espacio vectorial.docx

40 – Matemáticas Matemáticas I

Parte II

Algebra Lineal´

Prof: José Antonio Abia Vian

I.T.I. en Electricidad

41 – Matemáticas I : Algebra Lineal´

Tema 4

Espacios vectoriales reales 4.1

Espacios vectoriales

V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con Definición 88.- Un espacio vectorial real dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” y otra que recibe el nombre de “producto de vectores por números reales” o “producto por escalares”, que verifican las siguientes propiedades: (1) u + v

∈ V

;

∀ u

(2) u + v

=v+u;

,v

∈ V

∀ u

.

,v

∈ V

.

(3) u + ( v + w ) = (u + v ) + w ;

∀ u,

v,w

∈ V

.

(4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por

0, tal que:

(5) Para cada

opuesto

u

∈

V , existe un vector de

V , llamado

0+u=u+0=u;

de u

y denotado por

∀ u ∈ V

.

−u , tal que

u + (−u) = 0 . (6) k u ∈ V ;

∀ k ∈

IR y

∀ u ∈ V

(7) k( u + v ) = k u + k v ; (8) (k + l)u = k u + l u ; (9) (kl)u = k(l u ); (10) 1 u = u ;

∀ k ∈ ∀ k,

∀ k,

∀ u ∈ V

. IR y

l ∈ IR y

l ∈ IR y

∀ u

,v

∈ V

∀ u ∈ V

∀ u ∈ V

.

.

.

.

Por ser los escalares de IR , se dice que V es un IR -espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre otros cuerpos de escalares, como C. Ejemplo Los conjuntos IR n, los conjuntos de polinomios P n[X] = {P (X) ∈ IR [X] : gr(P ) ≤ n} y los conjuntos de matrices reales M m×n = {matrices de tamaño m×n} , con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son espacios vectoriales reales. Propiedades 89.-

Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

(i) 0 u = 0 .

(iii) (−1)u = −u .

(ii) k0 = 0 .

(iv) k u = 0

⇐⇒

k = 0 ó

u=0.

(v) El vector cero de un espacio vectorial es único. (vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único.

4.2

.

Subespacios vectoriales

Definición 90.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V , si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V. Como W

⊆

V , todos los vectores de

W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por

probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en

tanto es suficiente

W , es decir, que se verifican las

propiedades (1) y (6) en W : ( 1∗)u + v

∈ W


;

∀ u,

v ∈ W

( 6∗)ku ∈ W ;

∀ u ∈ W

y

∀ k ∈

IR



4.3 Base y dimensión

Estas dos propiedades son equivalentes a la pr opiedad única: Nota: Es claro, que si W Ejemplo

ku + l v ∈ W ; ∀ u , v ∈ W y ∀ k, l ∈ IR . es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W .

P2[X] es un subespacio de

P4[X], pues es un subconjunto suyo y si P (X), Q(X)

∈ P2[X],

el grado de

kP (X) + lQ(X) es P2[X]. gr(kP + lQ) = máx{gr(kP ), gr(lQ)} ≤ máx{gr(P ), gr(Q)} ≤ 2, por lo que está en Sin embargo, {P (X) : gr(P) = 2} no es un subespacio de P 4[X], por dos razones: primero, porque no contiene X2y 2X − X 2son polinomios del conjunto al polinomio cero; y segundo, no verifica la pro piedad (1∗) ya que pero su suma X2+ (2X − X2) = 2X es un polinomio de grado 1 que no está en el conjunto. 4

Definición 91.- Se dice que un vector y sólo si,

∃ c1,

Definición 92. -

v ∈ V es una combinación lineal de los vectores tales que v = c1v1+ c2v2+ · · · + cnvn.

c2, . . . , cn∈ IR

Dado un conjunto de vectores

S = { v 1, v2, . . . , vk }

v 1, v2, . . . , v nsi,

de un espacio vectorial

V , llamaremos

subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ó lin{ v 1, v2, . . . , v k } , al conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S: n o lin S = lin{ v 1, v2, . . . , v k } = c1v1+ c2v2+ · · · + ck vk : ∀ ci∈ IR y se dirá que S genera

lin S o que v 1, v2, . . . , v k generan lin S .

Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de vectores de S (ver ejercicio 4.6).

Definición 93.- Dado un conjunto

V

S = { v 1, v2, . . . , v k }

y, de hecho, es el más pequeño que contiene a los de vectores del espacio vectorial

V , la ecuación

vectorial c1v1+ c2v2+ · · · + ck vk = 0 tiene al menos una solución, a saber: c 1= c2= · · · = ck = 0. Si esta solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes). Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (los vectores son linealmente dependientes).

