Estadistica II Cibertec

Estadística II

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CARRERAS PROFESIONALES

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ESTADISTICA II

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Índice Presentación

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Red de contenidos

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Sesiones de aprendizaje SEMANA 1

: •

SEMANA 2

• • : • • • •

SEMANA 3

: • •

SEMANA 4

: •

SEMANA 5

• • • : • • • •

SEMANA 6

: • • • • •

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Definiciones básicas: Población, marco muestral, muestra, censo y muestreo: Ventajas y desventajas Diseño de la encuesta por muestreo. Tipos de muestreo Distribuciones muestrales Estimación Puntual. Propiedades de un estimador. Estimación de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la media con varianza conocida, muestra grande Tamaño muestral para estimar una media Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones con ambas desviaciones estándar conocidas, muestras grandes Intervalo de confianza para la media con varianza desconocida. Muestra pequeña Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzas desconocidas pero iguales, muestras pequeñas Intervalo de confianza para una proporción. Muestras grandes Tamaño muestral para estimar una proporción Tamaño de muestra para poblaciones finitas Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Hipótesis estadística. Tipos de errores I y II, Nivel de significación, Región crítica o región de rechazo. Región de aceptación Prueba de Hipótesis para medias, muestras grandes. Prueba bilateral de una hipótesis sobre la media Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hipótesis para la diferencia de medias. Desviación estándar conocidas, muestras grandes Prueba de Hipótesis para medias, muestras pequeñas Prueba bilateral de una hipótesis sobre la media Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hipótesis para la diferencia de medias Desviación estándar desconocidas, Muestras pequeñas


07

19

35

45

55

73

4

SEMANA 7

: EXAMEN PARCIAL

SEMANA 8

: • • • •

SEMANA 9

: •

• • • •

SEMANA 10 : • • • •

SEMANA 11

SEMANA 12

SEMANA 13 SEMANA 14

: • • • : • • • • : • • : • •

SEMANA 15 : • SEMANA 16

• • : • • •


Prueba de Hipótesis para las proporciones, muestras grandes. Prueba bilateral de una hipótesis sobre las proporciones Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hipótesis para la diferencia entre dos proporciones

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Definición del x² (Chi cuadrado). Ensayos de significación Prueba de homogeneidad, prueba de independencia Prueba de bondad de ajuste. Tablas de contingencia Prueba de Kolmogorov-Smirnov Correlación de yates para la continuidad. Coeficientes de contingencia Análisis de Regresión lineal Simple. Variable independiente, variable dependiente Diagrama de dispersión. Método de mínimos cuadrados Recta de mínimos cuadrados en términos de varianzas muestrales Recta de regresión de mínimos cuadrados. Aplicación e interpretación Análisis de Regresión lineal múltiple Recta de regresión de mínimos cuadrados Aplicación e interpretación Análisis de Regresión no lineal: Cuadrática Análisis de Regresión no lineal: Potencial Análisis de Regresión no lineal: Exponencial Análisis de Regresión no lineal Logarítmica Correlación entre dos variables, dependiente e independiente Coeficiente de correlación lineal (fórmula de Pearson) Coeficiente de correlación generalizado (Coeficiente de determinación) Coeficiente de correlación gradual (fórmula de Spearman) Serie de tiempo. Introducción a la serie de tiempo Representación y Clasificación de la serie de tiempo Análisis de la serie de tiempo Modelos de estimación. Métodos de estimación de la tendencia Predicción mediante la serie de tiempo

103

123

135 149

163 173 185 199

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Presentación La globalización ha creado un campo muy extenso de desarrollo para los nuevos profesionales, ya sea en servicios o en producción. Es por esto que tienen

que estar preparados para enfrentar cualquier reto en el campo

laboral. Las comunicaciones y el software han hecho que en la actualidad todo profesional esté en constante contacto con la información estadística. Más aún, muchas veces es necesario realizar alguna medición estadística para tener una idea acerca de la producción de una empresa, del mercado bursátil a nivel mundial, del precio de los metales en el mercado Europeo, el control de epidemias en zonas determinadas, el control de los precios de la canasta familiar, etc, de manera que se pueda tomar la decisión adecuada para que dichos estudios sean siempre favorables. El propósito de este manual es brindar conceptos claros de estadística inferencial y sus numerosas aplicaciones en el campo laboral. Por otra parte, se pretende dar al futuro profesional las herramientas necesarias para interpretar y evaluar información estadística, para que adquiera destreza en la interpretación, y manejo de las definiciones y teoremas. En una primera etapa se desarrollará el marco teórico y práctico de la Estadística Inferencial. En la segunda etapa se desarrollará la aplicación de Métodos regresivos para predecir situaciones experimentales basadas en datos reales. Finalmente es importante resaltar que este curso es netamente práctico. Por ello en cada sesión se desarrollará la teoría necesaria en forma concreta, dándole mayor énfasis a la parte práctica y a la interpretación de resultados.

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Red de contenidos

σ² conocida

Intervalos de confianza

σ² desconocida

Proporciones

σ² conocida

Prueba de hipótesis Muestreo

σ² desconocida

Proporciones Lineales Simple No Lineales Regresiones

Múltiple

Correlaciones

Serie de tiempo


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SEMANA

1 TEORÍA DE MUESTREO

TEMAS • •

Definiciones básicas: población, marco muestral, muestra, censo y muestreo. Ventajas y desventajas del muestreo Diseño de la encuesta por muestreo. Tipos de muestreo. Determinación del tamaño de muestra

OBJETIVOS ESPECÍFICOS • • • •

Relacionar la población y la muestra Estimar las diferencias entre población y muestra Realizar, adecuadamente, un muestreo de una población dada Aplicar distribuciones muestrales

CONTENIDOS • •

Definiciones básicas: Población, marco muestral, muestra, censo y muestreo. Ventajas y desventajas del muestreo Diseño de la encuesta por muestreo. Tipos de muestreo. Determinación del tamaño de la muestra

ACTIVIDADES o o

Determinan, adecuadamente, una muestra de la población. Determinan el tamaño de la muestra.

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TEORÍA DE MUESTREO La teoría de muestreo es un estudio de las relaciones existentes entre una población y muestras extraídas de la misma. Tiene gran interés en muchos aspectos de la estadística. Por ejemplo, permite estimar cantidades desconocidas de la población (tales como la media poblacional, la varianza, etc.), frecuentemente llamadas parámetros poblacionales o brevemente parámetros, a partir del conocimiento de las correspondientes cantidades muestrales (tales como la media muestral, la varianza, etc.), a menudo llamadas estadísticos muestrales o brevemente estadísticos. La teoría de muestreo es también útil para determinar si las diferencias que se puedan observar entre dos muestras son debidas a la aleatoriedad de las mismas o si por el contrario son realmente significativas. Tales preguntas surgen, por ejemplo, al ensayar un nuevo suero para el tratamiento de una enfermedad, o al decidir si un proceso de producción es mejor que otro. Estas decisiones envuelven a los llamados ensayos e hipótesis de significación, que tienen gran importancia en teoría de la decisión. En general, un estudio de inferencias, realizado sobre una población mediante muestras extraídas de la misma, junto con las indicaciones sobre la exactitud de tales inferencias aplicadas a la teoría de la probabilidad, se conoce como inferencia estadística. MUESTRAS AL AZAR. NÚMEROS ALEATORIOS Para que las conclusiones de la teoría del muestreo e inferencia estadística sean válidas, las muestras deben elegirse de forma que sean representativas de la población. Un estudio sobre métodos de muestreo y los problemas que tales métodos implican se conoce como diseño de experimentos. El proceso mediante el cual se extrae de una población una muestra representativa de la misma se conoce como muestreo al azar. De acuerdo con ello cada miembro de la población tiene la misma posibilidad de ser incluido en la muestra. Una técnica para obtener una muestra al azar es asignar números a cada miembro de la población: escritos estos números en pequeños papeles, se introducen en una urna y después se extraen números de la urna, teniendo cuidado de mezclarlos bien antes de cada extracción. MUESTREO CON Y SIN REEMPLAZO Si se extrae un número de una urna, se puede volver o no el número a la urna antes de realizar una segunda extracción. En el primer caso, un mismo número puede salir varias veces, mientras que en el segundo un número determinado solamente puede salir una vez. El muestreo, en el que cada miembro de la población puede elegirse más de una vez, se llama muestreo con reemplazo, mientras que si cada miembro no puede ser elegido más de una vez se tiene el muestreo sin reemplazo. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Si, por ejemplo, se extraen sucesivamente 10 bolas sin reemplazo de una urna que contiene 100, se está tomando una muestra de una población finita, mientras que si se lanza al aire una moneda 50 veces, anotándose el número de caras, se está muestreando en una población infinita.


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Una población finita, en la que se realiza un muestreo con reemplazo, puede teóricamente ser considerada como infinita, puesto que puede extraerse cualquier número de muestras sin agotar la población. En muchos casos prácticos, el muestreo de una población finita que es muy grande, puede considerarse como muestreo de una población infinita. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Considérense todas las posibles muestras de tamaño n que pueden extraerse de una población dada (con o sin reemplazo). Para cada muestra se puede calcular un estadístico, tal como la media, la desviación estándar, etc., que variará de una muestra a otra. De esta forma, se obtiene una distribución del estadístico que se conoce como distribución muestral. Si, por ejemplo, el estadístico de que se trata es la media muestral, la distribución se conoce como distribución muestral de medias Análogamente se obtendrían las distribuciones mustrales de las desviaciones estándar, varianzas, medianas, proporciones, etc. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS Supóngase que son extraídas de una población finita todas las posibles muestras sin reemplazo de tamaño n, siendo el tamaño de la población N. Si se denota la media y la desviación estándar de la distribución muestral de medias por µ x y σ x , y la media y la desviación estándar de la población por µ y σ , respectivamente, se tiene µx = µ

σx =

σ n

N −n N −1

Si la población es infinita, los resultados anteriores se convierten en µx = µ

σx =

σ

n

Para valores grandes de n ( n ≥ 30 ) la distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal con media µ x y desviación estándar σ x independiente de la población de que se trate (siempre que la media y la varianza poblacional sean finitas y el tamaño de la población sea al menos dos veces el tamaño de la muestra). Este resultado en una población infinita es un caso especial del teorema central del límite de teoría de probabilidad superior, que demuestra que la aproximación es tanto mejor conforme n se hace mayor. Esto se indica diciendo que la distribución muestral es normal. En caso de que la población se distribuya normalmente, la distribución muestral de medias se distribuye también normalmente, incluso para pequeños valores de n (es decir, n < 30).

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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES Supóngase una población infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un suceso (conocido como su éxito) es p, mientras que la probabilidad de no ocurrencia del suceso es q = 1 – p (conocido como su fracaso). Se consideran todas las posibles muestras de tamaño n extraída de esta población y para cada muestra se determina la proporción p de éxito. Entonces se obtiene una distribución muestral de proporciones cuya µ p y desviación estándar σ p vienen dadas por

µp = p p (1 − p) n

σp =

Si la población es infinita, los resultados anteriores se convierten en µ=p

σ = p(1 − p ) Para grandes valores de n( n ≥ 30 ) la distribución muestral se aproxima mucho a una distribución normal. Nótese que la población se distribuye binomialmente. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIAS Y SUMAS Supóngase que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de tamaño n1 extraída de la primera población se calcula un estadístico s1. Esto proporciona una distribución muestral del estadístico s1 con media µ x1 y desviación estándar σ x1 . Análogamente, para cada muestra de tamaño n2, extraída de la segunda población, se calcula un estadístico s2. Esto Igualmente proporciona una distribución muestral del estadístico s2, con media µ x 2 y desviación estándar σ x 2 . De todas las posibles combinaciones de estas muestras de las dos poblaciones, se puede obtener una distribución de las diferencias (s1-s2) que se conoce como distribución muestral de diferencias de los estadísticos. Si s1 y s2 son las medias muestrales de las dos poblaciones, las cuales vienen dadas por x1 y x 2 , entonces la distribución muestral de las diferencias de medias para poblaciones infinitas con medias y desviaciones estándar µ1 , σ 1 y µ 2 , σ 2 , respectivamente, tiene por media y desviación estándar: µ x1 − x 2 = µ x1 − µ x 2 = µ1 − µ 2

σx

1 − x2

= σ x21 + σ x22 =

σ 12 n1

+

σ 22 n2

El resultado se mantiene válido para poblaciones finitas. Resultados correspondientes pueden deducirse para las distribuciones muestrales de diferencias de proporciones de dos poblaciones distribuidas binomialmente con parámetros p1, q1 y p2, q2, respectivamente. En este caso s1 y s2 corresponden a las proporciones de éxito, p1 y p2

µ p − p = µ p − µ p = p1 − p2 1


2

1

2

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p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) + n1 n2

σ p − p = σ p2 + σ p2 = 1

2

1

2

Si n1 y n2 son grandes ( n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30 ), las distribuciones muestrales de diferencias de medias o proporciones se distribuyen muy aproximadamente como una normal. A veces, es útil hablar de la distribución muestral de la suma de estadísticos. La media y la desviación estándar de esta distribución vienen dadas por

µs − s = µs − µs 1

2

1

2

σ s − s = σ + σ s2 1

2 s1

2

2

suponiendo que las muestras son independientes. ERRORES TÍPICOS La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce también como su error estándar. En la tabla se han anotado los errores típicos de distribuciones muestrales para diversos estadísticos bajo las condiciones de muestreo aleatorio sin reemplazo para una población infinita (o muy grande) o con reemplazo para una población finita. También, se apuntan notas especiales que indican las condiciones para las que los resultados son válidos, así como otras notas de interés. ∧

Las cantidades µ , σ , p, µ r y x, s, p, x r denotan, respectivamente, las medias, desviaciones estándar, proporciones y momentos de orden r respecto de la media en la población y en la muestra. Es de notar que si el tamaño de la muestra n es bastante grande, las distribuciones muestrales son normales o casi normales. Por esta razón, los métodos se conocen como métodos para grandes muestras. La teoría de pequeñas muestras, o teoría de muestreo exacto, como a veces se llama, se usa cuando n<30. Entonces, las muestras se llaman pequeñas. Cuando los parámetros de la población, tales como σ , p, µ r se desconocen, pueden estimarse mediante sus correspondientes estadísticos muestrales: ∧

s, p, xr , si las muestras son suficientemente grandes. Distribución muestral Medias

Proporciones

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Error estándar

σx =

σp =

σ n

p (1 − p) n

Observaciones Se cumple para muestras grandes o pequeñas. La distribución muestral de medias se ajusta mucho a la normal para n ≥ 30 incluso para poblaciones no normales. Se cumple para muestras grandes o pequeñas. La distribución muestral de medias se ajusta mucho a la normal para n ≥ 30 incluso para poblaciones no normales.


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ACTIVIDADES 1. Una población se compone de los cinco números 2, 3, 6, 8, 11. Considere todas las muestras posibles de tamaños que puedan extraerse con remplazamiento de esta población. Halle lo siguiente: 1.1 La media de la población 1.2 La desviación estándar de la población 1.3 La media de la distribución muestral de medias 1.4 El error estándar de medias

2. Supóngase que las alturas de 3 000 estudiantes de una universidad se distribuyen normalmente con media 68,0 pulgadas y desviación estándar 3,0 pulgadas. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una, ¿cuál será la media y la desviación estándar esperada de la distribución muestral de medias resultante si el muestreo se hizo sin reemplazo?

3. Quinientos cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5,02 onzas y una desviación estándar de 0,30 onzas. Halle la probabilidad de que una muestra al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un peso total (a) comprendido entre 496 y 500 onzas, (b) de más de 510 onzas.


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4. Las bombillas eléctricas de un fabricante A tienen una duración media de 1400 horas con una desviación estándar de 200 horas, mientras que las de otro fabricante B tienen una duración media de 1200 horas con una desviación estándar de 100 horas. Si se toman muestras al azar de 125 bombillas de cada fabricante, ¿cuál es la probabilidad de que las bombillas de A tengan una duración media que sea al menos (a) 160 horas, (b) 250 horas más que las bombillas de B?

5. Los cojinetes de bolas de una determinada casa pesan 0,50 onzas con una

desviación estándar de 0,02 onzas. ¿Cuál es la probabilidad de que dos lotes de 1000 cojinetes cada uno difieran en un peso superior a 2 onzas?

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6. Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media

22,40 onzas y desviación estándar 0,048 onzas. Si se extraen 300 muestras de tamaño 36 de esta población, determinar la media esperada y la desviación estándar de la distribución muestral de medias, si el muestreo se hace con reemplazo.

7. Se pesan tres cantidades dando 20,48; 35,97 y 62,34 libras con desviaciones

estándar de 0,21; 0,46 y 0,54 libras respectivamente. Halle la media y la desviación estándar de la suma de las cantidades.

8. El voltaje medio de una batería es de 15,0 voltios y la desviación estándar 0,2 voltios. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de estas baterías conectadas en serie tengan un voltaje conjunto de 60,8 o más voltios?


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9. Una población de 7 números tiene una media de 40 y una desviación estándar de 3. Si se extraen muestras de tamaño 5 de esta población y se calcula la varianza de cada muestra, halle la media de la distribución muestral de varianzas si el muestreo es sin reemplazo.

Autoevaluación 1. Quinientos cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5,02 onzas y una desviación estándar de 0,30 onzas. Halle la probabilidad de que una muestra al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un peso total (a) comprendido entre 496 y 500 onzas, (b) de más de 510 onzas. 2. Un fabricante despacha 1000 lotes de 100 bombillas cada uno. Si normalmente el 5% de las bombillas es defectuoso, ¿en cuántos lotes cabe esperar menos de 90 bombillas buenas? 3. Ciertos tubos fabricados por una compañía tienen una duración media de 800 horas y una desviación estándar de 60 horas. Halle la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos, tomada entre ellos tenga una duración media entre 790 y 810 horas. 4. Se ha encontrado que el 2 % de las piezas producidas por cierta máquina son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una partida de 400 piezas sean defectuosas 3 % o más? 5. Los resultados de una elección demostraron que un cierto candidato obtuvo el 46% de los votos. Determine la probabilidad de que de 1000 individuos elegidos al azar de la población votante se hubiese obtenido una mayoría de votos para dicho candidato. 6. A y B juegan a «cara y cruz», lanzando cada uno 50 monedas. A ganará el juego si consigue 5 o más caras que B, de otro modo gana B. Determine la proporción contra A de que gane un juego determinado.

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7. Dos distancias se miden y se obtiene 27,3 pulgadas y 15,6 pulgadas, con desviaciones estándar de 0,16 pulgadas y 0,08 pulgadas, respectivamente. Determine la media y la desviación estándar de la diferencia de las distancias. 8. Un cierto tipo de bombilla eléctrica tiene una duración media de 1500 horas y una desviación estándar de 150 horas. Se conectan tres bombillas de forma que cuando una se funde, otra sigue alumbrando. Suponiendo que las duraciones se distribuyen normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga luz 8.1 al menos 5000 horas? 8.2 como mucho 4200 horas? 9. La desviación estándar de los pesos de una población muy grande de estudiantes es 10,0 libras. Se extraen muestras de 200 estudiantes cada una de la población y se calculan las desviaciones estándares de las alturas de cada muestra. Halle la media y la desviación estándar de la distribución muestral de las desviaciones típicas. 10. Una población está formada por los cuatro números 3, 7, 11, 15. Considere todas las posibles muestras de tamaño dos que pueden extraerse de esta población con reemplazo. Halle lo siguiente: 10.1 la media poblacional 10.2 la desviación estándar poblacional 10.3 la media de la distribución muestral de medias 10.4 la desviación estándar de la distribución muestral de medias 11. Ciertos tubos fabricados por una compañía tienen una duración media de 800 horas y una desviación estándar de 60 horas. Halle la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos, tomada de ellos tenga una duración media de: 11.1 entre 790 y 810 horas 11.2 menor de 785 horas 12. Los pesos de los paquetes recibidos en un departamento de almacenamiento tienen una media de 300 libras y una desviación estándar de 50 libras. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 25 paquetes recibidos al azar y cargados en un ascensor supere el límite de seguridad del ascensor, que es de 8 200 libras? 13. Halle la probabilidad de que en los próximos 200 niños nacidos 14.1 menos del 40 % sean niños. 14.2 entre el 43 % y el 57 % sean niñas. Supónganse iguales las probabilidades de nacimiento de niño y niña. 14. De un total de 1 000 muestras de 200 niños cada una, ¿en cuántas cabe esperar que entre el 40 % y el 60 % sean niñas?


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15. Una urna contiene 80 bolas de las que 60 % son rojas y 40 % blancas. De un total de 50 muestras de 20 bolas cada una, sacadas de la urna con reemplazo, ¿en cuántas cabe esperar 12 bolas rojas y 8 blancas? 16. A y B fabrican dos tipos de cables, que tienen unas resistencias medias a la rotura de 4000 y 4500 libras con desviaciones estándar de 300 y 200 libras, respectivamente. Si se comprueban 100 cables de A y 50 cables de B, ¿cuál es la probabilidad de que la media de resistencia a la rotura de B sea (a) al menos 600 libras más que A, (b) al menos 450 libras más que A? 17. En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación típica de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en (a) 3 o más puntos, (b) entre 2 y 5 puntos? 18. Los resultados de una elección mostraron que un cierto candidato recibió el 65 % de los votos. Halle la probabilidad de que en dos muestras al azar compuesto cada una de 200 votantes, haya una diferencia superior al 10 % en las proporciones que votaron a dicho candidato.

Para recordar En el uso de Distribuciones muestrales se debe tener en cuenta que las n variables aleatorias independientes a estudiar deben ser continuas. Para un proceso Normal se debe tener en cuenta la media promedio y la desviación estándar común y finitas.

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SEMANA

2 INTERVALOS DE CONFIANZA TEMAS • • • •

Estimación Puntual. Propiedades de un estimador. Estimación de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la media con varianza conocida, muestra grande Tamaño muestral para estimar una media Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones con ambas desviaciones estándar conocidas, muestras grandes

OBJETIVOS ESPECÍFICOS • • •

Construir intervalos de confianza para la media de varianza conocida y muestra grande Encontrar el tamaño muestral para estimar una media Construir intervalos de confianza para diferencias de medias, con varianzas conocidas y muestras grandes

CONTENIDOS • • • •

Estimación Puntual. Propiedades de un estimador. Estimación de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la media con varianza conocida, muestra grande Tamaño muestral para estimar una media Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones con ambas desviaciones estándar conocidas, muestras grandes

ACTIVIDADES • • •

Utilizan el concepto de estimación puntual. Interpretan el concepto de estimación por intervalo. Realizan estimaciones de la media poblacional mediante intervalos de confianza utilizando la distribución normal.

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INTERVALO DE CONFIANZA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Una vez que se obtiene algún estadístico (media, desviación estándar o proporción muestral, entre otros) es importante determinar si dichos resultados pueden ser asociados a la población de donde se extrajo la muestra. La estimación de parámetros se encarga de aproximar los valores de estos a partir de los resultados obtenidos de un conjunto de observaciones muestrales y sobre la base de ciertos procedimientos y criterios previamente establecidos. Por esto nos permitirá estimar con precisión la porción de la población (la fracción de la población que posee ciertas características) y la media de la población. TIPOS DE ESTIMACIÓN a) Estimación Puntual Una estimación puntual es un solo número que se utiliza para estimar un parámetro de población desconocido. Se puede decir que es la estimación del valor de un parámetro por medio de un valor concreto (único valor) y que se obtiene a partir del cálculo del estimador correspondiente proveniente de una muestra determinada. La desventaja de utilizar este tipo de estimación radica en que no es posible determinar el grado de certeza que se tiene al hacer la estimación. Por ejemplo, si de una muestra de 36 cajeros automáticos se obtuvo que el tiempo promedio de atención al cliente es de 1.5 minutos con una desviación estándar de 0.5 minutos, estos valores son los estimadores puntuales del verdadero tiempo promedio de atención y de la verdadera desviación estándar del tiempo de atención a los clientes. b) Estimación por Intervalos Una estimación de intervalo es un intervalo de valores que se utiliza para estimar un parámetro de población. Esta estimación indica el error de dos maneras: por extensión del intervalo y por la probabilidad de obtener un verdadero parámetro de la población que se encuentra dentro del intervalo bajo un cierto nivel de confianza o certidumbre previamente establecida. Es mejor la estimación cuando este intervalo tiene longitud pequeña y que la probabilidad (nivel de confianza) de que el parámetro se encuentre entre los límites de dicho intervalo (límites de confianza) sea cercano a uno. Estimador: Cualquier estadística de muestra que se utilice para estimar un parámetro de población se conoce como estimador, es decir, un estimador es una estadística de muestra utilizada para estimar un parámetro de la población. La media de la muestra x puede ser un estimador de la media de la población µ , y la porción de la muestra se puede utilizar como estimador de la porción de la población. En general, se puede establecer lo siguiente:


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Estimación: Cuando se ha observado un valor numérico especifico de nuestro estimador, se refiere a ese valor como estimación. En otras palabras, una estimación, es el valor específico de una estadística. Por ejemplo, al tomar una muestra se calcula el valor que toma el estimador en esa muestra, entonces se realiza una estimación. Criterios para seleccionar un buen estimador Imparcialidad: Esta se refiere al hecho que la media de muestra es un estimador no sesgado de una media poblacional, porque la media de distribución de muestreo de las medias de muestra tomadas de la misma población es igual a la media de la población misma. Eficiencia. Se refiere al tamaño de error estándar de la estadística. Si al comparar dos estadísticas de una muestra del mismo tamaño, se escoge la estadística que tuviera el menor error estándar o menor desviación estándar de la distribución de muestreo. Coherencia. Una estadística es un estimador coherente de un parámetro poblacional si al aumentar el tamaño de la muestra, se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población. Suficiencia. Un estimador es suficiente si se utiliza una cantidad de la información contenida en la muestra que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se está estimando.

LIC

µ

LCS

p [L − E ≤ θ ≤ L + E ] = 1 − α

Donde:

L: E: 1 - α: θ:

Estadístico correspondiente Error estándar de estimación Nivel de confianza Parámetro por estimar

El error estándar de estimación se establece en función al nivel de confianza y al parámetro por estimar. El intervalo [L – E, L + E] se denomina intervalo de

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confianza, donde sus respectivos límites se denominan “límite inferior de confianza (LIC)” y “límite superior de confianza (LSC)”. En este caso: LIC = L – E LSC = L + E Sea X una población distribuida con una media µ desconocida y varianza σ 2 conocida. Para hallar un intervalo de confianza para µ se necesita encontrar

dos estadísticos p [θ 1 ≤ µ ≤ θ 2 ] = 1 − α Para una muestra aleatoria de tamaño n suficientemente grande (n ≥30), por el teorema de límite central x ≈ N ( µ ,

σ2

) n Si x es una población normal, entonces x es normal para toda muestra n. Z=

Además se tiene

x−µ

σ

n Por la simetría tiene p [− Z tab ≤ Z ≤ + Z tab

de

]= 1 − α

la

curva

normal

se

σ σ   p  x − Z tab ≤ µ ≤ x + Z tab  =1−α n n  Entonces el intervalo de confianza está dado por

σ   x − Z tab n 

,

x + Z tab

σ   n

INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDIAS POBLACIONALES Desviación estándar poblacional (σ σ) conocida El error estándar de estimación se calcula de la siguiente forma:

E = Z tab * σ x

σx =

σ n

Donde:

σx

: Error estándar de la media para una población n : tamaño de muestra Ztab : se obtiene a partir del nivel de confianza


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Desviación estándar poblacional (σ σ) desconocida Si n ≥ 30, el error de estimación se calcula según la fórmula: ∧

E = Z tab * σ x ∧ S σx = n Donde: S: desviación estándar de la muestra ∧

σ

x : Error estándar de la media para la población n : tamaño de muestra. Ztab : se obtiene a partir del nivel de confianza.

Observación: Si se conoce el tamaño de la población (N) y el muestreo es sin reemplazo, se usa el factor de corrección para población finita (fc) que afecta y multiplica al error estándar de estimación. N−n fc = N −1 Tamaño mínimo de muestra para estimar la media poblacional El tamaño mínimo de muestra se puede calcular a partir de la siguiente expresión:

Z tab σ 2 n= E2 2

Para tener el tamaño mínimo de la muestra de una población finita, se aplica el factor de corrección para población finita

E2 =

Z tabσ n

N −n N −1

Z tab σ 2 n = N −n E2 ( ) N −1 2

Luego:

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES CON AMBAS DESVIACIONES ESTÁNDAR CONOCIDAS Y MUESTRAS GRANDES 2 Sea X una variable aleatoria distribuida con media µ x y varianza σ x conocida. Sea Y una variable aleatoria distribuida con media µ x y varianza σ x conocida. Para hallar el intervalo de confianza para la diferencia de las medias µ x − µ y , 2

se debe encontrar dos estadísticos

p [LIC ≤ µ 1 − µ 2 ≤ LSC

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]= 1 − α CARRERAS PROFESIONALES

24

1. Se elige un nivel de confianza (1 – α) 2. Considérese una muestra aleatoria de tamaño n ≥ 30 de X, y una muestra aleatoria de tamaño m ≥ 30 de Y. 3. Se sabe que la estadística adecuada para estimar ( µ x − µ y ) es ( X − Y ) , entonces se asume una distribución muestral de ( X − Y ) para establecer un intervalo de confianza para ( µ x − µ y ) . 4. Para n y m suficientemente grande (n ≥ 30 y m ≥ 30); la variable aleatoria Z tiene una distribución aproximadamente normal estándar. Z=

( X − Y ) − (µ x − µ y )

σ x2 n

+

σ y2 m

Luego: 2 2  σ x2 σ y σ x2 σ y   =1−α + ≤ µ1 − µ 2 ≤ ( X − Y ) + Z o + p ( X − Y ) − Z o n m n m   

Se obtiene el intervalo aleatorio 2  σ x2 σ y ( X − Y ) − Z o + n m 

,

(X − Y ) + Zo

σ x2 n

+

σ y2   m  

ACTIVIDADES 1. Se toma una muestra de 60 individuos de una población que se sabe tiene una desviación estándar de 1,4. Se encuentra que la media de esta muestra es de 6,2. Construya una estimación de intervalo alrededor de la media de la muestra, utilizando un error estándar de la media.


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2. La Universidad de Ciencias Aplicadas está realizando un estudio sobre el peso promedio de los ladrillos que comprenden los pasillos de la universidad. Se enviaron trabajadores que recolecten y pesen una muestra de 421 ladrillos; el peso promedio de esta muestra fue de 6,4 kg. Se sabe con toda certeza que la desviación estándar del peso de los ladrillos es de 3,6 kilogramos. ¿Cuál es el intervalo alrededor de la media de la muestra que incluirá a la media de la población 95,5% de las veces?

3. Para una población con una varianza conocida de 185, una muestra de 64 individuos conduce al valor de 217 como estimación de la media. Construya una estimación de intervalo que incluya a la media de la población 68,3% de las veces.

5 El administrador del Emape está preocupado acerca de la cantidad de automóviles que pasan por las casetas de cobro sin pagar, y está considerando cambiar la manera de hacer los cobros si tal cambio resulta efectivo en cuanto a costos. Se muestreó al azar 75 horas para determinar la tasa de violación. El número promedio de violaciones por hora fue de 7. Si se sabe que la desviación estándar de la población es de 0,9, estime un intervalo que tenga 95,5% de probabilidad de contener a la media real.

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6. La desviación estándar de la duración de los focos de una determinada fábrica es de 100 horas. Para un embarque de 2000 focos, el gerente de control de calidad desea determinar el tamaño de la muestra necesaria, para estimar la duración promedio con error de estimación de 20 horas y un 95% de confianza.

7. Para su producción total de bombillas, la gerencia de una firma electrónica está segura que los limites superior e inferior de vida no difieren en más de 600 horas. Para un nivel de confianza del 90%. ¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para encontrar la vida promedio de una bombilla dentro de más y menos 30 horas?


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8. La media y la desviación estándar de las cargas máximas soportadas por 100 cables producidos por la compañía DURAMAS son 20 toneladas y 1,1 toneladas. La media y la desviación estándar de las cargas máximas soportadas por 60 cables producidos por la compañía CABLECOM son 16 toneladas y 0,8 toneladas. Determine el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de cargas máximas medias.

9. Una muestra de 150 bombillas del fabricante A dieron una vida media de 1400 horas y una desviación estándar de 120 horas. Una muestra de 100 bombillas del fabricante B dieron una vida media de 1200 horas y una desviación estándar de 80 horas. Halle el intervalo de confianza al 99% para la diferencia de las vidas medias de las poblaciones A y B.

Autoevaluación 1. La panificadora Gabino está interesada en adquirir una camioneta usada. Selecciona al azar 125 ofertas de venta y encuentra que el precio promedio de una camioneta en esta muestra es de $3250. La empresa sabe que la desviación estándar de los precios de las camionetas usadas en la ciudad es de $615. Construya una estimación de intervalo para el precio promedio

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de una camioneta de modo que se pueda tener un 95,5% de certeza de que la media de la población se encuentra en dicho intervalo. 2. La junta directiva de los colegios PAMER considera como su tarea más importante el mantener la cantidad promedio de los alumnos por aula, por debajo del tamaño promedio de las aulas de los colegios TRILCE. El señor Córdova, coordinador de los colegios PAMER, acaba de recibir información confiable que indica que el tamaño de clase promedio de TRILCE en el presente año es de 30,3 estudiantes. Todavía no tiene los datos correspondientes de las 1 621 aulas que se tienen en su propio sistema escolarizado, de modo que Córdova se ve forzado a apoyarse en las 76 aulas que han informado acerca de su tamaño, lo cual le produce un promedio de 29,8 estudiantes. De saber que el tamaño de grupo de sus colegios tiene una distribución cuya media se desconoce y una desviación estándar de 8,3 estudiantes y suponiendo que la muestra de 76 aulas que tiene el señor Córdova es una muestra aleatoria de la población de las aulas del colegio PAMER: 2.1 Encuentre un intervalo en el cual Córdova pueda tener 9,5% de certeza de que contendrá a la medida real. 2.2 ¿Usted cree que el señor Córdova ha conseguido su objetivo? 3. Tula, dueña del salón de belleza Stylos, se ha formado de una buena reputación entre los residentes del cono este. Cuando un cliente entra a su establecimiento, Tula grita los minutos que el cliente deberá esperar antes de que se le atienda. El único estadístico del lugar, después de ver el fracaso de las poco precisas estimaciones puntuales de Tula, ha determinado que el tiempo de espera real de cualquier cliente está distribuido normalmente con una media igual a la estimación de Tula en minutos y una desviación estándar igual a cinco minutos divididos entre la posición del cliente en la fila de espera. Ayude a los clientes de Tula a construir intervalos de 95% de probabilidad para las situaciones siguientes: 3.1 El cliente es el segundo en la fila de espera, y la estimación de Tula es de 25 minutos. 3.2 El cliente es el tercero de la fila, y la estimación de Tula es de 15 minutos. 4. El gerente de la división de focos ahorradores de Jossfel Electric debe determinar el número promedio de horas que durarán los focos fabricados por cada una de las máquinas. Fue elegida una muestra de 40 focos de una máquina A y el tiempo promedio de funcionamiento fue de 1,416 horas. Se sabe que la desviación estándar del tiempo te duración es de 30 horas. 4.1 Calcule el error estándar de la media 4.2 Construya un intervalo de confianza de 90% para la media de la población. 5. Javier López acaba de terminar el primer borrador de su tesis, la cual tiene 700 páginas. Javier escribió a máquina el borrador y está interesado en saber el número promedio de errores tipográficos contenidos por página, pero no quiere leer todo el borrador. Como sabe un poco de estadística


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financiera, Javier seleccionó al azar 40 páginas para su lectura y encontró que el número promedio de errores “de dedo” por página era de 4,3; y la desviación estándar de la muestra fue de 1,2 errores por página. 5.1 Calcule el error estándar estimado de la media. 5.2 Construya para Javier un intervalo de confianza de 90% para el número real de errores por página que hay en su escrito. 6. De una población de 540 individuos, se toma una muestra de 60. A partir de esta e encuentra, que la media es de 6,2 y la desviación estándar de 1368. 6.1 Encuentre el error estándar estimado de la media. 6.2 Construya un intervalo de confianza de 96% para la media. 7. En una prueba de seguridad automovilística efectuada por el Centro de Investigación en Seguridad Carretera del Callao, la presión promedio en las llantas de los autos de una muestra de 62 llantas fue de 24 libras por pulgada cuadrada y la desviación estándar fue de 2,1 libras por pulgada cuadrada. 7.1 ¿Cuál es la desviación estándar estimada para esta población? (Hay aproximadamente un millón de autos registrados en el Callao) 7.2 Calcule el error estándar estimado de la media. 7.3 Construya un intervalo de confianza de 95% para la media de la población. 8. Un corredor de la Bolsa de Valores de Lima tiene curiosidad acerca de la cantidad de tiempo que existe entre la colocación de una orden de venta y su ejecución. Para ello se hizo un muestreo de 45 órdenes y encontró que el tiempo medio para la ejecución fue de 24,3 minutos, con una desviación estándar de 3,2 minutos. Ayude al corredor de bolsa con la construcción de un intervalo de confianza de 95% para el tiempo medio para la ejecución de una orden. 9. Una firma constructora desea estimar la resistencia media de las barras de acero utilizadas en la construcción de edificios de departamentos. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para garantizar que exista un riesgo de sólo 0., de sobrepasar un error de 5 Kg. o más en la estimación, si la desviación estándar de la resistencia de este tipo de barras se estima en 25 kg?

