LISTA DE EJERCICIOS PARA ETS DE PROBABILIDAD (IE, ICA, e ISISA) PROBABILIDAD CONDICIONAL 1. Dados P (A) = 0.4, P (B | A) = 0.3 y P (B | A ) = 0.2, determine: c
c
a ) P (A ). c
b ) P (B | A ). c
c ) P (B ). d ) P (A ∩ B ). e ) P (A | B ).
2. Se tiene una urna verde con 3 fichas negras y una roja y otra urna azul que contiene 2 fichas rojas y 2 negras. Se tira un dado con la condici´on on de que si el n´umero umero resultante es divisible por tres se elige la urna verde y en cualquier otro caso se elige la urna azul. De la urna elegida se saca una ficha al azar. negra.¿Cu´ Cu´ al al es la probabilid prob abilidad ad de que haya sido s ido extra ex tra´´ıda a ) Si la ficha es negra.¿ de la urna verde?. al al es la probabilidad de que haya sido extra´ extra´ıda b ) Si la ficha es roja.¿Cu´ de la urna azul?. 3. En cierta cierta faculta facultad d el 4 % de los hombres hombres y el 1 % de las mujeres mujeres tienen tienen m´ as de 6 pies de altura, adem´as as as el 60 % de los estudia estudiant ntes es son mujeres mujeres.. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es mas alto que 6 pies. al es la probabilidad de que el estudiante sea mujer?. al a ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el estudiante sea hombre?. al b ) ¿Cu´ 4. De los art´ art´ıculos producidos diariamente por cierta f´abrica, abrica, 70 % proviene proviene de la l a l´ınea ınea A y 30 % de la l´ınea ınea B. El porcenta je de d e defectuoso de fectuososs de la l´ınea ınea A es de 5 %, mientras que el porcentaje de defectuosos de la l´ınea ınea B es de 10 %. Se escoje un art´ art´ıculo al azar de la producci´on on diaria, calcular: probabilidad de que sea defectuoso?. defectuoso?. a ) ¿La probabilidad ar t´ıculo es e s defectuoso, defectu oso, ¿Cu´ ¿Cu ´al al es la probabilidad de que provenga b ) Si el art de la linea A?. 5. En una urna hay cinco fichas de color blanco y cuatro de color negro. Sacamos dos fichas, una a una, sin regresarlas. al es la probabilidad de que ambas fichas sean de color blanco?. al a ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que la primera sea de color negro y la al b ) ¿Cu´ segunda de color blanco?.
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6. ¿Un examen examen de opci´ opcion o´n m´ ultiple esta compuesto de 10 preguntas, con cuaultiple tro respuestas posibles cada una, de las cuales solamente una es correcta. Sup´ ongase que uno de los estudiantes que realizan el examen contesta las ongase preguntas al azar . al es la probabilidad de que conteste correctamente al menos ocho al a ) ¿Cu´ preguntas?. al es la probabilidad de que conteste correctamente exactamente al b ) ¿Cu´ seis?. 7. Suponer que se tienen tienen tres urnas de apariencia apariencia externa id´entica entica y que contienen fichas de colores. La urna A contiene una negra, dos rojas y tres verdes; la urna B contiene dos negras, una roja y una verde; la urna C contiene cuatro negras, cinco rojas y tres verdes. Las fichas se revuelven en las urnas y ´estas estas ultimas u ´ltimas se revuelven entre s´ı. Despu´es, es, se selecciona seleccion a una de las urnas al azar y se extraen dos fichas. Si se extrajer´on una negra y una verde. al es la probabilidad de que se hayan extraido de la urna B?. al a ) ¿Cu´ DISTRIBUCIONES DISCRETAS 1. Sup´ ongase ongase que en una loter´ loter´ıa se venden venden 10 mil boletos boletos de un peso cada uno. El ganador recibir´a un premio cuyo valor es de 500 pesos. Si alguien compra boleto. al al es su Esperanza?. a ) ¿Cu´ 2. Un equipo electr´ electr´ onico contiene seis transistores, dos de los cuales son deonico fectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X el n´ umero de transistores defectuosos observados , umero donde X = 0, 1, 2. al al es la distribuci´on on de probabilidad de X ?. ?. a ) ¿Cu´ 3. En una gran compa˜ compa˜ n´ıa, 20 % de los empleados son miembros de alg´ un un club deportivo. En una muestra aleatoria de 30 empleados, al es la probabilidad de que tres, cuatro o cinco pertenezcan a un al a ) ¿Cu´ club de deportes?. deportes?. 4. Sup´ ongase ongase que la probabilidad probab ilidad de d e que una part pa rt´´ıcula emitida emi tida por po r un materimateri al radiactivo p enetre en cierto campo es de 0.01. Si se emiten 10 part´ıculas, ıculas, al es la probabilidad de que solo una de ellas penetre en el camal a ) ¿Cu´ po?. 5. Un informe reciente reciente declara que 70 % de los habitantes habitantes de cuba ha reducido bastante el uso de energ´ energ´ıa el´ ectrica ectrica para disfrutar de descuentos en las tarifas. Si se selecciona al azar cinco residentes de la Habana, encuentre la probabilidad de que:
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as favorables?. a ) ¿Los cinco califiquen para tarifas m´as as favorables?. b ) ¿Al menos cuatro califiquen para tarifas m´as 6. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento padecimiento g´ astrico astrico es de 0.8. Suponga Sup onga que 20 personas han contra´ contra´ıdo dicho padecimiento. al es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?. al a ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?. al b ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que sobreviva un m´aximo al aximo de 16?. c ) ¿Cu´ 7. Sup´ ongase ongase que 0.005 % de la poblaci´ poblaci´ on on de un pa´ pa´ıs muere debido a cierto tipo de accidente cada a˜no no y que una compa˜ n´ıa de seguros tiene entre sus clientes 10 mil que est´an an asegurados contra este tipo de accidente. al es la probabilidad de que la compa˜ al n´ıa deba pagar paga r m´as as de tres a ) ¿Cu´ p´ olizas olizas en un a˜ no no dado?. 8. Si la probabilidad probabilidad de que una p ersona ersona sufra una reacci´ reaccion o´n nociva debido a una inyecci´on on de cierto suero es de 0.001. al es la probabilidad de que entre mil personas, dos o m´as sufran al a ) ¿Cu´ esa reacci´on?. on?. 9. La probabilidad de que un rat´on on inoculado con un suero contraiga la enfermedad es de 0.2. Mediante el uso de una aproximaci´on on por Poisson. al es la probabilidad de que un m´ al aximo de tres ratones entre 30 aximo a ) ¿Cu´ contraigan la enfermedad?. 10. Si 2.5 % de los conducto conductores res de autom´ autom´ oviles que pasan por una caseta de oviles cobro tienen el cambio exacto. al es la probabilidad de que una muestra tomada al azar de 250 al a ) ¿Cu´ automoviles que pasan por la caseta, cinco tengan el cambio exacto?. DISTRIBUCIONES CONTINUAS 1. ¿Qu´ e valor debe tener la constante k para que f (x) =
kx
si
0
0≤x≤2 de otra forma.