El vector 2X − X de

P2[X] está generado por los vectores X − 1 y X 2−

2

Ejemplo

2X − X2 = λ(X − 1) + µ(X2 − 2) = λX − λ + µX 2 − 2µ = (−λ − 2µ) + λX + µX 2

−λ − 2µ = 0 λ=2 µ = −1

=⇒

luego 2X − X = 2(X − 1) + (−1)(X − 2). 2

Ejemplo

2

Los polinomios

X + 2 y X2de

P2[X] son linealmente independientes: si

polinomio cero), se tiene que 0 = λ(X + 2) + µX = 2λ + λX + µX =⇒ 2

2λ = 0,

2

λ(X + 2) + µX = 0 (al 2

λ=0y

µ = 0, ya que los

coeficientes de ambos polinomios deben coincidir.

4

Nota: Si los vectores { v1, v2, . . . , vk } son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes; y si so n linealmente independientes ninguno de ellos puede ser generado por los restantes. Es decir, se tiene la siguiente caracterización para que un conjunto de dos o más

vectores sea linealmente dependiente (ver ejercicio 4.7):

“Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes.”

4.3

Base y dimensión

Lema 94.-

Si vn+1

= c1v1+ · · · + cnvn, entonces lin{ v 1, . . . , v n, vn+1 } = lin{ v 1, . . . ,

vn} .

Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. En otras palabras, puede reducirse el número de generadores mientras haya dependencia lineal, lo que nos lleva a:

Definición 95.- Sean V un espacio vectorial y S base de V

un conjunto finito de vectores de V . Diremos que S

es una

si: a) S es linealmente independiente


y

b) S genera a V




Observación: El comentario anterior a esta definición nos indica la manera de reducir un conjunto generador del espacio a una base. Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si S es linealmente independiente y

lin S6= V , tomando

v

∈

V pero que

v / lin S , el conjunto

linealmente independiente (ver el Lema 96 siguiente); y as´ı, se añaden vectores a S Lema 96.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V es linealmente independiente.

hasta generar

y v

∈

S ∪ { v } es

V.

V −lin S , entonces S ∪{ v } .

De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor número posible de vectores linealmente independientes (ver Lema 97 siguiente); luego ¿no tendrá una base un

número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Teorema de la base. Lema 97.-

Sean V un espacio vectorial y

conjunto { v1, v2, . . . , vm}

B una base de

V formada por

n vectores. Entonces cualquier

de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente.

Teorema de la base 98.-

.

Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.

Demostración: La demostración es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B 1es una base de n elementos y B2es una base de m elementos, por ser B base y B2linealmente independiente, m6> n y por ser B base 1 2 y B1linealmente independiente n6> m, luego n = m.

Definición 99.- Un espacio vectorial V se dice de dimensión finita si tiene un conjunto finito de vectores que forman una base, y llamaremos dimensión de V , dim V , al número de vectores de cualquier base de

V.

Al espacio vectorial V = { 0} le consideramos de dimensión finita, de dimensión cero, aún cuando no tiene conjuntos linealmente independientes.

Si no existe un conjunto finito de este tipo, se dice que

V

es de dimensión infinita

(y no nos son ajenos pues

IR [X] es un espacio vectorial de dimensión infinita). Ejemplo

P2[X] = {P (X) ∈ IR [X] : gr(P) ≤ 2}

tiene dimensión 3, pues

general, dim(P n[X]) = n + 1 y B = {1, X, . . . , X n} Ejemplo

100 Los conjuntos

IR n=

B = {1, X, X 2}

forman una base. En

es una base suya.

IR × IR × · · · × IR

= {(x1, . . . , xn) :

xi∈

IR ,

∀

i}

con las operaciones

habituales de suma y producto por escalares x + y = (x 1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+ y1, . . . , xn+ yn)

λx = λ(x , . . . , x ) = (λx , . . . , λx ) 1

n

1

n

son espacios vectoriales con dim IR n= n, ya que cualquier vector

x

∈

n escribirse de la forma IR puede

x = (x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, . . . , 0) + x 2(0, 1, . . . , 0) + · · · + xn(0, 0, . . . , 1) y este conjunto de vectores o n e1= (1, 0, . . . , 0), e2= (0, 1, . . . , 0), . . . , e n= (0, 0, . . . , 1) B= es linealmente independiente. A esta base se la denomina base canónica de IR n.

4

Conocer a priori la dimensión de un espacio facilita la obtención de bases: Proposición 101.- Si V es un espacio vectorial, con es base de V , a) si el conjunto es linealmente independiente, o

4.3.1

dim V = n. Entonces, un conjunto de b) si genera a

n vectores de V

V.

.

