Conceptos básicos y teoremas principales de la probabilidad e inicios de la estadística.Descripción completa
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Cuadernillo para la materia de probabilidad 3er parcial
probabilidad condicionadad y teorema de bayes
Probabilidad
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PRIMER EXAMEN PARCIAL Probabilidades II SEMESTRE DEL 2000 Tiempo: 2 Horas 15 Mi!"os &' P!"os
P!"a#e M$%imo
TRA(A)E DE *+RMA CLARA , +RDENADA+RDENADA- ).STI*I/.E DE(IDAMENTE CADA RESP.ESTA- .SE (+LRA*+ EN CAS+ DE TRA(A)AR TRA(A)AR C+N L3PI4 N+ SE ACEPTAN APELACI+NES-
1- Se laa laa dos dados dados 6 se obser7a obser7a 8omo 7ariable 7ariable alea"o alea"oria ria la s!ma s!ma de los res!l"ados de los dos dados- Si los dados es"$ 8ar9ados 6 los pares "iee el doble de op8i de salir ;!e los impares de"ermie la probabilidad de:
1- /!e al laar laar los los dos dados dados !a !a 7e la s!ma s!ma de las las 8aras ob"ei ob"eidas das sea i9!al a 8i8o- <2=
2- +b"eer +b"eer !a s!ma s!ma de 8i8o 8i8o e"re e"re los dos dos dados dados d!ra"e d!ra"e > 7e8es 7e8es si el par de dados se laa d!ra"e ? 7e8es- <&=
&- +b"eer +b"eer !a s!ma s!ma de 8i8o 8i8o e"re e"re los dos dos dados dados d!ra"e d!ra"e el "er8er "er8er 6 ;!i"o laamie"o si se laa ? 7e8es los dados- <2=
>- Adem$s Adem$s de"ermie de"ermie la dis"rib! dis"rib!8i 8i de probabi probabilidad lidad de la la 7ariable 7ariable alea"oria X el número de veces que hay que tirar dos dados cargados cargados hasta obtener alguno de los pares
<1 1=<2 2=<& &=<> >=<5 5=<@ @=- <&=
2- .a empresa empresa es"$ or9a or9aiad iadoo !a a8"i7ida a8"i7idadd para el da de las las madres a la 8!al se asis"ir$ 12 seBoras1- Si se "oma e 8!e"a 8!e"a el orde orde e el 8!al 8!al se e"re9a e"re9a las i7i"a8 i7i"a8ioes ioes de 8!$"as maeras se p!ede e"re9ar- e"re9ar- <1=
2- Se 7a a repar"i repar"irr 1? rosas rosas id"i8as id"i8as e"re e"re las las madresmadres- De 8!$"as 8!$"as maeras se p!ede Fa8er la repar"i8i de Gorma "al ;!e la SeBora Lpe re8iba a lo s!mo "res rosas la SeBora e9a re8iba e%a8"ame"e "res rosas 6 "odas las i7i"adas re8iba al meos !a rosa- <&=
&- Se "iee "iee > 8aas"as 8aas"as i9!ales i9!ales de de prod!8"os prod!8"os de bellea bellea 5 perG!mes perG!mes i9!ales 6 & re9alos sorpresa i9!ales- Si se repar"e e Gorma alea"oria ! re9alo por i7i"ada de 8!$"as maeras ;!eda dis"rib!idos es"os re9alos <2=
&>- Se dispoe dispoe de & 8a#as 8a#as 8o esGeras esGeras de diGere"e diGere"ess 8olores 8olores dis"rib!i dis"rib!idas das de la si9!ie"e maera:
CA)A 1
CA)A 2
CA)A & 11 amarillas
10 ro#as
