Unidad 3: Espacios Vectoriales Euclídeo y Unitario Espacio Vectorial Euclídeo (sobre el cuerpo
)
Producto Interior : Sea V un espacio vectorial sobre
, : V 2
,
,
se llama producto interior o interno en V , a una función
que a cada par de vectores de V le hace corresponder un escalar del cuerpo
(P1) (P1) Simetr Simetría: ía: a , b
,
tal que:
b , a para todo a , b V .
(P2) Linealidad respecto del primer factor: a b , c (P3) Homogeneidad: a , b
para todo
a ,b
(P4) Positividad: a , a 0 ,
a ,b
b , c para todo a , b , c V .
, para todo a , b V .
0 a 0 .
a ,a
Nota: También simbolizaremos el producto interior a b en lugar de a , b . Consecuencias: (1)
a ,b c
(2)
a , 0 0 para todo a V .
(3)
a b ,a b
a ,b
a , c para todo a , b , c V .
a , a 2 a ,b
b ,b
para todo a , b V .
Espacio Vectorial Euclídeo : Se llama espacio vectorial euclídeo a todo espacio vectorial donde se ha definido un
producto interior. Módulo o longitud de un vector : a
a , a
Al módulo del vector se lo suele llamar norma n orma de a . Propiedades: (L1) x x (L2) x 0 x 0 (L3)
x,y
x y (desigualdad de Schwarz)
(L4) x y x y (desigualdad triangular) ll ama vector unitario. Vector unitario : Todo vector de longitud uno, se llama Nota: Sea E un espacio euclídeo y sea a E . El vector Angulo de dos vectores : cos
a a
es unitario.
a ,b a b
A este número se le llama llama medida medida del ángulo ángulo forma formado do por por los vect vectore oress a y b . Distancia entre vectores : Se llama distancia entre los vectores a y b a: d a , b
a b
Propiedades: (D1) d a , b (D2) (D3)
d b ,a d a , b 0 , d a ,b 0 a d a , b d a , c d c ,b
Ortogonalidad: a b a ,b
b
0
Consecuencias: (1) Si a b entonces b a . (2) El vector nulo es es ortogonal a si mismo y es el único vector que cumple ésta propiedades. propiedades. (3) El vector vector nulo es ortogona ortogonall a todo vector vector del espacio. espacio. Vector ortogonal a un subespacio : Sea E un espacio euclídeo, sean E 1 un subespacio de E y a E 1 . Diremos
que a es ortogonal a E 1 sí y solo si a es ortogonal a todo vector de E 1 . Esto es:
a E1 a , b
0 para todo b E 1
Teorema 20: Para que un vector a de un espacio euclídeo E sea ortogonal a un subespacio E 1 de E es necesario y
suficiente que a sea ortogonal a los vectores de una base de E 1 . Demostración:
Sea E 1 un subespacio de E y a E tal que a E 1 (pues, si a E 1 entonces a 0 por consecuencia 2).
Sea a E 1 y probemos que a B , siendo B b1,b2 ,...,bn base de E 1 .
Como a E 1 , entonces es ortogonal a todo vector de E 1 , en particular será ortogonal a los vectores de B E 1 .
Sea a B y probemos que a E 1 .
Como a B , por definición de ortogonalidad a ,bi 0 para todo i 1,2,..., n (1) n
Sea x E 1 entonces x
ibi , luego i 1
n
a , ibi
a,x
n
i 1
i
a , bi 0
de (1)
i 1
Subespacio ortogonal a otro subespacio : Dos subespacios E1 y E 2 de un espacio vectorial euclídeo E , son
ortogonales entre sí, sí y solo si, todo vector de uno de ellos es ortogonal a todo vector del otro subespacio. Es decir:
E1 E 2 a , b
0 para todo a E 1 , para todo b E 2 .
Teorema 21: Dos subespacios E1 y E 2 de un espacio vectorial euclídeo E , son ortogonales si y solo si los vectores de
una base de uno de ellos es ortogonal a los vectores de una base del otro. E1 E 2 si y solo si 1 2 siendo 1 base de E 1 y 2 base de E 2 .
