Estadística II Unidad IV
PRUEBA DE HIPÓTESIS
4.1Elementos de una prueba de hipótesis 4.2 Error tipo I Y tipo II 4.3 Prueba de hipótesis sobre medias y diferencias de medias en muestras pequeñas y randes 4.4 Pruebas de hipótesis sobre proporciones y diferencias de proporciones en muestras pequeñas y randes 4.! Pruebas de hipótesis sobre des"iación est#ndar
4.1 Elementos de una pue!a de "ip#tesis
1
$tra manera de hacer inferencia es haciendo una afirmación acerca del "alor que el par#metro de la población ba%o estudio puede tomar. Esta afirmación puede estar basada en aluna creencia o e&periencia pasada que ser# contrastada con la e"idencia que nosotros obtenamos a tra"'s de la información contenida en la muestra. Esto es a lo que llamamos Pue!a
de Hip#tesis Hip#tesis$ Es una suposición acerca del "alor de un par#metro de una población con el propósito de discutir su "alide(. E%emplo de hipótesis acerca de un par#metro de una población son) El sueldo promedio de un profesional asciende a *2+,2!. El "einte por ciento de los consumidores utili(a aceite de oli"a
Pue!a de "ip#tesis$ es un procedimiento+ basado en la e"idencia de la muestra y en la teor-a de las probabilidades+ usado para determinar si la hipótesis es una afirmación ra(onable y deber-a no ser recha(ada o si no es ra(onable deber-a ser recha(ada. na prueba de hipótesis comprende cuatro elementos principales)
1. %. &. 4.
/ipótesis 0ula /ipótesis lternati"a Estad-stica de Prueba eión de echa(o
a "ip#tesis nulaH'+ es la primera de dos opuestas en una prueba de hipótesis. Es una descripción del estado de cosas en un momento dado status quo 5 de sabidur-a con"encional+ de lo que las personas han pensado durante mucho tiempo que es cierto. 6i la /7+ se corrobora en una prueba de hipótesis+ no es necesario tomar ninuna acción. a Hip#tesis (ula + denotada como /7 siempre especifica un solo "alor del par#metro de la población si la hipótesis es simple o un con%unto de "alores si es compuesta es lo que queremos desacreditar5.
a "ip#tesis altenati)aH1+ es la seunda de dos opuestas en una prueba de hipótesis. Es un medio para hacer ase"eraciones sorprendentes que contradicen la sabidur-a con"encional. 6i la /7+ no se puede corroborar en una prueba de hipótesis+ /1se acepta tentati"amente y esto requiere iniciar una acción. Por lo tanto+ se puede considerar a la /1 como la hipótesis de acción. a Hip#tesis Altenati)a + denotada como /1 es la que responde nuestra preunta+ la que se establece en base a la e"idencia que tenemos. Puede tener cuatro formas)
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a Estadística de Pue!a es una estad-stica que se deri"a del estimador puntual del par#metro que estemos probando y en ella basamos nuestra decisión acerca de si recha(ar o no recha(ar la /ipótesis 0ula. El Estadístico de pue!a$ Es un "alor+ determinado a partir de la información de la muestra+ usado para decidir si recha(ar o no la hipótesis nula. a Re*i#n de Rec"a+o$ es el con%unto de "alores tales que si la prueba estad-stica cae dentro de este rano+ decidimos recha(ar la /ipótesis 0ula El )alo cítico) Es el punto que di"ide la reión entre el luar en el que la hipótesis nula es recha(ada y la reión donde la hipótesis nula es no recha(ada.
E,emplo$ Estable(ca las dos hipótesis para cada una de las situaciones siuientes)
1. n fabricante+ utili(a l#minas de aluminio para la elaboración de la latas pararefrescos aseura que 'stas tienen 1 mil-metro de espesor en promedio.
Soluci#n$ %. n fabricante de "arillas de acero especial que son utili(adas en la construcción de edificios muy altos aseura que 'stas poseen una resistencia promedio a la tracción de al menos 2777 libras.
Soluci#n$ Etapas !-sicas en pue!as de "ip#tesis 1. %. &. 4.
