Estudio de Hidrologia (Final)

MUNICIPALIDAD DISTRITAL DE PILLCOMARCA

PROYECTO: “CONSTRUCCION Y MEJORAMIENTO DE PISTAS Y VEREDAS EN LOS JIRONES LOS EUCALIPTOS, PALMERAS, CASUARINAS, SAUCES, PINOS Y DE LOS PASAJES LOS JARDINES, PRIMAVERA Y PINOS EN LA CIUDAD DE CAYHUAYNA CAYHUA YNA BAJA, DISTRITO DE PILLCO MARCA - H UANUCO - HUANUCO”

ESTUDIO HIDROLOGICO

Contenido 1.

HIDROLOGIA.......................................................................................................................................................2 HIDROLOGIA....................................................................... ................................................................................2

1.1 GENERALIDADES.............................................................................................. GENERALIDADES................................................................................................................................. ............................................. .............2 ...2 1.1.1 UBICACIÓN........................................................... UBICACIÓN............................................................................................................................................. ........................................................................................... ............2 ...2 1.1.2 OBJETIVOS...................................................................................... OBJETIVOS............................................................................................................................................... ................................................................... ...........4 .4 1.2 PARAMETROS PARAMETROS DE LA MICROCUENCA..................................................... MICROCUENCA................................................................................................... .....................................................4 .......4 1.2.1 INFORMACIÓN CARTOGRAFICA CARTOGRAFICA Y GEOGRÀFICA......................................................................................4 GEOGRÀFICA......................................................................................4 1.3 ANALISIS DE EVENTOS MAXIMOS............................................................................ MAXIMOS................................................................................................................5 ....................................5 1.3.1 DATOS DATOS HIDROMETEOROLOGICOS.................................................................................................................5 HIDROMETEOROLOGICOS.................................................................................................................5 1.3.2 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE LA PRESENTACION...................................................................... PRESENTACION...................................................................... 1.3.3 ANALISIS ESTADISTICO ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES PRECIPITACIONES MAXIMAS..................................................................... MAXIMAS..................................................................... 1.3.4 METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILISTICAS......... PROBABILISTICAS.............. .......! ..! 1.3.5 METODO DE MOMENTOS....................................... MOMENTOS................................................................................................................................." .........................................................................................." 1.3.5.1

DISTRIBUCION NORMAL........................................................................ NORMAL............................................................................................................. .............................................. ..........." .."

1.3.5.2

DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I....................................................................................11

1.3.5.3

DISTRIBUCION LOG # NORMAL DE II PARAMETROS.....................................................................1! PARAMETROS.....................................................................1!

1.3.5.4

DISTRIBUCION LOG # NORMAL DE III PARAMETROS........................................................ PARAMETROS.................................................................. ...........21 .21

1.3.5.5

DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO III.................................................................................. III............................................................................................ ...........25 .25

1.3.5.

DISTRIBUCION PEARSON TIPO III.......................................................................................................2"

1.3. VERIFICACION ESTADISTICA ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONES.......................................................... DISTRIBUCIONES................................................................... ............32 ...32 1.3..1

PRUEBAS DE AJUSTE....................................... AJUSTE..................................................................................................................... ...................................................................................... ........32 32

1.3..2

METODO DEL ERROR CUADR$TICO MINIMO................................................................................ MINIMO.................................................................................32 .32

1.3..3

SELECCIÓN DEL METODO ESTAD%STICO ESTAD%STICO APROPIADO.................................................. APROPIADO.......................................................... ................ ........33 33

1.3..4

PRECIPITACION PRECIPITACION MAXIMA E INTENSIDAD MAXIMA................................................................... MAXIMA.......................................................................34 ....34

1.3..5

AN$LISIS DE RIESGO DE FALLA.........................................................................................................35 FALLA.........................................................................................................35

1.3..

CURVA CURVAS DE INTENSIDAD&DURACIÓN Y FRECUENCIA 'IDF(........................................................ 3!

1.4 CONCLUSIONES.................................................................................. CONCLUSIONES....................................................................................................................................... ............................................................. ........44 44

1

ESTUDIO DE HIDROLOGÍA



1. HIDR HIDROL OLOG OGIA IA 1.1

GENERALIDADES El tema de agua no es solamente de carácter técnico productivo, implica también aspectos sociales y de conservación de los recursos naturales, por eso requiere de propuestas integrales para su manejo; sobre todo considerar a la población que se dedica a la agricultura como un ente conservador del recurso hídrico en su área de expansión. odos sabemos de la importancia que tiene el recurso hídrico como elemento insustituible para !ructi!icar nuestras necesidades, y no nos es ajeno el hecho de que sin un buen uso de este recurso, no se podría lograr un desarrollo adecuado para este sector tan vital de la economía del país. Es necesario tener en cuenta, que el agua es uno del recurso natural más importante con que contamos para hacer reverdecer nuestro medio y dar niveles de e!iciencia y productividad. Este resultado muchas veces se ha movido seg"n el momento y los tiempos, pero sin duda, el manejo del agua ha sido objeto de trabajo en algunos momentos plani!icado, con visión de !uturo por los antiguos peruanos, en el que nada se dejaba pasar. #i se actuara de esta manera, los resultados deberían ser los esperados. El presente in!orme, trata de precisar el sistema de obras de drenaje que son necesarias para el tramo descrito, como alternativa para solucionar los problemas que suelen presentarse durante la época de lluvias, cuando las precipitaciones caen directamente sobre la vía e inundan el área del proyecto. $os pasos que se requerirán son% &. 'eterminar el n"mero de obras obras existentes y así mismo proponer proponer obras obras adicionales que que ayuden a controlar los e!ectos negativos de la escorrentía, con el !in de precisar su caudal y tipo de !lujo con respecto a la vía. (. (. )inalmen )inalmente te se reali*ará reali*ará una lista del tipo de obras obras o estructur estructuras as que son necesarias necesarias para el control de la acción de los !lujos de las quebradas, asimismo, de cada una de las obras se reali*ará un dise+o para !ijar su dimensionamiento y de este modo obtener el costo de cada estructura y así obtener el costo de las obras necesarias para mitigar los e!ectos negativos del agua para la transitabilidad, seguridad y durabilidad que toda in!raestructura debe brindar al usuario.

1.1.1 1.1.1 UBICACIÓ UBICACIÓN N Polti!"#

2

'epartamento

% -/-01.

2rovincia

% -/-01.

'istrito

% 23$$01 450.

$ocalidad

% 06-6/. 06-6/.




$eo%&'(i!")#

$atitud #ur%

789 :< .(=<<

$ongitud 1este%

>9 &=< :=.?7<<

UTM

@>:7(= E, @>=?=& E, ?87@??8 /, ?87=7& / 

Altit*d# &,8= msnm.

idrográ!icamente idrográ!icamente se ubica en la vertiente del tlántico y siguiendo una dirección de #ur A /orte y al /or A1este.

3


PROYECTO: “CONSTRUCCION Y MEJORAMIENTO DE PISTAS Y VEREDAS EN


LOS JIRONES LOS EUCALIPTOS, PALMERAS, CASUARINAS, SAUCES, PINOS Y DE LOS PASAJES LOS JARDINES, PRIMAVERA Y PINOS EN LA CIUDAD DE CAYHUAYNA CAYHUA YNA BAJA, DISTRITO DE PILLCO MARCA - H UANUCO - HUANUCO”

1.1.2 OBJETIVOS OBJETIVOS OBJETIVOS $ENERALES 

El propósito del estudio es evaluar el comportamiento hidrológico de los cursos de agua generada por las lluvias, en las calles de 066/ BC, con el propósito de corregir yDo conocer los requerimientos de dise+o de las obras de drenaje del proyecto.

OBJETIVOS ESPECI+ICOS 

  

1.2 1. 2

'eterm 'eterminar inar el caudal caudal de la escorr escorrent entía ía super!i super!icia ciall del recurs recursoo hídric hídricoo en la 4icroc 4icrocuenc uencas as correspondientes al área del proyecto considerado que permita el tratamiento y evacuación de las aguas. 0alcular los caudales de dise+o de drenaje de las calles principales. 'eterminar la precipitación y la intensidad de lluvia en un evento máximo en la *ona de proyecto. 'eterminar 'eterminar el caudal máximo de dise+o para un periodo de retorno de (: a+os. En los puntos de captación.

