MODELOS PARA EL ANALISIS DE LAS SERIES DE TIEMPO Juan Carlos Abril Universidad Nacional de Tucumán Consejo Nacional de Investigaciones Cientí fi cas cas y Técnicas de Argentina
Índice General
Prólogo
xiii
1 Introducción 1.1 1.2 1.3 1.4
1
El Estudio de las Series de Tiempo Ejemplos de Series de Tiempo . . . Breve Historia . . . . . . . . . . . . Enfoque General al Estudio . . . .
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. 1 . 2 . 7 . 16
I Análisis Clásico en el Dominio del Tiempo
19
2 Procesos Estocásticos Estacionarios
21
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Introducción . . . . . . . . . . . . . . Mode odelos Probabilísticos para las ST . Autoc oco ovarianzas y Autoc ocoorrelaciones Autocorrelaciones Parciales . . . . . Ergodicidad . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos de Series Estacionarias . . .
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3 Modelos Estocásticos Lineales 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Mode odelo Autorregresivo de Primer Orden . . . . . 3.2.1 Caso espec pecial: ca camino aleatorio . . . . . . 3.3 Mode odelo Autorregresivo de Segundo Orden . . . . 3.3. 3.3.1 1 Caso Caso espec especia ial: l: AR( AR(22) con raíces complejas 3.4 Modelo Modelo Auto Autorre rregre gresiv sivo o de Orde Orden n . . . . . . . . iii
21 22 25 29 30 31
33 . . . . . .
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33 33 39 40 44 44
ÍNDICE GENERAL
iv 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
Modelo de Promedio Móvil de Primer Orden . . . . . . . . . . Modelo de Promedio Móvil de Orden . . . . . . . . . . . . . Representación AR de un MA() . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos AR con Errores MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función Generatriz de Autocovarianzas . . . . . . . . . . . . . Descomposición de Wold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Otros resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3 Aproximación de un proceso estacionario por una AR() 3.10.4 Teorema de la descomposición de Wold . . . . . . . . .
4 Correlación Serial
67
4.1 4.2 4.3 4.4
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimadores de . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades Asintóticas del Estimador de Tests de Correlación Serial . . . . . . . . . . 4.4.1 Resultados exactos . . . . . . . . . . 4.4.2 Resultados aproximados . . . . . . . 4.5 Poder de los Tests . . . . . . . . . . . . . . .
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5 El Ajuste de Modelos de Series de Tiempo 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . Estimación en el Modelo AR(1) . . . . Estimación en el Modelo AR() . . . . Estimación en el Modelo MA(1) . . . . Estimación en el Modelo MA() . . . . Estimación en el Modelo ARMA( ) .
6 Predicción 6.1 6.2 6.3 6.4
47 48 54 55 59 60 60 61 62 65
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67 68 70 72 72 77 78
81 . . . . . .
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81 82 84 86 89 92
95
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Proyección Estadística de una Serie . . . . . . . . . . . . . . . 96 Predicción de Modelos ARMA(,) . . . . . . . . . . . . . . . 96 Sistema de Box-Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4.1 Predicción de modelos estacionarios . . . . . . . . . . . 98 6.4.2 Predicción de modelos no estacionarios (y no estacionales) 99 6.4.3 Predicción de modelos no estacionarios (y estacionales) 101 6.4.4 Identificación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4.5 Estimación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
ÍNDICE GENERAL
6.4.6
v
Control de diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 Ejercicios de la Primera Parte
111
7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
II Análisis en el Dominio de las Frecuencias
115
8 El Dominio de las Frecuencias
117
8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Modelos de ST en el Dominio de las Frecuencias . . . . . . . 8.2.1 Variables aleatorias complejas . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Procesos estocásticos en el dominio de las frecuencias 8.3 Relación Entre el Espectro y la FGA . . . . . . . . . . . . . 8.4 Efecto del Filtrado Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Diagonalización de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Estimación de la Densidad Espectral 9.1 El Periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Periodograma de un proceso ortogonal . . . . . . . . . 9.1.2 Periodograma de una serie estacionaria general . . . . . 9.2 Estimación Consistente del Espectro . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Elección de la Ventana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Estimadores Particulares del Espectro . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Estimador de Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Estimador truncado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Estimador de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Estimación ARMA del Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Estimación de la Distribución Espectral . . . . . . . . . . . . . 9.7 Transformada Rápida de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1 Cálculo de las autocovarianzas muestrales mediante la transformada rápida de Fourier . . . . . . . . . . . . .
10 Tests en el Dominio de las Frecuencias
117 117 118 119 128 130 132
139 139 140 144 146 148 150 151 153 153 154 155 156 157 159
161
10.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.2 Tests Basados en el Periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.2.1 Test de Schuster de periodicidad . . . . . . . . . . . . . 163
ÍNDICE GENERAL
vi
10.2.2 Test del periodograma de Fisher . . . . . . . . . . . 10.3 Test del Periodograma Acumulado . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Distribución de 1 1 bajo 0 . . . . . . . . 10.3.2 Disgresión sobre la función de distribución muestral 10.3.3 Relación con los estadísticos . . . . . . . . . . . . 10.4 Test de Estacionariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Estimación en las Frecuencias
. . . . . .
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164 167 169 170 172 172
175
11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.2 Estimación en Procesos Estacionarios . . . . . . . . . . . . . . 176
12 Análisis Espectral Bivariado
185
12.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.2 El Espectro Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.3 Interpretación de () y () . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 12.4 Interpretación Adicional de la Coherencia . . . . . . . . . . . . 190 12.5 Efecto del Filtrado en la Coherencia . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.6 Efecto de un Desplazamiento en la Fase . . . . . . . . . . . . . 193 12.6.1 Efecto en la correlación entre los componentes de las series en la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.7 Relaciones de Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.8 Estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13 Ejercicios de la Segunda Parte
203
13.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
III Análisis Econométrico de Series de Tiempo 14 MC en Regresión con ST
213 215
14.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 14.2 Análisis Clásico de Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 14.3 Regresión con Errores No-Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . 217 14.3.1 Consideremos el caso = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 218 14.3.2 Aplicación a una regresión cuyas variables son series de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 14.3.3 Extensión para el caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . 225 14.4 Sesgo en la Estimación de la Varianza . . . . . . . . . . . . . . 225
ÍNDICE GENERAL
vii
14.5 Autorregresión con Errores AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . 229
15 Tests de Correlación Serial
231
15.1 Test de Durbin-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 15.2 Test de Durbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 15.3 Test en el Dominio de las Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . 236
16 Estimación en Regresión con ST
239
16.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 16.2 MV en Regresión con Errores Correlacionados . . . . . . . . . 240 16.2.1 Caso simple con errores AR(1) . . . . . . . . . . . . . . 240 16.2.2 Caso general con errores ARMA( ) . . . . . . . . . . 243 16.2.3 Estimación eficiente en tres pasos . . . . . . . . . . . . 243 16.3 Estimación en el Dominio de las Frecuencias. I . . . . . . . . . 246 16.3.1 Caso circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 16.3.2 Caso no circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 16.4 Estimación en el Dominio de las Frecuencias. II . . . . . . . . 253 16.5 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
17 Ejercicios de la Tercera Parte
255
17.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
IV Análisis Basado en el Enfoque de Espacio de Estado 263 18 La Forma de Espacio de Estado
265
18.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 18.2 Modelos Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 18.2.1 Nivel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 18.2.2 Tendencia lineal local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 18.2.3 Tendencia, estacionalidad e irregulares . . . . . . . . . 274 18.2.4 Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 18.3 Modelos Reducidos en Forma ARIMA . . . . . . . . . . . . . 278 18.4 Forma de EE de Modelos ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . 280 18.4.1 Forma de EE de modelos ARMA . . . . . . . . . . . . 281 18.4.2 Forma de EE de modelos ARIMA . . . . . . . . . . . . 282 18.5 Variables Explicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
ÍNDICE GENERAL
viii
18.5.1 Ejemplo: Consumo de bebidas alcohólicas en Gran Bretaña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 18.6 Suavizado Curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
19 El Algoritmo de Kalman 19.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 La Forma de Espacio de Estado . . . . . . . . . . 19.3 Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Iniciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Suavizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6 Estimación de los Hiperparámetros . . . . . . . . 19.7 El Algoritmo EM y la Función Marcadora . . . . 19.8 Bondad del Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.9 Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 Series Irregulares I
289 . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . 289 . . . . . 290 . . . . . 291 . . . . . 294 . . . . . 295 . . . . . 298 . . . . . 299 . . . . . 301 . . . . . 302
305
20.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 20.2 Observaciones Faltantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 20.2.1 Observaciones faltantes en variables de “stock” . . . . 306 20.2.2 Observaciones irregularmente espaciadas . . . . . . . . 307 20.2.3 Agregado temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 20.2.4 Agregado contemporáneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 20.3 “Outliers” y Cambios Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . 309 20.3.1 Ejemplo: El Producto Bruto Nacional de los Estados Unidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 20.3.2 Detección de observaciones atípicas (“outliers”) . . . . 313 20.3.3 Detección de los cambios estructurales en el nivel . . . 317 20.3.4 Detección de los cambios en la pendiente . . . . . . . . 318 20.3.5 Detección de los cambios en la estacionalidad . . . . . 318 20.3.6 Estrategias para la detección de los outliers y de los cambios estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 20.3.7 Ejemplo: El caudal del Nilo . . . . . . . . . . . . . . . 320 20.3.8 Ejemplo: Consumo de bebidas alcohólicas en Gran Bretaña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 20.3.9 Control de diagnóstico continuo . . . . . . . . . . . . . 324
ÍNDICE GENERAL
21 Series Irregulares II
ix
325
21.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 21.2 Períodos Especiales de Observación . . . . . . . . . . . . . . . 326 21.2.1 Observaciones semanales . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 21.2.2 Observaciones diarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 21.2.3 Observaciones horarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 21.3 Tiempo Continuo y Espaciado Irregular . . . . . . . . . . . . . 332 21.3.1 Modelos de espacio de estado en tiempo continuo . . . 332 21.3.2 Variables de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 21.3.3 Variables de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 21.4 No Gaussianidad y Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 21.4.1 Observaciones no Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . 341 21.4.2 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 21.5 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
22 Ejercicios de la Cuarta Parte
349
22.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Parte IV Análisis Basado en el Enfoque de Espacio de Estado
Capítulo 18 La Forma de Espacio de Estado 18.1 Introducción En esta Cuarta Parte del libro se presenta un enfoque unificado para el análisis de series de tiempo. El tratamiento técnico está basado en los métodos de espacio de estado (EE). Estos métodos pueden ser aplicados a cualquier modelo lineal, incluyendo aquellos dentro de la clase de los autorregresivos integrados de promedios móviles (ARIMA). Todos los modelos lineales de series de tiempo tienen una representación en la forma de espacio de estado. Esta representación relaciona el vector de errores o disturbios { } con el vector de observaciones {y } vía un proceso de Markov { }. Una expresión conveniente de la forma de espacio de estado es y = Z + = T 1 + R
(0 H ) (0 Q )
= 1
(18.1)
donde y es un vector de orden × 1 de observaciones y es un vector de orden × 1 inobservable, llamado el vector de estado. La idea subyacente en el modelo es que el desarrollo del sistema en el tiempo está determinado por de acuerdo con la segunda ecuación de (18.1); pero debido a que no puede ser observado directamente, debemos basar nuestro análisis en las observaciones y . Las matrices Z , T, R , H y Q se suponen inicialmente conocidas y los términos de error y se suponen que son serialmente independientes e independientes entre sí en todo momento de tiempo. La matrices Z y T pueden depender de y1 y 1 . El estado inicial 0 se supone que es (a0 P0 ) e independiente de 1
265
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
266
y de 1 , donde en principio se supone que a0 y P0 son conocidos. En capítulos posteriores consideraremos cómo proceder ante la ausencia de conocimiento sobre a0 y P0 , y esto se conoce como iniciación . Al sistema (18.1) se lo denomina usualmente modelo básico de espacio de estado (MBEE), aunque también se lo conoce como modelo lineal Gaussiano de espacio de estado. A la primera ecuación de (18.1) se la conoce usualmente como la ecuación de medida o ecuación de observación y a la segunda, la ecuación de transición o relación de transición o ecuación de estado. Es interesante destacar que la ecuación de medida es equivalente a un modelo de regresión con coeficientes estocásticos que satisfacen la ecuación de transición. En muchas aplicaciones R es la matriz identidad. En otras, uno puede definir = R y Q = R Q R0 , y proceder sin la inclusión explícita de R , con lo cual se hace parecer al modelo mucho más simple. No obstante, si R es de orden × y Q tiene rango , existe una ventaja obvia en trabajar con no singular en lugar de singular. En modelos univariados = 1, por lo tanto Z es un vector fila y H es un escalar que se lo suele denotar como 2 . El modelo (18.1) provee herramientas poderosas para el análisis de una amplia clase de problemas. En este Capítulo daremos la materia básica de la teoría general, la cual será presentada en capítulos posteriores; aquí se describirá un número de aplicaciones importantes del modelo a problemas de análisis de series de tiempo. El análisis estadístico de modelos no Gaussianos es ahora posible debido a los desarrollos recientes en las técnicas de simulación, las que tienen soluciones dentro del enfoque de espacio de estado. Por muchos años los modelos autorregresivos integrados de promedios móviles (ARIMA) han sido considerados como los que proveen la base principal para el modelado de series de tiempo. Ahora bien, dada la tecnología actual, puede haber alternativas más atractivas, particularmente cuando se tratan datos desordenados. En las próximas secciones presentaremos las ideas básicas del enfoque de espacio de estado y del modelado estructural de series de tiempo, y haremos notar la relación con los modelos autorregresivos integrados de promedios móviles. Una muy interesante discusión sobre las semejanzas y diferencias entre los modelos de espacio de estado y los otros modelos usados en la práctica del análisis de las series de tiempo puede verse en Abril (2001b). El filtro de Kalman es descripto en Capítulos posteriores. Este es nece
18.2. MODELOS ESTRUCTURALES
267
sario para el manejo de modelos estructurales de series de tiempo, pero con mayor importancia, y más allá de la clase de modelos usados, el mismo es crucial para el tratamiento de datos desordenados. En el resto de esta Parte del Libro se describen métodos para manejar una gran variedad de series de tiempo. Todos estos métodos son presentados y tratados dentro de un marco unificado. Las razones para nuestra preferencia por los modelos estructurales serán aparentes a medida que se avance en la lectura. En lo que sigue de este Capítulo se presentaran una pocas de las innumerables aplicaciones del modelo lineal Gaussiano de espacio de estado. En general, cuando un modelo dinámico puede ser puesto en una forma lineal Gaussiana de Markov se lo trata usualmente con los métodos de espacio de estado. La filosofía subyacente de esta Parte del Libro es introducir las ideas de una manera que sea algebraicamente simple y manejable. Un libro recomendado como apoyo a lo desarrollado en esta Cuarta Parte es el de Harvey (1989). Este provee un excelente tratamiento enciclopédico del área hasta aproximadamente 1989. Muy buenas fuentes suplementarias para aplicaciones futuras y trabajos posterior son Harvey y Shephard (1993) y Abril (1997 y 1999). Interesantes aplicaciones de estas técnicas en econometría pueden verse en Abril, Ferullo y Gaínza Córdoba (1998 y 1999) y Abril y Blanco (2002). Un paquete de computación interesante para implementar el análisis estructural de las series de tiempo, con el nombre de STAMP (Structural Time Series Analyser, Modeller and Predictor ), ha sido desarrollado por Koopman, Harvey, Doornik y Shephard (1995 y 2000). Otro conjunto de rutinas escritas en C, que llevan el nombre de SsfPack, han sido desarrolladas para realizar el análisis estadístico de modelos univariados y multivariados puestos en la forma de espacio de estado. Las instrucciones de uso y las propiedades de estas rutinas están documentadas en Koopman, Shephard y Doornik (1999), además se puede lograr información adicional sobre ellas en la página de internet http://www.ssfpack.com/.
18.2 Modelos Estructurales Un modelo estructural de serie de tiempo es aquel en el cual la tendencia, la estacionalidad, el ciclo y el error de una serie de tiempo, más otros componentes relevantes, son modelados explícitamente. Esto está en agudo contraste con la filosofía subyacente de los modelos ARIMA, donde la ten-
268
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
dencia y la estacionalidad son eliminadas mediante la diferenciación previa al análisis detallado de la serie. La idea básica de los modelos estructurales de series de tiempo (MEST) es que por medio de ellos se pueden expresar los componentes, tanto los observables como los no observables, de una serie de tiempo como partes de modelos de regresión en donde la variables explicativas son funciones del tiempo, con coeficientes que cambian a través del tiempo. Aun más, los modelos estructurales tienen una representación de espacio de estado como la dada en (18.1). La facilidad de interpretación de los modelos estructurales de series de tiempo, los que siempre pueden ser puestos en la forma de espacio de estado, junto con la información asociada que producen el filtro y el suavizador de Kalman, hacen de ellos el vehículo natural para el tratamiento de los datos de series de tiempo, tanto cuando ellos están adecuadamente ordenados como cuando están desordenados. Modelos estructurales de series de tiempo pueden ser expresados en tiempo continuo, permitiendo con ello un tratamiento general de observaciones irregularmente espaciadas. El caso de modelos en tiempo continuo será discutido más adelante en el Libro. Entonces, dentro de un marco de regresión, una tendencia simple sería modelada en términos de una constante y el tiempo con un disturbio o error aleatorio aditivo, esto es = + +
= 1
(18.2)
Este modelo es fácil de estimar usando mínimos cuadrados simple, pero sufre de la desventaja de tener la tendencia es determinística. En general, esto es muy restrictivo. En efecto, en economía por ejemplo, si una variable es considerada que tiene tendencia determinística como la de (18.2) significaría que cualquier impulso económico de cualquier intensidad no tendrá efectos en el largo plazo, ya que todo retornará a su dada tendencia. Ahora bien, la flexibilidad es introducida permitiendo a los coeficientes y que evoluciones a través del tiempo como procesos estocásticos. De esta forma la tendencia se puede adaptar a los cambios subyacentes. La estimación actual, o fi ltrada , de la tendencia se la logra poniendo al modelo en su forma de espacio de estado y aplicándole luego el filtro de Kalman. El filtrado significa computar el mejor estimador en cada momento usando las observaciones disponibles hasta ese momento. Algoritmos relacionados se usan para hacer predicciones y para los suavizados . Esto último significa computar el mejor estimador en todos los puntos de la muestra
18.2. MODELOS ESTRUCTURALES
269
usando al conjunto total de observaciones. Los parámetros en los modelos de espacio de estado usualmente se denominan hiperparámetros , presumiblemente para distinguirlos de los elementos del vector de estado los cuales pueden pensarse como parámetros aleatorios. La magnitud por la cual los parámetros aleatorios pueden variar está gobernada por hiperparámetros. Ellos pueden se estimados por máxima verosimilitud, pero, nuevamente, la llave de esto es la forma de espacio de estado y el filtro de Kalman. Todos estos métodos y algoritmos son descriptos en lo que resta del Libro. Para el trabajo aplicado, el punto importante es entender qué hacen los modelos y cómo deben ser interpretados los resultados. El enfoque clásico del modelado de series de tiempo, como lo vimos en la Primera Parte, está basado en el hecho de que un modelo general para cualquier serie estacionaria no determinística es el autorregresivo-promedio móvil de orden (, ), esto es = 1 1 + · · · + + + 1 1 + · · · +
(0 2 ) (18.3)
donde (0 2 ) significa independiente, idénticamente distribuido con media cero y varianza 2 . A (18.3) usualmente se lo conoce como modelo ARMA(, ), como ya lo vimos en el Capítulo 3. La estrategia de modelado, de acuerdo a lo discutido en los Capítulos 5 y 6, consiste primero en especificar valores adecuados de y sobre la base de un análisis del correlograma muestral y otros estadísticos relevantes. Luego el modelo es estimado, usualmente bajo el supuesto que los errores ’s son Gaussianos. Después, se examinan los residuos para ver si su apariencia corresponde a la aleatoriedad, y se computan varios estadísticos para tests. En particular, el estadístico de Box-Ljung, el cual está basado en las primeras autocorrelaciones de los residuos, se lo usa para testar la correlación serial de los residuos. Box y Jenkins (1976) se refieren a estos pasos como identificación, estimación y control de diagnóstico, y fueron descriptos en el Capítulo 6 anterior. Si el control de diagnóstico es satisfactorio, el modelo está listo para ser usado en las predicciones. Si no lo es, se deberá intentar otra especificación. Box y Jenkins enfatizan el rol de la parsimonia, en el sentido que al seleccionar y , los mismos deben ser pequeños. Ahora bien, existen argumentos, particularmente en econometría, que prefieren un modelo autorregresivo menos parsimonioso debido a que es más fácil de manejar e interpretar. Vistos como aproximaciones a procesos ARMA más generales, los modelos autorregresivos
270
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
se escribirán como = 1 1 + 2 2 + · · · +
(0 2)
(18.4)
Muchas series no son estacionarias. Con el objeto de resolver estas situaciones Box y Jenkins proponen que una serie debe ser diferenciada para hacerla estacionaria. Luego de ajustar un modelo ARMA a la serie diferenciada, el correspondiente modelo integrado es usado para las predicciones. Si la serie es diferenciada veces, el modelo total de la serie es denotado como ARIMA(, , ). Efectos estacionales pueden ser capturados mediante la diferenciación estacional. La metodología de selección de modelos para los modelos estructurales es de alguna manera diferente, en el sentido que se pone menos énfasis en la observación del correlograma de diversas transformaciones de la serie con el objeto de obtener una especificación inicial. Con esto no queremos decir que no se debe observar el correlograma, pero nuestra experiencia es que él puede ser difícil de interpretar sin un conocimiento previo de la naturaleza de la serie, y en muestras pequeñas y/o con datos desordenados puede conducir a conclusiones erróneas (ver, por ejemplo, Abril, 2002). En lugar de ello, el énfasis está en la formulación del modelo en términos de componentes cuya presencia estaría sugerida por el conocimiento del fenómeno bajo estudio, de sus aplicaciones o por una inspección del gráfico de la serie. Por ejemplo, con observaciones mensuales, uno desearía incorporar desde un principio una parte estacional dentro del modelo, y solamente la sacará si luego prueba que no es significativa. Una vez que el modelo estructural ha sido estimado, el mismo tipo de tests de diagnóstico que los usados para los modelos ARIMA pueden ser realizados con los residuos. En particular el estadístico de Box-Ljung puede ser computado, siendo sus grados de libertad igual al número de autocorrelaciones residuales menos el número de hiperparámetros relativos. Tests estándares de falta de normalidad y heteroscedasticidad pueden ser aplicado, como así también tests de la calidad predictiva en períodos posteriores a la muestra. Los gráficos de los residuos deben ser examinados, de la misma manera que lo apuntado por Box y Jenkins para la construcción de modelos ARIMA. En un modelo estructural de series de tiempo, estos gráficos pueden ser complementados con gráficos de los componentes suavizados. Estos, frecuentemente, suelen ser muy informativos puesto que permiten al investigador constatar si los movimientos en los componentes corresponden a lo que podría esperarse sobre la base del conocimiento previo.
