UNIDAD 1
EQUILIBRIO DE LA PARTICULA
1.1 DESCOMPOSICION DE FUERZAS EN UN PLANO
DEFINICION DE FUERZA “Es una acción que actúa sobre un
cuerpo y que provocan su movimiento o reposo”
Las acciones también pueden ser ejercidas a distancia como lo hacen los imanes sobre los objetos metálicos. Las fuerzas son magnitudes vectoriales, ya que no basta con definir el valor con un número y las unidades correspondientes, necesitan que se especifique la dirección a la que se dirigen. La unidad de fuerza en el sistema internacional es el newton (N). El newton se define como la fuerza que hay que aplicar a una masa de un kilogramo (kg) para que adquiera una aceleración de un metro por segundo cada segundo (m/s2).
1 =1
∙
PRINCIPIO DE TRANSITIVIDAD DE FUERZA “Si se aplica una fuerza sobre un cuerpo, e sta fuerza genera los mismos efectos sea
cual sea el punto
de aplicación en su línea de acción, siempre que tenga el mismo módulo y el mismo sentido”. DESCOMPOSICION DE FUERZAS MEDIANTE LOS VECTORES UNITARIOS DEL PLANO CARTESIANO Para descomponer una fuerza en un plano es necesario, es necesario un sistema de coordenadas
⃗,⃗
como el plano cartesiano, al igual que los vectore s unitarios del plano cartesiano, A partir de este sistema de coordenadas podemos representar un vector o fuerza según sus componentes rectangulares. Y tenemos que:
+ = ⃗+ ⃗ = Un vector dado con una magnitud y un ángulo, está dado en forma de coordenadas polares ( , ) el cual tiene una relación con las coordenadas rectangulares con las siguientes formulas.
⃗ ⃗
= = ccoo s = sin 1
Las ecuaciones anteriores nos llevan a la siguiente formula, combinando las tres ecuaciones anteriores.
= ∙ cos ⃗ = ∙ sin⃗ = ∙ (cos ⃗+ sin ⃗) Ejemplo: Dado el vector de la siguiente figura, descomponer en sus componentes rectangulares. Solución. Usando la formula anterior se tiene:
150 N
35°
= ∙ cos ⃗ = ∙ sin⃗ R=150 N Θ= 35°
⃗ = 122.87⃗ = 150 ∙ cos 35 = 150 ∙ sin35⃗ = 86.04⃗ Por lo tanto el vector
= 150 se puede expresar como:
= (122.87⃗+ 86.04⃗ ) Si eliminamos los vectores unitarios⃗ y⃗ , sustituimos el signo más por una coma, tendríamos El vector F expresados en componentes x y y.
Descomposición de una fuerza según dos direcciones prefijados
Par deducir las fuerzas que, una vez compuestas, generan la de partida, aplicaremos la ley del paralelogramo. La manera de resolver la descomposición puede ser grafica o trigonométrica.En la figura se muestra cómo se puede descomponer una fuerza según dos direcciones prefijadas
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Ejemplo:
Descompón gráfica y analíticamente la fuerza dirección de las rectas T y S.
de 100 N. mostrada en la figura según la
10°
100 N s
30°
t 30° Solución. 1. trazamos rectas paralelas a las r ectas s y t.
10°
100 N s
30°
t 30°
3
2. hallamos los vectores componentes de F
10°
F=100 N s
30°
t 30°
3. aislamos los vectores y obtenemos los vectores t y s.
t F=100 N
s 4. desplazamos el vector s a las puntas de los vectores t y F , para formar un triángulo.
s t F=100 N
4
5. obtenemos los ángulos a partir de la primera imagen del problema.
