Estudio de Estabilidad de Open Pits Por Métodos Probabilísitcos

ESTUDIO DE ESTABILIDAD DE OPEN PTIS POR MÉTODOS PROBABILÍSITC PROBABILÍSI TCOS OS

Universidad de Oviedo Dr. MIGUEL RODRÍGUEZ - [email protected] Servicios Técnicos de Ingeniería Minera y Medioambiental stimma – Universidad de Oviedo Abril, 2013

Índice Universidad de Oviedo

1. Distri Distribuc bución ión de de frecuen frecuencia cias. s. Repre Represen sentac tacion iones es gráfi gráficas cas y paráme parámetro tross estadísticos 2. Teorí eoría a de prob probab abililid idad ades es 3. Func Funcio ione ness de den densi sida dad d y dist distri ribu buci ción ón 4. Distri Distribuc bución ión de probab probabili ilidad dades es de variab variable le discret discreta a 5. Distri Distribuc bución ión de probab probabili ilidad dades es de variab variable le contin continua ua 6. Teorí eoría a de de la la est estim imac ació ión n 7. Con Contras traste te de hipót ipótes esis is

Universidad de Oviedo - stimma

Índice Universidad de Oviedo

8. Crit Crite erios rios de estab stabililid idad ad 9. Rotura plana 8.1 Cono de fricción 8.2 Estudio estadístico mediante el software DIPS © 8.3 Estudio estadístico mediante el software ROCPLANE © 10. 10. Rotu Rotura ra en cuña cuña 9.1 Identificación de cuñas inestables 9.2 Estudio estadístico mediante el software SWEDGE © 11. Topp Toppling ling

12. Estudio estadístico en base al mapeo del Pit


Recomendaciones Universidad de Oviedo


Recomendaciones Universidad de Oviedo


Universidad de Oviedo

1. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS. REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS


Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo

Unidades estadísticas

Se denomina población estadística al conjunto de todos los individuos que son objeto de estudio. Se denomina muestra a cualquier subconjunto de la población. Se denomina unidad estadística a cada uno de los elementos de la población.



Variables estadísticas

Cada individuo de una población se puede estudiar según uno o varios caracteres, que pueden ser cualitativos o cuantitativos. Un carácter cuantitativo es medible y, por lo tanto sus modalidades son valores numéricos. Al conjunto de los posibles valores numéricos se le conoce con el nombre de variable estadística. Una variable estadística se dice que es discreta cuando sólo puede tomar un número fijo de valores aislados. Una variable estadística es continua cuando sus posibles valores pueden ser, en principio, cualesquiera en un intervalo. Universidad de Oviedo - stimma


Variables estadísticas

Para estudiar una variable estadística continua se definen clases que no son otra cosa que intervalos en los que se van agrupando los datos. A cada límite del intervalo que define una clase se le llama límite de clase inferior y superior. Al punto medio de cada clase se le llama marca de clase. A la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de cada clase se le llama amplitud o tamaño de clase. Universidad de Oviedo - stimma


Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Se denomina frecuencia absoluta de cada modalidad xi, para i=1, 2, …,k, al número de individuos que pertenecen a dicha modalidad en la muestra seleccionada. La identificaremos por f i. El cociente entre cada f i y el número de elementos de la muestra (N) se denomina frecuencia relativa. Lo llamaremos hi. hi

Además se cumple: k

 f  N i

i 1




f i N k

h  1 i

i1


Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Se llama distribución de frecuencias a una tabla que contiene cada una de las modalidades del carácter estudiado con su frecuencia absoluta.


Modalidad del carácter

Frecuencia absoluta

x1 x2 x3 x4

f 1 f 2 f 3 f 4

……..

……..

xk

f k

Total

N


Frecuencia absoluta y frecuencia relativa Ejemplos

Profesiones

Número trabajadores

Ciencias Económicas Farmacia Ingeniería Abogado Medicina Letras

4 8 2 10 11 8 7

Número de hijos

Número de familias

0 1 2 3 4

8 6 11 4 1 N = 30

N = 50

Estatura en cm

Número personas

150 - 160 160 – 170 170 – 180 180 - 200

3 12 21 4 N = 40



Representaciones gráficas Gráfico circular o de sectores Ángulo central para “Ciencias”:

Profesiones

Número trabajadores

Ángulos centrales


4 8 2 10 11 8 7

28o 48´ 57o 36´ 14o 24´ 72o 00´ 79o 12´ 57o 36´ 50o 24´

N = 50

360o


4  360o 50

 28o 48´

Número de trabajadores



Representaciones gráficas Diagrama de barras

Se disponen una serie de barras rectangulares de altura igual o proporcional a la frecuencia absoluta de cada modalidad. Número de hijos

Número de hijos

Número de familias

12

0 1 2 3 4

8 6 11 4 1

10

N = 30

8 6

Número de familias

4 2 0 0


1

2

3

4


Representaciones gráficas Histogramas y polígonos de frecuencias

Estas representaciones solo son válidas para el caso de variables continuas. El histograma consiste en una serie de rectángulos de base igual a cada tamaño de clase y área proporcional a la frecuencia de clase. Según esto, mientras en el diagrama de barras se interpreta por alturas, el histograma de frecuencias ha de interpretarse por áreas. Uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos del histograma se obtiene el polígono de frecuencias. Universidad de Oviedo - stimma


Representaciones gráficas Histogramas y polígonos de frecuencias

Estatura en cm

Estatura en cm

Número personas

25

150 - 160 160 – 170 170 – 180 180 - 200

3 12 21 4

20

N = 40

5

15 Número personas

10

0 150-160


160-170

170-180

180-190

190-200


Parámetros estadísticos Clasificación

De centralización

Moda Mediana Media Momentos

De dispersión

Desviación media Varianza Desviación típica Momentos centrados

Parámetros estadísticos



Parámetros estadísticos de centralización Moda

Se llama moda al valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. En el caso de variable continua se identifica en primer lugar la clase modal. Posteriormente se obtiene la moda aplicando la siguiente expresión: D1 Mo  L i  c  D1  D2 Li: Límite inferior de la clase modal. c: Amplitud de los intervalos. D1: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la de la clase anterior. D2: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la de la clase siguiente. Universidad de Oviedo - stimma