18.2. MODELOS ESTRUCTURALES
271
En las subsecciones siguientes se presentan los principales modelos estructurales de series de tiempo univariadas. A su vez, en las secciones que siguen se discuten las relaciones entre los modelos estructurales y los modelos ARIMA y entre el suavizado curvilíneo y los modelos estructurales.
18.2.1 Nivel local Como ya se definió en §1.4, una serie de tiempo es un conjunto de observaciones 1 ordenadas en el tiempo. El modelo básico para representar una serie de tiempo es el aditivo = + + +
= 1
(18.5)
donde, es un componente que cambia suavemente en el tiempo llamado la tendencia , es un componente periódico con período fi jo llamado la estacionalidad , es un componente periódico con frecuencia sustancialmente menor que la estacionalidad llamado ciclo y es un componente irregular llamado el error . En muchas aplicaciones, particularmente en economía, los componentes combinan multiplicativamente, dando =
(18.6)
No obstante, tomando logaritmos y trabajando con el logaritmo de los valores, el modelo (18.6) se reduce al modelo (18.5). Por lo tanto podemos usar al modelo (18.5) también para este caso. El modelo estructural de series de tiempo más simple presenta una situación en la que no hay estacionalidad ni ciclos, la tendencia está compuesta solamente por el nivel de la serie que cambia a través del tiempo. Ese nivel es modelado por un camino aleatorio (“random walk”) sobre el cual se le sobreimpone un error aleatorio o ruido blanco. Además, todas la variables aleatorias se distribuyen normalmente. Esto da el modelo = + = 1 +
(0 2 ) (0 2 )
(18.7)
para = 1 , donde las ’s y las ’s son serialmente y mutuamente independientes, y ( 2 ) denota una distribución normal con media y varianza 2 . A (18.7) se lo conoce como modelo de nivel local (NL). Una característica práctica muy importante del modelo (18.7) es que el estimador del nivel, basado en la información corriente disponible, está dado
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
272
por un promedio móvil exponencialmente ponderado de las observaciones pasadas, donde la constante de suavizado es una función del cociente señalruido, = 2 2 (ver Abril, 2002). La predicción de observaciones futuras, no importa cuantos pasos adelante, está dada exactamente por la misma expresión. Esto fue mostrado por Muth (1960). Para un camino aleatorio puro, es infinito, llegándose a que la predicción es la última observación. A medida que tiende a 0, la predicción se acerca a la media muestral.
18.2.2 Tendencia lineal local Los modelos de tendencia lineal local (TLL) reemplazan la tendencia determinística de (18.2) por una tendencia estocástica. La formulación exacta es = + (0 2 ) = 1 + 1 + (0 2 ) = 1 + (0 2 )
(18.8)
para = 1 , con los errores de la ecuación de medida, , del nivel, , y de la pendiente, , serialmente y mutuamente independientes. Las magnitudes por las cuales el nivel , y la pendiente , cambian a través del tiempo están gobernadas por los hiperparámetros relativos = 2 2 y = 2 2 . La función de predicción es una línea recta a partir de las estimaciones del nivel y de la pendiente al final de la muestra. Investigadores aplicados se quejan algunas veces porque dicen que la serie de valores de obtenidos al ajustar este modelo no parece ser lo suficientemente suave como para representar la idea que tienen de cómo debe ser una tendencia. Esta objeción puede ser satisfecha haciendo 2 = 0 y luego ajustando el modelo con esta restricción. Esencialmente el mismo efecto puede ser logrado usando en lugar de la segunda y tercera ecuación de (18.8) el modelo 42 = o lo que es lo mismo = 2 1 2 + , donde 4 = 1 . Este y su extensión 4 = para 2 han sido propuestos para modelar tendencias en modelos de espacio de estado en una serie de trabajos de Peter Young y sus colaboradores bajo el nombre de modelos de camino aleatorio integrado (IRW); ver, por ejemplo, Young y Lane (1990).
18.2. MODELOS ESTRUCTURALES
273
Vemos que (18.8) puede ser escrito en la forma
µ ¶ µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶
= (1 0)
=
+
1 1 0 1
1
+
1
el cual es un caso especial de (18.1). Si 2 = 0, tenemos que = 1 = · · · = . Ahora bien, si es diferente de cero, la tendencia es un camino aleatorio más una constante: = 1 + + . Así, con = 0 y combinando esta última con la correspondiente primera ecuación de (18.8), se verifica fácilmente que
= + +
X
+
=1
Aquí el comportamiento de está gobernado por dos componentes no estacionarios: una tendencia lineal determinística y la tendencia estocástica . Cuando 2 = 0 y si = 0, el modelo (18.8) se reduce al modelo de NL dado en (18.7), el cual resolviendo nos conduce a
P
= +
X
+
=1
Nótese que los sucesivos shocks tienen efecto permanente en la sucesión { } por el hecho de que no hay un factor que decaiga y afecte los valores pasados . Entonces, tiene una tendencia estocástica . Cuando 2 = 0, 2 = 0 y es diferente de cero, la tendencia es una función lineal determinística del tiempo, quedando el modelo para como el clásico modelo de tendencia lineal más ruido
= + + Regresando al modelo general presentado en (18.8), tenemos que puede expresarse como 1
= 0 + 0 +
X
=1
( ) +
X =1
+
CAPÍTUL CAPÍTULO O 18. LA FORMA FORMA DE ESPAC ESPACIO IO DE ESTADO ESTADO
274
Aquí cada elemento de la sucesión { { } contiene una tendencia determinística, tica, una tendenc tendencia ia estocás estocástic tica a y un co compo mponen nente te irregu irregular lar o error. error. Lo más interesante de este modelo es la forma de la tendencia. En lugar de ser determinísticos, los coe fi cientes del cientes del tiempo dependen de las realizaciones pasadas de la sucesión { { }. Estos co Estos coe e fi cientes pueden cientes pueden ser positivos para algunos valores de y negativos negativos para otros. otros. En este caso, como 2 y 2 0, 0 , el nivel y la pendiente de la tendencia pueden variar suavemente en el tiempo. En el caso límite, cuando ambos hiperparámetros y son cero, la tendencia determinística se la obtiene con = 0 . Otro tro ca caso so de espe especi cial al interés sucede cuando = 0, en el cual la tendencia suavizada es similar a una curvilínea (“spline”) cúbica.
18.2.3 18. 2.3 Tende endenci ncia, a, estac estacion ionalid alidad ad e irreg irregula ulares res Debido a que la estacionalidad es un componente periódico que se repite dentro del período bajo estudio, tenemos que muchas series medidas trimestralmente, mensualmente, de forma diaria, etc., están sujetas a variaciones estacion estacionales ales.. De la misma misma manera manera que se necesita necesita dar a la tendencia tendencia mayo mayorr flexibilidad permitiéndole que sea estocástica, también el componente estaciona cionall necesi necesita ta que que se le permita permita que cam cambie bie a trav través del tiempo. tiempo. Aunq Aunque ue el argumento para que el componente estacional sea estocástico es menos fuerte que para la tendencia estocástica, todavía existen muchas razones por las cuales pueden suceder cambios en la estructura estacional (ver Harvey, 1989, págs. 95-98). Para modelar la estacionalidad, supóngase que hay hay “meses” “meses” por “año”. Así, para datos mensuales mensuales = = 12, 12, para datos trimestrales trimestrales = = 4, y para datos diarios, cuando se modela la estructura semanal, = 7. Si el compon componen ente te estacional es determinístico, debe tener la propiedad de sumar cero sobre el año año ante anteri rior or;; esto esto aseg asegur ura a que que no se co conf nfun unde de co con n la tend tenden enci cia. a. Se sigu siguee que =01 = 0; por lo tanto, = =11 , = + 1 . En situaciones prácticas, frecuentemente queremos que exista la posibilidad de que el com compon ponen ente te estaci estaciona onall cam cambie bie en el tiempo tiempo.. Una Una ma maner nera a simple simple de lograrlo es agregando un término de error a esta última relación, lo que da el modelo
P
P
1
=
X
=1
+
= 1
(18.9)
18.2. MODEL MODELOS OS ESTR ESTRUCT UCTURA URALES LES
275
donde los ’s son independientes (0 (0 2 ). Esta Esta es la form forma de var varia iabl bles es ficticias (“dummy”) de la estacionalidad estocástica. Una alternativa es denotar el efecto de la estación en el momento de tiempo mediante y luego hacer que sea generado por el camino aleatorio = 1 +
= ( 1) 1) +
= 1 2
= 1 (18.10)
con un ajuste adecuado para asegurar que cada sucesivo conjunto de componentes estacionales suma cero (ver Harvey, 1989, §2.3.4). Frecu recuen ente tem mente ente se suel suelee pref prefer erir ir expr expres esar ar la esta estaci cion onal alid idad ad en su forma trigonométrica, que para estacionalidad constante es [2]
=
X
( · cos + · sen sen )
2
=
=1
= 1 [2] 2]
donde, en este caso, [] denota la parte entera de . Para estacionalidad que varía en el tiempo, esta última puede hacerse estocástica reemplazando reemplazando · y · por los caminos aleatorios
= 1 +
= 1 +
= 1 [2] 2]
= 1 (18.11)
(para mayores detalles ver Young, Ng, Lane y Parker, 1991) o bien por el modelo de cuasi-camino aleatorio [2]
=
X ¶µ ¶ µ ¶
(18.12)
=1
donde
µ ¶µ
=
cos sen sen sen sen cos
1
1
+
(18.13)
con con = 1 [2] 2],, donde donde = 2 es es la frecuencia en radianes, radianes, y son dos errores o disturbios del tipo ortogonal o ruido blanco mutuamente . no correlacionados con media cero y varianza común 2 para = 1 .
276
CAPÍTUL CAPÍTULO O 18. LA FORMA FORMA DE ESPAC ESPACIO IO DE ESTADO ESTADO
Para par, [2] 2] = 2 2, mientras que para impar, [2] 2] = ( ( 1) 1)2. Para par, la componente para = 2 2 colapsa en = 1 cos +
= 2 2
(18.14)
(para mayores detalles ver Harvey, 1989, §2.3.4). Sin los términos de error este modelo estacional dará la misma estructura determinística que el modelo estacional con variables ficticias. cticias. De cualquier cualquier manera, con estacionalidad estocástica es un mejor modelo porque permite que el com compon ponen ente te estac estacion ional al evolu evolucio ciones nes con ma may yor sua suavidad vidad.. Se puede puede mostrar que la suma de las estacionalidades sobre el año anterior sigue un modelo MA( MA( 2) en lugar de ser un ruido blanco. Los efectos estacionales típicamente están combinados en forma aditiva con la tendenci tendencia a y los componen componentes tes irregulares irregulares.. Ahora Ahora bien, en muchas uchas aplicaciones, particularmente en economía, los componentes combinan multiplicativamente. De cualquier manera, tomando logaritmos y trabajando con el logaritmo de los valores podemos llegar a la estructura aditiva antes mencionad cionada. a. Esto Esto nos conduc conducee al modelo al modelo estructural básico (MEB) que puede ser escrito como = + +
= 1
(18.15)
donde el componente de tendencia estocástica, , y el componente irregular están definidos como en el modelo de tendencia lineal local presentado en (18.8) anteriormente. Cada uno de los modelos estacionales presentados anteriormente puede ser combinado con cualquiera de los modelos de tendencia resultando un modelo estructural de serie de tiempo y todo ello puede ser puesto en la forma (18.1) de espacio de estado. Por ejemplo, para el modelo de TLL más (18.9) tenemos
Z0
1 0 1 = 0 . ..
0
=
1 .. .
+2
18.2. MODELOS ESTRUCTURALES
T
10 11 · · · · · · = 0
R
1 0 0 = 0 . ..
0 1 0 0 ...
.. . .. . ··· .. . .. . .. . .. . .. .
277
0 · · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · · 1 1 · · · 1 1 1 0 ··· 0 0 . . . .. 0 1 . 0 .. . . . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 1 0
0 0 1 0 ...
2
Q
= 0 0
0 0 2 0 0 2
0 0 0
18.2.4 Ciclos Un ciclo es un componente periódico con frecuencia sustancialmente menor que la estacionalidad. Un ciclo determinístico puede ser expresado como una onda sinusoidal, esto es = cos + sen
= 1
(18.16)
En la subsección anterior se puntualizó que una estructura estacional puede ser modelada por un conjunto de tales ciclos definidos en las frecuencias estacionales. Agregando errores se permite que la estructura cambie a través del tiempo. Una situación algo diferente sucede cuando queremos modelar el ciclo, el cual puede ser estocástico, y, a diferencia de los ciclos estacionales, puede ser estacionario. La especificación estadística de tal ciclo, , es como sigue
µ ¶ µ
=
cos sen sen cos
¶µ ¶ µ ¶
1
1
+
(18.17)
para = 1 , donde es la frecuencia en radianes en el intervalo 0 6 6 , y son dos procesos ortogonales o ruidos blanco mutuamente
278
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
no correlacionados con media cero y varianza común 2 , y es un factor amortiguador , tal que 0 6 1. Nótese que el período es 2 . Para algunos propósitos es útil tomar a la varianza de , en lugar de la varianza de , como un hiperparámetro. Entonces, como 2 = (1 2 ) 2, un ciclo determinístico, pero estacionario, se obtiene cuando = 1. La función de autocorrelación de es = cos
= 0 1
(18.18)
Esta es una función que tiende a cero a medida que tiende a infinito, excepto cuando = 1. El espectro tiene un pico alrededor de , mostrando un comportamiento irregular o seudo-cíclico. El pico se hace más agudo a medida que se acerca a uno y en el caso límite cuando es igual a uno muestra un salto en la función de distribución espectral. Un test para la hipótesis = 1 versus la alternativa de que es menor que uno está dado en Harvey y Streibel (1998). Componentes cíclicos de este tipo resultaron útiles en economía para modelar los ciclos económicos o de negocios, y en meteorología para modelar lluvias; ver Harvey y Jaeger (1993), Koopman, Harvey, Doornik y Shephard (1995), y Abril y Blanco (2002). Componentes cíclicos pueden ser combinados con los otros componentes, tales como tendencia y estacionalidad, y también otros ciclos o quizás procesos autorregresivos. Un proceso AR(1) es realmente el caso límite de un ciclo estocástico cuando es 0 o , aún cuando usualmente se lo especifica por separado, parcialmente para evitar confusiones y parcialmente porque no es el caso límite en modelos multivariados.
18.3 Modelos Reducidos en Forma ARIMA Todos los modelos estructurales de series de tiempo descriptos en las secciones previas son lineales y por lo tanto existe el correspondiente modelo ARIMA que produce idénticas predicciones. Puesto que los modelos ARIMA contienen solamente un disturbio, se los llama la forma reducida . A fin de introducir una notación de uso frecuente, sean = 1 , 2 = ( ), = , 2 = ( ), y así en más, donde suponemos que hay “meses” por “año”. Además, = 1 , = , entonces = (1 ), = (1 ), y así en más.
18.3. MODELOS REDUCIDOS EN FORMA ARIMA
279
La especificación de la forma reducida puede ser lograda en forma sencilla para los modelos simples. Así, para el de nivel local (18.7), tomando diferencias produce
= + 1
(18.19)
La autocorrelación de primer orden es 1(2 ), donde = 2 2 , mientras que las siguientes, de ordenes más alto, son todas cero. Entonces la función de autocorrelación es la misma que la de un proceso MA(1), y por lo tanto el nivel local tiene una forma reducida ARIMA(0, 1, 1), esto es
= + 1
(18.20)
donde las ’s son independientes (0 2 ). Igualando la autocorrelación de primer orden en los modelos (18.19) y (18.20) nos da la siguiente relación entre los parámetros estructurales y de la forma reducida ( 2 + 4 )12 2 = 2
(18.21)
En la forma reducida ARIMA(0, 1, 1), está condicionado a ser negativo. En modelos más complicados, las condiciones tienden a ser más fuertes. Así, la forma reducida del MEB definido en (18.15) con tendencia igual a la segunda ecuación de (18.7) y con estacionalidad igual a (18.9), es un modelo ARIMA en el cual las observaciones siguen un proceso ARMA(0, + 1) luego de tomar diferencias de primer orden y estacionales, esto es sigue un modelo ARMA(0, + 1) pero con correlaciones de ordenes 1, 2, 1, y + 1 distintas de cero. Si no estuviera sujeto a restricciones, este proceso contendría considerablemente más parámetros que la forma estructural. En efecto, un modelo ARIMA de tal complejidad virtualmente nunca sería identificado, y si lo fuera probablemente resultaría imposible de estimar. El MEB con tendencia igual a la segunda ecuación de (18.7) y con estacionalidad igual a (18.9) tiene una forma reducida la cual, como lo mostró Maravall (1985) (ver también Abril, 2001b), es muy próxima al modelo de aerolínea del análisis de Box y Jenkins, o sea un ARIMA estacional de orden (0, 1, 1)×(0, 1, 1) el cual toma la forma =
(1 + )(1 + )
donde las ’s son independientes (0 2 ).
(18.22)
280
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
Los modelos autorregresivos pueden producir aproximaciones pobres cuando los componentes son de cambios lentos. Por ejemplo, en los modelos de nivel local, un valor pequeño de corresponde a un valor de próximo a 1 y el coeficiente AR en (18.4), el cual es igual a () , tiende a morir muy lentamente. Cuando un componente estacional está presente, típicamente cambiará lentamente en relación al resto de la serie, con el resultado que una aproximación AR puede ser muy pobre; ver Harvey y Scott (1994).
18.4 Forma de EE de Modelos ARIMA Consideremos ahora el problema inverso, partiendo de un modelo ARMA o ARIMA escribamos su forma de espacio de estado. Por simplicidad y sin pérdida de generalidad, consideraremos solamente modelos ARMA o ARIMA que no tienen término constante. Modelos ARIMA de series de tiempo fueron introducidos por Box y Jenkins en su libro (1970) pionero dentro del área. Ver Box, Jenkins y Reinsel (1994) para la versión actual de ese libro. De igual manera que los modelos estructurales presentados en las secciones anteriores, Box y Jenkins consideraron que las series univariadas están formada por componentes de tendencia, estacionalidad e irregular. En cambio, en lugar de modelar los diferentes componentes de forma separada como en la propuesta de esta Cuarta Parte, su idea fue eliminar la tendencia y la estacionalidad al inicio del trabajo mediante diferenciación. Las series diferenciadas resultante son tratadas como series estacionarias, o sea series para las cuales ciertas características tales como medias, covarianzas, etc. permanecen invariante bajo traslaciones a través del tiempo, y así se procede a su análisis, como lo visto y discutido en la Primera Parte de este Libro. La ventaja de la formulación de espacio de estado es que las técnicas que se han desarrollado para los modelos de espacio de estado son aplicables también a los modelos ARMA y ARIMA. En particular, las técnicas para la estimación exacta por máxima verosimilitud y para la iniciación están disponibles para estos últimos modelos. Los modelos de espacio de estado son muy generales. Cubren un amplio rango de casos incluyendo a todos los modelos ARIMA. Las observaciones multivariadas pueden ser manejadas mediante una extensión directa de la teoría univariada, lo cual no es el caso del enfoque de Box y Jenkins. Además, observaciones faltante, variables explicativas y otras cuestiones pueden ser incorporadas sin dificultad a los
18.4. FORMA DE EE DE MODELOS ARIMA
281
modelos de espacio de estado, tal como se lo verá en esta Cuarta Parte del Libro. Las formas dadas a continuación no son las únicas versiones de espacio de estado de los modelos ARMA y ARIMA, pero resultan ser muy conveniente en situaciones prácticas.
18.4.1 Forma de EE de modelos ARMA Supongamos que la serie de tiempo satisface un modelo ARMA( ) estacionario. Entonces, puede escribirse de la siguiente forma
=
X
1
+ +
=1
X
= 1
(18.23)
=1
donde = max( + 1), = 0 para , = 0 para y las ’s son independientes (0 2 ). Tomemos
Z = Z =
¡
1 0 ··· 0
¢
=
=2 +1 + =3 +2 + .. .
