Exponential & Logarithmic Function V53.4.29

CONTENT Top Map Exponential Function

1

สมการ Exponential

14

อสมการ Exponential

21

Logarithmic Function

28

สมการ Logarithm

43

อสมการ Logarithm

57

Character ของยาย Mantissa

63

Antilog

64

Graph of Exponential & Logarithmic Function

67

Exponential Function

Club Educate Pathumwilai

Exponential Function สมบัติของเลขยกกําลัง (Must ! Very important for Expo) ถา

a, b, am , bn

am ∙ an = am+n

เปนจํานวนจริง และ a, b ≠ 0 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ จะไดวา

am = am−n an

(am )n = amn

(ab)n = am ∙ an a n

an

เนนนะ

�b � = b n

โดยที่

a0 = 1

โดยที่

1

(a + b)n ≠ an + bn (a − b)n ≠ an −bn b≠0

a−n = a n

โดยที่

0อะไรไมรู

ไมนิยามทางคณิตศาสตร

a≠0 a≠0

Fear Factor a2 − b2 = (a − b)(a + b)

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c 3 + 2ab + 2bc + 2ac

1

C.E.P.W....



Problems : ซอมมือ 1.

จงทําใหอยูในรูปอยางงาย

1.1 �

1.2 �

2.

1

49n + 142n n 7n +28 n

�

1

53n +1 +52n +1 n 52n +1 +5n +1

�

รากที่สามของ 218 − 212 36 + 26 311 − 315 คือ

2

C.E.P.W....


3.


จงหาคาของ (Lead! ออกขอสอบแนนอน)

3.1 �2�2�2√2 … … …

3.2 �2 + �2 + �2 + √2 … … …

3.3 �3 + �3 − �3 + √3 − … … …

4.

จงเรียงลําดับจากนอยไปมาก

4.1 100010 , 101000 , 100100

3

C.E.P.W....

Exponential Function 4

3

3

4.2 23 , 24 , 42 , 43

5.

Club Educate Pathumwilai 2

ขอใดเรียงลําดับจากนอยไปมากไดถูกตอง 3

4

1. √2 , √3 , √5 3

4

4

3

2. √3 , √5 , √2 3. √5 , √3 , √2

(Hardcore : Make your Brain Brighter The Brain) 6.

จงทําใหอยูในรูปอยางงาย

6.1 �2 + √3�2 + �2 + √3�2 + �2 + �2 + √3�2 − �2 + �2 + √3

6.2

�

m

�m 2 +1

−1��√m 2 +1+m�+�m −√m 2 +1�� √m 2 +1+m��√m 2 +1−m�

m

�m 2 +1

4

+1�

C.E.P.W....



1

C.E.P.W....

1

7.

จงหาคาของ

8.

ถา (2x)3 = (3y)3 = (4z)3 และ 1x + 1y + 1z = 1 จงหาคาของ 3�8x2 + 27y2 + 64z2

9.

กําหนดให 3 =

a

ในรูปของ k

1+x a −b +x a −c

b

2

+

1+x b −c +x b −a

3

+

1+x c −a +x c −b

3

= k จงหาคาของ � �a2 − √b 2 � �� a2 + √b 2 � − √a2 b 2 � 3

5

3

3



การหารากที่สองของ 𝐱𝐱 ± 𝟐𝟐�𝐲𝐲 ทวนอดีต

สูตรลัด

รากที่ 2 ของ


พิสูจน จาก ดังนั้น และจาก

4

เทากับ

√4



±2

2

คือ

(a + b) ± 2√ab

�(a + b) ± 2√ab 2



√9


±�√a ± √b� √a ± √b

2

(a + b) + 2√ab = ±�√a + √b�

�√a − √b� = a − 2√ab + b

โดยที่ a > 𝑏𝑏

�√a − √b� = (a + b) − 2√ab


(a + b) − 2√ab = ±�√a − √b�

Problems 1. �5 + 2√6

2. �5 − 2√6

3.

คือ

9

�√a + √b� = a + 2√ab + b = (a + b) + 2√ab

2

ดังนั้น

C.E.P.W....

จงหารากที่ 2 ของ 8 + 2√15

6

±3

3



4.

จงหารากที่ 2 ของ 3x − 1 + 2√2x2 − 3x − 2

5.

จงหาคาของ �18 + 8√5

6.

กําหนดให �5 − √21 =

7.

จงหารากที่สองของ √32 − √24

√x − �y จงหาคาของ x และ y

8. a และ b เปนจํานวนเต็มบวกซึ่ง a < b ถา a และ b สอดคลองกับสมการ �10 + √84 = √a + √b แลว a2 + b2

เทากับเทาไร (โอลิมปก)

7

C.E.P.W....


9.


จงหาคาของ �4 − √5 − �17 − 4√15

10.

จงหาคาสําเร็จของ

10 √2

√18−�3+√5

−

√10+√18

√8+�3−√5

(เตรียมอุดม)

Problems Equation of Trick Mark Rider (Check คําตอบทุกครั้ง ) 1.

x−1

√x−1

= 6x

2. √2x 2 − 7x + 1 − √2x 2 − 9x + 4 = 1

8

C.E.P.W....



C.E.P.W....

3. √2x − 1 + √3x − 2 = √4x − 3 + √5x − 4

4. √4x 2 − 10x + 19 − √4x 2 − 10x + 3 = 2

5. √2x 2 − 11x + 69 + √2x 2 − 11x + 14 = 11

6.

