Estudio del movimiento parabólico a través de la trayectoria de un cuerpo H. Cortés, M. Sánchez, M. Téllez Universidad del Atlántico 14/05/2013 _______________________________ _______________________________________________ _______________________________ _______________________________ ________________________________ ________________________________ _______________________ _______
RESUMEN
En el siguiente informe se estudiará el movimiento parabólico de un proyectil mediante la comparación y discusión de los resultados obtenidos al hacer descender un balín por un carril inclinado cuyo último tramo es completamente horizontal, con el fin de lograr que éste salga disparado con una velocidad inicial, describiendo así una trayectoria parabólica. A partir de la información recogida se obtendrá la ecuación de la misma así como el ángulo de lanzamiento y la velocidad con la cual el balín abandonó el carril.
Palabras claves: movimiento parabólico, trayectoria, velocidad inicial, ángulo de lanzamiento, linealización.
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Introducción Se define como proyectil a proyectil a cualquier cuerpo que reciba una velocidad inicial para luego realizar un movimiento que únicamente depende de la aceleración de la gravedad y la resistencia y fricción del aire. Este movimiento recibe el nombre de trayectoria , la cual se da en dos dimensiones dimensi ones y puede ser vista como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme horizontal con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical denominada movimiento parabólico , parabólico , ya que en un movimiento con esas condiciones, dicha trayectoria descrita tiene forma de parábola. Las variables más importante a identificar en el movimiento parabólico o de proyectiles son: el ángulo de lanzamiento ( ), la velocidad con la que el cuerpo salió disparado [inicial, , , representada como un vector de ecuación con magnitud ], la altura máxima alcanzada por el objeto (ymax , , donde la componente vertical de la velocidad es igual a cero), la distancia máxima recorrida por el cuerpo (xmax , , donde la componente horizontal de la velocidad es cero), el tiempo de subida (tiempo que tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima) y el tiempo
⃗ = 0 cos() ̂ + 0sen() ̂
de vuelo (tiempo que tarda el objeto en recorrer una trayectoria completa, es decir, cuando la distancia que recorre es máxima. Como la trayectoria es simétrica, se puede expresar el tiempo de vuelo como el tiempo de subida multiplicado por dos.)
Discusión teórica MOVIMIENTO EN UN PLANO: Es un movimiento cuya trayectoria se desarrolla a lo largo de una línea contenida en un plano. Dado que un punto en el plano esta individuado por dos coordenadas, es posible estudiar este movimiento como la superposición de dos movimientos rectilíneos, uno a lo largo del eje x, otro a lo largo del eje y. Por esta razón se le llama movimiento en dos direcciones. TRAYECTORIA: Es una curva que une diferentes posiciones que ocupa un punto que se mueve en el espacio, a medida de que pasa el tiempo. MOVIMIENTO PARABOLICO: Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. Las siguientes son las ecuaciones (en forma paramétrica) que describen este tipo de movimiento de una partícula: Para la posición:
= cos() = + () = cos() =()
Donde:
(1)
(2)
(3)
(4)
Para la velocidad [que resulta de obtener las derivadas de (1) y (2)]:
= cos() =+ ()
En (1) se puede despejar t para obtener:
(5)
(6)
() =
(1)’
Reemplazando (1)’ en (2) se obtiene:
) + ()( () ) = ( () = () + 0()() = () + ()
(7)
La cual es la ecuación de la trayectoria en términos de x. LINEALIZACION: Este concepto se refiere a la representación matemática de un problema como una aproximación lineal, o que por medio de un cambio de variables el problema se haga lineal, en elsentido que las ecuaciones correspondientes contengan sólo la primera potencia de las variables involucradas en el sistema considerado. Como se va a trabajar con una trayectoria en forma de parábola, el procedimiento para obtener la ecuación deberá partir de la suposición de que ésta tiene la siguiente estructura:
Con lo cual se puede hacer lo siguiente:
= + + = + =(+ ) =+ =+ =+
(8)
Como c = x0 y para un movimiento parabólico siempre se cumple que x0 = 0, entonces c = 0.
Haciendo el cambio z = y/x se obtiene
(9)
(10)
La cual es la ecuación de una línea recta, con la cual se puede obtener la ecuación de la trayectoria del balín hallando los valores de a y b mediante la gráfica de x contra su respectivo valor de y/x y calculando la pendiente de la recta obtenida y el intercepto con el eje y, o bien, utilizando la opción regresión lineal disponible en algunas calculadoras científicas Casio o ingresando los datos en Microsoft Excel para que éste, a través de las utilidades pertinentes, genere la gráfica y la ecuación de la trayectoria.
