ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA AGROPECUARIA DE MANABÍ MANUEL FÉLIX LÓPEZ
CARRERA DE COMPUTACIÓN
SEMESTRE QUINTO
PERÍODO MAR. – AGO. AGO. /2017
TRABAJO DE ESTADÍSTICA MATEMÁTICA TEMA: EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5 AUTORES: RONALDO R. AYALA ZAMBRANO JUAN P. GUTIERRES SÁNCHEZ MARÍA D. PÁRRAGA RÍOS FACILITADOR: ING. GUSTAVO MOLINA
CALCETA, JULIO 2017
EJERCICIOS DEL 5.1 AL 5.34 5.1 Considere una variable aleatoria binomial con n = 8 y p =7. Aísle la columna apropiada en la tabla 1 y llene las probabilidades
≤
0
1
2
3
4
5
6
7
8
.000
.001
.018
.058
.194
.448
.745
.942
.1000
Llene los espacios en blanco de la tabla siguiente. El problema
Haga una lista de valores de x
3 o menos
0,1,2,3
3 o más
3,4,5,6,7,8
Más de 3
4,5,6,7,8
Menos de 3
0,1,2
Entre 3 y 5
3,4,5
Exactamente 3
3
Escriba la probabilidad
≤ 3) P(x ≥ 3) P(x >3) P(x < 3) P(3≤ x ≥3) P(x
P(X = 3)
Reescriba la probabilidad (si es necesario)
Encuentre la
No es necesario
0.58
≤ 2) 1 - P(x ≤ 3) P(x ≤ 2) P(x ≤ 3) P(x ≤ 2) 1 - P(x
5.5 Evalúe estas probabilidades binomiales:
.. c. .. a.
.. d. . . b.
A)
.3.7 = 0.9.117649 = 0.2965
B)
.05.95 = 95 = 0.8145
C)
.5.5 = 5 = 0.1171
D)
.2.8 = 0.3670
probabilidad
0.988 0.842 0.81 0.37 0.97
5.7 Sea x una variable aleatoria binomial con n=7, p=3. Encuentre estos valores:
a. p(x=4) = 0.97 b. p(x≤1) = 329 c. p(x>1) = 671 d. u= np = 2.1 e. Ϭ=
= 1.212
5.11 Sea x una variable aleatoria binomial con n = 10 y p =.4. Encuentre estos valores:
a.
p(x=4)= .251
b. p(x≥4)=.618 c.
p(x>4)= .367
d. p(x≤4)= .633 e.
u= np= 4
f.
Ϭ=
= 1.549
5.13 Use la tabla 1 del apéndice I para evaluar las siguientes probabilidades para n = 6 y p = .8.
a.
P(x≥4)= .901
b. P(x=2)= .015 c.
P(x<2)= .367
d. P(x>1)= .998
5.15 Use la tabla 1 del apéndice I para hallar lo siguiente:
a. P[x≤12] = P[x≤11] = 748 b. P[x≤6] = 610 c. P[x>4] = 1- P[x≤4] = 367 d. P[x≥6] = 1- P[x≤5] = 966 e. P[3
5.23 Sistemas de seguridad. El sistema de seguridad de una casa está diseñado para tener un 99% de contabilidad. Suponga que nueve casas equipadas con este sistema experimentan un intento de robo. Encuentre las probabilidades de estos eventos: a) Al menos una de las alarmas se activó.
[ ≥ ] = = = . = . b) Más de siete de las alarmas se activaron.
[ > ] = ≤ = . = . c) Ocho o menos alarmas se activaron.
≤ =0.98 5.24 Tipos de sangre. En cierta población, 85% de las personas tienen tipo de sangre Rh positivo. Suponga que dos personas de esta población se casan. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan Rh negativo, lo cual hace inevitable que sus hijos tengan Rh negativo? La probabilidad de que el RH de 2 persona sea negativo en una población en la que el 85% son RH positivos es de un 2% de probabilidad.
5.27 Los registros muestran que 30% de los pacientes admitidos en una clínica, no pagan sus facturas y eventualmente se condona la deuda. Suponga que llegan 4 nuevos pacientes a la clínica, cual es la probabilidad de que setenga que perdonar la deuda de uno de los cuatro. Los cuatro pacientes paguen sus facturas.
p = 0.30
n=4
q = 1 – p = 1 – 0.30 = 0.70
p(x = r) = (n / r) *
* −
Probabilidad de que se tenga que perdonar la deuda de uno de los cuatro.
