Estudio de La Energia Especifica en Canales Rectangulares

ESTUDIO DE LA ENERGIA ESPECIFICA EN CANALES RECTANGULARES.

1.

OBJETIVO.

-

Calcular la profundidad crítica Yc y la energía específica mínima.

-

Determinar la velocidad y la energía específica.

-

Graficar la curva de energía especifica.

-

Clasificar el flujo para cada profundidad experimental.

2.

GENERALIDADES. Las ecuaciones de la energía y continuidad permiten resolver, con relativa sencillez, los problemas de flujo a superficie libre en que se conocen el tirante en dos secciones extremas de un tramo corto al que se aplican y se quiere determinar el caudal. Esta situación es, en esencia, similar a la del cálculo del gasto en un conducto a presión, a partir de la presión medida aguas arriba de un venturímetro y en la garganta de este. Cuando se tiene un cambio de área en el conducto a presión y se conoce el gasto, con la ecuación de continuidad se calcula el cambio de la velocidad y la carga correspondiente, y con la de la energía, el cambio de presión. Sin embargo, el mismo problema en un canal se tonar más complicado cuando se desconoce el tirante en alguna de las secciones, para calcularlo a partir de los cambios en la sección transversal. Esto conduce a dificultades especiales de gran interés, debido a que el tirante juega un doble papel al influir simultáneamente en ambas ecuaciones. El propósito del presente laboratorio es analizar con cuidado la ecuación de la energía en flujo rectilíneo para encontrar soluciones adecuadas de ella, pero que carecen de validez en flujo curvilíneo.

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3. FUNDAMENTO TEÓRICO. Contiene conceptos y fórmulas que nos brinda una mejor compresión de la parte experimental, y solución de los cálculos futuros. 3.1. ENERGIA DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS: en hidráulica elemental se sabe que la energía total del agua en metros-Newton por Newton de cualquier línea de corriente que pasa a través de una sección de canal puede expresarse como la altura total en metros de agua, que es igual a la suma de la elevación por encima del nivel de referencia, la altura de presión y la altura de la velocidad. Por ejemplo, con respecto al plano de referencia, la altura total H de una sección O que contiene el punto A en una línea de corriente del flujo de un canal de pendiente alta (figura 01) puede escribirse como:

   

… (1)

Donde Z A es la elevación del punto A por encima del plano de referencia, d A es la profundidad del punto A por debajo de la superficie de la agua medida a los largo de la sección del canal,

θ

es el ángulo de la pendiente del fondo del

canal y V A2/2g es la altura de velocidad del flujo en la línea de corriente que pasa a través de A. En general, cada línea de corriente que pasa a través de una sección de canal tendrá una altura de velocidades diferente, debido a la distribución no uniforme de velocidades en flujos reales. Solo en un flujo paralelo ideal con distribución uniforme de velocidades la altura de velocidades puede ser idéntica para todos los puntos de la sección transversal. En el caso del flujo gradualmente variado, sin embargo, para propósitos prácticos, puede suponerse que las alturas de velocidad para todos los puntos de la sección del canal son iguales, y con el fin de tener en cuenta la distribución no uniforme

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de velocidades, puede utilizarse el coeficiente de coriolis ( α) para corregir ese efecto. Luego la energía total en la sección del canal será:

         … (2) Para canales con pendientes muy bajas,

θ

= 0. Luego, la energía total en la

sección del canal es:

         

… (3)

Figura 01: Energía de flujo gradualmente variado en canales abiertos. Considerándose ahora un canal prismático con pendiente alta (ver fig. 01). La línea que representa la elevación de la altura total del flujo es la línea de energía. La pendiente de esta línea se conoce como gradiente de energía, representada por S f . la pendiente de la superficie del aguase representa por Sw y la pendiente del fondo del canal por S 0. Como se vio en el laboratorio anterior S0=Sw=Sf =senθ.

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De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura de energía total en la sección 1 localizada aguas arriba debe ser igual a la altura de energía total en la sección 2 localizadas aguas abajo más la perdida de energía hf entre las dos secciones:

                   … (4) La ecuación 4 es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Para un canal de pendiente pequeña, el cos θ se hace 1 por que se obtiene la ecuación de la energía. Luego cuando h f = 0 y α1 = α2 = 1, la ecuación de la energía se convierte en ecuación 5, la cual es conocida como la “Ecuación de la energía de Bernoulli”.

