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1.
Introducción: Conceptos de mecánica y reseña histórica
2.
Repaso de vectores
3.
Fuerzas concurrentes y equilibrio de una partícula
4.
Resultantes de sistemas de fuerza.
5.
Fuerzas distribuidas
UNIDAD 1 : CONCEPTOS BÁSICOS, TEORÍA GENERAL DE FUERZAS Y FUERZAS DISTRIBUIDAS Estatica - 01
Lic. Carlos E. Joo G.
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CLASE Nº4: RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZA – 2ª PARTE Estatica - 01
Lic. Carlos E. Joo G.
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4.7. SISTEMAS EQUIVALENTES
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Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a producir el
mismo efecto sobre un cuerpo. Se ha visto que una fuerza se puede desplazar sobre su línea de acción y el efecto sobre el cuerpo no se modifica tanto para translación como para rotación. Así mismo se ha dicho dicho que un par, por ser un vector libre, se puede trasladar a cualquier posición sin que se cambie el efecto que produce sobre el cuerpo.
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Un sistema de fuerzas y momentos es simplemente un 14/04/2012 12:51:24 p.m.
conjunto particular de fuerzas y momentos de pares. Los sistemas de fuerzas y momentos propios de la
ingeniería pueden ser complicados. En especial, esto ocurre cuando se tienen fuerzas distribuidas, como las fuerzas de presión ejercidas por el agua sobre una un a presa. Pero si sólo nos interesan la fuerza total y el momento
total ejercidos, un sistema complicado de fuerzas y momentos se puede representar con un sistema mucho más sencillo. Definimos los dos sistemas, 1 y 2, como equivalentes si
las sumas de las fuerzas son iguales,
(F)1=(F)2 Si determinamos las sumas de los momentos respecto al
punto O, la segunda condición de equivalencia es:
(M)1=(M)2 Si estas condiciones se satisfacen, podemos elegir otro
punto O‘ y demostrar que las sumas de los momentos
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SISTEMAS EQUIVALENTES
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Los siguientes ejemplos demuestran cómo se puede determinar si sistemas
dados de fuerzas y momentos son equivalentes. Se deben verificar las dos condiciones de equivalencia: 1.
¿Son iguales las sumas de las fuerzas? Se deben determinar las sumas vectoriales de las fuerzas en los dos sistemas para ver si son iguales.
2.
¿Son iguales las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario?
- Se puede elegir cualquier punto conveniente y determinar las sumas de los momentos de los dos sistemas respecto a ese punto para ver si son iguales.
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Ejemplo 4.12: Tres sistemas de fuerzas y momentos actúan
sobre la viga de la figura 4.34. ¿Son tales. sistemas equivalentes?
SOLUCiÓN: ¿Son iguales las sumas de las fuerzas? Las sumas de las fuerzas son:
•
¿Son iguales las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario? Las sumas de los momentos respecto al origen O son: •
•
Recuerde que puede escoger cualquier punto conveniente para determinar si las sumas de los momentos son iguales. Por ejemplo, las sumas de los momentos respecto al
Los sistemas 1 y 3 son equivalentes.
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Ejemplo 4.13: Dos sistemas de fuerzas y momentos actúan sobre la placa rectangular de la figura 4.35. ¿Son tales sistemas equivalentes? SOLUCiÓN: ¿Son iguales las sumas de las fuerzas? •
Las sumas de las fuerzas son:
¿Son iguales las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario? •
Las sumas de los momentos respecto al origen O son:
•
Los sistemas son equivalentes.
COMENTARIO Verifiquemos que las sumas de los momentos de los dos sistemas respecto a puntos diferentes sean iguales. Las sumas de los momentos respecto a P son:
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Ejemplo 4.13: En la figura 4.36 se muestran dos sistemas ¿Son tales sistemas equivalentes? SOLUCiÓN: ¿Son iguales las sumas de las fuerzas? •
Las sumas de las fuerzas son:
¿Son iguales las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario? •
Las sumas de los momentos respecto al origen O son:
Los sistemas son equivalentes.