10. El dueño del recientemente abierto restaurante La buena muerte ha tenido dificultades al estimar la cantidad de comida que se debe preparar cada tarde. Él ha decidido determinar el número medio de clientes a los que se atiende cada noche. Seleccionó una muestra de 30 noches que le arrojaron una media de 71 clientes. Se llegó a la conclusión de que la desviación estándar de la población es de 3,76. Dé una estimación de intervalo que tenga 99,7% de probabilidad de incluir a la media de la población.

11. El gerente de producción de Pulpas Andinas está preocupado debido a que las heladas de los últimos tres años han estado dañando los 2 500

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duraznos que posee la compañía. Con el fin de determinar el grado de daño ocasionado a los árboles, se ha escogido una muestra de 42 duraznos y se encontró que la producción promedio fue de 525 duraznos por árbol, con una desviación estándar de 30 duraznos por árbol. 11.1 Construya un intervalo de confianza de 98% para la producción media por árbol del total de 2500 árboles. 11.2 Si la producción media de duraznos por árbol fue de 600 frutas hace cinco años, ¿qué puede decir el gerente acerca de la posible existencia de daños en el presente? 12. El jefe de las fuerzas policiales recientemente estableció medidas enérgicas para contrarrestar a los traficantes de droga de su ciudad. Desde que se pusieron en funcionamiento dichas medidas, han sido capturados 750 de los 12368 traficantes de droga de la ciudad. El valor promedio, en dólares, de las drogas decomisadas a estos 750 traficantes es de $250000. La desviación estándar del valor en dólares de la droga de estos 750 traficantes es de $41000. Construya, para el jefe, un intervalo de confianza de 90% para el valor medio de los estupefacientes que están en manos de los narcotraficantes de la ciudad. 13. Una compañía tiene 500 cables. Un ensayo con 40 cables elegidos al azar dieron una media de resistencia a la rotura de 2400 libras y una desviación típica de 150 libras. ¿Con qué grado de confianza cabe decir que la media de resistencia a la rotura de los 460 cables restantes sea 2400 ± 35 libras? 14. En una granja de 1000 pollos se va a experimentar con una nueva dieta de engorde. Si se sabe que la desviación típica del aumento de peso en un periodo de un mes es igual a dos onzas. ¿Qué tamaño debe tomarse una muestra que conduzca a una estimación del aumento de peso de la totalidad de la parvada, si se quiere que esta estimación no contenga un error mayor que 40 lb. (una 1b = 16 oz.) con probabilidad de 0.95? 15. De una orden especial de 1500 taladros recibidos de la compañía Andina de máquinas y herramientas, se probó una muestra de 36 taladros. La muestra tuvo una vida de 1800 horas y una desviación estándar de 150 horas. Construya un intervalo de confianza de un 98% para la vida media de los taladros. 16. De qué tamaño debe ser la muestra para poder tener 95% de confianza en que el error de estimación es de 5 o menos. Suponga que la desviación estándar poblacional es de 25. 17. La revista “Unidos por Siempre” dio a conocer el costo promedio de una boda, que es de s/. 19000 soles. Suponga que la desviación estándar poblacional es de s/. 9400 con una confiabilidad del 95%. ¿Qué tamaño debe tener la muestra si el error de estimación deseado es de s/. 1000 soles? 18. Se cree que los sueldos anuales iniciales de egresados de licenciatura en administración pueden tener una desviación estándar aproximada de $


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2000. Suponga que desea una estimación por intervalo de 95% de nivel de confianza para la media del sueldo anual inicial. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra, si el error de estimación deseado es de $ 200. 19. La empresa de bienes y raíces Fortaleza proporciona costos promedios mensuales de renta de departamentos en el departamento de Arequipa. Suponga que la desviación estándar poblacional es de s/. 220 soles y que el error de estimación es de s/. 50. ¿Cuál es el tamaño de la muestra recomendada para una estimación del intervalo de confianza de 90% del costo de renta promedio poblacional? 20. El tiempo de traslado al trabajo, para residentes en los conos de la ciudad de Lima, tiene una distribución normal con desviación estándar de 6,25 minutos. Si el error de estimación es de 2 minutos. ¿Qué tamaño debe tener la muestra, a una confiabilidad del 90%? 21. Determine el tamaño mínimo de muestra que se debe tomar para estimar al 85% de confianza el porcentaje de limeños que actualmente utiliza Internet diariamente. El año pasado se realizó una investigación que indicó que el 18% de los limeños utilizaba Internet diariamente. Se desea que el error al hacer la estimación no sea mayor que 5%. 22. Un ingeniero industrial está interesado en estimar el tiempo medio requerido para ensamblar una tarjeta de circuito impreso. ¿Qué tan grande debe ser la muestra si el ingeniero desea tener una confianza del 95% de que el error de estimación de la media es menor que 0.25 minutos? La desviación estándar del tiempo de ensamble es 0.45 minutos. 23. Una tienda de departamentos desea estimar, con un nivel de confianza de 0.98 y un error máximo de 0,5, el verdadero valor medio de dólares de las compras a crédito por mes realizadas por sus clientes. Dado que la desviación típica es $ 15, determine el tamaño de la muestra. 24. De dos análogos grupos de enfermos A y B formados de 50 y 100 individuos respectivamente, al primero le fue dado un nuevo tipo de somnífero y al segundo el tipo convencional. Para los pacientes del primer grupo el número medio de horas de sueño fue de 7,82 horas con una desviación estándar de 0,24 horas. Para el segundo grupo el número medio de horas de sueño fue de 6,75 horas con una desviación estándar de 0,30 horas. Halle el intervalo de confianza al 99% para la diferencia del número de horas de sueño inducidas por los dos tipos de somnífero. 25. Una muestra al azar de 200 pilas de la marca A para calculadoras tiene una vida media de 140 horas y una desviación estándar de 10 horas. Una muestra al azar de 120 pilas de la marca B para calculadoras tiene una vida media de 125 horas y una desviación estándar de 9 horas. Determine el intervalo de confianza al 99% para la diferencia de medias de las dos marcas de pilas para calculadoras

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26. Dos grupos al azar de 50 alumnas de una escuela para secretarias ejecutivas aprende taquigrafía por dos sistemas diferentes y luego se someten a una prueba de dictado. Se encuentra que en un minuto el primer grupo obtiene en promedio de 120 palabras con una desviación estándar de 11 palabras, mientras que en un minuto el segundo grupo promedia 110 palabras con una desviación estándar de 10 palabras. Determine el intervalo de confianza al 90% para la diferencia de las medias de los dos métodos. 27. Un investigador desea comparar la efectividad de dos métodos de entrenamiento industrial para obreros que trabajan en plantas ensambladoras de autos. A un primer grupo de 50 trabajadores seleccionados al azar, se les entrena en un nuevo método de ensamblado denominado método I, mientras que al segundo grupo de 60 trabajadores se les capacita con el método II. Después, se observa la efectividad de los dos métodos aprendidos. El primer grupo disminuye el tiempo de ensamblado con un promedio de 48 minutos y una desviación estándar de 9 minutos, mientras que el segundo grupo lo hace con un promedio de 53 minutos y desviación estándar de 12 minutos. Determine el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de las medias de los dos métodos aprendidos.


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Para recordar

La precisión de una estimación puntual puede evaluarse en la muestra, por estimación de un intervalo junto con una medida de la seguridad que tal intervalo contenga la parámetro desconocido de la población.

El intervalo aleatorio es un intervalo en el cual por lo menos uno de sus extremos es una variable aleatoria.

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SEMANA

3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS PEQUEÑAS

TEMAS • •

Intervalo de confianza para la media con varianza desconocida. Muestra pequeña. Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzas desconocidas pero iguales. Muestras pequeñas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS • •

Construir intervalos de confianza para muestras pequeñas Construir intervalos de confianza para diferencias de medias, con varianzas desconocidas pero iguales, muestras pequeñas

CONTENIDOS • •

Intervalo de confianza para la media con varianza desconocida, Muestra pequeña Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzas desconocidas pero iguales. Muestras pequeñas


Utilizan el concepto de estimación puntual. Interpretan el concepto de estimación por intervalo. Realizan estimaciones de la media poblacional mediante intervalos de confianza para muestras pequeñas utilizando la distribución t student.

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INTERVALO DE CONFIANZA MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN T Los primeros trabajos teóricos sobre la distribución t fueron hechos por W. S. Gossett, durante los primeros años del siglo XX en Dublín, Irlanda, y adoptó el seudónimo de Student, conocida como la distribución t de student. La distribución t de student se utiliza cuando el tamaño de la muestra es menor de 30 datos y la desviación estándar de la población no se conoce. Además, al utilizar la distribución t de student, se supone que la población es normal o aproximadamente normal. Los grados de libertad se definen como el número de valores que se pueden Se escoge libremente. Cuando se elije una distribución t de student para estimar una media de la población se utilizará (n – 1) grados de libertad, tomando como n al tamaño de la muestra. Sea X una variable aleatoria con distribución aproximadamente normal, con media µ y varianza σ 2 (desconocida). Además, cuando σ 2 es desconocida se usa el estimador puntual S 2 . Considérese una muestra aleatoria de tamaño n (n<30), la media x y la desviación estándar muestral S Se sabe que x es adecuada para estimar µ , pero como σ 2 es desconocida se usará la distribución muestral de la variable aleatoria T con (n-1) grados de libertad. T=

x−µ S

n Para hallar un intervalo de confianza para µ se necesita encontrar dos estadísticos.

p [θ 1 ≤ µ ≤ θ 2 ] = 1 − α

Por la simetría de la curva normal se tiene p [− t tab ≤ T ≤ + t tab

]= 1 − α

S S   p  x − t tab ≤ µ ≤ x + t tab  =1−α n n  Entonces el intervalo de confianza está dado por

S   x − t tab n 

,

x + t tab

S   n

Desviación estándar poblacional (σ σ) desconocida Si n < 30, el error de estimación se calcula según la fórmula: p [L − E ≤ θ ≤ L + E ] = 1 − α


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L: E: 1 - α: θ:

Estadístico correspondiente Error estándar de estimación Nivel de confianza Parámetro por estimar ∧

E = Ttab * σ x ∧

σx =

S n

Donde: S : desviación estándar de la muestra ∧

σ

: Error estándar de la media para una población Ttab : Valor obtenido de la tabla de T - Student para "n - 1" grados de libertad x

Observación: Si se conoce el tamaño de la población (N) y el muestreo es sin reemplazo, se usa el factor de corrección para población finita (fc) que afecta y multiplica al error estándar de estimación (E).

fc =

N−n N −1

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES Y MUESTRAS PEQUEÑAS 2 Sea X una variable aleatoria distribuida con media µ x y varianza σ x desconocida. Sea Y una variable aleatoria distribuida con media µ x y varianza

σ x 2 desconocida. Sea X la media muestral de una muestra aleatoria de n (n< 30) observaciones de X y sea Y la media muestral de una muestra aleatoria de m (m<30) observaciones de Y. La variable aleatoria t tiene (n+m -2) grados de libertad desde que la distribución de la variable aleatoria t no depende de ( µ x − µ y ) T=

( X − Y ) − (µ x − µ y ) 2 2 1 1 (n − 1) S x + (m − 1) S y − n m n+m−2

Donde: S c : es la desviación estándar combinada de las dos muestras

Sc =

(n − 1) S x2 + (m − 1) S y2 n+m−2

p [LIC ≤ µ 1 − µ 2 ≤ LSC

]= 1 − α

Luego:

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 p ( X − Y ) − t o S c 

1 1 + ≤ µ1 − µ 2 ≤ ( X − Y ) + to S c n m

1 1  +  =1−α n m

Se obtiene el intervalo aleatorio

 ( X − Y ) − t o S c 

1 1 + n m

,

( X − Y ) + to S c

1 1  +  n m

ACTIVIDADES 1. De una muestra de 18 gasolineras REPSOL tomadas en la ciudad de Lima, se encontró que el precio promedio de un galón de gasolina sin plomo es de $ 3,17; con una desviación estándar de $ 0,08 por galón. Halle el intervalo de confianza al 95% para el valor real del precio medio de la gasolina sin plomo por galón.

2. Al ensayar un nuevo método de producción, se seleccionaron a 18 empleados al azar, cuya tasa de producción promedio fue de 80 partes por hora, con una desviación estándar de 10 partes por hora. Determine el intervalo de confianza al 90% de la tasa de producción promedio poblacional.

3.

En un laboratorio de ensayos de materiales se analiza 20 cables para obtener sus cargas de rotura a la tracción Kg./cm2. Considerando que estas


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cargas se distribuyen normalmente, determine el intervalo de confianza al 90%. 280 302

295 305

289 398

294 397

308 300

320 365

350 380

300 395

310 399

285 360

4. Una agencia de publicidad tiene un registro de datos sobre minutos de anuncios por cada media hora de programas principales de TV. En la siguiente tabla se ve una lista de datos representativos de una muestra de 20 programas preferentes en cadenas principales a las 20:30 horas. 6,0 5,8

7,0 6,7

1,2 6,0

6,6 7,3

6,9 6,6

6,7 6,4

7,2 7,3

7,0 7,2

7,0 6,0

6,3 6,8

Suponiendo que la población es normal, halle el intervalo de confianza al 95% para el número promedio de minutos de anuncios en los principales programas televisivos a las 20:30 p.m.

6. En la siguiente tabla, se presentan los puntos de fusión en grados centígrados de un compuesto químico realizado por dos analistas.

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Analista 164,4 165,2 169,2 168,2 167,3 168,2 169,5 167,2 168,1 169,3 01 Analista 163,2 165,3 167,2 168,9 169,9 165,4 167,3 162,3 163,2 165,2 02 Determine el intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias entre analistas. Suponga que las varianzas son iguales pero desconocidas.

7. Los tiempos de encendido en segundos de crisoles de humo flotante de dos tipos diferentes son los siguientes: TIPO 1

481

506

494

506

661

572

602

487

524

661

TIPO 2

526

511

556

542

491

498

537

582

605

605

Determine el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias entre analistas. Suponga que las varianzas son iguales pero desconocidas.

8. Dos analistas tomaron lecturas repetidas en la dureza del agua de las napas freáticas a lo largo del valle del Rimac. Determine un intervalo de confianza


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del 95% para la diferencia de lecturas entre los analistas, suponiendo varianzas iguales pero desconocidas. Analista A

0,46 0,62 0,37 0,45 0,38 0,37 0,44 0,48 0,53 0,47

Analista B

0,82 0,64 0,54 0,55 0,58 0,42 0,48 0,33 0,32 0,25

Autoevaluación 1. Se pidió al personal de ventas de la Distribuidora Continental que presentara informes semanales con los clientes llamados durante la semana. En una muestra de 18 informes semanales se determinó un promedio de 22,4 llamadas a clientes por semana y una desviación estándar de 5 llamadas. Determine el intervalo de confianza al 95% para el número promedio de llamadas semanales a clientes. 2. El diámetro final de un cable eléctrico blindado se distribuye normalmente. Si se toma una muestra de 20 de estos cables, se encuentra que su media es de 0,790 y una desviación estándar es de 0,01. Encuentre el intervalo de confianza al 95%. 3. En un estudio realizado por TEXACO acerca de los precios de la gasolina de 97 octanos en los diferentes grifos de la capital, se encontraron los siguientes precios por galón automóviles. 4,03 4,05 4,15 4,00 3,99 4,00 3,98 3,97 4,10 4,12 4,08 4,05 4,00 4,04 4,05 4,00 3,99 3,97 4,00 3,98 Si el precio de venta de gasolina de 97 octanos sigue una distribución normal, determine el intervalo de confianza al 95% del precio promedio poblacional. 4. La cantidad de horas que duerme una persona que sobresale en su trabajo tiene una distribución normal. En la siguiente tabla se observa la cantidad de horas de sueño por noche de 24 individuos que sobresalen en su trabajo. 6,2 CIBERTEC

6,3

6,4

6,0

7,0

5,9

5,9

6,0


42

7,0 7,0

6,3 6,1

6,5 6,2

5,8 6,8

5,5 5,8

5,2 5,8

6,4 5,7

6,2 6,0

Determine el intervalo de confianza al 95%, para el número promedio de la población de personas que sobresale en su trabajo. 5. A un laboratorio de ensayo de materiales se lleva una muestra de 12 cables para obtener sus cargas de rotura a la tracción. Los resultados obtenidos (en Kg. /cm2) fueron las siguientes: 280 295 298 310 312 297 285 265 279 308 300 290 Considerando que estas cargas poseen distribución de probabilidad normal, determine el intervalo de confianza de 90% para la media de la población. 6.

El tiempo que demora una computadora marca PIGS en acceder al programa XXX, es una variable aleatoria continua. Se realizaron 12 mediciones de tiempo (en segundos): 20,0 21,5 19,7 20,6 19,5 18,4 19,6 20,8 21,9 21,4 20,0 21,5 Estime el tiempo real que demora la computadora marca PIGS en acceder al programa con un nivel de confianza del 95%.

7. Una máquina produce barras metálicas que se usan en el sistema de suspensión de un automóvil. Se selecciona una muestra aleatoria de 20 barras y se mide el diámetro. Los resultados se muestran a continuación. Suponga que el diámetro de las barras se distribuye normalmente. Construya un intervalo de confianza del 95% respecto al diámetro de barra medio. 8,24 8,31

8,23 8,26

8,20 8,25

8,29 8,29

8,31 8,27

8,25 8,32

8,24 8,31

8,31 8,21

8,29 8,20

8,20 8,30

8. Se desea estimar el tiempo promedio que se demora en instalar un determinado programa en 300 computadoras. Para ello se midió el tiempo en minutos de instalación en 12 computadoras y se obtuvo los siguientes resultados: 5,0

4,2

4,8

5,2

5,5

5,9

6,1

6,8

5,2

4,2

5,8

4,5

Con estos datos estime (puntual y por intervalo de confianza) el tiempo promedio de instalación. Interprete. 9. Se prueba una muestra aleatoria de 12 fusibles de cierta marca para determinar el punto de ruptura. Los puntos de ruptura medidos en amperes fueron los siguientes:


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ESTADISTICA II

43

18

22

14

19

21

23

17

26

28

12

14

26

¿Con qué grado de confianza puede afirmarse que el punto medio de ruptura para esta marca de fusibles está entre 15,736 y 24,264? 10. Las cajas de un cereal producidos por una fábrica deben tener un contenido de 16 onzas. Un inspector tomó una muestra que arrojó los siguientes pesos en onzas: 15,7 16,2

15,8 15,8

15,4 15,7

16,2 15,4

16,8 15,2

15,4 16,2

15,9 16,3

16,1 15,7

Calcule intervalos de confianza del 90% para la media poblacional y la varianza poblacional de los pesos. 11. Los siguientes datos corresponden a los tiempos de duración en minutos de las películas producidas por dos compañías cinematográficas. Compañía A Compañía B

103 97

94 94

95 100

85 105

102 150

98 120

100 92

Si los tiempos de duración tienen una distribución aproximadamente normal, determine el intervalo de confianza al 90% para la diferencia entre los tiempos promedios de las películas producidas por las compañías. 12. Una compañía productora de maíz híbrido planta dos nuevas hileras de maíz hídrico en 10 granjas diferentes. Las producciones en bushel por acre fueron las siguientes: Hídrico I

90

85

94

78

86

85

92

95

95

82

Hídrico II

84

89

87

92

90

91

87

87

81

80

Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las dos producciones medias de maíz híbrido.

Para recordar

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La precisión de una estimación puntual puede evaluarse en la muestra menor de 30, por estimación de un intervalo aplicando la tabla de distribución t´student. Los datos tienen que ser de muestra, como la media muestral y la desviación estándar muestral.


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ESTADISTICA II

45

SEMANA

4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN TEMAS • • • •

Intervalo de confianza para una proporción. Muestras grandes Tamaño muestral para estimar una proporción Tamaño de muestra para poblaciones finitas Intervalo de confianza para diferencia de proporciones


Construir intervalos de confianza para las proporciones. Elaborar intervalos de confianza para las proporciones, relacionándolas con sus respectivos parámetros poblacionales.


Intervalo de confianza para una proporción. Muestras grandes Tamaño muestral para estimar una proporción Tamaño de muestra para poblaciones finitas Intervalo de confianza para diferencia de proporciones


Utilizan el concepto de estimación puntual. Interpretan el concepto de estimación por intervalo. Realizan estimaciones de la media poblacional mediante intervalos de confianza para las proporciones utilizando la distribución normal.

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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LAS PROPORCIONES Un estimador puntual de la proporción p de una distribución binomial está dado ∧ x por p = , que es usado como un estimado puntual del parámetro p. n Si p es desconocido, se puede establecer un intervalo de confianza para p (p1 ≤ p ≤ p2), considerando la distribución muestral de p, como la misma de la variable aleatoria x. Para una muestra aleatoria de tamaño n suficientemente grande (n ≥30), ∧

La variable aleatoria p tiene una distribución aproximadamente normal con: ∧ π (1 − π ) Media µ p = E ( p) = π Varianza σ p2 = n ∧

p− π

La variable aleatoria Z =

n

normal estándar para n grande

∧ p  p − Z tab  

tiene una distribución aproximadamente

π (1 − π )

∧

p [− Z tab ≤ Z ≤ + Z tab ∧

∧ p (1 − p ) ≤ π ≤ p + Z tab n

]= 1 − α

∧ ∧  p (1 − p )  =1−α  n 

Entonces el intervalo de confianza para p esta dada por:

∧  p− Z tab  

∧

∧

p (1 − p ) n

∧

p + Z tab

,

 p (1 − p )   n  ∧

∧

Intervalo de Confianza para proporciones poblacionales Se puede aproximar cuando "n" es suficientemente grande. El error estándar de estimación se calcula de la siguiente forma: ∧

E = Z tab Donde:

∧

p(1 − p) n

p: proporción muestral n: tamaño de la muestra

Tamaño mínimo de muestra para estimar la proporción poblacional El tamaño mínimo de muestra se puede calcular a partir de las siguientes expresiones: a) Cuando se conoce una proporción (p) que se refiere a la misma variable de estudio: ∧

∧

z 2 p (1 − p ) n= E2


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ESTADISTICA II

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b) Cuando no hay un conocimiento previo del parámetro materia de estudio:

z2 n= 4E 2 Observación: Si se conoce el tamaño de la población (N) y el muestreo es sin reemplazo se usa el factor de corrección para población finita (fc) que afecta y multiplica al error estándar de estimación (E). fc =

N−n N −1

El tamaño mínimo de muestra para una población finita usa el factor de corrección para la población ∧

2 E 2 = Ztab (

∧

p (1 − p ) N − n )( ) n N −1 ∧ 2 tab

∧

Z p(1 − p ) n ) = 2 N −n E ( ) N −1 INTERVALO DE PROPORCIONES

CONFIANZA

PARA

LA

DIFERENCIA

DE

LAS

Considérese dos muestras independientes de tamaño n1 y n2 seleccionados aleatoriamente de dos poblaciones binomiales con medias n1p1, n2p2 y varianzas n1p1(1- p1) y n2p2(1- p2), respectivamente. 1. Se elige un nivel de confianza (1 – α) 2. Considérese una muestra aleatoria de tamaño n1 suficientemente grandes.

y n2 que son ∧

∧

3. Se sabe que la estadística adecuada para estimar (π 1 − π 2 ) es ( p1 − p 2 ) , ∧

∧

entonces se asume una distribución muestral de ( p1 − p 2 ) para establecer un intervalo de confianza para (π 1 − π 2 ) . 4. Para n1 y n2 suficientemente grande (n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30), la variable aleatoria Z tiene una distribución aproximadamente normal estándar. ∧

Z =

∧

( p 1 − p 2 ) − (π 1 − π 2 )

π 1 (1 − π 1 ) n1

+

π 2 (1 − π 2 ) n2

Luego:

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∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  ∧ ∧  ∧ ∧ p ( 1 − p ) p ( 1 − p ) p ( 1 − p ) p ( 1 − p  1 1 2 2 1 1 2 2)  p ( p1 − p2 ) − Zo + ≤ (π1 −π2 ) ≤ ( p1 − p2 ) + Zo + =1−α   n1 n2 n1 n2  

Se obtiene el intervalo aleatorio ∧ ∧ ∧ ∧  ∧ ∧ − − p ( 1 p ) p ( 1 p ( p − p ) − Z 1 1 2) + 2 1 2 tab  n1 n2 

∧

,

∧

( p1 − p2 ) + Ztab

∧ ∧ ∧ ∧  p1 (1 − p1 ) p 2 (1 − p 2 )  +  n1 n2 

ACTIVIDADES 1. Una tienda de computación, que compra al mayoreo chips sin probar para computadoras, está considerando cambiar de proveedor por otro que se los suministre probados y con una garantía a un precio más alto. Con el fin de saber si este es un plan costeable, determine la porción de chips defectuosos que le suministra su actual proveedor. Se probó una muestra de 200 chips y de éstos, 5% tenía defectos. a) Estime el error estándar de la porción de chips defectuosos. b) Construya un intervalo de confianza de 98% para la porción de chips defectuosos adquiridos.

2. Una muestra de 70 ejecutivos de una pequeña empresa fue investigada con respecto al pobre desempeño que esta tuvo en marzo, 65% de los ejecutivos creía que la disminución de las ventas se debió al alza inesperada de la temperatura, lo cual trajo como consecuencia que los consumidores retardaran la adquisición de productos de invierno. 2.1 Estime el error estándar de la porción de ejecutivos que culpan de las ventas bajas al clima cálido. 2.2 Encuentre el límite superior e inferior para esta porción, dado un nivel de confianza igual a 0,95.


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3 La encargada de publicidad para un nuevo postre está intranquila por el bajo rendimiento del postre en el mercado y por su futuro en la empresa. Preocupada porque su estrategia de comercialización no ha producido una identificación apropiada de las características del producto, tomó como muestra a 1500 consumidores y encontró que 956 de estos pensaban que el producto era una cera para pulir pisos. 3.1 Estime el error estándar de la porción de personas que tuvo esta grave interpretación errónea sobre el postre. 3.2 Construya un intervalo de confianza de 96% para la porción real de la población.

4 Un connotado psicólogo social investigó a 150 altos ejecutivos y encontró que el 42% de ellos eran incapaces de sumar fracciones correctamente. 4.1 Estime el error estándar de la porción. 4.2 Construya un intervalo de confianza de 99% para la porción real de altos ejecutivos que no pueden sumar correctamente fracciones.

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50

5

En una encuesta se dice que el valor de planeación para la proporción poblacional es de 0,65. ¿De qué tamaño debe tomarse una muestra para tener el 90% de confiabilidad de que el error de estimación de una proporción poblacional sea de 0,03?

6 En una encuesta se dice que el valor de planeación para la proporción poblacional es de 0,35. ¿Qué tamaño debe tomar la muestra para obtener un intervalo de confianza al 95%, si su error de estimación es igual a 0,05?


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ESTADISTICA II

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7 En una encuesta se pidió a 814 adultos que contestaran un cuestionario acerca de sus ideas sobre al actual gobierno. A la pregunta: ¿Cree usted que todo va bien con la política de comercio exterior propiciado por el gobierno? 572 adultos contestaron Sí. ¿Cuál es el error de estimación con el 90% de confianza?

8 En una muestra al azar de 400 adultos y 600 adolescentes que veían cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 adolescentes dijeron que les gustaba. Halle los límites de confianza al 95% para la diferencia de proporciones de todos los adultos y adolescentes que ven el programa y les gusta.

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Autoevaluación 1. Durante un año y medio las ventas han estado disminuyendo de manera coherente en las 1500 sucursales de una cadena de comida rápida. Una empresa de asesores ha determinado que 30% de una muestra de 95 sucursales tienen claros signos de una mala administración. Construya un intervalo de confianza de 98% para esta porción. 2. La directiva estudiantil de una universidad tomó una muestra de 45 libros de texto de la librería universitaria y determinó que de ellos, 60% se vendía en más de 50% por arriba de su costo al mayoreo. Dé un intervalo para la porción de libros, cuyo precio establecido es más de 50% por encima de su costo, que tenga 96% de certeza de contener la porción verdadera. 3. Se desea conocer la porción de propietarios de acciones individuales que planean vender al menos un cuarto del total de sus valores el próximo mes. Se ha efectuado una inspección aleatoria de 800 individuos que poseen acciones y se ha establecido que el 25% de la muestra planea vender al menos un cuarto de sus acciones al mes siguiente. Construya un intervalo de confianza de 90% para la porción verdadera de accionistas individuales que planean vender al menos un cuarto de sus acciones durante el mes siguiente. 4. Durante cierta semana, una tienda de departamentos observó y registró que 5750 de las 12500 personas que entraron en la tienda hicieron por lo menos una compra. Tratando esto como una muestra al azar de todos los clientes potenciales, halle el intervalo de confianza del 99% para la proporción real de las personas que entran a la tienda y que harán por lo menos una compra. 5. Estudios realizados en 1998 concluyeron que el 55% de profesionales graduados antes de 1980 no conocían el manejo básico de Internet. Durante 1999 se realizó una encuesta a 1200 personas de las cuales 590 no conocían el manejo básico de Internet. Determine un intervalo de confianza del 98% para la proporción de profesionales graduados antes de 1980 que conocen el manejo de Internet. Si hoy se quiere averiguar el porcentaje de personas que trabajan con Microsoft Office, ¿qué tamaño de muestra se deberá tomar para estimar el porcentaje de personas que trabajan con Microsoft Office si el error máximo de estimación deberá ser del 3%? 6. Se realizó un muestreo para determinar las preferencias de las personas acerca de tres marcas de pantalones. De un total de 460 encuestados, 240 prefieren la marca A, 128 prefieren la marca B, 78 prefieren la marca C y el resto otras marcas. Construya un intervalo de confianza del 95% para el porcentaje de personas que prefiere los pantalones marca A. 7. En el Colegio Profesional de Psicoanalistas, de 1200 miembros, se realizó una encuesta para estimar el candidato que iba a ganar las elecciones al


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Decanato. De 150 personas, 90 votarían por el candidato A, 70 votarían por el candidato B y el resto no ha decidido aún su voto. Determine al 95% un intervalo de confianza para el porcentaje real de votos que tendrán los candidatos A y B. 8. La empresa XXX dedicada a la investigación de virus informáticos estima que el 2,5% de los virus que analiza no logran ser destruidos con un 0,5% de error de estimación. La empresa ZZZ, de la misma línea de investigación, tomó una muestra de 200 virus analizados y obtuvo que el 3% no pudo ser destruido. ¿Se puede determinar qué empresa es más eficiente en la destrucción de virus? Justifique cuantitativamente su respuesta. 9. Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes y se halla que 114 están contentos con el actual presidente. Halle un intervalo de confianza del 95% para la fracción de votantes que están a favor del actual presidente. 10. En una encuesta hecha por el Ministerio de Trabajo, se investigaron las razones por las que los pequeños empleadores ofrecen un plan de retiro para sus empleados. 33% de las veces se observó que la razón fue “ventaja competitiva en reclutamiento y retención”. ¿Qué tamaño de muestra se recomienda si un objetivo de la encuesta es estimar la proporción de los pequeños empleadores que ofrecen un plan de retiros principalmente para la “ventaja competitiva en reclutamiento y retención”, con un error de estimación del 3% y confiabilidad del 95%? 11. ADDAYC recurre a una encuesta permanente para obtener información actualizada acerca del público que va a los conciertos de sus agremiados en los teatros de la capital. Cada semana distribuye un cuestionario de una página en asientos aleatorios en teatros determinados. Sólo se necesitan 5 minutos para contestar el cuestionario, y permite que el público comunique sus ideas acerca de las actividades en el teatro. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para tener un error de estimación de 0,04 para cualquier proporción poblacional? Emplee un intervalo de confianza de 95% y un valor de planeación p= 0,50. 12. La oficina de planificación familiar de cierto distrito desea determinar la proporción de familias con un ingreso mensual inferior a los $150. Estudios previos han indicado que esta proporción era del 20%. ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confiabilidad del 95% que el error de estimación no sobrepase a 0,05. 13. En una muestra al azar de 600 mujeres, 300 indican que están a favor de la ayuda del estado a los colegios privados. En una muestra al azar de 400 hombres, 100 indican que están a favor del mismo. Determine un intervalo de confianza (a) del 95%, (b) 90% para la diferencia de proporciones de todas las mujeres y todos los hombres que favorecen tal ayuda. 14. Una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala

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nacional. En una muestra aleatoria de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizados con el artículo indicado. Calcule el intervalo de confianza de 95% para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. 15. Cierto genetista quiere conocer la proporción de hombres y mujeres de cierta ciudad que padecen un desornen sanguíneo menor. Una muestra aleatoria de 1000 mujeres arroja 250 afectadas, en tanto que una muestra de 1000 hombres 275 sufren el desorden. Establezca un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia entre la proporción de los hombres y mujeres que padecen tal desorden.

Para recordar

El estimador puntual de la proporción p en la distribución binomial se usa como estimador puntual del parámetro p.

Para una muestra aleatoria suficientemente grande , la variable aleatoria p tiene una distribución aproximadamente normal

.


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SEMANA

5 HIPÓTESIS ESTADÍSTICA TEMAS • Hipótesis estadística. Tipos de errores I y II. Nivel de significación. Región crítica o región de rechazo. Región de aceptación • Prueba de Hipótesis para medias, muestras grandes. Prueba bilateral de una hipótesis sobre la media • Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II • Prueba de Hipótesis para diferencia de media. Desviación estándar conocidas, Muestras grandes OBJETIVOS ESPECÍFICOS • •

Describir la hipótesis nula y la hipótesis alternativa de un problema. Determinar una estadística de prueba lógica y una regla de decisión para probar las hipótesis.

. CONTENIDOS • Hipótesis estadística. Tipos de errores I y II. Nivel de significación. Región crítica o región de rechazo. Región de aceptación. • Prueba de Hipótesis para medias, muestras grandes. Prueba bilateral de una hipótesis sobre la media • Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II • Prueba de Hipótesis para diferencia de media. Desviación estándar conocidas. Muestras grandes. ACTIVIDADES

•

Utilizan e interpreta el concepto de prueba de hipótesis, como el nivel de significancia, región crítica y región de aceptación. Toman decisiones de aceptación o rechazo de una hipótesis bajo consideraciones.