Parámetros estadísticos de centralización Mediana

Se denomina mediana al valor de la variable que divide a la muestra en dos partes con el mismo número de elementos, suponiendo los datos ordenados de menor a mayor. En el caso de variable continua se identifica en primer lugar la clase mediana. Posteriormente se obtiene la moda aplicando la siguiente expresión: N  Fi1 M  Li  c  2 f i

Li: Límite inferior de la clase modal. c: Amplitud de los intervalos. N: Número total de datos. Fi-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana. f i: Frecuencia absoluta de la clase mediana. Universidad de Oviedo - stimma


Parámetros estadísticos de centralización Media

Dada una variable discreta x con la siguiente distribución de frecuencias dadas por la siguiente tabla: x

f

x1 x2 x3

f 1 f 2 f 3

……..

……..

xk

f k

se llama media de la variables x a: k

x Universidad de Oviedo - stimma



 f  x i

i1

N

i

k

  hi  x i i1


Parámetros estadísticos de dispersión Desviación media

Dada una variable discreta x con valores x1, x2, …, xk, y frecuencias respectivas f 1, f 2, …, f k, se llama desviación media a: k

DM 


 f  x  x i

i

i1

N


Parámetros estadísticos de dispersión Varianza y desviación típica

Dada una variable discreta x con valores x1, x2, …, xk, y frecuencias respectivas f 1, f 2, …, f k, se llama Varianza: k

var 

 f  x  x 

2

i

i

i1

N

Así mismo, se llama desviación típica a la raíz cuadrada positiva de la varianza. Universidad de Oviedo - stimma


Otros parámetros estadísticos Momentos centrados y no centrados

Dada una variable discreta x con valores x1, x2, …, xk, y frecuencias respectivas f 1, f 2, …, f k, se llama momento no centrado de orden r, y lo denotaremos por r a: k

r 



f i  x r i

i1

N

Así mismo, se llama momento centrado o momentos respecto a la media, de orden r, y lo denotaremos por r a: k

 f  x  x 

r

i

r  Universidad de Oviedo - stimma

i

i1

N

Ejemplo 1 Universidad de Oviedo

Dada la distribución de frecuencias que se muestran en la tabla adjunta, correspondientes a la fricción de una familia de diaclasas cerradas, se pide determinar mediana, moda, varianza, desviación típica y porcentaje de juntas con fricción perteneciente al intervalo (media  desviación típica).


(o)

f

27 28 29 30 31 32 33

1 3 2 8 3 2 1


Dada la distribución de frecuencias que se muestran en la tabla adjunta, correspondientes a la resistencia a compresión simple de una caliza, se pide determinar mediana, moda, varianza, desviación típica y porcentaje de muestras con resistencia comprendida entre la media y  desviación típica). c

(MPa)

55 - 60 60 – 65 65 – 70 75 – 80 80 – 85 85 - 90


f 2 4 9 10 3 1


2. TEORÍA DE PROBABILIDADES


Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo

Espacio muestral

Se denomina Espacio muestral, y lo denotaremos por E, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denomina Suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. En particular el conjunto vacío es un suceso que se denomina imposible, y el propio espacio muestral es un suceso que se denomina suceso seguro.



Axiomas de probabilidad

Axioma 1: A cada suceso A se le asigna un número llamado probabilidad de A, P(A), tal que: 0  P( A )  1

Axioma 2: La probabilidad del espacio muestral es 1. P(E)  1

Axioma 3: La probabilidad del suceso imposible es 0. P( )  1



Axiomas de probabilidad

Axioma 4:

E A

B

P( A  B)  P( A )  P(B)  P( A  B)

Axioma 5: P A


 1  P A 


Probabilidad condicionada

Dado un suceso A, con P(A) > 0, se llama probabilidad de B condicionada por A, a la probabilidad de que ocurra B supuesto que ha ocurrido A, y lo denotaremos por P(B/A). P(B / A ) 

P A  B P( A )

A A B Espacio muestral B E

P A  B  P A   P(B / A )



Sucesos independientes

Se dice que un suceso B es independiente de otro A, o que A y B son independientes, independientes, cuando P(B) = P(B/A). Si A y B son independientes, entonces: P A  B  P A   P(B)

Si tenemos k sucesos, entones: P A1  A 2  ... ...  A k   P A1   P A 2 / A1   P A 3 / A1  A 2   ... ...  P A k / A1  A 2  ... ...  A k 1



Teoremas de la probabilidad total y de Bayes

Dados n sucesos A1, A2, tales que: i  j

…,

An que forman una partición de E,

A 1  A 2  ...  A n A i  A j

E



y B cualquier suceso para el que se conoce P(B/A i), i=1, 2, …, n. Si se conocen además P(Ai) i=1, 2, …, n, se puede calcular lo siguiente: E P(B) 

n



P( A i )  PB / A i 

A1

i1

P( A i / B) 

n

 P( A )  PB / A  i 1


A3

B

P A i   PB / A i  i

A2

i

An

A4 A5


Combinatoria Dados m objetos, se denominan variaciones de orden n de estos m objetos a los grupos ordenados de n de los m objetos dados, de tal forma que dos variaciones son distintas si tienen algún elemento distinto o si, teniendo los mismos, éstos están colocados en distinto orden: Vm,n  m  m  1  m  2  ...  m  n  1 Dados m objetos, se denominan combinaciones de orden n de estos m objetos a los distintos conjuntos que se pueden formar eligiendo n de los m objetos dados, de forma que dos combinaciones son distintas si contienen al menos un elemento distinto: Cm,n


 m  m!      n  n !m - n !


Combinatoria

Se denominan permutaciones de m elementos a las distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos. Coincide con las variaciones de m objetos de orden m : Pm

 m!