? 7erdes
> r o # as
> bla8as
& bla8as
2 bla8as
Cosidere el e%perime"o ;!e 8osis"e e: 1- Se sele88io sele88ioa a !a esGera de la 8a#a 8a#a 1 si reposi8 reposi8ii2- Si la esGera esGera sele88io sele88ioada ada es bla8a bla8a se e%"rae e%"rae o"ra esGera esGera de la la 8a#a 1 6 se pasa a la 8a#a 2-
&- Si la esGera sele88ioada es ro#a se e%"rae o"ras 2 esGeras de la 8a#a 1 6 se pasa a la 8a#a &Si se Fa8e !a sele88i de la 8a#a ;!e re8ibi la "rasGere8ia De"ermie:
1- La probabilidad de ob"eer !a esGera ro#a- <&=
2- Dado ;!e se sele88io !a bola ro#a de"ermie la probabilidad de ;!e se Fa6a "rasGerido dos esGeras desde la 8a#a 1 a la 8a#a "res<&=
2- Sie"e "ermiales de ! sis"ema es"$ 8oe8"adas por !a lea de 8om!i8a8i a ! 8e"ro de 8mp!"o- E ! "iempo espe8Gi8o e%a8"ame"e 8!a"ro de las sie"e "ermiales es"$ lis"as para "rasmi"ir ! mesa#e- As!ma ;!e 8ada "ermial "iee la misma probabilidad de ser 8os!l"ada 6 "ome X la 7ariable alea"oria ;!e idi8a el mero de "ermiales ;!e debe ser 8os!l"adas Fas"a ob"eer !a "ermial lis"a para "rasmi"ir1- De"ermie los posibles 7alores para X 6 la dis"rib!8i de probabilidad para X - <&= 2- Si e el problema si "iee m "ermiales de las 8!ales Fa6 n lis"as 8!$l es la dis"rib!8i de probabilidad para X el mero de "ermiales ;!e debe ser 8os!l"adas Fas"a ob"eer !a "ermial lis"a para "rasmi"ir- <&=
&- .a "ieda ;!e 7ede s!miis"ros de 8mp!"o 7ede dos "ipos de dis8os 8ompa8"os el ormal 6 o"ro "ipo llamado e%"ra- El J0K de los 8lie"es de la "ieda b!s8a el "ipo e%"ra-
1- E"re 10 8lie"es sele88ioados al aar ;!e desea 8omprar ! dis8o 8!$l es la probabilidad de ;!e por lo meos 5 8lie"es b!s;!e el "amaBo e%"ra- <&=
2- Si e la "ieda Fa6 e es"e mome"o 5 dis8os de 8ada "ipo- C!$l es la probabilidad de ;!e los pr%imos 10 8lie"es ;!e b!s;!e ! dis8o p!eda 8omprar lo ;!e desea <2=
>- De !a pobla8i de 500 aimales se 8ap"!ra 200 se mar8a 6 se s!el"a para ;!e 7!el7a a me8larse 8o el res"o de la pobla8i1- Cal8!le la probabilidad de ;!e e !a m!es"ra de 20 aimales 8ap"!rados o re8ap"!rados Fa6a > o meos mar8ados- <&= 2- C!$l es la probabilidad de ;!e apare8a > o m$s aimales mar8ados e !a 8ap"!ra o re8ap"!ra de 20- <&=
S+L.CIN PRIMER EXAMEN PARCIAL Probabilidades II SEMESTRE DEL 2000 Tiempo: 2 Horas 15 Mi!"os M$%imo &' P!"os
P!"a#e
TRA(A)E DE *+RMA CLARA , +RDENADA- ).STI*I/.E DE(IDAMENTE CADA RESP.ESTA- .SE (+LIRA*+ EN CAS+ DE TRA(A)AR C+N L3PI4 N+ SE ACEPTAN APELACI+NES-
1- Se laa dos dados 6 se obser7a la 7ariable alea"oria la s!ma de los res!l"ados de los dos dados- Si los dados es"$ 8ar9ados 6 los pares "iee el doble de op8i de salir ;!e los impares de"ermie la probabilidad de:
1- /!e al laar los dos dados !a 7e la s!ma de las 8aras ob"eidas sea i9!al a 8i8o- <2=
2- +b"eer !a s!ma de 8i8o e"re los dos dados d!ra"e > 7e8es si el par de dados se laa d!ra"e ? 7e8es- <&=
&- +b"eer !a s!ma de 8i8o e"re los dos dados d!ra"e el "er8er 6 ;!i"o laamie"o si se laa ? 7e8es los dados- <2=
>- Adem$s de"ermie la dis"rib!8i de probabilidad de la 7ariable alea"oria X el número de veces que hay que tirar dos dados cargados hasta obtener alguno de los pares
<1 1=<2 2=<& &=<> >=<5 5=<@ @=- <&=
Solución
Dada la Gorma e ;!e los dados es"$ 8ar9ados se "iee ;!e:
P 1O P &O P 5O 1Q' 6 P 2O P >O P @O 2Q'
As 5- P X 5O P <1 >=<> 1=<& 2=<2 &=O >
@- b<> : ? ?Q?1= J-
?Q?1
1 U ?Q?1
?- P < x y= x y P <1 1=<2 2=<& &=<> >=<5 5=<@ @=O & V &
-
Si X es la 7ariable alea"oria ;!e idi8a el mero de i"e"os Fas"a ob"eer al9!o de los pares los posibles 7alores de X so 1 2 &--6
P X k O <1 U 5Q2J= W U 15Q2J
2- .a empresa es"$ or9aiado !a a8"i7idad para el da de las madres a la 8!al se asis"ir$ 12 seBoras1- Si se "oma e 8!e"a el orde e el 8!al se e"re9a las i7i"a8ioes de 8!$"as maeras se p!ede e"re9ar- <1=
2- Se 7a a repar"ir 1? rosas id"i8as e"re las madres- De 8!$"as maeras se p!ede Fa8er la repar"i8i de Gorma "al ;!e la SeBora Lpe re8iba a lo s!mo "res rosas la SeBora e9a re8iba e%a8"ame"e "res rosas 6 "odas las i7i"adas re8iba al meos !a rosa- <&=
&- Se "iee > 8aas"as i9!ales de prod!8"os de bellea 5 perG!mes i9!ales 6 & re9alos sorpresa i9!ales- Si se repar"e e Gorma alea"oria ! re9alo por i7i"ada de 8!$"as maeras ;!eda dis"rib!idos es"os re9alos <2=
Solución
1- So las maeras de ordear a las 12 seBoras: 12
2- Se reser7a 12 Glores !a para 8ada !a 6 dos m$s para la seBora e9aE"o8es dado ;!e la seBora Lpe solo p!ede re8ibir 8ero !a o dos m$s las > res"a"es se dis"rib!6e as:
Si la seBora Lpe o re8ibe m$s ser$ > e"re 10 seBoras
Si la seBora Lpe re8ibe !o m$s ser$ & e"re 10 seBoras
Si la seBora Lpe re8ibe dos m$s ser$ 2 e"re 10 seBoras E "o"al Fa6:
V
V
maeras-
&- Se 8!e"a 8omo si G!era a repar"irse 12 re9alos dis"i"os 6 se elimia los 8o"eos repe"idos o por sele88i-
1- Se dispoe de & 8a#as 8o esGeras de diGere"es 8olores dis"rib!idas de la si9!ie"e maera:
CA)A 1
CA)A 2
CA)A & 11 amarillas
10 ro#as
? 7erdes
> ro#as
> bla8as
& bla8as
2 bla8as
Cosidere el e%perime"o ;!e 8osis"e e o
o
o
Se sele88ioa !a esGera de la 8a#a 1 si reposi8iSi la esGera sele88ioada es bla8a se e%"rae o"ra esGera de la 8a#a 1 6 se pasa a la 8a#a 2-
Si la esGera sele88ioada es ro#a se e%"rae o"ras 2 esGeras de la 8a#a 1 6 se pasa a la 8a#a &-
