Estadística Administrativa I. Unidad V Prueba de hipótesis

5.1 Hipótesis estadísticas.
Conceptos generales.
Estadística Administrativa Unidad V Prueba de hipótesis
5.3 Pruebas unilaterales y bilaterales
Se pueden presentar dos tipos de pruebas de hipótesis que son:
1. De dos colas, o bilateral.
2. De una cola, o unilateral.
Este último puede ser de cola derecha o izquierda. La hipótesis es una afirmación sobre un parámetro de la población, como la media, la varianza o la desviación estándar. La hipótesis inicial que se define sobre la población se llama hipótesis nula; pero si rechazamos esa hipótesis nula debemos tener una hipótesis alternativa, la cual tomaremos si la hipótesis inicial o nula es falsa.
El proceso de revisión de la hipótesis para determinar si se considera Verdadera o falsa se llama Prueba de Hipótesis. Una prueba de hipótesis es una regla que especifica
1. Para que valores de la muestra se toma la decisión de que 0 es verdadera.
2. Para que valores de la muestra se rechaza 0 y se acepta 1 como verdadera
Ejemplos
1.- Una cadena de comida rápida construirá una nueva sucursal en una determinada localidad. Pero solamente si a ciertas horas pasan por la localidad más de 200 automóviles por hora. En 20 horas que se muestrearon de manera aleatoria durante el horario designado, el numero promedio de automóviles que pasaron por la localidades =208.5 y s=30.0 se supone que la población estadística es aproximadamente normal. La administración de la cadena adopto con un criterio conservador la hipótesis alternativa 1: >200. Con un nivel de significancia de 5%.
Datos:

0: =200 1: 200
n= 200
= 208.5
s=30
= .05
gl= n-1=20-1=19
t=1.729

= =30 26=6.70

= 0 =208.5 2006.70=1.26

No se rechaza la hipótesis nula ; por que entra dentro de la aceptación.
2.- El peso en libras de una muestra aleatoria de bebes de 6 meses siguen una distribución normal con una desviación de 1.21 horas. Según se ha establecido, en promedio un bebe de esa edad debe pesar alrededor de 14 libras. Un pediatra sin embargo considera que ahora los bebes han variado su peso y para ello ha considerado el peso de 100 bebes de esa edad obteniendo un peso promedio de 14.3 libras. Con un nivel de confianza del 5% pruebe si el pediatra tiene razón en lo planteado.
Datos:
0:14
n= 100
= 14.3
s=30
= .05
=1.21

= 0 =14.3 141.21 100=2.5

T .975(99)= 1.98 o como n >30
z.975=1.96

2.5 es mayor que 1.96 se concluye con un nivel de significancia del .05 que el peso promedio de un bebe ha variado según las pruebas disponibles.
5.4 Prueba de una hipótesis: referente a la media con varianza desconocida utilizando la distribución normal y "t" student.
1.- La Comisión Federal de Electricidad publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal.
Datos:

0: =46
1: <46
n= 200
= 42
s=11.9
= .05/2=.025 valor t=-1.796
gl= n-1=12-1=11

= =11.9 12=3.43

= 0 =42 463.43=1.26

0:
ñ 46
Ejemplos
2.- Una revista de negocios desea clasificar los aeropuertos internacionales de acuerdo con una evaluación hecha por la población de viajeros de negocios. Se usa una escala de valuación que va desde un mínimo de 0 hasta un máximo de 10, y aquellos aeropuertos que obtengan una media mayor que 7 serán considerados como aeropuertos de servicio superior. Para obtener datos de evaluación, el personal de la revista entrevista una muestra de 60 viajeros de negocios de cada aeropuerto. En la muestra tomada en el aeropuerto Heathrow de Londres la media muestral es ̅= 7.25 y la desviación estándar es s=1.052. De acuerdo con estos datos muéstrales. ¿Deberá ser designado el aeropuerto de Londres como un aeropuerto de servicio superior?
Datos:

0: =7
1: <7
n= 60
= 7.25
s=1.052
= .05
gl= n-1=60-1=59

= =1.052 60=.135

= 0 =7.25 731.35=1.84

0: y se concluye que Heathrow se debe considerar como aeropuerto
de servicio superior.
2.-El fabricante de un nuevo automóvil compacto asegura que el vehículo da un rendimiento promedio de por lo menos 35 millas por galón en carretera en condiciones normales. En 40 corridas de prueba el automóvil tuvo un rendimiento promedió de 34.5 millas por galón, y la desviación estándar fue de 23 millas por galón¿ puede rechazarse la afirmación del fabricante con un nivel de significancia de 5%?