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HIPÓTESIS ESTADÍSTICA DECISIONES ESTADÍSTICAS Generalmente, en la práctica se tienen que tomar decisiones sobre poblaciones, partiendo de la información muestral de las mismas. Tales decisiones se llaman decisiones estadísticas. Por ejemplo, se puede querer decidir a partir de los datos del muestreo, si un sistema educacional es mejor que otro, si un suero nuevo es realmente efectivo para la cura de una enfermedad, si una moneda determinada está o no cargada, etc. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA. HIPÓTESIS NULA Para llegar a tomar decisiones, conviene hacer determinados supuestos o conjeturas acerca de las poblaciones que se estudian. Tales supuestos que pueden ser o no ciertos se llaman hipótesis estadísticas y, en general, lo son sobre las distribuciones de probabilidad de las poblaciones. En muchos casos se formulan las hipótesis estadísticas con el solo propósito de rechazarlas o invalidarlas. Si se quiere decidir sobre si un procedimiento es mejor que otro, se formula la hipótesis de que no hay diferencia entre los procedimientos (es decir, cualquier diferencia observada se debe meramente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tal hipótesis se llama también hipótesis nula y se denotan por Ho. Cualquier hipótesis que difiera de una hipótesis dada se llama hipótesis alternativa. Una hipótesis alternativa de la hipótesis nula se denota por H1. ENSAYOS DE HIPÓTESIS y SIGNIFICACIÓN Si en el supuesto de que una hipótesis determinada es cierta, se encuentra que los resultados observados en una muestra al azar difieren marcadamente de aquellos que cabía esperar con la hipótesis y con la variación propia del muestreo, se diría que las diferencias observadas son significativas y se estaría en condiciones de rechazar la hipótesis (o al menos no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida). Los procedimientos que facilitan el decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza o el determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados se llaman ensayos de hipótesis, ensayos de significación o reglas de decisión. ERRORES DE TIPO I Y TIPO II Si se rechaza una hipótesis cuando debería ser aceptada, se dice que se comete un error del Tipo I. Si, por el contrario, se acepta una hipótesis que debería ser rechazada, se dice que se comete un error del Tipo II. En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión equivocada.


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Decisión Aceptar Ho Aceptar H1

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Ho Verdadero Decisión Correcta Error tipo I

H1 Verdadero Error tipo II Decisión Correcta

Para que cualquier ensayo de hipótesis o reglas de decisión sea bueno, debe diseñarse de forma que minimice los errores de decisión. Esto no es tan sencillo como pueda parecer, puesto que para un tamaño de muestra dado, un intento de disminuir un tipo de error, va generalmente acompañado por un incremento en el otro tipo de error. En la práctica, un tipo de error puede tener más importancia que el otro, y as se tiende a conseguir poner una limitación al error de mayor importancia. La única forma de reducir al tiempo ambos tipos de error es incrementar el tamaño de la muestra, lo cual puede ser o no ser posible. NIVEL DE SIGNIFICACIÓN La probabilidad máxima con la que en el ensayo de una hipótesis se puede cometer un error del Tipo 1 se llama nivel de significación del ensayo. Esta probabilidad se denota frecuentemente por α ; generalmente, se fija antes de la extracción de las muestras, de modo que los resultados obtenidos no influyen en la elección. En la práctica, se acostumbra utilizar niveles de significación del 0,05 ó 0,01; aunque igualmente pueden emplearse otros valores. Si, por ejemplo, se elige un nivel de significación del 0,05 ó 5% al diseñar un ensayo de hipótesis, entonces hay aproximadamente 5 ocasiones en 100 en que se rechazaría la hipótesis cuando debería ser aceptada, es decir, se está con un 95 % de confianza de que se toma la decisión adecuada. En tal caso, se dice que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación del 0,05, lo que significa que se puede cometer error con una probabilidad de 0,05. REGIÓN DE ACEPTACIÓN Y DE RECHAZO Estadístico de prueba: valor obtenido a partir de la información muestral. Se utiliza para determinar si se rechaza o no la hipótesis. En una región donde la estadística de prueba prescrita conduce al rechazo de la hipótesis bajo consideración es llamada región crítica. En otras palabras, Región. Crítica o de Rechazo es la región que contiene los valores para los cuales se rechaza la hipótesis bajo consideración. Región de aceptación es la región que contiene a los valores para los cuales no se rechaza la hipótesis bajo consideración. Valor crítico: el punto que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula.

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Los pasos para la prueba de hipótesis, relativa al parámetro θ de una población puede resumirse como sigue: 1. Se formula la hipótesis nula e hipótesis alternativa de acuerdo con el problema. H o :θ = θo H o :θ = θo H o :θ = θo b) c) a) H1 : θ ≠ θ o H1 : θ < θ o H1 : θ > θ o 2. Se escoge un nivel de significancia o de riesgo 3. Se escoge la estadística de prueba apropiada, cuya distribución de muestreo sea conocida en el supuesto de que Ho es cierta 4. Establecer la región critica, es decir, determinar el valor (o valores) critico 5. Calcular el valor de la prueba estadística de una muestra aleatoria de tamaño n 6. Conclusión: rechazar Ho si la estadística tiene un valor en la región critica, caso contrario aceptar Ho

PRUEBA UNILATERAL DE UNA HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA Prueba de significancIa de una cola Caso I 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa H o : µ = µo H1 : µ < µo Donde µ o es el valor de la media poblacional. 2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. Una estadística para la media de la población es la media muestral x . Si la población es normal (o si la muestra es grande n ≥ 30 , aun cuando la población no es normal). La distribución de x es N ( µ , La variable aleatoria Z =

σ2 n

x − µo

σ

).

tiene una distribución normal estándar N

n (0,1) 4. La región critica (R.C.) es 〈−∞, Z α 〉 , donde Z o es tal que P[Z < Z α ] = α

5. Se calcula x de los datos, luego se obtiene Z x − µo Z=

σ

n


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ESTADISTICA II

59

6. Se compara Z con Zα. Si Z < Zα Z ∈ 〈−∞, Z α 〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si Z > Zα Z ∈ 〈 Z α , + ∞〉 , se acepta la hipótesis nula Ho

Región de Rechazo

Región de Aceptación 0

Zα

Caso II 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa H o : µ = µo H 1 : µ > µo Donde µ o es el valor de la media poblacional. 2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. Una estadística para la media de la población es la media muestral x . Si la población es normal (o si la muestra es grande n ≥ 30 , aun cuando la población no es normal).

La distribución de x es N ( µ , La variable aleatoria Z =

σ2

). n x − µo

σ

tiene una distribución normal estándar

n

N(0,1) 4. La región critica (R.C.) es 〈 Z α + ∞〉 , donde Z o es tal que P[Z > Z 1−α ] = α 5. Se calcula x de los datos, luego se obtiene Z x − µo Z=

σ

n

6. Se compara Z con Zo. Si Z > Z 1-α Z ∈ 〈 Z 1−α + ∞〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si Z < Z 1-α Z ∈ 〈−∞, Z 1−α 〉 , se acepta la hipótesis nula Ho

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Región de Rechazo Z 1−α

PRUEBA BILATERAL DE UNA HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA Prueba de significancia de dos colas 1. Se Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa H o : µ = µo H1 : µ ≠ µ o Donde µ o es el valor de la media poblacional. 2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. Una estadística para la media de la población es la media muestral x . Si la población es normal (o si la muestra es grande n ≥ 30 , aun cuando la población no es normal). La distribución de x es N ( µ , La variable aleatoria Z =

σ2

). n x − µo

σ

tiene una distribución normal estándar

n

N(0,1) 4. La región Aceptación (R.A.) es 〈 a, b〉 , donde a y b son tal que

[

]

P a < x < b = 1−α . Por la simetría de la curva normal, los valores críticos de a y b son simétricos con respecto a µ o

 a − µ b − µo x − µ o p ≤ ≤ σ σ  σ  n n n

   =1−α  

Luego, la región de aceptación:


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61

σ  µ o − Zα / 2 n 

,

µo + Zα /2

σ   n

5. Se calcula x a partir de la muestra observada,(también S si no se conoce la varianza σ 2 y la muestra n es grande) 6. Se compara Z con Z α/2. Si Z ∈ 〈−∞,− Z α / 2 〉 0 Z ∈ 〈+ Z α / 2 ,+∞〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si Z ∈ 〈− Z α / 2 ,+ Z α / 2 〉 , se acepta la hipótesis nula Ho

Región de Rechazo


Zα / 2

Región de Rechazo Zα / 2

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS En muchos ensayos de prueba de hipótesis se quiere determinar si existe o no una diferencia significativa entre las medias µ x y µ y de dos poblaciones o variables aleatorias X e Y. La prueba de hipótesis que comprenden dos medias son las mismas que la de una sola media, salvo que se necesitan dos muestras, una en cada población. La hipótesis nula Ho : µx = µy o Ho : µx − µ y = 0 Hipótesis alternativa: a) H1 : µ x ≠ µ y H1 : µ x − µ y ≠ 0 b

H1 : µ x 〈µ y

H 1 : µ x − µ y 〈0

c) H1 : µ x 〉µ y H1 : µ x − µ y 〉0 Si H1 toma la forma (a) se utiliza una prueba bilateral, en otros casos se emplea una prueba unilateral. Desviaciones Estándar Conocidas, Muestras Grandes Prueba Unilateral Caso I: 1. Considérese la siguiente hipótesis: Ho : µx = µy H1 : µ x 〉µ y

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o

Ho : µx − µ y = 0 H1 : µ x − µ y 〉0


62

2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. La estadística para la diferencia de medias poblacionales ( µ x − µ y ) , es la diferencia de medias muestrales ( x − y ) . Si la población tiene una distribución normal con desviaciones estándar conocidas σ x y σ y conocidas (o si las muestras son grandes n ≥ 30 , , m ≥ 30 aún cuando la población no es normal). La distribución de ( x − y ) es normal con media ( µ x − µ y ) y varianza

(

σ x2 n

+

σ y2 m

). Z=

Por tanto, la variable aleatoria:

( x − y) − (µ x − µ y )

σ x2 n

+

σ y2 m

Tiene una distribución normal estándar. 4. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir, que ( µ x − µ y ) = 0 . La

[

]

región crítica (R.C.) es 〈 xc ,+∞〉 , tal que P ( x − y ) 〉 x c = α     xc ( x − y)   =α P 〉   2 2 2 σ x2 σ y   σx +σy +  n m n m      xc   =α P Z〉   2 σ x2 σ y   +  n m  x c = Z 1−α

σ x2

σ y2

+ n m 5. Se calcula la diferencia de las medias muestrales ( x − y ) y S x − y si no se Luego:

conoce σ x , σ y . Para muestras grandes se utiliza S x − y . 2

2

6. Conclusión: si ( x − y ) se encuentra en la región crítica 〈 xc ,+∞〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.


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Región de Aceptación

Región de Rechazo

0

Z 1−α

Caso II: 1. Considérese la siguiente hipótesis: Ho : µx = µy

o

H1 : µ x 〈µ y

Ho : µx − µ y = 0 H 1 : µ x − µ y 〈0

2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. La estadística para la diferencia de medias poblacionales ( µ x − µ y ) es la diferencia de medias muestrales ( x − y ) . Si la población tiene una distribución normal con desviaciones estándar conocidas σ x y σ y conocidas (o si las muestras son grandes n ≥ 30 , , m ≥ 30 aun cuando la población no es normal). La distribución de ( x − y ) es normal con media ( µ x − µ y ) y varianza

(

σ x2 n

+

σ y2 m

). Z=

Por tanto, la variable aleatoria

( x − y) − (µ x − µ y )

σ x2 n

+

σ y2 m

Tiene una distribución normal estándar. 4. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir, que ( µ x − µ y ) = 0 . La

[

]

región crítica (R.C.) es 〈−∞, xc 〉 , tal que P ( x − y ) 〈 x c = α   xc ( x − y) P 〈  2 2 2 σ x2 σ y  σx +σy +  n m n m

CIBERTEC

   =α   


64

    xc   =α P Z〈   2 σ x2 σ y   +  n m  x c = Zα

σ x2

σ y2

+ n m 5. Se calcula la diferencia de las medias muestrales ( x − y ) y S x − y si no se Luego

conoce σ x , σ y . Para muestras grandes se utiliza S x − y . 2

2

6. Conclusión: si ( x − y ) se encuentra en la región crítica 〈−∞, xc 〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.

Región de Rechazo


Zα

Prueba Bilateral 1. Considérese la siguiente hipótesis: Ho : µx = µy H1 : µ x ≠ µ y

o

Ho : µx − µ y = 0 H1 : µ x − µ y ≠ 0

2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. La estadística para la diferencia de medias poblacionales ( µ x − µ y ) es la diferencia de medias muestrales ( x − y ) . Si la población tiene una distribución normal con desviaciones estándar conocidas σ x y σ y conocidas (o si las muestras son grandes n ≥ 30 , , m ≥ 30 aun cuando la población no es normal). La distribución de ( x − y ) es normal con media ( µ x − µ y ) y varianza

(

σ x2 n

+

σ y2 m

).


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ESTADISTICA II

65

Z=

Por tanto, la variable aleatoria:

( x − y) − (µ x − µ y )

σ x2

σ y2

+

n m Tiene una distribución normal estándar. 4. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir que ( µ x − µ y ) = 0 . La

[

]

región de aceptación (R.A.) es 〈 a, b〉 , tal que P a 〈 ( x − y ) 〈 b = 1 − α   a b ( x − y) P 〈 〈  2 2 2 2 σ x2 σ y σ x2 σ y  σx +σy + + m n m n m  n   a b P 〈Z 〈  2 2 2 σ x2 σ y  σx +σy + m n m  n a = −Z α / 2

Luego,

b = +Zα / 2

σ x2 n

σ x2

+

   = 1−α   

   = 1−α   

σ y2 m

σ y2

+ n m 5. Calcúlese la diferencia de las medias muestrales ( x − y ) . También S x2 , S y2 si no se conoce σ x , σ y y las muestras son grandes. 2

2

6. Conclusión: si ( x − y ) se encuentra en la región de aceptación 〈 a, b〉 , se acepta Ho, en caso contrario se rechaza.


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66

ACTIVIDADES 1. El fabricante de cierta marca de cigarrillos sostiene que sus cigarrillos contienen en promedio 18 miligramos de nicotina por cigarrillo. Un organismo de control examina una muestra de 100 cigarrillos. Utilizando un nivel de significación 0,01; ¿puede el organismo concluir que el fabricante subestima el contenido medio de nicotina de sus cigarrillos, si el contenido medio de la muestra es de 19,2 miligramos con una desviación estándar de 2 miligramos?

2. El organismo de control de cierto Concejo Municipal analiza una muestra de 36 paquetes de carne molida que produce la fábrica de embutidos LA ÚNICA. El rótulo en cada paquete dice que contiene no más de 25% de grasa. ¿Puede el organismo de control concluir que la carne que produce dicha fábrica tiene más de 25% de grasa, si la muestra da un contenido medio de grasa de 0,265 y una desviación estándar de 0,030? Use α = 0,05.

3. Un fabricante de pilas afirma que la vida media de su producto excederá las 30 horas. Una compañía desea comprar un lote grande de pilas si la afirmación es cierta. Se toma al azar una muestra de 36 pilas y se encuentra que la media de la muestra es 34 horas. Si la población de pilas tiene una


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desviación estándar de 5 horas, si Ho es µ < 30, ¿para qué valores de α se adquirirán las pilas?

4. Diariamente, el servicio de aduanas ha interceptado a lo largo de su historia alrededor de $28 millones de bienes de contrabando introducidos al país, con una desviación estándar de 416 millones al día. En 64 días de 1992, elegidos aleatoriamente, el Servicio de Aduanas interceptó un promedio de $30,3 millones de bienes de contrabando. ¿Indica esta muestra (a un nivel de significancia del 5%) que el jefe de Aduanas debería preocuparse por el incremento de contrabando por encima de su nivel histórico?

5. Se investigaron aleatoriamente 75 grifos de la cadena Repsol, y se determinó que el precio promedio de la gasolina regular sin plomo fue de $1059, con una desviación estándar de 3,9 centavos. Tres meses después, en otra investigación aleatoria de 50 grifos, se encontró un precio promedio para el mismo tipo de combustible de $1089, con una desviación estándar de 6,8 centavos. A un nivel significancia de 0,02

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¿Cambió significativamente el precio de la gasolina regular sin plomo durante el periodo de tres meses considerado?

6. A pesar de la ley de sueldos de 1993, en el 2007, todavía parece que los hombres ganan más que las mujeres en trabajos parecidos. En una muestra de 38 operadores varones de máquinas-herramientas se encontró que el salario medio por día fue de s/. 45,20 con una desviación estándar de de s/. 4,50. En otra muestra de 45 mujeres operadoras de máquinas-herramientas se encontró que el salario medio por día fue de s/. 40,50 con una desviación estándar de de s/. 3,85. Basándose en estas dos muestras, ¿Es razonable llegar a la conclusión (a un nivel α = 0,01) de que los operadores ganan más de s/.5,00 por día que las operadoras?


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Autoevaluación 1. La comisión promedio que cargan las compañías de corretaje de tiempo completo en una venta de valores comunes es de $144 con una desviación estándar de $52. Se tomó una muestra aleatoria de 121 compras y se determinó que habían pagado una comisión promedio de $151. A un nivel de significancia de 0,10, ¿puede concluirse que las comisiones son mayores que el promedio de la industria? 2. Alfano ha puesto en marcha una promoción comercial especial para su estufa de propano y siente que la promoción debe provocar un cambio en el precio al consumidor. Alfano sabe que antes de que comenzara la promoción, el precio promedio al menudeo de la estufa era de $44,95 con una desviación estándar de $5,75. Alfano muestrea a 30 de sus minoristas después de iniciada la promoción y encuentra que el precio medio de las estufas es ahora de $42,95. A un nivel de significancia de 0,02, ¿tiene Alfano razones para creer que el precio promedio al menudeo para el consumidor ha disminuido? 3. Del 2000 al 2006, la tasa promedio de precios/utilidades (p/u) de los aproximadamente 1899 valores inscritos en la Bolsa de Valores de Lima fue de 14,35 con una desviación estándar de 9,73. En una muestra de 30 valores de la Bolsa, aleatoriamente escogidos, la tasa p/u promedio en el 2006 fue de 11,77. Esta muestra presenta evidencia suficiente para concluir (al nivel de significancia de 0,05) que en el 2007 la tasa promedio para los valores de la Bolsa se habría modificado de su anterior valor. 4. Editorial Navarrete supone que la vida de su prensa más grande es de 14500 horas, con una desviación estándar conocida de 2 00 horas. De una muestra de 30 prensas, la compañía encuentra una media de muestra de 13 000 horas. A un nivel de significancia de 0,01 ¿debería concluir la compañía que la vida promedio de las prensas es menor que las hipotéticas 14500 horas? 5. UBK sabe que una cierta película de éxito se exhibió un promedio de 84 días en cada ciudad, y la desviación estándar correspondiente fue de 10 días. El administrador del distrito de Los Olivos estaba interesado en comparar la popularidad de la película. Eligió aleatoriamente 75 cines del distrito y encontró que proyectaron la película un promedio de 81,5 días. Establezca hipótesis apropiadas para probar si hubo una diferencia significativa en la duración de la exhibición de la película entre los cines del distrito de Los Olivos y los demás de la UBK. Use un nivel de significancia del 1% y pruebe estas hipótesis. 6. Un fabricante de automóviles afirma que un modelo en particular rinde 28 millas por galón. La Agencia de Protección al consumidor, usando una muestra de 49 automóviles de este modelo, encuentra que la media de muestra es 26,8 millas por galón. De estudios previos, la desviación estándar de la población se sabe que es de 5 millas por galón. ¿Sería

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razonable esperar (en 2 errores estándar) que se pudiera seleccionar una muestra semejante si realmente la media de población fuera 28 millas por galón? 7. Los estatutos ambientales aplicables a una cierta planta nuclear especifican que el agua recibida no debe, en promedio, exceder los 28,9ºC antes de pueda ser lanzada al río que corre junto a la planta. De 70 muestras, se encontró que el promedio de temperatura del agua reciclada era de 30,2ºC. Si la desviación estándar de la población es de 7,5ºC, ¿debería la planta ser multada por exceder las limitaciones del estatuto? Formule y pruebe las hipótesis apropiadas con α = 0,05. 8. Inspectores de salubridad, al investigar los cargos levantados contra una embotelladora de bebidas no alcohólicas, de Ancón, que no llenaban adecuadamente sus productos, han muestreado 200 botellas y encontraron que el promedio de llenado es de 930 ml. Se anuncia que las botellas contienen 946,33 ml. Se sabe que la desviación estándar de la población es de 44,36 ml. ¿Deberían concluir los inspectores, al nivel de significancia de 2%, que las botellas están siendo llenadas con menos contenido? 9. En 2002, la tarifa aérea promedio con dos semanas de anticipación en el vuelo entre Lima Aruba era de $235. La desviación estándar de la población era de $68. En una encuesta hecha en 2003 a 90 viajeros elegidos aleatoriamente entre estas dos ciudades se encontró que habían pagado e promedio $218,77 por sus boletos. ¿Cambió significativamente la tarifa promedio en esta ruta entre 2002 y 2003? ¿Cuál es el mayor nivel de significancia en el que podría concluir que la tarifa promedio observada no es significativamente diferente de $235? 10. Una cadena regional de tiendas de abarrotes ha instalado cajas computarizadas para reducir la espera del usuario y los costos de trabajo, así como para ayudar en el control de inventarios. Los 36 empleados entrenados en las nuevas máquinas promediaron 12,4 intentos antes de lograr una transacción libre de errores. La larga experiencia de los cajeros para manejar las antiguas cajas registradoras mostraba un promedio de 11,6 intentos antes de lograr una operación perfecta, con una desviación estándar de 2,7 intentos. Con un nivel α = 0,01, ¿debería la cadena concluir que las nuevas registradoras computarizadas son más difíciles de aprender a operar? 11. En Julio del 2007, el Ministerio de Trabajo consideró una propuesta para exigir a las compañías que informaran del efecto potencial de la existencia de opciones para los empleados sobre las ganancias por acción (GPA). Una muestra de 41 empresas de alta tecnología reveló que la nueva propuesta reduciría las GPA en un monto del 13,8 con una desviación estándar de 18,9%. Otra muestra aleatoria de 35 productores de bienes de consumo mostró que la propuesta reduciría las GPA en 9,1% en promedio, con una desviación estándar del 8.7%. Con base en estas muestras, ¿Es razonable llegar a la conclusión (a un nivel α = 0,01) de que la propuesta del Ministerio


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de Trabajo ocasionará una mayor reducción en las GPA para las empresas de alta tecnología o para los productores de bienes de consumo? 12. Dos laboratorios de investigación han producido, independientemente, medicamentos que alivian las molestias de la artritis. El primer medicamento fue probado en un grupo de 90 personas que sufren de artritis y produjo un promedio de 8,5 horas de alivio, con una desviación estándar de 1,8 horas. El segundo medicamento fue probado en 80 artríticos y produjo una media de 7,9 horas de alivio, con una desviación estándar de 2,1 horas. A un nivel 0,05 de significancia, ¿el segundo medicamento proporciona un periodo de alivio significativamente más corto?

Para recordar

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Para una prueba de hipótesis se debe formular adecuadamente la hipótesis nula con un nivel de significancia de acuerdo con la realidad del proceso.


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SEMANA

6 HIPÓTESIS ESTADÍSTICA MUESTRAS PEQUEÑAS TEMAS • • • • •

Prueba de Hipótesis para medias. Muestras pequeñas Prueba bilateral de una hipótesis sobre la media Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hipótesis para diferencia de media Desviación estándar desconocidas. Muestras pequeñas


Describir la hipótesis nula y la hipótesis alternativa de un problema Determinar una estadística de prueba lógica y una regla de decisión para probar las hipótesis para muestras pequeñas

. CONTENIDOS • • • • •

Prueba de Hipótesis para medias. Muestras pequeñas Prueba bilateral de una hipótesis sobre la media Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hipótesis para diferencia de media Desviación estándar desconocidas. Muestras pequeñas.

ACTIVIDADES

Utilizan e interpretan el concepto de prueba de hipótesis Toman decisiones de aceptación o rechazo de una hipótesis bajo consideraciones estudiadas.

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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS, MUESTRAS PEQUEÑAS. Para muestras pequeñas de poblaciones con distribución aproximadamente normal, se recurre a la distribución t para prueba de hipótesis sobre la media Prueba de significancia de una cola Caso I 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa H o : µ = µo H1 : µ < µo Donde µ o es el valor de la media poblacional. 2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. Una estadística de prueba es x , para muestras pequeñas se usa la variable aleatoria. x − µo t= S n Tiene una distribución t con (n-1) grados de libertad.

[

]

4. La región critica (R.C.) es 〈−∞, xc 〉 , donde x c es tal que P x < x c = α

 x− µ xc − µ o p 〈 s s   n n   xc − µ p T 〈 s   n

   = α  

   = α  

p [T 〈 t c ] = α 5. Se calcula x de los datos, luego se obtiene tα tα =

x − µo s n

6. Se compara t con tα Si t < tα t ∈ 〈−∞, tα 〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si t > tα t ∈ 〈tα , + ∞〉 , se acepta la hipótesis nula Ho


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Región de Rechazo


tα

Caso II 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa H o : µ = µo H1 : µ > µo Donde µ o es el valor de la media poblacional. 2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. Una estadística de prueba es x , para muestras pequeñas se usa la variable aleatoria. x − µo t= S n Tiene una distribución t con (n-1) grados de libertad. 4. La región crítica (R.C.) es 〈 x c ,+∞〉 , donde x c es tal que P x〉 x c = α

[

 x− µ xc − µ o p 〉 s s   n n   xc − µ p t 〉 s  n  p [t 〉 t c

]=

]

   = α  

   = α  

α

5. Se calcula x de los datos, luego se obtiene t1−α

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t1−α =

x − µo s n

6. Se compara t con t1−α Si t > t1−α t ∈ 〈t1−α , + ∞〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si t < t1−α t ∈ 〈−∞,t1−α 〉 , se acepta la hipótesis nula Ho



PRUEBA BILATERAL DE UNA HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA Prueba de significancia de dos colas 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa H o : µ = µo H1 : µ ≠ µ o Donde µ o es el valor de la media poblacional. 2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. Una estadística de prueba es x , para muestras pequeñas se usa la variable aleatoria. x − µo t= S n Tiene una distribución t con (n-1) grados de libertad. 4. La región Aceptación (R.A.) es 〈 a, b〉 , donde a y b son tal que

[

]

P a < x < b = 1−α . Por la simetría de la curva normal, los valores críticos de a y b son simétricos con respecto a µ o


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 a − µ x− µ b − µo o p ≤ ≤ s s s   n n n

   = 1−α  


s   µ o − tα / 2 n 

,

µ o + tα / 2

s   n

7. Se calcula x a partir de la muestra observada,(también S si no se conoce la varianza σ 2 y la muestra n es grande). 8. Se compara t con t α/2. Si t ∈ 〈−∞,−tα / 2 〉 0 t ∈ 〈+tα / 2 ,+∞〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si t ∈ 〈−tα / 2 ,+tα / 2 〉 , se acepta la hipótesis nula Ho

Región de Rechazo


− tα / 2

Región de Rechazo

0

+ tα / 2

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS Para probar hipótesis sobre la diferencia de medias, bajo el supuesto que Ho es verdadero, es decir µ x − µ y = 0 , cuando los tamaños de muestras son pequeños y las poblaciones tienen distribuciones normales, con desviaciones estándar iguales se utiliza la variable aleatoria t que tiene una distribución t con (n + m + 2) grados de libertad. ( x − y) nm(n + m + 2) t= 2 2 n+m (n − 1) s x + (m − 1) s y

Desviaciones Estándar desconocidas, Muestras Pequeñas Prueba Unilateral Caso I: 1. Considérese la siguiente hipótesis:

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Ho : µx = µy

o

H1 : µ x 〉µ y

Ho : µx − µ y = 0 H1 : µ x − µ y 〉0

2. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir, que ( µ x − µ y ) = 0 . Se calcula 〈t1−α ,+∞〉 ,

t1−α , de tal manera que P[t 〉 t1−α ] = 1 − α . La región crítica (R.C.) es

3. Conclusión: si t se encuentra en la región crítica 〈t1−∞ ,+∞〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.


Región de Rechazo t1−α

Caso II: 1. Considérese la siguiente hipótesis: Ho : µx = µy H1 : µ x 〈µ y

o

Ho : µx − µ y = 0 H 1 : µ x − µ y 〈0

2. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir que ( µ x − µ y ) = 0 . Se

calcula t1−α , de tal manera que P[t 〈tα ] = α . La región crítica (R.C.) es

〈−∞, t ∞ 〉 , 3. Conclusión: si t se encuentra en la región crítica 〈−∞, t ∞ 〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.


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Región de Rechazo


tα Prueba Bilateral 1. Considérese la siguiente hipótesis: Ho : µx = µy H1 : µ x ≠ µ y

o

Ho : µx − µ y = 0 H1 : µ x − µ y ≠ 0

2. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir que ( µ x − µ y ) = 0 . Se calcula − tα / 2 y + tα / 2 , de tal manera que P [− t α / 2 〈 t 〈 t α / 2 ] = 1 − α . La región crítica (R.C.) es 〈−∞,−tα / 2 〉 U 〈+tα / 2 ,+∞〉 3. Conclusión: si t se encuentra en la región crítica 〈−∞,−tα / 2 〉 U 〈+tα / 2 ,+∞〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.

Región de Rechazo − tα / 2

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Región de Rechazo + tα / 2


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ACTIVIDADES . 1. Una máquina produce ejes que. según las especificaciones, deben tener 100 mm de diámetro. Para mantener la calidad requerida, todos los días se examina una muestra de 16 ejes para determinar si es necesario detener la producción y reajustar la máquina. Un día determinado, la muestra da los siguientes resultados: 101 98

100 100

102 105

98 100

99 99

100 106

101 102

102 104

Tomando α = 0.05 indique, mediante un análisis estadístico, si es necesario reajustar la máquina.

2. El fabricante de un cierto modelo de automóvil afirma que el kilometraje medio de este modelo es de 12 kilómetros por litro de gasolina corriente. Un organismo de defensa del consumidor piensa que ese kilometraje promedio ha sido exagerado por el fabricante. Unos 18 automóviles de este modelo son conducidos del mismo modo con un litro de gasolina corriente. Los kilómetros recorridos por los diversos automóviles son los siguientes: 12,5 12,5

13,1 11,0

14,0 12,4

11,5 12,2

10,5 11,0

10,4 10,0

11,0 11,4

10,5 9,0

12,2 1,01

Si el organismo desea rechazar una afirmación verdadera no más de una vez en 100. ¿Rechazará la afirmación del fabricante? α = 0,05.


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3. Una compañía inmobiliaria tomó como muestra aleatoria de 12 hogares de una prestigiada urbanización de Surco y encontró que el valor de mercado promedio estimado era de $780000, con una desviación estándar de $49000. Pruebe la hipótesis de que para todas las casas del área, el valor estimado medio es de $825000, frente a la otra opción de que es menos de $825000. Utilice el nivel de significanca de 0,05.

4. En el taller mecánico de Jerry utilizan una sierra a motor para cortar el tubo de metal que se utiliza en la manufactura de dispositivos de medición de presión. La longitud de los segmentos de tubo está distribuida normalmente. Se cortaron 25 piezas de tubo con la sierra calibrada para cortar secciones de 5,00 pulgadas de longitud. Cuando se midieron estas piezas, se encontró que su longitud media era de 4,7 pulgadas y con una desviación estándar de 0,06 pulgadas. Utilice valores probables para determinar si la máquina debe ser recalibrada, debido a que la longitud media es significativamente diferente a 5,00 pulgadas.

5. El decano de la facultad de Ingeniería Ambiental de la Universidad Nacional de Ingeniería, se pregunta acerca de las distribuciones de calificación en el nivel universitario. Ha escuchado rumores de que las notas de la facultad de

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Ingeniería Industrial está aproximadamente 0,25 por debajo de las notas de la facultad de Ingeniería metalúrgica. Un rápido muestreo aleatorio arrojó las siguientes calificaciones: Ing. Ambient 2,86 2,77 3,18 2,80 3,14 2,87 3,19 3,24 2,91 3,00 2,83 al Ing. Industri 3,35 3,32 3,36 3,63 3,41 3,37 3,45 3,43 3,44 3,17 3,26 al ¿Estos datos indican que existe una base fundada para los rumores? Establezca y pruebe hipótesis apropiadas a un nivel α =0,02.

6.

La compañía Natural acaba de concluir una nueva campaña publicitaria para su producto Kivi punch, el cereal natural para el desayuno que contiene pecanas, camu camu, kiwicha atómica y frutas secas. Para probar la efectividad de la campaña, el gerente de la marca encuestó a once clientes antes de la campaña y a otros once después de esta. A continuación, se da el consumo semanal (en onzas) de Kivi punch por parte de los consumidores: Antes 14 Después 23

15 14

18 13

18 29

30 33

10 11

8 12

26 25

13 21

29 26

24 24

6.1 Al nivel α = 0,05, ¿puede, el gerente, concluir que la campaña ha tenido éxito en aumentar la demanda del producto? 6.2 Dada la investigación del gerente antes de la campaña, ¿puede usted sugerirle un mejor procedimiento de muestreo para después de la campaña?


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6. Los módem son dispositivos que transmiten información mediante líneas telefónicas de una computadora a otra. La velocidad de transmisión se mide en baudios, que se definen como el número de bits por segundo que pueden transmitir. Debido a la intervención de varios factores técnicos, la rapidez de transmisión real varía de un archivo a otro. Anne Evans está en proceso de adquirir un módem nuevo de 14400 baudios. Al probar dos de los dispositivos, con el fin de decidir cuál comprar, transmitió siete archivos elegidos al azar utilizando ambos módem y registró las siguientes velocidades de transmisión (en miles de baudios) Archivo 1 2 3 4 5 6 7 UIltima 14,4 Haynes 9,52 10,17 10,33 10,02 10,72 9,62 9,17 PerFAXtion 14,4 Extel 10,92 11,46 11,18 12,21 10,42 11,36 10,47 En un artículo aparecido en la revista PC reports se afirma que en pruebas hechas por la misma revista se ha encontrado que el módem PerFAXtion es significativamente más rápido que el Haymes Ultima. A un nivel = 0,01; ¿los resultados obtenidos por Anne confirman la conclusión de la revista?

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Autoevaluación 1. Un documental de televisión acerca de la alimentación excesiva afirmaba que los estadounidenses tienen un sobrepeso aproximado de 10 lb en promedio. Para probar esta afirmación, se examinó a 18 individuos elegidos aleatoriamente, y se encontró que su sobrepeso promedio era de 12,4 lb, con una desviación estándar de muestra de 2,7 lb. A un nivel de significancia de 0,01; ¿hay alguna razón para dudar de la validez del valor afirmado de 10 lb? 2. Microsoft, proveedor de software de sistemas operativos para computadoras personales, estaba planeando la oferta pública inicial de sus existencias para sacar el suficiente capital de trabajo para financiar el desarrollo de un sistema integrado de séptima generación, radicalmente nuevo. Con utilidades actuales de $ 1,61 por acción, Microsoft y sus suscriptores estaban considerando un precio oferta de $21 aproximadamente 13 veces las utilidades. Para verificar lo adecuado de este precio, eligieron aleatoriamente siete compañías de software comercial público y encontraron que su tasa promedio precio/utilidades era de 11,6 con una desviación estándar de muestra de 1,3 a un nivel α=0,02. ¿Puede Microsoft concluir que las existencias en compañías de software comercial público tienen una tasa promedio precio/utilidades significativamente diferente de 13? 3. Un bibliotecario universitario sospecha que el número promedio de libros sacados a préstamo por cada estudiante por visita ha cambiado últimamente. Anteriormente, se sacaba un promedio de 3,4 libros. Sin embargo, una muestra reciente de 23 estudiantes promedió 4,3 libros por visita, con una desviación estándar de 1,5 libros. Al nivel de significancia de 0,01; ¿ha cambiado el promedio de préstamos? 4. Una compañía, recientemente criticada por no pagar lo mismo a hombres que a mujeres que trabajan en los mismos puestos, declara que el sueldo promedio pagado a todos los empleados es de $23500. De una muestra aleatoria de 29 mujeres que laboran en la compañía, se calculó que el salario promedio era de $23000. Si se sabe que la desviación estándar de la población es de $1250 por estos empleos, determine si puede ser razonable esperar (con dos errores estándar) que la media de la muestra sea $23000 si, en efecto, es cierto lo declarado por la compañía. 5. Se usó gasolina de marca A en 9 automóviles semejantes bajo idénticas condiciones. La muestra correspondiente de 9 valores (kilómetros por litro) tienen una media 8,565 y una desviación estándar 0,212. Bajo las mismas condiciones, la gasolina de alta potencia de marca B da una muestra de 10 valores con media 9,245 y desviación estándar 0,254. Pruebe la hipótesis, que A y B son de igual calidad con respecto al kilometraje, contra de que B es mejor. Use α = 0,05.


