Conceptos básicos y teoremas principales de la probabilidad e inicios de la estadística.Descripción completa
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Cuadernillo para la materia de probabilidad 3er parcial
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Estadística Aplicada Ingeniería En Industrias Alimentarias IAM-0511 3 Pruebas de Hipótesis 3.1 Introducci Introducción ón a las pruebas de Hipótesis 3.2 Pruebas de Hipótesis de dos extremos para una media con Varianza conocida y con varianza desconocida 3.3 Pruebas de Hipótesis para un extremo 3.4 Pruebas de Hipótesis para una Proporción 3.5 Contrasta Contrastación ción de Diferencias entre Medias 3.6 Contrasta Contrastación ción de Diferencias entre Proporciones 3.7 Prueba de Hipótesis para una Varianza 3.8 Errores Alfa y Beta
3.3 Pruebas de Hipótesis para un extremo Ejemplos: 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año año pasa pasado do muest muestra ra una una vida vida prome promedi dio o de 71.8 71.8 años. años. Supon Suponga ga una una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida ida medi media a hoy hoy en día día es mayor ayor que 70 años años? ? Util Utilic ice e un niv nivel de significancia de 0.05. Solución:
1. Se trata de una una distribuci distribución ón muestral muestral de medias medias con desviació desviación n estándar estándar conocida. conocida. 2. Datos: =70 años = 8.9 años = 71.8 años n = 100 = 0.05
3. Ensayo de hipótesis Ho;
= 70 años.
H1;
> 70 años.
4. Regla de decisión: Si zR 1.645 no se rechaza Ho. Si zR> 1.645 se rechaza Ho. 5. Cálculos:
6. Justificación y decisión. Como 2.02 >1.645 se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.
2. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en promedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, < 5.5 onzas en el nivel de significancia de 0.05. Solución:
1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar desconocida, pero como el tamaño de muestra es mayor a 30 se puede tomar la desviación muestral como un estimador puntual para la poblacional. 2. Datos: = 5.5 onzas s= 0.24 onzas = 5.23 onzas n = 64
= 0.05 3. Ensayo de hipótesis Ho; H1;
= 5.5 onzas < 5.5 onzas
4. Regla de decisión: Si ZR -1.645 No se rechaza Ho Si ZR < -1.645 Se rechaza H o 5. Cálculos:
6. Justificación y decisión: Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de 5.5 onzas.
Si el mismo problema se resuelve ahora desarrollándose un procedimiento para la prueba de hipótesis μ, donde la hipótesis alternativa sea unilateral por la derecha se tendría lo siguiente:
EJEMPLO 3: Los sistemas de escape de emergencia para aviones son impulsados por un combustible sólido. Una de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea de 50 cm/s. Se sabe que la desviación estándar de esa rapidez es de σ 2.cm / s. El experimentador decide especificar un nivel de significancia, de α = 0.05. Selecciona una muestra aleatoria de n = 25 y obtiene una rapidez promedio muestral de combustión de X = 51.3..cm / s. ¿A qué conclusión debe llegarse? =
SOLUCIÓN: El parámetro de interés es μ, la rapidez promedio de combustión. H 0 : µ = 50..cm / s H 1 : µ > 50..cm / s Por tabla se sabe que para pruebas de una sola cola Z α X = 51.3..cm / s... y..µ 0
=
= ±1,645 ;
n = 25; σ = 2 cm/s;
50..cm / s .
Regla de Decisión: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si el valor de Z c > Z α , es decir, Z c
> 1,645 .”
Ahora se aplica la formula para estandarizar los valores así: Z =
X − µ 0 n
σ
→
51.3 − 50 2
25
=
1.3 25
=
3.25
Conclusión: Como Z c es mayor que Z α , es decir, Z c H 0 : µ
=
3.25 > 1,645 , se rechaza
50
con un nivel de significancia de 0.05. De hecho, se observa una evidencia fuerte de que la rapidez promedio de combustión es mayor que 50 cm/s. Esto se puede observar en la grafica en donde Zc = 3.25 cae fuera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que µ = 50 . =
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero con una prueba unilateral por la izquierda, es decir, utilizando las siguientes hipótesis: H 0 : µ = µ 0 ...,. y.. H 1 : µ < µ 0 .