Si se Fa8e !a sele88i de la 8a#a ;!e re8ibi la "rasGere8ia De"ermie:
o
o
La probabilidad de ob"eer !a esGera ro#a- <&=
Dado ;!e se sele88io !a bola ro#a de"ermie la probabilidad de ;!e se Fa6a "rasGerido dos esGeras desde la 8a#a 1 a la 8a#a "res<&=
Solución
Se Fa8e e8esario el si9!ie"e dia9rama e el par"esis se poe la dis"rib!8i de las esGeras e las 8a#as- Se dis"i9!e los e7e"os PR: primera bola ;!e se e%"rae es ro#a PB: primera bola ;!e se e%"rae es bla8a 6 SR se9!da bola ;!e se e%"rae es ro#a-
o
P SRO
V
o
P PR
0 V
SRO
V
V
2- Sie"e "ermiales de ! sis"ema es"$ 8oe8"adas por !a lea de 8om!i8a8i a ! 8e"ro de 8mp!"o- E ! "iempo espe8Gi8o e%a8"ame"e 8!a"ro de las sie"e "ermiales es"$ lis"as para "rasmi"ir ! mesa#e- As!ma ;!e 8ada "ermial "iee la misma probabilidad de ser 8os!l"ada 6 "ome X la 7ariable alea"oria ;!e idi8a el mero de "ermiales ;!e debe ser 8os!l"adas Fas"a ob"eer !a "ermial lis"a para "rasmi"iro
o
De"ermie los posibles 7alores para X 6 la dis"rib!8i de probabilidad para X - <&= Si e el problema si "iee m "ermiales de las 8!ales Fa6 n lis"as 8!$l es la dis"rib!8i de probabilidad para X el mero de "ermiales ;!e debe ser 8os!l"adas Fas"a ob"eer !a "ermial lis"a para "rasmi"ir- <&=
Solución
1- Los posibles 7alores de X so 1 2 & > 6
P X 1O
P X 2O P X &O yP X &O
2- Se 9eeralia del a"erior los posibles 7alores de X so 1 2 &--- m U n V 1 6 para ;!e X k debe o8!rrir ;!e e las k U 1 8os!l"as ii8iales se ob"e9a "ermiales o8!padas 6 e la l"ima !a libre-
P X k O
---
1- .a "ieda ;!e 7ede s!miis"ros de 8mp!"o 7ede dos "ipos de dis8os 8ompa8"os el ormal 6 o"ro "ipo llamado e%"ra- El J0K de los 8lie"es de la "ieda b!s8a el "ipo e%"ra-
1- E"re 10 8lie"es sele88ioados al aar ;!e desea 8omprar ! dis8o 8!$l es la probabilidad de ;!e por lo meos 5 b!s;!e el "amaBo e%"ra- <&=
2- Si e la "ieda Fa6 e es"e mome"o 5 dis8os de 8ada "ipo- YC!$l es la probabilidad de ;!e los pr%imos 10 8lie"es ;!e b!s;!e ! dis8o p!eda 8omprar lo ;!e desea<2= Solución
&- Es"o es el 8ompleme"o de ;!e > o meos soli8i"e el dis8o e%"ra-
1 U (<>Z10-J=
>- b<5Z10-J=
2- De !a pobla8i de 500 aimales se 8ap"!ra 200 se mar8a 6 se s!el"a para ;!e 7!el7a a me8larse 8o el res"o de la pobla8i1- Cal8!le la probabilidad de ;!e e !a m!es"ra de 20 aimales 8ap"!rados o re8ap"!rados Fa6a > o meos mar8ados- <&= 2- C!$l es la probabilidad de ;!e apare8a > o m$s aimales mar8ados e !a 8ap"!ra o re8ap"!ra de 20- <&=&-
Solución
1-
2-
1U
SE.ND+ EXAMEN PARCIAL Probabilidades II SEMESTRE DEL 2000 Tiempo: 2 Horas 15 Mi!"os M$%imo && P!"os
P!"a#e
1- Sea X !a 7ariable alea"oria 8o"i!a 8o dis"rib!8i de probabilidad dada por @ P!"os