         … (5) 3.2. ENERGÍA ESPECÍFICA: la energía específica en una sección de canal se define como la energía por metro de agua en cualquier sección de un canal medida con respecto al fondo de este. Luego de acuerdo con la ecuación (2) z será 0. Ahora considerando un canal de pendiente pequeña y un coeficiente de velocidad α=1, la energía específica:

       … (6) La cual indica que la energía especifica es igual a la suma de la profundidad del agua más la altura de velocidad. Para propósitos de simplicidad, el siguiente análisis se basará en la ecuación (6) para un canal de pendiente pequeña. Como V = Q/A, la ec. 6 puede escribirse como E= y + Q 2/2gA2. Puede verse que, para una sección de canal y una caudal Q determinado

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(constante), la energía específica en una sección de canal solo es función de la profundidad de flujo. Cuando la profundidad de flujo se grafica contra la energía específica para una sección de canal y un caudal determinado, se obtiene una curva de energía especifica (figura 03). Esta curva tiene dos ramas, AC y BC. La primera se aproxima asintóticamente al eje horizontal y hacia la derecha, la otra se aproxima a la línea OD a medida que se extiende hacia arriba y hacia la derecha. La línea OD es una línea que pasa a través del origen y tiene un ángulo inclinación igual a 45°. En cualquier punto P de esta curva, la ordenada representa la profundidad y la abscisa representa la energía específica, que es igual a la suma de la altura de presión y la altura de velocidad.

Figura 02: Lado izquierdo la sección transversal del canal. Lado derecho la curva

energía vs tirante, tomando en cuenta el ángulo velocidad

θ

y el coeficiente de

α.

La curva muestra que, para una energía específica determinada, existen dos posibles profundidades, las profundidad baja Y 1 y la profundidad alta Y 2. En el punto C la energía específica es mínima la cual corresponde al estado crítico y esta tiene una profundidad crítica.

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En la figura 04 se puede aprecia que cuando la profundidad es mayor que la profundidad crítica, la velocidad de flujo es menor que la velocidad crítica para un caudal determinado y, por consiguiente, el flujo es subcrítico; cuando la profundidad del flujo es menor que la profundidad critica, el flujo es supercrítico. Por tanto, Y 1 es la profundidad de flujo supercrítico y Y 2 es la profundidad de flujo subcrítico.

Figura 03: Curva energía específica.

3.3. CRITERIO PARA EL ESTADO CRÍTICO DE FLUJO: el estado crítico de flujo es definido como la condición para la cual el número de Froude es igual a la unidad. Una definición más común es que este es el estado de flujo para el cual la energía es mínima para un caudal determinado. Un criterio teórico para el flujo crítico puede desarrollarse a partir de esta definición como se describe a continuación.

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Como V=Q/A, la ecuación 6 puede escribirse como:

       … (7) Al derivar la ec. 7con respecto a Y y al notar que Q = cte.

          

         … (8)

En diferencial de área mojada dA cerca a la superficie libre (ver fig. 03) es igual a TdY. Ahora dA/dY=T, y la profundidad hidráulica o tirante hidráulico es dado por D=A/T; luego la ec. 8 se convierte en:

  

             … (9)

El estado crítico de flujo la energía específica es mínima, es decir dE/dY=0. La ecuación 9 resulta:

    



     

… (10)

La ec. 10 es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal. Hasta el momento he establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos asíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas (ver fig.03 y 04). La rama superior corresponde al régimen denominado supercrítico, en este siempre se cumple la ec. 11.a. Mientras que en la rama inferior corresponde al régimen supercrítico, en él siempre se cumple la ec. 11.b.

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   …11.a  

   …11.b  

Figura 04: Comportamiento del flujo en función al régimen de flujo.

La velocidad y el tirante que corresponde a la energía mínima se denominan críticos.

    … (12)

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De la ecuación 9 se puede obtener una ecuación que relaciona la velocidad crítica y el tirante hidráulico en cualquier sección.

  … (13)   3.4. NÚMERO DE FROUDE: este es un indicador adimensional que relaciona el efecto de las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido. En canales abiertos nos brinda información sobre el estado del flujo hidráulico:

  √      

...(14)



-

Sea: Fr > 1, el flujo es régimen supercrítico.

-

Sea: Fr = 1, el flujo es régimen crítico.

-

Sea: Fr < 1, el flujo es régimen subcrítico. Para la ecuación 14 se han considerado que es un canal de pendiente muy pequeña y el coeficiente

α

tiene valor 1. Ver figura 04 para una mejor

comprensión.