Variaciones con repetición: Se definen de manera análoga a las variaciones ordinarias con la única diferencia de que en los grupos ordenados de n de los m objetos que dan lugar a las variaciones con repetición, éstos pueden aparecer repetidos: VR nm Universidad de Oviedo - stimma

 mn


Combinatoria

Se definen combinaciones con repetición de orden n a los grupos de n objetos de entre m y pudiendo ser distintos o repetidos, de forma que las combinaciones serán iguales sólo cuando tengan los mismos objetos repetidos el mismo número de veces: n m

CR

 Cmn1, n

 m  n  1      n 

Dados m objetos, de los cuales h1 son iguales entre sí, h 2 iguales entre sí. …, hk iguales entre sí, se denominan permutaciones con repetición de esos m objetos a las distintas formar de ordenarlos: PRhm1, h2 , ..., hk Universidad de Oviedo - stimma



m! h1 !h2 ! . . .  hk !


En una zona de un open pit se encuentran tres familias de discontinuidades, A, B y C, por las que podría desarrollarse un deslizamiento planar. En dicha zona las frecuencias medias de dichas juntas son 3, 2 y 1 juntas/m respectivamente. Una vez realizado el análisis de estabilidad planar para cada una de las familias, se ha obtenido que las probabilidades de fallo son 1/10, 1/15 y 1/12, respectivamente. Se pide: 1) Calcular la probabilidad de que se produzca un deslizamiento planar en dicha zona del pit. 2) Habiendo ocurrido un deslizamiento plano, calcular la probabilidad de que haya sido por la discontinuidad A. 3) Sabiendo que en dicha zona del pit no se ha registrado ningún deslizamiento planar, calcular la probabilidad de que se produzca un deslizamiento planar por la discontinuidad A. Universidad de Oviedo - stimma


3. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN


Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo

Función de distribución. Propiedades

Dada una variable aleatoria , la función de distribución de  asigna a cada número real x la probabilidad acumulada hasta dicho valor. Es decir: x  R : F( x)  P  x 

Propiedades de la función de distribución: x  R : 0  F( x)  1 a  b : Pa    b  Fb  Fa La función de distribución es continua por la derecha en todo punto. Universidad de Oviedo - stimma


Función de densidad de una variable discreta

Dada una variable aleatoria , que puede tomar los valores x 1, x2, …, xn, se denomina función de densidad o cuantía de  a la función f(x) que asigna a cada valor de la variable la probabilidad de que ocurra. Es decir: f ( x i )  P  x i 

Propiedades de la función de densidad: xi : 0  f ( xi )  1 n

 f ( x )  1 i

i1



Función de densidad de una variable continua

Se dice que f(x) es una función de densidad de probabilidad o simplemente una función de densidad de la variable  continua, si se verifica: x  R : f x   0 

 f x   dx  1



b



Pa  x  b   f x   dx a



Relación función de densidad y distribución Variable discreta Fx j  

j

 f x  i

i1

f x j   Fx j   Fx j1 

Variable continua x

Fx  

 f x   dx



f x   Fx 



Esperanza matemática

Variable discreta Sea  una variable aleatoria discreta con valores x 1, x2, …, xn y probabilidades p1, p2, …, pn. Considerando una función real g( ) definida para los valores x1, x2, …, xn, se define la esperanza matemática de g(), y se denota por E[g( )], como sigue: Eg  

n

 gx   p i

i

i1

Variable continua Si la variable aleatoria  es de tipo continua, se define como sigue:  Eg    gx   f x   dx  Universidad de Oviedo - stimma


Varianza y desviación típica Variable discreta Sea  una variable aleatoria discreta con valores x 1, x2, probabilidades p1, p2, …, pn. La varianza de  es:

…,

xn y

n

2  E  E    x i  E 2  pi 2

i1

Variable continua Sea  una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). La varianza de  es:   E  E     xi  E2  f x   dx 2

2



A la raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica. A E() se suele denotar por la letra . En lo sucesivo así lo haremos. Universidad de Oviedo - stimma


Propiedades de la esperanza y la varianza

Ec   c Ec 1    c 2    c 1  E   c 2  E

2      2    2  2 k     k 2  2   2 k   0 2   k   2  



Momentos

Los momentos son medidas que caracterizan a las distribuciones de probabilidad y, a partir de ellos, se pueden definir nuevas medidas estadísticas como los coeficientes de asimetría y apuntamiento. Momento no centrado de orden r r  E r 

Momento centrado de orden r r  E    r Universidad de Oviedo - stimma


Distribución bidimensional de probabilidad

Dadas dos variables aleatorias  y  se dice que F(x, y) es su función de distribución conjunta si está definida como sigue: Fx, y   P  x,   y 

Se llama función de densidad conjunta para el caso de variables  y  discretas a f(x, y) definida como sigue: f x, y   P  x,   y  La función de densidad conjunta para variables discretas tiene las dos propiedades siguientes: f x, y   0 (x, y)  f x, y   1 x


y


Distribución bidimensional de probabilidad

Se dice que f(x, y) es una función de densidad conjunta para el caso de variables  y  continuas si verifica lo siguiente: f x, y   0

x, y 



 f x, y   dx  dy  1 P,   A     f x, y   dx  dy 

A


siendo A cualquier región del plano


Distribución bidimensional de probabilidad Distribución condicional

Dado un valor x de la variable  tal que g(x) > 0 se define la función de densidad condicionada de la variable aleatoria por: f x, y  f y x   gx  Análogamente, dado un valor y de  tal que h(x) > 0 se define la función de densidad condicionada de la variable aleatoria por: f x, y  f x y   hx  Universidad de Oviedo - stimma


Distribución bidimensional de probabilidad Variables independientes

Se dice que dos variables aleatorias  y , con funciones de densidad g(x) y h(x) respectivamente, y densidad conjunta f(x,y), son estadísticamente independientes si: f x, y   gx   hx 

x, y 

La definición anterior se generaliza para cualquier número de variables. Universidad de Oviedo - stimma