ผลบวกรากคําตอบของสมการ 3(x2 − 7x) + 26 = 4√x2 − 7x + 10 ผลบวกรากคําตอบของสมการ

มีคาเทาใด

9


Club Educate Pathumwilai x+48+ x

x−4+ 3

7.

จงหาคา x จากสมการ √√x+48−√√x = √√x−4−√√3 (โอลิมปก)

8.

จงหาเซตคําตอบของสมการ 2x2 − 3√2x2 − 7x + 7 = 7x − 3 (โอลิมปก)

9.

จงหาคา x จากสมการ �x − 1 + 2√x − 2 − �x − 1 − 2√x − 2 = 1

10.

ถา �1 − x + √1 − 2x + �5 − x − √9 − 18x = 4√2 แลว x มีคาเทาใด

10

C.E.P.W....


11.


C.E.P.W....

จงหาผลบวกของคําตอบของสมการ √x + 1 = 3√2x − 6 + 2

Homework : ทําก็ไดไมทําไมได 1.

p

p+q

ถา p ,q ,r เปนจํานวนเต็ม a ≠ 0 ,1 แลว � aaq �

a q q+r

∙ � ar �

a r r+p

∙ �a p �

มีคาเทาไร

2. a ≥ 1 และ x ∈ R จงหาคา x ที่สอดคลองกับ �a − √a + x = x (ยากดีเหมือนกัน )

11


3.


รากที่สามของ 218 + 216 36 + 26 311 + 315 คือเทาไร

1

1

4. x เปนจํานวนจริงบวก x + x = k จงหาคา k ที่ทําให x 3 + x 3 = 2704

5.

√5 � 6 √

−

√2 � √15

2

มีคาเทาใด (O-Net 51)

6. �√18 + 2√−125 − 3√4� มีคาเทาใด (O-Net 51) 3

4

12

C.E.P.W....


7.

4

2

83

√144

∙

1

18 2 √6


มีคาเทาใด (O-Net 50)

8. ถา �1 − √2�

2

2

3

�2 + √8� �1 + √2� �2 − √8�

3

13

มีเทาเทาใด (O-Net 50)

C.E.P.W....



C.E.P.W....

Exponential Function นิยาม เรียกความสัมพันธ f = {(x, y) ∈ R × R+|y = ax ; a > 0 และ a ≠ 1} วาฟงกชันเอกซโพเนนเชียล

ขอสังเกต... 1.

ฐานของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ตองเปนจํานวนจริงบวกและไมเทากับ 1

2. โดเมนของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ R 3. 4.

เรนจของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ R+

ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลเปนฟงกชันแบบ 1-1 Must to Jum @ Kow Jai Naa

ถาเราจํากรอบ เกี่ยวกับ Expo ขางบนได ไมตองจํานิยามใหมันมากมายแลว

ตรงนี้ตองไดนะครับ เพราะ จะนําเรื่องฟงกชันเพิ่มฟงกชันลดไปใชใน อสมการ Expo และ กราฟ Expo 14



C.E.P.W....

Problems : บอกหนอยวาแตละขอตอไปนี้เปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลด 1. y = 2x

2. y = (sin 30°)2 3. y = 2x+1

4. y = −22x

100000000 x

5. y = √1

Equation of Exponential Function •

พยายามทําฐานใหเทากัน ถาฐานเทากันจับเลขชี้กําลังมาเทากันไดเลยนะ

•

ถาทํายังไงฐานมันก็ไมเทาแลวเหลือบมาเห็นวา “เลขชี้กําลังมันเทากัน” ใหจับเลขชี้กําลัง = 0 เพราะ ไมวาจะเปนจํานวนอะไรก็ตาม ยกเวน 0 แลว เมื่อยกกําลัง 0 จะเทากับ 1 เสมอ ที่สําคัญ ของ การแกสมการ Expo Function คือ ไมตอง ตรวจสอบคําตอบ ยกเวน ระหวางทางเดินอันยาว ไกลที่มีการยกกําลัง คู ระหวางทางตองตรวจคําตอบ

Problems : อันยิ่งใหญ 1. 2x = 4

2. 2x = −4

3 3x

3. �3 + 8�

4.

→ x=

→ x= 16

= 81 x มีคาเทาไร (O-NET)

ถา 4x−y = 128 และ 32x+y = 81 คาของ y คือ (PAT1 มี.ค. 52)

15



Solve Top Map Service 5. √6 + √5 =

6. √11 + √10 = 7. √12 − √11 = 8. √13 + √12 = 9. √8 − √7 =

10. √7 + √5 =

11. �√3 − √2�

5x−1

10x−2

= �√3 + √2�

x 2

12. �11 − 2√30 � = √6 + √5

จงหาคา x

แลว x มีคาเทาไร

13. 72x + 4 ∙ 7x − 5 = 0

16

C.E.P.W....



14. 5(5x + 5−x ) = 26

15. 6(25x ) + 11(23x ) − 3(2x ) = 25x+1

16. 3x

2 +2

− 3x

2 +1

− 9x+1 + 27 = 0 (ทุน King)

17. 3 ∙ 4x + 6x + 2 ∙ 9x = 0

17

C.E.P.W....



18. 4 ∙ 32x + 9 ∙ 22x = 13 ∙ 6x

19. 12x − 2(3x ) − 9(4x ) + 18 = 0

20.

ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลว คาของ x อยูในชวงใด (PAT1 ต.ค. 52) 1. [0,1)

2. [1,2] 3. [2,3) 4. [3,4)

18

C.E.P.W....