3.5. CONDICIONES CRÍTICAS EN SECCION RECTANGULAR: en cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 12, partiendo de esa ecuación:

     

… (15)

Expresión en la que V c es la velocidad crítica, A c el área de la sección transversal, Tc el ancho superficial critico.

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En esta sección se cumple que la relación A/T (tirante crítico) es igual critico (Yc). Luego:

  √   

… (16)

Que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación se obtiene que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de velocidad sea igual a la mitad del tirante crítico.

    

… (17)

Reemplazando la ec. 17 en la ec. 10 se obtiene la Emin=2/3Yc. En la figura 05 se puede aprecia la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en un canal rectangular.

Figura 05: Distribución de la energía especifica en un canal rectangular.

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3.6. EXPRESIÓN

ADIMENSIONAL

DE

LA

ENERGÍA

ESPECÍFICA:

el

conocimiento de las condiciones en que ocurre el régimen crítico permite la representación adimensional de la energía específica. En efecto, las curvas EY (curva energía versus tirante) que se generan para distinto gastos unitarios en un canal rectangular de cualquier pendiente, se pueden representar por una sola si las coordenadas se hacen adimensionales. Para ello, se divide la ecuación de energía específica (ecuación 06) por Y c. Por otra parte, dado que en la ecuación Ac=bYc, Tc=b, q=Q/b, todo esto sustituyendo en la ecuación se obtiene:

     ()… (18)     Que es la forma adimensional de la ecuación de energía específica para un canal rectangular. En la figura se muestra la representación gráfica de la ecuación anterior, donde el punto crítico tiene las coordenadas (1.5, 1.0), es decir, cuando Y=Y c, Ec=3Yc/2.

Figura 06: Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular.

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3.7. CELERIDAD DE UNA ONDA DE TRANSLACION Y VELOCIDAD CRÍTICA: una onda formada en el seno de un fluido se define como una variación de temporal en la velocidad, en la presión o en ambas, que se propaga en su interior. Puede considerarse que es un fenómeno temporal producido por la intervención de fuerzas externas y su velocidad de propagación se conoce como celeridad.

Figura 07: Onda elemental de translación.

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En el caso del agua a superficie libre se produce las llamadas ondas de gravedad o de translación, que se caracterizan porque se reconoce a la gravedad como la fuerza principal. Existen dos tipos: las oscilatorias, que se forman en el mar a cierta distancia de la costa, de gran longitud en comparación con la profundidad en que se mueven, y las ondas de pequeña amplitud o de choque. Las primeras se propagan sin pérdida sustancial de energía, por el contrario, las segundas tienen frentes turbulentos que rompen con pérdida importante de energía y son las que se generan más a menudo en canales por la operación de controles. El procedimiento común para el cálculo de la celeridad de una onda solitaria de translación (o de choque) sobre el agua en reposo es como se muestra en la figura 07: el estado de flujo no permanente cambia a permanente con el punto de vista del observador. Lo correcto es aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento debido a que se disipa energía en el frente de la onda; sin embargo, dado que la onda es de pequeña amplitud, la disipación es pequeña y puede también usarse la ecuación de energía, obteniendo la siguiente ecuación (19) para la celeridad en ambos casos.

    

… (19)

La misma onda se puede generar en un canal en movimiento cuando se produce un incremento brusco del caudal por la apertura también brusca de una compuerta, o bien por la maniobra de rechazo de una turbina en su extremo final. En este laboratorio se pudo apreciar claramente que al inicio se crea una onda negativa, va en sentido contrario a la dirección del flujo; se ahoga muy rápidamente pero se logra notar la diferencia de velocidad con respecto al flujo, desapareciendo al momento de llegar a la entrada del flujo. Para una mejor compresión se produjo un fenómeno similar al de la figura 7.b.

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4. INSTRUMENTOS. 4.1. CANAL DE PENDIENTE VARIABLE:

4.2. BOMBA

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PROCEDIMIENTO

a) Utilizar el canal de pendiente variable y secc ión rectangular. b) Medir el ancho de un canal ( b). c)

Colocar el canal en posición horizontal. Comprobar midiendo una cota Z 1 en la cabecera del canal y otra Z 2 al final del canal.

d) Abrir lentamente la válvula de regulación del caudal hasta obtener la mayor profundidad posible. e) Esperar a que se estabilice el flujo y aforar el caudal en el vertedero triangular situado aguas abajo del canal. f)

Elegir una sección y medir la profundidad del agua ( y)

g) Variar muy poco la pendiente del canal. Mida Z 1 y Z 2 y la distancia L entre las secciones (1) y (2) y calcular la pendiente S o. h) Medir la profundidad en la misma sección anteriormente elegida en e l numeral 5. i)

Repetir el procedimiento desde (6) el mayor número de veces posible.