Los cuatro pacientes paguen sus facturas.
EJERCICIOS DEL 5.39 AL 5.48 5.39 Sea x una variable aleatoria de Poisson con media u = 2. Calcule estas probabilidades:
a. P(x = 0)
b. P(x = 1)
c. P(x = 1)
d. P(x = 5)
− = ! − 2 = ! a)
[ = 0] = ! = 0.135335283
b)
[ = 1] = ! = 0.270670
c)
[ > 1] = 1 [ ≤ 1] = 10.1353352830.27067 = 0.593994
d)
[ = 5] = ! = 0.366115
5.43 Seguridad en un aeropuerto El mayor número de pequeños aviones de
vuelos
cortos
en
aeropuertos
importantes
ha
aumentado
la
preocupación por la seguridad en el aire. Un aeropuerto de la región este ha registrado un promedio mensual de cinco accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en los últimos 5 años.
A) Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado no haya accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en el aeropuerto. Sea x el número de errores. Entonces x tiene una distribución de Poisson con u=5.
0 = − = 0.0067379 B) Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado haya cinco accidentes que casi ocurren.
− 5 [ = 5] = 5! = 0.1755 C) Encuentre la probabilidad de que haya al menos cinco accidentes que casi ocurren durante un mes particular.
[ ≥ 5] = 1 [ ≥ 5] = 0.560 EJERCICIOS DEL 5.59 AL 5.100 5.61. Monedas, continúa. Consulte el ejercicio 5.60. Suponga que la moneda está en verdad “cargada” y la probabilidad de que salga una “cara” es igual a p = .1. Siga las instrucciones de los incisos a), b), c) y d). Observe que la distribución de probabilidad pierde su simetría y se hace sesgada cuando p no es igual a 1/2. a) Use la fórmula para la distribución binomial de probabilidad para calcular las probabilidades asociadas con x = 0, 1, 2 y 3. P= 0.1
= 0 = 0.110.1 = 0.729 = 1 = 0.110.1 = 0.243 = 2 = 0.110.1 = 0.027 = 3 = 0.110.1 = 0.001 b) Construya la distribución de probabilidad.
Como podemos observar en la gráfica en el la distribución no es simétrica. La grafica esta sesgada a la derecha. La probabilidad de que caigan tres caras es mayor a las demás mientras que la probabilidad de observar ninguna cara es casi nula. c) Encuentre la media y desviación estándar de x
µ = ∗ = 3 ∗ 0.1 µ = 0.3 = ∗ ∗ = 30.11 0.1 = √ 0.27 = 0.520 c) Usando la distribución de probabilidad del inciso b), encuentre la fracción de las mediciones de población que estén a no más de una desviación estándar de la media. Repita para dos desviaciones estándar. ¿Cómo concuerdan los resultados con el teorema de Chebyshev y la Regla empírica?
µ ± = 0.3 ± 0.520 -0.220 a 0.820
µ ± 2 = 0.3 ± 20.520
-0.740 a 1.34 El valor de x está dentro del primer intervalo de x=0, la fracción de mediciones en este intervalo será de 0.729. Los valores de x=0 y x=1 están encerados por el segundo intervalo de manera que 0.727+0.243 = 0.972 estas mediciones caen dentro de la desviación estándar y concuerdan los resultados con el teorema de Chebyshev y la regla empírica.
5.63 Recolección de basura. El comisionado de un municipio dice que 80% de la población de la ciudad está a favor de que la recolección de basura sea por contrato a una empresa privada (en contraste a la recolección por empleados del municipio). Para verificar la teoría de que la proporción de personas en la ciudad a favor de la recolección privada es 0.8, usted muestrea al azar 25 personas y encuentra que x, el número de personas que apoyan lo dicho por el comisionado, es 22. a. ¿Cuál es la probabilidad de observar al menos 22 que apoyen lo dicho por el comisionado si, en efecto, p = 0.8?
Esta es distribución binomial de probabilidad
= = − Para observar al menos 22 se deben conocer esa probabilidad y las superiores
= 22 = 0.80.2− = 0,1357 = 23 = 0.80,2− = 0,071 = 24 = 0.80,2− = 0,0236 = 25 = 0.80,2− = 0,003778 >= 22 = = 22 + = 23 + = 24 + = 25 >= 22 = 0,1357+ 0,071 + 0,0236+ 0,003778 >= = ,
b. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea exactamente igual a 22?