8ormular dos hipótesis opuestas. 6eleccionar un estad-stico de prueba. 9eri"ar una rela de decisión. :omar una muestra+ calcular el estad-stico de prueba y confrontarlo con larela de decisión.
Paso 1$ omulaci#n de dos "ip#tesis opuestas El primer paso para probar una hipótesis es siempre formular dos hipótesisopuestas+ que sean mutuamente e&cluyentes y+ tambi'n colecti"amentee&hausti"as+ del e&perimento que estemos e"aluando. ;ada una de estashipótesis complementarias es una proposición sobre un par#metro de lapoblación tal que la "erdad de una implique la falsedad de la otra. a primerahipótesis del con%unto+ simboli(ada por /7+ se denomina "ip#tesis nula/ laseunda+ simboli(ada por /1 o bien por /a+ es la "ip#tesis altenati)a.
Paso %$ Selecci#n de un estadístico de pue!a 3
El seundo paso para probar una hipótesis es la selección de un estad-stico deprueba. n estadístico de pue!a es aquel calculado con base en una solamuestra aleatoria simple tomada de la población de inter's< en una prueba dehipótesis sir"e para establecer la "erdad o falsedad de la hipótesis nula.
Paso &$ Dei)aci#n de una e*la de decisi#n na "e( que hemos formulado de manera apropiada las dos hipótesis opuestas y seleccionado el tipo de estad-stico con qu' probarlas+ el paso siuiente en laprueba de hipótesis es la deri"ación de una rela de decisión)na e*la de decisi#n es una rela para pue!a de "ip#tesis que nospermite determinar si la hipótesis nula debe ser aceptada o si debe serec"a+ada a fa"or de la alternati"a. 6e dice que los "alores num'ricos del estad-stico de prueba para los que /7+ es aceptada+ es decir+ est#n en la e*i#n de aceptaci#n y sonconsiderados no si*ni0icati)os estadísticamente. Por el contrario+ si el "alor num'rico del estad-stico de prueba seencuentra en la reión de recha(o+ esto aconse%a que la hipótesis alternati"asustituya a la desacreditada hipótesis nula< entonces este "alor es considerado estad-sticamente sinificati"o. Es importante notar que la aceptación o recha(o se refiere a la hipótesisnula / 7.
Paso 4$ Toma de una muesta c-lculo del estadístico de pue!a 2con0ontaci#n con la e*la de decisi#n. El paso final en la prueba de hipótesis requiere) a5 6eleccionar una muestra aleatoria simple de tamaño n de la población deinter's+ b5 ;alcular el "alor real opuesto al cr-tico5 del estad-stico de pruebaseleccionado en el paso 25. c5 ;onfrontar con la rela de decisión deri"ada en el paso 35.
Tipos de pue!as de "ip#tesis as pruebas de hipótesis se clasifican como dieccionales o no dieccionales+dependiendo de cuando la hipótesis nula in"olucra o no el sino de iualdad=5. 6i la afirmación de /7contiene el sino de iualdad+ entonces la prueba sellama no direccional mientras que si tal afirmación no contiene el sino deiualdad esto es+ si in"olucra los sinos menor o mayor que5+ entonces laprueba se llama direccional. as pruebas no direccionales se llaman tambi'n pue!as de dos colas o !ilateal y las direccionales se nombran pruebas de una cola. 4
En la pr#ctica la pue!a !ilateal se utili(a siempre que la di"erencia de ambas direcciones sea cr-tica+ como podr# ser el caso de la fabricación de ropa+donde las camisas que sean demasiado randes o demasiado pequeñas conrespecto a la talla marcada espec-fica. $tro e%emplo+ un tornillo que tiene queembonar o a%ust ar perfectamente y e&iste un ra"e problema si es m#s randeo m#s pequeño.
Prueba bilateral s-+ si la afirmación de /7 contiene el s-mbolo 3˃+ entonces la prueba se llama pue!a dieccional o unilateal de cola deec"a y puede ser >til cuando est#ndares m#&imos no deben ser rebasados. Por e%emplo+ la cantidad de rasa permitida en la leche descremada+ la radiación emitida por estaciones nucleares+ el n>mero de art-culos defectuosos en embarque y el rado de contaminación producido por una chimenea.