21.


หาผลบวกของคําตอบของสมการ 89x +3 = 1284∙3x

(ขอตอไปนี้ควรจดจําไวหนอยสวยดีนะ ) 22.

จงแกระบบสมการ 32x+y − 3x+2y = 72 โดยที่ 3x − 3y = 8

23.

จงหาผลคูณคําตอบของสมการ 23x − 14 ∙ 22x + 56 ∙ 2x − 64 = 0

19

C.E.P.W....


24.


จงหาคา x จาก 3(30x ) − 6(15x ) − 3(6x ) + 6(3x ) + 2(5x ) − 10x + 2x − 2 = 0

25. (25)2x−x

2 +1

+ (9)2x−x

2 +1

= 34(15)2x−x

2

จากสมการ

จงหากําลังสองของผลคูณของคําตอบของสมการ

26.

จงหาคา tan x tan x ถา tan x cot

cot x . x tan x

..

= tan x

20

C.E.P.W....



C.E.P.W....

อสมการ Exponential Trick! 1.

กรณีฐานเหมือนกัน ใชสมบัติของ ฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันลด

ถาเปนฟงกชันเพิ่ม am > an ใหปลดฐานออกจะได m > 𝑛𝑛

2.

ถาเปนฟงกชันลด am > an ใหปลดฐานแลวเปลี่ยนเครื่องหมายได m < n

กรณีฐานตางกัน แตเลขชี้กําลังเทากันซะงั้น

ใหยายขางเอาตัวที่ฐานต่ําไปหารจะงายขึ้น แลวทําใหฐานเทา หลังจากนั้นเวลาปลดก็ดู ฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันลด ตามกรณีที่ 1

Ex.

85x+1 > 95x+1

85x +1 95x +1

>

95x +1 95x +1

8 5x+1

� 9�

: กลานํา 95x+1 ไปหารทั้งสองขางเพราะ Expo >1

→

8 5x+1

� 9�

บวกเสมอ ไมหวงเครื่องหมาย

8 0

> � 9�

ปลดแลวตองเปลี่ยนเพราะ 89 < 1 เปนฟงกชันลด จะได 5x + 1 < 0

21



Problems : เก็ง ๆ กันไป 2 1 x +3x+5

1. Set of the answer from � � 2

1 x+10

<� � 8

is ?

2 2 ( −x) 2. Set of the answer from 2x (x−3) < 8 3 is ? (Ent)

3. 53x+2 < 73x+2

4. 2x − 2x−1 − 8 > 0

22

C.E.P.W....



2 2 2 2 5. 23x +2 − 5�23x � ≤ 23x + 2x +1 (ทุน King)

6.

คา x จาก x2 ∙ 22x + 9(x + 2)2x + 8x2 ≤ (x + 2)2x + 9x2 2x + 8x + 16

คือ [a, b] ∪ [c, d] แลว �(a + b + c + d)2 มีคาเทาไร

7.

จงหาชวงคําตอบของอสมการ (sin 0°)8x 2 −5x+10 ≥ (sin 0°)7x 2 −4x+8

23

C.E.P.W....



Homework : ใครไมทําแชง

จงหาเซตคําตอบของอสมการตอไปนี้ 1. (tan 40°)8x

2 −x−1

> (tan 40°)2x

2 −2x+1

2. 5(2x+2 ) ≤ (0.8)(5x+2 )

1

3. 32x − 4 ∙ 3x+2 + 9 > 0

24

C.E.P.W....


4.


ถา a > 1 แลวเซตคําตอบของ �ax 2 �

2x−7

< a2−7x

2x 2 +3x+1

5.

จงหาคําตอบของอสมการ �3 + √7�

6.

จงแกอสมการ 2x2 + 12 ∙ 2x + 32 ≤ 0

7.

เซตคําตอบของ 23x−1 ∙ 6x ∙ 25x−1 ≥ 75x

ตรงกับเทาใด

3−√7

<�

25

2

�

x 2 −8x+3

C.E.P.W....



x

8.

จงแกอสมการ 4x4+3x < 4

9.

จงแกอสมการ 4(2x

2 −4x−5)

(x 2 )

≤

2(4x )

1

32

(O-NET)

10.

จงแกสมการ √2

11.

จงแกสมการ 32x+1 − 8(3x ) = 3 (O-NET)

=

44

(O-NET)

26

C.E.P.W....



12.

จงแกสมการ 24y ∙ 4y−3 = 8y+1 (O-NET)

13.

จงแกสมการ (3x − 3)2 = 3x − 3 (O-NET)

14.

ถา 27(x+y) = 36 และ 23x+y = 1 แลวคาของ 3x−1 + 3𝑦𝑦 −1 คือเทาไร

จบ Expo เตรียมที่จะกาวไป Loga กันหรือยัง 27

C.E.P.W....



C.E.P.W....

