Capítulo 3 Sistemas Equivalentes de Fuerzas

1

CAPÍTULO 3 SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS 3.1 INTRODUCCIÓN En Estática es común tratar con cuerpos o partículas sobre los cuales se encuentran aplicados un conjunto de fuerzas, al cual se le da el nombre de sistema de fuerzas. Por conveniencia es costumbre convertir los sistemas de fuerzas, en una sola fuerza o en sistemas más simplificados, denominados sistemas equivalentes, con la condición de que produzcan los mismos efectos que el sistema original. En la primera parte del capítulo anterior se trató acerca de reemplazar un sistema de fuerzas concurrentes, por una sola resultante cuya acción causada sobre una partícula sea la misma que la de las fuerzas en su conjunto. Dicha resultante es de hecho una fuerza equivalente y su efecto sobre la partícula, representado en movimiento de traslación, es el mismo que el de la suma de los efectos de traslación debidas a las fuerzas originales. El objetivo del presente capítulo es el de hallar sistemas equivalentes de fuerzas que actúan, no sobre una partícula sino en un cuerpo rígido, el cual por definición está compuesto por un sinnúmero de partículas separadas entre sí por distancias que permanecen fijas aún bajo la acción de fuerzas. El hecho de que en un cuerpo rígido ya no se encuentran las fuerzas aplicadas en un solo punto, como ocurre en el caso de una partícula, sino separadas a determinadas distancias, da lugar a que se produzcas efectos de rotación sobre el cuerpo debidos a los momentos de las fuerzas, además de las consecuentes acciones de traslación. Quiere decir que para el análisis de fuerzas equivalentes en un cuerpo rígido se deben tener en cuenta tanto los efectos de traslación como los de rotación, generados por los momentos de las fuerzas aplicadas. Por tal razón se estudiarán los temas de momento de una fuerza con respecto a un punto, con respecto a un eje y momento de un par, para los cuales es necesario abordar primero las nociones acerca de producto vectorial y producto escalar. Posteriormente se aprenderán las formas de conversión de una o varias fuerzas a un sistema equivalente fuerza-par. Se analizarán después los tipos de sistemas de fuerzas equivalentes, correspondientes a fuerzas en el plano, fuerzas paralelas en el espacio y en general, de sistemas de fuerzas en el espacio. Se estudiará también el denominado “principio de transmisibilidad” como una fuerza

equivalente y los efectos de los sistemas equivalentes sobre las fuerzas internas en un cuerpo rígido.

José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

2

3.2 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores posee las siguientes características:

y

está definido por un vector

, el cual

1. Su línea de acción es perpendicular al plano formado por 2. Su sentido está indicado por la regla de la mano derecha.

y

.

3. Su magnitud V es igual al producto de las magnitudes de del ángulo entre ellos, o sea:

y

por el seno

V = ABsenθ Siendo: A y B, las magnitudes de entre y . (Véase la Figura 3.1).

Figura 3.1 Producto vectorial de

y

(3.1) respectivamente y

= ángulo

por

El producto vectorial o producto cruz de y de y , así: = x

se designa por una cruz en medio (3.2)

Al momento de aplicar la regla de la mano derecha para efectuar el producto vectorial x y hallar el sentido de , es necesario poner inicialmente la mano derecha abierta con el dedo pulgar en dirección perpendicular al plano donde se encuentran y , colocando los cuatro dedos alineados con el vector de inicio y cerrar después la mano, describiendo con ellos el mismo movimiento de rotación que se obtiene al cerrar sobre , como se muestra en la Figura 3.2(a).


2

3.2 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores posee las siguientes características:

y

está definido por un vector

, el cual

1. Su línea de acción es perpendicular al plano formado por 2. Su sentido está indicado por la regla de la mano derecha.

y

.

3. Su magnitud V es igual al producto de las magnitudes de del ángulo entre ellos, o sea:

y

por el seno

V = ABsenθ Siendo: A y B, las magnitudes de entre y . (Véase la Figura 3.1).

Figura 3.1 Producto vectorial de

y

(3.1) respectivamente y

= ángulo

por

El producto vectorial o producto cruz de y de y , así: = x

se designa por una cruz en medio (3.2)

Al momento de aplicar la regla de la mano derecha para efectuar el producto vectorial x y hallar el sentido de , es necesario poner inicialmente la mano derecha abierta con el dedo pulgar en dirección perpendicular al plano donde se encuentran y , colocando los cuatro dedos alineados con el vector de inicio y cerrar después la mano, describiendo con ellos el mismo movimiento de rotación que se obtiene al cerrar sobre , como se muestra en la Figura 3.2(a).


3

Figura 3.2 Aplicación de la Regla de la Mano derecha Nótese que al efectuar el producto vectorial de x , como se indica en la Figura 3.2(b), resulta un vector en la misma dirección perpendicular al plano donde se encuentran y con la diferencia de que, al aplicar la regla de la mano derecha es necesario ubicar el pulgar hacia abajo, con el fin de alinear los cuatro dedos con el vector de inicio para describir al cerrar la mano, el mismo movimiento que ejerce al acercarse a , dando como resultado un vector – , de la misma magnitud y la misma dirección de de , aunque de sentido contrario.

x = –

O sea que:

(3.3)

3.3 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL Hemo Hemoss vist visto o que que mien mientr tras as que que el produ product cto o x = , el produc producto to x = – , lo que nos indica que el producto vectorial no cumple con la propiedad conmutativa. El producto vectorial sí cumple con la propiedad distributiva de la suma, por lo tanto, la siguiente ecuación es válida:

x(

1 +

2)

=

x

1 +

x

2

(3.4)


4

3.4 PRODUCTO VECTORIAL DE LOS VECTORES UNITARIOS Si asignamos los vectores unitarios i, i, j j y k a los ejes X, Y y Z respectivamente, el producto vectorial para cada par de ellos está dado por:

i x i = 0 j x i = – k i x j = k j x j = 0 i x k = – j j x k = i

k x i = j k x j = – I kxk= 0

(3.5)

Es de notar que el producto vectorial de los vectores iguales tales como: i xi, jxj y kxk es igual a cero puesto que la magnitud está dada por 1x1sen0º = 0. La Figura 3.3 muestra la la aplicación de de la regla de la la mano derecha derecha para los productos vectoriales entre los vectores unitarios.

Figura 3.3 Productos Vectoriales de los Vectores Unitarios

3.5 COMPONENTES RECTANGULARES DEL PRODUCTO VECTORIAL Si expresamos los vectores , y según los ejes X, Y y Z, tendremos:

en forma de componentes rectangulares

= Axi + Ay j + Azk = Bxi + By j + Bzk = Vxi + Vy j + Vzk


5 El produ product cto o vect vectori orial al

x

x

está está dado dado por: por: = (Axi + Ay j + Azk) x (Bxi + By j + Bzk)

(3.6)

= Axi x (Bxi + By j + Bzk) + Ay j x (Bxi + By j + Bzk) + Azk x (Bxi + By j + Bzk) = Axi x Bxi + Axi x By j + Axi x Bzk + Ay j x Bxi + Ay j x By j + Ay j x Bzk + Azk x Bxi + Azk x By j + Azk x Bzk = 0 + AxByk + AxBz( – j) + AyBx( –k) + 0 + A yBzi + AzBx j + AzBy( –i) + 0 = (AyBz – AzBy)i + (A zBx – AxBz) jj + (AxBy – AyBx)k Siendo:

=

x

(3.2) y por otro lado

Entonces:

= Vxi + Vy j + Vzk

Vx = AyBz – AzBy Vy = AzBx – AxBz Vz = AxBy – AyBx

(3.7) (3.8)

Y en forma de determinantes:

=

x

j k   i =  Ax Ay Az   Bx By Bz 

(3.9)

3.6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL Dado que el área de un paralelogramo formado con los vectores y como lados, es igual igual a la base A por por la altura: altura: Bsen , mostrado mostrado en la la Figura Figura 3.4(a) 3.4(a) o igual a la base B por la altura: altura: Asen Asen , como aparece aparece en la la Figura 3.4(b), 3.4(b), siendo A y B las respectivas magnitudes de los vectores y y el ángulo entre ellos, y puesto que la magnitud V del producto vectorial = es V = ABsen , x es entonces dicha magnitud representa el área del paralelogramo, o sea: V = A(B A(Bsen sen )

o

V = B(As B(Asen en )

(3.1 (3.10) 0)

Siendo: Siendo: Bsen Bsen

= altura altura = distancia distancia perpendicular perpendicular desde el extremo extremo del vector hasta la línea de acción del vector .