;ola derecha Por el contrario 6i la afirmación de /7tiene el s-mbolo 3˂+ entonces la prueba se denomina pue!a dieccional o unilateal de cola i+5uieda y es >til cuando se quiere obser"ar si se ha cumplido un est#ndar m-nimo. lunos e%emplos) m-nimo de rasa en la leche entera+ el peso neto de productos empacados+ la tensión de los cinturones de seuridad+ la "ida >til de un producto+ se>n lo especificado por la arant-a.
;ola i(quierda na hipótesis altenati)a o de in)esti*aci#n+ denotada con /1+ es un enunciado acerca de la población. a hipótesis nula+ denotada con /7+ es la neación de la hipótesis alternati"a /1. a
5
estrateia b#sica en las pruebas de hipótesis es tratar de apoyar la hipótesis alternati"a 3contadiciendo la hipótesis nula.
A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E. In"estiar dos e%emplos de prueba hipótesis+ indicando su /ipótesis 0ula /7 y su /ipótesis lternati"a /1.
4.% Eo tipo I 9 tipo II ;omo las conclusiones a las que lleuemos se basan en una muestra+ hay posibilidades de que nos equi"oquemos. Dos decisiones coectas son posi!les$
echa(ar /7cuando es falsa. 0o echa(ar /7cuando es "erdadera. Dos decisiones incoectas son posi!les$
echa(ar /7 cuando es "erdadera. 0o echa(ar /7cuando es falsa.
Eo tipo I En una prueba estad-stica+ recha(ar la hipótesis nula cuando 'sta es "erdadera se denomina eo tipo I Y a la probabilidad de cometer un error tipo I se le asina el s-mbolo riea alfa5 6
letra
a probabilidad de aumenta o disminuye a medida que aumenta o disminuye el tamaño de la reión de recha(o. Entonces+ ?por qu' no se disminuye el tamaño de la reión de recha(o para hacer tan pequeña como sea posible@ 9esraciadamente+ al disminuir el "alor de aumenta la probabilidad de no recha(ar la hipótesis nula cuando 'sta es falsa y aluna hipótesis alternati"a es "erdadera. umenta entonces la probabilidad de cometer el llamado error de tipo II+ el cual ser# e&plicado m#s adelante+ para una prueba estad-stica.
E,emplo$ n fabricante de "arillas de acero especial que son utili(adas en la construcción de edificios muy altos ha contratado a un estadista para que pruebe si sus "arillas ciertamente tienen un promedio de resistencia a la tensión de al menos 2777 libras ?;u#les son las implicaciones si el ni"el de sinificancia de la prueba de hipótesis se fi%a en) = 7.7A@
Soluci#n$ 9adas las hipótesis) El procedimiento aseura aunque cuando las "arillas tenan un promedio deresistencia a la tensión de 2777 libras o m#s+ en el AB de todas las pruebas laconclusión ser# lo contrario.
Eo tipo II En una prueba estad-stica+ aceptar la hipótesis nula cuando 'sta es falsa se denomina eo
tipo II. la probabilidad de cometer un error de tipo II se le asina el s-mbolo
letra riea beta5.
Para un tamaño de muestra fi%o+ y est#n in"ersamente relacionados< al aumentar uno el otro disminuye. El aumento del tamaño de muestra produce mayor información sobre la cual puede basarse la decisión. En una situación e&perimental+ las probabilidades de los errores de tipo I y II para una prueba miden el rieso de tomar una decisión incorrecta. El e&perimentador selecciona los "alores de estas probabilidades y la reión de recha(o y el tamaño de muestra se escoen de acuerdo con ellas.
E,emplo$ El fabricante de computadoras ha contratado a un estadista para probar si el ensamble de una computadora toma un promedio de al menos !7 minutos. ?;u#les son las implicaciones si el rieso de la prueba es iual a 7.2@
Soluci#n$
7
9adas las hipótesis) El procedimiento aseura que si el tiempo de ensamble en efecto promedia m#sde !7 minutos+ en el 27B de todas las pruebas la conclusión ser# lo contrario.6in embaro+ en el A7B de dichas pruebas este tipo de error se e"ita+ lo queindica la potencia de la pue!a . :abla de tipos de errores en una prueba de hipótesis.