Coordenadas en una base

Definición 102.- Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y Para cada vector v ∈ V , se llaman coordenadas de c1, c2, . . . , cntales que v = c1v1+ c2v2+ · · · + cnvn. Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de

B = { v1, v2, . . . , v n} v en la base B a los n ´

IR n, de las coordenadas de por (v )B= (c1, c2, . . . , cn) y más usualmente por [ v ] Bcuando lo escribimos como vector columna en las operaciones con matrices: [ v ] B= (c1, c2, . . . , cn)t .


una base de V . umeros reales v en B se denota



Ejemplo

Si B = { v1,

v2, v3}


es una base de V

(v )B= (1, −1, 2)

( v1)B= (1, 0, 0)

y v = v 1− v2+ 2 v3, se tiene que ( v2)B= (0, 1, 0)

( v3)B= (0, 0, 1)

o también 1

1

[v]B

[v1]B

0

0

[v2]B

2

[v3]B

0

0

4

1

Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base

B 1=

{ v2,

v3,

v1} , tenemos que ( v ) B1= (−1, 2, 1) que es un vector de

coordenadas distinto de (v ) B= (1, −1, 2). Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un único vector de IR n, de manera que disponer de las coordenadas es, en el fondo, dispo ner del vector. Además, se cumple (ver ej ercicio 4.14):

[λv ] = λ[ v ] ,

[ v + w ] B= [ v ]B+ [w ] By

B

luego [λ v +· · ·+λ v ] = λ [ v ] + · · · + λ [ v ]

B

1

1

n

n B

1

1 B

n

n B

y con esto, no es dificil probar que: v ∈ lin{v1, . . . , vk } ⊆ V ⇐⇒ [v]B∈ lin{[v1]B, . . . , [vk ]B} ⊆ IR n {v1, . . . , vk }

lin. independiente en V {v1, . . . , v n}

⇐⇒ {[v1]B,

lin. independiente en IR n

. . . , [vk ]B}

n

base de V ⇐⇒ {[v1]B, . . . , [vn]B}

base de IR

por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores.

4.3.2

Espacios de las filas y las columnas de una matriz

De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base, IR n; por lo que resulta muy interesante

podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de conocer esta sección.

Definición 103.- Consideremos la matriz A

m×n

=

a11a12. . .

a1n

a21a22. . . .. .. . .

a2n .. .

...

.

am1 am2 . . . amn Los m vectores de IR : r 1= (a11, . . . , a1n), r 2= (a21, . . . , a2n), . . . , r m= (am1, . . . , amn), se denominan y al subespacio lineal generado por ellos, E f (A) = lin{ r 1, r 2, . . . , r m} , espacio de las vectores fila de A filas de A . Por supuesto Ef (A) ⊆ IR n. n

Los n vectores de

IR m:

c1= (a11, . . . , am1),

c2= (a12, . . . , am2), . . . ,

vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, las columnas de A. Por supuesto Ec(A) ⊆ IR m.

cn= (a1n, . . . , amn), se denominan

E c(A) = lin{ c1, c2, . . . , cn} , espacio de

Proposición 104.- Si A es una matriz de tamaño m×n, entonces las operaciones elementales sobre las filas (resp. columnas) de A A. no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de Demostración:

Puesto que hacer operaciones elementales sobre las filas es hacer combinaciones lineales de los vectores fila, el subespacio lineal generado es el mismo. (Igual para las columnas.) Corolario 105.-

Sea A una matriz, entonces:

a) Los vectores no nulos de una for ma escalonada de la matriz A , forman una base de E f (A). t

b) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A , forman una base de E c(A). Demostración: Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se

comprueba fácilmente ya que debajo de cada elemento principal sólo hay ceros.




Teorema 106.-

Sea

4.4 Cambios de base

A una matriz de tamaño m×n, entonces:

dim(Ef (A)) = dim(E c(A)).

Demostración: El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(A) = rg(A t), y que el rango coincide con el número de

vectores no nulos en la forma escalonada, as´ı como el resultado anterior. Estos resultados nos permiten usar el método de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases. Ejemplo ¿Los vectores X − 1, X + 1 y X − 1 de P 2[X] son linealmente independientes? 2 Tomemos la base B = {1, X, X } de P2[X], entonces formamos por filas la matriz: 2

B

−1 1 0

(X + 1) B (X2− 1)B

110 −1 0 1

(X − 1) A=

F3−F

−→1

−1 1 0

F2+F1

0 0

20

−1 1

3+12 2

−1 1 0

020 001

Por lo anterior, los vectores fila de la última matriz son lineal mente independientes y consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A

inicial que generan

dim Ef (A) = 3. En

Ef (A) son también base, luego linealmente

independientes y los polinomios del enunciado también son linealmente independientes. Además, forman una base de P 2[X] (¿por qué?).

4.4

4

Cambios de base

Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente:

Definición 107.- Sean B = { u , u , . . . , u } 1

1

2

y B2= { v1, v2, . . . , vn}

n

son bases de un espacio vectorial

V . Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B 1a la base de dimensiones n×n, que por columnas es ( ¶ [ P= , [u1]B2 u2]B2 [un]B2 ··· es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas en la base

B2, la matriz

B 2, del vector

uide la base B 1.

