EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMÁTICA 2º GRAU
Exercícios de Matemática 2º Grau
Exercícios: Matemática - Resolvidos
Assunto:
Exercícios Resolvidos de Matemática
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMUNS EM CONCURSOS PÚBLICOS RESOLVIDOS E COMENTADOS
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Exercícios: Matemática - Resolvidos
Assunto:
Exercícios Resolvidos de Matemática
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMUNS EM CONCURSOS PÚBLICOS RESOLVIDOS E COMENTADOS
2
Exercícios: Matemática - Resolvidos
3
Exercícios: Matemática - Resolvidos
EXERCÍCIOS 1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e uma segunda torneira pode fazê-lo em 15 horas. Qual será o tempo necessário para encher 2/3 do reservatório se as duas torneiras forem ligadas simultaneamente? SOLUÇÃO
Uma torneira leva três horas,
•
x 15
x 3
representa a potência dela. Outra torneira leva 15 horas,
representa a potência dela. Trabalho a realizar corresponde a
2 3
Cálculo; Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado x 3
x 15
=
2 3
multiplique tudo pelo MMC que é 15;
•
(
+
x 3
+
x 15
=
2 3
)*15
5x + x= 10 •
6x=10
x=
10
x=
6
5 3
observe que o tempo é dado em hora, logo já sabemos que x representa o tempo, então
o tempo gasto será
5 3
de horas. Vamos descobrir o tempo em uma linguagem mais comum,
substituindo horas por minutos. 5 3
* 60 minutos =
300 3
minutos que é equivalente a 1 hora e 40 minutos.
=======================================================================
2. Recebi uma quantia e gastei 3/7 da mesma. Sabendo que me restam R$ 6000,00, qual foi a quantia que recebi? SOLUÇÃO
Vamos representar a mesada por W. W= Mesada
4
Exercícios: Matemática - Resolvidos
Ele gastou
•
3 7 3
•
7
3
da mesada, ou seja
7
W para W, faltam
Cálculo: 4 7
de W, que representamos da seguinte maneira:
7
W. 4 7
Sobraram 6000, logo,
•
3
W= 6000 W=
6000 4
W, que é o resto. 4 7
W= 6000
* 7
W= 1500 * 7
W= R$ 10.500,00
=======================================================================
3. Com 240 litros, preenchi 5/12 de um tanque. Quantos litros são necessários para encher o tanque? SOLUÇÃO
Vamos representar a capacidade do tanque pela letra Y Y= capacidade •
5 12 •
Ele colocou 240 litros e ocupou Y= 240
Y=
240 *12 5
5 12
Y= 48*12
da capacidade do tanque, logo. Y= 576
A capacidade do tanque é para 576 litros d’água.
=======================================================================
4. Três irmãos receberam uma herança. Ao mais velho coube 1/3 dessa herança. Ao mais jovem couberam ¾ do resto, ficando R$ 1200,00 para o terceiro irmão. Qual foi o valor da herança deixada? SOLUÇÃO Herança = X Mais velho =
1 3
X
Mais jovem =
3 4
do resto
5
Resto = X -
1 3
X
Exercícios: Matemática - Resolvidos
Outro Irmão = 1200 Cálculo: 1
X-
3
(X -
X-
1 3
X-
3 4
(X-
3 4
1
X) = 1200
3
(X-
1
X) = 1200)* 12
3
8X – 9X + 3X = 1200*12 •
Obs. Multiplique tudo pelo MMC, que é 12 12X – 4X - 9( X 2X= 1200*12
X=
1 3
X)= 1200*12
1200 *12
X= 7200
2
O valor total da Herança era R$ 7.200,00.
=======================================================================
5. Maria saiu de casa para fazer compras. Gastou 2/7 do que possuía no armazém e ¼ do que restou numa butique. Sabendo que Maria chegara em casa com R$ 3000,00, com que quantia Maria saiu de casa? SOLUÇÃO
O dinheiro que ela saiu de casa é K Dinheiro = K Supermercado = 3000,00 Resto = K Cálculo:
K(K -
2 7
K-
2 7
K-
1 4 1 4
2 7
2 7
K
Loja de Tecidos =
K
(K (K -
1 4
do resto
Loja de Tecidos =
2 7
K)= 3000
2 7
Chegou em casa com R$ 1 4
(K -
2 7
K)
Obs. Multiplique tudo pelo MMC, para facilitar.
K)= 3000 )*28
28K – 8K – 7K + 2K = 28*3000
15K= 28*3000
K=
28 * 3000 15
K= 28 * 200 K= 5.600 Ela saiu de casa com R$ 5.600,00. • ======================================================================= 6
Exercícios: Matemática - Resolvidos 6. Carpinteiro fez num primeiro dia de trabalho, 2/9 de uma cerca; no segundo dia fez 5/8 desta mesma cerca. Sabendo que no terceiro dia ele fez 220 centímetros e completou a obra, qual é o comprimento desta cerca? SOLUÇÃO
Comprimento do muro = X 2
1º dia =
9
X
2º dia =
5 8
X
3º dia = 220 centímetros
Cálculo: 2 9
X+
5 8
X + 220= X
(220= X -
8
X-
2 9
72 * 220
X= •
5
220= X -
X)* 72
8
2
X-
9
X
Obs. Multiplique pelo MMC.