Distribución bidimensional de probabilidad Covarianza

Dadas dos variables aleatorias  y  con densidad conjunta f(x, y), se llama covarianza, y la identificaremos como  a:   E         Covarianza para variables discretas    x     y     f x, y  x

y

Covarianza para variables continuas  

 

  x   y    f x, y   dx  dy 

 Universidad de Oviedo - stimma




Teorema de Chebyshev

El teorema de Chebyshev indica que la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor que diste de la media menos de k desviaciones típicas es por lo menos de 1 – 1/k2 . Es decir: 1 P  k        k    1  2 k



En una zona de un open pit los bancos presentan una orientación de 120/60, encontrándose también presente una familia de discontinuidades que, como media, tiene el mismo rumbo que los bancos pero con una desviación típica de 5º. Atendiendo solamente a las condiciones cinemáticas, estimar una probabilidad para el fallo por deslizamiento plano a través de dichas discontinuidades.



4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA


Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo

Distribución binomial

Se denomina también de Bernoulli o de las pruebas repetidas con probabilidad constante. Considérese un experimento aleatorio que sólo pueda dar dos resultados posibles y mutuamente excluyentes: C con probabilidad p de ocurrir, y K con probabilidad q = 1 – p. Se suele hablar de estos resultados como éxito y fracaso respectivamente. Considérese también que se realiza este experimento aleatorio n veces en las mismas condiciones, y que además es independiente el resultado de cada prueba de todas las demás. Universidad de Oviedo - stimma



Considerando la variable aleatoria  = número de éxitos en las n pruebas, su función de probabilidad es la siguiente:  n  x n x P  x      p  q  x 

La variable aleatoria anterior , puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n, se denomina binomial de parámetros n y p. E  n  p


2    n  p  q



Tablas de la función de distribución binomial acumulada




Tablas de la función de distribución binomial acumulada (continuación)



















Distribución de Poisson Siguen esta distribución muchas variables, como por ejemplo el número de llamadas telefónicas en una centralita, el número de vehículos que llegan a un control de peaje en una autopista, el número de siniestros entre asegurados de una compañía de seguros, etc. Se dice que  tiene una distribución de Poisson de parámetro , cuando es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores enteros 0 a  con la siguiente probabilidad: P   x   e  

 x

E    

x!  2    



Distribución Poisson Distribución de Poisson como límite de la binomial

 n  x n x   x   p  q  e  lim x! n   x 

Esta propiedad indica que la distribución de Poisson es una buena aproximación de la binomial, cuando n es grande y p 

 n

0

Es habitual considerar como buena la aproximación de Poisson cuando p  0,1 y n  p  5 Universidad de Oviedo - stimma


Distribución de Poisson

Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada




Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada (continuación)











Distribución multinomial Considérese un experimento aleatorio en el que hay k resultados posibles mutuamente excluyentes A 1, A2, …, AK. Sea además p j la probabilidad de obtener el resultado A j en una prueba, y supóngase, además, que se realizan n pruebas independientes. A este experimento se puede asociar una variable aleatoria k dimensional (1, 2, …, k). 1 indica el número de veces que ha ocurrido A1 en las n pruebas, y análogamente 2, …, k. Se dice que esta variable es multinomial si: P1  x1, 2

 x 2,..., k  x k  

E1, 2, ..., k   np1  np2  ...  npk Universidad de Oviedo - stimma

n!  p1x1  p2x 2  ...  pkxk x1 !x 2 !... x k !

2 i   npi  1  pi 


Distribución hipergeométrica Supóngase que se dispone de N datos de los cuales k son considerados como éxito y N – k fracaso. Considérese además que se toma una muestra de n. La variable “número de éxitos de entre estos n datos” se denomina variable hipergeométrica de parámetros N, n, k si la probabilidad de obtener x éxitos es:  k   N  k       x   n  x   P  x   ,  N     n  E  Universidad de Oviedo - stimma

nk N

x

 0, 1, 2, ..., n

2  

Nn k k  1  n       N1 N  N 


5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA


Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo

Distribución Normal: N(0,1)

Se dice que la variable  tiene una distribución normal o que es N(0,1) si su función de densidad es de la forma: f x  

1 2

e



x2 2

x  R

f(x)

E   0 x


2   1



Distribución Normal: N(0,1)


Distribución Normal: N( , )

Dada   N0,1 se define       , siendo  y  dos números reales cualesquiera con  >0. A esta variable  se le denomina N(,). Su función de densidad es la siguiente: f x  

1

  2

e



 x  2 2 2

x  R

E  

2   2 Universidad de Oviedo - stimma


Propiedades de la distribución normal

1. Dada la variable aleatoria :N(,), se deduce que la variable  aleatoria   sigue una N(0,1). 

2. Si  es una variable con distribución B(n, p), entonces el límite cuando n tiene a infinito de sus probabilidades coincide con una distribución N np, npq .



Propiedades de la distribución normal

3. Si 1, 2, …, k son variables aleatorias independientes y con distribuciones  j  N( j, j)  j = 1,…., k, entonces la variable suma  = 1 + 2 + …,+ k es también normal de media  =  1 +  2 + 2 2 2 …,+  k y desviación típica   1  2  ...  k 4. Si 1, 2, …, k son variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas según una N(,), la variable



1  2  ...  k k


se distribuye según una

 

N ,

  . k 


Distribución

2 de

Pearson

Se define la variable 2 de Pearson como la suma de cuadrados de variables N(0,1) independientes. Al número de variables normales que se suman se le denominó número de grados de libertad de la 2. Es decir, si 1, 2, …, n  N(0,1), se define la variable 2 con n grados de libertad como sigue: n n2  12  22  ...  n2

  2n lim n2

n Universidad de Oviedo - stimma

 N n, 2n


Distribución 

n



n2

Dejan a su derecha un área igual a  (1ª fila) para distintos grados de libertad n (1ª columna).


