FACULTAD DE INGENIERÍA. CURSO DE NIVELACIÓN DE CARRERA. ANÁLISIS DE LA LEY DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA. AUTORES: BARROS BRAVO BELÉN CAROLINA. JERVES COELLO RUBÉN ANDRES. LOJA SUCONOTA JOSÉ LUIS. MONTALVAN DELGADO JOEL ALEJANDRO. PESANTEZ CABRERA PAMELA CAROLINA. TUTOR: ING. PESANTEZ HERNÁN. CONSULTANTE: ING. PEÑA MARIO. Fecha: 16 de enero del 2014. CUENCA – ECUADOR. I
ÍNDICE GENERAL. PORTADA ………………………..…………………………… ………………………..………………………………………........ …………..................... ................ ... II ÍNDICE GENERAL.…………………………………………………………………… GENERAL.…………………………………………………………………… .... IIII RESUMEN……………………….………………………… RESUMEN…………………… ….…………………………………………………… …………………………..... ..... IIII II AGRADECIMIENTO………………… AGRADECIMIENTO…………………………………………… ………………………………………………..… ……………………..… II DEDICATORI A…………………………………………………… A………………………………………………………………………...…. …………………...…. II OBJETIVOS……………………...………………… OBJETIVOS………………… …...…………………………………………… ………………………….......... .......... .....II INTRODUCCIÓN……………………..…………………………….............................II INTRODUCCIÓN……………………..……………………………. ............................II
DESARROLLO. ....................................... ............................ ................. II CAPITULO 1: CONCEPTOS GENERALES............................ RECTA……………...……………………………… RECTA……………...…… …………………………............... ...................... ....... .........................II .........................II - X PARÁBOLA………………………………………………………………………….…… PARÁBOLA………………………………………………………………………….…… II CIRCUNFERENCIA……………………………………………………………………. CIRCUNFERENCIA……………………………………………………………………. II ELIPSE………………………………………………… ELIPSE…………………… ……………………………………………………… ……………………………….. …….. II TAUTOCRONA - CICLOIDE………………………………………………… CICLOIDE…………………………………………………..…II - II
CAPITULO 2: OBTENCIÓN DE ECUACIONES…………………….………...… ...II DESCRIPCIÓN……………………………………………… DESCRIPCIÓN………………… …………………………………………..……… ……………..……… .…II RECTA......................... RECTA........................................ ........................... ......................... ................................ ............................... ........................... ............... II PARÁBOLA…….………..……………..……………………………………....... PARÁBOLA…….………..……………..……………………………………....... ...…..II ..…..II CIRCUNFERENCIA……………………………………………… CIRCUNFERENCIA……………… …………………………………………………… …………………… .II ELIPSE…………………………………………………… ELIPSE…………………… ………………………………………..………… ………..………… .…II - II TAUTÓCRONA………………………………………………………………..……….II TAUTÓCRONA……………………………………………………………… ……….II CAPITULO 3: CONTRUCCIÓN DEL PROTOTIPO O MAQUETA.………..…. II IMAGENES…........... IMAGENES…......................... ............................ .......................... ........................... ................. .. ......................II ......................II - II CAPITULO 4: TABLAS DE VELOCIDADES……………………………………. II VELOCIDADES CON ENERGÍAS CONSERVATIVAS........... CONSERVATIVAS........................ .........................II ............II FORMULAS EMPLEADAS…………………… EMPLEADAS…………………………………………..……… ……………………..…………….. …….. II VELOCIDADES CON ENERGÍAS NO CONSERVATIVAS………………...… CONSERVATIVAS………………...……. ….II II CONCLUSIONES……………………………………………………………………. CONCLUSIONES……………………………………………… ……………………. II REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………………… BIBLIOGRÁFICAS ………………………………………… .……II ……II ANEXOS………………………………………………… ANEXOS……………………… …………………………………… ………… .……………….II ……………….II
II
RESUMEN: En este informe daremos a conocer el proceso de investigación, avances y la construcción de la maqueta, donde proyectaremos todo el trabajo realizado, en si en este informe detallaremos paso a paso la obtención de las formulas ecuaciones de cada curva: parábola, elipse, recta, circunferencia y tautócrona, conceptos generales de las mismas; además adjuntaremos fotos, videos y diapositivas donde se respaldara la elaboración del proyecto.