f ( x ) =
aDe"ermie el 7alor de k bCal8!le P <U 2 [ X 8Cal8!le AR< X =-
5O=
2- Las 8os!l"as arriba a ! ser7idor si9!iedo !a dis"rib!8i de Poisso 8o 12 8os!l"as por mi!"o-> P!"os aC!$l es la probabilidad de ;!e el i"er7alo de "iempo e"re las dos pr%imas 8os!l"as sea meor o i9!al a J-5 se9!dos
bC!$l es la probabilidad de ;!e el i"er7alo de "iempo e"re las dos pr%imas 8os!l"as sea ma6or a 10 se9!dos &- S!po9a ;!e X es !a 7ariable alea"oria dis8re"a ;!e si9!e !a dis"rib!8i !iGorme 8o posibles 7alores x1 C V L x2 C V 2 L--- x C V nL dode L 6 C so 8os"a"es posi"i7as- De"ermie la esperaa de X -> P!"os
>- Se sabe ;!e la dis"rib!8i de o"as e ! 8!rso si9!e !a dis"rib!8i ormal- El 10K de los e%$mees "iee !a o"a por e8ima de los ?0 p!"os 6 el 5K "iee !a o"a por deba#o de los >0 p!"os- Y C!$les so el 7alor de la media 6 de la des7ia7i es"$dar para es"a dis"rib!8i- 5 P!"os
5- S!po9a ;!e "iempo ;!e "arda !a persoa e resol7er ! e%ame si9!e !a dis"rib!8i ormal 8o media 50 mi!"os 6 des7ia8i es"$dar de 12 mi!"os- Se ;!iere es"able8er ! ra9o de "iempo 8e"rado e la media e el 8!al se 8o"es"e el '0K de los "es"- C!$l es ese ra9o- > P!"os
@- .a 8ompaBia ase9!radora es"ima ;!e e s!s se9!ros o8!rre !a prdida "o"al 8o !a probabilidad de 0 002 ! 50K de prdida 8o probabilidad de 0 01 6 ! 25K de prdida 8o probabilidad de 0 1- I9orado "odos los o"ros "ipos de prdida si !a persoa desea ase9!rar s! 7eF8!lo por !a s!ma de 500000-00 8oloes ;! prima deber$ 8obrar la ase9!radora para "eer !a !"ilidad promedio de 10000-00 8oloes- > P!"os
J- El >5K de los miembros de !a pobla8i "iee edades s!periores a los >0 aBos- Se sele88ioa al aar !a m!es"ra de 550 persoas- YC!$l es la probabilidad de ;!e @ P!"os a- E"re 200 6 250 "e9a m$s de >0 aBos- b- Al meos 150 sea ma6ores de >0 aBos
S+L.CIN SE.ND+ EXAMEN PARCIAL Probabilidades II SEMESTRE DEL 2000 Tiempo: 2 Horas 15 Mi!"os P!"a#e M$%imo && P!"os 1- Sea X !a 7ariable alea"oria 8o"i!a 8o dis"rib!8i de probabilidad dada por @ P!"os
f ( x ) =
aDe"ermie el 7alor de k bCal8!le P <U 2 [ X 8Cal8!le AR< X =
Solución
aDado ;!e
5O=
d x
\U115
"e%2F"ml]ima9e]marWY^"e%2F"ml]_rap]idispla6&@@^ U k debe ser
-
b<U 2 [ X
5O=
d x
d x
U
V1
8E< X =
x
d x E< X 2=
x2
d x
d x
d x 15
l<15=
AR< X = E< X 2= U E< X = 2- Las 8os!l"as arriba a ! ser7idor si9!iedo !a dis"rib!8i de Poisso 8o 12 8os!l"as por mi!"o-> P!"os aC!$l es la probabilidad de ;!e el i"er7alo de "iempo e"re las dos pr%imas 8os!l"as sea meor o i9!al a J-5 se9!dos bC!$l es la probabilidad de ;!e el i"er7alo de "iempo e"re las dos pr%imas 8os!l"as sea ma6or a 10 se9!dos