2 de

Pearson


Distribución t-Student

Sean , 1, 2, …, n n+1 variables aleatorias independientes con distribuciones N(0,) todas ellas. Se denomina variable t de Student con n grados de libertad a la siguiente variable: tn =

η

1 n

(η12 + η22 + ... + ηn2 )

Cuando n tiende a infinito, se demuestra que t n tiende a la N(0,1). Eta aproximación es buena para n > 30.



Distribución t-Student 

n

t

La tabla proporciona los valores t que dejan a la izquierda un área igual a  (1ª fila) para n grados de libertad (1ª columna)



Distribución uniforme

Se dice que una variable  es uniforme en el intervalo (a, b) si su función de densidad es constante en el intervalo (a, b) y 0 en el resto:  0 s i x ≤a    1 s i a  x  b f x    b - a   0 s i b ≥x  




  2

ab

1 12

2

2

 b - a 



Distribución lognormal



Distribución exponencial



Distribución exponencial


Distribución Beta



z  1   t z  et  dt 0




Distribución Beta


Distribución de Fisher

N1 K  sen  eKcos K f   NR eK  e K K es la constante de Fisher o factor de dispersión,  es la desviación angular respecto al vector medio, N el número de polos y R la magnitud del vector resultante.




Distribución de Weibul


6. TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN


Teoría de la estimación Universidad de Oviedo

Estimadores de la media y la varianza

Para estudiar un cierto parámetro poblacional en el que se está interesado, se define un estimador H, que es una función que actúa sobre los datos de la muestra. Las dos propiedades siguientes son deseables para un estimador: 1. Que el estimador sea insesgado para , es decir, que E[H] = . 2. Dados dos estimadores H1 y H2 del parámetro , insesgados, se dice que H1 es más eficiente que H2 si 2 (H1) < 2 (H2).



Estimadores para la media y la varianza

Hx



Ex      2 2  x   n 

x1  x 2  ...  xn n

 x  x  

2

H  s2

n



HS Universidad de Oviedo - stimma

Es2  

i

2



ns  n1 2

 x  x 

2

i

n1

2  n  1 n


Teorema central del límite

Si las variables 1, 2, …, n son independientes, igualmente distribuidas con media  y desviación típica  distinta de cero, entonces la distribución de la variable 1  2  ...  n  n

tiende, cuando n   a una distribución normal de media  y desviación típica  . n

Esto quiere decir que la distribución de la correspondiente a la suma 1  2  ...  n tiende a una N n  ,   n Universidad de Oviedo - stimma

variable


Intervalos de confianza para la media Caso 1: Población normal con conocida

Si se tiene una población normal, se ha visto que: x     x  N ,       N0,1  n  n

Es decir, dado un nivel de confianza 1 - , se puede obtener en las tablas de la normal el valor /2 tal que P  / 2      / 2   1   siendo   N(0,1). Según esto, el intervalo de confianza buscado es:  x     , x        /2 /2 n n   Universidad de Oviedo - stimma


Intervalos de confianza para la media Caso 2: Población cualquiera con conocida

El teorema central del límite permite utilizar el intervalo de confianza anterior en este caso, siempre que n sea suficientemente grande. Se suele utilizar n > 30.



Intervalos de confianza para la media Caso 3: Población normal con desconocida

Se puede demostrar que la variable

x  

s

 n sigue una

distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. De este modo, el intervalo de confianza buscado al 1    100 % es :     s s  x  t  ,x  t   /2 /2  n n   



Intervalos de confianza para la media Caso 4: Población cualquiera con desconocida

En la práctica se suele utilizar el intervalo de confianza indicado en el caso 1, estimando la  mediante s, en el caso de que n sea mayor de 30. Para el caso de muestras pequeñas, el intervalo de confianza a utilizar es el correspondiente al caso 3.



Intervalos de confianza para la diferencia de medias Caso 1: Poblaciones normales con

1 y

2

Se consideran las poblaciones normales de varianzas conocidas y se pretende estimar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, 1 - 2, seleccionando muestras de tamaño n 1 y n2 respectivamente de la población. 2 2     x1  x 2  N 1  2 , 1  2    n n 1 2  



Intervalos de confianza para la diferencia de medias Caso 1: Poblaciones normales con

1 y

2

El intervalo de confianza al 1    100 % es: 2 2 2 2        x1  x 2    / 2  1  2 , x1  x 2    / 2  1  2    n n n n 1 2 1 2  

Este tipo de intervalo también se utiliza si las poblaciones no son normales, pero 1 y 2 son conocidas, siempre que n 1 y n2 sean mayores de 30. Si 1 y 2 son desconocidas, se utiliza este mismo intervalo estimando 1 y 2 por s1 y s2. Universidad de Oviedo - stimma


Intervalos de confianza para la diferencia de medias

Caso 2: Poblaciones normales con

1 y

2 desconocidas

pero iguales

Estimando 1 y 2 mediante s1 y s2, se llega al siguiente intervalo de confianza utilizando una t de Student con n 1 + n2 – 2 grados de libertad: 2 2     n s n s  x1  x 2  t  / 2  1 2 1 2 2 2  1  1 ,  n1  n2  2 n1 n2  n1  s12  n2  s22 1 1    x1  x 2  t  / 2  2 2 n1  n2  2 n1 n2  



Intervalos de confianza para la varianza

Se puede demostrar que n  s es una variable 2 de Pearson con n – 1 grados de libertad.  Esta circunstancia permite establecer el intervalo de confianza a (1 - ) 100% para la varianza como sigue: 2

2

 n  s2 n  s2   2 , 2    1    2


2


7. CONTRASTE DE HIPÓTESIS


Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo

Se trata de estimar un parámetro poblacional a partir de una muestra. Para ello se define un estimador y se enuncia una hipótesis H0, llamada hipótesis nula, y una alternativa H 1. Fijado el nivel de significación, se obtienen las regiones de aceptación R a y de rechazo Rc, y se adopta la siguiente regla de decisión: Si el valor del estimador definido para la muestra dada cae en la región Ra, se acepta H0. Si cae en Rc, se acepta H1.