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6. Una organización de consumo selecciona de manera rutinaria varios modelos de automóvil cada año y evalúa su eficiencia con respecto al combustible. En el estudio del presente año, de dos modelos compactos fabricados por dos marcas distintas, el consumo promedio para doce automóviles de la marca A fue de 27,2 millas por galón (mpg), con una desviación estándar de 3,8 mpg. Los nueve automóviles de la marca B que fueron probados tuvieron un número promedio de 32,1 mpg, con una desviación estándar de 4,3 mpg. A un nivel α = 0,01, ¿se deberá concluir que los automóviles de la marca B tienen un número promedio de millas por unidad de combustible mayor que los automóviles de la marca A? 7. Una empresa grande de corretaje de acciones desea determinar qué tanto éxito han tenido sus nuevos ejecutivos de cuenta en la consecución de clientes. Después de haber terminado su entrenamiento, los nuevos ejecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles clientes, tratando de conseguir prospectos para abrir cuentas con la empresa. Los datos siguientes dan el número de cuentas nuevas que fueron abiertas durante las primeras semanas por diez ejecutivas y ocho ejecutivos de cuenta escogidos aleatoriamente. A un nivel de α = 0,05, ¿parece que las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas? Número de cuentas nuevas Ejecutivas de cuenta

12 11 14 13 13 14 13 12 14 12

Ejecutivos de cuenta

13 10 11 12 13 12 10 12

-

-

8. Para celebrar su primer aniversario, J. J. Pérez decidió comprar un par de aretes de diamante para su esposa. Le enseñaron nueve pares de aretes con gemas que pesaban aproximadamente dos quilates por par. Debido a las diferencias a la calidad y el color de las piedras, los precios variaban de una joya a otra. El precio promedio fue de $2990, con una desviación estándar de muestra de $370. También, le enseñaron seis pares de aretes en forma de gota, con un peso aproximado de dos quilates por cada par. Estos aretes tenían un precio promedio de $ 3065, con una desviación estándar de $805. Con base en esta evidencia, ¿puede J. J. Pérez llegar a la conclusión (a un nivel de significancia de 0,05) de que los diamantes con forma de gota cuestan más, en promedio, que el otro tipo de diamante? 9. Los datos que se presentan a continuación constituyen una muestra aleatoria de nueve empresas tomadas de la sección (Resumen de Informes de Ingresos) en La Bolsa de Valores de Lima, del 6 de febrero de 2003. ¿Fueron diferentes los ingresos por aportación promedio en 2002 y 2003? Pruebe con un nivel de significancia α=0,02 Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2002 1,38 1,26 3,64 3,50 2,47 3,21 1,05 1,98 2,72 2003 2,45 1,50 4,59 3,06 2,11 2,80 1,59 0,92 0,47

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10. A nueve comercializadores de componentes para computadoras que operan en las principales áreas metropolitanas se les pidió los precios de dos impresoras láser parecidas, con anchos estándar. Los resultados de la investigación están dados en la siguiente tabla. A un nivel de α = 0,05, ¿es razonable afirmar que, en promedio, la impresora Apple es más barata que la impresora Akita? Comerciante 1 2 Precio Apple $350 419 Precio Akita $370 425

3 385 369

4 360 375

5 405 389

6 395 385

7 389 395

8 409 425

9 375 400

Para recordar

Para una prueba de hipótesis se deberá tener en cuenta en los datos, que tienen que ser de muestra, como la media muestral y la desviación estándar muestral.


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SEMANA

8 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LAS PROPORCIONES TEMAS • • • •

Prueba de Hipótesis para las proporciones, muestras grandes Prueba bilateral de una hipótesis sobre las proporciones Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hipótesis para la diferencia entre dos proporciones


Describir la hipótesis nula y la hipótesis alternativa de un problema Determinar una estadística de prueba lógica y una regla de decisión para probar las hipótesis para las proporciones

. CONTENIDOS • Prueba de Hipótesis para las proporciones, muestras grandes • Prueba bilateral de una hipótesis sobre las proporciones • Prueba unilateral de una hipótesis sobre la media, caso I, caso II • Prueba de Hipótesis para la diferencia entre dos proporciones . ACTIVIDADES

Utilizan e interpretan el concepto de prueba de hipótesis Toman decisiones de aceptación o rechazo de una hipótesis bajo ciertas consideraciones tratadas

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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LAS PROPORCIONES Las pruebas de hipótesis con relación a las proporciones son básicamente iguales a las medias relativas. Se ha de probar la hipótesis de la proporción de éxitos en un proceso de Bernoulli Los pasos para la prueba de hipótesis 1. Se formula la hipótesis nula y lahipótesis alternativa de acuerdo con el problema. Ho :π = πo Ho :π = πo Ho :π = πo a) b) c) H1 : π ≠ π o H1 : π < π o H 1 : π 〉π o 2. Se escoge un nivel de significancia o de riesgo. 3. Se escoge la estadística de prueba apropiada, cuya variable aleatoria binomial X tiene una distribución binomial. Alternativamente, puede ∧ x usarse el estadístico p = . Los valores de X que están distantes de la n media µ = np o lleva al rechazo de hipótesis nula. 4. Establecer la región critica, es decir determinar el valor (o valores) critico 5. Calcular el valor de la prueba estadística de una muestra aleatoria de tamaño n. 6. Conclusión; rechazar Ho si la estadística tiene un valor en la región critica, caso contrario aceptar Ho.

Prueba de significancia de una cola Caso I 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa Ho :π = πo H1 : π < π o 2. Se escoge el nivel de significancia α . 3. Una estadística de prueba es una variable aleatoria binomial X que tiene una distribución binomial, cuando n es pequeño se utiliza esta distribución. 4. La región crítica (R.C.) es 〈−∞, Z α 〉 , donde Z o es tal que P[Z < Z α ] = α 5. Se calcula x de la muestra de tamaño n; luego, se obtiene Z x − np o Z= np o (1 − p o )


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∧

Z=

p− π o

π o (1 − π o ) n

6. Se compara Z con Zα Si Z < Zα. Z ∈ 〈−∞, Z α 〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si Z > Zα. Z ∈ 〈 Z α , + ∞〉 , se acepta la hipótesis nula Ho

Región de Rechazo


Zα

Caso II 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa Ho :π = πo 2. 3. 4. 5.

H 1 : π 〉π o Se escoge el nivel de significancia α Una estadística de prueba es una variable aleatoria binomial X que tiene una distribución binomial, cuando n es pequeño se utiliza esta distribución. La región critica (R.C.) es 〈 Z α + ∞〉 , donde Z o es tal que P[Z > Z 1−α ] = α Se calcula x de la muestra de tamaño n, luego se obtiene Z x − np o Z= np o (1 − p o ) ∧

Z=

p− π o

π o (1 − π o ) n

6. Se compara Z con Zo Si Z > Z 1-α Z ∈ 〈 Z 1−α + ∞〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si Z < Z 1-α Z ∈ 〈−∞, Z 1−α 〉 , se acepta la hipótesis nula Ho

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Región de Rechazo

0

Z 1−α

PRUEBA BILATERAL DE UNA HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA Prueba de significancia de dos colas 1. Se formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa Ho :π = πo H 1 : π 〉π o 2. Se escoge el nivel de significancia α 3. Una estadística de prueba es una variable aleatoria binomial X que tiene una distribución binomial, cuando n es pequeño se utiliza esta distribución. 4. La región Aceptación (R.A.) es 〈 a, b〉 , donde a y b son tal que P[a < X < b] = 1 − α . Por la simetría de la curva normal, los valores críticos de a y b son simétricos con respecto a π o

  p  

∧

a −πo ≤ π o (1 − π o ) n

p− π o ≤ π o (1 − π 0 ) n

  b−πo  = 1−α π o (1 − π o )   n


 π o − Z α / 2 

π o (1 − π o )

,

n

π o + Zα /2

π o (1 − π o )  n

 

5. Se calcula x de la muestra de tamaño n; luego, se obtiene Z x − np o Z= np o (1 − p o ) ∧

Z=

p− π o

π o (1 − π o ) n


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5. Se compara Z con Z α/2 Si Z ∈ 〈−∞,− Z α / 2 〉 0 Z ∈ 〈+ Z α / 2 ,+∞〉 , se rechaza la hipótesis nula Ho Si Z ∈ 〈− Z α / 2 ,+ Z α / 2 〉 , se acepta la hipótesis nula Ho

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Zα / 2


PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS En este caso: La hipótesis nula toma la forma: H o : π1 = π 2 = π Hipótesis alternativa: H 1 : π 1 〉π 2 H 1 : π 1 − π 2 〉0 a) b) H 1 : π 1 〈π 2 H 1 : π 1 − π 2 〈0 H1 : π 1 ≠ π 2 H1 : π 1 − π 2 ≠ 0 c) Los parámetros π 1 y π 2 son las proporciones de éxitos de dos poblaciones. La estadística de prueba en la cual se basan los criterios de decisión es la variable ∧

∧

aleatoria p 1 y p 2 que tiene una distribución aproximadamente normal cuando las muestras son grandes, y la variable aleatoria Z que es aproximadamente normal estándar. ∧

Z=

∧

( p 1 − p 2 ) − (π 1 − π 2 )

π 1 (1 − π 1 )

+

π 2 (1 − π 2 )

n1 n2 Se seleccionan muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 de cada población binomial respectivamente. ∧

∧

Se calcula la proporción de éxito p 1 y p 2 de cada muestra. ∧ ∧ x x Siendo p 1 = 1 y p 2 = 2 , donde x1 y x2 es el número de éxitos de la n1 n2 muestra n1 y n2 respectivamente, entonces:

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∧

Z=

∧

( p1 − p 2 )

π 1 (1 − π 1 )

+

n1 ∧

π 2 (1 − π 2 ) n2

∧

( p1 − p 2 )

Z=

1 1 + ) n1 n 2 Es el valor de la normal estándar cuando Ho es verdadera, siendo n1 y n2 grandes.

π 1 (1 − π 1 )(

∧

Para calcular Z se debe hallar el valor de π a partir de su estimador p ∧ x + x2 p = 1 n1 + n 2 Luego, el valor de verdad de la estadística Z es: ∧

Z=

∧

( p1 − p 2 ) ∧

∧

1 1 + ) n1 n2 Desviaciones Estándar Conocidas, Muestras Grandes Prueba Unilateral p (1 − p )(

Caso I: 1. Considérese la siguiente hipótesis: H o : π1 = π 2 o H o : π1 − π 2 = 0 H 1 : π 1 〉π 2 H 1 : π 1 − π 2 〉0 2. Se escoge el nivel de significancia α ∧

∧

3. La estadística de prueba es la variable aleatoria ( p 1 − p 2 ) que tiene una distribución aproximadamente normal cuando n1 y n2 grandes. Es decir, la variable aleatoria: ∧

Z=

∧

( p1 − p 2 )

π 1 (1 − π 1 )

+

π 2 (1 − π 2 )

n1 n2 Suponiendo que Ho sea verdadera.

4. La región crítica (R.C.) es Z 〉 Z 1−α , para la hipótesis alternativa H 1 : π 1 〉π 2 ∧ ∧ ∧ x x x + x2 5. Se calcula p 1 = 1 y p 2 = 2 , luego p = 1 n1 n2 n1 + n 2 ∧

Luego, se halla: z =

∧

( p1 − p 2 ) ∧

∧

p (1 − p )(


1 1 + ) n1 n 2

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ESTADISTICA II

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6. Conclusión: si z se encuentra en la región crítica 〈 Z 1−α ,+∞〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.



Caso II: 1. Considérese la siguiente hipótesis: H o : π1 = π 2 o H o : π1 − π 2 = 0 H 1 : π 1 〈π 2 H 1 : π 1 − π 2 〈0 2. Se escoge el nivel de significancia α . ∧

∧


Z=

∧

( p1 − p 2 )

π 1 (1 − π 1 )

+

π 2 (1 − π 2 )

n1 n2 Suponiendo que Ho sea verdadera. 3. La región crítica (R.C.) es Z 〈 Z α , para la hipótesis alternativa H 1 : π 1 〈π 2 ∧ ∧ ∧ x x x + x2 4. Se calcula p 1 = 1 y p 2 = 2 , luego p = 1 n1 n2 n1 + n 2 ∧

Luego, se halla: z =

∧

( p1 − p 2 ) ∧

∧

p (1 − p )(

1 1 + ) n1 n 2

5. Conclusión: si z se encuentra en la región crítica 〈−∞, Z α 〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.

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Región de Rechazo


Zα Prueba Bilateral 1. Considérese la siguiente hipótesis: H o : π1 = π 2

H o : π1 − π 2 = 0

o

H1 : π 1 ≠ π 2 H1 : π 1 − π 2 ≠ 0 2. Se escoge el nivel de significancia α ∧

∧


Z=

∧

( p1 − p 2 )

π 1 (1 − π 1 )

+

π 2 (1 − π 2 )

n1 Suponiendo que Ho sea verdadera.

n2

4. La región crítica (R.C.) es Z 〈− Z α / 2 o Z 〉 + Z 1−α / 2 , para la hipótesis alternativa H 1 : π 1 ≠ π 2 ∧ ∧ ∧ x x x + x2 5. Se calcula p 1 = 1 y p 2 = 2 , luego p = 1 n1 n2 n1 + n 2 ∧

Luego, se halla:

z=

∧

( p1 − p 2 ) ∧

∧

p (1 − p )(

1 1 + ) n1 n 2

6. Conclusión: si z se encuentra en la región crítica 〈−∞,− Z α 〉 o 〈+ Z 1−α ,+∞〉 , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta.


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ACTIVIDADES 1. Un fabricante de lavadoras automáticas produce un modelo en tres colores diferentes A, B y C. De las primeras 1000 lavadoras vendidas se observa que 400 fueron de color A. ¿concluirá usted que más de 1/3 de todos los clientes tienen preferencia por el color A? use α = 0,01.

2. El director de cierto colegio muy famoso cree que, en parte debido al estatus económico de los padres, el porcentaje de los que han terminado secundaria que asisten a este colegio es mayor que el promedio de la ciudad. En el período de los cinco años precedentes, el 20% de todos los que terminaron secundaria de la ciudad entraron a la Universidad, mientras que en el mismo período, 350 de los 1500 exalumnos de su colegio entraron a la Universidad. ¿Se justifica que el director diga que el porcentaje de sus exalumnos que entraron a la Universidad es significativamente mayor que 20%? Pruebe con el nivel de significación del 1%.

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3. Un fabricante de blusas de vestir para mujer sabe que su marca se vende en 19% de las tiendas de ropa para mujer que están en el jirón de la Unión. Se muestreó, recientemente, 85 tiendas de ropa de mujer en Gamarra y encontró que 14,12% de las tiendas vendían la marca. A nivel de significancia del 0,04, ¿Existe evidencia de se tiene una peor distribución en Gamarra que en el jirón de la Unión?

4. Un fabricante de cigarrillos asegura que el 20% de los fumadores de cigarrillos prefieren A. Para probar esta aseveración toma una muestra de 20 fumadores de cigarrillos y se le pregunta por la marca que prefieren. Si de los 20 fumadores, 6 prefieren la marca A, ¿qué concluye? Use un nivel de significancia del 0.01.


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5. Una oficina de relaciones familiares de la DEMUNA informa que el 50% de los matrimonios que viven en la cuidad de Lima llegan al juzgado de paz de Lima para iniciar su divorcio dentro de su primer año de casados. ¿Qué conclusión puede sacarse de la validez de este informe, si de una muestra aleatoria de 400 matrimonios, sólo 208 fueron al juzgado de paz de Lima para iniciar su divorcio, dentro de su primer año de casados? Utilice un nivel de significancia igual a 0.01.

6. En una conferencia de prensa, una alta autoridad anuncia que el 90% de los habitantes adultos de la ciudad de Lima están a favor de cierto proyecto económico del gobierno. En una muestra aleatoria de 625 adultos se observó que 540 están a favor del proyecto. Si usted desea rechazar la hipótesis verdadera no más de una en vez de 100. ¿Concluiría que la popularidad del proyecto ha sido exagerada por la autoridad?

7. Una gran cadena hotelera está tratando de decidir si convierte más de sus habitaciones en cuartos para no fumadores. En una muestra aleatoria de 400 huéspedes tomada el año anterior, 166 de éstos pidieron habitaciones para no fumadores. Este año, 205 huéspedes de una muestra de 380 prefirieron cuarto para no fumadores. ¿Recomendaría usted que la cadena de hoteles destine más habitaciones a no fumadores? Apoye su

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recomendación probando la hipótesis apropiada a un nivel de significancia de 0,01.

8. Una planta de energía eléctrica operada con carbón está considerando dos sistemas diferentes para abatir la contaminación del aire. El primer sistema ha reducido la emisión de contaminantes a niveles aceptables 68% del tiempo según se determinó de 200 muestras de aire. El segundo sistema, que es más caro, ha reducido la emisión de contaminantes a niveles aceptables 76% de las veces, según quedó determinado de 250 muestras de aire. Si el sistema caro es significativamente más eficiente en la reducción de contaminantes a niveles aceptables que el otro sistema, entonces el administrador de la planta deberá instalar el sistema caro. ¿Cuál sistema será instalado si la administración utiliza un nivel de significancia de 0,02 al tomar la decisión?

9. Un grupo de fisiólogos está llevando a cabo pruebas en pacientes para determinar la efectividad de una nueva medicina contra la hipertensión. Los pacientes con alta presión sanguínea fueron escogidos al azar y luego fueron asignados, aleatoriamente también, a un grupo de control (donde son tratados con un medicamento contra la hipertensión conocido) o al grupo de tratamiento (en el cual recibieron tratamiento con la nueva medicina. Los médicos registraron el porcentaje de pacientes cuya presión arterial se redujo


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a un nivel normal después de un año de tratamiento. Al nivel de significancia de 0,01, pruebe las hipótesis apropiadas para determinar si la nueva medicina es significativamente más efectiva para reducir la presión sanguínea que la medicina vieja. Grupo Porción que mejoró Número de pacientes Tratamiento 0,45 120 Control 0,36 150

10. Una muestra aleatoria de 100 hombres fue tomada de la ciudad de Lima y se encontró que 60 se mostraron a favor sobre una ley del divorcio. Una muestra al azar de 100 mujeres escogidas de la misma ciudad reveló que 40 de ellas están a favor de dicha ley. ¿Es igual la proporción de hombres que de mujeres que favorecen una nueva ley sobre el divorcio? Use un nivel de significancia de 0,05.

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Autoevaluación 1. De un total de 10200 préstamos otorgados por una cooperativa de crédito en los últimos cinco años, 350 se muestrearon para determinar qué porción de préstamos se otorgaron a mujeres. Esta muestra indicó que 39% de los créditos fueron dados a empleadas. Un censo completo de préstamos de hace cinco años mostraba que el 41% de los prestatarios eran mujeres. A un nivel de significancia de 0,02, ¿puede concluir que la porción de préstamos otorgados a mujeres ha cambiado significativamente en los últimos cinco años? 2. Los laboratorios Génova se especializan en el uso de técnicas de reproducción de genes para lograr nuevos compuestos farmacéuticos. Recientemente, desarrolló un atomizador nasal que contiene interferón, con el que se cree habrá de limitarse la transmisión del resfriado común en las familias. En la población general, a 15,1% les dará gripe ocasionada por el rota virus una vez que otro miembro de la familia ha contraído tal gripe. El atomizador de interferón fue probado en 180 personas, en cuyas familias uno de los miembros contrajo, posteriormente, una gripe ocasionada por Rota Virus. Sólo 17 de los sujetos de la prueba desarrolló gripes similares. A un nivel de significancia de 0,05, ¿debería concluir Génova que el nuevo atomizador, efectivamente, reduce la transmisión de la gripe? 3. Algunos teóricos financieros cree que los precios diarios del mercado de valores constituyen un “paseo azaroso con rumbo positivo”. Si esto es exacto, entonces el promedio industrial Dow Jones debería mostrar una ganancia en más de 50% de todos los días de actividad financiera. Si el promedio se incrementó en 101 de 175 días escogidos aleatoriamente, ¿Qué piensa de la teoría sugerida? Use un nivel de significancia de 0,01. 4. El instituto de café afirma que al menos el 40% de la población de adultos tomen regularmente una tasa de café durante el desayuno. Una muestra aleatoria de 450 individuos reveló que 200 de ellos eran tomadores regulares de café en el desayuno. ¿Cuál es el valor probable para una prueba de hipótesis que busca mostrar que la afirmación del Instituto del Café es correcta? (Sugerencia: Pruebe H0:p = 0,04, contra H1:p > 0,4) 5. Un fabricante de salsa de tomate está en proceso de decidir si produce una nueva marca extra picante. El departamento de investigación de mercado de la compañía empleó una encuesta telefónica nacional de 6000 hogares y encontró que dicho producto sería comprado por 335 de los encuestados. Un estudio mucho más extenso, realizado hace dos años, mostraba que 5% de los hogares en ese entonces habrían comprado la salsa. A un nivel de significancia de 2%, ¿debería la compañía concluir que ahora existe un mayor interés en el nuevo producto? 6. ACE Home Center vende podadoras Steele y está interesada en comparar la calidad de las podadoras que vende con las podadoras Steele que se venden a nivel nacional. La ferretería sabe que sólo 15% de éstas requieren


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reparaciones durante el primer año después de su compra. Una muestra de 120 de los clientes de ACE reveló que, exactamente, 22 de ellos requirieron reparaciones para sus podadoras en el primer año después de su compra. Al nivel de significancia de 0,02, ¿existe evidencia de que las podadoras Steele difieren en calidad de las que se venden a nivel nacional? 7. En un día promedio, alrededor de 5% de los valores de la Bolsa de Valores de Nueva York muestran una nueva alza para este año. El viernes 18 de septiembre de 1992, el promedio industrial Dow Jones cerró en 3282 con un fuerte volumen de, aproximadamente, 136 millones de títulos negociados. Una muestra aleatoria de 120 títulos determinó que dieciséis de ellos habían mostrado nuevas alzas anuales ese día. Usando un nivel de significancia de 0,01, ¿se debería concluir que más títulos de los habituales tuvieron alzas anuales ese día? 8. En respuesta a las críticas concernientes a los extravíos en el correo, el servicio postal inició nuevos procedimientos para resolver el problema. Al director general de correos se le aseguró que dicho cambio reduciría los extravíos por debajo del histórico índice de pérdidas de 0,3%. Después de dos meses de haberse puesto en marcha los nuevos procedimientos, el servicio postal patrocinó una investigación en la que un total de 8000 piezas de correo fueron enviadas desde diferentes partes del país. Dieciocho de estas piezas de prueba no alcanzaron su destino. A un nivel de significancia de 0,10, ¿puede el director general de correos concluir que los nuevos procedimientos consiguieron su objetivo? 9. Un jefe de personal pensaba que el 18% de los empleados de la compañía trabajaban horas extra cada semana. Si la porción observada esta semana es de 13% en una muestra de 250 de los 2500 empleados, ¿se puede aceptar que su opinión es razonable o se debe concluir que es más apropiado otro valor? Use α=0,05. 10. Una corredora de bolsa afirma que ella puede predecir, con 85% de certeza, el ascenso o caída, durante el mes siguiente, de un valor del mercado de valores. Para probarlo, predice el resultado de 60 valores y acierta en 45 de sus predicciones. ¿Presentan estos datos evidencia concluyente (con α = 0,04) de que la exactitud de sus predicciones es significativamente menor que el declarado 85%? 11. Un fabricante de suplementos vitamínicos para neonatos incluye un cupón para una muestra gratis de este producto en la canasta que es distribuida a los nuevos padres en las clínicas. Con regularidad, aproximadamente 18% de los cupones han sido canjeados. Dada la tendencia actual de tener menos hijos e iniciar una familia más tarde, la empresa se imagina que los padres actuales están mejor educados en promedio y, como resultado, es más probable que utilicen un suplemento vitamínico para sus hijos. Una muestra de 1500 nuevos padres canjeó 295 cupones. ¿Respalda este hecho, a un nivel de significancia de 2%, la opinión de la compañía con respecto a los actuales nuevos padres?

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12. Se estima que alrededor del 52% de hogares limeños son suscriptores de la televisión por cable. Los editores de la revista “Cable y más” estaban seguros de que sus lectores tenían suscripción por cable en un promedio más alto que la población en general y querían usar este hecho para ayudar a vender este espacio de publicidad para los canales de estreno por cable. Para verificar este parecer, muestrearon a 250 suscriptores de la revista y encontraron que 146 de ellos tenían suscripción a televisión por cable. A un nivel de significancia de 2%. ¿los datos de la encuesta apoyan el parecer de los editores?

Para recordar

En una prueba de hipótesis de proporciones, se debe tener en claro el análisis porcentual del problema.


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SEMANA

9 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE TEMAS • • • •

Definición del x² (Chi cuadrado). Ensayos de significación Prueba de bondad de ajuste. Tablas de contingencia Prueba de Kolmogorov-Smirnov Correlación de yates para la continuidad. Coeficientes de contingencias


Probar hipótesis que más de dos proporciones de población pueden ser consideradas iguales Uso de la prueba del Chi cuadrado

. CONTENIDOS • • • • •

Definición del x² Ensayos de significación Prueba de bondad de ajuste. Tablas de contingencia Correlación de la continuidad. Coeficientes de contingencias Prueba de Kolmogorov-Smirnov

ACTIVIDADES • •

Identifican las diferentes definiciones existentes en estadística. Analizan las diferentes formas de una investigación estadística.

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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE FRECUENCIAS OBSERVADAS y TEÓRICAS Como ya se ha visto muchas veces, los resultados obtenidos de muestras no siempre concuerdan exactamente con los resultados teóricos esperados, según las reglas de probabilidad. Por ejemplo, aunque consideraciones teóricas conduzcan a esperar 50 caras y 50 cruces cuando se lanza 100 veces una moneda bien hecha, es raro que se obtengan exactamente estos resultados. Supóngase que en una determinada muestra se observan una serie de posibles sucesos E1, E2, E3,..., Ek que ocurren con frecuencias O1, O2, O3,...., Ok llamadas frecuencias observadas y que, según las reglas de probabilidad, se espera que ocurran con frecuencias e1, e2, e3,..., ek llamadas frecuencias teóricas o esperadas. Suceso Frecuencia observada Frecuencia esperada

E1

E2

Es

...

Ek

O1

O2

Os

...

Ok

e1

e2

es

...

ek

DEFINICIÓN DE χ 2 (Chi cuadrado) Una medida de la discrepancia existente entre las frecuencias observadas y esperadas es suministrada por el estadístico χ 2 , dado por 2 2 ( ( O1 − e1 ) O2 − e 2 ) χ = +

+ ... +

2

e1

e2

(Ok − ek )2 ek

K

=∑ j =1

(O

− ej )

2

j

ej

Donde si el total de frecuencias es n, ∑Oj = ∑ej = n Una expresión equivalente es K

(O )

j =1

ej

χ =∑ 2

2

−n

j

Si χ 2 = 0 las frecuencias observadas y teóricas concuerdan exactamente; mientras que si χ 2 > 0 , no coinciden exactamente. A valores mayores de χ 2 , mayores son las discrepancias entre las frecuencias observadas y esperadas. La distribución muestral de χ 2 se aproxima muy estrechamente a la distribución Chi cuadrado

Y = Yo ( χ ) 2

Y = Yo ( χ )

1 (ν − 2 ) 2

(ν − 2 )

e

e

1 − χ2 2

1 − χ2 2

Si las frecuencias esperadas son al menos iguales a 5, la aproximación mejora para valores superiores.


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El número de grados de libertad v está dado por (a) ν = k − 1 si las frecuencias esperadas pueden calcularse sin tener que estimar parámetros poblacionales con los estadísticos muestrales. Adviértase que el restar 1 a k es a causa de la condición restrictiva ( ∑ O j = ∑ e j = n ) que denota que si son conocidas k - 1 de las frecuencias esperadas, la frecuencia restante puede ser determinada. (b) ν = k − 1 − m si las frecuencias esperadas solamente pueden calcularse estimando m parámetros de la población a partir de los estadísticos muestrales. ENSAYOS DE SIGNIFICACIÓN En la práctica, las frecuencias esperadas se calculan de acuerdo con una hipótesis Ho. Si bajo esta hipótesis el valor calculado de χ 2 dado por K

(χ = ∑ 2

j =1

(O

− ej )

2

j

ej

K

(O )

j =1

ej

o χ =∑ 2

2

j

− n ) es mayor que algún valor crítico (tal

como χ 02,.95 o χ 02,.99 que son los valores críticos a los niveles de significación de 0,05 y 0,01 respectivamente), se deduce que las frecuencias observadas difieren significativamente de las esperadas y se rechaza Ho al nivel de significación correspondiente. En caso contrario, se aceptará o al menos no se rechazará. Este procedimiento se llama ensayo o prueba de chi cuadrado de la hipótesis. Debe advertirse que en aquellas circunstancias en que χ 2 esté muy próximo a cero debe mirarse con cierto recelo, puesto que es raro que las frecuencias observadas concuerden demasiado bien con las esperadas. Para examinar tales situaciones, se puede determinar si el valor calculado de χ 2 es menor que

χ 02, 05 o χ 02,01 en cuyos casos se decide que la concordancia es bastante buena a los niveles de significación de 0,05 a 0,01 respectivamente.

.

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE: POBLACIÓN MULTINOMIAL Es el caso en que cada elemento de una población se asigna a una y sólo una de varias clases o categorías. Esa población se llama población multinomial. La distribución multinomial de probabilidades se puede concebir como una ampliación de la distribución binomial para el caso de tres o más categorías de resultados. En cada ensayo, intento o prueba de un experimento multinomial sólo se presenta uno y sólo uno de los resultados. Cada intento del experimento se supone independiente, y las probabilidades deben permanecer igual para cada prueba. Resumen de la prueba de bondad de ajuste para distribución multinomial 1. Enunciar las hipótesis nula y alternativa Ho: La población se apega a una distribución normal de probabilidades con probabilidades especificadas para cada una de las k categorías.

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Ha: La población no se apega a una distribución multinomial de probabilidades, con probabilidades especificadas para cada una de las k categorías. 2. Tomar una muestra aleatoria y anotar las frecuencias observadas O j , para cada categoría 3. Suponiendo que la hipótesis nula es cierta, determinar la frecuencia esperada. e j , en cada categoría, multiplicando la probabilidad de la categoría por el tamaño de la muestra 4. Calcular el valor del estadístico de prueba K (O − e )2 j j 2 χ =∑ ej j =1 5. Regla de rechazo: Rechazar Ho si χ 2 > χ α2 en donde a es el nivel de significancia para la prueba, y los grados de libertad son (k – 1) En las pruebas de Chi cuadrado para bondad de ajuste, la región de rechazo siempre está en la cola superior. Las diferencias entre las frecuencias observadas y esperadas se elevan al cuadrado, y las mayores 2 diferencias originan mayores valores de χ . En muchas aplicaciones, la prueba de bondad de ajuste consiste en elegir una muestra y observar la categoría a la que pertenece cada unidad muestreada. En tales casos se debe tener cuidado de elegir una muestra aleatoria. Si no es así, no se cumplirá la hipótesis de independencia. TABLAS DE CONTINGENCIA Las tablas de clasificación doble o tablas h x k, en las que las frecuencias observadas ocupan h filas y k columnas. Tales tablas se llaman a menudo tablas de contingencia. Suceso Frecuencia observada Frecuencia esperada

E1

E2

Es

...

Ek

O1

O2

Os

...

Ok

e1

e2

es

...

ek

Correspondiéndose con cada frecuencia observada en una tabla de contingencia h x k, hay una frecuencia teórica o esperada que se calcula bajo alguna hipótesis y según las reglas de probabilidad. Estas frecuencias que ocupan las casillas de una tabla de contingencia se llaman frecuencias elementales. La frecuencia total de cada fila o columna es la llamada frecuencia marginal. Para estudiar el acuerdo entre las frecuencias observadas y esperadas, se calcula el estadístico


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ESTADISTICA II

107

K

χ =∑ 2

(O

− ej )

2

j

ej donde la suma se extiende a todas las casillas de la tabla de contingencia, los símbolos O j y e j representan, respectivamente, las frecuencias observadas y esperadas en la casilla j. Esta suma, que es análoga a (I), contiene hk términos. La suma de todas las frecuencias observadas se denota por n y es igual a la suma de todas las frecuencias esperadas ( ∑ O j = ∑ e j = n ). j =1

K

Como antes, el estadístico χ = ∑ 2

(O

j =1

− ej )

2

j

ej

tiene una distribución muestral (ν − 2 )

1 − χ2 2

e muy estrechamente aproximada a la dada por Y = Yo ( χ ) , con tal de que las frecuencias esperadas no sean demasiado pequeñas. El número de grados de libertad ν de esta distribución Chi cuadrado está dado para h > 1, k > 1 por (a) ν = (h − 1)(k − 1) si las frecuencias esperadas pueden calcularse sin tener que estimar parámetros poblacionales con los estadísticos muestrales. (b) ν = (h − 1)(k − 1) − m si las frecuencias observadas pueden solamente calcularse estimando m parámetros poblacionales con los estadísticos muestrales. Las frecuencias esperadas son halladas bajo una determinada hipótesis Ho. Una hipótesis normalmente supuesta es la de que las dos clasificaciones son independientes entre sí. Las tablas de contingencia pueden extenderse a un número mayor de dimensiones. Así, por ejemplo, se pueden tener tablas h x k x 1 donde estén presentes 3 clasificaciones. FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE χ 2 Se pueden obtener fórmulas sencillas para el cálculo de XZ que se basen únicamente en las frecuencias observadas. En lo que sigue se dan los resultados para tablas de contingencia 2 x 2 y 2 x 3. Tablas 2 x 2

χ2 =

n(a1b2 − a 2 b1 ) 2 n1 n2 na nb

I

II

Totales

A

a1

a2

na

B

b1 n1

b2 n2

nb n

Totales Tablas 2 x 3

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n χ = na 2

 a12 a 22 a32  n  b12 b22 b32  + +  + + −n  +  n1 n2 n3  nb  n1 n2 n3  I

II

III

Totales

A

a1

a2

a3

na

B

b1

b2

b3

nb

Totales

n1

n2

n3

n

COEFICIENTE DE CONTINGENCIA Una medida del grado de relación, asociación o dependencia de las clasificaciones en una tabla de contingencia es dada por: C=

χ2 χ2 +n

Se llama coeficiente de contingencia. A mayor valor de C, mayor es el grado de asociación. El número de filas y columnas de la tabla de contingencia determina el valor máximo de C, que no es nunca superior a uno. Si el número de filas y columnas de una tabla de contingencia es igual a k, el máximo valor de C viene dado por (k − 1) / k CORRELACIÓN DE ATRIBUTOS Como las clasificaciones de una tabla de contingencia describen a menudo características de individuos u objetos, se denotan a veces como atributos y el grado de dependencia, asociación o relación se llama correlación de atributos. Para tablas kxk se define

r=

χ2

n(k − 1) Como el coeficiente de correlación entre atributos o clasificaciones. Este coeficiente se encuentra entre 0 y 1 LA PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV La prueba de Kolmogorov-Smirnov, bautizada así en honor de los estadísticos A. N. Kolmogorov y N. V. Smirnov quienes la desarrollaron, se trata de un método no paramétrico sencillo para probar si existe una diferencia significativa entre una distribución de frecuencia observada y otra de frecuencia teórica. La prueba K-S es, por consiguiente, otra medida de la bondad de ajuste de una distribución de frecuencia teórica, como lo es la prueba Chi cuadrada. Sin embargo, la prueba K-S tiene varias ventajas sobre la prueba χ 2 : es una prueba más poderosa, y es más fácil de utilizar, puesto que no requiere que los datos se agrupen de alguna manera. La estadística K-S, Dn, es particularmente útil para juzgar qué tan cerca está la distribución de frecuencia observada de la distribución de frecuencia esperada,


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ESTADISTICA II

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porque la distribución de probabilidad de Dn depende del tamaño de muestra n, pero es independiente de la distribución de frecuencia esperada (Dn es una estadística de "distribución libre"). Un problema que ilustra la prueba K-S Supóngase que la central telefónica del la ciudad de Arequipa ha estado llevando un registro del número de "transmisores" (un tipo de equipo automático que se utiliza en las centrales telefónicas) usados en un instante dado. Las observaciones se hicieron en 3,754 ocasiones distintas. Para propósitos de planeación de inversión de capital, el funcionario de presupuesto de esta compañía piensa que el patrón de uso sigue una distribución de Poisson con una λ = 8,5 . Si desea probar esta hipótesis al nivel de significancia de 0,01, puede emplear la prueba K-S: La hipótesis se formularía de la siguiente manera: Ho: Una distribución de Poisson con λ = 8,5 es una buena descripción del patrón de uso. H1: Una distribución de Poisson con λ = 8,5 no es una buena descripción del patrón de uso. α = 0,01 nivel de significancia para probar estas hipótesis A continuación, se enumeran los datos que se observan en la tabla. Luego, se enumeran las frecuencias observadas y las transforma en frecuencias acumulativas observadas relativas. En la tabla se enumeran las frecuencias acumulativas observadas relativas Fo, frecuencias acumulativas relativas esperadas Fe y las desviaciones absolutas para x = 0, x = 1....., x = 22 luego las frecuencias relativas esperadas e −λ λx x! Cálculo de la estadística K-S Para calcular la estadística K-S, simplemente elija Dn, la desviación absoluta máxima de Fe, desde Fo, luego estadística K-S Dn = Fe − Fo En este ejemplo, Dn = 0,2582 en la observación x = 9. fe =

Una prueba K-S siempre debe ser una prueba de un extremo. Los valores críticos para Dn se han tabulado y pueden encontrarse en la tabla de Valores críticos de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov. Se busca en la fila de n = 3,754 (el tamaño de muestra) y la columna para un nivel de significancia de 0,01, se encontrará que el valor crítico de Dn debe calcularse usando la fórmula: 1,63 Dn = n 1,63 Dn = = 0,0266 3754 El siguiente paso es comparar el valor calculado de Dn con el valor crítico de Dn que se encuentra en la tabla. Si el valor de la tabla para el nivel de significancia

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elegido es mayor que el valor calculado de Dn, entonces se aceptará la hipótesis nula. Obviamente, 0,0266 < 0,2582, así que se rechaza Ho y se llega a la conclusión de que una distribución de Poisson con λ = 8,5 no es una buena descripción del patrón del uso del transmisor en la central telefónica de la ciudad de Arequipa.