H' Vedadea Rec"a+amos H' (o ec"a+amos H'
Error tipo I Perror tipo I5 = 9esición correcta
H' alsa 9esición correcta Error tipo II Perror tipo II5 =
a Probabilidad de cometer un error :ipo I se conoce como (i)el de Si*ni0icancia + se denota como a y es el tamaño de la reión de recha(o. El complemento de la reión de recha(o es 1C 6on0ian+a .
y es conocido como el 6oe0iciente de
En una prueba de /ipótesis de dos colas la reión de no recha(o corresponde a un inter"alo de confian(a para el par#metro en cuestión.
(i)el de si*ni0icancia El ni"el de sinificancia o sinificación es la probabilidad de cometer un errortipo I+ es decir+ el "alor que se le asina a .
Potencia de la pue!a Es posible determinar la probabilidad asociada con tomar una decisión correcta no recha(ar /7 cuando es "erdadera o recha(arla cuando es falsa. a probabilidad de no recha(ar /7cuando es "erdadera es iual a 1C notando que)
. Esto se puede demostrar
Precha(ar /7 cuando es "erdadera5 D Pno recha(ar /7 cuando es "erdadera5 = 1 ;omo Precha(ar /7 cuando es "erdadera5 =
+
tenemos) Pno recha(ar /7 cuando es "erdadera5 = 1C 0ote que la probabilidad de no recha(ar /7 cuando es "erdadera es el ni)el de con0ian+a 1C
8
a probabilidad de recha(ar cuando es falsa es iual a 1C
. Esto se puede demostrar notando que)
Precha(ar /7 cuando es falsa5 D Pno recha(ar /7 cuando es falsa5 = 1 Pero como) Pno recha(ar /7 cuando es falsa5 =
+
tenemos) Precha(ar /7 cuando es falsa5 = 1C a probabilidad de recha(ar la hipótesis nula /7 cuando es falsa se llamapotencia de la
pue!a. Po!a!ilidades asociadas con los cuato esultados posi!les de unapue!a de "ip#tesis. Sím!olo de la po!a!ilidad
De0inici#n 0i"el de sinificancia. Error tipo I. Probabilidad de un error tipo II.
1C 1C
9
0i"el de confian(a. Probabilidad de no recha(ar /7 cuando es "erdadera. Potencia de la prueba. Probabilidad de recha(ar /7 cuando es falsa.
4.& Pue!a de "ip#tesis so!e medias 2 di0eencias de medias en muestas pe5ue:as 2 *andes /asta aqu-+ hemos "isto las dos t'cnicas cl#sicas para hacer inferencias sobre el "alor de un par#metro desconocido) la estimaci#n 2 la pue!a de "ip#tesis. na comparación de un par#metro desconocido con una constante conocida que utili(a una prueba de dos colas con un ni"el de sinificancia iuala + se puede hacer construyendo un inter"alo del ;1< =1''> de confian(apara el par#metro. 6i el "alor supuesto del par#metro est# contenido en elinter"alo de confian(a+ entonces no podemos concluir que ese par#metro seadistinto de la constante conocida.
E,emplo 1$ n laboratorio farmac'utico anuncia que una de sus tabletas para ba%ar latemperatura contiene 17 miliramos de aspirina. El estudio de una muestraaleatoria de 177 tabletas produ%o una media de 17.2 ramos y una des"iación est#ndar de 1.4. ?Podemos concluirque ni"el desinificancia del !B@
es diferente de 17 con un
esol"amos este e%emplo+ utili(ando la prueba de hipótesis)
Paso 1. Establecemos las dos hipótesis opuestas y dado que se supone que la tableta contiene 17 miliramos de aspirina entonces)
$bser"emos que+ dado que aparece el sino de iualdad en la hipótesis nula+ entonces la prueba es de dos colas no direccional5 y la reión de recha(o consiste de los "alores en las colas i(quierda y derecha de la distribución. ;omo la probabilidad de cometer un eo tipo I+ recha(ar /7 cuando
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es cierta5 es 7.7! y la reión de recha(o se ubica en ambas colas+ colocamos de la distribución en cada una de las reiones de las colas+ tal y como se indica en la siuiente fiura)
;ur"a de la distribución normal est#ndar.