Logarithmic Function Expo เปนฟงกชัน one-one หรือ หนึ่งตอหนึ่ง (ดูจากกราฟ) จึงสามารถหาอินเวอรสไดและอิน

เวอรสของ Expo ก็เปนฟงกชัน 1-1 ดวย Expo Log

→ f = {(x, y) ∈ R × R+ | y = ax ; a > 0 และ a ≠ 1}

→ g = {(x, y) ∈ R+ × R | x = ay ; a > 0 และ a ≠ 1}

แอบทดหนอยนะ Inv ของ y = ax

คือ x = ay และ เนื่องจากนักคณิตศาสตรชาวโลกไมชอบเขียน x ในเทอมของ y จึง

บัญญัติศัพทใหมใหเราตองมาสอบกันคือ y = loga x โดยอานวา “log x ฐาน a”

∴ Log → g = {(x, y) ∈ R+ × R | y = log a x ; a > 0 และ a ≠ 1} Must to Jum @ Kow Jai Naa

ถาเกิดเราไดนิยามจากกรอบขางบนแลว เราจะไมตองจําอะไรมากและไดนิยาม

ตรงนี้ตองไดนะครับ เพราะ จะนําเรื่องฟงกชันเพิ่มฟงกชันลดไปใชใน อสมการ Loga และ กราฟ Loga 28



C.E.P.W....

Hua Kor Tor Pai Nee Taa Mai Dai Hmmm Don’t Walk ago ! 1. log a 1 = 0 : “ถาหลัง log เปน 1 จะ = 0 ทันที” 2. log a a = 1 : “ถาฐานเทา log จะ = 1 เสมอ”

3. log a (mn) = log a m + log a n : “log ผลคูณ

เทากับ ผลบวก log”

Ex. log10 10 = log10 (5 ∙ 2) = log 5 + log 2 m

4. log a � � = log a m −log a n : “log ผลหาร เทากับ n

log 5 = 1 − log 2 log 2 = 1 − log 5

ผลตาง log”

x 5. log b y ax = log b a : “กฎการตบหัวทิ่มดิ้นกระจาย” y

6. alog a m = m : “กฎการระเบิดตัดพวงพดดวง” 7. alog b m = mlog b a : “กฎการสลับที่” 8. log b a =

log m a

log m b 1

: m > 0 , 𝑚𝑚 ≠ 1 , 𝑏𝑏 ≠ 1 : “ใชเมื่ออยากเปลี่ยนฐาน”

9. log b a = : “กฎการกลับเศษเปนสวน” log a b

ขอควรรูเพิ่มเติม 1.

ลอการึทึมสามัญ (Common Logarithms) คือ log ที่ไมไดเขียนฐานตามหลักสากลทั่วโลก ถือ

วา log นั้นเปน log ฐานสิบ

2.

Ex. log10 2 = log 2

ลอการึทึมธรรมชาติ (Natural Logarithms) หรือ ลอการึทึมแบบเนเปยร คือ log ที่มีฐาน

เทากับ e ซึ่งเปนจํานวนอตรรกยะมีคาประมาณ 2.7182818 “นิยมเขียน ln x แทน loge x” โดย ใชสมบัติรวมกับ 9 ขอแรกดานบน

Part ดานบน เปน Part บรรยาย แตหลังจากนี้เปนภาคคํานวณแลวจะครับ Here we go !!!

29



Problems 1.

เขียนสมการใหอยูในรูปของ log (Take คา log) 1.1 23 = 8 1.2 53 = 125 1.3 33 = 27 1.4 43 = 64 1.5 pq = r

2.

เขียนสมการ log ใหอยูในรูปของ Exponential (สําคัญมาก เพราะอันนี้ใชบอย) 2.1 log 5 25 = 2 2.2 log 3 27 = 3 2.3 log 1000 = 3 2.4 p = log q r

3.

จงหาคาของ 7log 7 52 + 5 log 2 4−3 − 2 log 9 33

30

C.E.P.W....

Logarithmic Function 1 log 5 3


log 9 36

4 log 7 9

4.

จงหาคาของ 81

5.

จงหาคาของ log 2 18 + 2 log 2 3 − 2 log 2 3√12

6.

จงพิจารณาวาขอตอไปนี้ถูกหรือผิด

+ 27

1

1

+3

(โควตา มข.)

1

6.1 log 6 < log 2 + log 3 6.2

7.

1 6

1

log 2 16 + 6 log 4 = 1

4

8.

1

จงหาคาของ log 1 64 + 4log 4 3

กําหนดให a, b, c > 1 ถา loga d = 30,

log b d = 50, log abc d = 15

แลวคาของ logc d มีคาเทากับขอใด (PAT1 ก.ค. 52) 1. 75 2. 90 3. 120 4. 150 31

C.E.P.W....


9.


C.E.P.W....

จงหาคาของ log sin 10° × log sin 20° × log sin 30° × … × log sin 170°

10.

จงหาคาของ log sin 1° × log sin 2° × log sin 3° × … × log sin 100 … 000° (Top C.E.P.W.)

11.

จงหาคาของ log tan 1° × log tan 2° × log tan 3° × … × log tan 89° (Top C.E.P.W.)

12.

จงหาคาของ log tan 1° + log tan 2° + log tan 3° + ⋯ + log tan 89°

13.

กําหนดให x = 18 ∙ log2 �2 ∙ �2 ∙ 3√2 และ y = log4 (log3 (log2 512 ))) ขอใดถูก

3

1.

x + y = 13

2. x + y = 13.5

3. x + y = 14

4. x + y = 14.5

32


14.


จงหาคาของ log3 (log2 (log5 625 ))) คือขอใด (Ent) 1. log 2 3 2.

15.

1

log 3 2

3.

log 3

4.

log 2

log 2 log 3

กําหนดให a > 0 และ a ≠ 1 ขอใดตอไปนี้มีคาเทากับ loga (2a)b 1. 2b 2. 2b

3. log a 2 + b

4. b ∙ log a 2 + b log x

16.

กําหนดให a−b =

17.