Solución
a-
Si e @0 se9- arriba 12 8os!l"as e"o8es e J-5 se9!dos arriba 1-5 8os!l"as por lo "a"o el mero de llamadas X ;!e lle9a e J-5 se9!dos si9!e !a dis"rib!8i de Poisso p< xZ1-5=La probabilidad de ;!e desp!s del arribo de !a 8os!l"a pase meos de J-5 se9- a"es del arribo de la si9!ie"e debe 7erse 8omo el la probabilidad de ;!e e J-5 se9!dos lle9!e al meos !a 8os!l"a-
= 1 - e-1.5
P ([ X > 0]) = 1 - P ([ X = 0]) = 1 - p(0, 1.5) = 1 -
bPor ar9!me"os similares al 8aso a"erior se "iee ;!e la probabilidad soli8i"ada es: p<0 2=
&- S!po9a ;!e X es !a 7ariable alea"oria dis8re"a ;!e si9!e !a dis"rib!8i !iGorme 8o posibles 7alores x1 C V L x2 C V 2 L--- x C V nL dode L 6 C so 8os"a"es posi"i7as- De"ermie la esperaa de X - > P!"os Solución
Como es !iGorme 6 Fa6 n 7alores 8ada !o "iee probabilidad 1Q n l!e9o:
( X ) = (C + L)
=
C
1 + L
+ (C + 2 L)
k =
n +
+ ... + (C + nL)
= C + L
>- Se sabe ;!e la dis"rib!8i de o"as e ! 8!rso si9!e !a dis"rib!8i ormal- El 10K de los e%$mees "iee !a o"a por e8ima de los ?0 p!"os 6 el 5K "iee !a o"a por deba#o de los >0 p!"os- Y C!$les so el 7alor de la media 6 de la des7ia7i es"$dar para es"a dis"rib!8i- 5 P!"os
Solución
Si X es la dis"rib!8i b!s8ada o se 8oo8e i i pero se sabe ;!e P < X Y ?0O= 0-1 6 ;!e P < X [ >0O= 0-05- Es de8ir
P [ X > 80] = 1 - P [ X < 80] = 1 - P [ Z <
P [ X < 80 = P [ Z <
] = 0.1
] = 0.05
b!s8ado e la "abla se ob"iee las e8!a8ioes =1.28
=-1.64
Co lo 8!al
1&-J 6
@2-5
5- S!po9a ;!e "iempo ;!e "arda !a persoa e resol7er ! e%ame si9!e !a dis"rib!8i ormal 8o media 50 mi!"os 6 des7ia8i es"$dar de 12 mi!"os- Se ;!iere es"able8er ! ra9o de "iempo 8e"rado e la media e el 8!al se 8o"es"e el '0K de los "es"- C!$l es ese ra9o- > P!"os Solución
A;! el problema se "rad!8e e e8o"rar ! c "al ;!e: P 50 U c [ X [ 50 V cO 0-'
!"iliado la sime"ra de la dis"rib!8i ormal ( ) + (- ) = 1 o la re8!rriedo dire8"ame"e a la "abla de ormal el problema se red!8e a e8o"rar
@- .a 8ompaBia ase9!radora es"ima ;!e e s!s se9!ros o8!rre !a prdida "o"al 8o !a probabilidad de 0 002 ! 50K de prdida 8o probabilidad de 0 01 6 ! 25K de prdida 8o probabilidad de 0 1- I9orado "odos los o"ros "ipos de prdida Y si !a persoa desea ase9!rar s! 7eF8!lo por !a s!ma de 500000-00 8oloes ;! prima deber$ 8obrar la ase9!radora para "eer !a !"ilidad promedio de 10000-00 8oloes- > P!"os Solución
E es"e 8aso debe 8al8!larse la esperaa de pa9o por par"e de la ase9!radora para 8al8!lar la prima-