Número ocupado O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Acumulativa Acumulativa Desviación Acumulativa observada Observada Observada absoluta Observada relativa esperada O O 0,0000 0,0002 0,0002 5 5 0,0013 0,0019 0,0006 14 19 0,0051 0,0093 0,0042 24 43 0,0115 0,0301 0,0186 57 100 0,0266 0,0744 0,0478 111 211 0,0562 0,1496 0,0934 197 408 0,1087 0,2562 0,1475 278 686 0,1827 0,3856 0,2029 378 1,064 0,2834 0,5231 0,2397 418 1,482 0,3948 0,6530 0,2582 461 1,943 0,5176 0,7634 0,2458 433 2,376 0,6329 0,8487 0,2158 413 2,789 0,74*9 0,9091 0,1662 358 3,147 0,8383 0,9486 0,1103 219 3,366 0,8966 0,9726 0,0760 145 3,511 0,9353 0,9862 0,0509 109 3,620 0,9643 0,9934 0,0291 57 3,677 0,9795 0,9970 0,0175 43 3,720 0,9909 0,9987 0,0078 16 3,736 0,9952 0,9995 0,0043 7 3,743 0,9971 0,9998 0,0027 8 3,751 0,9992 0,9999 0,0007 3 3,754 1,0000 1,0000 0,0000

ACTIVIDADES 1. Durante las primeras 13 semanas de la temporada de televisión, se registraron las audiencias de sábado por la noche, de 8:00 p. m. a 9:00 p. m. como sigue: ATV 29%, América televisión 28%, Panamericana televisión 25% y otros 18%. Dos semanas después, una muestra de 300 hogares arrojó los siguientes resultados de audiencia: ATV 95 hogares, América televisión 89 hogares, Panamericana televisión 70 hogares y otros 46 hogares. Pruebe, con α = 0,05, si han cambiado las proporciones de telespectadores.


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2. La empresa “Negusa”, fabricantes de chocolates conito, patrocinó una encuesta nacional en la que más de 10 millones de personas indicaron su preferencia para un color nuevo. El conteo de esta encuesta dio como resultado el reemplazo del color chocolate por un nuevo color. En el folleto Colores que publicó el Departamento de Asuntos del Consumidor de la mencionada empresa, la distribución de los colores de chocolates es como sigue: Café Amarillo Rojo Naranja Verde Azul 30% 20% 20% 10% 10% 10% En un estudio que apareció en “El Gourmet”, se usaron muestras de bolsas de una libra para determinar si eran válidos los porcentajes publicados. Se obtuvieron los siguientes resultados con una muestra de 506 chocolates. Café Amarillo Rojo Naranja Verde Azul 177 135 79 41 36 38 Use α = 0,05 para determinar si estos datos respaldan los que publicó la empresa.

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3. Se conoce que las actitudes negativas son un método efectivo de persuasión en la publicidad. Un estudio realizado por una conocida universidad informó los resultados de un análisis de contenido de anuncios culposos en 24 revistas. La cantidad de anuncios con actitudes de culpa, que aparecieron en ellas, es la siguiente: Tipo de revista Cantidad de anuncios culposos Noticias de opinión 20 Editorial general 15 Orientadas a la familia 30 Negocios y financieras 22 Orientadas hacia la mujer 16 Afro americanos 12 Pruebe, con α = 0,10, si hay una diferencia en la proporción de anuncios con actitudes de culpa que se publican en las 6 clases de revistas.

4. A continuación, se observa una tabla de contingencias de 2 x 3, con frecuencias observadas en una muestra de 200. Pruebe la independencia entre las variables de renglón y de columna usando la prueba x2 con α = 0,05. Variable de columna Variable de renglón A B C P 20 44 50 Q 30 26 30


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5. Los puestos iniciales de los graduados en administración y en ingeniería se clasifican por industria, como vemos en la tabla siguiente:

Industria Licenciado en Petróleo Química Eléctrica Computación Administración 30 15 15 40 Ingeniería 30 30 20 20 Use α = 0,01 y pruebe si hay independencia entre licenciatura y tipo de industria.

6. La revista “Vendomás” publicó un estudio en el que se informó los resultados de un análisis de culpa y miedo en anuncios, en 24 revistas. Las cantidades de anuncios con actitudes de culpa y miedo que aparecieron en algunas revistas son las siguientes:

Tipos de revista

Tipo de actitud Cantidad de anuncios Cantidad de anuncios con actitudes de culpa con actitudes de miedo 20 10 15 11 la 30 19

Noticias y opinión Editorial general Orientada hacia familia Comercial o financiera Orientada hacia la mujer Afroamericana

22 16 12

17 14 15

Aplique la prueba ji cuadrada de independencia con un nivel de significancia igual a 0,01 para analizar los datos. ¿Cuál es su conclusión?

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7. Los datos de partes defectuosas procedentes de tres proveedores son las siguientes. Calidad de las partes Proveedor Buena Defectos pequeños Defectos graves A 30 3 7 B 170 18 7 C 135 6 9 Use α = 0,05 y demuestre si hay independencia entre proveedor y calidad de partes. ¿Qué dice el resultado de su análisis al departamento de compras?

8. Un estudio realizado por la revista “Colors”, indicó a qué personas se les dificulta más, hombres o mujeres, comprar regalos. Suponga que se obtuvieron los siguientes datos en un estudio de seguimiento basado en 100 hombres y 100 mujeres. Sexo Más difícil comprar regalo para Hombres Mujeres Consorte 37 25


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Padres Hijos Hermanos Parientes políticos Otros parientes

28 7 8 4 16

31 19 3 10 12

Use α = 0,05 y pruebe si hay independencia entre el sexo y la persona más difícil para regalar. ¿Cuál es su conclusión?

9. J. J. Pérez, vendedor de la compañía Movil Speak, tiene siete cuentas que visitar a la semana. Se piensa que las ventas del señor Nelson pueden describirse mediante la distribución binomial, con probabilidad de venta en cada cuenta de 0.45. Examinando la distribución de frecuencia observada del número de ventas por semana del señor Pérez, determine si la distribución corresponde, en efecto, a la distribución sugerida. Use el nivel de significancia de 0,05. Número de ventas por semana Frecuencia del número de ventas

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0

1

2

3

4

5

6

7

25

32

61

47

39

21

18

12


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10. La siguiente es una tabla de frecuencias observadas, junto con las frecuencias que se esperan bajo una distribución normal. 10.1 Calcule la estadística K-S. 10.2 ¿Podemos concluir que estos datos, en efecto, provienen de una distribución normal? Use el nivel de significancia de 0,10.

51-60 Frecuencia observada Frecuencia esperada

Resultados de la prueba 61-70 71-80 81-90

91-100

30

100

440

500

130

40

170

500

390

100

Autoevaluación 1. A continuación, se observa una tabla de contingencias de 3 x 3, con frecuencias observadas en una muestra de 240. Pruebe la independencia entre las variables de renglón y de columna usando la prueba x2 con α = 0,05.

Variable de renglón P Q R

Variable de columna A B C 20 30 20 30 60 25 10 15 30

2. Una de las preguntas de una encuesta fue la siguiente: “Durante los últimos 12 meses, en viajes de negocios, ¿qué tipo de boleto de avión compró con más frecuencia?” Las repuestas obtenidas se ven en la siguiente tabla de contingencias: Usando α = 0,05 pruebe la independencia del tipo de vuelo y tipo de boleto. ¿Cuál es su conclusión? Tipo de vuelo


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Tipo de boleto Nacional Internacional Primera clase 29 22 Clase de negocios o ejecutiva 95 121 Clase económica 518 135 3. Las cantidades de unidades vendidas por tres agentes de ventas durante un periodo de tres meses aparecen a continuación. Use α = 0,05 y demuestre la independencia entre el vendedor y el tipo de producto. ¿Cuál es su conclusión? Producto Vendedor A B C Abanto 14 12 4 Marini 21 16 8 Noel 15 5 10 4. Una encuesta sobre el deporte preferido tuvo los siguientes resultados en hombres y mujeres: Deporte preferido Sexo Natación Básquetbol Fútbol Hombres 19 15 24 Mujeres 16 18 16 Use α = 0,05 y pruebe si las preferencias de hombres y mujeres son iguales. ¿Cuál es su conclusión? 5. Un estudio de niveles educativos de los votantes y su afiliación política tuvo los siguientes resultados: Afiliación al partido Nivel educativo Apra PPC UPP No terminó secundaria 40 20 10 Secundaria completa 30 35 15 Licenciatura 30 45 25 Use α = 0,01 y determine si la afiliación política es independiente del nivel educativo de los votantes. 6. Halley Torres y Aarón Delguiudice son críticos de cine que, con frecuencia, difieren acerca de las mejores películas. En un artículo de una revista especializada, se mencionan los resultados de 160 películas por parte de ambos críticos. Cada resultado puede ser Buena, Regular o Mala. Calificación de Delguiudece Calificación de Torres Mala Regular Buena Mala 24 8 13 Regular 8 13 11 Buena 10 9 64

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Aplique la prueba Chi cuadrada de independencia, con nivel de significancia igual a 0,01 para analizar los datos. 7. Se cree que el número de accidentes automovilísticos diarios en determinada ciudad tiene una distribución de Poisson. En una muestra de 80 días del año pasado se obtuvieron los datos de la tabla adjunta. ¿Apoyan estos datos la hipótesis de que la cantidad diaria de accidentes tiene una distribución de Poisson? Use α = 0,05. Cantidad de accidentes Frecuencia observada (días) 0 34 1 25 2 11 3 7 4 3 8. Suponga que la cantidad de llamadas telefónicas que entran al conmutador de una empresa durante intervalos de un minuto tiene una distribución de Poisson. Use α=0,10 y los siguientes datos para probar la hipótesis de que las llamadas que entran tienen una distribución de Poisson: Cantidad de llamadas que entran durante Frecuencia observada un intervalo de un minuto 0 15 1 31 2 20 3 15 4 13 5 4 6 2 Total 100 9. Considere que la demanda semanal de un producto tiene una distribución normal. Haga una prueba de bondad de ajuste con los datos de la tabla siguiente para probar esta hipótesis. Use α = 0,10. La media de la muestra es 24,5 y la desviación estándar de la muestra es 3. 18 25 26 27 26 25

20 22 23 25 25 28

22 27 20 19 31 26

27 25 24 21 29 28

22 24 26 25 25 24

10. El 7% de inversionistas de fondos de ahorros valorizan como “muy seguras” a las acciones corporativas, el 58% las define como “algo seguras”, el 24%


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como “no muy seguras”, el 4% como “definitivamente inseguras”, y el 7 % no tienen opinión definida. En una encuesta de una revista, se preguntó a 529 inversionistas de fondos de ahorro cómo creen que es la seguridad de los bonos corporativos. Se obtuvieron las respuestas siguientes: Concepto de seguridad Muy seguras Algo seguras No muy seguras Definitivamente inseguras Sin opinión definida Total

Frecuencia 48 323 79 16 63 529

¿Difieren los conceptos de los inversionistas en bonos respecto a los que se tienen de las acciones corporativas? Apoye su conclusión con una prueba estadística con α = 0,01. 11. Se desea abrir un paseo de aguas al público. Se ha pedido, a una muestra de 140 personas, decir qué día preferirían visitarlo. A continuación observamos los resultados. Entre semana Sábado Domingo Día feriado 20 20 40 60 Para establecer un plan de personal, ¿debe suponer el gerente que habrá la misma cantidad de visitantes todos los días? Base su conclusión en una prueba estadística con α = 0,05. 12. A una autoridad regional de transporte colectivo le preocupa la cantidad de pasajeros que van en una de las rutas del autobús. Al definir la ruta se creía que la cantidad de pasajeros era la misma de lunes a viernes. Con los datos de la tabla, pruebe, con α = 0,05 si es correcta la hipótesis de la autoridad.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Cantidad de pasajeros 13 16 28 17 16

13. Los resultados de una Encuesta Anual de satisfacción de trabajo indicó que el 28% de los gerentes de sistemas de información está muy satisfecho con su trabajo, el 46% medianamente satisfecho, el 12% no está satisfecho ni insatisfecho, el 10% está medianamente insatisfecho y el 4% está muy insatisfecho. Suponga que en una muestra de 500 programadores obtuvieron los siguientes resultados.

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Categoría Cantidad Muy satisfechos 105 Medianamente satisfechos 235 Ni satisfechos ni insatisfechos 55 Medianamente insatisfechos 90 Muy insatisfechos 15 Haga una prueba con α = 0,05 para determinar si la satisfacción de los programadores es diferente de la de los gerentes de sistemas de información. 14. Una muestra de partes suministró los datos de la siguiente tabla de contingencias, acerca de calidad de parte y de turno en que fue producida. Use α = 0,05 y pruebe la hipótesis de que la calidad de las partes es independiente del turno en que fueron producidas. ¿Cuál es su conclusión? Turno Cantidad de buenas Cantidad de defectuosas Primero 368 32 Segundo 285 15 Tercero 176 24 15. El Estudio 1996 de suscriptores de “El Mercurio” produjo datos acerca de las clases de empleo de sus suscriptores. Los resultados de la muestra correspondientes a suscriptores a las ediciones oriental y occidental son los siguientes: Región Clase de empleo Edición oriental Edición occidental Tiempo completo 1105 31 Tiempo parcial 31 15 Independiente / consultor 229 186 Sin empleo 485 344 Use α = 0,05 y pruebe la hipótesis de que la clase de empleo es independiente de la región. ¿Cuál es su conclusión? 17. Al nivel de significancia de 0,05, ¿podemos concluir que los siguientes datos provienen de una distribución de Poisson con λ = 3 ? Número de llegadas por día

0

1

2

3

4

5

6o más

Número de días

6

18

30

24

11

2

9

18. Álvaro Carreño, gerente nacional de ventas de una compañía de electrónica, ha recabado la siguiente estadística de salarios de los ingresos de la fuerza de ventas en su campo. Tiene tanto las frecuencias observadas como las frecuencias esperadas. Si la distribución de salarios es normal;


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¿puede concluir Kevin que la distribución de los ingresos de la fuerza de ventas es normal?. Al nivel de significancia de 0,10

25-30 Frecuencia observada Frecuencia esperada

Ingresos en miles 31-36 37-42 43-48 49-54

55-60

61-66

9

22

25

30

21

12

6

6

17

32

35

18

13

4

Para recordar Se deben plantear en forma adecuada la hipótesis nula para una mejor aplicación de la prueba de bondad de ajuste.

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122


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123

SEMANA

10 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE TEMAS • • • •

Análisis de Regresión lineal Simple. Variable independiente, variable dependiente Diagrama de dispersión. Método de mínimos cuadrados Recta de mínimos cuadrados en términos de varianzas muestrales Recta de regresión de mínimos cuadrados. Aplicación e interpretación


Conocer la ecuación de predicción lineal Determinar la ecuación de regresión lineal a partir de los datos observados

CONTENIDOS • • • • • •

Análisis de Regresión lineal Simple Variable independiente, variable dependiente Diagrama de dispersión Método de mínimos cuadrados Recta de mínimos cuadrados en términos de varianzas muestrales Recta de regresión de mínimos cuadrados. Aplicación e interpretación

ACTIVIDADES • •

Identifican el método de regresión lineal Analizan la ecuación de regresión lineal

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ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Análisis de Regresión El objetivo del análisis de regresión es el de establecer una relación cuantitativa entre dos o más variables seleccionadas. Trata de establecer un modelo que permite predecir, explicar o estimar el valor de una variable (dependiente) en función de otras variables (independientes). El modelo a establecer puede tener la forma de la ecuación de una recta (modelo lineal), de la ecuación de una parábola, de la función logarítmica, de la función exponencial. Asimismo, según el número de variables independientes, el modelo puede ser simple (una variable independiente) o múltiple (más de una variable independiente). Para establecer cuál es el modelo a utilizar, es conveniente elaborar un Diagrama de Dispersión. Regresión lineal simple Implica que se debe establecer un modelo que permita explicar a la variable Y (dependiente) en función de la variable independiente X. En un gráfico de dispersión, lo que se trata de ajustar una línea entre los puntos observados. Supuestos del análisis de regresión lineal simple: a) Cada valor de las variables X e Y se distribuye normalmente. b) Las medias de las distribuciones normales (de cada X e Y) se encuentran sobre la recta de regresión. c) Las desviaciones estándar correspondientes son iguales. d) Los valores de Y son estadísticamente independientes. ∧

∧

y = a+bx

El modelo de regresión lineal simple tiene la forma: Donde: a: intercepto con el eje Y o la variación de Y que no es explicada por x b: es la pendiente de la recta o el valor que varía Y cuando x aumenta en una unidad. Para calcular estos coeficientes se utiliza el método de mínimos cuadrados a partir del cual se obtienen las siguientes fórmulas: ∑ y = na + b∑ x

∑ xy = a∑ x + b∑ x b=

2

n∑ xy − ∑ x∑ y n∑ x 2 − (∑ x )

2

∧

( y - y) =

Sx y S x2

ó b=

Sx y S x2

∧

( x − x)

Coeficiente de correlación r:


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r=

125

n∑ x y − ∑ x∑ y

n∑ x 2 − (∑ x )

2

n∑ y 2 − (∑ y )

2

ó r=

Sx y Sx S y

Al realizar la estimación de la variable dependiente Y utilizando la recta de regresión es obvio esperar que el resultado no sea exacto. Hay diferencias con respecto a los valores “reales” y a dichas diferencias se les denomina error. Por ello, se define al error estándar de estimación (Sxy) como la desviación promedio de todas las observaciones con respecto a la recta de regresión. Se calcula de la siguiente manera:

SC ( y ) − b2 .SC ( x) n−2

S xy = (∑ x )

2

SC(x) =

∑

x2 −

SP(xy) = ∑ xy − a = y − bx

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n

(∑ x )(∑ y ) n

(∑ y )

2

SC(y) =

b=

∑

y2 −

n

SP(xy) SC(x)

b 2 .SC(x) r = SC(y) 2


126

ACTIVIDADES 1. ¿Son importantes las notas en la universidad para ganar un buen sueldo? Un estudiante de estadística comercial tomó una muestra aleatoria de sueldos iniciales y promedios de notas en la universidad de algunos de sus amigos recién graduados. Los datos son los siguientes: Sueldo inicial ($ miles) 36 30 30 24 27 33 21 27 Promedio de notas 4,0 3,0 3,5 2,0 3,0 3,5 2,5 2,5 1.1 Represente gráficamente estos datos. 1.2 Desarrolle la ecuación de estimación que mejor describa los datos.

2. La fundación Wuawua desea mostrar con estadísticas que, contrariamente a la creencia popular, las cigüeñas sí traen bebés. Por lo tanto, ha recabado datos sobre el número de cigüeñas y el número de bebés (ambos en miles) en varias ciudades grandes de Europa central. Cigüeñas 27 38 13 24 6 19 15 Bebes 35 46 19 32 15 31 20 2.1 Calcule el coeficiente de determinación de muestra y el coeficiente de correlación de muestra de estos datos. 2.2 ¿Ha refutado la ciencia estadística la creencia popular?


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ESTADISTICA II

127

3. El presidente de una compañía de computadoras está interesado en estudiar la relación entre el tamaño del aumento anual y el desempeño de un representante de ventas en el año subsiguiente. Muestreó a 12 representantes de ventas y determinó los tamaños de sus respectivos aumentos (dado como un porcentaje de sus sueldos individuales) y el número de ventas hechas por cada uno durante los aumentos de los siguientes 12 meses. Tamaño aumento Número ventas

del 7,8 6,9 6,7 6,0 6,9 5,2 6,3 8,4 7,2 10,1 10,8 7,7 de 64

73

42

49

71

46

32

88

53

84

85

93

3.1 Desarrolle la ecuación de estimación de mejor ajuste que describa estos datos. 3.2 Calcule el error estándar de la estimación para esta relación. 3.3 Desarrolle un intervalo de confianza de aproximadamente 90% para el número de ventas hechas por un vendedor después de recibir un aumento de 9,6%

4 La cadena de comida Mikuy ha experimentado grandes fluctuaciones en sus ingresos en los últimos años. Durante este tiempo, se han empleado numerosos platillos especiales, productos nuevos y técnicas de publicidad, así que es difícil determinar qué estrategias son las que han tenido mayor influencia en las ventas. El departamento de mercadeo ha estudiado una variedad de relaciones y cree que los gastos mensuales en carteleras pueden ser significativos. Muestreó siete meses y determinó lo siguiente: Gastos mensuales en carteleras (x $1 000) 25 16 42 34 10 21 19 Ingresos mensuales de ventas (x $100 000) 34 14 48 32 26 29 20 4.1 Desarrolle una ecuación de estimación que mejor describa estos datos. 4.2 Calcule el error estándar de la estimación de esta relación.

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128

4.3 Para un mes con un gasto de carteleras de $ 28 000, desarrolle un intervalo de confianza de aproximadamente 95% para las ventas mensuales esperadas para ese mes.

5. En la siguiente tabla se muestra las cantidades extraídas (en miles Kg.) de oro a lo largo de 10 años de producción. Si los parámetros de producción están controlados, sobre la base de estos datos estime la extracción para el año 11. Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Extracción 0,25 0,28 0,38 0,45 0,68 0,78 1,20 1,80 2,15 2,98

6. Un analista de mercado desea estudiar las exportaciones de espárragos que se están produciendo antes de la aceptación del Tratado de Libre Comercio con EEUU. Toma una muestra aleatoria a 10 embarques recientemente enviados a lo largo de 2 semanas por la Compañía Espárragos Perú SA y registra los siguientes volúmenes de exportación (en toneladas). Estos datos se muestran a continuación:


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ESTADISTICA II

Embarque 1 Volumen Exp. 82 5

129

2

3

4

5

865

915

950

980

6 102 0

7 125 0

8 132 5

9 147 0

10 161 5

6.1 Construya un diagrama de dispersión y determine si un análisis de regresión lineal es apropiado para relacionar los volúmenes exportados y el transcurrir del tiempo. 6.2 Mediante el método de mínimos cuadrados, halle una ecuación que permita estimar el volumen de exportación a lo largo del tiempo. 6.3 Calcule el error estándar de estimación e interprételo.

7. El tiempo en segundos en que una computadora con procesador XTF se demora en correr un sofisticado programa de regresión se cree que depende de la cantidad de KB que pueda tener el archivo “datos” necesario para que el programa determine los resultados que se esperan. Para 10 archivos distintos “datos” se obtuvo la siguiente información:

∑ x = 1450 ∑ y = 673

∑ x 2 = 218 , 500 ∑ xy = 101 , 570

2 ∑ y = 47225

7.1 Determine la recta de regresión. 7.2 Estime el tiempo que la computadora se demorará en correr el programa cuando se utiliza un archivo “datos” de 180 KB.

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130

8. Un editor tomó una muestra de 7 libros anotando el precio y el número de páginas con el fin de predecir precios. ¿Qué porcentaje de la varianza total de precios se explica por esta función? Precio ($) # Pág.

12,00

12,50

13,80

15,40

17,50

18,00

20,00

175

240

280

320

380

420

500

8.1 Determine la ecuación de regresión lineal. 8.2 Determine el coeficiente de correlación entre el precio y el número de páginas. 8.3 Estime el precio de un libro de 600 páginas. Si a este libro se le incrementa 40 paginas en una segunda edición, ¿en cuánto se incrementará su precio? 8.4 ¿ Cuántas páginas debería tener un libro cuyo precio se estima en $ 25,30? 9. Un estudio de Mercado trata de averiguar si es efectiva la propaganda televisada de un producto que salió a la venta con relación al tiempo de publicidad (en horas/semana). Se recopilaron datos a partir de la segunda semana de iniciada la publicidad resultando el cuadro que sigue. No se puedo recopilar datos de la cuarta parte. Semana Tiempo de propaganda Venta del producto ($)

2

3

4

5

6

7

10

15

16

18

26

30

3000

3320

-

3850

4000

4200

9.1 Halle la ecuación de regresión lineal. 9.2 ¿En cuanto estimaría las ventas para la semana 4?

10. Una empresa que fabrica Plantas de zapatillas quiere estudiar la relación entre las edades (en años) de un tipo de máquinas compradas para la


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ESTADISTICA II

131

fabricación de este artículo y el número de artículos que se producen a lo largo de una semana. A partir de la muestra siguiente: Años No de Artículos

5.0 453 4

4.5 564 5

4.0 --

3.5 624 8

3.0 679 4

2.5

2.0

--

--

1.5 964 2

1.0 985 5

10.1 Determine la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir la producción. Estime la producción para 4, 2,5 y 2 años. 10.2 Calcule el porcentaje de la varianza explicada por la regresión de la producción.

Autoevaluación 1. Suponga que usted tiene a su cargo el dinero de la municipalidad de San Marcos (Ancash). Se le dan los siguientes datos de antecedentes sobre el suministro de dinero y el producto nacional bruto (ambos en millones de soles): Suministro de dinero Producto Nacional Bruto

2,0 2,5 3,2 3,6 3,3 4,0 4,2 4,6 4,8

5,0

5,0 5,5 6,0 7,0 7,2 7,7 8,4 9,0 9,7 10,0

1.1. Desarrolle la ecuación de estimación para predecir el producto nacional bruto Y del suministro de dinero X. 1.2. ¿Cómo interpreta la pendiente de la línea de regresión? 1.3. Calcule e interprete el error estándar de la estimación. 1.4. Calcule el intervalo de predicción de aproximadamente 90% para el producto nacional bruto cuando el suministro de dinero es 8,0.

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132

2. Durante los partidos recientes de tenis, un jugador ha observado que sus lanzamientos no han sido totalmente eficaces porque sus oponentes le han regresado algunos de ellos. Algunas de las personas con las que juega son bastante altas, así que se ha estado preguntando si la altura de su oponente podría explicar el número de lanzamientos no regresados durante un partido. Los siguientes datos se sacaron de cinco partidos recientes. Altura del oponente (H) pies 6,0 5,5 5.2 5.1 5,0 Lanzamientos no regresados(L) 12 9 7 7 3 2.1. ¿Cuál es la variable dependiente? 2.2. ¿Cuál es la ecuación de estimación de mínimos cuadrados para estos datos? 2.3. ¿Cuál es su mejor estimación del número de lanzamientos no regresados para su partido de mañana con un oponente de 5,9 pies de altura? 3. Un estudio hecho por el Ministerio de Transportes y Comunicaciones, acerca del efecto de los precios de los pasajes de los buses interprovinciales sobre el número de pasajeros, produjo los siguientes resultados: Precio del pasaje 25 30 35 40 45 50 55 60 Pasajeros por 100 millas 800 780 780 660 640 600 620 620 3.1. Represente gráficamente estos datos. 3.2. Desarrolle la ecuación de estimación que mejor describa estos datos. 3.3. Pronostique el número de pasajeros por 100 millas si el precio del pasaje fuera 50. Utilice un intervalo de predicción de 95% de aproximación. 4. Se ha diseñado una prueba, para mostrar a los supervisores de una compañía, sobre los riesgos de supervisar a sus trabajadores. Un trabajador de la línea de ensamblaje tiene a su cargo una serie de tareas complicadas. Durante el desempeño del trabajador, un inspector lo interrumpe constantemente para ayudarlo a terminar las tareas. El trabajador después de terminar su trabajo, recibe una prueba psicológica diseñada para medir la hostilidad del trabajador hacia la autoridad (una alta puntuación significa una hostilidad baja). A ocho distintos trabajadores se le asignaron las tareas y luego se les interrumpió con propósitos de asistencia de instrucción un número variable de veces y sus calificaciones correspondientes en la prueba de hostilidad se revelan en la siguiente tabla. número de veces de interrupción al trabajador Calificación del trabajador en la prueba de hostilidad-9


5

10 10 15 15 20 20 25

58 41 45 27 26 12 16

3

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ESTADISTICA II

133

4.1. Desarrolle la ecuación que mejor describa la relación entre el número de veces de interrupción y la calificación de la prueba. 4.2. Pronostique la calificación esperada de la prueba si el trabajador es interrumpido 18 veces. 5. El editor jefe de un importante periódico de la capital ha intentado convencer al dueño del periódico para que mejore las condiciones de trabajo en el taller de prensas. El está convencido de que, cuando trabajan las prensas, el grado de ruido crea niveles no saludables de tensión y ansiedad. Realmente hizo que un psicólogo realizara una prueba durante la cual los prensistas se situaron en cuartos con niveles variables de ruido y, luego, se les hizo otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. La siguiente tabla muestra el índice de su grado de ansiedad o nerviosismo y el nivel de ruido al que se vieron expuestos (1,0 es bajo y 10,0 es alto). Nivel de ruido 4 3 1 2 6 7 2 3 Grado de ansiedad 39 38 16 18 41 45 25 38 5.1 Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos. 5.2 Pronostique el grado de ansiedad que se podría esperar cuando el nivel de ruido es 5. 6. Una compañía administra a sus vendedores una prueba readiestramiento de ventas antes de permitirles trabajar. La administración de la compañía está interesada en determinar la relación entre las calificaciones de la prueba (T) y el número de unidades vendidas por esos vendedores al final de un año de trabajo. Los siguientes datos se recolectaron de 10 agentes de ventas enumerados del 1 al 10 que han estado en el campo durante un año. Número del 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 vendedor Calificación (T) 2,6 3,7 2,4 4,5 2,6 5,0 2,8 3,0 4,0 3,4 Unidades 95 140 85 180 100 195 115 136 175 150 vendidas (S) 6.1 Encuentre la línea de regresión de mínimos cuadrados que podría usarse para predecir las ventas de las calificaciones de las personas en adiestramiento. 6.2 ¿En cuánto se incrementa el número esperado de unidades vendidas por cada incremento de 1 punto en una calificación de la prueba? 6.3 Utilice la línea de regresión de mínimos cuadrados para predecir el número de unidades que vendería una persona en adiestramiento que recibió una calificación de prueba promedio. 7. El consejo municipal de La Victoria ha recabado datos sobre el número de accidentes menores de tráfico y el número de juegos de fútbol de jóvenes que tienen lugar en ese distrito el fin de semana. X (juegos de fútbol) 20 30 10 12 15 25 34 Y (accidentes menores) 6 9 4 5 7 8 9

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134

7.1 Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos. 7.2 Pronostique el número de accidentes menores de tráfico que ocurrirán en un fin de semana durante el cual tendrán lugar 33 partidos de fútbol. 7.3 Calcule el error estándar de estimación. 8. En economía, la función de demanda de un producto a menudo se estima mediante la regresión de la cantidad vendida (Q) sobre el precio (P). La compañía Matel está tratando de estimar la función de demanda para su nueva muñeca “Sally”, y ha recabado los siguientes datos: P 20,0 17,5 16,0 14,0 12,5 10,0 8,0 6,5 Q 125 156 183 190 212 238 250 276 8.1 Represente gráficamente estos datos. 8.2 Calcule la línea de regresión de mínimos cuadrados. 9. Los contadores, con frecuencia, estiman los gastos generales basándose en el nivel de producción. La envasadora “Miski” recabó información sobre gastos generales y unidades producidas en diferentes plantas, y desean estimar una ecuación de regresión para predecir gastos generales futuros. Gastos generales 191 170 272 155 280 173 234 116 153 178 Unidades 40 42 53 35 56 39 48 30 37 40 9.1 Desarrolle la ecuación de regresión para los contadores costosos. 9.2 Pronostique los gastos generales cuando se producen 50 unidades. 9.3 Calcule el error estándar de la estimación. 10. El fabricante de una empresa que se dedica al desarrollo de vacunas informáticas (antivirus), esta preocupado por la competencia que existe hoy en el mercado. El fabricante desea estimar el tiempo que demora su producto en analizar archivos de distintos tamaños. Para ello, se ha recolectado los siguientes datos: Tamaño (KB) Tiempo (seg.)

200 269 300 358 450 490 500 550 10,9 12,1 14,4 17,8 18,9 19,5 21,8 24,9

Estime el tiempo que el antivirus se demorará en analizar un archivo de 480 KB.

Para recordar

Se deben identificar adecuadamente la variable independiente y la variable dependiente.


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ESTADISTICA II

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SEMANA

11 REGRESIÓN NO LINEAL TEMAS • • • •

Análisis de Regresión no lineal: Cuadrática Análisis de Regresión no lineal: Potencial Análisis de Regresión no lineal: Exponencial Análisis de Regresión no lineal Logarítmica


Conocer las otras ecuaciones de predicción no lineales. Determinar la ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. Estimar adecuadamente las regresiones no lineales


Regresión no lineal: Cuadrática Regresión no lineal: Potencial Regresión no lineal: Exponencial Regresión no lineal Logarítmica

ACTIVIDADES • •

Identifican los diferentes métodos de regresión no lineal Analizan las diferentes ecuaciones de regresión no lineal

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ANÁLISIS DE REGRESIÓN NO LINEAL Regresiones no lineales En un análisis de regresión cuando los valores de la variable independiente (X) y la variable dependiente (Y) no se ajustan a una línea de regresión, se podrá conseguir una relación lineal mediante una transformación de estos valores. Regresión Potencial

y = Ax B Regresión Exponencial Regresión Hiperbólica Regresión Cuadrática

ln y = ln(A) + B.ln(x) y = Ae Bx ln y = ln(A) + Bx y = 1 /( A + Bx) 1/y = A + Bx y = A + Bx + Cx 2

ACTIVIDADES 1. Ajuste, por el método de mínimos cuadrados, una curva de la forma:

y = Ax B

para los siguientes datos:

X Y

2 1,8

3 2,8

4 4,5

5 6,8

6 8,8

7 8 9 10 12.3 24,8 61,.5 84,.9

2. Ajuste, por el método de mínimos cuadrados, una curva de la forma:

y = Ae Bx

para los siguientes datos:

X Y


1,2 1,3

2,3 2,2

3,4 5,5

5,5 6,6

8,6 7,8

11,7 13,8 16,9 21,1 18.3 34,8 71,2 94,.8

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ESTADISTICA II

137

4. Ajuste, por el método de mínimos cuadrados, una curva de la forma: 2 y = A + Bx + Cx para los siguientes datos: X Y

2 1

3 2

5 5

7 16

9 28

11 38

13 50

16 72

21 90

4. Un Vendedor de Autos usados desea estimar los precios (en $) de un lote de autos usados importados desde el Asia. El estudio lo realiza para una misma marca y modelo de la siguiente manera: Años

1 2 3 10,50 Precio ($) 8,200 6,500 0

4

5

6

-----

4,500

3,800

4.1 Determine la ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 4.2 Estime el precio para un auto de 4 años de antigüedad. 4.3 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta.