จงหาคาของ

log y b−c

=

log z c−a

จงหาคาของ xa+b ∙ yb+c ∙ zc+a (โหดดี)

log16 ��5 + √24 − �5 − √24�

33

C.E.P.W....



18.

กําหนดให logab b = 4 จงหาคาของ logab 3√b (สวยดียังเลย) √a

19.

กําหนดให loga x = 12 , logb x = 13 , logc x = 14 , logd x = 15 จงหาคาของ logx (abcd)

20.

กําหนดให x = log �1 − 15� , y = log(1 − 161 ), z = log(1 − 19) จงหาคาของ x+y+z

21.

กําหนดให a2 = b3

= c 4 = d12

จงหาคาของ log d 8 a2 − log d 4 b3 + log d 6 c 4

34

C.E.P.W....



C.E.P.W....

22.

กําหนด log3 5 = 1.465 แลว log27 15 มีคาเทาไร

23.

กําหนดให a = log27 5 , b = log 3 จงหา log3 4 มีคาเทาใดในรูป a, b (นารักดี)

24.

จงหาคาของ log2 3 log3 4 log4 5 log6 7 log7 8 log8 9 log9 10 log10 2 (Top C.E.P.W.)

25.

กําหนดให logabc a = 12 และ logabc ab = 32 เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริงบวกใดๆ

จงหาคาของ logabc (a2 b3 c4 ) (ขอนี้โหดรายมาก) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

35


26.


ถา log(x3 + y3 ) = a, log(x2 − y2 ) = b และ log(x − y) = c

จงหาคาของ logx−y (x2 − xy + y2 ) (เจอที แดกแกลบเลย ขอนี้ ) 1.

a−b+c

2.

a+b+c

c c

3. a − b + c 4. a + b + c

27.

กําหนดให a3 − b3 = 0 และ a ≠ b จงหาคาของ logab (a + b)

28.

ถา a2 + b2 = 7ab จงหาคาของ log(a + b) − 12 (log a + log b)

36

C.E.P.W....


29.

กําหนดให 1. 4

log x 2

a 2 −b 2


=

log y 2

b 2 −c 2

=

log z 2

c 2 −a 2

จะได xyz มีคาเทาไร

2. 2 3. 1 4. 0

30.

ถา log9 a = log12 b = log16 (a + b) จงหาคาของ ba (สวยมาก ๆ)

31.

ให a, b ∈ R และ alog3 2 + b log9 4 = 1 จงหาคาของ (14)1−a−b (โหดดี)

37

C.E.P.W....



C.E.P.W....

32.

กําหนด log 2 = 0.301,

33.

ถา log2 3 = 1.59 แลวคา x ที่สอดคลองกับสมการ 22x+1 ∙ 32x+2 = 12x มีคาเทาใด (Ent)

34.

กําหนดให x เปนจํานวนจริงบวก ซึ่งสอดคลองสมการ 2x =

10 3

− 2x

log 3 = 0.477 จงหาคาของ x จาก 102x+1 = 610 (Ent)

และ y = log6 4 log8 6 log10 8 แลวคาของ xy มีคาเทากับเทาใด (Ent)

1. 2 ∙ log 3

2. −2 ∙ log 3 3. 2 ∙ log 2

4. −2 ∙ log 2

38


35.

จงหาคา x, y จากระบบสมการตอไปนี้ 2x = 3y

36.


และ 2y+1 = 3x−1

จงหาคาของ x และ y จากระบบสมการตอไปนี้ 2x 5y = 1 และ 5x+1 ∙ 2y = 2

39

C.E.P.W....



C.E.P.W....

Homework : ทําไมทันก็ตองทํา 1. log 2 (log 3 178 ) − log 2 (log 3 173 ) + log 5 5

2.

3 8

log 2 ( )

มีคาเทาไร

จงหาคาของ loga+b (a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ) − loga+b+c (a2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac)

3. log( log 2 3) − log( log 4 3) − log( log 5 4) … − log( log 32 31) มีคาตรงกับขอใด 1. 1

2. log 2

3. 1 − log 2

4.

4. 1 + log 2

ให log2 56 = k + 1 แลว log49 64 มีคาเทาใด

40


5.


กําหนด f(x) = log2 x , g(x) = log3 x , h(x) = log1 x จงหาคาของ f(4) + g(27) − h �161 � 2

6. a3 = b4 = c 6 = d12

7.

ถา

แลว logd (abc) มีคาเทาใด

a = log 35 − log 7 + log 6 − log 3 + log 10

b = 4 log 400 + (log 2 8)(log 3 81) − log 256 ขอใดถูกตอง 1. a + b = 10

2. a − b = 18 3. a + b = 24 4. ab = 40 8.

C.E.P.W....

ขอใดถูก 1. log 7 3 < log 5 3 < log 7 10 2. log 5 3 < log 7 3 < log 7 10 3. log 7 3 < log 7 10 < log 5 3 4. log 7 10 < log 5 3 < log 7 3

41


6

6


9. log(4 �2 �2√2 … . . ) มีคาเทาใด 6

mn

10. log 100mn มีคามากกวา log 100 เทาใด

42

C.E.P.W....



C.E.P.W....

การแกสมการ Logarithm 1. 2.