Asen

= altura = distancia perpendicular desde el extremo del vector hasta la línea de acción del vector .


6

Figura 3.4 Interpretación Geométrica del Producto Vectorial

3.6.1. PROBLEMA EJEMPLO 3.1 En relación con el cuerpo mostrado en la Figura 3.5, hallar a) el área del paralelogramo formado con los vectores y como lados y b) la distancia perpendicular BD desde el punto B hasta la línea de acción del vector .

Solución Los vectores

y

con sus respectivas magnitudes, están dados por:

= 10i + 4 j – 16k

AC =

= 8 j – 16k

Figura 3.5 Producto vectorial

AB =

10

2

 4  16 = 19.28 cm 2

2

8

2

 16 = 17.88 cm 2

x


7 El vector

como resultado del producto

=

x

i = 10  0

j 4 8

x

nos dará:

 16 = 64i + 160 j + 80k 16 k

El área del paralelogramo formado por los vectores la magnitud V del vector , así: Área del paralelogramo = V =

2

64

y

como lados es igual a

 160  80 = 189.98 cm 2 2

2

Por lo tanto, la distancia BD desde el punto B hasta la línea de acción del vector , está dado por: BD = V/AC = 189.98cm 2/19.28cm = 9.85cm

3.7 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO Consideremos una fuerza que actúa en el punto A de un cuerpo rígido y sea O un punto de referencia en el cuerpo (véase la Figura 3.6). Para definir la posición del punto A trazamos el vector desde el punto O hasta el punto A, denominado vector de posición de A con respecto a O.

Figura 3.6 Momento de una Fuerza con respecto a un Punto O.


8 La fuerza aplicada en el punto A tiende a producir un movimiento de rotación del cuerpo alrededor del eje EE’, el cual pasa por O y es perpendicular al plano donde se encuentran y . Tal efecto lo representamos mediante el vector , denominado momento de la fuerza con respecto al punto O, cuya dirección coincide con el eje EE’ de rotación del cuerpo. Por las anteriores razones, el momento de la fuerza respecto al punto O, se define como el producto vectorial de

aplicada en A, con y , así: (3.11)

Resultando de acuerdo a la definición, un vector cuya dirección es perpendicular al plano donde se encuentran y , de sentido tal que cumple con la regla de la mano derecha y su magnitud está dada por: Mo = rFsen

= Fd

(3.12)

Siendo: d = rsen = distancia perpendicular desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza , como se muestra en la Figura 3.7.

Figura 3.7 Plano de Acción de la Fuerza

.


9 El plano formado por los vectores y , el cual como ya hemos visto, es perpendicular al vector del momento , se denomina plano de acción de la fuerza y se puede definir como aquel que existe entre la línea de acción de y el punto O, donde corta al eje de giro del cuerpo EE’ o línea de acción del momento , siendo perpendiculares entre sí, como se aprecia en la Figura 3.7.

3.8 CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE UNA FUERZA Las fuerzas son cantidades vectoriales y como tal poseen punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido. En razón de la aplicación de fuerzas en puntos determinados de un cuerpo rígido surgen otras cantidades, dependientes de las fuerzas, las cuales por sus características es necesario expresarlas también como vectores, siendo por lo tanto cantidades vectoriales. Tal es el caso del efecto que produce una fuerza , al ser aplicada a una distancia determinada de un punto O de un cuerpo rígido, conocido como momento de una fuerza con respecto a un punto, el cual se designa por el vector .

Figura 3.8 Dispositivo Manivela Cilindro Consideremos una fuerza una fuerza aplicada a una distancia d de un punto O, cuya acción hace girar un eje EE’ lo cual es utilizado para levantar un peso mediante una cuerda enrollada a un cilindro, como se indica en la Figura 3.8. Si al aplicar la fuerza aumentamos la distancia d, desde d1 hasta d2, notaremos que el peso que puede levantar es cada vez mayor en la medida en que se


10 aumente la distancia d que separa la fuerza del punto O. Esa característica la podemos expresar como el producto de la distancia d por la magnitud F de la fuerza , la cual designaremos por la cantidad escalar M = Fd, siendo M la magnitud del momento . Debido a que dicho efecto, se trasmite hacia el cilindro a través del eje EE’, podemos afirmar entonces, que la dirección del momento , se encuentra definida por la dirección del eje EE’. Ya hemos definido la magnitud y dirección del momento , sólo nos hace falta determinar el sentido, para completar las características correspondientes a una cantidad vectorial. Para tal fin utilizaremos la regla de la mano derecha, la cual es tomada como referencia para definir el sentido de un vector, que represente el movimiento de giro de un eje. Para aplicarla a nuestro caso, colocamos inicialmente la mano derecha abierta de tal manera que el dedo pulgar quede alineado con el eje EE’ y además, que el movimiento de giro del eje se describa al cerrar los cuatro dedos restantes, tal como se muestra en la Figura 3.9, entonces dicho pulgar estará indicando el sentido del vector que representa dicho movimiento

Figura 3.9 Aplicación de la Regla de la Mano Derecha Otro ejemplo de las características del momento , es el obtenido al aplicar una fuerza en una llave a una distancia d de un punto O, cuyo efecto es utilizado para hacer girar un tornillo alrededor un eje EE’, como aprecia la Figura 3.10, con el fin de apretarlo dentro de una pieza con roscado interno. Observamos que la acción de apriete causada por la fuerza es tal, que al aumentar d, desde d1 hasta d2, el efecto también aumenta, siendo por tanto directamente proporcional a la distancia d, lo cual expresaremos mediante la magnitud M = Fd, correspondiente al momento . José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

11

Figura 3.10 Conjunto Llave Tornillo La dirección del vector queda determinada por el eje de giro EE’ del tornillo y el sentido lo hallaremos al aplicar la regla de la mano derecha, como se ilustra en la Figura 3.10.

Figura 3.11 Sentidos de Giros Opuestos para una misma Fuerza Podemos relacionar el sentido de una fuerza con el sentido de giro impulsado a un eje debido al momento causado, tal como se indica en la Figura 3.11. Nótese que aunque se trata de una sola fuerza en un sentido determinado, se podrán generar dos sentidos de giros diferentes, de acuerdo a que el punto O,


12 perteneciente al plano de acción de dicha fuerza, se encuentre a un lado o al otro de la línea de acción de la fuerza . Debido a que los sentidos de giros son opuestos los vectores que los representan yson paralelos aunque de sentidos contrarios, como se ilustra en la Figura 3.11, al aplicar la regla de la mano derecha para cada caso. Siendo la distancia d la misma para ambos entonces las magnitudes de los momentos y, serán iguales.

