulo de elevación de 45º. Se dispara otro proyectil análogo, con la misma velocidad, pero con un ángulo de elevación de 90º. Calcula la altura máxima alcanzada por ambos proyectiles. • Calcula la velocidad de ambos proyectiles al caer al suelo (módulo y dirección) • (SOL: 1470 m y 2939 m; 240 m/s)

141) Se lanza desde el suelo una pelota, formando un ángulo de 30° con la horizontal, y cae

justo en el borde de una terraza de un edificio situado a 30 m de distancia del punto de lanzamiento. La terraza está a 10 m de altura. Calculad la velocidad inicial que se le dio a la pelota. (SOL: 28,34 m/s)

142) Una pelota de béisbol se lanza desde la tercera base a la primera base, a una distancia

de 38,7 m y se recibe al cabo de 2 s a la misma altura a la que fue lanzada. ¿A qué velocidad y con qué ángulo salió lanzada la pelota? ¿Hasta que altura llegó en el punto más alto de su trayectoria? (SOL: 21,7 m/s; 27º; 5 m)

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143) Un jardinero quiere regar la copa de un árbol situada a 5 m de altura. Para ello dirige el

agua, que sale a 15 m/s de la manguera, cuya boca está situada a 1 m del suelo, con un ángulo de 60º. ¿A qué distancia de la vertical de la copa del árbol se debe situar? (SOL: 17,14 m)

144) Se dispara un proyectil de la forma indicada en la figura con velocidad inicial v 0 y un

ángulo de 37º con la horizontal. El disparo se hace desde un punto a 192 m del borde de un acantilado de 160 m. El proyectil pasa justo por el borde del acantilado.

Calcula la velocidad inicial, la distancia x y la velocidad en el punto del impacto. ¿Qué altura máxima alcanza desde el punto de lanzamiento? (SOL: 44,25 m/s; 127,5 m; 71,33 m/s; 36,18 m)

145) Una lanzadora de jabalina realiza un lanzamiento oblicuo de 50º respecto a la horizontal, a una altura, en el momento de soltar la jabalina, de 1,85 m. Si el tiempo que tarda la jabalina en clavarse en el suelo es de 3,5 s, halla: La velocidad con la que se realizó el lanzamiento. • El tiempo que se tarda en alcanzar la altura máxima. • La altura máxima que alcanza la jabalina. • (SOL: a) 21,8 m/s; b) 1,7 s; c) 16 m)

146) Un proyectil disparado formando un ángulo de 53° por encima de la horizontal alcanza

un edificio alejado 43,2 m en un punto que se encuentra 13,5 m por encima del punto de lanzamiento. Calcula la velocidad del disparo, el valor y sentido de la velocidad del proyectil cuando golpea el edificio y el tiempo de vuelo. (SOL: 24 m/s; 17,7 m/s -35,3º; 3 s)

147) Un astronauta que está en un planeta extraño descubre que puede saltar una distancia

horizontal máxima de 30 m, si su velocidad inicial es de 9 m/s. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en este planeta? (SOL: 2,7 m/s²)

148) Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s. se quiere dar en un blanco

situado a 2000 m de distancia del cañón y a una altitud de 500 m respecto de la posición del mismo. ¿Con qué ángulo de elevación se debe efectuar el disparo? (SOL: 18,19º)

149) En un salto, una pulga ha cubierto una distancia horizontal de 50 cm. Suponiendo que

haya efectuado el salto con la inclinación óptima para lograr la distancia máxima, ¿con qué velocidad impulsa su salto? (SOL: 2,21 m/s)

150) Un cañón lanza un proyectil que alcanza una altura máxima de 600 m y un alcance de 6000 m. Calcula la velocidad inicial del proyectil y su tiempo de vuelo. (SOL: a) 293 m/s ; b) 22,1 s) 23/27


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151) Una pelota rueda por un tejado inclinado de 30º respecto a la horizontal y, al llegar a su

extremo, a 30 m de altura, queda en libertad con una velocidad velocidad de 9 m/s. Calcula la ecuación de la trayectoria. • Si la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m, ¿llegará directamente al • suelo o chocará antes en la pared opuesta? ¿Qué tiempo tarda en llegar al suelo? • ¿Cuál es la velocidad velocidad en ese momento? • (SOL: a) y = 30 – 0,58 ·x – 0,081·x²; b) 16,1 m; c) 2,05 s; d) 25,8 m/s)