220 *72= 72X – 45X – 16X
X= 20 * 72
11
5
11X= 72 * 220
X= 1440
O comprimento do muro é 1440 centímetroS ou 14,40 metros.
=======================================================================
7. Fui fazer compras com uma certa quantia de dinheiro. 1/8 desta quantia foi gasto com açougue, ¼ no armazém, a farmácia consumiu a metade do dinheiro e sobraram-me R$ 1000,00. Qual era a quantia inicial? SOLUÇÃO
O dinheiro que ela levou = B 1
Açougue = B 8
1000 1
B-
8
(B •
Armazém =
B-
1 8
B-
1 4
B-
1 4
B-
1 2
B= 1000
1 2
1 4
B
Farmácia =
1 2
B
Sobrou =
Obs. Multiplique pelo MMC.
B= 1000)* 8
8B - B - 2B – 4B= 8000
B= 8000
A quantia inicial era R$ 8.000,00
======================================================================= 7
Exercícios: Matemática - Resolvidos
8. Qual é o número de alunos de uma escola sabendo-se que os homens somam 600 alunos e as mulheres representam 2/3 de todos os alunos da escola? SOLUÇÃO
O total de alunos = Q Se as mulheres são
•
2 3
Q+
1 3
Mulheres = 2 3
3
Q= 600
•
3
Q
Q, os homens só podem ser
Homens = 600 1 3
Q, pois, Q são todos os alunos e :
Q= Q 1
Homens = 600 1
2
3
Q= Homens,
1Q= 600*3
substituindo teremos,
Q= 1800
Na escola estudam 1800 alunos.
=======================================================================
9. Qual é o tempo gasto por duas torneiras trabalhando juntas para encher uma caixa d’água; sabendo que individualmente uma leva 5 horas e a outra 7 horas? SOLUÇÃO •
Similar ao exercício 1.
1ª torneira leva 5 horas para encher sozinha o reservatório, logo a potência dela será
P 5
.A
2ª torneira leva 7 horas para encher o mesmo reservatório sozinha, logo sua potência será P . Devemos colocar as duas juntas para encher o reservatório todo, ou seja, 1 reservatório, 7
logo o trabalho a ser realizado é 1. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado P P P P + = 1 ( + = 1 )*35 7P + 5P= 35 12P= 35 5
•
P=
7
5
7
P=
35 12
horas
Multiplicando por 60 para sabermos a quantidade de minutos: 35 12
*60 P= 5*35 minutos
P= 175 minutos
P= 2 horas e 55 minutos
=======================================================================
8
Exercícios: Matemática - Resolvidos
10. Uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra em 6 horas. As duas torneiras ligadas simultaneamente, encherão o tanque em quanto tempo? SOLUÇÃO
Similar ao anterior, mesmo raciocínio; 1 4
G+
G=
12 5
1 6
G= 1
horas
1
1
4
6
( G+ G=
12 5
G= 1 )*12
* 60 minutos
3G + 2G= 12
5G= 12
G= 144 minutos
G= 2 horas e 24 minutos. =======================================================================
11. Se uma torneira encher um reservatório em 2 horas e outra o esvaziar em 3 horas. Estando as duas simultaneamente abertas, qual será o tempo necessário para encher o reservatório? SOLUÇÃO
1ª torneira enche o tanque em duas horas, logo sua potência será
K 2
.
K 2ª Torneira esvazia o tanque em 3 horas, logo sua potência será - , observe que esta faz 3
justamente o contrário da primeira, ou seja, a primeira enche e ela esvazia, logo, ela é uma potência negativa. O trabalho a ser realizado é 1, pois precisamos encher 1 tanque. Cálculo. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado K K K K + (- )= 1 - =1 2
3
2
3
(
K 2
-
K 3
= 1)*6
3K - 2K= 6
K= 6 horas •
O tempo necessário será de 6 horas.
=======================================================================
9
Exercícios: Matemática - Resolvidos
12. Subtraindo-se 3/8 de um número, obtermos 60. Qual é o número? SOLUÇÃO
O número é X 3
X-
8 60 * 8
X= •
X= 60 5
(X -
3 8
X= 60)*8
8X – 3X= 60*8
X= 12*8
5X= 60*8
X= 96
O número é 96
=======================================================================
13. Comprei uma moto por R$ 6000,00, dando de entrada uma quantia equivalente a um número cuja soma entre ele e seus 5/6 é R$ 2.200,00. Se o restante for pago em prestações mensais de R$ 200,00, quanto tempo será necessário para quitar o resto da dívida? SOLUÇÃO
Preço da moto = 6000 Na entrada tem uma charadinha simples. X= entrada 5
X+ (X + X=
X= 2200
Obs. Multiplique tudo pelo MMC.
X= 2200)* 6
6X + 5X= 2200*6
6 5
6 2200 * 6 11
X= 200*6
11X= 2200*6
X= 1200
Agora que achamos o valor da entrada, podemos calcular o restante e dividir por 200 para ver em quantas parcelas vamos pagar. Restante = 6000- entrada
Restante = 6000- X
Restante = 6000 - 1200 Re s tan te Quantidade de Parcelas =
Restante = 4800 Quantidade de parcelas =
200
4800 200
Quantidade de parcelas = 24
=======================================================================
10
Exercícios: Matemática - Resolvidos
14. Somando minha idade a ¾ da idade de gêmeo, obtermos 35 anos. Há quantos anos eu nasci? SOLUÇÃO
Se for meu irmão gêmeo, logo temos a mesma idade.