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138

5. Una nueva bacteria de influenza ha entrado al país, los reportes de algunas partes del interior han alertado al ministerio de salud. El área de epidemiología ha tomado muestra de algunos pacientes con dichos síntomas internados por emergencia. Uno de los primeros estudios es ver la velocidad de reproducción que esta bacteria tiene en el cuerpo humano. Para esto se realiza un cultivo de estas bacterias (volumen) para encontrar dicha velocidad reproductiva. El estudio lo realiza de la siguiente manera: Tiempo (Horas) Volumen (u3)

3 250

4 350

5 700

6 870

7 1080

8 1600

5.1 Determine la ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 5.2 Si los médicos definen como epidemia cuando después de 14 horas el volumen es de 10000 u3. , diga Ud. si lo observado llega a ese límite.

6. En una planta de gas natural se ha observado diferentes fallas en el gaseoducto cuando se transfiere el gas hacia la ciudad. La zona donde más problemas se han generado para el traslado del gas es de clima muy variado. Se tomó del reporte de esa zona los volúmenes transferidos (cm3) y la presión (Kg. /cm.2) generada. Los datos se encuentran en la siguiente tabla:


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ESTADISTICA II

139

Presión (Kg./cm.2) Volumen (cm3)

3

4

5

6

7

8

50

60

70

85

98

110

6.1 Determine la ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 6.2 Estime la presión cuando el volumen sea 120 cm.3.

7. Un grupo político, que se presentará a las elecciones presidenciales, ha observado que un gran problema es el de disminuir la pobreza. Para esto, uno de los parámetros es la explosión demográfica. Por ello, realiza un estudio de los últimos 25 años para averiguar la velocidad de crecimiento poblacional. Asimismo, toma reportes históricos de la población (en millones) de la siguiente manera: Años

1980

1985

Población

10,5

11,2

1990 1994 12,5

13,2

1998

2001

2003

2005

18,8

22,6

27,8

32,8

7.1 Determine la ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 7.2 Estime la población que se espera para el año 2010. 7.3 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta.

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140

8. La empresa AMAUTA desea decidir si firma o no un contrato de mantenimiento para su nuevo sistema de procesamiento de palabras. Los directivos creen que el gasto de mantenimiento debe estar relacionado con el uso, por ello han reunido la información que se ve en la tabla siguiente sobre el uso semanal, en horas, y el gasto de mantenimiento (cientos de soles). Uso semanal 13 10 20 28 32 17 24 31 40 38 (horas) Gastos 17,0 22,0 30,0 37,0 47,0 30,5 32,5 39,0 51,5 40,0 anuales de mantenimie nto 8.1 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 8.2 AMAUTA espera operar 30 horas semanales el procesador de palabras. Determine un intervalo de predicción de 95% para el gasto de la empresa en mantenimiento anual. 8.3 Si el contrato de mantenimiento cuesta s/. 3000 anuales, ¿recomendaría firmarlo? ¿Por qué?

9. Los siguientes datos corresponden a la altura (pulgadas) y peso libras de matadoras de voley : Altura 68 64 62 65 66 Peso 132 108 102 115 128 9.1 Desarrolle la ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 9.2 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta.


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ESTADISTICA II

141

10. Los datos siguientes muestran las ventas (en millones) de cajas y los gastos de publicidad (en miles de soles) para siete marcas de gaseosas. Marca Inca kola Coca Cola Kola Real Pepsi cola Isaac Kola Concordia Saboré

Gastos de publicidad (s/.) 131,3 92,4 60,4 55,7 40,2 29,0 11,6

Ventas de cajas 1 929,2 1 348,6 811,4 541,5 536,5 535,6 219,5

10.1 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 10.2 ¿Qué parece indicar este diagrama acerca de la relación entre las dos variables? 10.3 Prediga las ventas para una marca que gaste 70 millones de soles en publicidad. 10.4 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta.

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142

Autoevaluación 3. A continuación, observamos datos sobre el porcentaje de vuelos que llegan puntuales y la cantidad de quejas por 100 00 pasajeros. Aerolínea WAYRA PERÚ L C BUSRE TACA AERO CONDOR ATSA IBERIA LAN PERÚ STAR PERÚ AERO MÉXICO

Porcentaje puntual 81,8 76,6 76,6

0,21 0,58 0,85

75,7

0,68

73,8 72,2 71,2 70,8 68,5

0,74 0,93 0,72 1,22 1,25

Quejas

3.1 Trace un diagrama de dispersión para estos datos. 3.2 ¿Qué parece indicar este diagrama acerca de la relación entre las dos variables? 3.3 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 3.4 Proporcione una interpretación para la curva de la ecuación de regresión estimada. 3.5 ¿Cuál es la cantidad estimada de quejas por 100000 pasajeros si el porcentaje de vuelos puntuales es 80%? 4.

Los principales hoteles ofrecen, con frecuencia, tarifas especiales para viajeros de negocios. Las tarifas mínimas se cobran cuando se hacen reservaciones con 14 días de anticipación. La tabla siguiente muestra las tarifas de negocios y las de súper ahorro por 14 días de anticipación, por una noche, en una muestra de seis hoteles. Lugar del hotel Tarifas de negocios Tarifa de anticipo de 14 días s/. Ica 89 81 Trujillo 130 115 Arequipa 98 89 Lima 149 138 Cuzco 199 149 Iquitos 114 94 4.1 Trace el diagrama de dispersión para estos datos, con las tarifas de negocios como variable independiente.


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ESTADISTICA II

143

4.2 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 4.3 El hotel de turistas de Huancayo, tiene una tarifa de negocios de s/. 135 por noche. Estime la tarifa de súper ahorro por 14 días de anticipación. 4.4 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta.

5 La empresa Vista reúne los datos que muestran qué publicistas obtienen la mayor difusión durante las horas estelares de TV en 6 canales de televisión. A continuación, se presentan los datos de la cantidad de familias espectadoras, en millones, y la cantidad de veces que salió el anuncio al aire durante la semana del 23 de julio al 10 de agosto. Marca Veces que salió al Familias anunciada aire espectadoras Kolinos 28 191,7 Colgate 20 174,6 Dento 14 161,3 Ace 16 161,1 Ariel 16 147,7 Bolívar 16 146,3 Pacocha 11 138,2 .5.1 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 5.2 ¿Cuál es la cantidad estimada de familias espectadoras si un anuncio sale 15 veces al aire en una semana? 5.3 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta. 5 Abajo están los datos recopilados por un gerente de ventas de reportes anuales y en años de experiencia. Vendedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Años de 1 3 4 4 6 8 10 10 11 13 Experiencia Ventas anuales (S/. 80 97 92 102 103 111 119 123 117 136 miles) 6.1 Trace el diagrama de dispersión para estos datos, con los años de experiencia como la variable independiente. 6.2 Forme una adecuada ecuación de regresión con la que se puedan predecir las ventas anuales, dados los años de experiencia. 6.3 Use la ecuación estimada de regresión para predecir las ventas anuales de un vendedor con 9 años de experiencia. 7 Las clases de llantas y capacidades de carga para una muestra de llantas son las siguientes:

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Clase 75 de llanta Capacidad 853 de carga

82

85

87

88

91

92

93

105

1 047

1 135

1 201

1 235

1 356

1 389

1 433

2 039

7.1 Trace un diagrama de dispersión para estos datos, con la clase de llanta como variable independiente. 7.2 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 7.3 Estime la capacidad de carga para una llanta cuya clase es 90. 8 Los datos siguientes muestran los ingresos de los casinos y de sus hoteles, en miles de soles. Compañía J W Marriott Swissôtel Lima Sheraton Hotel de las Américas Delfines El Condado Plaza del bosque Sonesta Costa del Sol Sol de Oro

Ingreso en hotel 303,5 664,8 121,00 429,6 373,1 670,9 66,4 105,8 102,4 135,8

Ingreso en casino 548,2 664,8 270,7 511,0 404,7 782,8 130,7 105,5 148,7 358,5

8.1 Trace un diagrama de dispersión para estos datos, con los ingresos en el hotel como variable independiente. 8.2 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 8.3 Suponga que los ingresos del hotel fueron de s/. 500 millones. ¿Cuál es un estimado de los ingresos del casino? 8.4 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta. 9 La siguiente tabla muestra el porcentaje de mujeres que trabaja en cada empresa (x) y el porcentaje de puestos gerenciales desempeñados por mujeres en esa empresa (y). Los datos son de empresas del sector de ventas y comercio al menudeo. Empresa Wong Mc Donald’s Hiraoka Ebel Aceros Arequipa

Xi 72 47 51 57 55

Yi 61 16 32 46 36

9.1 ¿Qué indica el diagrama de dispersión trazado en el inciso a acerca de la relación entre x e y?


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ESTADISTICA II

145

9.2 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 9.3 Prediga el porcentaje de puestos gerenciales desempeñados por mujeres en una empresa en la que el 60% de sus empleados sean mujeres. 9.4 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta. 10 En el país, las autoridades del gobierno consideran que para que las deducciones totales sean razonables, es necesario considerar el ingreso bruto del causante. Las grandes deducciones, que comprenden los pagos a instituciones de beneficencia y por gastos médicos, son más razonables para causantes con grandes ingresos brutos ajustados. Si un causante pide deducciones mayores que el promedio para determinado nivel de ingresos, aumentan las posibilidades de una auditoría fiscal. A continuación vemos datos sobre el impuesto bruto ajustado y el promedio o cantidad razonable de deducciones agrupadas. Los datos están en miles de dólares. Ingresos brutos ajustados 22 27 32 48 66 85 120

Deducciones ajustadas totales (s/. miles) 9,6 9,6 10,1 11,1 13,5 17,7 25,5

10.1Trace un diagrama de dispersión para esos datos, con ingresos brutos ajustados como variable independiente. 10.2 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 10.3 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta. 11 En los siguientes datos, se ven las tasas de ocupación (%) y las tarifas por noche ($) en las regiones hoteleras más importantes de Estados Unidos. Región

Los Angeles Chicago Washington Atlanta Dallas

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Tasa de ocupación (%) 67,9 72,0 68,4 67,7 69,5

Tarifa promedio por noche (s/. ) 75,91 92,04 94,42 81,69 74,76


146

San Diego Anaheim –Santa Ana San Francisco Houston Miami Oahu Island Phoenix Boston Tamp Dtroit Philadelphia Nashvile Seatle Mineapolis New Orleans

68,7 69,5

80,86 70,04

78,7 62.0 71,2 80,7 71,4 73,5 63,4 68,7 70,1 67,1 73,4 69,8 70,6

106,47 66,11 85,83 107,11 95,34 105,51 67,45 64,79 83,56 70,12 83,60 73,64 99,00

11.1 Trace un diagrama de dispersión para estos datos, con la tarifa promedio por noche como variable independiente. 11.2 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 11.3 Estime la tasa promedio de ocupación para un hotel cuya tarifa promedio sea de s/. 130,00 por noche. 11.4 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta. 12 Los datos de la tabla siguiente muestran la cantidad de ventas de acciones (en millones) y el precio esperado (promedio del precio bajo proyectado y el precio alto proyectado) para 10 emisiones públicas iniciales de acciones. Empresa Nabisco Nestlé P&G Backus Cementos Lima Andina SAC Pacocha PROATEC Río Blanco Yanacocha


Venta acciones 5,0 9,0 6,7 8,75 3,0 13,6 4,6 6,7 3,0 7,7

de Precio esperado(s/.) 15 14 15 17 11 19 13 14 10 13

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ESTADISTICA II

147

12.1

Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados (con la cantidad de acciones vendidas como variable independiente). 12.2 Use la ecuación de regresión para estimar el precio que puede esperar una empresa con una oferta pública inicial de 6 millones de acciones. 12.3 ¿Qué tan confiable es dicha ecuación? Justifique estadísticamente su respuesta. 13 Una ley manda publicar información sobre impuestos irregulares sobre propiedad. Hace una lista del nombre del propietario, la valuación de la propiedad y la cantidad de impuestos, evaluaciones y penalizaciones vencidas. La valuación de la propiedad y los impuestos vencidos para una muestra de 10 propiedades irregulares aparecen en la siguiente tabla. La valuación está en miles de soles. Valuación de la propiedad (en miles de soles) 18,8 24,4 20,4 35,8 14,8 40,4 49,0 14,5 37,3

Cantidad vencida (en soles) 445 539 1 212 2 237 479 1 181 4 187 409 1 002

54,7

2 062

13.1 Determine la ecuación de regresión para estimar la cantidad de impuestos vencidos de la valuación de la propiedad. 13.2 Aplicar la ecuación de regresión para estimar los impuestos vencidos para una propiedad cuya valuación es de s/. 42 400. 13.3 ¿Cree usted que la ecuación de regresión permita una buena predicción de la cantidad de impuestos vencidos? 14 En un proceso de manufactura, se cree que la velocidad de la línea de producción, en pies por minuto, afecta la cantidad de piezas defectuosas que se encuentran en proceso de inspección. Para probar esta teoría se hizo una determinación en la que el mismo conjunto de partes era inspeccionado visualmente a diversas velocidades de la línea. En la tabla siguiente, se ve una lista de los datos reunidos. Valor de la línea Cantidad de encontradas

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partes

20 20 40 30 60 40 defectuosas 21 19 15 16 14 17


148

14.1 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 14.2 Tuvo un buen ajuste con los datos de la ecuación de regresión?

15 Un hospital de una gran ciudad contrató a un psicólogo para investigar la relación entre la cantidad de días que faltan sin permiso los empleados, por año, y la distancia, en millas, de su hogar a su trabajo. Se eligió una muestra de 10 empleados y se reunieron los siguientes datos: Distancia al trabajo 1 3 4 6 8 10 12 14 14 18 Cantidad de días de ausencia 8 5 8 7 6 3 5 2 4 2 15.1 Desarrolle una ecuación de regresión que mejor se aproxime a la realidad de los datos observados. 15.2 ¿Tienen buen ajuste los datos con la ecuación de regresión? Explique por qué. 15.3 ¿Tuvo un buen ajuste con los datos de la ecuación de regresión?

Para recordar

Se deben identificar adecuadamente las ecuaciones de regresión no lineal.


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149

SEMANA

12 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE TEMAS • • •

Análisis de Regresión lineal múltiple Recta de regresión de mínimos cuadrados Aplicación e interpretación


Conocer la otra ecuación de predicción lineal Determinar la ecuación de regresión lineal múltiple a partir de los datos observados Estimar adecuadamente la regresión lineal múltiple

CONTENIDOS • • •

El proceso de regresión múltiple Error estándar de la estimación de la regresión múltiple Los coeficientes de determinación múltiple

. ACTIVIDADES • •

Identifican el método de regresión lineal múltiple Analizan la ecuación de regresión lineal múltiple

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150

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE El proceso de regresión múltiple se usa cuando es posible utilizar más de una variable independiente para estimar la variable dependiente y, de esta manera, intentar aumentar la precisión de la estimación. Este proceso está basado en las mismas suposiciones y procedimientos que se encuentran al utilizar la regresión simple. Considere al agente de bienes raíces que desea relacionar el número de casas que la firma vende en un mes con la cantidad de su publicidad mensual. Ciertamente, se puede encontrar una ecuación de estimación sencilla que relacione a estas dos variables. Si se incluye en el proceso de estimación el número de vendedores que emplea cada mes, para predecir las ventas mensuales de casas, se debe utilizar regresión múltiple, y no simple, para determinar la relación. La principal ventaja de la regresión múltiple es que permite utilizar más información disponible para estimar la variable dependiente. En algunas ocasiones, la correlación entre dos variables puede resultar insuficiente para determinar una ecuación de estimación confiable. Sin embargo, si se agrega los datos de más variables independientes, es posible determinar una ecuación de estimación que describa la relación con mayor precisión. Regresión lineal múltiple es un modelo de la forma:

Y

=

a o + a1 X 1 + a 2 X

Donde: Y: Xi:

2+

a3 X

3+

4 + .......... .... +

a4 X

an X

n

Variable dependiente Variable independiente “i”, cuando i = 1, 2, 3, 4,.......n

El significado de los coeficientes de las “n” variables independientes, así como las definiciones de error estándar de estimación y coeficiente de determinación son válidas también para este modelo. ∧

Sea el modelo de la forma: Y = a + bX 2 + cX 2 Para hallar los valores de a, b y c

∑Y ∑YX

=

na

b ∑X

+

1

c ∑X

2

b ∑ X1 + c ∑ X X ∑ Y X = a ∑ X + b ∑ X X +c ∑ X 2 1

=

2

a ∑X

+ 1

2

2

+

1

1

2 2

2

Medida de dispersión o el error estándar de la estimación de la regresión múltiple. En la regresión simple, la estimación se hace más precisa conforme el grado de dispersión alrededor de la regresión se hace más pequeño. Lo mismo se aplica a los puntos de muestra que se encuentran alrededor del plano de regresión múltiple.


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ESTADISTICA II

151

Para medir esta variación, se debe utilizar de nuevo la medida conocida como error estándar de la estimación: ∧

Y = a + bX 2 + cX 2

Sea el modelo de la forma:

∧

Se =

∑ (Y − Y ) 2 n − k −1

Donde: .

y = valores de muestra -de la variable dependiente ∧

.

.

Y = valores correspondientes estimados a partir de la ecuación de regresión. n = número de puntos de dato de la muestra k = número de variables independientes

El denominador de esta ecuación indica que, en la regresión múltiple con k variables independientes, el error estándar tiene n-k - 1 grados de libertad. Esto es así debido a que los grados de libertad se ven reducidos de su valor n en los k + 1 constantes numéricas, a, bl, b2, ..., bk, que fueron estimadas de la misma muestra. Como fue el caso en la regresión simple, se puede utilizar el error estándar de la estimación y la distribución t para formar un intervalo de confianza aproximado alrededor de nuestro valor estimado Y. Si se desea construir un ∧

intervalo de confianza del 95% alrededor de esta estimación de Y con (n-k – 1) grados de libertad. Luego de hallar el valor apropiado de t, se puede calcular los límites del intervalo de confianza de esta forma: ∧

LSup = Y + tS e Límite superior ∧

LInf = Y − tS e Límite inferior

Los coeficientes de determinación múltiple. En el estudio del análisis de correlación simple, se mide la intensidad de la relación entre dos variables, utilizando el coeficiente de determinación r 2 de la muestra. Este coeficiente es la fracción de la variación total de la variable dependiente Y que se explica con la ecuación de estimación. Similarmente, en la correlación múltiple se deberá medir la intensidad de la relación entre tres variables utilizando el coeficiente de determinación múltiple, R2, o su raíz cuadrada, R (el coeficiente de correlación múltiple). Este coeficiente de determinación múltiple es también la fracción que representa la porción de la variación total de Y que es "explicada" por el plano de regresión. .

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152

ACTIVIDADES 1. Se quiere controlar el precio (valor real) de cierto producto a partir de los de gastos de publicidad (miles de $) y los gastos en transporte ($/ton.). En un mes se tomó una muestra de 9 ensayos y se observó lo siguiente: Precio

2

2,1

2,2

2,5

2,6

2.6

2,7

2,7

2,8

Publico.

12

14

17

22

26

28

32

34

35

Transporte

25

25,2 25,1 25,3 25,3 25,4 25,3 25,4 25,5

1.1 Halle la ecuación de regresión lineal múltiple de mínimos cuadrados para predecir los precios reales. 1.2 Determine el precio real a un gasto de publicidad de 30 y un gasto en el transporte de 26.

2. Una fábrica de cierta marca de reactivos industriales desea saber los posibles cambios de reacción que sus productos pueden generar en diferentes temperaturas a diferentes volúmenes de solvente utilizado. Se ha tomado al azar 9 muestras, observando la temperatura de trabajo media correspondiente en grados centígrados (X1), el volumen del solvente utilizado (X2) y el peso promedio recuperado de soluto (Y). Los datos se resumen en la siguiente tabla: X1 X2

18 6

19 9

21 5

22 7

23 8

27 7

29 5

21 6

23 5

Y

60

69

62

65

69

70

71

65

64

Halle la recta de regresión múltiple de mínimos cuadrados para predecir el peso promedio de soluto recuperado ¿Se puede planificar dicha recuperación sobre la base de la temperatura?


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ESTADISTICA II

153

3. La compañía minera PROATEC SA desea avaluar los posibles problemas que tiene en la recuperación de concentrado de oro a partir del proceso de lixiviación controlada, en la unidad “León” ubicado en la localidad de Churubamba departamento de Huanuco. Los siguientes datos son los pesos en gramos recuperados por Tn. (Y), temperatura de trabajo (X1) volumen de cianuro a utilizar ml/gl(X2): X1

8

9

1

2

3

7

9

1

3

X2

6

9

5

7

8

7

5

6

5

Y

6

6,9

6,2

6,5

7,2

7,0

7,1

6,6

6.8

3.1 Ajuste una curva de regresión lineal múltiple. 3.2 Estime la recuperación al trabajar a 5 °c y u n volumen de 9ml de CN.

4. Ajuste una curva de regresión lineal múltiple a los siguientes datos:

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X1 X2

4 3

8 6

12 14

16 18

20 29

24 37

28 38

32 42

Y

24

21

20

15

14

10

7

5


154

4.1 Halle la ecuación de regresión lineal múltiple de mínimos cuadrados. 4.2 Determine el valor de Y, cuando X1 es igual a 35 y X2 es igual a 30.

5. La presión P (Kg./cm2) de un gas metano es dependiente de las variables X1, X2 y X3, Se registró 6 reportes realizados en el laboratorio para un posible control de este gas: P

79, 7 65, 3 52, 7 36, 4 27, 7 18, 5

X1

77

61

56

68

57

87

X2

50

60

67

78

89

98

X3

97

51

52

58

56

57

Ajuste a los datos una curva de regresión lineal múltiple y estime P cuando X1 es 91, X2 es 80 y X3 es 70

6. Un gerente de obra de una constructora desea optimizar los pagos realizados en el transporte de concreto premezclado a las diferentes obras de su cargo. De reportes anteriores, obtuvo, de varios envíos, datos de ubicación (en


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ESTADISTICA II

155

kilómetros), tonelaje de concreto (cargado en los camiones) transporte (en $). Ello se resume en la siguiente tabla. Ubicación Tonelaje

4 6

6 8

7,7 8

9,6 10

10 9

y gastos en

15,4 24,8 10 12

28 10

Gastos ($) 24 34 40 45 45 50 60 70 6.1 Halle la recta de regresión múltiple de mínimos cuadrados para predecir los gastos en transporte. 6.2 Si se desea enviar a 25 KM un volumen de 15 toneladas de concreto premezclado, ¿cuál será el gasto en el transporte?.

Autoevaluación 1. Se desea predecir el número de solicitudes de reembolso de los impuestos prediales, en una municipalidad, durante los días hábiles del período que va del 1 de marzo al 15 de abril, de modo que se pueda planearse mejor las necesidades de personal durante dicho periodo. Se ha hecho la hipótesis de que varios factores pueden ser útiles en la predicción. Los datos correspondientes a estos factores y el número de solicitudes de reembolso de años anteriores son las siguientes: X1 Índice económico

99 106 100 129 179

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X2 Población dentro de una milla a la redonda de la oficina 10 188 8 566 10 557 10 219 9 662

X3 Ingreso promedio para la municipalidad 21 465 22 228 27 665 25 200 26 300

Y Número de solicitudes de reembolso, del 1 de marzo al 15 de abril 2 306 1 266 1 422 1 721 2 544


156

1.1 Encuentre la ecuación de regresión de mejor ajuste para estos datos. 1.2 ¿Qué porcentaje del total de variación en el número de solicitudes de reembolso se explica mediante esta ecuación? 1.3 Para 2003, el índice económico es de 169, la población dentro del área de 1 milla alrededor de la oficina es de 10 212, y el ingreso promedio en la municipalidad es de $ 26 925. ¿Cuántas solicitudes de reembolso deberá esperarse dar trámite entre el 1 de marzo y el 15 de abril? 2. Se intenta predecir la demanda anual de un cierto producto (DEMAND) utilizando las siguientes variables independientes: PRECIO = Precio del producto (en $) INGRESO= Ingreso del consumidor (en $) SUB = Precio del bien sustituto (en $) (Nota: Un bien sustituto es aquel que puede suplir a otro bien. Por ejemplo, la margarina es un buen sustituto de la mantequilla) Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Demanda Precio ($) 40 9 45 8 50 9 55 8 60 7 70 6 65 6 65 8 75 5 75 5 80 5 100 3 90 4 95 3 85 4

Ingreso ($) 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Sub ($) 10 14 12 13 11 15 16 17 22 19 20 23 18 24 21

2.1 Encuentre la ecuación de regresión de mejor ajuste para estos datos. 2.2 ¿Son los signos (+ o -) de los coeficientes de regresión de las variables independientes como cabe esperar? Explique brevemente la respuesta. 2.3 Establezca e interprete el coeficiente de determinación múltiple del problema. 2.4 Establezca e interprete el error estándar de la estimación para el problema. 2.5Utilizando la ecuación de regresión obtenida, ¿qué valor de DEMAND predeciría si el precio de los productos fue de $6, el ingreso del consumidor de $1 200 y el precio del bien sustituto fue de $17? 3. Antonio está pensando en vender su departamento. Con el fin de decidir qué precio pedir por él, ha recogido datos de doce ventas recientes. Registró el precio de las ventas (en miles de dólares), el número de pies


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ESTADISTICA II

157

cuadrados de construcción (en cientos de pies), el número de cuartos, el número de baños y la antigüedad del departamento(en años). Precio de venta 49,65 67,95 81,15 81,60 91,50 95,25 100,35 104,25 112,65 149,70 160,65 232,50

Pies cuadrados 8,9 9,5 12,6 12,9 19,0 17,6 20,0 20,6 20,5 25,1 22,7 40,8

Dormitorios Baños Antigüedad 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 3

1,0 1,0 1,5 1,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 2,0 4,0

2 6 11 8 22 17 12 11 9 8 18 12

3.1 Determine la ecuación de regresión de mejor ajuste para los datos dados 3.2 ¿Cuál es el valor de R2 para esta ecuación? 3.3 Si el departamento de Antonio tiene 1 800 pies cuadrados (=18,0 cientos de pies cuadrados), un dormitorio, 1,5 baños y seis años de antigüedad, ¿qué precio de venta podría esperar Antonio? 4 Aceros Arequipa ha estado buscando los factores que influyen en la cantidad de acero (en millones de toneladas) que es capaz de vender cada año. La administración sospecha que los siguientes son los factores principales: la tasa anual de inflación del país, el precio promedio por tonelada mediante el cual el acero importado acota los precios (en dólares) de la compañía, y el número de construcciones que se están planeando realizar en este año. Se han recogido los datos correspondientes a los últimos siete años: Año

1 999 1 998 1 997 1 996 1 995

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Y Millones de tons. vendidas 4,2

X1 Tasa de inflación

X3 Número de construcciones

3,1

X2 Limitación de importación 3,10

3,1

3,9

5,00

5,1

4,0

7,5

2,20

5,7

4,7

10,7

4,50

7,1

4,3

15,5

4,35

6,5

6,2


158

1 994 1 993

3,7

13,0

2,60

6,1

3,5

11,0

3,05

5,9

4.1 Determine la ecuación de regresión de mejor ajuste para los datos. 4.2 ¿Qué porcentaje de la variación total de la cantidad de acero vendido (en millones de toneladas) por la compañía cada año es explicado por esta ecuación? 4.3 ¿Cuántas toneladas de acero deberá esperar vender la compañía en un año, si la tasa de inflación estimada sería de 7,1; las empresas constructoras están planeando construir 6,0 millones de departamentos y el promedio de limitación por impuesto al acero importado por tonelada sería de $3,50? 5 Una línea aérea ha efectuado una investigación sobre sus 15 terminales y ha obtenido los siguientes datos correspondientes al mes de julio, en los que se han recogido los siguientes datos: VENTAS = Recuperación total basada en el número de boletos vendidos (en miles de dólares) PROMOC= Cantidad gastada en promover la línea aérea en la zona (en miles de dólares) COMPET = Número de aerolíneas competidoras en ese aeropuerto. GRATIS = porcentaje de pasajeros que vuelan gratis (por alguna razón) Venta 79,3 200,1 163,2 200 146,0 177,7 30,9 291,9 160,0 339,4 159,6 86,3 237,5 107,2 155,0

Promoc 2,5 5,5 6,0 7,9 5,2 7,6 2,0 9,0 4,0 9,6 5,5 3,0 6,0 5,0 3,5

Compet 10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10

Gratis 3 6 9 16 15 9 8 10 4 16 7 6 10 4 4

5.1 Determine la ecuación de regresión de mejor ajuste para la aerolínea 5.2 ¿Los pasajeros que vuelan gratis ocasionan que las ventas bajen significativamente? Establezca y pruebe las hipótesis apropiadas. Use α=0,10.


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5.3 Dé un intervalo de confianza de 90% para el coeficiente de la pendiente de COMPET. 6 El doctor Javier L. registró los datos correspondientes a edad, reacción a la penicilina y presión sanguínea sistólica de 30 pacientes. Tomó la presión sanguínea como la variable dependiente, la edad como X1 (variable independiente) y la reacción a la penicilina como X2 (variable independiente). Haciendo 0 represente una reacción positiva a la penicilina y 1 una reacción negativa, hizo correr el procedimiento de regresión múltiple. La ecuación de predicción es: Yˆ = 6,7 + 3,5 X 1 + 0,489 X 2

6.1 Después de haber hecho la regresión, el doctor descubrió que en realidad quería codificar una reacción positiva a la penicilina como =1 y la negativa como 0. ¿Tiene que volver a realizar la regresión? Si es sí, ¿por qué? Si no, dé la ecuación que debió haber obtenido si la variable hubiera sido codificada de la manera que se había planeado inicialmente. 6.2 Si Sb2 tiene un valor de 0,09, ¿esta regresión proporciona evidencia a un nivel de significancia de 0,05 de que la reacción a la penicilina es una variable explicativa significativa de la presión sanguínea? 7 Una popular cadena de comida rápida, recientemente, ha experimentado un marcado cambio en sus ventas, como consecuencia de una campaña publicitaria bastante exitosa. Como resultado de lo anterior, la administración de la cadena está buscando un nuevo modelo de regresión para sus ventas. Los datos siguientes fueron recolectados durante un periodo de doce semanas desde el inicio de la campaña publicitaria.

tiempo 1 2 3 4 5 6

Ventas (miles de dólares) 4 618 311 7 119 4 367 5 118 8 887

tiempo 7 8 9 10 11 12

Ventas (miles de dólares) 19746 34215 50306 65717 86434 105464

7.1 Ajuste un modelo lineal con TIEMPO como variable independiente y VENTAS como variable dependiente. 7.2 ¿Está usted satisfecho con el modelo construido en a) como predictor de VENTAS? Explique su respuesta. 7.3 Ajuste un modelo cuadrático para los datos. ¿Este modelo es mejor? Explique su respuesta. 8 Un profesor de estadística ha recolectado un conjunto de 20 pares de puntos de datos. A la variable independiente la llamó X1 y a la variable dependiente Y. Llevó a cabo una regresión de Y sobre X1, y no quedó CIBERTEC


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satisfecho con el resultado. Debido a algunos patrones no aleatorios que observó en los residuos, decidió elevar al cuadrado los valores de X1; designó como X2 a estos valores al cuadrado. El profesor, entonces, corrió el procedimiento de regresión múltiple de Y sobre X1 y X2. La ecuación resultante fue la siguiente: Yˆ = 200,4 + 2,79 X 1 − 3,92 X 2 El valor de Sb1 fue de 3,245 y el de Sb2 fue de 1,53. A un nivel de significancia de 0,05, determine si 8.1 El conjunto de valores lineales de X1 es una variable explicativa significativa para Y. 8.2 El conjunto de valores al cuadrado de X1 es una variable explicativa significativa para Y.

9 A continuación se presentan algunos datos sobre gastos de consumo, CONSUMO; ingreso disponible, INGRESO; y sexo del jefe o de la jefa de familia, SEXO; de n=12 familias escogidas aleatoriamente. La variable GÉNERO ha sido codificada de la siguiente manera:

GÉNERO

1 si SEXO = " M " ( masculino ) =   0 si SEXO = " F " ( femenino )

Consumo Ingreso($) Sexo Género 18535 22550 M 1 11350 14035 M 1 12130 13040 F 0 15210 17500 M 1 8680 9430 F 0 16760 20635 M 1 13480 16470 M 1 9680 10720 F 0 17840 22350 M 1 11180 12200 F 0 14320 16810 F 0 19860 23000 M 1 9.1 Ajuste un modelo de regresión para predecir CONSUMO a partir de INGRESO y de GÉNERO. 9.2 Establezca la ecuación de regresión ajustada. 9.3 Si el ingreso disponible se mantiene constante, ¿existe una diferencia significativa en el consumo entre familias cuyo jefe es hombre, contra aquellas familias cuyo jefe es mujer? Establezca explícitamente las hipótesis, pruébelas al nivel de significancia de 0,10 y establezca una conclusión explícita. 9.4 Dé un intervalo de confianza aproximado de 95% para el consumo de una familia con ingreso disponible de $ 23 000 y encabezada por un hombre.


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ESTADISTICA II

161

10 La Unidad de Medición de la Calidad (UMC) está examinando la relación existente entre el resultado de un empleado en una prueba de aptitudes, su experiencia previa de trabajo y su éxito en el empleo. Se hace un estudio y se pondera la experiencia de un empleado en trabajos anteriores, y se obtiene un índice entre 2 y 12. La medida del éxito en el empleo está basada en un sistema de puntuación que implica producción total y eficiencia, con un valor máximo posible de 50. Se tomó una muestra de seis empleados con menos de un año de antigüedad y se obtuvo lo siguiente: X1 X2 Y Resultado de la prueba Experiencia en Evaluación del sobre aptitudes desempeño Trabajos anteriores 74 5 28 87 11 33 69 4 21 93 9 40 81 7 38 97 10 46 10.1Desarrolle la ecuación de estimación que mejor describa estos datos. 10.2Si un empleado obtuvo 83 puntos en la prueba de aptitudes y tenía una experiencia en trabajos anteriores de 7, ¿qué evaluación de desempeño se podría esperar? 11 El Banco de Lima desea abrir nuevas cuentas de cheques para clientes que emitirán al menos 30 cheques al mes. Para ayudarse en la selección de los nuevos clientes, el banco ha estudiado la relación existente entre el número de cheques expedidos, y la edad y el ingreso anual de ocho de sus clientes actuales. La variable EDAD fue registrada con respecto al año más reciente y la variable INGRESO anual fue registrada en miles de dólares. Los datos se presentan a continuación: Cheques Edad Ingreso 29 37 16,2 42 34 25,4 9 48 12,4 56 38 25,0 2 43 8,0 10 25 18,3 48 33 24,1 4 45 7,9 11.1 Desarrolle una ecuación de estimación que utilice las variables edad e ingreso para predecir el número de cheques emitidos por mes. 11.2¿Cuántos cheques al mes se esperaría que emitiera un cliente de 35 años de edad con ingreso anual de $22500? 12 Ciro Taipe está considerando cambiarse a otra parte de la ciudad y le gustaría predecir el precio de venta de su casa. Ha decidido utilizar la CIBERTEC


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variable VALORIMP (en miles de dólares) y ESQUINA (= 1 para lotes situados en esquina y 0 en cualquier otro caso) como variables explicativas. Para ajustar su modelo, ha recolectado los datos, que se presentan a continuación, concernientes a nueve ventas escogidas aleatoriamente, en la que la variable PRECIO se midió en miles de dólares. Ha decidido utilizar VALORIMP (VALORIMP)2 y ESQUINA como variables explicatorias, debido a que piensa que existe una relación cuadrática. Precio VALORIMP IMPES = (VALORIMP)2 Esquina 56,2 17,5 306,25 1 42,5 12,5 156,25 1 67,5 20,0 400,00 1 39,0 11,5 132,25 1 33,3 12,5 156,25 0 29,0 10,0 100,00 0 30,0 10,8 116,64 0 48,0 17,0 289,00 0 44,3 16,0 256,00 0

12.1 Calcule la ecuación de regresión de mejor ajuste para estos datos. 12.2 ¿Qué fracción de la variación en PRECIO se explica con esta ecuación? 12.3 Dé un intervalo de confianza de 90% para el aumento de precio de venta atribuible a tener un lote en esquina. 12.4 ¿Fue buena idea incluir la variable (VALORIMP)2 en la regresión? Explique su respuesta.

