Chapitre 2 Géométrie dans l’espace 2.1 2.1. 2.1.1 1
Rappel pels Défin Définit itio ions ns
Par rapport aux coordonnées cartésiennes dans le plan (système d’axes Oxy), il faut, pour situer un point dans l’espace, ajouter un troisième axe Oz. Pour un calcul aisé des distances et des angles, il est nécessaire de travailler avec un repère orthonormé. Dans la suite du cours, on travaillera uniquement avec des repères orthonormés. Définition 3 Un repère dans R3 est orthonormé si et seulement si les trois axes sont
orthogonaux deux à deux et de longueur unitaire. Définition 4 Un vecteur est un segment orienté. Dans ce cours, nous ne définirons que ff érent. les vecteurs dits "glissants" c’est-à-dire dont l’emplacement (ou l’origine) est indi ff érent.
Un vecteur est caractérisé par : — une longueur — une directi direction on — un sens ~ ou AB . Un couple de point (A, B ) définit donc un vecteur noté AB A s’app s’appelle l’origine l’origine du vecteu vecteurr (en physique, physique, l’origine l’origine du vecteu vecteurr est souvent souvent app appelé elée e point d’application) et B l’extrémité du vecteur. 1. Deux vecteu vecteurs rs ~ u et ~ v sont égaux s’ils ont la même longueur, même direction et même sens sans tenir compte de la position de leurs origines. Ainsi, ~ u = ~ v (fig1)
Définition 5
~ u
*
~ v
*
fig1 : vecteurs vecteurs égaux égaux 20
~ 2. Un vecteur vecteur de sens opposé à celui du vecteur vecteur ~ u mais ayant même longueur et même direction se note −~ u (fig2). ~ u
−~ u
*
fig2 : vecteurs vecteurs opposés Remarque 5 Une grandeur qui est définie complètement par un simple nombre est dite
scalaire. Par exemple : masse, température, longueur, temps.. Exemple 6 Exemples de grandeurs vectorielles en physique :
Position Position (par (par rapp apport ort à l’origne l’origne du repèr epère) e) ou dépla déplace cement ment (par (par rapp apport ort à la position osition initiale), vitesse, accélération, force, moment de force, champ gravitationnel,. gravitationnel, . . .
2.1.2 2.1.2
Composan Composantes tes d’un d’un vecteur ecteur
Soit un repère Oxyz. ~ tel que l’origine de ~ Soit ~ v le représentant du vecteur AB tel AB v correspond à l’origine (0 l’origine (0,, 0, 0) du repère. Si l’extrémité de ~ v a pour coordonnées ( coordonnées (vv1 , v2 , v3 ), alors v alors v 1 , v 2 et v et v 3 sont les composantes de ~ v et on écrit :
v v = v 1
~
2
ou
< v1 , v2 , v3 >
ou (v1 , v2 , v3 )
v3
~ Définition 6 Etant donné deux points A( A (xA ; yA ; z A ) et B( B (xB ; yB ; z B ), le vecteur ~ ~ v = AB
a pour composantes ~ v = (xB − xA; yB − yA ; z B − z A )
21
Définition 7 La norme (ou longueur) du vecteur ~ v , notée k~ v k ou |~ v | ou encore tout
simplement v , est la longueur du segment [A, B ] où le couple de points (A, B ) est un représentant quelconque du vecteur ~ v |~ v | =
q
+ v22 + v + v32 = v12 + v
p (x
B
(yB − yA)2 + (z (z B − z A)2 − xA )2 + (y
où v1 , v2 et v3 sont les composantes du vecteur ~ v et (xA , yA , z A ) et (xB , yB , z B ) sont les coordonnées respectives des points A et B . Définition 8 On appelle vecteur unitaire ou normé, ~ n un vecteur de norme égale à 1. Si on divise un vecteur non nul ~ v par sa norme, on obtient un vecteur unitaire parallèle à ~ v ~ v ~ n = avec ~ n//~ v et |~ n| = 1 |~ v| Définition 9 Il existe trois trois vecteurs vecteurs unitaires unitaires particuliers, particuliers, appelés "vecteurs "vecteurs unitaires unitaires ~ ~ ~ standards", que l’on notera i, j et k et qui sont définis comme suit
~ (1; 0;0), 0;0), j = (0; 1;0) et ~ (0; 0;1) i = (1; j~ = (0; k = (0;
Ces trois vecteurs sont donc alignés avec les axes du repère. Il forment une "base orthonormée". Ils forment une "base" parce que tout vecteur ~ v (v1 ; v2 ; v3 ) peut s’exprimer sous la forme d’une combinaison linéaire unique de ces trois vecteurs : ~ = v 1~ v = v i + v2 j + j~ + v v3~ k
Et cette base est orthonormée parce que les trois vecteurs qui la composent sont tous les trois normés et sont orthogonaux entre eux. On dira que cette base est "directe" si les trois vecteurs ~ i, j~ et ~ k sont disposés comme les trois doigts de la main droite (ou cf : règle du "tire-bouchon").