Esto es:
Conjunto ortogonal : Un conjunto de vectores v i es ortogonal a v j , es decir,
v1, v2 ,..., v p
se dice ortogonal si para todo par de subíndices i j ,
vi , v j 0 .
Teorema de independencia en el espacio euclídeo : En todo espacio vectorial euclídeo E , cualquier conjunto
ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. Demostración:
Sea F v1, v2 ,..., v p con v i 0 para todo i 1,2,..., n y tales que vi , v j 0 si i j (1) Probemos que F es linealmente independiente. n
Dada una combinación lineal de los vectores de F igualada al vector nulo
i v i 0
(2)
i 1
Si hacemos el producto interior de (2) con v 1 (por la unicidad de la función producto interior) tenemos n
v1, i vi
v 1, 0 0 (3)
i 1 n
v1,
ivi i 1
n
i
vi , v1
[P1, P3 , P3 ]
i 1
1 v1, v1 2 v2 , v1 ... n vn , v1 1 v1, v 1 (4)
[(1)]
De (3), (4) y transitiva de la relación de igualdad v1, v 1 0 Como v 1 0 , por P 4 y la propiedad sin divisores de cero de los
,
obtenemos 1 0 .
Haciendo el producto interior en (2) sucesivamente con v2 ,..., v p se llegará a que 2 ... p 0 y por lo tanto F es linealmente independiente. Sistema de vectores ortonormales : El sistema F v1, v2 ,..., v p de un espacio vectorial euclídeo E se dice
ortonormal si es ortogonal y sus vectores son unitarios.
Es decir:
F es ortonormal si
vi , v j
0 si i j ortogonales ij , con ij 1 si i j normales
Bases ortonormales: Sea E un espacio vectorial euclídeo, diremos que
e1, e2 ,..., e n es una base ortonormal de
E si es base de E y además es un sistema ortonormal.
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt : El proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt nos permite,
dado un sistema de vectores linealmente independiente, de un espacio vectorial euclídeo, encontrar otro sistema de igual número de vectores ortogonales dos a dos. Sea E un espacio vectorial euclídeo y sea F v1, v2 ,..., v p linealmente independiente, vamos a encontrar F w1, w 2 ,..., w p tal que wi w j para i j .
Para ello, consideremos: w1 v 1 , luego w 1 0 pues v 1 0 por pertenecer a un sistema linealmente independiente.
Podemos encontrar w 2 0 tal que: v2 w1 w 2 (1) siendo w1 w 2 w2 v2 w 1 (2)
w 2 v 2
w 1
w 1
Ahora bien, si a (1) se lo multiplica por w 1 (unicidad de la función producto interior), tendremos: v2 , w1 w1 w2 , w1 w1, w1 w2 , w1 con w1, w1 como w 1 0
w2, w1 0
v2 , w1 w1, w 1
Reemplazando el valor de en (2), obtenemos: w 2 v2
v2 , w 1 w 1
2
w 1
En la misma forma podemos encontrar w 3 0 tal que v 3 1w1 2w2 w 3 (3) donde w1 w 2 , w2 w 3 w 3 v3 1w1 2w2 (4)
w 3
w 1
v 3 w 3
2w 2
1w 1
Multiplicando a (3) por w 1 : v 3 , w1
1w1 2w2 w 3 , w1 1 w1, w1 2 w2 , w1 w 3 , w1
con w 2 , w1 w2 , w 3 0 , v 3 , w1
1 w1 , w1 0 0 como w 1 0 por pertenecer a un conjunto L.I.