3.9 COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA Consideremos una fuerza de componentes Fx, Fy y Fz aplicada en el punto A cuyo vector de posición , con respecto al origen O, tiene de componentes X, Y y Z, tal como se indica en la Figura 3.12. Si expresamos los vectores anteriores, tendremos: = Xi + Y j + Zk

(3.13)

= Fxi + Fy j + Fzk

(3.14)

Figura 3.12 Momento de las Componentes de una Fuerza Al definir

en forma de componentes rectangulares, nos da: = Mxi + My j + Mzk

(3.15)

Tomando la expresión (3.12) y reemplazando valores, resulta: =

x = (Xi + Y j + Zk) x (Fxi + Fy j + Fzk) José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

13

x

Siguiendo el procedimiento para el producto vectorial de expresión (3.6), concluiremos que: =

x = (YFz – ZFy)i + (ZFx – XFz) j + (XFy

–

mostrado en la

YFx)k

(3.16)

Figura 3.13 Componentes Rectangulares del Momento de una Fuerza Al comparar las relaciones (3.15) y (3.16), las componentes rectangulares según los X, Y y Z del momento , de una fuerza con respecto al origen O se pueden expresar como: Mx = YFz – ZFy My = ZFx – XFz (3.17) Mz = XFy – YFx


14 Cada una de las componentes anteriores se puede visualizar en la Figura 3.13. Y en forma de determinantes: j k   i x =  X Y Z   Fx Fy Fz 

=

(3.18)

3.9.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.2 Una fuerza de magnitud 150 N pasa por los puntos A y B como se indica en la Figura 3.14. Calcular el momento de la fuerza con respecto al punto O: a) tomando como el vector de posición del punto A, b) tomando como el vector de posición del punto B, c) dibujar el plano de acción de la fuerza y el vector del momento , d) hallar la distancia perpendicular desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza .

Figura 3.14 Cálculo del momento de una fuerza con respecto a un punto

Solución (a) El vector de posición del punto A está dado por: A = 6i + 6k y la magnitud de la fuerza es F = 150N, por lo tanto el vector lo expresaremos en términos del vector unitario AB, teniendo en cuenta los puntos A y B por donde pasa, así: AB =

4i  8 j 4

=

ABF

2

 6k

8 6 2

2

= 0.371 i + 0.742 j - 0.577k

= (0.371i + 0.742 j + 0.577k)x150 = 55.71i + 111.42 j – 83.56k [N] José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

15 Al reemplazar valores utilizando la ecuación (3.11), obtenemos:

=

Ax

 i =  6 55.71

j 0 111.42

  = - 668.52i +835.62 j + 668.52k [Nm] 6  83.56 k

Solución (b) El vector de posición correspondiente al punto B es: B = 10i + 8 j, por lo tanto al reemplazar valores en la ecuación de momento , nos da:

=

Bx

 i =  10 55.71

j 8 111.42

  = - 668.48i + 835.60 j + 668.52k [Nm] 0  83.56 k

Nótese que el momento es igual si se toma como vector de posición A o B, o en términos generales, puede ser el cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de la fuerza , dándole a la propiedad de ser un vector deslizante.

Solución (c) El plano de acción de la fuerza comprende el plano definido por el punto O y la línea de acción de la fuerza, siendo perpendicular a dicho plano. En la Figura 3.15 se muestra el vector y el plano definido por los vectores A, B y .

Figura 3.15 Plano de acción del momento Mo José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

16 Se puede comparar el sentido indicado por el vector del momento en la Figura 3.15 con el sentido que tiene cada una de las componentes obtenidas: negativa en el eje X, positiva en el eje Y y positiva en el eje Z.

Solución (d) La distancia d requerida se encuentra mediante la ecuación (3.12), así: Mo = rFsen = Fd Debido a que:

= - 668.48i + 835.60 j + 668.52k

Entonces: Mo =

668.48

2

 835.60 2  668.52 2 = 1261.74

O sea que: d = Mo/F = 1261.74/150 = 8.41m

3.10 PRINCIPIO DE LOS MOMENTOS O TEOREMA DE VARIGNON Consideremos una fuerza y sean 1 y 2 sus componentes, o sea que: = 1 + 2, como se ilustra en la Figura 3.16, y sea el vector de posición del punto de aplicación A de la fuerza, con respecto a un punto de referencia O. El Principio de los Momentos o también denominado Teorema de Varignon, establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de las componentes con respecto al punto. De tal manera que en forma vectorial lo podemos expresar como: =

x

=

x(

1 +

2)

=

x

1 +

x

2

(3.19)

Figura 3.16 Principio de los Momentos


17 El principio de los momentos queda demostrado a partir de la propiedad distributiva de la suma del producto vectorial, enunciada mediante la relación (3.4) y es útil para hallar el momento de una fuerza cuando resulte más fácil definir el momento de cada una de las componentes y sumarlas, como veremos a continuación en el Problema Ejemplo 3.3.

3.10.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.3 El mástil OA de altura 8m es sometido a una fuerza de 100N aplicada en un punto B mediante una cuerda BC, la cual forma un ángulo de 55º con la horizontal, como se indica en la Figura 3.17. Hallar el momento de la fuerza con respecto al punto O.

Figura 3.17 Aplicación del Principio de los Momentos

Solución 1: Análisis Vectorial De acuerdo a la Figura 3.17, la fuerza

se puede expresar como:

= 100cos55ºi - 100sen55º j = 57.35i – 81.91 j [N] Hemos visto en el ejemplo anterior, que para calcular el momento de una fuerza con respecto a un punto O, utilizamos la relación: = x , en donde corresponde al vector posición con respecto a O, de un punto cualquiera que se José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

18 encuentre sobre la línea de acción de la fuerza , lo cual quiere decir para nuestro caso que puede ser OB o OC, escogemos entonces el punto B por tener coordenadas conocidas, por lo tanto = 0.3i + 8 j [m] y al reemplazar nos da:

=

x

j k   i  = - 483.37k [Nm] 8 0 =  0.3  57.35 81.91 0 

Solución 2: Análisis Escalar Para el análisis escalar podemos tomar sumatoria de momentos de las componentes con respecto al punto O, escogiendo bien sea el punto B o el punto C, convenientemente el punto C porque su componente 100cos55º pasa por el punto O y por tanto su momento es igual a cero, o sea que:

Mo

+ = - 100cos55ºx0 – 100sen55ºx(0.3 + b)

Siendo b = 8m/tg55º = 5.6m, al reemplazar tenemos:

Mo

+ = 0 – 100sen55ºx(0.3 + 5.6) = - 483.3 [Nm]

Obteniéndose el mismo resultado de manera más sencilla y fácil mediante la solución escalar sumando los momentos de las componentes.

3.11 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores y se define como el producto de las magnitudes de y por el coseno del ángulo θ que existe entre ellos. Véase la Figura 14. El producto escalar, denominado también producto punto, se designa por y se expresa así: = ABcosθ

Figura 3.18 Producto Escalar de los Vectores

(3.20)

y


19 Nótese de acuerdo a la definición que el resultado del producto escalar, como su nombre lo indica, es un escalar y no un vector.

3.12 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR Teniendo en cuenta la definición podemos concluir que = = ABcosθ, o sea que el producto escalar sí cumple con la propiedad conmutativa. Asimismo se puede demostrar que: , por lo tanto el producto escalar también cumple con la propiedad distributiva.