2.1.3 2.1.3
opéra opératio tions ns sur sur les les vec vecte teur urss
~ obtenu 1. La somme (ou résultante en physique) physique) des vecteurs vecteurs ~ u et ~ v est un vecteur w en placant l’origine de ~ v sur l’extrémité de ~ u et en joingnant alors l’origine de ~ u à l’extrémité de ~ v (fig4.3). ~ u
~ v
*H H X X X X H H X X H X X H j X z
~ = ~ w u + ~ v
H H H H H H j
fig3 : addition de deux vecteurs 22
2. Multiplic Multiplication ation scalaire scalaire Définition 10 Soit un vecteur ~ u un vecteur non nul et k un réel non nul. Le vecteur k~ u est le vecteur : — de même direction direction que ~ u, — de même sens que ~ u si k est positif et de sens opposé si k est négatif, — de longueur |k||~ u| 0, alors k~ 0 Par définition, si k = 0 ou ~ u = ~ u = ~ Propriétés 1 Propriétés de l’addition vectorielle et de la multiplication scalaire :
L’addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire présentent les mêmes propriétés que l’addition et la multiplication des scalaires : 0 = ~ — Il existe un élément neutre qui est le vecteur nul : ~ u + ~ u (−~ 0 — Il existe un symétrique pour l’addition : ~ u + (− u) = ~ — L’addition L’addition est commutat commutative ive : ~ u + ~ v = ~ v + ~ u ~ ) = (~ ~ — L’addition L’addition est associati associative ve : ~ u + (~ v + w u + ~ v) + w — Associativité Associativité mixte de la multiplication multiplication par un scalaire scalaire : a(b~ u) = (ab) ab)~ u — La multiplication multiplication scalaire scalaire est distributive distributive par rapport rapport à l’addition des scalaire scalairess : (a + b) = a~ + b~ b)~ u = a u + b u — La multiplication multiplication scalaire scalaire est distributive par rapport rapport à l’addition des vecteurs : + a~ a(~ u + ~ v ) = a~ u + a v Remarque 6 La longueur de la somme de deux vecteurs n’est en général pas égale
à la somme des longueurs des deux vecteurs : |~ + |~ u + ~ v | ≤ |~ u| + | v| 3. Produit scalair scalairee Le produit scalaire est une opération qui, à deux vecteurs, fait correspondre une gran grande deur ur scal scalai aire re ! ! ! Il est utilisé, par exemple, pour calculer le travail mécanique W eff ectué ectué par une ~ ~ force F au F au cours d’un déplacement d du corps sur lequel s’exerce cette force. Il est aussi utilisé pour déterminer la projection d’un vecteur sur un autre, ou l’angle formé par deux vecteurs. Définition 11 Soient deux vecteurs quelconques ~ u et ~ v . Le produit scalaire des deux vecteurs ~ u et ~ v , noté ~ u • ~ v est défini par :
~ = |~ u • ~ v = | u||~ v | cos θ
où θ représente l’angle formé par les deux vecteurs ~ u et ~ v 23
Proposition 1 Deux vecteurs ~ u et ~ v sont dits orthogonaux ssi ~ u • ~ v = 0 Propriétés 2 Le produit scalaire obéit à beaucoup de lois applicables au produit
de nombres réels. — ~ u • ~ v = ~ v • ~ u • (a — a(~ u • ~ v ) = a~ u • ~ v = ~ u • ( a~ v) • (~ ~ ) = ~ ~ — ~ u • ( v + w u • ~ v + ~ u • w 2 = | ~ — ~ u • ~ u = | u| ~ — 0 • ~ u = 0 Définition 12 Expression analytique du produit scalaire dans une base othonor-
mée : ~ ( u1 ; u2 ; u3 ) et ( Si (u et (vv1 ; v2 ; v3 ) sont les composantes des vecteurs ~ u et ~ v dans une base orthonormée ~ i, j~ et ~ k, alors on a ~ = u 1 v1 + u + u2 v2 + u + u3 v3 u • ~ v = u
En e ff et, e t, on a : ~ • (vv1~ u • ~ v = (u1~ i + u2 j + j~ + u u3~ k ) • ( i + v2 j + j~ + v v3~ k)
En appliquant la propriété de distributivité du produit scalaire par rapport à l’ad~ = ~ dition et en remarquant que ~ i • ~ i = j • j~ • j k • ~ k = 1 et ~ i • j = j~ = j • j~ • ~ k = ~ k • ~ i = 0, on obtient l’égalité Remarque 7 Lien entre produit scalaire et projection : ~ et AC est ~ est égal, en valeur absolue, au Le produit scalaire entre les vecteurs AB AC
produit des longueurs AH.AB longueurs AH.AB,, où H est H est la projection orthogonale du point C sur la droite AB. AB .
