Espaces vectoriels normés Plan
. t i l é d n u t s e e é s i r o t u a n o n e i p o c o t o h p a L . d o n u D ©
CHAPITRE
1
Thèmes abordés dans les exercices
Les méthodes à retenir
2
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Montrer qu'une application est une norme
Énoncés des exercices
8
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Obtention d’inégalités portant sur des normes
Du mal à démarrer ?
16
•
Montrer que deux normes sont (ne sont pas) équivalentes
Corrigés
20
•
Montrer qu’une qu’une partie d’un evn est (n’est pas) fermée, fermée, est (n’est pas) ouverte
•
Manipula Mani pulation tion d’adhéren d’adhérences, ces, d’in d’intérie térieurs, urs, de fermés, d’ou d’ouver verts ts
•
Calcul de la distance d’un point à une partie
•
Utilisation Utilisat ion de de la cont continu inuité, ité, de la con continu tinuité ité unifo uniforme rme,, du cara caractèr ctèree lipschitzien
•
Montrer qu’une application linéaire f est continue continue,, calcu calculer ler ||| f |||
•
Montrer qu’une qu’une partie est (n’est pas) compacte, compacte, manipulation de de parties compactes
•
Utilisation d’une suite de Cauchy
•
Montrer qu’une qu’une partie est (n’est pas) complète, complète, manipulatio manipulation n de parties complètes
•
Montrer qu’une qu’une partie est (n’est pas) connexe par arcs, manipulatio manipulation n de parties connexes par arcs
•
Montrer qu’une application est un produit scalaire
•
Déterminer l’orthogonal d’une partie d’un espace préhilbertien
Points essentiels du cours pour la résolution des exercices •
Définition de norme, norme, espace vectoriel vectoriel normé, normé, distance associée associée à une une norme, norme, inégalité triangulaire triangulaire renversée, renversée, normes équivalentes équivalentes
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Définition de boule boule ouverte, ouverte, boule fermée, parties bornées
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Définition Définiti on et propriétés propriétés de : ouv ouvert, ert, ferm fermé, é, adhé adhérenc rence, e, inté intérieu rieur, r, poin pointt adhérent, adhérent, point intérieur
•
Définition de la distance d’un point x à une partie A d’un evn E , car caract actéri érisasation de d ( x , A) = 0
•
Définition et propriétés propriétés de la con convergen vergence ce des suites, suites, suites extraites, extraites, valeurs d’adhérence d’une suite 1
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
•
Définition et propriétés propriétés des limites, de la continuité continuité en un point, de la conticontinuité sur une partie
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Définition Définiti on de la continui continuité té uniforme, uniforme, du caractère caractère lipsch lipschitzie itzien, n, liens entre entre continue cont inue,, unif uniformé ormément ment cont continue inue,, lipsc lipschitz hitzienn iennee
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Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applications |||..||| linéaires, définitio définition n et propriétés propriétés de la norme norme |||
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Définition Définiti on séquentie séquentielle lle de la compacité, compacité, liens entre entre compact compact et ferm fermé, é, liens entree compact entr compact et fermé fermé borné, borné, prod produit uit cartésien cartésien de de deux compac compacts, ts, imag imagee continue cont inue d’un comp compact, act, théo théorème rème de Heine, Heine, équi équiva valence lence des normes normes en dimension finie
•
Définition d’une d’une suite de Cauchy Cauchy,, d’une partie complète, complète, lien entre compact compact et complet, liens entre complet complet et fermé, fermé, tout evn de dimension finie est complet
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Définition de de connexe connexe par arcs, lien avec la conv convexité, exité, connex connexes es par arcs de R , image continue d’un connexe connexe par arcs, théorème des valeurs valeurs intermédiaires
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Définition d’un produit produit scalaire (réel ou complex complexe), e), d’un espace préhilbertien, inégalité de Cauchy et Schwarz Schwarz et cas d’égalité, inégalité de Minkowski Minkowski et cas d’égalité
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Définition et propriétés propriétés de l’orthogonalité l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théorème de Pythagore, Pythagore, procédé d’orthogonalisat d’orthogonalisation ion de Schmidt, théorème de propro jection orthogonale sur un sev de dimension finie.