•
Idade = K K+
3
K=
140
4
K= 35
7
(K +
3 4
K= 35)* 4
4K + 3K= 140
7K= 140
K= 20
=======================================================================
15. A soma da idade do tio e do sobrinho é 52. Descubra a idade de cada um, sabendo que o sobrinho tem a idade correspondente a 1/3 da idade do tio? SOLUÇÃO 1
Idade do pai = W W+
1 3
idade do filho = W
W= 52
(W +
4W=52 * 3
W=
1
1
1
3
3
3
W= *39
•
(idade do pai)+(idade do filho)= 52 anos
3
1 3
W= 52)* 3
52 * 3 4
3W + W= 52*3 W= 13 * 3
W= 39
W= 13
A idade do pai é 39 anos e a idade do filho corresponde a 13 anos.
=======================================================================
16. Meu salário diminuído de 20%, corresponderá a R$ 720,00. Qual é o meu salário? SOLUÇÃO •
•
Meu salário = X 720 80%X= 720
X – 20%X= 720
X= 100%X
11
100%X – 20%X=
Exercícios: Matemática - Resolvidos Se eu retirar 20% de alguma coisa, é óbvio que o que sobrar será correspondente a 80% desta mesma coisa.
•
Cálculo. Regra de Três Valor
% 80 100
=
720
80X= 720 * 100
X
X=
720 * 100
X = 9* 100
80
X= 900 Meu salário é R$ 900,00, mixaria não é? • =======================================================================
17. Gastei 1/3 do meu dinheiro para pagamento de dívidas atrasadas, do que restou, coloquei 2/3 na poupança e ainda fiquei com R$ 400,00. Qual era o valor correspondente a meu dinheiro? SOLUÇÃO
Similar ao anterior. •
Salário = Z
Aluguel =
Cálculo
1 3
Z
Poupança =
Aluguel + poupança + resto = salário
1
1
( Z+
3
Z+
2 3
Z-
2 9
3
Z + 400= Z
3Z + 6Z – 2Z + 9 * 400= 9Z
2 3
(Z -
1
2
3
3
Z-
1 3
3
(Z -
1 3
Z ) Resto = 400
Z ) + 400= Z 2 9
Z + 400= Z)* 9
400*9 = 9Z – 3Z - 6Z + 2Z 400 * 9
2Z= 400 * 9
Z=
Z= 200 * 9
Z= 1800
•
Z+
2
2
A resposta é R$ 1.800,00
=======================================================================
12
Exercícios: Matemática - Resolvidos 18. A soma da idade da idade do pai com a do filho é igual a 55 anos. Determine a idade de cada um sabendo que a idade do filho é 3/8 da idade do pai? SOLUÇÃO •
A soma da idade dos dois é 55
•
A idade do mais velho é X
A de um corresponde a
3 8
da idade do outro
Cálculo; X+ X= •
3 8
X= 55
55 * 8
(X +
3
X= 55)* 8
8
8X + 3X= 55 * 8
X= 5*8
11
11X= 55*8
X= 40
O mais velho tem 40 anos e o mais novo tem 15 anos.
=======================================================================
19. José recebeu o pagamento de um acerto feito com a firma onde trabalha. Gastou o dinheiro da seguinte maneira: 1/3 pagou dívidas, ¼ comprou presentes para sua esposa e sobrou-lhe R$ 500,00. Qual era o valor do acerto? SOLUÇÃO • •
Similar aos anteriores, por isto vou fazer o cálculo X= o que ele recebeu Sobra = 500
Cálculo. 1
1
3
4
1
1
3
4
X - X − X = 500
(X - X − X = 500)* 12
5X= 500*12
X=
•
500 * 12 5
X= 100*12
12X-4X-3X= 500*12 X= 1200
A resposta é R$ 1.200,00.
=======================================================================
20. Maria percorreu numa primeira parte, um quinto da maratona, na segunda parte percorreu 2000 m e ainda ficaram faltando 2/3 da maratona a serem percorridos até o final da corrida. Quantos metros compreendia todo o percurso? 13
Exercícios: Matemática - Resolvidos
SOLUÇÃO 1
•
X= comprimento da maratona
1ª parte = X
•
Ficaram faltando = 2000 metros
2ª parte =
5
2 3
1
(X - X ) 5
Cálculo; X-
1 5
(X -
X1 5
2 3
X-
1
(X - X )= 2000 5
2 3
X+
4X= 2000*15 •
(X-
2 15
1 5
X-
2 3
X = 2000 )* 15
X=
2000 * 15 4
1
(X - X )= 2000 )* 15 5
15X - 3X -10X + 2X= 2000*15 X= 500 * 15
X= 7.500
A resposta é 7.500 metros;
=======================================================================
21. Dois datilógrafos estão trabalhando simultaneamente para cumprir uma determinada tarefa. Quanto tempo será necessário, se um deles sozinho a realizaria em 20 horas e o outro, trabalhando sozinho a realizaria em 12 horas? SOLUÇÃO
Este é similar aos exercícios 1,9, 10, 11... •
Temos duas potências: 1º datilógrafo, potência
•
Trabalho = 1, pois, trata-se de uma 1 tarefa.
x 20
; 2º datilógrafo, potência
x 12
.
Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado x 20
X=
+
x 12
=1
60 8
X= 15*30
(
x 20
X=
+ 15 2
x 12
= 1)* 60
Horas
3x + 5x= 60 X=
X= 450
15 2
8x= 60
* 60 minutos X= 7 horas e 30 minutos
=======================================================================
14
Exercícios: Matemática - Resolvidos
22. Um fruticultor, para encher uma camioneta de melões, demora 45 minutos. Sua mulher, para vender todos os melões, estando a camioneta cheia, demora 60 minutos. Se os dois iniciarem as atividades juntos, em quanto tempo o veículo estará cheio? SOLUÇÃO
Este exercício é similar ao anterior •
Fruticultor = 1X
Mulher = -
X 3
=-
4 x 3
(negativo devido ela está trabalhando em
4
•
sentido contrário ao de seu marido) Trabalho = 1, pois, só se refere a encher uma camioneta.
Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado 4 x 4 x X + (- )= 1 (X + (- )= 1)*3 3
3
3x – 4x= 3
-x= 3 horas
Obs. Como não existe tempo negativo, então podemos dizer que a resposta será: x= 3 horas =======================================================================
23. Uma torneira enche um tanque em 9 horas e outra em 12 horas. Essas duas funcionando juntas, mais uma terceira, o tanque ficará cheio em 4 horas. Quanto tempo a terceira torneira necessita para encher o mesmo tanque funcionando sozinha? SOLUÇÃO •
•
Observe que neste exercício, não o tempo que estamos procurando e sim, uma das potências, portanto, a variável K, deve representar este valor. 1ª potência = horas
•
1 9
Potência Total =
2ª potência =
1
3ª potência =
12
1
K
Trabalho 1 = tempo 4
Potência 1 + Potência 2 + potência 3= potência total 1 9
+
1 12
+
1
K
=
36= 9K-4K-3K
1 4
(
1 9
+
1 12
+
1
K
=
1 4
)* 36K
2K=36
4K+3K+36=9K K=
15
36 2
K= 18
Tempo = 4
Exercícios: Matemática - Resolvidos
•
Como os denominadores representam o tempo que cada torneira leva para fazer o trabalho sozinha, logo, o tempo gasto pela terceira torneira será 18 horas.
=======================================================================
24. João recebeu seu 13º salário e resolveu gastá-lo da maneira seguinte: metade guardou na caderneta de poupança; 3/5 do que sobrou, comprou presentes para a família e o restante, R$ 50,00, usou para a ceia de natal. Quanto ele recebeu de 13º salário? SOLUÇÃO
Este exercício é similar ao exercício 17, portanto farei somente o cálculo. Salário =X 1
3
1
2
5
2
1
3
1
2
5
2
X - X − ( X − X ) = 50
(X - X − ( X − X ) = 50 )*10
10X – 5X – 6X + 3X= 500
2X= 500
X=
500
X= 250
2
=======================================================================
25. Ivete usou 2/5 de seu salário em alimentação, 1/3 em aluguel e outras contas, gastando também R$ 200,00 com roupas. Quando percebeu, só tinha R$ 300,00, portanto, qual era o salário recebido por Ivete? SOLUÇÃO
Este é similar ao 20. Salário = S 2
1
5
3
S − S − S − 200 = 300 (S
−
15S
2 5
−
1
S− S
6S
3
−
5S
S= 125*15
2
1
5
3
( S − S − S − 200 = 300 )*15
=
300 + 200) *15
(S
=
500 * 15
4S
−
=
2 5
1
S− S 3
=
15 * 500
S= 1875
500) *15
S=
15 * 500 4
=======================================================================
16
Exercícios: Matemática - Resolvidos
26. Numa corrida de 5000 m, sob um calor de 38 graus, um quarto dos competidores abandonou a prova nos primeiros 2000 m, e, em seguida, aos 3500 m, um sétimo dos competidores abandonaram também a prova. Sabendo que somente 17 competidores terminaram a prova, quantos competidores iniciaram a prova? SOLUÇÃO
Similar ao anterior veja o cálculo. C= número de competidores que iniciaram a corrida 1
1
4
7
28C-7C- 4C=17*28 C=
1
1
4
7
( C − C − C = 17 )*28
C − C − C = 17 17 * 28
17C=17*28 C=28
17
=======================================================================
27. Numa indústria o número de mulheres é igual a 3/5 do número de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o número de mulheres seria igual a metade dos funcionários. Quantos homens e quantas mulheres trabalham na indústria? SOLUÇÃO
H= homens
M= H 5
No problema fala que contratando mais 20 mulheres, o número de mulheres se equipara ao número de homens, logo: M+20=H
•
3
M+20=H
Substituindo M= H , termos 5
3
3 ( H + 20 = H ) * 5 5
H + 20 = H
5
100 •
3
M= mulheres
=
5 H − 3 H
100 = 2 H
3 H + 100 = 5 H
H =
100 2
H = 50
Agora que sabemos que a quantidade de homens é 50, fica fácil descobrir a quantidade de mulher. 3
M= H 5
M=
3 5
*50
M= 3*10
M=30
50 homens e 30 mulheres. ======================================================================= 17
Exercícios: Matemática - Resolvidos
28. Num terreno de 490m2, a área construída é de 2/7 da metade do terreno acrescida de 68m2. Quanto mede a área livre do terreno? SOLUÇÃO •
•
2 é da metade da área 490 m2 é a área total 7 área Área livre = 490 m2 – ( 2 7 *245 + 68 m2)
Área livre = 490 – ( 2 7 *245 +68) Área livre = 352
245 m2 é a metade da
Área livre = 490 – 138
m2
=======================================================================
29. O triplo da quantia que Rui tem, menos R$ 100,00 é igual a R$ 500,00. Qual é a quantia que Rui possui? SOLUÇÃO
Muito elementar X= valor • 3 X − 100 600
X =
=
3 X = 500 + 100
500
3 X = 600
X = 200
3
O valor é R$ 200,00. =======================================================================
30. Cristina e Karina possuem juntas R$ 280,00. Cristina têm R$ 60,00 a mais que Karina. Qual é a quantia que cada uma possui? SOLUÇÃO
Cristina = C
Karina = K
C + K = 280
C = K + 60
agora vamos substituir C por (K+60) 18
Exercícios: Matemática - Resolvidos K + K + 60 = 280 K =
220 2
2 K = 280 − 60
2 K = 220
K = 110
Karina = R$ 110,00 Cristina = R$ 170,00
Cristina = Karina +60
Cristina = 110 + 60
=======================================================================
31. Uma TV e uma geladeira custam, juntas, R$ 1800,00. A geladeira custa R$ 400,00 a mais que a TV. Qual é o preço de cada objeto? SOLUÇÃO
Objeto = X
Objeto = K
X + K = 1.800
X = K + 400
K + K + 400 = 1.800
2 K = 1.800 − 400
2 K = 1400
K = 700
X = 700 + 400
X = 1100
•
K =
1.400 2
Um custa R$ 700,00 e o outro R$ 1100,00.