Datos:
0= =35
n= 40
=34.5
= 5%
= 23

Z= 952=.475=1.96

= =23 40=1.36

Z=34.5 350.36= 0.50.36= 1.38

1.- Se encuentra que el monto medio de las ventas al menudeo, por plaza, de un determinado producto durante el año fue de = $ 3425 en una muestra de n=25 tiendas. Con base en los datos de ventas de otros productos similares, se supone que la distribución de las ventas es normal y que la desviación estándar poblacional es σ= 200. Suponga que se asegura que el verdadero monto de las ventas por sucursal es cuando menos de $ 3500. Pruebe esta aseveración con un nivel de significancia de a) 5% y b) 1%.
0= =3500 = =200 25=40
a) = 952=.477=1.96 b) = 992=.495=2.57
CR=3500 ± 1.9640 CR=3500 ±2.5740
=3500+78.4=3578.4 =3500+102.8=3602.8
=3500 78.4=3421.6 =3500 102.8=3397.2

Ejemplos
La probabilidad máxima de error tipo I se designa con la letra griega alfa. Esta probabilidad es siempre igual al nivel de significancia que se usa para probar la hipótesis nula. Esto se debe a que por definición la proporción de área en la región de rechazo es igual a la proporción de resultados muéstrales que se darían en esa región dado que la hipótesis nula fuera verdadera.

Una hipótesis puede definirse como una solución provisional (tentativa) para un problema dado.
El nivel de verdad que se le asigne a tal hipótesis dependerá de la medida en que los datos empíricos recogidos apoyen lo afirmado en la hipótesis.

Este proceso puede realizarse de uno o dos modos: mediante confirmación (para las hipótesis universales) o mediante verificación (para las hipótesis existenciales).
Concepto
En un trabajo de investigación se plantean dos hipótesis mutuamente excluyentes: la hipótesis nula o hipótesis de nulidad y la hipótesis de investigación. Además, es posible plantear hipótesis alternas o hipótesis alternativas.

El análisis estadístico de los datos servirá para determinar si se puede o no aceptar.
Hipótesis de investigación
Son proposiciones tentativas acerca de las posibles relaciones entre dos o más variables. Se les suele simbolizar como Hi o H1, H2, H3. etc. (si son varias) y también se les denomina hipótesis de trabajo u operacionales).
La hipótesis de investigación indica el tipo de relación que se espera encontrar:
Describe alguna o algunas propiedades de la relación entre A y B.
El primer elemento A es la causa del segundo B.
Cuando se presenta esto (A), entonces sucede aquello (B).
Cuando esto sí, A, entonces aquello no, B.

Hipótesis nula
Para todo tipo de investigación en la que tenemos dos o más grupos, se establecerá una hipótesis nula. La hipótesis nula es aquella que nos dice que no existen diferencias significativas entre los grupos.
Las hipótesis nulas son, en un sentido, el reverso de las hipótesis de investigación. También constituyen proposiciones acerca de la relación entre variables solamente que sirven para refutar o negar lo que afirma la hipótesis de investigación. Por ejemplo, si la hipótesis de investigación propone: "Los adolescentes le atribuyen más importancia al atractivo físico en sus relaciones heterosexuales que las mujeres", la nula postularía:
"Los jóvenes no le atribuyen más importancia al atractivo físico en sus relaciones heterosexuales que las adolescentes".
Propósito de la prueba de hipótesis
Es determinar si el valor supuesto (hipotético de un parámetro poblacional, como la medida de la población, debe aceptarse como verosímil con base en evidencia muéstrales. Recuerda que sobre la distribución de muestreo, se dijo que, en general, una media muestral diferirá en valor de la media poblacional. Si el valor observado de una estadística muestral, como la media muestral, el valor de la media poblacional.
5.2 ERRORES TIPO I Y TIPO II
Bibliografía
*http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2011.014.pdf
*https://es.scribd.com/doc/59295973/Estadistica-unidad-5
*Castillo Manrique, Isabel (2006). Estadística descriptiva y cálculo de
probabilidades. México: Pearson Educación
5.5 Dos muestras: pruebas sobre dos medias utilizando la distribución normal y "t" student.
2.- Supongamos que las calificaciones de una prueba están distribuidas normalmente con una media de 100. Ahora supongamos que seleccionamos 20 estudiantes y les hacemos un examen. La desviación estándar de la muestra es de 15. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio en el grupo de muestra sea cuando más 110?
Datos:
̅=110
n=20
=15
µ=100
= =110 1001520=2.98