La prima Fa de ser de 2@000-00 8oloesJ- El >5K de los miembros de !a pobla8i "iee edades s!periores a los >0 aBos- Se sele88ioa al aar !a m!es"ra de 550 persoas- C!$l es la probabilidad de ;!e: @ P!"os a- E"re 200 6 250 "e9a m$s de >0 aBos- b- Al meos 150 sea ma6ores de >0 aBos Solución
Es"a es !a dis"rib!8i de biomial pero o se p!ede 8al8!lar e Gorma !sado biomial p!es los 7alores so o apare8e e las "ablas 6 o se p!ede ob"eer e Gorma se8illa !sado la 8al8!ladora lo me#or es Fa8er !a apro%ima8i X ormal de la biomial es de8ir as!mir ;!e es"a pobla8i si9!e !a dis"rib!8i ormal 8o media mu 2>J-5 6 des7ia8i es"$dar 12-@? a-
P [199.5
X
25.5]
P [ = 0, 63 - 0 = 0.63
P [199.5
P [
X
]
X
25.5]
X = 0, 63 - 0 = 0.63
]
bEl raoamie"o es id"i8o 6 da !a probabilidad de 1TERCER EXAMEN PARCIAL Probabilidades II SEMESTRE DEL 2000 Tiempo: 2 Horas 15 Mi!"os P!"a#e M$%imo 25 P!"os raba"e de #orma clara y ordenada$ %usti#ique debidamente cada respuesta$ &se bol'gra#o( en caso de traba"ar con l)pi*( no se aceptan apelaciones$
1- Sea X el "iempo e mi!"os e"re dos lle9adas s!8esi7as e !a 7e"ailla
de a"e8i de ! ba8o- Si X si9!e !a dis"rib!8i de "ipo e%poe8ial 8o 2 8al8!le lo si9!ie"e: <> p!"os= 1- El "iempo esperado e"re lle9adas s!8esi7as2- La des7ia8i es"$dar del "iempo e"re lle9adas s!8esi7as&- La probabilidad de ;!e el "iempo "ras8!rrido e"re !a lle9ada 6 la lle9ada s!8esi7a sea meor ;!e J mi!"os2- Si X es !a 7ariable alea"oria de maera ;!e s! G!8i 9eeradora de mome"os es mX(t )=
1- A lo s!mo !a Fora- <> p!"os= 2- E"re -5 6 1-5 ForasRe8!erdese ;!e X se dis"rib!6e 8omo !a amma de par$me"ros si:
f ( x ) =
x
- 1
e-!
6
para % posi"i7o-
>- El redimie"o de 8ier"o 8ildro de 9as es"$ ormalme"e dis"rib!ido 8o !a media de @ Foras 6 !a des7ia8i es"$dar de -5 Foras- Es"e 9as se 7ede e pa;!e"es de 5 8ildros- E8!e"re el "iempo de d!ra8i ;!e sea e%8edido slo por el 5K de los los pa;!e"es- <> p!"os= 5- La d!ra8i promedio del me8lador de ! 8ier"o Gabri8a"e es de 5 aBos 8o !a des7ia8i es"$dar de ! aBo- As!miedo ;!e las d!ra8ioes de es"os me8ladores si9!e apro%imadame"e !a dis"rib!8i ormal e8!e"re: <> p!"os= 1- La probabilidad de ;!e la 7ida promedio de !a m!es"ra alea"oria de ' de "ales me8ladores 8ai9a e"re >-> 6 5-2 aBos2- El 7alor de a la dere8Fa del 8!al 8aera el 15K de las medias 8al8!ladas de la m!es"ras alea"orias de "amaBo '@- . mdi8o a"iede ! pa8ie"e e ! "iempo ;!e es !a 7ariable alea"oria 8o media ? mi!"os 6 des7ia8i es"$dar & mi!"os- Si debe a"eder ! "o"al de >0 pa8ie"es 8al8!le: 1- La probabilidad de ;!e a"ieda "odos los pa8ie"es e meos de 5 Foras as!miedo ;!e los pa8ie"es i9resa e Gorma 8o"i!a2- La probabilidad de ;!e el "iempo promedio de a"e8i sea s!perior a J-5 mi!"os S+L.CIN TERCER EXAMEN PARCIAL