En signe, le produit scalaire est positif si l’angle entre les deux vecteurs est aigu et négatif si l’angle est obtus. 24
4. Produit vecto vectoriel riel Le produit vector vectoriel iel de deux vecteu vecteurs rs est un vecteur vecteur ! ! ! Définition 13 Soient deux vecteurs non nuls et non parallèles ~ ~ u et ~ v formant un angle θ. Le produit vectoriel de ~ u et ~ v , noté ~ u × ~ v, est le vecteur : — perp perpendiculair endiculairee au plan défini par ~ ~ u et ~ v,
— dont la dire direction est donnée donnée par la règle règle de la main droite, droite, — et dont la norme vaut |~ u||~ v | sin θ ~ Si ~ u ou ~ v est le vecteur nul, ou si ~ u et ~ v sont parallèles, alors le vecteur ~ u × ~ v est le vecteur nul En géométrie, le produit vectoriel est notamment utile pour déterminer l’inclinaison d’un plan. Cette inclinaison est en eff et et donnée par la direction d’un vecteur perpendiculaire au plan. Et à partir de deux vecteurs quelconques (et non parallèles) du plan, on obtient facilement, par le produit vectoriel, un vecteur perpendiculaire à ces deux vecteurs et donc perpendiculaire aussi au plan. On peut aussi remarquer que la norme du produit vectoriel de deux vecteurs ~ u et ~ v correspond à l’aire du parallélogramme défini par les deux vecteurs. ce parallélogramme a en eff et et comme base | base | ~ u| et comme hauteur | hauteur |~ v | sin θ Propriétés 3 Propriétés du produit vectoriel :
~ sont des vecteurs quelconques, et r et s sont des scalair Si ~ u, ~ v et w scalaires es (réels (réels)) quelconques, alors : — (r~ u) × (s~ v ) = (rs)( rs)(~ u × ~ v) ~ ) = ~ ~ — ~ u × (~ v + w u × ~ v + ~ u×w — (~ v + w ~ ) × ~ u = ~ v × ~ u + w ~ × ~ u — ~ v × ~ u = −(~ u × ~ v) Définition 14 Produit vectoriel des trois vecteurs unitaires ~ i, ~ j et ~ k:
De la définition et des propriété du produit vectoriel, on déduit les résultats suivants : ~ i × j = j~ = −( j~ × ~ i) = ~ k
j~ × ~ k = −(~ k × j) j~ ) = ~ i
~ k × ~ i = −(~ i × ~ k) = j~
Définition 15 Calcul du produit vectoriel de deux vecteurs à partir des compo-
santes de ces vecteurs :
25
~ Soient deux vecteurs quelconques ~ u(u1 , u2 , u3 ) et ~ v (v1 , v2 , v3 ). En appliquant le résultat ci-dessus, on en déduit que les composantes de ~ u × ~ v sont données par : (u2 v3 − u3 v2 , −(u1 v3 − u3 v1 ), u1 v2 − u2 v1 )
Ce résultat peut s’écrire sous la forme d’un déterminant où interviennent en même temps des vecteurs (les vecteurs unitaires standards) et des scalaires (les composantes des vecteurs ~ u et ~ v) : ~
j~
i u × v = u v
~
~
u2 v2
1
1
~ k
u v 3
3
Définition 16 Triple produit scalaire ou produit mixte :
( ~ Le produit ( u × ~ v) • ~ w est appelé "triple produit scalaire" ou "produit mixte" de ~ u, ~ ~ . C’est un scalaire. v et w On a la propriété suivante : (~ • (~ ~ = ~ ~ ) u × ~ v ) • w u • ( v×w En valeur absolue, il correspond au volume du parallélépipède défini par les trois vecteurs. Le triple produit peut se calculer à l’aide du déterminant suivant :
u (u × v ) • w = v w
1
~
~
~
1 1
26
u2 u3 v2 v3 w2 w3
2.2 2.2.1 2.2.1
Géomé Géométr trie ie analy analyti tiqu que e : Droi Droites tes et plan planss dans dans l’esl’espace Equati Equations ons paramé paramétri trique quess de droite droitess
Vecteurs directeurs d’une droite
Définition 17 Soient A et B deux points de la droite d ~ est un vecteur qui donne la direction de la droite. Le vecteur AB est AB
On appelle vecteur directeur de la droite d tout vecteur dont la direction est identique à celle de la droite. Ce vecteur est parallèle à la droite. 1. Si deux deux droites droites sont par parallèles, allèles, elles elles admettent admettent les les mêmes mêmes vecteu vecteurs rs directeurs et réciproquement.