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4.8. REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS CON SISTEMAS EQUIVALENTES A. Re Reduc ducció ción n de un un sistem sistemaa de fuer fuerzas zas a otro otro equiv equivale alente nte (fue (fuerz rzaa – par)
Veamos ahora cómo se hace para trasladar una fuerza de un punto a otro, fuera de su línea de acción, sin que se modifique el efecto que la fuerza produce.
Cuando el punto sobre el cuerpo esté sobre la línea de acción de la fuerza, simplemente transmita o deslice la fuerza a lo largo de su línea de acción al punto.
Representación de una fuerza por medio de una fuerza y14/04/2012 un par 12:51:24 p.m.
•
Cuando el punto no esté sobre la línea de acción de la fuerza: 1. Se colo coloca ca en O dos dos fuer fuerzzas F y – F , con lo cual se mantiene invariable el sistema. 2. Ahor Ahora a bie bien, n, la fuer fuerza za en A, F y la fuerza – F en O forman un par de fuerzas cuyo momento es el momento de la fuerza con respecto respecto al punto O. 3. El vector M0 es perpendicular a F y como es el momento de un par, es un vector libre que se puede colocar en cualquier lugar del espacio.
4. Se puede conclui concluirr entonces entonces que para para trasladar trasladar una una fuerza fuerza a un punto arbitr arbitrario ario,, sin que se modifique el sistema, se debe colocar un par cuyo momento es igual al momento de la fuerza con respecto al punto seleccionado.
Cuando se observen estas reglas, se producirán efectos externos equivalentes. A este proceso se le llama descomponer descomponer una fuerza dada en una fuerza en O y un par
Ejemplo 4.14
14/04/2012 12:51:24 p.m.
Remplace la fuerza de 350 N por una fuerza y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas
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solución
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Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresión vectorial de F es
El momento C será:
Asi,
se tiene ahora un momento C y la fuerza F trasladada en el punto C Lic. Carlos E. Joo G.
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Representación de un sistema por medio de una fuerza 14/04/2012 y un par 12:51:24 p.m.
•
Cuando se desea trasladar varias fuerzas a un punto determinado determinado 1. Se hace el proc procedimi edimient ento o que se acaba acaba de explic explicar ar para para cada fuerz fuerza, a, obtenien obteniendo do duplas fuerza-par: F1 y M1 , F2 y M2 , F3 y M3 , que son mutuamente perpendiculares. perpendiculares.
2. Al tener tener un sistema sistema de fuerzas fuerzas y pares pares concurr concurrente entess se puede obtener obtener la result resultant ante e de las fuerzas R=F1 + F2 + F3 y y el par resultante MR0 = M1+M2+M3 . 3. Si bien, bien, las duplas duplas son mutuament mutuamente e perpendic perpendicular ulares, es, en general R y MR0 no lo son.
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14/04/2012 12:51:24 p.m. El sistema 1 de la figura 4.43 consiste en las fuerzas y el par siguientes: FA = -10i + 10 j - 15k (kN), FB = 30i + 5 j + 10k (kN), Mc = -90 i + 150 j + 60 k (kN-m). Suponga que se quiere representar con una fuerza F que actúe en P y un par M (sistema 2). Determine F y M.
Ejemplo 4.15:
SOLUCiÓN Las sumas de las fuerzas deben ser iguales:
Las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser iguales Las sumas de los momentos respecto al punto P deben ser iguales: •
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Ejemplo 4.16: Reemplace las fuerzas que actúan sobre la pieza mostrada en la figura 4-36a por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes actuando en el punto A .
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OTRA FORMA DE SIMPLIFICACIÓN:
•
14/04/2012 12:51:24 p.m.
El método anterior, de simplificar cualquier sistema de fuerza y momento de par a una fuerza resultante que actúe en el punto O y un momento de par resultante, puede ser generalizado y representado mediante la aplicación de las dos ecuaciones siguientes.
