Estudio de La Determinacion Estática y Estabilidad de Las Estructuras2

UNIVER UNIVERSIDAD NA C ION AL DE C AJA M A RC A

FAC ULT ULTAD DE ING ENIER NIERIA

ESTUDIO DE LA DETERMINACION ESTÁTICA Y ESTABILIDAD DE LAS ESTRUCTURAS 1. ESTABILIDAD. INDETERMINACION ESTATICA Y GEOMETRICA Veamos en forma sintética algunos conceptos muy simples a aplicar en las estructuras, referidas más que a su resistencia, a su forma y vinculaciones internas y externas.

1.1. Conceptos importantes a)

Estructuras inestables: Son aquellas que no están diseñadas para soportar cualquier sistema de cargas y que solo pueden estar en equilibrio bajo cierto estado de cargas exteriores. Constituyen Cadenas Cinemáticas o Mecanismos, y a fin de dar ejemplos, si bien los conceptos son generales, nos referimos al caso de de las vigas.

Es evidente que la estructura es un mecanismo que solo estará en equilibrio para una relación P1 = 0, mientras que cualquiera sea P2 y P3 no se desequilibrará el sistema. b)

Estructuras estables: son aquellas que están diseñadas para soportar cualquier sistema de cargas sin perder su estabilidad, dependiendo de las fuerzas aplicadas las reacciones que aparecerán para equilibrar la estructura

Los sistemas pueden ser Hiperestáticos por su condición externa o interna; a)

Indeterminación estática externa: Un sistema puede ser hiperestático por exceso de vínculos externos.

ANALISIS ESTRUCTURAL I

Ing. Mosqueira Moreno Miguel Angel



b)

Indeterminación estática interna:

c)

Indeterminación estática por condición externa e interna:

Un sistema puede ser hiperestático por exceso de vínculos internos, que ligan algunos puntos de la estructura.

1.2.

-

VENTAJAS DE LA S ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS HIPERESTÁTICAS Economía de material: La economía en las magnitudes de los momentos en una estructura hiperestática puede llegar de un 20% a un 50% pero no toda esa disminución de momentos se traduce en el mismo porcentaje en economía de material.





-

Mayor margen de seguridad de las estructuras estructu ras hiperestáticas hiperestát icas ya que si eliminamos el o los vínculos superabundantes se convierte primero en isostática y luego se produce el colapso de la misma. Como se muestra en la figura, necesita que la estructura falle en 3 puntos para volverse volverse isostática, una cuarta falla provocará provocará su colapso. colapso.

-

En estructuras monolíticas (CºAº) las articulaciones, articulaciones, para hacerlas estáticamente determinadas determinadas son costosas y de difícil mantenimiento.

2. GRADOS DE HIPERESTATICIDAD: Grado de Indeterminación Estática

2.1

Determinación:

En el caso más general de estructuras hiperestáticas el grado de indeterminación estática puede obtenerse mediante una fórmula que contempla la vinculación de cada barra, el tipo de nudos que se presentan, los tirantes o puntales que existan en la estructura y los apoyos adicionales, de la siguiente manera: Las ecuaciones de equilibrio proporcionan condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio, cuando todas las fuerzas de una estructura pueden obtenerse a partir de estas ecuaciones la estructura se denomina estáticamente determinada. Es también llamada llamada Hipoestática GH < 0. Si GH = 0 la estructura se considera isostática. isostática. Las estructuras que tienen más fuerzas desconocidas que las Ecuaciones de equilibrio disponibles se llaman estáticamente indeterminadas. Es también llamada Hiperestática GH > 0.

El grado de hiperestaticidad total está dado por la suma de los grados de hiperestaticidad hiperestaticidad externa e interna

GH = GH EX − GH i




2.2


NOTACIÓN (Bagio):

a3 = N º de apoyos empotrados , osea de 3 incógnitas o restricciones

a 2 = N º de apoyos con articulaciones fijas, osea con 2 incógnitas o restricciones

a1 = N º de apoyos simples o deslizantes, osea 1 incógnita o restricción

b = N º total de barras o elementos b3 = N º de barras con 6 reacciones o vínculos osea de 3 reacciones hiperestát icas

b2 = N º de barras con 5 reacciones o vínculos osea de 2 reacciones hiperestát icas

b1 = N º de barras con 4 reacciones o vínculos osea de 1 reaccion hiperestát ica





e = N º de Ecuaciones Especiales GH = Grado de Hiperestaticidad Total n = Nº total de nudos, incluyendo los de los apoyos n3 = N º de Nudos con cero (0) grados de libertad, en los que por lo menos hay continuidad entre dos elementos, entre los que se trasmiten 3 tipos de solicitaciones(Flexión, Normal y Cortante)

n 2 = N º de Nudos con 1 grado de libertad, 2 tipos de solicitaciones(Normal y Cortante)

n 1 = N º de Nudos con 2 grados de libertad, 1 tipo de solicitacion(Normal ó Cortante)