Propriétés 4
2. Tout multiple multiple non nul d’un vecteur vecteur dire directeur cteur d’une d’une droite droite est encor encoree un vecteu vecteur r directeur de cette droite ~ est un vecteur directeur 3. Si A et A et B sont B sont deux points d’une droite, alors le vecteur AB est AB de cette droite et de toute droite parallèle à cette droite Droite passant par deux points
Relation vectorielle = (xA , yA , z A ) et B = (xB , yB , z B ). Considérons la droite AB droite AB avec A avec A = Soit P = (x,y,z ) un point quelconque de cette droite ~ = k AB ~ AP
27
Relations paramétriques Si on remplace les vecteurs par leurs composantes, il vient (x − xA, y − yA , z − z − z A) = k( k (xB − xA, yB − yA , z B − z A). Ce qui peut encore s’écrire
Et finalement,
x − x = k(x − x ) − y = k (y − y ) yz − z − z = k (z − z ) x = x + k + k((x − x ) + k((y − y ) AB ≡ AB ≡ yz == yz + k + k + k((z − z ) A
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
Ces relations constituent un système d’équations paramétriques de la droite AB . Exemple 7 Soient A = (1; (1; 0;2) et B = (2; (2; 2;0)
Les équations paramétriques de la droite AB sont AB sont
x = AB ≡ AB ≡ yz == 28
1 + k + k 2k 2 − 2k
Pour chaque valeur réelle donnée au paramètre k, on obtient les coordonnées d’un point de la droite. Ainsi : (1; 0;2) — si k = 0 on obtient le point A = (1; (2; 2;0) — si k = 1 on obtient le point B = (2; (3; 4; −2) — si k = 2 on obtient le point (3; Droite passant par un point et de vecteur directeur donné
= (xA ; yA ; z A ) et de vecteur directeur Equation d’une droite d droite d passant par le point A point A = ~ u = (u1 , u2 , u3 ). Soit P Soit P = (x,y,z ) ~ = k ~ La relation vectorielle AP u nous conduit au système d’équations paramétriques
2.2.2 2.2.2
x = d≡ yz ==
+ ku1 xA + ku + ku 2 yA + ku + ku 3 z A + ku
Equati Equations ons paramé paramétri trique quess de de plan planss
Vecteurs directeurs d’un plan
Soient A Soient A,, B et B et C C trois trois points non alignés du plan π . Pour déterminer la direction d’un plan, il faut disposer de deux vecteurs formant entre eux un angle non nul. Chaque vecteur est parallèle au plan. Ces vecteurs constituent un couple de vecteurs directeurs du plan. ~ et AC ainsi ~ ainsi que ~ Ainsi les vecteurs AB AC u et ~ v sont des vecteurs directeurs du plan π et de tout plan parallèle à π. — Si deux deux plans sont sont par parallèles, allèles, ils ils admetten admettentt les mêmes mêmes vecteu vecteurs rs directeurs et réciproquement.
Propriétés 5
29
— Tout multiple non nul d’un vecteu vecteurr dire directeur cteur d’un plan est encore encore un vecteu vecteurr directeur de ce plan. ~ est un vecteur directeur — Si A et B sont deux points d’un plan, alors le vecteur AB est A et B AB de ce plan et de tout plan parallèle à ce plan.
— Une droite d et un plan π sont parallèles si un vecteur directeur de la droite est aussi un vecteur directeur du plan. Plan passant trois points
Relation vectorielle Soient A Soient A,, B et C et C trois trois points non alignés du plan π. A = (xA, yA, z A), B = (xB , yB , z B ) et C = (xC , yC , z C C ). Soit P = (x,y,z ) un point quelconque du plan π. On peut écrire la relation vectorielle : ~ = α AB + ~ + β AC ~ AP AB
Relations paramétriques Si on remplace les vecteurs par leurs composantes, il vient (x − xA , y − yA , z − z − z A) = α (xB − xA, yB − yA, z B − z A) + β (xC − xA, yC − yA, z C C − z A ) Ce qui peut encore s’écrire
x − x −y yz − z − z
A
A
A
= α(xB − xA) + β (xC − xA ) = α(yB − yA) + β (yC − yA) = α(z B − z A) + β (z C C − z A ) 30
Et finalement π
x = ≡ yz ==
xA + α(xB − xA) + β (xC − xA ) yA + α(yB − yA) + β (yC − yA) z A + α(z B − z A) + β (z C C − z A )
Ces relations constituent un système d’équations paramétriques du plan π Exemple 8 Soient A = (1; (1; 0;2), 0;2), B = (2; (2; 2;0) et C = = (0; (0; 1;1). 1;1). Les équations paramétriques du plan π déterminé par ces trois points sont
π
x = ≡ yz ==
1 + α − β 2α + β 2 − 2α − β
Pour chaque valeur réelle donnée aux paramètres α et β , on obtient les coordonnées d’un point du plan. Ainsi (1; 0;2) — Si α = 0 et β = 0, on obtient le point A = (1; (2; 2;0) — Si α = 1 et β = 0, on obtient le point B = (2; = (0; (0; 1;1) — Si α = 0 et β = 1, on obtient le point C = 31
Plan passant par un point et de vecteurs directeurs donnés
Equation d’un plan π passant par le point A point A = (xA; yA; z A) et de vecteurs directeurs ~ u = (u1 , u2 , u3 ) et ~ v = (v1 ; v2 ; v3 ). ~ = α~ La relation vectorielle AP u + β~ v nous conduit au système d’équations paramétriques π
x = ≡ yz ==
xA + αu1 + β v1 yA + αu2 + β v2 z A + αu3 + β v3
Remarque 8 Qu’il s’agisse d’une droite ou d’un plan, les coe ffi ffi cients cients qui multiplient les
paramètres sont toujours les composantes d’un vecteur directeur.