En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de los vectores de la base de partida.

El porqué la matriz de paso se contruye as´ı, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente: Proposición 108.1.-

∀ x ∈ V

Sea P la matriz de paso de una base

B 1en otra base

B2de un espacio

V . Entonces:

se tiene que [ x ] B2=P · [x ]B1.

2.- P es inversible y su inversa,

P−1 , es la matriz de paso de la base

B 2a la base

B 1.

Demostración: Sea B1= { u1,

u2, . . . , u n}

y sea x = c1u1+ c2u2+ · · · + cnun. Entonces, Apartado 1: c1

(

2

[

[u1]B2 u2]B2

· · · [un]B2

=

.. . cn

P [x]B1

= c1[u1]B2+c2[u2]B2+· · · + cn[un]B2= [c1u1+ c2u2+ · · · + cnun]B2= [x]B2 Apartado 2: como los vectores de la base la base

B 1son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en

B2también lo son. Luego las columnas de

P son vectores linealmente independientes y

rg(P ) = n ,

por lo que P es inversible. Además,

[ x]B2=P[ x]B1=⇒

de cambio de la base


B 2en la base B 1.

P −1[x]B2=P −1P[x ]B1=⇒

P−1[x ]B2= [x ]B1yP−1

es la matriz



4.5 Espacios vectoriales con producto interior

Ejemplo Consideremos las bases B = {1, X, X } y B1= {X − 1, X + 1, X La matriz de paso de la base B 1a la base B será: 2

(

−1 1

¶

[X − 1] [X + 1] [X − 1]

P=

2

B

la matriz de paso de B

B

de P2[X].

−1

−1

110 001

B

− 1}

2

y

P−1=

1 2 1 2

−1

2 1 2

0

0

1

2 1 2

a B 1.

Ejemplo Consideremos en IR 3 la base canónica B c= { e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)} y la base B1= { v1= (1, 0, −1), v2= (2, −1, 1), v3= (0, −1, 1)} . Como v1= 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1) = e 1− e3, se tiene que ( v 1)Bc = (1, 0, −1); y lo mismo para los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B 1a la base Bcserá: ( P=

¶

1 2 0 −1 −1 1

[v1]Bc[v2]Bc[v3]Bc

la matriz de paso de la base B ca la base

0 y

1 0

P −1=

−1 1

1

2

0

−1

−1 1

B 1.

4

Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de IR nen la base canónica de IR n es inmediato, pues (x ) Bc=x . Pero ¡ciudado!, al trabajar con vectores de IR nno hay que confundir el vector con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior únicamente es cierta en la base canónica.

4.5

Espacios vectoriales con producto interior

4.5.1

Producto interior. Norma. Distancia

Definición 109.- Un producto interior en un espacio vectorial real

V es una función que a cada par de vectores u, v ∈ V le asocia un número real, que denotaremos por h u, v i, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: 1.- hu , v i = h v , u i;

∀ u

,v

∈ V

.

2.- hu + v , w i = h u, w i + hv , w i ; 3.- hk u, v i = khu , v i ; 4.-

hu , u i ≥ 0;

∀ u ∈

∀ u,

V

v y

∀ u

∈ V

,v,w

∈ V

.

y ∀ k ∈ IR .

hu , u i = 0

⇐⇒

u=0.

Otra propiedades que se deducen de las anteriores son: 1.- h0, u i = 0 Ejemplo

2.- hu, v + w i = hu , v i + hu , w i

Considerar en P 2[X], la función

3.- h u, k v i = khu , v i

hP(X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P 0(1)Q0(1) + P 00(1)Q00(1).

(1) hP (X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P0(1)Q0(1) + P 00(1)Q00(1) = Q(1)P (1) + Q 0(1)P0(1) + Q00(1)P00(1) = hQ(X), P (X)i ³ ´ ³ ´ ³ ´ 0 0 0 00 00 (2) hP (X) + R(X), Q(X)i = P (1) + R(1) Q(1) + P (1) + R (1) Q (1) + P (1) + R (1) Q00(1) ´ ´ ³ ³ 0 0 0 0 00 00 00 00 = P(1)Q(1)+P (1)Q (1)+P (1)Q (1) + R(1)Q(1)+R (1)Q (1)+R (1)Q (1) = hP(X), Q(X)i + hR(X), Q(X)i (3) hkP (X), Q(X)i = kP (1)Q(1) + kP 0(1)Q0(1) + kP 00(1)Q00(1) = k P (1)Q(1) + P0(1)Q0(1) + P 00(1)Q00(1)


= khP (X), Q(X)i




³ P(1)

(4) hP (X), P (X)i = P (1)P (1) + P 0(1)P 0(1) + P 00(1)P00(1) = 0

³

´2 +

+

P 0(1)

00

⇐⇒

⇐⇒

´2 P 00(1)

≥ 0.