=======================================================================
32. Num torneio internacional, Luiz Fabiano e Ronaldo marcaram juntos 12 gols. Como Ronaldo marcou dois gols a mais que o companheiro Luiz Fabiano, quantos gols marcaram cada um? SOLUÇÃO L + R = 12 L = 5
R = L + 2 R = 7
L + L + 2 = 12
2 L
=
10
=======================================================================
33. Pedro tem um terreno de 540m2. Pedro realizou uma construção nesse terreno. Sabe-se que a área construída é de 2/9 da propriedade. Sabendo-se que 20% da área construída consumiu 38 sacos de cimento e que, o saco de cimento custa R$ 15,00. Quanto foi gasto com cimento na obra?
19
Exercícios: Matemática - Resolvidos SOLUÇÃO •
Área do terreno = 540 m 2
Área construída =
2 9
* 540 = 120
•
20% da área construída consumiram 38 sacos de cimentos Um saco de cimento = R$ 15,00 20% da área construída = 38*15= R$ 570,00
•
20% da área construída =
•
Área construída total =
• •
5*
1 5 1
m2
da área construída
•
5 Custo total em cimentos = 5 * 38 *15
•
Custo total em cimentos = R$ 2850,00
=======================================================================
34. A soma de dois números consecutivos é 41. Quais são estes números? SOLUÇÃO •
Lembre-se: o sucessor de X e ( X + 1)
•
X + ( X + 1) = 41
2 X = 40
X =
A+B=41 B= 21
A=X
B= X+1
• •
40 2
X = 20
A=20
=======================================================================
35. A soma de dois números pares consecutivos, é equivalente a 86. Calcule estes dois números. SOLUÇÃO •
Lembre-se: o sucessor X, qdo. ele é par; é (X+2) e, (X+2) também será par.
A= X X =
B= X+2
A+B=86
X + ( X + 2) = 86
2 X = 84 84
A=42
2
X = 42
B=44
======================================================================= 20
Exercícios: Matemática - Resolvidos
36. 51 bolinhas devem ser repartidas entre 3 crianças, de modo que, a segunda tenha 3 bolinhas a mais que a primeira e a terceira tenha o dobro de bolinhas da primeira. Quantas bolinhas devem ser entregues a cada criança? SOLUÇÃO •
AS caixas são respectivamente A, B e C.