PP
PP
1 =1 +1 1 =2 +2
1 + 1
(18.24)
... =T=
1
T
1
1 ..
.
0 1
R
0 0 ··· 0
=R=
1 1 .. .
1
(18.25)
y escribamos la relación de transición para como
... =
1
1
1 ...
0 1
0 0 ··· 0
1
+
1 1 .. .
1
(18.26)
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
282
Esto, junto con la ecuación de observación = Z
(18.27)
es equivalente a (18.23), pero ahora está en la forma (18.1) de espacio de estado con = 1 y = 0.
Forma de EE de un modelo ARMA( 2 1) Por ejemplo, para un modelo ARMA(2 1) vemos que = 2 y la relación de transición es
µ
2 1 + 1
¶ µ ¶µ =
1 1 2 0
1 2 2 + 1
¶µ ¶ ¡ ¢ 1 1
+
1
La ecuación de observación está dada por (18.27) con Z = Z =
1 0 .
18.4.2 Forma de EE de modelos ARIMA Supongamos que la serie contiene tendencia, la cual se la puede aproximar adecuadamente en forma local por un polinomio de orden , y un movimiento periódico con periodicidad (como podría ser el caso de la estacionalidad), que se puede aproximar adecuadamente en forma local por un polinomio de orden . Entonces, a la serie = se le ha eliminado la tendencia y la estacionalidad y podría ser modelada mediante un modelo ARMA( ) estacionario como el definido en (18.23). Ahora bien, escribamos
(1 ) (1 ) =
X
(18.28)
=0
donde = + . Con esto, es evidente que la serie sigue un modelo ARIMA( ), y nuestro interés es escribir este modelo, para , en la
18.4. FORMA DE EE DE MODELOS ARIMA
283
forma de espacio de estado. Tomando
Z = Z =
¡
1 · · · +
¢
=
=2 +1 +
P P
P P
1 =1 +1
.. . 1 =3 +2 + =2 1 + 1 1 .. .
+2
(18.29) donde 1 = 1 = 0 para = 2 + = para = 1
(18.30)
con definido en (18.28),
... =T= 0 ...
1
1
T
1
0
1
0 ...
0 0 2 0 ...
··· ··· ···
··· 0 ···
1 0 0 ... 0
0 ... ... 0 +1 1
··· ···
··· ··· · · · + 0 ...
0
1
1 ... =R= 0 .. .
1
R
0 ... ... 0
1
0
0 ... ... 0 1
+ 0 ...
0
(18.31)
(18.32)
284
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
podemos escribir la forma de espacio de estado del modelo ARIMA( ) que sigue de la siguiente manera
= Z = T 1 + R
(18.33) (18.34)
Debe notarse que en la ecuación de observación (18.33), al igual que en el caso ARMA dado en (18.27), = 1 y = 0.
Forma de EE de un modelo ARMA( ) no estacional Supongamos que la serie contiene tendencia, la cual se la puede aproximar adecuadamente en forma local por un polinomio de orden , pero no contiene ningún componente periódico, por lo tanto = 0. Entonces, a la serie = se le ha eliminado la tendencia y podría ser modelada mediante un modelo ARMA( ) estacionario como el definido en (18.23). Bajo estas circunstancias = ,
(1 ) =
X
! (1) !( )! =0
(18.35)
y 1 = 1 = 0 para = 2 ! + = (1) 1 para = 1 !( )!
(18.36)
Consecuentemente, la forma de espacio de estado del modelo ARIMA() que sigue es equivalente a la dada en (18.33) y (18.34) pero con la correcciones en cuanto al orden de las matrices y a las dadas en (18.36) para los ’s.
18.5 Variables Explicativas Variables explicativas pueden fácilmente ser incluidas en un modelo estructural. En lo que resta de esta Cuarta Parte haremos uso extensivo de variables explicativas tales como las variables ficticias. Ellas son usadas para el manejo
18.5. VARIABLES EXPLICATIV EXPLICATIVAS AS
285
Figura 18.1: Logaritmo del consumo anual per cápita de bebidas alcohólicas en Gran Bretaña. 1870 a 1938 de las observacion observaciones es faltan faltantes tes y de los efectos de las interv intervencio enciones. nes. Si x es un vector de de × 1 variables explicativas observadas y es el correspondiente vector de parámetros, el modelo = + x0 +
= 1
(18.37)
puede ser considerado un modelo de regresión con componente tendencia estocástica, estocástica, , definido en (18.8). Si Si 2 = 2 = 0, el modelo se reduce a una regresión lineal con constante y una tendencia lineal.
18.5 18 .5.1 .1 Ejem Ejempl plo: o: Cons Consum umoo de bebid bebidas as alco alcoh hól ólic icaas en Gran Bretaña El logaritmo del consumo anual per cápita de bebidas alcohólicas en Gran Bretaña desde 1870 hasta 1938 se muestra en la Figura 18.1. Los datos son parcialmente explicados por el ingreso per cápita (Figura 18.3) 18 .3) y los preci precios os relat relativ ivos os (Figu (Figura ra 18 18.2) .2).. Un modelo modelo de regres regresión ión usando usando esas variables explicativas muestra una correlación serial significativa en los
286
CAPÍTUL CAPÍTULO O 18. LA FORMA FORMA DE ESPAC ESPACIO IO DE ESTADO ESTADO
Figura Figura 18.2: Precios Precios relativo relativoss de Gran Bretaña. Bretaña. Datos Datos anuales anuales desde 1870 hasta 1938 residuos aún cuando una tendencia determinística en el tiempo es incluida. Ahora bien, incluyendo un componente de tendencia estocástica produce un buen buen ajuste. ajuste. Am Ambos, bos, el ingres ingreso o y los precio precioss son son signi significativos, con valores del test de 5.67 y -14. -14.17 17 respectivam respectivamen ente. te. Los datos están disponibles disponibles en Koopman, Harvey, Doornik y Shephard (1995).
18.6 18 .6 Sua Suaviza vizado do Curv Curvilí ilíne neoo Cuando queremos tratar la estructura periódica asociada con datos horarios o semanales podemos usar curvilíneas (“splines”) variables en el tiempo, las que pueden ser puestas en la forma de espacio de estado. Supong Supongam amos os que que tenem tenemos os una serie serie univ univari ariada ada y desea deseamo moss aprox aproxima imarla rla median mediante te una función función () relativ relativame amen nte suave. suave. Un enfoque estándar es tomar a la función ( () de tal manera que se minimice
X =1
[ ()]2 +
X£ ¤ 42 ()
=2
2
(18.38)
18.6. SUAVIZADO SUAVIZADO CURVILÍNEO CURVILÍNEO
287
Figura 18.3: Ingreso per cápita en Gran Bretaña. Datos anuales desde 1870 hasta 1938 con respecto a () para 0 dado dado.. Si es pequeño, los valores de () estarán cercanos a los de pero () puede no ser suficientemente suave. Si es grande la serie () será suave pero los valores de () pueden no estar suficientemente cercanos a los de de . La función función (() se llama curvilínea llama curvilínea discreta . Un repaso repaso de los método métodoss relaci relacion onado adoss con esta esta idea idea está está dado dado en Wahba (1990). Consideremos ahora el problema desde el punto de vista de espacio de estado. En lugar de considerar a la función función (() como continua en el tiempo, . tratémosla como si fuera discreta haciendo = () para = 1 . Supongamos que y obedecen el modelo de espacio de estado = +
42 =
= 1
(18.39)
donde ( ( ) = 2 y ( ( ) = 2 con 0. 0 . Por cuestiones cuestiones de simplici simplicidad dad supongamos que 1 y 0 son fi jos y conocidos conocidos.. El loga logaritm ritmo o de la densidad densidad de 1 1 es entonces, aparte de constantes irrelevantes,
22
X¡ ¢ X 42
=1
2
1 2 2
=1
( )2
(18.40)
CAPÍTULO 18. LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO
288
Ahora supongamos que nuestro objetivo es suavizar la serie estimando mediante = ( | ). Vamos a emplear una técnica que usaremos en forma extensiva más adelante, por lo tanto la presentaremos con suficiente generalidad. Supóngase que = (01 0 )0 e y = (y10 y0 )0 se distribuyen en forma conjunta como una normal con densidad ( y) y deseamos calcular = ( | y). Entonces es la solución de las ecuaciones
b
b
b
log ( y) = 0
(18.41)
Esto surge puesto que log ( | y) = log ( y)log (y), entonces log ( | y) = log ( y) . Por otra parte, la solución de las ecuaciones log ( | y) = 0 es el modo de la densidad ( | y), y puesto que la densidad es normal el modo es igual al vector de medias . La conclusión sigue a continuación. Puesto que ( | y) puede ser tomada como la distribución a posteriori de dado y, llamaremos a esta técnica estimación de modo posterior . Un tratamiento general de esta técnica para observaciones de la familia exponencial puede verse en Abril (2001a). Aplicando esta técnica a (18.40), vemos que podemos obtener 1 minimizando
b
X =1
( )2 +
X¡ ¢ 42
2
b b
(18.42)
=1
Comparando (18.42) con (18.38) e ignorando por el momento la cuestión de la iniciación, vemos que el problema de suavizado cuvilíneo puede ser resuelto al encontrar ( | ) para el modelo (18.39). Esto se logra mediante una extensión estándar de las técnicas de suavizado del Capítulo 19. Se sigue que las técnicas de espacio de estado pueden ser usadas para resolver al menos algunos de los problemas de suavizado curvilíneo. Un tratamiento interesante siguiendo este enfoque es el de Kohn y Ansley (1993).
Capítulo 19 El Algoritmo de Kalman 19.1 Introducción En este Capítulo presentamos un tratamiento general desde el punto de vista de la inferencia clásica del modelo Gaussiano de espacio de estado (18.1). Las observaciones y serán consideradas multivariadas y se discutirá el filtrado, suavizado, la estimación de los hiperparámetros y la predicción. El filtrado tiene por finalidad actualizar nuestro conocimiento del sistema cada vez que una nueva observación y es obtenida. El suavizado nos permite basar las estimaciones de cantidades de interés en la muestra completa y1 y . Los parámetros en los modelos de espacio de estado usualmente se denominan hiperparámetros , presumiblemente para distinguirlos de los elementos del vector de estado los cuales pueden pensarse como parámetros aleatorios. Además, recordemos que la magnitud por la cual los parámetros aleatorios pueden variar está gobernada por esos hiperparámetros. En este Capítulo analizaremos la estimación por máxima verosimilitud de los hiperparámetros del modelo de espacio de estado. La predicción tiene importancia especial en muchas aplicaciones del análisis de series de tiempo; mostraremos que se pueden lograr los resultados de las predicciones simplemente tomando a los valores futuros y+1 y+2 como observaciones faltantes. En el Capítulo anterior se mostró que el análisis estadístico de los modelos estructurales de series de tiempo está basado en la forma de espacio de estado. Ahora bien, los modelos Gaussianos de espacio de estado pueden, con mucha facilidad, ser estudiados estadísticamente mediante el filtro de Kalman y el 289
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
290
suavizador asociado. La función de verosimilitud se la construye a partir del filtro de Kalman en términos de la predicción un paso adelante, y es maximizada con respecto a los hiperparámetros por optimización numérica. El vector marcador (“score”) de los parámetros puede obtenerse a través de un algoritmo de suavizado asociado con el filtro de Kalman. Una vez que los hiperparámetros han sido estimado, el filtro es usado para lograr predicciones de los residuos un paso adelante, lo que nos permite calcular los estadísticos de diagnóstico para normalidad, correlación serial y bondad de ajuste. Con los resultados del filtrado y suavizado se logran las predicciones de la serie bajo estudio. El suavizador es usado para estimar componentes no observables, tales como tendencia y estacionalidad, y para calcular estadísticos de diagnóstico que sirven para detectar observaciones atípicas y cambios estructurales. Los modelos ARIMA también pueden ser manejados usando el filtro de Kalman. El enfoque de espacio de estado es particularmente atractivo cuando los datos tienen valores faltantes o han sido agregados temporalmente. Todos estos temas serán analizados en este y los próximos capítulos.
19.2 La Forma de Espacio de Estado Como ya lo dijimos en el Capítulo 18, todos los modelos lineales de series de tiempo tienen una representación en la forma de espacio de estado. Esta representación relaciona el vector de errores o disturbios { } con el vector de observaciones {y } a través de un proceso de Markov { }. Una expresión conveniente de la forma de espacio de estado es y = Z + = T 1 + R
(0 H ) (0 Q )
= 1
(19.1)
donde y es un vector de orden ×1 de observaciones y es un vector de orden ×1 inobservable, llamado el vector de estado. La idea subyacente en el modelo es que el desarrollo del sistema en el tiempo está determinado por de acuerdo con la segunda ecuación de (19.1); pero debido a que no puede ser observado directamente, debemos basar nuestro análisis en las observaciones y . Las matrices Z , T , R , H y Q se suponen inicialmente conocidas y los términos de error y se suponen que son serialmente independientes e independientes entre sí en todo momento de tiempo. La matrices Z y T pueden depender de y1 y 1 . El estado inicial 0 se supone que es (a0 P0 ) e independiente de 1 y de 1 , donde en principio
19.3. FILTRADO
291
se supone que a0 y P0 son conocidos; más adelante consideraremos cómo proceder ante la ausencia de conocimiento sobre a0 y P0 . Al sistema (19.1) se lo denomina usualmente modelo básico de espacio de estado (MBEE), aunque también se lo conoce como modelo lineal Gaussiano de espacio de estado. A la primera ecuación de (19.1) se la conoce usualmente como la ecuación de medida o ecuación de observación y a la segunda, la ecuación de transición o relación de transición. Es interesante destacar que la ecuación de medida es equivalente a un modelo de regresión con coeficientes estocásticos que satisfacen la ecuación de transición. En muchas aplicaciones R es la matriz identidad. En otras, uno puede definir = R y Q = R Q R0 , y proceder sin la inclusión explícita de R , con lo cual se hace parecer al modelo mucho más simple. No obstante, si R es de orden × y Q tiene rango , existe una ventaja obvia en trabajar con no singular en lugar de singular. Denotemos como Y 1 al conjunto y1 y 1 junto con toda la información anterior al tiempo = 1.Comenzando en = 1 y construyendo la distribución de e y recursivamente, se puede mostrar que
(y | 1 Y 1 ) = (y | )
y ( | 1 1 Y 1 ) = ( | 1 )
estableciendo con ello la verdadera naturaleza Markoviana del modelo.
19.3 Filtrado El objetivo del filtrado es actualizar nuestro conocimiento del sistema cada vez que una nueva observación y es obtenida. Una vez que el modelo ha sido puesto en la forma (19.1) de espacio de estado, el camino está abierto para la aplicación de un número importante de algoritmos. En el centro de ellos está al fi ltro de Kalman . Este filtro es un procedimiento recursivo para computar el estimador óptimo del vector de estado en el momento , basado en la información disponible hasta ese tiempo . Esa información consiste en observaciones hasta y incluida. En ciertas aplicaciones de ingeniería el filtro de Kalman es importante debido a la posibilidad de lograr estimaciones sobre la marcha (“on-line”). El
292
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
valor actual del vector de estado es de primordial interés (por ejemplo, puede representar las coordenadas de un cohete en el espacio) y el filtro de Kalman permite que la estimación del vector de estado sea continuamente actualizada cada vez que una nueva observación está disponible. A primera vista, el valor de tal procedimiento en las aplicaciones económicas parece limitado. Nuevas observaciones tienden a aparecer a intervalos menos frecuentes y el énfasis está en hacer predicciones de observaciones futuras basadas en una muestra dada. El vector de estado no siempre tiene una interpretación económica, y en los casos en que la tiene, es más apropiado estimar su valor en un punto particular del tiempo usando toda la información de la muestra y no solamente parte de ella. Estos dos problemas son conocidos como predicción y suavizado respectivamente. Sucede que el filtro de Kalman nos provee las bases para las soluciones de ambos problemas. Otra razón para el rol central del filtro de Kalman es que cuando los errores y el vector de estado inicial están normalmente distribuidos, permite que la función de verosimilitud sea calculada a través de lo que se conoce como la descomposición del error de predicción. Esto abre el camino para la estimación de cualquier parámetro desconocido en el modelo. También provee las bases para los tests estadísticos y de especi ficación del modelo. La forma en que se deriva más abajo el filtro de Kalman para el modelo (19.1) se basa en el supuesto que el estado inicial 0 es (a0 P0 ) e independiente de 1 y de 1 , con a0 y P0 . Luego es usado un resultado estándar sobre la distribución normal multivariada para mostrar cómo es posible calcular recursivamente la distribución de condicional en la información establecida en el tiempo , para todo desde 1 hasta . Estas distribuciones condicionales son a su vez normales y por lo tanto están completamente especificadas por sus matrices de medias y varianzas. Son estas cantidades las que el filtro de Kalman computa. Así, supóngase que queremos obtener la distribución a posteriori de +1 dado Y . Puesto que todas las distribuciones son normales, las distribuciones condicionales son también normales. Supongamos que dado Y 1 es (a P ) y la de dado Y es (a| P| ). Nuestro objetivo es calcular recursivamente a| P| a+1 y P+1 dado a P .
Sea v = y
Za
(19.2)
19.3. FILTRADO
293
Entonces v es el error de predicción un paso adelante y satisface v = y
(y | Y
1 )
Denotemos a su matriz de varianzas como F = (v ). Entonces F = Z P Z0 + H
= 1
(19.3)
Mediante la teoría elemental de regresión se puede mostrar que la regresión de en Y es igual a la regresión en Y 1 más la regresión en y (y | Y 1 ). Consecuentemente,
a| = a + B v
(19.4)
donde B = ( v0 )[ (v )]
1
= [ ( a )0 Z0 + 0 ]F 1 = PZ0 F 1 = 1
(19.5)
Nuevamente, mediante la teoría elemental de regresión, (a| ) = (a ) B (v )B0 así P| = P
PZ0F 1ZP
= 1
(19.6)
Estos resultados también pueden obtenerse mediante la técnica de “completar el cuadrado” y basándose en la teoría de la distribución normal multivariada y sus distribuciones condicionales resultantes, pero la manipulación de matrices es mucho más intrincada; ver, por ejemplo, el apéndice del Capítulo 3 y sus aplicaciones en la sección 3.2.2 del libro de Harvey (1989). Ellos también surgen de la teoría Bayesiana estándar. Para obtener a+1 y P+1 simplemente notamos que a+1 = (+1 | Y )
= (T+1 + R+1 +1 | Y ) = T+1 a|
(19.7)
294
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
y P+1 = (+1 | Y )
= (T+1 + R+1 +1 | Y) = T+1 P| T0+1 + R+1 Q+1 R0+1
(19.8)
para = 0 1, con a0|0 = a0 y P0|0 = P0 . Podemos combinar las fórmulas (19.4) a la (19.8) para que den un solo par de ecuaciones de actualización a+1 = T+1 a + K v
(19.9)
(19.10)
donde K = T+1 B
= T+1 P Z0 F 1
y P+1 = T+1 P (T0+1
Z0K0) + R+1Q+1R0+1
(19.11)
para = 0 1, con K0 = 0. El conjunto de fórmulas (19.4) a la (19.8), o alternativamente (19.9) a la (19.11), constituyen el filtro de Kalman para el modelo (19.1). Se puede mostrar que cuando las observaciones no están normalmente distribuidas, restringiendo a estimaciones que son lineales en las y ’s y bajo supuestos apropiados, los valores de a+1 dados por el filtro minimizan el error cuadrático medio de estimación de cada componente de +1 . Ver, por ejemplo, Duncan y Horn (1972), Anderson y Moore (1979) y Abril (2001a, 2002) para detalles de este enfoque.
19.4 Iniciación Ahora consideremos cómo iniciar el filtrado cuando nada se conoce sobre los parámetros a0 y P0 de la distribución de 0 . En esta situación es razonable representar a esa distribución como una distribución difusa a priori , esto es, se fi ja a0 en un valor arbitrario y se hacen tender los elementos diagonales de P0 a . Una aproximación adecuada puede, con frecuencia, alcanzarse
19.5. SUAVIZADO
295
numéricamente tomando a0 = 0 y P0 = I , donde I es la matriz identidad de orden y es un número finito pero grande. No obstante, en algunos casos esto conduce a inaceptables errores de redondeo, por lo tanto se requiere una técnica más precisa. Para modelos simples se pueden escribir las primeras dos o tres ecuaciones del modelo tomando a 0 con distribución (0 I ), y luego hacer que . Pero esto rápidamente se hace muy engorroso. Una buena alternativa que opera en casos suficientemente simples es tomar a 0 como fi jo pero desconocido y luego estimarlo por máxima verosimilitud. Esto necesita la solución de los primeros pares de ecuaciones en (19.1) para en términos de Y 1 y 1 . Escribiendo la solución en la forma = AY + u donde Y es Y escrito como un vector columna (“apilado”) y u depende linealmente de los ’s y ’s, se trata a Y como fi jo y a u como teniendo su distribución incondicional y se inicia el filtro tomando a| = AY y P| = (u). Por ejemplo, para el modelo de TLL definido en (18.8) encontramos que 2 = 2 2 y 2 = 2 1 +1 2 2 + 2 , así las condiciones iniciales son
2|2 = y
µ ¶µ µ ¶ µ 2 2
2 2 1
2 2
2|2 = =
=
2 2
2 22 + 2 +
2
¶
¶
con 1 2 tomados como fi jos. Detalles adicionales del método son dados, para el caso univariado, por Harvey (1989) en la sección 3.3.4. Detalles sobre otras alternativas de iniciación pueden verse en Abril (1999) y en las referencias allí citadas.