En la r#fica anterior se puede apreciar las (onas de aceptación y de recha(o.
Paso %. 6eleccionar el estad-stico de prueba+ que es el "alor de ( para . 6i n=177+ la des"iación est#ndar muestral proporciona unbuen estimado para . Por lo tanto)
Paso &. 9eri"ar una rela de decisión< recha(ar /7+ si ( (7.72! ó( ˃(7.72! resulta claro al utili(ar una tabla de la distribución normal est#ndar en la que los "alores cr-ticos son) F(7.72! = F 1.G,+ tal y como se muestra en lasiuiente fiura)
(i)el de con0ian+a 7.G7 7.G! 7.GA 7.GG
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6ali0icaci#n + 7.7! 7.72! 7.71 7.77!
1.,4! 1.G, 2.33 2.!H!
Paso 4. :oma de la muestra+ c#lculo del estad-stico de prueba y confrontación del mismo con la rela de decisión) Para este caso+ tenemos que los datos son)
;onsiderando que el estad-stico de prueba es)
Entonces+ al sustituir datos en el estad-stico de prueba tenemos que)
Para finalmente al reali(ar operaciones obtenemos el "alor) ( = 1.43 y al confrontarlo con la rela de decisión finalmente "emos que) ;ur"a de la distribución normal est#ndar
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6e puede apreciar la confrontación del estad-stico de prueba con la rela dedecisión. El "alor de ( cae dentro de la (ona de aceptación+ por lo tanto+ aceptamos lahipótesis nula /7+ con lo cual concluimos que no hay e"idencia estad-stica deque sea diferente de 17. ceptar /7se interpreta como que nuestra e"idenciaes estad-sticamente sinificati"a con =!B.
(ota$ e&iste la posibilidad de cometer un error tipo II+ pues /7puede serfalsa y no la recha(amos< la probabilidad en este caso es desconocida. Enconsecuencia+ el e&perimentador debe reser"arse el %uicio sobre /7 hastaobtener m#s datos< en este caso+ la decisión es no recha(ar /7. ;omo lo di%imosantes+ esta decisión no implica que /7se acepte como "erdadera o plausible. 6olución utili(ando inte)alos de con0ian+a.6i ahora construimos un inter"alo de confian(a del G!B de confian(a para elpromedio del contenido de aspirina+ tenemos que recordar que los l-mites delinter"alo de confian(a se encuentran usando)
y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=177 y que es desconocida+ s proporciona un buen estimado de . En consecuencia los l-mites son)
Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para
es G.G3+ 17.4H5< por lotanto+ como el "alor
supuesto 17 est# contenido en el inter"alo no podemos concluir que 17 (ota ) este resultado da la misma conclusión a la quelleamos usando el procedimiento de prueba de hipótesis5. ;omo podemos obser"ar+ un inter"alo de confian(a proporciona m#sinformación que una prueba de hipótesis< con base en los datos+ pudimosrecha(ar la hipótesis nula y encontrar que el resultado 13
no ten-a importanciapr#ctica+ pero si usamos el inter"alo de confian(a correspondiente y un poco desentido com>n podemos determinar si los resultados de la prueba de hipótesisson de importancia pr#ctica.
E,emplo %$ En una muestra aleatoria de 37 "ia%es en bus entre la ciudad y la ciudad J+ se obtu"o un tiempo promedio de "ia%e de 17! minutos. a des"iación est#ndar de la población se ha estimado en A minutos. $btener un inter"alo de confian(a para el "erdadero tiempo promedio de "ia%e. tilice un ni"el de confian(a del G!B. Para este caso+ tenemos que los datos son)
0i"el de confian(a G!B
6olución utili(ando inte)alos de con0ian+a.6i ahora construimos un inter"alo de confian(a del G!B de confian(a para el promedio del contenido de aspirina+ tenemos que recordar que los l-mites del inter"alo de confian(a se encuentran usando)
y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=3, y que es desconocida+ s proporciona un buen estimado de . En consecuencia los l-mites son)
Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para
14
es 172.14+ 17H.A,5.