P (X) = a + bX + cX 2, de donde

Y, se da la igualdad si y sólo si, P(1) = P (1) = P (1) = 0. Entonces, sea P0(X) = b + 2cX y P 00(X) = 2c ; de las igualdades se tiene: P(1) = P 0(1) = P 00(1) = 0

³

´2

a =b =c =0

P(X) = 0.

⇐⇒

2c = 0

Luego tenemos un producto interno definido en P [X].

4

2

A partir de un producto interior sobr e un espacio V

se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo.

Definición 110.- Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la módulo) de un vector v ∈ V se denota mediante k v k y se define como Ⲛ kvk=+ La distancia entre dos vectores

Ⲛ

d(u , v ) = k u − v k = + Para todo

u,v

∈ V,

1.-

k u k ≥ 0;

2.- k u k = 0

∀ u ∈ ⇐⇒

3.- kk u k =|k| ku k ; 4.-

|hu, vi| ≤ kuk kvk .

1.-

u=0

d(u , v ) ≥ 0;

2.- d(u , v ) = 0

k u + v k ≤ ku k+k v k ;

y

∀ u

∀ k ∈

,v

.

Propiedades básicas de la distancia 113.-

V

∀ u ∈ V

se define como

d( u, v ) y

espacio con producto interior, se tiene

2

Propiedades básicas de la norma 112.-

o

h u − v , u − v i.

hu, vi2≤ kuk kvk o en la forma 2

(o longitud

h v , v i.

u y v de V se denota mediante

Desigualdad de Cauchy-Schwarz 111.-

norma

∈

IR

V

∀ u

,v

∈ V

⇐⇒

u=v

3.- d(u , v ) = d(v , u );

∀ u

4.-

,v

∈ V

d(u , v ) ≤ d(u , w )+d( w , v );

∀ u

,v,w

∈ V

La prueba de estas propiedades es análoga a la de las propiedades del módulo colplejo. Observación: Sean V un espacio con producto interior y B = { u 1, . . . , u n} vectores v = a1u1+ · · · + anuny w = b1u1+ · · · + bnun, entonces

una base de V . Tomemos dos

hv, wi = ha 1u1+ · · · + anun, wi = a 1hu1, wi + · · · + anhun, wi = a1hu1, b1u1+ · · · + bnuni + · · · + anhun, b1u1+ · · · + bnuni = a1hu1, u1ib1

· · · + a1hu1, unibn+ · · ·

hu1, u1i · · · hu1, uni

( =

a

a1· · ·

hun

,

u1ib1+ · · · + anhun, unibn b1

.. . .. .. . . hun, u1i · · · hun, uni

an

n

..

QB[w]B= [v]tBQB [w]B

.

B

bn

luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. La matriz QBobtenida se denomina matriz de Gram o matriz métrica. Por las propiedades del producto interior, es simétrica y los elementos de la diagonal positivos. 4.5.1.1

El espacio eucl´ıdeo

QB

n -dimensional IR n

Definición 114.- Sobre el espacio vectorial IR definimos la función que a cada n

x, y

∈

IR nle asocia

∑n

hx , y i = x · y = (x 1, . . . , x n) · (y1, . . . , yn) = x1y1+ · · · + xnyn=

xiyi i=1

Como puede comprobarse fácilmente dicha función es un producto interior, el q ue se conoce como producto interior eucl´ıdeo o producto escalar eucl´ıdeo (ya usado en IR 2y IR 3).

Este producto interior da lugar a la norma y distancia eucl´ıdeas, ya conocidas: Ⲛ Ⲛ k xk = + (x − y )2 + · · · + (x − y )2 . d(x, y) = k x − y k = x 1 · · · + x2 y n -dimensional a Se llama espacio eucl´ıdeo IR con el producto interior eucl´ıdeo. 2

1

n

1

n

n

n





Nota: Si la matriz métrica del producto interior en la base B , Q B, es la identidad, el producto interior se reduce al producto escalar eucl´ıdeo de los vectores de coordenadas. Esto ocurre precisamente para las bases ortonormales que se estudian en la siguiente sección.