19.5 Suavizado Consideraremos ahora la estimación de 1 dada la muestra completa Y. El estimador con error cuadrático medio mínimo (ECMM) de es = ( | Y ). Llamamos a el valor suavizado de y llamamos a la
b
b
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
296
operación de calcular 1 suavizado. Consideremos primero el caso en que a0 y P0 son conocidos y luego tratamos el caso difuso. Puesto que v1 v son independientes y a su vez son transformaciones lineales de y1 y y puesto que v v son independientes de y1 y 1 y tienen media cero, donde los v ’s fueron definidos en § 19.3, vemos que
b b
= ( | Y
b
1) +
X
( | v )
=
= a +
X
= 1
B v
(19.12)
=
donde B es el coeficiente de la regresión de en v y está dado por B = ( v 0 )F 1 . Ahora bien, v = Z ( a ) + , y a = L 1 ( 1 a 1 ) + R K 1 1 , donde L 1 = T K 1 Z 1 para = 1 . Puesto que [( a )( a )0 ] = P tenemos, en consecuencia,
( v 0 ) = P L0 L0+1 · · · L 0 1 Z 0
= + 1
Sustituyendo en (19.12) resulta 1 1 = a + P Z0 F 1 v + P L0 Z0+1F+1 v+1 + P L0 L0+1 Z0+2 F+2 v+2 + · · ·
b
= a + P r 1
(19.13)
donde r satisface la recursión hacia atrás r
1
= Z0 F 1 v + L0 r
= 1 1
(19.14)
con r = 0. La varianza de r 1 está dada por
N
1
= Z0 F 1 Z + L0 N L
= 1 1
(19.15)
con N = 0. Los residuos suavizados , tal como los definen de Jong (1989) y de Jong y Penzer (1998), son estimados mediante la recursión u = F 1 v
K0r
(19.16)
La varianza de u está dada por M = F 1 + K0 N K
(19.17)
19.5. SUAVIZADO
297
Como veremos más adelante, las cantidades u y r juegan el rol de pivotes en la construcción de test de diagnóstico para observaciones atípicas y cambios estructurales. El suavizador, definido por (19.13) y (19.14), fue introducido por de Jong (1989) en un esquema más general que el considerado aquí. En la literatura el suavizador ( | Y) para variable y fi jo se llama suavizador de intervalo fi jo. Si es fi jo y = + 1 + 2 se llama suavizador de punto fi jo, y si ambos varían con fi jo se llama suavizador de rezago fi jo. En su trabajo, de Jong (1989), presenta algoritmos análogos para los suavizadores de punto fi jo y de rezago fi jo. Un suavizador anterior, al cual nos referiremos como suavizador clásico, está en la sección 3.6 de Harvey (1989) y es derivado en el Capítulo 7 de Anderson y Moore (1979). Este último toma la forma
b
= T a + P (+1 a+1 ) = P| T0+1 P 1
b
P
= 1 1
(19.18)
con = a| . Comparando (19.18) con (19.13) y (19.14) se observa que el suavizador clásico requiere la inversión de 1 matrices P , las que posiblemente pueden ser grandes, mientras que el suavizador de de Jong no requiere inversiones salvo la de F , la cual ya fue invertida durante el proceso del filtrado de Kalman. Esto puede ser una ventaja considerable para modelos grandes. Se puede mostrar directamente (ver Abril, 1999) que la varianza
b
( ) = P P D 1 P
b
(19.19)
donde D 1 está dada por la recursión
D
1
= Z0 F 1 Z + L0 D L
= 1 1
(19.20)
con D = 0, y también que la covarianza cov( ) = P L0 · · · L0 1 (I D 1 P )
b b b
(19.21)
Si las matrices de varianzas y covarianzas no son requeridas, una variante del suavizador de de Jong, debida a Koopman (1993), es computacionalmente más rápida. Sea = ( | Y ), = 1 . Puesto que ( v 0 ) = 0 para , tenemos
X b =
=
( v 0 )F 1 v
(19.22)
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
298
Como antes, v = Z ( a ) + y a = L 1 ( 1 a 1 ) + R K 1 1 , así para , [( ( a )0 ] = [ ( 1 a 1 )0 ]L0 1 mientras que [ ( a )0 ] = Q R0. De esta manera
( v 0 ) = Q R0 L0 L0+1 · · · L 0 1 Z 0
= + 1
(19.23)
Sustituyendo en (19.22) nos da = Q R0r
b
1
(19.24)
donde r satisface la recursión (19.14). Los son entonces calculados mediante la recursión hacia adelante = T
1 +
R
b b b
b
= 1 1
(19.25)
junto con = a| . El valor inicial es 0 = a0 + 0 con 0 = P0 r0 . La ventaja de este suavizador sobre el de de Jong es que es significativamente menos costoso en términos computacionales, y requiere menos espacio de almacenamiento. Los costos relativos de computación son examinados con todo detalle por Koopman en su trabajo. Por otra parte, el suavizador de Koopman tiene la desventaja de que las matrices de varianzas y covarianzas de los errores de estimación no pueden calcularse a partir de él; así, si ellas son necesarias, se deberá usar el suavizador de de Jong o el clásico.
b
b b b
19.6 Estimación de los Hiperparámetros Como ya lo vimos, los parámetros en los modelos de espacio de estado usualmente se denominan hiperparámetros , presumiblemente para distinguirlos de los elementos del vector de estado los cuales pueden pensarse como parámetros aleatorios. Además, recordemos que la magnitud por la cual los parámetros aleatorios pueden variar está gobernada por esos hiperparámetros. Ahora debemos estimar por máxima verosimilitud los hiperparámetros del modelo de espacio de estado. Comenzamos construyendo la verosimilitud. Suponiendo que a0 y P0 son conocidos, la densidad conjunta de y1 y es
(Y ) =
Y
(y | Y 1 )
=1
(19.26)
19.7. EL ALGORITMO EM Y LA FUNCIÓN MARCADORA
299
donde (y | Y 1 ) = (Z a F). Por lo tanto, tomando logaritmos obtenemos
1 log = log(2) 2 2
X =1
log |F |
1 2
X
v0 F 1 v
(19.27)
=1
donde v = y Z a y F está dada en (19.3). Se llama a (19.27) la descomposición del error de predicción del logaritmo de la verosimilitud. Esta última fórmula debe maximizarse con respecto a los elementos del vector de hiperparámetros desconocidos. Poniendo H = 2 H , Q = 2 Q , encontramos que F = 2 F donde F depende solamente de H y de Q junto con cualquier hiperparámetro desconocido que se encuentre en las restantes matrices del modelo. El parámetro de escala 2 puede concentrarse, reduciendo así la dimensión de la búsqueda numérica en una unidad. En el caso difuso, cuando a0 y P0 son desconocidos, supongamos que es el menor valor de para el cual ( | Y ) existe. Entonces tomamos la verosimilitud condicional con Y fi jo, dando
X
X
( ) 1 1 v0 F 1 v (19.28) log = log(2) log |F | 2 2 = +1 2 = +1
Las expresiones (19.27) o (19.28) pueden luego maximizarse numéricamente, posiblemente después de haber sido concentradas.
19.7 El Algoritmo EM y la Función Marcadora En lugar de estimar los hiperparámetros mediante maximización numérica directa del logaritmo de la verosimilitud, puede usarse el algoritmo EM como una alternativa, o las dos técnicas pueden combinarse usando el algoritmo EM en los primeros pasos de la maximización, donde es relativamente rápido, y luego cambiando a la maximización numérica en los últimos pasos, donde es relativamente lento. Por simplicidad comenzamos suponiendo que a0 y P0 son conocidos y que R = I; las modificaciones necesarias cuando R = 6 I son fáciles de implementar. Denotando como al vector “apilado” (00 0 )0 y al vector de hiperparámetros desconocidos como , el
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
300
logaritmo de la densidad conjunta de e Y , es, ignorando constantes, log ( Y | ) =
12
X X X =1
log |Q |
1 2
X
log |H |
=1
12 (0 a0 )0P0 1(0 a0) 1 2
12
e e e e
=1
=1
( T 1 )0 Q 1 ( T 1 )
(y Z )0 H 1 (y Z ) (19.29)
e e e e b b X b b b b e e e e b b e
Sea un valor experimental de , sea la esperanza con respecto a la densidad ( | Y ), sean = (), V = [( )( )0 ] y C = [( 1 1 )( )0 ]. Entonces, en el paso E del algoritmo tenemos
eb bb X X X
log ( Y | ) =
12
1 2
12
=1
=1
=1
log |Q|
1 2
1 log |H | 2 =1
trQ 1 [( T 1 )( T 1 )0 + V
+T V 1 T0 T C C0 T0]
trH 1 [(y Z )0 (y Z )0
+Z V Z0]
(19.30)
En el paso M esta expresión es maximizada en forma numérica o analítica con respecto a los elementos de , posiblemente después de haber sido concentrada. De esta forma obtenemos una mejor aproximación al estimador por máxima verosimilitud de que la dada por . El proceso se repite hasta que una adecuada convergencia ha sido lograda o bien se cambia a optimización numérica. El enfoque EM es particularmente adecuado para los modelos estructurales de series de tiempo, debido a que se obtienen fórmulas elementales para los elementos maximizantes de en el paso M.
e
19.8. BONDAD DEL AJUSTE
301
Para los casos en que el algoritmo EM no es útil, es conveniente computar la función marcadora (“score”) log (Y | ) con el objeto de especificar la dirección sobre la cual la exploración numérica debe realizarse a fin de acelerar la optimización, donde (Y | ) es la densidad marginal de Y dado . En nuestro caso tenemos log (Y | ) = log ( Y | ) log ( | Y )
(19.31)
e
Puesto que (Y | ) no depende de , tomando en ambos miembros de (19.31) nos da
e
e
log (Y | ) = [log ( Y | )] [log ( | Y )] (19.32)
e
Para obtener el marcador en = , diferenciamos ambos miembros y ponemos = . Puesto que la esperanza de una función marcadora es cero,
e
Entonces log (Y | )
e
e ¯¯
[log ( | Y )]
=
e
¯¯ ¯
= 0
(19.33)
=
[log ( Y | )] =
¯¯ ¯
(19.34)
=
donde [log ( Y | )] está dada en (19.30). Propiedades adicionales de la función marcadora, incluyendo una simplificación cuando pueden estar presentes hiperparámetros en Q y en H , pero no en T y en Z , pueden verse en Koopman y Shephard (1992), los autores de este enfoque.
19.8 Bondad del Ajuste
e
Una vez logrado el vector de hiperparámetros estimados , podemos querer medir el ajuste del modelo bajo consideración para la serie de tiempo dada. Las medidas de bondad de ajuste para modelos de series de tiempo están usualmente asociadas con los errores de predicción. Una medida básica del ajuste es la varianza de predicción F definida en (19.3) la cual puede ser comparada con la varianza de predicción de un modelo ingenuo o sencillo.
302
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
Por otra parte, los supuestos subyacentes que los errores del modelo (19.1) son Gaussianos y serialmente independientes deben constatarse a partir de los datos analizados, utilizando los errores de predicción un paso adelante v estandarizados con los correspondientes elementos de la matriz F y, a partir de ellos, se construyen los test de normalidad, heteroscedasticidad y correlación serial necesarios. Cuando se consideran modelos competitivos, podemos querer comparar el valor del logaritmo de la verosimilitud de un modelo particular ajustado, con los correspondientes valores de modelos competitivos. A fin de tener una comparación imparcial entre modelos con números diferentes de hiperparámetros, deben usarse criterios de información tales como el AIC, el AICC o el BIC, los cuales fueron desarrollados en el Capítulo 6 anterior. En general, lo presentado en § 6.4.6 del Capítulo 6 referente a bondad de ajuste y control de diagnóstico es aplicable a los modelos de espacio de estado. Una discusión más detallada del control de diagnóstico puede encontrarse en Harvey (1989, §§ 5.4 y 8.4) y a lo largo del manual del paquete de computación STAMP de Koopman, Harvey, Doornik y Shephard (1995 y 2000).
19.9 Predicción Supongamos que tenemos observaciones y1 y que satisfacen el modelo (19.1) de espacio de estado y queremos predecir y+ , = 1 2 . Siguiendo con el argumento dado en el Capítulo 6, queremos que la predicción sea con mínimo error medio cuadrático de predicción (MEMCP) dada la muestra completa Y. O sea que buscamos aquella estimación y () de y+ que minimice F+ = [(y ()
b
b
y+)(y() y+)0 | Y]
b
(19.35)
en el sentido matricial, para todas las estimaciones de y+ . De acuerdo a lo mostrado en §6.2, la predicción con MEMCP de y+ dada la muestra completa Y es la media condicional y () = (y+ | Y )
b
Para = 1 la predicción es directa. De (19.1) tenemos que y+1 = Z+1 +1 + +1
(19.36)
19.9. PREDICCIÓN
303
por lo tanto y (1) = Z+1 (+1 | Y )
b
= Z+1 a+1
(19.37)
donde a+1 es la estimación de +1 producida por el filtro de Kalman en (19.9). La matriz de varianza del error o matriz de error medio cuadrático F+1 = [(y (1)
b
y+1)(y(1) y+1)0 | Y]
b
= Z+1 P+1 Z0+1 + H+1
(19.38)
(19.39)
es calculada por la relación (19.3) del filtro de Kalman. Para = 2 , definamos a+ = (+ | Y )
y P+ = [(a+
+)(a+ +)0 | Y]
(19.40)
Puesto que y+ = Z+ + + +
tenemos y () = Z+ (+ | Y )
b
= Z+ a+
(19.41)
con matriz de error medio cuadrático F+ = {[Z+ (a+
+) +][Z+(a+ +) +]0 | Y}
= Z+ P+ Z0+ + H+
(19.42)
Ahora derivamos las recursiones para calcular a+ y P+ . De (19.1) tenemos que ++1 = T++1+ + R++1 ++1
entonces a++1 = T++1 (+ | Y )
= T++1 a+
(19.43)
CAPÍTULO 19. EL ALGORITMO DE KALMAN
304
para = 1 1 y con a+1 = a+1 . También
++1)(a++1 ++1)0 | Y] T++1 [(a+ + )(a+ + )0 | Y ]T0++1
P++1 = [(a++1
=
+R++1 ( ++1 0++1 )R0++1 = T++1 P+T0++1 + R++1 Q++1 R0++1
(19.44)
Observamos que las recursiones (19.43) y (19.44) para a+ y P+ respectivamente, son las mismas que las recursiones para a+ y P+ del filtro de Kalman dadas en (19.9) y (19.11) respectivamente, siempre que tomemos en estas últimas v+ = 0 y K+ = 0 para = 1 1. Pero estas son precisamente las condiciones que se mostraran en el Capítulo 20, fórmula (20.1), que nos permiten tratar a las observaciones faltantes mediante la aplicación rutinaria del filtro de Kalman. En consecuencia, hemos demostrado que las predicciones de y+1 y+ junto con sus matrices de varianzas de los errores de predicción pueden ser obtenidas simplemente tratando a y para como observaciones faltantes y usando los resultados de §20.2. En algún sentido esta conclusión podría ser considerada intuitivamente obvia, no obstante pensamos que es importante demostrarlo algebraicamente. Para resumir, las predicciones y sus matrices de varianzas de los errores asociadas pueden obtenerse rutinariamente en el análisis de series de tiempo basado en los modelos Gaussianos de espacio de estado mediante la continuación del filtrado de Kalman más allá de = con v = 0 y K = 0 para . Estos resultados para predicción constituyen una característica elegante de los métodos de espacio de estado para el análisis de las series de tiempo.
Capítulo 20 Series Irregulares I 20.1 Introducción El objetivo de este Capítulo y del siguiente es examinar los métodos para tratar una gran variedad de datos con irregularidades que suceden en el análisis práctico de series de tiempo. La atención se centra, en muchos casos, en series de tiempo univariadas, pero se discute el uso de modelos multivariados para la estimación de valores faltantes en las series. Muchas series de tiempo están sujetas a irregularidades en los datos, tales como valores perdidos o faltantes, observaciones atípicas (“outliers”), cambios estructurales y espaciado irregular. Este Capítulo presenta un enfoque unificado para el análisis de estos datos irregulares. El tratamiento técnico está basado en los métodos de espacio de estado. Estos métodos pueden ser aplicados a cualquier modelo lineal, incluyendo aquellos dentro de la clase de los ARIMA. Ahora bien, la facilidad de interpretación de los modelos estructurales de series de tiempo, junto con la información asociada que producen el filtro y el suavizador de Kalman, hacen de ellos el vehículo natural para el tratamiento de los datos desordenados.
20.2 Observaciones Faltantes El mecanismo para observar una serie de tiempo es frecuentemente imperfecto. Fallas en el equipo, errores humanos y la eliminación de medidas inexactas pueden producir valores faltantes. La naturaleza no siempre provee un conjunto completo de datos, por ejemplo, medidas de la concentración de 305
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
306
polución en las lluvias es imposible de lograr si no llueve. En esta sección se describen algunas técnicas para el manejo de valores faltantes, tales como la modificación del filtro de Kalman o el uso de variables ficticias. Valores faltantes suceden cuando no hay observaciones acerca de una variable de “stock”, por ejemplo la oferta monetaria en un momento particular del tiempo. Cuando la variable en cuestión es un flujo, tal como el ingreso, es posible que la falta de observación en el momento = conduzca a que observemos su agregado o acumulación en el momento = + 1. Esto es conocido como agregado temporal y será tratado en otra sección de este Capítulo. Un ejemplo de datos con frecuencia mixta es una serie que ahora es medida cada trimestre pero que originalmente estaba disponible únicamente sobre una base anual. Con mayor generalidad, datos con frecuencia mixta suceden cuando el intervalo de tiempo entre las observaciones no es constante. Este problema puede ser encarado usando el enfoque de las observaciones irregularmente espaciadas descripto en la subsección 20.2.2 o bien formulando el modelo en tiempo continuo como se lo propone en el próximo Capítulo.
20.2.1 Observaciones faltantes en variables de “stock” El filtro de Kalman provee una herramienta general para manejar observaciones faltantes. Cuando una observación falta en el momento = , el filtro simplemente salta la parte de actualización de las ecuaciones (19.2) a la (19.8). Esto puede interpretarse como si se tratara a la observación faltante como una variable aleatoria con varianza infinita por lo tanto H . El filtro de Kalman establece en el tiempo = la ganancia de Kalman K igual a cero y a +1 = T +1 a
P +1 = T +1 P T0 +1 + R +1 Q +1 R0 +1
(20.1)
No hay error de predicción en = . Las ecuaciones de suavizado (19.14) a (19.17), en el momento = , se reducen a r
1
= T0 +1 r
N
1
= T0 +1 N T +1
(20.2)
con u = 0 y M = 0. El valor que toma el proceso en los puntos en que no hay observaciones puede ser de interés. La estimación de y con media cuadrática mínima está dada por y = Z
b b
(20.3)
20.2. OBSERVACIONES FALTANTES
307
donde se lo obtiene de (19.13). La verosimilitud puede ser evaluada usando (19.27), donde las sumas son ahora solamente sobre los errores de predicción correspondientes a los valores observados. Una observación faltante puede ser manejada introduciendo una variable ficticia en la ecuación de medida de (19.1). A fin de hacer el álgebra más simple y facilitar la comprensión de los conceptos, consideremos una serie univariada, o sea tomemos = 1 en la ecuación de medida de (19.1), esto es
b
= Z + +
= 1
(20.4)
donde es una variable indicativa que es igual a cero para todos los períodos excepto en el tiempo = donde es uno. Debe notarse que el marco de espacio de estado puede extenderse hasta incluir variables explicativas. Dados los hiperparámetros, la introducción de variables ficticias tiene exactamente el mismo efecto que saltar la actualización del filtro como se describió anteriormente; ver Harvey (1989, pág. 145). Si los hiperparámetros son desconocidos, debe aplicarse una corrección al término que contiene el determinante de la función de verosimilitud (Sargan y Drettakis, 1974). De cualquier manera, cuando es incluido en el vector de estado y el elemento del vector inicial de estado asociado con es tratado como una variables aleatoria difusa, la función de verosimilitud computada por el filtro de Kalman exacto inicial se corrige automáticamente. Este enfoque es fácilmente generalizado a múltiples valores faltantes.
20.2.2 Observaciones irregularmente espaciadas Si varias observaciones faltan en un intervalo de tiempo regular, es más apropiado tratar a la serie como irregularmente espaciada. El enfoque estándar es establecer un modelo de espacio de estado para las observaciones disponibles o, con mayor generalidad, un modelo de espacio de estado con intervalos desiguales de tiempo. Esto último resulta ser más general e incluye a los modelos ARIMA en la forma de espacio de estado. Para facilitar el tratamiento algebraico y la comprensión del problema, consideremos en esta subsección series de tiempo univariadas, o sea tomemos = 1 en la ecuación de medida de (19.1). Además consideremos un modelo con ecuación de transición cuyas matrices son invariante en el tiempo con datos regularmente espaciados. La escala de tiempo para este modelo subyacente es el mayor divisor común para los intervalos entre observaciones
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
308
consecutivas. Del modelo básico, derivamos una representación para las observaciones que varía en el tiempo. La variación en las matrices de sistema está determinada por la longitud del intervalo entre las observaciones. Tratemos a , = 1 , como las observaciones y definamos el intervalo = 1 como el tiempo entre 1 e . Supóngase que + es el mayor valor tal que + es un entero para todo . Para = 1 los intervalos son reescalados de tal manera que el valor de + es uno. Suponiendo un reescalado similar de los puntos , definimos la serie subyacente + para = 1 + , donde + = e + = . El modelo básico de espacio de estado es
+
+
= Z + + + = T 1 + R+
(0 2 ) + (0 Q )
= 1 +
(20.5)
Para tomar en cuenta el intervalo de tiempo entre observaciones consecutivas , definimos el modelo de espacio de estado que varía en el tiempo como = Z + = T 1 +
= 1
(20.6)
donde
1
X
T = T
=
1
X
T R +
( ) =
=0
T RQ R0 (T) (20.7)
=0
Este enfoque es eficiente solamente cuando las operaciones en la matriz de estado de transición para el modelo básico son computacionalmente caras. De otra manera, es más directo usar el modelo básico y tratar a las observaciones que no ocurren dentro del intervalo de tiempo + como faltantes. La última opción claramente se aplica a modelos estructurales de series de tiempo.
