ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิ ยลและลอการิทึ ทม ึ (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
โดยทั ่วไปแล วไปแลวอัตราการเติ วอัตราการเติบโตของสิ บโตของสิ ่งมี งมีชี ชวิวี ตต ต ิ ตางๆหรื างๆหรืออัตราการเพิ ออัตราการเพิ ่มของจ มของจานวน านวน ประชากร ความแตกตางกันของความรุ างกันของความรุนแรงของแผ นแรงของแผนดิ นดินไหวแต นไหวแตละริ ละริกเตอร์ กเตอร์ ไม ไดมี มี ความสัมพั ความสัมพันธ์ นธ์ เป็นแบบเสนตรง นตรง แตจะเป็ จะเป็นแบบทวีคู คูณ ซึ ่งต งตองการความร องการความร ูทางด ทางดานเลขยกก านเลขยกกาลัง าลัง ฟังก์ ชันเอกโพเนนเชี ชันเอกโพเนนเชียลและลอการิ ยลและลอการิทึ ทมครับ มึ ครับ อยากร ูววาสิ า สิ ่งเหล งเหลานี านี ้คื คออะไรติ ืออะไรติดตามได ดตามไดเลยครับ เลยครับ 1.
ทบทวนเลขยกกาล าลง เลขยกกาล าลงสามารถมี งสามารถมีเลขชี เลขชี กกาล าลงเป็ งเป็นจ นจานวนเต านวนเตมหรื มหรือเป็ อเป็นจ นจานวนตรรกยะ านวนตรรกยะ (ที ไม่ ที ไม่ ใช่ ใช่จจานวนเต านวนเตม) ก ได้
กรณีมีมเลขชี เี ลขชี กกาล า ลงเป็ งเป็นจ นจานวนเต านวนเตมบวก ให้ มบวก ให้ a เป็นจ นจานวนจริ านวนจริงใดๆ งใดๆ และ am = a × a × a ×
m
m
เป็นจ นจานวนเต านวนเตมบวก มบวก
… ×a×a
ตว
กรณีมีมเลขชี เี ลขชี กกาล า ลงเป็ งเป็นจ นจานวนตรรกยะ านวนตรรกยะ เมื เมือ a เป็นจ นจานวนจริ านวนจริง
เป็นจ นจานวนเต านวนเตมที มทีมากกว่ มากกว่า 1 และ a มีรากที รากที n
n
∶
∙a
am am
n
a
m n
m
an =
−n
a
n
a
≠ 0 และ b ≠ 0
an
b
bn
a0 = 1
−m =
m
a n
a
ให้ n เป็นจ นจานวนจริ านวนจริง
= amn
ab = a b = n
ทฤษฎีของรากที ของรากที n
= am+n
= am
bn
n n
1 am
n
a =
ทฤษฎีบทเลขยกก บทเลขยกกาล าลง ให้ m, n เป็นจ นจานวนตรรกยะ านวนตรรกยะ
a
1 n
a = a a = aa a b = abab = n
n
n
n
n
≠0 a≠0 a≠0
b
n
n
n
a
เมื เมือ n เป็นจ นจานวนเต านวนเตมคี มคี เมื เมือ n เป็นจ นจานวนเต านวนเตมคู ่ ่ มคู
n
n
b
a
b
b
≠0
เมื เมือ n เป็นจ นจานวนเต านวนเตมคู ่ ่ มคู า่ ในระบบจานวนจริ านวนจริงเมื งเมื อ ≥ 0 a จะมีค่คาในระบบจ
n
การหารากที สองของ สองของ A ± B เราใช้กกาล าลงสองส งสองสมบู มบูรณ์ รณ์
a ± b
2
= a + b ± 2 ab = a + b ± 4ab 4ab
A=a+b และ B=4ab มาช่วยในการแก้ วยในการแก้ปัปญหา ญั หา ดงน งน นถ้ นถ้าเราให้ าเราให้ A=a+b
รากที สองของ สองของ A + B = ±(
a+
b) b)
และรากที สองของ สองของ A
− B − = ±( a
b) b)
ทดสอบ 1 (จงกระจายเลขยกกาล าลงด งดงต่ งต่อไปนี อไปนี หรื หรือท อทาให้ าให้อยู ่ ่ ในรู อยู ในรูปอย่ ปอย่างง่ างง่าย าย )
2
3
3
4
4
4
5
2
4 3
3 3 3 5
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม.