Resumiendo$ 1. na prueba de hipótesis puede producir resultados sinificati"os+ pero que no tenan importancia pr#ctica. %. n tamaño de muestra rande aumenta la posibilidad de recha(ar la hipótesis nula. &. n procedimiento de prueba se considera como bueno cuando tanto las probabilidades de suceso del error tipo I como del tipo II son pequeñas.
a. Pue!as de "ip#tesis ;muestas pe5ue:as= En las pruebas de hipótesis que hemos reali(ando+ se utili(ó la distribución normal est#ndar+ que es la distribución K(L+ como estad-stico de prueba. Para emplear la distribución K(L es necesario conocer la des"iación est#ndar sima5 de la población o tener una muestra rande de 37 obser"aciones por lo menos5. 6in embaro+ en muchas situaciones no se conoce sima y el n>mero de obser"aciones en la muestra es menor de 37. En estos casos+ se puede utili(ar la des"iación est#ndar de la muestra KsL como una estimación de alfa< pero no es posible usar la distribución K(L como estad-stico de prueba. El estad-stico de prueba adecuado es la t de Studento simplemente distribución t. ;uando se utili(a la t de 6tudent se supone que la población tiene una distribución normal.
A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E. 1. a duración media de una muestra de 177 tubos fluorescentes producidospor una compañ-a resulta ser de 1!H7 horas+ con una des"iación t-pica de 127 horas. 6i
es la
duración media de todos los tubos producidos por la compañ-a. ;omprobar la hipótesis =1,77 contra la hipótesis alternati"a
1,77 horas con un ni"el de sinificación de 7.7!.
%. En una muestra aleatoria de !7 tuercas+ se obtu"o una lonitud promedio de !mm. a des"iación est#ndar de la población se ha estimado en 7.72mm. $btener un inter"alo de confian(a para la lonitud promedio de las tuercas. tilice un ni"el de confian(a del G!B.
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4.4 Pue!as de "ip#tesis so!e popociones 2 di0eencias de popociones en muestas pe5ue:as 2 *andes ?uestas *andes ;onsidere una población dada con una proporción poblacional p de cierta caracter-stica y el estad-stico
asociado a p para muestras de tamaño n . ecuerde que si
y
entonces)
En una prueba de hipótesis con una proporción la hipótesis nula es de la forma
s-+ ba%o la hipótesis nula
+ si
y
entonces.
E,emplo$ n in"estiador afirma que al menos el 17B de los cascos para motocicleta marca 86:tienen defectos de fabricación que pueden pro"ocar daños a quien lo usa. na muestra aleatoria de277 cascos re"ela que 1, de ellos contienen tales defectos.
a= ?;u#l es "alor P de la prueba@ != ?/ay e"idencia que respalde la afirmación del in"estiador con a =7.7!@ c= 9etermine las reiones de aceptación y recha(o con a =7.7!. a= ?;u#l es "alor P de la prueba@ 6ea p el porcenta%e de cascos 86: con defectos.
El "alor obser"ado es
16
. El "alor P es)
Malor
0ote que n=277 y p 7=7.1+ como np7=27N! y nq7=1A7N!+ entonces
Malor P =
!=
A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E. ;4.&=
@a duaci#n media de una muesta de 1'' tu!os 0luoescentes poducidos po una compa:ía esulta se de 1' "oas con una des)iaci#n típica de 1%' "oas. Si es la duaci#n media de todos los tu!os poducidos po la compa:ía.6ompo!a la "ip#tesis C1'' conta la "ip#tesis altenati)a 1'' "oas con un ni)el de si*ni0icaci#n de '.'. Paso 1. Establecemos las dos hipótesis opuestas y dado que se supone que la duración de los tubos fluorescentes es de 1,77 entonces)
17
$bser"emos que+ dado que aparece el sino de iualdad en la hipótesis nula+ entonces la prueba es de dos colas no direccional5 y la reión de recha(o consiste de los "alores en las colas i(quierda y derecha de la distribución. ;omo la probabilidad de cometer un eo tipo I+ recha(ar /7 cuando
es cierta5 es 7.7! y la reión de recha(o se ubica en ambas colas+ colocamos de la distribución en cada una de las reiones de las colas+ tal y como se indica en la siuiente fiura) ;ur"a de la distribución normal est#ndar.
