EXERCÍCIOS DE CÍRCULO DE MOHR
EXEMPLO 01 No plano horizontal de um elemento de solo atuam uma tensão normal de 4kgf/cm2 e uma tensão de cisalhamento de 1 kgf/cm 2 . No plano vertical a tensão normal é de 2 kgf/cm2 e de cisalhamento de -1kgf/cm2 . Determine : a) O círculo de Mohr representativo do estado de tensões b) O Pólo c) O ângulo dos planos principais com a horizontal d) As tensões num plano α = - 450 com a horizontal
EXEMPLO 02 Sendo 1,0 e 3,0 kgf/cm2 as tensões normais atuantes em um elemento de solo, determine : As tensões que atuam num plano que forma um ângulo de -30 o com o plano principal maior . b) A inclinação do plano em que a tensão normal é de 1,5 kgf/cm 2 e a correspondente tensão de cisalhamento . c) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 0,5 kgf/cm2 d) A máxima tensão de cisalhamento que atua neste elemento . a)
EXEMPLO 03 No elemento de solo esquematizado na figura atuam as tensões assinaladas :
5 kgf/cm2
3 kgf/cm2
3 kgf/cm2
Plano Horizontal
5 kgf/cm2
Sabendo-se que a tensão normal no PPm é 1,5 kgf/cm2, pede-se : a) Achar as coordenadas do PÓLO b) Qual a inclinação do PPM em relação à horizontal ? c) Qual o ângulo formado entre o PPm e o PCm ? d) Qual o valor da tensão de cisalhamento no plano que faz um ângulo de 45o com o PPM ?
EXEMPLO 04 No elemento de solo esquematizado na figura a seguir, atuam as tensões assinaladas . Pede-se determinar : a) Pólo b) Tensões : principal maior, principal menor , cisalhamento máximo e cisalhamento mínimo . c) Ângulos formados com a horizontal pelos planos principal maior, principal menor, cisalhamento máx. e cisalhamento mínimo . d) As tensões que atuam num plano que faz um ângulo de 20 o com a horizontal .
4 1,5 2 2 2 1,5
2
Unidades : kgf/cm2
4 30o
P.H.
EXEMPLO 05 Em um ponto de um elemento de solo agem as seguintes tensões : Ângulo do plano c/ a horizontal
σ
τ
+ 45o
4 kgf/cm2
2 kgf/cm2
α
6 kgf/cm2
1 kgf/cm2
Pede-se : a) Traçar o círculo de Mohr correspondente b) Determinar o PÓLO c) Determinar gráficamente as tensões que agem em um plano que faz um ângulo de -45o com a horizontal d) Determinar o ângulo α e) Calcular analíticamente o valor das tensões que agem em um plano que faz um ângulo de + 90o com a horizontal .
EXEMPLO 06 No elemento de solo esquematizado na figura, atuam as tensões assinaladas . Pede-se determinar : 6 2
Plano β 45o
2 2 Plano Horizontal
a) Pólo b) Tensões normal e cisalhante no plano β c) Ângulos formados com a horizontal pelos planos principais d) Tensões principais
EXEMPLO 07 Em um ponto de um elemento de solo agem as seguintes tensões : ÂNGULO DO PLANO C/ PPM
σ ( kgf/cm2 )
τ( kgf/cm2 )
+ 50O
4,000
2,975
0o
7,500
0,000
Pede-se : a) Traçar o círculo de Mohr correspondente b) Determinar o Pólo c) Determinar gráficamente as tensões que agem em um plano que faz +30 o com o PPM d) Determinar gráfica e analiticamente as tensões que agem nos planos de cisalhamento máximo e mínimo
EXEMPLO 08 Dado o elemento de solo abaixo e sabendo-se que a tensão principal maior é igual a 7,50 kgf/cm2 , determinar : a) O Pólo b) As tensões atuantes no plano β c) O ângulo entre o plano α e o PPM d) O ângulo entre a horizontal e o PPm
σα
τα
DADOS :
τβ
σα = 2,0 kgf/cm2 τα = 1,675 kgf/cm2
σβ Plano β
Plano α
45o
σβ
τβ
P.H .
τα
σα
EXEMPLO 09 Um elemento de solo de seção indicada na figura e comprimento infinito foi introduzido num material cujo peso específico é γ . Sendo conhecidas as tensões atuantes nas faces AB e DC , pede-se estimar as tensões nas outras faces, por meio de um círculo de Mohr, desprezando o peso próprio do elemento .
B C D
Z
A E
FACE AB BC CD DE AE
σ
τ
0,95. γ . Z
0,12. γ . Z
0,59. γ . Z
- 0,12. γ . Z
αHOR 0 300 900 0 -450
EXEMPLO 10 Uma argila arenosa quando submetida a um ensaio de compressão triaxial, apresentou os resultados abaixo : ENSAIO N0 01 02
TENSÃO CONFINANTE ( σ3 ) 100 kPa 250 kPa
– σ3 400 kPa 700 kPa σ1
α
Pede-se : Determinar o ângulo de atrito interno (φ) b) Determinar a coesão (c) c) Qual o ângulo do plano de ruptura com o plano horizontal ( ângulo α ) d) Determinar as tensões normal e cisalhante que atuam em um plano β que forma um ângulo de 37o com o PPM . a)
EXEMPLO 11 Para o elemento de solo ao lado, pede-se : a) Traçar o círculo de Mohr de tensões b) Determinar o Pólo c) Determinar o valor do ângulo θ d) Qual o valor do ângulo entre o PH e o PPM .
PH 3
2 3
θ
6
EXEMPLO 12 Para o elemento de solo indicado, pede-se : a) Traçar o círculo de Mohr e achar o Pólo b) Determinar o valor do ângulo α c) Determinar as tensões principais d) Determinar o ângulo entre o PPM e o plano horizontal 3,45
2,00 α
1,18 4,68
EXEMPLO 13 No elemento de solo mostrado na figura atuam as tensões indicadas .Pede-se : 6,5 0 θ 0 1,5 Plano θ
θ = - 63,5 o
Determine gráficamente as tensões σ e τ que atuam no plano θ Calcule as tensões normal e cisalhante atuantes no plano β que forma um ângulo de + 18,5o com o PPM . Considerando que β seja o plano horizontal, qual o ângulo formado por ele com o PPm ?
GABARITO Exemplo 01 c) 22,45o
d) ( 4 , -1 )
Exemplo 03 a) (3,0 ; 2,27 ) b) 33o c) 45o d) 2,5 Exemplo 04 Pólo (0,4 ; -0,07) σ1 = 5,10 kgf/cm2 σ3 = 0,4 kgf/cm2 τmáx = 2,35 kgf/cm2 τmin = - 2,35 kgf/cm2 σ20 = 4,6 kgf/cm2 τ20 = 1,45 kgf/cm2 Exemplo 05 α
= 11o
Exemplo 08 a) ( 6,18 ; 2,5 ) b) ( 7,0 ; 1,675 ) c) 73o d) 28o Exemplo 09
BC DE AE
σ
τ
0,775. γ .Z Idem AB 0,89 . γ .Z
0,21 . γ .Z idem AB -0,18 . γ .Z
Exemplo 10 30o 0,6 kgf/cm2 60o d) ( 7 ; 3,4 )
a) b) c)
Exemplo 11 b) ( 3 ; -3 ) c) 31o d) 39o Exemplo 12 b) 21o c) σ3 = 0,75 kgf/cm2 σ1 = 5,0 kgf/cm2 d) 17o Exemplo 13 a) ( 2,5 ; -2,0 ) b) ( 6 ; 1,5 ) c) 71,5o