N = N º de Segementos de Área de la Estructura Aporticada Aporticada , que están completamente cerrados por los miembros de un pórtico.

r = N º Total de Restricciones de apoyo




2.3


HIPERESTATICIDAD EXTERNA

En general en todos los casos: Ghe = r − (número de ecuaciones de equilibrio estáticas y de ecuaciones especiales que pueden plantear para la estructura en conjunto, como un todo) Ghe = r − ( E .E + e)

Ejemplo. Clasifique cada una de las siguientes estructuras que se muestran a continuación. Si son estáticamente indeterminadas externamente externamente indique el grado de indeterminación.

r=9 E.E =3 e=2 Ghe =9-3-2 = 4

Ghe = 3 − 3 = 0 …Estáticamente Indeterminada – Hiperestática de Ghe = 4 Para armaduras:

r=4 EE = 3 Ghe = 4-3 = 1

2.4

… Estáticamente Indeterminada – Hiperestática de Ghe = 1 GRADO DE HIPERESTATICIDAD TOTAL

Estructuras de Barras (armaduras): Cuando esta constituida por elementos articulados en sus extremos Gh = b + r − 2n Donde b: barras





r: reacciones n: Nº de nudos

Ejemplo: Hallar el G.H. de las siguientes estructuras

b = 20 r = 5 s n = 12 Gh = 20 + 5 - 2 x 12 = 1

SOSTÁTICA Gh = 13 + 3 − 2(8) = 16 − 16 = 0 ……Hiperestática

ESTRUCTURAS APORTICADAS O CONTINUAS

Gh = 3b + r − 3n − e Se considera que todos los nudos son son completos, Si Si existieran articulaciones o rótulas intermedias o en los nudos, se considerara la cantidad e, que es el Nº de Ecuaciones Especiales. (No se tomara e en los apoyos, pues la presencia de las articulaciones o rótulos ya está considerando e, Ej. Los casos siguientes)

En estructuras aporticadas sin articulaciones internas.

Ghi = 3 N





PARA ESTRUCTURAS COMPUESTAS Constituido por elementos continuos y una parte por elementos articulados G H = 3b3 − 2b2 + b1 + 3a3 + 2a2 + a1 − ( 3n3 + 2n2 + n1 )

En todos los casos Si G H < 0, la estructura es inestable, hipoestática Si Gh = 0 la estructura puede ser estable e isostática Si Gh > 0 la estructura puede ser estable y es estáticamente indeterminada (hiperestática). Antes de aplicar las fórmulas aquí dadas, debe observarse y analizarse la estructura con el fin de verificar su estabilidad, las fórmulas no deben aplicarse ciegamente, pues hay casos en los que debido a la disposición u organización de los elementos, puede estarse ante una estructura inestable, a pesar de que las fórmulas den un grado de hiperestaticidad igual o mayor de cero.





SISTEMAS DE COORDENADAS A todos los sistemas estructurales se le debe asignar un Sistema Global de Coordenadas el que debe ser capaz de medir todas las Fuerzas y los Desplazamientos sin excepción.

SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS [Q-D] Una estructura al recibir solicitaciones externas tales como cargas, o efectos de asentamientos, cambios de temperatura; adquiere una nueva configuración: LA CONFIGURACION DEFORMADA . Esta configuración queda definida por las nuevas posiciones de los infinitos puntos que conforman la estructura. Sin embargo para estudiar la Respuesta de una estructura asociamos a un conjunto de desplazamientos de Interés como se se muestra la figura, estos desplazamientos desplazamientos pueden pueden ser representados por: D 1, D2, D3, D4, D5, D6. (Desplazamientos, traslaciones y la rotación de los Nodos).

Por otro lado, l ado, las solicitaciones externas también se pueden representar como un conjunto de acciones nodales: Q 1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6, aplicables en las direcciones y ubicaciones correspondientes a D 1, D2, D3,… D6.





Este conjunto de desplazamientos y fuerzas nodales constituyen el Sistema [Q-D] Sistema Global de Coordenadas , para la estructura los desplazamientos y fuerzas del Sistema de coordenadas se organizan en los vectores fuerza {Q} y los desplazamientos {D}. Vector de Fuerzas ⎧Q1 ⎫ ⎪Q ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪Q ⎪ Qi → Fuerza aplicable sobre la coordenada " i" ; {Q} = ⎪⎨ 3 ⎪⎬ en la dirección de la coordenada " i" ⎪Q4 ⎪ ⎪Q5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩Q6 ⎪⎭ ⎧ D1 ⎫ ⎪ D ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ D ⎪ Di → Desplazamiento aplicable sobre la coordenada " i" ; { D} = ⎪⎨ 3 ⎪⎬ en la dirección de la coordenada " i" ⎪ D4 ⎪ ⎪ D5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ D6 ⎪⎭

Si Q y D están en el mismo sistema las fuerzas y los desplazamientos son independientes.