En la r#fica anterior se puede apreciar las (onas de aceptación y de recha(o.
Paso %. 6eleccionar el estad-stico de prueba+ que es el "alor de ( para . 6i n=177+ la des"iación est#ndar muestral proporciona un buen estimado para . Por lo tanto)
Paso &. 9eri"ar una rela de decisión< recha(ar /7+ si ( (7.72! ó( ˃ (7.72! resulta claro al utili(ar una tabla de la distribución normal est#ndar en la que los "alores cr-ticos son) F (7.72! = F 1.G,+ tal y como se muestra en la siuiente fiura)
(i)el de con0ian+a 7.G7 7.G! 7.GA 7.GG
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6ali0icaci#n + 7.7! 7.72! 7.71 7.77!
1.,4! 1.G, 2.33 2.!H!
Paso 4. :oma de la muestra+ c#lculo del estad-stico de prueba y confrontación del mismo con la rela de decisión) Para este caso+ tenemos que los datos son)
;onsiderando que el estad-stico de prueba es) Entonces+ al sustituir datos en el estad-stico de prueba tenemos que)
Para finalmente al reali(ar operaciones obtenemos el "alor) (= C2.! y al confrontarlo con la rela de decisión finalmente "emos que) ;ur"a de la distribución normal est#ndar
6e puede apreciar la confrontación del estad-stico de prueba con la rela de decisión. 19
El "alor de ( cae fuera de la (ona de aceptación+ por lo tanto+ recha(amos la hipótesis nula /7+ con lo cual concluimos que hay e"idencia estad-stica de que es diferente de 1,77.ueo la duración media de lostubos es sinificati"amente menor que 1,77 horas. ;omo se puede apreciar en elr#fico+ la media muestral cae fuera de la (ona de aceptación) 6olución utili(ando inte)alos de con0ian+a.6i ahora construimos un inter"alo de confian(a del G!B de confian(a para el promedio del contenido de aspirina+ tenemos que recordar que los l-mites del inter"alo de confian(a se encuentran usando)
y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=177 y que es desconocida+ s proporciona un buen estimado de . En consecuencia los l-mites son)
Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para
es 1!4,.4A+ 1!G3.!25< por lo tanto+ como el
"alor supuesto de 1,77 no est# contenido en el inter"alo podemos concluir que 1,77 (ota ) este resultado da la misma conclusión a la que lleamos usando el procedimiento de prueba de hipótesis5. ;omo podemos obser"ar+ un inter"alo de confian(a proporciona m#s información que una prueba de hipótesis< con base en los datos+ pudimos recha(ar la hipótesis nula y encontrar que el resultado no ten-a importancia pr#ctica+ pero si usamos el inter"alo de confian(a correspondiente y un poco de sentido com>n podemos determinar si los resultados de la prueba de hipótesis son de importancia pr#ctica.
A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E. ;4.&= En una muesta aleatoia de ' tuecas se o!tu)o una lon*itud pomedio de mm. @a des)iaci#n est-nda de la po!laci#n se "a estimado en '.'%mm. F!tene un inte)alo de con0ian+a paa la lon*itud pomedio de las tuecas. Utilice un ni)el de con0ian+a del G>. Para este caso+ tenemos que los datos son)
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0i"el de confian(a G!B
6olución utili(ando inte)alos de con0ian+a.6i ahora construimos un inter"alo de confian(a del G!B de confian(a para el promedio del contenido de aspirina+ tenemos que recordar que los l-mites del inter"alo de confian(a se encuentran usando)
y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=3, y que es desconocida+ s proporciona un buen estimado de . En consecuencia los l-mites son)
Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para
21
es 4.GG4!+ !.77!!5.