4.5.2

Ortogonalidad

Definición 115.- Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como conse−1 ≤ huu ,vvi ≤ 1 y, por tanto, existe un único

cuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que ´ , θ , tal que

k

kk

k

h

cos θ = u, v i ,

k u k k v k con 0 ≤ θ ≤ π

Definición 116.- En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores gonales si hu , v i = 0. Suele denotarse por u ⊥ v . Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W , se dice que Se dice que

S = { v1, v2, . . . , vk }

u y v se dicen que son ortou es ortogonal a

W.

es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es

decir, si vi⊥ v j para todo i6= j . Los vectores de la base canónica de IR 3con el producto escalar eucl´ıdeo son ortogonales entre si, h v , w i = v1w1+ v1w2+ v2w1+ 2v2w2+ v3w3. (Pruébese pero no lo son si el producto interior definido es: que es un producto interior). En efecto: he 1, e2i = h(1, 0, 0), (0, 1, 0)i = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 16= 0. Ejemplo

4

Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forman es de π radianes (los famosos 90 grados). De hecho, en IR con el producto escalar eucl´ıdeo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad. n

Una curiosidad: Teorema general de Pitágoras 117. producto interior, entonces

Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con 2

2

2

k u + v k = k uk + k v k . Este resultado, de fácil comprobación, se reduce en IR 2con el producto escalar al Teorema de Pitágoras. También es sencillo probar el resultado siguiente (ver ej ercicio 4.21): Proposición 118.-

Si w

⊥ {

v1, v2, . . . , vk } , entonces

w ⊥ lin{ v1, v2, . . . , vk } .

Mucho más interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia:

un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos,

Teorema 119.- Si S = { v1, v2, . . . , v k } entonces S es linealmente independiente.

4.5.2.1

.

Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt

Definición 120.- Sean V un espacio vectorial de dimensión B = { v1, v2, . . . , vn}

es una base ortonormal de V , si B n³

1

√1

Ejemplo

eucl´ıdeo.

n con producto interior. Se dice que la base ∀ i . es un conjunto ortogonal y k v ik = 1,

Las bases canónica y B 1=

,

,

2√

√

La base B2= {(2, 0), (0, −

´ ³

2

1

−1 ,

ó son ortonormales en IR 2

2√

con el producto escalar

2

2)} es ortonormal para el producto interior hx, yi =x14y +x22y .4 1

Teorema 121.entonces

Si B = { v1, v2, . . . , v n}³es una base ortonormal para un espacio

∀ v ∈

V se tiene que

(v ) B=

hv , v1i,

hv , v2i, . . . , h v , v ni

2

V con producto interior, . Es decir,

v = hv , v1iv1+ hv , v 2i v2+ · · · + hv , vni vn, Demostración: Si v = c 1v1+ · · · + civi+ · · · + cnvn, para cada

i, se tiene que

hv, vii = hc 1v1+ · · · + civi+ · · · + cnvn, vii = c1hv1, vii + · · · + cihvi, vii + · · · + cnhvn, vii = cihvi, vii = cikvik 2= ci




4.6 Ejercicios

Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas puede resultar más sencilla. Pero no sólo eso, si no que también se tiene: Teorema 122.- Si P es la matriz de paso de una base ortonormal P es una matriz ortogonal (es decir, P −1=Pt).

B 1a otra base ortonormal

B 2, entonces

La prueba es puramente operativa, usando la definición de matriz de paso y el apartado b) del ejercicio 4.24 (ver también el ejercicio 4.29).

Definición 123.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, { w1, w2, . . . , wk } una base ortonormal de de v sobre W al vector de W

W . Para cada

v

W subespacio de

∈

V , llamaremos

V y B

=

proyección ortogonal

ProyW(v ) = hv , w1i w1+ h v , w2iw2+ · · · + hv , w k i wk . Al vector

v −Proy (v ) se le llama componente ortogonal de

v sobre W .

W

El vector proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando cualquier base ortonormal se obtiene el mismo vector. La prueba puede encontrarse en el Anexo 1, pág. 49, tras la demostración

del Lema 124 siguiente. Lema 124.-

Sean V un espacio vectorial con producto interior,

normal de W . Entonces para cada

v

∈ V

, el vector

W un subespacio de V

y B una base orto-

v − Proy ( v ) es ortogonal a W .

.

W

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 125.Sean V un espacio vectorial con producto interior y B ={ v 1, v2, . . . , vn} de dimensión finita. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base una base ortonormal B ∗ = { u1, u2, . . . , u n} . Demostración: 1aetapa.- Como 2aetapa.-

v16= 0

Sea W 1=

particular a

por ser de B , el vector u 1=

1

kv1k

tiene norma 1 y (

(

u1, y es distinto del vector v

0 pues ProyW1 v2) ∈ W1y

− Proy 1(v )°

2

W

v2− hv2, u1iu1

2

=

(

Sea ahora

particular a

u1y

W1, en

v2/ W1= lin{ v1} , entonces tiene que

° v2− ProyW1 v2)° k v2− hv2, u1iu1k u1y tiene norma 1. Además, lin{ u1, u2} = lin{ v1, v2} .

es ortogonal a

lin{ u 1} = lin{ v1} .

v 2− ProyW1 v2) es ortogonal a

lin{ u1} , por el Lema anterior, el vector

u2= °

3a etapa.-

v

0 , pues

v1, v2}

(

v3− ProyW2 v3) es ortogonal a

W 2= lin{ u1, u2} , como antes, el vector

u2, y es distinto del vector

∈ lin{

(

ProyW2 v3)

∈

W2y

v3/

W2=

W2, en lin{ v1, v2} ,

entonces se tiene que W

u3= °°vv33−− ProyProy

2

( v

W2

3

) °

v3− hv3, u1iu1− hv3, u2iu2

( v3) =

∈ lin{ v1, v2, v3} ° k v3− hv3, u1iu1− hv3, u2iu2k es ortogonal a u1y u2, y tiene norma 1. Además, lin{ u 1, u2, u3} = lin{ v1, v2, v3} . naetapa.- Con la repetición del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B∗ = { u1, u2, . . . , u n} , tal que lin B ∗ = lin B = V . Luego B ∗ es una base ortonormal de V .