20.2.3 Agregado temporal Aquí seguimos trabajando con series univariadas. Cuando se trabaja con agregados temporales, distinguimos entre la serie subyacente regularmente espaciada + , = 1 + , y la serie observada , = 1 , la que consiste en agregados de + . La serie agregada puede ser escrita como
X
=
=1
+ +1
(20.8)
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
309
Un enfoque de espacio de estado aumentado se usa para el tratamiento de estos agregados. El vector de estado para esta representación es =
µ ¶ y 1
(20.9)
donde es el vector de estado de la representación de espacio de estado de 0 la serie subyacente, y 1 = + 1 · · · + +1 , = max y = . Las ecuaciones de medida y de transición son
¡ ¡ ¢
¢
=
=
Z i0 + T 0 0 Z 1 0 0 0 I 2 0
R +
1
1
(20.10)
0
donde tratamos a como perdida si 6 = para cualquier e i es un vector de orden ( 1) × 1 cuyos primeros 1 elementos son iguales a uno y el resto cero.
20.2.4 Agregado contemporáneo En procesos multivariados podemos observar agregados entre series. Por ejemplo, cada serie puede representar ventas de un dado bien y en un momento de tiempo solamente la venta agregada está disponible. Esto puede ser manejado mediante una simple adaptación de la ecuación de medida para el 0 proceso dimensional subyacente, y = 1 · · · . Supóngase que, en el momento , solamente el agregado = =1 es observado. La ecuación de medida es
¡ P ¢
= Z +
donde Z = i0 Z , = i0 e i es un vector de × 1 unos. Esta idea puede claramente ser extendida a cualquier clase de agregados a través de las series.
20.3 “Outliers” y Cambios Estructurales En esta sección discutimos las formas de testar la presencia de observaciones atípicas (“outliers”) y cambios estructurales, y también la forma de distinguirlos entre sí. Presentamos los procedimientos generales, basados en la
310
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
Figura 20.1: Impulso en el componente irregular para capturar una observación atípica forma de espacio de estado, para calcular los estadísticos requeridos. Esos algoritmos son exactos, y pueden ser usados tanto dentro de un enfoque ARIMA como estructural de las series de tiempo. De cualquier manera, como lo argumentamos en esta parte del Libro, existen considerables ventajas al adoptar el enfoque estructural. Una observación atípica (“outlier”) es una observación que no es consistente con el modelo que se piensa que es el apropiado para la gran mayoría de las observaciones. Puede ser capturada por una variable explicativa ficticia (“dummy”), conocida como una variable de intervención del tipo impulso, la que toma el valor uno en el momento del tiempo en que sucede la observación atípica y cero de otra manera (Ver Figura 20.1). Un cambio estructural ocurre cuando el nivel de la serie es trasladado hacia arriba o hacia abajo, debido usualmente a algún evento especí fico. Se lo modela mediante una variable de intervención de tipo escalón que toma el valor cero antes del evento y uno a partir de él (Ver Figura 20.2). Un cambio estructural en la pendiente puede ser modelado por una intervención lineal de tipo de tendencia ascendente que toma los valores 1 2 3 , comenzando
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
311
Figura 20.2: Cambio estructural en el nivel de la serie en el período posterior al cambio (Ver Figura 20.3). El concepto de observación atípica y cambio estructural se aplica en forma muy general. De cualquier manera, es útil para lo que sigue, notar que cambios en el nivel y en la pendiente pueden ser vistos en términos de impulsos aplicados a las ecuaciones de nivel y de pendiente en el modelo de tendencia lineal local dado en (18.8). El marco estructural también sugiere que algunas veces puede ser más natural pensar que una observación atípica se debe a que la misma contiene un valor inusualmente grande del error o disturbio. Esto conduce al concepto de un cambio en el nivel producido por un valor inusualmente grande del disturbio del nivel, mientras un cambio en la pendiente puede ser pensado como un disturbio grande en el componente de la pendiente. Por lo tanto las intervenciones pueden ser vistas como de efectos fi jos o de efectos aleatorios, ahora bien, el enfoque de efectos aleatorios es más flexible. Por ejemplo, introduciendo una intervención atípica en = es equivalente a considerar la varianza del componente irregular en ese punto como siendo igual a infinito. Usando una varianza grande pero finita, podemos asegurarnos que la observación está ponderada hacia abajo pero sin que se la elimine totalmente. Mirar los efectos de las intervenciones como aleatorios es consistente con la representación de la tendencia estocástica dada en (18.8). En ese modelo,
312
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
Figura 20.3: Cambio estructural en la pendiente de la serie el nivel y la pendiente están sujetas a shocks aleatorios en cada punto del tiempo. Cuando dichos movimientos son anormalmente grandes, aumentar la varianza del disturbio relevante o incluir una variable de intervención puede ser apropiado. En la formulación estructural de una series de tiempo que contenga estacionalidad, es válido pensar que un cambio estructural puede suceder también a través de una variación en el componente estacional. Esta variación puede ser pensada como de efecto fi jo o de efecto aleatorio, tal como se lo hizo con los outliers y los cambios en la tendencia.
20.3.1 Ejemplo: El Producto Bruto Nacional de los Estados Unidos La Figura 20.4 muestra el logaritmo del Producto Bruto de los Estados Unidos desde el primer trimestre de 1951 hasta el último trimestre de 1985. Poniendo, de alguna manera arbitraria, intervenciones en la pendiente en el trimestre 1 de 1960 y en el trimestre 1 de 1970 nos lleva a un modelo con una tendencia determinística como la ilustrada en la Figura 20.5. Actualmente hay una abundante literatura en econometría que tratan esas tendencias lineales a trozos; ver por ejemplo a Stock (1994). De cualquier manera, a menos que exista un conocimiento previo sobre el momento en que el cambio tiene
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
313
Figura 20.4: Producto Bruto de los Estados Unidos con tendencia estocástica, desde el trimestre 1 de 1951 al trimestre 4 de 1985, en logaritmos lugar, es inadmisible comenzar cualquier análisis ajustando una tendencia lineal a trozos. Una tendencia estocástica es lo suficientemente flexible como para adaptarse a los cambios estructurales, si es que están presentes, y nos dará una indicación del momento en que esos cambios ocurren. La Figura 20.4 contiene la tendencia estocástica ajustada a los datos del logaritmo del Producto Bruto de los Estados Unidos sin ninguna intervención.
20.3.2 Detección de observaciones atípicas (“outliers”) Test para outliers usando variables de impulso Supongamos que queremos testar por la presencia de un outlier en el momento = . Si un outlier estuviera presente, el modelo se lo podría escribir = +
= 1
(20.11)
donde es una variable ficticia que toma el valor uno en = y cero de otra manera, es un parámetro y está generada por un modelo de serie de tiempo lineal. Este último puede ser un modelo estructural de serie de
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
314
Figura 20.5: Producto Bruto de los Estados Unidos con tendencia determinística e intervenciones, desde el trimestre 1 de 1951 al trimestre 4 de 1985, en logaritmos tiempo, un modelo ARIMA, o inclusive un modelo que no es invariante en el tiempo. Escribiendo a (20.11) en forma matricial tenemos y = x + w
(w) = 0
(w) = 2 V
(20.12)
donde x es un vector de orden ×1 que tiene un uno en la -ésima posición y cero en las demás. Nótese que (20.11) fue introducido en la subsección 20.2.1 para el manejo de observaciones faltantes. Si el modelo no es estacionario, la formulación anterior presupone condiciones iniciales fi jas. Los resultados son aplicables también cuando las condiciones iniciales son difusas, y en efecto, este es el caso que lleva nuestro mayor interés. De cualquier manera, (20.12) es fácil de trabajar para propósitos de exposición. Los hiperparámetros aparecen en la matriz V de orden ×. Suponiendo que sean conocidos, el estimador por mínimos cuadrados generalizados de es
e
= x0 V 1 yx0 V 1 x
(20.13)
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
315
mientras que su varianza es
e
() = 2 x0 V 1 x
(20.14)
Un test para la significación del outlier puede ser construido como 0
1
0
= x V y x V 1 x
b
(20.15)
donde 2 es un estimador insesgado de 2 . Si los hiperparámetros son estimados, entonces es asintóticamente normal y puede ser interpretado como un test de multiplicadores de Lagrange (LM). La construcción e inversión de la matriz V puede ser evitada poniendo al modelo en la forma de espacio de estado y aplicándole el algoritmo de suavizado presentado en las ecuaciones (19.13) a (19.17). El numerador y el denominador de (20.15) están dados por los correspondientes elementos de los residuos suavizados, u , y sus varianzas incondicionales, M , definidas en (19.16) y (19.17), respectivamente, para el momento = ; ver de Jong (1989) y de Jong y Penzer (1998). Así, la estandarización de los u , llamados residuos estandarizados suavizados , constituyen los estadísticos para los tests de outliers en cualquier punto de la muestra. Afortunadamente, el algoritmo de Kalman provee los valores de estos residuos estandarizados suavizados para todos los períodos de tiempo, siendo necesaria una sola pasada para obtenerlos. Estos tests son válidos tanto en el caso en que los outliers son producidos por efectos fi jos como cuando los provocan efectos aleatorios. El programa STAMP (Koopman, Harvey, Doornik y Shephard, 1995) computa en forma rutinaria los valores de estos estadísticos, en donde se los conoce con el nombre de residuos auxiliares irregulares . Esta terminología fue introducida por Harvey y Koopman (1992). Para futuras referencias, vamos a denotar como u al vector de orden ×1 con -ésimo elemento , de tal manera que
b
u=V
1
y
(20.16)
Nótese que si L es la matriz triangular inferior correspondiente a la descomposición de Cholesky, V 1 = L0 F 1 L, donde F es una matriz diagonal con -ésimo elemento dado en (19.3), entonces el vector de errores de predicción un paso adelante de orden × 1 del filtro de Kalman está dado por v = Ly. Por lo tanto
u = L0 F
1
v
(20.17)
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
316
Esto implica que depende de los errores de predicción un paso adelante futuros y corrientes. Esta característica también es observable en el suavizador dado en (19.16).
Efectos aleatorios Como lo notamos en la introducción de esta sección, los outliers pueden ser producidos por un modelo de efectos aleatorios, esto es ( )
= +
= 1
(20.18)
( )
donde ( ) = 2 en = y cero en todo otro lugar. El mejor test localmente invariante ( ) de 0 : 2 = 0 versus 1 : 2 0 es de la forma =
y0 V
1
xx0 V
y0 V
1y
1
y
(20.19)
donde es el valor crítico. Este resultado parte de la formulación general dada por King y Hillier (1985) notando que cuando el modelo está en términos matriciales, (y) = 2 V + 2 xx0 . Puesto que y0 V 1 y es proporcional al estimador de 2 , está claro que, luego de estandarizarlo, el test basado en (20.19) será equivalente al test para un outlier fi jo dado en (20.15).
Residuos auxiliares irregulares Consideremos cualquier modelo en el cual las observaciones pueden ser consideradas como provenientes de dos componentes mutuamente no correlacionados, uno de los cuales, , es serialmente no correlacionado, esto es = +
= 1
(20.20)
Este es similar al modelo de efectos aleatorios de la sección anterior excepto que el término aditivo de error aparece en todos los puntos de tiempo con ( ) = 2 para = 1 . Cuando el modelo es escrito en forma matricial tenemos y = w +
(20.21)
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
317
con (y) = 2 V, () = 2 I, y (w0 ) = 0. Si y es Gaussiano se sigue casi inmediatamente, escribiendo la matriz de varianzas de (y0 0 )0 , que = ( | y) = ( 2 2 )V
b
1
y = ( 2 2 )u
(20.22)
y su matriz de varianzas incondicional es () = ( 4 2 )V
b
1
= ( 4 4 ) (u)
(20.23)
Entonces, los elementos de son proporcionales a los residuos suavizados y tienen las mismas propiedades dinámicas. Cuando están estandarizados, es igual que el vector de estadísticos de los tests para detección de outliers dado en (20.15) y es computado en forma rutinaria por el programa STAMP, donde se lo conoce con el nombre de vector de residuos auxiliares irregulares . Esta terminología fue introducida por Harvey y Koopman (1992) aún cuando usaron el término sin tomar en cuenta si dado en (20.22) estaba estandarizado o no. Debido a que las cantidades estandarizadas están definidas sin ambigüedad, usaremos el término residuos auxiliares irregulares para referirnos a
b
b
b
p p b b b b
= ( ) = ( )
(20.24)
Nótese que, aún cuando puede considerarse como un estimador de , puede ser computado ya sea 2 igual a cero o no. Debe notarse también que los residuos auxiliares son serialmente correlacionados aún cuando los parámetros en el modelo sean conocidos.
b
20.3.3 Detección de los cambios estructurales en el nivel Un cambio en el nivel de una serie puede ser modelado haciendo que en (20.11) sea uno para > . El estimador de y el test asociado son como los dados en (20.13) y (20.15) donde x es un vector de orden × 1 en el cual los elementos para = 1 1 son iguales a cero y el resto son unos. El numerador de puede ser construido a partir de los residuos suavizados, puesto que
e
x0 V
1
y = x0 u =
X =
(20.25)
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
318
De cualquier manera, esto no nos produce directamente las otras cantidades requeridas. Una solución es tomar primeras diferencias de las observaciones. Eso produce
= +
= 2
(20.26)
donde es una intervención para outlier como en (20.11). Si los cálculos son realizados por el filtro y el suavizador de Kalman no hay necesidad de tomar diferencias de la serie, y, en cualquier caso, esto es usualmente algo inconveniente. Como lo mostraron de Jong y Penzer (1998), todo lo que se necesita es poner al modelo en la forma de espacio de estado de tal manera que el cambio de nivel pueda ser inducido por una intervención de tipo pulso en algún lugar de la ecuación de transición. Dada esa formulación, el filtro y el suavizador de Kalman incorpora una identidad de conteo tal que (20.25) se da directamente como el elemento de r definido en (19.14) en la posición correspondiente a la intervención de tipo pulso. Su varianza está automáticamente disponible de N en (19.15). La estandarización conduce a los residuos auxiliares del nivel y constituyen la base de los test de cambio de nivel. La derivación algebraica de estos últimos es similar a la de los residuos auxiliares irregulares presentada anteriormente, por lo tanto no la mostraremos aquí.
20.3.4 Detección de los cambios en la pendiente Tests para detectar cambios en la pendiente pueden ser basados en el modelo dado en (18.8). Un cambio en la pendiente corresponde a una intervención de tipo pulso en la ecuación para el componente pendiente en el tiempo = . Como en el caso del nivel, el estadístico del test se lo obtiene del componente apropiado de r computado por el filtro y el suavizador de Kalman y definido en (19.14). Su varianza está en el correspondiente componente de N definido en (19.15). La estandarización produce los residuos auxiliares de la pendiente y constituyen la base de los test de cambios en la pendiente.
20.3.5 Detección de los cambios en la estacionalidad Si el modelo contiene un componente estacional, como en la subsección 18.2.3, el vector de estado contendrá los 1 elementos correspondientes al componente estacional y r contendrá un conjunto correspondiente de 1 elementos. Denotemos como r al vector de orden ( 1)×1 con esos elementos, con
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
319
matriz de varianzas 2 N. Un test para detectar un cambio en la estructura estacional en el tiempo = puede ser realizado usando el estadístico = 2 r0 N1 r
b
(20.27)
para = , el cual se toma como que tiene una distribución . Si los hiperparámetros son estimados, ( 1) se toma como que tiene una distribución 2 1 . Tests de cambios en estaciones particulares o grupos de estaciones pueden también ser realizados. Un gráfico del estadístico dado en (20.27) puede dar una indicación del cambio en la estructura estacional en un momento de tiempo particular. De cualquier manera, es difícil corregir por correlación serial y testar por alejamientos de la distribución nula, esta es la distribución bajo el supuesto que no están presentes cambios en la estacionalidad. Una serie de estadísticos para testar cada estación pueden también ser construidos, aún cuando ello típicamente requiere ciertas transformaciones a realizarse en r. Un gráfico de la evolución de cada componente estacional obtenido mediante suavizado puede ser muy informativo.
20.3.6 Estrategias para la detección de los outliers y de los cambios estructurales La discusión hasta este momento ha supuesto que los parámetros que determinan la matriz de varianzas de las observaciones son conocidos. Esto crea problemas para un enfoque ARIMA puesto que en la presencia de outliers o cambios estructurales las herramientas estándares para la identificación de modelos son poco confiables. Por ejemplo Tsay (1986) y LeFrançois (1991) muestran que sesgos muy serios pueden ser introducidos en la función de autocorrelación muestral. Bruce y Martin (1989) sugieren al diagnóstico de eliminación como un medio de detectar observaciones influenciales en una serie de tiempo. Ellos señalan que la correlación serial puede conducir a la distorsión de algún estadístico de test. Como una forma de detectar conjuntos de observaciones atípicas, sugieren ir incrementando el número, , de observaciones consecutivas que se eliminan. Desafortunadamente, Bruce y Martin desarrollaron su método en un esquema ARIMA. Los problemas asociados con estos modelos son caracterizados por su imposibilidad en identificar las estructuras estacionales en los datos mensuales de exportaciones en Latinoamérica (ver los
320
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
Figura 20.6: Volumen del caudal del río Nilo en metros cúbicos en Aswan, con nivel estocástico. Datos anuales desde 1871 hasta 1970 comentarios realizados por Harvey). El método de ellos requiere consideraciones de diferentes valores de y reestimación repetida de los parámetros del modelo. Como lo notó Kohn en sus comentarios, el costo computacional de implementar el método puede significar que su valor es limitado para modelos de ordenes alto. Los modelos estructurales de series de tiempo proveen un marco más viable puesto que las especificaciones del modelo adecuado no dependen mayormente de estadísticos tales como las autocorrelaciones muestrales. Aún más, usualmente los modelos estructurales de series de tiempo son formulados en términos de componentes los cuales producen los residuos auxiliares requeridos para testar por outliers y cambios estructurales. Harvey y Koopman (1992) ilustraron, mediante la observación de tres casos, cómo los residuos auxiliares pueden ser usados exitosamente. Aquí nos concentramos en otro ejemplo, los datos del caudal del Nilo.
20.3.7 Ejemplo: El caudal del Nilo Cobb (1978) analizó una serie de observaciones anuales, desde 1871 hasta 1970, del volumen del caudal del río Nilo en metros cúbicos en Aswan (ver
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
321
Figura 20.7: Residuos auxiliares irregulares del volumen del caudal del río Nilo en Aswan con banda de confianza, desde 1871 hasta 1970
Figura 20.6). Esta serie ha sido analizada también por Carlstein (1988) y Balke (1993). Un modelo de NL como el presentado en (18.7), con 2 = 15099 y 2 = 1469 2, ajusta bien a los datos del volumen del caudal del río Nilo. Los residuos auxiliares para los componentes irregulares y de nivel son graficados en las Figuras 20.7 y 20.8. Residuos auxiliares irregulares grandes en 1877 y 1913 indican valores atípicos. Los residuos auxiliares del nivel sugieren un cambio de nivel entre 1897 y 1900, ocurriendo el valor más extremo en 1899. Esto corresponde con la construcción de la primera presa de Aswan, la que se comenzó en 1899 y se completó en 1902. Ajustando nuevamente el modelo con intervenciones para los outliers en 1877 y en 1913 y para un cambio de nivel en 1899, resulta que la varianza del componente estocástico del nivel se hace cero. Entonces, una vez que hemos tomado en cuenta el cambio estructural de 1899 resulta innecesario un componente estocástico de nivel (ver Figura 20.9). Este análisis es considerablemente más directo que el presentado por Balke (1993).
322
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
Figura 20.8: Residuos auxiliares del nivel del volumen del caudal del río Nilo en Aswan con banda de confianza, desde 1871 hasta 1970
Figura 20.9: Volumen del caudal del río Nilo en Aswan con nivel determinístico e intervenciones, desde 1871 hasta 1970
20.3. “OUTLIERS” Y CAMBIOS ESTRUCTURALES
323
Figura 20.10: Residuos auxiliares irregulares del logaritmo del consumo anual de bebidas alcohólicas en Gran Bretaña, desde 1870 hasta 1938, con banda de confianza
20.3.8 Ejemplo: Consumo de bebidas alcohólicas en Gran Bretaña Regresando al ejemplo de las bebidas alcohólicas de la subsección 18.5.1, generamos los residuos auxiliares. Las Figuras 20.10 y 20.11 indican un cambio de nivel en 1909 y se observan varios candidatos a outliers durante la Primera Guerra Mundial. Ajustando la intervención en el nivel y recalculando los residuos auxiliares irregulares, el mayor valor ocurre en 1918. Repitiendo este procedimiento se observa un segundo outlier en 1915. Estas conclusiones parecen razonables puesto que los datos para el período que va desde 1915 a 1919 fueron estimados basados en el consumo en el Ejercito Británico siendo de esperar que sea menos confiable que las otras observaciones (Harvey y Koopman, 1992). El cambio de nivel en 1909 puede ser debido a un período de reformas sociales iniciado en ese año por Lloyd George.
