Facultad de Ingeniería y Ciencia Básicas Estadística Inferencial Modalidad Virtual La siguiente serie de ejercicios se dividirán en dos partes, la primera tendrá una fecha de realización hasta el jueves de la semana 4, y se abrirá nuevamente el jueves de la semana 5, y debe ser complementada con la parte 2. Tenga presente que para cada uno de los ejercicios debe ser explícito con la solución que obtiene, son necesarios procedimientos. Parte 1: ●
Tamaño de muestra para propiedad de vehículos motorizados A usted lo contrató la Ford Motor Company para hacer investigación de mercado, por lo que debe estimar el porcentaje de hogares que poseen un vehículo. ¿Cuantos hogares debe entrevistar si desea tener una confianza del 94% de que su porcentaje muestra tiene un margen de error de tres puntos porcentuales? a. Suponga que un estudio previo sugiere que el 86% de los hogares poseen vehículos. b. Suponga que no hay información disponible que pueda usarse para estimar el porcentaje de hogares en los que poseen un vehículo. c. Suponga que en lugar de utilizar hogares que se seleccionaron al azar, los datos muéstrales se obtienen pidiendo a los lectores del periódico Washington Post que envíen por correo un formato de encuesta. ¿De qué forma se afectan los resultados?
SOLUCIÓN a. Si un estudio previo sugiere que el 86% de los hogares poseen vehículos entonces tenemos.
n=80
x=7
^p=86 =0,86
q^ =1 – 0,86=0,14
E=0,03
z α =1,88 2
El valor de z lo podemos hallar ayudándonos de la tabla de la distribución normal estándar, buscando el valor del 97% o 0,97, para un nivel de confianza del 94%. Si no lo encontramos exacto uno que se aproxime al valor en este caso es 0,9699 = 1,88, de igual forma hay que recordar de que su porcentaje muestra tiene un margen de error de 3 puntos porcentuales. 2
z α ∗ ^p q^
( ) n= 2
E2
( 1,88 )2∗(0,86∗0,14 ) 3,5344∗0,1204 = = =472,82418 ≈ 473 Entero superior 0,0009 ( 0,03 )2
Debemos encuestar al menos 473 hogares seleccionados aleatoriamente b. Para saber cuántos hogares se deben entrevistar si se desea una confianza del 94% Datos que tenemos
n=?
E=0,03
z α =1,88 2
El valor de z lo podemos hallar ayudándonos de la tabla de la distribución normal estándar, buscando el valor del 97% o 0,97, para un nivel de confianza del 94%. Si no lo encontramos exacto uno que se aproxime al valor en este caso es 0,9699 = 1,88 Para hallar el tamaño de la muestra desconociendo
^p q^
2
z α ∗0,25
( ) n= 2
E2
( 1,88 )2∗0,25 3,5344∗0,25 = = =981,778 ≈ 982 Entero superior 0,0009 ( 0,03 )2
El tamaño de la muestra para tener un nivel de confianza del 94% debe ser de 982 hogares. c. Se basarían en una muestra de respuesta voluntaria, los resultados no se validarían ●
A usted lo acaba de contratar la división de mercadeo de General Motors, para estimar la media de la cantidad de dinero que se gasta ahora en la compra de automóviles nuevos en Estados Unidos. Primero use la regla práctica del intervalo para hacer un estimado burdo de la desviación estándar de las cantidades que se gastan. Es razonable suponer que el rango típico de cantidades va desde $12,000 hasta $70,000. Luego use esa desviación estándar estimada para determinar el tamaño de muestra correspondiente a un nivel de confianza del 95% y a un margen de error de $100. ¿Es práctico el tamaño de muestra? Si no es asíí́, ¿qué se debe cambiar para obtener un tamaño de muestra práctico? SOLUCIÓN Primero utilizamos la regla práctica del intervalo para estimar la desviación estándar en este caso
s≈
Rango , en este caso rango es Valor Máximo – Valor Mínimo. 4
V . Max=70.000 s≈
V . Min=12.000
V . Max−V . Min 70.000−12.000 58.000 = = ≈ 14.500 4 4 4
Primero identificamos que datos tenemos así:
σ =14.500
E=100
z α =1,96 2
El valor de z lo podemos hallar ayudándonos de la tabla de la distribución normal estándar, buscando el valor del 97.5% o 0.9750, para un nivel de confianza del 95%. Si no lo encontramos exacto uno que se aproxime al valor en este caso es 0,9750 = 1,96 Ahora para estimar el tamaño de la muestra procedemos con la siguiente formula. 2
[] zα
2
2 (1,96)(14.500) 28.420 2 n= = = =[ 284,2 ] =80.769,64 ≈ 80.770 Entero superior E 100 100 2
[
] [
]
El tamaño de la muestra debe ser 80.770 para obtener un obtener un nivel de confianza del 95%. El tamaño de la muestra no es practico vista es muy grande, debería incrementarse el margen de error.
Parte 2: Pulso Una doctora quiere desarrollar criterios para determinar si el pulso de un paciente es anormal y determinar si hay diferencias significativas entre hombres y mujeres. Utilice la Base de datos https://goo.gl/rV7QsE , dentro de esta ubique la hoja de cálculo llamada BaseDatos1. Responda a las siguientes preguntas dado los datos anteriores. a. Construya un estimado del intervalo de confianza del 95% de la media del pulso para hombres. b. Construya un estimado del intervalo de confianza del 95% de la media del pulso para mujeres. c. Compare los resultados anteriores. ¿Es posible concluir que las medias poblacionales para hombres y para mujeres son diferentes? ¿Por qué? SOLUCIÓN Ahora verificamos con que datos contamos de la muestra de los hombres así: n
∑ xi
n=40
s=
√
´x =
1
n
=
2.776 =69,4 40
n
∑ ( x i− x´ )2 1
=
n−1
√
4.977,6 =11.3 que se redondeó a un decimal como x´ 39
Ahora verificamos con que datos contamos de la muestra de las mujeres así: n
∑ xi
n=40
s=
√
´x =
1
n
=
3.052 =76,3 40
n
∑ ( x i− x´ )2 1
n−1
=
√
6.092,4 =12,5 que se redondeó aun decimalcomo ´x 39
Para calcular el valor crítico de la muestra de tamaño libertad el cual se utiliza la siguiente formula
n
primero debemos hallar el número de grados de
n−1 , teniendo los grados de liberta buscamos este número en la
tabla de Distribución t: Valores críticos t, con una confianza del 95%, correspondiente al 0.05 para dos colas.
gl=n−1 gl=40−1=39 t α =2,023 2
Margen de error para los hombres
s 11,3 11,3 =2,023 =2,023 =3,61444202 6,3246 √ 40 2 √n
E=t α
Margen de error para las mujeres
s 12,5 12,5 =2,023 =2,023 =3.99827657 6,3246 √ 40 2 √n
E=t α
Ya teniendo los resultados de mujeres utilizando
´x
y
E podemos calcular los intervalos de confianza para los hombres y las
´x −E< μ< x´ + E
a. Intervalos de pulsaciones para los hombres.
´x −E< μ< x´ + E
69,4−3,61444202< μ <69,4+3,61444202
66< μ<74 ≈ max superior
65,78555798< μ<73,01444202
Datos de la muestra a un entero
a. Intervalos de pulsaciones para las mujeres.
´x −E< μ< x´ + E
76,3−3,99827657< μ< 76,3+3,99827657
73< μ<81 ≈ max superior
E=
tα s =2.023 2 √n
Datos de la muestra a un entero
72,30172343< μ<80,29827657
