Exercícios Resolvidos Fenômenos de Transporte A

Lista de Exercícios – Mecânica dos Fluidos Exercício 3.5 A superfície inclinada inclinada mostrada, articulada ao longo de A de A,, tem 5 m de largura. Determine a força resultante da água e do ar sobre a superfície inclinada. Dados: Comporta retangular, articulada ao longo de A, A, Determinar: A força resultante,



=5

, da água e do ar sobre a comporta.

Solução: Para determinar



completamente, devemos encontrar (a) o módulo e (b)

a linha de ação da força (o sentido da força é o da normal à superfície em uma convenção de compressão). Resolveremos este problema usando (i) integração direta e (ii) as equações algébricas. Integração Direta Equações Básicas

 =  ℎ  = ∫    = ∫   = ∫   Como a pressão atmosférica

age sobre ambos os lados da placa fina, o

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seu efeito é cancelado. Assim, podemos trabalhar com a pressão hidrostática

 =   ℎ   ℎ =    30º  =  

manométrica (

). Além disso, embora pudéssemos integrar usando a

variável , será mais conveniente definir aqui uma variável na figua.

ℎ 

Usando para obter expressões para e



, conforme mostrado

, resulta

e

Substituindo essas equações na equação básica para força resultante, obtemos

 = ∫  = ∫      30 °   =      30° , =   sen 30° =999  ×9,81  ×5m 2m×4m   ×  ..  =   Para a localização da força, calculamos η’ (a distância medida a partir da borda superior da placa),

′ =   Então

 =  ∫ =  ∫   =  ∫    sesen30°  ³  ³       =  [     30°] , =  [    sen 30°] =999 ³ ×9,8  × ,×  ×     × 





y

Ainda, da consideração de momentos sobre o eixo em torno da articulação A.

′=′ = 1   No cálculo do momento das forças distribuídas (lado direito da equação), lembre-se dos estudos anteriores de estática, que o centroide do elemento de área





deve ser usado para . O valor (medido a partir de A de A em em uma normal ao plano da

  = 1  2   = 2    = 2 =2,5m  =  ,  

figura para dentro dela) pode ser tomado igual a

/2, pois o elemento de área tem t em

largura constante. Assim,

Exercício 3.6 3.6 A porta mostrada na lateral do tanque é articulada ao longo da sua borda inferior. Uma pressão de 4790 Pa (manométrica) é aplicada na superfície livre do líquido. Determine a força,



, requerida para manter a porta fechada.





Dados: Porta conforme o mostrado na figura.

Determinar a força necessária para manter a porta fechada. Solução: Este problema requer um diagrama de corpo livre (DCL) da porta. As distribuições de pressão sobre os lados interno e externo da porta levarão à força líquida (e à sua localização) que será incluída no DCL. Devemos ser cuidadosos na escolha do conjunto de equações para os cálculos da força resultante e de sua localização. Podemos usar tanto pressões absolutas (como no DCL da esquerda) e calcular duas forças (uma sobre cada lado), ou pressões manométricas e calcular apenas uma força (como no DCL da direita). Para simplificar, usaremos pressões manométricas. Nesse caso, o DCL da direita deixa claro que devemos usar as Eqs. 3.10b e 3.11b, que foram deduzidas para problemas nos quais desejamos incluir os efeitos de uma pressão manométrica diferente de zero na superfície livre. As componentes da força devido à articulação são

   e

determinada tomando momentos em torno da articulação

. A força



pode ser

(a dobradiça).





Equações básicas:

 =    =     ∑  = 0 A força resultante e sua localização localização são

 =  ℎ  =      =   °  =   +/ =   ²+/ Tomando os momentos em torno do ponto A

  =  −  −  =0 ou  =  1− 1 − ′  Substituindo essa equação nas Eqs. (1) e (2), encontramos

²  1   = (   2)1− 2 −  /12 2           = (   2) 2   12 = 2  6 =4790 m²N ×0,6m×0,9× 12 15.715 m³N ×0,6m×0,81m²× 16





Exercício 3.7 3.7 A comporta mostrada é articulada em O e tem largura constante, w = 5 m. A equação da superfície é x = y2/a, com a = 4 m. A profundidade da água à direita da comporta é D = 4 m. Determine o módulo da força, Fa, aplicada como mostrado, requerida para manter a comporta em equilíbrio se o peso da comporta for

desprezado.