พยายามทําฐาน log ใหเทา เพราะ loga x = loga y แลว x = y

ถาฐานทําใหเทากันไมไดพยายามแตเลขหลัง log เทากัน อางเสมอถา loga x = loga y แลว x = 1 เสมอ เพราะ หลัง log เปน 1 จะได 0

3. Check คําตอบเสมอนะ

จําเปนตอง Check เสมอวา หลัง log ตองบวก และฐานของ log ตอง > 0 และ ≠ 1

ตั้งสติดีดีนะ ของมันกําลังขึ้นกะทิมันกําลังขน Problems 1.

ถา 3 log4 x2 = 4 log4 x2 แลว x มีคาเทาใด

43


2.


เซตคําตอบของสมการ log2 (2x2 − 1) = −3 เปนสับเซตของขอใดตอไปนี้ (Ent) 3

1. �−1, 4� 1

2. �−2, 2� 1

3. �−3, 3� 1

4. �−4, 4�

3.

จงหาคา x ที่สอดคลองกับ log3 √x − 5 + log3 √2x − 3 = 2 log9 3

4.

กําหนด

A = �x | √x − 4 = 2 – √x − 8�

B = {x | (log a x)(log 2 a) = log 5 125 ; a > 0} ขอใดถูก (Ent)

1. A ∩ B = ∅ 2. A = B

3. A เปนสับเซตของ B และ A ≠ B 4. B เปนสับเซตของ A และ A ≠ B

5.

จงหาคา x ที่สอดคลองกับสมการ log4 log3 log2 (x2 − 2x) = 0

44

C.E.P.W....



6.

กําหนดใหคําตอบของสมการ log2 log4 log8 x = 1 คือ x p จงหาคา p

7.

จงแกสมการ 1. 10

4log 11 + 11log 4 = 22 × 11log x x มีคาเทากับเทาใด

2. 4 3. 1 4.

2 5

8.

จงหาเซตคําตอบของ log2 (9x−1 + 7) = log2 (3x−1 + 1)

9.

กําหนดให a, b เปนคําตอบของ สมการ log3 x +

6 ∙ log x 3 = 5 โดย a > 𝑏𝑏

ถา A = {x ∈ I +| x ∈ [a, b] และ 3/x} จงหา n(A) (นาออกขอสอบ)

45

C.E.P.W....



10.

จงหาเซตคําตอบของสมการ log 4√x 2 +

11.

ถา loga (ax) +

แลว x มีคาเทาใด

12.

log 4 x 2 + 4 = 0

2 log a (a2 x) + 3 log a (a3 x) + ⋯ + 10 log a (a10 x) = 110

เซตคําตอบของสมการ log4 log3 log2 5log 5(x 2 +2x) = 0 เปนสับเซตของขอใด 1. [−5, 1] 2. [−4, 3] 3. [−1, 5] 4. [0, 6]

13.

log 2 x− 1 x log 2 2

= 2 log 2 √x + 3 − (log 2 x)2 มีผลตางคําตอบเปนเทาใด

46

C.E.P.W....



14.

จงหาคา x จากสมการ log2 (x + 2) + log2 (x − 1) = 2

15.

จงหาคา x จากสมการ log(2x + x − 4) = x(1 − log 5)

16.

จงหาคา x จากสมการ log2 x3 +

log 4 x 6 + log 8 x 9 = 8log 4 9

47

C.E.P.W....



17.

จงหาคา x จากสมการ 2 log3 0.5 ∙ log0.5 x = log3 4

18.

จงหาคา x จากสมการ (log2 x)2 + 8 log16 x − 3 = 0

19.

จงหาคา x จากสมการ log 3 x log 4 x log 5 x = log 3 x log 4 x + log 4 x log 5 x + log 3 x log 5 x

20.

จงหาคา x จากสมการ 2(ln 10)(log|x − 2|) = ln(x2 + 1)

48

C.E.P.W....



21.

จงหาคา x จากสมการ 2 log3 x − 2 log x 2 9 + 3 = 0

22.

ถา A เปนผลคูณของคําตอบทั้งหมดของสมการ log 3 x log 3 x

log 3 x

− 6 log 3 x log 3 x + 11 log 3 x − 6 = 0

จงหาคาของ log3 A + log9 A + log27 A

23. A, B เปนคําตอบของสมการ (log x)2 + (log 2)(log x) − log 5 = 0 จงหา 4AB

49

C.E.P.W....



2 log 0.25 (4−x)

24.

จงหาคา x จากสมการ log

25.

จงหาคา x จากสมการ 7log 3+log 7 ∙ xlog 2 = 2log 7+log 3 ∙ xlog 7

26.

จงหาคา x จากสมการ 2log x ∙ xlog 2 − 2log x = 12

6 (3+x)

+

log 2 (3+x)

27. �x log √x = 10

28. x log x = 100x

50

=1

C.E.P.W....


29. x x

30.

log x


= x100x

3

√𝑥𝑥 2

กําหนดให logxy x = 9 จงหาคาของ log xy 4�𝑦𝑦 3 (สวยโคตร)

51

C.E.P.W....



31.

จงหาคา x จากสมการ

32.

กําหนดให

log x y + 4 log y x = 4 และ x + y = 6 จงหา x − y (ขอนี้สวยกวา....)

33.

กําหนดให

log a b + 4 log b a = 5, a2 + b = 272 และ a ≠ b แลว ab มีคาเทาใด

log 3 (4x + 15 ∙ 2x + 27) − 2 log 3 (4 ∙ 2x − 3) = 0

52

C.E.P.W....



C.E.P.W.... 5

34. Let a, b, c, d be positive integers and log a b = 2 , log c d = 4 If a − c = 9 , then b − d =?

35.