Usando estos valores en el Calculador de valor t nos da un resultado de probabilidad acumulada de 0.996. Esto implica que hay una probabilidad de 99.6% de que el promedio en la muestra sea no mayor de 110.
La media y desviación estándar es la muestra de valores se obtiene por medio de la aplicación de las fórmulas básicas, excepto que es sustituida por . La diferencia media de un conjunto de diferencias entre observaciones apareadas es:
=
La fórmula de desviaciones y la fórmula de cálculo para la desviación estándar de las diferencias entre observaciones apareadas son, respectivamente:
= 2 1 = 2 2 1
El error estándar de la diferencia media entre observaciones apareadas se obtiene por medio de la formula. Para el error estándar de la media, excepto que es sustituida de nueva cuenta por :
=
La estadística de prueba empleada para probar la hipótesis de que no existe diferencia entre las medias de un conjunto de las medias de un conjunto de observaciones apareadas es:
=

1.- Un balneario de aguas curativas anuncia un programa de reducción de peso y afirma que el participante promedio pierde más de 6 kilos. En la siguiente tabla se muestra el resultado en 10 personas, cuál sería su decisión con nivel de significación del 1%

Ejemplos

Antes
Después
1
85.9
77.2
2
91.8
86.4
3
100
96.8
4
94.1
87.3
5
88.2
81.8
6
80.4
73.2
7
87.7
79.0
8
91.8
85
9
94.5
84.5
10
105.9
92.7
Sea la media poblacional de la pérdida de peso después del programa. Las hipótesis a contrastar serán las siguientes:

0: =6
: >6

Se rechaza 0 0 > 1 ( 1)

Antes
Después
d

1
85.9
77.2
8.7
75.69
2
91.8
86.4
5.4
29.16
3
100
96.8
3.2
10.24
4
94.1
87.3
6.8
46.24
5
88.2
81.8
6.4
40.96
6
80.4
73.2
7.2
51.84
7
87.7
79.0
8.7
75.69
8
91.8
85
6.8
46.24
9
94.5
84.5
10
100
10
105.9
92.7
13.2
174.24

SUMA
76.4
650.3

Antes
Después
d

1
85.9
77.2
8.7
75.69
2
91.8
86.4
5.4
29.16
3
100
96.8
3.2
10.24
4
94.1
87.3
6.8
46.24
5
88.2
81.8
6.4
40.96
6
80.4
73.2
7.2
51.84
7
87.7
79.0
8.7
75.69
8
91.8
85
6.8
46.24
9
94.5
84.5
10
100
10
105.9
92.7
13.2
174.24

SUMA
76.4
650.3
Como 1.9 no supera al percentil (2,821) entonces no se rechaza H0. O sea, que no hay evidencias suficientes para aceptar la hipótesis de que la pérdida de peso después del programa es superior a 6 kg.
=76.410=7.64

2 = 2 2 1=650.3 107.64210 1=7.4

=7.4=2.72

0 =7.64 62.72 10=1.64.86=1.9

1 1= .999=2.821

2.- Un fabricante de automóviles recolecta datos sobre millaje de = autos de diversas categorías de peso usando gasolina de calidad estándar con y sin cierto aditivo. Por supuesto, los motores 94 fueron ajustados a las mismas especificaciones antes de cada corrida, y los mismos conductores sirvieron para los dos casos de gasolina (aunque no se les hizo saber que gasolina se usaba en una corrida en particular). Dados los datos de millaje en la tabla, probamos la hipótesis de que no existe diferencia entre el millaje medio obtenido con y sin el aditivo, empleando el nivel de significancia del 5% y se resuelve de la siguiente manera:
Datos:
= . / = .
r = . / = .
=

