Universidad Nacional de IngenieríaIngeniería - FIM-DAIA
P.A. P.A. 2012-1
Controlabilidad, Observabilidad, Estabilización, Detectabilidad
Consideremos el sistema lineal invariante en el tiempo con representacin en espacio estado! x
=
Ax + Bu
y
=
Cx + Du
%1&
A partir de la teoría del control tenemos las sig"ientes de#iniciones! Definición 1 (Controlabilidad)
Un sistema lineal en el tiempo es controla$le c"ando "na #"ncin de control u%t& e'iste( ) es la responsa$le de llevar al estado( en "n tiempo #inito t 0 * t * t1( desde "n estado inicial a c"al+"ier estado #inal. ,i todos los estados estados son contro controla$l la$les es se dice dice +"e es completamente controlable el sistema. completa ta de estados estados,, podemos podemos Para Para de#ini de#inirr la condic condicin in de contro controla$i la$ilid lidad ad comple
suponer que el estado fnal es el origen y que el tiempo inicial t 0=0. La solución del espacio estado es: (5) Aplicando Aplicando la de#inicin de#inicin de Controla$i Controla$ilidad lidad completa de estados( estados( tenemos en el tiempo tiempo #inal t1!
O bien (3) odemos escribir e!"t , usando la teor#a de sistemas lineales ($%en) , como (&) 'ustituimos e-A de (&) en (3) por lo que () efnamos
onde cada *+ es un ector columna column a de orden r. "s# la ecuación () se conierte en
ro-esora: osa /arrido u1re2
4556
1gina 7
Universidad Nacional de Ingeniería- FIM-DAIA
P.A. 2012-1
(8)
'i el sistema es de estado completamente controlable, entonces dado cualquier estado inicial x(0), la ecuación (8) debe satis-acerse. 9sto requiere que el rango de la matri2 de n flas y nr columnas tenga rango completo igual a n. La matri2 de controlabilidad ser1 cuadrada solo en el caso ''O, en el caso que e;ista arias entradas (O) nr
A n 1 B . −
matriz
de
(6)
9emplo 7: ado el siguiente sistema anali2ar si es completamente controlable:
'olución "nali2ando el par ( A,B) Co = / B AB A 2 B A 0 B
!5 0 0 7
0 !> 0 0 5 7 0 !&
.
& 3& 5 7 0 !& 5 76
ro-esora: osa /arrido u1re2
5 !73 0 !& 5 76 0 !8>
& 5 0 5
4556
rango%Co& completamente controlable
1gina 5
Universidad Nacional de Ingeniería- FIM-DAIA
P.A. 2012-1
Definición 2 (Observabilidad)
Un sistema es o$serva$le si los estados '%t& p"eden ser calc"lados a partir de la varia$le de salida )%t& ) la se3al de entrada "%t&( en "n tiempo #inito t 0 * t * t 1. 4l concepto de 5$serva$ilidad es 6til al resolver el pro$lema de reconstr"ir se3ales o varia$les de estado no medi$les a partir de varia$les +"e si son medi$les en "n tiempo #inito. Para poder determinar el concepto de 5$serva$ilidad completa de estados( s"ponemos sin perder generalidad s"pondremos +"e t 0 0. 4n la ec"acin de salida del espacio estado a partir de %1& ) reempla7ando el estado por la de#inicin %2& tenemos!
Dado +"e las matrices A( B( C ) D se conocen al ig"al +"e "%t&( los dos 6ltimos t8rminos del seg"ndo miem$ro de la ec"acin anterior son cantidades conocidas. Por tanto se p"eden restar del valor o$servado y%t&. Así( a #in de investigar "na condicin necesaria ) s"#iciente para la 5$serva$ilidad completa( $asta considerar el sistema descrito por!
4ntonces la ec"acin de salida!
Por de#inicin!
Por lo tanto tenemos!
5 $ien %9&
Asi( si el sistema es completamente o$serva$le( dada la salida y%t& d"rante "n intervalo de tiempo 0 * t * t1( %0& se determina 6nicamente a partir de la ec"acin %9&. ,e dem"estra +"e esto re+"iere +"e el rango de la matri7 de nm #ilas ) n col"mnas C
CA Ob = CA 2 CA n−1
%:&
A la matri7 5$ se le conoce como matriz de Observabilidad . Para +"e el sistema sea completamente de estados o$serva$le( la matri7 de 5$serva$ilidad de$e tener rango ig"al a n.
ro-esora: osa /arrido u1re2
4556
1gina 3
Universidad Nacional de Ingeniería- FIM-DAIA
P.A. 2012-1
9emplo 5: ado el siguiente sistema anali2ar si es completamente obserable:
'olución "nali2ando el par ( A,C)
C 70 CA 0 Ob = CA 0 CA 0 2
70
0
50
760
0
!780
!8&0
70
8?0
5680
0
!560
rango%Ob& completamente Observable
0
La matri2 de obserabilidad es cuadrada solo en el caso de ''O, y las flas depender1n del n@mero de salidas que presente el sistema (O). Estabilización $uando un sistema no es controlable completamente, pero sucede que la parte no controlable es estable, se dice entonces que el sistema es estabilizable, aunque no sea controlable. *n sistema completamente controlable es siempre estabili2able. Detectabilidad ,i "n sistema es no o$serva$le de estados completos( pero s" parte no o$serva$le es esta$le( entonces se dice +"e dic;o sistema es solamente detectable. Un sistema o$serva$le de estado completo es siempre detectable! 4
$onsiderar al sistema de orden 3, con polos en A5, 5 y A7:
ro-esora: osa /arrido u1re2
4556
1gina &
Universidad Nacional de Ingeniería- FIM-DAIA
P.A. 2012-1
4l sistema no es controla$le de estado completo= pero la tercera varia$le de estado( +"e es la parte no controla$le( es esta$le( ) por lo tanto es sistema es estabilizable.
4
4l sistema no es o$serva$le de estado completo= pero las varia$les de estado 1 ) 2( +"e son la parte no o$serva$le( incl")en la seg"nda varia$le de estado +"e es inesta$le( ) por lo tanto es sistema no es ni si+"iera detecta$le.
Principio De Dualidad "%ora estudiaremos la relación entre la $ontrolabilidad y la Obserabilidad. ntroduciremos el principio de dualidad, presentado por Balman, para aclarar las analog#as eidentes entre los conceptos de controlabilidad y obserabilidad. 'ean los sistemas: 'ist. 7
x = Ax + Bu
'ist. 5 T = A z + C z
y = Cx + Du
η = B
T
z +
9l principio de dualidad plantea que sistema 'ist7 es de estado completamente controlable (obserable) si y sólo si el sistema 'ist 5 es completamente obserable (controlable). "roblema
ado el diagrama a bloques del sistema continuo determinar $ontrolabilidad, estabili2abilidad, obserabilidad y detectabilidad.
ro-esora: osa /arrido u1re2
4556
1gina
Universidad Nacional de Ingeniería- FIM-DAIA
P.A. 2012-1
#$ente% 9'9!C $ontrolabilidad y Obserabilidad del 9stado!9spacio!
*niersidad de 'tuttgart $urso de ngenier#a de $ontrol DDD.ist.uni!stuttgart.deEeducationEcoursesE4E
ro-esora: osa /arrido u1re2
4556
1gina 8