PARAM ARAMET ETRO ROS S DE DE LA LA MIC MICRO ROCU CUEN ENCA CA

1.2.1 INFORMACIÓN INFORMACIÓN CARTOGRAFICA CARTOGRAFICA Y GEOGRÀFICA In(o&"!in C"&to%&'(i!"

'el 3nstituto eográ!ico /acional, 3/, la in!ormación cartográ!ica disponible disponible !ue la siguiente%

De)!&i.!in

E)!"l"

F 4apa )ísico 2olítico del 2er"

& D& 777 777

F 4apa Gial del 2er"

& D( 777 777

F 0artas /acionales, /acionales , oja% (7H

& D& 77 777

In(o&"!in Meteo&ol%i!"

#e dispuso de la siguiente in!ormación pluviométrica%

PAR/METRO

ESTACI0N

PERIODO

2recipitación 4áx.

(= oras

-/-01 I&8?>J(77@K

2recipitación 2romedio mensual -/-01 I(77:J(7&=K con &7 a+os de registro.

4




1.3

LOS JIRONES LOS EUCALIPTOS, PALMERAS, CASUARINAS, SAUCES, PINOS Y DE LOS PASAJES LOS JARDINES, PRIMAVERA Y PINOS EN LA CIUDAD DE CAYHUAYNA BAJA, DISTRITO DE PILLCO MARCA - H UANUCO - HUANUCO”

ANALISIS DE EVENTOS MAXIMOS

1.3.1 DATOS HIDROMETEOROLOGICOS Es necesario identi!icar un período com"n de análisis, siendo este &88> A (7&7 en cuanto a precipitaciones máximas en (= horas, de acuerdo a la in!ormación disponible y que se requiere para e!ectos de cálculo, siendo estos los parámetros de 2recipitación de las estaciones de% PARA PRECIPITACIÓN MÁX. 2 HORAS

REGISTRO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS EN 2 HORAS ESTACION: PARAMETR O:

HUANUCO / 000404 /DRE11 PRECIPITACIONES MÁXIMAS EN 24 HORAS (mm

LAT. : LONG .:

09º 57' "S"

DPTO. :

7!º 14' ""

PROV. :

ALT.:

1947 m#$m

DIST. :

HUANUC O HUANUCO PI%%CO MARCA

AÑO

ENERO

FEBRER O

MARZ O

ABRI L

MAY O

JUNI O

JULI O

AGOST O

SEPTIEMB RE

OCTUB RE

NOVIEMB RE

DICIEMB RE

MAX. ANUAL

2005

5&90

1!&!0

25&50

2&40

0&!0

0&00

0&0

7&50

&50

11&00

&70

20&10

25.50

200!

2&00

11&0

1&90

&0

1&90

&!0

1&!0

2&00

7&20

1&90

21&70

1&20

28.00

2007

&70

2&40

12&0

7&50

5&0

1&20

&0

2&90

2&0

25&0

1&70

27&0

27.0

200

7&90

12&50

1!&!0

15&0

2&70

1&0

0&10

0&70

14&20

11&70

&10

0&!0

.!0

2009

19&!0

10&00

19&40

10&!0

7&0

9&00

4&00

&40

2&0

1!&0

&50

9&10

!".#0

2010

4&90

17&40

22&!0

!&0

2&40

1&20

&0

5&00

9&!0

12&00

21&0

19&90

22.#0

2011

1&!0

11&!0

5&40

&00

9&50

1&0

0&90

1&50

11&40

20&40

19&0

!&20

#.20

2012

1!&0

12&0

11&!0

1!&0

5&70

1&90

4&70

2&50

2&!0

1!&20

29&!0

0&70

0.70

201

7&90

1&20

14&70

1&!0

1&90

4&70

5&50

14&10

2&40

1&40

11&10

19&90

!"."0

2014

15&40

21&90

20&!0

24&0

1&20

&20

1&0

0&0

11&70

2&20

9&0

14&10

2$.80

MEDIA MAXIM A MINIM A

!2.82

!2."2

!".7#

!!.$!

5.55

2.8$

2.#0

.""

#.72

!#."$

!7.#8

22.#!

#.20

28.00

2!."0

5.$0

2$.80

!8.20

".00

5.50

!$.!0

!$.20

25.80

.!0

#.20

#.20

$."0

2.$0

!!.#0

2.$0

0.#0

0.00

0.!0

0.0

2.0

!!.00

8.50

".!0

!".#0

1.3.2 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE LA PRESENTACION Existen varias !ormulas para calcular la probabilidad de ocurrencia, la misma que se muestra en las siguientes tablas, siendo la más utili*ada la !ormula de Leibull. FORMULAS EMP!RICAS PARA DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA Método

5

Probabiidad d! O"#rr!$"ia %P&





m

Cai(or$ia

n

m − 1) 2

Ha)!$

n m

*!ib#

n +1 m − *.3

C+!,ada-!.

n + *.4 m−3)"

/o0

n +1 ) 4 3m − 1

T#!-

3n + 1 m−a

Gri$,ort!$

n + 1 − 2a

'onde% 2M 2robabilidad experimental o !recuencia relativa empírica mM /"mero de 1rden nM /"mero de datos aM Galor comprendido en el intervalo 7NaN&, y depende de n, de acuerdo a la siguiente tabla N A

1 644

2 6443

3 6442

4 6441

5 644

' 644

 644

 644

 643

1 643

1.3.3 ANALISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS FUNCION DE PROBABILIDAD

-na !unción !IxK es llamada !unción de probabilidad o !unción de densidad de la variable aleatoria contin"a O si cumple con las siguientes condiciones% f ' x( ≥ *+ ∀ x ∈ R

∫ f ' x(dx = 1 0uando se encuentra en los límites

− ∞

y

∞

P ' A( = P ' x ∈ A( = P ' a ≤ x ≤ b( = #ea el evento A = ' x ) a ≤ x ≤ b( ; luego,

∫ f ' x(dx

0uando se encuentra entre los límites a y b En la estadística existen decenas de !unciones de distribución de probabilidad teórica; y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular, por lo tanto es necesario escoger uno de esos modelos, el que se adapte mejor al problema bajo análisis.

'





2ara el análisis de las precipitaciones máximas de las microcuenca de la *ona se han utili*ado los "ltimos registros históricos máximos de (= horas de &? a+os I&8>>J(77@K, para ello se ajustaron a > 'istribuciones de probabilidades las cuales son% − − − − − −

'istribución /ormal Estándar. 'istribución umbel I'istribución extrema ipo 3K. 'istribución $og 2earson ipo 333. 'istribución $og /ormal 33 2arámetros. 'istribución $og /ormal 333 2arámetros. 'istribución 2earson tipo 333.

1.3. METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILISTICAS Existen varias técnicas para la estimación de los parámetros de una distribución entre otras estas son% − 4étodo de 4omentos − 4étodo de máxima verosimilitud − 4étodo de mínimos cuadrados − 4étodo grá!ico El objetivo de la estimación de los parámetros es de relacionar los registros observados Imedia, variancia, sesgo, etc.K de un !enómeno aleatorio con el modelo probabilística seleccionado. En este trabajo se desarrollara en base a la in!ormación seleccionada que se muestra en el siguiente cuadro. REGISTRO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS EN 2 HORAS



N%

AÑO

MAX. ANUAL

1&00 2&00 11&00 12&00 1&00 14&00 15&00 1!&00 17&00 1&00

2005 200! 2007 200 2009 2010 2011 2012 201 2014

25&50 2&00 27&0 &10 19&!0 22&!0 !&20 0&70 19&90 24&0

MEDIA

#.20

MAXIMA

#.20

MINIMA

!".#0





1.3." METODO DE MOMENTOS 1.3.".1 DISTRIBUCION NORMAL El método de momentos !ue desarrollado por primera ve* por Parl 2earson en &87(. Ql consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una !unción de probabilidad son aquellos para los cuales los momentos de la !unción de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la in!ormación de la muestra. El método de momentos selecciona valores para los parámetros de la !unción de densidad de probabilidad de tal manera que sus momentos son iguales a aquellos de la in!ormación de la muestra. n

∑

X i n

i =1

=

1 n

n

∑ X

i

−

= X

i =1

$a media o promedio es el estimador que corresponde a la !unción teórica de probabilidad que es% u

∞

= ∫ − ∞ xf ' x(dx

1riginalmente 2earson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió com"n el uso de la varian*a como el segundo momento central, σ

2

= E '' x − u ( 2

,

y el coe!iciente de asimetría como el tercer momento central estandari*ado,

γ = E '' x − u ( 3 ) σ 3 , para determinar el segundo y el tercer parámetro de la distribución. 0uando la distribución de probabilidad, a la que se estima los parámetros por este método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este método es muy e!iciente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como ocurre muy a menudo con las variables hidrológicas, el utili*ar este método representa una pérdida de e!iciencia en la estimación. El análisis para la 'istribución /ormal de la Estación de -/-01 que se presenta% 0on el apoyo del programa #mada. 0on las precipitaciones correspondientes a periodos de retorno de (, @, :, &7, (:, :7, &77, y (77 a+os se muestran a continuación.