10°
100 N s
30°
t 30° Analizamos que la línea azul es paralela a la línea verde horizontal y ambas líneas son cortadas por la recta s, además la línea azul con la recta s, forman un ángulo de 3 0 , por lo tanto por simetría de °
ángulos, el ángulo que se forma entre la recta s y la recta verde horizontal también mide 30 . °
10°
F=100 N s
30° 30
t 30° Entonces si sumamos el ángulo que esta sobre la recta verde horizontal y el ángulo que está debajo de esta. Tendremos que el ángulo que hay entre el vector (recta) s, y el vector F es de 60 °
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Ahora también nos dan un ángulo de 10 que se forma entre la recta amarilla vertical y la recta t. si observamos la recta t , está un poco inclinada por lo que el ángulo que forma con la recta verde °
horizontal no es un ángulo recto de 90 . °
Si trazamos una recta paralela a la recta amarilla, que pase exactamente en el punto donde la recta t y la recta verde horizontal se cortan, tenemos:
10°
F=100 N s
30° 30
t 30° Ahora tenemos a la recta amarilla y la recta café que son cortadas por la recta t , entonces aplicamos la misma analogía de antes de simetría de ángulos por lo que el si el ángulo entre la recta amarilla y la recta t , es de 10 , el ángulo entre la recta café y la recta t , es también de 10 °
°
10° 10° F=100 N s
30° 30
t 30°
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Si observamos vemos que la recta café y la recta verde horizontal son perpendiculares por lo que debe de haber un ángulo de 90 entre estas rectas. Pero tenemos dos angulos que están entre °
estas rectas: El ángulo formado por la recta café y la recta t , que es de 10 . °
Y el ángulo formado por la recta verde horizontal y el vector F . que es de 30 . °
Entonces si el ángulo de 90 que debe de haber entre la recta café y la recta verde horizontal le °
restamos 10 del ángulo entre la recta café y la recta t , y también le restamos 30 del angulo que hay entre la recta verde horizontal y el vector F , tenemos un angulo de 50 que es el angulo que hay entre la recta t y el vector F . °
°
°
10° 10°
F=100 N
50
s
30° 30
t 30° 6. Pasamos estos datos al triangulo que obtuvimos antes. Encontramos que el ángulo entre el vector (recta) s y el vector F es de 60
°
También encontramos que el ángulo entre el vector (recta) t y el vector F es de 50
°
Y como todo triangulo debe de sumar 180 en sus ángulos interiores tenemos que el ángulo entre los vectores s y t , es de 180-(60+50)=70 . °
°
70°
s
t
60°
50°
F=100 N
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7. resolvemos el triángulo mediante la ley trigonométrica llamada La Ley de los Senos. La cual es
= =
Podemos resolver el triángulo tal y como lo tenemos o por comodidad podemos reescribirlo como
70°
C
α
B
60°
γ 50°
A=100 N
Aplicamos la ley de los senos para A y B.
100 (100 )(sin60°) = = = = . sin70° sin60° sin70° Aplicamos la ley de los senos para A y C.
100 (100 )(sin50°) = = = = . sin70° sin50° sin70°
Descomposición de una fuerza en dos fuerzas conocido el valor de una de estas.
Para deducir la otra fuerza que, una vez compuesta con la conocida, nos genera a la fuerza que descomponer, aplicaremos la regla del triángulo. En este caso también podremos resolver la descomposición grafica o trigonométricamente.
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Ejemplo:
Descomponla fuerza de la siguiente figura con los datos proporcionados.
R=200N
Solución.
40° S= 70 N
Solución. Se traza un vector que va de la punta del vector s , a la punta del vector R , en este caso es el vector T , y queda en forma de triángulo del cual tenemos dos lados conocidos y el ángulo entre ellos, y se puede aplicar la ley del coseno. Si el ángulo dado no está entre los lados conocidos no se puede aplicar la ley del coseno, entonces sería la ley de los senos. Pero en este caso si es aplicable la ley del coseno.
R=200N
T
γ Por la ley del coseno.
40°
α
S= 70 N
= √ + 2∙cos 9
= √ 70 +200 2(70)(200) ∙ cos 40°
= 153.13
ahora que ya conocemos los lados podemos aplicar la ley de los senos para hallar los angulos que faltan.
= sin sin
= sin−
∙sin
= sin−
(200)(sin40) = . ° 153.13
Si observas el triángulo el ángulo obtenido no concuerda con el tamaño de la abertura del ángulo, esto es porque el resultado que nos dio es de la parte exterior del ángulo (color morado). Entonces solo restamos 57.09 a 180, que es el ángulo que tiene una línea recta. Y tenemos que =122.91. El angulo beta se obtiene restando 180- ( 40+122.91) =17.09
°
R=200N
17.09°
122.91°
γ
40°
α
30.24
Es todo. No revise errores si hay alguno favor de avisar.
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