Dados: Comporta de largura constante, w = 5 m. A equação da superfície no plano xy é x = y²/a, em que a = 4 m. A água tem profundidade D = 4 m à direita da comporta. A força Fa é aplicada como mostrado, e o peso da comporta deve ser desconsiderado. (Note que, por simplicidade, nós não mostramos a reação em O.) O.) Determinar: A força Fa requerida para manter a comporta em equilíbrio.







Solução: Vamos tomar os momentos em relação ao ponto O após encontrar os módulos e as localizações das forças horizontal e vertical vertical devido à ação da água. O diagrama de corpo livre (DCL) do sistema é mostrado na parte (a) da figura. Antes Antes de prosseguir, prosseguir, devemos pensar sobre como calcular FV, a componente vertical vertical da força do fluido — já estabelecemos que ela é igual (em módulo e localização) ao peso do fluido diretamente acima da superfície. Entretanto, não temos fluido nessa região, o que pode nos levar à falsa conclusão de que não existe força vertical. Nesse caso, devemos “usar a a imaginação” para imaginação” para entender que esse problema é equivalente a um sistema com água em ambos os lados lados da comporta (com (com forças nulas sobre ela), menos um sistema com água diretamente acima da comporta comporta (com forças não nulas sobre ela). Esta lógica lógica é demonstrada acima: o sistema DCL (a) = o DCL nulo (b) — o DCL de forças do fluido (c). Desse modo, as forças vertical e horizontal do fluido sobre o sistema, DCL (a), são iguais e opostas àquelas sobre o DCL (c). Em resumo, o módulo e a localização da força fluida vertical, FV, são dadas pelo peso e a posição do centroide do fluido “acima” da comporta; o módulo e a localização da força horizontal do fluido, FH,





e Ixx = wD3/12.

 =   = ℎ    ² kg m 4m =  2 = 2 =999 m³ ×9,81 s² × 2  ×5m× kg.N.sm²  = /12 =     =    = 2  /2 26  23  = 23 ×4m=2,67m  = ,   Para FV, é necessário calcular o peso da água “acima” da “acima” da comporta. Para fazer isso, definimos uma coluna de volume diferencial ( D – y)w dx e inegramos

     =Ɐ=  − =   −  /  =[− 23  /] , =³ − 23 √  ³/² = ³ 3

 =999 m³kg ×9,81 s²m ×5m× 4³m³ × 1 × N.s² =261kN





′ = ²− ² −  / , = ² −  √  /² = ²  = 3 = 3 × 4²m² =1,2m  =  10 10 10 4m  =  ,   Uma vez determinadas as forças do fluido, podemos agora tomar os momentos sobre O (tendo o cuidado de aplicar os sinais apropriados), usando os resultados da Eqs. (1) a (4)

  =− ′   −  = 0  = 1    −  = 15 1,1,2m×261kN m×261kN 4−2,677m×392kN m×392kN  =





Exercício 3.8 3.8 Um balão de ar quente (com a forma aproximada de uma esfera de 15 m de diâmetro) deve levantar um cesto com carga de 2670 N. Até que temperatura o ar deve ser aquecido de modo a possibilitar a decolagem?

Dados: Atmosfera na condição-padrão, diâmetro do balãod = 15 m e carga de peso Wcarga = 2670 N. Determinar: A temperatura do ar quente para decolagem. Solução: Aplique a equação do empuxo para determinar a sustentação gerada pela atmosfera, e aplique a equação de equilíbrio de forças verticais para obter a massa específica do ar quente. Em seguida, use a equação do gás ideal para obter a





  = px − r qt − cr = tⱯ−r qtⱯ−cr = 0 r qt r qt = t − Ɐcr = t − 6cr 2670Nm³ × 81ms² × kg.N.sm² =1,277 m³kg − 6 × 15 r qt = 1,227−0,154 mkg =1,073 m³kg

Rearranjando e resolvendo para

(usando dados do Apêndice A),

Finalmente, para obter a temperatura do ar quente, podemos usar a equação do gás ideal na seguinte forma

  r qt t = r qtr qt tt r qt t t = 27315 r qt = t rqt 27315°K× °K × 1,1,202773 =329°K =

  =°

Exercícios Resolvidos Fenômenos de Transporte A

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