Distribution Analysis: Normal Distribution ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 26.7600 Seon! Moment = 2."6#e0# S$e% = 2.&&'e-0# --------------------------------------------------------oint eibull Atual re!ite! Stan!ar! Number robability *alue *alue De+iation --------------------------------------------------------# 0.0"0" #".6000 #".'"&, 2.,706 2 0.#,#, #"."000 2#.,#7' 2.&2'6 & 0.2727 22.6000 2&.'722 2.0#0' ' 0.&6&6 2'.,000 2'.,6'7 #.,22#  0.'' 2.000 26.#'0# #.7&#, 6 0.' 27.&000 27.&7"" #.7&#, 7 0.6&6' 2,.0000 2,.6& #.,22# , 0.727& &0.7000 &0.0'7, 2.0#0' " 0.,#,2 &&.0000 &#.7026 2.&2'6 #0 0."0"# &6.2000 &'.0262 2.,706 ------------------------------------------------------------------------- re!itions -------------------------/ee!ene eturn 1alulate! Stan!ar! robability erio! *alue De+iation --------------------------------------------------------0.""0 200.0 '0.77,0 '.7# 0.""00 #00.0 &".'206 '.&77 0.",00 0.0 &7."&7' &." 0."600 2.0 &6.2,,# &.'6"7 0."000 #0.0 &&.7&'2 2.7"7& 0.,000 .0 &#.&&,6 2.2',, 0.6670 &.0 2".#06' #.,7&, 0.000 2.0 26.7600 #.7207 ---------------------------------------------------------

Nor0a Di7trib#tio$ 4 3

8a#!

A"t#a Data 2 1 Di7trib#tio$  6

62

64

6'

6

*!ib# Probabiit-




16




1.3.".2 DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA.

$a !unción de distribución acumulada, tiene la !orma% F ' x(

= e− e

−α [ x − β ]

2ara% ,

− ∞ < x < +∞

− ∞ < β < +∞

* < α < +∞

'onde% El parámetro R se le conoce como parámetro de escala. El parámetro S se le conoce como parámetro de posición. FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD.

'erivando la !unción de distribución acumulada, con respecto a x, se obtiene la !unción de densidad de probabilidad, es decir% f ' x(

f ' x(

=

dF ' x( dx

= α , e[ ±α ( x − β ) − e

z α ( x − β )

]

2ara − ∞ < x < +∞ , El signo ITK se aplica para valores mínimos y el signo IJK se aplica para valores máximos Idistribución umbel o ipo 3K. #i se hace la trans!ormación% Y = α ( x − β )

0on lo cual, la !unción densidad reducida es% f ' y (

= e( ± y − e

± y

)

El signo ITK se emplea para eventos mínimos y el signo IJK para eventos máximos. $a !unción de distribución acumulada es% F ' y(

= e− e

F ' y(-0

1

− y

→ I4áximoK

F ' y (

y

= 1 − e− e → I4ínimoK

= 1 − F '− y(-/ ESTUDIO DE HIDROLOGÍA




$os valores correspondientes de x e y, están relacionadas por% )IxK M )IyK y la relación% Y = α ( x − β )

x

ó

= β +

y

α

MÉTODO DE GUMBEL (VALOR EXTREMO TIPO I)

#eg"n 2aulet, &8=, El método de umbel se utili*a para predecir magnitudes máximas de variables hidrológicas asumiendo que estos valores son independientes entre sí, también son usadas !recuentemente para el estudio de magnitud J duración J !recuencias de lluvias Iersh!iel &8>&K. #eg"n $insley &8&, aplicó al río 0lear Later en 3daho Estados -nidos. Este método es adecuado cuando se utili*a como datos las descargas máximas anuales en un punto de control de una vertiente o un 5ío. $a !unción de densidad reducida de umbel Iipo 3K tiene la !orma de la ecuación anterior pero con signo negativo. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

2ara la estimación de los parámetros α y β de la )unción cumulada )IxK ecuación se utili*aron ( métodos de estimación. MÉTODO DE MOMENTOS

#eg"n $oUery y /ash, &87 utili*ando el método de momentos se obtienen las siguientes relaciones% 4edia% EIxKM

x

= β +

c

α

'onde c, es la constante de Euler, cuyo valor es% c

1 1 1 = Limn →∞ 1 + + + ........... + − Ln'n( n  2 3 

c M 7.:(&:>>=8 2or lo tanto

% *.5!!21 X = β +

α

Garian*a%

11





[

E ( X − E ' x( )

2

] = S

2

=

π 2 α 2 , 

'e donde se obtienen% α =

1.2"25 S

β = X −

*.5!!21

α

5eempla*ando en las ecuaciones anteriores se tiene lo siguiente% β = X − *.45 , S MMV4áximo β = X − *.45 , S MMV4ínimo

2ara muestras muy grandes, o bien como% α =

σ y S

β = x −

µ y a

µ y

2ara muestras relativamente peque+as, los valores de tabla

y

σ y

se muestran en la tabla siguiente

2or otro lado, conocemos que la ecuación de -4BE$ se expresa como% X = β +

y

α

'e las ecuaciones se puede escribir la ecuación como% X = X −

X = X −

µ y α

+

y , S

σ y

µ y , S y , S + σ y σ y

X = X +

S

σ Y

( − µ y + y )

#e sabe que la !unción de distribución cumulada ecuación es% 12




)IyK M e


−e− y

2or otro lado se tiene% F ' y (

= 1−

1 T

Entonces se tiene que. 1−

1 T

− y

= e− e = F ' y (

TABLA DE MEDIAS ESPERADAS Y DESVIACIONES ESTÁNDAR DE EXTREMOS REDUCIDOS

omando dos veces $n a la ecuación a ambos miembros se obtiene lo siguiente% y

 T − 1   = − Ln − Ln    T     

5eempla*ando el valor de y en la ecuación se obtiene%

13



X = X +

PROYECTO: “CONSTRUCCION Y MEJORAMIENTO DE PISTAS Y VEREDAS EN LOS JIRONES LOS EUCALIPTOS, PALMERAS, CASUARINAS, SAUCES, PINOS Y DE LOS PASAJES LOS JARDINES, PRIMAVERA Y PINOS EN LA CIUDAD DE CAYHUAYNA BAJA, DISTRITO DE PILLCO MARCA - H UANUCO - HUANUCO”

 T − 1     − µ y − Ln   − Ln     σ y  T       S

   1    T    X = X + S  −  µ y + LnLn     σ y   T − 1                   K 1

σ



µ

# i consideramos que para valores grandes de /, la expresión y tiende a π y que y tiende a c M7.:( entonces hemos comprobado que la ecuación general para expresar un valor de una X = X + K , S serie hidrológica es% El análisis para la 'istribución 4Q1'1 'E -4BE$ IG$15 EO5E41 321 3K de la Estación de -/-01 que se presenta% 0on el apoyo del programa #mada. 0on las precipitaciones correspondientes a periodos de retorno de (, @, :, &7, (:, :7, &77, y (77 a+os se muestran a continuación.