4.6 4.1

Ejercicios Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a) IR 2con las operaciones: (x, y) + (x 0, y0) = (x + x0, y + y0) y k(x, y) = (2kx, 2ky). b) A = {(x, 0) : x ∈ IR }

con las operaciones usuales de IR 2.

c) IR 2con las operaciones: (x, y) + (x 0, y0) = (x + x0+ 1, y + y0+ 1) y k(x, y) = (kx, ky).

d) El conjunto de los números reales estr´ıctamente positivos,

IR +−{0} , con las operaciones:

x+x0= xx0

k

y kx = x .




4.2

4.6 Ejercicios

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de IR 3ó a) {(a, 1, 1) ∈ IR 3: a ∈ IR } ⊆ IR 3 b) c) {(a, b, c, d)

4.3

∈

IR 4: a + 2d = 7}

Sean v1= (2, 1, 0, 3),

⊆

IR 4?

{(a, b, c) ∈ IR 3: b = a + c} IR 4d)

{(a, b, c, d)

v2= (3, −1, 5, 2) y

∈

⊆

IR 3

IR 4: ba = 0}

⊆

v3= (−1, 0, 2, 1) vectores de

IR 4

IR 4. ¿Cuáles de los vectores

(2, 3, −7, 3), (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1) y (−4, 6, −13, 4), están en lin{ v , v , v } ? 1

4.4

¿Para qué valores reales de λ los vectores

3

v1= (λ, −21,−21)v2= ( −21 , λ, −21) yv3= ( −21,−21 , λ) forman IR 3?

un conjunto linealmente dependiente en 4.5

2

Dados tres vectores linealmente independientes

u , v y w , demostrar que

u+v,

v+w

y w+ u

son

también linealmente independientes. 4.6

Sea V un espacio vectorial y

S = { v 1, . . . , v k }

a) lin S es un subespacio vectorial de b) Si W es un subespacio de V 4.7

Probar que si los vectores

un conjunto de vectores de V . Probar que:

V.

que contiene a los vectores de S , entonces

v 1, . . . ,

lin S

⊆ W

.

vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede

escribir como una combinación lineal de los restantes. 4.8

Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de

IR 4 :

a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0).

yc=a−b.

b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d. 4.9

Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B , de m ecuaciones IR n. ¿Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si

con n incógnitas no forman un subespacio de B = 0? 4.10

Sean E y F subespacios de un espacio

E∩F ={v

V . Probar que:

∈

V : v

∈

E y v

∈

F}

es un

subespacio de V . 4.11

Considerar en IR 4

los conjuntos de vectores:

A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)}

B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)}

a) Hallar las dimensiones de lin(A) y de lin(B), y encontrar una base b) Hallar las ecuaciones paramétricas de c) Hallar las ecuaciones cartesianas de d) Hallar la dimensión de 4.12

lin(A) y de lin(B). lin(A) y de

lin(B).

lin(A) ∩ lin(B).

Consideremos en el espacio vectorial

IR 3la base

B = { u1, u2, u3} . Sea

E el subespacio engendrado

por los vectores v1= u1+ 3 u3, v2= 2 u1− 3 u2+ u3, v3= 4 u1− 3 u2+ 7 u3. Sea F el subespacio engendrado por los vectores w1= u1+ u2+ u3, w2= 2 u1+ 3 u2+ 4 u3, w3= 3u1+ 4 u2+ 5 u3. Hallar una base de E , una base de F , el subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F . 4.13

Sea M2×2

M2×2

el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre

formado por las matrices de la forma

a) Demostrar que

(

a b + c ¶ con a, b, c − b + c a

E es un subespacio vectorial. ( ¶ 10 b) Probar que las matrices A1= , A2= 01 4.14

IR y sea

(

01

−1 0

¶

( y A3=

∈

E el subconjunto de

IR .

01 10

¶ , forman una base de E .

Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que el conjunto { v 1, v2, . . . , vn} es una base de V si, y sólo si el conjunto {[ v 1]B, [ v2]B, . . . , [ v n]B} es una base de IR n.