152) Desde una altura de 10 m se lanza una piedra con velocidad v 0 = 12 m/s formando un

ángulo de –20º con la horizontal. Calcula: La ecuación de la trayectoria. • La posición de la piedra al segundo del lanzamiento. • El tiempo que tarda en impactar con el suelo. • El alcance máximo. • La velocidad en el momento de llegar al suelo. • (SOL: a) y = 10 – 0,36 ·x – 0,039·x² ; b) r(1) = (11,3 , 0,99) m; c) 1,07 s; d) 12,05 m; e) 18,45 m/s)

153) Un avión de bombardeo baja en picado a una velocidad de 700 km/h, formando un

ángulo de 45º con la horizontal. Cuando está a una altura de 400 m sobre el suelo suelta una bomba. Calcular: El tiempo que tarda en llegar al suelo. • La velocidad con que llega. • Distancia horizontal recorrida desde el instante de lanzamiento. • (SOL: a) 2,66 s; b) 213’7 m/s; c) 365’8 m)

154) Un antenista está trabajando en el tejado de un edificio que forma un ángulo de 30º con

la horizontal. Se le cae un martillo, que resbala y, al llegar al extremo del tejado, queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura de edificio es de 60 m. Calcula: La ecuación de la trayectoria. • La distancia de la fachada a la que caerá el martillo. • El tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad en ese momento. • (SOL: a) y = 60 – 0,577 ·x – 6,55·10-2·x²; b) 26,2 m; d) 3,03 s)

155) Una pelota rueda por un tejado que forma 30° con la horizontal, de forma que cuando

cae por el alero lo hace con una velocidad de 5 m/s. La altura del alero desde el suelo es de 20 m. Calcular: Tiempo que tarda en caer al suelo. • Velocidad con la que llega la pelota al suelo. • Repetir el problema suponiendo la misma velocidad de salida, pero en un tejado horizontal. (SOL: 1,76 s; v = 4, 33 ⋅ i − 20,1 ⋅ j m/s; 2 s; v = 5 ⋅ i − 20 ⋅ j m/s) 

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156) Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, y al llegar a su extremo lleva una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m, y la anchura de la calle de 30 m. Se pide: Las ecuaciones paramétricas del movimiento de la pelota al quedar en libertad • La ecuación de la trayectoria • ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con el edificio del otro lado de la calle? • Tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad en ese momento • La posición en que se encuentra cuando la velocidad forma un ángulo de 45º • 24/27


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(SOL: x=8,66.t; y = 60 + 5t - 4,9t2; y = 60 + 0,5775 ·x - 0,0654·x²; llega antes al suelo, y tarda 3,026 s; 35,72 m/s; x = 3,23 m e y = 2,55m)

157) Un objeto se deja caer desde el punto más alto de un tejado con una inclinación de 30º.

Después de recorrer (sin rozamiento) una distancia de 1 m, el cuerpo abandona el tejado y cae libremente. Calcula en qué instante su velocidad formará un ángulo de 60º con la horizontal. (SOL: t = 0,32 seg)

158) En las fiestas de un pueblo, desde una carroza que se mueve con una velocidad

constante de 1,5 m/s, lanzan caramelos en la dirección y el sentido del movimiento, con una velocidad de 10 m/s y un ángulo de 40º desde una altura de 3 m. Calcula, respecto de un observador situado en el suelo de la calle: La ecuación de la trayectoria de los caramelos. • El tiempo que tardan en llegar al suelo. • (SOL: a) y = 3 + 0,696·x – 0,058·x² ; b) 1,7 s) TIRO PARABÓLICO CON ACELERACIÓN HORIZONTAL

159) La ecuación de movimiento de un tiro parabólico es:  x = 80t + 2t 2   m 2  y = 80t − 4, 9t 

¿Se trata de un tiro parabólico "común"? Calcula el tiempo de vuelo, el ángulo con el que se lanza y el alcance. (SOL: 16,3 s; 45º; 1837,6 m)