14





Distribution Analysis: umbel /tremal 3y4e 5 ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 26.7700 Seon! Moment = 2."7e0# S$e% = 2.&'#e-0# --------------------------------------------------------oint eibull Atual re!ite! Stan!ar! Number robability *alue *alue De+iation --------------------------------------------------------# 0.0"0" #".6000 #,.',' 2.#6' 2 0.#,#, #"."000 20.',, #.72, & 0.2727 22.6000 22.#"# #.'"#, ' 0.&6&6 2'.,000 2&.702 #.'#7'  0.'' 2.000 2.2#2' #.'""7 6 0.' 27.&000 26.,02" #.7&07 7 0.6&6' 2,.0000 2,.77, 2.#0&6 , 0.727& &0.7000 &0.6"6 2.6&7& " 0.,#,2 &&.#000 &&.',,7 &.'#& #0 0."0"# &6.2000 &7.""#6 '.7'7, ------------------------------------------------------------------------- re!itions -------------------------/ee!ene eturn 1alulate! Stan!ar! robability erio! *alue De+iation --------------------------------------------------------0.""0 200.0 .,0'& #0.262 0.""00 #00.0 #."6" ,."'67 0.",00 0.0 '7.&7'# 7.6&## 0."600 2.0 '&.##"" 6.&#'# 0."000 #0.0 &7.&,& '.62 0.,000 .0 &2.,'67 &.2 0.6670 &.0 2".2'2# 2.26&2 0.000 2.0 2.""#7 #."7& ---------------------------------------------------------

G#0b! E9tr!0a T-:! I 4 3

8a#!


62

64

6'

6


15


16




1.3.".3 DISTRIBUCION LOG # NORMAL DE II PARAMETROS #i la variable aleatoria 6 M log O está normalmente distribuida, entonces se dice que O está distribuida en !orma lognormal. Esta !unción !ue estudiada por primera ve* por altón en el a+o de &?:, por eso es que se le llama también !unción de altón. 2or el teorema del límite central, tenemos que si O es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variable yMlnx, también con distribución normal con media Wy y varian*a Xy(, se usan estos parámetros para especi!icar que la distribución es logarítmica, puesto que también puede usarse la media y la varian*a de x. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

$a !unción densidad de distribución normal para 6 es% f ' y ( =

1

σ y 2Π

1  y − µ y −  2 σ e  y

 2   

2ara JY N y N TY 5e!iriendo la !unción de distribución de !IyK con !IxK, se tiene% f ' x( = f ' y (

⇒

d y

0omo 6Mlnx

d x

f ' x( =

1

=

2Π xσ y

d y d x

1 x

, OV7 −

e

[

1  x − µ y 2

]

σ y

2ara OV7 !IyK M Es la !unción de densidad de la distribución normal para y con media Wy y variancia Xy(. !IxK M Es la !unción de densidad de la distribución $og J /ormal para O con parámetro Wy y Xy(. $as tablas de distribución normal estándar pueden ser usadas para evaluar la distribución $og /ormal. 0omo !IxK M !IyKDx; pero !IyK es una distribución normal tenemos% !IxKM!I*KDxXy. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

$a !unción de distribución acumulada para O e 6 es%

1'





x

1

1

e ∫ σ x 2Π

F ' x( =

2

dx

y

*

F ' x( =

−1  Lnx − µ y    2  σ y 

y

1

∫ e

2Π

−1  y − µ y    2  σ y 

2

dy

y − ∞

$os valores de la !unción de distribución de probabilidad )IyK se obtienen usando la !órmula de bramoUit* y #teg"n si la variable estandari*ada se de!ine como% Z =

y − µ y

σ y x

1

∫ e 2Π

F ' x( =

− z 2 2

dz

−∞

µ

σ y

2ara la estimación de los parámetros y y estimaron por ( 4étodos de estimación%

de la !unción de 'istribución cumulada )IxK se

MÉTODO DE MOMENTOS

-tili*ando el método de momentos de las relaciones entre la media y la varian*a de la variable x y µ y

δ y

2

los parámetros y , pueden ser estimados por y y #y( mediante la trans!ormación yi M $nOi. #e sabe que y M $nx tiene distribución normal, mientras que x tiene distribución $ogJ/ormal. n

y

= Σ y1 n i =1

 n y 2 − n y 2  Σ i  i =1 2   S y = n −1 $os valores de y y #y( se estiman a partir de n observaciones Oi, iM&,(,@,=....n #eg"n 0hoU I&8:=K, se presento la siguiente relación para calcular y y #y( sin que sea necesario trans!ormar los datos previamente en sus logaritmos.

 x 2   y = Ln 2  2  Cv + 1   1

S y2

1

= Ln'Cv 2 + 1(





'onde 0v es el coe!iciente de variación de los datos originales

C v

=

Sx x

Existen las siguientes relaciones para obtener la 4edia y Garian*a de la distribución $og /ormal. µ x

2

σ y 2

GarIxKM µ x e

0vM

= E ' x( = e

 + 1 2   µ y σ y  2  

[e

σ y 2

−1

− 1]

1) 2

0oe!iciente de simetría% g M @0vT0v@ 2ara valores prácticos de por% gM7.:( T =.?:F

σ y

σ y

2

; 7.&N

σ y2

< *.+ la relación es casi lineal y puede ser aproximada

2

Zue es correcta dentro del ([, en el rango mencionado.

El análisis para la '3#53B-031/ $1 A /154$ 'E 33 254E51# de la Estación de -/-01 que se presenta% 0on el apoyo del programa #mada. 0on las precipitaciones correspondientes a periodos de retorno de (, @, :, &7, (:, :7, &77, y (77 a+os se muestran a continuación.

1





Distribution Analysis: 2 arameter o Normal ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 26.7700 Seon! Moment = 2."7e0# S$e% = 2.&'#e-0# --------------------------------------------------------oint eibull Atual re!ite! Stan!ar! Number robability *alue *alue De+iation --------------------------------------------------------# 0.0"0" #".6000 20.0&,# #."&" 2 0.#,#, #"."000 2#.,'0& #.7#6 & 0.2727 22.6000 2&.22#7 #.6#"& ' 0.&6&6 2'.,000 2'.'#7 #."77  0.'' 2.000 2.6&& #.6&6' 6 0.' 27.&000 26.,'0, #.7 7 0.6&6' 2,.0000 2,.#'00 #.,,7, , 0.727& &0.7000 2".6&0 2.##"' " 0.,#,2 &&.#000 &#.0'6 2.'66& #0 0."0"# &6.2000 &'.&&,# &.06& ------------------------------------------------------------------------- re!itions -------------------------/ee!ene eturn 1alulate! Stan!ar! robability erio! *alue De+iation --------------------------------------------------------0.""0 200.0 ''.#0#6 .&,, 0.""00 #00.0 '#."&7" '.,' 0.",00 0.0 &".6"'6 '.�& 0."600 2.0 &7.&'0, &.70# 0."000 #0.0 &&."6, 2.",2# 0.,000 .0 &#.0,2 2.&,&" 0.6670 &.0 2,.6#'' #."62 0.000 2.0 26.2 #.676" ---------------------------------------------------------

2 Para0!t!r Lo, Nor0a 4 3

8a#!


62

64

6'

6


1


16




1.3.". DISTRIBUCION LOG # NORMAL DE III PARAMETROS Es una !unción de distribución análoga a la anterior con la "nica di!erencia que el límite in!erior no es cero, !ue introducida por primera ve* por 5. ibrart el cual la llamó la ley de e!ectos proporcionales. 'i!iere de la distribución $og /ormal de 33 parámetros por la introducción de un límite in!erior O7, tal que% y M lnIxJx7K. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

$a !unción de densidad de x es%

f ' x( =

1

e

' x − x * ( 2Πσ y

−1  ' x − x* ( − µ y σ y 2 

  

2

2ara xVx7 'onde% x7 M Wy M Xy(M

2arámetro de posición 2arámetro de escala o media 2arámetro de !orma o varian*a

aciendo la trans!ormación y M lnIxJx7K; la !unción de densidad reducida es% f ' y ( =

1

σ y 2π

e

−1  y − µ y    2  σ y 

2

2ara − ∞ < y < +∞ z =

si

y − µ y

σ y

⇒ f ' z ( =

1 2π

−1

e

2

z 2

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

$a !unción de distribución acumulada del 4étodo $og J /ormal de 333 2arámetros es% F ' x( =