III
AGRADECIMIENTO: A Dios principalmente, ya que sin sus bendiciones y amor nada de esto habría sido posible. A nuestros padres que nos han apoyado en todas las etapas de nuestras vidas, por su amor incondicional y su entrega total hacia nosotros; también queremos agradecer de manera especial a nuestros profesores por habernos brindado sus conocimientos a lo largo de estos seis meses, los mismos que nos serán de mucha ayuda a lo largo de nuestra carrera. A todos ellos muchas gracias.
IV
DEDICATORIA: Dedicamos nuestro proyecto a nuestros padres de manera especial por habernos apoyado en esta etapa de nuestras vidas, de igual manera a los catedráticos de nivelación, ya que los conocimientos compartidos en clases han sido de gran ayuda para la elaboración y construcción de este proyecto.
V
OBJETIVOS: GENERALES: Conocer los conceptos generales de la recta, parábola, elipse,
circunferencia y tautócrona.
Aplicar los conceptos y conocimientos adquiridos en nivelación nivelación en la construcción de la maqueta.
ESPECÍFICOS:
Obtener las ecuaciones de cada curva.
Plasmar los conocimientos de Álgebra, Geometría y Física en el proyecto.
Elaborar un prototipo o maqueta del proyecto.
Realizar el análisis de conservación de energía en el proyecto.
Comprobar que la curva tautócrona es más rápida, respecto al tiempo que las otras curvas.
VI
INTRODUCCIÓN: En este este proyecto, el tema principal es la
elaboración de de una maqueta o prototipo
de demostración, que se obtendrá gracias a las ecuaciones que fueron obtenidas a partir de los conocimientos adquiridos en Algebra y Geometría, para las correspondientes curvas que han sido propuestas. Estas ecuaciones en mención las trabajaremos conjuntamente conjuntamente con la materia de Física que nos ayudaran con los cálculos, aplicaciones y conservaciones de energía en cada una de las curvas, teniendo como finalidad, obtención de resultados que serían adquiridos por los datos antes planteados para la maqueta de estudio; llegando así, a la producción, elaboración y experimentación de la maqueta.
VII
CAPITULO 1:
CONCEPTOS GENERALES.
Este capitulo tratara sobre los conceptos generales de cada curva, que debemos conocer para el desarrollo del proyecto.
VIII
RECTA. Concepto: Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección, además una recta tiene una sola dimensión llamada longitud. Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.
Ecuaciones: General: Donde ya sea A o B diferente de 0 y C puede o no ser igual a cero. Ax + By + C = 0
Normal: Es la reducción de la formula general, donde da como resultado x cos ⍵ + y sen ⍵ - p = 0
Simétrica: La recta cuyas intersecciones son los ejes x, y son a ≠ 0 y b ≠ 0 respectivamente y tiene como ecuación. x a
y b
1
Línea Recta: Se llama línea recta a los puntos de una recta P 1(x1, y1) P2(x2, y2), tales que tomando dos puntos de cualquier lugar el valor de la pendiente m calculada por la formula: m y1 y2 Donde x1 ≠ x2 x1 x2
1. Punto y Pendiente: Es cuando una recta pasa por el punto dado P 1(x1, y 1) y tiene pendiente m, tiene por ecuación. y - y1 = m (x -x1)
2. Punto Punto: La recta pasa por dos puntos dados. y - y1
y1 y2 x1 x2
( x x1 )
IX
3. Intersección de los ejes: La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada es el origen, tiene por ecuación. y=mx+b
Recuperado de: http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html
X
PARÁBOLA. Concepto: Es la línea o trayectoria que se puede formar por el lanzamiento de un proyectil o cualquier masa combinando los movimientos del plano X y del plano Y. Además a la parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos: • Eje, e. • Vértice, V. • Distancia de F a d, p.
Recuperado de: "Parábola (matemáticas)." Microsoft® Encarta® 2010 [CD]. Microsoft Corporation, 2006.