v2 , w1 w 1
2
1
v 3 , w1
v3 , w2
w1, w 1
(5)
2
w 1
Multiplicando a (3) por w 2 , tenemos: v 3 , w2
0 2 w2 , w 2 0 de donde 2
v 3 , w2 w2 , w 2
v 3 , w2
(6)
2
w 2
Reemplazando (5) y (6) en (4) v 3 , w1
w 3 v3
w1
w1
2
vp , w1
Así siguiendo: w p v p
w 1
2
v 3 , w2 w 2
v p , w p 1 w p 1
vm 1, w i
i 1
Lema 1: Todo conjunto
w2
w1 ... m
wm 1 vm 1
En general:
2
w i
x1, x 2 ,..., x m
2
2
w p 1
w i
de vectores ortogonales y unitarios (ortonormales) de un espacio vectorial
euclídeo E , n - dimensional, es parte de una base ortonormal de E . Conclusión 1: Todo espacio vectorial E de dimensión finita posee al menos una base ortonormal. Suplemento ortogonal: Sea E 1 un subespacio vectorial euclídeo E , llamaremos suplemento ortogonal de E 1 ,
respecto de E , al conjunto E 2 , formado por todos los vectores de E que son ortogonales a los vectores de E 1 . E2 x E :
Es decir:
x ,y
0 para todo y E
Teorema 23: Sean E 1 un subespacio del espacio vectorial euclídeo E y E2 x E : x , y
0 para todo y E ,
entonces E 2 es un subespacio de E . Teorema 24: En un espacio del espacio vectorial euclídeo E , un subespacio E 1 admite un subespacio suplementario y
ortogonal E 2 y sólo uno. Forma fundamental del espacio euclídeo Teorema 25: Sean E un espacio vectorial euclídeo y B e1, e2 ,..., ep una base ortonormal de E . Para todo par de n
n
vectores: a
aie i
yb
i 1
b je j
n
se tiene que: a , b
j 1
akbk
(forma fundamental del espacio euclídeo)
k 1
Demostración: n
a ,b
aiei , bje j i 1 n
n
j 1
ai bj i 1 n
n
ei , ej
j 1
akbk k
Esta última igualdad se debe a que: ei , e j
ij .
n
n
Consecuencia 1: Si a b entonces a , a
2
a i i 1
, luego a
a i 2 i 1
Espacio vectorial unitario (sobre el cuerpo
)
Sea ahora, V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos
. Al analizar las propiedades que caracterizan al
producto interior se puede observar que no se verifican algunas de ellas. Así, la propiedad (P4)
v , v 0 si
v , v tendría que ser 0 y en
no está definida la relación de
orden . Vamos a obtener una teoría análoga a la anterior para un espacio vectorial sobre los complejos, modificando convenientemente la axiomática dada para el producto interior. Producto interior hermítico : Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos. Se llama
producto interior hermítico a toda función que asigna a cada par de vectores de E , un escalar
que verifica los
siguientes axiomas: u, v
(h1) Simetría hermítica, es decir:
v , u significa conjugado de v , u .
(h2) Carácter definido positivo, es decir:
u, u
(h3) Linealidad respecto del primer factor, es decir:
0 ,
u, u
u v , w
0 si y solo si u 0 . u , w v , w
Observaciones 1: (1) La propiedad (h1) implica que u , v
sea real y por lo tanto (h 2) tiene sentido. u , v w u , v
(2) Usando (h1) y (h3) se prueba que:
u , w donde , son los conjugados de
y . Espacio vectorial unitario: Llamaremos espacio vectorial unitario a todo espacio vectorial sobre el cuerpo de los
números complejos, dotado de un producto interior hermítico. El espacio vectorial euclídeo es un caso particular del espacio vectorial unitario. En un espacio unitario se definen en forma análoga que en el espacio euclídeo, las nociones de longitud de un vector, distancia entre vectores, ángulo entre vectores y ortogonalidad. Forma fundamental del espacio unitario Teorema 26: Sean E un espacio vectorial unitario y B e1, e2 ,..., en una base ortonormal de E . Para todo par de n
n
vectores: a
aie i y b
n
b j e j se tiene que:
a ,b
j 1
i 1
ak bk
k 1
n
A la expresión a , b
ak bk
se le llama forma fundamental del espacio unitario.
k 1
n
n
Consecuencia 2: Si a b entonces a , a
k 1
Aclaración: a i ai
2
2
ui2 v i 2 .
ak ak luego a
a i
2
i 1
es el módulo del número complejo ai ui ivi , con ui , v i
, entonces ai
ui2 v i 2 , donde