2.2.3 2.2.3
Equati Equations ons cartés cartésien iennes nes
Equation cartésienne d’un plan
Une équation cartésienne d’un plan de l’espace est une équation qui lie entre elles les coordonnées d’un point quelconque de ce plan, à l’exclusion de tout paramètre. On obtient l’équation cartésienne d’un plan en éliminant les paramètres α et β dans dans les équations paramétriques, de manière à ne plus voir apparaître dans l’équation que les coordonnées ( coordonnées (x,y,z x,y,z ) du point quelconque du plan dont on recherche l’équation. Exemple 9 Equation cartésienne du plan π π passant par l’origine O = (0, 0, 0) et 0) et de vec O = (0, (3; 1;2) et ~ 1;3). teurs directeurs ~ u = (3; v = (2; −1;3).
Soit
x = 3 + 2 ≡ yz == 2 +− 3 y = − (2x (2x − 3z ) ≡ == − (3x (3x − 2z ) π
ou encore π
Donc
β α
1 5
α α α
β β β
α
β
1 5
1 1 (3x (3x − 2z ) + (2x (2x − 3z ) 5 5 En réduisant les termes semblables on obtient l’équation cartésienne du plan π ≡ y =
= 0 π ≡ x − y − z = Conclusion 1 Tout plan admet une équation cartésienne de la forme
+ cz + d = = 0 ax + ax + by by + cz + d 32
Lorsque le plan passe par l’origine, cette équation devient + cz = 0 ax + ax + by by + cz = 1. Un point point appartient appartient à un plan si et seulement seulement si si les coordon coordonnée néess du point satisfont à l’équation du plan. = 0, nous savons que : Si nous considérons le plan π ≡ x − y − z = (0, 0, 0) appartient 0) appartient au plan car 0 − 0 − 0 = 0 — (0, (2, 1, 1) appartient 1) appartient au plan car 2 − 1 − 1 = 0 — (2, Ainsi, si nous possédons l’équation cartésienne d’un plan, nous pouvons déterminer les coordonnées d’une infinité de points qui appartiennent à ce plan.
Remarque 9
2. Plans par parallèles allèles : Deux plans sont parallèles s’ils ont les mêmes vecteurs directeurs et réciproque ff èrent ment. Leurs équations cartésiennes ne di ff èrent que par le terme indépendant. 3. Les équations équations paramétriques paramétriques au départ de l’équation l’équation cartésienne cartésienne : Nous pouvons déterminer un système d’équations paramétriques d’un plan dont on donne une équation cartésienne de la manière suivante : 2 z − Soit un plan π ≡ 5x − 3y + 2z − 7 = 0. Les coordonnées d’un point quelconque de π peut s’écrire : (α, β , 27 − 25 α + 23 β ). Des équations paramétriques de π peuvent donc s’écrire π
x = ≡ yz ==
α β 7 5 − 2 α + 23 β 2
x = ≡ yz ==
7 5
Mais on aurait pu aussi exprimer un point quelconque du plan par ( 75 + 53 β − 2 α, β , α) et dans ce cas 5 π
+ 53 β − 52 α β α
On constate donc que le système d’équations paramétriques n’est pas unique. Equations cartésienne d’une droite
Soient ~ u = (u1 , u2 , u3 ) un vecteur directeur de la droite et A = (xA , yA , z A ) un point = 0, u 2 6 = 0 et u 3 6 = 0 on a de la droite. Si u1 6 x − xA y − yA z − z − z A = = u1 u2 u3 33
Ces équations sont appelées équations canoniques ou cartésiennes de la droite. En faisant le produit des moyens et le produit des extrêmes, on obtient l’équation cartésienne de la droite comme intersection de deux plans. On retrouve cette expression de la droite comme intersection de deux plans en éliminant le paramètre des équations paramétriques. Exemple 10 Equations cartésiennes de la droite passant par le point A = (1; −2;0) et (3; 4; −1). 1). de vecteur directeur ~ u = (3;
Soit
x = 1 + 3k d≡ yz == −2−+k4k4k En éliminant le paramètre k , il reste deux équations cartésiennes en x en x,, y,z . On obtient x + 3z 3z = 1 d≡
4 z + +2 = 0 y + 4z
La droite d droite d est donc définie comme l’intersection de deux plans dont on donne les équations cartésiennes 1. Un point point appartient appartient à une droite droite si et seulement seulement si les coor coordonné données es du point satisfont à l’équation de la droite. (0, 1, 4) appartient 4) appartient à la droite Ainsi, le point de coordonnées (0,
Remarque 10
d≡
y−x
= 1 z − z − x = 4
car en substituant 0 à x, 1 à y et 4 à z les z les équations cartésiennes sont vérifiées 2. Les équations équations paramétriques paramétriques au dépar départt des équations cartésiennes. cartésiennes. Pour déterminer des équations paramétriques d’une droite dont on donne les équations cartésiennes, on détermine les coordonnées d’un point quelconque de la droite. Soit la droite d ayant pour équations cartésiennes d≡
2x + 3y3y − z − z − 4 + z − x − y + z −6
= 0 = 0
Nous considérons ce système comme un système en les inconnues y et z . Nous considér considérons ons donc x comme un paramétre k . Notre système devient donc
x − z − z − 4 2xx +− 3y3yy + z + z − −6 34
= k = 0 = 0
et si nous résolvons les deux dernières équations en y et en z , nous obtenons le système : x = k 10 y = 2 − 23 k z = 22 − 25 k 2 C’est le système des équations paramétriques de la droite d passant par le point (0, (0, 5, 11) et 11) et de vecteur directeur (1, (1, − 32 , − 52 )
2.2.4 2.2.4
Paral Parallél lélism isme e et et perpen perpendic dicula ularit rité é
Vecteur normal à un plan
Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul, orthogonal à tout vecteur de ce plan.