SISTEMA LOCAL DE COORDENADAS [q-d] Para estudiar cada elemento y su contribución al conjunto se debe considerar un sistema local de coordenadas. Por ejemplo para representar un elemento de un pórtico plano podemos usar los siguientes sistemas




⎧ d 1 ⎫ ⎧ θ i ⎫ {d } = ⎪⎨d 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ θ j ⎪⎬, ⎪d ⎪ ⎪Δ ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎩ J ⎭


⎧ q1 ⎫ ⎧ M i ⎫ {q} = ⎪⎨q 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ M j ⎪⎬ ⎪q ⎪ ⎪ P ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎩ J ⎭

Sistema Local 1 ⎧ d 1 ⎫ ⎧ Δ x j ⎫ {d } = ⎪⎨d 2 ⎪⎬ = ⎪⎨Δ y J ⎪⎬ ⎪d ⎪ ⎪ θ ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎩ j ⎭

;

⎧ q1 ⎫ ⎧ Px j ⎫ {q} = ⎪⎨q 2 ⎪⎬ = ⎪⎨Py j ⎪⎬ ⎪q ⎪ ⎪ M ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎩ J ⎭

Sistema Local 2

SISTEMA DE COORDENADAS GENERALIZADA Sea la siguiente estructura:

⎧ Q1 ⎫ ⎪Q ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪Q3 ⎪ [Q] = ⎪⎨ M ⎪⎬ ⎪ M ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M ⎪ ⎪Q ⎪ ⎩ 8⎭

⎧ D1 ⎫ ⎪ D ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ D3 ⎪ ⎪ ⎪ ; [ D ] = ⎨ M ⎬ ⎪ M ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M ⎪ ⎪ D ⎪ ⎩ 8⎭

Si consideremos el equilibrio de la Estructura tendremos

∑ Fx = 0

⎫ ⎪ Q1 + Q 4 + Q 7 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ Existen relaciones de dependencia ∑ Fy = 0 ⎬ Q 2 + Q5 + Q8 = 0 ⎪ entre las cargas ⎪ ∑ M 1 = 0 ⎪ Q 6 + Q 3 − Q1 L 3 + Q 2 L1 + Q 8 ( L1 + L 2 ) + Q 7 L 3 ⎪⎭

Es decir que para este sistema de coordenadas se puede plantear relaciones de dependencia entre los elementos del vector. Luego en otras palabras los elementos de este vector no pueden ser variados en forma arbitraria ya que no son independientes





Consideremos ahora el sistema de coordenadas siguiente: ⎧Q1 ⎫ ⎪Q ⎪ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ {Q} = ⎨Q3 ⎬ ⎪Q ⎪ ⎪ 4⎪ ⎪⎩Q5 ⎪⎭

;

⎧ D1 ⎫ ⎪ D ⎪ ⎪⎪ 2 ⎪⎪ { D} = ⎨ D3 ⎬ ⎪ D ⎪ ⎪ 4⎪ ⎪⎩ D5 ⎪⎭

Los elementos del vector fuerza de este nuevo sistema si pueden variarse arbitrariamente y por ende entre estos no puede establecerse ninguna dependencia o relación. En éste caso se cree que el sistema de coordenadas es generalizado respecto a la carga. Resumiendo: Un sistema de coordenadas es generalizado respecto al vector de carga si los elementos de este son independientes entre si. Es decir una estructura puede permanecer en equilibrio estático para cualquier caso.

Un sistema de Coordenadas es Generalizado respecto a los desplazamientos si los elementos {D} no pueden ser relacionados por las ecuaciones de compatibilidad que imponen las hipótesis de solución, es decir estos pueden tener cualquier fuerza arbitraria de valores. Otra Definición:

Un sistema de coordenadas es generalizado respecto a los desplazamientos si para cualquier valor de {D} la estructura puede puede adoptarla conservando conservando sus condiciones de de deformación Un sistema de Coordenadas es generalizado respecto a cargas si para cualquier valor de {Q}, la estructura puede permanecer en equilibrio estático.





NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD Es el número mínimo de desplazamientos independientes posibles en los nudos. Es el Nº de coordenadas generalizadas que se necesitan para conocer la configuración deformada de la estructura en todos sus nudos. Coordenadas Generalizadas: Cuando las coordenadas son independientes

Nº de Coordenadas Coordenadas Generalizadas Generalizadas es en Nº de Grados de Libertad



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