Exercícios Resolvidos de PA
Exercícioss de P.A Exercício P. A 1. Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo. 2. Interpole seis meios aritméticos entre – 8 e 13. 3. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80. 4. 5. 6. Calcule quantos números inteiros existem existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3. 5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética. 6 - Numa progressão progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é: 6. Se Sn é a soma dos n primeiro primeiross termos da progressão aritmética aritmética (-90,-86,82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é: 8. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.
1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema: a1=5 r=11 a13=? - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo: a13 = 5 + (13 - 1).11 a13 = 5 + (12).11 a13 = 5 + 132 a13 = 137 2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo: a5 = a1 + (5 - 1).r 100 = a1 + (5 - 1).10 100 = a1 + 40 100 - 40 = a1 a1 = 60 3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão: a7 = a1 + (7 - 1).r Substituindo pelos valores valores 21 = a1 + 6r a9 = a1 + (9 - 1).r Substituindo pelos valores valores 27 = a1 + 8r Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda: a1 = 21 - 6r Agora, substituindo substituindo na segunda: segunda: 27 = (21 - 6r) + 8r 27 = 21 + 2r 27 - 21 = 2r
6 = 2r 6/2 = r r=3 4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é: (A) 8a (B) 7a (C) 6a (D) 5a (E) 4a - informações do problema: a1 = 23 r = -6 an = -13 n=? - Substituindo na fórmula do termo geral: an = a1 + (n-1)r -13 = 23 + (n - 1).(-6) -13 - 23 = -6n + 6 -36 - 6 = -6n -42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1) 6n = 42 n = 42/6 n = 7 Resposta certa letra "B 5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é: (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3
(D) 1/2 (E) 2 - Informações: a1= 2x a2= x+1 a3= 3x - Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja: a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1 a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2 - Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja: a2 - a1 = a3 - a2 - Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado: (x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1) x + 1 - 2x = 3x - x - 1 x - 2x - 3x + x= -1 - 1 -3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1) 3x = 2 x = 2/3 Resposta certa letra "B" 1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos? - Informações do problema: a1=100 a30=187 n=30 S30=? - Aplicando a fórmula da soma, temos:
S30 = (287) . 15 S30 = 4305 2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA: - Informações do problema: a1=21 r=7 S12=? - Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12. a12=a1+(12-1)7 a12=21+77 a12=98 - Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma: S12=(a1+a12)6 S12=(21+98)6 S12=119*6 S12= 714 3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é: (A) 195 (B) 190 (C) 27 (D) 26 (E) 25 - Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então,
vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só! - Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada. - À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão). - O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá S1=12+2.(1) S1=3 - Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3) - Se substituirmos "n" por 2, temos: S2=22+2.(2) S2=8 - Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo: S2=a1+a2=8 3+a2=8 a2=5 Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral: an=a1+(n-1)r a13=3+(13-1)2 a13=3+24 a13=27 Resposta certa letra "C"
1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 - Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos: - Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são: a1=5 e a12=38 r=? - Agora é só usar a fórmula do termo geral : a12=a1+(12-1)r 38=5+11r 38-5=11r 33=11r r=33/11 r=3 Resposta certa letra "C" 2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
(E) 7 - Informações do problema: a1=112 an=250 r=23 - Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA: - Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la. 7 não é a resposta, é o número total de termos. Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois. Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250. A resposta certa é a letra "C"
) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é (A) 60 (B) 59 (C) 72 (D) 80 (E) 76 - Informações do problema: a7=20 a10=32 a20=? - Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
a7=a1+6r a10=a1+9r 20=a1+6r 32=a1+9r - Formamos um sistema de equações e resolvemos: 20=a1+6r 32=a1+9r Vamos isolar o termo a1na primeira equação a1=20-6r Agora vamos substituir este valor na segunda equação 32=20-6r+9r 32-20=9r-6r 12=3r r=12/3 r=4 Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1. 20=a1+6•4
20=a1+24 a1=-24+20 a1= -4 Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral. a20=a1+19r a20=-4+19•4 a20=-4+19•4 a20=72 Resposta certa letra "C".