160) Se dispara un proyectil desde una altura de 40 m, con un ángulo de 30º y una velocidad

de 100 m/s. Calcula la altura máxima y el alcance máximo que alcanzará. Repite el problema suponiendo que en todo momento el proyectil es frenado por una ráfaga de viento de levante de aceleración 3 m/s². (SOL: 167,5 m; 947,7 m; la altura máxima no varía; 768,1 m)

161) Lanzamos oblicuamente una piedra con un ángulo de 45º y con una velocidad de 55

m/s. Debido al fuerte viento a favor, la piedra está sometida en todo momento a una aceleración aceleració n de 2 m/s². Calcular el alcance máximo, la altura máxima y la velocidad al llegar al suelo (módulo y dirección). (SOL: 371,4 m; 77,1 m; v = 54, 75 ⋅ i − 38, 89 ⋅ j m/s) 

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162) Un saltador de longitud alcanza una velocidad de 10 m/s en el instante en que inicia su

salto. Si la inclinación con que lo realiza es de 25º con respecto a la horizontal y por efectos del viento y el rozamiento su impulso es frenado con una aceleración de 0,8 m/s², determina: El tiempo total que está en el aire • La altura máxima alcanzada en el vuelo • La longitud mínima que ha de tener el foso de arena si el salto lo inicia a 7 cm del mismo. • (SOL: 0,86 s; 0,91 m; 7,44 m)

163) ¿Cuál es la distancia mínima a la que debemos encontrarnos de la orilla de un lago para que al lanzar una piedra hacia el lago, con una velocidad de 8 m/s formando un ángulo de 45º con la horizontal caiga en el borde del agua? Ahora nos encontramos en una barca dentro del lago y la orilla mas cercana está a 20 m. Si el tiro lo podemos hacer ahora con un ángulo de 30º, calcula con qué velocidad mínima hay que hacerlo para que la piedra alcance la orilla. Realiza todos los cálculos suponiendo una aceleración horizontal a favor de 2 m/s². 25/27


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(SOL: 7,86 m; 14,23 m/s)

164) Un arquero lanza una flecha con una velocidad de 20 m/s y una inclinación de 30º respecto a la horizontal. Halla la posición en la que se encontrará al cabo de 1,5 s y la velocidad que lleva en ese momento. Calcula si alcanzará el centro de una diana que se encuentra a 30 m de distancia y a una altura de 2,5 m sobre el punto de lanzamiento. En caso contrario, ¿qué podemos corregir? Realiza todos los cálculos suponiendo una aceleración horizontal en contra de 0,6 m/s². (SOL: r = 25, 31 ⋅ i + 3, 97 ⋅ j m; v = 16, 42 ⋅ i − 4, 71 ⋅ j m/s; no acierta... era evidente) 

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165) Se lanza una bola con una velocidad de 25 m/s formando un ángulo de 53º por encima

de la horizontal. ¿A qué altura chocará la bola con un muro vertical que está a 30 m de distancia si en todo momento se le aplica una aceleración a favor de 4 m/s²? (SOL: 24,67 m)

166) Se dispara un cañón con un ángulo de 30º, saliendo el proyectil con velocidad de 200

m/s y una aceleración en contra de 1 m/s² producida por el viento. Se desea saber: La distancia máxima que recorrerá el proyectil • Velocidad en el instante en que llega al suelo. • Si en el punto medio de su alcance hay una colina de 600 m de altura, ¿tropezará el proyectil? En caso afirmativo, calcula el ángulo con el que deberíamos lanzar el mismo proyectil para que supere la colina. (SOL: 3324,4 m; v = 152, 81 ⋅ i −100 ⋅ j m/s; impacta a 509,4 m de altura) 

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167) Desde una altura de 40 m, se dispara un proyectil oblicuamente con una velocidad de

100 m/s. En todo momento sufre los efectos de una racha de viento a favor oblicuo (45º con la horizontal) que le comunica una aceleración aceleración de 2 m/s². Si el proyectil tarda en impactar con el suelo 9 segundos, calcula: Ángulo del lanzamiento • Altura máxima que alcanzará • Alcance máximo. • Velocidad del proyectil en el momento del impacto • Ángulo que forma la velocidad (con la horizontal) en el momento del impacto. • (SOL: 19,46º; 106,15 m; 385,50 m; v = 107, 01 ⋅ i − 42, 21 ⋅ j m/s; 21,53º) 

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168) Lanzamos un balón desde el suelo con un ángulo de 45º. A 30 m del punto de

lanzamiento hay una pared de 10 m de altura, como indica la figura. Calcula con qué velocidad mínima ha de lanzarse el balón para que sobrevuele la pared, suponiendo que en todo momento el balón es frenado por una racha de viento horizontal de 5 m/s. Determina el tiempo de vuelo y el alcance.