1

∫ e

−1  ' x − x* ( − µ y    σ y 2  

' x − x* (σ y 2π x*

F ' y ( =

2

x

1

y

∫ e

−1  y − µ y    2  σ y 

σ y 2π − ∞


2

dy

2

dx



z =

y − µ y

0omo

z

1

e 2π ∫

⇒ f ' z ( =

σ y


− z 2

dz

−∞

$as !unciones% )IxK y )IyK son iguales. $a !unción )I*K es una distribución normal estándar, la que puede ser usada para evaluar la distribución $og /ormal. 2ara la estimación de los parámetros de Oo, )IxK se tienen ( 4étodos de estimación%

µ y

y

δ y

de la )unción de 'istribución cumulada

MÉTODO DE MOMENTOS

$os momentos de O pueden obtenerse de los correspondientes momentos de la distribución $og /ormal de 33 parámetros, debido a que las variables di!ieren solo en el parámetro de posición Oo, ya que y M $n IxJxoK. X = X + H

'onde% O M variable aleatoria con distribución $og /ormal de 333 parámetros  M Gariable aleatoria con distribución $og /ormal de 33 parámetros Oo M 2arámetro de posición µ x

= x* + E ' H ( = x* + µ H σ x

4edia% µ x = x * + Garian*a%

σ x

2

=

2

= σ H 2

 µ + 1 σ 2   y y  e  2 

e

σ y 2

− 1 , e ( 2 µ +σ y

2 y

)

El coe!iciente de asimetría IgK esta dado por%

(

g = e

σ y

2

− 1)

1

2

(e

σ y

2

+ 2)

6 de !orma aproximada puede ser% 6 = *.52 + 4."52

g M7.:(T=.?:sy( $uego de las ecuaciones anteriores se obtienen los siguientes resultados%

21





σ y

=

g − *.52 4."5

 2  1   σ x  − σ y   Ln σ y 2   2   e  − 1   2

µ y

=

X *

σ µ y + y

= µ x − e

2

2

El análisis para la '3#53B-031/ $1 A /154$ 'E 333 254E51# de la Estación de -/-01 que se presenta% 0on el apoyo del programa #mada. 0on las precipitaciones correspondientes a periodos de retorno de (, @, :, &7, (:, :7, &77, y (77 a+os se muestran a continuación. Distribution Analysis: & arameter o Normal ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 26.7700 Seon! Moment = 2."7e0# S$e% = 2.&'#e-0# --------------------------------------------------------oint eibull Atual re!ite! Stan!ar! Number robability *alue *alue De+iation --------------------------------------------------------# 0.0"0" #".6000 #".6720 2.#,2 2 0.#,#, #"."000 2#.7"6" #."07& & 0.2727 22.6000 2&.&&, #.,'#& ' 0.&6&6 2'.,000 2'.6"2, #.,&6  0.'' 2.000 2."'27 #.,#" 6 0.' 27.&000 27.#7"" #.,,06 7 0.6&6' 2,.0000 2,.'76 #."262 , 0.727& &0.7000 2"."#7 2.00"6 " 0.,#,2 &&.#000 &#.66,7 2.#"2 #0 0."0"# &6.2000 &'.#",, 2.700" ------------------------------------------------------------------------- re!itions -------------------------/ee!ene eturn 1alulate! Stan!ar! robability erio! *alue De+iation --------------------------------------------------------0.""0 200.0 '2.0'6 6.'7'' 0.""00 #00.0 '0.'067 .'276 0.",00 0.0 &,.6#, '.'0# 0."600 2.0 &6.7'&6 &.66" 0."000 #0.0 &&.,762 2.6#72 0.,000 .0 &#.2,00 2.#'#" 0.6670 &.0 2,."&" #."',& 0.000 2.0 26.,6 #.,6'7 ---------------------------------------------------------

22





3 Para0!t!r Lo, Nor0a 4 3

8a#!


62

64

6'

6

16

*!ib# Probabiit1.3."." DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO III #eg"n 0hoU, &88:, si log O sigue una distribución 2earson ipo 333, entonces se dice que O sigue una distribución log J 2earson tipo 333. Esta es la distribución estándar para análisis de !recuencias de crecientes máximas anuales en los Estados -nidos IBenson, &8>?K. $a locali*ación del límite O7 en la distribución $og J 2earson ipo 333 depende de la asimetría de la in!ormación, se plantea ( casos% #i la in!ormación tiene asimetría positiva, entonces $og x \ O7 y O7 es un límite in!erior. #i la in!ormación tiene asimetría negativa, $og x ] O7 y O7 es un límite superior. #eg"n Bobee, &8:. $a trans!ormación $og reduce la asimetría de la in!ormación trans!ormada y puede producir in!ormación trans!ormada con asimetría negativa utili*ando in!ormación original con asimetría positiva. En este caso, la aplicación de la distribución $og J 2earson ipo 333 impondría un límite superior arti!icial a la in!ormación. 'ependiendo de los valores de los parámetros, la distribución $og J 2earson ipo 333 puede asumir muchas !ormas di!erentes, tal como se muestra en la siguiente tabla $ocali*ación de la moda para la distribución $og J 2earson ipo 333 como una !unción de sus parámetros. Par;0!tro
23

d!

R=>L$1

>L$1=R=

R?

Si$ 0oda@ (or0a !$ 

Moda 0B$i0a (or0a !$ U

U$i0oda

Si$ 0oda (or0a !$  i$.!rtida

Si$ 0oda@ (or0a !$  i$.!rtida U$i0oda





FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD.

El primer paso es tomar los logarítmicos de la in!ormación hidrológica, _Mlogx, mayormente se utili*an logaritmos con base &7, se calculan la media O, la desviación estándar #x y el coe!iciente de asimetría 0s para los logaritmos de los datos. $a !unción de densidad para O y _ se dan a continuación% β −1

 6 x − x  f ' x( =   α Γ ( β 1 )  α  1

, e − ( 6

x − x ) ) α

#i se hace una trans!ormación% _ M logIxK $a !unción densidad reducida es%

( z − z * ) β −1 − ( z − z ) ) α f ' z ( = β ,e α Γ( β ) *

'onde% _ M Gariable aleatoria con distribución 2earson ipo 333 O M Gariable aleatoria con distribución $og J 2earson ipo 333 _7 M 2arámetro de 2osición R M 2arámetro de escala S M 2arámetro de !orma En el caso de la distribución $og J 2earson ipo 333% O M &7*, la variable reducida es% Y =

Z − Z *

α

2or lo que la ecuación queda de la siguiente manera% f ' y ( =

1

Γ( β )

, y β −1 , e − y

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

$a !unción de distribución acumulada de la distribución $og 2earson ipo 333 es% β −1

 z − z *  F ' z ( = ∫   ( ) Γ α β α   Z Z

1

,e

−

( z − z * )

*

#ustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene lo siguiente% F ' y ( =

1

y

y Γ ( β ) ∫

β −1

, e − y dy

*

24


α

dz




$a ecuación anterior es una distribución Ci cuadrada con (S grados de libertad y O(M(y F ' y ( = F ( x 2 ) ν ) = F x 2 '2 y ) 2 β (

2ara la estimación de los parámetros _o, α y β de la !unción acumulada se usaron ( métodos de estimación. MÉTODO DE MOMENTOS

El procedimiento recomendado para el método de momentos es convertir la serie de datos a sus logaritmos y luego calcular los siguientes parámetros% 4edia%

∑ 6 x Logx M

n

'esviación Estándar%

Σ( 6 x − 6 x ) 2 σ 6 x = n −1 0oe!iciente de simétrica% n

∑ ( 6 x − 6 x)

3

3 ( )( )( ) σ n − 1 n − 2 6 x gM

El valor de O; para cualquier nivel de probabilidad se puede calcular a partir de la siguiente expresión% $ogx M

6 x + K σ 6 x

$os valores de P se toman de la tabla siguiente% Distribution Analysis: o earson 3y4e 555 ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 26.7700 Seon! Moment = 2."7e0# S$e% = 2.&'#e-0# --------------------------------------------------------oint eibull Atual re!ite! Stan!ar! Number robability *alue *alue De+iation --------------------------------------------------------# 0.0"0" #".6000 #".&,,' #.""#0 2 0.#,#, #"."000 2#.&,07 #.,'27 & 0.2727 22.6000 22."#,6 #.,'"0 ' 0.&6&6 2'.,000 2'.2"0 #."0,&  0.'' 2.000 2.62' #.""2 6 0.' 27.&000 26.",60 2.0"6 7 0.6&6' 2,.0000 2,.',2 2.22" , 0.727& &0.7000 &0.#'# 2.'#&#

25





" 0.,#,2 &&.#000 &2.2"6' 2.7'0 #0 0."0"# &6.2000 &.'# &.707 ------------------------------------------------------------------------- re!itions -------------------------/ee!ene eturn 1alulate! Stan!ar! robability erio! *alue De+iation --------------------------------------------------------0.""0 200.0 '6."20& #0.&6" 0.""00 #00.0 ''.&,2 ,.&260 0.",00 0.0 '#.76" 6.2" 0."600 2.0 &".02,' '.""2& 0."000 #0.0 &.#2,0 &.'&6& 0.,000 .0 &#.,#&0 2.6,# 0.6670 &.0 2,.""72 2.2,02 0.000 2.0 26.2"72 2.0'# ---------------------------------------------------------

Lo, P!ar7o$ T-:! III 4 3

8a#!