Ecuaciones o expresión analítica de la parábola: Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es: y2 = 2px Las curvas de ecuación y = ax2 + bx + c también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el e l punto de abscisa -b/2a.
XI
CIRCUNFERENCIA. Concepto: Es una curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje.
Recuperado de: "Circunferencia." Microsoft® Encarta® 2010 [CD]. Microsoft Corporation, 2006.
Ecuaciones: Ordinaria: Donde la circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación. (x – (x – h) h)2 + (y – (y – k) k)2 = r 2
General: Es el desarrollo de la ecuacion ordinaria. X2 + y2 – 2hx – 2hx – – 2ky 2ky + h 2 + k2 – r – r 2 = 0 Lo cual puede escribirse en la forma: X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Donde: D = – = – 2h, 2h, E = – = – 2k 2k y F = h2 + k2 – r – r 2
XII
ELIPSE. Concepto: Es una de las curves cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano, P, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo β mayor que α, pero menor de 90º (α (α < β < 90º). Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Recuperado de: "Elipse." Microsoft® Encarta® 2010 [CD]. Microsoft Corporation, 2006.
Ecuaciones: Ordinaria: Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente. x2 a
2
y 2 b
2
1
XIII
TAUTÓCRONA – CICLOIDE. Cicloide: Esta curva puede ser definida como la curva plana que es descrita físicamente por la trayectoria de un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda sobre una recta horizontal.
Recuperado de: Chinea, C. (2002). La Cicloide, una curva de mucho empaque (1)
Ecuaciones Paramétricas: x = r (θ (θ – sen – sen θ) y = r (1 – (1 – cos cos θ)
Tautócrona: En el año 1673, Christian Huygens (1629-1695), matemático, físico y astrónomo, estudió durante toda su vida de diferentes curvas, descubrió un hecho que le pareció extraordinario en la Cicloide: si un punto se desplaza a lo largo de la curva invertida, en caída libre, llegará al punto mínimo de la Cicloide en un tiempo que no depende del punto desde donde comenzó a caer. Esta curva es conocida también como isócrona, es la curva, para que el tiempo que tarda uno o varios objetos que se deslizan sin fricción en la gravedad uniforme a su punto mas bajo es independiente a su punto de partida.
XIV
Recuperado de: Salazar, W. (2011). Introduction to Calculus Throuh some special curves (88). Medellín. Universidad Nacional de Colombia.
Ecuaciones Paramétricas: x = r (θ (θ – sen – sen θ) y = r (cos θ – 1) – 1)
Explicación: Ya que la tautócrona, no es mas que la cicloide invertida, sus ecuaciones paramétricas son iguales en el eje x, pero en el eje y sus signos se invierten por su sentido invertido una respecto a otra.
XV
CAPITULO 2: OBTENCIÓN DE ECUACIONES. ECUACIONES. En este capitulo desarrollaremos el proceso de obtención de las ecuaciones de cada curva, usando los datos y puntos de longitud de 1,20 m y diámetro de la circunferencia que va rotando en la obtención de la tautócrona 38,2 cm.
XVI
DESCRIPCIÓN.
Recuperado de: Instructivo de Proyecto Integrador de Saberes. Descripción del Proyecto.
Para obtener las ecuaciones de las cinco curvas, usaremos.