(SOL: 26 m/s) 169) Una catapulta lanza una piedra que alcanza una altura máxima de 40 m y un alcance de 190 m. ¿Cuánto vale la velocidad inicial? ¿Con qué ángulo salió disparada la piedra? (SOL: 43,48 m/s; 40,1º) 26/27


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170) Hallar con qué ángulo hay que realizar un tiro parabólico para que el alcance y la altura

máxima sean iguales. Repite el problema para que el alcance horizontal sea igual al triple de su altura máxima. (SOL: α = 76º; α = 53,1º)

171) Un jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de

elevación de 30°. En ese mismo instante, otro jugador situado a 150 m del primero en la misma dirección que lleva la pelota, empieza a correr con velocidad constante de 10 m/s para intentar cogerla cuando esté a una altura de 1 m sobre el suelo. ¿Llegará a coger la pelota? (SOL: no)

172) Un jugador lanza una pelota formando un ángulo de 37° con la horizontal y con una

velocidad inicial de 14,5 m/s. Un segundo jugador que se encuentra a una distancia de 30,5 m del primero en la dirección del lanzamiento, inicia una carrera, para encontrar la pelota, en el momento de ser lanzada. ¿Con qué velocidad debe correr para coger la pelota antes de que ésta llegue al suelo? (SOL: 5,56 m/s)

173) Un jugador de fútbol ejecuta un centro, lanzando la pelota con un ángulo de 30° con

respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde 20 m más adelante de la posición del disparo. Despreciando el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qué velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando ésta llegue al suelo. (SOL: 7,52 m/s)

174) Una persona que se encuentra a 4 m de la pared de un frontón tira contra ella una

pelota que sale de su mano a 2 m de altura sobre el suelo y con una velocidad inicial de v0=10i =10i+10j +10j m/s. Cuando la pelota rebota en la pared, la componente horizontal de su velocidad en ese momento cambia de sentido, y la componente vertical permanece inalterada. Determinad a qué distancia de la pared tocará la pelota el suelo. (SOL: 18,2 m)

175) Realizamos un tiro parabólico desde el suelo, con una velocidad inicial v 1 = v 0 y ángulo

de tiro α. Si ahora duplicamos la velocidad inicial, v 2 = 2·v0, manteniendo el mismo ángulo de tiro, determina por cuánto se multiplicaría el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo. (SOL: t2 = 2·t1; x2 = 4·x1; y2 = 4·y1)

176) Una pelota se lanza desde una altura h sobre el suelo, con velocidad inicial v 0, de tres

formas diferentes: horizontalmente, con una inclinación inclinación α hacia arriba respecto a la horizontal y con una inclinación α hacia abajo respecto a la horizontal. Compara las velocidades (en módulo) de la pelota a su llegada al suelo. (SOL: las tres velocidades son iguales en módulo: v = vo2 + 2 gh )

177) Un cañón dispara un proyectil con una velocidad v 1 y un ángulo de tiro α. Este proyectil

alcanza en 10 s un objetivo situado en el mismo plano horizontal. Si desde el mismo punto y con otro cañón se dispara un nuevo proyectil con velocidad v 2 y ángulo de tiro 2 ⋅α, se alcanzaría el mismo objetivo en 15 s. Calcula el ángulo de elevación α, las dos velocidades y la distancia a la que está el objetivo.

NOTA: tg 2α =

2 ⋅ tgα 1 − tg 2α

(SOL: tgα = 1/3

=18,43º; v1 = 155,06 m/s; v 2 = 122,58 m/s; xmáx = 1471,03 m)

→α

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FICHA 10 - CINEMÁTICA III (COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS).pdf

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