62

64

6'

6

16

*!ib# Probabiit1.3.".$ DISTRIBUCION PEARSON TIPO III #eg"n 0hoU, la distribución 2earson ipo 333 se aplicó por primera ve* en la idrología por )oster I&8(=K para describir la distribución de probabilidad de picos crecientes máximos anuales. 0uando la in!ormación es muy asimétrica positivamente, se utili*a una trans!ormación $og para reducir la asimetría. $a distribución 2earson ipo 333, ambién llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro, el límite in!erior o parámetro de posición `, de tal manera que por el método de los momentos, los tres momentos de la muestra Ila media, la desviación estándar y el coe!iciente de asimetríaK pueden trans!ormarse en los tres parámetros , S, ` de la distribución de probabilidad. )unción de densidad de probabilidad 2earson ipo 333

2'





f ' x( = 'λ ( x − ε ) β

β −1

e

λ ( x −ε )

( ) Γ( β ) paax ≥ ε

El sistema de distribuciones 2earson incluye siete tipos; todos son soluciones para !IxK en una ecuación de la !orma% d ' f ' x( ) dx = ' f ' x( , ' x − d (( )'C *

+ C 1 , x + C 2 , x 2 (

'onde d es la moda de la distribución Iel valor de x para la cual !IxK es un máximoK y 07, 0& y 0( son coe!icientes que deben determinarse. 0uando 0( M 7 es la solución de la ecuación anterior, es una distribución 2earson tipo 333, con una !unción de densidad de probabilidad seg"n la ecuación anterior 2ara 0& M 0( M 7, la solución de la ecuación anterior es una distribución normal. #eg"n 4arHovicH, &8>:, mostró que no hay di!erencia entre el ajuste de una distribución amma y una $og /ormal, esta !unción de distribución es muy popular debido a que cuando el coe!iciente de asimetría se iguala a cero se obtiene la distribución /ormal.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

#e dice que una variable aleatoria O tiene una distribución ipo 333 si su !unción densidad de probabilidades con origen en la moda, está dada por% β 1 −1

 x − δ 1    f ' x( = α 1Γ( β 1 )  α 1   1

 x −δ 1   − α 1    ,e

'onde R&, S& y &, son los parámetros de la !unción IS&K es la !unción amma. En la tabla de !unción gama se halla las propiedades básicas y la tabla de valores de la !unción amma. 2ara% δ 1 ≤ x < ∞ 'onde% & M 2arámetro de 2osición R& M 2arámetro de escala S& M 2arámetro de !orma $a variable reducida. y =

x − δ 1

α 1

2or lo que

2





f ' y (

=

1

Γ( β 1 )

y β −1 , e − y

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA.

$a !unción de distribución acumulada de la distribución 2earson ipo 333 es% F ' x( =

x

1

α 1 Γ( β 1 )

 x −δ 1   −  α 1    , e

∫ *

 x − β 1     dx α  1 

0ombinando las ecuaciones anteriores se tiene% F ' y ( =

y

1

y Γ ( β ) ∫ 1

β −1

e − dy y

*

$a ecuación anterior es una !unción de distribución Ci cuadrada con (S& grados de libertad y O(M(y F ' y ( = F ( x 2 ) ν ) = F x 2 ( 2 y ) 2 β 1 ) 2 En las tablas de estadística se encuentra la !unción de distribución X

#eg"n paricio &88>, mani!iesta que la manera de usar la !unción de distribución 2earson ipo 333 es estrictamente válida cuando S&MnD(, donde n es un entero positivo cualquiera si, como es com"n, (S& es no entero, puede tomarse como el entero más próximo o bien interpolar en la tabla /9 .( del apéndice . 0uando S&N7.@, será necesario acudir a tablas de la !unción de distribución amma de un 2arámetro. 2ara la estimación de parámetros de la )unción cumulada )IxK se tiene ( 4étodos de Estimación. MÉTODO DE MOMENTOS α β

$os parámetros de 1+ 1 y d& de la )unción cumulada )IxK se eval"an a partir de n datos medidos mediante el siguiente sistema de ecuaciones. X = α 1 , β 1

S 2

+ δ 1

= α 12, β 1

g =

2

β 1

'onde X es la media de los datos #( su varian*a y g su coe!iciente de sesgo ó coe!iciente de simetría, que se de!ine como%

2





( X i − X ) 3 , n C! = g = Σ 3 i =1 ( n − 1)( n − 2) S n

Distribution Analysis: earson 3y4e 555 ------------------Summary of Data ----------------------First Moment (mean) = 26.7700 Seon! Moment = 2."7e0# S$e% = 2.&'#e-0# --------------------------------------------------------oint eibull Atual re!ite! Stan!ar! Number robability *alue *alue De+iation --------------------------------------------------------# 0.0"0" #".6000 20.0#2" #.,#, 2 0.#,#, #"."000 2#.,06 #.67'2 & 0.2727 22.6000 2&.#"26 #.7276 ' 0.&6&6 2'.,000 2'.'&#, #.,0#  0.'' 2.000 2.6267 #.,76" 6 0.' 27.&000 26.,''6 #."'&0 7 0.6&6' 2,.0000 2,.#6, 2.0#,2 , 0.727& &0.7000 2".6600 2.#&,, " 0.,#,2 &&.#000 &#.''# 2.'002 #0 0."0"# &6.2000 &'.&72 &.#2" ------------------------------------------------------------------------- re!itions -------------------------/ee!ene eturn 1alulate! Stan!ar! robability erio! *alue De+iation --------------------------------------------------------0.""0 200.0 '&."0'0 ,.&00& 0.""00 #00.0 '#.,26& 6.,"06 0.",00 0.0 &".6#0 .62 0."600 2.0 &7.&'62 '.&'67 0."000 #0.0 &'.007& &.0#0# 0.,000 .0 &#.#20' 2.&276 0.6670 &.0 2,.6&6 2.00" 0.000 2.0 26.22,7 #."#0# ---------------------------------------------------------

P!ar7o$ T-:! III 4 3

8a#!


62

64

6'

6

*!ib# Probabiit2


16




1.3.$ VERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONES 2ara un mejor análisis de los datos hidrológicos es necesario conocer el tipo o !orma de distribución teórica que puede representar aproximadamente a la distribución empírica Imétodo estadísticoK de estos datos. 2ara averiguar cuan aproximada es esta distribución empírica a la teórica, es necesario reali*ar algunas pruebas estadísticas conocidas como prueba de ajuste.

1.3.$.1 PRUEBAS DE AJUSTE 0onsisten en comprobar grá!ica y estadísticamente si la !recuencia empírica de la serie de registros anali*ados se ajustan a un determinado modelo probabilística adoptado a priori, con los parámetros estimados en base a los valores maestrales. $as pruebas estadísticas tienen por objeto medir la certidumbre que se obtiene al hacer una hipótesis estadística sobre una población. Es decir, cali!icar el hecho de suponer que una variable aleatoria se distribuye seg"n un modelo probabilística. $os ajustes más comunes son% → #mirnov A PolmogoroU. → 4étodo del error cuadrático mínimo

1.3.$.2 METODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMO Este método consiste en calcular, para cada !unción de distribución, el error cuadrático.

n  C = ∑ ' X i − Y i ( 2   i =1 

1

2

'onde Oi M es el iJesimo dato estimado 6i M es el iJésimo dato calculado con la !unción de distribución bajo análisis / M /"mero de datos En el cuadro siguiente se muestra el procedimiento estimado para cada uno de los di!erentes métodos estadísticos usados en el presente estudio.

