FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3.1. Definición de función vectorial de una variable real, dominio y representación grafica Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t !s", se dice dice que # es continua, continua, derivable derivable o inte$rabl inte$rable, e, si lo son son x(t), y(t) y(t) y z(t) %a función vectorial tambi&n se puede encontrar representada como ( ) ) 'or tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma: ) ( ( ) , ( )) )) ( ) ( ) ) (( ), ), ( ) , *( )) ))
DOMINIO +l dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:
REPRESENTACIÓN REPRESENTACI ÓN GRÁFICA %a repre represen sentac tació ión n $ráf $ráfica ica de una una funció función n vecto vectoria riall es aque aquella lla curva curva que que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función
Un punto de la curva tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde: ( ) g( ) h( )
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%as cuales se llaman ecuaciones param&tricas de !l asi$nar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de
3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades. -ea la función vectorial ( ) entonces diremos que .( ) es la derivada de dic*a función y se define mediante:
'ara valores cualesquiera de t para los que existe el l"mite uando el l"mite existe para t a se dice que ( ) es derivable en t a /eorema -ea ( ) una función vectorial y supon$amos que sus funciones componentes f ,$ y * son todas derivables para al$ún valor de t, entonces ( ) es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:
-i los puntos ' y 0 tienen vectores de posición r(t) y r(t1 ∆t), entonces PQ representa en el vector r(t1 ∆t)2r(t) el cual puede considerarse como un vector secante uando ∆t→3 (+sto es, que 0 →', 0 se aproxima a ') parece que el vector secante se aproxima al vector que está en la recta tan$ente 'or esta razón el vector r4(t) se denomina vector tan$ente a la curva () descrita por r(t) en el punto ' %a recta tan$ente a , en ' se define como la recta que pasa por ' y que es paralela al vector tan$ente
Propiedades de las f!"io!es #e"$oriales Calculo Vectorial
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E%e&plo ' 5alle las ecuaciones param&tricas de la recta tan$ente a la curva en el punto (6,7,8) con ecuaciones param&tricas: x6t,
y
− t
e
,
z8t2
2
t
-olución %a ecuación vectorial de la curva es la que se forma con la ayuda de las ecuaciones param&tricas planteadas al inicio r(t) 6ti 1
− t
e
9 1(8t2
2
t
)
%a derivada de esa función vectorial es
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r4(t) 6i 2
− t
e
9 1(826t)
+l valor del parámetro que corresponde al punto (6,7,8) es t7, que se obtiene de la ecuación param&trica x6t, de esta manera podemos obtener el vector tan$ente en t7 r4(7) 6i ; 9 1 < 6 (
−37 100
, 7=
%a recta tan$ente es la recta que pasa por el punto (6, 7, 8) y es 37
paralela al vector <6, 2
100
( 7=, de modo que de acuerdo con las
ecuaciones de la sección 7>7 a saber X=
x 1
+at
y=
y1
+bt
z=
z 1
+ct
Donde: (
x1
,
y 1
,
z1
) (6,7,8)
y (a,b,c) <6, 2
37
, 7=
100
%as ecuaciones param&tricas de la recta tan$ente son
)*+,+$
-*'.
37 100
$
/* 0,$
E%e&plo + a) /razar la curva que esta descrita por r(t)sent i 1 cost 9, y 3 ≤ t ≤ 6 π b) +ncontrar el punto ' para r4(
π 2
) y r4(
π
)
Sol"i1! a) -abiendo que r(t) es un c"rculo con radio 7 entonces sin tabular para t trazamos un c"rculo como se muestra en las si$uiente fi$ura
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b) 'ara obtener r4(
π 2
) derivamos:
r(t) sent i 1 cost 9 r4(t) cost i ;sent 9 r4(
r23
π 2
π 2
π
) cos
2 ¿
) i ;sen(
π 2
)9
4* . %
r4( r4(
π π
) cost i ;sent 9 ) cos( π ) i ;sen(
r23
π
4* .i
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π
)9
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BIBLIOGRAF5A ?eas arillo @ar"a +st*erálculo,vectorial *ttp:AAcursosaiueduA@atematicasB63-uperioresA'D#A/emaB638pdf *ttp:AACCCdcbunammxAusersAan$ellbsA*tmAEU'FGA!E5HIF-JI! EHF-JGAIJ/6J#Ipdf +9ercicios propuestos por Karla !yón @ac"as y @ayra Lulibed -andoval Eu"z
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