จงหาคําตอบของระบบสมการ log x + log y = 2 และ x − y = 15

53


36.


กําหนดระบบสมการ log 2 x + log 4 x + log 4 z = 2 log 3 y + log 9 z + log 9 x = 2

log 4 z + log16 x + log16 y = 2

จงหาคาของ 6x + 8y − 3z เทากับเทาใด (Olympic, มข, เตรียมอุดม)

54

C.E.P.W....



C.E.P.W....

Homework : อยากเกง ตองทําการบาน x +5√5−x −In e 5 )

5(log 100)−2

1.

จงหาเซตคําตอบของ 10log (√5

2.

จงหาคา x จากสมการ 2�5log 3 x � + 3�x log 3 5 � = 125

3.

คําตอบของสมการ loga x ∙ logb c ∙ (1 + logc a) = logb x logc x loga c

= log[

]

2(log 5 √5−5 −1 )

1. ac

2. bc 3. ab 4. abc 4.

คาของ yx เมื่อ x และ y สอดคลองกับสมการ 2 log8 (3x − 2y) = log8 x + log8 y + 1 อยูในชวงใดชวงตอไปนี้ 1. [0, 1] 2. [1, 3]

3. [4.5, 6] 4. [6.5, 9]

55


5.


จงหาคา x จากสมการ (log 2 x − 2)3 + {(log 2 x)2 − 3}3 = {(log 2 x)2 + log 2 x − 6}3 (Top C.E.P.W.)

56

C.E.P.W....



อสมการ Logarithm 1.

พยายามทําฐานของ log ใหเหมือนกัน ถา ฟงกชันเพิ่ม และ loga m > loga n จะได m > 𝑛𝑛

ถา ฟงกชันลด และ loga m > loga n จะได m < n 2.

ตอง Check คําตอบเสมอ โดยการสราง อสมการเงื่อนไข 2.1 2.2

หลัง log > 0

ฐาน log > 0 แตตอง ≠ 1

Ex. log(3x + 4) > log(x − 1) + 1

log(3x + 4) > log(x − 1) + log 10 log(3x + 4) > log(x − 1) 10

ฐาน 10 ฟงกชันเพิ่ม : Take log ได ตัด log ได เพราะฐานเดียวกัน 3x + 4 > 10𝑥𝑥 − 10 x<2

เช็คคําตอบยังไงมาดูกัน : สรางเงื่อนไข หลัง log > 0 : 3x + 4 > 0, 𝑥𝑥 − 1 > 0 ได x > − 43 และ x > 1 แลวจับมา อินเตอรเซ็กกัน จะได x ∈ (1, 2) Part คํานวณแลว

พยายามอยาลืม สรางเงื่อนไข Check คําตอบกันนะครับ

57

C.E.P.W....



Problems 1.

จงแกอสมการ log1 log4 (x − 1) > 1 2

1

2 +2)

1

2.

จงหาคา x จาก (3)log 2 (x

> ( )log 2 (4x−1)

3.

ถา A = {x| a < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏} เปนเซตคําตอบของ log2 (2x − 1) − log4 (x2 + 12) < 12

3

แลว a + b มีคาเปนเทาใด (ออกสอบทีตายกันเปนแถว)

58

C.E.P.W....



C.E.P.W....

4.

จงหาเซตคําตอบของอสมการ 4 ∙ 2log x 2 − 9 ∙ 2log x + 2 ≤ 0

5.

หาเซตคําตอบของอสมการ 4log 3 x + xlog 3 4 < 12

6.

กําหนดใหชวง (a, b) เปนชวงคําตอบของอสมการ 3�2log x � > 2 + xlog 4 แลว a + b มีคาเทาใด

59



7.

จงหาคา x จาก logx (x + 2) > 2

8.

จงหาคา x จาก log2x+4 (x2 + 1) ≤ 1

9.

จงหาเซตคําตอบของ xx−2 > 1 เมื่อ x > 0 (Olympic)

60

C.E.P.W....


10.


C.E.P.W....

กําหนดให A = �x โดยที่ x ∈ I และ (x + 1)log x < 𝑥𝑥� ผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน A คือ

(Olympic)

11.

กําหนด S = {x ∈ R | 2x log2 x + 8 > 2x+1 + log2 x4 } เซต S มีจํานวนเต็มซึ่งนอยกวา 20 กี่ตัว (Olympic) 1. 14 2. 15 3. 16 4. 17

12.

กําหนดให log 2 = a , 1. (−2a, b)

log 3 = b เซตคําตอบของอสมการ 10x < 3x ∙ 2log 3−x 2

2. �– a, b�

3. �– b, 2a� 4. �– b, a�

61

คือขอใด



Homework : กรุณาทําดวยนะครับขอละนา .. 1.

กําหนด 0 < 𝑎𝑎 < 1 และ 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 แลวขอใดถูก 1. ax < ay

และ loga x < loga y

3. ax > ay

และ loga x < loga y

2. ax < ay 4. ax > ay

และ loga x > loga y และ loga x > loga y

2. log 1 (log 3 (x + 1)) > −1 จงหาชวงคําตอบของ x 2

3. log(log x) + log(9 − log x 2 ) ≥ 1 จงหาคาคําตอบของ x

62

C.E.P.W....



C.E.P.W....