3




N 

*EI/U LL

1

6

2

61

3

62

4

6'3'

5

6545

'

6455



63'4



623

 1 

612 61


METODO DE ERROR CUADRATICO MINIMO MTODO DE DISTRI/UCION DISTRI/UCION PERIOD GUM/EL %8ALOR LOG F NORMAL LOG F NORMAL O DE P%00 DISTRI/UCIO ETREMO TIPO DE II DE III RET6 & N NORMAL I& PARAMETROS PARAMETROS %P!> TR Po P! Po&2 P! %P!>Po&2 P! %P!>Po&2 P! %P!>Po&2 164 264 16' 19&!0 164 116  612  16232  614  65 0 2655 2164 216 19&90 2162 0 565  36''  6423  36'4  36'1 2261 23622 23635 22&!0 2364 0 36''  65  61'  634  65'3 2361 24645 246' 24&0 246 265  65  161  6123  612 0 25621 256'4 2564 25&50 2'615 0 262  6422  64  62  614 2'6 2'64 261 27&0 263 0 1633  6  625  6212  614 265 2614 264 2&00 26' 1651  644  633'  62  623 0 36 26'3 262 0&70 36 0 1635  63  6  16145  6' 3364 3165 316' &10 3162 16222  164  6152  265'  2645 0 36 34634 3462 !&20 3465 161  46'23  3624  364'  46 0

DISTRI/UCION LOG PEARSON TIPO III %P!> P! Po&2 163  644 2163  261 2262  612 2463  625 256'3  61 2'6  6' 264'  6212 3615  633 3263  6'4 35655  6423

DISTRI/UCION PEARSON TIPO III %P!> P! Po&2 261  61' 2161  36'4 2361  634 24643  613 256'3  61 2'64  6212 261'  62' 26''  162 31654  26434 3463  36312

%

12.2$

&.'3(

11.(&)

11.2(1

.2&&

11.3(3

C

3."'2

2.$"3

3.&

3.3")

2.'$(

3.3&

MTOD O DE DISTRI/UC DISTRI/UC GUM/E ION LOG F ION LOG F DISTRI/UC DISTRI/UCIO PERIO DISTRI/U PRO L NORMAL NORMAL ION LOG DO DE CION /6 %8ALOR DE II DE III PEARSON N PEARSON RET6 NORMAL TIPO III ETRE PARAMETR PARAMETR TIPO III MO OS OS TIPO I& 26 6 556  5 462  4461 4265 4'62 436 16 6 516'   364'  4164 4641 4463 4163 6 463 56  36  36' 36'5 416 36'5 6' 43612 256  3'632  3634 3'64 363 3635 6 363 16  336'  336 336 35613 3461 6 3265 56  3163'  316 3162 3161 31612 6'' 2624 36  2612  26'1 264 26 26'4 26 65 2'6 256 2'623 2'65' 2'63 2'623

31









1.3.$.3 SELECCIÓN DEL METODO ESTAD!STICO APROPIADO En el cuadro siguiente se resume los resultados de las pruebas e!ectuadas anteriormente. En este cuadro se veri!icara el error estadístico menor. 'e estos resultados se concluye que la !unción que mejor se ajusta a los datos es -4BE$ IG$15 EO5E41 321 3K #elección de la !unción de 'istribución SELECION DE METODO ESTADISTICO

METODO ESTADISTICO

C

DISTRI/UCION NORMAL

3652

ERROR

MTODO DE GUM/EL %8ALOR ETREMO TIPO I&

26'53

ERROR

DISTRI/UCION LOG F NORMAL DE II PARAMETROS

3644

ERROR

DISTRI/UCION LOG F NORMAL DE III PARAMETROS

3635

ERROR

DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO III

2.'$(

TOMAR VALOR

DISTRI/UCION PEARSON TIPO III

3634

ERROR

En conclusión después de reali*ar todas las pruebas de análisis estadístico la distribución que mejor se adecua es el método de DISTRIBUCION LO$ PEARSON TIPO III por que tiene menor error

1.3.$. PRECIPITACION MAXIMA E INTENSIDAD MAXIMA El estudio de la 2recipitación 4áxima e 3ntensidad 4áxima es muy importante para tener conocimiento de la intensidad de las tormentas, sus magnitudes, así como su !recuencia, son muy 32




necesarios para el dise+o de las di!erentes obras hidráulicas que pudieran construirse en las * onas de estudio. 2ara el análisis se ha tenido en cuenta en cuenta la in!ormación de precipitación máxima en (= horas 0on la !inalidad de obtener in!ormación de precipitación máxima en (= horas y la para di!erentes periodos de retorno y que permita tener con!iabilidad de su recurrencia, se le evaluó a través de > distribuciones de !recuencia → → → → → →

'istribución /ormal Estándar. 'istribución umbel I'istribución extrema ipo 3K. 'istribución $og 2earson ipo 333. 'istribución $og /ormal 33 2arámetros. 'istribución $og /ormal 333 2arámetros. 'istribución 2earson tipo 333.

En la tabla se muestra las estimaciones obtenidas seg"n cada modelo c onsiderado y para algunos periodos de retorno. MTOD O DE DISTRI/UC DISTRI/UC GUM/E ION LOG F ION LOG F DISTRI/UC DISTRI/UCIO PERIO DISTRI/U PRO L NORMAL NORMAL ION LOG DO DE CION /6 %8ALOR DE II DE III PEARSON N PEARSON RET6 NORMAL TIPO III ETRE PARAMETR PARAMETR TIPO III MO OS OS TIPO I& 26 6 556  5 462  4461 4265 4'62 436 16 6 516'   364'  4164 4641 4463 4163 6 463 56  36  36' 36'5 416 36'5 6' 43612 256  3'632  3634 3'64 363 3635 6 363 16  336'  336 336 35613 3461 6 3265 56  3163'  316 3162 3161 31612 6'' 2624 36  2612  26'1 264 26 26'4 65 256 26  2'6  2'623 2'65' 2'63 2'623

En el cuadro siguiente se muestra el resumen de los resultados por el método estadístico de la distribución que más se ajusta aplicando el método de momentos desarrollados en el presente estudio la distribución que se considera es la distribución '3#53B-031/ $1 2E5#1/ 321

33





333. #e observa que la di!erencia entre uno y otro método puede ser apreciable. En muchos casos las di!erencias son muchos mayores que las que resultan aquí. -na selección apresurada de cualquiera de los métodos podría traducirse en una estructura sobre dise+ado y costoso o sub dise+ada y peligrosa.

1.3.$." ANÁLISIS DE RIESGO DE FALLA El dise+o de estructuras para el control de agua incluye la consideración de riesgos. -na estructura para el control de agua puede !allar si la magnitud correspondiente al periodo de retorno de dise+o  se excede durante la vida "til de la estructura. Este riesgo hidrológico natural, o inherente, de !alla puede calcularse utili*ando la ecuación% Es el tiempo medio en a+os en que ese inundación IeventoK es igualdad o superada por lo menos una ve* es decir peiodo de e#ono

=

1 pobabi"id ad

⇒ T =

1 P

 M periodo de retorno 2 M probabilidad de ocurrencia de un caudal En hidrología se utili*a más el periodo de retorno que la probabilidad P9AA00: : :> @;> ; ;=> :> 9>?9 T > 89:;<= > 89B/0- 7....... ........