DATOS: Q(cm¨3/seg)= 7352.2 b= 10.8 n=0.00230915 L(cm)=220

DATOS DE LA PRACTICA

0

0.25

0.5

Z1 18 18 18 18 18 18 18 18 18

Z2 26.2 26.3 26.25 25.4 25.35 25.4 25.05 25.1 25.05

Y 8.2 8.3 8.25

CALCULOS

A(cm¨2) V(cm/s) E (cm) FR 88.56 85.93044264 11.9635275 0.95808848 89.64 84.8951361 11.9733864 0.94082589 89.1 85.40965208 11.9680472 0.9493918

Tipo de flujo SUBRCITICO SUBRCITICO SUBRCITICO

8.25

89.1

7.4 7.35 7.4

79.92 79.38 79.92

SUBRCITICO 95.22022022 12.0212489 1.11758051 SUPERCRITICO 95.86797682 12.0343369 1.12900376 SUPERCRITICO 95.22022022 12.0212489 1.11758051 SUPERCRITICO

7.3833333

79.74

95.43516428

12.025469

1.121367

7.05 7.1 7.05

76.14 76.68 76.14

SUPERCRITICO 99.9474652 12.1414861 1.20182912 SUPERCRITICO 99.24360981 12.1200276 1.18915612 SUPERCRITICO 99.9474652 12.1414861 1.20182912 SUPERCRITICO

7.0666667

76.32

99.71174004

12.134165

1.19758

85.40965208

Página 15

11.968047

0.949392

SUPERCRITICO

0.75

1

1.26

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

24.55 24.5 24.53 24.1 24.15 24.1 23.9 23.9 23.88 23.6 23.65 23.6 23.3 23.3 23.3 23.1 23.15 23.15 22.9 22.9 22.9 22.7 22.7 22.75 22.6 22.6 22.6 22.5 22.5 22.5

6.55 6.5 6.53

70.74 70.2 70.524

107.5770427 12.4484812 1.34203687 SUPERCRITICO 108.4045584 12.4895761 1.35755165 SUPERCRITICO 107.9065283 12.4646681 1.34820715 SUPERCRITICO

6.5266667

70.488

107.9616389

6.1 6.15 6.1

65.88 66.42 65.88


6.1166667

66.06

115.1983046

5.9 5.9 5.88

63.72 63.72 63.504


5.8933333

63.648

119.5638512

5.6 5.65 5.6

60.48 61.02 60.48


5.6166667

60.66

125.4533465

5.3 5.3 5.3

57.24 57.24 57.24


5.3

57.24

132.9489867

14.308885

5.1 5.15 5.15

55.08 55.62 55.62


5.1333333

55.44

137.2655123

14.736708

4.9 4.9 4.9

52.92 52.92 52.92

143.8019652 143.8019652 143.8019652

15.439758 15.439758 15.439758

4.9

52.92

143.8019652

4.7 4.7 4.75

50.76 50.76 51.3


4.7166667

50.94

149.3914409

4.6 4.6 4.6

49.68 49.68 49.68


4.6

49.68

153.1803543

16.559338

2.280288

4.5 4.5 4.5

48.6 48.6 48.6


4.5

48.6

156.5843621

16.99677

2.356718

Página 16

12.467398

12.880504

13.179528

13.63835

15.439758

16.091693

1.34924

1.487148

1.572479

1.690085

1.843795

SUPERCRITICO 2.07411235 SUPERCRITICO 2.07411235 SUPERCRITICO 2.07411235 SUPERCRITICO 1.934315

2.074112

2.196209

SUPERCRITICO

CONCLUSIONES



Para un caudal determinado existe tirante donde la energía específica es mínima y se le denomina tirante crítico.



Si el tirante de un canal es mayor que el crítico, entonces el flujo será supercrítico y el número de Froude será mayor a 1. Si el tirante en cambio, es menor que el crítico, el flujo será subcrítico y el númerod e Froude será menor a 1.



Para pendiente mayores a la pendiente crítica, el flujo será supercrítico; para pendientes menores, el flujo será subcrítico.

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Estudio de La Energia Especifica en Canales Rectangulares

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