Contraste de hipótesis para la media Caso 1: Población con varianza conocida o n > 30

Se desea contrastar la hipótesis de que la media de una población sea un valor , a un nivel de significación de 100  %. Hipótesis nula, H0: media = Hipótesis alternativa, H1: media Teniendo en cuenta que la distribución de medias muestrales de tamaño n de una población de media  y desviación típica  es una N(, /n), se define el estimador siguiente, que sigue una N(0,1): z

x 

 n



Contraste de hipótesis para la media Caso 1: Población con varianza conocida o n > 30

Para el nivel de significación seleccionado se obtienen en la normal N(0, 1) los valores /2 y - /2 tales que:

    x  P         1   2 2   n   La región de aceptación es el intervalo (- /2 , /2) y la regla de decisión es la siguiente: Si - /2 < z < /2 se acepta H0 al nivel 100  %; en caso contrario se rechaza H0 al nivel de significación del 100  %. Universidad de Oviedo - stimma


Contraste de hipótesis para la media

Caso 2: Población con varianza desconocida pero n > 30

Si la desviación típica poblacional  es desconocida, pero se realiza una muestra de tamaño mayor de 30 (n > 30), el teorema central del límite permite utilizar el contraste del caso 1 sustituyendo  por la s muestral.



Contraste de hipótesis para la media Caso 3: Población con varianza desconocida y n < 30

Se desea contrastar la hipótesis de que la media de una población sea un valor , a un nivel de significación de 100  %. Hipótesis nula, H0: media = Hipótesis alternativa, H1: media En este caso se tiene en cuenta que la variable

x  s n1

distribución t-Student con n – 1 grados de libertad.


sigue una


Contraste de hipótesis para la media Caso 3: Población con varianza desconocida y n < 30

Para el nivel de significación seleccionado, 100  %, se obtienen en la t-Student los valores t/2 y - t/2 tales que:

    x  P  t    t   1   2  2 s n1    La región de aceptación es el intervalo (- t /2 , t/2) y la regla de decisión es la siguiente: Si - t/2 < z < t/2 se acepta H0 al nivel 100  %; en caso contrario se rechaza H0 al nivel de significación del 100  %. Universidad de Oviedo - stimma


Contraste de hipótesis para la diferencia de medias Caso 1: Varianzas conocidas

Dadas dos poblaciones de varianzas conocidas 12 y 22 , se seleccionan muestras de tamaños n1 y n2, respectivamente. Se trata de contrastar, al nivel de significación de , la hipótesis: Hipótesis nula, H0: 1 - 2 = d Hipótesis alternativa, H1: 1 - 2 d Se define para el contraste el siguiente estadístico: z

x1  x 2

12 n1



d 22 n2

La región de aceptación es el intervalo (- /2, /2) correspondiente a la N(0, 1), adoptando la regla de decisión como en los casos anteriores. Universidad de Oviedo - stimma


Contraste de hipótesis para la diferencia de medias Caso 2: Varianzas desconocidas pero iguales

Si las muestras son grandes n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30, se pueden estimar 1 y 2 por s1 y s2, y utilizar el test del caso 1. Si los tamaños muestrales son pequeños, menores de 30, se utiliza el siguiente estadístico: t



x1  x 2 s

1 n1

d

1  n2

s

n1  1  s12  n2  1  s22 n1  n2

2

A partir de la t-Student con n1 + n2 -2 grados de libertad se obtiene para un nivel de significación , un intervalo (- t/2 , t/2) que permite dar una regla de decisión como en los casos anteriores. Universidad de Oviedo - stimma


Contrastes unilaterales

En los casos de contrastes de hipótesis anteriores, la alternativa era la negación de la hipótesis nula, utilizando las dos colas en las distribuciones correspondientes, como por ejemplo H 0: =10; H1: 10. En otros casos, se debe utilizar solo una de las colas de la distribución, como por ejemplo: H0: =10; H1: >10. En estos caso, por ejemplo si el estadístico es una N(0, 1) y  = 0,05, se determina el valor 0,05 que deja a su derecha un área bajo la curva normal igual a 0,05. Si el valor de z es menor que 0,05 se acepta H0 al nivel de significación considerado. En caso contrario de rechaza. Universidad de Oviedo - stimma


Contrastes de la bondad de un ajuste

El problema que se trata de resolver es decidir si una muestra obtenida al azar procede de una población con una cierta distribución. Para ello se hace una hipótesis nula que asegura que la población tiene una distribución de probabilidad dada. Bajo esta hipótesis se calculan las frecuencias esperadas para la muestra y se denotan por ei. Estas frecuencias se comparan con las frecuencias realmente obtenidas en la muestra, que se denominan frecuencias observadas y se denotan por o i. Si la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas es grande o significativa se rechaza la hipótesis, es decir, el modelo de probabilidad propuesto. Universidad de Oviedo - stimma



El estadístico a utilizar en estas pruebas es el siguiente:  2

k

oi  ei 2

i 1

ei



Se puede demostrar que la distribución del anterior estadístico es aproximadamente una 2 con k – 1 grados de libertad, si no es necesario estimar ningún parámetro poblacional a partir de la muestra para obtener las frecuencias esperadas, y con k – r – 1 si es necesario estimar r parámetros.




Una vez concretado el número de grados de libertad que se va a utilizar, se fija el nivel de significación  del test y se calcula en la tabla de la 2 el valor t2 que deja a su derecha una probabilidad igual a . Por último, se adopta la siguiente regla de decisión:

Si

2 t


> Si

2

se acepta como bueno el ajuste. 2 2 se rechaza el ajuste. t <


8. CRITERIOS DE ESTABILIDAD


Criterios de estabilidad Universidad de Oviedo

Priest & Brown (1993) Valores aceptables Categoría del talud

Categoría del talud

Ejemplos

Mínimo

Máximo

Media CS P(CS)<1 P(CS)<1,5

1

No graves

Bancos individuales, taludes de pequeña altura (<50 m.), taludes temporales que no afectan a pistas.