3.13 PRODUCTO ESCALAR DE LOS VECTORES UNITARIOS Si establecemos los vectores unitarios i, j y k según los ejes X, Y y Z, respectivamente, el producto escalar de cada dos de ellos está dado por:

3.14 PRODUCTO ESCALAR EN FORMA DE COMPONENTES Si expresamos los vectores y en función de sus componentes rectangulares según los ejes X, Y y Z, tendremos: = Axi + Ay j + Azk = Bxi + By j + Bzk Por lo tanto el producto vectorial

x

está dado por:

= (Axi + Ay j + Azk) (Bxi + By j + Bzk) = Axi (Bxi + By j + Bzk) + Ay j (Bxi + By j + Bzk) + Azk (Bxi + By j + Bzk) = Axi Bxi + Axi By j + Axi Bzk + Ay j Bxi + Ay j By j + Ay j Bzk + Azk Bxi + Azk By j + Azk Bzk = AxBx + 0 + 0 + 0 + AyBy + 0 + 0 + 0 + AzBz Entonces:

= AxBx + AyBy + AzBz

(3.21)


20

3.15 APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR El producto escalar en Mecánica tiene dos importantes aplicaciones: 1. Determinar el ángulo entre dos vectores : dados los vectores y , el ángulo θ existente entre ellos se puede encontrar mediante la definición del producto escalar así: = ABcosθ

)/AB, o sea que θ = cos-1 (

Siendo cosθ = (

)/AB

2. Hallar el valor de la proyección de un vector sobre otro : dados los vectores y , podemos encontrar el valor que proyecta sobre , denominado también componente escalar de en la dirección de , el cual es igual a Bcos θ, como se aprecia en la Figura 3.19.

Figura 3.19 Proyección del vector

sobre

De acuerdo a la definición de producto escalar, tenemos:

 

Por lo tanto: Siendo:

A

= 





= ABcosθ

A

(3.22)

      

3.15.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.4 y

Hallar el ángulo θ entre los vectores

correspondientes a las aristas de la

pirámide mostrada en la Figura 3.20.

Solución Expresamos los vectores así:

y

en términos de los vectores unitarios i, j y k,


21 = 6i – 10 j + 8k y O sea que:

= 6i – 10 j

= (6)(6) + (-10)(-10) = 136

Figura 3.20 Angulo entre los vectores

y

Por otro lado: AC =         y AD =       cosθ = ( De donde:

)/(AC)(AD) = 136/(14.14)(11.66) = 0.824 θ = cos -1 (0.824) = 34.5º

3.16 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE DADO Hemos visto que cuando se aplica una fuerza a un punto A de un cuerpo rígido, esta tiende a producir una rotación del cuerpo alrededor de un eje EE’, el cual es perpendicular al plano formado por la fuerza y el vector , definido como el vector de posición del punto A con respecto al punto O. Dicho efecto lo representamos por el vector , cuya dirección es la misma que la del eje de giro EE’, como se ilustra en la Figura 3.21. Cuando la dirección del eje de rotación natural BB’ del cuerpo, no coincide con el eje de rotación EE’ causado por el momento , como se ilustra en la Figura 3.21, entonces es necesario saber cuánta rotación produce la fuerza alrededor del eje BB’ del cuerpo. Se plantea así la situación de hallar el momento de una fuerza con respecto a un eje dado BB’ o sea el valor de la componente de en la dirección del eje de giro BB’ del cuerpo. Recordemos de la ecuación (3.22) que


22 dicha magnitud se encuentra mediante el producto escalar de un vector unitario BB’ en el dirección del eje BB’ por el vector del momento , así: (3.23)

Figura 3.21 Momento de una Fuerza con respecto a un Eje.

3.16.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.5 Una fuerza de magnitud 180N cuya línea de acción pasa por los puntos C y D, es aplicada al punto D de coordenadas (8, 14, 7) m perteneciente a una rueda que puede girar alrededor de un eje AB como se muestra en la Figura 3.22. Determinar el momento de la fuerza con respecto al eje AB.

Solución Para determinar el momento de una fuerza con respecto a un eje AB, un procedimiento de cálculo en forma general, consiste en definir primero el momento de la fuerza con respecto a un punto cualquiera A o B del eje y aplicar después la ecuación (3.23), así: M AB =

AB

A =

AB

B

(3.24)

Sabemos que para determinar el momento de una fuerza con respecto a un punto A o B, podemos utilizar la fórmula (3.11), así: José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

23 A =

AD

x

(3.25) y

B=

BD

x

(3.26)

Para calcular A y B hallamos primeramente las coordenadas de los puntos A y B de acuerdo a la Figura 3.22, así: A(0, 12, 4) y B(16, 0, 10), además las coordenadas del punto D están dadas como D(8, 14, 7) por lo tanto: AD

= 8i + 2 j + 3k

BD

= - 8i + 14 j - 3k

Figura 3.22 Rueda que gira alrededor del Eje AB Obtendremos el vector a partir de su magnitud 180N y su vector unitario así: = Por otro lado: 18.

CD

=

O sea que: Al reemplazar en (3.28):

/CD, siendo CD =

CD(180N)

CD,

(3.28)

= - 8i – 14 j + 8k y CD =       =

(- 8i – 14 j + 8k)/18

= (- 8i – 14 j + 8k)(180N)/18 = - 80i – 140 j + 80k [N]

Por otro lado al aplicar (3.25) y (3.26), tenemos: José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

24

A =

B =

AD

BD

j  i 2 =  8  80 140

x

k 

 = 580i – 880j – 960k [Nm]  80  3

j k   i =  8 14 3 = 700i + 880j + 2240k [Nm]  80 140 80 

x

Ahora, teniendo las coordenadas de los puntos A y B hallamos: siendo = 16i – 12 j + 6k y AB =      = 20.88. Resultando:

AB =

AB

=

/AB,

(16i – 12 j + 6k)/20.88 = 0766 i – 0.574 j + 0.287k.

Entonces, al reemplazar en la ecuación (3.24), tenemos: M AB =

M AB =

(0766i – 0.574 j + 0.287k) (580i – 880j – 960k) = (0.766)(580) + (- 0.574)(- 880) + (0.287)(- 960) = 444.28 + 505.12 – 275.52 [Nm] = 673.88 [Nm] AB

A =

(0766i – 0.574 j + 0.287k) (700i + 880j + 2240k) = (0.766)(700) + (- 0.574)(880) + (0.287)(2240) = 536.2 - 505.12 + 642.88 [Nm] = 673.96 [Nm]

AB

B=

Debido a que el resultado es el mismo, podemos concluir que se puede obtener el momento con respecto al eje AB, al aplicar momento con respecto al punto A o con respecto al punto B o, en general, con respecto a cualquier punto localizado sobre la línea de acción del eje AB.