( = , = . ) = ± . 2
n=10
= =1.710=0.17

= 2 2 1=1.31 100.17210 1=0.337

= =0.337 10=0.107

= =0.170.107=1.59

Automóvil
Millaje con aditivo
Millaje sin aditivo
d

1
36.7
36.2
0.5
0.25
2
35.8
35.7
0.1
0.01
3
31.9
32.3
-0.4
0.16
4
29.3
29.6
-0.3
0.09
5
28.4
28.1
0.3
0.09
6
25.7
25.8
-0.1
0.01
7
24.2
23.9
0.3
0.09
8
22.6
22.0
0.6
0.36
9
21.9
21.5
0.4
0.16
10
20.3
20.0
0.3
0.09
total
276.8
275.1
1.7
1.31
Automóvil
Millaje con aditivo
Millaje sin aditivo
d

1
36.7
36.2
0.5
0.25
2
35.8
35.7
0.1
0.01
3
31.9
32.3
-0.4
0.16
4
29.3
29.6
-0.3
0.09
5
28.4
28.1
0.3
0.09
6
25.7
25.8
-0.1
0.01
7
24.2
23.9
0.3
0.09
8
22.6
22.0
0.6
0.36
9
21.9
21.5
0.4
0.16
10
20.3
20.0
0.3
0.09
total
276.8
275.1
1.7
1.31
Video tutoriales
Tema
Link
5.2
https://www.youtube.com/watch?v=hnh0NQ_HlOU
5.3
https://www.youtube.com/watch?v=Dst7Pz3gMl4
5.4
https://www.youtube.com/watch?v=nIs0ZEZOrLM
5.5
https://www.youtube.com/watch?v=64v6qJIggvo
5.6
https://www.youtube.com/watch?v=8kPidg4QBb8
5.7
https://www.youtube.com/watch?v=NPuP454QmcM
5.8
https://www.youtube.com/watch?v=ThHwK6-jKZQ

En muchas situaciones las muestras se recolectan como pares de valores, como cuando se determina el nivel de productividad de cada trabajador después de un curso de capacitación. Estos valores se llaman observaciones apareadas o pares asociados mismos y a diferencia de las muestras independientes, dos muestras que contienen observaciones apareadas se llaman .

En el caso de observaciones apareadas, el método apropiado para probar la diferencia entre las medias de dos muestra consiste en determinar primero la diferencia entre cada par de valores, para después probar la hipótesis nula de que la poblacional media es .Así, desde el punto de vista de los cálculos de la prueba se aplica a muestra de valores , : = 0
5.8 Dos muestras: pruebas pareadas.
3.- Se realizó una encuesta en dos poblaciones para saber el índice de personas solteras en dos estados de la república y los resultados fueron los siguientes
Datos:
1= 60 2 = 50
1= .48 2= .60
0: ( 1 2) = 0
1: (π1 π2) 0
= 0.05

= 1 1+ 2 2 1+ 2=60(0.48)+500.6060+50=0.53

= 1 2 1 2=0.48 0.600.095= 1.26

Se acepta la hipótesis nula que establece que no hay diferencia en el nivel de personas solteras en las poblaciones.
1 2= (1 ) 1+ (1 ) 2=

=(0.53)(0.47)60+(0.53)(0.47)50=0.095

5.6 Una muestra prueba sobre una
sola proporción.
1.- Se plantea la hipótesis de que no más del 5% de las refacciones que se fabrican en una empresa manufactura tienen defectos. Para una muestra aleatoria de = 200 refacciones, se encuentran que 30 están defectuosas. Prueba la hipótesis nula al 5% del nivel de significancia.
Datos:
0: 0.05
1: > 0.05
Z critica (α=0.05)=+1.645
n=200
Ejemplos
El valor calculado de z de 3.33 es mayor que el valor critico de 1.645 para esta prueba del extremo superior. Por lo tanto, como se encuentran 30 refacciones defectuosas en el lote de 200, se rechaza la hipótesis de que la proporción de artículos defectuosos en la población es de 5% o menor, utilizando el nivel de significancia al 5% en la prueba.
= 0(1 0) =(0.05)(0.95)200=0.015