4.15

En una cierta base

4.6 Ejercicios

{ u1, u2, u3, u4}

de un espacio vectorial

(3, 1, 2, 6). Hallar las coordenadas de v1= u1+ u2, v2= 2u4−u1, 4.16

En IR 3se consideran las bases

W en otra base v3= u2− u3y

V , un vector

{ v 1, v2, v3, v4} v4= 2u1− u2.

v2= (0, −1, 2),

B = { v1= (2, 0, 0),

u1= (−3, 0, −3),

u2= (−3, 2, −1),

u3= (1, 6, −1) y

v1= (−6, −6, 0),

v2= (−2, −6, 4),

v3= (−2, −3, 7).

4.18

y la base canónica

B a B0 .

b) Calcular la matriz de coordenadas, [ w ] B, siendo c) Calcular [ w ] B0

v3= (0, 0, −3)}

y B0= { v1, v2, v3} , siendo

Se consideran en IR 3las bases B = { u 1, u2, u3}

a) Hallar la matriz de paso de

cuyos vectores verifican que

B del vector x = 4 e 1+ e2− 5 e3.

Bc= { e1, e2, e3} . Hallar las coordenadas respecto de la base 4.17

w tiene por coordenadas

w

= (−5, 8, −5).

de dos formas diferentes v = (v1, v2, v3). Determinar si hu , v i = u 1v1− u2v2+ u3v3define un producto

Sean u = (u1, u2, u3) y interior en IR 3.

4.19

IR 2con norma eucl´ıdea uno y cuyo producto interior eucl´ıdeo con (−2, 4)

a) Encontrar dos vectores de sea cero.

b) Demostrar que hay un número infinito de vectores en IR con norma eucl´ıdea uno y cuyo producto interior eucl´ıdeo con (−1, 7, 2) es cero. 3

4.20

2

√−1

Sean a = ( √1 ,

3

2

{ a, b} es ortonormal si IR tiene el producto v = (v1, v2), y que no lo es si IR 2 tiene el producto

)y

b = ( √30, √30). Demostrar que interior h u, v i = 3u 1v1+ 2u2v2donde u = (u1, u2) y 5

5

interior eucl´ıdeo. 4.21

Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si

w es ortogonal a cada uno de los vectores

v1, v2, . . . , vk entonces es ortogonal a lin{v 1, v2, . . . , vk } . 4.22

4.23

Considera IR 3con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en cada caso, la base

{ u 1, u2, u3}

a) u1= (1, 1, 1),

u2= (−1, 1, 0),

u3= (1, 2, 1).

b) u1= (1, 0, 0),

u2= (3, 7, −2),

u3= (0, 4, 1).

Sea IR 3con el producto interior

en una base ortonormal.

h u, v i = u 1v1+ 2u2v2+ 3u3v3. Utilizar el proceso de Gram-Schmidt

para transformar la base formada por los vectores base ortonormal. 4.24

Sea B = { v1, v2, v3}

u 1= (1, 1, 1),

una base ortonormal de un espacio V

2

a) k w k = hw , v 1i2 + hw , v 2i2 + hw , v3i2 ; [

b) h u, w i = (u )B· ( w ) B= [ u]tB w ]B; 4.25

w

∈ V

.

.

Tomemos en IR 4el producto interior euclideo. Expresar el vector w2donde,

w1esté en el subespacio

u3= (1, 0, 0) en una

con producto interior. Probar que:

∀ w ∈ V ∀ u,

u2= (1, 1, 0) y

w

W generado por los vectores

= (−1, 2, 6, 0) en la forma w = w+ u = (−1, 0, 1, 2) y u = (0, 1, 0, 1), 1

1

2

y w2sea ortogonal a W . 4.26

Suponer que IR 4tiene el producto interior euclideo. a) Hallar un vector ortogonal a

vectores u2= (0, 1, 0, 0) y b) Hallar un vector

u 1= (1, 0, 0, 0) y

u3= (0, 0, 1, 0).

x de longitud 1, ortogonal a

u3sea el doble del coseno del ángulo entre 4.27

u4= (0, 0, 0, 1), y que forme ángulos iguales con los

Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) de IR 4

u 1y a

u2, tal que el coseno del ángulo entre

x y

x y u 4. al subespacio generado por los vectores v 1= (1, 1, 1, 0)

y v2= (1, 1, 0, 0).




4.28

Dados los vectores

4.6 Ejercicios

x = (x 1, x2, x3) e

y = (y1, y2, y3) de

IR 3, demostrar que la expresión

h x, y i =

2x1y1+ 2x2y2+ x3y3+ x1y2+ x2y1define un producto interior. Encontrar una base { u1, u2, u3} ortonormal respecto al producto interior anterior tal que tengan igual dirección y sentido que los vectores ( 0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente. 4.29

Probar que una matriz

ortonormal en


A de orden

n

u 2y

u3

es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto

IR n.


espacio vectorial.docx

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