1,3

0,1

0,2

2

Moderadamente graves

Cualquier talud de naturaleza permanente o casi-permanente.

1,6

0,01

0,1

3

Muy graves

Taludes medios (altura entre 50 y 150 m) y altos (mas 150 m) con presencia de pistas y/o instalaciones mineras permanentes al pie.

2,0

0,0003

0,05

Criterios de diseño basados en el Método de Montecarlo Grado de cumplimiento de los Interpretación criterios arriba indicados Cumple los tres criterios.

Talud estable.

Aunque supera el valor mínimo de la media del CS, no cumple uno de los criterios de probabilidad.

Trabajar con este talud supone un riesgo aceptable o no, según el caso. EL nivel de riesgo se puede cuantificar mediante un sistema de vigilancia de detalle.

Aunque no supera el valor mínimo de la media del CS, cumple los dos criterios de probabilidad.

Talud aceptable. Se recomienda realizar mínimas modificaciones en su gemetría para subir la media del CS hasta un nivel satisfactorio.

No supera el valor mínimo de la media del CS y no cumple uno o los dos criterios de probabilidad.

Talud inestable. Se necesita modificar la geometría del talud. Podría ser necesario utilizar sostenimientos activos y un sistema de vigilancia.

Interpretación del comportamiento del talud







Escala

Consecuencias FS Mínimo del fallo Estático

Banco

Interrampa

Overall Universidad de Oviedo - stimma

FS Mínimo Dinámico

Probabilidad máxima de fallo P(F < 1)

Bajo - Alto

1,1

-

20 -50 %

Bajo

1,15 – 1,2

1,0

25 %

Moderado

1,2

1,0

20 %

Alto

1,2 – 1,3

1,1

10 %

Bajo

1,2 – 1,3

1,0

15 – 20 %

Moderado

1,3

1,05

10 %

Alto

1,3 – 1,5

1,1

5%



Mapeo


9. ROTURA PLANA



9.1 Cono de fricción


Rotura plana Universidad de Oviedo



Cono de fricción Sin cohesión y sin fuerzas exteriores

F 


R S



W  cos  tg  W  sen



tg  tg 

Rotura plana


Cono de fricción Plano sin cohesión y sin fuerzas exteriores


Rotura plana Cono de fricción Plano con cohesión y fricción, pero sin fuerzas exteriores


tg  ap

F 




R  Rc N

R  Rc S



 tg  

c  A W  cos 

W  cos   tg  ap W  sen

 F 

tg  ap tg 

Rotura plana Cono de fricción Plano con cohesión, fricción y fuerzas exteriores


F 

R  Rc S e

F 




W e  cos  tg  ap

tg  ap tg 

W e  sen





Cono de fricción



Distribuciones habituales Normal

Beta

Exponential

Lognormal

Weibull

Logistic

Uniform

Triangular


Método de Montecarlo

Consiste en ir introduciendo en un modelo determinista una serie de variables generadas de manera aleatoria, recuperando el resultado final en forma de histograma. En este método se generan una serie de valores aleatorios para cada función de probabilidad que se corresponderá con un parámetro de entrada, y se introducen estos valores en el modelo determinista, elaborando una función de probabilidad o histograma para las variables de salida, tal como el factor de seguridad.


Rotura plana Método de Montecarlo


Gráfico acumulativo 1,000 d a d i l i b a b o r P

20000

,750

F r e c u e n c i a

,500 ,250 0

,000 41,82

49,09

P  1  e


 x

63,63

56,36

 x  

1

 

70,90

 ln1  P 



Histrograma de frecuencias



Función de distribución


9.2 Estudio estadístico mediante el software DIPS ©


Software Dips Universidad de Oviedo



Open Pit: 135/60























Polos pertenecientes al set 1





Representación de polos que cumplen el requisito y mecánico. Probabilidad = 8/26*100= 31%



9.3 Estudio estadístico mediante el software ROCPLANE ©


Software ROCPLANE Universidad de Oviedo


Selección de distribuciones



Selección de distribuciones





Histograma para el factor de seguridad


Función de densidad para el factor de seguridad



Función de distribución para el factor de seguridad




Factor de seguridad vs ángulo de talud


Análisis de sensibilidad para varias variables



Análisis de sensibilidad para varias variables


Software ROCPLANE Test de normalidad para la dirección de buzamiento J1


Dir Buz. 136 134 125

Media

127,538

130

Desviación

10,424

122

Mínimo

109

126

Máximo

153

126

Rango

44

133

Número Datos

26

146

Nº intervalos Sturges

5,669

140

Nº intervalos raíz n

5,099

109

Amplitud intervalos

7,333

6

126 139 129 Lim Inf.

Lim Sup.

Frec. Observ. (O)

Frec. Relativa esperada acumulada

Frec. Relativa esperada

Frec. Observada esperada (e)

117

Intervalos

123

1

109

116,333

3

0,141

0,141

3,671

0,123

115

2

116,333

123,667

7

0,355

0,214

5,563

0,371

119

3

123,667

131

7

0,630

0,275

7,148

0,003

133

4

131

138,333

5

0,850

0,220

5,713

0,089

153

5

138,333

145,667

2

0,959

0,109

2,839

0,248

119

6

145,667

153

2

0,993

0,034

119

Sumas

26

0,877

1,439

25,810

2,273

137 122 112

Grados Libert.

126

Alfa Prueba


3 0,05 Chi cuadrado Se acepta

(o-e)^2/e

7,81


Test de normalidad para el buzamiento J1

Buzam. 39 70 61

Media

57,115

66

Desviación

7,612

55

Mínimo

39

54

Máximo

71

62

Rango

32

Número Datos

26

60 71


5,669

49


5,099

60

Amplitud intervalos

5,333

6

54 52 63

Lim Inf.