3.17 MOMENTO DE UN PAR Un par está formado por dos fuerzas y – de igual magnitud y de sentidos opuestos, cuyas líneas de acción son paralelas y separadas una distancia perpendicular determinada d, como se ilustra en la Figura 3.23. Por su naturaleza el par no ocasiona ninguna acción de traslación en el cuerpo sobre el cual actúa debido a que la suma de las fuerzas con respecto a cualquier punto es igual a cero. Aunque sí produce un efecto de rotación, ya que si llevamos a cabo la sumatoria de momentos con respecto a un punto determinado, obtendremos un par resultante representado por un vector , denominado momento del par


25

Figura 3.23 Par de Fuerzas El momento del par se halla al realizar la sumatoria de momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto O, de acuerdo a la Figura 3.24(a), así: : Siendo:

A

=

x

+

B x (-

)=

A -

B =

vector que va desde el punto B hasta el punto A

A

x

-

Bx

=(

A -

B) x

O sea que el momento del par está definido por un vector vectorial de por , así: = x

=

x

igual al producto (3.29)

Figura 3.24 Suma de Momentos del Par


26 Si llevamos a cabo nuevamente la suma de momentos del par con respecto a un punto de referencia O’ diferente de O, tal como se muestra en la Figura 3.24(b), tendremos el siguiente resultado: ’:

Siendo:

’A

=

x

’A -

+

’B x (-

)=

’A

x

-

’B x

=(

’A -

’B) x

=

x

’B = vector que va desde el punto B hasta el punto A

Por lo tanto:

=

x

(3.30)

Comparando las relaciones (3.29) y (3.30) notamos que el resultado es el mismo independientemente del punto de referencia escogido, por lo tanto el momento del par, se puede considerar aplicado en el punto O, o en el punto O’ o en cualquier otro punto de forma indiferente, sin afectar el efecto en el cuerpo sobre el cual actúa, lo cual quiere decir que es un vector libre. Por otro lado y de acuerdo a la definición del momento del par, su magnitud se puede expresar así: M = rFsen = Fd (3.31) Siendo d = distancia perpendicular que existe entre las líneas de acción de las Fuerzas y – . Véase la Figura 3.25. Además, el momento del par es un vector que actúa en la dirección perpendicular al plano donde se encuentran y - y su sentido es tal que cumple con la regla de la mano derecha, como se ilustra en la Figura 3.25.

Figura 3.25 Momento de un Par


27

3.18 SUMA DE PARES Puesto que los pares pueden ser representados por un vector correspondiente al momento del par, el cual como ya sabemos, es perpendicular al plano donde se encuentran las fuerzas y - y de sentido tal que cumple con la regla de la mano derecha y debido también a que dicho momento es un vector libre, entonces, los pares de fuerzas tienen la propiedad de poder ser sumados, para hallar un par resultante o equivalente a dos o más pares aplicados a un cuerpo, el cual produce el mismo el efecto de rotación que los pares aplicados en su conjunto. Lo anterior se logra al sumar los momentos que representan cada par, para obtener un momento resultante R, así: R =

1 +

2

(3.32)

Siendo: 1= par entre 1 y – 1 y 2 = par entre 2 y – 2. Una vez obtenido el momento resultante R se calculan dos fuerzas y – en un plano perpendicular a R, separadas una distancia d = M R/F, siendo M R = magnitud de R y F = magnitud de . Tal procedimiento se ilustra en la Figura 3.26.

Figura 3.26 Suma de Pares

3.18.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.6 En relación con los dos pares aplicados al sólido de la Figura 3.27. Hallar el par equivalente a los dos pares dados


28

Figura 3.27 Par Equivalente a dos Pares dados.

Solución Designamos los momentos de los pares así: 1 = momento del par de 48N

Siendo:

1 =

10 j y

1 = 48k por lo tanto al reemplazar, nos da:

i 0 1X 1 =  0

1 =

2 =

- 12k y

2 = momento del par de 200N

2 =

k 

j

 = 480i [Nm]  48 

10

0

0

2F2, siendo F2 = 200N y

2 =

8i  6 j 8

O sea que:

2

6

2

= - 0.8 i + 0.6 j

2 = (- 0.8i + 0.6 j)x200N = - 160i + 120 j [Nm], por lo tanto: 2 =

2X

2 =

 i  0   160

j 0 120

 12  = 1440i + 1920 j[Nm] 0   k

O sea que el momento resultante o momento del par equivalente está dado por: R =

1 +

2 = 1920i + 1920 j

y

MR = 2715.29

El ángulo α correspondiente al momento resultante

R, según se muestra en la

Figura 3.28, se calcula así: tgα = 1920/1920 = 1, α = 45º y 90º - α = 45º

La distancia d =

2

10

 102 = 14.14m, siendo F = M R/d = 192N.


29

Figura 3.28 Momento Resultante y Par Equivalente

3.19 PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD El principio de transmisibilidad establece que el estado de equilibrio de un cuerpo rígido no es alterado si una fuerza aplicada en un punto A es reemplazada por otra fuerza ’ aplicada en otro punto B, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción, la misma magnitud y el mismo sentido. Se dice entonces que y ’ son equivalentes debido a que producen el mismo efecto sobre el cuerpo. Véase la Figura 3.29.

Figura 3.29 Principio de Transmisibilidad


30

3.20 SISTEMA FUERZA PAR EQUIVALENTE Una fuerza aplicada en un punto A de un cuerpo rígido se puede convertir en un sistema equivalente fuerza par en un punto O determinado, si se reemplaza por una fuerza igual y un par de momento dado por el momento de la fuerza con respecto al punto O, tal como lo indican las Figuras 3.30(a) y 3.30(c). Consideremos una fuerza aplicada en el punto A de un cuerpo rígido y sea el vector de posición del punto A respecto de un punto O, como muestra en la Figura 3.30(a). Para no alterar el efecto de la fuerza sobre el cuerpo colocamos en el punto O dos fuerzas y – de la misma magnitud, en la misma línea de acción y de sentidos contrarios, como lo indica la Figura 3.30(b). La fuerza original aplicada en el punto A y la fuerza – forman un par de momento = x , el cual se puede colocar en cualquier punto por ser un vector libre, aunque para nuestro análisis lo ubicaremos en el punto O y al conjunto se le denomina sistema fuerza-par , en el punto O. Véase la Figura 3.30(c).

Figura 3.30 Conversión de una Fuerza en una Fuerza y un Par Entonces, se dice que el efecto de la fuerza actuando en el punto A se ha convertido en un sistema fuerza par aplicado en el punto O, o sea que las dos situaciones mostradas en las Figuras 3.30(a) y 3.30(c) son equivalentes. Nótese que debido a que = x , siendo por definición, perpendicular al plano


31 donde se encuentran y , entonces el momento del par y la fuerza perpendiculares entre sí, lo cual se muestra en la Figura 3.30(c).

son

El proceso inverso del anterior consiste en pasar de la situación mostrada en la Figura 3.30(c) a la mostrada en la Figura 3.30(a), o sea convertir un sistema fuerza par aplicados en un punto O determinado, dados por y perpendiculares entre sí, en una fuerza única equivalente lo cual se logra al trasladar a en un plano perpendicular a hasta que su momento con respecto al punto O sea igual al momento . Teniendo en cuenta además, el principio de transmisibilidad contemplado en la sección anterior, podemos afirmar que, mientras que el efecto producido por una fuerza sobre un cuerpo a lo largo de su línea de acción es simplemente el de una traslación y debido a que la acción causada por un par es el de una rotación, entonces el efecto generado por una fuerza con respecto a un punto O de un cuerpo, localizado a un lado de su línea de acción, es el de una traslación combinada con una rotación, como lo indica el sistema fuerza par en el cual queda convertido la fuerza al ser trasladada al punto O. Para ilustrar la situación en el plano analicemos, por ejemplo, el caso de una viga AB de longitud L, empotrada en el extremo A, a la cual se le aplica una fuerza en el extremo B, como se indica en la Figura 3.31(a).

Figura 3.31 Traslado de una fuerza

en una Viga

Una vez aplicada la fuerza en el punto B aparecen en el punto A dos reacciones compensatorias: una fuerza – para contrarrestar el efecto de traslación de y un momento de – para compensar el efecto de rotación


32 causado por el par formado por – Figura 3.31(a).

y

de sentido contrario, como lo muestra la

La existencia de las reacciones – y – en el punto A están indicando la presencia de la fuerza y el momento , causados por la fuerza con respecto al punto A, tal como se aprecia en la Figura 3.31(b), lo cual muestra la conversión de la fuerza aplicada en B en un sistema fuerza-par equivalente en el punto A. Se puede afirmar que las dos situaciones mostradas en las Figuras 3.31(a) y 3.31(b) son equivalentes, o sea que producen el mismo efecto sobre el cuerpo: el mismo efecto de traslación y el mismo efecto de rotación .