Para recordar

Se deben diferencias la variable dependiente de las variables independientes.


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ESTADISTICA II

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SEMANA

13 CORRELACIÓN CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES TEMAS • •

Correlación entre dos variables, dependiente e independiente Coeficiente de correlación lineal (fórmula de Pearson)


Determinar los coeficientes de correlación para un conjunto de datos Determinar cuantitativamente el grado de asociación entre las variables

CONTENIDOS • • •

Análisis de correlación Correlación entre dos variables, dependiente e independiente Coeficiente de correlación lineal (fórmula de Pearson)

ACTIVIDADES

•

Analizan los alcances de la regresión Simple, las ventajas y desventajas que presenta para realizar pronósticos Determinan cuantitativamente el grado de asociación entre dos variables

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CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Análisis de Correlación El análisis de correlación es un grupo de técnicas estadísticas que permiten medir la intensidad de la relación que puede existir entre dos variables. Ayuda a concluir si es que están fuertemente relacionadas o no. El objetivo es determinar que tan intensa es la relación. Para ello, se utiliza para ello el coeficiente de correlación (r). El valor de este coeficiente está comprendido entre –1 y 1. Si el valor de r tiende o está cerca de 1 se dirá que la relación entre las variables en cuestión es bastante intensa y además directa; en cambio, si el valor es cercano a –1 la relación también es muy intensa pero inversa. Por otra parte, si el valor de r se acerca a cero se puede afirmar que no existe ninguna correlación. El valor de la correlación se calcula a través de la siguiente fórmula:

r=

n∑ x y − ∑ x∑ y

n∑ x 2 − (∑ x )

2

r=

n∑ y 2 − (∑ y )

2

Sx y Sx S y

ACTIVIDADES 1. Un estudiante del cuarto ciclo de la carrera de gestión y sistemas elabora un estudio de compañías que se están dando a conocer. Tiene curiosidad por ver si existe o no relación significativa entre el tamaño de la oferta (en millones de dólares) y el precio por acción. Tamaño 108,00 4,40 3,50 3,60 39,00 68,40 7,50 5,50 375,00 12,20 4,40 Precio

12,0

4,0

5,0

5,0

13,0

19,0

8,5

5,0

15,0

6,0

1.1 Desarrolle la ecuación de estimación lineal. 1.2 Calcule el coeficiente de determinación de la muestra. 1.3 ¿Debería usar esta ecuación de regresión con propósitos predictivos?


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12,0

ESTADISTICA II

165

2. La compañía electrónica CEPER está iniciando pruebas de mercadeo, de su nuevo producto (detector de radar operado por baterías). Sus laboratorios de control han realizado pruebas limitadas en las unidades y han recabado los siguientes datos: VIDA APROXIMADA (MESES) Horas de uso diario 2,0 1,5 1,0 0,5 1,8

Litio

Alcalina

3.1 4.2 5.1 6.3 8.1

1.3 1.6 1.8 2.2 3.1

2.1 Desarrolle la ecuación de estimación lineal para predecir la vida del producto basándose en el uso diario con baterías de litio y una para baterías alcalinas. 2.2 Calcule el coeficiente de correlación de la muestra para ambos tipos de batería 2.3 ¿Debería usar alguna ecuación de regresión con propósitos predictivos?

3. Se ha propuesto un estudio para investigar la relación entre el peso Kg. al nacer de bebés varones y su peso kg. de adultos. Use los siguientes datos: Peso al nacer 3.52 2.95 3.90 4.20 3.85 2.85 3.05 2.95 3.80 Peso de adulto 72.5 85.3 94.2 78.4 65.4 80.4 74.5 60.3 90.5 3.1 Desarrolle la ecuación de estimación de mínimos cuadrados. 3.2 ¿Qué porcentaje de la variación en peso de adulto es explicado por la línea de regresión? 3.3 ¿Debería usarse esta ecuación de regresión con propósitos predictivos?

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166

4. Un estudio de Mercado trata de averiguar si es efectiva la propaganda televisada de un producto que salió a la venta con relación al tiempo de publicidad (en minutos/semana). Se recopilaron datos a partir de la segunda semana de iniciada la publicidad resultando el cuadro que sigue. Semana Tiempo de propaganda (minutos/semana) Venta del producto ( miles $)

2

3

4

5

6

7

35

52

62

68

76

80

30

120

180

100

310

200

4.1 Halle la ecuación de regresión de mínimos cuadrados lLineal para predecir las ventas semanales. 4.2 ¿Debería usarse esta ecuación de regresión con propósitos predictivos?

. 5. Debido a la demanda de sus publicaciones y del fuerte incremento de la competencia desleal e informal, la editorial Vinces Vives ha tomado la decisión de preparar algunos libros de uso popular en la educación primaria. Teniendo como único parámetro la cantidad de páginas de dicho libro. Se toma una muestra de siete (07) de ellos, y se anota el precio de venta que debería tener por la cantidad de páginas que tendría dicho libro. En la siguiente tabla, se recopilan dichos datos.


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ESTADISTICA II

Precio 12.00 ($) # Pág. 175

167

12.50

13.80

15.40

17.50

18.00

20.00

140

280

320

280

360

300

5.1 Determine la ecuación de regresión lineal y el coeficiente de correlación entre el precio y el número de páginas. 5.2 ¿Debería usarse esta ecuación de regresión con propósitos predictivos?

6. Un estudio efectuado por la dirección de transporte de Lima Metropolitana sobre el efecto de los precios de los boletos de autobuses (en céntimos de nuevo sol) que tienen, con respecto al número de pasajeros (por cada 100 kilómetros de recorrido) en diferentes zonas (distritos) de la capital, produjo los siguientes resultados: PRECIO DEL BOLETO TOTAL DE PASAJEROS

15

20

25

30

35

40

45

50

55

430 330 400 270 180 340 220 180 280

6.1 Desarrolle la ecuación de regresión lineal simple correspondiente al conjunto de datos 6.2 ¿Debería usarse esta ecuación de regresión con propósitos predictivos? 6.2 Si es posible, determine el número de pasajeros por cada100 kilómetros, si el precio del boleto fuera de 65 céntimos de nuevo sol.

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168

7. Una aplicación importante del análisis de regresión en contabilidad es para estimar costos. Al reunir datos sobre volumen y costo, y aplicar el método de cuadrados mínimos para formar una ecuación de regresión donde se relacionen el volumen y el costo, un contador puede estimar el costo asociado con determinada operación de manufactura. Se obtuvo la siguiente muestra de volúmenes de producción y costo total para una operación de manufactura. Volumen (unidades)

de 400 450 550 600 700 750

producción Costo total (s/.) 4 000 5 000 5 400 5 900 6 400 7 000

7.1 Use estos datos para deducir una ecuación de regresión con la que se pueda predecir el costo total para determinado volumen de producción. 7.2 ¿Cuál es el costo variable, o costo adicional, por unidad producida? 7.3 Calcule el coeficiente de determinación. ¿Qué porcentaje de la variación en el costo total puede explicar el volumen de producción? 7.4 El programa de producción de la empresa indica que el mes próximo se deben producir 500 unidades. ¿Cuál será el costo total estimado para esta operación?


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ESTADISTICA II

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Autoevaluación 1. En finanzas, es de interés ver la relación entre Y, devolución promedio de acciones, y X, la devolución global del mercado. El coeficiente de pendiente calculado por la regresión lineal es denominada la beta de las acciones por los analistas de inversiones. Una beta mayor que 1 indica que las acciones son relativamente sensibles a cambios de mercado, mientras que una beta menor que 1 indica que las acciones son relativamente insensibles. Para los datos siguientes, calcule la beta y pruebe si esta es significativamente menor que1. Use α = 0,05. Y (%) X (%)

10 11

12 15

8 3

15 18

9 10

11 12

8 6

10 7

13 18

11 13

2. En un problema de regresión con un tamaño de muestra de 17, se encontró que la pendiente era 3,73 y que el error estándar de la estimación era

(∑ X

2

)

− n X = 871,56 . 2.1 Encuentre el error estándar del coeficiente de pendiente de regresión. 2.2 Construya un intervalo de confianza de 98% para la pendiente de población. Interprete el intervalo de confianza. 28,654. La cantidad

2

3 Las Inmobiliarias a menudo están interesadas en ver cómo el valor de una casa varía de acuerdo con su tamaño. A continuación se muestran alguno de los datos del área (en miles de pies cuadrados) y valor tasado (en miles de dólares para una muestra de 11 casas. Área (mile s pies² ) Valor (mile s de dólar es)

1,1

1,5

1,6

1,6

1,4

1,3

1,1

1,7

1,9

1,5

1,3

75

95

110

102

95

87

82

115

122

98

90

3.1 Estime la regresión de mínimos cuadrados para predecir el valor tasado a partir del tamaño. 3.2 Generalmente, las inmobiliarias sienten que el valor de una casa sube 50 mil dólares por cada 1 000 pies cuadrados de áreas. Para esta muestra, ¿se cumple esta relación? 4 En 1 999, una agencia gubernamental de salud encontró que, en cierto número de distritos, la relación de fumadores y muertes, por enfermedades del corazón para 10 000 pobladores, tenía una pendiente de 0,08. Un estudio reciente en 18 distritos produjo una pendiente de 0,147 y un error estándar del coeficiente de pendiente de regresión de 0,032.

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170

4.1 Construya una estimación de intervalo de confianza de 90% de la pendiente de la verdadera línea de regresión. ¿El resultado de este estudio indica que la verdadera pendiente ha cambiado? 4.2 Construya una estimación de intercalo de confianza de 99% de la pendiente de la verdadera línea de regresión. ¿Indica el resultado de este estudio que la verdadera pendiente ha cambiado? 5 Los registros de una universidad presentan datos sobre la probabilidad de una auditoía por parte de la SUNAT. La siguiente tabla muestra los ingresos brutos promedio informados y el porcentaje de las declaraciones de impuestos que fueron auditadas en 20 distritos seleccionados de recaudación de impuestos. Distrito

Ingresos ajustados La Molina 36 664 La Victoria 38 845 Ate 34 886 Breña 32 512 Pueblo Libre 34 531 Jesús María 35 995 Magdalena 37 799 Surco 33 876 Comas 30 513 San juan de Miraflores 30 174 San juán de 30 060 Lurigancho Chosica 37 153 Miraflores 34 918 Barranco 33 291 San Isidro 31 504 Rímac 29 199 Los Olivos 33072 Ancón 30 859 Independencia 32 566 San Borja 34 296

brutos Porcentaje auditado 1,3 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 0,9 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,5

5.1 Desarrolle la ecuación estimada de regresión que se pueda usar para predecir el porcentaje auditado proporcionando el promedio del ingreso bruto ajustado reportado. 5.2 Al nivel de significancia de 0,05, determine si están relacionados el ingreso bruto ajustado y el porcentaje auditado. 5.3 ¿Proporciona un buen ajuste la ecuación estimada de regresión? Explique.


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ESTADISTICA II

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5.4 Emplee la ecuación estimada de regresión desarrollada en el inciso a para calcular el estimado de un intervalo de confianza de 95% del porcentaje esperado auditado para los distritos con un promedio del ingreso bruto ajustado de s/. 35 000. 6 La compañía de teléfonos siempre ha asumido que el número promedio de llamadas diarias asciende a 1,5 por cada persona adicional en una casa. Se ha sugerido que la gente conversa más de lo que esto refleja. Se tomó una muestra de 64 casas y se calculó que la pendiente de regresión de Y (número promedio de llamadas diarias) sobre X (tamaño de la casa) era de 1,8 con un error estándar del coeficiente de pendiente de regresión de 0,2. Pruebe si se hacen significativamente más llamadas por persona adicional de lo que la compañía de teléfonos asume, utilizando α = 0,05. Establezca la hipótesis y la conclusión explícitas. 7 Los funcionarios universitarios responsables de la admisión, constantemente buscan variables con las cuales predecir los promedios de puntos de nivel de los aspirantes. Una variable comúnmente usada es el promedio de puntos del nivel del bachillerato. Para una universidad, los datos anteriores indicaban que la pendiente era 0,85. Un pequeño estudio reciente de 20 estudiantes encontró que la pendiente era 0,70 y que el error

(

)

estándar de la estimación era 0,60. La cantidad ∑ X 2 − n X era igual a 0,25. Al nivel de significancia de 0,01, ¿debería concluir la universidad que la pendiente ha cambiado? 2

8. Los economistas con frecuencia están interesados en estimar funciones de consumo. Esto se efectúa mediante la regresión del consumo Y sobre el ingreso X. (Para esta regresión, los economistas llaman a la pendiente la progresión marginal al consumo.) Para una muestra de 25 familias, se calculó una pendiente de 0,87 y un error estándar del coeficiente de pendiente de regresión de 0, 035. Para esta muestra, ¿la propensión marginal a consumir disminuyó por debajo del estándar de 0,94? Utilice α = 0,05. Establezca explícitamente las hipótesis y una conclusión.

Para recordar

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El coeficiente de Pearson define el grado de asociación entre la variable independiente y dependiente Si el coeficiente de Pearson es pequeño entonces no tendrá sentido encontrar la ecuación de regresión para predecir valores a futuro.


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ESTADISTICA II

173

SEMANA

14 CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES TEMAS • •

Coeficiente de correlación generalizado (coeficiente de determinación) Coeficiente de correlación de rango (fórmula de Spearman)

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Determinar cuantitativamente el grado de asociación entre las variables


Coeficiente de Determinación Error de estimación Pendiente de una recta de población Coeficiente de correlación de rango (fórmula de Spearman)

ACTIVIDADES • •

Identifican las variables independiente, dependiente Analizan los grados de asociación entre las variables para su predicción

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CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Una vez establecido el modelo habría que preguntarse: ¿Qué tan confiables son las predicciones que se hagan a través del modelo? Para ello, es fundamental calcular el coeficiente de determinación (r2). Dicho coeficiente indica el porcentaje en que la variación de la variable dependiente es “explicada” por la variable independiente. Los valores de este coeficiente se encuentran comprendidos entre 0 y 1 y, mientras más cercano de encuentre de 1, el modelo será más confiable. El coeficiente de determinación se calcula de las siguientes maneras: r = 2

a ∑ y + b∑ x y − n y

∑y

2

− ny

2

2

S 2x y r = 2 2 Sx S y 2

Para medir la confiabilidad de una ecuación de estimación, se usa el error estándar de estimación (Se) y es similar a la desviación estándar que mide el grado de conjuntos observados respecto a la media. El error de estimación, por otra parte mide el grado de variabilidad, o dispersión de los valores observados alrededor de la línea de regresión. Se =

Se =

∑y

2

− a ∑ y − b∑ x y n−2

∧   y y −   ∑  n−2

2

Donde: y = Es el valor de la variable independiente. ∧

y = Valores estimados de la ecuación de estimación correspondiente. n = El número de puntos de datos utilizados. Como se aplica en el error estándar, mientras más grande sea el error estándar de estimación, mayor será la dispersión de los puntos alrededor de la línea de regresión.

Pendiente de la Línea de Regresión de la Población La línea de regresión se deriva de una muestra y no de una población entera. Como resultado no se puede esperar que la ecuación de regresión, Y = A + BX (aquella para la población), sea exactamente la misma que la estimada a partir ∧

∧

de las observaciones de la muestra y = a + b x . Para encontrar la estadística de prueba de B (pendiente de la línea de regresión para toda la población), es necesario primero encontrar el error estándar del coeficiente de regresión Sb


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ESTADISTICA II

175

Sb =

Se

∑x

2

− nx

2

Donde: Sb = error estándar del coeficiente de regresión Se = error estándar de estimación x = valor de la variable independiente x = la media de los valores de la variable independiente Para realizar una prueba de hipótesis respecto a B, se define: H o : B = Bo H 1 : B ≠ Bo Para estandarizar la pendiente de la ecuación de regresión. b − Bo t= Sb b = la pendiente de regresión ajustada Bo =la pendiente real hipotética para la población Sb = error estándar del coeficiente de regresión Puesto que la prueba se basa en una distribución t student con (n-2) grados de libertad, usamos t para denotar la estadística estandarizada. EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE RANGO Con la noción del coeficiente de correlación, se concluyó una medida de la cercanía de asociación entre dos variables. Con frecuencia, en el análisis de correlación, la información no está siempre disponible en forma de valores numéricos. Pero si se puede asignar clasificaciones a los elementos de cada una de las dos variables que se están estudiando, entonces puede calcularse un coeficiente de correlación de rango. Ésta es una medida de la correlación que existe entre los dos conjuntos de rangos, una medida del grado de asociación entre las variables que no podríamos calcular de otra manera. Una segunda razón para aprender el método de correlación de rango es la posibilidad de simplificar el proceso de cálculo de un coeficiente de correlación a partir de un conjunto de datos muy grande para cada una de las dos variables. Esta medición se le conoce como el coeficiente de correlación de rango de Spearman, en honor al estadístico que lo desarrolló a principios de siglo pasado.

rs = 1 −

6∑ d

(

2

n n2 −1

)

rs = coeficiente de correlación de rango n = número de observaciones apareadas d = diferencia entre rangos para cada pareja de observaciones Si el valor del coeficiente de rangos es +1 o -1, significa que existe una asociación perfecta entre las dos variables.

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176

ACTIVIDADES 1. Los datos siguientes son los sueldos mensuales, y promedios de calificaciones x para estudiantes que obtuvieron su licenciatura en administración, con especialización en sistemas de información. Calificación 2,6 3,4 3,6 3,2 3,5 2,9

Sueldo mensual ( s/.) 2 800 3 100 3 500 3 000 3 400 3 100

1.1 Calcule el coeficiente de determinación r2. 1.2 ¿Cuál es el valor del coeficiente de correlación para la muestra?

2. En un laboratorio médico, se estima la cantidad de proteína en muestras de hígado empleando un modelo de regresión. En un espectrómetro se emite luz que pasa por una sustancia que contiene la muestra, y la cantidad de luz absorbida se emplea para estimar la cantidad de proteína. Diariamente, se forma una nueva ecuación de regresión, porque las cantidades de colorante son distintas. En un día, se obtuvieron las indicaciones de absorbencia de la tabla, usando concentraciones conocidas de proteína. Absorbencia ( Miligramos de proteína ( xi) yi) 0,509 0 0,756 20 1,020 40 1,400 80 1,570 100 1,790 127


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ESTADISTICA II

177

2.1 Con estos datos, forme una ecuación de regresión que relacione la indicación de absorbencia de luz con los miligramos de proteína de la muestra. 2.2 Calcule r2. ¿Se sentiría cómodo con este modelo de regresión, al estimar la cantidad de proteína de una muestra? 2.3 En una muestra que se acaba de recibir, la indicación de absorbencia fue de 0,941. Estime la cantidad de proteína en esa muestra.

3. Las siguientes son clasificaciones de acometividad (X) y cantidad de ventas en el último año (Y) de ocho vendedores. ¿Existe una correlación significativa entre las dos mediciones? Utilice el nivel de significancia de 0.10. X Y

30 35

17 31

35 43

28 46

42 50

25 32

19 33

29 42

4. Un supervisor de planta clasificó una muestra de ocho trabajadores según el número de horas extras trabajadas y la antigüedad en el empleo. ¿La correlación de rango entre las dos mediciones es significativa al nivel de 0.01?

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178

Cantidad de horas 5.0 extra Años de empleo 1.0

5.

8.0

2.0

4.0

3.0

7.0

1.0

6.0

6.0

4.5

2.0

7.0

8.0

4.5

3.0

La mayoría de las personas cree que la experiencia gerencia produce mejores relaciones interpersonales entre un gerente y sus empleados. La Corporación ATT tiene los siguientes datos que equiparan los años de experiencia por parte del gerente con el número de quejas archivados, el año pasado, por los empleados que reportaban con el gerente. Al nivel de significancia de 0.05, ¿la correlación de rango entre estos dos factores sugiere que la experiencia mejora las relaciones? Edad del gerente Número de quejas

32 5

43 2

42 2

29 4

56 3

62 2

45 4

39 5

40 4

35 6

6. Seguros Plan ha confinado sus estudios a la industria química sintética, por ello se desea realizar unos estudios de la relación de gastos para la seguridad en plantas y la tasa de accidentes en ellas. Para ajustar el tamaño diferencial que existía entre algunas de las plantas, Seguros Plan convirtió sus datos en gastos (en dólares) por empleado de producción. Los siguientes son los resultados:


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ESTADISTICA II

Compañía Gastos Accidentes

179

A 60 5

B 37 7

C 30 6

D 20 9

E 24 7

F 42 4

G 39 8

H 54 2

I 48 4

J 58 3

K 26 8

¿Existe una correlación significativa entre los gastos y los accidentes en las plantas de las compañías químicas? Use una correlación de rango (en la que 1 represente el mayor gasto y tasa de accidentes) para respaldar su conclusión. Pruebe al nivel de significancia de 1 %.

Autoevaluación 1. “El granjerito” trató de determinar la relación entre el porcentaje de metionina que se agrega al alimento y el peso corporal de pollos. Con los datos obtenidos se aplicó el análisis de regresión y se determinó la siguiente línea de regresión: yˆ = 0,21 + 0,42 x

En donde: yˆ = peso corporal estimado en kilogramos X = porcentaje de metionina adicional en el alimento El coeficiente de determinación, r2, fue 78, lo que indica que el ajuste fue razonablemente bueno para los datos. Suponga que se usó una muestra de

(

)

2

∧  tamaño 30 para el estudio, y ∑ y − y = 45 . Calcule ∑  y − y  .   2. ¿A los directores y principales ejecutivos se les paga de acuerdo con las ganancias obtenidas por las empresas? La siguiente tabla muestra una lista de datos corporativos sobre el cambio porcentual en el rendimiento de las acciones durante un periodo de dos años, y el cambio porcentual en la paga a los directores y principales ejecutivos, inmediatamente después de 2 años.

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2


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Empresa ASAKA WONG MICMAS TODOS TECHO PATIO PPKSA

Cambio bianual en el Cambio en el pago rendimiento (%) ejecutivo (%) 201,3 18 146,5 28 76,7 10 158,2 28 -34,9 15 73,2 -9 -7,9 -20

2.1 Forme la ecuación de regresión con el cambio porcentual bianual de rendimiento de las acciones como variable independiente. 2.2 Calcule r2. ¿Se sentirá cómodo al usar el cambio porcentual bianual de rendimiento de las acciones para predecir el cambio porcentual en el sueldo de los principales ejecutivos? Comente sus razones. 2.3 ¿Cuál es el coeficiente de correlación? ¿Refleja una relación intensa o débil entre el rendimiento y la compensación a ejecutivos? 3. La revista Etiqueta Negra informó que “la beta” de mercado para Backus es 1,25. Las betas de mercado para acciones individuales se determinan con regresión lineal simple. Para cada acción, la variable dependiente es el rendimiento trimestral porcentual (reevaluación del capital más dividendos) menos el rendimiento porcentual que se podría obtener con una inversión libre de riesgos (la tasa de Bonos de la Tesorería se usa como tasa libre de riesgo). La variable independiente es el rendimiento trimestral porcentual (reevaluación del capital más dividendos) para el mercado de acciones (S&P 500) menos el rendimiento porcentual de una inversión libre de riesgos. Con los datos trimestrales se determina una ecuación; la beta de mercado para la acción es la pendiente de la ecuación estimada de regresión (b1), y su valor se interpreta con frecuencia, como medida del riesgo asociado con esas acciones. Las betas del mercado mayores que uno indican que la acción es más volátil que el promedio del mercado. En la tabla siguiente se presentan las diferencias entre el rendimiento porcentual y el rendimiento libre de riesgo de 10 trimestres de las empresas Backus y Brahama. Backus Brahama

1,2 -0,7

-2,5 -2,0

-3,0 -5,5

2,0 4,7

5,0 1,8

1,2 4,1

3,0 2,6

-1,0 2,0

0,5 -1,3

2,5 5,5

3.1 Determine la ecuación de regresión para calcular la beta de mercado ¿Cuál es la beta de mercado de Brahama? 3.2 Calcule r2. ¿Se sentiría cómodo con este modelo de regresión. 3.3 ¿Tuvo buen ajuste la ecuación estimada de regresión? Explique su respuesta. 4. Un profesor de mercadotecnia se interesa en la relación entre las horas de estudio y los puntos totales obtenidos en su curso. A continuación, se observa los datos reunidos con 10 alumnos que acaban de tomar el curso.


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181

Horas de estudio 45 30 90 60 105 65 90 80 55 75 Total de puntos 40 35 75 65 90 50 90 80 45 65 obtenidos 4.1 Forme una ecuación de regresión que muestre cómo se relaciona el total de puntos obtenidos con las horas de estudio. 4.2 ¿Cuál es el coeficiente de correlación? 4.3 Prediga los puntos totales que obtendrá Karina López. Pasó 95 horas estudiando. 5. Dos profesores de una escuela de comercio discutían sobre lo difícil que es predecir el éxito de los graduados basándose solamente en las calificaciones. Un profesor pensaba que el número de años de experiencia que los maestros en administración de empresas tuvieran antes de regresar por sus post grados era probablemente el mejor preeditor. Usando los siguientes datos, al nivel de significancia de 0.02, ¿qué correlación de rango es un mejor preeditor de éxito profesional? Años de experiencia Promedio de calificaciones Rango de éxito (10 = tope)

4

3

4

6

7

5

5

2

1

3

3.4 3.2 3.5 2.9 3.4 3.9 3.6 3.0 2.5 3.0 4

2

6

7

9

8

10

3

1

5

6. La Empresa Carolina tiene dos encuestadores entrenados para reclutar aprendices gerenciales para nuevos mercados de ventas. Aunque cada uno de los encuestadores tiene su propio estilo, se considera que ambos son buenos jueces preliminares del potencial gerencial. La gerente de personal se preguntaba qué tanto coincidirían los encuestadores, así que hizo que ambos evaluaran independientemente a 14 solicitantes. Clasificaron a los solicitantes en términos de su grado de contribución potencial a la compañía. Los resultados se presentan en la tabla. Use la correlación de rango y un nivel de significancia de 2% para determinar si existe una correlación positiva significativa entre las dos clasificaciones de los encuestadores. Solicitante Encuestador 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.4 1 11 13 2 12 10 3 4 14 5 6 9 7 8

Encuestador 2

4 12 11 2 14 10 1 3 13

8

6

7

9

5

7. Una supervisora de un proceso de ensamblaje de cámaras litográficas, siente que mientras más tiempo trabaja junto a un grupo de empleados, mayor es la tasa de producción diaria. Ha recibido los siguientes datos para un grupo de empleados que trabajan juntos durante 10 días. Producción diaria Días trabajados conjuntamente

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7.2 5.5 6.2 8.3 5.2 2.0 3.0 0.5 9.0 6.0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


182

¿Puede concluir Nancy a un nivel de significancia de 5%, que no existe correlación entre el número de días trabajados conjuntamente y la producción diaria? 9. Una compañía electrónica que recluta muchos ingenieros se pregunta si el costo de los esfuerzos extensivos de reclutamiento vale la pena. Si la compañía pudiera confiar (usando un nivel de significancia de 1 %) en que la correlación de rango de población entre el currículum individual de los solicitantes clasificados por el departamento de personal y las calificaciones de las entrevistas es positiva, se sentiría justificado en descontinuar las entrevistas y basarse en las calificaciones por currículum en la contratación. La compañía ha extraído una muestra de 35 solicitantes en los últimos dos años. Sobre la base de la muestra anterior, ¿debería la compañía descontinuar las entrevistas y usar las calificaciones del currículum individual para contratar? Individual 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


Calificación de entrevista 81 88 55 83 78 93 65 87 95 76 60 85 93 66 90 69 87 68 81 84 82 90 63 78 73 79 72 95 81 87

Calificación de currículum 113 88 76 111 121 83 129 99 142 93 136 82 91 83 96 126 108 95 65 96 101 79 71 108 68 11 109 121 140 132

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ESTADISTICA II

183

31 32 33 34 35

93 85 91 94 94

135 143 118 147 138

10. Los siguientes son los salarios y datos de edad de los 10 candidatos a doctorado que se gradúan este año de la Escuela de Doctorado en Contabilidad de la Universidad Peruana de Ciencias. Al nivel de significancia de 0.05, ¿la correlación de rango de edad y salario sugiere que los candidatos de mayor edad obtienen salarios iniciales mayores? Salario en Edad dólares 67,000 29 60,000 25 57,500 30 59,500 35 50,000 27 55,000 31 59,500 32 63,000 38 69,500 72,000

28 34

11. J.J. Pérez opera un taller de reparación de motores de aeronaves ligeras. Está interesado en mejorar sus estimaciones de tiempo de reparación requerido y cree que el mejor predictor es el número de horas de operación en el motor desde su última reparación importante. Más abajo se muestran los datos sobre diez motores que J.J. Pérez trabajó recientemente. Al nivel de significancia de 0.10, ¿la correlación de rango sugiere una fuerte relación?

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Motor

Horas desde la última reparación importante

Horas requeridas para reparación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,000 1,200 900 1,450 2,000 1,300 1,650 1,700 500 2,100

40 54 41 60 65 50 42 65 43 66


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Para recordar

El coeficiente de Determinación define el modelo mas confiable para una acertada predicción

Si el coeficiente de Spearman simplifica el proceso de cálculo de los coeficientes de correlación.


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SEMANA

15 SERIE DE TIEMPO TEMAS • • •

Serie de tiempo. Introducción a la serie de tiempo Representación y Clasificación de la serie de tiempo Análisis de la serie de tiempo


Descubrir un comportamiento de los datos históricos para extrapolarlo a futuro Pronostica de manera óptima mediante el uso de los modelos,

CONTENIDOS • • • • •

Movimientos característicos de la serie de tiempo Clasificación de movimientos de series de tiempo El análisis de las series de tiempo Movimientos medios. suavización de series de tiempo Estimación de la tenencia

ACTIVIDADES • •

Identifican una serie de tiempo Analizan los diferentes métodos de estimación de la serie de tiempo

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ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO SERIES DE TIEMPO Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones hechas en momentos determinados, normalmente a intervalos iguales. Ejemplos de series de tiempo son la producción total anual de acero en el Perú en un cierto número de años, el precio diario de cierre de una acción en la Bolsa, las temperaturas horarias anunciadas por el observatorio meteorológico de una ciudad o el total mensual de ventas habidas en un departamento de una tienda. Matemáticamente, una serie de tiempo se define por los valores Y1, Y2,..., de una variable Y (temperatura, precio al cierre de una acción, etc.) en los momentos f1 o f2,.... Así, Y es una función de t, simbolizada por Y = F(t). MOVIMIENTOS CARACTERÍSTICOS DE LAS SERIES DE TIEMPO Es interesante considerar que en un gráfico de una serie de tiempo, como descrito por un punto que se mueve con el paso del tiempo, el movimiento puede ser debido a la combinación de fuerzas económicas, sociológicas, psicológicas u otras. La experiencia basada en muchos ejemplos de series de tiempo ha revelado ciertos movimientos o variaciones características, algunos o todos de ellos se presentan en diferentes grados. El análisis de tales movimientos es de gran importancia en muchos casos, uno de gran interés es el problema de la previsión de movimientos futuros. No es, pues, de extrañar que muchas industrias y acciones gubernativas estén vitalmente unidas con tan importante materia. CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTOS DE SERIES DE TIEMPO Los movimientos característicos de una serie de tiempo pueden clasificarse en cuatro tiempos principales, llamados a menudo componentes de una serie de tiempo. 1. Movimientos seculares o de larga duración se refieren a la dirección general a la que el gráfico de una serie de tiempo parece dirigirse en un intervalo grande de tiempo. En el gráfico anterior, este movimiento secular o variación secular o tendencia secular, como se llama a veces, se indica por una curva de tendencia, que aparece a trazos. En algunas series puede ser apropiada una recta de tendencia. La determinación de tales curvas de tendencia por el método de mínimos cuadrados se ha considerado en el Capítulo 13. Otros métodos se discuten más adelante. 2. Movimientos cíclicos o variaciones cíclicas se refieren a las oscilaciones de larga duración alrededor de la recta o curva de tendencia. Estos ciclos, como se llaman a veces, pueden ser o no periódicos, es decir, pueden seguir o no exactamente caminos análogos después de intervalos de tiempo iguales. En negocios y actividades económicas, los movimientos se consideran cíclicos solamente si su periodo tiene un intervalo de tiempo superior al año.


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187

Un ejemplo importante de movimientos cíclicos son los llamados asuntos cíclicos, que representan los intervalos de prosperidad, retroceso, depresión y recuperación.

3. Movimientos estacionales o variaciones estacionales se refieren a las idénticas, o casi idénticas, normas que una serie de tiempo parece seguir durante los correspondientes meses de los sucesivos años. Tales movimientos se deben a sucesos recurrentes que se repiten anualmente, como, los repentinos incrementos de ventas de un departamento antes de la Navidad. Aunque los movimientos estacionales se refieren en general a una periodicidad anual en negocios o teoría económica, las ideas envueltas pueden extenderse a incluir una periodicidad de cualquier intervalo de tiempo, tal como diaria, horaria, semanal, etc., dependiendo del tipo de datos que se utilizan. 4. Movimientos irregulares o al azar se refieren a movimientos esporádicos de las series de tiempo debidos a sucesos ocasionales, tales como inundaciones, huelgas, elecciones, etc. Aunque normalmente se supone que tales sucesos producen variaciones que solamente duran un corto intervalo de tiempo, se concibe que puedan ser tan intensos que originen un nuevo ciclo u otros movimientos. EL ANALISIS DE SERIES DE TIEMPO El análisis de las series de tiempo consiste en una descripción (matemática generalmente) de los movimientos que la componen para justificar los procedimientos que tal descripción envuelve. La muestra de un gráfico de una recta puede tener tendencia secular o de larga duración (igualmente podía haber sido una curva de tendencia), tendencia de larga duración con un movimiento cíclico superpuesto (supuesto periódico) y movimiento cíclico estacional superpuesto sobre el gráfico de algún movimiento irregular o aleatorio.