Lim Sup.

Frec. Observ. (O)




70

Intervalos

63

1

39

44,333

1

0,047

0,047

1,211

0,037

63

2

44,333

49,667

2

0,164

0,117

3,051

0,362

47

3

49,667

55

11

0,391

0,227

5,893

4,427

56

4

55

60,333

3

0,664

0,273

7,103

2,370

54

5

60,333

65,667

5

0,869

0,206

5,346

0,022

54

6

65,667

71

4

0,966

0,097

51

Sumas

26

2,511

0,883

25,114

8,102

51 53 53 54

Grados Libert.

Prueba


3 0,025 Chi cuadrado

Alfa Se acepta

(o-e)^2/e

14,45






Probabilidad de fallo = 93,25% Universidad de Oviedo - stimma


10. ROTURA EN CUÑA



10.1 Identificación de cuñas inestables


Test de Markland y Hocking Universidad de Oviedo

F 


tg  i tg  i




Para que se produzca el deslizamiento en cuña a lo largo de la intersección manteniendo el contacto en ambos planos, el buzamiento de la línea de intersección ha de ser menor que el del plano del talud en dicha dirección, de forma que aflore en la superficie del talud. Además, es necesario que el buzamiento de la línea de intersección sea mayor que el ángulo de fricción de al menos uno de los dos planos de junta.





Dirección de la recta intersección:

i

 tg  A  cos A  tg  B  cos B    i  artg   tg  B  sen B  tg  A  sen A  Plunge de la recta intersección:

tg  i

 tg  A  cos A   i   tg  B  cos B   i 

y B: Direcciones de buzamiento de los dos planos de la cuña  A

 A y B: Buzamiento de los dos planos de Universidad de Oviedo - stimma

i

la cuña


Si la dirección de buzamiento de uno de los planos queda entre la dirección de buzamiento del talud y la de la línea de intersección, el deslizamiento será sobre el plano, perdiendo el contacto con el otro plano.

Deslizamiento posible a lo largo de la intersección


Deslizamiento posible a lo largo del plano I














10.2 Estudio estadístico mediante el software SWEDGE ©


Software SWEDGE Universidad de Oviedo


Propiedades del talud


Propiedades de las discontinuidades




Presencia de grietas de tracción


Presencia se sobrecargas: Presión de agua




Presencia se sobrecargas: Sismo


Presencia se sobrecargas: Fuerzas externas




Sostenimiento. Anclajes



Análisis probabilístico



Análisis probabilístico

Software SWEDGE Dirección de buzamiento J4


Media

81,649

Desviación

8,440

Mínimo

67

Máximo

98

Rango

31

Número Datos

57


6,794


7,550

Amplitud intervalos

4,429

Intervalos

Lim Inf.

7

Lim Sup.

Frec. Observ. (O)




(o-e)^2/e

1

67

71,429

8

0,113

0,113

6,438

0,379

2

71,429

75,857

7

0,246

0,133

7,599

0,047

3

75,857

80,286

11

0,436

0,190

10,805

0,004

4

80,286

84,714

7

0,642

0,206

11,738

1,912

5

84,714

89,143

13

0,813

0,171

9,743

1,088

6

89,143

93,571

6

0,921

0,108

6,180

0,005

7

93,571

98

5

0,974

0,053

2,994

1,343

49,060

4,400

Sumas

57 Grados Libert.

4 0,05 Chi cuadrado

Alfa Prueba


Se acepta

9,49

Software SWEDGE Buzamiento J4

Universidad de Oviedo Media

74,842

Desviación

6,974

Mínimo

62

Máximo

89

Rango

27

Número Datos

57


6,794


7,550

Amplitud intervalos

3,857

7

Intervalos

Lim Inf.

Lim Sup.

Frec. Observ. (O)




(o-e)^2/e

1

62

65,857

5

0,099

0,099

5,632

0,071

2

65,857

69,714

10

0,231

0,132

7,540

0,803

3

69,714

73,571

8

0,428

0,197

11,208

0,918

4

73,571

77,429

12

0,645

0,217

12,365

0,011

5

77,429

81,286

12

0,822

0,178

10,124

0,348

6

81,286

85,143

6

0,930

0,108

6,152

0,004

7

85,143

89

4

0,979

0,049

Sumas

57

Grados Libert.


0,542

2,625

4

Alfa Prueba

2,774 50,161

0,05 Se acepta

Chi cuadrado

9,49


Estabilidad cuña J1 – J4 Datos Junta 1 Dirección de buzamiento: N(127.54, 10.42) Mínimo = 109 Máximo = 153

Buzamiento: N(57.11, 7.6) Mínimo = 39 Máximo = 71



Estabilidad cuña J1 – J4 Datos Junta 4 Dirección de buzamiento: N(81.6, 8.4) Mínimo = 67 Máximo = 98

Buzamiento: N(74.8, 7) Mínimo = 62 Máximo = 89




Estabilidad cuña J1 – J4



Probabilidad de fallo = 30%




Beta de media 1.64 y Desv. Stand. 0.91









11. TOPPLING


TOPPLING Universidad de Oviedo

•

Seguimos considerando el Pit 135/60.

•

Dibujar el plano 135/(60 - ap).

•

Dibujar el cono de fricción en (135 + 90), con un ángulo de (90 - ).

•

Dibujar los límites permisibles de 135  30.

•

Contar los polos que están en la zona de riesgo y dividirlo por el número de polos totales del set.









Probabilidad de fallo = 27/88 *100 = 30%



12. ESTUDIO EN BASE AL MAPEO DEL PIT


Mapeo del Pit Universidad de Oviedo








Criterios de aceptación



(Grados)



(Grados)


100 90

80 70 60 50 40

35 =

30

57o

20 10 0 0


5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90




BIBLIOGRAFÍA


Bibliografía Universidad de Oviedo








Estudio de Estabilidad de Open Pits Por Métodos Probabilísitcos

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