Les méthodes à retenir On abrège : espace vectoriel en ev sous-espace vectoriel en sev espace vectoriel normé en evn.
Pour montrer qu’une application N : E −→ R est une une norme norme sur un un K -espace vectoriel E
Revenir à la définition. Ne pas oublier oublier de montrer montrer que, pour tout x ∈ E , N ( x ) exi existe, ste, en particulier lorsque N ( x ) est donnée par une borne supérieure ou une intégrale. ➥
Pour exprimer la distance d associée associ ée à une norme sur un K-ev E à partir partir de cette cette norme, norme, ou pour exprimer une norme à partir de la distance dista nce associ associée ée d sur E 2
Exercices 1.28 a), 1. 1.32 32,, 1. 1.46 46..
Utiliser les formules : ∀( x , y ) ∈ E 2 , d ( x , y ) = N ( x − y ), ∀ x ∈ E , N ( x ) = d (0, x ).
Les méthodes à retenir
Essayer d’appliquer d’appliquer l’inégalité triangulaire triangulaire : ∀ ( x , y ) ∈ E 2 , || x + y || || x || + || y || ||,,
Pour établir une inégalité faisant intervenir ||..|| sur un K-ev une norme ||
ou l’inégalité l’inégalité triangulaire renv renversée ersée : ∀ ( x , y ) ∈ E 2 , || x || − || y || || x − y || ||..
➥
Exercices Exer cices 1.1, 1.44.
nécessairement de dimension finie, finie, reven revenir ir à la • Lorsque E n’est pas nécessairement définition,, c’est-à-dire montrer : définition
Pour montrer que deux normes N , N sur un K -espace vectoriel E sont équivalentes
∃ (α,β ) ∈ (R∗+ )2 , ∀, x ∈ E , α N ( x ) N ( x ) β N ( x ). ➥
Exerc Exe rcice icess 1.4, 1.4, 1.3 1.32, 2, 1.4 1.46 6
dimensio nsion n finie, finie, d’ap d’après rès le cour cours, s, tout toutes es les norme normess • Si E est de dime sur E sont équivalentes. Chercher une suite ( f n )n dans E − {0} telle que :
Pour montrer que deux normes N , N sur un K -espace vectoriel E ne sont pas équivalentes
N ( f n ) N ( f n )
−−→ + ∞ ou n∞
N ( f n ) N ( f n )
−−→ + ∞. n∞
➥
Exercices Exer cices 1.18, 1.46.
faire intervenir intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisacaractérisa• Si on peut faire tion séquentie séquentielle lle des fermés fermés : la partie A de E est fermée dans E si et seulement seulement si, pour toute toute suite (an )n dans A convergeant vers un élément x de E , on a : x ∈ A . ➥
Pour montrer qu’une partie A d’un evn E est fermé ferméee dan danss E . t i l é d n u t s e e é s i r o t u a n o n e i p o c o t o h p a L . d o n u D ©
Exercices 1.3 a), 1. 1.16 16,, 1. 1.17 17,, 1. 1.48 48
• Essayer de montrer que : ∗ A est une intersection de fermés de E ∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E ∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés
• Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par une application continue. ➥
Exercice 1.34.
fait intervenir des des ouverts, essayer de montrer montrer que • Si le contexte fait
E ( A) est ouvert dans E .
Pour montrer qu’une partie Ω d’un evn E est ouver ouverte te dans E
• Rev Revenir enir à la définition, définition, c’est-à-dire montrer montrer : ∀ x ∈ Ω, ∃ r > 0, B ( x ; r ) ⊂ .
• Montrer que E (Ω) est un fermé de E 3