•
B = A + 3
C = 2 A
A + B + C = 51
A + ( A + 3) + 2 A = 51
4 A = 48
A =
A + A + 2 A = 51 − 3
48
A = 12
4 B = 15
A = 12
C = 24
=======================================================================
37. Roberto, Cíntia e Raquel têm, juntos, 38 anos. Roberto tem o dobro da idade de Raquel e Cíntia tem 6 anos a mais que Raquel. Qual a idade de Raquel? SOLUÇÃO • • • • •
ROBERTO + CÍNTIA + RAQUEL = 38 CÍNTIA = RAQUEL + 6 2 RAQUEL + RAQUEL + RAQUEL + 6 = 38
ROBERTO = 2 RAQUEL 4 RAQUEL = 38 − 6 32
RAQUEL =
4 RAQUEL = 32
4
RAQUEL = 8 ANOS
=======================================================================
38. Quantos anos têm Rogério, sabendo-se que o dobro da idade somado a sexta parte desta mesma idade, é igual a 26? SOLUÇÃO 1
•
2 ROGÉRIO +
•
12 ROGÉRIO + ROGÉRIO
6
ROGÉRIO = 26 =
26 * 6
(2 ROGÉRIO +
1
ROGÉRIO = 26) * 6
6 13 ROGÉRIO = 26 * 6
21
Exercícios: Matemática - Resolvidos
• •
ROGÉRIO =
26 * 6
ROGÉRIO = 2 * 6
13 ROGÉRIO = 12 ANOS
=======================================================================
39. Subtraindo 18 do triplo de um número, obtém-se ¾ desse número. Descubra o número? SOLUÇÃO 3
•
3 X − 18 =
•
12 X − 3 X = 18 * 4
9 X = 18 * 4
•
X = 2 * 4
X = 8
4
X
(3 X − 18 =
3 4
X ) * 4
12 X − 4 *18 = 3 X
X =
18 * 4 9
=======================================================================
40. A medida da altura de um retângulo é equivalente a 2/3 da medida da base. Determine as dimensões sabendo que o perímetro é 60 m. SOLUÇÃO Lado A
Base B •
A figura acima é um retângulo;
•
Segundo dados do problema, A = B
2 3
•
O perímetro é a soma de todos o lados = Perímetro = 60 m
•
2 A + 2 B =
60
2*
•
4 B + 6 B
60 * 3
10 B
•
Base = 18 meros
•
=
2 A + 2 B
2
B + 2 B = 60
(2 *
3
=
B =
180
2
B + 2 B = 60) * 3
3 180 10
Altura = 12 metros
=======================================================================
22
Exercícios: Matemática - Resolvidos
41. Sabendo que o comprimento da base retângulo é equivalente ao triplo do comprimento da altura e que o perímetro é 80 metros. Qual é o valor correspondente a base e a altura deste retângulo? SOLUÇÃO • •
Similar ao anterior, então veja só o cálculo; B= base A= altura B = 3 A = 2 B + 2 A
•
2 B + 2 A =80
2 * 3 A + 2 A = 80
•
A = 10
B = 30
perímetro=80 A =
8 A = 80
perímetro 80 8
=======================================================================
42. As idades de dois irmãos são correspondentes a dois números pares consecutivos cuja soma resulta 38. Quais são as idades dos dois? SOLUÇÃO •
Similar ao 35, então veja somente o cálculo; A + B = 38 A = X B = X + 2
X + ( X + 2) = 38
•
2 X + 2 = 38
2 X = 38 − 2
2 X = 36
X =
•
X = 18
A = 18
B = 20
•
36 2
=======================================================================
43. Determine dois números ímpares consecutivos sabendo que a soma deles corresponde a 44. SOLUÇÃO •
Sempre que o problema falar em número pares ou ímpares consecutivos, você vai usa X e ( X+2), caso sejam apenas números consecutivos, x e ( x+1).
•
A = X
B = X + 2
•
2 X = 44 − 2
X =
•
A = 21
B =
42 2 23
A + B = 44
X + ( X + 2) = 44
X = 21
=======================================================================
23
Exercícios: Matemática - Resolvidos
44. A medida da base e da altura de retângulo são correspondente a dois números ímpares e consecutivos. Sabendo que o perímetro deste retângulo é 64 metros, determine a medida da base e da altura. SOLUÇÃO
•
Já fizemos um exercício envolvendo perímetro Perímetro = 2A+2B=64 Somados da base com a altura = A+B=32 A= X B= X+2
•
X + X + 2 = 32
•
A= 15m
• •
X =
2 X = 30
30
X = 30
2
B= 17m
=======================================================================
45. A soma da idade do pai e do filho é 55 anos, e que a idade do filho corresponde a idade do pai. Qual a idade de cada um?
3 8
da
SOLUÇÃO •
Este exercício já foi resolvido anteriormente;
•
Pai =X
•
X + X = 55
•
X =
•
Pai = 40 anos
3
filho = X
3
8 55 * 8
8
( X +
11
3 8
X = 55) * 8
8 X + 3 X = 55 * 8
X = 5 * 8
X = 40 3
Filho = X
Filho =
8
3 8
* 40
11 X = 55 * 8
Filho = 15 anos
=======================================================================
46. A idade do filho é igual a quinta parte da idade de seu pai acrescida de 2. Qual a idade de cada um se a idade dos dois juntas somariam 50? SOLUÇÃO •
Similar ao anterior
•
Pai = X
1
Filho = X + 2 5
Pai + Filho = 50
24
Exercícios: Matemática - Resolvidos 1
1
•
X + X + 2 = 50
( X + X + 2 = 50 )* 5
•
6 X = 250 − 10
6 X = 240
•
Pai = 40 anos
5
5 X +
5
Filho =
X = 1 5
240
X + 10 = 250 X = 40
6
Filho = 10 anos
* 40 + 2
=======================================================================
47. Um aluno perguntou ao professor de matemática qual era sua idade. O professor respondeu:_
2 5
de minha idade adicionado a 3 é igual à metade de minha idade. Qual era a
idade do professor? SOLUÇÃO •
Similar ao 39.
•
Idade = X
•
(3 =
•
A idade do professor é 30 anos.