Ésta es la ecuación para hallar el promedio medio aritmético.
y1 = (y1 + y2)/2
(11)
∆y = (y2 – y1)/2
(12)
Ecuación para hallar la incertidumbre
Método experimental.
Para la realización de la experiencia se hizo necesario utilizar el siguiente montaje.
Se hizo descender un balín desde un punto cercano al soporte del plano, proyectándose el punto de salida del balín sobre el papel que se encontraba ubicado en el suelo en el cual se ubico la pantalla de madera como la posición X= 0, para marcar las alturas a las cuales caería al balín por cada posición en X. En un primer lanzamiento en X= 0 se registro la altura Y= 0 en la pantalla que previamente se había colocado papel carbón y sobre este papel blanco para que quedaran marcados los puntos por cada plomada del balín en la posición X variándolas cada 10 cm y realizando varios lanzamientos aumentándolos paulatinamente a medida que se cambiaba la posición de la pantalla.
ANÁLISIS DE RESULTADOS Y DISCUSIONES
Tabla 1. Valores del recorrido del balín. x(cm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80
y(cm) 0 -1.2 -4.4 -9 -15.6 -22.1 -31.2 -43.6 -55.6
y 0 0.25 0.35 0.3 0.2 0.7 0.8 0.65 1.05 ∆
En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos a partir de la experiencia, al lanzar un dispositivo llamado proyectil por un carril inclinado donde su último tramo era completamente horizontal. Estos datos se hallaron luego de realizar varios lanzamientos para un mismo valor de X obteniendoasí un valor central de Y y su incertidumbre, fue necesario realizar varios lanzamientos debido a la irregularidades del carril, corrientes de aire presentes en el lugar etc. Por esta razón los alcances variaban aleatoriamente de un lanzamiento a otro, la ecuación utilizada para la determinación de los valores fue la ec.(11) tomando los puntos proyectados por cada plomada del balín es decir el punto mayor y menor registrando así un valor promedio .Estos datos se tomaron negativos ya que los lanzamientos describían una trayectoria parabólica hacia abajo.
Tabla 2. Valores para linealización de la gráfica de la trayectoria
x (cm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Gráfica 1. Trayectoria del balín.
z = y/x Indefinido -0,12 -0,22 -0,3 -0,39 -0,442 -0,52 -0.623 -0.67
Gráfica 2. Linealización de la gráfica de la trayectoria.
0
0 0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4
20
40
60
80
100
-0.12 -0.22 -0.3 Y
-0.39
Linear (Y)
-0.442 -0.5 -0.6 -0.7
-0.52 -0.623 -0.67
-0.8
En la grafica anterior se representa matemáticamente el problema de estudio como una aproximación lineal, que se obtuvo a partir de considerar la trayectoria realizada por el balín como una parábola que matemáticamente se representa con una ecuación cuadrática (8); convirtiendo esta en una ecuación lineal de exponte 1 por elcambio de variable llegando así a obtener la ec.(10) que corresponde a una línea recta, cuya gráfica puede ser observada en la tabla 2. Con estos datos se procedió a hallar la ecuación de la trayectoria, la cual corresponde a la siguiente expresión:
= 0 00
(13)
De la cual, al igualar coeficientes con (7), se puede hallar el ángulo de lanzamiento y la velocidad inicial como sigue:
n()= 00 =cn(00) =
() = 0 = 0 ( ) = (0 ) () = (0)(0) = √ (0)(0) = Así pues, se puede observar que el movimiento parabólico que describa un cuerpo puede ser estudiado utilizando, como en este caso, modelos reales de problemas que puedan ser aplicados a la cotidianidad, analizando también, por consiguiente, las condiciones bajo las cuales las partículas puedan describir una trayectoria en forma de parábola.
CONCLUSIONES
La variación respecto a velocidades y la aceleración, depende de la velocidad inicial que se imprima sobre el cuerpo. Es bastante notable la clasificación y características de los movimientos, ya que cada uno está dado en los mismo intervalos de tiempo, variando así en algunas su velocidad, mientras que en otros no; y/o la aceleración.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS. http://es.scribd.com/doc/57857690/LABORATORIO-MOVIMIENTO-PARABOLICO YOUNG, HUGH D. y ROGER A. FREEDMAN. Física Universitaria, volumen 1. Decimosegunda edición. Pearson educación, México, 2009. ISBN: 978-607-442-288-7. Área: Ciencias. Formato: 21 x 27 cm. Páginas: 760.