2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x47)=424 é (A) 51 (B) 41
(C) 31 (D) 61 (E) 71 - Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com: a1= (x-2) a2= (x-5) ... - Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos: r=a2-a1=(x-5)-(x-2) r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2 r=-5+2 X com -X se anulam r=-3 Esta é a razão - Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo: an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores (x-47)=(x-2)+(n-1)•( -3) x-47-x+2= -3n+3 -45-3= -3n -3n=-48 n=48/3 n=16 - Agora sim podemos usar a fórmula da soma:
Sn=(a1+an)*n/2 Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2 Sn=(2x-49)*8 Sn=16x-392 - Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado: (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 16x-392=424 16x=424+392 16x=816 x=816/16 x=51 Resposta certa, letra "A" 3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a (A) (B) (C) 53 (D) 265 (E) 53 - O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1 e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:
- Agora é só aplicar a fórmula da soma:
Resposta certa, letra "B". 4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede (A) (B) (C) (D) (E) - Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA: - O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA: Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência. Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta. O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h): Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:
Resposta certa, letra "C". 5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é (A) (B) (C) (D) (E) - Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo. bn=a5n então b1=a5•1
b1=a5 bn=a5n então b2=a5•2
b2=a10 Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 : a5=a1+(5-1)r a5=a1+4r então b1=a1+4r a10=a1+(10-1)r a10=a1+9r então b2=a1+9r Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :
b2-b1=a1+9r-(a1+4r) b2-b1=5r R=5r Resposta certa, letra "C". 6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 - Informações: r=9 a1=4 an=58 n=? - Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral: an=a1+(n-1)r 58=4+(n-1)9 58-4=9n-9 54+9=9n 63=9n n=63/9 n=7 Resposta certa, letra "E". 7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a (A) 400 (B) 410 (C) 670 (D) 780
(E) 800 - Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} - Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular! a40=a1+(40-1)•r a40=0+(39)•1
a40=0+39 a40=39 - Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma. S40=(0+39)•40/2 S40=39•20
S40=780 Resposta certa, letra "D". 8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a (A) 5100 (B) 5200 (C) 5300 (D) 5400 (E) 5500 - Informações: S11=35200 r=400 - Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só: an=a1+(n-1)r
a11=a1+(11-1)r a11=a1+10r sabemos que a razão é 400 a11=a1+10•400
a11=a1+4000 - Agora sim vamos colocar na fórmula da soma: - Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia): a11=a1+4000 a11=1200+4000 a11=5200 Resposta certa, letra "B". 9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é: (A) 7 (B) 6 (C) 9 (D) 8 (E) 10 - Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede). - Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo. Sn=3n2+5n S1=3•12+5•1
S1=3+5 a1=8 - Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2: S2=3•22+5•2 S2=3•4+10
S2=12+10 S2=22 - Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto: a1+a2=22 8+a2=22 a2=22-8 a2=14 - Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1: r=a2-a1 r=14-8 r=6 Resposta certa, letra "B". 10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é (A) 200pq (B) 200(p + q) (C) 500(p + q) (D) 5050(p + q) (E) 5050pq - Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de
razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...} - Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral: a100=a1+(100-1)r a100=p+99•p
a100=100p - Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A". S100=(a1+a100)•100/2 S100=(p+100p)•50 S100=(101p)•50
p=5050p - Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B". a100=100q S100=(q+100q)•50 S100=(101q)•50
S100=5050q - Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos: 5050(p+q) resposta certa, letra "D". 11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é (A) 3a-2 (B) 3a-1
(C) 3a (D) 3a+1 (E) 3a+2 - Informações: a1=-a an=20a r=7 - Vamos utilizar a fórmula do termo geral: Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades: 3a+1-2 3a-1 Resposta certa letra "B". GABARITO 01-C 04-C 07-D 10-D 02-A 05-C 08-B 11-B 03-B 06-E 09-B Do conjunto de todos os números naturais n, n ≤ 200, retiram -se os múltiplos de 5 e, em seguida, os mútiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto. 13) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possía
(A) mais de 300 bolitas. (B) pelo menos 230 bolitas. (C) menos de 220 bolitas. (D) exatamente 300 bolitas. (E) exatamente 41 bolitas.