3.20.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.7 Convertir la fuerza de magnitud 100N cuya línea de acción pasa por los puntos A y D, del paralelepípedo mostrado en la Figura 3.32(a), en un sistema fuerza par en el punto B.

Figura 3.32 Sistema Equivalente Fuerza Par en B..


33

Solución Como se trata de reemplazar la fuerza aplicada en el punto A por un sistema fuerza par que actúe en el punto B, utilizaremos para trasladar a un vector de posición BA, el cual va desde el punto final B hacia el punto inicial A, o sea emplearemos: BA = 12i, como se muestra en la Figura 3.32(b). Por otro lado,

= ADF, siendo F = 100N y AD =

6 j  8k 6

Siendo:

2

8

2

= 0.6 j – 0.8k

= 60 j – 80k

Al seguir los pasos para trasladar la fuerza desde el punto A hasta el punto B y con el fin de no alterar el efecto sobre el cuerpo, hemos colocado dos fuerzas y – en el punto B, como se ilustra en Figura 3.32(b). Con la fuerza aplicada en = BAX , el cual A y la fuerza – aplicada en B se forma un par de momento es perpendicular al plano donde se encuentran AB y y está dado por:

=

BA x

=

i 12   0

j 0 60

  = 960 j + 720k 0  80 k

El momento del par es un vector libre que se puede colocar en cualquier punto sin alterar el efecto sobre el cuerpo aunque por conveniencia lo ubicaremos en el punto B junto con , tal como se indica en la Figura 3.32(c). De tal manera que en el punto B tendremos un sistema fuerza-par, formado por una fuerza y un par de momento , los cuales son respectivamente perpendiculares. Nótese que el momento del par se encuentra en el plano YZ, con componentes positiva en Y y en Z, correspondiente con el hecho de ser perpendicular al plano ABCD del paralelepípedo de la Figura 3.32, el cual es el mismo plano donde están ubicados los vectores BA y .

3.21 SISTEMA FUERZA PAR EQUIVALENTE DE VARIAS FUERZAS Si tenemos varias fuerzas 1, 2 y 3 aplicadas respectivamente en los puntos A1, A2 y A3 de un cuerpo rígido, como se indica en la Figura 3.33(a), se pueden reemplazar por un sistema equivalente fuerza par en un punto determinado O, si se convierte cada una de ellas en un sistema fuerza par, para lo cual obtendremos en el punto O las fuerzas 1, 2 y 3 además de los momentos correspondientes dados por: 1 = 1 x 1, 2 = 2 x 2 y 3 = 3 x 3, tal como lo muestra la


34 Figura 3.33(b), siendo: puntos A1, A2 y A3.

1, 2 y 3 los vectores de posición respectivos de los

Debido a que las fuerzas se encuentran ahora, aplicadas a un mismo punto se pueden sumar para hallar una fuerza resultante, así: =

1 +

2 + 3

(3.33)

2 +

(3.34)

Los momentos también se pueden sumar: R =

1 +

3

Figura 3.33 Conversión de Varias Fuerzas a una Fuerza y un Par


35 Resultando en el punto O (véase la Figura 3.33(c)), un sistema equivalente fuerzapar dado por un fuerza y un par de momento R, el cual produce el mismo efecto de rotación y de traslación que las fuerzas 1, 2 y 3 aplicadas en sus respectivos puntos. Se debe tener en cuenta que mientras que los momentos 1, 2 y 3 son perpendiculares a sus respectivas fuerzas 1, 2 y 3, como se aprecia en la Figura 3.33(b), en general, el momento resultante R no es perpendicular a la fuerza resultante .

3.21.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.8 El cuerpo de la Figura 3.34 está sometido a un sistema de fuerzas compuesto por dos fuerzas y dos pares como se indica. Reducir a un sistema equivalente fuerzapar aplicado en el punto B.

Figura 3.34 Reducción de Fuerzas y Pares

Solución Designamos los momentos de los pares y los calculamos así: p1 = momento del par de 50N, siendo: p1 =

1x

p1 =

i 0   0

p2 = momento del par de 200N, siendo: 2 =

8i  6 j 8

2

6

2

1 =

10 j y

j

k 

p1 = 50k

0

 = 500i [Nm]  50  

2 =

- 12k y

10

0

= - 0.8i + 0.6j, si Fp2 = 200N entonces:

p2 =

2F2

p2 = - 160i + 120 j


36

p2 =

2x

p2 =

 i  0   160

 12 = 1440i + 1920 j [Nm] 0  

j

k

0 120

Designamos los momentos de las fuerzas al ser trasladadas al punto B, así: 1 = momento de la fuerza de 150N,

1 =

BD =

 i  BDx 1 = 14   0

2 = momento de la fuerza de 220N,

10

 = - 1200i - 2100k  0  8

150

BC =

1 = 150 j

k 

j

i  BCx 2 = 4   0

2 =

-14i + 10 j + 8k y

- 4i + 12k y j 0 0

2 = 220k

  = 880 j 12  220  k

El momento resultante R en el punto B está dado por la suma de los momentos de los pares y los momentos de las fuerzas, así:: R=

p1 +

p2 +

1+

2 = 500i + 1440i + 1920 j - 1200i - 2100k + 880 j

= 740i + 2800 j – 2100k Y la fuerza resultante es igual a la suma de todas las fuerzas: =

1 +

2 = 150 j + 220k

El sistema fuerza par en el punto B está dado por la fuerza resultante momento resultante R.

y el

3.22 SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS Por conveniencia los sistemas de fuerzas en general son reducidos a sistemas equivalentes simplificados con el fin de poder analizar de forma sencilla las condiciones de equilibrio de cualquier cuerpo rígido. Teniendo en cuenta las posibilidades de convertir un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido en un sistema equivalente abreviado, se pueden estudiar las siguientes formas de conversión: 1. Sistema de Fuerzas Coplanario, el cual se puede reducir a una fuerza única equivalente. 2. Sistema de Fuerzas Paralelas, en el plano o en el espacio, el cual se puede convertir también en una fuerza única equivalente.


37 3. Sistema de Fuerzas en el Espacio, el cual para ser reducido es necesario convertirlo en una fuerza y un par que actúan en la misma dirección, denominado torsor .

3.22.1 CASO 1: REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARIO EN UNA FUERZA ÚNICA EQUIVALENTE Sean 1, 2 y 3 un sistema de fuerzas en el plano XY y sean 1, 2, 3 y los correspondientes vectores de posición de los puntos de aplicación respectivos A, B y C como se indica en la Figura 3.35(a).

Figura 3.35 Sistema Equivalente de Fuerzas en el Plano Al convertir el sistema de fuerzas en un sistema fuerza par en el punto O, como se ilustra en la Figura 3.35(b), obtenemos una fuerza resultante en el plano XY y un momento resultante R en el eje Z, por lo tanto son respectivamente perpendiculares y pueden ser convertidos en una sola fuerza equivalente , lo cual se consigue al mover a de tal manera que produzca un momento dado por definimos un punto D donde su línea de acción R’ igual a R. Si al trasladar a corta al eje X, como se aprecia en la Figura 3.35(c), siendo = Xi, entonces X corresponde a la distancia OD de intercepción sobre el eje X el cual se obtiene al igualar R y R’, así: R = Mzk y

Igualando:

Ry

R’ = XRyk

R’, entonces: XRy = Mz, o sea X = Mz/Ry


38

3.22.1.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.9 Para la armadura y cargas mostradas en la Figura 3.36, encuentre: a) un sistema fuerza-par equivalente en el punto A y b) una fuerza única equivalente y la intersección de su línea de acción con el eje X.