Les vecteurs représentés en gras dans la figure ci-dessus sont tous des vecteurs normaux au plan π. Propriétés 6 Le vecteur ~ n = (a,b,c) a,b,c) est normal au plan d’équation π ≡ ax + + cz + d = = 0 ax + by by + cz + d Conséquences 1 1. Tout Tout vecteu vecteurr normal normal au plan π est un multiple non nul du vecteur ~ n = (a,b,c) a,b,c)
2. Les Les plans parallèles arallèles Soient les plans α et β α ≡ ax + + cz + d = = 0 ax + by by + cz + d
0
0
0
0
β ≡ + b y + c + c z + d + d = 0 ≡ a x + b
Les plans α et β son son parallèles si et seulement si 0
0
0
(a,b,c) a,b,c) = k( k (a , b , c ) En e ff et, et, si des plans sont parallèles tout vecteur normal à l’un est normal à l’autre
35
3. Les plans perpendiculair perpendiculaires es Soient les plans α et β α ≡ ax + + cz + d = = 0 ax + by by + cz + d
0
0
0
0
β ≡ + b y + c + c z + d + d = 0 ≡ a x + b
Les plans α et β sont perpendiculaires si et seulement si aa + bb + cc = 0 (le produit scalaire des deux vecteurs normaux doit être nul). En e ff et, et, deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre. 0
0
0
Propriétés
Nous reprenons ici une série de propriétés à propos de parallélisme et de perpendicularité. Ces propriétés relient les vecteurs directeurs et normaux. Certaines sont déjà énoncées plus avant. 1. Si deux droites droites sont parallèles, parallèles, elles admettent admettent les mêmes vecteu vecteurs rs directeurs directeurs et réciproquement. 2. Tout multiple multiple non nul d’un vecteur vecteur directeur directeur d’une droite est encore un vecteur vecteur directeur de cette droite.
36
~ est un vecteur direc3. Si A Si A et et B sont deux points d’une droite, alors le vecteur AB est AB teur de cette droite et de toute droite parallèle à cette droite.
4. Si deux plans sont parallèles, parallèles, ils admetten admettentt les mêmes vecteurs vecteurs directeurs directeurs et réciréciproquement. 5. Tout multiple multiple non nul d’un vecteur vecteur directeur directeur d’un plan est encore un vecteur vecteur directeur de ce plan. ~ est un vecteur directeur 6. Si A Si A et B sont deux point d’un plan, alors le vecteur AB est AB de ce plan et de tout plan parallèle à ce plan.
7. Une droite d et un plan π sont parallèles si un vecteur directeur de la droite est aussi un vecteur directeur du plan. 8. Deux plans sont parallèles parallèles s’ils admettent admettent un même vecteur vecteur normal. normal. 9. Deux droites droites sont orthogonale orthogonaless si un vecteur vecteur directeur directeur de l’une est orthogonal orthogonal à un vecteur directeur de l’autre. 10. Une droite droite est perpendi perpendicul culair airee à un plan plan si un vecte vecteur ur direct directeur eur de la droite droite est un vecteur normal du plan. 11. Deux plans sont perpendiculai perpendiculaires res si un vecteur vecteur normal à l’un est orthogonal orthogonal à un vecteur normal à l’autre.
2.2.5 2.2.5
Problè Problèmes mes d’in d’intersec tersectio tion n
Pour déterminer l’intersection de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan, on résout le système formé par leurs équations.