10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
1
ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
−2 − 4
2
2
5 4
7 3
2
1
2.
4 3
− 7 + − 12 = 5 ⋯
2 3
3
ทดสอบ 2 จงหาคาตอบของสมการ าตอบของสมการ
18 4
4
1+ 2
+
1
2+ 2+ 3
+
2
2 × 2
3
2
1
7
3
2
1
3+ 3+ 4
+
ให้เรีเรียงล ยงลาด าดบจ บจานวนจากน้ านวนจากน้อยไปมาก อยไปมาก
1
4+ 4+ 5
+
+
325 3 , 520
3
1
99+ 99+ 100 100
, 715
3
=?
, 910
3
ฟังก์ งก์ชชนเอกซ์ โพเนนเชี น เอกซ์ โพเนนเชียล ยล คือฟั อฟังก์ งก์ชช นที น ทีกกาหนดในรู า หนดในรูป
f x = ax
โดยที โดยที a > 0 และ
a
≠1
โดยมีกราฟด กราฟดงรู งรูป y
y
(0,1)
(0,1) O
x
O
= โดยที โดยที > 1
= โดยที โดยที 0 < < 1
ฟังก์ งก์ชช นเพิ น เพิม
ฟังก์ งก์ชช นลด นลด
x
จุดสังเกต ดสังเกต -
กราฟตดแกน ดแกน y ที จุจุด (0,1) เสมอ (เพราะว่า 0 = 1 เสมอ) โดเมนจะเป็นค่ นค่าจ าจานวนจริ านวนจริงใดๆก ได้ งใดๆก ได้ แต่ค่ค่าเรนจ์ าเรนจ์จะต้ จะต้องเป็ องเป็นค่ นค่าที าทีมากกว่ มากกว่า 0 เสมอ
ลองทาดู าดูซิซิ จงเขียนกราฟด ยนกราฟดงต่ งต่อไปนี อไปนี เมือ a > 0 แ ละ a ≠ 1 y = a− เมื
y=
−a เมื เมือ a > 0 แ ละ a ≠ 1
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง
2 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel.
08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิ ยลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
y
3.
− k = a−ℎ เมื เมือ a > 0 แ ละ a ≠ 1
y = a|x|
เมื เมือ a > 0 แ ละ a ≠ 1
สมการเอกซ์โพเนนเชียล ยล (Exponential Equation) สมการเอกซ์ โพเนนเชี สมการเอกซ์ โพเนนเชียลคื ยลคือ สมการที สมการทีมีมเลขชี เี ลขชี กกาล าลงเป็ งเป็นต นตวไม่ วไม่ทราบค่ ทราบค่า (Unknown) โดยอยู ่ ่ ในรู โดยอยู ในรูป เช่น 2 = 8 = 23 ดงน งน น x = 3 ถ้า = แล้ว =
=
น นคื นคือ ถ้าฐานเท่ าฐานเท่าก ากนแล้ นแล้ว ตวเลขชี วเลขชี กาล าลงก็ งก็ต้ต้องเท่ องเท่าก ากนด้ นด้วย วย)
(
แบบฝึกห กหด 1 จงแก้สมการด สมการดงต่ งต่อไปนี อไปนี
+1
+5
2x = 64
4
3x = 81
22
+2
52 =
22
+1 − 9 ⋅ 2 −1 + 1 = 0
6(25 ) + 11(23 )
31+
3 3 +3
x
1 5
2x+4 = 128 102x
−5 = 103x
−
1
64 25
=
+ 64 64 = 2
− 9 ⋅ 2 + 2 = 0
− 3(2 ) = 2
5 +1
4 5
− = 128
+− 2 + 9(3− 2+ −2 ) = 2 8 2
1
2
x+4
2x
2
x
3(32 + 3
x
= 4 =
− =
10
x −2 ) =
10
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม.
10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
3
ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
− + − = 2 1
1
1 6
เพิ เพิมเติ มเติม : สาหร าหรบอสมการเอกซ์ บอสมการเอกซ์ โพเนนเชี โพเนนเชียล ยล
> ↔ > > ↔ <
เมื เมือ > (ฟังก์ งก์ชชนเพิ นเพิม) เมื เมือ < < (ฟังก์ งก์ชชนลด น ลด)
แบบฝึกห กหด 2 จงหาเซตคาตอบของอสมการด าตอบของอสมการดงต่ งต่อไปนี อไปนี
2 > 16
1
+2
3
2
<3
−5
−5 > 1 2
16
0.5 − < 0.5− 2
3
2+ 7
<
− 8
1
+2 < 1
2
32
+ 1 < + 1
2
−
เมื เมือ x > 1
3
4.
x
2
≤ − 2
1
เมื เมือ x > 0
ฟังก์ งก์ชชนลอการิ น ลอการิททม (Logarithm Function)
ก่อนหน้ อนหน้านี านี เรารู ้ ้ เรารูจจกฟั ก ฟังก์ งก์ชชนเอกซ์ น เอกซ์ โพเนนเชียลก ยลกนแล้ นแล้ว ซ ซงก งกคืคอื y = ax เมื เมือเรามาพิ อเรามาพิจารณาอิ จารณาอินเวอร์ นเวอร์ส (Inverse งก์ชชนเอกซ์ โพเนนเชี น เอกซ์ โพเนนเชียลเราจะได้ ยลเราจะได้ว่วา่ x = ay ซ งสามารถเขี งสามารถเขียนได้ ยนได้อยู ่ ่ ในรู อยู ในรูปของฟั ปของฟังก์ งก์ชชนลอการิ น ลอการิททม function) ของฟังก์ โดยใช้นินยามต ยิ ามตว log เข้ามาแทนได้ ามาแทนได้ดดงนี งนี
x = ay
↔ y = log x a
โดยเราอ่าน าน loga x ว่า “ลอการิททม x ฐาน a หรืออ่ ออ่านก านกนส นส นๆว่ นๆว่า ลอก อก x ฐาน a” เราเรียก ยก a ว่าเป็ าเป็นฐานหรื นฐานหรือ Base (เช่นเดี นเดียวก ยวกบเลขยกก บเลขยกกาล าลง) ซ ซงมี งมีค่คาอยู ่ า่ อยู ่ในช่วง วง (0, (0, 1) หรือ (1, ซงจะท งจะทาให้ าให้ x > 0 ด้วย วย a > 0 แต่ a ≠ 1 ซ
Logarithm function :
If ay = x, then y = log a x , where a > 0;
)
∞
น นก นกคืคือ
≠ 1 and x > 0.
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง
4 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel.
08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิ ยลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
ม.5 เทอม 1
เราสามารถเขียนกราฟของ ยนกราฟของ logarithm function ได้ดดงนี งนี y
y
(1,0) O
x
(1,0)
= log
โดยที ่ ่
>1
ฟังก์ งก์ชชนเพิ น เพิม)
(
x
O
= log (
โดยที ่ ่ 0 < < 1
ฟังก์ งก์ชชนลด นลด)
จุดสังเกต ดสังเกต -
กราฟตดแกน ดแกน x ที จุจุด (1,0) เสมอ (เพราะว่า loga 1 = 0 เสมอสาหร าหรบทุ บทุกค่ กค่า a ที ทีเป็ เป็นไปได้ นไปได้) เรนจ์หรื หรือค่ อค่า y จะเป็นค่ นค่าจ าจานวนจริ านวนจริงใดๆก ได้ งใดๆก ได้ แต่ค่คาโดเมนจะต้ ่าโดเมนจะต้องเป็ องเป็นค่ นค่าที าทีมากกว่ มากกว่า 0 เสมอ
ถามเล่นๆ นๆ ทาไม าไม a ห้ามมี ามมีค่ค่าเป็ าเป็น 1 ?
กราฟแสดงการเป็นอิ นอินเวอร์ นเวอร์สซ สซงก งกนและก นและกนของ นของ exponential function และ logarithm function
แบบฝึกห กหด
3
จงเปลี จงเปลียนจ ยนจานวนต่ านวนต่อไปนี อไปนี ให้เป็ เป็นฟั นฟังก์ งก์ชชนเอกซ์ น เอกซ์ โพเนนเชียลหรื ยลหรือฟั อฟังก์ งก์ชชนลอการิ น ลอการิททม 10,000 10,000 = 104 7= 8=
1 492
1
2
−3
3 = log 5 125 3 = log
5 5 5 สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง
390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม.
10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
5
ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
กฎของ logarithm (Laws of Logarithms)
ลองทาดู าดู log2 5 + l o g2 3 = log2 5 × l o g 2 3 = log2 15
− log 8 = log 5 + l o g 12 − log 20 = log xy = ____ × (log ___ ____ + log ____) 12×12 log = 36 log5 125 3 a
โดยที โดยที a
ใช่ .ใช่หรื หรือไม่ อไม่?
2
3
2
3
a
a
4
∈R ,a>0 +
log4 (log2 16 ) =
Proof :
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง
6 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel.
08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิ ยลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
5.
6.
ลอการิททมสาม มสามญ (Common Logarithms) คือ ลอการิททมที มที มีมฐานเป็ ฐี านเป็น 10 คือ log10 แล้วถ้ วถ้าไม่ าไม่มีมการเขี กี ารเขียนหมายเลขฐานไว้ ยนหมายเลขฐานไว้ เราจะถือว่ อว่า log ตวน วน นมี นมีฐานเป็ ฐานเป็น 10
= log
ซ ซงโดยปกติ งโดยปกติ
การประมาณค่า log A สาหร าหรบจ บจานวนเต านวนเตมบวก มบวก A ใดๆ เราสามารถเขียน ยน A ในรูปมาตรฐานด ปมาตรฐานดงนี งนี A = N0 × 10n
เมื เมือใส่ อใส่ log ท งสองข้ งสองข้างและใช้ างและใช้กฎของลอการิ กฎของลอการิททมเราจะได้ ม เราจะได้
โดย 1 ≤ N0 < 10 และ n ∈ I+
l og A = l og N 0 + n
เราเรียก ยก n ว่า แคแรกเทริสติ สติก (Characteristic) ของ log A ซ ซงเป็ งเป็นจ นจานวนเต านวนเตมบวก มบวก และเรียก ยก log N0 ว่าแมนทิ าแมนทิสซา สซา (Mantissa) ของ logA ซ ซงจะต้ งจะต้องมี องมีค่คามากกว่ า่ มากกว่าหรื าหรือเท่ อเท่าก ากบ 0 เสมอ ตัวอย่ ตัวอย่างเช่ างเช่น จงหาค่า log 1,150 าเราทราบค่าว่ าว่า log (1.15) ≈ 0.0607 1,150 ถ้าเราทราบค่ พิจารณา จารณา 1,150 = 1.15 × 103 เราจะได้ตามว่ ตามว่า log 1,150 = log 1.15 + 3 = 0.0607 + 3 = 3.0607 ทมธรรมชาติ มธรรมชาติ (Natural Logarithm) หมายถงลอการิททมที มที มีมฐานเป็ ฐี านเป็น e โดย e เป็นจ นจานวนอตรรกยะมี านวนอตรรกยะมี 7. ลอการิท ค่าประมาณ าประมาณ 2.71828 เราสามารถเขียนลอการิ ยนลอการิททมธรรมชาติ มธรรมชาติ ได้ ในรู ได้ ในรูป log e = ln (อ่านว่ านว่า ลอน x)
8.
แอนติลอการิ ลอการิททม (Antilogarithm) คือ การดาเนิ าเนินการที นการที ตรงก ตรงกนข้ นข้ามก ามกบการหาค่ บการหาค่าลอการิ าลอการิททม โดย log x = A ก็ต่ตอเมื อ่ เมื อ antilog A = x
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม.
10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
7
ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
เช่นก นกาหนดให้ าหนดให้ log 32.4 = 1.51 ยามของลอการิททมสาม มสามญ เราจะได้ว่วา่ 32.4 = 101.5105 หรือถ้ อถ้าใช้ าใช้ .5105 โดยนิยามของลอการิ 32.4 = anti antilo log g 1.510 1.5105 5 แอนติลอการิ ลอการิททมจะได้ มจะได้ว่วา่ 32.4 การคานวณค่ านวณค่าโดยประมาณโดยใช้ าโดยประมาณโดยใช้ลอการิ ลอการิทึ ทึม
−4.5607 แล้ว N มีค่ค่าเท่ าเท่าใด าใด จงหาค่าของ าของ และ = −5 + วิธธทท า log N = −4.5607 = −4 − = −4 − 1 − จากที จากทีโจทย์ โจทย์กกาหนด าหนด log ) log 275 275 = 2.43 2.4393 93 = 2 + 0.43 0.4393 93 หรือ 0.43 0.4393 93 = log log 275 275 − 2 = log ( สรุปได้ ปได้ว่ว่า log N = −5 + หรือ N = 2.75 × 10 10 กาหนด าหนด 3 ≤ log < 4 โดย เป็นจ นจานวนเต านวนเตมบวก มบวก จะมี ได้ทท งหมดกี งหมดกีค่คา่ 2. กาหนด าหนด log 275
1.
= 2.4393 2.4393 ถ้า log N =
(
(
6
x
a,b,c,d,e
f)
)
x
วิธธทท า
9.
การแก้สมการลอการิ สมการลอการิททม จะมีหล หลกเกณฑ์ กเกณฑ์ดดงต่ งต่อไปนี อไปนี หลกเกณฑ์ กเกณฑ์ของการเป็ ของการเป็นฟั นฟังก์ งก์ชชน 1 ต่อ 1 ที ทีว่วา่ - จะใช้หล -
log a x = log a y
กต่ต่อเมื อเมือ
x=y
เมื เมือหาค่ อหาค่าต าตวแปรได้ วแปรได้แล้ แล้ว ต้องตรวจสอบว่ องตรวจสอบว่าใช้ ได้ าใช้ ได้หรื หรือไม่ อไม่ โดยการแทนค่ากล ากลบลงไปในสมการ บลงไปในสมการ และ ตรวจสอบดู เช่น ค่าภายใน าภายใน log จะต้องมากกว่ องมากกว่า 0 เสมอ สาหร าหรบการแก้ บการแก้อสมการลอการิททม จะใช้สมบติตของฟั ขิ องฟังก์ งก์ชชนเพิ น เพิม/ฟังก์ งก์ชชนลด ในการก น ลด ในการกาจ าจดฐาน ดฐาน คือ เมือ > 1 (ฟังก์ งก์ชชนเพิ น เพิม) > log ↔ > เมื เมือ 0 < < 1 (ฟังก์ งก์ชชนลด นลด) log > log ↔ < เมื log
. 10.
การแก้สมการเอกซ์ โพเนนเชี สมการเอกซ์ โพเนนเชียล ยล โดยใช้ลอการิ ลอการิททม สมการที สมการทีอยู ่ ่ ในรู อยู ในรูป ax = b โดยที โดยที x เป็นต นตวแปร วแปร ขณะที ขณะที a log และ b เป็นค่ นค่าคงที าคงที จะสามารถแก้ ได้ จะสามารถแก้ ได้ โดยการน โดยการนา log เข้าท าท งสองข้ งสองข้าง าง จะได้ x = log ทดสอบเลกๆ กๆ จงแก้สมการด สมการดงต่ งต่อไปนี อไปนี 2 = 24 3 = 20 1.2 = 1000 000 0.005 5 12 = 0.00 0.99 0.04 = 0.00 0.0000 001 1 200×2 =6
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง
8 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel.
08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิ ยลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
11.
ม.5 เทอม 1
ตวอย่ วอย่างการประยุ างการประยุกต์ ใช้ กต์ ใช้ลอการิททม ตราการเจริญเติ ญเติบโตหรื บโตหรือการเพิ อการเพิมข มข นของประชากร นของประชากร - อตราการเจริ ประชากรในเมืองหนึ องหนึงเพิ งเพิม 5 % ทุกๆ กๆ 2 ปี ถามว่าเมื าเมือใดท อใดทประชากรจะเพิ ประชากรจะเพิมขึ มขึ นเป็ นเป็นสามเท่ นสามเท่าของปั าของปัจจุ จ จุบน
-
ดอกเบี ดอกเบี ยทบต้ ยทบต้น หม าม ามเงิเงินลงทุ นลงทุนท นท งหมด งหมด 12000 บาท แต่หม หม าต้ าต้องการให้ องการให้เงิเงินงอกเงยจนม นงอกเงยจนมค่ค่าอย่ าอย่างน้ างน้อย อย 30000 บาท ถ้าหม าหม าน านาเงิ าเงินไปลงทุ นไปลงทุน แล้วได้ วได้ผลตอบแทนเท่ ผลตอบแทนเท่าก ากบ 13% ต่อปี ถามว่าหม าหม าต้ าต้องรออ องรออกนานเท่ กนานเท่าไหร่ าไหร่ถึถึงจะได้ งจะได้เงิเงินเท่ นเท่าก ากบท บทต้ต้องการ องการ
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม.
10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
9
ม.5 เทอม 1
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
แบบฝึกห กหดท้ ดท้ายบท ายบท (จาก Text book)
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง
10 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel.
08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
ฟังก์ ชันเอกซ์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียลและลอการิ ยลและลอการิทึ ทึม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
ม.5 เทอม 1
สถาบันป สถาบันป ้ันนอง อง 390
ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพ าพอเสื อเสือ เขตพระนคร กทม.
10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email:
[email protected] [email protected]
11