FR establece que la fuerza resultante del sistema es
•
equivalente equivalente a la suma de todas las fuerzas; MR0 establece que el momento de par resultante del sistema es equivalente a la suma de todos los momentos de par Mc, más los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas Mo. Si el sistema de fuerzas se encuentra en el plano x-y y cualesquiera momentos de par son perpendiculares a este plano, que está a lo largo del eje z, entonces las ecuaciones anteriores se reducen a las siguientes tres ecuaciones escalares. •
•
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Ejemplo 4.17:
Un miembro estructural está sometido al momento de un par M y a las fuerzas F1 y F2 como se muestra en la figura 4-37a. Reemplace este sistema por una fuerza resultante equivalente y el momento de un par actuando en su base, en el punto O.
SOLUCiÓN: Solución (Análisis vectorial) Al expresar las fuerzas y el momento de par como vectores cartesianos tenemos: •
Suma de fuerzas: Suma de momentos:
14/04/2012 12:51:24 p.m.
B. Reducción adicional de un sistema de una fuerza fuerza y un par a una fuerza única Cuando R y MR0 son perpendiculares , [Fig. 1-23], el sistema se puede reemplazar por uno de fuerza única cuyo punto de aplicación es A, tal que r R=MR0 .Nótese que este procedimiento es el inverso al de trasladar una fuerza.
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B. Reducción de un sistema de fuerzas a una14/04/2012 fuerza12:51:24 únicap.m. si un sistema reducido de fuerza-par es perpendicular, éste se puede reducir a una fuerza única. Veamos en que casos es valida esta condición.
1. Fu Fuer erzzas cop copla lana narres Sin perder generalidad consideremos un sistema de fuerzas en el plano xy;los momentos de estas fuerzas respecto a cualquier punto están en la dirección del eje z, por consiguiente R y MR0 son perpendiculares; entonces el sistema se puede reducir a una fuerza única R , cuya línea de acción pasa por los puntos A(x,0) y B(-y,0) tal que -y - y RX=MR0 y - x x Ry=MR0 , [Fig. 1-24]. •
r R=MR0 .Nótese que este procedimiento es el inverso al de trasladar una fuerza.
14/04/2012 p.m.y en dos12:51:24 fuerzas Ejemplo 4.18: El sistema 1 de la figura 4.42 consiste
un par que actúan sobre un tubo. Se trata de representar el sistema 1mediante (a) una sola fuerza que actúe en el origen O del sistema coordenada y un solo par, y (b) una sola fuerza. SOLUCIÓN: a) Las condic condicion iones es de equi equival valenc encia ia son son
b) Las sumas de las las fuerza fuerzas s de los siste sistemas mas 2 y 3 son iguales. Igualando las sumas de los momentos respecto a O,
Encontramos que el sistema 3 equivale al sistema 2 si D = 8 m.
14/04/2012 12:51:24 p.m.
Ejemplo 4.19: Reemplace el par y la fuerza mostrados en la figura por una sola fuerza equivalente aplicada a la palanca. Determine la distancia desde el eje hasta el punto de aplicación de esta fuerza equivalente. SOLUCIÓN:
Primero se reemplazan la fuerza y el par dados por un sistema equivalente fuerza-par en O. Hallamos el momento de F respecto del punto O. •
•
Se calcula el momento del par, y se suma
•
Obteniendo :(-84N.m k) Este par resultante puede ser eliminado aplicando la fuerza F en un punto C sobre la pieza seleccionado de manera que: •
•
(OC)cos60º=0,210m OC=0,420m=420mm
•
•
14/04/2012 12:51:24 p.m. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza única 1. Fu Fuer erzzas copl coplan anar ares es
2. Fu Fuer erzzas par paral alel elas as Consideremos, sin perder generalidad, un sistema de fuerzas paralelas al eje y, [Fig. 1-25], Y como estas fuerzas producen momento únicamente con respecto a los ejes x y z, el momento resultante MR0 será paralelo al plano xz y por consiguiente consiguiente perpendicular a R. Entonces el sistema se puede reducir a una fuerza única aplicada en el punto A tal que: . •
•
•
zR=(MR0) x y x R=(M R=(MR0 ) z
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Ejemplo 4.20: El sistema 1 de la figura 4.44
14/04/2012 12:51:24 p.m.