2.2.6 2.2.6
Prob Problè lème mess de de dis distan tance ce
Distance entre deux points
Rappelons la formule de distance entre deux points. Soit A = (xA, yA, z A) et B = (xB , yB , z B ) deux points de l’espace d(A, B ) =
p (x
B
(yB − yA)2 + (z (z B − z A )2 − xA )2 + (y 37
Distance d’un point à un plan
Soit P P le point et π le plan Pour calculer la distance de P à π, il faut suivre le
raisonnement suivant : 1. Ecrire Ecrire les équations équations paramétriques paramétriques de la droite droite d passant par P et et perpendiculaire d passant par P àπ 2. Calculer Calculer les coordonnées coordonnées de Q de Q point de percée de d dans π 3. Calculer Calculer la distance distance séparant séparant P P de Q de Q Distance d’un point à une droite
Soit d la droite et P P le point Pour calculer la distance de P à d, il faut suivre le
raisonnement suivant : 1. Ecrire Ecrire l’équation l’équation cartésienne cartésienne du plan π perpendiculaire à d à d et passant par P par P 2. Recherc Rechercher her les coordonnées coordonnées du point de percée Q percée Q de d dans π 3. Calculer Calculer la distance distance de P de P à Q 38
Sphères
Une sphère de centre A = (xA, yA, z A) et de rayon r est l’ensemble des points de l’espace dont la distance à A à A vaut r vaut r { P tq d S = {P tq d((P, A) = r} r } (y − yA)2 + (z (z − S (A, r) ≡ (x − xA )2 + (y − z A)2 = r 2
2.2.7 2.2.7
Quad Quadri riqu ques es
Définition
Une quadrique est une partie de l’espace qui peut être décrite par une équation du second degré en x, en x, y et z et z .. Leurs sections planes sont toujours des coniques Equations réduites
Hormis les cas dégénérés, il y en a neuf types : 1. Ellipsoide Ellipsoide :
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
(cf : figure 2.1)
Figure 2.1
2. Hyperboloide à une nappe :
Figure 2.2
x2 a2
+
y2 b2
– Ellipsoide
−
z2 c2
=1
(cf : figure 2.2)
– Hyperboloide à une nappe
39
Figure 2.3
– Hyperboloide à deux nappes
3. Hyperboloide Hyperboloide à deux deux nappes : 4. Cône :
x2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=0
x2 a2
−
y2 b2
−
= 5. Paraboloide Paraboloide elliptiq elliptique ue : z : z =
x2 a2
+
Figure 2.5
(cf : figure 2.5)
– Paraboloide elliptique 2
2
+
8. Cylindre Cylindre hyperboliqu hyperboliquee :
(cf : figure 2.3)
y2 b2
x2 a2
=1
−
– Cône
y2 b2
= − xa + 6. Paraboloide Paraboloide hyperboliqu hyperboliquee : z : z = x2 a2
=1
(cf : figure 2.4)
Figure 2.4
7. Cylindre Cylindre elliptiqu elliptiquee :
z2 c2
y2 b2
9. Cylindre Cylindre parabolique parabolique : y 2 = 2 px
y2 b2
(cf : figure 2.6)
(cf : figure 2.7) =1
(cf : figure 2.8) (cf : figure 2.9)
40
Figure 2.6
– Paraboloide hyperbolique
Figure 2.7
– Cylindre elliptique
Cônes et cylindres
Soit S Soit S un un point de l’espace, d une direction et C et C une une courbe. C la réunion des droites passant par — On appelle cône de sommet S sommet S et et de directrice C la S et et s’appuyant sur C sur C .. — On appelle cylindre cylindre de génératric génératrices es parallèles parallèles à d et de directrice C directrice C la la réunion des droites parallèles à d à d et s’appuyant sur C sur C .. Les cônes et les cylindres admettant une conique pour directrice sont des quadriques.
41
Figure 2.8
– Cylindre hyperbolique
Figure 2.9
2.2. 2.2.8 8
– Cylindre parabolique
Exer Exerci cice cess
0), 1. a) Trouv Trouver er un vecteur vecteur perpendiculair perpendiculairee au plan défini par les points points P (1 P (1,, −1, 0), (2, 1, −1) et 1) et R(−1, 1, 2). 2). Q(2, 0), Q(2 1) et R( b) Trouver l’aire du triangle de sommets P (1 P (1,, −1, 0), Q (2,, 1, −1) et R (−1, 1, 2) ~ perpendiculaire aux vecteurs ~ (2, −3, −4) et ~ 2. Détermine Déterminezz un vecteu vecteurr w u = (2, v = (−3, 2, 2).Vérifiez 2).Vérifiez que le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux vecteurs donnés.