1 2
2 5 2
X − X ) *10 5
1
X + 3 = X
3=
2
30 = 5 X − 4 X
1 2
2
X − X 5
X = 30
=======================================================================
48. Numa escola os alunos da 5ª série estão agrupados em turmas de 40 alunos, distribuídas em 2 andares com 3 turmas cada um. Quantos alunos da 5ª série existem nessa escola? SOLUÇÃO • •
Este é uma simples multiplicação; andares * turmas * alunos = quantidade de alunos da 5ª série
2 * 3 * 40
=
240alunos
=======================================================================
25
Exercícios: Matemática - Resolvidos 49. A família A, de 5 pessoas e a família B, de 4 pessoas, combinaram de passar as férias em uma casa de campo, com as despesas comum, distribuída conforme o número de pessoas de cada família. Terminadas as férias, verificou-se que a família A gastara R$ 842,40 e família B gastara R$ 934,20; razão pela qual tiveram que fazer uns ajustes nas contas. Que quantia a família A teve que dar à família B, já que as despesas eram comuns? SOLUÇÃO
•
Família A = 5 pessoas Família B = 4 pessoas Família A gastou R$ 842,40 Família B gastou R$ 934,20 Gasto total = R$ 1776,60 Lembre-se, as despesas são comuns, divididas conformes o número de integrantes de cada família. O gasto total será dividido em 9 cotas iguais, sendo que 4 destas cotas serão pagas pela família B e as outras 5 cotas serão pagas pela família A. 842,4 + 934,2 1776,6 FamíliaA + famíliaB cot a = cot a = cot a =
•
cot a
• • •
• • •
•
• •
9
=
9
9
197,4
FamíliaA = 5 *197,6 FamíliaA = R$987,00
FamíliaB = 4 *197,4 FamíliaB = R$790,40
Observe que a Família A gastou bem menos do que teve que pagar, visto que as despesas eram comuns; observe também, que a Família B, gastou bem mais que o que deveria pagar, este excesso, fora pago pela família A. Calculemos esta diferença: (Família A teve de pagar) – (Família A gastou) = (Gasto da Família B, pago pela Família A) 987,00 − 842,40 = excesso excesso = 144,60 A Família A, pagou R$ 144,60 dos gastos feito pela família B.
=======================================================================
50. A quantidade de selos que tenho, mais a sua metade, mais a quinta parte, mais sua terça parte menos 200 somam um total de 410 selos. Quanto representa 30% de selos que possuo? SOLUÇÃO • • •
• •
Vários exercícios similares a este já foram solucionados, então veja somente o cálculo; X= quantidade de selos 1
1
1
2 1
3 1
5 1
X + X + X + X − 200 = 410 ( X +
X + X + X = 610) * 30 2 3 5 30 X + 15 X + 10 X + 6 X = 610 * 30
26
Exercícios: Matemática - Resolvidos
•
61 X = 61 * 300
•
X = 300
•
•
X =
61 * 300 61
A quantidade de selos do camarada é 300, mas ele está solicitando somente uma informação referente à 30% destes selos; Re sposta
=
30% * 300 =
30 100
* 300 =
3 10
* 300 =
3 * 300 10
=
3 * 30 = 90
=======================================================================
51. A idade do filho é igual a ¼ da idade do pai. Qual a idade do filho, sabendo que a soma das duas é 50? SOLUÇÃO •
Já foram resolvidos vários exercícios similares a este, então veja o cálculo
•
Pai = B
•
B + B = 50
1
Filho = B 5 B
1
•
4 B = 40
•
= 40 anos
Pai + Filho = 50
4
4
=
B = 50 *
50
4 5
Pai Filho = 10 anos
=======================================================================
52. Pedro, funcionário de uma empresa, recebeu o salário do mês e o gastou da seguinte maneira:
1 5
comprou roupas; 20% do que sobrou, comprou alimentação. Sobraram R$
160,00. Quanto Pedro gastou com alimentação? SOLUÇÃO 1
•
A lim entação = 20% * (S − S )
•
A lim entação = * (250 − 50)
•
A lim entação = R$40,00
5
1
5
1
a lim entação = 20% * (250 − * 250) 5
1
A lim entação = * 200 5
=======================================================================
27
Exercícios: Matemática - Resolvidos
53. Carlos recebeu o salário e o gastou da seguinte maneira: 40% do salário comprou roupas;
2
comprou sapatos; metade do que sobrou comprou presentes para a namorada.
5
Sobraram R$ 50,00. Qual o salário de Carlos? SOLUÇÃO •
Este é similar ao anterior, inclusive, mais fácil, pois, pede apenas o salário.
•
Salário = X 40% =
40
=
2
Re sto
100 5 40 2
=
5
40
2
100
2
X −
•
X − X − X − ( X − X − X ) = 50
•
X − X − X − ( X − X ) = 50
5 2
5
X − X ) = 50 5
2
1
2
2
5 2
2 1
5 4
5
•
5 2 5 1 1 X − X − ( X ) = 50 5 2 5 10 X − 8 X − X = 500
•
O salário corresponde a R$ 500,00
•
5
2
1
X − X − ( X −
Sapatos = X
X − (40% * X + X )
•
100 2
2
Roupas = 40% de X
5 4
( X −
4
X −
5 X = 500
1 10
X = 50) *10
=======================================================================
54. Uma senhora comprou 10 dúzias de ovos e 3 galinhas por R$ 1.500,00 ( que diabo de galinha cara é esta). Quanto custou cada ovo e cada galinha sabendo que uma galinha custa o mesmo que 10 ovos? SOLUÇÃO •
Para resolver este problema, temos de desenvolver um sistema de equações do primeiro grau, onde uma das equações será referente ao preço e outra à igualdade entre ovos e galinhas.