sea una funci´on on de densidad?. 2. Sea X variable aleatoria con funci´on on de densidad f (x) =
k (x − 1)
0
a ) Hallar el valor de k.
grafica de f (x). b ) Trazar la grafica 3
si
1 ≤ x ≤ 2, de otra forma.
Determinarr el valor esperado esperado de la variable ariable aleatoria X , y localicelo c ) Determina b en la grafica del enciso . d ) Calcule P (X ≥ 1).
3. Suponiendo que X es normal con media µ = 0.8 y variancia σ 2 = 4, determine las siguientes probabilidades: a ) P (X ≤ 2.44). b ) P (X ≤ -1.66). c ) P (X ≤ 1.923). d ) P (X ≥ 1). e ) P (X ≥ -2.9). f ) P (2 ≤ X ≤ 10).
4. Suponga que la temperatura ( C) esta distribuida normalmente con esperanza 50( C) y variancia σ2 = 4, ◦
◦
al es la probabilidad de que la temperatura T este entre 48( C) al a ) ¿Cu´ ◦
y 53( C)?. ◦
5. Si la longitud de roscado de un p erno tiene tiene una distribuci´ distribuci´ on on normal con media µ = 0.6 pgl. y desviaci´on on estandar σ = 0.1 pgl. Si se selecciona un perno al azar. al es la probabilidad de que la longitud de roscado sea por lo al a ) ¿Cu´ menos de 0.59 pgl?. al es la probabilidad de que la longitud de roscado este dentro de al b ) ¿Cu´ una desviaci´on on est´andar?. andar?. c ) Si P (X ≥ c) = 0.9726 ¿Encuentre el valor de c, y defina a la v.a X?.
6. Suponga que el tiempo de respuesta respuesta X en cierta cierta terminal terminal de computadora computadora tiene una distribuci´on on exponencial con tiempo de respuesta esperado igual a 7 segundos. al es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea a lo sumo al a ) ¿Cu´ 10 segundos?. al es la probabilidad de que el tiempo de respuesta este entre 5 al b ) ¿Cu´ y 10 segundos?. 7. El tiempo entre la entrada de correos electr´onicos onicos en una computadora tiene una distribuci´on on exponencial con una media de dos horas. al es la probabilidad de que no se reciba un correo electr´onico al onico a ) ¿Cu´ durante un periodo de dos horas?. 8. El tiempo entre las llamadas telef´onicas onicas a una ferreter´ ferreter´ıa tiene una distribuci´ on exponencial con un tiempo promedio entre las llamadas de 15 on minutos.
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al es la probabilidad de que no haya llamadas en un intervalo de al a ) ¿Cu´ 30 minutos?. DISTRIBUCIONES CONJUNTAS 1. Suponga que que la funci´ funci´ on de densidad conjunta para dos variables aleatorias on continuas x y y , esta dada por: f (x, y ) =
cx
si
0
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; de otra forma.
¿Calcule el valor de la constante constante c? a ) ¿Calcule on de densidad marginal para la variable aleatoria X ? on b ) ¿Hallar la funci´ ¿Hallar el valor valor esperado de la variabl variablee aleatoria aleatoria X ? c ) ¿Hallar 2. Una gasoliner gasoliner´´ıa cuenta cuenta tanto tanto con islas de autoservic autoservicio io como de servicio servicio completo. En cada isla, hay una sola bomba de gasolina sin plomo regular con dos mangueras. Sea X el n´ umero de mangueras utilizadas en la isla de umero autoservicio y en un tiempo particular y sea Y el n´ umero umero de mangueras en uso en la isla de servicio completo en ese tiempo. La funci´on on de probX Y abilidad conjunta de y aparece en la tabla adjunta: y p(x, y) x
0 0.10 0.08 0.06
0 1 2
1 0.04 0.20 0.14
2 0.02 0.06 0.30
a ) ¿Calcule P (X ≤ 1 y Y ≤ 1)?
0 y Y = 0).¿Calcule su probabilidad?. b ) Describa el evento ( X = on de probabilidad marginal de X y Y ?. Utilizando on c ) ¿Calcule la funci´ p (x). ¿Cu´ al al es P (X ≤ 1)? x
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