324
CAPÍTULO 20. SERIES IRREGULARES I
Figura 20.11: Residuos auxiliares del nivel del logaritmo del consumo anual de bebidas alcohólicas en Gran Bretaña, desde 1870 hasta 1938, con banda de confianza
20.3.9 Control de diagnóstico continuo Hasta ahora hemos considerado datos consistentes en una muestra de tamaño fi jo . En muchas aplicaciones, particularmente en los campos de finanzas y procesos de control, la serie representa un proceso continuo. Si nuevas observaciones están continuamente disponibles, requerimos un mecanismo para actualizar sobre la marcha los estadísticos de diagnóstico. Frecuentemente se supone que estamos solamente interesados en períodos comprendidos en una ventana que representa el pasado reciente. Esta ventana se mueva hacia adelante cuando nuevas observaciones están disponibles. Convencionalmente, un banco de filtros (Willsky y Jones, 1976) es usado para actualizar los estadísticos, y cada uno de esos filtros es asociado con un único punto en la ventana. En un trabajo no publicado, de Jong y Penzer (1997) proponen un proceso de actualización que es independiente del tipo de intervención que está siendo considerada. Esto permite calcular, para cada punto en la ventana móvil, estadísticos de máximo diagnóstico.
Capítulo 21 Series Irregulares II 21.1 Introducción En este Capítulo continuamos examinando los métodos para tratar una gran variedad de datos con irregularidades que suceden en el análisis práctico de series de tiempo. Los datos de las series de tiempo pueden estar desordenados, y por lo tanto ser difícil de manejarlos mediante procedimientos estándares, especialmente cuando ellos son intrínsecamente no Gaussianos o contienen estructuras periódicas complicadas tales como cuando son observados en una base horaria, diaria o semanal. Este Capítulo prosigue con la presentación de un enfoque unificado para el análisis de estos datos irregulares. Como antes, el tratamiento técnico está basado en los métodos de espacio de estado que, junto con la facilidad de interpretación de los modelos estructurales de series de tiempo y con la información asociada que producen el filtro y el suavizador de Kalman, hacen de ellos el vehículo natural para el tratamiento de los datos desordenados. Modelos estructurales de series de tiempo pueden ser expresados en tiempo continuo, permitiendo con ello un tratamiento general de observaciones irregularmente espaciadas. La estructura periódica asociada con datos horarios, diarios o semanales puede ser efectivamente tratada usando curvilíneas (“splines”) variables en el tiempo, mientras que el análisis estadístico de modelos no Gaussianos es ahora posible debido a los desarrollos recientes en las técnicas de simulación. 325
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
326
21.2 Períodos Especiales de Observación Usualmente, las series de tiempo, por ejemplo las económicas, son observadas cada año, trimestre o mes. Cuando se trabajo con frecuencias trimestrales o mensuales, se usan los modelos del Capítulo 18. En esta sección de este Capítulo mostramos cómo los modelos estructurales de series de tiempo pueden ser adoptados para el manejo de observaciones realizadas cada hora, día o semana. La característica fundamental de tales modelos es el uso de curvilíneas (“splines”) variables en el tiempo para crear modelos parsimoniosos de efectos periódicos. Esta idea fue originalmente propuesta por Harvey y Koopman (1993) como una forma de modelar cambios de estructura dentro del día y dentro de la semana. Un efecto periódico de longitud es modelado como una función lineal de un conjunto de parámetros contenidos en un vector de dimensión ×1. Si esos parámetros son fi jos, la estructura periódica es fi ja, y podemos escribir el -ésimo efecto periódico como
= w0
= 1
(21.1)
donde w es un vector de ponderaciones desconocidas de orden × 1. La idea es especificar el efecto periódico de tal manera que sea razonablemente pequeño, en particular mucho más chico que . Existen esencialmente dos opciones. La primera es dejar que sea una mezcla de funciones trigonométricas. La segunda es modelarlo mediante una curvilínea periódica. En nuestro contexto, la segunda opción parece ofrecer una mejor alternativa para una parametrización parsimoniosa, principalmente debido a la necesidad de capturar picos agudos. Para trazar una curvilínea necesitamos elegir “nudos” en el intervalo [0 ]. Entonces w depende de la posición de los nudos y está definido de tal manera de asegurar continuidad de las curvilíneas de un período a otro, esto es hacerla periódica en el tiempo; ver Poirier (1976, p. 43-7). Con el objeto de tener al componente periódico estacional sumando cero sobre todo el año, necesitamos modificar el vector de ponderaciones apropiadamente. También las curvilíneas pueden evolucionar en el tiempo permitiendo que los parámetros sigan un camino aleatorio. Así, podemos escribir =
1 +
= 1
(21.2)
donde es un vector de disturbios serialmente no correlacionados de orden
21.2. PERÍODOS ESPECIALES DE OBSERVACIÓN
327
× 1, con media cero y matriz de varianzas
µ
( ) = 2 I
1 w0 w
w w0
¶
con w =
X
w
(21.3)
=1
La varianza 2 gobierna la velocidad con la cual la curvilínea puede cambiar. La matriz de varianzas (21.3) establece la restricción que w0 = 0. Nótese que si hay un nudo para cada período, obtenemos el modelo estacional con variables dummies de Harrison y Stevens (1976).
21.2.1 Observaciones semanales Desarrollaremos esta subsección con un ejemplo obtenido de un trabajo de Harvey, Koopman y Riani (1997). Una de las series más importantes de oferta monetaria en Gran Bretaña es la cantidad de billetes y monedas en circulación, más los depósitos en efectivo de los bancos comerciales en el Banco de Inglaterra. Esto básicamente corresponde a lo que usualmente se conoce en el mundo económico como M0, y en lo que sigue nos referiremos a ella de esta forma. Estas cantidades muestran fluctuaciones estacionales considerables, siendo particularmente alta justo antes de Navidad. Como resultado de ello, el Banco de Inglaterra necesita producir series ajustadas por estacionalidad para facilitar la interpretación. Harvey, Koopman y Riani (1997) analizaron la serie M0 para el período comprendido entre el 28 de Mayo de 1969 y el 28 de Diciembre de 1994. Tomando logaritmos se obtiene una serie con una estructura estacional más estable. Los datos son tomados cada miércoles, excepto cuando el miércoles es feriado en cuyo caso se lo toma el martes anterior (o el lunes si el martes también es feriado). Ellos notaron con toda claridad los picos correspondientes a Navidad y Pascua, y como en la mayoría de las series de tiempo económicas, es aparente que la estructura estacional ha evolucionado en el tiempo debido a cambios en los factores institucionales y sociales. El modelado de una estructura estacional cambiante con datos semanales no es una tarea fácil. El primer problema es que la observaciones son tomadas en un día particular de la semana, en lugar de hacerlo en fechas predeterminadas, por lo tanto y debido al hecho de que no hay un número entero de semanas en el año significa que el número de observaciones por año varía entre 52 y 53. Entonces, y aún cuando la estructura estacional sea determinística, no puede ser modelada mediante un conjunto de variables dummies. Además,
328
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
las fechas de los días de observación cambian cada año, por ello, aún en el caso que hubiera un número entero de semanas en el año, la estructura estacional cambia de año a año. Por ejemplo, existe una gran diferencia si la oferta de dinero es observada el día antes de Navidad o seis días antes de Navidad. El primer caso se presenta cuando Navidad es un día jueves, y el segundo cuando Navidad es un martes. Para hacer las cosas peores, esta estructura estacional no es recurrente cada siete años debido a los años bisiestos. El otro problema importante es que la posición de la Pascua cambia de año a año. Además, sus efectos pueden ser diferentes dependiendo de cuando ocurra. Si es tarde en el año, sus efectos pueden superponerse y posiblemente interactuar con aquellos asociados con el feriado del Primero de Mayo. Por supuesto, la posición de la Pascua también afecta a los modelos para observaciones mensuales, pero estos casos son más fáciles de manejar y existe una considerable literatura sobre el tema; ver Bell y Hillmer (1983). Los procedimientos de tipo ARIMA no son fácilmente generalizables para datos semanales. Uno de los pocos trabajos publicados sobre ajuste estacional basado en modelos para datos semanales, por Pierce, Grupe y Cleveland (1984), redondea algunos de los problemas usando regresión para modelar parte del efecto estacional de una manera determinística y luego encara los efectos estocásticos por medio de modelos ARIMA. Harvey, Koopman y Riani (1997) modelaron satisfactoriamente la oferta monetaria M0 usando el modelo estructural de series de tiempo = + + +
= 1 2
(21.4)
con las definiciones usuales para la tendencia y los irregulares , y donde y denotan los efectos periódicos y de festividades móviles, respectivamente. El componente periódico es modelado mediante una curvilínea que varía en el tiempo. Para capturar los picos en momentos como Navidad, un número relativamente grande de nudos son necesarios en un corto período. En otros momentos, la estructura estacional cambia muy lentamente necesitándose solamente unos pocos nudos. Consideraciones similares son aplicables en el modelado de la demanda por electricidad dentro de cada día, lo que es descripto en la subsección 21.2.3. Aquí la situación es complicada por la interacción entre la posición de las variables dummies necesarias para capturar las festividades móviles y los nudos usados para capturar el resto de la estructura estacional. La especificación final tiene diecinueve nudos decididos por factores tales como los cocientes de las coordenadas de los nudos
21.2. PERÍODOS ESPECIALES DE OBSERVACIÓN
329
y las dummies, los diagramas de diagnóstico y de los residuos, los estadísticos de bondad de ajuste y el desempeño de las predicciones. El efecto de cada feriado es modelado por un conjunto de variables dummies asignadas a las semanas adyacentes. El día del año en el cual el feriado ocurre, y por ende los días en los cuales las observaciones adyacentes ocurren, depende del calendario. Todos los feriados públicos en Gran Bretaña ocurren en lunes, excepto Viernes Santo, entonces once variables dummies estocásticas son especificadas para el tratamiento de ellos. No se pone ninguna restricción en los efectos de los feriados, aún cuando podría habérselo hecho. Por ejemplo, la misma variable de estado puede ser usada para el Feriado de Primavera y el de Agosto. Se incluye una dummy adicional en Junio de 1977 para el tratamiento del Jubileo de Plata de la Reina. Otro problema en los datos semanales es el manejo de los años bisiestos. Harvey, Koopman y Riani (1997) consideran dos soluciones diferentes. La primera es establecer el efecto del 29 de Febrero como idéntico al del 28 de Febrero, esto es, considerar al día 59 como que ocurre dos veces. Procediendo de esta manera se asegura que Navidad ocurre exactamente en el mismo punto de cada año, esto es en el día 359. Un enfoque algo diferente es permitir que el efecto del año bisiesto se reparta en todo el año. En este caso, la curvilínea es modificada multiplicando la posición de los nudos por 366/365. En el trabajo de Harvey, Koopman y Riani (1997) se observa que los residuos del modelo filtrado muestran considerable variabilidad alrededor de Navidad. El impacto de la Navidad y la velocidad con la cual la estructura puede cambiar significa que se puede encontrar un mejor modelo si se duplica la varianza de los nudos de Navidad. Haciéndolo así se obtienen residuos que son más parecidos a los de otras partes del año, reduciéndose, en consecuencia, los errores de predicción. En efecto, los autores muestran que trabajando de esta manera, los errores de predicción son menores que el 0.5% del nivel la mayor parte del tiempo.
21.2.2 Observaciones diarias Los modelos estructurales de series de tiempo pueden ser extendidos para permitir el manejo de observaciones diarias introduciendo un componente diario. Este es modelado en la misma forma que un componente estacional y puede permitírsele que evolucione en el tiempo. Otros componentes como la tendencia y la estacionalidad anual pueden ser introducidos como se lo hizo antes.
330
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
La colección de trabajos en Bunn y Farmer (1985) nos permiten un sobrevuelo sobre los diferentes tipos de modelos que, hasta hace poco tiempo, se empleaba en la predicción a corto plazo de la energía. El enfoque principal está basado en los modelos ARIMA, de regresión, suavizado exponencial o alguna mezcla de ellos. Para observaciones diarias, el llamado “modelo ARIMA de aerolíneas”, basado en la operación de diferenciación , es algunas veces usado. De cualquier manera, es poco probable que uno pueda identificar tal modelo a partir del correlograma en la forma propuesta por Box y Jenkins (1976). Koopman y Gordon (1997) consideran el consumo promedio diario de electricidad entre Enero de 1991 y Diciembre de 1994 para tres áreas de Brasil (Minas Gerais, Rio de Janeiro y Curitiba). El modelo incluye una tendencia a largo plazo, un efecto estacional diario ( = 7), una curvilínea periódica para la estacionalidad anual con diez nudos distribuidos sobre el año calendario y un conjunto de variables dummies para los feriados nacionales y locales. Se incluyeron variables dummies para los efectos posteriores a los feriados. La curvilínea para la estacionalidad anual no es variable en el tiempo ya que solamente están disponibles cuatro años de datos. Por lo tanto, las curvilíneas se reducen a en efecto de regresión permitiendo el uso sin modificaciones del paquete STAMP 5.0. El modelo ajustado resultó ser razonablemente bueno, pero los datos están sujetos a un número de outliers dentro de cada año, algunos muy grandes en magnitud. Se concluye que el supuesto de normalidad para los componentes irregulares no es apropiado. Adoptando las técnicas de §21.4 es posible modelar a los irregulares mediante una distribución de colas pesadas como la o una mezcla de normales.
21.2.3 Observaciones horarias Efectos dentro del día ocurren en una gran variedad de aplicaciones. Por ejemplo, la demanda y la oferta regional de energía como el gas y la electricidad, el uso regional de agua, el número de llamadas telefónicas recibidas, la cantidad de dinero sacada de los cajeros automáticos, el flujo de tráfico en una avenida de circunvalación, el nivel de polución del aire en una ciudad, son observadas a intervalos casi permanentes. Tales datos pueden ser acumulados de forma, por ejemplo, horaria o minuto a minuto para hacer la serie más manejable. En el contexto de la demanda de electricidad, la estructura dentro del día es conocida como la curva de carga. Es deseable
21.2. PERÍODOS ESPECIALES DE OBSERVACIÓN
331
modelar la curva de carga de una forma parsimoniosa para datos horarios, y resulta aún más importante cuando las observaciones se las obtiene con mayor frecuencia. Por ejemplo, si se tienen datos horarios de la demanda de electricidad para el verano y para el invierno en una cierta región, necesitaremos considerar un efecto periódico que varía en el tiempo dado que las dos estaciones son claramente diferentes. También suele ser diferente la demanda promedio diaria en el invierno que la correspondiente al verano. El principal propósito de un modelo horario es predecir la demanda de electricidad futura con dos o tres días de anticipación. El modelo horario está dado por = + + +
= 1 2
(21.5)
con tendencia e irregulares como siempre y donde y denotan los efectos dentro del día y los explicativos, respectivamente. Los irregulares pueden ser modelados como un proceso ARMA de bajo orden para describir la dinámica restante de corto plazo en la serie. Los efectos estándares dentro del día son descriptos por una curvilínea periódica. Un cierto trabajo experimental es necesario para determinar la posición de los nudos. Para capturar los picos durante las mañanas y al final de las tardes, se usan más nudos en esos momentos. Desafortunadamente, la misma estructura dentro del día no será aplicable a todos los días de la semana; en sábados y domingos el nivel de la demanda por electricidad y la estructura dentro del día difiere de los otros días de la semana. Una forma de manejar este problema es establecer una curvilínea que sea cero al principio y al final del día y que se agregue e la curvilínea del día normal. Una solución alternativa, preferida por Harvey y Koopman (1993), es establecer una curvilínea para toda la semana, en donde los nudos son restringidos de tal manera que tienen los mismos valores para los días estándares. La introducción de variables explicativas en series de tiempo estructurales es directa; ver §18.5. En el contexto de series de tiempo periódicas, las variables explicativas pueden comportarse en forma diferente a la variable dependiente en varios momentos del ciclo estacional (invierno - verano, mañana noche). Cuando disponemos de suficientes observaciones estos diferentes efectos a lo largo de la estructura periódica pueden ser identificados estableciendo curvilíneas periódicas para los coeficientes de regresión. El efecto explicativo puede ser diferente para diferente valores de la variable explicativa. Por
332
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
ejemplo, valores extremos de temperatura tienen un efecto pronunciado en la demanda de electricidad (cuando está frío, el efecto de la calefacción afecta la demanda y cuando está caliente, el aire acondicionado afecta la demanda), mientras que valores moderados de temperatura puede no afectar la demanda de electricidad de forma significativa. Este efecto de la temperatura suele poder modelarse por una curvilínea cúbica donde la posición de los nudos está emplazada dentro del rango de valores de la temperatura.
21.3 Tiempo Continuo y Espaciado Irregular Los componentes típicos de una serie de tiempo pueden ser formulados en tiempo continuo; ver Jones (1993) y Harvey y Stock (1994). Esto tiene el atractivo de que el modelo es independiente del intervalo entre observaciones. En efecto, las observaciones pueden estar irregularmente espaciadas.
21.3.1 Modelos de espacio de estado en tiempo continuo En lo que sigue supondremos que se tienen datos irregularmente espaciados en el tiempo y observados en los momentos = 1 . Estos momentos de observación están separados cada uno por unidades del tiempo calendario, de tal manera que = 1 + . El vector de estado en tiempo continuo se lo denota como () y en el momento de observación se lo escribe como = ( ). Entonces, la convención es que cantidades tales como () e y() son procesos continuos en el tiempo mientras que e y denotan los datos muestrales de esos procesos en los momentos discretos. El proceso observable de tiempo discreto es y y los datos son las observaciones de la serie de tiempo (y1 y ). El análogo en tiempo continuo de la ecuación de transición en tiempo discreto e invariante en el tiempo dada en (18.1) es
() = A() + R ()
(21.6)
donde las matrices A y R pueden ser funciones de los hiperparámetros y () es un proceso de Wiener multivariado y de tiempo continuo. Para una interpretación formal de las ecuaciones diferenciales lineales y estocásticas,
21.3. TIEMPO CONTINUO Y ESPACIADO IRREGULAR
333
ver Bergstrom (1983). Los procesos de Wiener tienen incrementos independientes que son Gaussianos con media cero y matriz de varianzas
Z Z
()
() = ( )Q 0
(21.7)
donde Q es una matriz positiva semidefinida. Supongamos que tenemos una serie univariada de observaciones en los momentos , para = 1 . Para una variable de stock las observaciones están definidas por = Z +
= 1
(21.8)
donde es un error o disturbio de tipo ruido blanco, con media cero y varianza 2 , el cual es no correlacionado con los incrementos de () en todos los momentos de tiempo. Para un flujo
Z
=
Z
Z() +
1
()
(21.9)
1
donde () es un proceso estocástico de tiempo continuo con incrementos no correlacionados, el que tiene media cero y varianza 2 sobre un intervalo unitario de tiempo. El proceso () es no correlacionado con () en todos los momentos de tiempo en el que
Z Z
()
() = 0
para todo y
(21.10)
La formulación de espacio de estado de los modelos de tiempo continuo es derivada de la ecuación integral estocástica que define la ecuación diferencial estocástica (21.6). La relación entre el vector de estado en el momento y el correspondiente en el momento 1 está dada por
Z
( ) = e A ( 1 ) +
1
eA(
)
R ()
(21.11)
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
334
Esto produce la ecuación de transición en tiempo discreto = T +
(21.12)
donde T = e A , y es un disturbio multivariado de tipo ruido blanco con media cero y matriz de varianza
Z
Q =
eA(
)
RQR0 eA ( 0
)
(21.13)
0
En esta sección usaremos el modelo de tendencia lineal local para ilustrar los métodos descriptos. El componente de tendencia lineal local en tiempo continuo es
µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ () ()
=
0 1 0 0
() ()
+
() ()
(21.14)
donde los procesos en tiempo continuo () y () tienen incrementos mutuamente y serialmente no correlacionados, y varianzas 2 y 2 respectivamente.
21.3.2 Variables de stock La forma discreta de espacio de estado para variables de stock generadas por un proceso en tiempo continuo consiste en la ecuación de transición (21.12) junto con la ecuación de medida (21.8). El filtro y suavizador de Kalman puede ser aplicado en la forma estándar. Cuando las observaciones están equiespaciadas el modelo implicado en tiempo discreto es invariante en el tiempo y es tomada como igual a uno. De cualquier manera, una de las grandes ventajas del enfoque en tiempo continuo es la facilidad de manejo de las series irregularmente espaciadas, por lo tanto consideramos un general. Una vez que el modelo ha sido estimado puede ser usado para interpolar en cualquier punto del tiempo. Esto se hace mediante suavizado usando el mismo enfoque que fue usado para estimar los valores faltantes. Los componentes en tiempo continuo pueden ser combinados para producir modelos estructurales. Como en el caso discreto, usualmente se supone que los componentes son mutuamente no correlacionados por lo que pueden ser evaluados en forma separada. Consideremos el componente de tendencia lineal local dado en (21.14). Para un modelo de tendencia lineal local en
21.3. TIEMPO TIEMPO CONTINUO CONTINUO Y ESPAC ESPACIADO IADO IRREGU IRREGULAR LAR
335
tiempo continuo, T = eA está dado por
T = exp
½µ ¶ ¾ µ ¶ µ ¶ 0 1 0 0
I+
0 0 0
1 0 1
=
(21.15)
Entonces, la representación en tiempo discreto de (21.14) es
µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶
=
1 0 1
1
+
1
(21.16)
La estructura simple de la matriz exponencial del integrando de (21.13) junto junto con (21.15) (21.15) nos permite permite evalua evaluarr explícitam explícitamen ente te la matriz matriz de varianzas arianzas de los errores en tiempo discreto, produciendo
µ ¶ µ
=
2 2 2 + 3 2 2
2 2 2
¶
(21.17)
Cuando Cuando = 1, el modelo dado en (21.16) se reduce al de tendencia local lineal lineal en tiempo discreto discreto dado en (18.8). (18.8). De cualquier cualquier manera, manera, la ecuación ecuación (21.17) muestra que la falta de correlación de los errores en tiempo continuo implica que los correspondientes errores en tiempo discreto son correlacionados.