= 22 = 0.80.2− = 22 = 23000,007380,008 = 22 = 0,1357 c. Con base en los resultados del inciso a), ¿qué concluiría usted acerca de lo dicho que 80% de todas las personas de la ciudad está a favor de la recolección privada? Explique. Que dentro de las personas que están de acuerdo existe la probabilidad de que estas sean el 80% de todas
5.67 Revistas para adolescentes.
Aun cuando las revistas para
adolescentes Teen People, Hachette Filipacche y Elle Girl dejaron de funcionar en 2006, 70% de las personas en una encuesta por teléfono dijeron que los adolescentes todavía son un mercado viable para ellas, pero no desean títulos que les digan que son adolescentes. Leen revistas más refinadas. Se selecciona una muestra al azar de n = 400.
a. ¿Cuál es el número promedio en la muestra que dijo que los adolescentes son todavía un mercado viable para las revistas?
= = 4000.7 = b. ¿Cuál es la desviación estándar de este número?
= = 4000.70.3
= √ 84 = ,
d. ¿Dentro de qué margen esperaría usted hallar el número de la muestra que dijeron que hay un mercado viable de revistas para adolescentes?
[±] [280±29.1652] [..] e. Si sólo 225 en una muestra de 400 personas dijeron que los adolescentes
aún
son
un
mercado
viable
para
las
revistas,
¿consideraría esto poco común? Explique. ¿Qué conclusiones se pueden sacar de la información de esta muestra? sí; u= 280
= , 280-225= 55 55/9.1652=6.001 x = 225 está 6 desviaciones estándar debajo de la media. 6,001*9.1652=55 280-55=225
5.69 Problemas psicosomáticos. Una psiquiatra dice que 80% de todas las personas
que
van
a
consulta
tienen
problemas
de
naturaleza
psicosomática. Ella decide seleccionar 25 pacientes al azar para probar su teoría. a. Suponiendo que la teoría de la psiquiatra es verdadera, ¿cuál es el valor esperado de x, el número de los 25 pacientes que tienen problemas psicosomáticos? Si la teoría del psiquiatra es verdadera, entonces p=0,8 , el valor de x es E(x) =n.p entonces esto es 25(0.8) y es igual a = 20. b. ¿Cuál es la varianza de x, suponiendo que la teoría es verdadera?
= .. Reemplazando en la formula esto es: 25(0.8)(0.2) =4 c. Encuentre P(x
14). (Use tablas y suponga que la teoría es verdadera.)
Dado que p=0.8 , P(x 14)= 0.006.
d. Con base en la probabilidad del inciso c), si sólo 14 de los 25 muestreados tenía problemas psicosomáticos, ¿a qué conclusiones se llegaría acerca de la teoría de la psiquiatra? Explique. En base a los resultados del inciso c) se puede concluir que la teoría de la psiquiatra es incorrecta.
5.71 Canas en el plantel ¡Los planteles universitarios están envejeciendo! De acuerdo a un artículo reciente, uno de cada cuatro estudiantes tiene 30 años de edad o más. Muchos de estos estudiantes son mujeres que actualizan sus conocimientos para el trabajo. Suponga que la cifra de 25% es precisa, que su universidad es representativa de universidades en general, y que se muestran n = 200 estudiantes, registrándose x, el número de estudiantes de 30 años de edad o más. a. ¿Cuáles son la media y desviación estándar de x?
µ = µ = . = = .. = 200.0.25.0.75 = 6.124 b. Si hay 35 estudiantes en su muestra que tengan 30 años de edad o más, ¿estaría usted dispuesto a suponer que la cifra de 25% es representativa de su plantel? Explique. Puesto que x tiene una distribución binomial x=35 se encuentra
3550 = 2.45 6.124 Las desviaciones estándar varían con la media, es improbable que p=0,25(25%).
5.75. Genética de plantas Una peonia con pétalos rojos fue cruzada con otra planta que tenía pétalos veteados. La probabilidad de que un descendiente de esta cruza tenga flores rojas es .75. Sea x el número de plantas con pétalos rojos que resulte de 10 semillas de esta cruza que se recolectaron y germinaron.
a. ¿La variable aleatoria x tiene una distribución binomial? Si no es así, ¿por qué no? Si es así, ¿cuáles son los valores de n y p? La variable aleatoria x, que es el número de plantas con pétalos rojos, tiene una distribución binomial con n = 10 y p = P [pétalos rojos] = 0.75.
b. Encuentre P ( x >=9). Usando la formula Binomial queda de la siguiente manera:
≥ 9 = 0.750.25 + 0.750.25 = 0.1877 +0.0563 = 0.2440 c. Encuentre P ( x<= 1).