•
120OVOS 120OVOS
•
150OVOS
•
GALINHA = 10 *10 = 100
•
3GALINHAS = 1500 + 3 * 10OVOS = 1500 +
=
1500
1GALINHA = 10OVOS 120OVOS + 30OVOS = 1500 1500
OVOS
=
150
OVOS = 10
======================================================================= 28
Exercícios: Matemática - Resolvidos
55. Um operário ganha R$ 120,00 por dia trabalhado e paga multa de R$ 50,00 por falta injustificada. Depois de 60 dias, este operário recebeu proventos na ordem de R$ 6.350,00. Quantos dias ele efetivamente trabalhou? SOLUÇÃO
•
Dia trabalhado =R$ 120,00 Falta não justificada = R$ 50,00 T é dia trabalhado F é falta não justificada Somando os dias trabalhados e as faltas, resultará em 60 dias, O dinheiro que ele recebeu pelos dias trabalhados, é equivalente a 120T, onde T representa o número de dias trabalhados; O dinheiro pago pelas faltas não justificadas, é 50F, onde F representa o número de faltas. A quantidade que ele recebeu é equivalente ao dinheiro recebido pelos dias trabalhados, subtraindo o valor pago palas faltas, Observando as informações acima, procedamos ao cálculo;
•
T + F = 60
•
Somando as duas equações acima, teremos uma solução.
• • • •
•
•
•
T + F = 60 120T − 50 F = 6350
120T − 50 F = 6350
, para somarmos este sistema com maior facilidade, vamos multiplicar
a primeira parcela por (50), isto não é necessário, só estou fazendo para facilitar o cálculo, podes somar da maneira em que o sistema está posto acima, mas o cálculo ficará bem mais complexo. Veja que ao multiplicar a primeira parcela por (50), a variável F, desaparecerá. •
(T + F = 60) * 50
50T + 50 F = 3000
120T − 50 F = 6350
120T − 50 F = 6350
50T = 3000 •
120T = 6350 170T = 9350
170T = 9350
T =
•
T = 55
•
Agora sabemos que ele trabalhou somente 55 dias, e faltou 5 dias.
9350 170
=======================================================================
29
Exercícios: Matemática - Resolvidos 56. Cláudia comprou 25 metros de cambraia e 12 metros de seda por R$ 4.800,00. Pergunta-se, quanto custou o metro de cada fazenda, já que o metro de cambraia custa R$ 30,00 menos que o metro de seda? SOLUÇÃO
•
Este exercício se resolve com sistemas de equações, igual aos 2 anteriores. C = cambraia S = seda C = 25 metros S = 12 metros Como esta mercadoria é vendida por metros, então procedamos; C = S – 30 25C +12S= 4.800 substituindo, teremos;
•
25( S
•
37 S
•
S
• • •
•
=
−
30) + 12 S =
=
4800
25 S
4.800 +
5550
750 S
37
−
750 + 12 S 37 S
=
=
=
4.800
5550
C = 120
150
A seda custa R$ 150,00 o metro, e a cambraia custa R$ 120,00.
=======================================================================
57. Numa festa filantrópica, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00 ( a graça de uma festa são as mulheres, não tem nem lógica se os convites custassem o mesmo preço para homens e mulheres, as mulheres deveriam entrar de graça). Sabendo que o número de mulheres excede o número de homens em 5 e que o valor arrecadado com os convites corresponde a R$ 550,00. Quantas mulheres foram a festa? SOLUÇÃO •
• • •
•
Mulheres = R$10,00 Homens = R$15,00
Mulheres
=
Arrecadação = R$550,00
Homens + 5
Sabemos que a arrecadação é a soma do dinheiro dos ingressos de homens e mulheres. Vamos armar as relações demos: 10mulheres + 15 hom ens = 550 Mulheres − hom ens = 5 10(hom ens + 5) + 15 hom ens 10 Homens + 50 + 15 Homnes 500
=
=
550 550
•
Homens =
•
Na festa havia 20 homens e 25 mulheres.
25
25 Homens
=
550 − 50
25 Homens
=
500
Homens = 20
=======================================================================
30
Exercícios: Matemática - Resolvidos
58. Numa granja ha 870 aves, entre galinhas e frangos. Cada galinha abatida vale R$ 3,00 e o frango abatido vale R$ 5,00. Considerando que o total apurado com o abate foi de R$ 3.150,00, quantos frangos foram abatidos? SOLUÇÃO •
galinhas + frangos = 870 3galinhas + 5 frangos = 3.150,00 ( galinhas + frangos
•
3 galinhas + 5 frangos −
870) * ( −3) =
3.150
Multiplicando por (-3), facilita.
3 galinhas − 3 frangos
3 galinhas + 5 frangos
•
2 frangos
2 frangos •
=
=
frangos =
galinhas = R$3,00 frangos = R$5,00
=
2610
= −
=
3.150
540
540
540 2
frangos = 270
=======================================================================
59. Num edifício ha apartamentos de 2 e 4 quartos para alugar. Ao todo são 58 apartamentos. O aluguel de um apartamento de 2 quartos custa R$ 400,00. Se todos os apartamentos fossem alugados, a receita seria de R$ 30.600,00. Acontece que somente apartamentos de 2 quartos foram alugados, resultando assim, num prejuízo de R$ 22.200,00. Pergunta-se quantos apartamentos não foram alugados e qual o valor do aluguel de cada um deles? SOLUÇÃO •
X = 2q Y = 4q
X representa os apartamentos de 2 quantos e Y os de 4 quartos
•
X + Y = 58 X = R$400,00 Y = ?
receita = R$30.600,00 Pr ejuízo = R$22.200,00 AlugueisX = receita − prejuízo
31