21.3 21 .3.3 .3 Varia ariabl bles es de flujo Variables de flujo observadas están definidas nidas en (21.9). (21.9). Para desarrolla desarrollarr un modelos de espacio de estado en tiempo continuo para variables de flujo, es útil introducir una variable acumuladora (o integradora) en tiempo continuo,
Z
+
( + ) =
()
0 6
(21.18)
Entonces, = ( ) para = 1 . . Esta de definición, junto con (21.9), (21.11) y cierta cantidad de manipulación (Harvey y Stock, 1994), implica que el acumulador en el momento puede ser escrito como ( ) = ZW( )( 1 ) + Z ( ) + ( )
(21.19)
CAPÍTUL CAPÍTULO O 21. SERIES SERIES IRREGU IRREGULAR LARES ES II
336 donde
Z Z Z
( ) =
W(
)R()
1
( ) =
( ()
1
eA
W() =
0
Ahora hagamos ( ), ( ) e ( ). Reco Recorda rdando ndo que ( ) = y combinando (21.12) con (21.19) resulta la forma de espacio de estado aumentada
µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ ¡ ¢µ ¶
eA 0 ZW( ) 0
=
=
0 1
1
+
1
I 0 0 Z
+
0
(21.20)
con ( ( ) = 2 y
µ ¶ Z µ
=
eA RQR eA RQR RQR0 eA RQR0 W()0 W()RQR RQR0 eA W()RQR RQR0 W()0 0
0
0
¶
= = Q + (21.21)
Los estimadores por máxima verosimilitud de los hiperparámetros pueden ser calculados usando la descomposición del error de predicción y aplicando el filtro de Kalman a (21.20). Regresando a nuestro ejemplo del modelo de tendencia lineal local, vemos que
Z µ ¶ µ ¶
W() =
0
1 0 1
= =
0
2 2
(21.22)
21.4. NO GAUSS GAUSSIANID IANIDAD AD Y ROBU ROBUSTE STEZ Z
337
Entonces, el elemento inferior derecho de la matriz (21.21), el cual es a su vez una matriz, está dado por
Z
( ( ) =
W()RQR RQR0 W()0 =
0
Ã
3
2 3
+
5
4
2 20
2 8 3 2 3
4
2 8
¡ ¢ Z Ã
!
(21.23)
0
donde en este caso es el vector de orden 2 × 1 × 1.. Lo Loss bloque bloquess fuera de la diagonal de (21.21) son derivados en forma similar, dando
cov( 0 ) =
W()RQR RQR0 eA 0
0
2 2 2
=
+
4 2 8
3
2 3
2 2 6 2 2 2
!
(21.24)
El modelo de nivel local es un caso especial de esto, en donde ( ( ) y cov( 0 ) son escalares consistentes en los elementos superiores izquierdos de (21.23) y (21.24) respectivamente.
21.4 21 .4 No Gaus Gaussi sian anid idad ad y Robus obuste tezz En §20.3 hemos propuesto que una vez que un outlier ha sido detectado, se lo puede manejar mediante la introducción de una variable dummy o mediant diantee un increm incremen ento to en la varianz arianza a del error error de me medic dició ión. n. En estos estos casos casos el modelo modelo perman permanece ece Ga Gaus ussia siano. no. Una Una estrat estrategi egia a altern alternat ativ iva a es aco acomod modar ar cualquier outlier mediante el supuesto que el error de medición es generado por una distribución de colas pesadas como la de Student o una mezcla de distribuciones Gaussianas. El modelo es, en estos casos, robusto en el sentido que las estimaciones de los componentes tendencia y estacionalidad, y las predicciones de observaciones futuras, estarán relativamente poco afectadas por obser observ vacion aciones es que, que, en un modelo modelo Ga Gaus ussia siano, no, serían serían clasi clasificadas cadas com como o outliers. outliers. Consin Consintien tiendo do que los disturbios disturbios en la ecuación ecuación de estado estado sean generados por una distribución de colas pesadas, se puede hacer que el modelo sea robusto a cambios estructurales. La desventaja de este enfoque es que el modelo no puede ser trabajado solamente mediante el uso de las técnicas de filtrado y suavizado lineal de Kalman.
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
338
Falta de Gaussianidad puede suceder como una consecuencia directa de la naturaleza de las observaciones. Así, para datos de conteo consistentes en enteros no negativos, una aproximación Gaussiana es irrazonable cuando los números son pequeños, y una distribución de Poisson o binomial negativa es más apropiada. Con observaciones cualitativas, las cuales en el caso binario son codificadas como ceros o unos, una distribución Bernoulli debe ser usada. Los modelos de regresión pueden fácilmente ser extendidos de tal manera que permitan tener observaciones no Gaussianas. Para datos provenientes de una familia exponencial esto nos conduce a la clase de modelos lineales generalizados (GLIM); ver McCullagh y Nelder (1989). Dentro del esquema GLIM, la media se supone que depende de una combinación lineal de variables explicativas la que determina la media de la distribución vía una función conectora. Un modelo determinístico de series de tiempo puede ser construido como un caso especí fico permitiendo que las variables explicativas sean funciones del tiempo. De cualquier manera, por las razones expuestas anteriormente, esto puede no ser satisfactorio. Las funciones del tiempo pueden, en consecuencia, ser coeficientes estocásticos dados como en el modelo estructural básico de series de tiempo presentado en (18.8). Más allá de las razones para la no Gaussianidad, podemos considerar un esquema general en el cual las observaciones satisfacen (y | 1 Y 1 ) = (y | ) = (y | )
(21.25)
donde = Z es llamada la señal. Los vectores de estado están determinados independientemente por = T
1 +
R
( )
= 1
(21.26)
donde los elementos del vector de disturbios son serialmente y mutuamente independientes. Una o ambas densidades (y | ) y ( ) pueden ser no Gaussianas. La matriz de selección R usualmente contiene columnas de alguna matriz diagonal de orden × , donde es la dimensión del vector de estado. Un filtro para un modelo de la forma (21.25) y (21.26) puede ser construido mediante integración numérica; ver Kitagawa (1987), Harvey (1989, sección 3.7) y Frühwirth-Schnatter (1994). De cualquier manera, este enfoque típicamente implica aproximaciones para las cuales la precisión no puede ser medida o es solamente posible su uso para modelos de baja dimensión. Recientemente, la literatura se ha enfocado en el análisis Bayesiano de los
21.4. NO GAUSSIANIDAD Y ROBUSTEZ
339
modelos de series de tiempo usando los métodos de simulaciones conocidos como “Markov Chain Monte Carlo” (MCMC), tales como el muestreo de Gibbs y el algoritmo Metropolis-Hastings. Estos métodos han sido usados por los estadísticos para una gran variedad de propósitos; ver Gilks, Richardson y Spiegelhalter (1996) para una extensiva revisión de ellos. Importantes contribuciones a la literatura de series de tiempo incluyen a Carlin, Polson y Sto er (1992), Shephard (1994), Carter y Kohn (1994, 1996) y Shephard y Pitt (1997). Métodos basados en modelos de inferencia clásica, calculando estimadores puntuales y los errores cuadráticos medios asociados, han sido recientemente desarrollados para modelos de espacio de estado por Shephard y Pitt (1997), Durbin y Koopman (1997, 2000 y 2001) y Abril (1999, Capítulos 4 y 5; 2001a y 2002) usando técnicas de simulaciones de Monte Carlos tales como “importance sampling”, variables “antithetic” y variables de control. Durbin y Koopman (2000) y Abril (1999, Capítulos 4 y 5; 2001a y 2002) presentan métodos exactos para calcular el estimador de modo posterior (“posterior mode estimator”) del vector de estado usando iterativamente el filtrado y suavizado de Kalman en lugar de simular. Ellos desarrollan una técnica de simulación para estimar la media posterior y su error medio cuadrático. Las muestras de Monte Carlo están basadas en la solución de modo posterior y son generadas por el suavizador de simulación de de Jong y Shephard (1995). Los métodos cuentan con fórmulas elegantes, la computación es eficiente y un número relativamente pequeño de muestras deben simularse. Shephard y Pitt (1997) y Durbin y Koopman (1997) discuten la estimación de parámetros por máxima verosimilitud basada en técnicas similares de simulación. El método de estimación desarrollado por Abril (2001a) para la estimación de modo posterior se basa en un mecanismo que ha sido considerado para el suavizado curvilíneo en §18.6. Sea el vector apilado (01 0 )0 y sea ( | Y ) la densidad condicional de dado Y , el estimador de modo posterior (EMP) de se define como el valor de que maximiza ( | Y ). Cuando el modelo es lineal y Gaussiano, = ( | Y ); éste es el estimador de con el que hemos estado trabajando en el Capítulo 19. Cuando las observaciones no son Gaussianas, en cambio, ( | Y ) es generalmente difícil o imposible de computar y usar el modo en su lugar es una alternativa natural. Aun más, se puede argumentar que en el caso no Gaussiano el EMP es preferible a ( | Y ), puesto que es el valor más probable de dado los datos. En ese aspecto puede ser pensado como análogo al estimador por máxima verosimilitud de un vector paramétrico fi jo; ver, por ejemplo, Whit-
bb
340
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
tle (1991) y la discusión subsecuente. El -ésimo vector de se denomina el valor suavizado de y se lo denota como . Sea A el vector apilado (01 0 )0 , = 1 , entonces es el EMP de A y para el filtrado, el EMP de A dado Y 1 es el valor de A que maximiza la densidad condicional (A | Y 1 ), = 1 . El -ésimo subvector de éste se lo denota como a . En todos los casos que consideraremos, el EMP es la solución de las ecuaciones
b
b
b
log ( | Y ) = 0
b
= 1
(21.27)
No obstante y puesto que log ( | Y ) = log ( Y ) log (Y), es más fácil de obtener el estimador a partir de la distribución conjunta como la solución de las ecuaciones log ( Y ) = 0
= 1
(21.28)
De forma similar, en el momento del filtrado el EMP de A dado Y 1 es la solución de las ecuaciones
log (A Y 1 ) = 0
= 1
(21.29)
Dejamos de lado por el momento la cuestión de la iniciación. En el caso no Gaussiano estas ecuaciones son no lineales y deben ser resueltas mediante métodos iterativos. La idea que usaremos para obtener los pasos adecuados de las iteraciones es la siguiente. Se escriben las ecuaciones (21.28) para el análogo lineal y Gaussiano del modelo bajo consideración. Puesto que para las densidades Gaussianas los modos son iguales a las medias, la solución de las ecuaciones es ( | Y ). Pero sabemos que ella está dada por el suavizador y filtro de Kalman. Se sigue que en el caso lineal Gaussiano las ecuaciones pueden ser resueltas por el suavizador y filtro de Kalman. Ahora bien, retornando al caso no Gaussiano, sea un valor experimental de , se construye una forma linealizada de (21.28) usando . Esto puede ser hecho expandiendo localmente la fórmula antes nombrada alrededor de o mediante otros métodos que son ilustrados en Abril (2001a). Se manipula las ecuaciones lineales resultantes hasta llegar a una forma que se parece a las ecuaciones Gaussianas análogas y se resuelve usando el suavizador y filtro
e e
e
21.4. NO GAUSSIANIDAD Y ROBUSTEZ
341
de Kalman para obtener un valor mejorado de . Se repite y continúa el proceso hasta que una adecuada convergencia ha sido lograda. Por supuesto, esta iteración para la estimación del vector de estado debe ser combinada con iteraciones paralelas para la estimación del vector de hiperparámetros.
21.4.1 Observaciones no Gaussianas En esta subsección se describe como se aplica la metodología de Abril (2001a) cuando los datos son intrínsecamente no Gaussianos, y se supone que provienen de una familia exponencial. Entonces consideramos el modelo de la forma (21.25) y (21.26) con ( ) Gaussiano. West, Harrison y Migon (1985) propusieron métodos aproximados para manejar tales modelos con un enfoque Bayesiano, mientras que Fahrmeir (1992) sugirió un método basado en el filtro de Kalman extendido. Smith (1979, 1981) y Harvey y Fernandez (1989) dieron una solución exacta para modelos especí ficos de conteo usando propiedades especiales de distribuciones conjugadas cuando solamente el nivel de una serie de tiempo es permitido que cambie en el tiempo; ver también Grunwald, Guttorp y Raftery (1993). Ahora bien, éste último enfoque no está basado en el modelo (21.25) y (21.26) y no generaliza fácilmente.
Estimación de modo posterior Observaciones de una serie de tiempo provenientes de una familia exponencial general de distribuciones tienen densidad (y | ) = exp[ 0y ( ) + (y)]
(21.30)
donde = Z , = 1 . Retenemos la misma ecuación de estado de transición que en el caso Gaussiano dado en (18.1), esto es = T
1 +
R
(0 Q )
= 1
(21.31)
Este modelo cubre importantes aplicaciones de series de tiempo que ocurren en la práctica, incluyendo datos de series de tiempo distribuidos como binomial, Poisson, multinomial y exponencial. En (21.30), y se suponen que son funciones conocidas, e y es un vector de observaciones de orden × 1, el que puede ser continuo o discreto. Los supuestos con respecto a (21.31) son los mismos que en el caso Gaussiano. Si las observaciones y en (21.30) hubieran sido independientes con , y constantes, entonces (21.30) hubiera sido un modelo lineal generalizado, el
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
342
tratamiento del cual puede verse en McCullagh y Nelder (1989). El modelo (21.30) y (21.31) fue propuesto para tipos apropiados de datos de series de tiempo no Gaussianas por West, Harrison y Migon (1985), quienes lo llamaron el modelo lineal generalizado dinámico. Ellos dieron un tratamiento aproximado basado en distribuciones a priori conjugadas. El tratamiento presentado aquí difiere completamente del de ellos. La razón principal para incluir R en (21.31) es que algunas ecuaciones de (21.31) tienen término de error igual a cero. Esto ocurre, por ejemplo, cuando algunos elementos del vector de estado son coeficientes de regresión constantes en el tiempo. La función de R es entonces seleccionar aquellos términos de error que no son cero. Esto se hace tomando las columnas de R como un subconjunto de las columnas de la matriz identidad I. Por simplicidad supongamos que esto es así. Entonces R0 R = I , donde es el número de términos de error distintos de cero. También, R Q R0 y R Q 1 R0 son inversas generalizadas de Moore-Penrose una de la otra (ver, por ejemplo, §16.5 de Rao, 1973). Puesto que ningún elemento de necesita ser degenerado, suponemos que Q es positiva definida. Por simplicidad, supongamos que 0 es fi ja y conocida, dejando de lado las consideraciones de la cuestión de la iniciación, las que pueden verse en Abril (1999 y 2001a). El logaritmo de la densidad de Y es entonces
+
X X
1 log ( ) = 2
=1
=1
( T 1 )0 R Q 1 R0 ( T 1 )
[0 Z0 y (Z ) + (y )]
Diferenciando con respecto a e igualando a cero, obtenemos los EMP 1 como solución de las ecuaciones
b b
RQ 1R0 ( T
1)
1 R0+1 (+1 T+1 ) + T+1 R+1 Q+1 + Z0 [y b (Z )] = 0 (21.32)
para = 1 1, donde para = el segundo término del primer miembro está ausente. Aquí, b (x) denota el vector de orden × 1 de (x)x para cualquier vector x de orden × 1. Supongamos que sea un valor experimental de . Expandiendo b (Z ) alrededor de da
ee
b (Z ) = b (Z ) + b (Z )Z (
e
e
)
e
(21.33)
21.4. NO GAUSSIANIDAD Y ROBUSTEZ
343
hasta el primer orden, donde la matriz de orden × de segundas derivadas b (x) = b (x)x = 2 (x)x x0 . Poniendo
e
e
1
y = [b (Z )]
[y b (Z )] + Z
en el último término de (21.32) resulta Z0 b (Z )[y
ee
e e
Z]
(21.34)
Ahora las ecuaciones correspondientes a (21.32) para el modelo lineal Gaussiano (18.1) son
RQ 1R0 ( T
1)
1 R0+1 (+1 T+1 ) + T+1 R+1 Q+1 + Z0 H 1 (y Z ) = 0 (21.35)
Comparando (21.34) con el último término de (21.35) vemos que la forma linealizada de (21.32) tiene la misma forma que (21.35) si se reemplaza y y 1 H por y y [b (Z )] . Puesto que la solución de (21.35) está dada por el suavizador y filtro de Kalman se sigue que con estas sustituciones la solución de la forma linealizada de (21.32) puede también ser obtenida mediante el suavizador y filtro de Kalman. Por este medio obtenemos un valor mejorado de el cual es usado como nuevo valor experimental para obtener un nuevo valor mejorado, y así hasta que se alcanza una adecuada convergencia. El valor al que converge = Z es el modo posterior de y se lo denota como . La iniciación del filtro de Kalman puede realizarse mediante alguna de la técnicas consideradas en §19.4.
e
b
e
e e
Estimación de los hiperparámetros La función de verosimilitud para modelos Gaussianos de espacio de estado puede ser obtenida mediante la descomposición del error de predicción; ver §19.6. Shephard y Pitt (1997), Durbin y Koopman (1997) y Abril (2001a) proponen métodos que permiten calcular la función de verosimilitud para el modelo no Gaussiano (21.25) y (21.26) con cualquier grado de precisión usando simulaciones de Monte Carlo. Las muestras son generadas con el suavizador de simulaciones de de Jong y Shephard (1995) basadas en el modelo Gaussiano aproximado que produce las estimaciones de modo posterior.
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
344
Durbin y Koopman (1977) y Abril (2001a) muestran que la función de verosimilitud de las observaciones generadas por el modelo no Gaussiano (21.25) y (21.26) puede ser expresada mediante la relación () = ()()
() =
(Y | ) (Y | )
(21.36)
donde = (1 )0 , es el vector de hiperparámetros, () es la función de verosimilitud del modelo Gaussiano aproximado, (Y | ) es la densidad no Gaussiana de la ecuación de medida (21.25) y es la llamada densidad de “importance”. Shephard y Pitt (1997) y Abril (2001a) proponen usar la densidad del siguiente modelo Gaussiano aproximado y = +
e
(0 H )
e e e e e
= 1
(21.37)
e b
para el cual y y H son calculados usando (21.33) y = , como la densidad de “importance”. El suavizador de simulaciones de de Jong y Shephard (1995) es usado para generar muestras de a partir de la distribución de “importance”. La -ésima muestra generada por el suavizador de simulaciones se la denota como () = ((1 ) () )0 , = 1 , donde es el tamaño de las simulaciones. La evaluación de la función de verosimilitud es basada en estas muestras simuladas y
b
() =
P
(21.38)
() donde = =1 y = ( ). Los cálculos en la computadora pueden ser implementados de forma muy eficiente. Se pueden usar en este procedimiento una gran variedad de técnicas de reducción de la varianza. Durbin y Koopman (1997) proponen una nueva y efectiva variable “antithetic” que trabaja en conjunto con la variable “antithetic” estándar en simulación. También desarrollan una variable de control. Es más conveniente trabajar con log () en lugar de () ya que los valores de log () son más manejables. Tomando log a (21.38) y corrigiendo por sesgo nos da
2 log () = log + log + 22
b
(21.39)
P
y la varianza asintótica de log () es ( ) donde = =1 ( )2 . La estimación por máxima verosimilitud de está basada en la maximización de (21.39) usando procedimientos de optimización numérica. Durbin
b
2
2
2
1
21.4. NO GAUSSIANIDAD Y ROBUSTEZ
345
y Koopman (1997) argumentan que solamente pequeños valores de N son necesarios para la estimación de los parámetros; por ejemplo, ellos proponen usar = 200 para la mayoría de los casos prácticos. Cuando el investigador no desea usar métodos de simulación, Durbin y Koopman (1997) dan una fórmula de aproximación para la función de verosimilitud basada en una expansión de Taylor de quinto orden. La aproximación trabaja bien para familias exponenciales de distribuciones. Una aproximación basada en la expansión de Taylor de primer orden nos conduce a la fórmula
b
log ( ) log + log
b b b b b
b
(21.40)
donde = ( ) y = (1 )0 . Maximizando una función de verosimilitud aproximada produce buenos valores iniciales sin simulación para . Durbin y Koopman (2000) también desarrollan métodos para la evaluación de media posterior del vector de estado y del error medio cuadrático asociado. Estos métodos están basados en técnicas similares de simulación siendo computacionalmente eficientes y requiriendo muestras simuladas de pocos cientos. De cualquier manera, el requerimiento de cómputos es sustancialmente mayor que para el cálculo de modo posterior. Después de investigar las diferencias entre el modo y la media para una gran cantidad de casos, ellos concluyen que las diferencias son muy pequeñas; en algunos casos el modo y la media son indistinguibles. Durbin y Koopman (2000) ilustran la aplicación de lo presentado anteriormente usando datos mensuales de conductores de vehículos utilitarios livianos muertos en accidentes de tráfico desde 1969 hasta 1984 en Gran Bretaña. Los datos consisten en valores enteros pequeños por lo tanto el uso de la distribución de Poisson es justificado. La media de la distribución de Poisson es modelada mediante el modelo estructural básico consistente en un nivel local (18.7), dummy estacionales (18.9) y una intervención de tipo escalón en Febrero de 1982 para medir el efecto de la legislación sobre cinturones de seguridad introducida en el mes anterior. La desviación estándar es estimada como 0 025 mientras que la desviación estándar es estimada como cero. La estimación de la intervención es 0 276, con error estándar 0 13, implicando una reducción del 24 1% en las fatalidades; ver por ejemplo Harvey (1989, p. 421).