Character ของยาย Mantissa ถาเรามองยอนกลับไปถึงตอนเราเรียนเลขยกกําลังเราจะสามารถเขียนจํานวนจริงใด ๆ ก็ตามในรูป ของ A × 10n เมื่อ 1 ≤ A ≤ 10 และ n ∈ I

พูดงาย ๆ คือ เราเขียนจํานวนใหอยูในรูปลดรูปได

Ex. 0.00048 สามารถเขียนไดเปน 4.8 × 10−4

จากตรงนี้นี่เองทําใหตองมารูจัก Character ของคุณยาย Mantissa

ถาเราให x = 4.8 × 10−4

แลวถาเรา Take log เขาไปจะไดอะไรออกมานะ ! log x = log(4.8 × 10−4 ) : log ผลคูณ เทากับ ผลบวก log log x = log 4.8 + log 10−4 log x = log 4.8 − 4

ถาเราลองสังเกตดูจะทราบวา ไมวาจะเปนยังไงก็ตาม ถา x = A × 10n : เมื่อ 1 ≤ A ≤ 10 และ n ∈ I

เราจะได 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐱𝐱 =

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐀𝐀 + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏𝟏𝟏𝐧𝐧 เสมอ

ที่นี้นักคณิตศาสตรจึงบัญญัติวา (Actsense นิดนึง) log A

log 10n

เรียกวา Mantissa (แมนทิสซา) เรียกวา Characteristic (แคแรกเทอรริสติก)

Characteristic เปนจํานวนเต็มเสมอ เพราะ n เปนจํานวน

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐱𝐱 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐀𝐀 + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏𝟏𝟏𝐧𝐧

Mantissa เปนจํานวนบวก เสมอ เพราะ A อยูในชวง [1, 10] 63



C.E.P.W....

Antilog เขาบอกวา Antilog(log N) = N แปลเปนไทยงาย ๆ Antilog(A) =

Part : คํานวณและประโยชนของ Characteristic Mantissa & Antilog

Problems 1.

จงหาคาของ log 0.00000309 กําหนด log 3.09 = 0.49

2.

จงหาคาของ log 1200 กําหนด log 1.2 = 0.0792

3.

จงหาคาของ log 0.00652 กําหนด log 0.00652

4.

จงหาคาของ log 57200 กําหนด log 5.72 = 0.7574

64

อะไรเทากับ A



5.

ถา log N = 4.4265 จงหาคา N เมื่อกําหนด log 2.67 = 0.4265

6.

จงหาคาของ Anti log(−3.5918) เมื่อกําหนด log 2.56 = 0.4082

7.

กําหนด log 789,000 = 5.8971 จงหาคาของ 10−5.1029

8.

คาของ

7272

ประกอบดวยเลขโดดเขียนเรียงกันกี่หลัก

โดยกําหนด log 2 = 0.3010 ,

9.

log 3 = 0.4771

กําหนด 2 log2 x = y และ log2 2x = y − 4

จงหาวา logy x2 มีคาแคแรกเทอรริสติกเทาใด

65

C.E.P.W....



10.

กําหนด log 63.7 = 1.9041 จงหาคาของ 10−1.0959

11.

คาแคแรกเทอรริสติกของ log9 987 คือขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4.

ไมเอาแลวหนูงวง

12.

กําหนดให log 2 = 0.30103 จงหาวา 2100 มีกี่หลัก

13.

กําหนดให log 2 = 0.30103, log 3 = 0.4771 จงหาจํานวนหลักของ 18200

อดทนอีกหนอย เหลืออีกนิดจะจบแลวนะ 66

C.E.P.W....



C.E.P.W....

Graph of Exponential & Logarithmic Function Graph of Exponential Function

การเขียนกราฟตองแบง 2 กรณี

จะทําอะไรใหดู Expo : y = 2x X

0

1

2

Y

1

2

4

Y

-1

-2

1 2

1 4

X

67



C.E.P.W....

1

Expo : y = (2)x X

0

Y

1

1

2

1 2

1 4

Y

-1

-2

2

4

X

การยายแกน Expo : จะอยูในรูปแบบ Ex :

y – 21 = 2x−1 Y = 2x Y + 2 = 2x+5

y – k = ax−h

C(h,k) = ( 1 , 21 ) C(h,k) = (0,0) C(h,k) = ( - 5, - 2 )

Saroop :

68

เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1



C.E.P.W....

Graph of Logarithmic Function

กราฟก็แบงไดเปน 2 กรณีจากฐานของ log

เนื่องจาก Log เปนอินเวอรสของ Expo จึงมีแกน y = x เปนแกนสมมาตรเมื่อ C(h,k) ของกราฟ อยูที่ (0,0) 1. Y = log a x เมื่อ 0 < a < 1 (ฟงคชั่นลด)

Y = ax

Y

Y=x แกนสมมาตร

X

Y = log a x

69



2. Y = log a x เมื่อ a > 1 Y

Y = ax

C.E.P.W....

Y=x แกนสมมาตร Y = log a x X

การยายแกน Loga = จะอยูในรูปแบบ Ex.

y – k = log a (x − h)

Y – 5 = log 2 (x − 8)

C(h,k) = ( 8 , 5 )

Y = log 2 x

C(h,k) = ( 0,0 )

Y + 6 = log 3 (x + 4)

C(h,k) = ( - 4 , - 6 )

Saroop :

70

เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1



Tam :

71

C.E.P.W....



ขอขอบคุณสําหรับโจทยตาง ๆ จากทุก ๆ แหง 72

C.E.P.W....

Exponential &amp; Logarithmic Function V53.4.29

Recommend Documents

Exponential & Logarithmic Function V53.4.29