0. Que peut-on en conclure 3. Considéron Considéronss ~ u et ~ v, deux vecteurs non nuls tq ~ u × ~ v = ~ conclure ? 4. Dans R, écrire les équations cartésiennes de la droite passant par le point ( point (− −1, 0, 2) et (3, −2, 1) ; (a) ayant la même direction que ~ x = (3, (b) passant pas le point (0 point (0,, −2, 5) 2) et parallèle 5. Trouver rouver l’équation l’équation cartésienne cartésienne du plan passanr par le point ( point (− −1, 0, 2) et au plan d’équation 2 d’équation 2x x − y + 1 = 0 (1,, −2, 5) et 5) et 6. Ecrire Ecrire les équations équations des droites droites suivant suivantes es passant par le point A point A(1 - perpendiculaire au plan d’équation 3x − 4y − 7z + + 13 = 0 42
- parallèle à la droite d’intersection des deux plans + y − 2z − π1 ≡ x + y z − 5 = 0 π2 ≡ 3x − 2y + 4z 4 z + + 8 = 0
7. Donner Donner les équations équations paramétriq paramétriques ues et cartésien cartésiennes nes de la droite intersection intersection des plans 3x + 2y 2 y + 5z 5 z + + 1 = 0 2x + 3y 3y − z + + 2 = 0 et
(2,, 3, 4) et 4) et 8. Trouver rouver l’équation l’équation cartésienne cartésienne du plan passant par le point A point A(2 (3, −2, 4) (a) perpendiculaire à la droite de direction ~ u(3, (b) perpendiculai perpendiculaire re aux plans α ≡ 2x − y + 2z 2 z − −8 =0
9. Soit la droite d≡
et
β ≡ x + 2y 2 y − 3z + + 8 = 0
2x + 3 = 3y3y + 2 z − z − 2005 = 0
(20, 0, 5). 5). Déterminez l’équation du plan π perpenet A le point de coordonnées (20, diculaire à la droite d droite d et passant par le point A point A.. 10. Pour Pour quelle(s) quelle(s) valeur valeur(s) (s) de a de a ∈ R, la droite d1 ≡
ax − y + 1 = 0 y−1 =
z +1 a
10, 8) et 8) et Q(2, (2, 3, 2) ? est-elle perpendiculaire à la droite d2 passant par les points P (7 P (7,, −10, 11. Calculer Calculer (1, 2, 1) au 1) au plan π ≡ x − y + z + z = = 2 (a) La distance du point A(1, (1, 0, −1) à 1) à la droite d (b) La distance du point B point B (1, droite d d’équations
x = yz ==
1+t 1−t 2t 43
t∈R
(0, 1, 2) à 2) à la droite d (c) La distance du point C (0, droite d définie par le système 0
x + y + y − z =
1 + z = 3 x − y + z
12. (Septemb (Septembre re 2016) Soient les plans π et π d’équations respectives dans un repère ~ ~ orthonormal ( orthonormal (O, O,~ i, j, k) 0
π ≡ (cost) (sint))y − z = = 0 cost)x + (sint 0
π ≡ (cost) (sint))y + z + z = = 0 cost)x + (sint
où t où t représente un paramètre réel. (a) π et π sont-ils sont-ils parallèles parallèles ? (b) Pour quelle(s) valeur(s) de t l’axe O l’axe Ox x est-il parallèle à π ? 0
3) à la droite d compre13. (Février (Février 2016) Déterminez Déterminez la distance distance du point P (2 P (2,, 1, −3) à (2, 3, 0) et 0) et N (0 1). nant les points M (2, N (0,, −2, −1). ~ ~ 14. L’espace L’espace est muni d’un repère repère orthonormal orthonormal (O, ~ i, j, k ). Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple. « La droite de représentation paramétrique
(avec k (avec k ∈ ∈ 0 »
R)
x = yz ==
k + 2 −2k 3k − 1
+ 2y + z − 3 = est parallèle au plan dont une équation cartésienne est x est x+
15. (Géométrie dans le plan) Soit, dans le plan, les droites d1 ≡ 2x − y = 2, d2 ≡ + y = = 1, d 3 ≡ y = k = kx x + y x, d4 ≡ y = −kx (k ∈ R) (a) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k les droites d1 et d3 sont sécantes et, pour ces valeurs, calculer les coordonnées de leur point d’intersection P . P . (b) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k les droites d2 et d4 sont sécantes et, pour ces valeurs, calculer les coordonnées de leur point d’intersection Q. 44
(c) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k les points P points P et Q et Q sont distincts. (d) Pour les valeurs de k de k satisfaisant satisfaisant les 3 conditions précédentes, précédentes, rechercher rechercher l’équation de la droite P droite P Q et montrer que, lorsque k lorsque k varie, varie, cette droite passe par un point fixe, dont on calculera les coordonnées. ~ ~ 16. L’espace L’espace est rapporté rapporté à un repère ( repère (O, O, ~ i, j, k ). (2,, −1, 5), 5), B(1 2) et C (2,, 3, 9) et 9) et le vecteur ~ (1, 0, 1). 1). On considère les points A points A(2 B (1,, −3, 2) et C (2 u(1, Donner une représentation paramétrique de la droite AB et une représentation paramétrique de la droite passant par C par C et et de vecteur directeur ~ u. Déterminer si ces 2 droites sont sécantes et donner éventuellement les coordonnées de leur point d’intersection.
45