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
346
21.4.2 Robustez Los modelos pueden ser hecho robustos permitiéndoles distribuciones con colas pesadas; ver Kitagawa (1990) y Bruce y Jurke (1996). Aquí mostramos cómo la metodología de Durbin y Koopman (2000) y Abril (2002) considera disturbios generados por la distribución . La metodología en sí misma es general: se aplica a cualquier distribución no Gaussiana incluyendo la Gamma y las mezclas de distribuciones, y también a modelos no lineales de series de tiempo.
“Outliers” Consideremos el modelo lineal para una serie univariada = +
()
= 1
(21.41)
donde () es una densidad no Gaussiana, = Z y es generado por (21.26) con ( ) Gaussiano. Aquí consideramos el caso en que la densidad ( ) está basada en la distribución de Student, por lo tanto
¡ ¢
1 + 1 log ( ) = constante + log ( ) + log log 1 + 2 (21.42) 2 2 donde ( ) =
¡¡ ¢¢
+1 2 2
1 = ( 2)
2
= 1 (21.43)
La media de es cero y la varianza es para cualquier valor de los grados de libertad, los cuales no necesitan ser enteros. Entonces el modo posterior de se lo obtiene mediante aplicación repetido del suavizador y filtro de Kalman a = +
(0 2 )
e e e e e e e e e
= 1
(21.44)
con = y
2 =
1 2 2 + + 1 + 1
(21.45)
donde es un valor inicial de prueba del modo posterior de . El procedimiento opera en la misma forma que para los modelos de familias exponenciales. Valores iniciales para pueden obtenerse del análisis Gaussiano del
21.4. NO GAUSSIANIDAD Y ROBUSTEZ
347
modelo (21.44) con 2 = . La convergencia al modo posterior usualmente sucede después de diez iteraciones. El modo posterior de se lo obtiene simplemente como = . La estimación por máxima verosimilitud de los hiperparámetros, incluyendo los grados de libertad , se la realiza exactamente igual que para el caso de las familias exponenciales. Las muestras simuladas son generadas del modelo Gaussiano (21.44) con = y 2 dada por (21.45) donde es reemplazado por la estimación de modo posterior . Durbin y Koopman (2000) consideran el logaritmo de la demanda trimestral de gas en Gran Bretaña para el período 1961-1986 para ilustrar cómo la metodología puede conducir a un efectivo método robusto de ajuste estacional. El desempeño del modelo estructural básico con una distribución para los irregulares es comparado con el desempeño del mismo modelo pero con irregulares Gaussianos. Ellos concluyen que el modelo captura los outliers mejor que el modelo Gaussiano, concluyendo que el modelo es robusto para la estimación del componente estacional mientras que el Gaussiano no lo es.
e
b b e e b
b
e
Cambios estructurales La metodología de Durbin y Koopman (2000) y Abril (2001a) también es aplicable a modelos con cambios estructurales en la tendencia. Consideremos un modelo estructural básico (18.1) para el cual los disturbios del nivel local (18.7) o de la tendencia lineal local (18.8) son generados por una distribución con grados de libertad y varianza , = 1 . La teoría general necesita ser modificada puesto que el error de estado es el que es no Gaussiano en lugar de serlo el error de observación. De cualquier manera, el método de cálculo de modo posterior de es sorpresivamente similar al método desarrollado en la sub-subsección anterior, pero con reemplazado por . El modelo Gaussiano aproximado es el modelo estructural básico con (0 2 ), donde 2 =
e
1 2 2 + + 1 + 1
e
e
(21.46)
y es un valor inicial de prueba de modo posterior de . Repitiendo el suavizador y filtro de Kalman para el modelo Gaussiano, el que produce nuevos valores de prueba para , conduce a la convergencia hacia el modo posterior . El modo posterior para la tendencia se lo obtiene mediante
e
b
e
CAPÍTULO 21. SERIES IRREGULARES II
348
= 1 + ; la iniciación 0 , junto con los detalles de la estimación por máxima verosimilitud están dados en Durbin y Koopman (2000).
b b b
b
21.5 Conclusión Este Capítulo y el anterior han cubierto un amplio rango de irregularidades en los datos y han mostrado que todos los problemas estadísticos asociados pueden ser tratados mediante el uso del enfoque de espacio de estado. Las series de tiempo estructurales tienen intuitivamente una atractiva representación de espacio de estado y el filtro y el suavizador de Kalman producen cantidades que tienen interpretaciones prácticas. Esto da a los modelos estructurales una clara ventaja sobre los modelos ARIMA cuando los datos son desordenados o irregulares. Aún más, la especificación de un modelos estructural adecuado no depende de estimaciones tales como el correlograma muestral, lo que está sujeto a distorsión ante la presencia de irregularidades en los datos. Una buena discusión sobre las ventajas del enfoque de espacio de estado sobre el ARIMA o de Box y Jenkins para el análisis de las series de tiempo puede verse en Abril (2001b). Los modelos estructurales pueden ser extendidos para tratar estructuras complicadas que varían en el tiempo. Investigaciones recientes han mostrado también que la estimación de los modelos estructurales con disturbios no Gaussianos es posible usando métodos modernos de simulación. Esto tiene importantes implicancias para el ajuste de modelos puesto que son robustos con respecto a los outliers y a los cambios estructurales. La conclusión general es que los modelos estructurales de series de tiempo proveen un unificado y práctico esquema para el tratamiento de las series de tiempo irregulares.
Capítulo 22 Ejercicios de la Cuarta Parte En este Capítulo presentamos un conjunto de ejercicios que corresponden a los temas tratados en la cuarta parte de este libro, con algunos agregados que se relacionan con los temas de la primera, segunda y tercera parte. Se ha decidido ponerlos a todos juntos por las mismas razones dadas en los Capítulos 7, 13 y 17.
22.1 Ejercicios 1. Considere el modelo con tendencia amortiguada = + (0 2 ) = 1 + 1 + (0 2 ) = 1 + (0 2 )
|| 1
donde , y son procesos ortogonales mutuamente independientes, para = 1 . (a) Ponga el modelo en la forma de espacio de estado. (b) Explique brevemente cómo evaluaría la verosimilitud exacta para un dado conjunto de parámetros. (c) Obtenga una expresión para el predictor óptimo de + en términos de las estimaciones finales y .
e e
2. Considere un modelo trimestral compuesto de una tendencia de tipo camino aleatorio y de una estacionalidad que cambia suavemente, de 349
CAPÍTULO 22. EJERCICIOS DE LA CUARTA PARTE
350 la forma
= + = 1 + = 1
2
3 +
donde y son mutuamente y serialmente independientes, normales, con medias 0 y varianzas 2 y 2 respectivamente. (a) Derive la función de autocorrelación del modelo después de realizar una transformación apropiada para lograr estacionariedad. (b) ¿Qué clase de modelo ARIMA es la forma reducida? (No necesita calcular valores de los parámetros ). (c) Encuentre el predictor óptimo de un año adelante y determine su error medio cuadrático. (d) Ponga al modelo en la forma de espacio de estado. 3. Considere el modelo ARIMA (0 1 1)
= + 1
= 2
(22.1)
donde la variables aleatorias ’s son independientes (0 2 ), y el modelo de camino aleatorio más ruido = + = 1 +
(0 2 ) (0 2 )
(22.2)
donde las ’s y las ’s son serialmente y mutuamente independientes. Mediante la determinación de la función de autocovarianzas teórica de la forma diferenciada, muestre que ( 2 + 4 )12 2 = 2 Si el modelo (22.2) es reformado de tal manera que la covarianza entre los dos errores es en lugar de cero, muestre que la autocorrelación de primer orden puede ser positiva.
22.1. EJERCICIOS
351
4. Considere el modelo con tendencia amortiguada = + (0 2 ) = 1 + 1 + (0 2 ) = 1 + (0 2 )
|| 1
donde , y son procesos ortogonales mutuamente independientes, para = 1 . (a) Encuentre la función de autocorrelación de la forma estacionaria del modelo. (b) Determine los valores de y en la correspondiente forma reducida de un modelo ARIMA( ). 5. Considere el camino aleatorio con valor inicial 0 fi jo. (a) Encuentre expresiones para la media y la varianza de . ¿Es el proceso estacionario? (b) Encuentre la función de predicción y el error cuadrático medio asociado del predictor pasos adelante. Construya un intervalo de confianza de la predicción del 95%. (c) Si el modelo contiene un desplazamiento , muestre que ese desplazamiento puede ser estimado a partir de la primera y la última observaciones solamente. 6. Considere el modelo de camino aleatorio más ruido = + = 1 +
(0 2 ) (0 2 )
(22.3)
donde las ’s y las ’s son serialmente y mutuamente independientes. Supóngase que el filtro de Kalman para (22.3) es iniciado con 0 = 0 y 0 = . Muestre que cuando , esto es equivalente a iniciarlo en = 1 con 1 = 1 y 1 = 2 . 7. Sea , = 1 , una serie de observaciones del logaritmo del nivel de precios en el mes . Un analista financiero ajustó un modelo ARIMA(0 2 1) a esos datos y estimó al parámetro de promedio móvil como 0 5 y a la varianza del error como 0 4.
352
CAPÍTULO 22. EJERCICIOS DE LA CUARTA PARTE
(a) Calcule estimaciones de los parámetros 2 y en el modelo de nivel local aplicado a la tasa de inflación (= ) = + = 1 +
(0 2 ) (0 2 )
donde las ’s y las ’s son serialmente y mutuamente independientes. (b) ¿Cómo calcularía y estimaría la tasa de inflación corriente subyacente, ? Escriba una expresión para el error medio cuadrático de ese estimador en términos de las cantidades generadas por el filtro. Consecuentemente, determine el error medio cuadrático del predictor óptimo de la tasa de inflación un año adelante. 8. El correlograma para una serie trimestral muy larga luego de tomar primeras diferencias y diferencias estacionales es ( )
1 2 3 0 4 0 0 2
4 5 6 0 5 0 2 0
Igualando autocorrelaciones teóricas y muestrales, estime los parámetros en el modelo estacional ARIMA(0 1 1)×(0 1 1) (o sea, un modelo de aerolínea). Comente las características del modelo ajustado. Escriba un modelo estructural de series de tiempo que sea equivalente al modelo de aerolínea. Estime la varianza de los errores en el componente tendencia relativa a la varianza del término irregular.
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Índice de Materias Aditivo, modelo, 17, 271 Agregado contemporáneo, 309 Agregado temporal, 308 AIC criterio, 106 AICC criterio, 107 Análisis espectral, véase Espectro AR(1), véase Modelo autorregresivo de primer orden AR(2), véase Modelo autorregresivo de segundo orden AR(k), véase Modelo autorregresivo de orden k ARMA(k, h), véase Modelo ARMA(k, h) Autocorrelación, 26 correlograma, 27 función de, 26 matriz de, 28 Autocorrelación muestral, 68 matriz de, 68 Autocorrelación parcial, 29 correlograma parcial, 30 función de, 29 Autocorrelación parcial muestral, 69 Autocovarianza muestral, 140 Autocovarianzas, 25 función de, 8, 10, 25 matriz circular de, 132
matriz de, 27 Autorregresión, véase Modelo autorregresivo BIC criterio, 107 Box-Cox transformación de, 104 Box-Jenkins enfoque de, 71, 98 Box-Pierce estadístico de, 109 Cambios estructurales, 14, 297, 309, 347 en el nivel, 310, 317 en la estacionalidad, 312, 318 en la pendiente, 310, 318 Camino aleatorio, 39, 271, 275 cuasi-, 275 integrado, 272 CAT criterio, 106 Ciclo, 17, 271, 277 determinístico, 277 estocástico, 277 Circularización, 73 Co-espectro, 187 Coherencia, 187, 191, 193, 198, 199 diagrama de la, 189 Control de diagnóstico, 106, 302 371
372 Convergencia en media cuadrática, 31 Correlación serial, 67 circular, 73 coeficiente de, 26, 67 distribución de R. L. Anderson, 76 estimación de la, 68 poder de los tests, 78 resultados aproximados, 77 test de, 72 Correlación serial parcial coeficiente de, 29 estimación de la, 69 Correlograma, véase Autocorrelación Correlograma parcial, véase Autocorrelación parcial Covarianzas conjuntas, matriz de, 186 Cramer representación de, 126 Curvilínea discreta, 287 Curvilíneas, 15, 286, 326 Diagonalización de la matriz de autocovarianzas, 132 Difusa, distribución a priori, 294, 296, 299 Disturbio, véase Error Dominio de las frecuencias, 2 Dominio del tiempo, 2 Dummy, véase Variables ficticias Durbin algoritmo de, 85 Ecuación de estado, véase Ecuación de transición
ÍNDICE DE MATERIAS
Ecuación de medida, 266, 291 Ecuación de observación, véase Ecuación de medida Ecuación de transición, 266, 291 Ecuación estocástica en diferencias de orden k, 44 de primer orden, 34 de segundo orden, 40 Ecuación polinomial asociada al modelo AR(k), 45 al modelo MA(k), 54 EE, véase Espacio de estado Eficiencia, 217 mínima, 221 EM algoritmo, 299 EMP, véase Estimador de modo posterior Ergódico teorema, 31 Ergodicidad, 30 Error, 17, 267, 271 Error cuadrático medio mínimo, 295 Error de predicción descomposición del, 299 Error de predicción un paso adelante, 97, 293 Errores esféricos, 216 no-esféricos, 217 Espacio de estado, 13, 265 modelo básico de, véase Espacio de estado, modelo lineal Gaussiano de, véase Espacio de estado, modelo lineal Gaussiano de modelo lineal Gaussiano de, 266, 267
ÍNDICE DE MATERIAS
modelo lineal gaussiano de, 291 Espectral densidad, véase Espectral, función de densidad densidad conjunta, 187 densidad cruzada, 187 densidad de un proceso AR(1), 127 densidad de un proceso ortogonal, 126 función de densidad, 10, 123, 126 función de distribución, 123, 126 estimación de, 156 representación, 117, 126 Espectro, 7, 8, 10 en cuadratura, 187 estimación autorregresiva, 11 estimación consistente del, 146 estimación de Bartlett, 153, 174 estimación de Daniell, 151 estimación por máxima entropía, 11 estimación por máxima verosimilitud, 11 estimación truncada, 153 estimadores de ventana, 11 Espectro cruzado estimación consistente del, 187, 200 Estacionalidad, 17, 102, 267, 271, 274, 282 determinística, 274 estocástica, 275 Estacionariedad, 10, 14, 24 completa o estricta, 24 conjunta, 185 débil o ámplia, 24
373 Estimación de modo posterior, 341, 346, 347 de regresión con errores AR(1), 240 de regresión con errores ARMA(p, q), 243 de regresión con errores correlacionados, 239 de regresión con errores correlacionados en el dominio de las frecuencias, 246 de regresiones separadas con errores correlacionados en el dominio de las frecuencias, 253 del modelo, 105 eficiente en tres pasos de regresión con errores correlacionados, 243 en el dominio de las frecuencias, 175 en el dominio del tiempo, 81 Estimador de modo posterior, 339 Fase, 189 diagrama de, 190 Fast Fourier transform, véase Fourier, transformada rápida de Filtrado, 268, 289, 291 Filtro de Kalman, 14, 291, 294 Filtro lineal, 130 dependiente del tiempo, 130 invariante en el tiempo, 130 Fisher método de los marcadores, 245 Forma reducida, 278 Fourier inversas de, 125, 126, 148
374 matriz de, 136 serie de, 124 transformada de, 148 transformada rápida de, 157 vectores de, 132 Frecuencias análisis en el dominio de las, 117 modelos en el dominio de las, 117 Función de predicción eventual, 101 Función generatriz de autocovarianzas, 60 Función marcadora, 301 Ganancia, 190 diagrama de la, 190 Hiperparámetros, 269, 289, 298, 299 estimación por máxima verosimilitud, 289, 298, 343 Identificación, 102 Importance densidad de, 344 muestreo, 344 Iniciación, 266, 294 Invertibilidad de un MA, 55 IRW, véase Camino aleatorio integrado Kantorovich desigualdad de, 221 Kolmogorov fórmula para la varianza, 178 Lag, véase Rezago Ljung-Box estadístico de, 109
ÍNDICE DE MATERIAS
Máxima verosimilitud estimación por, 82, 106, 280, 298 Mínimo error medio cuadrático de predicción, 96, 302 Mínimos cuadrados, 216 estimación por, 83, 85 generalizados, 217 MA(1), véase Modelo de promedio móvil de primer orden MA(h), véase Modelo de promedio móvil de orden Markov modelo de, 34 serie de, 34 MBEE, véase Espacio de estado, modelo lineal Gaussiano de MC, véase Mínimos cuadrados MEB, véase Modelo estructural básico MEMCP, véase Mínimo error medio cuadrático de predicción MEST, véase Modelo estructural Modelo AR(2), véase Modelo autorregresivo de segundo orden Modelo AR(k), véase Modelos autorregresivo de orden k Modelo ARIMA, 12, 100, 280, 282, 284 Modelo ARMA(k, h), véase Modelo autorregresivo - de promedio móvil Modelo autorregresivo, 9 de orden k, 9, 44 estimación en, 84 de primer orden, 33 estimación en, 82
ÍNDICE DE MATERIAS
de segundo orden, 9, 40 Modelo autorregresivo - de promedio móvil, 12, 55, 280 estimación en, 81, 92, 175 estimación en el dominio de las frecuencias, 177 predicción de, 96 Modelo de aerolínea, 279 Modelo de promedio móvil de orden h, 9, 48 estimación en, 89 de primer orden, 47 estimación en, 86 Modelo estacionario predicción de un, 98 Modelo estructural, 15, 267, 276 básico, 276 Modelo lineal generalizado, 341 dinámico, 342 Modelo MA(h), véase Modelo de promedio móvil de orden h Modelo mixto, véase Modelo autorregresivo - de promedio móvil Modelo no estacionario y estacional predicción de un, 101 y no estacional predicción de un, 99 Modelos estocásticos lineales, 33 Modo posterior, estimación, 288 Multiplicativo, modelo, 17, 271 MV, véase Máxima verosimilitud Newton-Gauss método de, 93 Newton-Raphson método de, 244
375 Nivel local, modelo de, 271, 273, 337 Observaciones atípicas, 14, 309, 337, 346 detección de, 313 diarias, 329 faltantes, 14, 304, 305 en variables de stock, 306 horarias, 15, 330 irregularmente espaciadas, 14, 307, 332 no Gaussianas, 15, 337 semanales, 15, 327 Observaciones atípicas, 297 Orden del modelo criterio AIC, 10 criterio CAT, 10 Outliers, véase Observaciones atípicas Parsimonia, 107 Período, 278 Perfil de predicción, 97 Periodograma, 8, 11, 139 cruzado, 201 de intensidad, 139 Portmanteau test, 110 Predicción, 2, 12, 95, 292, 302 de Box y Jenkins, 98 hacia atrás, 94 Proceso ARIMA, véase Modelo ARIMA Proceso autorregresivo, véase Modelo autorregresivo Proceso autorregresivo - de promedio móvil, véase Modelo au-
376 torregresivo - de promedio móvil Proceso de promedios móviles, véase Modelo de promedio móvil Proceso determinístico, 65 Proceso lineal, 66 Proceso ortogonal, 15, 32, 63, 127 Proceso puramente no determinístico, 65 Proceso singular, véase Proceso determinístico Procesos estocásticos, 21 estacionarios, 25 normales o Gaussianos, 25 Quasi-Newton-Raphson, véase Fisher, método de los marcadores Regresión, 215 y series de tiempo, 220 Relación de transición, véase Ecuación de transición Residuos auxiliares de la pendiente, 318 del nivel, 318 irregulares, 315—317 Residuos estandarizados suavizados, 315 Residuos suavizados, 296, 317 Respuesta en las frecuencias función de, 131 Rezago, 25, 40 Robustez, 337, 346 Ruido blanco, véase Proceso ortogonal Scoring, véase Fisher, método de los marcadores Serie de Fourier, 7
ÍNDICE DE MATERIAS
Serie de tiempo, 1, 16, 17 análisis, 2 continua, 16 discreta, 16 modelado, 2 modelo de, 16 Sesgo en la estimación por MC de la varianza, 225 Sobreajuste, 106 Splines, véase Curvilíneas ST, véase Serie de tiempo Suavizado, 268, 289, 292, 295 curvilíneo, 286 Suavizador, 297 clásico, 297 de intervalo fi jo, 297 de punto fi jo, 297 de rezago fi jo, 297 Tendencia, 17, 99, 102, 267, 271, 282, 284 determinística, 273 estocástica, 273 lineal local, modelo de, 272, 295, 334, 336 lineal más ruido, 273 Test de correlación serial, 231 de correlación serial basado en el periodograma acumulado, 236 de Durbin-Watson, 231 de estacionariedad, 172 de Schuster de periodicidad, 163 del periodograma acumulado, 167