Longitud: 1,20 m
Diametro: 38,2 cm
Media de la longitud: 60 cm
Punto A (-60, 38.2)
Punto B (0, 0)
Punto C (60, 38.2)
XVII
RECTA. Para obtener la ecuación de la recta aplicaremos la ecuación de punto punto, porque tenemos el punto de origen y punto final de la recta, los cuales son :
Punto A (0, 0)
Punto B (-60, 38.2)
Obtención de la ecuación: Primer Método: y - y1
y-0 y
y1 y2 x1 x2
38,2 0 - 60 0
38,2 - 60
( x x1 )
( x 0)
(x)
y - 0,6367x
Segundo Método: L
y
y
L
(x)
2 2
(x)
y - 0,6367x
XVIII
PARÁBOLA. Para obtener la ecuación de nuestra parábola aplicaremos la ecuación: y = ax2 + bx + c, y usaremos los puntos:
Punto A (0, 0) → 0 = 0 + c → c = 0
Punto B (60, 38.2) → 38,2 = a60 2 + b60 + 0 (1)
Punto C (-60, 38.2) → 38,2 = (-60) (-60)2a – 60b – 60b (2)
En (1) 38,2 = 3600a + 60b 360a + 6b = 3,82 → 180a + 3b = 1,91 (3) En (2) 3600a - 60b = 38,2 360a - 6b = 3,82 → 180a - 3b = 1,91 (4) En (3) y (4) 360a = 3,82 a =
3,82 360
a = 0,106 180a + 3b = 1,91 180 x
b=0
3,82 360
+ 3b = 1,91
Ecuación:
y
1,91 180
x2
y
4 L
x2
XIX
CIRCUNFERENCIA. En la circunferencia, primero debemos obtener la medida del radio, para ello usaremos la ecuación ordinaria (x – (x – h) h)2 + (y – (y – k) k)2 = r 2, donde h = 0 y k = r.
Obtención de la ecuación: (x – (x – h) h)2 + (y – (y – k) k)2 = r 2 x 2 + (y – (y – r) r)2 = r 2 x 2 + y 2 – 2ry – 2ry + r 2 = r 2 x 2 + y 2 = 2 r 2y Luego con: x = 60 y = 38,2 (60)2 + (38,2)2 = 2r (38,2) 3600 + 1458,24 = 76,4r
r = 66,21 Por lo tanto: x 2 + y 2 = 2 x 66,21y x 2 + y 2 – 132,415y – 132,415y = 0
Ecuaciones: x 2 + (y – (y – 66,21) 66,21)2 = (66,21)2
r
4 2 8
L
XX
ELIPSE. Para obtener la ecuación de nuestra elipse usaremos la ecuación ordinaria de la misma.
x2 a
2
y 2 b
2
1
Obtención de la ecuación: Eje mayor = a (x - m)2
a2
Eje menor = b
( y h) 2 b2
1
Donde m = 0, n = 38,2, a = 60, b = 38,2 (x - 0) 2 60
2
( y 38,2) 2 38,2
2
1
Con x = 60 debe darnos y = 38,2 60 2 60 2
( y 38,2) 2 38,2 2
( y 38,2) 38,2 2
02 60 2
( y 38,2) 2 38,2 2
( y 38,2) 2
2
( y 38,2) 2 y 38,2
1
Con x = 0 debe darnos y = 0
0
1
(38,2) 2
( y 38,2) (38,2) 2
0
y 38,2 38,2 y 38,2 38,2 y 38,2 38,2 y 0
XXI
Ecuación:
2
L y 2 x 1 2 2 L L 2 2 2
y L 4 x 2 2 1 2 2 L
L
4 x 2 L2
2
y L 2 L2
1
Por lo tanto:
4x y - L L 2
2
2
XXII
TAUTÓCRONA. Ecuación de la cicloide: x = r (θ (θ – sen – sen θ) y = r (1 – (1 – cos cos θ)
Ecuación paramétricas de la tautócrona: x = r (θ (θ – sen – sen θ) y = r (cos θ – 1) – 1) A partir de las ecuaciones anteriores, encontraremos la ecuación paramétrica de nuestra tautócrona. Si θ =
x x x x
,
x=
L
2
, y=
2 L
L
2
L
- sen
y y
( - 0)
L
y
2 L
y
2
L
2 L
cos
- 1
( 1 - 1)
2 2 L
2 L
Por lo tanto:
x
L 2
- sen
L 2
y
L 2
cos 1
L
XXIII
CAPITULO
3:
CONSTRUCCIÓN
DEL
PROTOTIPO O MAQUETA. Este capitulo recopila imágenes sobre la evolución y construcción del proyecto, para lograr obtener nuestra maqueta.
XXIV
IMÁGENES.
Foto por: Barros Belén.
Foto por: Jerves Rubén.
XXV
Foto por: Jerves Rubén.
Foto por: Montalvan Joel.
XXVI
CAPITULO 4:
TABLAS DE VELOCIDADES.
Este capitulo contiene las tablas de los cálculos físicos realizados, haciendo énfasis en la conservación de energía, tanto en energías conservativas y no conservativas, con diferentes distancias y alturas, para cada una de las curvas. curvas .