= 0 =0.10 0.050.015=3.33

La compañía USALUZ produce focos. El presidente de la Cía. dice que uno de sus focos dura 300 días. Entonces la competencia va a varios supermercados y compra 15 focos para probar. Los focos de la muestra duran en promedio 290 días con una desviación estándar de 50 días. Entonces, si quieren desmentir al presidente de USALUZ necesita saber cuál es la probabilidad de que 15 focos seleccionados al azar tengan una vida promedio no mayor de 290 días. La solución de este tipo de problemas requiere calcular el valor t basado en los datos y después usar una tabla de distribución t para encontrar la probabilidad de forma similar a lo que hicimos con la distribución normal.
Datos:
=290
n=15
=50
µ=300

Ejemplos
Donde es la media de la muestra, µ la media de la población, es la desviación estándar de la muestra y n el tamaño de la muestra.

= =290 3005015= .774

2.- Se plantea la hipótesis de que no más del 5% de las refacciones que se fabrican en proceso de manufactura tienen defectos. Para una muestra aleatoria de = 100 refacciones, se encuentran que 10 están defectuosas. Prueba la hipótesis nula al 5% del nivel de significancia.
Datos:
0: 0.05
1: > 0.05
Z critica (α=0.05)=+1.645
n=100

= 0(1 0) =(0.05)(0.95)100=0.022

= 0 =0.10 0.050.022=2.27

El valor calculado de z de 2.27 es mayor que el valor critico de + 1.645 para esta prueba del extremo superior. Por lo tanto, como se encuentran 10 refacciones defectuosas en el lote de 100, se rechaza la hipótesis de que la proporción de artículos defectuosos en la población es de 0.05 o menor, utilizando el nivel de significancia el 5% en la prueba.
1.- Un fabricante está evaluando dos tipos de equipo para fabricar un artículo. Se obtiene una muestra aleatoria de n1 = 50 para la primera marca de equipo y se encuentra que 5 de ellos tiene defectos. Se obtiene una muestra aleatoria de n2 = 80 para la segunda marca y se encuentra que 6 de ellos tienen defectos. La tasa de fabricación es la misma para las dos marcas. Sin embargo, como la primera cuesta bastante menos, el fabricante le otorga a esa marca el beneficio de la duda y plantea la hipótesis H0:π1 π2. Pruebe la hipótesis en el nivel de significancia del 5%.
Ejemplos
Datos:
1= 50 2 = 80
1= .10 2= .075
0: ( 1 2) 0
1: (π1 π2) > 0
= ( = 0.05) = 1.645

= 1 1+ 2 2 1+ 2=50(0.10)+800.07550+80=0.085

El valor calculado de z de 0.49 no es mayor que 1.645 para esta prueba del extremo superior. Por ello, no puede rechazarse la hipótesis nula en el nivel de significancia del 5%.
1 2= (1 ) 1+ (1 ) 2=

=(0.085)(0.915)50+(0.085)(0.915)80=0.051

= 1 2 1 2=0.10 0.0750.051=0.49

2.- Se desea saber si existe una diferencia de proporciones entre los alumnos que reprobaron la materia de física de las escuelas Ignacio Ramírez Y Venustiano Carranza la encuesta se realiza a 70 alumnos de la primera escuela de los cuales el 58% dijo haber reprobado y a 60 alumnos de la segunda escuela y de estos el 70% reprobó.
a) Establecer la hipótesis nula y alternativa.
b) Establecer se rechaza o se acepta la hipótesis con un nivel de
significancia del 5%.
Datos:
1= 70 2 = 60
1= .58 2= .70
0: ( 1 2) = 0
1: (π1 π2) 0
= ( = 5%) = 1- 0.95=.4720=1.96

= 1 1+ 2 2 1+ 2=70(0.58)+600.7070+60=0.63

1 2= (1 ) 1+ (1 ) 2=

=(0.63)(0.37)70+(0.63)(0.37)60=0.084

= 1 2 1 2=0.58 0.700.084= 1.42

Se acepta la hipótesis nula de que no hay deferencia en el nivel de reprobados de las dos escuelas.
5.7 Dos muestras: prueba sobre dos proporciones.
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