≤ 9 = 0.750.25 + 0.750.25 = 0.0000953 +0.00286 = 0.0000297 d. ¿Sería inusual observar una planta con pétalos rojos y las nueve plantas restantes con pétalos entreverados? Si realmente se presentan estos resultados, ¿qué conclusiones podrían sacar? Consultando la parte c. La probabilidad de observar x = 1 o algo más improbable (x = 0) es muy pequeño 0.0000296. Este es un evento altamente improbable si
= 0,75. Tal vez haya habido una elección no aleatoria de las semillas, o la cifra del 75% de la figura no es correcta para esta cruz genética en particular.
5.79. Cintas de video defectuosas. Un fabricante de cintas de video las envía en lotes de 1200 cintas por lote. Antes de un envío, se seleccionan al
azar 20 cintas de cada lote y se prueban. Si ninguna es defectuosa, el lote es enviado. Si una o más son defectuosas, todas las cintas del lote se prueban. a. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para x, el número de cintas defectuosas en la muestra de 20? R// La distribución de x es actualmente hipergeométrica, con N=1200, n=20 y M=Numero de defectuosos en el lote. Sin embargo, dado que N es tan grande en comparación con n, la distribución de x puede ser muy aproximada por la distribución binomial con n=20 y p=P[defectuoso]. b. ¿Qué distribución se puede usar para aproximar probabilidades para la variable aleatoria x del inciso a)? Si p es pequeño, con np<7, se puede utilizar la aproximación de Poisson. c. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea enviado si contiene 10 cintas defectuosas? ¿20 defectuosas? ¿30 defectuosas? Si existen 10 defectuosos en lote, entonces p=10/1200=0.008333 y µ=np= 20*0.008333= 0,1667. La probabilidad de que el lote se envíe es:
−. 0.1667 = 0 = = 0.85 0! Si existen 20 defectuosos, p=20/1200=0.0166666667 y µ=0.3333. Entonces:
−. 0.3333 = 0 = = 0.72 0! Si existen 30 defectuosos, p=30/1200=0.025 y µ=0.5. Entonces:
−. 0.5 = 0 = 0! = 0.61 5.83 La prueba del triángulo. Un procedimiento que se usa con frecuencia para controlar la calidad de productos alimenticios de marca utiliza un panel de cinco “probadores”. Cada miembro del panel prueba tres muestras, dos de las cuales son de lotes del producto que se sabe tiene el
sabor deseado y la otra proviene del último lote. Cada probador selecciona la muestra que es diferente de las otras dos. Suponga que el último lote tiene el sabor deseado y que no hay comunicación entre los probadores. a) Si el último lote tiene el mismo sabor que los otros dos lotes, ¿cuál es la probabilidad de que el probador lo escoja como el que es diferente?
La variable aleatoria x es el número de probadores que seleccionan la muestra correcta, estos tienen una distribución binomial con n=5 y, si no hay diferencia en el sabor de las tres muestras. La probabilidad de que el probador seleccione la muestra correcta es de:
= 13 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los probadores escoja el último lote como diferente? La probabilidad de que exactamente uno de los probadores escoja el último lote como diferente es:
2 1 = 1 = (3) (3) = 0.3292 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los probadores escoja el último lote como el diferente?
≤ 1 = 1 = 0 2 1 = 0 = (3) (3) = 0.1316 ≤ 1 = 1 0.1316 ≤ 1 = 0.8683 5.87 Descomposturas de máquinas En una planta de procesamiento y empaque de alimentos, en promedio, dos máquinas se descomponen por semana. Suponga que las descomposturas semanales de máquinas siguen una distribución de Poisson.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya descomposturas de máquinas en una semana determinada? La variable aleatoria x tiene una distribución de poisson con p = 2. La probabilidad de la maquina este en descompostura en una semana es la siguiente.
b. Calcule la probabilidad de que no haya más de dos descomposturas de máquinas en una semana determinada. Para calcular la Probabilidades de que no haya más de dos descomposturas de las maquinas en una semana utilice Poisson.
la fórmula de probabilidad binomial y