Figura 3.36 Cargas sobre una Armadura

Solución (a) Designamos los momentos de los pares, así: p = 600k Designamos los momentos de las fuerzas al ser trasladadas al punto A así: 1 = momento de la fuerza de 100N, siendo: 1 =

AFx

1,

o sea que:

2 = momento de la fuerza de 200N, siendo: 2 =

ADx

AF =

3 = momento de la fuerza de 500N,

AE =

1 = - 100 j

1 = - 500k

AD =

2, por tanto:

5i + 2 j

4i

2 = 200 j

2 = 800k

3i + 2 j

3 = 500cos60ºi – 500sen60º j = 250i – 433 j j k   i   2 0 = -1299k – 500k = - 1799 k 3 = AEx 3 = 3    250 433 0 

En el punto A tenemos un momento del par y tres momentos de las fuerzas, los cuales se suman para hallar un momento resultante y una fuerza resultante, así: R=

p+

1+

2+

3 = 600k - 500k + 800k - 1799k = – 899k

=

1 +

2 +

3 = - 100 j + 200 j +250i – 433 j = 250 i – 333 j


39 El sistema fuerza-par en el punto A está dado por Figura 3.37(a).

y

R, como se aprecia en la

Solución (b) Para convertir el sistema fuerza-par dado en el punto A por la fuerza resultante y el momento resultante R en una fuerza única equivalente , es necesario trasladar la fuerza de tal manera que se produzca un momento R’ igual al momento R que se desea eliminar.

Figura 3.37 Sistemas Equivalentes Entonces R’ = x , siendo = xi y x = distancia desde el punto A hasta la intersección de la línea de acción de con el eje X.

R’ =

Al igualar

Ry

x

j k   i  0 0 = - 333xk =  x   250 333 0 

R’: - 333xk = – 899k, o sea que: x = 899/333 = 2.69m

Las dos situaciones mostradas en las Figuras 3.37 (a) y (b) son equivalentes.

3.22.2 CASO 2: CONVERSIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS EN UNA FUERZA ÚNICA EQUIVALENTE Consideremos un sistema de fuerzas paralelas al eje Y, dados por 1, 2 y 3 aplicados respectivamente en los puntos de coordenadas (x 1, z1), (x2, z2), (x3, z3), como se muestra en la Figura 3.38(a), por lo tanto los vectores de posición de los puntos de aplicación 1, 2, 3 y las fuerzas correspondientes, las podemos expresar así:


40 1 = x1i + z1k

1 = - F1 j

2 = x2i + z2k

2 = - F2 j

3 = x3i + z3k

3 = - F3 j

(3.35)

Figura 3.38 Sistema Equivalente de Fuerzas Paralelas Al trasladarlas al punto O le adicionamos a cada fuerza su respectivo momento, así: 1 =

1x 1 = z1F1i – x1F1k

2 =

2x 2 = z2F2i – x2F2k

3=

3x 3= z3F3i – x3F3k

(3.36)

Realizamos la sumatoria de fuerzas y de momentos para obtener una fuerza resultante y un momento resultante R dados por:


41

: :

= R=

1+

Al expresar a

R

2+

1 +

2 +

(3.37)

3 = (z1F1 + z2F2 + z3F3)i – (x1F1 + x2F2 + x3F3)k (3.38)

en forma de componentes tendremos: R =

Entonces:

3 = - (F 1 + F2 + F3) j = - R j

Mxi – Mzk

(3.39)

Mx = (z1F1 + z2F2 + z3F3) y Mz = (x1F1 + x2F2 + x3F3)

El momento resultante R tiene sólo componentes en los ejes X y Z, por lo tanto se encuentra en el plano XZ, como se muestra en las Figuras 3.38(b) y 3.38(c) y debido a que la fuerza resultante tiene únicamente componente en el eje Y, entonces son perpendiculares entre sí y se pueden convertir en una fuerza única, lo cual se consigue al trasladar a en forma paralela como se indica en la Figura 3.38(d), generándose el momento R’ = x , siendo = Xi + Zk, así:

R’

=

x

j k  i =  x 0 z  = zRi – xRk  0  R 0 

(3.40)

Igualando R y R’ componente a componente hallamos los valores X y Z correspondientes a , así: Z = Mx/R y X = Mz/R, por lo que al reemplazar los valores de Mx y Mz, tendremos: X 

x1 F1  x2 F2  x3 F 3 F 1  F2  F 3

(3.41)

Z 

z1 F1  z2 F2  z3 F 3 F 1  F2  F 3

(3.42)

3.22.2.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.10 Una placa de 12mx20m es sometida a cuatro fuerzas paralelas verticales como se indica en la Figura 3.39. Hallar la fuerza resultante o equivalente y el punto de aplicación correspondiente.

Solución Expresamos cada una de las fuerzas y sus correspondientes vectores de posición de los puntos de aplicación con respecto al origen O en forma vectorial, así:


42

Figura 3.39 Placa Sometida a Fuerzas Paralelas 1 = 0i + 4k 2 = 8i +10k 3 = 12i + 0k 4 = 5i - 5k

1 =

- 200 j 2 = - 220 j 3 = - 100 j 4 = - 80 j

Al efectuar la sumatoria de fuerzas para obtener la fuerza resultante, tenemos: : = - 200 j - 220 j - 100 j - 80 j = - 600 j Los momentos de cada una de las fuerzas y el momento resultante en el punto O están dados por:

:

1 =

1x 1 = (0i + 4k)x(- 200 j) = 800i

2 =

2x 2 = (8i +10k)x(- 220 j) = 2200i – 1760k

3=

3x 3 = (12i + 0k)x(- 100 j) = - 1200 k

4=

4x 4 = (5i - 5k)x(- 80 j) = - 400i - 400k

R=

1+

2+

3+

4 = 2600i – 3360k

Tanto como R son mostrados en la Figura 3.40(a) y de acuerdo a la Figura 3.40(b), designamos el vector de posición = Xi + Zk, por lo tanto R’ = x está dado por:

R’

=

x

j k  i  z = 600Zi – 600Xk 0 =  x   0 600 0 


43

Figura 3.40 Resultante de Fuerzas Paralelas Igualando R y R’ componente a componente hallamos los valores X y Z correspondientes a , así: 600Z = 2600, siendo Z = 2600/600 = 4.33m 600X = 3360, o sea X = 3360/600 = 5.6m

3.22.3 CASO 3: REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS EN EL ESPACIO EN UN TORSOR Hemos visto en la sección (3.21) que un sistema general de fuerzas puede ser convertido, en un punto determinado O, en una fuerza resultante y en un momento resultante R, los cuales no son necesariamente perpendiculares entre sí, lo cual podemos apreciar en la Figura 3.41(a). Al no ser perpendiculares, no


44 puede ser reducido a una sola fuerza única equivalente, como lo fue el caso visto en la sección (3.22.1). Entonces, un sistema general de fuerzas se descompone en lo que se denomina un torsor . El procedimiento de reducción a un torsor consiste en que una vez transformado el sistema de fuerzas en una fuerza resultante y en un momento resultante R en un punto de referencia O, como se indica en la Figura 3.41(a), los cuales no son perpendiculares, se descompone a R en dos componentes: una en la misma dirección de denominada p o componente paralela y la otra perpendicular llamada n o componente normal, como se indica en la Figura 3.41 (b).