Las ideas anteriores suministran una posible técnica para analizar las series de tiempo. Se supone que en las series de tiempo la variable Y es un producto de

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las variables T, C, S e I que originan, respectivamente, los movimientos de tendencia, cíclicos, estaciónales e irregulares. En símbolos, Y = T x C x S x I = TCSI El análisis de las series de tiempo consiste en una investigación de los factores T, C, S e I y a menudo se refiere a una descomposición de una serie de tiempo en sus movimientos componentes básicos. Debe indicarse que algunos estadísticos prefieren considerar Y como suma T + C + S + I de las variables básicas que lo componen. Aunque en otro el método supone la descomposición de TCSI, procedimientos análogos son aplicables cuando se supone Y como suma de sus componentes. En la práctica, la decisión sobre qué método de descomposición debe suponerse, depende del grado de éxito conseguido al aplicar el supuesto. MOVIMIENTOS MEDIOS. SUA VIZACIÓN DE SERIES DE TIEMPO Dado un conjunto de números Y1 , Y2 , Y3.... se define un movimiento medio de orden n al que viene dado por la sucesión de medias aritméticas, Y1 + Y2 + Y3 ....Ys Y2 + Y3 + Y4 ....Ys +1 Y3 + Y4 + Y5 ....Ys + 2 , , ,......... n n n Las sumas de los numeradores de se llaman movimientos totales de orden n. Ejemplo 1: Dados los números 2, 6, 1, 5, 3, 7, 2 un movimiento medio de orden 3 está dado por la sucesión.

Si los datos son dados anual o mensualmente, se llama movimiento medio de orden n a un movimiento medio de n años o un movimiento medio de n meses, respectivamente. Así, se habla de movimientos medios de 5 años, movimientos medios de 12 meses, etc. Naturalmente que cualquier otra unidad de tiempo puede igualmente utilizarse. Los movimientos medios tienen la propiedad de tender a reducir la cantidad de variación presente en un conjunto de datos. En el caso de series de tiempo,


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esta propiedad se utiliza, a menudo, para eliminar las fluctuaciones no deseadas y el proceso se llama suavización de series de tiempo. Si en la sucesión de medias aritméticas se emplean las medias aritméticas ponderadas, siendo los pesos dados con anterioridad, la sucesión resultante se llama movimiento medio ponderado de orden n. ., Si se utilizan los pesos 1, 4, 1 en el ejemplo anterior, un movimiento medio ponderado de orden 3 está dado por la sucesión

ESTIMACIÓN DE LA TENDENCIA La estimación de la tendencia puede conseguirse de varias formas posibles. El método de mínimos cuadrados puede utilizarse para hallar la ecuación de una recta o curva de tendencia adecuada. De esta ecuación se pueden calcular los valores de tendencia T. El método libre, que consiste en ajustar una recta o curva de tendencia mediante la sola observación del gráfico, puede utilizarse para estimar T. Sin embargo, esto tiene el inconveniente de depender en gran parte del criterio personal. El método de movimiento medio. Mediante movimientos medios de órdenes apropiados, pueden eliminarse los movimientos cíclicos, estaciónales e irregulares, quedando así solamente el movimiento de tendencia. Un inconveniente de este método es que los datos del principio y final de la serie se pierden. Así, en el anterior, se comenzó con 7 números y con un movimiento medio de orden 3 se quedó con 5 números. Otro inconveniente es que los movimientos medios pueden originar ciclos u otros movimientos que no tenían los datos originales. Un tercer inconveniente es que los movimientos medios están fuertemente afectados por los valores extremos. Para reducir en parte estos inconvenientes, se utiliza a veces un movimiento medio ponderado con pesos adecuados. En tal caso, el término (o términos) central recibe el peso mayor y los valores extremos los pesos pequeños.

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El método de semimedias consiste en agrupar los datos en dos partes (preferiblemente iguales) y mediar los datos de cada parte, así, se obtienen dos puntos en el gráfico de la serie de tiempo. Una recta de tendencia puede entonces trazarse entre estos dos puntos y los valores de tendencia pueden así determinarse. Los valores de tendencia pueden, también, determinarse directamente sin necesidad de un gráfico. Aunque este método es sencillo de aplicar, puede conducir a resultados pobres cuando se utiliza sin discernimiento. También, es aplicable solamente cuando la tendencia es lineal o aproximadamente lineal, aunque puede extenderse su aplicación a casos en los que los datos pueden ser divididos en varias partes, teniendo cada una de ellas una tendencia lineal. ACTIVIDADES 1. Con qué movimiento característico de una serie de tiempo se asociaría principalmente cada uno de los siguientes: 1.1 Un fuego en una fábrica que retrasa la producción 3 semanas. 1.2 Una etapa de prosperidad. 1.3 La venta en un departamento después de Pascua. 1.4 La necesidad de incrementar la producción de trigo debido a un constante aumento de la población. 1.5 El número mensual de pulgadas de lluvia en una ciudad en un periodo de 5 años. 2. En la siguiente tabla se muestra la media mensual de producción de carbón bituminoso en millones de toneladas cortas en Canadá durante los años de1991-2000. Año 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 19969 2000 Producción media 50,0 36,5 43,0 44,5 38,9 38,1 32,6 38,7 41,7 41,1 mensual Construya lo que se indica. 2.1 Un movimiento medio de 5 años


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Años

191

Producción media mensual

Movimiento total de Movimiento medio de 5 años 5 años

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2.2 Un movimiento medio de 4 años

Años

Producción Movimiento total de media mensual 4 años

Movimiento medio de 4 años

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

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192

2.3 Un movimiento medio de 4 años centrado

Años

Movimiento medio de 4 años

Movimiento total de 2 años de la col. 3

Movimiento medio centrado de 4 años

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

2.4 Muestre el movimiento centrado de 4 años, equivalente al movimiento medio ponderado de 5 años con pesos 1, 2, 2, 2, 1, respectivamente.


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Años

193

Y

Movimiento total de 4 años

Movimiento total de 2 años de la col. 3

Movimiento medio centrado de 4 años

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

2.5 Represente el movimiento medio de (2.1) junto con los datos originales.

2.6 Obtenga los valores de tendencia para los datos de la tabla mediante el método de semimedias donde la media se toma de (2.1)

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194

Año 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 19969 2000 Valores de tendencia 2.7 Utilice el método de mínimos cuadrados para ajustar una recta a los datos de (2.1) y halle los valores de tendencia.

Año 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 19969 2000 Valores de tendencia

3. El departamento de ventas de Automotriz Moderna suministró datos de unidades vendidas. Con ellos, se formó la siguiente serie de tiempo de 10 años.


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Años Ventas

195

1 400

2 390

3 320

4 340

5 270

6 260

7 300

8 320

9 340

10 370

Grafique la serie de tiempo y comente acerca de lo adecuado de una tendencia lineal. ¿Qué forma de función cree usted que sería adecuada para el patrón de tendencia de esta serie tiempo?

4. El rendimiento por acción, para una Compañía Metalúrgica, durante un periodo de 10 años, es el siguiente: Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rendimiento 0.64 0.73 0.94 1.14 1.33 1.53 1.67 1.68 2.10 2.50 4.1 Emplee una proyección de tendencia lineal para pronosticar esta serie de tiempo en el próximo año. 4.2 ¿Qué nos dice este análisis de tendencia temporal acerca de la Compañía Metalúrgica? 4.3 De acuerdo con los datos históricos, ¿es bueno invertir en esta empresa?

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Autoevaluación 1. Identifique con qué movimiento característico de una serie de tiempo se podría asociar principalmente cada una de los siguientes supuestos: 1.1 Un retroceso 1.2 Un incremento de empleo durante los meses de verano 1.3 La disminución de mortandad debido al avance de la ciencia 1.4 Una huelga del acero 1.5 Una demanda continuamente creciente de automóviles pequeños (a) tendencia de larga duración (b) estacional (c) cíclico (d) irregular (e) tendencia de larga duración 2. Dados los números 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, determine un movimiento medio de orden 2.1 dos 2.2 tres 2.3 cuatro 2.4 cinco 3. En la siguiente tabla, se da el consumo medio mensual en millares de fanegas de algodón nacional y de importación en Estados Unidos durante los años 1990-1999. Construya lo siguiente: 3.1 un movimiento medio de 2 años 3.2 un movimiento medio centrado de 2 años 3.3 un movimiento medio de 3 años 3.4 un movimiento medio centrado de 4 años 3.5 un movimiento medio centrado de 6 años 3.6 represente los movimientos medios junto con los datos originales y discuta los resultados obtenidos 3.7muestre que el movimiento medio centrado de 2 años es equivalente a un movimiento medio ponderado de 3 años con pesos 1, 2, 1, respectivamente. Año Consumo de algodón

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 656

804

836

765

777

711

755

747

696

677

4. En la siguiente tabla se muestra el total de ventas mensuales de autos de pasajeros en el Perú durante los años 1997-2002. Construya lo que se le indica: 4.1 Un movimiento medio de 12 meses 4.2 Un movimiento medio centrado de 12 meses 4.3 Un movimiento medio centrado de 6 meses


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ESTADISTICA II

197

4.4 Represente el movimiento medio de los apartados (4.2) y (4.3) junto con los datos originales y compare los resultados Ene.

• • • • •

Feb

Marzo Abril May

Jun

Jul

Ago. Sep

Oct

Nov

Dic

1997 52,6 45,3

56,1

59,8 54,3 58,7 59,9 51,7 47,2 52,8 37,9 38,6

1998 44,6 46,7

53,5

53,7 49,1 50,1 45,7 44,3 30,0 22,2 49,2 66,9

1999 65,5 67,7

79,3

75,4 72,1 64,7 65,7 62,6 46,8 50,2 74,0 69,1

2000 51,0 50,9

58,2

55,9 47,0 44,8 44,0 41,0 20,9 35,1 57,7 61,6

2001 68,0 57,0

58,7

54,7 53,1 49,3 48,7 52,3 31,3 29,1 58,8 55,2

2002 48,4 39,2

35,5

32,5 35,1 34,2 31,4 19,0 10,7 27,2 51,9 60,7

Movimientos característicos de la serie de tiempo Clasificación de movimientos de series de tiempo El análisis de las series de tiempo Movimientos medios. Suavización de series de tiempo Estimación de la tenencia.

5. Los datos de inscripciones, en miles, en una universidad estatal durante los últimos seis años son los siguientes: Año 1 2 3 4 5 6 Inscripción 20.5 20.2 19.5 19.0 19.1 18.8 Deduzca una ecuación del componente de tendencia lineal en esta serie de tiempo. Haga comentarios acerca de lo que sucede con la inscripción en esta institución. 6. La siguiente tabla muestra la asistencia promedio a los juegos locales de fútbol en una universidad durante los últimos siete años. Determine la ecuación del componente de tendencia lineal para esta serie de tiempo. Año 1 2 3 4 5 6 7 Asistencia 28,000 30,000 31,500 30,400 30,500 32,200 30,800 7. Al presidente de una pequeña fábrica le interesa considerar el aumento continuo de costo de fabricación durante los últimos años. A continuación, se observa la serie de tiempo del costo por unidad del producto principal de esa empresa durante los últimos ocho años. Año Costo/unidad ($)

1

2

3

4

5

6

7

8

20.50 24.50 28.20 27.50 26.60 30.10 31.40 36.50

7.1 Trace la gráfica de esta serie de tiempo. ¿Parece haber una tendencia lineal?

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198

7.2 Determine una ecuación del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo. 7.3 ¿Cuál es el aumento anual promedio de costo que ha tenido la empresa? 8. Al final de la década de los noventa, muchas empresas trataron de reducir su tamaño para disminuir sus costos. Uno de los resultados de esas medidas de recorte de costos fue una disminución en el porcentaje de empleos gerenciales en la industria privada. Los siguientes datos corresponden al porcentaje de mujeres gerentes, del año 1995 al 2000. Año Porcentaje

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 7.45

7.51

7.52

7.53

7.65

7.62

7.73

7.68

8.1 Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo. 8.2 Use la ecuación de la tendencia para estimar el porcentaje de mujeres gerentes para el 2003 y 2004.

Para recordar

Se deben diferenciar adecuadamente los movimientos de la serie de tiempo.


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199

SEMANA

16 SERIE DE TIEMPO

TEMAS • • •

Modelos de estimación Métodos de estimación de la tendencia Predicción mediante la serie de tiempo


Descubrir un comportamiento de los datos históricos para extrapolarlo a futuro Pronostican de manera óptima mediante el uso de los modelos,.

CONTENIDOS • • • • • •

Estimación de valores estacionales Métodos de estimación Estimación de variaciones cíclicas Estimación de variaciones irregulares o aleatorias Comparación de datos Predicciones

ACTIVIDADES • •

Identifican una serie de tiempo. Analizan los diferentes métodos de estimación de la serie de tiempo.

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SERIE DE TIEMPO

ESTIMACIÓN DE VARIACIONES ESTACIONALES. ÍNDICE ESTACIONAL Para determinar el factor estacional S en TCSI, se debe estimar cómo varían los datos en la serie de tiempo de un mes a otro a lo largo de un año característico. Un conjunto de números mostrando los valores relativos de una variable, durante los meses del año, se llama índice estacional de la variable. Si, por ejemplo, se sabe que las ventas durante enero, febrero, marzo, etc., son 50, 120, 90,. . . por ciento de la venta media mensual del año completo, los números 50, 120, 90,. . . suministran el índice estacional del año y, a veces, se conocen como números del índice estacional. El promedio (media) del índice estacional para el año completo deberá ser 100 %, es decir, la suma de los números índice deberá ser 1200 %. Varios son los métodos que se utilizan para el cálculo del índice estacional: Método del porcentaje medio. En este método los datos de cada mes se expresan como porcentajes de la media anual. Los porcentajes de meses que se corresponden en diferentes años son entonces promediados mediante su media o mediana. Si se emplea la media, es mejor evitar los valores extremos que puedan aparecer. Los 12 porcentajes resultantes dan el índice estacional. Si su media no es 100 % (es decir, si la suma no es 1200 %) deberá ajustarse multiplicando por un factor adecuado. Método de porcentaje de tendencia o razón de tendencia. En este método los datos de cada mes se expresan como porcentajes de los valores de tendencia mensuales. Una adecuada media de los porcentajes para los meses correspondientes da el índice pedido. Como en el método anterior, se deben ajustar si su medida no es el 100 %. Nótese que la división de cada valor mensual Y por el correspondiente valor de tendencia T da Y/T = CSI, en TCSI. En consecuencia, el promedio Y/T produce índices estacionales que pueden incluir variaciones cíclicas e irregulares, sobre todo cuando son grandes. Esto puede ser un inconveniente importante del método. Método del porcentaje del movimiento medio o razón del movimiento medio. En este método, se calcula un movimiento medio de 12 meses. Puesto que los resultados así obtenidos caen entre meses sucesivos en lugar de en el centro del mes, como ocurría con los datos originales, se debe calcular un movimiento medio de 2 meses de este movimiento medio de 12 meses. El resultado se llama, a menudo, movimiento medio centrado de 12 meses. Después de que se haya hecho esto, los datos originales para cada mes se expresan como porcentajes de los correspondientes al movimiento medio centrado de 12 meses. Los porcentajes para los meses correspondientes son


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entonces promediados, dando el índice pedido. Como antes, deberán ajustarse si su media no es el 100 %. Adviértase que el razonamiento lógico de este método se sigue de la Ecuación TCSI. Un movimiento medio centrado de 12 meses de Y sirve para eliminar los movimientos estacionales e irregulares S e I y así equivale a los valores dados por TC. Entonces, la división de los datos originales por TC da SI. Las medias sucesivas de los meses correspondientes sirven para eliminar la irregularidad I y así el resultado constituir un índice adecuado de S. Método de enlaces relativos. En este método, los datos de cada mes se expresan como porcentajes de los datos del mes anterior. Estos porcentajes se llaman enlaces relativos, puesto que enlazan cada mes con el precedente. Después se toma una media adecuada de los enlaces relativos para los meses correspondientes. De estos 12 enlaces relativos medios se pueden obtener los porcentajes relativos de cada mes con respecto a enero, que se considera como 100 %. Después de haber hecho esto, se encontrará normalmente que el enero siguiente tendrá un porcentaje asociado que será mayor o menor del 100 % dependiendo de si ha habido crecimiento o decrecimiento en la tendencia. Con esto, los distintos porcentajes obtenidos se pueden ajustar para esta tendencia. Estos porcentajes finales, ajustados de forma que su media sea el 100 %, suministran el índice estacional pedido. DESESTACIONALIZACIÓN DE DATOS Si los datos originales mensuales se dividen por los correspondientes números del índice estacional, los datos resultantes se dicen desestacionalizados o ajustados para la variación estacional. Tales datos incluyen aun, movimientos de tendencia, cíclicos e irregulares. ESTIMACIÓN DE LAS VARIACIONES CÍCLICAS Después de que los datos han sido desestacionalizados, pueden también ser ajustados a su tendencia dividiendo los datos por los correspondientes valores de tendencia. De acuerdo con la Ecuación TCSI, el proceso de ajuste para la variación estacional y los valores de tendencia se consiguen al dividir Y por ST, que da CI, es decir, variaciones cíclicas e irregulares. Un apropiado movimiento medio de unos pocos meses de duración (por ejemplo, 3, 5 ó 7 meses, de modo que no es necesaria la sucesión centrada) posteriormente sirve para suavizar las variaciones irregulares (I) y deja solamente las variaciones cíclicas. Una vez que éstas han sido aisladas, pueden ser estudiadas con detalle. Si aparece una periodicidad (o periodicidad aproximada) de ciclos, pueden construirse unos índices cíclicos análogamente a como se obtuvieron los índices estacionales. ESTIMACION DE LAS VARIACIONES IRREGULARES O ALEATORIAS La estima de las variaciones irregulares o aleatorias se logra ajustando los datos a los valores de tendencia, variaciones estacionales y cíclicas. Al dividir

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los datos originales Y por T, S y C por la Ecuación TCSI, se obtiene l. En la práctica, se encuentra que los movimientos irregulares tienden a ser de pequeña magnitud y que, a menudo, tienden a distribuirse normalmente, es decir, desviaciones pequeñas aparecen con gran frecuencia, desviaciones grandes aparecen con poca frecuencia. COMPARACIÓN DE DATOS Se debe tener siempre cuidado al comparar datos y que tal comparación esté correctamente justificada. Por ejemplo, al comparar los datos de marzo con los de febrero, se debe tener en cuenta que marzo tiene 31 días, mientras que febrero tiene 28 ó 29. Análogamente, al comparar los meses de febrero para diferentes años, se debe tener presente que en años bisiestos febrero tiene 29 días en lugar de 28. El número de días laborables durante varios meses del mismo o años diferentes, puede también diferir debido a fiestas, huelgas, paros temporales, etc. PREDICCIÓN Las ideas anteriores pueden servir de ayuda en el importante problema de la predicción en las series de tiempo. Sin embargo, se debe tener en cuenta que un tratamiento matemático de los datos no resuelve por sí solo todos los problemas. Juntamente con el sentido común, experiencia, habilidad y buen juicio del investigador, tales análisis matemáticos pueden, no obstante, ser de valor para la predicción a largo y corto plazo. RESUMEN DE LOS PASOS FUNDAMENTALES EN EL ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO 1. Coleccionar los datos de la serie de tiempo, procurando asegurarse de que estos datos sean dignos de confianza. En la colección de datos, se debe siempre tener presente el propósito que se persigue en cada caso con el análisis de la serie de tiempo. Por ejemplo, si se desea predecir sobre una serie de tiempo dada, puede servir de ayuda el obtener series afines así como otra posible información. Si es necesario ajustar los datos para poderlos comparar, es decir; ajustar para años bisiestos, etc. 2. Representar la serie de tiempo, anotando cualitativamente la presencia de tendencia de larga duración, variaciones cíclicas y variaciones estacionales 3. Construir la curva o recta de tendencia de larga duración y obtener los valores de tendencia apropiados mediante cualquiera de los métodos, de mínimos cuadrados, libre, movimientos medios o semimedias .4. Si están presentes variaciones estacionales, obtener un índice estacional y ajustar los datos a estas variaciones estacionales, es decir, desestacionalizar los datos. 5. Ajustar los datos desestacionalizados a la tendencia. Los datos resultantes contienen (teóricamente) solamente las variaciones cíclicas e irregulares.


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Un movimiento medio de 3, 5 ó 7 meses sirve para eliminar las variaciones irregulares y poner de manifiesto las variaciones cíclicas 6. Representar las variaciones cíclicas obtenidas en el paso 5, anotando cualquier periodicidad (o periodicidad aproximada) que pueda aparecer 7. Combinando los resultados de los pasos 1-6 y con cualquier otro tipo de información útil, hacer una predicción (si se desea) y si es posible discutir las fuentes de error y su magnitud

ACTIVIDADES 1. La Tabla muestra la energía eléctrica mensual en millones de kilovatios hora empleada para el alumbrado de calles y carreteras en el Perú durante los años 1991-1998.

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ene 318 342 367 392 420 453 487 529

Feb 281 309 328 349 378 412 440 477

Mar 278 299 320 342 370 398 429 463

Abril 250 268 287 311 334 362 393 423

May 231 249 269 290 314 341 370 398

Jun 216 236 251 273 296 322 347 380

Jul 223 242 259 282 305 335 357 389

Ago 245 262 284 305 330 359 388 419

Sep 269 288 309 328 356 392 415 448

Oct 302 321 345 364 396 427 457 493

Nov 325 342 367 389 422 454 491 526

Dic 347 364 394 417 452 483 516 560

1.1 Construye un gráfico de los datos.

1.2 Obtenga un índice estacional mediante el método del porcentaje medio.

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Años Consumo total Medias mensuales

Ene

Feb

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Mar Abril May Jun Jul

Ago Sep Oct Nov Dic

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Total Media 1.3 Obtenga el índice estacional mediante el método de porcentaje de tendencia (utilice el método de mínimos cuadrados para obtener los valores de tendencia mensuales)


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Años Medias mensuales

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1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Valores de tendencia central mensuales Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Total Media Valores de tendencia central mensuales expresados en porcentajes Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Total Mediana Años Indice estacional

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1.4 Obtenga el índice estacional mediante el método de enlaces relativos

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La media de los enlaces relativos Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Total Media 1.5 Ajuste los datos a la variación estacional (desestabilización de los datos).

Ene Feb Mar Abril May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1991 1992 1993 1994 1995 1996


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1997 1998 Total Media 1.6 Ajuste los datos a la tendencia.

Ene

Feb

Mar Abril May Jun Jul

Ago Sep Oct Nov Dic

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

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Autoevaluación 1. En la siguiente tabla se da el consumo medio mensual, en millares de fanegas de algodón nacional y de importación en Estados Unidos durante los años 1990-1999. 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Año Consumo de algodón

656

804

836

765

777

711

755

747

696

677

1.1 Obtenga los valores de tendencia para los datos mediante el método de semimedias, donde la media se toma como (a) la media aritmética (b) la mediana Construir un gráfico con los resultados obtenidos 1.2 Obtenga los valores de tendencia para los datos mediante (a) el método libre (b) un movimiento medio de orden adecuado Comparar con los resultados 1.3 Emplee el método de mínimos cuadrados para ajustar una recta a los datos de la tabla 2. En la siguiente tabla, se muestra la producción mensual de mantequilla en el Perú en miles de kilogramos los años 1996-2003. 2.1 Represente los datos. 2.2 Construya un índice estacional mediante el método del porcentaje medio. 2.3 Obtenga un índice estacional mediante el método de porcentaje de tendencia o razón de tendencia. 2.4 Obtenga un índice estacional mediante el método del porcentaje del movimiento medio o razón del movimiento medio 2.5 Obtenga un índice estacional mediante el método de enlaces relativos

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Ene

Feb

Mar

Abril

Mayo

Jun

Jul

85,6 78,7 103,9 118,7 108,1 114,6 115,3 118,6

80.9 78,8 101,9 116,6 104,3 114,1 110,3 113,4

92,2 91,5 121,4 143,3 121,1 129,6 124,6 129,5

101,8 102,5 133,5 142,0 129,4 135,4 132,3 130,3

132,6 135,0 156,0 164,5 157,9 151,9 159,3 150.6

141,2 128,0 154,0 160,9 151,9 149,0 148,1 144,7

130,5 117,7 135,6 129,7 123,0 127,6 125,8 126,9


Ago.

Sep

Oct

Nov

119,0 93,6 86,6 68,4 105,7 92,1 87,7 75,9 118,7 95,0 91,6 91,3 109,4 92,6 87,8 86,8 102,1 91,9 94,7 92,7 109,8 92,4 93,1 92,3 106,9 90,1 100,3 94,1 97,7 8607 91,9 90,0

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Dic 70,4 94,6 109,0 97,0 105,8 103,4 105,7 107,2

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3. En la siguiente tabla, se muestra las ventas estimadas en millones de dólares de todas las tiendas al por menor en la ciudad de Lima durante los años 1996-2003. 3.1 Represente los datos. 3.2 Obtenga un índice estacional mediante el método del porcentaje medio. 3.3 Obtenga un índice estacional mediante el método de porcentaje de tendencia o razón de tendencia. 3.4 Obtenga un índice estacional mediante el método de la razón del movimiento medio. 3.5 Obtenga un índice estacional mediante el método de enlaces relativos. Ene

Feb

Mar

Abril

Mayo

Jun

Jul

Ago.

Sep

Oct

Nov

Dic

1996 12,63 11,72 13,43 12,53 13,29 13,27 12,36 13,27 13,10 13,86 13,39 15,38 1997 11,84 11,74 12,74 13,40 14,85 13,81 13,40 13,45 13,62 14,82 14,01 16,91 1998 13,05 12,33 13,96 14,17 14,66 14,58 14,38 14,18 14,08 14,95 13,96 16,44 1999 12,34 12,06 13,54 14,32 14,25 14,66 14)39 13,90 14,14 14,66 14,53 17,87 2000 13,15 12,64 14,57 15,49 15,33 15,60 15,26 15,48 15,76 15,68 15,75 19,12 2001 13,73 13,55 15,72 14,89 16,11 16,58 15,38 16,19 15,58 16,13 16,49 19,38 2002 14,74 14,06 15,79 16,44 17,20 17,11 16,86 17,49 16,37 16,95 17,13 19,84 2003 15,29 13,78 15,55 16,27 17,36 16,60 16,60 17,00 16,33 17,36 17,04 21,17

4. En la siguiente tabla, se muestra la carga transportada en miles de vagones de ferrocarril con carga de minerales llevados al puerto del callao durante los años 1998-2005. 4.1 Construya un gráfico de los datos. 4.2 Obtenga un índice estacional mediante el método del porcentaje medio. Ene.

Feb.

Mar

Abril

Mayo

Jun

Jul

Ago.

Sep

Oct

Nov

Dic

1998 3661

2834

2999

3152

3977

3295

3807

3307

3312

4317

3139

2700

1999 3562

2911

2868

2912

3678

2606

2969

3149

3364

4156

3139

2672

2000 3351

2730

2801

2957

3883

3204

3758

3229

3153

4024

2797

2413

2001 2967

2462

2412

2445

3345

2730

3251

2708

2711

3629

2685

2518

2002 2505

2556

3256

2757

3754

3052

3015

3883

3148

3282

3758

2669

2003 2713

2751

3517

2971

3835

3143

2397

3700

3155

3284

3740

2641

2004 2565

2616

3446

2696

3558

2959

2708

3737

2849

2920

3223

2221

2005 2164

2108

2702

2105

2729

2489

2138

3146

2570

2733

2462

2188

5. La tabla muestra la energía eléctrica mensual en millones de kilovatios hora empleada para el alumbrado de calles y carreteras en el Perú durante los años 1991-1998. Calcule un índice estacional para los últimos cuatro años y los cuatro primeros años de los datos. Utilice cualquier método.

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1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ene 316 338 363 389 425 454 488 519

Feb 285 312 321 353 383 417 446 487

Mar 288 305 315 352 378 402 412 457

Abril 253 274 294 320 324 356 398 425

May 225 244 259 260 315 351 387 402

Jun 225 246 261 283 296 332 357 390

Jul 223 242 259 282 305 335 357 389

Ago 235 252 274 308 330 358 388 419

Sep 269 285 309 325 356 392 415 448

Oct 302 321 345 364 396 427 457 493

Nov 323 342 367 389 422 454 491 526

Dic 352 364 394 421 452 492 521 568

6. En la siguiente tabla, se muestra la producción mensual de mantequilla en el Perú en miles de kilogramos los años 1996-2003. Ene.

Feb.

Mar

Abril

Ago.

Sep

Oct

Nov

Dic

1996

84,6

87.9

98,2

107,8 132,7 144,2 132,5 120,6

98,6

90,6

78,4

90,4

1997

77,7

76,8

99,5

108,5 135,8 128,0 117,7 105,7

92,1

87,7

75,9

98,6

1998 100,9 105,9 120,4 138,5 156,7 154,0 135,6 118,7

95,0

91,6

91,3 107,0

1999 115,7 120,6 148,3 146,0 164,5 160,9 129,7 109,4

92,6

87,8

86,8

2000 104,1 115,3 134,1 132,4 157,5 151,9 123,0 102,1

91,9

94,7

92,7 109,8

2001 117,6 118,1 134,6 138,4 151,3 149,0 127,6 109,8

92,4

93,1

92,3 106,4

2002 118,3 119,3 144,6 139,3 159,2 148,1 125,8 106,9

90,1

100,3 94,1 108,7

2003 113,6 115,4 139,5 140,3 150,8 144,7 126,9

8607

91,9

Mayo

Jun

Jul

97,7

99,0

90,0 109,2

6.1 Obtenga un índice estacional mediante el método del porcentaje del movimiento medio o razón del movimiento medio. , 6.2 Obtenga un índice estacional mediante el método de enlaces relativos 6.3 Desestacionalice los datos 6.4 Represente los datos desestacionalizados y explicar los resultados. 6.5 Ajuste los datos para la variación estacional 6.6 Represente los datos ajustados estacionalmente e interpretar los resultados obtenidos. 7. En la siguiente tabla, se muestra las medias mensuales de producción de arroz en la zona nororiental de Perú en miles de toneladas durante los años 1990-1999. Represente los datos y discuta la posible existencia de ciclos. Año Media Mensual

1990

1991 1992 1993 1994

1995 1996 1997 1998

1999

67.4

81.3

74.3

69.7

82.5

74.8

79.7

77.5

73.7

69.6

8. En la siguiente tabla, se muestra la producción mensual de mantequilla en el Perú en miles de kilogramos los años 1996-2003.


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ESTADISTICA II

211

Ene

Feb

Mar

Abril

Ago.

Sep

Oct

Nov

Dic

1996

85,6

80.9

92,2

101,8 132,6 141,2 130,5 119,0

93,6

86,6

68,4

70,4

1997

78,7

78,8

91,5

102,5 135,0 128,0 117,7 105,7

92,1

87,7

75,9

94,6

1998 103,9 101,9 121,4 133,5 156,0 154,0 135,6 118,7

95,0

91,6

91,3 109,0

1999 118,7 116,6 143,3 142,0 164,5 160,9 129,7 109,4

92,6

87,8

86,8

2000 108,1 104,3 121,1 129,4 157,9 151,9 123,0 102,1

91,9

94,7

92,7 105,8

2001 114,6 114,1 129,6 135,4 151,9 149,0 127,6 109,8

92,4

93,1

92,3 103,4

2002 115,3 110,3 124,6 132,3 159,3 148,1 125,8 106,9

90,1

100,3 94,1 105,7

2003 118,6 113,4 129,5 130,3 150.6 144,7 126,9

8607

91,9

Mayo

Jun

Jul

97,7

97,0

90,0 107,2

8.1Emplee cualquiera de los resultados para predecir la producción de mantequilla en el Perú durante el año 2003. 8.2Discuta los posibles orígenes de error. 8.3Compare las predicciones con los valores reales para 2003 dados en la siguiente tabla. Ene

Feb

Mar

Abril

Mayo

Jun

Jul

116,3 108,2 121,4 126,8 143,4 135,6 112,5

Ago.

Sep

Oct

Nov

Dic

90,9

82,6 92,1 91,2 108,0

9. En la siguiente tabla, se muestra la carga transportada en miles de vagones de ferrocarril con carga de minerales llevados al puerto del callao durante los años 1998-2005. Ene

Feb

Mar

Abril

Mayo

Jun

Jul

Ago.

Sep

Oct

Nov

Dic

1998 3661

2834

2999

3152

3977

3295

3807

3307

3312

4317

3139

2700

1999 3562

2911

2868

2912

3678

2606

2969

3149

3364

4156

3139

2672

2000 3351

2730

2801

2957

3883

3204

3758

3229

3153

4024

2797

2413

2001 2967

2462

2412

2445

3345

2730

3251

2708

2711

3629

2685

2518

2002 2505

2556

3256

2757

3754

3052

3015

3883

3148

3282

3758

2669

2003 2713

2751

3517

2971

3835

3143

2397

3700

3155

3284

3740

2641

2004 2565

2616

3446

2696

3558

2959

2708

3737

2849

2920

3223

2221

2005 2164

2108

2702

2105

2729

2489

2138

3146

2570

2733

2462

2188

9.1Emplee cualquiera de los resultados para predecir la carga transportada en miles de vagones de ferrocarril con carga de minerales llevador al puerto del callao en el 2006. 9.2Discuta los posibles orígenes de error. 9.3Compare las predicciones con los valores reales para 2006 dados en la siguiente tabla. 9.4 Construya un gráfico de los datos. 9.5 Obtenga un índice estacional mediante el método del porcentaje medio.

CIBERTEC


212

Ene.

Feb.

Mar

Abril

Mayo

Jun

Jul

Ago.

Sep

Oct

2742

2291

2398

2489

3419

2813

2249

2712

2190 2908

Nov

Dic

2403 2376

10. Se tiene la siguiente serie de tiempo: Trimestre 1 2 3 4

Año 1 4 2 3 5

Año 2 6 3 5 7

Año 3 7 6 6 8

10.1 Determine los valores de promedio móvil de cuatro trimestres y centrado para esta serie de tiempo. 10.2 Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres. 11. Los datos trimestrales de ventas de un texto escolar (cantidad de ejemplares vendidos) durante los tres últimos años son los siguientes: Trimestre 1 2 3 4

Año 1 1690 940 2625 2500

Año 2 1800 900 2900 2360

Año 3 1850 1100 2930 2615

11.1 Determine los valores de promedio móvil centrado de cuatro trimestres y para esta serie de tiempo. 11.2 Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres. 11.3 ¿Cuándo se presentará el máximo índice estacional? ¿Parece razonable? Explique por qué. 12. Identifique los índices estaciónales mensuales de los tres años de gastos para un edificio de departamentos en Surco, de acuerdo con la siguiente tabla. Emplee un cálculo de promedios móviles de 12 meses.

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre


Año 1 170 180 205 230 240 315 360 290 240 240 230 195

Gastos Año 2 180 205 215 245 265 330 400 335 260 270 255 220

Año 3 195 210 230 280 290 390 420 330 290 295 280 250

CIBERTEC

ESTADISTICA II

213

13. Los especialistas en contaminación atmosférica del sur de America vigilan cada hora la cantidad de ozono, dióxido de carbono y dióxido de nitrógeno en el aire. Los datos recabados presentan efecto estacional, porque muestran patrones durante las horas del día. En la fecha 15, 16 Y 17 de julio se observaron las siguientes concentraciones de dióxido de nitrógeno en la zona comercial, durante las 12 horas que van de las 6:00 a.m. a las 6:00 p.m. 15 de julio

25

28

35

50

60

60

40

35

30

25

25

20

16 de julio

28

30

35

60

65

50

50

40

35

25

20

20

17 de julio

35

42

45

72

75

60

60

45

40

25

25

25

13.1 Identifique los índices estacionales por hora para las 12 indicaciones de cada día. 13.2 Con los índices estaciónales determinados en el inciso a, se eliminó el efecto estacional la ecuación de tendencia para los datos desestacionalizada fue T=32.983 + 3922 t. Use sólo el componente de tendencia para determinar pronósticos para las 12 horas del 18 de julio. 14. En el Perú, la ONPE mantiene datos de la edad de votante, cantidad de votantes registrados y el porcentaje de votación para elecciones presidenciales y municipales. En la siguiente tabla, se muestra los porcentajes nacionales de votantes, en relación con la población con edad de votar, desde 1982 hasta 2002. Año % Movimientos

1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 55

38

54

37

52

40

53

36

50

37

55

14.1 Aplique el suavizamiento exponencial para pronosticar esta serie de tiempo. Use constantes de suavizarmiento α = 0.1 . y α = 0.2 ¿Qué valor de la constante da los mejores pronósticos? 14.2 ¿Cuál es el pronóstico del porcentaje de votantes en 2004?

Para recordar

Se deben tener en claro los pasos fundamentales de la serie de tiempo.

CIBERTEC


Estadistica II Cibertec

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