1 T

 1    T    1     1   9>?9 NO > 89:;<=  89/0- : 7.. 1 &    1 &      T     T   n   1   9>?9 NO > 89:;<=  89/0-  7.....1 &      T   n   1   9>?9 SI > 89:;<=  89/0-  7...... .1 & 1 &      T  

P9AA00: : :> @;> ; ;=> :> 9>?9 NO > 89:;<= > 89B/0- 7....... .....1 &  P9AA00: : :> @;> ; ;=> :>

P9AA00: : :> @;> ; ;=> :>

P9AA00: : :> @;> ; ;=> :>

En El dise+o de obras p"blicas, la "ltima expresión obtenida es el 5iesgo de !alla I5, es decir la probabilidad de que #3 se produ*ca alguna ve* un suceso de periodo de retorno  a lo largo a un periodo de n a+os%

  1  n  R = 1 − 1 −     T  

34





Galores de periodo de retorno  asociado al riesgo 5

-n análisis de la tabla anterior muestra que si adopta un riesgo de &7[ de que durante los &7 a+os de vida "til de una estructura ocurra una descarga igual o superior a la del proyecto, se debe usar un periodo de retorno de 8:.=& a+os. 'ada la magnitud de las subcuencas, para la estimación de las máximas avenidas se ha tenido en consideración los siguientes rangos de super!icies de cuenca de recepción%

Área

Método

N &7 Pm( N &77 Pm( V &77 Hm(

idrograma del -# J #0# 4ac 4ath 0urvas Envolventes de 0reager

V*/0 +,+0/0 /+ 4+567 8 90,;

R*+,- /+ F00 1 161 1611 1633 26 46 16 26 16

6 6 65 65 '.2" 61 65 61 Gida esperada de la Estructura

2 1611 164' 26 3641 64' 164 364 165

" 16'' 261 4613 63 16 46' 6 46

1' 261 46' 63 1463 3562' 5641 1564' 564

2' 46' 62 1463 263' 62 1632 3641 164

2" 564 1163 1654 3'65 64 236 46 246

"' 1163 22622 3'65 26'4 1463 456' 562 4564'

1'' 22622 4363 26'4 1446 34611 46'2 156 5642

1.3.$.$ CURVAS DE INTENSIDAD




relación entre la intensidad de lluvia Io pro!undidadK, la duración, y las !recuencias o periodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. 'eberían existir curvas I3')K estándar desarrolladas por instituciones del gobierno disponibles para el sitio para que su uso sea de !orma general, uni!orme y o!icial. 2ara construir la curva 3') para di!erentes periodos de retorno utili*amos la !ormula de '60P 2E#0PE para el cálculo de máximas avenidas. *.25

 d  Pd = P 24 $    144*  'onde

2d % 2recipitación máxima para un periodo de duración d % 2eriodo de duración Imin. &7, &:, @7., etcK 2(=h% 2recipitación máxima para (= horas IEn este estudio se utili*ara el modelo adecuado seg"n las pruebas reali*ados en los acápites anteriores.

ECUACI&N DE INTENSIDAD

%)# *+,).$+#  .+$+# ) ,) ,,.) 3+ 24 *)# #+ +m,+)$ )*) 3*).$+# 3+ )*.)# *)#& D& 6& C)m# A& *$+ ,# #..+$+# .+$+#8 Valores concluidos para las relaciones a la lluvia de duración 24 horas Fuente: D. F. Campos A., 1978

1 0&0

2 0&9

 0&4!

D*).$+# +$ *)# 4 5 !  0&52 0&57 0&!1 0&!

12 0&0

1 0&91

24 1&00

E## 3)# #+*:$ ;+$.3# m $ *+$)<+ 3+ ,# *+#,)3# 3+ ,) precipitación máxima probable )*) 24 *)# )*) )3) +*=3 3+ *+*$ 3.>+*+$+# *+$)<+# 3+ +#+ ),* #+?$ ,# .+m# 3+ 3*).@$ 3+ ,,.) )3)3#& Tabla 7.7 - Precipitaciones máximas para diferentes tiempos de duración de lluvias Fuente: Elaboración propia

T.+m 3+ D*).@$

3'

C.+$+

P&M&P& (mm )*) 3.>+*+$+# .+m# 3+ 3*).@$ S& P+*.3 3+ R+*$ 2 )#  )# 5 )# 10 )# 25 )# 50 )# 100 200 )#




24 * 1 * 12 *  * ! * 5 * 4 *  * 2 * 1 *

X24 X1 B 91 X12 B 0 X B ! X! B !1 X5 B 57 X4 B 52 X B 4! X2 B 9 X1 B 0

2!&000 2&90 21&0400 17&40 1!&040 14&9910 1&!7!0 12&090 10&2570 7&900

29&0000 2!&900 2&2000 19&7200 17&!900 1!&500 15&000 1&400 11&100 &7000

1&100 2&9471 25&440 21&!0 19&4041 1&117 1!&5412 14&!2! 12&4059 9&540


5&100 1&9! 2&1040 2&4 21&429 20&0241 1&2!7! 1!&159 1&7007 10&590

9&000 5&517 1&2240 2!&5404 2&0 22&2471 20&295! 17&95 15&2217 11&7090

41&7700 &0107 &41!0 2&40! 25&4797 2&09 21&7204 19&2142 1!&290 12&510

)# 44&900 40&949 5&5120 0&152 27&0779 25&02 2&02 20&4194 17&121 1&170

4!&9200 42&!972 7&5!0 1&905! 2&!212 2!&7444 24&94 21&52 1&29 14&07!0

)#:$3#+ +$ ,# *+#,)3# 3+ ,) )$+*.* );,)  ,# .+m# 3+ 3*).@$ )3)3# ),,)m# ,) .$+$#.3)3 +F.),+$+ )*) )3) )# #+?$8

Intensidades de lluvia para diferentes tiempos de duración Fuente: Elaboración propia

T.+m 3+ 3*).@$

I$+$#.3)3 3+ ,) ,,.) (mm /* #+?$ +, P+*.3 3+ R+*$

H*

m.$

2 )#  )# 5 )# 10 )# 25 )# 50 )#

24 * 1 * 12 *  * ! * 5 * 4 *  * 2 *

1440 100 720 40 !0 00 240 10 120

1&095 1&29! 1&75 2&255 2&!7 2&992 &4190 4&027 5&125

1 *

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Perioo e retorno para ! " #++ a$os

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

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25

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10&!12

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15&09

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A "

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6.$),m+$+ #+ .+$+ ,) +).@$ 3+ .$+$#.3)3 :,.3) )*) ,) +$)8 0.!2!"7" "#.520

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(

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!abla e intensia  !iempo e uración  Perioo e retorno

6*++$.)

D*).@$ +$ m.$#

)#

5

10

15

20

25

0

2

&95

25&41

19&79

1!&5

14&45

12&91



40&9

2!&70

20&79

17&42

15&1

1&5!

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INTENSI

4**

Tab"a de in#en!idade! & Tiempo de duaci'n

123

42

ESTIMACI0N DE LOS CAUDALES M/4IMOS DE DISE5O





2ara el dimensionamiento hidráulico de las estructuras de drenaje super!icial, transversal IalcantarillasK. y longitudinal IcunetasK, del rea de in!luencia del 2royecto% f01/#5-003/ 6 4EC1543E/1, 'E 23## 6 GE5E'# E/ $1# C351/E#, $1# E-0$321#, 2$4E5#, 0#-53/#, #-0E#, 23/1# 6 'E $1# 2#CE# $1# C5'3/E# 2534GE5 6 23/1# 'E $ 03-'' 'E 06-6/ BC, se estimaron los 0audales 4áximos de 'ise+o, en base a la 2recipitación 4áxima en (= oras I2m(=hrK, y su trans!ormación en intensidades máximas horarias I0urvas 3')K de la estación de -/-01 con datos de precipitación máxima de (= horas. l respecto se asume la serie uánuco  como representativa de las condiciones de pluviosidad típica de la sierra especialmente en la *ona del estudio que corresponde al tramo. $os caudales máximos de dise+o para las estructuras de cruce. 0omparativamente, se obtuvieron el método 5acional donde se exponen dichos métodos y a la ve*, se hacen los cálculos correspondientes% los resultados obtenidos, tienen un carácter preliminar, como primeros valores que de!inen el orden de magnitud de las estructuras de cruce. En las microcuenca se aplicaron el presente 4étodo 5acional porque sus áreas no sobrepasan los &7 Hm(, y que éste método puede ser utili*ado en éstos casos donde recomiendan varios autores donde la relación de caudales máximos y áreas a portantes, planteada por 5emenieras. CAUDAL DE DISEÑO PERIODO DE RETORNO DE 05 AÑOS T. 3+ O;*) 3+ A*+

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Estudio de Hidrologia (Final)

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