consiste en fuerzas paralelas. Supongamos que se quiere representar mediante una fuerza F (sistema 2). ¿Qué valor tiene F y dónde corta su línea de acción el plano x-z. plano x-z. SOLUCIÓN: Las sumas de las fuerzas deben ser iguales
Las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser iguales.Sean (x, y, z) las coordenadas del punto P. Las sumas de los momentos respecto al origen O deben ser iguales.
Desarrollando los determinantes, obtenemos: (20 +40z) + 40z) i + (100 - 40x) k = O. Las sumas de los momentos respecto al origen son iguales si: x = 2.5 pie , z = -0.5 pie. M M M M También pudimos hacer ( ) = ( ) ( ) = ( )
•
•
•
14/04/2012 12:51:24 p.m. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza única 1. Fuer Fuerzzas copl coplan anar ares es 2. Fuer Fuerzzas par paral alel elas as 3. Fuer Fuerzzas dist distri ribu buid idas as
4. Fue Fuerz rzas as conc concurr urren ente tess Un caso trivial para reducir un sistema de fuerzas a una fuerza única es el de fuerzas concurrentes ya que el sistema referido al punto de concurrencia tiene un momento. La resultante R será la suma de las fuerzas y su punto de aplicación el punto de concurrencia.
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14/04/2012 12:51:24 p.m. C. Reducción de un sistema general de fuerzas a una llave de torsión o torsor Cuando la dupla R y MR0 del sistema equivalente a un sistema general de fuerzas, referido al punto O, no es perpendicular, ésta se puede reducir de la siguiente manera, [Fig. 1-28]. Se descompone MR0 en dos componentes M1 y M2 paralela y perpendicular a R respectivamente. Ahora bien, como R y M2 son perpendiculares se pueden reemplazar por una fuerza única R en un punto A tal que rAR=M2 , y como M1 es un vector libre se traslada por conveniencia conveniencia al mismo punto A. Se obtiene así un sistema fuerza-par cuyos vectores son colineales. A este sistema se le conoce como “torsor ” y representa físicamente la tendencia que tiene un sistema general de fuerzas que actúa sobre un cuerpo, esto es, una translación en la dirección de R y una rotación rotación alrededor de un eje paralelo a la misma dirección. dirección. •
•
•
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14/04/2012 12:51:24 p.m. C. Reducción de un sistema general de fuerzas a una llave de torsión o torsor Un ejemplo de este sistema simplificado se presenta cuando se introduce un tornillo en una pieza cualquiera, ya que para hacerlo se aplica una fuerza y un par que son colineales, [Fig. 1-29]. •
Una llave dinamométrica consisten en una llave fija de vaso con un mecanismo en el que se regula el par de apriete, de forma que si se intenta apretar más, salta el mecanismo que lo impide. llave dinamométrica de salto Contiene un sistema mecánico regulable a través de un nonio,, que libera la tensión de la llave cuando nonio se alcanza el par de apriete preajustado. Se usa para aplicar un par de apriete determinado de forma repetitiva. Por elenplo: en las cadenas de montaje, o en piezas unidas con muchos tornillos iguales. •
•
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Ejemplo 4.21:
14/04/2012 12:51:24 p.m.