Probabilidades II SEMESTRE DEL 2000
Tiempo: 2 Horas 15 Mi!"os P!"a#e M$%imo 25 P!"os raba"e de #orma clara y ordenada$ %usti#ique debidamente cada respuesta$ &se bol'gra#o( en caso de traba"ar con l)pi*( no se aceptan apelaciones$
1- Sea X el "iempo e"re dos lle9adas s!8esi7as e !a 7e"ailla de a"e8i
de ! ba8o- Si X si9!e !a dis"rib!8i de "ipo e%poe8ial 8o 8al8!le lo si9!ie"e: <5 p!"os=
2
1- El "iempo esperado e"re lle9adas s!8esi7as2- La des7ia8i es"$dar del "iempo e"re lle9adas s!8esi7as&- La probabilidad de ;!e el "iempo "ras8!rrido e"re !a lle9ada 6 la lle9ada s!8esi7a sea meor ;!e J mi!"os>-
mi!"o-
5-
de mi!"o
@- P [ X < "] =
2e-2 # x = 1 - e-14
2- Si X es !a 7ariable alea"oria 8o "al ;!e s! G!8i 9eeradora de mome"os es mX
Cal8!le AR< X = <> p!"os=
P 0-5 X 1-5O + <1-5 2 1Q2= U + <0-5 2 1Q2= + <& 2= U + <1 2= 0-?01 U 0-2@> 0-5&J
>- Re8!erdese ;!e x se dis"rib!6e 8omo !a amma de par$me"ros
6
si:
5-
@- f ( x ) =
x
- 1
e-!
para % posi"i7o-
J- El redimie"o de 8ier"o 8ilidro de 9as es"$ ormalme"e dis"rib!ido 8o !a media de @ Foras 6 !a des7ia8i es"$dar de 0-5 Foras- Es"e 9$s se 7ede e pa;!e"es de 5 8ilidros- E8!e"re el "iempo de d!ra8i ;!e sea e%8edido solo por el 5K de los los pa;!e"es- <> p!"os= La dis"rib!8i del "iempo P 1 V --- V 5 de 8ada pa;!e"e es ormal 8o media @ 6 des7ia8i 6 des7ia8i es"$dar 0-5 es ! c "al ;!e-
P [TP < c] = 0.95 = P [ Z <
de la "abla se ob"iee ;!e
l!e9o lo soli8i"ado
] = 0.95
= 1.664 es de8ir c = 31.8604
?- La d!ra8i del me8lador de ! 8ier"o Gabri8a"e es de 5 aBos 8o !a des7ia8i es"$dar de ! aBo- As!miedo ;!e las d!ra8ioes de es"os me8ladores si9!e apro%imadame"e !a dis"rib!8i ormal e8!e"re: <> p!"os= 1- La probabilidad de ;!e la 7ida promedio de !a m!es"ra alea"oria de ' e "ales me8ladores 8ai9a e"re >-> 6 5-2 aBosLa d!ra8i de ! me8lador es de 5 aBos 8o !a des7ia8i de 1 aBo- AFora la d!ra8i promedio "iee !a media de 5 aBos 8o !a des7ia8i de
Se pide P >-> 0-0&5' 0-'55'
0-&&&&5-2O P U 1-?
!
-@0O 0-''1? U
2- El 7alor de a la dere8Fa del 8!al 8aer1a el 15K de las medias 8al8!ladas de la m!es"ras alea"orias de "amaBo ' P [
P [
] = 0, 15
] = PZ
de la "abla 6 despe#ado se ob"iee
= 0, 85
5 &5
'- . mdi8o a"iede ! pa8ie"e e ! "iempo ;!e es !a 7ariable alea"oria 8o media ? mi!"os 6 des7ia8i es"$dar & mi!"os- Si debe a"eder ! "o"al de >0 pa8ie"es 8al8!le: 1- La probabilidad de ;!e a"ieda "odos los pa8ie"es e meos de 5 Foras as!miedo ;!e los pa8ie"es i9resa e Gorma 8o"i!a-
P [T = T 1 + ... + T 40
300] = P [ Z <
] = 0, 1469
2- La probabilidad de ;!e el "iempo promedio de a"e8i sea s!perior a