1.1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad). En el mundo real existen razonamientos intuitivos acerca de un fenómeno o de una ley física. Con frecuencia el modelo matemático toma la forma de la llamada “Ecuación diferencial”, es decir, una ecuación que contiene una función conocida y algunas de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. En otros términos, podemos definir a ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) como toda relación entre una variable independiente x, una dependiente (la función desconocida y(x)) y sus
() ()() ():
Es importante resaltar el hecho de que este tipo de relaciones se clasifican por su orden, este está definido por el exponente más grande al que se encuentre elevada una derivada, por lo tanto, este indicará el orden de la mism . El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que se encuentra elevada la derivada más alta; siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial. Existen tantas características que describen y/o definen el comportamiento de una ecuación diferencial como es el caso de su linealidad. Este concepto esta descrito por la característica de ser lineal, esto es, si una ecuación diferencial cada coeficiente de “y” y sus de rivadas dependen de la variable independiente “x”. Y también si la variable dependiente “y” y todas sus derivadas son de 1er grado . Ejemplos.
Orden
1° orden
2° Orden
N° orden ()
Grado 1° grado
2° grado
()
Linealidad 1) dydx=2e- x→Lineal
2) dydt+d2yds2=c→Lin eal
3) yy´´+x2y=x→No lineal
Ecuaciones Diferenciales.
1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales. Siempre el inicio de un problema en la vida real iniciara con su planteamiento a través de un modelo matemático. Como ya sabemos una ecuación diferencial nos describe dicho problema, continuando con la resolución es necesaria la resolución de este modelo. Una ecuación diferencial tiene distintos métodos de resolución, estos nos arrojaran directamente a resultados aproximados a lo ya planteado, por
() a toda definición llamaremos solución de una E.D. función que sustituida en la ecuación la convierta en una igualdad e identidad.
( )
()
Soluciones de ecuaciones diferenciales. 1) Solución de una ecuación diferencial es la función que contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación, es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. 2) Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones). 3) Solución particular de una ecuación diferencial es la función que contiene constantes arbitrarias y estas toman un valor específico.
Ejemplo 1) La función
es solución de la ecuación diferencial , porque:
y=dxdx y=6x+c1du y=3x2+c1x+c y´=6x+c1 y´´=6 6=6
∴
2) La función es la solución general de la ecuación diferencial ; porque derivándola implícitamente tenemos ó expresado en otra forma
∴
Sustituyendo y ´ tenemos una identidad: 2e-x-12c-x=1 -1=-1 Donde:
