Evolución de La Percepción Espacial en La Educación Primaria

TEMA 24. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO: CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN. INTERVENCIÓN EDUCATIVA VERSIÓN EXTENDIDA (FUENTES: ASIGNATURA 2º PRIMARIA, BIBLIOGRAFÍA Y DOCUMENTOS)

GUIÓN – GUIÓN – ESQUEMA ESQUEMA

I. INTRODUCC INTRODUCCIÓN IÓN II. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA II.1) El espacio y la percepción espacial II.2) La Geometría: interpretación matemática del espacio II.3) Importancia y utilidad de la Geometría. Valor formativo y funcional funcional II.4) Las nociones geométricas en el currículo de Educación Primaria. Orientaciones oficiales II.5) El aprendizaje y la evolución del pensamiento geométrico: Piaget y niveles de Van Hiele de razonamiento geométrico. Complejidad, dificultades y errores

III. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN III.1) Geometría del plano. Elementos y formas planas III.2) Geom Geometría etría del espacio. Elementos y formas for mas en el espacio de tres dimensiones III.3) Rela Relaciones ciones y transformaciones geométricas. geométricas. Traslaciones, giros y simetrías III.4) Represen Representación tación y coordenada coo rdenadass III.5) Proporcionalidad geométrica. Semejanza. Escalas

IV. RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVA V. COMENTARIOS FINALES VI. BIBLIOGRAF B IBLIOGRAFÍA ÍA VII. REFERENCIAS LEGISLATIVAS

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Tema 24 La Geometría en Educación Primaria

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VIII. REFERENCIAS WEB

I.

INTRODUCCIÓN

La finalidad de la Educación Primaria es proporcionar a todos los niños y niñas una educación que permita afianzar afianzar su desarrollo y su propio bienestar, adquirir habilidades culturales culturales básicas relativas a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la escritura y al cálculo, así como desarrollar las habilidades sociales, los hábitos de trabajo y estudio, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad (MEC, 2006); demandas socioculturales e individuales que se pretende satisfacer en la escuela a través del área de Matemáticas y de sus relaciones con otras áreas y con las materias transversales transversales mediante un proceso pro ceso educativo de carácter global, interdisciplinar e integrador. Así se establece, entre otros documentos oficiales, en el artículo 17 de la LOE (MEC, 2006), en el que se hace referencia a la formación matemática: "desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas . . . así como ser capaces de aplicar las matemáticas a las situaciones de su vida cotidiana”. No en vano la formación matemática básica proporciona un conjunto de instrumentos para el tratamiento sistemático de la incertidumbre genérica sobre modelos (la información es el elemento central y la resolución de problemas el espacio de juego), un repertorio de posibilidades intelectuales de actuación y desarrollo personal y un modo valioso para analizar analizar la realidad, comprenderla, comprenderla, valorarla valorarla y poder actuar sobre ella. ella. Entre los conocimientos matemáticos elementales imprescindibles en una formación básica, la cultura geométrica, geométrica, entendida como conjunto de competencias, capacidades y habilidades, vocabulario adecuado, visión global de las aplicaciones actuales, conocimiento de las nociones geométricas elementales elementales y sensibilidad por la belleza, el rigor, r igor, etc., debe ocupar una buena parte de la formación en Educación Primaria. El objetivo fundamental debe ser la consecución de un buen nivel de alfabetización geométrica en el contexto más amplio del desarrollo de las competencias básicas y matemáticas específicas, lo que sitúa este tema en un lugar destacado, ocupando, junto a los números, las operaciones aritméticas, el cálculo y la medida de magnitudes, la mayor parte del currículo de matemáticas en Primaria. En el presente tema abordaremos, en el primer apartado, la evolución de la percepción espacial desde el punto de vista geométrico, atendiendo a la importancia de la geometría y el valor de la formación geométrica, las orientaciones didácticas oficiales y el aprendizaje de las nociones geométricas elementales tomando como referencia los niveles de Van Hiele de razonamiento geométrico. A continuación, dedicaremos un apartado a los principales elementos, formas y relaciones geométricas en el plano y en el espacio distinguiendo las transformaciones y las representaciones así como las relaciones de proporcionalidad geométrica. En los apartados siguientes haremos una revisión de los recursos didácticos para el tratamiento del tema en Primaria para terminar terminar con algunas observaciones observaciones sobre sobre la intervención intervención educativa en esta etapa.

II. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA El espacio, entorno o medio físico constituye una realidad exterior al sujeto (aunque también se pueden considerar las realidades pensadas o virtuales aunque no tengan una existencia independiente del sujeto que las piensa) que es necesario conocer y comprender para adaptarse a sus características, actuar sobre él si fuera necesario y, en definitiva, para poder vivir en él. El individuo debe aprender, entre otras cosas, a moverse en el espacio, situarse, orientarse y analizar las formas, representarlas, pensar y trabajar sobre ellas en términos de modelos o ideas y extraer consecuencias y actuaciones que le permitan desenvolverse en dicho medio. Es por ello que la González Marí, J. L.

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VIII. REFERENCIAS WEB

I.

INTRODUCCIÓN

La finalidad de la Educación Primaria es proporcionar a todos los niños y niñas una educación que permita afianzar afianzar su desarrollo y su propio bienestar, adquirir habilidades culturales culturales básicas relativas a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la escritura y al cálculo, así como desarrollar las habilidades sociales, los hábitos de trabajo y estudio, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad (MEC, 2006); demandas socioculturales e individuales que se pretende satisfacer en la escuela a través del área de Matemáticas y de sus relaciones con otras áreas y con las materias transversales transversales mediante un proceso pro ceso educativo de carácter global, interdisciplinar e integrador. Así se establece, entre otros documentos oficiales, en el artículo 17 de la LOE (MEC, 2006), en el que se hace referencia a la formación matemática: "desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas . . . así como ser capaces de aplicar las matemáticas a las situaciones de su vida cotidiana”. No en vano la formación matemática básica proporciona un conjunto de instrumentos para el tratamiento sistemático de la incertidumbre genérica sobre modelos (la información es el elemento central y la resolución de problemas el espacio de juego), un repertorio de posibilidades intelectuales de actuación y desarrollo personal y un modo valioso para analizar analizar la realidad, comprenderla, comprenderla, valorarla valorarla y poder actuar sobre ella. ella. Entre los conocimientos matemáticos elementales imprescindibles en una formación básica, la cultura geométrica, geométrica, entendida como conjunto de competencias, capacidades y habilidades, vocabulario adecuado, visión global de las aplicaciones actuales, conocimiento de las nociones geométricas elementales elementales y sensibilidad por la belleza, el rigor, r igor, etc., debe ocupar una buena parte de la formación en Educación Primaria. El objetivo fundamental debe ser la consecución de un buen nivel de alfabetización geométrica en el contexto más amplio del desarrollo de las competencias básicas y matemáticas específicas, lo que sitúa este tema en un lugar destacado, ocupando, junto a los números, las operaciones aritméticas, el cálculo y la medida de magnitudes, la mayor parte del currículo de matemáticas en Primaria. En el presente tema abordaremos, en el primer apartado, la evolución de la percepción espacial desde el punto de vista geométrico, atendiendo a la importancia de la geometría y el valor de la formación geométrica, las orientaciones didácticas oficiales y el aprendizaje de las nociones geométricas elementales tomando como referencia los niveles de Van Hiele de razonamiento geométrico. A continuación, dedicaremos un apartado a los principales elementos, formas y relaciones geométricas en el plano y en el espacio distinguiendo las transformaciones y las representaciones así como las relaciones de proporcionalidad geométrica. En los apartados siguientes haremos una revisión de los recursos didácticos para el tratamiento del tema en Primaria para terminar terminar con algunas observaciones observaciones sobre sobre la intervención intervención educativa en esta etapa.

II. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA El espacio, entorno o medio físico constituye una realidad exterior al sujeto (aunque también se pueden considerar las realidades pensadas o virtuales aunque no tengan una existencia independiente del sujeto que las piensa) que es necesario conocer y comprender para adaptarse a sus características, actuar sobre él si fuera necesario y, en definitiva, para poder vivir en él. El individuo debe aprender, entre otras cosas, a moverse en el espacio, situarse, orientarse y analizar las formas, representarlas, pensar y trabajar sobre ellas en términos de modelos o ideas y extraer consecuencias y actuaciones que le permitan desenvolverse en dicho medio. Es por ello que la González Marí, J. L.

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educación de la percepción del espacio es muy importante para el adecuado desarrollo motriz, intelectual o afectivo del alumno, y tendrá una fuerte repercusión en los demás aprendizajes escolares. Pero hablar del espacio es hablar de numerosos aspectos que tienen que ver con el medio natural, el medio social, la familia, el propio cuerpo y su movimiento, etc. y de distintos tipos de espacio (el cercano o inmediato, el espacio lejano, el espacio pensado o imaginado, el espacio percibido, etc.). Es necesario, por tanto, delimitar lo que entendemos por espacio y por percepción espacial desde dicho punto de vista general y qué partes y aspectos de dicha complejidad corresponden a la interpretación geométrica del espacio, es decir, al tratamiento del espacio desde el área de matemáticas. Ambos campos son distintos, aunque se encuentran relacionados como veremos a continuación. La relación es evidente si tenemos en cuenta que el conocimiento geométrico es pensado y creado por la misma mente humana que crece, se adapta y se desarrolla en el medio complejo complejo y múltiple que estamos denominando espacio. II.1) El espacio y la percepción espacial El espacio El concepto más amplio de espacio hace referencia al “medio” medio” en el que vive el sujeto en el sentido más amplio posible. Este “medio” “medio” es complejo y difuso y está formado por los conjuntos de elementos, seres, objetos, propiedades, relaciones, experiencias y sensaciones, incluido el propio cuerpo, que determinan el proceso constante de desarrollo y adaptación del ser humano al entorno vital. En el concepto de espacio se mezclan aspectos objetivos y subjetivos. Hay una parte objetiva ajena objetiva ajena al individuo y más o menos consensuada (medio o entorno en el sentido más amplio, dimensiones, etc.) y una parte subjetiva subjetiva que tiene que ver con la apreciación e interpretación de todo lo que ocurre y se percibe a través de los sentidos s entidos y de la participación en experiencias con el entorno, e ntorno, consigo mismo y con los demás. Qué duda cabe de que el espacio subjetivo esta condicionado por las percepciones e interpretaciones del espacio objetivo o “exterior al sujeto”, sujeto” , las cuales, a su vez, están determinadas por las experiencias vitales que en él se producen. Evolución de la percepción percepción espacial Se puede decir que la percepción espacial es la acción y el resultado del intercambio de información de la mente y el cuerpo con el entorno. En dicho intercambio, el sujeto, desde su nacimiento y tomando como referencia el propio cuerpo, llega al conocimiento del espacio de manera directa a través de los sentidos mediante la exploración y manipulación de las objetos que en él se encuentran así como a través de los movimientos y desplazamientos que realiza. Va distinguiendo los elementos, percibiendo y reconociendo las relaciones y representando mentalmente toda la información en una organización estructurada que va a ir evolucionando muy deprisa en los primeros años de vida. Esta percepción espacial se va desarrollando y perfeccionando con el tiempo y con las experiencias proporcionando proporcionando una organización de la información información y de los esquemas de acción acción cada vez más más completa y compleja, resultando fundamental para poder trabajar los elementos, formas y relaciones geométricas y organizar el espacio. Hasta los 6-7 años, la percepción espacial, favorecida por la visualización, el propio cuerpo y las sensaciones cinestésicas y táctiles, se va perfeccionando en el niño en torno a la capacidad de orientarse y situarse a sí mismo y a los objetos u otros seres vivos en el espacio y entre sí, lo que viene favorecido por el desarrollo de la lateralidad. Al mismo tiempo, va distinguiendo entre e ntre distintos tipos de espacio (físico, social, corporal, inmediato, lejano, etc.) y va tomando conciencia y configurando los esquemas de acción y representación directa sobre el entorno. Paulatinamente, se desarrolla el conocimiento descentración y desarrollo de la indirecto del espacio a través del lenguaje y se produce una progresiva descentración y función simbólica, simbólica, lo que favorece una más completa representación mental del del espacio y una mejor disposición para trabajar y comprender las nociones geométricas. Esta breve descripción general se completa con más detalle en el apartado II.5 dedicado al aprendizaje apre ndizaje y su evolución según Piaget y Van Hiele. González Marí, J. L.

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II.2) La Geometría: interpretación matemática del espacio De todas las facetas y propiedades del espacio, la Geometría es la parte de la Matemática que estudia las idealizaciones del espacio en términos de las propiedades y medidas de las figuras geométricas. La Geometría no estudia el espacio real en sí, sino objetos ideales (también llamados matemáticos o geométricos) (polígono, punto, arista, giro, etc.), sus propiedades, relaciones y teorías, construidos por abstracción de cualidades del espacio real o de otros objetos ideales creados previamente (en el espacio real no existen círculos, pentágonos, rectas, puntos o esferas, sino objetos con forma de . . . o modelizados por . . .; la realidad física siempre es menos perfecta que la realidad geométrica pensada o ideal). La geometría elemental admite dos puntos de vista o enfoques complementarios y estrechamente relacionados entre sí: -

VISUALIZACIÓN / MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA DEL ESPACIO : Métodos, procesos y resultados relacionados con la observación y visualización de la realidad para su modelización y representación mental o gráfica. Es la parte más elemental de la Geometría, previa a la siguiente y en la que se trata de dar forma mental, física, esquemática o simbólicorepresentativa a los aspectos geométricos de los objetos y situaciones reales del entorno. Constituye la parte de la percepción espacial que sirve como puerta de entrada a la Geometría. A través de los sentidos se memorizan aspectos o imágenes parciales de la realidad y se construyen modelos físicos o representados de los esquemas visuales; en definitiva, se da forma mental (imagen o esquema mental) o física (representación gráfica o modelo físico construido) a lo que se conoce como configuraciones figurales , que son las que van a servir de base para el trabajo propiamente geométrico del apartado siguiente. “

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ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LAS FORMAS : Las configuraciones figurales percibidas a través de la observación y la visualización y construidas y representadas a través de la modelización y el grafismo, constituyen las estructuras geométricas de la forma y son los objetos de estudio de la ciencia del espacio, parte de la Matemática, a la que denominamos Geometría. El estudio geométrico o matemático del espacio se llama también análisis figural o estudio de la forma y abarca los siguientes aspectos: o

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Forma o “aspecto” 1 ideal que tienen o pueden tener los objetos que estructuran el espacio; Estructuras (elementos y organización: punto, lado, ángulo, vértice, segmento, línea recta, curva, contorno, perímetro, etc.) Relaciones Estáticas (perpendicularidad, paralelismo, relación entre número de caras, vértices y aristas en un poliedro, etc.) Lugares geométricos Localización/posición en el espacio (coordenadas, posiciones relativas) Composiciones con formas y figuras, cubrimientos de planos y espacios, frisos, mosaicos y teselaciones Dinámicas (transformaciones geométricas) Transformaciones/Movimientos (traslaciones, giros, simetrías) homotecias y semejanzas 

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No se consideran ni la materia ni la textura ni el color, ni siquiera el tamaño o la dimensión, etc. Se prescinde de la mayor parte de las cualidades perceptibles del objeto

González Marí, J. L.

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Dimensiones (medidas de longitud, superficie, volumen, amplitud angular, etc.) Clasificación de elementos, figuras y formas (polígonos según distintos criterios, triángulos, ángulos, etc.) Terminología (lenguaje, definiciones, etc.) Representación y Construcción (plano, espacio de tres dimensiones, dibujo, instrumentos (TIC, regla y compás, etc.)) Razonamiento geométrico y resolución de problemas sobre conceptos, propiedades y relaciones geométricas (Ejemplo: análisis y digitalización de imagen)

La unificación de las distintas Geometrías: la Geometría a través de las transformaciones Hasta el siglo XVI no se conoce otra Geometría que la de Euclides, pero a partir de entonces aparecen otras geometrías, tales como la proyectiva (perspectivas, pintura), la descriptiva (arquitectura, planos), la analítica (integración del álgebra y la geometría (ecuaciones que representan figuras y elementos geométricos)), la topología, las geometrías no euclideas (Lobachevski, Riemman), etc. La complejidad estaba servida. Fue Félix Klein quien tuvo la genial idea (Programa de Erlangen) de intentar definir un nuevo concepto unificador de geometría, de manera que todos los adjetivos históricos resultaran casos particulares. Para ello se fijó en que los conocimientos geométricos se pueden dividir en dos grandes grupos: los que corresponden a lo que se conoce como “ Geometría estática” (figuras, formas, referencias, etc.) y los que se engloban bajo el término “ Geometría dinámica” (transformaciones, homotecias, etc.). En dicho Programa, el autor describió la geometría como el estu dio de aquell as propiedades de las figu ras que permanecen i nvari antes bajo la acción de un gru po concreto de transform aciones . Por lo tanto, cualquier clasificación de los grupos de transformaciones se convierte inmediatamente en una clasificación de las geometrías: A) La geometr ía eucl ídea plana consiste en el estudio de las propiedades de las figuras del plano, incluidas las áreas y longitudes, que permanecen invariantes bajo el grupo de transformaciones generado por las traslaciones y rotaciones en el plano ( transformaciones euclídeas o rígidas o también llamadas transformaciones isométricas o isometrías, que conservan las distancias, los ángulos y las áreas, los perímetros y las ideas y conceptos incluidos en la geometría clásica); B) La geometr ía pr oyecti va estudia las propiedades que se conservan ante transformaciones proyectivas, que modifican sólo los ángulos y las distancias (perspectivas, ampliaciones, reducciones, fotografía, pintura, secciones de sólidos, etc.); C) La topol ogía estudia las propiedades de las figuras que permanecen inalteradas ante transformaciones topológicas, que son transformaciones que modifican casi todas las propiedades salvo el interior, el exterior y la frontera, la continuidad, el orden, etc. (está todo permitido menos romper y/o pegar) (Ej.: un rectángulo de plastilina se puede estirar tirando de dos vértices opuestos y hacer que los lados se curven desigualmente. Un dibujo en la superficie de un globo desinflado y el mismo dibujo en el globo hinchado. Entre las figuras originales y las figuras resultantes en cada caso, ¿qué propiedades han cambiado y cuáles se mantienen?; han cambiado las longitudes y las formas de los lados, el interior es una superficie más grande, etc.; se mantiene el interior (lo que estaba dentro sigue estando dentro y lo que estaba fuera sigue estando fuera), los bordes o fronteras, el orden, el número y la vecindad de los vértices, etc. Estas se llaman propiedades topológicas del espacio y la parte de la Geometría que estudia estas propiedades se llama Topología. Las transformaciones topológicas son las más permisivas mientras que las euclídeas son las más restringidas (también se les llama “rígidas”, puesto que aquí solo se puede trasladar o girar la figura, con lo que se mantiene casi todo). En definitiva, la geometría está determinada por un espacio delimitado por unos objetos ideales González Marí, J. L.

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(punto, recta, plano, figuras, etc) y unas transformaciones (traslaciones, giros, reflexión, simetrías, etc.) que nos permiten clasificar las figuras (serán figuras equivalentes las que puedan pasar de una a otra mediante una transformación del tipo considerado). Las propiedades o conceptos genuinos de cada geometría serán los que se conserven (queden invariantes) por las transformaciones correspondientes.

(Nota del autor: se han dibujado a la derecha varias posibles figuras resultantes de cada tipo de transformación. Cualquiera de ellas serviría como ejemplo). De un donut de plastilina o de arcilla se puede fabricar una taza (ver ilustración). Las figuras tridimensionales de ambas piezas son topológicamente equivalentes . Cambia todo excepto las propiedades topológicas (tener un agujero, una sola superficie, el interior, la frontera, etc.). (le cogemos un pellizco al donut quitando masa de alrededor del boquete, disminuyendo el tamaño de este pero manteniéndolo unido a la bola que nos va a servir hacer el hueco de la taza . . . Varia la forma, el tamaño, etc. pero no varian las propiedades topológicas).

II.3) Importancia y utilidad de la Geometría. Valor formativo y funcional La educación y el desarrollo del pensamiento geométrico elemental constituye una parte esencial del aprendizaje matemático. De un lado por su valor funcional derivado de su aplicabilidad a diversos campos y situaciones (es elemento fundamental para comprender e interpretar adecuadamente la realidad; no se concibe la vida cotidiana sin las formas y nociones geométricas (volumen del depósito de un vehículo, distancias a recorrer, arquitectura, superficies de viviendas, forma y capacidad de un recipiente, etc.)). No en vano trata sobre ideas, modelos, teorías y propiedades que tienen que ver con las formas, una parte de las magnitudes y medidas, el orden “geométrico”, las transformaciones y las relaciones entre dichos aspectos, un campo amplísimo y tan potente como para abarcar aplicaciones como las siguientes: - astronomía y mecánica celeste - cartografía, geodesia y triangulación González Marí, J. L.

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- problemas comerciales (envasado, empaquetado, tallas, patrones, etc.) - ingeniería (diseño de piezas) y arquitectura - formas en la creación artística - robótica; movimientos - óptica, fotografía y cine - cálculo de medidas (áreas, volúmenes, ángulos, etc.) - digitalización y manipulación de imágenes -... Por otra parte, es de destacar su valor altamente formativo (se ejercitan constantemente la comparación, el orden, el manejo de la información, la perspectiva, la visualización, la apreciación de la belleza en el arte, la arquitectura, la escultura, la pintura, etc.); Desde el punto de vista curricular , la geometría es importante “... por constituir elementos básicos necesarios para la construcción de otros con ocimientos matemáticos...“ (Junta de Andalucía, 1992), como es el caso de los conocimientos métricos, y por su contribución al desarrollo de las competencias básicas y matemáticas específicas. Pero, además, no es un tema matemático aislado; la Educación Artística, la Educación Física, el Dibujo y el Diseño, el Conocimiento del Medio Social (edificios, envases, etc.; distancias y recorridos de eventos, etc.) y del Medio Natural (espacios, formas de envases, capacidades de recipientes, distancias, cartografía, planos, etc.), la Tecnología (aparatos para dibujar, software de diseño gráfico) y las Matemáticas desde distintos bloques temáticos (álgebra, representación en análisis de datos), se relacionan entre sí en este tema interdisciplinar y con numerosas relaciones con temas transversales (Educación Vial, Educación ambiental, entre otros), campo privilegiado para el desarrollo de competencias y capacidades básicas diversas. II.4) Las nociones geométricas en el currículo de Educación Primaria. Orientaciones oficiales Las orientaciones oficiales sobre nociones geométricas, formas y figuras y sus propiedades se recogen en los siguientes documentos legislativos oficiales: - LOE, MEC (2006) - Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006) - Orden de 10/08/2007 (Junta de Andalucía) desarrollo del currículo en Educación Primaria.

Principios y metas : El alto valor formativo y funcional y su destacada contribución al desarrollo de las competencias básicas y matemáticas, confieren a estos conocimientos un destacado papel en la consecución de la alfabetización matemática, entendida como la capacidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático en situaciones reales o simuladas, interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y argumentaciones con contenido numérico, aritmético, geométrico y métrico e identificar y resolver problemas, seleccionando las estrategias, técnicas e instrumentos adecuados. Capacidades y competencias “La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: . . 2) Reconocer situaciones en su medio habitual . . ; 3) Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana. . .; 7) Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.” (MEC, 2006). El tratamiento didáctico de los conocimientos geométricos debe contribuir al desarrollo de las competencias básicas (aprender a aprender, a través del razonamiento geométrico y la resolución de problemas, competencia cultural y artística, a través del dibujo geométrico, el diseño, etc., competencia digital, autonomía e iniciativa personal, conocimiento del medio natural y social) y de las competencias matemáticas específicas (pensar y razonar geométricamente, resolver y proponer González Marí, J. L.

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problemas geométricos, modelizar, representar, comunicar, argumentar mediante razonamientos geométricos y utilizar tecnología auxiliar para el estudio de las figuras y sus propiedades).

Objetivos Los objetivos específicos del área de Matemáticas para la etapa de Educación Primaria quedan recogidos en el Real Decreto 1513/2006. Los objetivos que desarrollan aspectos relacionados con la geometría y la orientación espacial son los siguientes: 5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados. 7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción. Los contenidos y criterios de evaluación de este núcleo de conocimientos, procedimientos y destrezas se sitúan, de acuerdo con el Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006), en el bloque temático nº 3 Geometría y de acuerdo con la Orden de 10 de agosto de 2007 de la Junta de Andalucía, en el bloque disciplinar denominado Las formas y figuras y sus propiedades y en la relación de éste con los tres bloques transversales: “Resolución de problemas”, “TIC” y “Dimensión histórica, social y cultural de las matemáticas”. Por otra parte, dado que entre las magnitudes más importantes se encuentran las magnitudes geométricas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular, etc.), también existe una relación especial con el bloque I a través de la medida de magnitudes (ver esquema). “

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Se establecen los siguientes contenidos y criterios de evaluación para el Bloque 3. Geometría (Real 2 Decreto 1513/2006 (MEC, 2006)) :

Primer ciclo: Contenidos: La situación en el espacio, distancias y giros (posiciones y movimientos, líneas abiertas y cerradas, rectas y curvas; itinerarios); formas planas y espaciales (figuras y elementos, comparación y clasificación; composición y descomposición de figuras planas); 

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En Anexos se incluye una relación detallada de los contenidos y criterios de evaluación recogidos en la normativa legal de los que se hace un resumen a continuación.


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regularidades y simetrías (relaciones espaciales, resolución de problemas geométricos); interés, curiosidad y confianza en el trabajo con formas geométricas y sus propiedades.

Criterios de evaluación: describir la situación de un objeto del espacio próximo y de un desplazamiento en relación a sí mismo, utilizando los conceptos de izquierda-derecha, delantedetrás, arriba-abajo, cerca-lejos y próximo-lejano (orientación y representación espacial); reconocer en el entorno inmediato objetos y espacios con formas rectangulares, triangulares, circulares, cúbicas y esféricas (reconocimiento de formas geométricas elementales). Segundo ciclo: Contenidos: La situación en el espacio, distancias, ángulos y giros (representación, planos y maquetas, posiciones y movimientos; líneas rectas y curvas, intersección y rectas paralelas); formas planas y espaciales (polígonos, lados y vértices; circunferencia y círculo; cuerpos geométricos: cubo, esfera, prisma, cono, etc.; aristas y caras; construcción de figuras planas y cuerpos a partir de su desarrollo; comparación y clasificación de ángulos, figuras y cuerpos geométricos); regularidades y simetrías (traslaciones y simetrías); interés, confianza y gusto por la presentación de construcciones geométricas; confianza en las propias posibilidades). 

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Criterios de evaluación: reconocer y describir formas y cuerpos geométricos del espacio (polígonos, círculos, cubo, prismas, cilindros, esferas; propiedades y clasificaciones). Tercer ciclo: Contenidos: la situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros (ángulos, coordenadas cartesianas, movimientos; representación, escalas y gráficas; utilización de instrumentos de dibujo y programas de informática para construcciones geométricas); formas planas y espaciales (lados y ángulos de un triángulo; composición y descomposición de figuras); regularidades y simetrías (figuras simétricas; semejanza: ampliaciones y reducciones); interés por la precisión y la presentación clara y ordenada de trabajos geométricos y perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos; 

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Criterios de evaluación: utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad, simetría, perímetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana (utilización efectiva en situaciones del entorno en las que hay que aplicar los conocimientos adquiridos).

Núcleos de interés en Educación Primaria: 1).- Estudiar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas • reconocer, dar nombre, construir, dibujar, comparar y clasificar figuras de dos y tres dimensiones; • describir los atributos y los elementos de figuras de dos y tres dimensiones; • juntar y separar figuras de dos y tres dimensiones para formar otras figuras. 2).- Localizar y describir relaciones espaciales • describir, dar nombre e interpretar posiciones relativas en el espacio y aplicar ideas sobre posición relativa; • encontrar y denominar "lugares" con relaciones simples como "cerca de". González Marí, J. L.

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3).- Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas • reconocer y aplicar traslaciones, reflexiones y giros; reconocer y crear figuras que tengan simetrías. 4).- Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica • crear imágenes mentales de figuras geométricas usando la memoria y la visualización espacial; • reconocer y representar figuras desde diferentes perspectivas; • relacionar ideas geométricas con ideas numéricas y de medida (patrones de puntos); • reconocer formas y estructuras geométricas en el entorno. 5).- Resolver problemas geométricos elementales 6).- Utilización de las TIC y otros recursos y materiales didácticos para la construcción de figuras y formas geométricas, estudio de sus propiedades y la resolución de problemas. 7).- En Andalucía, se debe relacionar el aprendizaje de la geometría con los núcleos temáticos paisajes andaluces y el patrimonio de Andalucía del Área de Conocimiento del medio natural, social y cultural Por último, son evidentes las relaciones, que habrá que establecer convenientemente en el d iseño de las Unidades Didácticas correspondientes, entre la Geometría elemental y otros ámbitos, “la geometría debe servir para establecer relaciones con otros ámbitos como la naturaleza, el arte, la arquitectura o el diseño, así como la historia y la cultura . . (Junta de Andalucía).

II.5) El aprendizaje y la evolución de la percepción espacial y del pensamiento geométrico: Piaget y niveles de Van Hiele de razonamiento geométrico. Complejidad, dificultades y errores El aprendizaje de los conceptos, relaciones y propiedades geométricas del espacio depende de la evolución de la percepción espacial, de las características generales del desarrollo de las capacidades y conocimientos del sujeto, del estado de la función simbólica y el dominio del lenguaje. Entre las distintas teorías y estudios realizados sobre la evolución de las capacidades y conocimientos geométricos vamos a exponer brevemente a continuación las dos que nos parecen más importantes: las etapas en la construcción de las ideas geométricas del espacio de Jean Piaget (1986) y la evolución del razonamiento geométrico de los esposos Van Hiele (1986).

Etapas en la construcción del espacio y de las propiedades geométricas del espacio según Piaget A grandes rasgos, la percepción del espacio y la construcción de las nociones, relaciones y propiedades geométricas son aspectos solidarios y que evolucionan paralelamente en el individuo. El desarrollo del pensamiento espacial y geométrico pasa por dos etapas acumulativas y de transición gradual y continua entre ellas: 1. El espacio percibido o vivenciado e inicio al espacio representado , fruto de la experiencia inmediata y de la vivencia motriz, con una perspectiva egocéntrica, y en el que se produce un progresivo afianzamiento de las propiedades más generales o topológicas3 (proximidad, separación, vecindad; abierto, cerrado; continuidad; orden infralógico; etc.) y el comienzo de una percepción espacial más objetiva y funcional y menos egocéntrica (de 0 a 5-6 años); la lateralidad será la responsable por excelencia de la capacidad de orientación en el espacio. 2. El espacio pensado / representado / estructurado (a partir de los 6-7 años), cuyos inicios se producen en la etapa de Educación Primaria, en la que se puede observar, gracias al dominio de la función simbólica, un aumento del análisis de las propias percepciones y un perfeccionamiento en el uso de las imágenes mentales. Todo ello va a propiciar un progresivo despegue de la realidad hacia un pensamiento geométrico más evolucionado caracterizado por el dominio y la comprensión en años sucesivos del resto de propiedades matemáticas del espacio (proyectivas y euclideas) 1 3

Ver apartado siguiente


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(orientaciones, volúmenes, secciones de cuerpos, perspectivas, escalas, coordenadas y sistemas de referencia, distancias, ángulos, paralelismo y perpendicularidad, longitud, superficie, proporcionalidad geométrica, etc.). La estructuración espacial o capacidad de apreciar y situar objetos en un espacio tridimensional junto a la capacidad para tomar puntos de referencia externos a sí mismo, se basa en dichas relaciones proyectivas y euclidianas. El desarrollo descrito anteriormente parece que continúa y se perfecciona a lo largo de toda la vida, si bien con distintas intensidades y cualidades según la edad y las experiencias y disminuyendo con el paso de los años.

El dominio de las propiedades geométricas por parte del sujeto se produce en el orden inverso al de aparición de dichas propiedades en la historia de las matemáticas:

1. Propiedades topológicas Son relaciones y propiedades cualitativas elementales: Vecindad: proximidad de elementos u objetos que se dan en un mismo campo (cerca – lejos). Separación: capacidad de disociar formas u objetos que no se pertenecen unos a otros (junto – separado). Orden o sucesión espacial: relacionar en el campo elementos vecinos (delante - detrás, derecha izquierda, arriba – abajo). Envolvimiento: abarcar o contener a otros elementos (dentro – fuera). Etc. 2. Propiedades proyectivas Las nociones proyectivas se fundamentan sobre la noción de profundidad, constancia de forma y tamaño del objeto y tienen relación con volúmenes, apreciación de perspectivas, secciones, prolongación de superficies, orientación derecha e izquierda en el espejo y en relación a otros sujetos, etc.. También se pueden incluir las nociones de: delante, detrás, al lado, a la derecha, debajo, etc. Son propiedades que se distinguen especialmente en situaciones que tienen que ver con el aspecto que presenta un objeto visto desde diferentes ángulos o de situar los objetos en relación a otros con una perspectiva dada. Su formación requiere de procesos complejos de representación mental (Ej.: Los niños pequeños dibujan una cara de perfil pero con dos ojos de frente, lo que se interpreta en el sentido de que no dominan aún las propiedades proyectivas). Se empiezan a formar a partir de los 4 y 5 años (el niño distingue a esas edades entre un cuadrado y un círculo porque comienza a apreciar y conocer la línea recta y a distinguirla de la línea curva) y se consolidan a partir de los 7 - 8 años de edad (dibuja bien la perspectiva en situaciones sencillas). 3. Propiedades euclídeas: (6 años o más) Las nociones euclidianas se basan en el hecho de situar los objetos en relación a un sistema de referencia, lo que implica la necesidad de introducir medidas de longitud, superficie, ángulos, volumen, etc.. (Ej.: el niño distingue el cuadrado del rombo porque es capaz de advertir la existencia de los ángulos, compararlos y apreciar sus diferencias). Niveles de Van Hiele. 

Nivel O: Visualización (percepción espacial y pensamiento no geométrico (no matemático)) Las figuras geométricas son reconocidas por su forma total, esto es, por su apariencia física ( es como una ventana, se parece a una rueda, etc… ), como un todo; no por sus partes o propiedades, que no son percibidas ( reconocen triàngulos, cuadrados, rectàngulos, etc., pero no identifican explìcitamente las propiedades de estas figuras ). Los objetos de pensamiento en el nivel O son formas y se conciben según su apariencia. Se agrupan formas con el

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mismo aspecto (cuadradas). Si el profesor pregunta a los niños en qué se diferencian, por ejemplo, los rombos de los rectángulos, sus respuestas harán énfasis en las diferencias de formas, tamaños, tal vez color, etc. ( “ el rectángulo es más largo “, “ el rombo es más picudo “, ... ); en este nivel no debemos esperar respuestas que se basen en el paralelismo, los àngulos rectos, etc. 

Nivel 1: Análisis. (inicios del pensamiento geométrico: los alumnos son capaces de descubrir y generalizar propiedades que aún no conocen a partir de la observaciòn y la manipulaciòn). Los objetos de pensamiento en el nivel 1 son clases de formas en lugar de formas individuales. Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias ) de los objetos y figuras. Los alumnos son capaces de pensar sobre lo que hace que un rectángulo sea un rectángulo; se dan cuenta de que las figuras geomètricas están formadas por partes o elementos y de que estàn dotadas de propiedades matemàticas ( geométricas).. Se perciben propiedades a través de la experimentación, la observación y la repetición, pero dicha percepción es aislada, no se relacionan las propiedades y no se perciben relaciones entre las propiedades y las figuras. Pueden describir las partes que integran una figura y enunciar sus propiedades así como las figuras por sus propiedades, pero no relacionar unas propiedades con otras (paralelismo de lados opuestos con igualdad de lados opuestos ) o unas figuras con otras (un cuadrado es un rombo especial ). Experimentando con figuras y objetos pueden establecer nuevas propiedades. Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades. Los enunciados son informales y las definiciones no son comprendidas. Como muchas definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades, no pueden elaborar definiciones.

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La diferencia bàsica con el nivel anterior: los estudiantes han cambiado su forma de mirar las figuras geométricas; ahora son conscientes de que pueden estar formadas por elementos y de que son portadoras de ciertas propiedades. No obstante, la capacidad de razonamiento es limitada, pues usaràn las propiedades de una figura como si fuesen independientes entre sì (por ejemplo, no relacionaràn la existencia de àngulos de 90º con la perpendicularidad o el paralelismo de los lados). 

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Nivel 2: Deducción informal. En este nivel comienza la capacidad de razonamiento formal (matemático) de los estudiantes: ya son capaces de reconocer que unas propiedades se deducen de otras y de descubrir esas implicaciones; en particular, pueden clasificar lógicamente las diferentes familias de figuras a partir de sus propiedades o relaciones ya conocidas. No obstante, sus razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación. Pueden entender una demostración explicada por el profesor o desarrollada en el libro de texto, pero no son capaces de construirla por sí mismos. Si la capacidad de razonamiento propia del nivel 1 no permitía a los estudiantes entender que unas propiedades pueden deducirse de otras, al alcanzar el nivel 2 habrán adquirido esta habilidad de conectar lógicamente diversas propiedades de la misma o de diferentes figuras. En el caso del estudio de los cuadrilàteros, los estudiantes de este nivel ya podrán entender que la igualdad de los àngulos opuestos implica el paralelismo de los lados, que la igualdad de lados implica la perpendicularidad de diagonales, etc. . Sin embargo, la capacidad de los estudiantes se limitarà a realizar pequeñas deducciones. Nivel 3: Deducción formal Los objetos del pensamiento son relaciones entre propiedades de los objetos geométricos. (Un alumno en este nivel puede observar claramente que las diagonales de un rectángulo se

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cortan en su punto medio). los estudiantes pueden entender y realizar razonamientos lógicos formales; las demostraciones ( de varios pasos ) ya tienen sentido para ellos y sienten su necesidad como único medio para verificar la verdad de una afirmación. Los estudiantes aceptan la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas (es decir, la existencias de demostraciones alternativas del mismo teorema ), la existencia de definiciones equivalentes del mismo concepto, etc. Pueden realizar correctamente actividades como la siguiente: . . . escribe una definición de cuadrado que empiece: a) un cuadrado es un cuadrilátero ..... b) un cuadrado es un paralelogramo ..... c) un cuadrado es un rectángulo ..... d) un cuadrado es un rombo ..... “la mediatriz de la base ( lado desigual ) de un triángulo isósceles siempre pasa por el tercer vértice” ¿porqué? los estudiantes de este nivel podràn hacer demostraciones formales de las propiedades que ya habìan demostrado informalmente con anterioridad, asì como descubrir y demostrar nuevas propiedades màs complejas, y también estaràn en condiciones de relacionar los cuadrilàteros con otras partes de la geometrìa euclidea que han estudiado, de darse cuenta de que hay algunos elementos comunes a todas ell as ( puntos, rectas, paralelismo, … ) y llegaràn a reconocer que las diferentes partes de la geometrìa que conocen, tanto plana como espacial, son en realidad partes de un ùnico sistema formal basado en los postulados de Euclides.

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Nivel 4: Rigor. En este nivel el discente puede trabajar sobre una variedad de sistemas axiomáticos, esto es por ejemplo la geometría no-euclidea puede ser estudiada, y los diferentes sistemas pueden ser comparados. La Geometría es vista en abstracto, sin necesidad de ejemplos concretos. Los objetos de pensamiento del nivel 4 son sistemas axiomáticos para la geometría. Este es el nivel requerido en los cursos universitarios especializados.

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Los alumnos de Educación Primaria se encuentran en su mayoría entre los niveles 0 y 1, si bien se pueden encontrar alumnos en tercer ciclo que ya han superado ambos niveles y tienen un pensamiento geométrico de las características del nivel 2. DIFICULTADES Y ERRORES La complejidad de los conocimientos geométricos, como se desprende de lo tratado anteriormente, y las características del proceso educativo ordinario, manifiestamente mejorable y que no suele tener en cuenta la mayor parte de lo mencionado, provoca numerosos errores que constituyen un verdadero reto para los maestros y responsables educativos. Para tratar de disminuir al máximo, o incluso eliminar, dichos errores, es conveniente cuidar especialmente el diseño y el desarrollo del proceso didáctico teniendo en cuenta, entre otros, los aspectos mencionados y las consideraciones que se incluyen en el apartado IV de este tema relativas a la intervención educativa.

III. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN El espacio, en su sentido más amplio, presenta multitud de aspectos analizables desde el punto de vista de la Geometría elemental. En este apartado se hace una breve revisión de los principales González Marí, J. L.

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elementos, formas y relaciones geométricas, las cuales constituyen modelos de objetos y situaciones del entorno que el ser humano utiliza para crear y organizar o estructurar el medio que le rodea. En los niveles de Educación Primaria se han de tener en cuenta los elementos, formas, estructuras y relaciones que se incluyen en el apartado II.2, en las orientaciones curriculares oficiales analizadas en el apartado II.4 y que se describen con más detalle en los sucesivos apartados que se desarrollan a continuación. III.1) Geometría del plano. Elementos y formas planas Comenzar el análisis por la geometría del plano es una mera cuestión de orden, pues donde realmente adquiere todo su significado el plano y sus elementos es en el contexto del espacio de tres dimensiones del que forma parte. No obstante, mantengamos el enfoque tradicional abordando en primer lugar las nociones, relaciones y características del espacio bidimensional.

A) EL EM EN TOS BÁSI COS

El punto, la recta y el plano son nociones geométricas básicas relacionadas entre sí y que se definen unos a partir de otros.

PUNTO: elemento geométrico primario o primitivo, aunque no simple ni de fácil comprensión. No es un objeto físico, no tiene dimensiones y se define como el lugar de intersección de dos rectas que se cortan. Se puede decir que el punto es un objeto matemático o idea, pero que si se establece un paralelismo con la realidad física, su “aspecto” no cambia ante ampliaciones o reducciones de cualquier tamaño (un punto dibujado en el papel con la punta de un alfiler siempre tendrá la misma apariencia, tamaño, forma, etc. al observarlo con cualquier lupa o microscopio o al ampliar la zona todo lo que queramos). RECTA: sucesión ilimitada e infinita de puntos de tal manera que todos los puntos se disponen siempre en la dirección del camino más corto con los demás (la letra no cursiva constituye una definición informal). Es la línea ilimitada que une dos puntos por el camino más corto. Por dos puntos pasa una recta y sólo una, por tanto dos puntos determinan una recta y sólo una. INTERSECCIÓN DE LÍNEAS RECTAS. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Intersección de líneas rectas González Marí, J. L.

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Dos líneas rectas en el plano pueden ser paralelas (no tienen ningún punto en común), coincidentes (todos sus puntos son comunes) o se pueden cortar (tienen un punto en común). A su vez, las líneas que se cortan pueden ser perpendiculares u oblícuas. Dos líneas rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo entre ellas de 90º.

SEGMENTO: zona o parte de la recta comprendida entre dos puntos. SEMIRRECTA : recta limitada por un punto. Un punto en una recta determina dos semirrectas. PLANO: Superficie ilimitada que contiene a dos rectas que se cortan en un punto o que son paralelas. Tres puntos no alineados también componen un plano. ÁNGULO: Es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen en común el punto que las define. Dicho punto se llama vértice del ángulo y las semirrectas se llaman lados. Dos rectas que se cortan originan cuatro ángulos iguales dos a dos. Clasificación de los ángulos por su amplitud : Ángulo llano: sus lados son prolongación uno del otro. Su amplitud es de 180º Ángulo recto: sus lados son perpendiculares. Su amplitud es de 90º Ángulo obtuso: su amplitud está entre 90º y 180º. Ángulo agudo: su amplitud es inferior a 90º    

• Clasificación de los ángulos por sus posiciones relativas: Ángulos consecutivos: son los que tienen el vértice y un lado común. Ángulos adyacentes: son los que tienen un lado común y los lados no comunes son uno prolongación del otro. Ángulos opuestos por el vértice: los lados de uno son prolongación de los lados del otro.  

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• Clasificación por la suma de amplitudes: Complementarios: los que suman 90°. Suplementarios: los que suman 180°.  

LUGAR GEOMÉTRICO: conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada (Ej. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia (radio) de un punto llamado centro de la circunferencia). MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO : lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Es una recta perpendicular al segmento en su punto medio. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO : lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Es una recta que divide el ángulo en dos partes iguales (VER FIGURA).

B) F ORM AS Y FI GURAS PLANA S González Marí, J. L.

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LÍNEA POLIGONAL: Conjunto de segmentos unidos secuencialmente por sus extremos. Los segmentos que tienen un punto en común se llaman consecutivos. Los que sólo tienen un punto en común con otro se llaman extremos. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Una línea poligonal es abierta cuando tiene extremos y es cerrada cuando no los tiene (ver figuras).

POLÍGONOS Región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. A los segmentos de la línea se les llama lados del polígono y a los puntos comunes de cada pareja de lados vértices. Los ángulos interiores que forman cada pareja de lados son los ángulos del polígono. Por tanto el número de lados es igual que el número de ángulos. Al ser regiones del plano, los polígonos tienen superficie. El área de las figuras planas es una medida de la superficie de dichas regiones. Cada lado de un polígono tiene una medida de longitud determinada, que es la misma para todos los lados si el polígono es regular. Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de longitud de todos sus lados. Según el número de lados y de ángulos, los polígonos se clasifican en triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, etc. Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares.

TRIÁNGULOS Polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es 180°. Cada lado de un triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que su suma. Su área es: S = bxh / 2, donde b es la base y h la altura.

Clasificación de triángulos Según sus ángulos: Rectángulos (un ángulo de 90º); Acutángulos (tres ángulos agudos); Obtusángulos (un ángulo obtuso).

En los triángulos rectángulos los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el opuesto a dicho ángulo se llama hipotenusa. En todo triángulo rectángulo se cumple que “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ” (a 2 = b2 + c2) (Teorema de Pitágoras). b

c a

Según sus lados: equiláteros (tres lados iguales); isósceles (dos lados iguales); escaleno (los tres lados desiguales). González Marí, J. L.

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Rectas y segmentos notables en un triángulo: Mediatriz de cada lado: recta perpendicular al lado en su punto medio. Las mediatrices de todo triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro (centro de la circunferencia circunscrita). Bisectriz de cada ángulo: son también rectas y dividen cada ángulo en dos regiones iguales. Se cortan en un punto llamado incentro (centro de la circunferencia inscrita). Mediana: segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro. Altura: segmento trazado perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación del lado opuesto. Las alturas de todo triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. Relaciones en el triángulo rectángulo: el teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

CUADRILÁTEROS Son polígonos de cuatro lados. Todos tienen cuatro vértices y dos diagonales. La suma de los ángulos interiores es 360º. Pueden ser: CONVEXOS CÓNCAVOS

A su vez, los cuadriláteros convexos pueden ser:

OTROS POLÍGONOS González Marí, J. L.

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En función de su números de lados: pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, etc. La suma de sus ángulos es tantas veces dos ángulos rectos como lados menos dos (Si tiene n lados. La suma de sus ángulos = 180 (n - 2)). Obsérvese que los triángulos y los cuadriláteros antes descritos cumplen esta expresión general. Los polígonos regulares son los que tienen sus lados y sus ángulos iguales. Los más sencillos son: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, octógono regular, dodecágono regular, etc. Se llama apotema de un polígono regular al segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A esa distancia se le llama radio. Cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. Las cuerdas de mayor longitud son las que pasan por el centro y se llaman diámetros. Por tanto, un diámetro es dos veces el radio. La longitud de la circunferencia es 2πr Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Una recta puede ser exterior a una circunferencia si no la corta en ningún punto, tangente, si la corta en un punto y secante si la corta en dos puntos Posiciones relativas de dos circunferencias Depende de las distancias de sus centros y de la suma y diferencia de sus radios. Pueden ser: exteriores, interiores, secantes, tangentes interiores, tangentes exteriores y concéntricas. La circunferencia que pasa todos los vértices de un polígono se llama circunscrita. La que es tangente a todos sus lados se llama inscrita.

(circunferencia circunscrita al hexágono regular) El círculo es la región del plano comprendida dentro de una circunferencia. La parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco se llama sector circular . La parte del círculo comprendida entre una cuerda y el arco se llama segmento circular . Por tanto, cada cuerda, en el círculo, determina dos segmentos circulares. El área del circulo de radio r es: A = πr 2 III.2) Geometría del espacio. Elementos y formas en el espacio tridimensional Los elementos son los mismos que los que se han mencionado para la geometría del plano. Las formas también participan de las formas del plano en el sentido de que dichas formas son parte de figuras y formas que ahora son tridimensionales y que reciben el nombre de cuerpos geométricos o “sólidos”, si bien este adjetivo no se refiere a la naturaleza física (ni a que sea “macizo” o “no hueco”) sino a las car acterísticas topológicas del cuerpo o figura (posee una superficie ideal cerrada que separa la zona “interior” de la “exterior” sin ninguna consideración adicional sobre las características de ambas zonas. Como siempre, los objetos de la realidad sólo podemos decir que “son de tal o cual forma” o que “su forma se asemeja a la de un . . “; no existen cuerpos geométricos en la realidad.


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A) CUE RPOS GEOM ÉTRI COS.

Son los poliedros y los cuerpos redondos o cuerpos de revolución.

POLIEDROS

Regulares o platónicos Semirregulares o arquimedianos otros poliedros: estrellados irregulares prismas y antiprismas pirámides y troncos de pirámide

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

cilindro cono esfera POLIEDROS

Los poliedros son regiones ideales o de un espacio ideal delimitadas por caras planas poligonales. Sus elementos son caras, aristas y vértices. El área de un poliedro es la suma de las áreas de todos los polígonos que constituyen sus caras. El volumen de un cuerpo poliédrico es una medida del espacio que ocupa dicho cuerpo. FÓRMULA DE EULER Los poliedros pueden ser convexos (se pueden apoyar en todas sus caras en el plano sin que queden huecos entre la cara y el plano) y cóncavos (al menos hay una cara o un grupo de caras que no apoyan totalmente en el plano (quedan huecos)).

Cóncavos convexos En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2 POLIEDROS REGULARES O SÓLIDOS PLATÓNICOS: Son aquellos que sus caras son polígonos regulares. Sólo existen cinco poliedros regulares: Tetraedro , cuatro caras, triángulos equiláteros. Octaedro , ocho caras, triángulos equiláteros. Icosaedro , veinte caras, triángulos equiláteros. Hexaedro o cubo , seis caras, cuadrados. González Marí, J. L.

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Dodecaedro , doce caras, pentágonos regulares. Tetraedro

hexaedro o cubo

Dodecaedro (12 caras)

icosaedro (20 caras)

POLIEDROS ARQUIMEDIANOS O SEMIRREGULARES Son los que sus caras son polígonos regulares pero tienen al menos dos caras desiguales. Se obtienen cortando adecuadamente los poliedros regulares mediante planos para que los cortes sean polígonos regulares (ver figuras (dos tipos de caras: triángulos equiláteros y cuadrados o hexágonos)). Sólo hay 13 poliedros arquimedianos.

POLIEDROS ESTRELLADOS Son poliedros cóncavos. La figura representa el conocido como erizo de Kepler, formado por 60 caras triangulares iguales, 90 aristas y 32 vértices.

DESARROLLO DE POLIEDROS Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza en la que los polígonos estén unidos por un lado y que pueda ser extendida completamente en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.

PRISMAS Y ANTIPRISMAS Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases. González Marí, J. L.

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Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo en caso contrario. Si los polígonos de la base son regulares, el prisma se llama regular.

Prisma rectangular (caras laterales rectángulos) antiprisma hexagonal (caras laterales triángulos) PIRÁMIDE Y TRONCO DE PIRÁMIDE Cuando cortamos un ángulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo geométrico llamado pirámide. Los elementos notables de la pirámide son los que se indican en la figura. Si se corta una pirámide por un plano que no corte a la base, obtenemos un tronco de pirámide (figura)

CUERPOS REDONDOS O DE REVOLUCIÓN Se llaman cuerpos redondos a los que están limitados, en todo o en parte, por una superficie curva. Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje. Entre los cuerpos de revolución más importantes están el cilindro, el cono y la esfera.

CILINDRO Cilindro recto: es el cuerpo que se obtiene al girar una vuelta completa (360º) un rectángulo sobre uno de sus lados. Cilindro oblicuo: Si se corta un cilindro recto por planos paralelos no perpendiculares al eje, se obtiene un cilindro inclinado. La base de un cilindro inclinado no es un círculo, sino una elipse. El área lateral del cilindro, será igual al área del rectángulo o sea: S = 2πrg. El área total será igual al área lateral más el área de las dos bases. Área lateral = 2πrg (siendo g la generatriz) Área de cada base = Área de un círculo = πr 2 Área total del cilindro recto: 2πrg + 2πr 2 = 2πr(g + r) Área total = 2πr(g + r) El volumen del cilindro será V = área de la base por la altura, ya que el cilindro es, en realidad, un prisma con un número ilimitado de caras. Teniendo en cuenta que la base del cilindro es un círculo r h de área r , el volumen del cilindro será: V 2


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Radio de la base

Base

Generatriz Altura Superficie cilíndrica Radio de la base Base

CONO El cono es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. Vértice

Sección del cono Superficie cónica

Generatriz

Altura Radio de la base

Base

ESFERA La esfera es un sólido de revolución que se puede generar haciendo girar un círculo, siendo el eje un diámetro o haciendo girar un semicírculo, siendo el eje el diámetro de éste. Todos los puntos de la esfera están a una distancia de un punto (centro), menor o igual que una distancia r (radio).

En la superficie de la esfera se pueden considerar diferentes superficies que dan lugar a los correspondientes sólidos. Zona esférica . Se obtiene cuando se corta la esfera por dos planos paralelos. El sólido correspondiente es el segmento de dos bases, que es la zona esférica limitada por dos círculos. Casquete esférico . Se obtiene cuando se corta la esfera con un plano. El sólido correspondiente es el segmento de una base. La base es el círculo que cierrra el casquete. Huso esférico . Se obtiene cuando se corta la esfera por dos planos que pasan por el mismo diámetro de la esfera. El sólido correspondiente está delimitado por el huso y los semicírculos que comparten diámetro y cada uno de los "lados" del huso, se denomina cuña esférica. El sector esférico es el sólido delimitado por un casquete esférico y un cono que tiene como vértice el centro de la esfera y base la del casquete.. III.3) Transformaciones geométricas isométricas: Traslaciones, giros y simetrías Denominamos transformación geométrica a todo movimiento o relación dinámica (en el sentido de cambio de posición o apariencia en el espacio) entre elementos y formas geométricas. De entre todas las posibles transformaciones geométricas, las transformaciones rígidas o isométricas son las más importantes en Educación Primaria. Como hemos visto anteriormente, las propiedades de las figuras que no cambian ante este tipo de transformaciones se llaman propiedades euclídeas. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS González Marí, J. L.

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Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes y geométricamente se denominan figuras congruentes. La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o lo mismo) y metria (medir), una definición cercana es “igual medida”. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y giro o rotación. Las tres se pueden dar en el plano o en el espacio. Veremos sólo las transformaciones en el plano. Traslación.

La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición determinado por un vector.

Se llama traslación de vector v a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m´ del mismo plano tal que el vector (m´m) es igual a v. Simetr ía.

Es la correspondencia exacta en la disposición regular y posición de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o un plano. Se denominan, respectivamente: simetría central, axial y especular o bilateral. Simetría central Transformación en la que a cada punto (llamado original ) se le asocia otro punto llamado imagen , que debe cumplir las siguientes condiciones: a) El original y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría. b) El original, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

(figura izquierda): Simetría central del punto A. (figura derecha): Simetría central del triángulo ABC, respecto del punto O. Según estas defmiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura que con una rotación o un giro de 180 grados. Simetría axial Transformación respecto de un eje de simetría. A cada punto de la figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones: a) Las distancias de un punto y su imagen al eje de simetría, son iguales. b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría. En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. Giro

Transformación geométrica que implica un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, elemento o figura. En un giro, un punto cualquiera de la figura permanece siempre a una distancia González Marí, J. L.

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constante de un punto fijo denominado centro de rotación. Todo giro se caracteriza por un ángulo de giro y un sentido de rotación (en el plano, uno de los dos sentidos posibles) III.4) Representación geométrica y coordenadas Para representar puntos en el plano se establece un sistema de referencias formado por dos ejes perpendiculares que se llaman ejes cartesianos y que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. Cada punto del plano viene determinado por sus coordenadas, que no es otra cosa que un par ordenado de números (x, y), donde x representa un valor numérico del “eje de abcisas” o eje horizontal (distancia desde la proyección del punto sobre el eje de abcisas hasta el origen) e y representa un valor numérico del “eje de ordenadas” o eje vertical (distancia desde la proyección del punto sobre el eje de ordenadas hasta el origen). El sistema de coordenadas cartesianas permite representar, localizar y describir elementos, formas y relaciones geométricas mediante coordenadas. En los primeros niveles se realizan actividades de localización y distancias sobre cuadrículas (inicio al sistema de coordenadas cartesianas) y en los niveles intermedios se pueden utilizar a modo de reglas para averiguar áreas.

III.5) Proporcionalidad geométrica. Semejanza. Escalas En el último nivel de Educación Primaria se inicia la semejanza como un nuevo tipo de transformación geométrica que se basa en la ampliación o reducción proporcionada de las figuras, es decir, en el aumento o disminución del tamaño global sin que se modifiquen los ángulos, la forma, etc. Esta iniciación culmina con el teorema de Tales y tiene numerosas aplicaciones: mapas y planos a escala, cálculo de distancias inaccesibles, dibujos a escala, etc..


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IV. INTERVENCIÓN EDUCATIVA En la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización matemática, entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, las permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito (MEC, 2006). Es evidente que la geometría presenta una estrecha relación con los aspectos mencionados anteriormente. La planificación y el desarrollo didácticos en el aula de matemáticas de Primaria se deben basar en los siguientes:

: pri ncipios y orientacion es generales Según el Real Decreto 1513/2006, la intervención educativa tiene que fundamentarse en unos principios psicopedagógicos que pueden enmarcarse en la concepción constructivista del aprendizaje escolar, en la formación disciplinar y en el desarrollo de las competencias básicas y matemáticas, para lo que se han de tener en cuenta, entre otros aspectos: - Partir del nivel de desarrollo del alumnado, de sus conocimientos previos, intereses, curiosidades, ideas previas, estilos de aprendizaje, etc.. - Organizar cuidadosa y coherentemente, mediante una planificación previa flexible, los contenidos y las actividades en un proceso educativo en espiral, bien planificado en lo fundamental, con variedad de experiencias y actividades en situaciones diversas, motivador; con contenidos significativamente relacionados y que tenga en cuenta lo que los alumnos ya saben; - Adoptar un enfoque disciplinar en lo instrumental y globalizado e interdisciplinar en lo formativo y funcional, procurando que siempre exista relación entre el trabajo instrumental y la faceta funcional del conocimiento matemático y que adopte la modelización matemática, la transversalidad y la resolución de problemas como ejes centrales del proceso; - los procesos de resolución de problemas (verdaderos problemas y no ejercicios camuflados de problemas) deben constituir uno de los ejes principales de la actividad escolar en matemáticas, puesto que se utilizan muchas capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar y razonar, establecer un plan de trabajo que se va revisando y modificando si es necesario, comprobar la solución, comunicar los resultados, etc.. - Un clima adecuado para aprender, una metodología diversificada y la devolución de la responsabilidad como principios orientadores del trabajo en el aula; - Utilizar distintas metodologías de trabajo en el aula (trabajo individual para el desarrollo de determinados aprendizajes (expresión escrita, lectura, ejercicios de cálculo, etc.) y en grupos de distinto tamaño, equilibrados y diversos en cuanto a las características de sus componentes); - Propiciar en todo momento y siempre que se pueda el aprendizaje significativo y el gusto por el trabajo bien hecho creando en el aula un ambiente agradable e intelectualmente estimulante mediante experiencias adecuadas a las características e intereses de los alumnos, que constituyan retos y buenas ocasiones para la implicación personal y la generación de actitudes de indagación y descubrimiento (Goñi (2006)); - Es importante el enfoque experiencial en el aula de matemáticas, para lo que se debe prestar atención al trabajo sobre situaciones reales, material didáctico y recursos y actividades lúdicas; - La utilización reiterada de recursos del entorno y materiales didácticos manipulativos favorecen el aprendizaje y son medios interesantes para la atención a la diversidad, pues acercan los conceptos abstractos a la intuición a través de la manipulación y permiten romper la uniformidad de los procedimientos con variantes más adecuadas para algunos alumnos. - Utilizar distintos códigos y modos de expresión fomentando en todo momento la comunicación y la expresión verbal y matemática;

Tareas y situaciones didácticas (se centran en la competencia matemática y sus componentes y favorecen la adquisición de las González Marí, J. L.

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competencias básicas según el contenido y la metodología involucradas) A) Situaciones reales (aplicación directa de las matemáticas a la realidad) Realidad Cívico - Social Realidad Físico - Natural Otras tienen que ver con las competencias básicas correspondientes, la motivación y la comprensión B) Tareas Lúdicas (Juegos y pasatiempos) C) Tareas Manipulativas (Recursos y Material didáctico) tienen que ver con la motivación y las competencias básicas (comunicación lingüística, comportamientos sociales, etc.) tienen que ver con la motivación y la comprensión D) Problemas de enunciado verbal tienen que ver con la aplicación matemática, aprender a aprender, aurtonomía e iniciativa personal) E) Explicaciones. Ejemplos. Lecturas F) Tareas instrumentales (Ejercicios, algoritmos, terminología) tienen que ver con las técnicas y prerrequisitos G) Tareas transversales e interdisciplinares (espacio de funcionalidad: proyectos, debates, etc.) A las consideraciones anteriores, válidas con algunos matices para todos los temas, bloques y unidades de matemáticas, hemos de añadir los siguientes principios, reflexiones y orientaciones específicas para el caso de las nociones geométricas:

orientaciones metodológicas para el desarrollo de los contenidos de geometría desarrolladas en el anexo I de la Orden de 10 de agosto de 2007. Debemos utilizar distintos códigos y modos de expresión, tanto los no convencionales como los propiamente matemáticos. El proceso de formalización creciente de los conceptos matemáticos exige el conocimiento y uso de códigos de representación progresivamente más abstractos. La observación y manipulación de formas y relaciones en el plano y en el espacio, presentes en la vida cotidiana Juegos, hogar, colegio, etc.) y en nuestro patrimonio cultural, artístico y natural servirán para desarrollar las capacidades geométricas, siguiendo el modelo de Van Hiele para el reconocimiento de formas, propiedades y relaciones geométricas, invirtiendo el proceso que parte de las definiciones y fórmulas para determinar otras características o elementos. Educar a través del entorno facilitará la observación y búsqueda de elementos susceptibles de estudio geométrico, de los que se establecerán clasificaciones, determinarán características, deducirán analogías y diferencias con otros objetos y figuras. La geometría debe servir para establecer relaciones con otros ámbitos como la naturaleza, el arte, la arquitectura o el diseño, de manera que el alumna do sea capaz de comenzar a reconocer su presencia y valorar su importancia en nuestra historia y en nuestra cultura. Concretamente, la presencia de mosaicos y frisos en distintos monumentos permitirá descubrir e investigar la geometría de las transformaciones para explorar las características de las reflexiones (geometría desde el primer ciclo), giros y traslaciones (geometría a partir del segundo ciclo). El reconocimiento, representación y clasificación de figuras y cuerpos geométricos se debe abordar a través de la observación y de la manipulación física o virtual. El estudio de formas algo más complejas debe abordarse a través del proceso de descomposición en figuras elementales, fomentando el sentido estético y el gusto por el orden. El cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas debe iniciarse por medio de descomposiciones, desarrollos, etc. y solo al final del proceso es conveniente obtener las fórmulas correspondientes. El proceso de obtención de la medida es lo que dará significado a esas fórmulas. A) La enseñanza de la Geometría debe contemplar de alguna manera el estudio matemático del espacio como conjunto de conceptos y métodos para visualizar conceptos, procesos y relaciones matemáticas González Marí, J. L.

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B) Se echa en falta una atención especial en el cur rícul o de matemáticas de Educación Primar ia a las siguientes cuestiones: - Relación de la geometría con las materias y temas transversales; - Actividades sobre relaciones entre la superficie y el volumen como conceptos y a las relaciones entre las medidas de superficie y volumen. - Actividades de conocimiento y uso de instrumentos de dibujo; - Reflexiones sobre las graduaciones de los instrumentos de medida y su funcionamiento; - Problemas reales (o relacionado con temas de actualidad) de geometría. Modelización matemática sobre formas y figuras geométricas para diferentes usos; Hay razones de tipo formativo para dedicar una atención especial a los aspectos mencionados (aprender a gestionar la información; las capacidades para el desarrollo de la autonomía, facilita el razonamiento, etc.) y de tipo funcional (aprender a medir con instrumentos reales o a elegir el instrumento adecuado en cada caso influye sobre las habilidades de estimación y aproximación con cantidades y medidas, desarrolla las competencias de pensar y razonar o argumentar, entre otras, y facilita la toma de decisiones en numerosas situaciones cotidianas). B) Es fundamental la Utilización de recursos, instrumentos y materiales manipulativos Para el estudio de la Geometría es conveniente conjugar la experimentación a través de la manipulación con las posibilidades que ofrece el uso de la tecnología. Es recomendable el uso de materiales manipulables, como geoplanos y mecanos, puzzles, libros de espejos, materiales para formar poliedros, ete., así como la incorporación de programas de geometría dinámica para construir, investigar y deducir propiedades geométricas. En este sentido, se potenciará el uso del taller y/o laboratorio de matemáticas. Siguiendo a y a otros autores, los principales medios que se deben utilizar para el desarrollo didáctico del tema son los siguientes: 1) Materiales manipulativos No estructurado: papel (opaco, transparente y cuadriculado), cartulinas, cintas, barras, alambres; Tijeras; Clavos, tuercas, canicas; agua, arena, recipientes de distintas formas y tamaños; Troceado de folios; Didáctico estructurado: Tangrams; Policubos; Regletas encajables y de colores; Sólidos para ensamblar; bloques multibases; geoplanos; Dominós sobre el sistema métrico y unidades; Material para fracciones: Áreas incompletas y sombreado de áreas (la parte rayada representa una fracción del área total de la figura considerada como la unidad); dominós de fracciones; listones que representan las principales medidas de longitud submúltiplos del metro; Puntos y tramas isométricas;. Tangrams Puzzle o rompecabezas geométrico. Toma esta denominación de un juego chino muy antiguo formado por siete piezas llamadas “tans”: 5 triángulos de diferentes tamaños, un cuadrado y un paralelogramo. Con todas estas figuras geométricas se puede formar un cuadrado. Existen muchos tipos de tangrams útiles en Educación Matemática: pitagórico, triangular, etc. Los tangrams favorecen la creatividad por las múltiples posibilidades que ofrecen las combinaciones de las piezas; pueden utilizarse, en la medida de las posibilidades del niño de Infantil, para: o Reconocimiento de formas geométricas. o Libre composición y descomposición de figuras geométricas. o Realizar giros y desplazamientos de figuras geométricas manipulativamente. González Marí, J. L.

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o Desarrollar la percepción mediante la copia de figuras y reconocimiento de formas geométricas simples en una figura compleja. o composición de formas figurativas e incluso escenas. Polígonos y poliedros: Los polígonos son figuras cerradas y planas de distintos materiales para jugar con ellas, combinarlas, construir nuevos polígonos mediante la combinación de dos o más figuras, etc., (Mecano con varillas articuladas; Polígonos y círculos en piezas). Los poliedros se presentan en forma de juegos de figuras cerradas en tres dimensiones, limitadas por caras planas y aristas o juegos para la construcción de modelos que simulan poliedros. Interés didáctico: Formas básicas. Polígonos. Tipos de polígonos. Lados, vértices. Perímetro y área. Mosaicos, frisos y teselaciones: composiciones planas utilizando figuras geométricas y ciertas regularidades; las teselaciones son cubrimientos totales del plano sin superposiciones mediante figuras geométricas. También se conoce como “pavimentado” del plano. Interés didáctico: Generación de mosaicos (cualquier triángulo, cuadrilátero...). Polígonos con capacidad de teselar y generar mosaicos. Propiedades. Polígonos que no teselan el plano. Polígonos generados por piezas de mosaico. Tipos de frisos y mosaicos. Iniciación al concepto de ángulo; comparación de ángulos.

Geoplanos: Tableros planos rígidos en los que se dispone una trama de clavos o pivotes que sobresalen y que se encuentran dispuestos a una distancia fija entre ellos y/o formando una distribución regular. Los más usuales son el geoplano cuadrado y el geoplano circular. También se utilizan, aunque en menor medida, los geoplanos triangular y rectangular. Interés didáctico: Los siguientes aspectos se tratarán a nivel de iniciación. Transformaciones geométricas. Isometrías planas, traslaciones, giros y simetrías axiales. Propiedades de figuras geométricas. Formas geométricas planas. Polígono y poligonal. Formas abiertas y cerradas. PoIígonos: Construcción, lados, vértices. Descomposiciones de polígonos. Tipos de polígonos. Geometría del geoplano. Circunferencia, círculo. Polígonos inscritos. Geoplanos cuadrados y tramas cuadradas Segmentos. Posiciones relativas de segmentos. Comparación, suma y diferencia de segmentos. Perpendicularidad y paralelismo. Ángulos. Comparación, ordenación y medida de ángulos. Perimetro. Área. Equivalencia de perímetros. Equivalencia de áreas. Transformaciones geométricas. Isometrías planas, traslaciones, giros respecto a un punto y simetrías axiales. Congruencia de polígonos. Simetrías y semejanzas. Propiedades de figuras geométricas. Comprobaciones del teorema de Pitágoras. Formas geométricas planas. Polígono y poligonal. Formas abiertas y cerradas. PoIígonos: Construcción, clasificación y estudio. lados, vértices, ángulos. Clasificación según el número de lados, igualdad de lados, igualdad de ángulos, tipo de ángulos, paralelismos de lados, número de diagonales, longitud de lados, longitud de las diagonales. Descomposiciones de polígonos. etc. Tipos de polígonos. Concavidad y convexidad. Polígonos regulares e irregulares. Polígonos estrellados. Polígonos semejantes. Suma de los ángulos interiores. Relación entre perímetros de polígonos semejantes. Relación entre áreas de polígonos semejantes. (Para este apartado es preciso usar geoplanos de 25 pivotes o más.). Geometría del geoplano: una geometría con un número finito de puntos, de longitudes, de González Marí, J. L.

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ángulos y de polígonos. Profundizar en las limitaciones de la estructura del geoplano: imposibilidad de obtener triángulos equiláteros, ángulos de una cierta amplitud, un máximo número de lados para un polígono. Algoritmo para el cálculo del área en función del número de clavos que abarca el polígono. Circunferencia, círculo, radios, diámetros, cuerdas, tangentes, secantes. Ángulos en una circunferencia: centrales, inscritos, semiinscritos. Polígonos inscritos, circunscritos y estrellados. Cálculo de áreas, volúmenes y perímetros de forma directa. Cálculo de medidas utilizando unidades diferentes a las habituales. Relación entre perímetro y área de polígonos semejantes. Facciones y Números irracionales. Geoplanos circulares Circunferencia y círculo. Radio, diámetro, cuerda tangente, secante, sector circular, corona circular. Elementos de la circunferencia y el círculo. Ángulos en la circunferencia: centrales inscritos, semiinscritos. Construcción y clasificación de polígonos tomando el círculo como referencia. Polígonos inscritos y circunscritos Polígonos estrellados. Espejos y libro de espejos Los recursos más utilizados son: el espejo o MIRA (metacrilato) y el libro de espejos, formado por dos espejos iguales unidos por uno de sus lados para que se puede abrir y cerrar a voluntad. Utilidad didáctica: Ángulos, creación de polígonos regulares, circunferencia y circulo, paralelismo y perpendicularidad, división de segmentos y ángulos, simetrías, r elaciones entre ángulos, ejes de simetría y números de lados. Resolución de problemas geométricos y métricos elementales. 3) Recursos didácticos El ordenador, el video, el microscopio; la fotografía (estimación de volúmenes, distancias, etc.);

VI. COMENTARIOS FINALES La presente área se debe enmarcar en un enfoque pluridisciplinar y globalizado e integrador con todas las áreas del currículo. El área de matemáticas siempre ha sido y seguirá siendo, una de las áreas con más solidez en el sistema educativo, dada su importancia para resolver problemas de la vida diaria, representar la realidad, formar en autonomía y espíritu crítico a los ciudadanos, facilitar la comprensión y la manipulación de la realidad, etc. Pero su principal característica es que utiliza un lenguaje común a todos los seres humanos en el que las magnitudes, la medida de magnitudes, las unidades y los instrumentos de medida constituyen parte del patrimonio compartido de toda la humanidad. Además, las matemáticas proporcionan una manera co mún de comprender y organizar la realidad a través de la modelización matemática y la resolución de problemas, los significados del lenguaje matemático o el modo de hacer conjeturas y razonamientos, lo que capacitará a los alumnos/as para analizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos y comunicarlos, entender situaciones nuevas y acomodarse a contextos cambiantes. Pero el reto en el área de Matemáticas en Educación Primaria consistirá más que en “facilitar el aprendizaje / enseñar ” al alumnado las magnitudes y las medidas, el uso de los instrumentos de medida adecuados o el sistema métrico decimal, en enseñarles a pensar matemáticamente: abstraer y aplicar ideas matemáticas en un amplio abanico de situaciones, desarrollar las competencias básicas y matemáticas específicas e iniciarse en la resolución de problemas como fundamento para una formación personal, laboral y social de calidad y como garantía para el desarrollo de la autonomía e iniciativa personal y la continuación independiente del proceso permanente de González Marí, J. L.

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aprendizaje en el futuro. Se trata, evidentemente, de un proceso lento cuyos resultados se irán viendo de forma progresiva a lo largo de toda la Educación Primaria.

VII. BIBLIOGRAFÍA Alsina, C. y otros (1986).- Invitación a la geometría. Madrid: Síntesis Alsina, C. y otros (1991).- Materiales para construir la geometría. Madrid: Síntesis Cascallán, M T. (2002) "Iniciación a las matemáticas. Materiales y recursos didácticos. Madrid. Aula XXI. Santillana. Castro, E. (Ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis. Coriat, M (2001). Materiales didácticos y recursos. En E. Castro "Didáctica de la Chamorro, C. (coord..) (2003).- El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida. Cap. 8 en: Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Prentice-Hall. Dickson y Brown. (1991). El aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: Labor. Goñi, J. M. (2006) "Matemáticas e interculturalidad". Barcelona: Graó. Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis. Holloway, G.E.T. (1986).- Concepción de la geometría en el niño según Piaget. Madrid: Paidós Ibérica. Juegos y pasatiempos de la Colección Matemáticas, cultura y aprendizaje de la Editorial Síntesis. Van Hiele, P. (1986).- Structure and insight: a theory of mathematics education. Academic Press.

VIII. REFERENCIAS LEGISLATIVAS JUNTA DE ANDALUCÍA: Orden de 10/08/2007 de la Junta de Andalucía Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación. Junta de Andalucía. MEC : MEC (2006 a) Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de 2006, de Educación. MEC (2006, b) Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. Ley Orgánica de Educación 2/2006 de 3 de mayo (LOE). MEC Decretos 230 y 231 de 2007, de 31 de julio, sobre ordenación y enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria y Secundaria Obligatoria.

IX. REFERENCIAS WEB - ares.cnice.mec.es/matematicasep/index.html (proyecto cifras. Recurso didáctico que incorpora actividades específicas estructuradas por ciclos y bloques de cotenidos. - escolar.comlmenumate.htm (página con recursos sobre cómo abordar contenidos en el área de matemáticas como fracciones, números decimales, números enteros ... ) - juntadeandalucia.es/averroes/recursos/area-matematica.php3 (Página de Averroes, Red telemática Educativa de Andalucía. Recursos para el área de matemáticas.- matematicas.net/ (Página para la exposición de recursos matemáticos sirviendo de punto de unión entre profesores) - Thesaurus.maths.org (Enciclopedia de Matemáticas con numerosos enlaces) - Jgodino/edumat-maestros/welcome (Godino, J. (2004); matemáticas y su didáctica para maestros: fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, sistemas numéricos, proporcionalidad, geometría, magnitudes, etc. - Wikipedia.org/wiki/Matem% (Enciclopedia digital sobre matemáticas con numerosos enlaces).


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Anexos Contenidos del bloque “Las formas y figuras y sus propiedades” (Geometría) (R. D. 1513/2006) Ciclo primero

Ciclo segundo

La situación en el espacio, distancias y giros - Descripción de posiciones y movimientos. en relación a uno mismo y a otros puntos de referencia.

La situación en el espacio, distancias, ángulos y giros - Representación elemental de espacios conocidos: y maquetas. - Uso de vocabulario geometrico para planos describir itinerarios: líneas abiertas y Descripción de posiciones y movimientos en un contexto cerradas; rectas y curvas. - Interpretación y descripción verbal topográfico. de croquis de itinerarios y elaboración - Las líneas como recorrido: rectas y curvas, intersección de los mismos. de rectas y rectas paralelas.

Ciclo tercero

La situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros. - Ángulos en distintas posiciones. - Sistema de coordenadas cartesianas, Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos,

giros - La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. - Utilización de instrumentos de dibujo y programas informáticos para la construcción y exploración de

formas geometricas.

Formas planas y espaciales - Las figuras y sus elementos. Identificación de figuras planas en objetos y espacios cotid ianos. - Identificación de los cuerpos geometricos en objetos familiares. Descripción de su forma, utilizando el vocabulario geolnetrico básico. - Comparación y clasificación de figuras y cuerpos geometricos con criterios elementales. - Formación de figuras planas y cuerpos geometricos a partir de otras por composición y descomposición.


Formas planas y espaciales - Identificación de figuras planas y espaciales en la vida cotid iana. - Clasificación de polígonos. Lados y vertices. - La circunferencia y el círculo. - Los cuerpos geometricos: cu bos, esferas, prismas, pirámides y cilindros. Aristas y caras. - Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario geometrico básico. - Construcción de figuras geometricas planas a partir de datos y de cuerpos geometricos a partir de un desarrollo. Exploración de

Formas planas y espaciales - Relaciones entre lados y entre ángulos de un triángulo. - Formación de figuras planas y cuerpos geometricos a partir de otras por composición y descomposición. - Interes por la precisión en la descripción y representación de formas geometricas.

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formas geometricas elementales. - Comparación y clasificación de figuras y cuerpos geometricos utilizando diversos criterios. - Comparación y clasificación de ángulos.

Regularidades y simetrías - Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos. - Interpretación de mensajes que contengan informaciones sobre relaciones espaciales. Resolución de problemas geometricos explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas. - lnteres y curiosidad por la identificación de las formas y sus elementos característicos. - Confianza en las ro ias osibilidades; curiosidad, interés y constancia en la de

Regularidades y simetrías Regularidades y - Reconocimiento de simetrías en simetrías figuras y - Transfonnaciones objetos. metricas: traslaciones y - Trazado de una figura plana simetrías. simétrica de otra respecto de un - Interes por la elaboración elemento dado. y por la presentación - Introducción a la semejanza: cuidadosa de las ampliaciones y reducciones. construcciones geometricas. - Interés y perseverancia en la - Gusto por compartir los búsqueda de soluciones ante procesos de resolución y los situaciones de incertidumbre resultados obtenidos. relacionadas con la organización Colaboración activa y y utilización del espacio. responsable en el trabajo en Confianza en las propias equipo. posibilidades para utilizar las - Confianza en las propias construcciones geométricas y los posibil idades y constancia objetos y las relaciones para utilizar las es aciales ara resolver roblemasen situaciones construcciones geometricas - Interés por la presentación clara y y los objetos y las relaciones de los trabajos espaciales.

En el Real Decreto 1513 se proponen los siguientes criterios de evaluación para cada uno de los ciclos de Educación Primaria: Ciclo primero

Ciclo segundo

Ciclo tercero

5. Describir la situación de un objeto del espacio próximo, y de un desplazamiento en relación a si mismo, utilizando los conceptos de izquierdaderecha, delante¬detrás, arribaabajo, cerca-lejos y próximo¬lejano. Este criterio pretende evaluar las ::apacidades de orientación y representación espacial, teniendo en cuenta tanto el lenguaje utilizado en la

5. Obtener información puntual y describir una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de una pista ... ) tomando como referencia objetos familiares y utilizar las nociones básicas de movimientos geométricos, para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana y para valorar expresiones artisticas. Este criterio pretende evaluar

5. Utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad, simetria, perimetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana. En este criterio es importante detectar que los estudiantes han aprendido estas nociones y saben utilizar los términos correspondientes para dar y pedir información. Se evaluará


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Evolución de La Percepción Espacial en La Educación Primaria

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