Exercícios Resolvidos
Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 12/01/2015 - Atualizado em 28/04/2017
O que é preciso saber? Basicamente é necessário que se saiba apenas a chamada Fórmula de Moivre.
n
z=
|z| cos θ n
+ 2 kπ
n
+ sen
·
θ
+ 2 kπ
n
para k = 0 ,...,n
−1
Sendo θ o argumento de z .
Exemplo 1: Determine todas as raízes de z 8 = 1. Isto nos dari a um conju nto das 8-ésimas raízes da unidade. Solução:
z8 = 1
⇒z=
8
1
Como mostrado na figura seguinte o argumento do número 1 é zero. Im
0◦
Re
z
Usando agora a Fórmula de Moivre
1
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8
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1 = cos
0◦ + 2 kπ 8
+ sen
·
0◦ + 2 kπ 8
, k = 0 , 1,..., 7
Para k = 0 teremos a primeira raiz.
1 = cos 0◦ + 2 ◦ 0π + · sen 0◦ + 2 ◦ 0π 8 8 ⇒ 1 = cos (0) + · sen (0) ⇒ 1=1 8
8
8
Para k = 1,..., 7 encontramos as raízes restantes que na ordem são: 1 , ( 1 ) , e ( 1 ).
( 1 + ),
−
−
− −
−
−
Exemplo 2: Determine as raízes de
− 1. 3
Solução:
Como mostrado na próxima imagem o argumento de
− 1 é igual a 180.
Im
180 ◦
Re
z
Usando a fórmula de Moivre:
− 1 cos 180 ◦ + 2 kπ + · sen 180 ◦ + 2 kπ para k = 0 , 1 e 2. 3
3
3
Para k = 0 teremos:
− 1 = cos (60◦ ) + · sen (60◦ ) = 1 + 3
2
3
2
2
=
1+
2
3
( 1 + ) , ,
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Para k = 1 teremos:
− 3
1 = cos ( 180 ) + sen ( 180 ) =
·
−1 + 0 = −1
Para k = 2 teremos:
− 1 = cos (300◦ ) + · sen (300 ◦ ) = 1 − 3 = 1 − 3 3
2
Assim, as raízes são
−1 e
1
±
2
3
2
.
3
2
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