XXVII
VELOCIDADES CON ENERGÍAS CONSERVATIVAS. CIRCUNFERENCIA ALTURA1
0.381971863
Distancia
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Altura2
0.22801
0.134454
0.07185
0.03092
0.00759
0
VELOCIDAD
1.468899433
1.862467733
2.084738929
2.218048943
2.29056639
2.31366869
PARABOLA ALTURA1
0.381971863
Distancia
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Altura2
0.2655
0.17
0.0955
0.0425
0.0105
0
VELOCIDAD
1.277603214
1.723552801
2.003671266
2.181159253
2.28164696
2.31366869
ELIPSE ALTURA1
0.381971863
Distancia
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Altura2
0.1708
0.09726
0.05117
0.02184
0.00534
0
VELOCIDAD
1.720297308
1.997506796
2.15312606
2.246550874
2.29743913
2.31366869
TAUTOCRONA ALTURA1
0.381971863
Distancia
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Altura2
0.2003
0.1171
0.06245
0.02684
0.006596
0
VELOCIDAD
1.595619441
1.92665253
2.116097986
2.230901029
2.29360515
2.31366869
RECTA ALTURA1
0.381971863
Distancia
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Altura2
0.904281446
0.723425156
0.542568867
0.361712578
0.18085629
0
ESPACIO
0.531796295
0.395714987
0.340281351
0.40051272
0.53893179
0.71126824
VELOCIDAD
2.367124686
2.041924737
1.89350979
2.054265807
2.38295248
2.73756972
XXVIII
FORMULAS EMPLEADAS.
XXIX
VELOCIDADES CON ENERGÍAS NO CONSERVATIVAS. PARABOLA
CIRCUNFERENCIA
ELIPSE
TAUTOCRONA
RECTA
ALTURA1
0.381971863
0.381971863
0.381971863
0.381971863
ALTURA2
0.24
0.265
0.245
0.24
TRABAJO
-0.031653171
-0.026079325
-0.0305384
-0.031653171
---------------
2.709741147
2.6443033
2.69678061
2.709741147
2.18991394
VELOCIDAD
0.38197186 --------------
FORMULAS EMPLEADAS.
XXX
CONCLUSIONES. Con este proyecto concluimos que los conocimientos adquiridos durante estos seis meses de nivelación, nos fueron de gran ayuda, ya que por medio de ellos, logramos construir nuestro prototipo o maqueta de forma correcta, ya que con los conocimientos de Geometría y Álgebra pudimos obtener las ecuaciones de nuestras curvas y con los conocimientos en Física pudimos calcular las velocidades con el principio de conservación de energía, que es el tema principal de este proyecto, de igual manera podemos concluir que la curva tautócrona es más rápida respecto al tiempo a diferencia de la recta, elipse, circunferencia y parábola,
también
concluimos
que
este
proyecto
debe
ser
realizado
minuciosamente para evitar errores de cálculo, ya que los mismos pueden provocar que el objetivo principal que es demostrar que la tautócrona se demora menos tiempo en llegar al final de la pista, no se s e cumpla. Así que este proyecto nos ayudo a fomentar nuestros conocimientos durante la nivelación y poder aplicarlos de forma práctica y de igual manera a ser precisos con cada paso que dábamos para la culminación del mismo.
XXXI
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
Larson, R & Hostetler, R & Edwards, B. (2006). Calculo. México D.F. McGraw-Hill Interamericana.
Lehmann, C. (1974). Geometría Analítica. México D.F. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
Salazar, W. (2011). Introduction to Calculus Throuh some special curves. Medellín. Universidad Nacional de Colombia.
Vallejo, P. (2013). Física Vectorial 2. Quito. Poliediciones.
XXXII
ANEXOS.
Hoja de cálculo en Excel: Este archivo adjunto lo usaremos durante nuestra exposición para mostrar de manera más clara los cálculos realizados en nuestro proyecto.
Videos: Estos videos respaldaran la elaboración de nuestro proyecto, y además con los mismos demostraremos las aplicaciones de estas curvas en la vida diaria.
XXXIII