El sistema de la figura 4.47 consiste en la fuerza y el par: F = 3i + 6 j + 2k (N-m). M = 12i + 4j + 6k (N-m). Represéntelo mediante una llave de torsión, y determine en qué punto la línea de acción de la fuerza de la llave corta el plano z,
SOLUCIÓN: Dividiendo F entre su magnitud, obtenemos un vector unitario e con la misma dirección que F:
Podemos usar e para calcular la componente de M paralela a F: Mp = (e.M)e = [(0.429)(12) + (0.857)(4) + (0.286)(6)] e = 4.408 i + 8.816 j + 2.939 k (N-m). La componente de M normal a F es: MN = M - Mp = 7.592i - 4.816 j + 3.061k (N-m). La llave se muestra en la figura (b). Sean (x, 0, z) las coordenadas de P. El momento de F respecto a O es
Igualando este momento a MN, (condición) -6z i - (2x - 3z) j + 6x k = 7.592i - 4.816 j + 3.061 k, obtenemos las ecuaciones:
Resolviendo estas ecuaciones encontramos las coordenadas del punto P: x =0.510 =0.510 m y z -1.265 m.
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14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.22: Dos fuerzas de la misma longitud P actúan sobre un cubo con aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsión equivalente y determine: a) la magnitud y dirección de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsión y c) el punto donde el eje de la llave de torsión interseca al plano yz. SOLUCIÓN: •
Sistema equivalente fuerza-par en O. Primero se
determina el sistema equivalente fuerza-par en el origen O. Vectores de posición ele los puntos de aplicación E y D de las dos fuerzas dadas son: r E = ai + a j y r D = a j + ak . La resultante R de las dos fuerzas: R=F1 R=F1 + F2 = Pi + P j = P(i+j) y el momento resultante Mg de dichas fuerzas con respecto a O están dados por MR0= r E F1 + r D F2 = ( ai + a j) Pi + ( a j + ak) P j = -Pa -Pak - Pai = -Pa(i + k) •
•
•
•
a. Fu Fuer erzza resu result ltan antte: modulo R=P 2 Dirección x= y=45°; y=45°; z=90° z=90° •
•
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14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.22: Dos fuerzas de la misma longitud P actúan sobre un cubo con aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsión equivalente y determine: a) la magnitud y dirección de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsión y c) el punto donde el eje de la llave de torsión interseca al plano yz. SOLUCIÓN: b. Paso de la llave de torsión: se define como la razón entre la componente paralela del momento M p y el modulo de la resultante resultante R:
•
p= Mp/R De la expresión para Mp: 2
2 R M R M P (e. M )e M 2 R R
•
La llave de torsión se puede hallar:
p •
•
Así que
M P R
R
R
M
R
R M
R
2
Mp = p.R
Tenemos entonces mas de un modo de obtener los resultados solicitados. Escojamos aquel que nos
14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.22: Dos fuerzas de la misma longitud P actúan sobre un cubo con aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsión equivalente y determine: a) la magnitud y dirección de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsión y c) el punto donde el eje de la llave de torsión interseca al plano yz. SOLUCIÓN:
R M
b. Paso de la llave de torsión: utilizaremos p
•
Y la componente paralela del momento
•
Mp = p.R
R
2
c. Eje de la llave de torsión: es la línea de acción de R, y su intersección con el plano yz. yz. Es el punto donde R y M se aplican, es decir el Torsor. Podemos seguir 2 opciones: rR=MN ; Donde MN = M - Mp Haciendo (como en el ej. Anterior), o Haciendo (Mp)+ (rR)=M , •
•
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14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.22: Dos fuerzas de la misma longitud P actúan sobre un cubo con aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsión equivalente y determine: a) la magnitud y dirección de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsión y c) el punto donde el eje de la llave de torsión interseca al plano yz. SOLUCIÓN: •
Haciendo (Mp)+ (rR)=M , probemos este último:
•
Sumando e Igualando las componentes componentes se tiene que:
y=a
y
z=a/2
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FIN DE LA CLASE 04: GRACIAS LINKS: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem01/lec01_2 _1.htm
PROXIMA CLASE: PRACTICA DE EJERCICIOS Nº6
[email protected] agregue la dirección ir a perfil skydrive estática o https://skydrive.live.c https://sky drive.live.com/?cid=6f268a om/?cid=6f268ac744853383#ci c744853383#cid=6F268AC744853383 d=6F268AC744853383&id= &id= 6F268AC744853383!741 Lic. Carlos E. Joo G.
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