Figura 3.41 Reducción de un Sistema de Fuerzas a un Torsor Entonces trasladamos a desde el punto O hacia el punto A, en un plano perpendicular a n, de tal manera que se genere un momento dado por n’ = x


45 e igual a n, el cual se va a eliminar, tal como aparece en la Figura 3.41 (c). Una vez ubicado a en el punto A se puede trasladar la componente p también al punto A por ser un vector libre, y al conjunto momento del par p y fuerza es lo que se denomina torsor, el cual se muestra en la Figura 3.41(d).

3.22.3.1 PROBLEMA EJEMPLO 3.11 El cuerpo de la Figura 3.42 se encuentra sometido a tres fuerzas como se indican. Reducir el sistema de fuerzas a un torsor definiendo la magnitud de la fuerza resultante y el eje del torsor.

Figura 3.42 Cuerpo Sometido a Tres Fuerzas

Solución Inicialmente trasladamos todas las fuerzas al punto de referencia O, en el cual obtenemos, como se muestra en la Figura 3.43(a), una fuerza resultante y un momento resultante R, dados por: = 40i + 70 j – 40k [N] R = - (70x6)i + (40x6) j – (40x8)k = - 420i + 240 j - 320k [Nm]

El momento resultante R los descomponemos en dos componentes: una en la dirección del vector denominada p y otra perpendicular llamada n, las cuales se pueden apreciar en la Figura 3.43(b). Podemos hallar la magnitud de p como la proyección de R sobre , así: Mp =

R.

R = (4/9i + 7/9 j - 4/9k).(- 420i + 240 j – 320k)


46 = - 4x420/9 + 7x240/9 + 4x320/9 = 1280/9 = 142.2 [Nm] Siendo:

R=

/R = vector unitario en la dirección de

O sea que el vector p=

.

p lo podemos expresar así:

RMp = (4/9 i + 7/9 j - 4/9 k)(142.2) = 63.2i + 110.6 j – 63.2k [Nm]

Figura 3.43 Reducción de un Sistema de Fuerzas a un Torsor Debido a que: R = n + p, como se indica en la Figura 3.43(b), entonces al despejar n y reemplazar valores nos da:


47

n=

R-

p = (- 420i + 240 j - 320k) – (63.2i + 110.6 j – 63.2k)

= - 483.2i + 129.46 j – 256.8k [Nm] Por otro lado, para eliminar el momento normal n es necesario trasladar a en un plano perpendicular a n tal manera que se produzca un momento igual a n. En la Figura 3.43(c) la fuerza resultante se trasladado a un punto en donde su línea de acción pasa por los puntos A y B, siendo A el punto de intercepción con el plano XZ y B el intercepto con el plano XY, por lo que el momento causado n’ se halla al tomar = A y se expresa como:

x

n’ =

Igualando

ny

Componente X: Componente Z: Componente Y:

n’ =

x

=

i =  x  40

A x

j 0 70

  z = - 70zi + (40z + 40x) j + 70xk  40  k

n’, componente a componente, tenemos:

- 70z = - 483.2, o sea que z = 483.2/70 = 6.90m 70x = - 256.8, para lo cual x = - 256.8/70 = - 3.66m al reemplazar X y Z, se cumple que: 40z + 40x = 129.4

=

Igualando nuevamente

Bx

ny

i =  x  40

j

y 70

  = - 40y i + 40x j + (70x - 40y)k 0  40  k

n’, componente a componente, nos da:

Componente X: - 40y = - 483.2, o sea que y = 483.2/40 = 12.08m Componente Y: 40x = 129.4, para lo cual x = 129.4/40 = 3.23m Componente Z: al reemplazar X y Y, se cumple que: 70x – 40y = - 256.8m Hemos hallado entonces las coordenadas de los puntos A(- 3.66, 0, 6.90)m y B(3.23, 12.08,0)m por donde pasa la línea de acción de la fuerza resultante , ya trasladada como se indica en la Figura 3.43(c), con el fin de reemplazar el momento normal n. Por último se traslada el momento paralelo p como se muestra en la Figura 3.43 (d), por lo que al conjunto fuerza y momento p en la misma dirección de la


48 fuerza se le denomina torsor, siendo el eje del torsor el indicado por la línea de acción de .

3.23 SISTEMAS EQUIVALENTES Y FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS En Mecánica un cuerpo rígido está definido como aquel que no sufre deformación bajo la acción de fuerzas externas. Las fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido, las cuales influyen en su estado de reposo o movimiento. Se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en mecánica elemental son rígidos. Aunque las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidos y se deforman cuando se les aplican cargas, las deformaciones son tan pequeñas que no afectan las condiciones de equilibrio. Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Si se trata de un cuerpo compuesto estructuralmente de varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes, también se denominan fuerzas internas. Tal es el caso de las barras o elementos de unión que comprenden una armadura. Las fuerzas de interacción entre dichas barras son fuerzas internas. Es importante tener en cuenta que los sistemas equivalentes son transformaciones de los sistemas originales de fuerzas y como tal, son simplificaciones creadas considerando que no están afectando el equilibrio de un cuerpo rígido, lo cual quiere decir que solo se están teniendo en cuenta los efectos externos generados sobre dicho cuerpo más no la acciones internas. En realidad, cualquier cambio de posición de una fuerza externa en un cuerpo, aunque no altere las condiciones de equilibrio, puede afectar notablemente la distribución de las fuerzas internas, lo cual debe ser tenido en cuenta al trabajar con sistemas equivalentes de fuerzas.

3.24 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 1 Teniendo en cuenta los puntos A, B, C, D y E del sólido mostrado en la Figura 3.44(a) efectuar los siguientes productos vectoriales y hallar el área de cada paralelogramo: x , x , x y x . PROBLEMA 2 Una fuerza de magnitud 120 N pasa por los puntos A y B como se indica en la Figura 3.44(b). Hallar el momento de con respecto al punto C: a) utilizando el vector de posición CA y b) tomando el vector de posición CB. Compare los resultados. PROBLEMAS 3 Y 4 En relación con los cuerpos de las Figuras 3.45(a) y 3.45(b), hallar el par equivalente a los dos pares dados.


49

Figura 3.44 Problemas 1 y 2

Figura 3.45 Problemas 3 y 4

PROBLEMA 5 Teniendo en cuenta la viga AB de la Figura 3.46 y las cargas mostradas: a) Convertir la fuerza de 100N en un sistema fuerza-par en el punto A. b) Reemplazar el sistema fuerza-par dado en el punto A, por una sola fuerza equivalente y hallar la distancia sobre el eje X que lo separa del punto A. c) Reemplazar las dos fuerzas de 100N por una sola fuerza equivalente y hallar la distancia sobre el eje X que lo separa del punto A. d) Reemplazar las fuerzas de 100N y 120N por una sola fuerza equivalente y encontrar la distancia sobre el eje X que lo separa del punto A. José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

50

Figura 3.46 Problema 5

PROBLEMA 6 De acuerdo con las cargas y la viga de la Figura 3.47: a) Convertir la fuerza y el par dados por un sistema fuerza-par en el punto A. b) Reemplazar la fuerza y los dos pares dados por una sola fuerza equivalente y hallar la distancia sobre el eje X que lo separa del punto A. c) Reemplazar las dos fuerzas y el par dados por una sola fuerza equivalente y hallar la distancia sobre el eje X que lo separa del punto A. d) Reemplazar las dos fuerzas y el par dados por una sola fuerza equivalente y encontrar la distancia sobre el eje X que lo separa del punto A.

Figura 3.47 Problema 6 José Manuel Arroyo Andrade UNISUCRE

Capítulo 3 Sistemas Equivalentes de Fuerzas

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